: t ‘ i t. : ! tins s sh3 %< . d sr t r3, T* - 5- ht .. 1 7 % M 1 , . , .o, • P i s "G v P. 3A t 4 . . eu . * P - *h 8 % E J AO 1.04 TIDSKRIFT FÖR MATEMATIK och FISIK, TILLEGNAD DEN SVENSKA ELEMENTAR-UNDERVISNINGEN, UTGIFVEN AF D:r GÖRAN DILLNER Adjunkt i matematik vid Upsala Universitet. (Hufvudredaktör). D:r FRANS W. HULTMAN D:r PH. LUNDBERG Lektor i matematik vid Stockholms Lektor i matematik vid Upsala högre Elementarläroverk. högre Elementarläroverk. Femte Årgången. 18 74. " BIBLIOTEKET ) TocKHOU' UPSALA, W. SCHULTZ. UPSALA 1875. AKADEMISKA BOKTRYCKERIET ED. BERLING. I Till Allmänheten. Då jag med detta häfte upphör att vara Tidskriftens utgifvare, återstår det mig att hembära hennes läsare en vördsam tacksägelse för den välvilja, hvarmed hon städse blifvit emottagen, trots sin anspråkslösa karakter att huf- vudsakligen omfatta blott sådant, som kunnat tjena till någon nytta för den elementära undervisningen vare sig vid skolan eller universitetet. De uppsatser, som i henne blifvit inrymda, böra ock ur denna synpunkt bedömas, hvadan ock den strängare måttstock, man är van att ställa på vetenskapliga afhandlingar med afseende på det behand- lade ämnets nyhet, här är mindre tillämplig. Fastmer har det ingått i Tidskriftens plan att så enkelt och lättfattligt som möjligt framställa sådant, som för nybörjaren brukar vara mer eller mindre svårtillgängligt, och på detta sätt i vidarekretsar sprida bekantskapen med vetenskapliga före- mål, hvilka annars äro den högre stående vetenskapsman- nens tillhörighet. — Vidare får jag uttrycka min varma erkänsla till mina medredaktörer och öfriga medarbetare i Tidskriften för deras oförtrutna beredvillighet att förse henne med goda och läsvärda uppsatser, hvarpå hennes tillvaro under dessa år varit väsendtligen beroende. Till sist må det tillåtas mig att framföra ett tacksamt erkän- nande till Tidskriftens förläggare, hvilken icke skytt möda och omkostnad att hålla företaget uppe, ehuru upplagan icke utgått till större omfång än att tryckningskostnaden med knapp nöd blifvit ersatt. — Om ock Tidskriften under sin tillvaro icke varit i tillfälle att lägga i dagen några nämnvärda prof på vetenskaplig utmärkthet, så eger hon dock obestridligen den förtjensten, att i vårt land vara den första i sitt slag och att hafva, så att säga, banat väg för en efterkommande, hvilken, förlagd i bättre händer, skall, jag hoppas det, mer lyckligt och omfångsrikt bidraga till utveckling af vetenskaplig verksamhet i vårt land. HUFVUDREDAKTÖREN. w Innehåll. ÅFDELNING I. Uppsatser. Sid. Till Allmänheten...........................................I. Hultman, Svenska aritmetikens historia ..............1,145, 225. Lindman, Några satser angående reguliera månghörningar 11. Lundberg, Om trekantiga solida vinklar och sferiska tri- anglar ................................................23. Ph, Om logaritms beräknande i form af ett kontinuerligt bråk...................................................31. Lundberg, Om symmetriska eqvationer.......................81. Åkerlund, Summering af tvenne serier......................95. Hultman, Om lapparnes kåtor och soldaternes tält..........162. Wicksell, Om pröfningen vid roteqvationer..................241. Satser af Holst, 35; Almquist, 37. » lösta af Anton Pullich, A—t och F. W. H. 90 — 96; Almquist, 174. ÅFDELNING II. Uppsatser. Daug, Om limes för den cirkel, som är omskrifven om- kring tangenter och deras kontaktskorda . . 38. Hillner, Försök till en kort, för praktiskt behof lämpad framställning af de elliptiska funktionerna 41, 97, 179,..........................................258. Falk, Härledning af ett par inom Differentialkalkylen före- kommande formler.......................................48. » Om Newtons approximationsmetod med Fouriers tillägg........................................108. » Om Funktional-determinanter.........193. Malmsten, Om utvecklingen af u == f (x e°x) efter stigande digniteter af a: 246. » Ett problem i probabilitetskalkylen........253. ÅFDELNING III. Uppsatser. Sid. Gyldén, Huruledes man är berättigad att ur stjernornas skenbara glans och ur deras antal sluta till deras relativa afstånd..............................59. Rubenson, Meteorologiska notiser.................63, 123, 268. Hildebrandsson, Tyndall. Om luftens större eller mindre genomtränglighet för ljudet........................119. Hamberg, Ur Termometerns historia......................207. ÅFDELNING IV. UPPSATSER. Hultman, Politisk aritmetik 69. f Johan August Grunert 74. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1872 77. » » » h. t. 1872 och v. t. 1874 138, 141. » » » v. t. 1873 och h. t. 1874.......217, 220. » » » v. t. 1875 ......277. Litteratur............................................ 80. » ........................................284. Ur Lektor A. M. Kjelldahls efterlemnade papper.....131. Svaromål.................................................224. Till ”Suum cuique” .....................................284. AFDELNING 1. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTSTAN. I årgångarne 1868—71 liafva vi redogjort för denna historia från början af 1500-talet till medlet af 1600-talet. Innan vi fortsätta, torde det vara lämpligt att göra en hastig återblick på det föregående. Under den tid, då inga läroböcker på vårt modersmål funnos, räknade våra förfäder med räknepenningar. Huru långt tillbaka räkning med dylika begagnats, är ej lätt att afgöra. Att den åtminstone samtidigt med de förste läro- böckerna användts, följer däraf, att en redogörelse för sättet att räkna med dylika finnes i våra äldre läroböcker från och med Aurelius (1614) till och med Kexlerus (1658). I utländska läroböcker hafva vi funnit räkningen med räk- nepenningar ett helt hundra år längre tillbaka hos Siliceo*) (i hans Ars arithmetica, Beauvais 1514). Läran om räknepenningar. Man drager på en tafla räta linier vågrätt, den ena öfver den andra. Då en penning lägges på den nedersta linien, betyder han en enhet, » » » linien däröf- ver, » » ett tiotal, » » » » ofvan denna, » » » hundratal, o. s. v. *) Siliceo född 1477 i Castilien, professor i filosofi i Salamanca, blef slutligen ärkebiskop i Toledo. Han dog 1557, 80 år gammal. 1 2 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Ligger en penning i mellanrummet mellan den neder- sta linien och linien däröfver, betyder han 5 enheter, ligger han i mellanrummet däröfver, betyder han 5 tiotal, i nästa mellanrum betyder han 5 hundratal o. s. v. Årtalet 1874 skrifves medelst dessa på följande sätt. -------o--------- o -------o------0--o- o -------o------0-- —o—o—o-—o— Om man till detta årtal vill addera samma tal skrifvit baklänges eller 4781, adderar man till 1874 en enhet, till denna summa 80, härtill vidare 700 och slutligen 4000 medelst räknepenningar, hvaraf uppstå efter hvartannat summorna 1875, 1955, 2655, 6655. Utförd med räknepenningar ser räkningen ut sålunda, o ------o-----------—----------o--o- o---------0----- o--------------------------------------------------o-o-o ------0—0—0-------—0—0—0—0—----o-------------o----- o--------------------------------------------------o-------------------------------------------------o------------------------------------------------o ------o—o------------------------------------ o--------------------------------------------------o-------------------------------------------------o------------------------------------------------o Detta torde vara tillräckligt för att förstå konsten att räkna med räknepenningar. Främmande författare i aritmetiken. Det är tre läroboksförfattare, hvilkas aritmetiska ar- beten synas hafva blifvit använda i Sverige, innan vi hade egna läroböcker. Dessa tre äro : AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 3 I. Rainer Gemma Friesius. Hans arbete Arithmetica practice methodus var skrif- vet redan 1535, såsom synes af företalet till den i Witten- berg 1593 *) tryckta upplagan. På titelbladet är en intres- sant tafla föreställande tre förnäma män sittande vid ett bord räknande med räknepenningar. Arbetet är för öfrigt tilldragande, har en vetenskaplig hållning, upptager bland annat lösning af rena eqvationer af den 2:dra till och med den 8:de graden. Vidare finnes en proportionslära. Den, som vill gå längre, hänvisar Gemma till Claudius Ptole- meus **). Gemma föddes 1508 i Friesland (hvaraf namnet Frie- sius) och dog såsom medecine professor i Löwen 1555. Glansen af hans läror ådrog honom Karl V:s uppmärksamhet. II. Petrus Ramus. Hans arbete Arithmeticae libri tres, Paris 1555, ligger till grund för en lång följd af läroböcker. Ramus, född 1515 i Vermandois, blef 1551 professor i filosofi i Paris. Genom att öfvergå från katolicismen till Calvins lära blef han under den senare delen af sitt lif utsatt för ständiga förföljelser och föll slutligen ett offer för dem under bartolemeinatten vid parisiska brölloppet 1572. Liksom Luther och Calvin reformerade teologien, sökte Ramus reformera vetenskapen, i det han proklame- *) Det arbete af den upplaga, som finnes på Skara elementar- läroverks bibliotek, synes hafva vara mycket begagnadt. Detta an- tydes af de många anteckningarna och understrykningarna i boken. På pärmen står bland annat: »1 tunna sill är 16 valar, 1 daler silf- vermynt är 4 m., 1 rdr är 6 m. silfvermynt. **) Ptolemeus var som bekant en namnkunnig geograf, astronom och matematiker. Han föddes i Egypten år 70 e. Kr., dog 150 och öfverlämnade åt efterverlden sitt vetandes skatter i det stora arbe- tet Mtγaλη σvvτaξις, hvilket år 827 blef öfversatt på arabiska under titeln Almagest. 4 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. rade förståndet såsom sanningens högste ledare inom veten- skapen. III. Kristofer Clavius. Dennes Epitome arithmetics practice 1583 har lika- ledes varit ett grundläggande arbete för kommande läro- böcker. Clavius föddes i Bamberg 1537, förestod i Rom den matematiska professionen i 20 år och dog därstädes 1612. Han är känd såsom reformator af tidräkningen genom in- förandet af den gregorianska tidräkningen i st. f. den julianska 1581. Han kallades för sitt tidehvarfs Euklides. Vi öfvergå härefter till svenska författare af aritme- tiska läroböcker. I. Peder Månsson. Peder Månssons arbete utgöres af en liten på Riks- biblioteket befintlig handskrifven uppsats, benämnd ”Regule de tri”, skrifven under hans vistelse i Rom. Peder Månsson föddes i Westmanland, kom till Rom 1508 och vistades där till 1523 såsom föreståndare för den heliga Brigittas hospital. Han blef 1523 biskop i Westerås och dog 1534 i hög ålder. 2. Olof Bure. Dennes utmärkta arbete Arithmetics instrumentais abacus, utgifvet i Helmstedt 1609, visar en metod att utan räkning på papper eller tafla medelst en maskin göra de aritmetiska operationerna. Olof Bure föddes 1578 i Ångermanland, blef utom- lands medecine doktor, därefter lifmedikus hos hertig Johan af Östergötland och hos konung Gustaf Adolf, vidare borg- AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 5 mästare 1622 i Stockholm och 1633 v. president i Åbo hofrätt. Han dog 1655 och ligger begrafven i Wermdö kyrka. 3. Johannis Bothvidi. Den aritmetik, hvilken denne kyrkans apostel under sin andra utländska resa utgifvit, utgöres endast af en ny upplaga af hannoveranaren Buscheri lärobok och har till titel: Arithmetica vulgaris libri duo, Rostochii 1613. Han följer Ramus tätt i spåren. Bothvidi föddes 1575 i Norrköping och dog 1635 såsom biskop i Linköping, har skrifvit psalmen 39 i gamla svenska psalmboken. 4. Aegidius Aurelius är märkvärdig, emedan han är den förste, som på svenska språket utgifvit en räknebok. Hans Arithmetica eller Räk- nebook vann också ett så starkt insteg i skolorna, att minst 9 upplagor af densamma utkommit. Upplagan 1 på latin är tryckt i Upsala 1614. Af de 8 öfriga på svenska tryckta upplagorna är pplagan 2 tryckt i Upsala 1614, » 3 » » 1628, » 4 » » 1633, » 5 » » 1638, 6 » » 1642, » 7 » i Stockh. 1655, » 8 » i Strengn. 1671, » 9 » i Stockh. 1705, (utgifven af J. F. ULRICH). Aurelius, som också noga följt Ramus, saknar dock dennes skärpa. Han föddes i Upsala, sannolikt i slutet af Johan III:s regering, blef rektor vid Upsala skola och sedan syndikus i Stockholm. Han dog omkring 1650. 6 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 5. Andreas Jonæ Gothus. Hans Thesaurus arithmeticus eller räknekånst, Stock- holm 1621, innehåller bland annat en ganska fullständig redogörelse för de romerska taltecknen. Han föddes 1582 i Wadstena, blef rektor därstädes 1613, kyrkoherde i Aby 1625 och dog 1657. 6. Petrus Nicolai Ublenius. Denne författares arbete Compendium Arithmetices eller räknekonst, Upsala 1630, erinrar kapitel för kapitel om Clavius. Ublenius (upländing) inskrefs 1601 vid Upsala uni- versitet och var således omkring 50 år, då han utgaf sin räknebok. 7. Anders Bure har i sin räkning 1637, upptagen i J. T. Bures hand- skrifna collectanea på Riksbiblioteket, upprättat tabeller, afseende att införa tio-indelningen i mått och vigt. Detta är det första spåret till decimalräkning i vårt land. Anders Bure, äldre broder till Olof Bure, föddes i Ångermanland 1571, blef 1640 assessor i krigskollegium och var på en gång öfverste, arkitekt och generalmatema- tikus (hvarmed sannolikt menas styresman för landtmäte- riet). Han dog 1646. 8, Henrik Olofson Hortulanus. Hans Arithmetica har utkommit i 4 upplagor, af hvilka den l:a är tryckt i Strengnäs 1638, 2 » » i Nyköping 1646, 3 » » i Göteborg 1670, 4 » » i Göteborg 1674, Arbetet är uppfyldt af krigiska exempel. Hortulanus var bördig från Nyköping och dog sannolikt omkring 1660. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTOKIA. 7 9. Georg Stjernhjelm. Denne utmärkte man har meddelat sina aritmetiska insigter och funderingar i 5 handskrifna och två tryckta arbeten. De handskrifna äro: 1. Algebra suethica, skrifven till en del i Westerås 1639, till en del i Stockholm 1643, och till en del i Up- sala 1654, finnes på Upsala akademiska bibliotek; 2. Arithmetica mnemonica universalis, författad i Wa- sula (i Lifland) 1642, finnes på Riksbiblioteket; 3. Computus decimalis och arithmetica decimalis (18 qvartsidor på olika sidor), finnes på Riksbiblioteket; 4. Algebra retecta, skrifven i Wasula 1655, finnes på Riksbiblioteket; 5. Usus lined Carolina, Göteborg 1657, ' » » » , Stockholm 1661, Baculus Carolinas, 1663, FIRA spå Constitutio et usus pedis Stockholmensis, blioteket Archimedes practicus per lineam caro- linam, 1669, Linea carolina constitutio 1657, finnes på Upsala «akademis bibliotek. De tryckta äro: 1. Archimedes reformatus, Holmiæ 1644; 2. Mensure regni Suethia, Stockholm 1664, en kop- parstickstabell på ett halft ark. Stjernhjelms förtjänster äro följande. 1. Han är den förste svenske man, som har en full- ständig teori för decimalräkning näml. af år 1642. I ut- landet användes decimalerna vida tidigare. *). *) Den, som först infört bruket af decimaler, är holländaren Simon Stevin (sannolikt i hans Pratique d’arithmétique, Anvers 1585). Stevin föddes 1548 i Bruges och dog 1620 i Haag, var en stor re- formator inom rationela mekaniken. 8 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 2. Han är den förste svenske man, som skrifvit en algebra och eqvationslära. 3. Han har gjort epok genom sina åtgöranden i af- seende på mått och vigt därigenom, att han satt längd-, rymd- och vigtraått i beroende af hvarandra och därvid tillämpat tio-indelningen och tillika låtit förfärdiga en likare af mässing med väl utförda skalor. Han ville äfven införa ett för hela verlden gemensamt silfvermynt, som han be- nämnde riksdaler. Stjernhjelm föddes 1098 i Wika socken i Dalarne, blef lektor i etik i Westerås 1625 samt strax därefter vid det i Stockholm nyss inrättade gymnasium illustre, utnämn- des 1630 till assessor vid Dorpats hofrätt. Ar 1658 blef han för ett år landtdomare öfver Trondhjems län i Norge. År 1661 blef han krigsråd och 1667 riksantikvarie vid antikvitetskollegium. Han dog 1672 och begrafdes i Klara kyrka. Han är vida bekant genom sitt arbete Muse suethizantes (hvarest hans Herkules förekommer). 10, Matthias Andreæ Biörk. Dennes förtjänstfulla Arithmetica eller Räknebook, Westerås 1643, utmärker sig genom bevis för reglorna, genom decimalräkningen och algebran. Däremot är den olycklig genom det spetsfundiga kapitlet om proportioner med dess många underafdelningar. Biörk föddes 1604 i stora Skedvi, blef 1639 lärare i matematik vid Westerås läroverk samt 1642 kapellan vid domkyrkan och dog 1651. Vidare förekomma decimaler i professor Hartmanns arbete Logi- stica decimalis et stereometria samt i inledningen till hans Stéreome- trice ratio geometricis demonstrationibus confirmata, Frankfurt 1603. Johann Hartmann, tysk kemist, föddes i Pfalz 1568, blef professor i Marburg 1592, professor i kemi därstädes 1609 och dog i Kassel 1631. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 9 II. Nils Buddæus. Buddæi vetenskapliga men kortfattade aritmetik utgö- res af 5 aritmetiska af handlingar (gymnasmata arithmetica), tryckta i Strengnäs 1646 af hvilka den femte är egendomlig genom redogörelsen för sättet att räkna med ett talsystem, där 60 är bas. Buddæus föddes 1595 i Längbro socken vid Örebro, blef konrektor i Strengnäs 1624, lektor i grekiska och retorik därstädes 1627, rektor i Örebro 1635—38. Åren 1645—52 förestod han efter hvarannat lektorsbefattnin- garna i matematik, grekiska och teologi, samt blef år 1652 prost och kyrkoherde i Öfver-Selö. Han drunknade i Mä- laren 1653. 12. J. Meurs. Denne man skall enligt Hammarsköld hafva utgifvit en Arithmelica eller Räknebook, tryckt i Strengnäs 1652. 13. Nicolaus Petri Agrelius (Agrell). Agrelii lärobok Institutiones arithmetice är den vid- lyftigaste af alla i Sverige utgifna läroböcker; den är bland alla den minst pedagogiska och genom sin utförliga ut- veckling af det spetsfundiga kapitlet om proportioner den mest skolastiska. Detta oaktadt har den begagnats längre än någon annan räknebok i skolorna. Minst 9 upplagor hafva utkommit, näml. upplagan 1 tryckt i Stockholm 1655, » 2 » i Göteborg 1672, » 3 » i Stockholm 1683, » 4 » i Jönköping 1729, » 5 » i Stockholm 1737, » 6 » i ». 1738, » 7» i » 1754, » 8 » i » 1781, » 9 » i » 1798. 10 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Agrelius föddes i Smaland, blef 1646 medlem af Små- lands nation i Upsala, var 1672 borgmästare i Warberg och dog före 1692. Hans lefnad infaller sannolikt ungefär mellan åren 1625 och 1680. Sammanfattning. Bland ofvanstående svenske författare äro i veten- skapligt hänseende mest framstående: Olof Bure, Stjern- hjelm, Biörk och Buddæus. De äldsta mest använda läro- böcker i räkning under 16- och 1700-talet i Sverige voro Aurelii 9 upplagor, Hortulani 4 och Agrelii 9 upplagor, ehuru i dessa förekomma hvarken bevis för reglornas gil- tighet ej heller någon decimalräkning. Decimaler före- komma endast hos Stjernhjelm och Biörk. Anders Bure begagnar tiotalsindelningen för mått och vigt. Peder Månssons och till större delen Stjernhjelms arbeten utgö- ras af handskrifter. Jämför man desse författares ståndpunkt med utländske författares, finner man, att de svenske stått långt efter sin tid. Så t. ex. är Agrelii lärobok af år 1655 ingalunda längre hunnen än Rami hundra år tidigare af år 1555. Själfve Stjernhjelm, så framstående han än var, hade ej tagit del af Cartesii år 1537 utgifna matematiska märk- värdiga arbeten, ehuru han var samtidig med honom och vid drottning Kristinas hof gjort dennes personliga bekant- skap. I stället hade han flitigt studerat den 50 år äldre Stevins arbeten. Korteligen, författarne voro från 50 till 100 år efter sin tid och somliga läroböcker ända till 250 år efter, sin tid. Man jämföre t. ex. Gemma Friesii ar- bete, dateradt år 1535 med Agrelii 263 år senare arbete, upplagan af år 1798. (Forts.) AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MANGHORN. 11 Några satser angående reguliera månghörningar. Af lektor C. F. Lindman. 1. Ehuru de satser, som i det följande komma att meddelas, för mig varit nya, är det dock mycket möjligt, att de tillförene blifvit funna af andra *). Detta har jag dock icke ansett böra vara något hinder för deras fram- ställande, hvilket åtminstone kan tjena till att återkalla dem i minnet, i fall de skulle vara förut kända. Vid be- visningen behöfvas flera gånger ett par formler, hvilka det derföre synes bäst att nu på förhand en gång för alla anföra. Dessa äro: Sin a + Sin (a + b) + Sin (a+26) + . . . + Sin (a+m—1 . b) = / mb Sin ((a+(m-1) , Sin , (1) = k - 2 Sin 6 2 Cos a + Cos (a+b) + Cos (a+2b) +.. + Cos(a+m—1 . b) = Cos ((a+(m-1)—) Sin ”,.......................(2) *) Såsom bevis på, huru ofta dylikt inträffar, kunna anföras några satser om trianglar, som af mig blifvit framstälda i Mathe- matisk Tidskrift för 1870 pag. 102 och af hvilka flera sedan åter- funnits i Grunerts Archiv B. XXXVI pag. 325 och följ. Samma för- x 27 37 . 47 3 hållande äger rum med formlerna : Sin 9° Sin 9 ‘ Sin 9 ' Sin 9 = 16 T 2r 37 47 1 Cos g Cos 9 * Cos 9 Co 9 = 16’ som jag tillfälligtvis funnit vid upplösningen af ett par 3:dje grads eqvationer och hvilka blott äro speciela fall af några formler i Grunerts Suppl. Zu Klügels Math. Wörterbuch, Zw. Abtheil, pagg. 658—660. 12 AF». I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHORN. ----------------------------Sιn^- k(m-1) b i hvilka man har faktorn r = m ( —1) , om - = Sin 2----------------------2 kπ (k ett helt tal eller 0) *). 2. Låt nu A1 A2 . . . A,1 vara en regulier månghör- ning med n sidor och P en gifven punkt i hans plan. Omskrifves en cirkel omkring månghörningen och kallas hans medelpunkt 0, så hindrar ingenting att antaga punkten P belägen inom 4 A 0 An. Drag sedan diametern genom Aj och gör 0 P=c, A A1 0 P= 2a, radien = r. 3. Efter dessa förberedelser må vi först söka sum- man af qvadraterna på afstånden PA, PA2,... P A. Gör man PAl-dl, PA2 = d2, ... PAn≈dn, så finner man lätt då = c2+r2 — 2cr Cos 2a 2π∖ dl = c2+r2 - 2cr Cos (2a , 2(n- d 2 = c2 + r2 — 2cr Cos (2c+2 ) . Således är q=n q =n ^ dq2 = n (+12) - 2cr ^ Cos (2α + 207Da) ' 5=1 5=1 På grund af formeln (2) är q=n g Cos(2α+ 2(15Dz) =0 9=1 och följaktligen . d; + dl + . . . + d2 = n(c2 + r2) . . . (3) *) Dessa satser kunna på flera sätt bevisas. Det enklaste be- viset tyckes vara det, som Grunert gifvit i nyssnämnda suppl. pagg. 636, 637 och hvilket grundar sig på de bekanta formlerna. Sin (a + ^) = 2 Sin a Cos ß— Sin (a—^), Cos(a + ß) ==2 Cos a Cos β— Cos (a—ß). AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. 13 eller oberoende af a. Detta innefattar följande theorem: om från en punlt hvilken som helst i en regulier n-hör- nings plan räta linier dragas till hans vinkelspetsar, så är summan af dessa liniers qvadrater n gånger så stor som summan af qvadraten på den omskrifne cirkelns radie och qvadraten på punktens afstånd från nämnda cirkels medelpunkt. Om c = r, d. v. s. om P ligger på den omskrifne cir- kelns periferi, så är d;+d3+...+d3 = 2nr2.................(4). Ligger P på den inskrifne cirkelns periferi, så är c = r Cos — och n ' 2 d21 + d: + . ..+ dn2 =r2(1 + Cos— . . . (5). nJ 4. Man kan ock söka locus för sådana punkter, att summan af qvadraterna på deras afstånd från en regulier n-hörnings vinkelspetsar är af gifven storlek = n(c2+ r2). Tager man då 0 till origo och 04, till x-axel för rätvinkliga koordinater samt betecknar koordinaterna för 41 42, . . . med X1, Y1; X2, Y2 ..., så är 2π a 2(7 — 1) x1=r∕ To =Y COS — x0 = r Cos— -. - - n 7 n' och i allmänhet 9. 2% 0. 2(,—1)7 V1 =0 %. =Y om— 00 =r bin —%——. • 2 n 2 n Om vidare x,y äro koordinaterna för den sökta punkten, så är (a - ⅜)2 + (3 - 3,)2 just qvadraten på ett hvilket som helst af de ifrågavarande afstånden. 14 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. Således är ç=n ç~n ' „ o (I 2(2—1)/ .Q A . 2(9—1)7 nx2-2xrCos — + r2Cos 2 — KJ 2 n 9=1 9=1 9=n q=n : 2 (9—1)7 „ Q . . 2(9—1)7 n n 9=1 9=1 På grund af' form. (1) och (2) är q=n 9—n Q . 2(9—1)/ C 2(9—1)/ D Sin - = β, ^Cos n = 0 9=1 9=1 och som man derjemte har q=n q=n Ssin-20071)r + Scos22(amOn =, q=1 (=1 så fås efter bortdividering af n x2 + y2 = c2 eller eqvationen för den cirkel, som har 0 till medelpunkt och punktens P afstånd från O till radie. 5. På ungefär samma sätt kan man finna summan af andra jemna digniteter af de nämnda afstånden. Sålunda är a;+d;+... + d = n (2+12) [62+2 + 2er] ... (6), d{+d§+ ... + d, = n(c2+r2) c2+r2 +6c2r2,. . • (7), om n3; men om n = 3, så är 2 1 c2+r2 +6c2r2 — 6c3r3 Cos 6a, (8) emedan det vid form. (1) och (2) nämnda undantagsfallet då inträffar. Tydligt är, att formlerna snart blifva temme- ligen komplicerade, isynnerhet om undantaget äger rum, emedan ingående digniteter af Cosinus måste utbytas mot AFD. I. NÅGRA SATSEK ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. 15 Cosinus för bågens multipler eller ock summan af samma dignitet af termerna i (2) bestämmas. 6. Inskränker man sig till punkter belägna på den omskrifne cirkelns periferi, så blifva formlerna enklare, hvarjemte man blir i tillfälle att bestämma summan äfven af udda digniteter på afstånden. Då är d,=2r Sin (a + —„—) och man finner o. / (»—1>∖ dj+d,+...+d.=2r.Sin + n).................(9) Sin 5 då+d;+.+d%=2r3 q. af , (n-1)m) Sing + n 37 Sin 2m Ce Sin (n—1)7 7 Sin 2n (10) + 3 o. s. v. Dessa summor blifva således icke oberoende af a såsom de föregående. 7. Låt oss vidare söka summan af de perpendik- lar, som från P fällas på sidorna A. A2, A2 A3,... A, A1. Om man betecknar dessa med P1P2... Pn resp, och till en början antager P belägen inom månghörningen d. v. s. att r Cos —> e Cos [---------------2c, så är n-------------------------------------------\n / = r Cos----c Cos 2a + — 4 nn/ x7 3n\ p. = y Cos---c Cos 20+ — 1 n 7 ( (2n—3)7) 2,-1 =r Cos — — C COS 20 + 1 > - w ∖ n pn = r Cos - — c Cos 2 (2n—1)7 20 + ----— n , Man har följaktligen i detta fall enligt form. (2) 16 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULTERA MÅNGHÖRN, pr + p. +... + Ph-1+2, = Tr Cos 2... (11) 9 som innefattar detta theorem: om man från en punkt hvil- ken som helst inom en regulier n-hörning fäller perpen- diklar på hans sidor, så är perpendiklarnes summa = n gånger apothemet. Antages P belägen utom månghörningen d. v. s. att c Cos("-20) > r Cos M, så få perpendiklarne samma värden som förut utom den sista, som då blir 20, = c Cos 2a + —— —— -r Cos . - ∖ nJ n Då blir äfvenledes på grund af (2) Pi + P2 + . . • + Dn—1 Dn = ver Cos 72 > • ■ • (12), hvari innehålles detta theorem: om från en punkt hvilken som helst utom en regulier månghörning perpendiklar fal- las på sidorna, så är summan af alla dessa perpendiklar, minskad med dubbla den sista, = n gånger apothemet. 8. Lika lätt kan man finna summan af dessa perpen- diklars qvadrater. Man har då p3=r2 Cos2--2cr Cos — Cos ( 2c + -+2Cos2 2a + - , n-----------n ∖ nJ ∖ nJ p2 =,2 Cos2—— 2 cr Cos - Cos 2c + —+2Cos" 2« + — , n AK) n/ p,2 = r2 Cos------2cr Cos — Cos ( 2c + .-—+ n----------------1---------------n/ / (2n-1)x + c2 Cos21 2c +----) ∖-----------------n) och således 9=n---------------qn = nr2 Cos-Z -2er Cos z C Cos ( 2c+ (27—1)1 ) + 44------------------n--------------nl ∖ n / 9=1--------------q=l 9=n A .(2(—1)a) Cos2 2a + —------— 1 \--------------1 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. 17 som enligt (2) ger »? + »3 + ■ • • + På = n (12 Cos2 7 + 2 (13). 9. Om punkten P antages belägen på den omskrifne cirkelns periferi d. v. s. om man antager c-r, så få ut- trycken på perpendiklarne en enklare form näml.. w1 = 2r Sin C Sin [ a + — ∖ 9 », = 2z Sin e+- Sin a + — ( (n—2)n\g. / (n—1)n) = 2» Sin ( C + — Sin a + . — , ∖ 1nJ 10, = 2r Sin a +--— Sin { C + — , ∖ nj∖ nJ Det är bekant, att om perpendiklar fällas från en punkt på den omskrifne cirkelns periferi mot en liksidig triangels sidor, så är den mellerstas reciproka värde lika stort med summan af de båda andras. Efter nu perpen- diklarne äro uträknade, som från en godtycklig punkt på den omskrifne cirkelns periferi fällas mot en regulier n-hörnings sidor, så är det skäl att undersöka, om ett dy- likt theorem gäller angående denna. Antagas perpendik- larne vara fälda i samma ordning som förut, så är Pn just den, som svarar mot den mellersta vid den liksidiga tri- angeln. Om då samma theorem gäller, så måste man hafva 11 1 1 — +— + . .. + — =— Pi 22 Pn-1 Pn eller Pn+Pn + + Pn c l Pi P2Pn-1 ’ På grund af det föregående finner man 2 18 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. : . ( (n—1)7) . . / (0—1)7) din c dinC + Sin c Sin C + ——— On _ \n J Pn_\ 2 / Pi Sin a Sin ( a + - ) Pa Sin («4Z) Sin (a+27) bin a bin ( CX + -- —} Dn ∖ n J Pn-2 ∕ (n—3)n\ / (1—2)7) ‘ bin C+- bin C+-———- \ nJ Sin a Sin f «+——1)7) Dn _________________∖ n J Pr-1 Sin (d+(n-2)77) Sin (a4(-1)n7) \ nJ \ nJ och man har att undersöka, om q=n-1 o. o. ( (n—1)7\ sin C bin a + — q=l Sin (a + ——1)7) Sin (c + 77) \ n J ∖ nJ 1. Emedan alla bråken hafva samma täljare, så är det tillräckligt att söka 9—n-1 4 9 1 On - D . 7 (q—1)a\. ( qn\ 1 Sin ( a + ——— Sin a + 2 ∖ nj \ n/ och sedan multiplicera denna med Sin c Sin («+(—1)n) . Om man nu för korthets skull sätter — = (p, så är n 2 1 1 3 Sin c Sin (a + 9) Sin (a + 9) Sin (a + 29)’ som genom välbekanta formler reduceras till 2 Cos gp Sin 2 gp 0. = 5.--------.--2 — = 7.------. —.---------. Sin a Sin (a+29) Sin 9 Sin a Sin (a+29) ‘ AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. 19 Till följe häraf blir sedan 6 Sin 2 9p1 4 Sin g Sin a Sin (a+2g) ' Sin (a+2g) Sin (a+3g) Sin 2g Sin (a+39) + Sin 9p Sin a Sin g Sin a Sin (a+2g) Sin(a+3g) ’ Emedan man har Sin 29 Sin (a+3g) + Sin gp Sinα = = 2 [Cos (a + 9) — Cos (a + 59) + Cos(a-9) — Cos (a + 9)] = Sin (a + 2g)Sin 3g, så befinnes slutligen _ Sin 39 4 Sin 9p Sina Sin (a+3g) ' På samma sätt kan man fortgå vidare och får deraf anledning tro, att _ Sin (n-1)9_ " Sin g Sina Sin (a+n—1 . g) ' För att förvissa sig härom kan man begagna det be- kanta Bernoulliska sättet. Om formeln är riktig, så bör man hafva Sin (— 1)9 1 On+1 Sing Sinα Sin(a+n-1.q) * Sin(a+n=1.q)Sin(a+ng) På samma sätt som förut finner man häraf _ Sin ng σ"+1 Sin gp Sin « Sin (a+ng) eller just detsamma som fås, om man i värdet på o, in- sätter n + 1 i stället för n. Således är q=n—1 1 S ——(ETA—qxy= R Sin ( a + — ) Sin (a + 2 ∖ n ) ∖ nJ . (n—1)/ Sin. — = 22 . . . (14), Sin —Sina Sin (a + ("2-1)7) % ∖ Ml 20 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. samt o. . ( (n-1)n) . (n—1) q=n—1 Sin a Sin a + — Sin — — \ 2- 2 _ 1 / (7-1)n\ ( qx 7 = 1. 6—1 Sin C + — — Sin a + — Sin — \ A nJ n Följaktligen är ock 1 1 1 1 — + — +...+ — =— . . . . (15) Pi P2 Pn-1 Dn hvaruti innefattas detta theorem: om man från en punkt på den omskrifne cirkelns periferi fäller vinkelräta linier på en regulier månghörnings sidor, så är reciproka värdet af perpendikeln på kordan till den båge, hvarpå punkten ligger, lika stor med summan af alla de andra perpendik- larnes reciproka värden. 10. Om man fortfarande antager P. belägen på den omskrifne cirkelns periferi och betecknar perpendiklarnes fotpunkter i ordning med P1, P2 . . Pn, så kan man söka att bestämma ytan af n-hörningen P1 P2... Pn. Om dessa punkter sammanbindas med P, så uppkomma n trianglar, af hvilka hvardera har två perpendiklar till sidor och mel- lanliggande vinkeln = 27. De båda sista trianglarne höra ej till figuren eller måste subtraheras från summan af alla för att erhålla figurens yta. Betecknas denna med Yh, så fås Y,= 2r2 Sin — Sin a Sin2 ( a + — ) Sin | c+ — ) + ∖ n/ ∖ n) + Sin (a +70) Sin - α + — Sin∖a +— + . . . . ( (x-2)x\. „/ (n-1)x)G. + Sin C+----2— Sin" a+ ---— Sin (a + 7) + ∖ nJ\ n +Sin («401—1)r) Sin-( + 7) Sin (a4(n+1)r)], hvarest de båda sista termerna tydligen äro negativa. Genom bekanta formler finner man AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MANGHÔRN. 21 2n Cos 2c — Cos En dylik expression fås för hvar och en af de öfriga termerna, om man i stället för « insätter efter hvarandra TT 27 . . 1 • an—,a+ —etc. Af form. (2) inses sedan, att 1 summan n‘ n alla termer försvinna utom de båda första. Derföre är Y, = Mr“ Sin 27 (142 Cos 27r) . nr-( Sin 271 + Sin 4r) 4 %∖ 2 / 49 n/ n12.. 37r 7 _ = — Sin — Cos -............(16). 2 W n . Några speciela fall är anmärkningsvärda. Om man gör n = 3, så fås Y3 = 0 eller det bekanta theoremet: om man från en punkt på den omskrifne cirkelns periferi fäller vinkelräta linier på en liksidig triangels sidor, så ligga fotpunkterna i en rät linie. 3,2 — Gör man n=4 och n = 6, sås få Y. =y2, Y.=-3. Således är Y= halfva den inskrifna qvadraten och Y6= den reguliera 6-hörningen. Mycket lätt finner man gränsen, hvartill Yn sträfvar, då n obegränsadt växer. Man kan näml. skrifva " 4 27 47 sin — Sin — + 4n. " 27 470 n n 3/ry2 . hvilket uttryck för n = 0 gör Y = —. Men hvilken 22 AFD. I. NÅGRA SATSER ANG. REGULIERA MÅNGHÖRN. blir väl då fotpunkternas locus? Tager man 0 till origo och 0 P till x-axel, så är 2c +------------= - [x—r Cos (2c+---] Cot2 a +------- n /----------\n) ∖------------------n eqvationen för en hvilken som helst af den inskrifne reguliera n-hörningens sidor. Eqvationen för en mot den vinkelrät linie, som går genom P, är, om man gör 2 a + (2m - 1)7 S-----— = %, 70 y =(.—r)tg och sidans eqvation blir då y-rSin(V+$) = - x-r Cos(+ - Cot y. Om man mellan dessa éliminerai’ % och sätter n =00, så fås [y2 + x (x-v)]2 = r2 (y2 + x—2) . Införas polar-koordinater, så att man gör y = o Sin φ, x =r+ o Cos 9p, så öfvergår eqvationen till ( = r (1-Cos ), (17) som representerar Pascals snäcka *). Lätt finner man, att 3 i 3m 12 denna kurvas yta är = ——— J 2 såsom ock form. (16) gifvit. 11. Betecknas midtpunkterna på sidorna A. A2, 4.A3, ... An A med Mi, M2, . . . Mn resp., så befinnes PM; = 21+ Cos27 - 2 Cos " Cos (2c + L n 1 \ 0/J PM; = 21+ Cos2- - 2 Cos - Cos (2a + 37) n n\ n) ------2 .„7TA ( (2n—1)a\] PM, =)2l+ Cos2 — — 2 Cos — Cos 1 2« + —, L n 1 0 / Medelst form. (2) finner man häraf PM; + PM:+. . . + PM: = nr?( 1 + Cos2—) . . . (18). *) Se Briot & Bouquet, Géométrie analytique, 4ième Ed. pag. 25, AFD. I. OH TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. 23 Dä detta jemföres med (5) fås följande theorem: om en cirkel omskrifves omkring och en inskrifves uti en regidier n-hörning samt en punkt hvilken som helst på den förres periferi sammanbindes med sidornas midtpunkter, så är summan af sammanbindningsliniernas qvadrater = sum- man af qvadraterna på de linier, som förena en punkt hvilken som helst på den inskrfne cirkelns periferi med samtliga vinkel spetsarne. Om trekantiga solida vinklar och sferiska trianglar. Af Philip Lundberg. Inledning. Om tre plan skära hvarandra i en punkt, kallas det obegränsade rum, som delvis inneslutes af dessa plan en trekantig (triedrisk) solid vinkel. Den punkt, der de tre planen skära hvarandra, är den solida vinkelns spets; de räta linier, utefter hvilka planen skära hvarandra, äro den solida vinkelns kanter, vinklarne mellan planen äro den so- lida vinkelns kantvinklar ; de plana vinklarne mellan kan- terna äro den solida vinkelns planvinklar (sidor). Om två solida vinklar äro så beskaffade, att den ena fullständigt kan passas in i den andra, äro de samman- fallande (kongruenta). I detta fall äro den enas plan- och kantvinklar styckevis lika med den andras och följa i samma ordning. Hafva tvenne trekantiga solida vinklar plan- och kantvinklar styckevis lika men följande i omvänd ordning, kan den ena ej passas in i den andra; de sägas då vara symmetriskt lika. Omedelbart häraf följer, att de 24 AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. solida vinklar, som äro symmetriskt lika med en och samma solida vinkel, äro sammanfallande. Utdragas de tre planen utöfver den solida vinkelns spets, uppkommer en solid vinkel, som säges vara den förres solida vertikalvinkel; tydligen får den samma plan- och kantvinklar som den gifna men följande i omvänd ordning. Solida vertikalvinklar äro således symmetriskt lika (ej sam- manfallande). Dragas genom en trekantig solid vinkels spets räta linier vinkelräta mot de tre planen, bestämma dessa tre linier en solid vinkel, som benämnes den förra vinkelns solida polarvinkel. Theorem I. I hvarje trekantig solid vinkel äro två planvinklar alltid tillsammans större än den tredje. Beviset såsom i Eukl. XI. 20. Theorem II. I hvarje trekantig solid vinkel är hvarje kantvinkel supplement till en planvinkel i den solida vinkelns polar- vinkel. Om (fig. 1) IF och GK äro två af den solida vinkelns planer, A dess spets, GAB lutningsvinkeln mellan planen, äro CA och BA vinkelräta mot GF i hvar sitt plan; om vidare BA är vinkelrät mot planet IF, och DA mot planet GK, måste linierna EA, CA, BA och DA ligga i samma plan, emedan de alla äro vinkelräta mot GF. Emedan nu BAC och DAB äro räta vinklar måste AEAD + ACAB = 2r*). H. S. B. *) Med beteckningen r förstå vi en rät vinkel. AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR, 25 Theorem III. I hvarje solid vinkel är planvinklar nes summa mindre än fyra räta vinklar. Beviset såsom i Eukl. XI. 21. Theorem IV. I hvarje trekantig solid vinkel är kantvinklarnes summa större än två räta vinklar, men summan af två kantvink- lar är mindre än summan af två räta vinklar och den tredje kantvinkeln. Man konstruerar den gifna vinkelns polarvinkel. Om den gifna vinkelns kantvinklar äro A, B och C och polar, vinkelns planvinklar a, ß och y, är enligt theor. II. A = 2r-a, B = 2r-8, C = 2r-y . A + B + C = 6r - (a + B + Y). Men a + ß + γ < 4r (theor. III) A + B + C> 2r. H. S. B. Theorem V, Om två planvinklar i en trekantig solid vinkel äro lika, äro de motstående kantvinklarne lika. Om i den solida vinkeln A (fig. 2) planvinklarne BAC och BAD äro lika*), skola lutningsvinklarne mellan CAD och hvardera af BAC och BAD vara lika. Drages från en punkt B på kanten AB en rät linie BE vinkelrät mot planet CAD, och ifrån E, der denna perpendikel träffar planet, ED och EC vinkelräta mot AD och AC, blifva planen BED och BEC vinkelräta mot CAD; sammanbindes B med D och B med C, blifva BD och BC vinkelräta mot AD och AC. Det skall så- ledes bevisas, att vinklarne BDE och BCE äro lika. *) Den solida vinkeln säges i detta fall vara likbent. 26 AFD. I. 0M TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. I trianglarne EDA och BCA, äro vinklarne vid A lika (ant.), vinklarne vid D och C äro lika (båda räta) och AB är gemensam, således BD= BC, således ABDE Q A BOE, således ABDE=A BCE. H. S. B. Theorem VI. I hvarje trekantig solid vinkel är den kantvinkeln större, som står emot en större planvinkel. Om (fig. 2) A BAD > ABAC, skall det bevisas, att A BCD > A BDE. I de rätvinkliga trianglarne BAD och BAC, som hafva gemensam hypothenusa men A BAD > ABAC, är BD > BC, [ty, om A BAD vrides kring BA till dess den kommer i samma plan med BAC, kan en cirkel om- skrifvas kring den så uppkomna fyrhörningen BDAC; i denna cirkel blir kordan BD > kordan BC, emedan den står mot en större vinkel]. Vrides nu A BDE så kring BE, att den kommer i samma plan med BCE, blir CED en rät linie och BDC en triangel, i hvilken sidan BD > BC, således ABCE > A BDE. H. S. B. Theorem VII. Om två kantvinklar i en trekantig solid vinkel äro lika, äro motstående planvinklar lika. Om (fig. 2) ABCE = ABDE, är A BAD = BAC. A BAD kan ej vara större än A BAC, ty då skulle (theorem VI) A BCE > A BDE, hvilket strider mot an- tagandet. På samma sätt bevisas, att A BAD ej är min- dre än ABAC; alltså ABAD = ABAC. H. S. B. Theorem VIII. I hvarje trekantig solid vinkel är den planvinkeln större, som står mot en större kantvinkel. Bevisas på samma sätt som föreg. theorem med stöd af theor. V och VI. AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. 27 Theorem IX. Två trekantiga solida vinklar äro kongruenta eller symmetriskt lika, om de hafva två planvinklar och mellan- liggande kantvinkel styckevis lika. Låt först de lika planvinklarne ligga på samma sida om de lika kantvinklarne. Om (fig. 3) A BAC = A FEG, ACAD = GEH och mellanliggande kantvinkeln BCD = FG H, måste som den solida vinkeln A så inpassas i E, att AC sammanfaller med EG och planet BAC med FEG, äfven planet CAD sammanfalla med GEH; vidare måste linien BA samman- falla med FE, och DA med HE, emedan planvinklarne äro lika. Då BA sammanfaller med FE, och DA med HE, måste planet BAD sammanfalla med planet FEH och de solida vinklarne A och E således vara kongruenta. H. S. B. Om åter de lika planvinklarne ligga på olika sidor om de lika kantvinklarne, såsom i de solida vinklarne A och E, (fig. 3), der ABAC = A F E G1 ACAD=G,E, I, och mellanliggande kantvinklar lika, måste tydligen, om planen utdragas utöfver A, den solida vinkeln Ex blifva kongruent med den solida vertikalvinkeln till A och såle- des symmetriskt lika med A. H. S. B. Theorem X. Om två trekantiga solida vinklar hafva tvänne plan- vinklar styckevis lika, men mellanliggande kantvinklar olika, är den planvinkeln större, som står mot den större kant- vinklen. Om (hg. 4) A BAC = A FEG, A CAD = AGEH, A BCD > FGH, skall det bevisas, att ABAD > A FEH. För bevisets skull göres AC= EG, CB och CD dragas vinkelräta mot AC i hvar sitt af planen BAC och CAD; 28 AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. GF och GH dragas vinkelräta mot EG i hvar sitt af planen FEG och GEH; B sammanbindes med D, F med H. Emedan nu A BAC = A FEG, A BCA = A FG E (båda räta) och AC = EG, är A BAC 00 A FEG, hvaraf BC = FG. På samma sätt bevisas, att CD = GH: då nu ABCD > ∖FGH, måste BD > FH (Eukl. I. 24). Eme- dan vidare BA = FE, DA = HE, BD > FH, följer att ABAD > A FEE. (Eukl. 1. 25.) H. S. B. Om de lika planvinklarne hade legat på olika sidor om AC och, EG, hade på samma sätt bevisats, att ABAD > A FEH. Theorem XI. Om tvä trekantiga solida vinklar hafva planvinklarne styckevis lika, äro dr kongruenta eller symmetriskt lika. De kantvinklar, som ligga mellan lika stora plan- vinklar i de båda solida vinklarne, kunna ej vara olika, ty då skulle de båda återstående planvinklarne vara olika (theor. X). Då nu ett par kantvinklar äro bevisade vara lika, måste de solida vinklarne vara kongruenta eller sym- metriskt lika (theor. IX). H. S. B. Theorem XII. Om två trekantiga solida vinklar hafva tvä planvink- lar styckevis lika, men de återstående planvinklarne olika, är den kantvinkeln större, som står mot den större plan- vinkeln. Bevisas indirekt på samma sätt som föregående theor. med stöd theor. IX och X. AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. 29 Theorem XIII. Om två trekantiga solida vinklar hafva två kantvink- lar och mellanliggande planvinkel styckevis lika, äro de kongruenta eller symmetriskt lika. Om (fig. 5) i de solida vinklarne A och E ABAC= A FEG, lutningsvinkeln mellan B AC och BAD = lutnings- vinkeln mellan FEG och FEH, samt lutningsvinkeln mellan BAC och CAD = lutningsvinkeln mellan FEG och GEH, skola de solida vinklarne vara korgruenta. Lägges nämligen punkten E på punkten A, linien EF utefter AB och planet FEG på planet BAC, måste EG falla på AC; vidare måste planet FEHsammanfalla med planet BAD, och GEH med CAD; EH måste således ligga på samma gång i planet BAD och i planet CAD och derföre sam- manfalla med AD. De solida vinklarne äro således kon- gruenta. H. S. B. Ligga lika kantvinklar på olika sidor om de lika planvinklarne, bevisas på liknande sätt, att vinkeln E är kongruent med den solida vertikalvinkeln till A och såle- des symmetriskt lika med A. Theorem XIV, Om två trekantiga solida vinklar hafva kantvinklarne styckevis lika, äro de kongruenta eller symmetriskt lika. Konstruerar man de solida vinklarnes polarvinklar, blifva dessas tre planvinklar styckevis lika, emedan hvar- dera planvinkeln i polarvinklarne är supplement till en kantvinkel i de gifna vinklarne (theor. II). Polarvinklarne blifva således kongruenta eller symmetriskt lika (theor. XI), och således deras kantvinklar, som just äro de gifna solida vinklarnes planvinklar, lika. H. S. B. Tages en trekantig solid vinkels spets till medelpunkt för en sfer med godtycklig radie, afskära de tre planen 30 AFD. I. OM TREKANTIGA SOLIDA VINKLAR. på sferen trenne storcirkelbågar, hvilka begränsa en bugtig yta; denna bugtiga yta är en sferisk triangel. Dess sidor äro tydligen cirkelbågar af samma gradtal som den solida vinkelns planvinklar, och den sferiska triangelns vinklar äro lika med den solida vinkelns kantvinklar. En tre- kantig solid vinkel bestämmer således alltid en sferisk tri- angel, och, omvändt, en sferisk triangel bestämmer alltid en solid vinkel. Hvad som i det föregående blifvit bevisadt om solida vinklars plan- och kantvinklar, har således sin tillämpning äfven på sferiska trianglar. Häraf framgår således, att om sferiska trianglar gälla följande theorem : 1. I kvar je sferisk triangel äro två sidor alltid till- sammans större än den tredje. 2. I hvar je sferisk triangel är sidornas summa min- dre än 360°. 3. I hvarje sferisk triangel är vinklarnes summa större än två räta, men summan af två vinklar är mindre än summan af två räta vinklar och den tredje vinkeln. 4. Vinklarne vid basen i en likbent sferisk triangel äro lika stora. 5. I hvarje sferisk triangel är den vinkeln större, som står mot en större sida. 6. Om två vinklar i en sferisk triangel äro lika, äro de motstående sidorna lika. 7. I hvarje sferisk triangel är den vinkeln större, som står mot en större sida. 8. Två sferiska trianglar på samma eller lika stora sferer äro kongruenta eller symmeriskt lika, om de hafva: a) två sidor och mellanliggande vinkel styckevis lika; b) alla tre sidorna styckevis lika; c) två vinklar och mellanliggande sida styckevis lika; d) alla tre vinklarne styckevis lika. AFD. 1. EN LOGARITMS BERÄKNANDE ETC. 31 Anm. Hafva två sferiska trianglar sidor och vinklar af samma gradtal, men äro belägna på sferer med olika radier, äro de likformiga eller symmetriskt formade. 9. Om två sferiska trianglar på samma eller lika stora sferer hafva två sidor lika men mellanliggande vinkel olika, är den basen större, som står mot den större vinkeln. 10. Om två sferiska trianglar på samma eller lika stora sferer hafva två sidor lika men baserna olika, är den vinkeln större, som står mot den större basen. En logaritms beräknande i form af ett kontinuerligt bråk. - Af Ph. Den matematiskt-naturvetenskapliga lärobokskommis- sionen har bland ämnen, som borde vara af intresse för mera för sig komne lärjungar vid våra elementarläroverk, om än ej egentligen tillhörande den rent elementära kursen i algebra, nämnt ett lättfattligt sätt att beräkna en loga- ritm. Undertecknad har derför velat genom följande exem- pel påminna om ett dylikt sätt, som endast förutsätter kännedom af potenslärans första grunder, och väljer att beräkna den vanliga logaritmen för 3. Om vi sätta densamma = x, så inses af 105 = 3, att x är < 1. Sättes nu 1 (1) a =-, y 32 AFD. I. EN LOGARITMS BERÄKNANDE ETC. så måste y vara > 1, oah om i likheten 1 103 = 3 de båda lederne upphöjas till potensen y, erhålles 37 = 10. Då således y ligger mellan 2 och 3, men närmare 2, sättes (2) y = 2 +-. 2 . 1 2+1 211 Enligt potensläran ar 3 z = 3. oz = 9. 3z. Således är 10 91 =eller 3 e 9 . z (9) Då nu direkt multiplikation gifver 10 9 = 3486784401, så visar det sig, att z ligger mellan 10 och 11. Då det tyckes ligga något närmare 10, sätta vi 1 (3) z = 10 +-. 7 t Vi erhålla då 3.0,910 = 1,0460353203 eller 10 1,0460353203 = — . 9 Det förra bråkets qvadrat är 1,0941898913..."). Vi sätta derför 1 (4) t = 2 + - *) Denna och följande sifferräkningar utföras helst genom för- kortad multiplikation och division AFD. I. EN LOGARITMS BERÄKNANDE ETC. 33 och erhålla deraf 1,04603532034 = 10 9,8477090218 . . 1,0154646091 eller 1,0154646091" = 1,0460353203. Eftersom nu det förras tredje dignitet är 1,047114988 . . och värdet på u således ligger mycket närmare 3 än 2, sätta vi (5) hvilket åter gifver 1,0154646091v 1,047114988.. - 1,0460353203 = 1,001032152.. eller 1,001032152.. = 1,015464609.. . Det förras femtonde dignitet är 1,01559464.. . Vär- det på v ligger tydligen närmare 15 än 14. Sättes derför (6) så befinnes 1 v = 15----, W 1 % = 3 -- 1,001032152 %- 1,01559464.. V- 1,01546461 = 1,0001280... eller 1,0001280 .." = 1,001032152... Det förras åttonde dignitet är 1,001025 och w är så- ledes obetydligt större än 8. Vi sätta slutligen w = 8 + - . S och erhålla deraf 1 1,001032.. 1,0001280.1- 1,001025 = 1,000007.. eller 1,000007 = 1,0001280.. . 3 34 ADF. I. EN LOGARITMS BERÄKNANDE ETC. Af denna eqvation kunna vi med full säkerhet endast sluta oss till att s ligger mellan 15 och 19. Vi hafva således funnit 19 > s > 15, 2276 1800 153 6 " - 121’ 6675 5279 2276 1800 15626 , 12358 6675 > C - 5279’ 162935 128859 15626 62 12358 ' 341496 270076 162935 3 128859' 162935 128859 77107 < O < -’ 341496 270076 Om dessa sista två bråk utföras i form af decimal- bråk, så är det förra = 0,47712125471.. och det senare = 0,47712125475 . . . Vi hafva sålunda funnit 1 log 3 = 10 + 15 - 8 + o. s. v. = 0,4771212547.... Ätnöjer man sig med några få decimaler af logaritmen, kan sifferräkningen betydligt förenklas. AFD. I. BEVIS FÖR TVÅ GEOMETRISKA SATSER. 35 Två geometriska satser, bevista af P. W. ALMQUIST. »I en rätvinklig triangel är 1) qvadraten på höjden mot hypotenusan = rektangeln af hypotenusans båda delar och 2) qvadraten på hvardera kateten = rektangeln af hypo- tenusan och denna katets projektion på hypotenusan» medelst Eukl. III. 35, 36 af P. W. ALMQUIST. Låt ABC vara en triangel med vinkeln A rät. Drag från A höjden AB vinkelrät mot. hypotenusan samt upp- rita på hvar och en af triangelns sidor såsom diameter en cirkel. Den på hypotenusan uppritade cirkeln måste då gå genom A och de begge andra genom D. Utdrag slut- ligen linien. AD åt D, till dess den åter råkar cirkeln i punkten Aj. Då är enl. Eukl. III. 35 i.---------------2 AD = AD. DA = BD. DC. ■ Emedan dessutom hvardera kateten tangerar den cir- kel, som är uppritad på den andra kateten, så är enl. Eukl. III. 36 AB = BD. BC och 202 = CD, CB. En liten geometrisk undersökning. af E. B. HOLST (från Norge). Låt B B. vara en cirkel, hvars medelpunkt är C. P är en godtycklig punkt i cirkelns plan. Från punkterne B och Bi nedfällas mot räta linien CP perpendiklaune BD och BiDi. 36 AFD. I. EN GEOMETRISK UNDERSÖKNING. Sätt radien = r, CP = a, PB = Q, PB,= (1, DD1= p. Genom att upprita figuren inses utan svårighet, att r2 = BD + DC = BD + (DP-a)2 = (2 + a2 - 2a. DP och att r2 = B. D + DiO = B. D + (D P - a)2 = (? + a2 - 2a . D.P. och således 02-% = 2a(D P - Dy P) = 2a p eller 02 — 0? = 2a p. Denna enkla formel visar, att skilnaden 02 - 0; är konstant för samma värde på p, hvar än på diametern p ligger, och att den städse är proportionel mot p, huru än p förändras. Om man med radien BP slår en cirkel omkring P som medelpunkt och en därmed koncentrisk med radien B1 P, så är cirkelringens yta 7 (02 - e?) proportionel mot projektionen p af BB1 på CP. Denna egenskap kan mycket vackert användas vid lösning af uppgifter, såsom t. ex. af följande: Att med tillhjelp af koncentriska cirklar dela en gifven cirkel i n lika stora delar eller i delar, som hafva ett gtf- vet inbördes förhållande. En annan egenskap, som också lätt härledes af ofvan- nämnde formel, är följande: Ett fast system af koncentriska cirklar af skär af hvilken cirkel som hälst bågar, hvilkas projektioner på medelpunkts- linien förhålla sig till hvarandra som de motsvarande cirkel- ringarnes ytor. SATSER. 37 Satser, 1. Två parallela räta linier och en punkt utom dem äro gifna. Att draga en mot linierna vinkelrät linie så, att det afskurna stycket från punkten synes under den största möjliga vinkel. 2. I hvarje regulier n-hörning, som är inskrifven i en cirkel med radien r, är summan af qvadraterna på alla sidor och diagonaler lika med n2r2. 3. I hvarje regulier mångplaning med n hörn, som är inskrifven i ett klot med radien r, är summan af qvadraterna på alla kanter och diagonaler lika med n2r2. 4. Hvilken är den största möjliga triangel af gifven form, som kan omskrifvas kring en gifven triangel? 5. Att finna den största korda i en ellips, som kan dragas från ändpunkten af den mindre axeln. 6. Man vill uppställa följande problem: »Hvad är klockan, då vinkeln mellan tim- och minutvisaren upptager en tiondedel af urtaflan ?» Mellan hvilka fulla timmar bör frågan förläggas, för att svaret skall blifva uttryckt i helt tal af minuter? 7. En man går på trottoaren med gifven hastighet a; en vagn framrullar ett stycke bakom honom med hastig- heten β. I hvilken riktning skall mannen passera gatan, för att, utan att förändra sin hastighet, så mycket som möjligt kunna försäkra sig att icke blifva öfverkörd? 8. Man vet, att om r är den numeriskt minsta af rötterna till eqvationen 23- 14 x2 + 56x-d=0, så äro de öfriga r2 och r3; sök rötterna äfvensom d! 9. Rötterna till eqvationen 8 x3 - pa2 - 27 x + 27 = 0 bilda en harmonisk progression. Lös eqvationen och be- stäm p! 38 AFD. II. OM LIMES FÖR DEN CIRKEL ETC. AFDELNING IL Om. limes för den cirkel, som är omskrifven omkring tvenne tangenter och deras kontaktskorda. Af H. Th. DAUG. I ett bland de bästa arbeten öfver koniska sektioner, som pä sednare tider blifvit utgifna, förekommer ett miss- tag, som torde förtjena uppmärksamhet. Sedan nemligen författaren bevisat Burnsides theorem, att diametern i den cirkel, som är omskrifven omkring en triangel, bildad af två tangenter till en med centrum försedd andre grads O" , kurva och deras kontaktskorda, är -, då 6',b" äro half- diametrar, parallela med tangenterna, och p perpendikeln från centrum mot kontaktskordan, säger han: expressionen för radien till oskulerande cirkeln kan erhållas genom att supponera de båda tangenterna sammanfallande. Det är detta yttrande, på hvilket jag syftat. Det har ett egen- domligt intresse, derföre att det åtminstone vid ett flyktigt betraktande synes vara rigtigt och dock i sjelfva verket är falskt, och det kan lända till en varning att icke vid limesöfvergångar företaga ändringar i afseende på de qvan- titeter eller expressioner, för hvilka limites sökas, äfven om dessa ändringar skulle ha skenet för sig, under det att rättigheten till dem är obevisad. Påtagligen har författaren raisonnerat på följande sätt. Vid limesöfvergång samman- falla kontaktspunkterna och tangenternas skärningspunkt. AFD. II. OM LIMES FÖR DEN CIRKEL ETC. 39 Sålunda erhålles en cirkel, som går genom tre samman- fallande punkter, alla belägna på andre grads kurvan, d. v. s. hennes oskulerande cirkel. Men han har dervid förbisett, att dessa tre punkter, först då de sammanfalla, äro belägna på andre grads kurvan, och att de icke ligga der alla tre redan före limesöfvergången, hvilket är nödigt, om han utan att göra någon serskild undersökning skall kunna påstå, att ifrågavarande cirkel är identisk med den oskulerande. Att den icke det är, kan ses af nedanstående kalkyl, som derjemte anger det enkla samband, som eger rum mellan de båda nämnda cirklarna. Tangenten i punkten x, y är _ 7-y=D(-a), der således 7 =V = . Tangenten i x+x, y+dy är n —y — dy = (p+ 4p) (5 — x — dx). Skärningspunkten mellan tangenterna är således (p+4p)4x-dy 54 p ’ . (p+4p)4x - dy Den cirkel, som är omskrifven omkring tangenterna och kontaktskor dan, bestämmes följaktligen genom eqva- tionerna (# - «)2 + (1 - 3)2 = 02 (5 — x - 4x)2 + (1—y - 4y)2 = ρ2 - (p+4p)4x-4y2. ((p+4p)4x-4y)3 2 eller, som är detsamma, genom (# - a)2 + (1 - y)2 = (2 zdx2+dy2 (§ — x) 4x + (1 - y) Δy = o 40 AFD. II. OM LIMES FÖR DEN CIRKEL ETC. 5-x+(-yp=(1+p)(p+41) 4z-4y. 0 . 4 24p Af de båda sista erhålles 4x, Λy 1, p (§ — x) = 1 0 + A x2 + Ay2,4y (1+192da4 + d + p24=,l - “1, 7 (- 4(1 +n) 4p +44c -+p4y). hvaraf 5=c-4(1 + p—+4x-104y , 4p * ‘ och således äfven 77=y +:(1 +D2)2 +ipdc+ 14y . Genom limesöfvergång får man sålunda =-41 +λ⅛ = *-41+ y2). % =y+1+p27 =y+i(l+y2). — 2 _, (1 + y23 0 = 4—‘ 3 Emedan koordinaterna för centrum och radien i osku- lerande cirkeln äro bestämda genom eqvationerna #, =a-(1+y2" 71 = y+(1 + y2)-, 9 : (1+ ∕2)3 01 = —-2 ’ 3 synes vid jemförelse mellan de båda eqvationsgrupperna, att limes för den cirkel, som är omskrifven omkring tvenne AFD. II. OM LIMES FÖR DEN CIRKEL ETC. 41 tangenter och deras kontaktskorda, har hälften så stor radie, som oskulerande cirkeln, och sitt centrum beläget midt emellan punkten , y och centrum curvaturæ — att de båda cirklarne följaktligen icke äro identiska. Till detta samma resultat kan man komma utan all kalkyl, om man känner, att intersektionen mellan två konsekutiva normaler är centrum för oskulerande cirkeln, ty i sådant fall behöfves endast följande enkla raisonne- ment. De båda tangenterna och normalerna i deras kon- taktspunkter bilda en fyrhörning, som har två motstående räta vinklar och derföre kan inskrifvas i en cirkel. Denne cirkel, som tydligen är identisk med den, för hvilken limes sökes, går således igenom normalernas intersektions- punkt och har till diameter den räta linie, som samman- binder sistnämnde punkt med tangenternas skärningspunkt. Öfvergår man nu till limes, blir denna diameter normal, och cirkeln får sålunda sitt centrum beläget på normalen, midt emellan punkten x, y och oskulerande cirkelns medel- punkt, hvilket just var det, som genom ofvanstående kal- kyl visades. Försök till en kort, för praktiskt behof lämpad framställning af de elliptiska funktionerna. Af Göran Dillner. Inledning. För den, som icke företrädesvis egnat sig åt matema- tiken utan hufvudsakligen sökt att skaffa sig nödiga för- studier för en vetenskap eller ett yrke, hvarpå matematiken har sin tillämpning, torde närvarande försök icke sakna 42 AFD. IL OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. intresse. Vanligen afslutar man sina förstudier inom mate- matiken utan att ha varit i tillfälle att göra någon när- mare bekantskap med de elliptiska funktionerna, hvarvid de vidlyftiga och ofta nog svårlästa arbetena öfver detta ämne synts erfordra mera tid och arbete än en person med annat studiimål än den rena matematiken ansett sig kunna offra. Emellertid har bruket af dessa funktioner trängt in i matematikens syskonvetenskaper, fysiken, meka- niken och astronomien, så att en person, som egnar sig åt någon af dessa vetenskaper, numera har ett oafvisligt behof att känna åtminstone den praktiska användningen af dessa funktioner. Den grund, hvarpå den fullständiga teorien för de elliptiska funktionerna hvilar, ligger betyd- ligt djupt och bildar en kedja af satser, hvilka icke alle- nast omfatta dessa funktioner utan äfven en obegränsad mängd andra af analog natur. Det är genom uppdagandet af nya fält inom denna grund som de vigtigaste upptäck- terna inom teorien för de elliptiska funktionerna blifvit gjorda, hvilka upptäckter på samma gång utgjort eröfringar inom ett vida mer omfattande område af den matematiska vetenskapen. Det ligger i sakens natur, att en framställ- ning i närvarande syfte måste inskränka sig till ett mini- mum af teoretiska förutsättningar eller till jämnt så mycket, som erfordras för att med tillbörlig stränghet utveckla de räknelagar, som äro oundgängligen nödvändiga för det praktiska bruket af dessa funktioner. Dessa förutsättnin- gar reduceras i sitt knappaste mått till de första elementen af differential- och integralkalkylen jämte det för dessa element erforderliga grundlaget i eqvations teori och ana- lytisk geometri. Såsom belysande exempel på möjligheten att framställa en matematisk teori inom ett visst begrän- sadt område med ett jämförelsevis ringa förråd af förut- sättningar mot hvad samma teori skulle erfordra, ifall hon framstäldes i sin fullständigaste form, kunna tjena de tri- gonometriska funktionerna. Dessa funktioner, ehuru hvi- lande i sin största allmänlighet på samma grund som de AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 43 elliptiska (hvaraf de i sjelfva verket äro species), låta dock med tillhjelp af cirkeln och några enkla räkningar utveckla sig till det omfång, som svarar mot det praktiska behofvet. Likaså kan man med en i förhållande till ämnets större vidlyftighet enkel geometrisk konstruktion utveckla de elliptiska funktionerna till ett motsvarande omfång, hvarvid endast sådana räkningar tagas i anspråk, som ligga inom ofvan angifna förråd af förutsättningar. Naturligtvis bör man icke förbise den olika gången i historisk utveckling af dessa två slags funktioner, enär nämligen de trigono- metriska i sin första början blifvit framstälda genom geome- trisk konstruktion, hvaremot de elliptiska framträdt som en frukt af den högre kalkylens utveckling, framkallande genom sina på kalkylens väg redan funna egenskaper en deremot svarande geometrisk konstruktion. I inledningen till närvarande försök torde det vara på sin plats att framlägga en kort historik öfver de ellip- tiska funktionernas grundläggning och utveckling, hvarvid de store män, som lagt grunden och de som sedermera bygt På densamma, bli i någon mån för läsaren bekanta. Det första fröet till de elliptiska funktionernas teori spå- rar man redan hos Johan Bernoulli (1667—1748) i hans undersökning af integralen till differential eqvationen d dy . ------ = -----=== , huruvid han anmärker, att de re- Na2±x2 ~ a2±y2 sultat, som han funnit rörande de trigonometriska och exponentiela funktionerna, antagligen låta generalisera sig. Grefve Fagnano (1682—1766) »en italiensk matemati- ker af utomordentligt skarpsinne», kom vid studiet af lemniskatan att finna integralen till differential eqvationen -= = -==== = 0 (A = ± 1), samt utvecklade ~/1+Ax4 V1 + Ay4 ' derur några vigtiga satser rörande rektifikationen af lemni- skatan, ellipsen och hyperbeln. Med ledning af Fagnanos undersökningar lyckades Euler (1707—1783) upptäcka inte- 44 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. grälen till differential eqvationen - + — =0, derf(x) = = V Ax4 +Bx3+Cx2+Dx+F, hvarigenom »additionsteore- met» framstod för första gången såsom generelt bevisadt. En engelsk matematiker Landen (1719—1790) upptäckte den efter honom kallade »Landenska transformationen», enligt hvilken det blef möjligt att på ett enkelt sätt be- räkna de numeriska värdena af de funna integralerna. Lagrange (1736—1813) visade sättet att reducera en hel klass af algebraiska differentialer till vissa normaltyper, som kunde integreras enligt den nya metoden, samt fram- stälde under en elegant form det af Euler funna additions- teoremet, hvarvid han upptäckte den geometriska konstruk- tionen af samma teorem förmedelst den sferiska triangeln. Den, som dock får anses för denna teories egentlige grund- läggare, är Legendre (1752—1833), om hvilken en nyare geometer (Lejeune-Dirichtlet) yttrar: »det är Legendres oförvanskliga ära att ha kommit till insigt derom, att de upptäckter, som blifvit gjorda, innebure fröet till en vigtig gren af den matematiska analysen». Legendre offrade 40 år af sin lefnad för att ordna, bearbeta och föröka det gifna materialet, hvarvid han införde en bestämd algoritm att representera de tre normaltyper, kända under namn af elliptiska integraler af l:a, 2:a och 3:e slaget, hvartill en vidsträckt klass af integraler läto ytterst reducera sig. Han företog sig det oerhörda arbetet att tabulera de två första af dessa normaltyper, hvarvid han nedlade frukterna af sin beundransvärda flit i sitt stora verk, Traité des fonctions elliptiques, 2 vol. in 4:0, Paris 1825, 1827, hvartill seder- mera kom ett supplement band, innehållande en utvidg- ning af det behandlade ämnet, föranledd af Abels och Jacobis då nyligen gjorda upptäckter. Legendres arbeten hade blifvit mottagna med likgiltighet i hans eget fäder- nesland, och det är rörande att läsa om den tillfredsstäl- lelse den gamle mannen erfor mot slutet af sin lefnad, då AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 45 lian såg sig ha banat väg för de nya uppslag inom de elliptiska funktionernas teori, hvilka öppnades af Abel och Jacobi *) och hvilka gåfva nämnda teori det väsendtliga af den fulländning, hvaraf hon nu är i besittning. Legen- dres arbete är på ett förtjenstfullt sätt sammandraget i läroboks form af belgikern Verhulst i hans Traité élémen- taire des fonctions elliptiques (Bruxelles, 1841). — En man, som trängt djupt in i grunderna för de elliptiska funktio- nernas teori, är Gauss (1777—1855), ehuru hans arbeten i denna riktning, såsom icke i behörig tid bekantgjorda, blefvo' utan något märkbarare inflytande på gången af denna teoris utveckling. Hans forskningar i detta ämne gå tillbaka ända till 1798, och enligt eget vittnesbörd**) hade han fun- nit många af de upptäckter, som Abel och Jacobi seder- mera hvar för sig gjorde och ungefär samtidigt publicerade. Ett nytt skede i utvecklingen af de elliptiska funk- tionernas teori inleddes af Abel ***) (1802—1829) och *) Jfr. Abel, Oeuvres Complètes, Tome I, pag. VIII. **) Jfr. Abel, Oeuv. Compl. Tome I, pag. VII. ***) yl kunna icke underlåta att för läsaren framlägga några no- tiser om Abels lefnadsomständigheter dels för hans utomordentligt stora vetenskapliga betydelse dels ock derför, att han såsom norr- man bör ha ett särskildt intresse för oss svenskar. Niels Henrik Abel föddes i Findö församling af Christiansands stift, der hans fader Sören Georg Abel var prest. Vid 13 års ålder började han studera vid Christiania katedralskola utan att de tre första åren af sin skoltid fästa någon särskild uppmärksamhet för begåfning. Kom- men sedermera under den utmärkte matematikern professor Holm- boes ledning hängaf han sig åt matematikens studium med ett så brinnande intresse och en sådan framgång, att han vid 19 års ålder, då han aflade examen artium (studentexamen) hade genomgått Eulers Institutiones Calculi differentialis et integralis, Lacroix’, Francoeurs, Poissons, Gauss’ och i synnerhet Lagranges arbeten, samt började sjelf försöka sig som författare. - Underhållen de fyra första åren af sin studenttid (hans fader hade nämligen dött i fattigdom) dels genom sammanskott af några för vetenskapen nitälskande professorer dels genom ett af regeringen på förslag af det akademiska konsistoriet beviljadt understöd, fort- 46 AFD. π. 0M ELLIPTISKA FUNKTIONER. Jacobi (1804—1851) genom deras samtidigt gjorda upp- täckter rörande den s. k. transformationen (en generalise- ring af den Landenska) och den derpå fotade utvecklingen satte Abel vid Christiania universitet med samma brinnande intresse sina vetenskapliga studier. Vid 22 års ålder skref Abel sin beryk- tade mémoire öfver »omöjligheten af en generel 5:te grads eqvations lösning», som enligt Legendres utsago »bör betraktas som den största upptäckt, hvilken återstod att göra inom analysen». 1825 hugnades Abel med ett af regeringen beviljadt tvåårigt utrikes resestipendium (600 sp. för år) för att fullfölja sina vetenskapliga forskningar företrädesvis i Paris. Efter att ha uppehållit sig någon tid i Berlin (der han gjorde bekantskap med ,den utmärkte Crelle, i hvars journal han blef en flitig medarbetare) samt några andra orter, anlände han i juli 1826 till Paris, der han dröjde till jan. 1827, hvarefter han öfver Berlin styrde kosan till hemmet, der han inträffade i maj samma år. I bref till sin lärare Holmboe (Paris, 26 okt. 1826) om- nämner Abel bland annat sin bekantskap med Cauchy med följande ord: »Cauchy är den bland matematikerne, som bäst vet, huru mate- matiken för tillfället bör behandlas», ett yttrande af ett sekular- snille om ett annat, som förtjenar omnämnas. I samma bref om- nämner han den mémoire (om en viss klass af transcendenta funk- tioner), som inlemnades till franska Institutet den 30 okt. 1826, med följande ord: »Jag vågar säga utan skryt, att det är en afhand- ling, hvarmed man skall bli nöjd.» Denna mémoire, hvilken icke före- kommer i Abels samlade skrifter (utgifna 1839) men finnes tryckt i Mé- moires présentés par divers savants à l’Institut de France (1841), torde innehålla en af de mest storartade upptäckter, som någonsin blifvit gjorda inom matematiken. Då man besinnar, att en sådan man som Euler hade att bekämpa stora svårigheter för att finna förut om- nämnda integral, så kan man icke nog beundra den 24-årige Abels utomordentliga snille, som i ett enda slag visade sättet att integrera en algebraisk differential af hvad natur som helst. Abels sedermera afhandlade additionsteorem för de elliptiska funktionerna, om hvilket Legendre säger, »att det i analysens djup, resultatens skönhet och allmänlighet öfverträffar allt hvad Abels dittills publicerat», utgör blott ett specielt fall af det i denna mémoire behandlade generela teoremet. Samma teorem med en kort antydan till bevis finnes i Abels samlade skrifter Tome I, pag. 324, och bär — märkligt nog — datum den 6 jan. 1829, således vid tiden för hans sista insjuknande. Månne letta innebär, att Abel med förkänning af sitt nära förestå- ende slut, velat bevara åt efterverlden sitt märkvärdiga teorem, ifall AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 47 af de elliptiska funktionerna i produktserier, hvarifrån Jacobis beryktade © funktion (hvilken numera börjat vinna insteg i läroböckerna) ledde sitt ursprung. Genom en grundlig undersökning af det s. k. inversionsproblemet (den öfre integrationsgränsen betraktad som funktion af integralen) lade Abel en fast teoretisk grundval för de nya upptäckterna, hvarför ock Jacobi inrymde åt sin med- täfare den förnämsta förtjensten om dessa, då han säger: »Abels stränga deduktion är öfver mitt beröm, liksom den är öfver mina arbeten» *). Jacobi nedlade frukterna af sina forskningar i sitt vidtberömda arbete: Fundamenta nova theories fonetionum ellipticarum (Königsberg 1829), hvaremot Abel, som icke ansåg sig kunna finna någon för- läggare för ett större sammanhängande arbete, publicerade sina förnämsta upptäckter i Crelles- och Schumachers jour- naler. År 1830 utdelade franska Vet. Akademien till lika fördelning mellan Abel och Jacobi sitt stora matematiska pris (3000 francs) för deras förtjenst om de elliptiska funk- tionerna, hvilken utmärkelse således träffade Abel först efter hans död. Det rika material i de elliptiska funktionernas teori, som blifvit lemnadt af Legendre, Abel och Jacobi, fram- den till franska Institutet lemnade mémoiren af en eller annan orsak skulle hemfalla åt glömskan? — Efter ankomsten till hemmet fortsatte Abel att skrifva sina vetenskapliga afhandlingar, hvilka publicerades hufvudsakligen i Crelles journal och väckte den vetenskapliga verldens beundran. 1828 blef han förordnad att förestå Hansteens professur under dennes resa i Siberien. Ett begärdt anslag för hans anställ- ning vid Christiania universitet som extra ord. professor afslogs af Stortinget, hvilket afslag lär ha gått Abel djupt till sinnes. På re- kommendation af några tyska vetenskapsmän hade Abel blifvit kallad till en matematisk professur vid universitetet i Berlin; men innan kallelsebrefvet hann afsändas inlopp underrättelsen om Abels timade död den 6 april 1829. Abel blef begrafven på Frolands kyrkogård (nära Arendal), der några af hans vänner och beundrare reste ho- nom en minnesvård af jern. *) Jfr. Abel, Oeuv. Compl. Tome I, pag. VIII. 48 AFD. π. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. kallade den mest lifliga och intresserade verksamhet bland den tidens mera framstående vetenskapsmän, synnerligen som Abels upptäckter voro fotade på en så bred grund, att man derpå kunde bygga en analog teori för en ny synnerligen vidsträckt klass af funktioner, kända under namn af Abelska transcendenter. Med de storartade vyer, som öppnades af Cauchy (1789—1857) genom hans fundamental upptäckt rörande integraler, tagna längs slutna konturer, har de elliptiska funktionernas teori undergått en väsendtlig för- enkling, så att hon numera kan anses bilda blott ett en- skildt kapital af en vida allmännare teori, som det synes vara vår tid förbehållet att bearbeta och utveckla. En framställning af de elliptiska funktionernas teori med till- lämpning af Cauchys fundamentalsats är gjord af Briot et Bouquet i deras Théorie des fonctions doublement périodi- ques, Paris 1859, samt i deras Théorie des fonctions ellip- tiques Paris 1873 (premier fasticule), hvilket senare arbete synes vara af stor förtjenst. — Skulle närvarande lilla för- sök hos någon eller några af Tidskriftens läsare lyckas väcka intresse för ett vidare studium af den höga teori, som räknarLegendre, Abel, Jacobi och Cauchy för sina förnämsta grundläggare, så vore författarens möda väl be- lönad. (Forts.) Härledning af ett par inom Differentialkalkylen förekommande formler. Af Μ. FALK. Efter den synnerligen stränga och goda härledning af här nedan i teorem II bevisade formel, hvilken blifvit fram- ställd af D—g i Tidskrift för Matematik och Fysik för år 1859 häft. 5, kan icke närvarande uppsats göra anspråk AFD. Π. ETT PAR FORMLER I DIFF. KÅLK. 49 på att innehålla någon förbättring i afseende på härled- ningssätt; dess afsigt är ock en helt annan neml. att genom enkla geometriska betraktelser uppvisa de här nedan be- handlade formlernas giltighet och giltighetsvilkor. Dock torde älven detta icke sakna allt intresse i synnerhet på grund af den åskådlighet, som alltid medföljer deu geome- triska härledningsvägen. I följande teorem mena vi med f (x) en för alla x mellan a och a+h kontinuerlig funktion och med f(a) och f(a+h) resp, lim f(a + 8) och f(a+h — 8) för ett vilkoret h e > 0 uppfyllande mot noll konvergerande 8; om dessa gränsvärden fordra vi äfven, att de äro ändliga och fullt determinerade. Derjemte fordra vi, att f(x), då x varierar från a till a + h, icke ändrar sig språngvis samt är liksom f(x) ensvarig, men kan få blifva oändlig mellan gränserna, dock utan teckenvexling i sina oändlighetspunkter, oeh i gränspunkterna förhålla sig på hvad sätt som helst- Då gäller följande Teorem l. Om a1 är någon viss mellan a och a + h belägen qvan- titet, så har man alltid J(a+I)-/(a)= N/(a) . . . . (1). De om f (x) och f'(x) nyss framställda vilkoren inne- bära, att y =f(z) bildar en enda sammanhängande kroklinie från x = a till x =a+ h, samt att denna del af kroklinien i ingen mellan dessa gränspunkter belägen punkt är bruten eller har mer än en ordinata. Deremot kunna inflexionspunkter få finnas, t. o. m. sådana, att tangenterna i dessa punkter äro paral- lela med y-axeln (d. v. s. f‘(x) oändlig). Lägger man då genom dessa gränspunkter på kroklinien en rät linie BA (fig. 6), så måste densamma antingen hafva bågen AB af 4 50 AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. kroklinien hel och hallen på sin ena sida eller ock halva någon eller några mellanliggande punkter gemensamma med nämnda båge, och således i alla händelser ett stycke af denna båge, begränsadt af två punkter på den determine- rade räta Linien A B, ligga belt och hållet på ena sidan om densamma räta linien. Då inses genast af figuren, att tangenten i en punkt af detta bågstycke (vare sig att det är hela bågen A B eller blott en del deraf) måste hafva en vinkelkoëfficient, som varierar utan språngvisa ändrin- gar, då tangeringspunkten beskrifver denna bågdel, och har i minst en af dessa punkter ett större och i minst en annan ett mindre värde än vinkelkoëfficienten för den räta linien A B. Det gifves alltså, enär f'(x) varierar utan språng under denna rörelse af tangeringspunkten, minst ett x-värde C1 mellan a och a + h, för hvilket man har f(aj) .- BCO = vinkelkoefficienten för AB, d. v. s. - = f (a ) eller AC • f(a + h) -/(a) er 7 ≈∕⅛). hvarur (1) följer genom multiplikation med h, h. s. b. Anm. Att f'(x) ej behöfver vara kontinuerlig mellan a och a + h utan kan få vara sådan, som den här blifvit antagen, har blifvit påpekadt af Ossian Bonnet, såsom man kan inhemta af Serret's Calcul Différentiel § 14. Teorem II. Om jemte den förut begagnade funktionen f(x) äfven en annan funktion 9 (x) är gifven, sådan att 9 (x) och 9'(x) uppfylla samma vilkor som f(x) och f(x) och der- jemte 9'(x) ieke vexlar tecken och ej heller är oupphörli- gen noll mellan a och a + h, så har man /(a +I)-/() _ /() 225 9(a + hi) - 9p(a) 9'(aj) ’ • • ' (2) der aγ ligger mellan a och a + h. AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. 51 Ty, om man sätter t = 9 (), så kommer t att antingen ständigt växa eller ständigt af- taga, under det att x rör sig från a till a + h, och som 9 (x) varierar kontinuerligt med x, kommer ock t att variera kontinuerligt. Enligt föregående eqvation får man ock f (x) att blifva en funktion af t, kortl. J(d) = V(). Då x varierar kontinuerligt och i bestämd led från a till a + h, kommer äfven f(x) att variera kontinuerligt, hvilket enl. föregående undersökning af variationen hos t betyder, att y(t) varierar kontinuerligt med t inom det intervall af t-värden, som hör tillsammans med x-interval- let från a till a + h. Inom detta t-intervall blir alltså w(t) en kontinuerlig funktion af t. Man får nu ur föregående eqvationer, då x betraktas som funktion af t vid deriva- tionen af eqvationen ((t) =f(a), eller W()= Y@). 9 (x) Af denna eqvation synes, att 4'(t) uppfyller såsom funktion af t samma vilkor som f"(x) såsom funktion af , blott icke f'(x) för något a vexlar tecken (hvilket den enl. antagende endast kan göra, i det den passerar värdet noll) på samma gång, som 9'(x) blir = 0, och detta t. o. m. så \ - att för ett sådant x qvoten J blir oändlig. Detta vil- - 9(a) 0 kor antaga vi nu vara uppfyldt och observers derjemte, att det alltid är uppfyldt, om ç’(x) ingen gång blir = 0 mellan x = a och x = a+h. Sätter man då to = 9(a), to + k = 9(a + h). 52 AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. så har man äfven /(a) = V(o) „/( + 1) - V(o + k) • Då ger teorem I användt på funktionen w (t) formeln v(o + 7) - V (%a) = V'(), der t ligger mellan to och to + k och således motsvarar ett visst X = a beläget mellan a och a + h. Sista eqva- tionen blir då enligt de föregående ,f(a ) f(a + h) — f (a) = [g (a + h) — ( (a)] 2 , 0 2-9'(C1) hvaraf fås eqvationen (2) genom division med qvantiteten gp (a + h) — φ (a), hvilken division nu tydligen är tillåten, enär antagandet om g'(x) ej tillåter, att denna divisor har värdet noll. Vår sats är alltså bevist. Teorem III. Om f(x), f,^ ,., J"(x), 9(x), 9(x) 9p( (a) uppfylla samma vilkor som förut f(x), och f n+1(x) samma vilkor som förut f'(x) samt derjemte 9(x), g“(x),... ; g(n+1(x) nu uppfylla samma vilkor som q(x) i föregående teorem II, så har man f(a + h) - f(a) _f("+1(an+1) 31 9p(a+h)-9(a) g("+1(an+1) ’ ’ 9 der an+ι ligger mellan a oeh a + h, blott man tillika har f∖^=f∖^ ■ ■ ■ -f^ 4). 9(a) = 9"(a) =... = sp""(a) = 0 5 Ty genom upprepad användning af teorem II får man suce essive /(a + h)—f(a) _ Z⅛) = 9(a + h) - 9(a) 9'(aj) - /(,) - J'(a) _ /"(ay) _ ψ'M - 9'(a) 9"(ag)" AFD. H. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. 53 _ /(y)—/"(a) = /"(a,) _ 9"(aq) " 9"(a) 9"(aa) _ f(") (an) — f (")(a) - f"+1(an+1) 9""(am) - 9p"")(a) gp(+1)(aw+1) ’ der den märkliga regeln gäller, att α1 ligger mellan a och a + h, C2 mellan a och C1, C3 mellan a och C2, ..., an+1 mellan a och an och således äfven an+i mellan a och a + h, h. s. b. . Korollarium. Om f(x), f(x) , ... , f"++1(x) uppfylla samma vilkor som i teorem III, äfven vilkoren (4), så har man hn+1 Ja + 1) -/(a) = n+qf"+P(n+1) . . . (5), der an+1 ligger mellan a och a 4- h. Ty sättes i formeln (3) ç(x) =(x — a)"+1, hvilken jemte sina derivator tydligen uppfyller vilkoren i teorem III, så erhålles 9(+1)(x) = m+1 9 (a + h) - , (a) = h"+1, hvarför formeln (3) ger /(a + 1) — J(a) = f01+D(an+1) h"+1 +1 " hvaraf eqvationen (5) framgår genom multiplikation med h"+1. Obs. Som ingen af 9(x), "(x),... , g(+1(x) här blir noll för x beläget mellan a och a + h, så är tydligen formeln (5) sann, blott f(x), f'(x), ... „fo" (x) förhålla sig som /(x) i teorem I och f"+1(x) som f'(x) i samma teorem och tillika f"(a) =f"(a) =... = ∕⅜0 = 0 . 54 AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. Att dessa sista eqvationer äro satisfierade betyder här icke, att de ifrågavarande derivatorna äro kontinuerliga för T=a, utan blott att (för r=1, , n) ' lim fv(a + é) = 0 , 8 = 0 då 8 uppfyller vilkoret ht > 0. Derjemte behöfver icke f"+1(x), såsom vi minuas från vilkoren om f'(x) i teorem 1, ens vara ändlig för allamellan a och a + h utan blott variera utan språngvisa värdeförändringar. Anm. I. Då formeln (3) användes att bevisa regeln för uppsökandet af gränsvärdet af en qvot, som antager genom direkt insättning af x = a den indeterminerade for- 0 . . men - , så måste undersökningen göras oberoende af teck- net hos h, hvilket da inför vilkoret, att f(c), f(x), ..., f"(x), ç(x), ç(x),... ,y "(x) skola vara kontinuerliga för sjelfva gränsen x = a, ty då måste eqvationerna (4) uppfattas såsom lika betydande med (r = 1. 2 ,... ») lim fr(a + «) = 0 lim 9p(v(a + 8) = 0, der ht > 0 nu, enär vi här skola betrakta bade positiva och negativa h, nödgar oss att betrakta både positiva och negativa 8. Derjemte fordras här naturligtvis /(«) = 0 9(a) = 0, för att qvoten skall antaga formen 0 Uppfattades icke vilkoren (4) och de sist skrifna på nu angifna sätt, finge då x från en bestämd sida konvergerar mot a, men ingen- ting hindrade då, att denna qvot kunde få ett annat gräns- värde, då x från andra sidan tenderade mot a; och i detta fall vore qvotens värde för x = a icke fullt determineradt. AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. 55 Anm. II. Då eqvationen (5) begagnas för att bevisa regeln för uppsökandet af en funktions maximi- eller minimi-värden, måste äfven samma vilkor införas som i föreg. anmärkning om f(x), f"(x), ..., f("(x), men icke om fn+(x). På grund deraf kunna vi ur (5) med den vidsträckta giltighet, den enligt vårt bevis har, finna, att, om för x = a en funktion jemte dess n första derivator är kontiuerlig, så gälla derom följanda satser i maximi- och minimi-teorien, neml. 1. Om. dcn första för x = a icke försvinnande deri- vatan f w++1)(x) är kontinuerlig för detta x, så är f(a) hvarken max. eller min., om n är jemnt; men är n udda, så är f(a) max. eller min., allteftersom f+1(a) är < 0 eller > 0; 2. Om den första för x = a icke försvinnande deri- vatan fw+1(x) är diskontinuerlig för x = a, så är f(a) eller är icke max. eller min. om n är jemnt, allteftersom denna derivata, då x passerar värdet a, byter eller behåller sitt teckeu. Är åter n udda, så är f(a) eller är icke max. eller min., allteftersom f+1(x), då x passerar värdet a, behåller eller ändrar sitt tecken. Dessa satser finnas i Zeitschrift für Mathematik und Physik för år 1868, häftet 6 i en uppsats af Prof. Klein- feller i München; desamma innehållas ock i den teori för maxima och minima, som Prof. Hj. Holmgren framställt i Tidskrift för Matematik och Fysik för samma år häft. 1 och 2. Stundom förekommer ock i maximi- och minimi- teorien en uppgift om, att alla funktionens slutpunkter äro maximi- eller minimi-punkter, en sats hvars sanning, för så vidt det är fråga om en verklig slutpunkt, d. v. s. ett ändligt fixeradt x-värde, är obestridlig, men om hvilken förtjenar observeras, att den deremot ieke är sann, om man äfven anser x = + 0o eller χ = — oo bestämma slutpunkter. Satsen är neml. i detta senare fall icke nöd- vändigt sann på den enkla grund, att ett oändligt x icke fixerar någon bestämd punkt; och denna satsens ohåll- 56 AFD. II. ett PAR FORMLER i DIFF. kalk. barhet i senare fallet inses omedelbart af följande exem- pel, neml. J(x) = 1 sin., der /(oo) - 0 tydligen hvarken är max. eller min., enär, då x växer obegränsadt, funktio- nen oupphörligt oscillerar pä bada sidor om värdet noll, under det att oscillationsgränserna blifva oändligt små, på samma gång som r blir oändligt stort. Funktionen blir således aldrig, då x växer obegränsadt från ett visst till- räckligt stort värde, ständigt växande eller ständigt afta- gande, och just derför är den hvarken maximum eller minimum för a = 0o. Anm. III. Sätter man i (2) /() - Fa +4)-F(g)- (1+h) Ty) . . .-(*kp 1w() . så måste samma vilkor här gälla om F(x), F"(x),.. ., F( "(x) som i teorem I om f(x). och samma vilkor om F(w+1(c) som der om f'(x). Då ger formeln (2) Taylers serie ut- tryckt på följande sätt neml. F(a + 7) = F(a) + - F(a) +. + — F(n(a) + R . der # = 1"(1-9)" . 9(a+l)-g(a) Fu+e+5l) 2 9'(a + 9h) 5 7 är den Schlömilchska resttermen (a1 = a + 9h). (0 < 9 <1). Här förtjenar observeras, att denna härledning af Taylors teorem ej fordrar kontinuitet hos F(x), F(x). ..., F"(x) för x = a utan blott mellan x = a och x = a + h, men deremot att man för r = 0, 1,2 , . . . n har ett fullt bestämdt gränsvärde för 8 = 0, då h a > 0, hos F'r(a + 8) och att just detta gränsvärde föreställes af F(r(a). Derjemte fordras ingenting om F("+1(a), men deremot att F(w+1(x) icke ändrar sig språngvis (dock kan den få bli oändlig utan teckenvexling), då x går från a till a + h. Allt detta har nu blott afseende på funktionens utveckling i en serie med ett ändligt antal termer; hur frågan gestaltar sig för AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KYLK Di utveckling i oändlig serie lemnas åt läsaren att sjelf utfinna, hvilken undersökning icke utbjuder några egentliga svårig- heter. Resttennen blir _ h"(1—9)” y(he) — %(0) - w[(1-9)] F"+l(a + 9h) , om nian sätter g(x) = y(a + h — x), och ur denna fås åter de vanliga restformlerna för V(.) =02 0) och spe- 0 T p+1- ciela antaganden angående p, som bekant är. Den La- grange’ska restformeln 7 n+1 R. = — Fn+1(a+9h) n+l v - får för p = n. Ex. F(v)=(x-0)5, F(~)=34 yl. Taylors teorein ger här för n = 0 F(a + 7) - F(a) + F(a + 91) , då Lagrange’ska resttermen användes, eller (a - b + h)s =(a-b)3 + ————272 3(a — b + 9h)3 och vi vilja nu i detta exempel uppvisa, att 9 är ett posi- tivt egentligt bråk, äfven då b ligger mellan a och a+h. ehuru f(b) = + oo visar, att f"(x) då blir oändlig mellan a och a + h. För att nu a och a + h skola mellan sig hafva värdet b, sätta vi a =b-c,a + h = b +mc , der då m måste vara en positiv qvantitet. Derigenom öfvergår ofvanstående eqvation, då a och h bortskaffas, till m 3 1 + m --—2 3(m9 + 9 — 1)3 ' 58 AFD. II. ETT PAR FORMLER I DIFF. KALK. hvaraf (m 9 + 9 - 1)2 - (1 + 7)3 27(1 + wh)3 hvaraf åter 9.2 1 1/1+m. ' 1+mV 27(1 + m+)3 Kallas dessa 9-värden 91 och 92, så bar man ι ι∕ι 1+m 1 1/1 Lt- 1 + m° V 27 1+m+3m*(1+m+) 1+ mn V 27 1 + m 1 1/1 1 1 0 < 9 < -— + 5 < —— + = , 1 1 + mn Y 27 1 + mn 5 hvaraf synes, att 91 är ett positivt egentligt bråk åtmin- ’ 1 stone för alla m S 7 : Hvad he tern a 1 - . - 1 + m 2 1 + mn • 27 (1 + 4)3 1 + m Y 27 beträffar 9.2, så hafva vi, som lätt inses, olik- 1 1 1 1 1 eller > J. > —, 1 + m ■ 1 + m 5 hvaraf inses, att 9, är med säkerhet ett positivt egentligt bråk för alla positiva m S 4. Af denna undersökning synes nu, att för hvarje posi- tivt m är antingen 9 eller 92 ett positivt egentligt bråk, och att t. o. m. båda dessa 9-värden hafva denna egen- skap för vissa m-värden, neml. åtminstone för dem, som 1 uppfylla vilkoren 4 m24 AFD. III. OM STJERNORNAS SKENBARA GLANS ETC. 59 AFDELNING III. Huruledes man är berättigad att ur stjernornas skenbara glans och ur deras antal sluta till deras relativa afstånd. Af H. GYLDÉN. (Utdrag ur en i Kongl. Sv. Vet. Akademiens öfversigt införd uppsats.) Man har, som bekant är, oaktadt ihärdiga bemödanden endast i högst få fall lyckats bestämma afståndet mellan vår sol och någon annan s. k. fixstjerna. Dessa afstånd äro nämnligen så ytterst stora att jordbanans radie, jemförd med dem, blifver försvinnande liten: men endast genom att, medelst astronomiska observationer, bestämma detta förhållande emellan jordens afstånd från solen och solens från stjernan, blifver det oss för närvarande möjligt att direkt kunna sluta till stjernornas afstånd från oss. Dä man emellertid funnit att iakttagelsernas skärpa ej är så stor, att sådana förhållanden annat än i undantagsfall kun- nat bestämmas, så har man försökt att medelst allmänna betraktelser vinna någon föreställning om dimensionerna i verldsrymden. Sådana betraktelser måste naturligtvis yt- terst bero på någon hypothes, men det kan dock under- stundom blifva möjligt att genom en inre öfverensstäm- melse, hvilken under loppet af undersökningen träder i dagen, vinna en bekräftelse på hypothesens riktighet. 60 AFD. III. OM STJERNORNAS SKENBARA GLANS ETC. För att pä sådant vis vinna någon föreställning om stjernornas relativa afstånd, ligger det närmast till hands att antaga: 1:o. Att den absoluta glansen eller lyskraften är densamma hos alla stjernor. 2:o. Att stjernornas fördelning i rymden är likformig, d. v. s. att deras inbördes afstånd öfverallt äro lika stora. Hvartdera af dessa antaganden leder, i viss grad obe- roende af det andra, till ett resultat i afseende på stjer- nornas afstånd; om således ofvanstående antaganden äro riktiga, så böra de med dem ernådda resultaten öfverens- stämma. Vi betrakta först det fall, då stjernornas verkliga eller absoluta glans antages vara densamma hos hvarje. Olik- heten uti deras skenbara glans är då endast beroende af deras afstånd och lagen för detta beroende uttryckes me- delst formeln În = — rn der hn betecknar den skenbara glansen af en till n° stor- leksklasser hörande stjerna, rn dess afstånd från solen eller jorden, och C, i enlighet med vårt antagande betyder en konstant. Vid stjernornas indelning i storleksklasser följer man den princip, att deras skenbara glans aftager i geometrisk progression, då klassens ordningsnummer tilltager i arith- metisk. I enlighet med denna princip har man ----= 0 hn eller λn41 =ôl = 02wi = 3hw9 =... der o betyder en konstant koefficient, hvilken medelst fotometriska iakttagelser blifvit funnen: 8 = 0,40. AFD. III. DM STJERNORNAS SKENBARA GLANS ETC. 61 Då vi antogo c vara oförändelig eller oberoende af n, så följer /n+-1 « V 7 = 2 = 0 eller 1 7,41 1 1 Yn √d ~0,40 Medelst denna formel kan man beräkna de relativa afstånden för stjernor af olika storleksklasser. Vi öfvergå nu till den andra förutsättningen, nämnli- gen att stjernornas fördelning i rymden är likformig. Ur denna förutsättning följer omedelbart att stjernornas antal inom en gifven sfer är proportionell mot 3:dje potensen af densammas radie. Beteckna vi således med Qn antalet af de stjernor, som inneslutas af den med radien rn upp- komna sferen och med k en konstant, så är Un n och (2) W+1 = 1/Qn+1, enligt hvilken formel de relativa afstånden äfven kunna beräknas, endast man känner värdena för Q,. Vill man härleda radien för de sferer, hvilka omfatta alla stjernor af l:sta, 2:dra, o. s. v. storleksklasserna, så har man att sammanräkna antalet af hithörande stjernor. Ett sådant arbete har blifvit utfördt af v. Littrow i Wien, dervid han begagnat de stjernförteckningar, som finnas i »Bonner Durchmusterung des nördlichen Himmels». Littrow angifver: Q = 5876, 0, = 19699, Q = 77794. Om nu formeln (1) skall gifva samma resultat, som formeln (2), så bör vilkoret 62 AFD. IIl. 0M STJERNORNAS SKENBARA GLANS ETC. blifva uppfyldt. Huruledes detta i verkligen inträffar, in- ses af följande räkneresultat: a = (Q) = 0,44.5 af hvilka det sednare utvisar en fullkomlig öfverensstäm- melse med det värde för ö, som denna qvantitet enligt theorin får hafva. Vidare har jag beräknat värden för 8 ur stjerne- mängder i olika delar af himmeln; dervid har jag begagnat de värden för Q, och 0, hvilka Argelander angifvit i »Bonner Durchmusterung». Dervid erhöllos följande re- sultat. Vintergatans pol och de 0, Q à stjernfattigaste himmelsdelarne 51 171 0,446 30° från polen 115 398 0,437 50 » » 143 471 0,452 70 » » 177 614 0,426 odelade vintergatan . . . . 380 1390 0,421 nordliga grenen 232 755 0,455 sydliga » ..... 194 729 0,414 emellan båda grenarne . . . 239 840 0,433 105° från polen 229 805 0,429 125 » » 141 471 0,441 140 » » 47 177 0,413. Såsom man ur de meddelade taluppgifterna finner, är väl öfverensstämmelsen ’ emellan de ur stjernmängderna beräknade värdena för 8 å ena sidan och det theoretiska värdet 8 = 0,40 å den andra, ej fullkomlig, men dock så stor, att de framställda hypothesorna ej kunna anses vara AFD. III. OM STJERNORNAS SKENBARA GLANS ETC. 63 helt och hållet oriktiga. Till en del är en sådan slutföljd dock endast skenbart riktig; ty man kan bevisa att relationerna (1) och (2) äfven då äga rum, om sanno- likheten för förekommandet af en viss absolut ylans endast är en funktion af denna glans. Antagandet af en lika absolut glans är derföre alldeles icke nödvändigt, och såle- des bevisar öfverensstämmelsen uti ofvananförda talupp- gifter ingenting härom. Men om äfven relationerna (1) och (2) fortfarande förblifva bestående, så har dock rn i desamma en något förändrad betydelse mot förr, då stjernornas glans antogs vara lika hos alla. Numera betyder nämnligen î’n medel- talet af alla de stjernors afstånd, som höra till née storleks- klassen. Antages 1 = 1 och 8 = 0,423, så erhålles följande tabell för de relativa afstånden 1 = 1,00 2 = 1,54 7, = 2,36 ri = 3,64 ra = 5,59 re = 8,61 1 = 13,23 rg = 20,35. Meteorologiska notiser, meddelade af R. RUBENSON. Under denna titel ämna vi tid efter annan i form af korta uppsatser meddela tidskriftens läsare redogörelse för sådana arbeten inom meteorologien, hvilka synas oss bäst egnade att belysa vetenskapens närvarande ståndpunkt och 64 AFD. III. OM VINDRIKTNINGEN ETC. pågående utveckling. Vi komma härvid icke att inskränka oss till de arbeten, som behandla de atmosferiska för- ändringarna i stort; vi ämna jemväl redogöra för de mera anspråkslösa forskningarna, vare sig att dessa åsyfta för- bättringar i den instrumentala delen af vetenskapen, i de använda räkne- eller kartläggningsmetoderna eller afse en ändamålsenligare organisation för det meteorologiska mate- rialets anskaffande och insamlande. Afven ett och annat mera ovanligt fenomen, hvarom vi erhålla kunskap, tro vi icke olämpligen kunna under ofvanstående rubrik be- skrifvas. Om vindriktningen i de tropiska hvirfvel- stormarna. (Med tvenne figurer.) Alltifrån den tid, då man med större omsorg började insamla och bearbeta de på längre sjöresor anställda me- teorologiska iakttagelser, hafva de s. k. cyklonerna eller hvirfvelstormarna utgjort föremål för meteorologernas under- sökningar. Redan tidigt lärde man känna, att vid de häfti- gaste orkanerna luften var stadd i en hastig rotation om- kring ett luftförtunnadt rum, det s. k. centrum, der ingen horizontal rörelse eller vind är märkbar, och att rotations- riktningen är bestämd endast och allenast genom läget i förhållande till equatorn. På norra halfklotet sker näm- ligen rotationen i riktningen V-S-O-N, på södra halfklotet deremot i motsatt riktning. Utan närmare undersökning antog man ock i början, att luftpartiklarnas banor omkring centret voro cirklar; de från den cirkulära formen obser- verade afvikelserna ansågos för skenbara och tillskrefvos inverkan af den framåtskridande rörelse öfver jordytan, som fenomenet tillika visade sig ega. /5° 20’ 50 25% 60° 50° / 75° 85° 80° A 3. i 1 AFD. III. OM VINDRIKTNINGEN ETC. 65 Sedan man börjat egna mera uppmärksamhet åt stormarna i Norra Europa och Amerika och funnit dem i deras hufvudsakliga karakterer öfverensstämma med de egentliga cyklonerna, har frågan om vindens riktning på olika sidor om centret, eller kanske rättare, vindens rikt- ning i förhållande till lufttryckets aftagande mot centret, varit föremål för en mängd med noggrannhet utförda un- dersökningar, ur hvilka med full säkerhet framgått, att vinden på ett gifvet ställe inom stormarean icke, såsom förr troddes, blåser parallelt med den genom stället gående isobaren *), utan är riktad något in mot centret, bildande med nyssnämnda linie en vinkel af omkring 20°. Stor- leken af denna vinkel är för öfrigt icke konstant, utan beror i väsendtlig mån af den för tillfället rådande vind- styrkan. Betraktar man hela det vidsträckta område, öfver hvilket luftförtunningen är utbredd, så kan denna lag. ock uttryckas på följande sätt: Under förutsättning att isoba- rerna äro cirklar, rör sig luften i spiralformiga banor in mot centrum. Att denna lag, som visat sig ega giltighet vid alla öfver Norra Europa och Nordamerika framskridande stormar, äfven skulle gälla för de tropiska stormarna eller de egent- liga cyklonerna, var visserligen redan a priori att förutse. Också hyllas denna åsigt såsom sjelf klar af flera moderna författare, bland andra af Buchan. Den allmännaste me- ningen torde dock vara den, att vinden i cyklonerna har en med isobarerna parallel riktning. I sitt förtjenstfulla arbete »Om vind och vejr» uttrycker Mohn den åsigten, att en afvikelse från den cirkulära rörelsen visserligen före- kommer äfven hos cyklonerna, i synnerhet på längre afstånd från centrum, men att denna afvikelse i det hela taget äi- obetydlig på grund af den utomordentliga hastighet, med hvilken luften roterar. *) Med isobarer menas, såsom bekant, linier, som äro dragna genom orter med samma barometerstånd. 5 66 AFD. III. OM VINDRIKTNINGEN ETC. Förtjensten af att hafva ådagalagt luftens spiralfor- miga rörelse i de tropiska cyklonerna tillkommer Meldrum, meteorolog på ön Mauritius. Genom sammanställning af fleråriga observationer, anställda under stormar dels på öns observatorium, dels på fartyg, då dessa befunno sig i öns granskap, liar lian kommit till det resultat, att den inåt mot centrum gående spiralformiga rörelsen otvifvel- aktigt eger rum vid alla de stormar, som passera dessa trakter. Uti ett nyligen af Meteorological Office i London publiceradt arbete anför lian en mängd iakttagelser, hvilka sätta tillvaron af denna spiralformiga rörelse utom allt tvifvel. Såsom exempel på hans förfaringssätt vilja vi meddela de tvenne fall, hvilka i arbetet finnas kartlagda. Figur 1 framställer en cyklon, hvars centrum den 25 November 1860 kl. 12 middagen befann sig i nordvestlig riktning från Mauritius. De på kartan utsatta pilarna angifva vindriktningarna, såsom de blifvit observerade på fartyg, hvilka vid nämda tid befunno sig på de af pilarna, intagna orter. Ofverser man med en blick hela stormarean, så finner man genast, att åsigten om en reguliär rotation i cirkulära banor icke stämmer öfverens med de observe- rade vindriktningarna. Under denna förutsättning skulle nemligen vindriktningen på hvarje ort vara vinkelrät mot en från orten till centrum dragen rät linie. Detta är dock ingalunda händelsen. Ett närmande till cirkulär rörelse eger visserligen rum i sydvestlig, vestlig och nordvestlig riktning om centret, men på östra sidan löper vindens bana nära nog rätt in mot denna punkt. De spiralformiga linierna i figuren äro ämnade att åskådliggöra de banor, Meldrum anser närmast öfverensstämma med observatio- nerna. Fig. 2 föreställer en annan storm, som den 16 Maj 1863 passerade dessa farvatten. Afven här medgifva ej observationerna antagandet af cirkulära vindbanor. Den spiralformiga rörelsen, som äfven här tydligt framträder, är i sina hufvuddrag likartad med don i figur 1 framställda. AFD. III. OM VINDRIKTNINGEN ETC. 67 Dessa tvenne exempel kunna ock tjena till bekräftelse af livad ofvan blifvit nämndt angående rotationsriktningen på södra halfklotet. Lösningen af denna fråga erbjuder icke blott ett teo- retiskt intresse, den är ock af största vigt för sjöfarten i de trakter af hafvet, der cyklonerna vanligen framgå. De reglor, som sjömannen plägar följa för att undvika cyklon- centrum, grunda sig alla på förutsättningen af luftström- marnas cirkulära banor omkring denna punkt. Så t. ex. har han följande enkla regel för att af vindriktningen sluta sig till det väderstreck, hvaråt centrum är beläget: Centrum ligger vinkelrätt mot vinden, på norra halfklotet till venster, på södra till höger, för den, som vänder ryg- gen mot vinden. Tänka vi oss fartyg placerade på de ställen i figurerna, der pilarna äro utsatta, så finna vi denna regel nära nog. riktig för alla dem, som ligga vester och norr om centrum. På östra sidan (fig. 1) eller på den nordöstra (fig. 2) vetta deremot vindarna nästan rätt mot centrum. Ett fartyg beläget öster om centrum i denna trakt af jorden skulle efter sjömansregeln hafva denna punkt i norr. I förlitande på regelns riktighet seglar sjömannen mot vester, men går derigenom ovetande de största faror till mötes. Detta var just händelsen under stormen den 25 Febr. 1860. På förmiddagen denna dag utgingo 41 fartyg från redden af S:t Denis på ön Reu- nion, under det alla tecken bebådade en orkans snara utbrott. Vinden blåste från SO med häftiga vindstötar. De flesta skeppen höllo en nordvestlig kurs, emedan befäl- hafvarne på grund af den sydostliga vindriktningen ansågo orkancentrum ligga NO om utgångspunkten, ehuru dess läge i sjelfva verket var NV eller NNV derifrån. Följderna af detta misstag voro beklagansvärda. Blott 8 af alla dessa skepp undkommo utan större motgångar, emedan de styrt mera sydligt. De öfriga 33 blefvo mer eller mindre ska- dade. Tre af dem sjönko ute i öppna sjön, tre andra upp- kastades på kusten af Madagascar; icke mindre än 55 per- 68 AFD. III. OM VINDRIKTNINGEN ETC. soner satte till lifvet. Förlusten i penningar har vid denna enda storm beräknats till 134,000 pund sterling. Att förstörelsen vid detta såväl som vid andra till- fällen icke skulle hafva vuxit till så stora dimensioner, i fall den spiralformiga rörelsen hos vinden varit känd, kan man taga för afgjordt. Till sjöfartens fromma erfordras följaktligen nya reglor för seglingen för det fall, att farty- get råkar in i en hvirfvelstorm. Dessa reglor kunna likväl ej blifva så enkla, som de nu begagnade, emedan, såsom lätt synes af kartorna, bedömandet af det väderstreck, i hvilket centrum bör sökas, till någon del rättar sig efter afståndet från denna punkt, då deremot vid den cirkulära rörelsen, på hvilken de äldre lagarna hvila, den sökta rikt- ningen är af detta afstånd oberoende. Man kan dock taga för afgjordt, att det skall lyckas skickliga sjömän, tillräck- ligt bildade för att följa med vetenskapens resultater och kunna tillämpa dem i sitt yrke, att på ett enkelt sätt for- mulera de förhållningsreglor, som till undvikande af sjö- olyckor genom hvirfvelstormarne böra iakttagas. AFD. IV. POLITISK ARITMETIK. 69 AFDELNING IV. Politisk- aritmetik. Under förra riksdagen förekommo vid frågan om grundskatternas aflösning bland andra räkneuppgifter äfven följande : ' Uppgift 1, löst af F. W. HULTMAN. En gäldenär (= samlingen af de svenske grundskatte- gifvarne) är skyldig att i slutet af hvarje år betala en ränta af 6,000,000 rdr, men vid det l:a årets slut afskrifves — af denna ränta, » » » » » » » » » » » » » » » 2:a » » » Y0 » 3:e » » » 0 » » » » » 40:e » » » 40 » hvarefter all räntebetalning upphör. Hvad utgör vid opera- tionens början värdet af gäldenärens blifvande utbetalningar efter 5°/0 ränta på ränta? Lösning. Antag a = fulla årsräntan = 6,000,000, 1 O = — x = det sökta kapitalvärdet. Uppgiften leder till följande ekvation c = a (o + (2 + . • • + (49) - 40 (« + 2 (2 + . . . + 40 (40) l-ρ40 _ aq d((+02+.. + (40) F00 1—0 40 do a(e(1-04)) 1-040 aρ \1-0 ) 800 1-0 40 de aq(1-q40) a 40(42-41,41+ = 1-Q 40 (1-q)2 70 AFD. IV. POLITISK ARITMETIK. 041 -40(2 + 39e 40.(1-0)2 = 10,9914797 a eller i det närmaste 11 a = 65,948,878 » » -» 66 millioner. Vid operationens början utgör således värdet af gälde- närens blifvande verkliga utbetalningar 66 millioner riks- daler. Anm. Då en årlig utgift af 6,000,000 rdr efter 5% ränta motsvarar ett kapital af 120 millioner, blifver i detta fall fordringsägarens (= statens) förlust = (120 — 66) millioner = 54 millioner ungefär. Uppgift 2, löst af F. W. HULTMAN. Hvilken annuitet erfordras för att under 40 år bilda förenämnda räntebärande Kapital 65,948,878 rdr, under antagande att amortering sbeloppet förkofras medelst 50∕0 sammansatt ränta ? Lösning. Sätt x = den sökta annuiteten. Uppgiften leder till ekvationen a (0 + 02 + ... + (40) = 65,948,878, som gifver x = 3,843,396. Den sökta annuiteten utgör således 3,843,396 rdr eller omkring 3,840,000 rdr. Uppgift 3, löst af F. W. HULTMAN. Om gäldenären ålägges att, utom sin 40-åriga ränte- skuld à 6,000,000, i all framtid årligen betala 300,000 rdr men tillika får rättighet att på sin 40-åriga ränteskuld afskrifva första året o af 6,000,000 eller 150,000 rdr, 2:a » To D » » » » » » 40:e » 10 » » » 300,000 » » » », » 6,000,000 » , AFD. IV. politisk ARITMETIK. 71 så att gäldenärens årliga utbetalnigar skulle blifva l:a året 6,300,000 - 150,000 = 6,150,000, 2:a » 6,300,000 - 2. 150,000 = 6,000,000, 3:e » 6,300,000 - 3. 150,000 = 5,850,000, »» » » » » » » » 39:e » 6,300,000 - 39. 150,000 = 450,000, 40:e » 6,300,000 - 40. 150,000 = 300,000, 41:a» 300,000 o. s. v. men gäldenären tillätes att i stället för de första årens utbetalningar erlägga hvarje år endast 90 %/0 af den 40- åriga årsräntan 6,000,000 saint dessutom ofvannämnda 300,000 rdr (d. v. s. inalles 5,700,000 rdr årligen), huru länge dröjer det, innan värdet af dessa konstanta utbetal- ningar blir lika med värdet af de utbetalningar, som enligt den förra öfverenskommelsen blifvit bestämda? Anm. Antalet år antages vid båda likvidations sätten vara detsamma. Lösning. Sätt för korthetens skull 5,700,000 = a, 6,300,000 = b, 150,000 = c och x = det sökta antalet år. Uppgiften leder till ekvationen a(q+(2+(3+.+Q) =b(0+(2+.+0)-(0+202+303 + . + 0%), eller efter summering xqt+2-(x+1) 07+1+0 hvilken ekvation efter hyfsning förvandlas till o* [r(1-o) + 1-(1-02 4]- 1-(1-0).2" och, efter insättning af siffervärden på ingående bokstäf- ver, till x+17 = 17 (1,50) 72 AFD. IV. POLITISK ARITMETIK. hvaraf a = 7,441, Efter 7,441 eller nära 7, år uppgå således utbetal- ningarna med räntor enligt det senare likvidationssättet till samma belopp som enligt det förra likvidationssättet. Gäldenärens årliga utbetalningar blifva således under de 7 första åren årligen = 5,700,000, under det 8:de året = 6,300,000 - 8. 150,000 = 5,100,000 9:de » = 6,300,000 - 9. 150,000 = 4,950,000 o. s. v. enligt det förra likvidationssättet. Anm. Enär likheten mellan de båda likvidationssät- ten ej inträdde förrän efter 71 år, bör vid den åttonde utbetalningen (5,100,000) göras ett tillskott af omkring 250,000 rdr (således tillsammans 5,350,000 noga 5,349,622 rdr). Uppgift 4, löst af F. W. HULTMAN. One en gäldenär är skyldig betala 6,000,000 rdr årli- gen, men erhåller eftergift, första året med 10% af detta belopp, och sedermera med 21% däraf årligen i 36 år, så att därefter all inbetalning upphör, hvad är närvarande värdet af hvad sålunda under dessa 37 år inbetalas? Lösning. Sätt x - det sökta värdet. Man får x = ct [0,9(e +(2+.. + ρ37) - 0,0250(0+202 + 3ρ3 +. + 36q°)] T 1—03736038 - 37037 + 0 =C 0,90 —0,0250 -1-------------- = 58,359,285. = 9,7265476 a = Denna summa kan likvideras i 37 repriser vid hvarje års slut med . 58,359,285 ( + 02 + . .. + 087 rdr = 3,492,200 rdr. AFD. IV. POLITISK ARITMETIK. 73 Uppgift 5, löst af B. v. GEIJER, öfverstelöjtnant, ledamot af första kammaren. Grundskatterne (jag antager att de uppgå till 6 mil- lionor rdr och att de förfalla till betalning hvart år den ] januari) varda från och med 1874 afskrifne successive under 30 år med o om året; hvardera af åren 1874 till och med 1903 minskas således grundskattebeloppet med 0,2 rdr. Räntefoten antages till 5 procent. Lösning. Den 1 jan. T874 erlägga jordägarne i st. f. 6 rdr . . . 5,8 rdr; staten tillskjuter fyllnadsbeloppet 1.0,2 rdr, d. 1 jan. 1875 d:o d:o 5,6 rdr: d:o d:o 2.0,2 » , » » » 1876 d:o d:o 5,4 » d:o d:o 3.0,2 » , o. s. v. » » » 1903 d:o d:o intet d:o d:o 30.0,2 » , Den 1 jan. 1903 utgöra de af staten tillskjutne fylnads- beloppen, förkofrade med sammansatt intresse efter 5 pro- cent, en summa r_______________0 --—1 —--2 8 ____2 9 = 0,2 . L1,05 • 30 + 1,05 • 29 +.+ 1,05 • 2 + 1,05 • 1 j ________________3 0 0,2 1,05 (1,05 -1) 3 0,05 L 0,05 = 159,04. För att betäcka en från och med 1904 uppkommande årlig förlust af 6 rdr grundskatt, måste staten afsätta den 1 jan. 1903 kapitalet 120 rdr, hvadan således statens för- lust den 1 jan. 1903 uppgår till (159,04 + 120) rdr = 279,04 rdr, som enligt ekvationen 279,04 (1,08)20 motsvarar den 1 jan. 1874 en förlust af 67,79. 74 AFD. IV. JOHAN AUGUST GRUNERT. * Johan August Grunert. Född d. 7 Febr. 1797, död d. 7 Juni 1872. De fleste af Tidskriftens läsare torde åtminstone till namnet ha sig bekant "Grunerts Archiv" och det välvil- liga intresse, hvarmed nyare alster af den svenska mate- matiska litteraturen deri blifvit omnämnda och bedömda. Tidskriften visar derför icke mer än en skyldig uppmärk- samhet mot den aflidnes minne, då hon i några korta drag söker teckna Grunerts lefnadsoraständigheter samt hans betydelse som journalutgifvare och vetenskapsman. Grunert föddes i Halle, der han efter genomgången skolkurs blef inskrifven vid universitetet 1815. Studerande der matematik under ledning af den berömde prof. Joh. Fredr. Pfaff, hade Grunert till en början för afsigt att bli byggmästare, men afstod snart från denna plan för att uteslutande egna sig åt den matematiska vetenskapen. Dragen till Göttingen af Prof. Gauss’ stora vetenskapliga rykte, fortsatte Grunert under denne vetenskapsmans ledning sina matematiska studier, hvarpå han den 20 Okt. 1820 erhöll doktorsgraden af filosofiska fakulteten i Halle med det vitsord, att han "doctrine soliditatem et copiam abunde probaverat.” Hans doktors specimen [De resolutione func- tionum fractarum in fractiones simplices partiales] jämte några andra af hans afhandlingar finnas tryckta under titel: Mathematische Abhandlungen. Erste samlung. Al- tona. Efter att ba haft anställning som lärare i matematik och fysik vid gymnasiet och vid militärskolan i Torgau [från 1821], der han på ett förtjenstfullt sätt reformerade elementar undervisningen, blef han utnämnd till titulär professor [1827], hvarefter han förflyttades som lärare i matematik till gymnasiet i Brandenburg [1828]. Såsom AFD. IV. JOHAN AUGUST GRUNERT. 75 frukt af Grunerts verksamhet som elementar-lärare räknar den matematiska litteraturen hans Afhandlingar till bruk för gymnasiernas medel- och öfre klasser, af hvilka afhand- lingar somliga sett ända till 7 upplagor. På hösten 1833 utnämndes Grunert till ordinarie pro- fessor i matematik vid universitetet i Greifswald, der han verkade i undervisningens kall ända till sin död eller i nära 39 år. Såsom bevis på det anseende Grunert åtnjöt äfven inom den använda matematiken kan lända, att han 1838 hade anbud att bli professor i astronomi vid univer- sitetet i Bonn, hvilket anbud han likväl icke antog. Vid sitt 25 åriga professors jubileum [den 3 Nov. 1858j uppvaktades Grunert af sine lärjungar jämte öfrige studenter vid universitetet i Greifswald, hvarvid ett fac- keltåg anstäldes till hans ära och en lagerkrans af silfver öfverlemnades till honom. Det 50 åriga doktorsjubileet [den 4 Okt. 1870] kunde med anledning af det pågående kriget icke firas på något offentligare sätt [vid detta till- fälle öfverlämnades till honom jämte jubeldoktors diplomet Röda Örns orden], utan uppsköts denna festlighet till ef- ter krigets slut den 30 April 1871, då han uppvaktades af talrika deputationer från staden och andra orter och då ett fackeltåg anstäldes till hans ära. Vid samma tillfälle öfverlemnades till honom af hans lärjungar ett dyrbart album innehållande deras fotografiporträtt. Här i Upsala föranstaltades ungefär samtidigt en samling fotografipor- trätt af de svenske matematiker, hvilkas arbeten blifvit anmälda och bedömda i hans Archiv, hvilken samling blef till honom öfverlemnad som en enkel tacksamhetsgärd för den synnerliga ynnest och välvilja, hvarmed han städse omfattat den svenska matematiska litteraturen. Med out- tröttlig ifver fortsatte han sin lärareverksamhet och sitt Archiv, tills han träffades af den sjukdom, som efter en kort tids förlopp ändade hans lif. Såsom lärare berömmes Grunert för ett klart och be- stämdt föredrag, hvilket han anses ha utbildat under sin 76 AFD. IV. JOHAN AUGUST GRUNERT. verksamhet som elementarlärare. För sina lärjungar var han mera en vän och faderlig ledare än en sträng lärare. Hans rika bibliotek var ständigt tillgängligt för hans lär- jungar, hvilket var så mycket mer att värdera, som uni- versitetets bibliotek led af betänkliga luckor i den mate- matiska litteraturen. Den sida af Grunerts vetenskapliga verksamhet, hvil- ken för oss svenskar är mest bekant, är hans omsorgsfulla redogörelse för svensk matematisk litteratur, så snart nå- got alster af densamma uppenbarade sig i något för honom tillgängligt tryck. Väl kunnig i det svenska språket, för- summade han aldrig att genomläsa hvad som kom för hans ögon af denna litteratur och omnämnde sedermera detsam- ma i sitt Archiv med en välvilja, som icke alltid motsva- rades af det förevarande arbetets vetenskapliga värde. Också ha de månge svenske författare, som varit föremål för Grunerts välvilliga omdöme, nästan utan undantag med tillbörlig grannlagenhet betjenat sig af detsamma, för att icke löpa fara att sätta den välmenande mannen i sticket inför någon domstol, som har till uppgift att skipa en på noggrannare undersökning stödd vetenskaplig rättvisa. Som författare röjer Grunert det djupa och alltid lif- liga intresse för sin vetenskap, hvilket karakteriserar den verklige vetenskapsmannen. Hans stil är något bred och omständlig [såsom händelsen vanligen är hos hans lands- män] och röjer mer benägenhet att i ämnets alla detaljer inviga läsaren än att hos honom väcka beundran för en koncis och elegant metod. I sitt Archiv [54 delar, 1841 —1872, nu fortsatt af D:r R. Hope] nedlade han de för- nämsta frukterna af sin vetenskapliga verksamhet, hvilken såsom de fleste vetenskapsmäns i våra tider haft till mål att bearbeta och göra tillgängligt det rika material, som vetenskapens store vägbrytare under detta århundrade lagt i dagen. — Frid öfver den redbare och outtröttlige veten- skapsmanens minne. AFD. IV. SATSER. 77 Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Vår-Terminen 1872. För Latinlinien. 1. Fyra räta linier, som i den ordning de följa på hvarandra heta OA, OB, OC och OD, äro dragna från samma punkt 0. Vinklarna A OB och COD äro sinsemellan lika. Samma är förhållandet med vinklarna B0C och DOA. Bevisa, att OA och OC ligga i-rätt linie, och like å OB och. OD. 2. Bevisa, att hυarje rätt linie halfverar en parallelogram, om hon är dragen, genom den punkt, der diagonalerna skära hvarandra. 3. Att- med en triangels vinkelspetsar såsom medelpunkter upprita tre cirklar, som tangera hvarandra två och två. 4. Triangeln ABC är gifven. Drag en med basen parallel linie, så att hon af sidorna BA och C'A afskär stycken BD och CE, som tillsam- mantagna hafva en gifven längd. 5 I hvarje polygon, som har ett jämnt antal sidor och kan inskrifvas i en cirkel, är summan af alla vinklar med jämnt ordningsnummer lika med summan qf alla vinklar med udda ordningsnummer. . 6. Bevisa, att hvarje likvinklig polygon, som kan omskrifvas kring en cirkel, är regulier. 7. Två cirklar ligga helt och hållet utom hvarandra. Drag en, till båda cirklarna gemensam, sekant, hvilken delar dem likformigt och derjämte så, att de större segmentens bågar äro dubbelt så stora som de mindres. 8. I en cirkel är en körda dragen samt genom dess ändpunkter tangen- ter till cirkeln. Bevisa, att den linie, som sammanbinder tangenternas mö- tespunkt med medelpunkten, är vinkelrät mot kordan. 9. Någon vill köpa 3/4 LES ull for ett visst pris, men dertill felas ho- nom 2 rdr 25 öre. Han köper derfore endast 4/1 L00 och får då 1 rdr 30 öre öfver. Hur mycket penningar hade han, och hvad kostade ullen pr LU? 10. Att finna två sådana tal, att deras produkt är 35 och skilnaden mellan deras qvadrater är 24. 11. Bestäm termen r i eqvationen 22 — 13 x + 1=0, så att skilnaden mellan rötternas qvadrater blir 39. 12. Hvilken har största perimeter bland alla. de rätvinkliga trianglar, hvilka hypotenusan är 10 fot? 78 AFD. IV. SATSER. 13. De tre sidorna i en rätvinklig triangel äro på hvarandra följande termer i en aritmetisk serie, heari differensen är 25. Hvilka äro dessa sidor? 14. Satisferas eqvationen 1/62 V 7 —2 = ber 1 b af qvadrateqvationens rötter? 15. En triangels sidor äro 3, 5 och 7. Höjden mot sidan 7 är dra- gen. Huru stor är denna höjd och hum stora denna sidas delar ? För reallinien. 16. Bevisa, att hvarje triangels perimeter är större än summan af de tre linier, som förena någon punkt i triangeln med dennas vinkelspetsar, men mindre än dubbla denna summa. 17. Bevisa, att den linie, som i en triangel ABC halfverar vinkeln A, och den perpendikel, som från samma vinkels spets drages mot sidan BC, bilda en vinkel, som är lika med halfva skilnaden mellan vinklarna B och C. 18. 0 är den punkt, der höjderna i en triangel ABC träffa hvarandra, och G är den punkt, der höjden AD skär den omskrifna cirkeln. Bevisa att OD = DG. 19. Bevisa, att hvarje likvinklig polygon, som kan inskrifvas i en cir- kel, är regulier, om sidornas antal är udda. 20. Från medelpunkten af en cirkel utgå tre räta linier, hvilka med hvarandra bilda sådana vinklar, att två och två af dem tillsammantagna äro större än två räta vinklar. Omskrif omkring cirkeln en triangel, som har sina spetsar på dessa linier. 21. Från en punkt på en cirkels perferi utgår en serie af kordor. Alla kordorna förlängas i samma proportion. Bevisa, att deras nya änd- punkter befinna sig på en annan cirkel, som tangerar den gijna innantill i den punkt, från hvilken kordorna utgå. 22. Konstruera en sfer, hvilkens yta är medelproportionalen emellan tvänne gifna sferers ytor. = 23. Sidorna i en triangel hafva sådan storlek, att summan af den jörsia och andra är 1 mer än den tredje, simman af den andra och tredje är 2 mer än den första, och summan cf den tredje och första är 3 mer än den andra. Hur stor är ytan? 24. Finnes det tvänne sådana tal, att deras summa, deras produkt och skilnaden mellan deras qvadrater äro lika stora? 25. Volymen af en stympad pyramid med parallela baser är 6080 kub.-fot; höjden 15 fot; en af baserna 576 qvadr.-fot. Hur stor är den andra, basen? AFD. IV. SATSER. 79 26. Ett bolag har upptagit ett lån på 1,200,006 rdr. Hur stor an- nuitet måste betalas, om lånet skall amorteras på. 29 år och räntan är 5 fö? 27. Beräkna höjden af ett torn, som kastar 60 alnars skugga, då solen står 51° 30" öfver horizonten. 28. Att bilda den equation, hvars rötter öro summan af och skilnaden mellan rötterna till eqvationen: x2 + ∞4-6 = 0. 29. yfx— x ~∖∕y = 162 ; y ↑∕y— x^∖∕x = 513. 30. Tvänne krafter P och P‘, riktade längs diagonalerna hos en paral- lelogram, hålla denna i en sådan ställning, att en af dess sidor förblir hori- zontel. Parallelogrammens vigt V och diagonalernas lutning svinklar a och a1 mot den horizontela sidan äro gifna. Sök värdena på P och P‘. 31. Huru mycket väger den vattenånga, som i mättadt tillstånd vid 30° kan rymmas i 100 kub.-fot, när man vet, att en kub.-fot torr lift vid 0" och, 23,6 tums tryck väger 8 ort, att att vattenångans vigt är - af liftens, då de båda hafva samma temperatur och tryck, och att den i fråga varande ångans tryck vid 30° är 10,6 linier? 32. På en isbelagd sjö, der isens tjocklek var 1~ fot och dess tem- peratur 0®, utgjorde nederbörden på qvadrafoten en 2 tum hög vattenpelat e, och regnets temperatur var 3 ,f. Afdunstningen hos vattenmassan uppgick under samma tid till A- linie. Värmemängderna för issmältning och ångbildning antagas vara respektive 80 och 340 v. e., den bildade ångans temperatur 0", och isens egentliga vigt -9-. Huru mycket minskades isen, i tjocklek genom den på of- vannämnda sätt tillförda värmängden? 33. Om en planslipad glasskfva med parallela ytor eger spegelbelägg- ning på baksidan, komma de framfrån infallande ljusstrålarna, sedan de inom glaset blifvit brutna och vid baksidan reflekterade, att utgå på samma sätt, som om endast reflektion egt rum vid någon inom glasmassan belägen yta. Beräkna afståndet från glasets framsida till denna, yta, då afseende fästes endast vid de strålar, hvilkas infallsvinklar med spegelns normal äro ytterst små. Glasets tjocklek är - tum, dess brytningstal 1,5. 34. En kropp väger 43 ort i Often vid ett tilfälle, då hennes speci- fika vigt är 6,0012, och 40 ort i alkohol af specifika vigten 0,8. Huru stor är den kroppens verkliga spefika vigt? 33. 1 ett fullt jämntjockt manometerrör med kortare armen sluten och den längre öppen upptar i den kortare armen innesluten luft en höjd 3,31 dec. tum, då qvicksilfret står lika högt i båda armarna. Huru högt stiger qvicksifret i den kortare armen, om man dercf ytterligare häller i så mycket, som upp- tager en längd af 23 dec.tum i röret? Barometern visar under hela försöket 23 dec.tum. . 36. Redogör sä fullständigt som möjligt för den successiva urladdnin- gen af en isolerad Leydnerflaska. 80 AFD IV. LITTERATUR. Litteratur. A Teeatise on the HIGHER PLANE CURVES, intended as a Sequel to A Treatise on Conic Sections, by GEORGE Salmon, Regius Professor in the University of Dublin. Second Edition, Dublin 1873, in 8:o. Prix: 12sh. Detta arbete bör vara af synnerligt intresse för dem, som stu- dera den nyare geometrien. Arbetets hufvudsakliga inne- håll är följande: Kap. I. Koordinator [triliniekoordinater]. » II. Allmänna egenskaper hos algebraiska kurvor [poler, polarer, multipelpunkter, multipel- tangenter, reciproka polarer m. m.]. » III. Envelopper [envelopper i egentlig mening, reci- proka polarkurvor, evolutor, kaustikor, pa- rallela kurvor, m. m.]. » IV. Metriska egenskaper [Newtons och Carnots teorem, diametrar och brännpunkter hos högre graders kurvor]. » V. Kurvor af tredje ordningen [intersektion, poler, polarer, tillämpning af teorien om invarianter och kovarianter på kurvor, m. m.]. » VI. Kurvor af fjerde ordningen [deras dubbeltan- genter, dubbelpunkter, m. m.]. » VII. Några transcendenta kurvor. » VIII. Transformation af kurvor. I stället för kap. VII i den förra upplagan, handlande om integralkalkylens tillämpning på teorien om kurvor, är här tillfogadt ett nytt kapitel om dubbeltangenter, m. m. Arbetet är öfversatt på tyska af Fiedler, hvilken tillfogat en fullständig litteraturförteckning rörande det behandlade ämnet. _____ Diverse. 1 Bad Undersök lim [f(8) — f(0)] för det fall, att f(0) = / —-— . [7 =07 * %0 02 + 02 fc) groas te AFDELNING I. 0m symmetriska eqvationer. Af Philip LUNDBERG. Till de eqvationer af högre grad än den andra, som kunna upplösas med tillhjelp blott af läran om qvadratiska eqvationer, höra de symmetriska eqvationerna af tredje, fjerde, femte och delvis sjette graden. Det torde derföre ej vara olämpligt att i denna afdelning af tidskriften gifva en kort framställning af den method, som vid sådana eqvatio- ners lösning användes. Denna lilla uppsats gör på intet sätt anspråk på att innehålla något nytt, utan vill blott fästa tidskriftens yngre läsares uppmärksamhet på möjligheten att äfven med små matematiska hjelpmedel behandla frå- gor, som vid första påseendet synas ligga utom den egent- liga skolkursen. 1. Den allmänna formen för en symmetrisk eqvation af n:te graden är följande: Ag x" + A1 x"-1 + A2x"-2 +... A, x"-” +... - A, + ... + A2 x2 ± Aj x ± A0 = 0 d. v. s. koefficienterna för termer, som äro på samma af- stånd från början och slutet äro lika stora, men antingen af lika eller olika tecken. Divideras eqvationens alla termer med Ao och sättes A, A, — = C1, — = C. o. s. v. 401 1.40 2 . antager eqvationen den något enklare formen x‘ + α1 x"-1 + a2 a"-2 + . . . a, a"-” .... +a,x... .± Q2X2± A3 ± 1 = 0................................(1). 6 82 AFD. I. OM SYMMETRISKA EQVATIONER. Sättes i denna eqvation 1 i st. f.och multipliceras eqva- tionens alla termer med x", blifver eqvationen oförändrad. Om således eqvationen skulle satislieras af x = r, har den äfven en rot - Med anledning häraf kallas de symmetriska eqvationerna äfven reciproka. Ar eqvationen af udda gradtal, är termernas antal jemnt, är deremot gradtalet jemnt, är termernas antal udda. Om i sednare fallet de lika koeffi- cienterna hafva motsatta tecken, måste koefficienten för den mellersta termen vara noll; ty om koefficienten för denna term är ar, skall enligt definitionen a, = - Cr, hvilket nöd- vändigt förutsätter a, = 0. 2. Innan vi öfvergå till lösandet af de särskilda eqvationerna af tredje, fjerde, femte och sjette graden, skola vi bevisa ett par behöfliga satser. Uttrycket xm - am (rn ett helt tal) är alltid delbart med x — a. Utföres den tecknade divisionen delvis, blir resultatet J — 0 x — a . m-1 - gmn—1 x — a- x — a ’ hvaraf framgår att xm — am är delbart med x — a, om x"—1 — am-1 är delbart med χ — a. Nu innehållar x2 - a2 faktorn x — a, derföre måste denna faktor äfven finnas i x3 — a3, och derföre i x4 — α4, x5 — a5 . . . xm — a", hvilket skulle bevisas. Uttrycket x‘ + am ('m ett helt tal) är delbart med x + a, om m är ett udda tal, ej i annat fall. Utföres den tecknade divisionen a" + an . x + a med två termer i qvoten, erhålles AFD. I. OM SYMMETRISKA EQVATIONER. 83 A9 + 0’ X Th C Häraf följer, att xm + am är delbart med x + a. = xm—1 + am-2 4 a2 xm 2 + am-2 x + a är delbart x + a, om x"-2 Nu är+ a delbart med + a"-2 x + a. således ock x3 + β3, således ock x5 + a5, x7 + al,...a" + a", om me är udda; hvilket skulle bevisas. 3. Sammanföras i eqvationen (1) de termer, som hafva samma koefficient, erhålles x" + 1 + 41 x (x"-2 + 1) + aq x2 (x-4 + 1) + . . = 0. Enligt hvad nyss blifvit bevisadt, äro binomen χn ± 1, xn-2 ± 1 o. s. v. delbara med x + 1, så vida n är ett udda tal. Då nu x + 1 är en faktor till eqvationens alla ter- mer, satisfieras eqvationen om denna faktor är noll, d. v. s. af c = + 1. En symmetrisk eqvation af udda gradtal har således alltid en rot, som är antingen — 1 eller + 1, allt efter som de lika koefficienterna hafva samma eller mot- satta tecken. Bortdivideras faktorn x ± 1, återstår att lösa en eqvation, hvars gradtal med en enhet understiger den gifna eqvationens. 4. Den symmetriska eqvationen af tredje graden, då de lika koefficienterna hafva samma tecken, har formen x3 + ax2 + ax + 1 = 0 . . .........(2). Sammanföras termerna med lika koefficienter, erhålles x3 + 1 + ax (x + 1) = 0. Utbrytes här faktorn x + 1 öfvergår eqv. (2) till (x +1) {x2 - x + 1 + ax = 0, hvaraf antingen + 1 = 0 eller 22 - (1 - a) a + 1 = 0. Frågan är således reducerad till att lösa en eqvation af första och en af andra graden. 84 AFD. I. 0M SYMMETRISKA EQVATIONER. Ex. 6 x3 - 7x2 — 7x + 6 = 0 (rötter: 3, 2, — 1) x3 + 4x2 +4x+1 = 0 (rötter: ------------------------------, - 1) 1 4 3 - 1 1 ^3 + 1 = 0 (rotter: _____________, — 1) 2 Hafva de lika koefficienterna motsatta tecken, har eqva- tionen formen x3 + ax2 - ax - 1 = 0 (3) eller (x - 1) {x2 + x + 1 - ax\ = 0 hvaraf *-1 = 0 a2 + (1 — a)c + 1 = 0. Exempel. 2 23 - 7 22 + 7 x - 2 = 0 (rötter: 2, 4, 1) 43 — 1 = 0 (rötter: -1±3 -1 1) 2 5. Den symmetriska eqvationen af fjerde graden kan skrifvas «4 + ax3 + b x + ax + 1 = 0..........(4). Divideras eqvationens alla termer med x2, erhålles efter termernas ordnande Nu är hvaraf (5) öfvergår till , 1 Sättes x + - = y, och löses eqvationen y2 + ay + b - 2 — 0, gifver den tvenne rötter, som vi kunna kalla r1 och rq. AFD. I. OM SYMMETRISKA EQVATIONER. 85 Det återstår nu att lösa eqvationerna 1 T + = 2 eller tvänne eqvationer af andra graden. De fyra värden på x, som satisfiera dessa eqvationer. äro de fyra rötterna till eqv. (4). Har den symmetriska eqvationen af fjerde graden de lika koefficienterna af motsatta tecken, måste, enligt hvad förut blifvit sagdt (paragr. 1), den mellersta termens koefficient vara noll och eqvationen således vara af formen 4 + ax3 - ax - 1 = 0......................................(6) Divideras denna eqvations termer med x2, erhålles 22-----+ a---------= 0, x2 ∖ x/ ' eller hvaraf hvadan problemet är reduceradt till upplösande af tvänne eqvationer af andra graden. Anm. I sammanhang med den symmetriska eqva- tionen af fjerde graden står lösandet af eqvationen af formen 04 + ax3 + bx2 - ax + 1 = 0.......(7) eller 1 / 1∖ 22 ++ a(x—- + b=0. Då nu 86 AFD. I. 0M SYMMETRISKA EQVATIONER. öfvergår (7) till / 1\2 ∕ 1\ 2----| + as----+0+2=0, som är af andra graden i afseende på AC-. 6. Den symmetriska eqvationen af femte graden har formen • 25 + ax% + bx3 + bx2 + ax + 1 = 0..........(8) Sammanslås nu de termer, som hafva samma koefficient, och utbrytes faktorn x + 1, erhålles efter resultatets ord- nande (a + 1) (o4 - (1 - a)æ3 +(1-a+ b)a2 - (1 - a)a + 13 = 0, hvaraf a + 1 = 0 x4 - (1 — a)a3 + (1 - α + b)a2 - (1 - a)a + 1 = 0, hvilken sista eqvation är symmetrisk och af fjerde graden och således kan upplösas på sätt, som i föregående para- graf blifvit visadt. Hafva den gifna eqvationens lika koefficienter mot- satta tecken d. v. s. är af formen x5 + ax4 + bx3 — bx2 — ax — 1 = 0, erhålles efter utbrytande af faktorn (x - 1) (o* + (1 + a) a3 + (1+a + b)a2 + (1 + a)a + 1 = 0, som ger x = 1 samt en symmetrisk eqvation af fjerde graden. Exempel. 12 x5 + 8 % - 45 3 - 45 22 + 8 x + 12 = 0") (rötter: - 1, 2, 4 - #, - #) 25+1 = 0 1 1+M5- 10-25./-1 (rotter: — 1,_._____2____________, 1 - 45 + ~10+2/5 . V/-1 4 / 12 «6 - 56 % + 107 a3- 107 22 + 56 x - 12 = 0*) *) Hemtadt från Methodisch geordnete Aufgabensammlung von Dr E. Bardey. AFD. I. OM SYMMETRISKA EQVATIONER. 87 • ,..3-7.V-1 (rötter: 1, 4, 3, 4 ) 20 - 1 = 0 . 1 -1 + 5 - 10 + 2 95. - 1 (rötter: 1, 4 —, - 1 - 5 + M10 - 2 J5 . V-1 ' 4 / ' 7. Den symmetriska eqvationen af sjette graden har formen x6 + ax5 + b.xc4 + cx3 + bx2 + ax + 1 = 0 . . . (9). Divideras eqvationens alla termer med x3 och ordnas re- sultatet, erhålles 1 / 1 1 23 + — + a|x2 + - + b.2 +-+c =0. . . (10). xc3 \ x2) \ / Men nu är x3 + - = 2 + - — 31+ - X x3/ \ x) \ x) / 11\2 x2 + — = x + - — 2, X xc2/ x x/ hvadan eqvationen (10) öfvergår till (x+-+ a x + - +(b-3)(x + - +- 2 = 0.(11). (x) () ‘ x/ hvilken eqvation ej låter generelt upplösa sig medelst qvadratiska eqvationer. Den blir symmetrisk, om koeffi- cienterna uppfylla vilkoren ja = b - 3 c - 2a = 1 eller Ja = - (b - 3) c - 2a = - 1 och kan då upplösas med stöd af paragraf 4. En annan möjlighet för upplösandet af eqv. (11) är att c = 24 88 AFD. I. OM SYMMETRISKA EQVATIONER. då faktorn + - innehålles i eqvationens alla termer och såledas kan divideras bort. Vi få då 1 x + - = 0, 2 hvaraf och då eqvationens fyra öfriga rötter med lätthet finnas. Hafva den gifna eqvationens koefficienter motsatta tecken, då, såsom ofvan blifvit visadt, den mellersta ter- mens koefficient måste vara noll, kan eqvationen skrifvas 26 + ax5 + ba — bal - ax - 1 = 0 ....(12). Efter division med x3 och termernas ordnande erhålles (x3 - 1 - 1) +6(x= 0 . . . (13). Då nu hvarje term i eqv. (13) är divisibel med a - - fås efter division med denna faktor 2C--= 0 X hvaraf x = + 1 och 1 ∕ 1∖ .2 + - + a+ -+0+1=0 x2 ∖ x/ eller / 1\2 / 1\ (x+- +a x+-+0-1=0, ∖ x) ∖ T/ som med lätthet ger de fyra öfriga rötterna till eqv. (12). Af det, som nu blifvit framstäldt, synes, att den sym- metriska eqvationen af sjette graden, då koefficienterna äro af samma tecken, låter lösa sig med tillhjelp af qva- dratiska eqvationcr, endast om koefficienterna uppfylla vissa AFD. I. 0M SYMMETRISKA EQVATIONER. 89 vilkor; men att deremot lösningen alltid är möjlig, då koefficienterna hafva motsatta tecken. Exempel. 2 x6 — 3,5 + 3 4 - 4x3 + 3 2 - 3x + 2 = 0 , -143V-1 1-/15./-11 (rötter :-----2-------,------4-------. 1, 1.) 12x6 -11a5 - 134 24- 22 a3 - 134.2 -11x+1 =0 (rötter: ± V- 1, 4,1, — 3, -‘) 6 x0 - 355 + 56.4 = 6 - 35 x + 56 x2") (rötter: ± 1, 2, 1, 3, |.) 10. De symmetriska eqvationerna af sjunde och högre grader låta ej generelt lösa sig; utan svårighet låta der- emot de vilkor uppställa sig, hvilka koefficienterna måste uppfylla för att lösningen skall vara möjlig. Såsom exem- pel på huru dessa vilkor uppställas, skola vi undersöka vilkoren för möjligheten af att göra den symmetriska sjunde grads eqvationens lösning beroende på lösningen af en symmetrisk eqvation af sjette graden, der koefficienterna hafva motsatta tecken. Multipliceras eqvationen (12) med x + 1 och med x — 1 erhålles x7+(a + 1);Z6 +(b + a)x5 + bx4 -bx3- (b+a)x2-(a+1)x-1=0 x7 +(a-1)x6 + (b - a)x5 - ba4 -bx3 + (b -a)a2+ (a-1)x+1=0 Jemföras dessa eqvationer med de symmetriska eqvatio- nerna af sjunde graden x7 + α1 x6 + bi x5 + 1 % - C1 x3 - by x2 - ap x — 1 = 0 x7 + C1 26 + bi x5 + C1 X + C1 x3+0102 + a % + 1 = 0, synes lätt, att koefficienterna äro underkastade i förra fallet vilkoret a1 - b + C1 = 1; och i sednare fallet vilkoret A1 + by + C1 = - 1. På liknande sätt kan undersökas möjligheten för att redu- cera en gifven symmetrisk eqvations lösning till lösandet af en symmetrisk eqvation af till och med sjette graden. *) Bardey, Aufgabensammlung. 90 AFD. I. LÖST SATS. Sats, bevisad af Anton Pullich, Adjunkt ved Metropolitanskolen i Kjöbenhavn. 1. Den förste af de for Året 1871 udsatte Prisop- gaver lyder: »Når de rette Linier BI) og EA, der halvere to på samme Side af det fælles Vinkelben BE liggende Vinkler EBA og BED, ere ligestore, ere de nævnte Vinkler ligestore.» Dersom Linierne BA og ED danne∙ en Trekant med BE til den Side, hvor Halveringslinierne ligge, θr Sæt- ningen ensgjældende med denne: 1. »Når Halveringslinierne af to Vinkler i en Tre- kant ere ligestore, udgå de fra Toppunkterne af to lige- store Vinkler»; danne de derimod en Trekant med BE til den mod- satte Side af den, hvor Halveringslinierne ligge, udtaler Sætningen, at 2. »Når Halveringslinierne af en Trekants to Nabo- vinkler begge ligge i den tredie Vinkel og ere ligestore, udgå de fra Toppunkterne af to ligestore Vinkler.» Det skal nu i det Folgende godtgjöres, at den til Behandling forelagte Opgave ikke er udtalt i sin störste Almindelighed, idet også folgende Sætning vil være gjæl- dende: 3. »Når Halveringslinierne af en Trekants to Nabo- vinkler begge ligge udenfor den tredie Vinkel og ere ligestore, udgå de fra Toppunkterne af to ligestore Vinkler», på hvilken Sætning de i den oprindelige Sætning brugte Betegnelser ikke ret vel kunne komme til An- vendelse. 2. Folgende to Sætninger lade sig godtgjöre: A. »Når i en Trekant to Vinkler ere ligestore (Tre- kanten ligebenet), ere såvel Halveringslinierne af disse Vinkler som af deres Nabovinkler ligestore», og AFD. I. LOST SATS. 91 B. »Når i en Trekant to Vinkler ere uligestore, vil den störstes Halveringslinie være mindre end den mind- stes: tillige vil, dersom beoge Nabovinklers Halverings- linier lippe 1 1 n ? den tredie V ιnkel, Halverin g'slinien 66 ( udenfor ) ' 0 ( större ) 1 af den störstes Nabovinkel være . end af den ( mnindre ) mindstes.» Sætningen A godtgjöres let ved Congruens af Tre- kanter, i det man tillige bemærker, at de to Nabovinklers Halveringslinier nodvendig ligge begge i eller begge uden- for den tredie Vinkel, nemlig eftersom liver af de ligestore Vinkler er större eller mindre end den tredie. Sætningen B består af to Dele. a. Lad os antage (fig. 1), at i Trekanten ABC A A > A C; det skal da vises at AM < CN, i det AM og CN ere Vinklernes Halveringslinier. Man har i Trekanterne AONog COM A AON = A COM, A NAO = 4A>1C=A OCM, fölgelig Λ ANC < Λ AMC, hvaraf igjen folger, at N ligger udenfor en Cirkelbue gjennem A, M og C, så at CN skjæres af denne Bue i et Punkt Q. Nu er, i det C er Grademålet af A ACB 0. s. v., ~AQ = C, QM = C, ~ MC = A . ~AM < ~ QC og begge mindre end 180° (2 C < A + C = 1800 — B), alltså AM < QC < NC. Denne Bevismethode kan ikke bruges i Sætningens an- den Del. ß. Man bemærke först, at når man i en Trekant DEF, livor A D> A E, halverer såvel A Fsom dens Nabovinkel, så ville Halveringslinierne med Perpendikulæren fra F danne henholdsvis Vinklerne A(D - E) og 90° - %(D - E). 92 AFD. I. LOST SATS. Betragtes nu igjen Trekant ABC (fig. 2), i hvilken A A> A C, så ville Halveringslinierne AM og CN' af disses Nabo- vinkler ligge begge i Vinklen B eller begge udenfor, eftersom de nævnte vinkler ere begge större eller begge mindre end ∕∖ B, hvorimod deres Skjæringspunkt O'i begge Tilfælde ligger i Vinkeln B (nemlig på dens Halverings- linie) og i förste Tilfælde på selve Linierne, i andet på deres Forlængelser. Nu bar man i begge Tilfælde, da A A - A C, A CAO < A ACO, fölgelig OC < 0 A. Da fremdeles, som bekjendt, O' ligger i ligestore Afstande fra Linierne BA og BC, så ville Længderne af Linierne O'M' og O'N med Hensyn til deres inhyrdes Störrelse alene rette sig efter de Vinkler, som de danne med Per- pendikulærerne på BC og BA. Nu bar man O'M dan- nende med Perpendikulæren på BC henholdsvis for förste og anden Figur Vinklen C - BB-C 900----2 0g 900--------2 ligeledes for O’N er Afvigelsen fra Perpendikulæren på BA A - BB - A 900 ----— og 900 --------------— 2-----------------------2 så at man bar henholdsvis ON < O'M’ og ON > O M, der, sammenholdte med σc < 0 A, give, henholdsvis ved Addition och Subtraction, CN' < AM og CN' > AM, hvilket det gjaldt om att godtgjöre. Denne Bevismethode kan ikke bruges i Sætningens förste Del. 3. Af de to under A og B nævnte Sætninger fölger nu ikke blot de, der kræves beviste i Opgaven (Sætn. 1, 2, 3), men tillige folgende: 4. »Ere Halveringslinierne af to Vinkler i en Tre- kant uligestore, så udgår den störste fra Toppunktet af den mindste Vinkel», og AFD. I. LOST SATS. 93 5. »Ere Halveringslinierne af Nabovinklerne til to Vinkler i en Trekant begge beliggende i den tredie Vin- kel og uligestore, så udgår den störste fra Toppunktet af den störste Vinkel.» 6. »Ere Halveringslinierne af Nabovinklerne til to Vinkler i en Trekant begge beliggende udenfor den tredie Vinkel og uligestore, så udgår den störste fra Toppunktet af den mindste vinkel.» 4. Til den foregående Udvikling bör endnu for Fuld- stændigheds skyld föjes den Bemærkning, at når man i Trekanten ABC har Halveringslinierne af Nabovinklerne til A og C liggende, den ene i, den anden udenfor Vinklen B, vil ikke Ligestorheden af de to Halveringslinier kunne medföre den af Vinklerne A og C, da nemlig, som tid- ligere anfört, denne kun tilsteder, at begge Halverings- linier ligge i eller begge udenfor Vinklen B. Kjöbenhavn, d. 17 Decbr. 1871. Samma sats, löst af J. A—τ. 1. AEBA + ABED < 2 räta vinklar (fig. 3). Låt BA och ED utdragna skära hvarandra i F. Af- skär på förlängningen af BF linien FG lika stor med BE och på förlängningen af EF linien FH lika stor med BE. Drag linierna GD, HA och sammanbind skärningspunkten 0 mellan linierna BD och EA med F, G och H. Drag vidare linien GK vinkelrät mot BD utdragen och linien HI vinkelrät mot EA utdragen. Emedän BD skär ∕∖ EBA midt itu, så äro afstånden från D till BE och BA lika stora. Trianglarne DFG och DBE hafva således lika stora höjder. Deras baser FG och BE äro äfven lika stora. Således äro dessa tri- anglar lika stora. Tillägges A FDB på båda ställen, så erhålles A GDB = A FBE. På samma sätt bevisas, att A HAE = A FBE -. A GDB = A HAE. Emedan dessa trianglar hafva lika stora baser, BD och EA, så äro deras 94 AFD. I. LÖST SATS. höjder, GK och HI, lika stora. ∕∖ OFD = A OFA, A GFD = A HFA . A G FO = A HFO. Vidare är OF=OF, FG = FH. . A OFG c A OFH. Emedan OG = OH, GK = HI och vinklarne GKO, HIO äro räta, så är A GKO CO A H10 . A GOK = A HOI ∙∕ A OGF + A OBF = A OHF+ A OEF. Men A OGF = AOHF . A OBF = A OEF. 2 A OBF = 2 A OEF. A EBA = A BED. 2. A EBA + A BED = 2 rätta vinklar. B.A är ∣∣ ED A BAE = A AED = A BEA . BA = BE. På samma sätt bevisas, att BE - ED. Eme- dan således BA = ED, BE = BE och EA = BD, så är A EBA = A BED. 3. A EBA + A BED 2 räta vinklar (fig. 4). Gör samma konstruktion som i 1 med undantag deraf, att FG och FH afskäras på FB och FE, ej på deras förlängningar. På samma sätt som i 1 bevisas att A DFG = A DBE A DBF - Δ DFG = A DBF- A DBE •/ A GDB = A FBE. På samma sätt bevisas, att A HAE = A FBE A GDB = A HAE. Emedan dessa trianglar hafva lika stora baser, BD och EA, så äro deras höjder, GK och HI, lika stora. Emedan OF = OF, FG = FH och A 0FG = A OFH, så är A OFG o A OFH. Emedan OG = OH, GK = HI och vinklarne GKO, IIIO äro räta, så är A GKOA HIIO . A GOB = A HOE. Emedan vidare supplementvinklarne OGB och 0HE till de lika stora vinklarne OGF och OIIF äro lika stora, så är A GOB + À OGB = À HOE + A OHE. A OBA = AOED 2 A OBA = 2 A OED A EBA = a BED. Anm: A EBA + A BEI) äro i detta fall mindre än 8/3 rät vinkel. Till detta värde närma de sig, då BD och EA obegränsadt tilltaga. AFD. I. LÖST SATS. 95 Analytisk lösning af samma sats. af F. W. H. Sättes vinkeln ABC = B, . och vinkeln BED = 8, erhålles Sin ß Sin a Sin (ß + $) Sin (e + ()‘ emedan bissektriserna skola vara lika. Uttryckes i (1) alla trigonometriska funktioner i vink- lame é och ß. reduceras denna likhet till 2 2’ (Cos B - Cos 5) (Cos: ß + e + Cos 8 Cos 4) = 0, 2 2/ 2 2 2/ hvilken fordrar, att Cos ß = Cos 5 2 2’ emedan den högra faktorn med nödvändighet är positiv, alldenstund ß och 8 hvar för sig äro mindre än 2 räta. Den sistnämnda likheten gifver . . ß = 8. Hvilket skulle bevisas. Summering af serierna 1 + Cos v + C os 2v + Cos 3v + ... Cosnv och Sin v + Sin 2v + Sin 3v + ... Sin nv. af stud. J. R. ÅKERLUND, Följande metod att summera dessa serier torde såsom icke förekommande i våra vanliga läroböcker ej sakna intresse. Låt (lig. 5) vid medelpunkten O ien cirkel ABCDE . . . MN vara satta de (n + 1) vinklarne AOB, BOC, COD, DOE, ... MON, hvardera = v. Drag kordorna AB, BC, CD, DE, . . . MN samt AN. Drag ut AB ett stycke BB. Drag genom C, D, E, ... Mlinierna CC', DD, E.E,... MM'parallela med A B'. 96 AED. I. SUMMERING AE TVENNE SERIER. Vi hafva A B'BC + A CBO + A ABO = 1800 A AOB + A BAO + A ABO = 1800 Men nu är ock À CBO = A BAO À BBC = A AOB = « Draga vi ut BC ett stycke CC", finna vi på samma sätt A C"CD = v. Emedan CC ||BB, är À CCC” = A BBC=v .. A CCD = 2v På samma sätt finna vi, att A D'DE = 3v, o. s. v. Slutligen finna vi, att À M MN = nv. Fäll OPL AB och 00 L AN. Då blir A A0P-% och À 400-44 Taga vi AB till enhet, blir AP=4 1 ... AO =-----------------------AQ = 2 Sin ; Sin+1 • 2 Sin % Sin (n++1) » .∙. AN= Sin : Sin , Vidare ar BAN=4 BON; men då AON = (n + 1) v, blir B0N = nv BAN=*. 2 Projiciera vi nu å ena sidan vägen ABCDE... MN och å andra sidan linien AN pä AB, erhålla vi S: (n+1)v 1+Cos v + Cos 20 + Cos 30 + .. . + Cos nv = Din—2—. Cos "L. . Sin, 2 Projiciera vi samma vägar på en mot AB vinkelrät rikt- ning, finna vi . . . Sin (2+1y 9222 Sin v + Sin 2v + Sin 3v+... + Sin nv = 2 Sin-. Sin " 2 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 97 AFDELNING IL Försök till en kort, för praktiskt behof lämpad framställning af de elliptiska funktionerna. Af Göran DILLNER. (Forts, fr. föreg. häfte). De hyperboliska funktionerna. 1 . Innan vi gå att afhandla de elliptiska funktionerna, är det behöfligt att göra en kort framställning af de hy- perboliska funktionerna, enär dessa jämte de cirkulära bilda så att säga de flyglar, hvilkas mellanfält upptages af de elliptiska, hvadan kännedomen om de hyperboliska funktionerna är för vårt närvarande syfte lika nödvändig som kännedomen om de cirkulära. Utom detta är be- kantskapen med de hyperboliska funktionerna i sig sjelf af både vigt och intresse, emedan de numera rätt ofta användas såväl inom den rena som tillämpade matematiken, hvarvid de framstå såsom ett vigt och tidsbesparande verk- tyg inom kalkylen, synnerligen sedan de genom Guder- manns berömvärda flit blifvit till mer än nöjaktig nog- granhet tabulerade *). 2 Såsom utgångspunkt för utvecklingen af de hyper- boliska funktionerna användes den likaxliga hyperbel, hvars eqvation i rätvinkliga **) koordinater är 2 - 2= 1.......................(1). *) Jfr Theorie der Potenzial- oder cyklich-hyperbolichen Func- tionen, von D:r C. Gudermann [Berlin 1833]. **) Då vi nu och hädanefter tala om axelsystem förstå vi alltid det rätvinkliga. 7 98 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. Den af abscissaxeln OB, hyperbelgrenen AP och ordinatan BP = n [fig. 6] begränsade ytan uttryckes som bekant genom integralen - d: - +41(+ VE - 1), af hvilken formel omedelbart framgår, att den af radius vec- tor OP alstrade sektorn OAP måste vara =11(§ + A5 2 1), hvaraf fås, om 2 × sektorn OAP sättes = u: §+n = e621 g - n = -"(2) Af dessa två eqvationer fås § = ; (e" + e-") = Chu (3) n = $ (e" - e-) = Sh uS * ‘ der Ch u och Sh u utsägas resp, cosinus hyperbolicus % och sinus hyperbolicus u. Den hyperboliske co- sinus och sinus definieras således såsom varande projek- tioner på resp, abscissaxeln och ordinataxeln af radius vector till den likaxlige hyperbeln §2 — 12 = 1, dessa pro- jektioner betraktade som funktioner af dubla den sektor u, som alstras af den i fråga varande radien *). Om vi sätta § = så fås enligt (3) _ eu — e-u -----= Thee..........(4). - e" + e" der Th u utsäges tangens hyperbolicus u, hvilken så- ledes definieras såsom qvoten mellan Sh u och Ch u. *) Man jämföre härmed följande definition på de motsvarande cirkulära funktionerna: med Cos u och Sin u förstås projektionerna på abscissaxeln och ordinataxeln af radius vector till cirkeln §2 + 12 == 1, dessa projektioner betraktade som funktioner af dubla den sektor u, som alstras af den i fråga varande radien. Då man på de trigonometriska funktionerna användt benämningen cirkulära, så inses häraf lätt orsaken till benämningen hyperboliska funktioner, hvilken benämning redan Lambert af nu angifna öfverensstäm- melse i definition införde. AFD. II. oM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 99 Med stöd af föregående formler fås e - + B-1 = + +1= 1 576, hvaraf framgår, då vi med Arg (argumentum) beteckna inversionen af de tre funktionerna §, n och Ç: u = Arg Ch s = 1 (5 + M/E2 - 1) ' u = Arg Sh 7 = 1 (n + Nn2 + 1) , (5) « = Arg Th t =+ De gränser, mellan hvilka Chu, Shu och Thu för positivt u ligga, äro resp. 1 och 0o, 0 och oo samt 0 och 1. Vidare är Ch (— «) = Ch u, Sh (-u)= — Shu och Th (— «) = — Th u. Anm. Betydelsen af funktionerna Coth u, Sech u och Cosech u behöfver, såsom sjelf klar af föregående beteckning, ingen närmare förklaring. 3. Genom att draga AQIn och PQ || § [fig. 6] fås på grund af (1) 00 = 5, då A A0Q = 9 benämnes ampli- tudo hyperbolica u, tecknad 9 = Amh u................(6). Med stöd af figuren fås § Cos 9 = 1, § Sin 9 = n eller £ = Ch u = --- 5 Cosg ^ = Sh w = Tg φ 1: § = Thu = Sin 9 Med stöd af (5) och (7) fås, då vi teckna inversionen af (6) u = Argamh 9p: u = Argamh ç = 1Tg 1 (47+9). . : (8). Genom införande af den hyperboliska amplituden låta således de hyperboliska funktionerna på ett enkelt sätt uttrycka sig i cirkulära funktioner. 4. Med stöd af (3) finna vi följande serieuttryck på Ch u och Shu: 100 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 1 u2 u* Chu = 1++ — + 2 4 wà us Shu =4+,- T + 3 15 (9)∙ Om vi i de trigonometriska serierna - c2 α4 . α3 «S Cos ( = 1-+ --... och Sin C = C — 7 + T7 ... 24 5 sätta a = iu, der i= /-1, fås följande samband mellan de hyperboliska och cirkulära funktionerna: Ch u = Cos iu) Siniu(10). Sh ----i-) Af (10) åter fås Thu= Tgiu(11). Med kännedom om räknelagarne för de cirkulära funk- tionerna kunna vi nu på grund af (10) och (11) härleda mot- svarande räknelagar för de hyperboliska. Således finna vi Ch (u + v) = Cos (iu ± iv) = Cos iu Cos ir + Sinde. Sin ie, hvadan Ch (u = v) = Ch u Ch v + Sh u Sh v . . (12). På enahanda sätt fås Sh (u ± v) = Sh u Ch v + Ch u Sh v . . (13); likaledes . Th u ± Th v . Th(" - 0) - 1-Thw The . . . (14). Vidare erhålles Chu + Chy = 2 Ch à (u - v) Ch å(u + v) ? Sh u + Sh v = 2 Ch 4 (u - v) Sh 4 (% + v)0 samt Chu — Chi= 2 Sh i (« - v) Sh % (u + v) ? (16) Sh u — Sh v = 2 Sh 4 ( - v) Ch 4 (u + v)’ AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 101 Med begagnande af (1) eller Ch2 u — Sh2u = 1 och med stöd af föregående formler (12) — (16) kunna vi härleda en mängd formler såsom: 1 , Th ( hu = ------=-==, Shu = 2 Ch2 1 % = Chu + 1, √1-Th¼ √ι~τh2√ 2 2 Sh2 1 « = Chu - 1, Sh2 « - Sh2 v = Ch2 et - Ch2v = Sh (u + v) Sh (u — v), Ch2 w + Sh2 v = Sh2 « + Ch2 v = Ch (u + v) Ch (u — v), m. m. Anm. 1. Enligt (2) finna vi €" = (Ch u + Sh u)" och e-mu = (Ch u — Sh u)", hvaraf fås genom addition och sub- traktion 2 Ch mu och 2 Sh mu uttryckta i digniteter af Ch u och Sh u, en sats motsvarande «Moivres teorem» inom trigonometrien. Anm. 2. Härledningen af föregående formler, såsom grundad på sambandet (10), är synnerligen vig och gör det öfverflödigt att ha dem närvarande i minnet, enär de i ett ögonblick kunna härledas ur sina motsvarande trigono- metriska formler. Den, som icke eger insigt om det bin- dande i en räkning med «imaginärer», är i tillfälle att kontrollera de utvecklade formlerna förmedels den i (3) gifna betydelsen af Ch u och Sh a. Anm. 3. Om vi i (10) sätta « = iu, fås Cos a = Ch ia och Sin c = i Sh eller i Sin a = Sh ia, hvilket sam- ? band tillåter en motsvarande öfvergång från de hyper- boliska till de trigon ometrisk a formlerna. Genom att taga summan Ch ic + Sh ia fås ei" = Cos a + i Sin a , ett väl- bekant uttryck inom trigometrien. 5. Af (3) och (4) fås följande differentiations lagar för F = Chu, n = Shu, t = Thu: dg = Shu. du dn = ChU.du " * (17), 102 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. eller med stöd af (1): de du =- 82 - 1 du=—du . ■ (18), hvilka senare differentialer ha i (5) sina resp, integraler. Enligt (7) och (17) fås slutligen du= do... Cos 9 • ∙ (19), hvars integral är uttryckt i (8). 6. Kurvan ξ = Chu, kallad hyperbolisk kosinoid, ligger symetrisk på ömse sidor om ordinataxeln Γfig. 7] och skär henne på afståndet OA = 1 från origo O. Denna kurva eger flere vackra egenskaper *), hvarpå vi här vilja fästa uppmärksamheten. Om en punkt (u, #) på kurvan utmärkes med’P, så blir enligt formeln - Shu - Tg φ kurvans lutning mot abscissaxeln i denna punkt = çp eller Amh u. Genom att projiciera § = BP på tangenten och dess perpendikel fås med stöd af (7) de resp, projektionerna PT = § Sin @ = Tg9 samt BT = § Cos 9 = 1. Vi ha således funnit ett högst enkelt geometriskt samband mellan de fyra qvantiteterna tt= OB, Chu = BP, Shu = PT och Amhu = A PB T. Genom att fullborda rektangeln B TPN finna vi, att om denne vrides så, att sidan TP tangerar utan att glida, rör sig punkten B på abscissaxeln och punkten T på de- veloppanten till kurvan AP. *) Jfr Gudermann, Potenzial-Funktionen § 74. AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 103 Om o utmärker båglängden AP, så är d u eller bågen AP = rektangelsidan TP. Ytan S = OAPB är = / ∖ξdu = Shu eller = rekt- angeln BTPB. Om Q utmärker kröknings radien, så är ρdφ = do eller med stöd af (19) ρ = Ch2u = PN x PC - PC, då C är PNs träffpunkt med abcissaxeln, hvilket afstånd, afsatt på förlängningen af CP, ger kröknings centrum. 7. Vi gå nu att göra några tillämpningar af de hyper- boliska funktionerna, hänvisande dervid för den numeriska räkningen till Tables numériques*) par P. Hoüel [Paris 1866], hvilka äro utförda med 4 decimaler jämte differenser, en för praktiskt behof fullt nöjaktig approximation [de Gu- dermannska tabellerna upptaga delvis 7 och 9 decimaler], l:o Den kubiska eqvationen xc3 + ax = b, (b > 0). Den «Cardanska» formeln ger x =y+2, y-146+>(62+(a)*j", -146 - (62+(a)2yl, der vi ha att iakttaga vilkoret y 2 = — 4 a. I. För a > 0. Sätt Shu= 46 . (3) , då enligt (1) och (2): *) De rubriker, som innehållas i de Hoielska tabellerna, äro 111 för: Amh(, Th %, Shw, Sh Che, Ch ' hvilka funktioner äro beräknade dels i naturliga värden dels i logaritmer [de Briggiska], i förra fallet såsom svarande mot gifna värden på u, i senare fallet på Mu[M = loge]. > 104 AFD. II. 0M ELLIPTISKA FUNKTIONER. y = 4s a (Chu + Shuj'la = 44 a.(e")"s - 2 = •$ a (Chu - Shuj" = VT a . (e-)%. Om 8 satisfierar eqvationen 83 — 1 = 0, så fås under iakttagande af vilkoret yr = - } a: x = M; a {e'lsu. a — e—’s« . 82} . För de tre rötterna a =1, 8., = —+4/2 och 8, = 8- 1 - 2 2 fås följande värden på x: 1 = 2ha. Sh}u, ( =—221 ±(Va. Ch ju. II. För— a = 0>0. Under antagande af vilkoret 4b > (4 c)%e, sätt Che = 46.(3) 4 då y = Asa (Chu + Shuj'. = N}a .(e")'l, z =Ja (Chu - Shu}". = VT a . (e-w)'l, hvaraf följer x = A sa [e'∣*u . 8 + e-"," . e2} , hvadan alltså x, = 2/$ a . Ch $ «, =-'x±i c.Sh1u. 23 ) 23 Anm. 1. Man jämföre härmed «Casus irreductibilis» ∕3∖¾ [1 b < (3 o)"], då för Cos u = 4 b. ) fås 71 = 2/1 a.Cos4u . 22 ) e /—u ± 7 samt (=210. Cos—— Anm. 2. För b < 0 fås samma rötter men med motsatt tecken, hvarför detta fall icke behöfver någon särskild undersökning. AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 105 Exempel. En komets sanna anomali är för den pa- raboliska banan gifven genom eqvationen *) , , 3 kt Tg3 , v + 3 Tg 1 v = -7=, 4/2 43 der log -------- = 0,6061. Enligt 1 fa vι då — C = 1, V 2 93 6 3 log 1 b = 0,3051 = log Shu /. Mu = 0,6306, } Mu = 0,2102 log Sh j u = 1,7017 .,. log Tg à v = log (2 . Sh 4 u) = 0,0027.. 1 0 = 450 10,8 eller v = 900 21,6, då felet icke öfverstiger 6". 2:0 Kedjelinien, representerad af eqvationeny = a Ch - Genom att sätta - =u och %=g fås t = Chu eller eqva- tionen för den hyperboliske kosinoiden. Häraf följer, att kedjeliniens längddimensioner äro a gånger kosinoidens äf- vensom hennes ytdimensioner a2 gånger den senares, hvilket ock lätt bestyrkes genom direkt räkning. Vi kunna derför omedelbart öfverflytta de i N:o 6 för kosinoiden funna resultaten på kedjelinien. Således är (=Sh==tgg; vidare, om s och r utmärka resp, kedje- liniens båglängd och kröknings radie, så är s = ao =aSh' C och r ≈ ao = «Ch2-. Om slutligen S utmärker den mot a 9 x svarande ytan, är S =C2 = a2 Sh L. — Vi gå nu att lösa det problem, som i mekaniken kallas «konstruktion af kedjelinien», enär vi dervid bli i tillfälle att göra en vacker användning af förut uppvisade räknelagar. En kedja af längden 1 har sina ändpunkter fästade i P och Q, då PQ är hypotenusa till horizontallinien PR = b och vertikallinien RQ = c som kateter ***). Om 1, b *) Gauss, Theoria motus corporum coelestium, art 20. **) Figuren teckne läsaren sjelf i öfverensstämmelse med fig. 7. 106 AFD. II. 0M ELLIPTISKA FUNKTIONER. och c äro gifna, sök a jämte koordinaterna X1 och X2 för resp. P och Q, toppens A djuplek h under horizontallinien b äfvensom kedjeliniens lutningar 91 och 9P2 emot horizon- tallinien i resp. P och Q. Enligt antagande är x1 + 2 = b och yl - 32 = c. Med stöd af (15) och (16) fås l = a) Sh—1 + Sh — = 2 a Ch -1-----------2 . Sh 97, e-a Ch"A LCh49 ≈ 2 « Sh 5L-4a Sh b Häraf framgår med stöd af (1), då vi sätta — = 0: V12-e2_ Sh e b 0 ' en relation, hvaraf e kan numeriskt beräknas samt derpå b C - 20 Vidare erhålles med stöd af (2): l+c = 2 % Sh . Ch - 1 + Sh-1= 2a ( 2 a 2a ) ac, — X b 2 2 a ’ af hvilken relation 1 — x.2 låter beräkna sig, hvarigenom X och 2 bli bekanta. Toppens djuplek h under horizontallinien fås af relationen. C + h=a Ch— C eller, som enligt N:o 4 är detsamma: 7 = ((Ch4 L 1) = 2 a Sh2 21 C 2 a AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER 107 Slutligen fås vinklarne 91 och 92 af formlerna: τg 9-Sh4 och TE 9a=Sh2 Exempel. Antag 7 = 12, b = 10 och c = 2. Vi ha då She = V1,a eller något mer än 1,18. Enligt (9) är ST A 02 94 närmevis n = 1 ++ . 0 + 20 02 = 0,18. 120 eller 035 ' närmevis = 22. Om vi kalla den positiva roten till denna eqvation 01, så är närmevis 61 = 1,022. Men log Sh 01 — log 01 = 0,0832 — 0,0095 = 0,0737. För det rätta θ åter ha vi log Sh 0 - log θ = log ~1,4 = 0,0731, hvadan 01 > 0. Om vi åter sätta 02 = 1,0191 *), så är log Sh 02 — log 02 = 0,0810 — 0,0082 = 0,0728, hvadan 0 > 02, alltså 01 > 0 > 02. She Sh Vi ha 01 - 02 = 0,0029 samt log 0, - log 0,2 = 0,0009 och log S0° — log 5,2 = 0,0003, hvadan alltså till 02 bör läggas på tillbörlig plats , . 29 för att få 0, hvaraf slutligen följer 0 = 1,0201eller 1,02 i det närmaste. Vidare ha vi a = a, — , b 5 , b -12 . . 2 = -— samt 1 + c = 2αSh-.e 2 C , då vi ur tabel- 2 0 1,02 2 a lerna omedelbart finna 1172 hvaraf följa värderna på x och 22, under iakttagande att X1 + %2 =b. Med lätthet beräknas sedan h äfvensom 91 och 92. *) Jfr Hotels tabeller, sid. 52. (Forts.) 108 AFD. IT 0M NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. Om Newtons approximationsmetod med Fouriers tillägg. Af Μ. Falk. Denna metod låter bevisa sig på ett mycket simplare sätt än det vanligen i läroböckerna förekommande, och torde denna uppsats vara af något intresse dels på grund af det här gifna bevisets ytterliga enkelhet och dels derför, att den uppvisar metodens användbarhet äfven vid beräk- ning af transscendenta*) eqvationers reella rötter. Här är blott fråga om reela x-värden. Låt f(x) vara en algebraisk eller transscendent mellan två värden x = a och x = ß reel och kontinuerlig funktion, hvars första och andra derivator äfven äro reella och kon- tinuerliga inom samma gebit. Om då hvarken x = a eller x = a + h faller utom samma x-gebit, har man enligt Taylors teorem Ka + h) =/(a) + hf(a) + 2/"(a + 9h), (0 s 9 < 1) . (1). Har nu eqvationen » = 0........................(2) en rot mellan a och ß, så kan denna rots exakta värde representeras med x =a+ h, der vi antaga « vara ett nära intill roten valdt värde; man har då Ka + h) = 0 och således enligt (1) häf"(a + 91) + 2 hf(a) + 2/(a) = 0 , hvilken, under förutsättning att f"(x) = 0 icke har någon rot mellan gränserna, ger *) Vid transscendenta eqvationer verkställes approximationen vanligen medelst den s. k. »regula falsi». Jmfr t. ex. Schlömilchs Handbuch d, Algebr. Anal. 3:dje uppl. Anhang § 37. Att dock stun- dom här nedan stående formel (6) användes, inses af Diengers Differential- und Integralrechnung, Anhang II. AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. 109 f(a) ± ~[f (a)]2 - 2 f(a) "(a + 9h) f"(a + 9h) der tecknet framfor qvadratroten måste tagas motsatt mot tecknet hos f(a), enär h skall hafva mycket litet talvärde. Förlänges högra membrum med f(a) = Alf (a)]2-2/(a)f"(a + 9h, så. erhåller man T =________________2/(0)____________ J(a)= M[/(a)]2—2 K(a)f (a+9h) der alltså qvadratroten måste förses med samma tecken som f"(a) har. Som nu a ligger nära intill roten, har f(a) mycket litet talvärde. Har vidare f(x) = 0 ingen rot mellan a och ß, så är talvärdet hos f(a) icke mycket litet. Som vidare f"(a) och f"(a + 9h) hafva samma tecken, enär icke heller f"(x) = O har någon rot mellan de uppgifna gränserna, så kan man genom att skrifva (4) sålunda 2/(a) f(a) 2 K(a)f"(a + 9h) [f (a)]2 1 ...(5), der nu vilkoret om qvadratrotens tecken är uppfyldt, lätt finna, att det ur eqvationen __2/(a) TW + A/T] eller hy f(a) ∕(") (6) [1 ÷ V1 - h beräknade hy har mindre talvärde än och samma tecken som det rätta h-värdet, hvilket skulle beräknas ur (4), blott man tillika har Ka) "(a) > 0 • Då kommer således a + hy att vara ett närmare än a intill roten liggande värde d. v. s. en bättre approximation än a är. Den regel, vi nu funnit och som just utgör Newtons approximationsmetod med Fouriers tillägg, lyder alltså på följande sätt: 110 AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. Om f(x) = 0, der f(x) är en kontinuerlig funktion för alla x liggande mellan två hvarandra nära belägna vär- den a och ß, mellan samma gränser har en enda rot, men eqvationerna f(x) = 0 och f"(x) = 0, der f"(x) och f"(x) äro kontinuerliga för samma x-värden som f(x), icke hafva någon rot mellan samma gränser, så får man ett på samma sida om roten men närmare än a intill densamma liggande värde genom att till detta lägga hl beräknadt ur eqvationen f(a) ~ f(a)'. såvida detta a gör f(a) f"(a) > o, hvilket under nu gjorda antaganden nödvändigt inträffar på ena sidan om roten, enär f(x) mellan x = a och x = β är ständigt växande eller ständigt aftagande och således ändrar tecken, då x pas- serar öfver roten — allt detta på grund deraf att f(x) har konstant tecken för alla x mellan a och ß. — Kallar man det nya värdet a + hy för C1, så har man äfven för det- samma f(aj)f"(a1) > 0, enär C1 ligger på samma sida om roten som a gör, och man får derför en ännu bättre approximation genom att till ai lägga h2 beräknadt ur eqvationen 7 __K(a) 2 J'(a,)' och som äfven detta nya värde ligger på samma sida om roten, kan man taga detsamma till begynnelsevärde och göra ännu en approximation o. s. v., så länge man behagar och finner behöfligt. Kallar man k det värde på h, som fås ur (5) genom att i nämnaren i högra membrum bortstryka 9h, så har man k = — 2/(a) .........(7), och a + k blir då ett närmare än a intill roten och på samma sida om henne liggande värde d. v. s. en bättre approximation än a, så ofta som f"(x) = 0 icke har någon rot mellan a och β och dessutom 1.11 OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. AFD. II. 2/(a)f (a) _ 29hf(a)f"(CI+19h). [f (a)]2 be- Nu äro f(x) (8), sak och och der e är planetbanans excentricitet. Då x ligger mellan 0 och 7, har man Sin x> 0 och således x > m men < m + e. Då x ligger mellan n och 27r, ligger ock m mellan samma gränser; detta fall kunna vi förbigå, enär det reduceras till föregående genom att ändra x till %π — x och m till och nämnaren i (5) är således alltid numeriskt mindre än nämnaren i (7) d. v. s. h numeriskt ~ k, så snart som h och f(a)f "(a + 19h) hafva samma tecken. Som nu f"(a) 2n — m. Vi läget mellan [/(a)]2 Sage „ e 190 a. 648000" e Satter man r = — 180 .60. 60 = —------------- 70 π allmänhet då x ligger ofvanför roten. Kallas ett dylikt ofvanför roten liggande x för a, så fås en bättre approxi- mation genom x = a + h1, der . a — e Sin « - m ‘1 1 — e Cos α ’ 1 _ 2 / a)f"(a + 9h) - 1 antingen a är < roten och f(a)f"(a) > 0 eller ock a är > roten och f(a)f"(a) < 0. Denna approximationsregel, innefattad i (7), bevisas nemligen lätt sålunda. Man har enligt Taylors teorem f(a + 9h = f"(a) + 9h/"(a + 291) (0 < 1s 1) och således och f"(a + 19h) hafva samma tecken, innebär detta samma, som att antingen a skall vara < roten (h > 0) f(a)f"(a) - 0 eller ock att a skall vara > roten (h < 0) f(a)f"(a) < 0. Detta bevisar satsen. Ex. Keplers problem att ur anomalia media m räkna anomalia excentrica x. Eqvationen är f(x) =x—e Sin a — m = 0, antaga alltså 0 < m < 7 och hafva då x be- samma gränser. Här hafva vi f(x) =1 — e Cos x f'∖x) = c Sin x f"(x) = e Cos x. och f"(x) båda positiva, då x = mn + c och i 112 AED. IL OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. så kan man beräkna hy i sekunder medelst formeln Som numeriskt exempel välja vi e = 0,0167922 (jordbanans excentricitet), hvaraf log e = 0,2251076-2 och enligt (8) 10g c" = 3,5395327, hvaraf c" = 3463", 6 = 57, 43", 6. Tages nu m = 499,27, 11",3, så. får man a = m + ” = 500, 24', 54", 9. Alltså log c” = 3,5395327 log Sin a ≈ 9,8868757 - 10 log (c" Sin α) = 3,4264084, c" Sin a = 2669", 37 = 44, 29", 37, hvarför f(a) = m + c" — c” Sin a — m = c — c" Sin a = = 57, 43", 6 - 44, 29", 37 = 13, 14", 23 = 794", 23 , log/(a) = 2,8999463. Vidare är log e = 0,2251076 — 2 log Cos a ≈ 9,8042887 - 10 log (e Cos a) = 0,0293963 — 2 e Cos a = 0,0107003 f(a) = 1 - e Cos a = 0,9892997 1°g√¼) = 0,9953279 - 1. Alltså log/(a) = 2,8999463 - log / (a) = — 0,9953279 + 1 l°g (- 2,9046184 h, = - 802", 82 = - 13, 22", 82 a, = a + h = 50°,24', 54", 9 - 13, 22", 82 eller . ax = 50°, 11', 32", 08. Annu en approximation sker sålunda log c" = 3,5395327 log Sin α1 = 9,8854725 - 10 log (c Sin ap) = 3,4250052 : c" Sin a, = 2660", 757 = 44', 20", 757 AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. 113 f(ai) = ax - C" Sin a1 - m = 50°, 11', 32", 08 - 490, 27', 11", 3 - 44, 20", 757 = 44‘, 20", 78 - 44, 20", 757 ∕(¾) - 0",023 log/(a1) = 0,3617278 - 2. log e = 0,2251076 - 2 log Cos 41 = 9,8063249 - 10 log (e Cos ap) = 0,0314325 — 2 e Cos a, = 0,0107506 ∕(α1) = 0.9892494 log / (a1) = 0,9953058 - 1 log/(a1) = 0,3617278 - 2 - 1°gZ(^ι) = - 0,9953058 + 1 log(- ^) = 0,3664220 - 2 12 = - 0",023 ( = Cp + λ2 = 50°, 11, 32", 08 - 0",023 eller C2 = 50°, 11, 32",057. Alltså var redan approximationen 2 = C fullt tillräcklig. Som exempel på användningen af formeln (7) taga vi samma Keplerska problem med samma excentricitet men sätta m = 1800 - 690,3', 10"; ty då får man, för a = m < roten, f(a) .f"(a) < 0, såsom vilkoret nu skall vara. Vi hafva nemligen f∖x} = e Cos a. Räkningen, som lätt begripes utan vidare förklaringar, sker nu utan svårighet på följande sätt: log c" = 3,5395327 10g Sin a = 9,9703051 - 10 log (€”Sin a) = 3,5098378 - log [-/(a)], enär/(a) = a - c" Sin a — m - m — c' Sin a - m = -c” Sin a, då /(a) uttryckes i sekunder. Som vi tillika behöfva f(a) uttryckt i båge för beräkningen af qvadratroten i (7), måste vi äfven utföra följande räkning nemligen 8 114 AFD. ∏. om NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. log e = 0,2251076 - 2 log Sin a = 9,9703051 — 10 log[-f(a)] = 0,1954127 - 2 = log f"(a). log e = 0,2251076 - 2 log (- Cos a) = 9,5532856 - 10 log (- e Cos a) = 0,7783932 - 3 J(a) = 1 - e Cos a = 1 + 0,00600334 = 1,00600334 log/"(a) = 0,0025994 log 2 = 0,3010300 + log [-f(a)] ≡ 0,1954127 - 2 + log/"(a = 0,1954127 - 2 0,6918554 - 4 - 2 log∕(α) = - 0,0051988 0,6866566 - 4 A = V 1 - - = ~/1 + 0,000486023 = 1,00024 .. log (1 + V/A) = log 2,00024 = 0,3010821 ____log/(a) = 0,0025994 log N = log[/(a)(1 + √4)]= 0,3036815 ’ log 2 = 0,3010300 log [-f(a)] = 3,5098378 log [- 2/(a)] = 3,8108678 - log - 0,3036815 log ½ = 3,5071863 7 = 3125", 04 = 53, 35", 04 af=a+k = 1800 - 69°, 3', 10" + 53', 35", 04 = 1800 - 68°, 9', 34", 96 a,' = 111°, 50', 25', 04. För att utröna, hur pass tillförlitligt detta värde, som är något för litet, kan vara, verkställa vi en approxi- mation enligt formeln (6) eller (9) begynnande med värdet a = m + C", hvilket ger oss ett värde > roten. Vi hafva då a = me + c" = 180° - 699, 3', 10" + 57, 43", 6 eller a = 1800 - 680, 5, 26", 4 = 1112, 54, 33", 6 AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. 115 log c" = 3,5395327 log Sin g = 9,9674429 - 10 log (e” Sin a) = 3,5069756 d"Sin a = 3213", 48 = 53', 33", 48 K(a) = m + c" - c" Sin a - m = 57', 43', 6 - 53', 33", 48 = 4', 10", 12 = 250", 12 log/(a) = 2,3981484 log e = 0,2251076 - 2 log (- Cos a) = 9,5718706 - 10 log (-e Cos a) = 0,7969782 - 3 f(a) = 1 - e Cos a = 1 + 0,0062658 logf(a) = 0,0027127 log f(a) = 2,3981484 _-log/(a) = - 0,0027127 Iog(- ⅛) - 2,3954357 Th, = - 248", 56 - - 4', 8", 56 41 = a + 71 = lllθ5 54, 33', 6 - 4', 8", 56 eller a = 111°, 50', 25', 04. Som detta värde alldeles sammanfaller med det enligt (7) beräknade, äro alla siffrorna riktiga. Då m är mycket nära = 90°, är x äfven nära detta värde och således Sin x mycket nära = 1. I detta fall ligger m + c" så nära x (på grund af eqvationen x = m + c Sin x), att redan a = m + c" är en god approximation. Vill man då hafva ett fullt tillräckligt noggrannt värde på x, kan man nöja sig med a}, beräknadt ur den ytterst enkla eqvationen C1 = m + c" Sin a. Om man t. ex. hade samma excentricitet som förut men m = 890, 59, 10", så blir a =m+C = 900, 56, 53", 6. Man får då log c" = 3,5395327 log Sin a = 9,9999405 - 10 log (c" Sin α) = 3,53947 32 116 AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. c" Sin a = 3463", 17 = 57°, 43", 17, och således 4 = 89°, 59, 10" + 57,43, 17 eller a = 90°, 56, 53", 17. För planetbanor med så liten excentricitet som jord- banans är alltså approximationen så rask, att formlerna (6) eller (7) blott en enda gång behöfva användas. Natur- ligtvis räcker ej en approximation, då excentriciteten har något större värde. För att få ett begrepp om, hur pass användbar metoden i ett sådant mindre gynsamt fall är, taga vi följande exempel. e = 0,25586 (= excentriciteten hos Junos bana). m = 42°, 15, 50" loge - 0,4080024 - 1 + log 648000 ≈ 5,8115750 5,2195774 - log π = - 0,4971499_______ log c" = 4,7224275 c" = 52774", 91 = 140, 39', 34", 91 a = m + C" = 56°, 55', 24", 91 log c" = 4,7224275 log Sin a = 9,9232147 - 10 log (e" Sin a) = 4,6456422 e" Sin a = 44222", 39 = 12°, 17, 2", 39 f(a)= C’ - €" Sin a = 8552", 52 log/(a) = 3,9320941 log e = 0,4080024 - 1 log Cos a = 9,7369993 - 10 log(eCos a) = 0,1450017 - 1 e Cos a = 0,139637 f(a) = 1 - e Cos a = 0,960363 log/(a) = 3,9320941 - log / (a) = - 0,9824355 + 1___ log (- 7) - - 3,9496586 7 = - 8905", 506 = - 2°, 28, 25", 506 4 = a + 7 = 569, 55', 24", 91 - 20, 28', 25", 506 AFD. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. 117 eller Cy = 549, 26, 59", 404. log c" = 4,7224275 log Sin a1 = 9,9104146 — 10 log (c" Sin ap) = 4,6328421 r" Sin 4 = 42938", 03 /(a) = 4 - m _ e" Sin ¾ = 43869", 404 - 42938", 03 = 931", 374 log/(a1) = 2,9691241 log e = 0,4080024 - 1 log Cos 41 = 9,7644866 - 10, log (e Cos ap) = 0,1724890 — 1 e Cos 41 = 0,148761 f(a) = 1 - e Cos a = 0,851239 1°g∕(¾) = 2,9691241 - log / (a1) = — 0,9300515+1 log(- ^2) = 3,0390726 12 = - 1094", 14 = - 18', 14", 14 C2 = 4 + h2 = 54°, 26', 59'', 404 - 18', 14", 14 eller a, = 540, 8', 45", 264. log c" = 4,7224275 log Sin a2 = 9,9087591 — 10 log (e" Sin α2) = 4,6311866 c" Sin a2 = 42774", 66 /(a) = a -m - c Sin a = 42775", 264 - 42774", 66 f(a2) = 0",604 log f(a2) = 0,7810369 - 1 log e = 0,4080024 - 1 log Cos α2) = 9,7676924 — 10 log Cos ap) = 0,1756948 - 1 e Cos ag = 0,149863 ∕'(α2) = 0,850137 log/(ag) = 0,7810369 - 1 - I°g,∕¼) = - 0,9294889 + 1 10g(- ha) = 0,8515480 - 1 ⅞ = - 0",710 aa = a, + ha = 54°, 8', 45", 264 - 0",710 = 54°, 8', 44", 554 118 AED. II. OM NEWTONS APPROXIMATIONSMETOD. Åfven i detta ogynsamma fall kan icke felet i C2 belöpa sig till 1"; felet i ¾ är säkerligen betydligt mindre än 0",1. Redan C. kan således anses för en ganska god appro- ximation. Klart är, att vid beräkningen af a kunde man ej behöft så omsorgsfullt korrigera logaritmerna som här skett. Att approximationen medelst (7) under i öfrigt lik- artade omständigheter är mycket skarpare än den genom (6) erhållna, inses lätt af följande exempel. Vi taga samma excentricitet som i senaste räkning och sätta m = 180° - 699, 3’, 10". Då erhålles medelst (7), om man tager m till begynnelse- värde a, a\ = 1800 - 560, 47, 46", 68. Enligt (6) fås åter, om man sätter a = m + c"d. v. s. a = 1800 - 549, 23, 35", 09, successive 4p = 1800 - 56°, 46, 42", 88 och ¾≈ 1800 = 569, 47, 16", 00, hvilket sista värde knappt är felaktigt på 0",01. Vi finna nu a - α∖ = 30", 68 ax - 2 = 34", 12 ag - m = 120,15', 54" (m + €) - a = 20, 23', 40", 91, d. v. s. att resultatet a1 af en approximation medelst (7) ligger närmare det rätta värdet a2 än resultatet C1 af en approximation medelst (6), oaktadt vid användningen af (7) begynnelsevärdet m låg nära 10° längre bort från roten C. än hvad det i (6) använda begynnelsevärdet a gjorde. Detta företräde, som formeln (7) har framför (6), motväges dock dels deraf, att den förra är mer komplicerad än den senare, och dels och i synnerhet deraf, att vilkoren för (7) mindre ofta äro uppfyllda än vilkoren för (6). Så kunde i vårt exempel formeln (7) blott användas, då både x och begynnelsevärdet a lågo i andra qvadranten, under det att (6) var användbar både i första och andra qvadranterna. AFD. III. OM LUFTENS GENOMTRÄNGLIGHET FÖR LJUDET. 119 AFDELNING III. Tyndall. Om luftens större eller mindre genomträng- lighet för ljudet. Den berömde engelske fysikern, Prof. Tyndall, har den 16 sistlidne Januari uti Royal Institution redogjort för en intressant undersökning rörande luftens större eller mindre genomtränglighet för ljudet. Han hade nemligen erhållit i uppdrag af The Trinity House, att bestämma de afstånd på hafvet, hvarpå de olika, af sjömännen under tjocka och mist använda signalerna, såsom roparen, marin- trumpeten, hvisselpipan, kanonskotten, o. s. v., kunde höras, samt att söka utreda de förhållanden, af hvilka dessa afstånd äro beroende under atmosferens olika tillstånd. Sedan signalapparaterna anbragts på en lämplig punkt af kusten vid South Foreland i närheten af Dover, gick han ombord på en ångare, som af regeringen ställts till hans förfogande, och genom att aflägsna sig från eller närma sig till kusten bestämde han det största afstånd, hvarpå de olika signalerna kunde uppfattas. Härvid öfverraskades han af åtskilliga egendomliga oregelbundenheter, som till en början föreföllo oförklarliga. Hittills hade man nem- ligen utan vidare undersökning antagit, att ljudvågorna borde fortplanta sig längst och regelbundnast vid klart och lugnt väder, framför allt om en lätt bris förde ljudet med sig. Tyndalls undersökning visar, att detta antagande ej är grundadt. Den 25 Juni, ehuru vinden var gynnande, hördes ej signalerna från marintrumpeten och skotten från en 18- pundare längre än 83/4 kilometer (31/3 svenska 1/4 mil) ut på hafvet. Följande dagen, den 26, hördes samma ljud 120 AFD. III. OM LUFTENS GENOMTRÄNGLIGHET FÖR LJUDET. 17 kilometer och detta fastän vindens rigtning var rätt motsatt den, i hvilken ljudet fortplantade sig. Den 1 Juli herrskade likaledes motvind och dessutom en tjock dimma; icke desto mindre hördes samma signaler 201/2 k. m. (72/3 sv. 1/4 mil), eller betydligt mer än dubbelt längre än i första fallet, då luften var klar och vinden gynnande. Dagen der- efter, den 2 Juli, bief luften utan någon synlig meteoro- logisk orsak i ytterlig grad ogenomtränglig för ljudet, i det att kanonskotten ej hördes mer än 63/4 k. m. från kusten. Följande dag, den 3 Juli, då vädret var klart, temperaturen ovanligt hög och hafsytan jemn som en spegel, måste man närma sig kusten på 31/2 k. m. (11/3 sv. 1/4 mil), innan kanonskotten blefvo hörbara. På större afstånd syntes med största tydlighet rökmolnet vid hvarje skott, men ej det ringaste ljud kunde förnimmas. Af dessa iakttagelser framgår sålunda, att en lugn och klar luft ingalunda är gynsam för ljudets fortplantning, och att den öfverensstämmelse mellan luftens genomtränglighet för ljuset och för ljudet, som Dr Derham (1708) trodde sig hafva funnit och som alltsedan antagits, alls icke före- finnes. Vi öfvergå nu till den förklaring, som framställts af Tyndall. ' Den 3 Juli, en dag då, såsom vi sett, ljudet af sig- nalerna ej hördes mer än 31/2 k. m. från kusten, var luften fullkomligt lugn och ovanligt varm. Strålarne från en brännande sol, hvilka träffade hafsytan, förorsakade en ovanligt stark afdunstning. Den bildade vattenångan blan- dade sig icke med luften så, att blandningen blef homogen, utan det uppkom vertikala lager eller kolonner af be- tydligt olika mättningsgrad och täthet. De för ögat osynliga ytor, som begränsade dessa lager af olika täthet, för- orsakade med nödvändighet så att säga partiella ekon, eller en oregelbunden reflektion och brytning af ljudvågorna, hvarigenom ljudet i hög grad försvagades. Denna förklaring blef i viss mån bekräftad genom en annan iakttagelse från samma dag. Det inträffade nemligen, att ett tjockt moln för en AFD. III. OM LUFTENS GENOMTRÄNGLIGHET FÖR L.TUDET. 121 stund bortskymde solen, hvilket hade till följd, att afdunst- ningen från hafsytan och de uppstigande luftströmmarna försvagades, hvarvid den redan bildade ångan hann att diffundera och fullständigare blanda sig med luften. Inom några få minuter växte det afstånd, hvarpå kanonskotten hördes, från 31/2 k. m. till 33/4 k. m. Detta afstånd ökades mot aftonen i den mån, som solen närmade sig mot hori- zonten, och uppgick vid solnedgången till 121/2 k. m. (61/4 sv. 1/4 mil). - För att på ett slående sätt uppvisa ljudets reflektion vid öfvergången från ett gasformigt medium till ett annat af olika beskaffenhet, har Tyndall med vanlig skarpsinnighet anställt följande experiment. Framför ena ändan af ett långt rör, fylldt med ren luft, sattes en liten klocka i rö- relse. Ljudvågorna, som från densamma fortplantade sig genom röret, träffade vid dess andra ända en känslig låga, hvilken var så afpassad, att den dervid försattes i vibra- tioner genom resonnans. Medelst en lämplig mekanisk tillställning bragtes nu tvenne gaser af mycket olika täthet, kolsyra och lysgas, att i vexlande lager, samtidigt, i mot- satta riktningar strömma genom röret vinkelrätt emot dess längd och mot ljudets fortplantningsrigtning. Ehuru klockan fortfor att ljuda som förut, förblef gaslågan vid rörets andra ända nu i hvila, alldenstund ljudet reflekterats mot de många ytorna, som begränsade de olika gaslagren. Tyndall jemför denna ljudets reflektion med ljusets åter- kastande från hafsskummet, molnen, snön och andra genom- skinliga föremål i fint fördeladt tillstånd. Med kännedom af detta experiment och Tyndalls derpå grundade teori är ej svårt att förutse, hvad infly- tande häftiga regnskurar utöfva på ljudets styrka. Genom regnet hämmas nemligen afdunstningen och luften göres mera homogen, hvarför det afstånd, hvarpå ljudet är hör- bart, derigenom bör ökas. Detta öfverensstämmer också med Tyndalls iakttagelser. På morgonen den 8 Oktober kunde kanonen med svårighet höras på ett afstånd af 83/4 122 AFD. III. OM LUFTENS GENOMTRÄNGLIGHET FÖR LJUDET. k. m. från engelska kusten. På e. in. inträffade en häftig regnskur blandad med hagel; ljudet hördes genast starkare, och då ångaren aflügsnade sig från kusten kunde det ännu tydligt urskiljas på ett afstånd af 12 k. m. Man har hittills antagit, att mist och täta dimmor vore hindrande för ljudets fortplantning. Några observationer, nyligen anställda af Tyndall på den lilla sjön Serpentine River i Hyde Park i London, hafva emedlertid ledt till ett rakt motsatt resultat och lända således till en ytter- ligare bekräftelse på hans anförda teori. Han fann nem- ligen derstädes, att den 10, 11 och 12 December, under hvilka dagar hela London var insvept i en ovanligt tät dimma, hördes ett ljud på ett betydligt större afstånd än under de närmast föregående och efterföljande klara da- garna. Väderleken var under de nämnda dagarna temligen kall och den ringa mängd vattenånga, som möjligen bil- dades, utfäldes genast åter, så att några upp- och ned- gående luftströmmar af olika täthet ej kunde uppkomma. Tvärtom torde svårligen vid något tillfälle luft och vatten- ånga vara mera homogent blandade än just under dimma. Samma orsaker, som i högsta grad bidraga till att göra luften ogenomskinlig för ljuset, underlätta således ljudets Tyndall nämner slutligen, att han erhållit den första idéen till den ofvannämnda förklaringen ur Alexander von Humboldts iakttagelser vid Niagara. Humboldt omnämner, att bruset från detta vattenfall höres tre gånger längre om natten än om dagen, och anser orsaken dertill vara den, att under dagen de talrika klippor, som ligga spridda på den omgifvande slätten, utaf solstrålarna upphettas vida starkare än gräsmattan. Derigenom uppkomma öfver dem uppstigande luftströmmar af uppvärmd, förtunnad luft, och ljudet försvagas enligt hans åsigt genom reflektion mot de ytor, som begränsa de sålunda bildade luftmas- sorna af olika täthet. H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON. AFD. I∏. OM SVAFVELSYRE-HYGROMETERN. 123 Meteorologiska notiser, meddelade af R. RUBENSON. Svafvelsyre-hygrometern. Bland alla instrument för bestämmandet af luftens fuktighetshalt anses med rätta den s. k. psykrometern vara det bästa. Om ock andra hygrometrar blifvit konstruerade, hvilka, såsom den Regnault'ska, gifva säkrare absoluta värden, lämpa de sig dock icke särdeles väl för fortgående observationsserier, emedan observationens utförande fordrar för lång tid. Annu mindre låta sådana slags apparater använda sig vid sjelfregistrerande instrumenter. Psykro- metern deremot, hvars observerande sker genom afläsning af tvenne termometrar, den ena torr och den andra fuktad med vatten, är användbar i alla de fall, då en vanlig termometer kan observeras, kan således äfven användas, när afläsningen skall ske kontinuerligt medelst registrering, hvarpå den Theorellska registrerings-apparaten gifver ett lysande bevis. Detta oaktadt är psykrometern under vissa förhål- landen ett ganska opålitligt instrument. Ju djupare luftens temperatur sjunker under fryspunkten, desto okänsligare blir instrumentet, och de observationer, som anställas med detsamma vid — 150 eller derunder hafva föga eller intet värde. Af denna orsak har man länge varit betänkt på konstruktionen af andra hygrometrar, hvilka skulle kunna ersätta psykrometern, åtminstone under den kalla årstiden. Herr Whitehouse i London har på sednaste tider föreslagit att för bestämmande af luftens fuktighet begagna tvenne termometrar, den ena torr och den andra fuktad med koncentrerad svafvelsyra. Om man nemligen doppar kulan af en termometer i denna vätska och efter dess upplyf- tande låter den öfverflödiga syran afrinna, stiger termo- metern flera grader öfver luftens temperatur till följd af den värme utveckling, som uppkommer derigenom att syran 124 AFD. III. OM SVAFVELSYRE-HYGROMETERN. drager till sig vatten ur luften. Denna temperaturförhöj- ning är, enligt Whitehouse’s undersökningar, till sin storlek hufvudsakligen beroende af den mängd vattengas, som för tillfället finnes i luften. Genom en enkel sifon- inrättning kan ett passande tillflöde af syra till termo- meter-kulan åstadkommas. Det är klart, att en sådan svafvelsyre-hygrometer bör kunna göra tjenst lika väl vid lägre som vid högre temperaturer. Samma princip för uppmätningen af den atmosferiska fuktigheten har redan förut varit föreslagen af de la Rive i Genève. Aterstår emellertid ännu att genom noggranna försök utröna instrumentets brukbarhet och finna de metoder, medelst hvilka den absoluta och relativa fuktigheten i luften kunna ur instrumentets angifvelser med säkerhet härledas. Jemförelse mellan de i olika länder använda barometrar, Sednare tiders meteorologiska undersökningar skilja sig, såsom bekant, från förra tiders hufvudsakligen der- igenom, att större afseende fästes vid de meteorologiska företeelsernas utbredning öfver vidsträckta delar af jord- ytan. Hittills hafva dessa omfattande jemförelser före- trädesvis egnats åt lufttryckets fördelning och vindens olika rigtningar inom det undersökta området. För att finna lufttryckets förändring från en ort till en annan vid en gifven tid eller i medeltal för en viss längre - tidrymd, en månad eller ett år, måste de på dessa orter tagna baro- meterobservationer genom förutgångna räkningar göras jemförbara med hvarandra. Utom den vanliga korrektio- nen för qvicksilfrets och skalans temperatur erfordras äfven, att orternas olika höjder öfver hafsytan tagas med i beräkning. Genom att på de aflästa värdena anbringa dessa korrektioner, lyckas man dock endast i det fall att AFD. III. 0M OLIKA LANDERS BAROMETRAR. 125 göra observationerna fullt jemförbara, när alla öfriga om- ständigheter, som på qvicksilfverpelarens höjd i instru- mentet utöfva något inflytande, äro lika. En sådan full- komlig likhet mellan tvenne barometrar förekommer dock högst sällan. Qvicksilfrets större eller mindre grad af renhet, skalans mer eller mindre noggranna gradering och exakta längd, den s. k. kapillaritetens olika storlek i olika vida rör, äro allt omständigheter, som bidraga att åstad- komma större eller mindre skiljaktigheter emellan det ena instrumentets angifvelser och det andras. Att förse alla meteorologiska stationer med i alla hänseenden fullkomligt felfria barometrar låter sig ej göra, vore det ock endast för de härmed förknippade stora kostnaderna. För att emel- lertid, oaktadt dessa olikheter och ofullkomligheter, ernå jemförbara resultat, vidtages nu mera inom alla länder, der en Central-anstalt för Meteorologi är upprättad, den åtgärden att såväl vid stationernas första upprättande, som ock tid efter annan under till dem företagna resor jemföra alla inom observationsnätet använda barometrar med ett och samma instrument, hvars stånd är kändt i förhållande till en med största omsorg förfärdigad barometer, den s. k. normal-barometern. Då emellertid äfven de vanligast förekommande un- dersökningar icke inskränka sig till ett särskildt land, utan omfatta flera observationsnät, måste den frågan uppstå: äro normalbarometrarne i de särskilda länderna sinsemellan komparabla? Om detta icke är händelsen, kunna natur- ligtvis observationerna från de olika länderna icke utan vidare sammanställas med hvarandra. Ehuru det är an- tagligt, att man öfver allt vid Central-anstalter och Obser- vatorier gjort sitt bästa för att erhålla fullt rigtiga normal- instrument, har dock erfarenheten visat, att de i olika länder befintliga normaler icke öfverensstämma fullkomligt med hvarandra. Att en sådan olikhet verkligen förefinnes, har blifvit ådagalagdt genom de jemförelser, som åtskilliga veten- 126 AED. III. OM OLIKA LÄNDERS BAROMETRAR. skapsmän tid efter annan under sina resor i Europa an- ställt emellan normalinstrumenten på de särskilda hufvud- orterna och en medförd god res ebarometer. Sednaste undersökning af detta slag utfördes om som- maren 1866 af marinlöjtnant Rikatcheff, anställd vid physi- kaliska Central-observatoriet i St. Petersburg. På sin resa genom Europa medförde Herr Rikatcheff en engelsk baro- meter, hvilken han före afresan och vid återkomsten korn- parerade med den i Ryssland använda normalen. Han besökte äfven Sverige och utförde i vårt land barometer- jemförelser med de i Stockholm och Upsala befintliga normal-barometrar. Resultaten af hans jemförelser hafva varit i flera sär- skilda arbeten publicerade. Emellertid har Professor Jelinek i Wien nyligen företagit en granskning' af de meddelade talen och funnit att vid deras beräkning ej fullt rigtiga förfaringssätt blifvit använda, hvarför han ånyo ur Rika- tcheffs observationer beräknat ifrågavarande korrektioner. I följande tabell meddela vi de af Jelinek erhållna vär- den med utélemnande af tredje decimalen. Talen angifva, huru mycket bör tilläggas ( + ) eller fråndragas (—) de respektiva normalernas angifvelser, för att dessa skola blifva lika med afläsningen på det vid Pariser-observa- toriet såsom normal använda instrumentet. Olikheterna äro, enligt hvad tabellen utvisar, ej större än att de i vanliga fall vid konstruktion af synoptiska_ kartor kunna saklöst lemnas å sido. millimeter. Greenwich.....................................+ 0,15 Brussel.......................................+ 0,40 Utrecht.......................................— 0,41 München.........................................-0,22 Berlin (Dove).................................—0,20 Petersburg (Phys. Centr. Obs.)................+ 0,26 Pulkowa —0,23 Petersburg (Akad.) ......................................................—0,05 AFD. III. OM OLIKA LANDERS BAROMETRAR. 127 millimeter. Stockholm.....................................— 0,01 Upsala........................................+0,15 Köpenhamn.......................................-0,34 Christiania...................................+ 0,40 H. Mohn. Hafsytans temperatur mellan Norge ooh Spetsbergen. *) Hösten 1872 underrättade Stiftsamtmannen i Tromsö den norska regeringen, att sex norska fångstfartyg ännu på senhösten icke återkommit från Spetsbergen och att det vore att befara, att deras besättningar vore stadda i nöd derstädes. Då det ansågs möjligt att bispringa dem före vinterns inbrott, befraktade regeringen genast ångfartyget «Albert» från Tönsberg och utrustade detsamma till en vinterexpedition till Spetsbergen under befäl af Kapten- löjtnanten Otto. Vi erinra oss det lifliga deltagande, hvar- med denna expedition följdes äfven här i Sverige, hvarest vi i följd af »Gladans» uteblifvande saknade närmare un- derrättelser om den vid norra Spetsbergen öfvervintrande svenska nordpolsexpeditionen. Vi minnas ock, att «Albert» tvingades att återvända med oförrättadt ärende. Då emel- lertid en uppsättning af väl undersökta instrumenter med- sändes fartyget af det meteorologiska institutet i Christiania och dessa under resan flitigt användes, så blef expeditionen för vetenskapen ej utan nytta. Ur den intressanta fram- ställning af de i detta afseende vunna resultaten, som gjorts af Professor H. Mohn, vilja vi här i korthet om- nämna resultaten af iakttagelserna rörande hafsytans tem- peratur, emedan de besvara den så mycket omtvistade *) «Alberts» Expedition till Spidsbergen i November og Decem- ber 1872 og dens videnskabelige Resultater. Christiania Vidensk. Selsk. Forh. 1873. 128 AFD. III. OM HAFSYTANS TEMPERATUR ETC. frågan, hvart Golfströmmen norr om Nordkap vänder sig under vintern, en fråga, som på det närmaste samman- hänger med den om lämpligaste vägen för ett framträn- gande mot polen. Sedan »Albert» i Hammerfest af ett återkommet fångst- fartyg erhållit underrättelser om, att de ännu på Spets- bergen qvarvarande besättningarna sökt att framtränga till Isfjorden, för att ' uppnå de af svenskarna der nedlagda förråden, lemnades nämnda stad middagstiden den 21 November och kursen sattes på Isfjorden. Vädret var temligen gynnande och Beeren Eiland passerades den 23 på förmiddagen. Följande dag då man var på höjden af Spetsbergens sydkap utbröt én svår östlig storm, som utan afbrott varade i 4 dygn. För att icke drifva in på isen, som antogs ligga i norr och vester, hölls sydlig kurs, men oaktadt maskinen oupphörligt arbetade, dref fartyget ej obetydligt åt vester. Sjön var ytterst våldsam och rodret skadades. Under fortfarande stark / sjögång hölls kursen oförändrad till den 29 på aftonen, då man kommit ända ned på 741/2° lat. Då stormen lagt sig, styrdes åter mot norr, men d. 1 Dec. kom en ny rasande storm från sydost, som tvang expeditionen att för andra gången vända om. Då kolförrådet nu var starkt medtaget, så ansågs nödvändigt att uppgifva företaget och återvända till Norge. Vinden blef gynnande och den 16 December var «Albert» åter i Tönsberg. Under hela resan utfördes regelmässiga meteorologiska iakttagelser kl. 8 f. m. och 8 e. m. och från den 23 Nov. till den 5 Dec. observerades hafsvattnets temperatur en gång i vakten. De på grund af dessa observationer er- hållna isotermerna äro uppdragna på bifogade karta (pl. IV). Betrakta vi dessa, så finna vi, att temperaturen i fjordarna och mellanskären vid norska kusten är jemförelsevis låg, 3—4 grader Celsius, men att den tilltager, ju mer man aflägsnar sig från kusten till en viss gräns, som mellan 69:de och 70:de breddgraderna befinner sig omkring 15 AFD. III. OM HAFSYTANS TEMPERATUR ETC. 129 geografiska mil ut på hafvet, hvarest temperaturen hos hafsvattnet stigit till 7° C. Längre ut på hafvet aftager åter temperaturen. Vi återfinna på denna breddgrad samma förhållanden, som derstädes alltid iakttages under vintern, nemligen att isotermerna hafva ett tungformigt utseende, förorsakadt af kölden från landet på ena sidan och kölden från Ishafvet på den andra. Den linie, som går genom tungornas spetsar, ligger på 15—20 mils afstånd från kusten och följer denna med en böjning mot öster förbi Nordkap. Men äfven de isotermer, som gå norrut mot Spets- bergen, hafva ett dylikt tungformigt utseende. Längs 14 grader östl. long, från Greenwich har hafstemperaturen ett maximum på 5—4 grader. Under det att isotermen för 50 ligger vid 720 lat., så finna vi toppen af isotermen för 40 ända uppe vid Spetsbergen, eller 70 geografiska mil längre mot norden. Med andra ord, det flyter en arm med varmt vatten från Golfströmmen norrut längs den 14:de längdgraden, under det att en dylik arm sträcker sig mot öster längs kusten af Finnmarken. Det är be- träffande tillståndet under vintern hos den förstnämnda armen, hvilken går vester om Beeren Eiland upp till Spets- bergens vestkust, som «Alberts» expedition har skaffat oss nya, på noggranna iakttagelser grundade upplysningar. Man ser af isotermernas läge, huruledes värmen i hafs- ytan aftager mot öster så väl vid Beeren Eiland, som vid Spetsbergen. På grund af den kunskap vi ega om isför- hållandena i denna trakt under vintern och våren kunna vi sluta till, att det varma vattnet i öster begränsas af väldiga ismassor. Huru långt den varma hafsströmmen går mot norr kunna vi ej se af dessa iakttagelser, men att den räcker betydligt längre än till den nordligaste punkt, som «Albert» uppnådde, synes framgå derutaf, att det fångstfartyg, som i slutet af November återkom, under- resan söderut haft öppet vatten längs hela vestra kusten af Spetsbergen. De iakttagelser, som utfördes af den 9 130 AFD. III. OM HAFSYTANS TEMPERATUR ETC. öfvervintrande svenska expeditionen, torde äfven bidraga till denna frågas lösning. På vestra sidan begränsas det varma vattnet af iso- termen för 0°, som går nästan rätt i norr och söder mellan de 10:de och ll:te längdgraderna, från 76° till 730 lat., hvarest den böjer sig mot sydvest eller vest i riktning mot Jan Mayen. Öster om denna linie ligga isotermerna för 1°, 2° och 3° temligen tätt intill hvarandra, hvilket tyder på en starkare afkylning af det varma vattnet vid gränsen mot det iskalla vattnet. Under hela resan syntes från «Albert» ej ett spår af is. På grund af skilnaden mellan besticket och fartygets observerade plats den 4 och 5 December beräknades ström- men hafva under 13—14 dagar satt »Albert» 2° 10' mot norr och 1° 3' i storcirkel mot vest. Strömmens riktning blir alltså mot N 260 V, eller mot NNV, och dess hastighet 2,67 geografiska mil på dygnet. Detta resultat öfverens- stämmer fullkomligt med temperaturens fördelning i hafs- ytan, hvilken häntyder på en från söder kommande varm hafsström. Att strömmen afviker något mot vester förklaras lätt genom riktningen hos Spetsbergens vestkust och af hafsbottens utseende i denna trakt, hvilken är sådan att den måste tvinga en mot norden gående ström af betyd- ligare djup, att vika af åt vester. Att vattnets temperatur- är högre än 0° ända ned till hafsbotten åtminstone mellan Nordkap och Beeren Eiland, det bevisades redan af den bekanta franska vetenskapliga expeditionen till dessa trakter med korvetten «La Recherche». De norska fångstmännen känna äfven mycket väl tillvaron af en ström, sådan som den nu omtalade, under sommaren och hösten. Man kunde nu framkasta den frågan, om denna ström och den af expeditionen funna egendomliga fördelningen af temperaturen i hafsytan var ett tillfälligt fenomen, eller om dessa förhållanden kunna betraktas såsom normala. För att besvara denna fråga har Mohn jemfört de under samma tid gjorda iakttagelserna vid fyrarna längs Norges AFD. III. OM HAFSYTANS TEMPERATUR ETC. 131 nordkust, framför allt vid Andenes och Fruholmen, med de för dem gällande medelvärdena. Efter en skarpsinnig diskussion af dessa siffror, hvilka utrymmet förbjuder oss att återgifva, kommer han till det resultat, att de af «Al- bert»-expeditionen uppmätta temperaturerna af hafsytan norr om den 71 breddgraden icke afvika från de normala värden på samma ställen för slutet af November och bör- jan af December så mycket som en grad Celsius. Det kan sålunda anses bevisadt, att det i början af vintern går en varm hafsström vester om Beeren Eiland upp till vestkusten af Spetsbergen. H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON. AFDELNING IV. Ur Lektor A. M. Kjelldahls efterlemnade papper. I Redogörelse för Upsala högre elementarläroverk, läsåret 1871—1872*), äro tryckta två uppsatser under of- van angifna titel, af hvilka den ene, skrifven 1848, inne- *) Ur denna Redogörelse anföra vi följande rörande Kjelldahls lefnadsomständigheter. Anders Magnus Kjelldahl föddes i Öster- löfsta församling af erkestiftet den 2 Augusti 1796, inskrefs som student vid universitetet i Upsala vårterminen 1814, der han med stor framgång egnade sig åt studiet af de klassiska språken och matematiken, samt fick anställning som hufvudlärare i matematik vid Upsala katedralskola 1829, de första två åren som tillförordnad och derpå som ordinarie samt med lektors fullmakt sedan 1858. Anda till 1865, således i 36 år, utöfvade han med synnerligt nit och stor framgång sitt lärarekall, hvarefter han på grund af sjuklighet måste begära tjenstledighet, dock med bibehållet hopp att åter kunna träda in i det för honom kära yrket. Men då tilltagande sjuklighet icke tillät detta hopp att gå i fullbordan, fann han sin 132 ÅFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER, håller en redogörelse för undervisningen i matematik vid Upsala katedralskola, samt den andre, skrifven mot slutet af Kjelldahls lefnad på uppmaning af forne lärjungar och andra vänner af hans undervisningsmetod, innehåller en framställning af de grundsatser Kjelldahl hyllade i den matematiska undervisningen. Vi tro oss bereda dem af Tidskriftens läsare, hvilka icke hafva tillgång till ofvan- nämda Redogörelse, både nytta och nöje genom att publi- cera den senare uppsatsen, hvilken uttalar åsigter, som hvarje för sitt kall intresserad elementarlärare måste finna sunda och lärorika. Uppsatsen, som icke synes vara fullt afslutad, är, med uteslutande af några inledande ord, af följande lydelse: ”De principer, som enligt min åsigt böra vid undervisningen i allmänhet och vid den matematiska undervisningen i synnerhet, åt- minstone vid de högre elementarläroverken, fasthållas, kunna korte- ligen så uttryckas, att jag anser läraren böra taga lärjungens sjelf- verksamhet, så mycket som möjligt, i anspråk, så att allt, hvad lär- jungen, om ock stundom efter någon af läraren endast efter behofvet afpassad fingervisning, med egen eftertanke kan utfinna, icke bör ur läroboken eller genom inpluggning af läraren inhemtas; och behöfver väl knappt tilläggas, att härmed är ingalunda förnekadt behofvet af läroboken, rätt brukad, och ännu mindre behofvet af lärarens hand- ledning, då det är just genom den, som lärjungens sjelfverksamhet skall väckas, lifvas och ledas; men jag har icke kunnat annat än anse det såsom ett missbruk af läroboken och lärarens biträde, om de an- vändas utöfver hvad behofvet kräfver, hvilket således först bör noga utrönas. Hvad serskildt geometrien beträffar, har jag en rik erfarenhet deraf, ”att en lärjunge, som tar saken allvarligt, om han ock icke hörer till de rikt begåfvade, utan särdeles stor svårighet och utan att annars än undantagsvis anlita läroboken samt med föga eller ingen hjelp af läraren kan sjelf reda sig med lösningen af många, ja de allra flesta af de uppgifter, som finnas i Euklides' Elementa, om nemligen han från början af sitt studium af geometrien tillhållits att på detta sätt gå till väga, och om han får tid att tänka på saken, hvilket är största tillfredsställelse uti att enskildt handleda sina forne lär- jungar. Sitt intresse för det läroverk, der han så länge verkat, visade han till slut dermed, att han till detsamma testamenterade en betydligare stipendiifond. Kjelldahl dog den 10 Nov. 1871. AFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER. 133 ett oeftergifligt vilkor för att det åsyftade ändamålet skall uppnås; och bör här tilläggas, att de uppgifter, som föreläggas lärjungen till lösning, böra noga afpassas efter den ståndpunkt, på hvilken han be- finner sig, för att modet hos honom icke skall falla, och att läraren bör, i synnerhet hvad de mindre begåfvade beträffar, på förhand un- dersöka, huruvida lärjungen af hvad han förut inhemtat tillräckligen inskärpt just det, hvarpå lösningen af en honom förelagd uppgift huf- vudsakligen beror, samt lära lärjungen att vid lösningen af geometriska problemer förfara enligt regeln: ”puta factum”, d. v. s. antaga, att problemet är löst, för att derigenom lära sig inse, hvarpå dess lösning ytterst beror. Om nu angifna vilkor uppfyllas, torde väl icke särdeles stort snille fordras, för att lärjungen skall med egen eftertanke kunna lösa sådana problemer, som t. ex. 11 prop, i 2:dra boken, 10 i 4:de boken, ja alla problemer i Euklides' 4:de bok m. fl., och är denna min mening af erfarenheten fulleligen bekräftad”. För något mer än 20 år sedan stälde jag till en aktningsvärd lärjunge i skolans högsta klass, der då Euklides’ ll:te och 12:te böcker genomgingos, den frågan, om han behöfde mycket anlita läroboken för att lära sig de föresatta lexorna, för hvilka han under lektionstimmarne nöjaktigt redogjorde, eller om han efter det samtal och tankeutbyte, hvilket, såsom förberedelse för den blifvande lexan, på lärorummet före- kommit, kunde reda sig något så när läroboken förutan, och fick jag på denna fråga det svaret: ”jag kan icke läsa boken”. Detta svar, i hvilket en af hans kamnater, som vid tillfället var närvarande, fullt instämde, var för mig behagligt, emedan meningen dermed var för mig tydlig. Nog kunde han läsa boken; men då han vid sitt matematiska studium allt ifrån början blifvit van att söka sjelf fundera ut lösningen af de honom förelagda uppgifterna och fått intresse för att så göra, var det för honom motbjudande att ur läroboken inhemta hvad han borde kunna, då han helst önskade reda sig sjelf boken förutan, hvilket ock för honom lyckades. Det nu anförda är icke det enda, som jag erfarit angående' sättet, huru många af mina lärjungar inhemtat den del af geometrien, som är att lära i Euklides’ Elementa. Flera af mina lärjungar hafva nemligen, sedan de blifvit studenter, uttryckligen sagt mig, att de i Euklides läst endast några få propositioner, och har detta blifvit sagdt äfven af sådane, som i afgångsexamen från skolan och i den derpå följande studentexamen nöjaktigt och, som jag hört, till aktningsvärda examinatorers belåtenhet redogjort för Euklides’ 6 första samt ll:te och 12:te böcker. Häraf synes den slutsats kunna dragas, att de samtal, de utbyten af tankar och åsigter rörande lös- ningen af förelagda uppgifter, som på lärorummet under lärarens led- ning förekommit såsom förberedelse af en kommande lektion, varit tillräckliga att inhemta, hvad läroboken innehåller, åtminstone för de 134 AFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER, lärjungar, som tagit saken allvarligt, och således äfven i hemmet fort- satt sina funderingar, och hvilka derföre användt läroboken mindre för att derur inhemta sina kunskaper, än för att af den få veta, hvad de borde bemöda sig om att kunna, för hvilket ändamål den fliteligen bör användas, ty annars kan det lätt hända, att ett problem, som lärjungen utan biträde af läroboken eller läraren sjelf löst, eller ett theorem, som han sjelf bevisat, icke står fullt klart för hans tanke, just då han som bäst behöfver använda det vid fortsättningen af sina studier, och att sådant kan hända, kan väl icke förefalla underligt. Visserligen skulle detta i någon mon kunna förekommas genom tätt återkommande repetitioner af det lästa, så att lärjungarne förhöras icke blott i lexan för dagen, utan äfven till någon del åtminstone i det, som under de näst föregående lektionerna förekommit; men detta medgifver knappt tiden. I början och under första delen af min tjenstgöringstid har det ålegat mig att meddela den första undervisningen i geometri, och gick jag då till väga hufvudsakligen efter de principer, jag nu antydt så att enligt regeln ingen proposition förelades lärjungarne till inlärande i Euklides, som icke förut var på lärorummet genomgången så, att lärjungarne fingo försöka sina krafter att under lärarens ledning sjelfve lösa den framstälda uppgiften. På den första terminen medhans då vanligtvis icke mera än definitionerna i Euklides’ l:sta bok jemte axi- omer och postulater samt några få af de euklideiska uppgifterna, hvilka jag med tillbörligt afseende på lärjungarnes ådagalagda större eller mindre duglighet, ansåg lämpligt framställa för att af dem lösas. Sedan lärjungarne i en afdelning vunnit någon öfning och färdighet i att med egen eftertanka lösa dem förelagda uppgifter, hafva de upp- gifter, som för vinnande af mera öfning och färdighet blifvit för dem till lösning framstälda, hemtas icke allenast ur en del af läroboken, med hvars läsning de egentligen blifvit sysselsatta, utan äfven ur de följande delarne af läroboken, då så lämpligen kunnat ske; och har det icke sällan händt, att jag kunnat till deras förvåning underrätta lär- jungarne på en afdelning att de läst Euklides’ 4 första böcker, då de sjelfve icke vetat, att de läst mera än första boken ock kanske någon del af den andra. Som detta vanligen inträffat vid slutet af en termin, har jag då äfven bifogat uppmaningen att under instundande ferier repetera, hvad de på nu angifna sätt läst, men så, att läroboken huf- vudsakligen begagnades endast för att deraf inhemta, hvilka uppgifter de hade att lösa, och att de, om efter allvarligt bemödande lösningen icke lyckats, skulle se på figuren i boken och, om icke heller detta ville hjelpa, först då rådfråga läroboken; och hafva lärjungar, som följt mina uppmaningar och råd, uttryckligen sagt mig, att de så lyckats i sina bemödanden, att de föga eller intet behöft anlita läro- AFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER. 135 boken. Då jag till lösning i hemmet framstält andra uppgifter än de, som finnas i läroboken, har jag vanligen varnat dem för att för lös- ningen begagna andras biträde, emedan derigenom det åsyftade ända- målet motverkas, och till förekommande deraf har jag ansett mig icke böra bestämma någon tid, då de borde vara färdiga att skriftligen in- lemna sina lösningar af de framstälda uppgifterna, utan har det varit lärjungen medgifvet att sjelf bestämma, då han på grund af sin större eller mindre förmåga och andra omständigheter kunnat, utan åsido- sättande af sina pligter i öfrigt, vara färdig med resultatet af detta sitt hemarbete, hvilket varit nödvändigt i synnerhet på senare tider, då deras tid och krafter varit af så mycket annat arbete upptagna. Då nu lösningen af en uppgift stundom kan, åtminstone för tillfället, misslyckas äfven för den skicklige, så har jag, för att i detta hänse- ende trösta dem, sagt dem, att om detta någon gång inträffade, skulle de icke derföre anse sitt arbete fruktlöst, ty det väsentliga, tankens öfning och ökade skärpa, vore alltid en frukt af ett allvarligt bemö- dande af detta slag. ”Den skriftliga lösningen af ett geometriskt pro- blem har enligt regeln bestått af tre delar: analys, konstruktion och bevis, och har genom lösningen af dylika problemer på lärorummet meningen dermed varit för lärjungen tydlig. Sedan lärjungarne på en afdelning gjort något större framsteg i algebran, har det blifvit dem förelagdt, om tiden det medgifvit, att med algebrans tillhjelp lösa åt- skilliga af de eukleidiska problemerna, t. ex. 11:te prop, i 2:dra och 28:de och 29:de propp, i 6:te boken m. fl., och kan väl en tänkande lärjunge då knappt undgå att känna sig intresserad att jemföra den erhållna algebraiska expressionen med den eukleidiska konstruktionen för problemets lösning och då inse, huruvida den senare just är en konstruktion af den förra”. I afseende på det nu antydda sättet att gå till väga vid den matematiska undervisningen torde kanske den invändningen anses be- fogad, att om lärjungen skulle förnämligast af läroboken eller af lära- rens mun inhemta sina kunskaper, så skulle dertill åtgå vida mindre tid, än som fordras, om han med egna, stundom, som det kan tyckas, fruktlösa ansträngningar skall bemöda sig att med egen eftertanke ut- finna, hvad han bör kunna; men utom att det kan betviflas, huruvida det verkligen alltid så förhåller sig, i synnerhet hvad beträffar de bättre begåfvade, om nemligen samma metod följes på skolans alla stadier, så torde med skäl kunna ifrågasättas, om icke, i fall lärjungen går till väga på sistnämda sätt, hans tankeförmåga derigenom mera utvecklas, hvilket, äfven för det praktiska lifvet af mera vigt än inlärda lexor och mekaniska färdigheter, gör honom skickligare att efter af. slutad skolgång genom läsning af böcker och åhörande af akademiska lärares föreläsningar föröka sitt kunskapsförråd, och har jag en rik 136 AFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER, erfarenhet, att aktningsvärda lärjungar med särdeles intresse omfattadt det sistnämda förfaringssättet just derföre, att. de ansett sig derigenom hafva, som de sagt, lärt sig tänka; och kan endast derigenom förklaras, hvad jag stundom erfarit, nemligen att en lärjunge, som varit syssel- satt med lösningen af en uppgift, till och med undanbedit sig lärarens biträde, då det honom erbjudits, innan han först på uppgiftens lösning fått försöka sina krafter. Med det nu sagda är dock för ingen del förnekadt behofvet att stundom, ja kanske ofta nog, använda lexläsnings- och inpluggnings- metoden åtminstone med t. ex. sådane lärjungar, som helst se, att de med så liten tankeansträngning som möjligt få inhemta sina kunskaper, eller sådane, hos hvilka läraren med allt sitt bemödande icke förmått väcka någon håg för matematikens studium, och kunna hindren derför vara mångahanda. Så kan det t. ex. hända, att en lärjunge ej med allvar studerar matematiken derföre, att han fått en afgjord förkärlek för andra ämnen, eller derföre att han anser kunskaper i denna veten- skap vara af föga eller ingen vigt för det vitæ genus, för hvilket han redan bestämt sig, och kan äfven egenkärleken vara ett af dessa hinder. ”Att förespegla dem höga betyg, det tar det”, sade en gång en lärare på grund af egen erfarenhet; men om en samvetsgrann lärare icke vill begagna sig af detta så verksamma medel, så kan det väl icke förefalla så underligt, då det så föga öfverensstämmer med en god uppfostran, för hvilken äfven läraren i matematik bör i sin mon bi- draga. Utom den uppmuntran, som jag, såsom jag redan antydt, fått erfara af aktningsvärda lärjungars sätt att ta saken, har jag äfven haft många andra erfarenheter, som föranledt mig att vid den matematiska undervisningen, enligt regeln och så vidt ske kunnat, fasthålla de prin- ciper, som jag nu korteligen angifvit. Jag har stundom sjelf fått er- fara, hvad jag ofta hört bekräftas af aktningsvärda examinatorer i våra studentexamina, då de sagt, att de icke sällan haft examinandi, som med mycken ledighet kunnat lösa äfven svåra problemer, nemligen sådana, som finnas i läroboken, men som tillika förvånat examinatorerne med sin fullkomliga oförmåga att reda sig med mycket lätta uppgifter, som icke finnas i läroboken och för hvilkas lösning inpluggade reglor och formler icke kunnat användas, ja en examinator sade en gång om en examinandus, att det var osmakligt att höra, huru lärd han var. Dylika erfarenheter hafva utan tvifvel varit anledningen till hvad en aktningsvärd akademisk lärare yttrar i sin 1858 utgifna reseberättelse om fysikens studium i Frankrike, då han, sedan han förut med ogil- lande framhållit de stora kurserne och det deraf följande i hans tanke oriktiga i sättet för undervisningens bedrifvande i de franska skolorna, med afseende på våra studentexamina tillägger: "hvarje examinator kan AFD. IV. LEKTOR KJELLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER. 137 utan tvifvel intyga, att många af de examinerande med ringa qvantum af kunskaper kunnat vara lärare en tid bortåt för andra, som till och med påtagligen genomgått vidlyftiga kurser". Om nu dylika, på erfa- renhet grundade, omdömen förtjena något afseende, så följer deraf, att mycken kunskap i ett ämne icke är alldeles detsamma som verklig skicklighet i ämnet, och framstår då naturligtvis den frågan, hvilken- dera af dessa två saker bör anses företrädesvis vara af vigt, och af svaret på den frågan beror tydligen undervisningsmetodens beskaffenhet. För mig har det synts vara en afgjord sak, att bibringandet af den senare eller den verkliga skickligheten, hvars förutsättning är en ut- vecklad och skärpt tankekraft, bör, så vidt ske kan, vara uppgiften åt- minstone för en lärdomsskola, om det ock icke kan ske utan någon nedprutning i lärokursens vidd och utsträckning, och häri tyckes för- fattaren till den omnämda reseberättelsen fullt instämma, ja för flera år sedan yttrade en af vårt lands utmärktaste matematici, som någon tid varit examinator i studentexamen och som är en praktisk man, att ”om det ock på reallinien kan vara lämpligt att fästa mycken vigt vid den mekaniska räknefärdigheten, så bör väl dock åtminstone på latin- linien tankeförmågans utveckling vara hufvudsaken". Jag har stundom haft lärjungar på en afdelning, som i matematik genomgått större kur- ser och förvärfvat större mekanisk räknefärdighet än deras kamrater och när jag då framstält några räkneuppgifter att lösas, hafva dessa lärde lärjungar vanligen varit de förste, som framkommit med svaren på de framstälda frågorna, då deremot deras kamrater behöft mera tid för att tänka på saken; men när jag sedan bedt dem redogöra för sitt förfarande och skälen dertill, har jag vanligen fått det svaret: ”jag har gjort efter regeln” eller ”jag har användt formeln”, men att för i fråga varande fall bevisa regelns eller formelns riktighet hafva de, på uppmaning dertill, icke förmått, hvarigenom de ådagalagt, att de för- farit ”liksom efter recepter eller handtverksmessigt", såsom det heter i den 1853 i Aftonbladet n:o 176 införda recension öfver Nyströms lärobok i aritmetiken, och vid dylika erfarenheter kan man väl anse sig med skäl kunna tillämpa, hvad prof. Jöns Svanberg på grund af egen mångårig erfarenhet en gång yttrade i ett samtal om examinander, som äro märkvärdigt ”snälla i det de icke veta”. Att missbruket af reglor och formler är mycket vanligt, får man nog erfara, och då på- trugar sig helt naturligt den frågan, om läraren kan med godt samvete tillåta lärjungen använda reglor och formler, innan han förut fått för- söka sina krafter på lösningen af speciella uppgifter, fortgående från lättare till svårare, af det slag, för hvilket regeln eller formeln skall gälla. För de lärjungar, som fått något intresse för att tänka, blir denna sysselsättning visst icke obehaglig, utan tvärtom, och i den mon deras tankearbete lyckas, i samma mon framkommer regeln eller formeln 138 AFD. IV. LEKKOR KJFLLDAHLS EFTERLEMNADE PAPPER. mer eller mindre såsom en produkt af deras egen eftertanke och blir således icke en blott inlärd minneslexa, hvilket tyvärr! ofta är fallet, till föga båtnad för hvad som bör vara hufvudsaken, nemligen att lär- jungen bildas till en tänkande räknare och icke blott till ett slags räknemaskin. Nog får man ofta erfara, att en yngling kan med mycken färdighet tillämpa reglor och formler på lösningen af sådana uppgifter, som finnas i våra räkneböcker, men att detta oaktadt dessa reglor och formler äro endast inlärda minneslexor. Så kan t. ex. hända, att en lärjunge kan ganska qvickt förvandla ett vanligt bråk t. ex. 6 till ett decimalbråk, riktigt på 1000 10000 etc., men om man ber honom för- vandla detta bråk till ett bråk med t. ex. 133 till nämnare, riktigt på 133 när, så kan han det icke, och kan väl då med skäl sättas i fråga, huruvida han verkligen, strängt taget, kan det förra; likaså om man framställer ett decimalbråk och ett vanligt bråk, som icke kan exakt förvandlas till decimalbråk, och ber honom addera eller subtrahera eller multi- plicera eller dividera det ena med det andra, men så, att facit blir alldeles precist, så kan han det icke, emedan han vet ingen annan ut- väg, än att använda de för räkning med decimalbråk inlärda reglorna, hvilka reglor enligt min tanke äro för en tänkande lärjunge nästan alldeles öfverflödiga, då han kan quator species i hela tal och bråk”. — Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Höst- Terminen 1872. För Latinlinien. 1. Bevisa, att de 4 sidorna i en fyrhörning äro tillsammans större än de båda diagonalerna tillsammans. 2. Att på en gifven rät linie finna en så belägen punkt, att de per- pendiklar, som derifrån fällas mot 2 andra gifna räta linier, blifva lika långa. 3. Att genom en gifven punkt i en cirkel draga den kortaste kordan. 4. En cirkel och en parallelogram äro gifna. Att draga en rät linie, som tangerar cirkeln och skär parallelogramen midt itu. Ar problemet alltid möjligt? 5. Två sidor i en triangel äro utdragna. Tvänne cirklar äro kon- struerade: den första är inskrifven i triangeln, den andra tangerar basen och de utdragna sidorna. Bevisa, att cirklarnas tangering spunkter med basen äro på samma afstånd från basens ändpunkter! AFD. IV. SATSER. 139 6. Konstruera en rätvinklig triangel, då perimetern och en af de spet- siga vinklarna äro gifna. 7. Om två cirklar skära hvarandra, så äro de parallela linier, som dragas genom intersektionspunkterna, så att de skära båda cirklarna, lika stora. 8. I en rätvinklig triangel är en qvadrat inskrifven, så att dess ena sida utgör en del af hypotenusan. Bevisa, att denna qvadrat är lika stor med rektangeln af hypotenusans båda återstående delar. 9. Man har 2 koncentriska cirklar, hvilkas radier äro 7,5 och 2,8 tum. Genom centrum dragas två radier, som med hvarandra göra en vinkel af 37°. Mur stor är den mindre af de båda ytor, som inneslutas af nämnda radier och de båda cirklarnas perferier ? 10. En person har bekommit 1000 rdr i 40 sedlar af dels 50 och dels 10 rdrs valör. Hur många har han fått af hvardera slaget. 11. En linie är 10 alnar lång. Dela den i 2 delar så, att summan af qvadraterna på de båda delarna bli ett minimum! 12. Sidorna i en triangel äro 2, 5 och 6. Huru stor är radien till den i triangeln inskrfna cirkeln? 13. En handlande har köpt kläde efter 20 francs för metern. Hvad bör han i svenskt mynt begära för alnen, om han vill vinna 5 procent? (1 mètre === 3,37 sv. fot; 1 franc =70 öre). 14. Att finna tvenne tal, som hcfva 12 till differens, och af hvtlka det ena är medelproportional mellan det andra och samma tal 12. 15. Dela talet 6 i två sådana delar, att deras kubers summa blir ett minimum. 16. En köpman hade vid slutet af l:sta och 3:dje året förlorat, men vid slutet af 2:dra och 4:do året vunnit en viss procent af det kapital, som han vid närmast föregående års slut egde. Han hade derigenom endast hälften af sitt ursprungliga kapital i behåll vid 4:de årets slut. Huru stot' var den ifrågavarande procenten ? För Reallinien. 17. Bevisa, att summan af qvadraterna på diagonalerna i en paral- lelogram är lika med summan af qvadraterna på sidorna. 18. Upprita en likbent triangel, som har en vinkel 4 gånger så stor, som hvar och en af de båda andra. 19. En fyrhörning är bildad af en cirkels diameter, tangenterna i hans ändpunkter och en tredje tangent. Bevisa, att denna fyrhörning är hälften så stor som rektangeln af diametern och den motstående sidan. 140 AFD. IV. SATSER. 20. Beskrif en cirkel, som går genom två gifna punkter och tangerar "en gifven cirkel. 21. Qvadrater äro uppritade på hypotenusan och kateterna i en rät- vinklig triangel. Bevisa, att den räta linie, som förenar den räta vinkelns spets med diagonalernas skärningspunkt i den förstnämda qradraten, är vin- kelrät mot den linie, som Jorenar diagonalernas skärningspunkter i de båda andra qvadraterna. 22. Två parallela planer skäras af ett tredje plan. Konstruera en sfer, som tangerar de tre planerna. 23. Hvarje regulier polygon, som är inskrifven i en cirkel, är medel- proportional mellan en inskrifven och en cmskrifven polygon af hälften så stort antal sidor. 24. Från räta vinkeln i en rätvinklig triangel är höjden dragen mot hypotenusan. I de båda nya rätvinkliga trianglarne äro cirklar inskrifna, hvilkas medelpunkter äro sammanbundna sinsemellan och med höjdens fotpunkt. Bevisa, att den så erhållna triangeln är likformig med den hela! 25. Bevisa, att om till produkten gf 3 konsekutiva hela tal det mel- lersta adderas, man erhåller kuben af detta senare tal till resultat. ■ 26. Summan af sidorna i en rätvinklig triangel är 300 fot och sum- man af deras qvadrater 31,250 qv. fot. . Huru stora äro sidorna? 27. Sedan en arbetsstyrka, som uppgick till 125 man och beräknades kunna utföra ett arbete på 14 dagor, varit sysselsatt i 5, ökades densamma i afsigt att få arbetet färdigt 3 dagar tidigare, än förut var ämnadt. Hur stor var den tillökning, som den ursprungliga arbetsstyrkan erhöll? ■ 28. Sök de värden af x och y, som satisfera log x3 + log y2 = 0,45708—1 log x — logy = 0,23002. 29. Hur stora äro vinklarna i en rätvinklig triangel, hvars sidor ut- göra konsekutiva termer i en geometrisk serie? 30. En person, tillfrågad om sin och sin sons ålder, svarade: för 10 år sedan var min ålder qvadraten på min sons, och efter 14 år blir den samma dubbelt så stor som hans. Hur gamla voro de? 31. En resaade skulle med egna hästar färdas 10 mil på 20 timmar. Efter hvarje mil ämnade han låta hästarna hvila 1/4 timme. Men då han det oaktadt antog, att den hastighet, med hvilken hästarna kunde tillrygg alägg a hvarje följande mil, blott utgjorde %/1o af den hastighet, med hvilken de till- ryggalagt den näst föregående, så frågas: huru lång tid borde han använda på den första milen? 32. En rät kon har bottenradien == 2 fot och höjden = 13 Jot. Ge- nom ett med basen parallelt plan qfskäres af densamma dess spets, så att åter- stoden blir 2∕3 af den hela. Huru stor blir höjden af den stympade konen? AFD. IV. SATSER. 141 33. En 'areometer, nedsänkt i en spritblandning, sjönk till ett giftet delstreck. För att i vatten och i svafvelsyra sjunka lika djupt, måste instru- mentet belastas respektive med 1 och 11 gramm. Bestäm areometerns verk- liga och spritblandningens specijika vigt, då specifika vigten hos svafvelsyran antages vara 1,9. 34. Huru stort är lufttrycket på en plan cirkelyta, hvars tvärlinie är 1,37 fot, om barometern visar på 25.6 decimaltum? Volumen af ett skålpund qvicksilfter är 1,196 kub. dec. tum. 35. En stor planspegel hänger lodrätt på en salsvägg. Ett stycke framför spegeln står ett påtändt ljus och ett stycke längre bort från spegeln en person. Uppgif, hvilket skuggfenomen häraf uppkommer och tillika så många af dess bestämningar som möjligt. 36. Hur stor är våglängden för tonen f, om 880 hela svängningar på sekunden gifta tonen a och om ljudets fortplantningshastighet är 1121 fot. 37. En tvåarmig häfstång ABC, hvars egen tyngd ej medtages i beräkningen, är understödd i B, och från ändpunkten C nedhänger en vigt af 5 skålpund. Stången A B ställer sig horisontel, om man i punkten A upp. hänger 3 skålp.; men om derstädes upphänges 12 skålp., sä blir B C hori- sontel. Sök förhållandet mellan längderna A B och B C. 38. Hos en barometer, hvars rörvidd var densamma längs hela röret, förefans luft instängd i den 105 millimeter långa barometerkammaren. Huru stor var den nämda liftens elasticitet, när barometerns qvicksilfverpelare sjönk 15 millimeter för en minskning af 20 millimeter hos det yttre lufttrycket? 39. Huru stor blir vid ljusets öfvergång från luft till gas brytnings- vinkeln för den ljusstråle, hvars infallsvinkel med normalen är 60°, då man vet, att vid total reflexion inom det i fråga varande ämnet den s. k. gräns- vinkeln uppgår till 42° 30’? 40. Ett jernkärl af 11/2 skålpunds vigt innehåller 13/4 kanna vatten af 200 temp., hvari nedföras 2 skålp. qvicksilfter af 90° och 1/4 skålp. is af 0°. Huru många värmeenheter kommer i följd häraf den ursprungliga vattenmassan att vinna eller förlora? Jernets och qυicksilfrets specifika värme äro 0,11 och 0,03; isens latenta värme 79 och vigten af 1 kub. fot vatten 61 skålp. 52 ort. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Vår-Terminen 1874. För Latinlinien. 1. Att på en gifven rät linie upprita en triangel, så att motstående vinkeln får en gifven storlek och sin spets belägen på en giften rät linie. 142 AFD. IV. SATSER. 2. Från en punkt utom en cirkel är dragen tvänne tangenter. Genom medelpunkten två linier, parallela med hvar sin tangent. Bevisa, att den uppkommande parallelogramen är en romb. 3. Från en gifven punkt utom en cirkel ses denna under en viss syn- vinkel. Flytta cirkeln så, att den från samma punkt ses under hälften så stor synvinkel. 4. Att konstruera en triangel, då den inskrifna cirkeln och en af de tre cirklar, som tangera utantill, 'äro gifna till läge och storlek. 5. Linier, som halfvera de vinklar, som bildas gf motstående sidor i en fyrhörning, som kan inskrifvas i en cirkel, skära hvarandra vinkelrätt. 6. Summan af qvadraterna på delarna af två kordor, som skära hvar- andra vinkelrätt, är lika med qvadraten på diametern. 7. Bevisa, att, om man från någon punkt inuti en triangel fäller per- pendiklar mot sidorna, så att hvardera sidan blir tudelad, så är summan af qvadraterna på de tre delar, som ej hafva någon gemensam ändpunkt, lika med summan af qvadraterna på de tre återstående delarna. 8. Två fyrhörningar, hvilkas diagonaler äro sinsemellan lika stora och bilda lika stora vinklar, äro lika stora. 9. 500 Rdr skola delas mellan A, B och C, så att A:s andel för- håller sig till B:s == 5: 8, och att C erhållet- lika mycket som A och B till- sammans. Hur stor är hvarderas lott? 10. En inspektor har i årlig lön 2700 Rdr och 180 kub. fot råg- För 7 månader erhåller han all rågen och 1350 Rdr; till hvad pris var rågen värderad? 11. Man konstruerar 3 rätvinkliga trianglar. Den första har till kateter r och 41 r; den andre har till kateter r och 133 r; den tredje har till mindre katet den jörste triangelns hypotenusa och är likformig med den andra triangeln. Hur stor är differensen mellan den sist konstruerade triangelns större katet och perferien i den cirkel, hvars radie är r? 12. Upplös eqvationen 1 1________________ axx (x—a)__________' 13. Satisferas eqvationen Vax++x2 = 0 + Vx af sluteqvationens rötter? 14. En cirkels radie är tre fot. Huru stor är den inskrifna reguliera åttahörningens sida? 15. Det finnes en andra grads equation, hvilken gifver en rot 3, om radikalen, hvars värde är 1/2, tages med negativt tecken. Hvilken är denna equation ? AFD. IV. SATSER. 143 För Reallinien. 16. Att konstruera en liksidig triangel, hvars yta är 2∕3 af summan af tvänne gifna liksidiga trianglars ytor. 17. Bevisa att midtpunkterna på de kordor, som dragas genom en gef- ven punkt i en cirkel, äfven ligga på en cirkels periferi. ' 18. Diametern i den cirkel, som är inskrfven i en rätvinklig triangel, är lika med öfverskottet, hvarmed summan qfkateterna öfverskjuter hypotenusan. 19. En cirkel och en körda ära gifna. Man skall på kordan såsom bas inskrifva en triangel, hvars båda sidor stå till hvarandra i ett gifvet förhållande. 20. Att i en gifven fyrhörning inskrifva en romb, hvars sidor äro parallela med fyrhörningens diagonaler. 21. Bevisa, att, om man från någon punkt af periferien på en omkring en triangel skrifven cirkel faller perpendiklar mot triangelns sidor, så ligga de punkter, der dessa perpendiklar träffa sidorna, på en rät linie. 22. Om man genom en intersectionspunkt A for 2 cirklar 0 och O' drager tvänne gemensamma kordor CD och EF, så bilda de räta linier CE DF, som förena kordornas ändpunkter, en konstant vinkel. 23. En rät linie är delad så, att qvadraten på den ena delen är lika med rektangeln af hela linien och den andra delen. Bevisa, att summan af qradraterna pä hela linien och den mindre delen är lika med 3 gånger qva- draten på den större delen. 24. En 3-tums tross (d. v. s. hvars omkrets är 3 tum) af 200 fam- nars längd väger 450 skålp.; hur lång är en lika hårdt slagen 2-tums tross, som väger 300 skålp.? 25. En person, som haft i lån 2500 Rdr, betalar på en gång och för hela tiden 625 Rdr i ränta. För denna summa kunde han hafva haft lånet ett halft år längre, om räntan beräknats efter en 1/2 procent mindre. Hur länge har han haft lånet? 26. En luftpump är så konstruerad, att den for hvarje kolfslag borttager 3/22 af luften under recipienten; hur många kolfslag erfordras för att bringa luften i den senare till 1/80 af dess ursprungliga täthet? 27. En person, som nu eger 7000 Rdr, förräntade efter 41/2 procent, kommer att årligen utgifva 300 Rdr. Hur mycket eger han efter 10 års forlopp ? 28. För hvilka vinklar är tangenten medelproportional mellan sinus och 10? , 29. Att bestämma x så att det satisfierar eqvationen 1 A-log (1 A-x) = log (3 x2 — 1). 30. Om folkmängden i en stad utgöres af 20,000 personer och den- samma årligen ökas dels med 3/4 procent och dels med en inflyttning af 300 personer, huru stor blir den då efter 20 års förlopp? 144 AFD ιv. SATSER. 31. Bottenradien i en rät kon är r fot. Huru stor bör då höjden göras, for att konen skall blifva dubbelt så stor som den i densamma in- skrifna sferen. 32. Från den öfversta punkten på en lodrät telegrafstolpe utgå i hori- sontalplanet tvänne lika spända trådar, hvilka med hvarandra göra en vinkel af 1200. Frän samma punkt nedgår till marken i det vertikalplan, som skär nyssnämda vinkel midt itu, en tredje tråd, som gör 30° med vertikallinien. Bestäm förhållandet mellan spänningarne hos den sistnämda tråden och hos nagondera af de horisontela, då det erfordras att de tre krafternas resultat skall vara riktad längs efter telegrafstolpen. 33. Vid 00 är barometerhöjden 760 millimeter. Beräkna, huru stor höjd vid samma tillfälle skulle hafva erhållits, fall barometerns temperatur varit 20°. Qvicksilfrets utvidgningskoefficient är 1/5550 och messingsskalans längdutvidgningskoefficient 0,000018. 34. Om 1440 värmeenheter beröfvas ett kopparkärl af 8 skålpunds vigt, innehållande 18 skålp. vatten af 20° temperatur; till hvilken temperatur kommer då kärlet, jemte dess innehåll, att afkylas? Specifika värmet hos koppar och is är respektive 1∕10 och 1/2, samt vattnets latenta värme 79. 35. Af en positif lins med 3 fots brännvidd uppfångas strålarne från ett aflägset föremål. Ben från linsen utgående strålknippan träffar en pä li∕5 fots afstånd från nämda lins befintlig konkav spegel, hvars radie är 3 fot. Angf bildens läge och beskaffenhet. . 36. Om en magnetnål kunde svänga fritt, ena gången i horisontal- planet och den andra i det mot den magnetiska meridianen vinkelräta vertikal- planet, och dessa svängningstider vore respektive 5 och 81/2 sekunder; huru stor blefve då den häraf beräknade inklinationsvinkeln; 37. I ett kärl, som kan anses till sin volym oföränderligt, är en gas af 10° C. inspärrad. Inre ytan af en å kärlet anbragt öppen qvicksilfver- manometer står 3 tum högre än den yttre. Till hvilken temperatur skall gasen uppvärmas, for att inre qvicksilfverytan skall komma att stå 3 tum lägre än den yttre, om barometern under hela försöket visar 26 tum? 38. I ett 60° C. varmt vattenbad nedställas två barometrar. Ben ene, som ofvan qvicksilfret har mättad vattenånga, visar 605,4 millimeter, den andre 754,7 millimeter. Beräkna häraf vattenångans spänstighet vid —I 60° C. Qvicksilfrets utvidgningskoefficient antages vara 1/5550- 39. I en galvanisk strömbana ingå en tråd af silfver öch en argentan. Ben förre är dubbelt så lång, men blott hälften så tjock som den senare; den förres specifika ledningsmotstånd är 1/7 af den senares. Huru förhålla sig de värmemängder, som strömmen samtidigt utvecklar i bådadera trådarne? OBS. Numreringen å fig. i texten bör vara 9—15 i stället för 1-7. 3v / ? 0 —e' 3' * t i J0 J4 /8 24 0 75 3 73 3 7/ 7o 70 /4 16 /0 22 20 48 o° 1° CtdAchn. 172 5°; 4. AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Forts. Ar F. W. Hultmän. 14. Simon Kexlerus *. Dennes aritmetiska arbeten aro följande: ' 1. Arithmetidca, geodoetica denaria, quæ D. T. O. M. A. publice in Acad. Aboënsi ventilanda proponitur, Præside Μ. Simone S. Kexlero Neric. Mathem. Profess. Publ. Respondente Georgio Elingio Suderman. An. 1649. Aboæ, Petr. Wald. 2 ark. 12:o. * Ur Pippings »Historiska bidrag till Finlands Calendariografi» (Tredje stycket. Helsingfors 1862) hämta vi följande biografiska no- tiser om denne märklige man. Kexlerus var född på Kexle i Edsbergs församling i Nerike 1592. Föräldrarne voro bondfolk. Han började först vid femton års ålder lära sig bokstäfverna, kom 1 621 till Örebro skola, den han med heder ge- nomgick på fyra år. Sina studier fortsatte han i Uppsala, där han år 1625 inskrefs såsom student och blef magister därstädes 1632 efter att ha tillegnat sig synnerligen grundliga insigter i latinska, greki- ska och orientaliska språken samt i matematik. Hans gradualdispu- tation om solen antydde den riktning, hvilken hans kommande stu- dier ämnade taga. Han företog sedan en vetenskaplig resa till Holland och besökte där förnämligast universiteten i Leyden och Franeker. På det senare stället slöt han sig närmast till den i ma- tematikens historia namnkunnige Adrian Metius d. y., då mathes. professor derstädes (född 1571 i Alkmaar, elev af Tycho Brahe, dog- 1635 såsom professor i matematik och medicin i Franeker; fadren 10 146 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 2. Arithmetica astronomica sexagenaria, quæ D. T. O. Μ. A.... proponitur, Præside Μ. Simone S. Kexlero. An. 1649. Aboæ. 14 ark. 12:o. Adrian Metius d. ä. var upphofsman till talet 71§ såsom ett närme- värde på talet x). Efter två ärs bortovaro vid universiteten i Holland, Mecklenburg (Rostoch) och Danmark (Köpenhamn) åter- vände Kexlerus hem, hvarefter han år 1635 blef vikarierande lektor i matematik under ett år vid Strengnäs gymnasium. Ar 1637 blef han adjunkt i Uppsala i de matematiska vetenskaperna efter att hafva utgifvit en afhandling om befästningskonsten (Disputatio Her- cotectonica). Detta ämne hade på den tiden ett synnerligt intresse med anledning af det stora krig (det trettioåriga), i hvilket Sverige då var inveckladt. År 1640, då Åbo universitet invigdes, blef han dess förste professor i de matematiska vetenskaperna. Här var för Kexlerus mycket att göra. Abo gymnasium hade blifvit inrättadt helt nyss förut (för 10 år sedan). Inga böcker, inga instrument funnes. Han fick hålla föreläsningar två gånger, dagligen. Han sy- nes ha läst åtminstone en timme astronomi och en timme aritmetik i veckan. Åren 1644—50 var han tillika inspector ærarii och ædilis. Vid promotionen i Åbo 1647 besvarade Kexlerus magisterfrågan, huruvida visshet skulle tillskrifvas astrologiska förutsägelser, dertill uppmanad af magister primus. Han besvarade den efter en utförlig redogörelse med nej. Han var inspektor för nerkingarne, värm- ländningarne och dalkarlarne. Strax före sin flyttning till Finland vigdes han till prest, utgaf 1649 en disputation vid prestmötet, föreslogs s. å. till en ledig professur i teologi vid Uppsala univer- sitet, men fick i stället på kansleren Brahes utverkan fullmakt på Pijkis pastorat. Emedlertid förestod han den matematiska profes- suren, allt emellanåt på väg att förflyttas helt och hållet på det teologiska området. Bland annat deltog han i granskningen af bi- skop Terseri katekes, hvilken han förklarade oduglig efter att hafva förut såsom medlem af domkapitlet gillat densamma — ett karak- tersfel. — År 1665 tillsattes Petræus såsom professor i fysiken och P. Laurbecchius såsom extra ordin, professor i matematiken, hvari- genom den åldrige Kexleri göromål blefvo något minskade. Kexlerus, som hade en ovanligt stark kroppskonstitution, dog 1669. Han om- talas såsom vänfast, samvetsgrann, oegennyttig, gudaktig. Han gifte sig 1641 med Ingeborg Elis. Gerslinius och hade med henne 4 söner och 3 döttrar, af hvilka 3 söner och en dotter öfver- lefde honom. Hans äldste son blef sedan kyrkoherde och har ut- gifvit bland annat almanakor för 1666 och 1678 samt en berättelse AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 147 3. Arithmetica triplex I. Vulgaris sive generalis, libri 2; II. Geodoetica denaria, liber 1; III. Astronomica sexagenaria, li- ber 1, nec non Geometria cujus partes tres sunt: I. Fundamentalis, de primis ele- mentis, libri 2; II. Trigonometrica, de canonis sinuum, tangentium, et secanti- um constructione ac triangu- lorum solutione, libri 3; III. Practica complectens 1. Euthymetriam lib. 1, 2. Epipedometriam lib. 1, 3. Stereometriam lib. 1. Vigiliis et opera Simonis Kexleri Nericiensis, Prof. Mathe- matum, in regia academia Aboënsi elaborata et studiosse ibidem juventuti aliqvoties proposita. om stjärnornas rörelser. Två yngre söner voro vanartige, i det de stulo penningar från modern, rumlade, spelade och förde ett utsväf- vande lefnadssätt. Den ene rymde till Riga, den andre till Stock- holm. Modren sörjde mycket öfver sina vanartiga barn, förlorade vid en eldsvåda sin förmögenhet, blef slutligen vansinnig. Hon afled 1681. Anmärkningsvärdt är att Kexlerus var en motståndare till Co- pernici system. I sitt arbete Cosmographiæ descriptio, Aboæ 1666, säger han jorden vara stäld i midten af verldssystemet såsom en oföränderlig medelpunkt och bjuder till att försvara denna mening, medgifvande likväl att skiljaktiga åsigter härom kunna efter behag både godkännas och förkastas, utan fara för den eviga salighetens förlust. I själfva verket är dock Kexleri åsigt ej så besynnerlig, då man betänker, att han studerat under A. Metius (en af Tycho Brahes elever), och att, emedan all rörelse kan tänkas relativ, bägge åsig- terna (Copernici och Tycho’s) låta försvara sig. Af de 45 arbeten, som Kexlerus utgifvit, hafva vi redan omnämnt någrä. Af de öfriga nämna vi följande: 1—3. Almanakor och prognostiken till Örebro horizont åren 1632 och 1633. 148 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Sap. 11 v. 21. Pondere, mensura, numero Deus omnia fecit. Ignis ut argentum: Sic, si vis nosse, Mathesis ingeni- um felix ingeniosa probat. Impensis et sumptibus Autoris Aboæ Excusa a Petro Hansonio Acad. Typogr. Aritmetiken är 18 ark cch geometrien 27 ark. Här- till komma 8% ark ritade tabeller, innehållande matema- tiska figurer N:r 1—153. 40. Dedikationen till Karl X Gustaf är undertecknad nyårsdagen 1658. Anm. Afdelningarna II och III af Aritm. triplex blefvo aldrig tryckta. Sannolikt voro de ämnade att en- dast utgöra aftryck af de likbenämnda i Abo 1649 tryckta disputationerna. 4. Arithmetica vulgaris contracta; cum logistica de- naria et sexagenaria, nunc denuo editis: Autore Μ. Simone S. Kexlero Nerichio, in regia academia Aboënsi professore mathematum ordinario. Quibus accessit Canon sexagena- rius, in forma portatili, antehac non visa, impressus Aboæ. 8 ark 12:o. Tillägget har äfven titeln: Canon sexagesimorum; sive tabula multiplicationis et divisionis sexagenariæ, in formam minorem disposita a P. Laurbechio. Aboæ 1668. Af dessa 4 arbeten hafva vi funnit arbetena 1 och 2 endast på Upsala akademis bibliotek; arbetet 3 i Upsala 4. Disputatio de mundo. Abogiæ 1643. 5. ,, de natura mathematicæ. Aboæ 1645. 6 — 8. Trigonometriæ libri tres. Aboæ 1649 9. Dissert, de optices natura. Aboæ 1650. 10. Disp, astrologiam generalem proponens. Aboæ 1653. 11. Geometriæ liber 1. Aboæ 1654. 12—18. Dissertationes de tempore. Aboæ 1661. En af dem är tillegnad Karl XI och hans förmyndarregering. 19. Diss, de circuli quadratura et vero mundi systemate, ad- versus Copernicum redivivum. Aboæ 1661. 20. Diss, de coelo. Aboæ 1664. 21. Gnomonicæ compendium. Acoæ 1664. 22. Brevis et perspicua physicæ aristotelicæ explicatio. (Otryckt, »skall finnas i Gefle gymnasii bibliotek» och således genom branden numera troligen förstördt.) AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTOKIA. 149 och pâ Riksbiblioteket i Stockholm; arbetet 4 i Stockholm på Riksbiblioteket. Bibliotekarien Pipping i Helsingfors säger sig ej hafva sett något af ofvanstående 4 arbeten. Så sällsynta äro de. Såsom vi nyss nämnt, blef Kexleri Arithmetica triplex aldrig fullständigt utgifven. Afdel- niugarne II och III (Geodoetica denaria och Astronomica sexagenaria) af densamma fattas nämligen. Emedlertid utgör afdelningen I af Arithm. triplex ellervulgaris i förening med de ofvan nämnda arbetena (Geodoet. den. och Astr. sexag.) af år 1649 en för den tiden fullständig aritmetisk kurs, som återfinnes nästan ordagrann (ehuru med uteslutningar) i hans sammandragna aritmetik (Arithmetica vulgaris con- tracta). Då Kexleri första aritmetiska arbete utkom redan år 1649, borde han i vår historik hafva haft sin plats framför Meurs och Agrelius. Kexlerus indelar aritmetiken i tre slag, nämligen: 1. den vanliga aritmetiken, 2. decimalräkningen, 3. sextiotalsräkningen. I. Den vanliga aritmetiken. Denna sönderfaller i två afdelningar eller (som Kex- lerus säger) böcker. Den förra boken visar, huru man skall beteckna talen och räkna med dem. Den innehåller läran om hela och brutna tal. I den senare boken (arith- metica comparativa) förekommer problemräkning. Hit hör läran om regula de tri, serier, bolagsräkning o. s. v. I den förra boken visar Kexlerus, huru man vid tals uppstälning och vid de fyra räknesätten kan hjälpa sig medelst räknepenningar. Han lägger dock hufvudsakliga vigten vid att räkna utan dessas tillhjälp. För att gifva några exempel på Kexleri systematiska metod göra vi ur denna bok följande utdrag. «Subtraktion är én enkel räkning med två tal, i hvil- ken det mindre drages från det större, så att återstoden 150 AFD. I. SVENSKÅ ARITMETIKENS HISTORIA. tillsammans med det fråndragna blifver lika med det tal, hvarifrån fråndragningen skett.» Kexlerus skiljer mellan enkel räkning och sammansatt räkning. »Sammansatt räkning är den, där man så många gånger räknar ett tal tillsammans med ett annat, som det ena af de gifna angifver. såsom i multiplikation och division.» -»Multiplikation är en proportionerad räkning, som med hvarandra multiplicerar gifna tal, så att ett tal upp- kommer, som är till ett af de multiplicerade som det an- dra är till enheten.» »Division delar det ena af tvänne gifna med det an- dra, så att en kvot** uppkommer, hvilken är till dividenden som enheten är till divisorn.» Följande exempel på division må anföras. »Talet 100274.25 skall divideras med 345. Först gör man upp följande multiplikationstabell rö- rande divisorn. •1 345* 2 690 3 1035 4 1380 5 1725 6 2070 7 2415 8 2760 9 3105 •10 3450 * Anm. Detta förfaringssätt hafva vi återfunnit i S. Guldbergs nyligen utgifna räknebok i Kristiania. ** Enligt författarens uttryckta önskan begagnas i denna af- handling kv. i st. f. qv. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 151 Första operationen . . . 10027425. 345 divisorn. (290625. 690 yt-tal. Andra » ••• 3127 vertikal-tal. 3105 yt-tal. Tredje o. fjärde » ... 22 : 4 : 2 vertikal-tal. 20 7 0 yt-tal. Femte » ... 17 25 vertikal-tal. 17 25 yt-tal. 0000» Anm. Med vertikal-tal synes Kexlerus förstå den del af dividenden, som vid hvarje division bör medtagas i räkningen. Sålunda är i den första operationen — vertikal-talet = 1002. Det står i samma vertikala kolumn som divisorn 345. Med yt-tal menar Kexerus i allmänhet ett produkt-tal. Som man vet, erhålles en rektangels ytinne- håll genom att multiplicera de båda bestämmande si- dorna med hvarandra. Efter läran om räkning med hela tal redogör Kexlerus för en mängd satser, hvilka man tillämpar vid räkning, såsom : »1. Det hela är lika med alla sina delar tillsamman- tagne och är därför större än hvarje särskilt del. Tvärtom således är ock ett tal, som är större än ett annat, det se- nares hela; det består nämligen af detta såsom en lem och dessutom af ett annat tal. Eukl. I. Ax. 9. Så är 5 större än 2, bestående af 2 och 3.» »2. Om lika läggas till lika, blifva de hela lika. Eukl. I. Ax. 2. Således om man till de lika 4 och 4 lägger de lika 7 och 7, uppkomma de lika summorna 11 och 11; och tvärtom.» O. s. v. Den sista satsen lyder sålunda: »14. En god och allmängiltig undersökning af alla 4 räknesätten. Man kan rätt väl sluta till en addition af en gifven subtraktion, till en multiplikation af en gifven di- 152 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. vision; och tvärtom kan man sluta till en subtraktion af on gifven addition och till en division af en gifven mul- tiplikation. Ty om det är gifvet att 10 — 7 är 3 eller att 10 — 3 är 7, så sluter jag att 3 + 7 är 10; och tvärtom, om det är gifvet att 3 + 7 är 10, så sluter jag att 10 — 7 är 3 eller att 10 — 3 är 7. På samma sätt, om det är gifvet att 12 divideradt med 4 gör 3, så sluter jag, att 12 är produkten af 4 med 3.» Dessa satser visa att Kexlerus var en genom- grundlig man. Den sista är märkvärdig äfven därför, att man där finner tecknen + och — , hvilka vid denna ti- den börja uppträda i våra läroböcker. Vi hafva förut funnit dessa tecken hos Stjernhjelm i hans handskrifter och hos Biörk (1643). Bland bråk framhåller Kexlerus särskilt bråk af bråk, hvilka han ock kallar sekundära bråk, t. ex. 4 af j. Han framställer ej dessa såsom exempel på multiplikation utan såsom ett slags egendomliga bråk. Bråk af enheten kallar han primära bråk, t. ex. 1 af 1. Läran om bråk är gan- ska knapphändig och omfattar endast några sidor. För- klaring öfver operationssättens riktighet fattas. Den senare boken (arithmetica comparativa) skiljer sig ej mycket från motsvarande kapitel i föregående läroböcker. Man återfinner här de gamles egendomliga alligationsräk- ning, för hvilken vi redogjort under Clavius årgången 1868, vidare aritmetiska och geometriska serier, läran om för- hållanden (såsom ratio superparticularis, superpartiens o. s. v. se Agrelius årg. 1871), den gyllene regeln, sättet att lösa ekvationer af första graden medelst ett eller tvänne falska antaganden, alt tämligen öfverensstämmande med Clavius. Vi inskränka oss till att anföra följande tre uppgifter. Uppgift 1. Två poster begifva sig från Åbo till Reval. Den förste går dagligen 8 mil, den andre 13 mil. Den förste har 4 dagars försprång. När upphinner den andre honom? Svar. Efter 63 dagar. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA 153 Uppgift 2 angående Pallas’ bildstod. Jag Pallas är hamrad af guld, men guldet är en skänk af unga skalder. Hälften af guldet har Charisius lämnat, åttondedelen Thespis och Solon har gifvit tionde- len; med tjugondedelen har Themison bidragit. De öfriga nio talenterna äfvensom konstverket är en gåfva af Ari- stodicus. Huru många talenter kostar hela Pallas, och huru mycket har hvarje skald tillskjutit? Kexlerus löser uppgiften sålunda. Alldenstund Cha- risius, Thespis, Solon och Themison tillsammans hafva lämnat 40 af stodens värde, har således Aristodicus till- skjutit 46. Då alltså 9 talenter (Aristodici tillskott) utgör 40 af stodens värde, utgör en talent 40 af värdet, i följd hvaraf hela stodens värde måste vara 40 talenter. Af dessa hade Charisius lämnat 20, Thespis 5, Solon 4, Themison 2, Aristodicus 9. Summa 40. Uppgift 3. Carmina Joachimi Helleri hæc sunt: Mulus portabat vinum comitatus asella, Hæc oneris queritur pondera vasta sui: Ille graves matris gemitus miratur et inquit: Cur adeo lacrymis lumina moesta fluunt? Mollities teneras, mater, decet ista puellas, Quas premit insuetus debilitatque labor. Unam mensuram si nostros fundis in utres, Ipse tui vini pondera dupla feram. Sin unam contra nostro de fasce levabis Partem, tum æquum pondus uterque feret Dic mihi mensuras, o docte geometer, istas Non aliter Phoebi nomine dignus eris. På svensk prosa lyder uppgiften sålunda: En mulåsna bar vin i sällskap med en åsninna. Den sistnämnda klagar öfver den ofantliga tyngden af dess 154 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. börda. Mulåsnan undrar öfver modrens svåra suckar och säger: hvarför flyta så många tårar från dina sorgsna ögon? En sådan blödighet anstår, o moder, vekliga flickor, som tryckas och försvagas af ett arbete, vid hvilket de ej äro vana. Om du gjuter ett mått i mina flaskor, kommer jag att bära en dubbelt så tung börda vin som du. Men, om du däremot vill lätta min börda med ett mått, då komma vi bägge att bära lika mycket. Du lärde geometer, säg mig antalen mått i hvarderas börda; i annat fall är du ej värdig Febi namn. Kexlerus löser uppgiften medelst s. k. regula falsi och finner att mulåsnan bar 7 mått och åsninnan 5 mått. 2. Decimalräkningen. Denna kallas af Kexlerus aritmetica geodoetica (landt- mätare-räkningen). Liniematten. Längdmåttet tiofot eller stång är en tio fot lång linie. » fot är en tio tum (digitus) lång linie. » tum . är en tio gran lång linie. » gran är en tio skrupel lång linie. Ytmåtten. En kvadrat-stång är en kvadrat, hvars sida är 10 fot, » » fot » » » » » » 1 fot, » » tum » » » » » » 1 tum, » » gran » » » » » » 1 gran, Dessa kvadratmått innehålla respektive 100 kv.fot, 100 kv.tum, 100 kv.gran och 100 kv.skrupel, hvilka sistnämnda utan förlust kunna försummas. AFD. i. svenska aritmetikens historia. 155 Rymdmåtten. En » » kubik-stång » fot » tum « gran Dessa kuber är en kub, hvars kantlinie är 10 fot, » » » » » » 1 fot, » » » » » » 1 tum, » » » » » » 1 gran. innehålla respektive 1000 kub.fot, 1000 kub.tum, 1000 kub.gran och 1000 kubik-skrupel, hvilka sistnämnda äfven här kunna förbigås. Tals beteckning. Ett lineärt exempel. 123,456 @ utläses: 123 längd-stänger 4 fot 5 tum och 6 längd-gran. Ett yt-exempel. 12,34.52.88 (6) kvadrater utläses: 12 kvadr. stänger 34 kv.- fot 52 kv.tum och 88 kv.gran. Ett rymd-exempel. 12,345.678.978 (9) kubik, utläses: 12 kubik-stänger 345 kubikfot 678 kubiktum och 978 kub.gran. Exempel på addition. Lineärt exempel. 2468 © 3578 ® 282,58 (2) Yt-exempel. 245670 © 2834 ® 52,90.70 @ Rymd-exempel. 12,345. 600 45,6 78 . 912.340 58,024.512.340 Exempel på division. En åker af 837269 @ kvadrater skall divideras med sin ena sida nämligen 678 (2) längder. Kvoten blifver 1235 () längder. Se här räkningen. 156 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 1 operationen. 837269 678 @ kvadrater. @ längder. 2 operationen. 1592 678 1356 (1234 © längder. 3 operationen. 2366 678 2034 4 operationen. 3329 678 2712 617. Emedan denna rest är större än halfva divisorn, bör sista siffran af kvoten ökas med en enhet, hvadan svaret blifver att den sökta sidan är 1235 (2) längder eller 12 stänger 3 fot 5 tum. Exempel på förvandling af vanliga bråk i decimalbråk. Huru mycket är § af en stângi decimaldelar? Svar: 875 (3). 1 oper. 70 8 64 2 oper. 60 8 (875 () 56 3 oper. 40 8 40 00 Exempel på kvadratrotsutdragning. 1. Rationelt exempel. Hvad är qvadratroten ur 186624 () kvadrater? Svar: 432 (|) längder. AED I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 157 1 oper. 18.66.24 @ kv. 43 2 16 2 oper. 266 83 (432 @ längder. 249 \ 3 oper. 1724 8 62 17 24 00 00 2. Irrationell exempel. Hvad är kvadratroten ur 325654 © kvadrater? Svar: 5,7066 () längder i det närmaste. 1 oper. 32 56 54 @ kvadr. 25 (5,7066 @ längder. 2 oper. 756 107 749 3 oper. 754 114 4 oper. 75400 © kvadr. 11406 68436 5 oper. 696400 (® kvadr. 114126 684756 11644 »Denna sista rest anses för intet, emedan den icke gäller för tiondedelen af ett gran.» Kubikrotsutdragning förbigå vi. Som vi se, använder Kexlerus samma beteckning som Stjernhjelm, med hvilken han var samtidig. Liksom denne 158 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. gjorde han stången till enhet för måtten vid decimalräk- ningen. 3. Sextiotalsräkningen. Denna kallar Kexlerus astronomisk räkning (»astro- nomica sexagenaria»). Den sammanfaller mycket nära med Buddæi* 3 år förut (1646) utgifna af handling härom, för hvilken vi redogjort i årgången 1871. I denna räkning lär man att beteckna talen under formen / 3 /2 ∕∖ ∕∖~1 . . . + 7s(60) + kz: 60) + 7 (60 + ko + k_r (60 + / 2, 4 +*—. 60) + k 360 +..., hvarest % % % % % %: k 3,42, 1,, - 1, - 2, — 3 äro de vederbörliga koëfficienterne för de motsvarande potenserne af 60. Man får ock lära sig att räkna med dessa nya tecken. Kexleri tecken äro dock ej de numera hos oss vanliga eller 60 med en viss exponent utan följande, 60 = sexagenæ tertiæ = æ sextior af tredje ord- ningen = 216000, II æ = (60 = sexagenæ secundæ = æ sextior af andra ordningen = 3600, Iæ= 60 = sexagenæ prima=æ sextior af för- sta ordningen = 60, 0 = 1 = en hel = 1, 1∕a = (60) = minuta (scrupula) prima = æ minuter af första ordningen = do, * Kexlerus var liksom Buddæus född i Nerike. Anmärknings- värdt är, att Kexlerus är född i samma församling, som vår nn lefvande berömde fysiker professor Edlund, att Kexleri födelsegård Kexle ägts af prof. Edlunds moder, från hvilken den genom arf öf- vergått till prof. Edlunds systrar. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 159 1∕∕a = (60 | = minutasecunda = a minuter af andra ordningen = 30009 V///a = (60) - minuta tertia = a minuter af tredje ordningen = zTG000 o. s. v. JEx. 1. Om antalet dagar från Kristi födelse till klockan tio den 25 Mars 1648, hvilket år 601650* skulle betecknas i sextiotalssystemet, erhölle man talet 2 III æ 47 II æ 7I æ 30 dagar 22 timmar d. ä. 55 skrupel af en dag. Ex. 2. livad gör 3o i skrupler? Svar: 1/. 40∕∕., d. v. s. en skrupel af första och 40 af andra ordningen. Vid uträkningen resonerar man sålun- da: »då 36 gifva 1, hvad gifva då 60?» Exempel på addition. 3//æ 39/æ 40 grader 24∕. 40∕∕. 5 40 6___________30 30. 9//æ 19/æ 46 gτ. 55/. 10//. Exempel på multiplikation. Att finna solens årliga rörelse. Man multiplicerar solens dagliga rörelse med antalet dagar på ett år eller med 365 dagar, hvilka utgöra 6 sextior af första ordningen och 5 dagar. Solens dagliga rörelse är 59/. 8//. 19///. 48 IV. 6/æ 5 dagar. * Det är besynnerligt, att Kexlerus, ehuru astronom, låter året vara jämnt 365 och ej 3654 i det närmaste. 160 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 4. 0 1.35 0 . 40 4. 55. 4 . 48 1 . 54 0 . 48 5 . 54 læ grader. Solens årliga rörelse är 5 59 45/. 40. 27///. Oιv. Man säger 5 gånger 48IV gör 240ιv eller 4/// OIV, 5 gånger 19/// gör 95//1 eller 1// 35/// o. s. v. Några allmänna satser, I Arithmetica -geodoetica denaria Aboæ 1649 före- komma följande allmänna satser, hvilka sannolikt halva måst försvaras af Kexleri respondent vid disputationsakten. Ehuru de ej egentligen höra till aritmetikens historia, torde dock några af dem såsom karakteriserande tidehvarf- vet och förekommande i Kexleri aritmetik vara förtjänta att anföras. Korall. 1. Den matematiska vetenskapen är urgammal. 2. Aritmetiken har en vidare utsträckning än geometrien. 3. All ting kan räknas. 4. Enheten är ett tal. 5. Stjärnorna hafva klotform. 6. Solen är i vårt halfklot mäst aflägsen från oss, då hon går upp eller ned. 7. Jorden är klotformig och stäld i midten af verldsaltet. Därefter följa 19 frågor. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 161 1. Ar filosfien nyttig och nödvändig för teolo- gien? Ja! 2. Aro några kunskaper naturliga för oss? Ja! 3. Kan en. lärare med godt samvete bibringa sina lärjungar falska åsigter? Nej! 4. Ar fysiken en vetenskap? 5. År fysiken en spekulativ vetenskap? Nej! 6. Delas den med rätta i allmän och enskild ? Ja! 7. Harhvarje naturkropp rörelse ochhvila? Nej! 8. Kunna onda andar sammanträffa med hexor och framalstra barn? Nej! 9. Kunna trollpackor förvandla menniskor i vargar och andra oförnuftiga djur? Nej! 10. Aro stjärnorna af samma natur som him- len ? Nej ! 11. Bör man gifta sig med en skön kvinna?* 12. Bör man snarare gifta sig med en mö än med en änka? Svar: Man föredrager van- ligen den förra framför den senare. o. s. v. 19. Delas ljusstrålen med rätta i enkel och dubbel och denne senare i reflekterad och bruten? Ja. I Arithmetica sexagenaria af år 1649 förekomma ock några satser, af hvilka vi framhålla följande. 4. Verkliga cirklar finnas ej på himlen, ty stjärnornas naturliga rörelse borttager cirk- larna för mathematici. 8. Vatten utsatt för elden blir varmt genom upptagande af eldens väsende. 9. Att jorden hänger rörlig i midten af verl- den och att stjärnorna röra sig endast ge- * Svaret härpå är tecknadt A. D. Jag vet ej dessa bokstäfvers betydelse. Möjligen kunna de betyda affirmativum dictum (jakande yttrande). 11 162 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. nom sin egen rörelse påstå vi på grund af våra sinnens sunda vitnesbörd. 12. Melankoliska lynnen äro mera passande till utförande af snillrika handlingar än öfriga lynnen. 16. Omväxling af mat är skadlig och moder till åtskilliga sjukdomar. 20. Då -man skall söka en maka, bör man sna- rare följa öronens än ögonens omdöme. Slutanmärkning. Kexlerus är märkvärdig för sin ve- tenskapliga metod, ehuru han ej alltid tilläm- pat den.Vidare hör han till det tretal af samtida svenskar (Stjernhjelm, Biörk, Kexlerus), som först infört decimalräkningen. Stjernhjelm talar öm decimaler i sin handskrifna Algebra suethica 1642, Biörk i sin räknebok af år 1643 och Kexlerus i sin af handling (Arithmetica geodoetica denaria) af år 1649. Det finska folket har att tacka Kexlerus för det han så- som den försteprofessoren i matematik vid Åbo universitet grundlagt det matematiska stu- diet i Finland. (Forts.) Om lapparnes kåtor och soldaternes tält. Undersökning om deras bygnad är så ändamålsenlig som möjligt. Af F. W. HULTMAN. I denna tidskrift, årgången 1868, uppställer Dillner i sin af handling om isoperimetriska produkters maxima föl- jande problem: - AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR o. SOLDATERNES TÅLT. 163 »Af 1 fot länga trädstammar skall en lapp konstruera en konisk kåta. Hvilken form bör kåtan hafva för att bli så rymlig som möjligt?» I en not tillägger han: »Svaret, att höjden: basradien = 1:V2 synes, att dö- ma efter ögonmått, något så när öfverensstämma med lap- parnes sätt att bygga sina kåtor. Skulle någon af tidskrif- tens läsare vara i tillfälle att genom mätning afgöra frå- gan, så komme resultatet af en sådan undersökning att intressera rätt mången.» ■ Den uppmaning, som denna not innehåller, föran- ledde då varande provisorn, numera apotekaren G. Julin, att vid sitt besök i Kvickjock sommaren 1868 uppmäta tre stycken kåtor. Vi meddela här resultatet af dessa mätningar. Kåtan 1 (träkåta). . Denna kåta var konformig, bygd af mot hvarandra lutade störar och sedan täckt med torf. Dess dimensioner voro följande: Storaxeln af kåtans botten=11,65 fot, lillaxeln » » » =11 fot, höjden fr. konens spets till medelpunkten af bottnen = 4,5 fot*. Dessa mått visa, att bottnen i det närmaste är cirku- lär med en radie=5,6625 fot. Tangenten för vinkeln mellan kåtans vägg och golf är således=—— , hvilket gifver vinkeln siälf=38° 28' 30". 5,6625 * Herr Julin tillägger: Golfvets omkrets var omöjlig att upp- mäta, inuti i följd af den spetsiga vinkel, som väggarne bildade med marken, utanpå därför att kåtan till en del låg under marken. I denna kåta var ej något synnerligt utrymme. Man kunde knap- past få rum att sitta där, fastän man satt på bara marken. Att ligga där var dock utrymme nog, och det tycktes vara varmare att ligga där än i buldan kåtorna. 164 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. För att utrymmet skall vara så stort som möjligt, bör tangenten för vinkeln vara=— och således vinkeln = 350 16', hvilket gradtal nära sammanfaller med det uppmätta. Att utrymmet ändock var litet, berodde därpå, att de stö- rar, hvaraf kåtan var bygd, ej voro långa; de voro näml. endast något öfver 7 fot långa. Kåtan 2 (tält eller buldankåta). Denna kåta af buldan hade formen af en parallelt af- stympad kon, hvars båda parallela plan ABCD och A'B'C'D' voro i det närmaste cirkelformiga ovaler. Di- mensionerna voro följande. Storaxeln lillaxeln AC=4,5 fot,) : . . • 7 c 1= diametrarne at takoppningen. BD=½ fot.) o Lillaxeln A C7=15,5 fot,) r1 . 1 1 7,,p . l=dιametrarne på marken i kåtans storaxeln BD= 17 fot.) - botten. Såsom man kan se, är storaxeln AC i taköppningen parallel med lillaxeln A'C i kåtans botten men vinkelrät mot storaxeln B'D'. Sidan AA=8,5 fot. Sidan BB=CC-DD=9 fot. Omkretsen vid marken=52,8 fot. För att på grund af dessa mätningar finna väggens lut- ning a mot bottenplanet antaga vi för enkelhets skull ovalerna i tak- och botten-planen vara cirklar, hvilkas me- delpunkter ligga på samma mot dessas plan vinkelräta linie. Genom att taga aritmetiska media erhålla vi föl- jande dimensioner: .. ■ (4,5+4 1 „ Diametern i takoppningen =—2—= 4,25 fot, . 1 (15,5+17+M 52,8 Ni „ » 1 bottenplanet = = 116,31 fot, AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. 165 Sidan-(3.948.6) 8,875 fot. Häraf erhålles . 6,51 tga = - 6,03 och således c=470 12'. Förhållandet mellan diametrarne i tak- och botten- 1 - 4,25 planen ar —— = 0,26. - 16,31 Till denna kåta äro använda 287 kvadratfot buldan. Kåtan 3 (tält eller buldankåta). Dennas dimensioner voro: Storaxeln AC af taköppningen = 3,8 fot, lillaxeln BD » » =3,7 fot, lillaxeln AC i kåtans botten =14 fot, storaxeln B'D' » » =15,5 fot. Sidan AA=8,5 fot, BB=9,3 » CC = 8,6 » DD = 8,85 » Omkretsen vid marken=47,25 fot. Genom ett analogt sätt med det vid kåtan 2 begag- nade erhållas häraf följande mått: Diametern i , . (3,8+3,7 ∖ taköppningen = —4-----= ) \ * / 3,75 fot, i bottenplanet = 14 + 15,5 +* 47,25 . 3 14,85 fot, sidan = 8,5 + 9,3 + 8,6 + 8,85 4 8,81 fot. 166 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. Dessa mått gifva 6,84 tg C==— 0 5,55 och således a=500 57. Förhållandet mellan diametrarne i tak- och botten- 1 - 3,75 planen ar —— = 0,25. 14,85 Till denna kåta äro använda 257 qvadratfot buldan. Vid jämförelse mellan kåtorna 2 och 3 finner man att de äro i det närmaste likformiga. Diametern i tak- planets öppning är näml. 4 af diametern i bottenplanet i bägge kåtorna; väggens lutningsvinkel mot basplanet är i den ena 47° och i den andra 51°. Återstår att se, om dessa lutningsvinklar 47° och 510 hafva några utmärkande egenskaper. Som bekant är, utgör 45° den lutning som ett tak på en bygnad bör hafva mot horizontalplanet för att snön eller regnet skall falla af taket så fort som möjligt. Sättes näml. a=bygnadens bredd, och a = takets lutningsvinkel mot horizontalplanet, samt t=antalet sekunder, under hvilka en droppe faller från takets öfversta spöts till dess lägsta, så leder problemet till ekvationen a g Sin a . t2 Cos a 2 ’ hvarest g=tyngdkraftens acceleration. Häraf erhålles 7a _L4a • g Sin 2 a' som gifver t till ett minimum, då α = 450. Då dessa buldantält äro öppna ofvantill, förutsättes här att längden af väggens projektion på botten-planet skall vara gifven, för att föregående lösning skall vara AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. 167 tillämplig. Denna projektion är i kåtan 2 lika med 6 fot och i kåtan. 3 lika med 5 fot. Dessa kåtor äro således i det närmaste bygda så, att snön faller af dem så hastigt som möjligt, om tillika väggarne skola hafva en sådan lutning, att längden af deras projektion på bottenplanet skall vara lika med eller något större än längden på en fullväxt lapp, hvilken således kan ligga hvilande fullkom- ligt skyddad för regn af kåtans väggar. Enär vid de sista tvänne kåtorna förhållandet mellan taköppningens och bottenplanets diametrar i det närmaste är lika, föranleder detta att lösa följande uppgift. Vi vilja nämligen se om tältens eller kåtornas bygnad passar in på den. Uppgift- Ett tält skall hafva formen af en parallelt af- stympad kon. Frågas lutningsvinkeln a mellan konens sida och bas, om Volymen skall vara ett maximum, då man känner den bugtiga ytan samt förhållandet mellan de båda basradierna. Lösning. Sätt h=höjden, 5 = sidan, m = förhållandet mellan de båda basradierne=. .. R Uppgiften leder då till likheterne 7 R2 (1+m + m2).h 3 = maximum i R (1+m) Vh2 + R2 (1 - m)2=konstant eller till R2h=maximum och_______________________ R Vh2 + R2(1 - m)2 =konstant=k. 168 AFD I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. Den senare gifver Vk2 - R4 (1 - m)≡ h= Däraf erhålles R R Vk2 - R4(1 - m)2=max. Förra ledet bringas lätt att blifva en isoperimetrisk produkt. Det kan nämligen skrifvas under formen k2 - R4 (1 — m)2 F Vl —m För att denna skall blifva ett maximum, skall R4(1-m)2_12 - R4 (1-m)2_12. 4 Häraf erhålles 2 k oclι således (1 — m) V3 R-T=R(1 — m)= samt h Häraf erhålles Tga=-h ett märkvärdigt resultat, emedan det är oberoende af m eller förhållandet mellan basradierna. Den sökta vinkeln är således 0=540 44, en vinkel som ej mycket öfverskjuter lutningsvinkeln för den senare kåtan eller kåtan 3. AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR 0. SOLDAT. TÄLT. 169 -Anm. 1. Man kan i föregående uppgift låta höjden vara . • . 1 R gifven i st. f. förhållandet m=-∙ Y Man erhåller då ekvationerna x(R2 + Rr+ 72 )] ---------------— = m ax. 3 och T(R + r) Vh2+(R - r)2 =konstant=k. Dessa gifva R=r=2h och sål. α = 900. Dessutom erhålles systemet som gifver ett minimum. Häraf erhålles π Ingendera af dessa båda värden på a passar dock in på de iakttagna vinkelvärdena för lutningarna i våra före- varande kåtor. Anm. 2. Antoge man åter sidan s gifven i st. f. för- hållandet R’ finge man likheterna T(R + r)s =konstant, som man kan kalla 2rs a. 170 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDÂT. TÅLT. och x(R2+Rr+r2) V32-(R-F)2 . --------------------7------------—- = maximum. 3 Således R+r=2a och (R2+Rr+r2)Vs2-(R- r)2 = max. eller (4a2 - Rr) Vs2-4a2 + 4 Rr =max. och således äfven I (16a2 —4 Rr) (s2 — 4a2 + 4 Rr)2 = max. , Denna produkt är isoperimetrisk, och således inträder maximum, då 16a2-4 Rr 82—4a2+4 Rr 12a2+82.. 2(12a2 + 82) 1 4 1 3 Häraf erhålles <2 Rr = 2a2 - • Men R+r=2a således R) 1/32 2 { =C± V — a2 r ) F6 Detta gifver höjden = V 4a2 + — och s2+12a2 2(s2 _ 6a2) Insättes värdena på s och a för de båda buldankå- torna, erhälles tga imaginär, och således passar ej denna maximibestämning på de här omtalade kåtorna*. * Herr Julin nämner att i Pite lappmark byggas kåtorna af verkligt timmer, 4 hvarf på hvarandra, hvarpå sedan en afstympad pyramid är bygd. AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDAT. TÅLT. 171 Vi öfvergå härefter till studiet af våra soldattält, hvilkas dimensioner jag erhållit genom en segelmakare i Stockholm. 1. Skyddstält (tente d’abris). Dessa tält hafva form af en pyramid, hvars bas utgör en kvadrat med 94 fots sida. Längden från pyramidens spets till en af kvadratens vinkelspetsar utgör 9 fot. Dessa mått gifva höjden = 6 fot i det närmaste. och lutningsvinkeln =510 35'. För att se, om denna vinkel sammanfaller med någon vinkel, som gifver maximum, lösa vi följande uppgift. Ett tält skall hafva formen af en pyramid med kva- dratisk bas. Hvilken bör lutningsvinkeln a mellan sidan och basen vara för att tältet skall vara så rymligt som möjligt, då arealen af det för tältets bygnad nödiga tyget är gifven. Sättes sidan i basen=x, tältets höjd = ⅛, erhållas följande ekvationer: 82h . — =max. 3 4.-/ 72+—=k2(en konstant), 2 V 4 7 hvaraf h=Vi-s* 2s och således sVT4 —s4 ----6----= max. Venstra ledet blir en isoperimetrisk produkt genom att sätta s=(s4)4. Man får (s4)Å (%4 -84)2 = max. och således s4 k4—84 74 T 172 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR 0. SOLDAT. TÅLT. Häraf får man S=— 4/3 och h=- _ V2V3 och således 2h to a =—=2 , S a=540 44, en vinkel, som ej lutningsvinkel. mycket skiljer sig från skyddstältens 2. De gamla soldattälten. Det gamla soldattältet hade formen af ett triangular- prisma, hvars bas var en kvadrat. Kvadratens sida var 8 fot. Höjden i hvardera sidorektangeln var 8,5 fot. Dessa mått gifva sidorektanglarnes lutningsvinkel mot det kvadratiska bottenplanet =610 55'. Dessa tälts konstruktion föranleder lösningen af föl- jande uppgift. Uppgift. ,Ett tält hafver formen af ett triangulärprisma, hvars bas är en qvadrat. Huru stor skall lutningsvinkeln a vara för att dess rymd skall blifva så stor som möjligt, då summan af sidoytorna är gifven? Lösning. Antag a=kvadratens sida, b=höjden i hvardera sidorektangeln. Uppgiften leder till de båda ekvationerna al/462—g2 . -----------+ 2ab = konstant 2 och _______ a2V4b2 -α8 . -----------=m axιmum. 4 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR 0. SOLDÂT. TÅLT. 173 Med tillhjälp af differentialkalkyl erhålles COS C= a11/28+197 26 6V — 2— och således a=470 30, hvilken vinkel är vida skild från tältens verkliga lutnings- vinkel. 3. Infanteri-underofficerstält. Ett sådant tält består af en rätvinklig parallelepiped med kvadratisk bas. Ofvanpå parallelepipeden såsom bas ligger ett triangularprisma. Tältet liknar således en van- lig bygning med sitt tak. Måtten äro följande. Väggens höjd =44 fot. Takets bredd =4% fot. Takets längd =8 fot. Af dessa mått erhålles takets lutningsvinkel=550 8‘, hvilket tal icke häller öfverensstämmer med det i före- gående uppgift beräknade. Sammanfattning. 1. De lappska träkåtorna äro i det närmaste bygda så, att de med gifven längd på störarne bereda det största utrymme. Lutningsvinkeln är nämligen 350, men borde egentligen vara 38°. 2. De lappska buldankåtorna äro i det närmaste bygda så, att de bereda det största möjliga utrymme, då materialets areal och förhållandet mellan taköppningens och bottenplanets diametrar äro gifna. Lutningsvinkeln varierar näml. från 470 till 510, men borde egentligen vara nära 550. 174 AFD. I. OM LAPPARNES KÅTOR O. SOLDÂT. TÄLT. Dessa kåtor äro ock bygda så, att snön må falla af så fort som möjligt, samtidigt med det att väggen skall hafva en sådan lutning, att längden af dess projektion på bottenplanet är lika med eller något större än längden af en lappman. Lutningsvinkeln varierar näml. från 470 till 510, men borde, om ej friktion funnes, vara 450. 3. Skyddstälten äro i det närmaste bygda så, att de med gifvet material bereda det största möjliga utrymme. Lutningsvinkeln är näml. 510 35' men borde vara nära 550. . 4. Hos de gamla soldattälten och infanteri-underofficers- tälten hafva vi ej lyckats finna några i afseende på utrymmet anmärkningsvärda egenskaper. Sats 102 i årgången 1868 löst Ar P. W. Almqvist. Att upprita en qvadrat, hvars sidor (förlängda om så behöfves) tangera hvar sin af fgra gifna cirklar. Det är lätt att inse, att denna utvidgning af proble- met är liktydig med följande: Att upprita en rektangel, hvars sidor (förlängda om så behöfves) gå genom hvar sin af fgra gifna punkter, ock i hvilken skilnaden emellan två närliggande sidor är af en gifven längd. Antages näml. den begärda qvadraten vara upp- ritad, och drager man genom hvar och en af de gifna cirklarnes medelpunkter en rät linie, som är parallel med den sida i qvadraten, som tangerar samma cirkel, så bilda dessa fyra linier en rektangel, i hvilken skilnaden emellan två närliggande sidor endast beror af storleken af de gifna cirklarnes radier och således måste vara känd. — Aro alla de gifna cirklarnes radier lika med noll, så är också AFD. I. EN QVADRAT TANGERAD AF 4 GIFNA CIRKLAR. 175 denna skilnad noll, och problemet sammanfaller med 1868 års prisuppgift: att upprita en qvadrat, hvars sidor (förlängda om så behöfves) gå genom hvar sin af fyra gifna punkter. Den sökta rektangeln kan anses bestå af tvenne par af parallela linier, hvilka par äro vinkelräta mot hvar- andra och derjemte så beskaffade, att afståndet emellan de begge linierna i det ena paret med en gifven längd öfverskjuter afståndet emellan linierna i det andra paret Äro då A, B, C och D (fig. 16) medelpunkterna till de gifna cirklarne, så kan problemet uttryckas sålunda: Genom två af de gifna punkterna (låt vara A och D) skola dragas tvenne parallela linier (Aa och Dd) och genom de begge öfriga (B och C) tvenne andra parallela linier (Bb och Ce), som aro vinkelräta mot de förra och tillika så beskaffade, att afståndet emellan de begge förra med en gifven längd öfverskjuter afståndet emellan de begge sednare. Fälla vi derföre från A en rät linie Ad vinkelrät mot Dd och från B en rät linie Bγ vinkelrät mot Cc, samt betekna längden af linien AD med a, af linien BC med b samt vinkeln DAS med 9p och vinkeln CBγ med %, så är afståndet emellan Aa och Dd ■ Ad=a cos 9 och afståndet emellan Bb och Cc By=bcosy . och således, om den gifna skilnaden tills vidare betecknas med 7, a cos @ = b cos %+l (1) För att finna ytterligare en relation emellan de begge obekanta vinklarne φ och %, vilja vi nu undersöka, om en sådan kan erhållas på grund deraf, att linierna Aa och Dd äro vinkelräta emot Bb och Cc. Genom granskning 176 AFD. I. EN QVADR. TANGERAD AF 4 GIFNA CIRKLAR. af figuren finner inan då utan svårighet, att, om vinkeln emellan linierna AD och BC beteknas med E, så är 9+V= -E (2) Den vinkel, som linien Ad gör med BC och som är komplement till w, blir neml. yttre vinkel till en tri- angel och har till motstående inre vinklar E och 9p, hvaraf relationen (2) erhålles. På grund af (1) och (2) finna vi nu problemet reduceradt till följande: Att dela en gifven vinkel (= -E) itvenne sådana delar (9 och %), att a cos φ = b cos +l. År då (fig. 17) O den gifna vinkeln samt OM=a, ON=b, så måste den sökta skärningslinien OL vara så belägen, att när OM och ON projicieras på densamma till Om och On, så skall Om= On+l Emedan således linien Mm, om den utdrages, skall gå på ett afstånd från punkten N, som är lika med 1, så kan den erhållas derigenom, att man tager N till medelpunkt för en cirkel, hvars radie är 1, samt genom Μ drager en tangent till samma cirkel. Sedan linien Mm är funnen, dragés skärningslinien OL vinkelrät deremot. Problemet måste nu vara upplöst, och vi behöfva en- dast gå tillbaka för att direkt tillämpa lösningen. Den första omständighet, som här möter oss, är be- stämmandet af skilnaden 1, hvilken vi allt hittills antagit vara direkt gifven. Denna skilnad emellan de parallela liniernas inbördes afstånd, kan tänkas uppkomma derige- nom, att hvar och en af den sökta qvadratens sidor, hvilka AFD. I. EN QVADR. TANGERAD AF 4 GIFNA CIRKLAR. 177 tangera livar sin af de gifna cirklarne, inflyttas frän denna cirkels periferi till dess medelpunkt, hvarigenom de begge afstånden emellan de motstående sidorna förändras och derigenom upphöra att vara hvarandra lika. Men den förändring, som hvartdera afståndet genom flyttningen un- dergår, är beroende af de ursprungliga tangenternas lägen till hvarandra och till medelpunkterna, och de begge af- stånden kunna derföre: 1:o) begge ökas med radiernas summa. 2:o) » d:o » d:o skilnad. 3:o) » d:o, det ena med radiernas summa det andra med deras skilnad. 4:o) » minskas, med radiernas summa. 5:o) » d:o » d:o skilnad. 6:o) » d:o, det ena med radiernas summa, det an- dra med deras skilnad. 7:o) » det ena ökas och det andra minskas med radi- ernas summa. 8:0) det ena ökas och det andra minskas med radiernas skilnad. 9:o) det ena ökas med radiernas summa och det andra minskas med deras skilnad. 10:0) det ena ökas med radiernas skilnad och det andra minskas med deras summa, och i alla dessa händelser är det påtagligen lätt att be- stämma, hvad den slutliga skilnaden emellan de begge afstånden blir. För enkelhetens skull vilja vi antaga, att den första händelsen eger rum, och afsätta då på en indeterminerad rät linie summan af radierna i cirklarne A och D samt summan af radierna i cirklarne B och C. Låt den förra af dessa summor vara större än den andra, så är skilnaden emellan dem det sökta 1. Sedan vi funnit storleken af 1, skola vi nu uppsöka vinkeln —E. 2 Det är lätt att inse, att om vi från A draga en rät linie AF vinkelrät mot BC, så är 12 178 AFD. I. EN QVADR. TANGERAD AF 4 GIFNA CIRKL. A FAD=" - E. Emedan dessutom AD =a, så göra vi derjemte AF=b, då figuren FAD blir densamma som NOM (fig. 17). Vi taga derföre nu F till medelpunkt för en cirkel, hvars radie är 1, och draga från D tangenten Dd till denna cirkel. Sätta vi nu från A linien Ad vinkelrät mot Dd, så är DAS=9 och således Dd en af sidorna i den sökta rektangeln, hvar- efter de öfriga sidorna lätt uppdragas. Den sökta qva- draten aβγδ fås sedan genom att draga tangenter till de gifna cirklarnc, parallela med sidorna i rektangeln abed och på sådant sätt belägna, som öfverensstämmer med an- tagandet af händelsen l:o). För det direkta geometriska beviset draga vi linien Df parallel med Dd, hvarefter det är lätt att bevisa, att Af= Bγ"=cd och således ae = Af+fö"=cd + l, hvaraf åter följer aγ = γ ô och således aβγδ en qvadrat. Drager man från D till cirkeln F en annan tangent Dd', så fås på samma sätt rectangeln ab'c'd', i hvilken a'c =cd-l samt qvadraten a'β'γ'3', som motsvarar händelsen 3:o. Införandet af cirkeln F i st. f. en enkel punkt utgör skilnaden emellan det utvidgade prisproblemet och det ursprungliga. För hvarje par af conjugat-linier kan der- före denna cirkels medelpunkt erhålla tvenne olika lägen, AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 179 men i hvartdera läget kan radien erhålla flera olika vär- den beroende på händelserna l:o)—10) och på, huru många af dessa som gifva olika värden åt l. Det är derföre klart, att i allmänhet ett stort antal sådana qvadrater, som i problemet begäres, kunna uppritas, samt att en diskus- sion, som skulle omfatta alla de olika omständigheter, som kunna inträffa med afseende på de gifna medelpunk- ternas inbördes lägen och radiernas storlek, måate blifva ytterst vidlyftig. Vi anse den ingalunda vara värd det arbete, den skulle erfordra. AFDELNING II. Försök till en kort, för praktiskt behof lämpad framställning af de elliptiska funktionerna. Af Göran DILLNER. (Forts, fr. föreg. häfte, sid. 107.) De elliptiska funktionerna af första slaget. 8. I likhet med de eirkulära och hyperboliska funk- tionerna låta de ellipliska åskådliggöra sig i en geometrisk bild * förmedelst en särdeles enkel kroklinie, hvars kon- struktion, såsom beroende af en hyperbolisk och cirkulär sinus, låter genom i tabeller upptagna värden på öfligt sätt utföra sig, samt förmedelst två trigonometriska cirklar, * Den här afhandlade konstruktionen af de elliptiska funktio- nerna är, såvidt mig är bekant, först berörd i En grupp formler etc. af G. Dillner, [Kongl. Vet.-Akad. Handlingar, Stockholm 1864], samt vidare i Calcul Géométrique supérieur par G. Dillner, pag. 121 [Kongl Vet. Soc. Acta, Upsala 1873]. 180 AFD. II OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. tangerande i origo abscissaxeln och krokliniens första ele- ment. Den åsyftade kroklinien representeras af eqvationen Shy=k, Sin x................(20), der x och y beteckna som vanligt rätvinkliga koordinater och k, en konstant, bunden vid två andra konstanter ["mo- dyler"] k och 7 , kallade hvarandras komplement, genom relationen k=Sinω∖ 7, =Cos oo.................(21), k,=Tga der vi antaga co ligga i första qvadranten, d. v. s. k, ki och k2 positiva. Utom variablerna x och y införa vi en ny vari- abel 9p, bunden vid de förra förmedelst eqvationen Tga-7, Tgsp...................(22). Lutningen c af krokliniens (20) element mot pos. x-axeln uttryckes på följande enkla sätt: das Cos a , Tg c== =k - —================ =k, Cos go .... (23). 5 dæc 2 V1+k2Sin2x 9. Vi låta OPMA [fig. 18] vara den af (20) repre- senterade kroklinien. Hennes begynnelse-element i origo O bildar A DOA=med pos. abscissaxeln 0A [(23)]. Hon är, som man lätt finner, symetrisk på ömse sidor om maximi ordinatan BM=Arg Sh ‰ = 10otg 4 (900-() [jfr(5)], svarande mot abscissan 0B=1 7, samt bildar för öfrigt ett af kongruenta delar bestående vågformigt system, utsträckt i oändlighet längs pos. och neg. abscissaxeln, skärande densamma i punkterna 0,0, 2 etc. , — , — 2r etc. För k = 0 sammanfaller kroklinien OMA med abscissaxeln *och är till längden = T; för k konvergerande mot 1 åter när- mar hon sig att sammanfalla med vinkelräta linierna OY och AY , då hennes längd blir oo. Vi låta vidare Oq och Op vara de två trigonometriska cirklarne [rad. = 1] AFD II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 181 med medelpunkterna C och C1, tangerande i origo resp. abscissaxeln och krokliniens tangent OD. En punkt P på kroklinien eger då på de resp. cirklarne motsvariga punkter q och p, hvilka finnas sålunda: från P fälles ordinatan y, då bågen 0q afsättes = abscissan x, hvarefter Cq utdrages, tills bon träffar OA i E, ED fälles L OA, då DC träffar cirkeln Op i p; ocb omvändt finnes P, då p är gifυen. Af denna konstruktion framgår enligt (22), att vinkeln OC1 p = g, hvadan alltså till en gifven längd OP =u på kroklinien OM finnes genom konstruktion en motsvarig båglängd Op = 9 på cirkeln Op, och tvärtom. För n> φ^^ 7 låta vi de två cirklarne tangera iAi stället för 0, då konstruktionen utföres på analogt sätt, o. s. v. Vinkeln 9p, betraktad som funktion af u, kallas amplituden för u och tecknas 9 = am u...........................................(24), der u och 9 äro samtidigt 0 samt dessutom — 9 = am (—u).......................................(25), d. v. s. am u en udda funktion. Af konstruktionen framgå omedelbart följande bestämningar för amplituden, då båg- längden OM sättes = K: x.\n = am (x. K)..................(26), 9 + x = am (u + 2 x K)..............(27), der x representerar ett pos. eller neg. helt tal eller ock 0. Funktionerna 9 , sin 99, cos © och andra trigonome- triska funktioner af © utgöra nu hvad vi förstå med ellip- tiska funktioner af första slaget. Särskild uppmärksam- het förtjenar den funktion, som kallas delta och tecknas: Λ 9p = V1 — k2 Sin2φ. Af det föregående framgår, att Sin am u, Tgamu äro udda, då deremot Cos am u och A am u äro jämna funktioner. Anm. Då tydligheten så fordrar, utmärkes äfven konstanten [modylen] k jämte u i amplitudfunktionen, då beteckningarna blifva: am (u , k,) Sin am (u , k) etc. eller ock am (u) , Sin am* (u) etc. 10. Af (27) framgår att, likasom 2n är period hos 182 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. de trigonometriska funktionerna Sin u och Cos u, så är 4K period hos de elliptiska funktionerna Sin am u och Cos am u, hvadan Sin am (u + 4x K) = Sin am u. Cos am (u + 4x K) = Cos am u. Af (27) framgår vidare: Sin am (u + 2K) = —Sin am % ) Cos am (u ± 2K) = — Cos am u - • - • (28), Δ am (u ± 2K)= A am u hvaraf följer, at⅛ 2K är period hos de elliptiska funktio- nerna Tg am u och Λ am u. 11. Bäglängden u, uttryckt i funktion af 9p kallas digamma, tecknad F(9), och antar med stöd af (22) och (23) följande form: (29) A 9 Om man åter inför n = Sin 9p, fås _ • • • (30). V1 - 2 V1 — 72 n2 0 De i (29) och (30) gifna uttrycken på u kallas ellip- tiska integraler, hvilka således äro omvändningar af de elliptiska funktionerna 9 = am u och n = Sin am u. Dessa omvändningar tecknas ock i enlighet med (6) och (5): % = Arg am 9 ) (31) u = Arg Sin am ) ‘ då u benämnes det argument, hvars amplitudo är 9, hvars sinus amplitudo är n. Anm. 1. I enlighet med anm. i föreg. N:o utmär- kes här konstanten k, då tydligheten så fordrar, på följande sätt: u = F(9, k) eller u = Fx (g), u = Arg am* φ etc. AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 183 Anm. 2. Enligt (29) fås för k = 0 likheten u = 9, då således Sin amo (u) = Sin u etc., d. v. s. de elliptiska och cirkulära funktionerna sammanfalla; för k = 1 åter- fås 99 = Amhu [jfr (6) och (19)], då således enligt (7) Sin amj (w) = Th w etc., d. v. s. de elliptiska funktionerna öf- vergå i de hyperboliska. Allteftersom kroklinien 0MA [fig. 18] sammanfaller med abscissaxeln OA eller de två vinkelräta linierna OY och AY1 såsom gränsläge, öf- vergå derför de elliptiska funktionerna resp, i de cirku- lära eller hyperboliska funktionerna. 12. Båglängden OM=K kallas den fullständiga ellip- tiska integralen och får, efter utveckling af 1 i serie ef. A9 ter stigande digniteter af Sin2 9 enligt en elementär inte- grationsmetod, följande form: ( ∕1.3∖2 /1 3 5\2 ) K = FQx)=ix 1+()22+(2.4) 1a*+(2.4.6) 76°+. ( (32). Den fullständiga elliptiska integralen för komplement- modylen ky , tecknad K1 , har följande analoga form: ( /1 32 352 ) K,=Fi,Qx)=\z)1 +Q)3k,2+(2.4) 7,4+(2.4.6) 7,°+.-((33). Dessa integraler K och K1 äro grundtal af lika stör vigt för de elliptiska funktionerna som talet 7 för de trigonometriska och hyperboliska funktionerna. 13. Mellan bågen % och abscissan x fås enligt (23) föl- jande anmärkningsvärda relation: dv= dæ V1 - 72 Cos 2 . (34). Om vi med β utmärka fyllnaden till a i ya [jfr fig. 18] eller a + ß = A....................(35), så utgör β hvad vi förstå med koamplituden for u, hvilken således lätteligen finnes genom konstruktion [jfr N:o 9], då båglängden u är gifven, och tvärtom. 184 AFD. II. om ELLIPTISKA FUNKTIONER. Om vi ur (35) införa β i (34), fås med stöd af (32) följande samband mellan u och ß: d β A ß % = — ∙ (36), hvadan vi samtidigt ega 9 = am U β = am(K - u) . (37), hvilken högst anmärkningsvärda relation visar, att den mot båglängden K — u svarande amplituden β är fyllnaden till abscissan x i y. 14. Enär genom transformation af formeln (23) fås form- , . SinceCos (o . -------—— lerna Sin æ = 41 , Cos a = -V1-1-Cos2=-L A 9 A 9 A9 så framgå med stöd af (34) och (25) följande vigtiga formler, såsom uttryckande sambandet mellan amplituden och koamplituden: Cotg am (K—u) = 71 Tgam u Cos am (K— u) = k Sin amu Sin am (K — u) = A am % Cosam u . . (38). A am (K— u) = A am % 7. h1 A am u En ändring af tecknet för u medför ändring af tecknet för högra sidan i de två första likheterna men icke i de två se- nare. Hvad åter en ändring af tecknet för K vidkommer, så vinnes derom insigt enligt (25) genom att i venstra sidorna sätta K-u= — (u — K). Enligt dessa formler kan man på vanligt elementärt sätt konstruera såväl A am u som Δ am (K — u). då u eller y äro gifna. AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 185 15. Krokliniens (20) lutning a mot abscissaxeln i en gifven punkt P konstrueras enligt formeln (23) eller Tg a = Cos 9 Tg o sålunda: enligt N:o 9 konstrueras först den mot P svarande amplituden φ, då a finnes på samma sätt som xc i (22) efter permutering af c och tp, etter ock genom att upprita en halfcirkel på Tgoo som dia- meter samt frän dess ena ändpunkt draga en korda, bildande med honom vinkeln 9, hvilken korda då är Tga; och omvändt konstrueras 9, då a är gifven, samt derpå enligt N:o 9 den mot a svarande punkten P på kroklinien. Mellan lutningen a och bågen u få vi enligt (23) och (29) följande anmärkningsvärda samband: da du =--=======..................(39), Vk2 - Sιn2α κ 7 hvilken formel, som vi skola se, eger en vacker tillämp- ning på lemniskatan och den enkla pendeln. 1 t clu Ib. Arökningsradien T =—— i en punkt P på krok- —da - - linien OM uttryckes i abscissan æ med stöd af (23) och (39) sålunda: 1 — = k Sin a................(40), r hvilken formel på ett enkelt sätt medger konstruktion af r. Om vi nu välja B till origo [fig. 18] och låta den nya abscissan heta x, då 47 + x =...................(41), så fås efter införande af Ch γ i stället för kr: Om vidare v betecknar en längd MP' på kroklinien MA, så finna vi med stöd af (34) och de två föregående formlerna : 186 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. de = dx = _dy A x V1 + k2 Sh2y Enär χ och v äro samtidigt 0, fås x = am v . . . . (43)- . (44), hvadan alltså abscissan x är amplitudo för den motsva- rande båglängden v af kroklinien MA. Om i (43) införes= iy, så framgår dio-du....................(45), A" hvaraf följer, enär v ochäro samtidigt 0: % =iy = am, (i v)...................................(46), der am (i v) framstår såsom en udda funktion i likhet med am v. Denna formel i sammanhang med (42) ger nu kon- struktionen af am, (iv) eller amplituden för en imaginär båge iv och modylen k enligt följande regel: man kon- struerar den kroklinie MA, som svarar mot komplement modylen k, afsätter längs henne det gifna värdet v = MP, fäller ordinatan, då af den funna abscissan x konstrueras enligt (42) Chy, då iy är den sökta amplituden; och omvändt konstrueras det argument iv, som svarar mot en gifven imaginär amplitud % = iγ. Jämte relationen (42) eller Chy = -1— ega vi de ' Cosx derur härledda Sh y = Tgx, V1 + k °Sh2y = C ’ 1 ‘ Cos X hvilka formler enligt (10), (44) och (46) uttryckas sålunda: Sin am, (i v) =i Tg am, (v) Cos am (1 v) = -------— 41 Cos am, (v) Δ am, (v) A am (i v) = -------— 41 Cos am, (v) AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 187 hvaraf framgår en elementär konstruktion af de tre funk- tionerna Sin am, Cos am och A am för ett imaginärt ar- gument iv och komplement-modylen 71. 17. Om v = Ki —iw införes i (47) efter permute- ring af k och k1, så fås med hjelp af (38) följande vig- tiga formler: Sin am (i K+w)= —-------- k sin am w Cos am (i K1 + w) △ am w ikSin amw . (48), A am (i K1 + w) = Cos am w i Sin am w der en ändring af tecknet för w medför ändring af teck- net för högra sidan i alla tre likheterna. Betydelsen af en teckenändring för i K1 fås genom att i venstra sidorna sätta i K. + w = — (-iK1 — w). Anm. Af (48) framgår den anmärkningsvärda före- teelsen, att funktionerna Sin am u, Cos am u och A am u äro oändliga för u - ± i K1. Om vi i den tredje likheten sätta w = K — u, fås enligt (38) A am (i Ki + K - u) = k Sin amu . - . = ----------9 hvadan alltså på grund härar samt enligt 0 Cos am 1 . 9 (36) de tre funktionerna Sin am u, Cos am u och A am u äro 0 för resp, u = 0, u = ± K och u = ± K + i K1. 18. Genom att i (48) i stället för w införa i K. + u erhålles, då vi iakttaga hvad i föreg. N:o yttrats rörande teckenändring för i K: Sin am (u ± 2i Kj) = Sin am u Cos am (u = 2i Ki) = — Cos am u A am (u ± 2i Kj) = — A am u • (49), hvaraf följer, att 2i K1 framstår som period för Sin am u samt 4i K1 för Cos am u, A am u och Tg am u, hvadan alltså med fästadt afseende på N:o 10 de elliptiska funk- 188 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. tionerna framstå som dubbelt periodiska med en reel och en imaginär period. Genom att kombinera formlerna (28) och (49) fås, då m och n utmärka pos. eller neg. hela tal eller ock 0; Sin am (u + 2n K + 2m i Ki) = (- 1) Sin am u Cosam (u + 2n K + 2m i Ki) = (—1) " Cosam u (50). A am (u + 2n K + 2m i Ki) = (— 1) A am u 19. I enlighet med n:o 17 anm. fås med iakttagande af (50): Sin am u = 0 för Cosam u = 0 » A am u = 0 » u = 2n K + 2 m i K. U = (2n + 1) K + 2m i K, U = (2n + 1) K + (2m+l)i K, ...(51) samt Sin am w = ∞ Cos am u = co Aam u = co för u = 2n K + (2m + 1) i K1. . . (52). Anm. I trigonometrien användes för utveckling af Sin u i oändlig produkt såsom lånesats, att Sin u = P(u), då P(u) utmärker ett helt rationelt polynom med samma rötter som Sin u, hvilka representeras af u = k 7 för k = ett pos. eller neg. helt tal eller ock 0. Om vi i närvarande elementära teori för de elliptiska funktionerna betjena oss af en analog lånesats, att nämligen Sin am u = etc., då P(u) och Q (u) utmärka hela rationela polynom, af hvilka P (u) har samma rötter som Sin am u och Q (u) 1 . .. samma rötter som —------------, så fås för de elliptiska funk- din am 1 tionerna en motsvarande produktutveckling, hvilken ger vid handen de beryktade af Jacobi funna ©-funktionerna. Vi ha i förväg velat påpeka denna omständighet för att AFD. II. IfrllslrrenssovafiiseiesbrrXAi-CalIHSledSCldqtL-SSRSSASSSHNRGGHHC ? OM ELLIPTISKA FUNKTIONER 189 dermed antyda den synnerliga vigten af formlerna (51) och och der Om (52). . 20. Om vi med o beteckna summan af bågarne Og Op [fig. 18], d. v∙ s∙ 90= x + 9, så fås enligt (22): Tg (90 - φ) = 7 Tg 9p(53), o går från 0 till 7 under det y går från 0 till }7. vi vidare sätta ko 14 - Tg'Ao = Sin ovo • • ∙ (54), samt iakttaga, att 1 + k = 2 Cos2∣ω, så fås genom införande af dessa relationer i (29), då nämligen 0 % = E (9) ) %o = Fl (90) ) . . (55) 0 följande anmärkningsvärda samband mellan u och No : ! 1 u ≈ 10 2 Cos24 ω ∙ ∙ (56), hvilket resultat är kändt under namn af den Landenska transformationen. Då af (54) framgår, att ko 4g. För detta fall sätta vi 75 = 12, då vi få följande eqvation, räknande t = 0 för 2 = O: 1VZa- kV 0 d 12 V1 - k2 Sin2 4 ' Vid jämförelse af denna formel med (29) fås 11/9 .t =u, 42 = 9 = am u. kr 1 Pendelns vinkel 2 med lodlinien konstrueras nu för 21/5 ett gifvet tidsögonblick t sålunda: för modylen k = - - 00’ 7 konstrueras kroklinien OMA, derpå afsättes på henne från O värdet u = 1V1 t, da den motsvarande amplitude™ AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 193 9 konstrueras enligt n:o 9, hvilken då är = 42 eller pen- delns halfva vinkel med lodlinien i det angifna tidsögon- blicket. Emedan u och y växa samtidigt i oändlighet, så följer, att pendeln nu svänger omkring. Om T utmärker tiden för en hel omsvängning, så fås T, = 2/. K. [Forts.] Om Funktional-determinanter. AF Μ. FALK. Efterföljande uppsats är dels föranledd af den syn- nerligen eleganta förbättring af Baltzers bevis för här nedan följande sats I, hvilken Prof. Hoiiel infört i sin öfversättning: Sur l’intégration dss équations aux dérivées partielles du premier ordre par Imschenetsky och dels af önskan att något fullständiggöra en användning af satsen. I det nämnda beviset förekommer nemligen ett antagande, som jag sökt undvika att göra, emedan detsammas giltig- het synes mig icke ligga omedelbart klar för den stude- rande. Detta antagande är, att systemet 41 = /1 (», » T2 ’ • • • ’ Cn) | %, = fa (1, @2,1* * %n) (1), un — fm (x, , X2, • • • , Tn) ) som definierar qvantiteterna % såsom funktioner af de oberoende variablerna %1, X2, . • • , %n, skall genom elimi- nation låta bringa sig till formen 13 194 AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. %1 = Vi (%, X2,..., 0n) N2 = Y2(11, X2, ..., Cn) ui = Yi (N1,..., Mi-1, Xi,..., n) Un = n(M1, %2, . . ., Mn—1, an). För öfrigt har jag ansett lämpligt att bevisa sats II, som vanligen anses som evident korollarium till sats I, samt tillagt sats III, som afser att söka undvika den slutsats ur otillräckliga grunder, som man stundom får se gjord, nemligen, att en viss af funktionerna u skulle vara på grund af (1) en blott funktion af de öfriga funktio- nerna u, så snart blott deras funktional-determinant är = 0 — något som tydligen icke är bestämdt afgjordt förr, än man uppvisat, att den ur funktional-determinantens försvinnande följande eqvationen af formen F(ul, u2, . . ., un) = 0 verkligen innehåller detta i fråga varande u, hvilket icke är nödvändigt, såsom här nedan skall uppvisas. Efterföljande bevis ske utan användning af multipli- kationsteoremet för determinanter. Sats I. Om ur systemet (1) genom elimination kan erhållas en eqvation af formen F(% , % , . . . , %h) = 0...............(2), så är funktional-determinanten AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 195 r ou. det D, = ——2,** " dx da dx ou. du da2 dx2 dx2 dur du, du, dxdx dx nn n identiskt = 0; ock om denna determinant försvinner, så kan ur (1) genom elimination erhållas en equation af for- men (2). Före beviset må observeras så väl, att eqvationen (2) ej nödvändigt behöfver innehålla alla funktionerna u (dess egenskap, som här bör observeras, är att den är fri från explicite ingående x), som ock att eliminationsresultatet ur (1) ej behöfver bestå af blott en sådan eqvation som (2). Förra delen af satsen bevisas på vanligt sätt sålunda. Den här gällande eqvationen (2) reduceras till en ren identitet, d. v. s. termerna i dess venstra membrum taga helt och hållet ut hvarandra, om man medelst (1) bort- skaffar alla u ur densamma. Detta är evident på grund af eqvationens uppkomst såsom eliminationsresultat ur (1). Derigenom blir, då funktionerna u ersättas med motsva- rande högra membra i (1), venstra membrum en funktion af variablerna X1 , X2 ,... , x, men sådan, att den hål- ler sig konstant (= 0), huru man än må låta en eller flera af variablerna x variera. Detta venstra membrum är alltså konstant, då xi ensamt varierar, och följaktligen dess de- rivata i afseende på denna variabel = 0, d. v. s. att man har ∂F 004 + ∂F du2 ∂F dun 2 0 dun dx, du. dx, ‘ dun dx, • Som detta nu gäller för i successive = 1, 2, 3, ...,n, får man härur n stycken eqvationer, och om man ur dessa eliminerar derivatorna af F, erhålles utan svårighet 196 AFD. ∏. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. D. = 0. Detta bevisar satsena förra del. Vid beviset för satsens senare del, der det antages kändt att Dn = 0, hafva vi rättighet att antaga, att icke hvar och en af eqvationerna (1) innehåller blott en af variablerna x, d. v. s. att systemet (1) icke har formen % =f (%), «2 =2 (22) , ..., «n ~fn (on); ty detta är oförenligt med antagandet Dn =0, enär man då får Dn = f1(), 0, 0,..., 0 θ, f2(2),0,..., 0 0, 0> f‘3 (2), .., 0 0, 0, 0,., fn (Cn) d. v. s. Dn —f 1 (x1) ∙f 2(%1) ∙f a(x3) ,..., fn (xn), som icke är = 0, enär vi naturligtvis måste antaga, att alla variablerna x verkligen finnas i systemet (1).*) Som vidare enl. noten här nedanför i (1) får antagas. att ingen eqvation alldeles saknar ingående x i dess högra membrum, måste alltså, då Dn = 0,-åtminstone någon elimination af variabler x låta utföra sig på grund deraf, att ju tydligen här åtminstone något x måste finnas i mer än en af eqvationerna (1). Vårt bevis sker nu från n—1 till n sålunda. 1) För n = 2 har man €41 = /1 (1 , X2) , ⅜ =∕2 (x1 , X2). Som här, då D2 = 0 enl. antagande, det icke kan inträffa, att variablerna % och C2 förekomma blott en i *) I sjelfva verket är detta sista antagande obehöfigt; ty sak- nades alla x i någon af de gifna eqvationerna, så vore denna eqva- tion just af formen [2] och tillika Dn ≡ 0, enär en rads alla ele- ment då vore nollor. AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 197 hvardera eqvationen, måste åtminstone den ena (vi kalla den %1) finnas i båda eqvationerna och således mellan ■dem kunna elimineras. Eliminationsresultatet antager alltså formen 9 (w1 , U2 , 2) = 0, der vi nu hafva att bevisa, att 2 ej kan ingå explicite Ur sist skrifna eqvation fås nemligen dep du, ∂φ ou. —- + —• —4 dun da du2 da dφ du. dφ ou. àcp du dx2 du, dx dx. , dw hvarur genom elimination af -— fås 6 du. eller D,2m= ∂φ ou da ‘ 00 —- 9 da2 àg dx2 ow og 2 du, dxx dx, D . 0 Som enär u1 nu enl. antagande D2 är = 0 och — icke = 0, verkligen innehöll x, följer här de = 0, 032 d. v. s. att den nyss erhållna relationen mellan % och N2 är fri från explicite ingående X2 och således har formen F(M1, N2) = 0. Satsens senare del är alltså sann för n = 2. 2) Antag nu satsens senare del bevist för n — 1; det skall då uppvisas derur följa, att den äfven gäller för 198 AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. n, hvaraf då på grund af beviset för n = 2 följer, att den gäller för alla värden på n. Drifves eliminationen af variablerna x så långt ske kan i systemet (1), så måste antingen en eqvation fram- komma, i hvilken intet explicite ingående x förekommer eller ock måste det vara omöjligt, att någon sådan fram- kommer. I förra fallet vore vårt teorems senare del sann; det återstår alltså blott att uppvisa, att den senare möj- ligheten är oförenlig med antagandet Dx = 0. För hvarje gång en variabel elimineras, minskas eqvationernas antal med en enhet, men vid denna elimination skulle äfven någon mer variabel kunna gå bort än den man afsåg att eliminera. Har man derför, då eliminationen drifvits så långt ske kan, eliminerat k variabler ¾, 2, ..., * (hvilket naturligtvis innebär, att i eliminationsresultatet ingen af variablerna T*+1 , Xk+2,..., %n saknas), så måste eliminationsresultatet innehålla minst n — k stycken eqva- tioner. Dessa eqvationer kunna dock ej heller vara flera än n — k stycken; ty som ingen af dem enl. antagande är fri från explicite ingåendeoch dessa qvarstående x äro n - k stycken, skulle någon af dessa variabler nöd- vändigt finnas i fler än en eqvation och således kunna elimineras, hvilket strider mot antagandet, att eliminatio- nen var drifven så långt ske kunde. Eliminationsresulta- tet består alltså af jemnt n — k eqvationer; och som hvar- ken elimination af något mera x kan (enl. antagande) verkställas, ej heller någon af dessa eqvationer i elimina- tionsresultatet helt och hållet sakna explicite ingående x, måste de återstående variablerna x vara skilda åt och blott en finnas i hvarje eqvation. Eliminationsresultatet har alltså formen 9*+1(1, %2 ., Un) = T*+1 9*+2(M1 , %2..., um) = T*+2 9n (11 , %2, • • ■ , un) = n • • (3) AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 199 eller kan bringas till detta utseende. Som nu våra xc och % från början kunde hafva indicerats oberoende af hvar- andra, är det ingen inskränkning att antaga, att sista eqva- tionen verkligen innehåller Un, enär ovilkorligen minst ett ' måste finnas i hvarje af eqvationerna (3). Denna sista eqvation af systemet (3) ger nu genom partiel derivation i afseende på hvarje x dçn du 0% den 7+ — .+... + —• - =0, 08/1 0.1 CUn 031 ∂φn du dej dan-1 + 0 , JN, du. dxn-it“ . + - ■ On dan-1 ègn du Ögn ∂ιι2 ■ + dq. dun 1 dey dan du. dxn den dan hvarur genom elimination af alla derivator af 9n utom d9n dun fås dun " - dx1 dx1 Jun-1 ' do 00 dan—ι du dxn du. dan—1 du2 dan ... ∂un-i , 0 ’ don—1 oun-1 1 ,— ,1 dan eller enligt en känd egenskap hos determinanter, der en viss rads alla element utom ett äro nollor och med sjelf- begriplig betydelse af beteckningen Dn-1 ègn dun Dn = D,-1 Som vi nu enligt antagande hafva Dn = 0, följer häraf, att vi äfven måste hafva Dn-1 = 0. Men som se- nare delen af vår sats antogs bevist för n — 1, följer ur 200 AFD. II, OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. Dn-1 = 0, att vi genom elimination mellan alla eqvatio- nerna (1) utom den sista måste kunna erhålla en frän alla variablerna X1, X2, ..., Tn—1 såsom explicite in- gående fullt fri eqvation, d. v. s. en af formen v (41 ,%2,..., Yn-1) = ‰ , enär på grund af vårt antagande ingen från alla vari- ablerna x fri eqvation kunde härledas ur (1). Men sist erhållna eqvation är såsom icke innehåliande Un fullt distinkt från den sista eqvationen i (3), Ivadan genom elimination af n mellan dessa måste framkomma eqvationen. Çn (M, U2,.. ., un) = (u, 12,..., Un—1). Detta fortsättande af eliminationen strider nu mot antagandet, att systemet (3) var resultatet af en så långt ske kunde drifven elimination mellan eqvationerna (1). Detta eliminationsresultat måste alltså innehålla åtminstone någon från explicite ingående x fullt fri eqvation. Alltså är äfven satsens senare del bevist. Ex. 1 M = (x1 + 2 + 3)2, w2 = a(x1 + J2 + X3), N3 = b (x1 + X2 — X3). Här fås D. = 2(x1 + ‰ + X3), a, b 2 (1 + X2 + %3), a, b 2 (x1 + %2 + 3), a, — b = 0, enär två parallela rader i determinanten äro lika. Här finnes alltså en från variablerna x fullt fri eqvation, som lätt befinnes vara a2 % — u2. = 0, och der det kan för- tjena observeras, att N3 icke ingår. AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 201 Här är D3 = 0 , - 41 , — 4 a2, 0, C2 -¾, a3, 0 — C1 C2 C3 0, 1,1 1, 0,1 1 , - 1 , 0 eller, om sista horisontela raden subtraheras från näst sista, D3 = al a2 a3 0, 1,1 0, 1,1 1 , - 1 , 0 = 0, enär två parallela rader äro lika. Den här alltså existe- rande relationen mellan variablerna u befinnes lätt vara %3 = % + U2 * Sats II, Om Dn icke är = 0, låier systemet (1) lösa sig i af- seende på variablerna x och öfvergår derigenom till formen % = F(M1, N2,...,%n) T2 = FX (M1, M2..., Un). . . . (4). Tn = Fh («1 , «2, • ... , un) Enligt satsen I kan neml. icke genom en så långt som möjligt drifven elimination af variabler x framkomma någon eqvation af formen (2); ty då skulle densamma gifva Dn = 0, hvilket strider mot vårt antagande. Detta eliminationsresultat måste alltså ånyo antaga formen (3), hvarur vi åter utvälja sista eqvationen neml. Tn = 9n (M1, %2, • • • , um) (5), i hvilken vi åter som förut kunna utan inskränkning an- taga, att un verkligen ingår. Behandlas nu denna eqva- tion som i beviset för föreg. sats, så erhålla vi ånyo 202 AFD. II. om FUNKTIONAL-DETERMINANTER. dçn, du, D" - 21-1 ■ Men ur denna följer nu, enär hvarken Dn eller är noll (det senare derför att Un verkligen ingick i 9n), att ej heller Dn—1 är noll. Men ur denna omständighet följer åter, att, om alla eqvationerna (1) utom den sista begagnas och blott X1, 22,..., xn—1 men ej n anses som (oberoende) variabler, elimination mellan dessa måste gifva ett med (3) analogt system, hvarur vi utvälja eqva- tionen n-1 = 9n-1(11 ,u2,..., Un-1, xn) . . (6), der nu naturligtvis xn , som för tillfället behandlades som en vanlig konstant, kan ingå. I (6) anse vi nu, att un-1 verkligen ingår, hvilket ock utan inskränkning kan göras, enär föregående indicering blott bestämde Nn och xn . Deriveras nu (6) successive i afseende på hvar och en af variablerna X1, X2, ..., Tn—1 och elimineras som nyss, erhålles en eqvation dgn-1 n - 1— Dn—1 = Dn—2 , Cln—1 hvarur ock på samma sätt som nyss följer, att Dn 2 icke är noll. Fortgående på detta sätt erhåller man successive (genom att närmast använda alla eqvationerna (1) utom de 2 sista, sedan alla utom de 3 sista etc.) Tn-2 = 9n—2 (4 , %2, ..., Un—2, n—1, xu) xa = Y4 (Y1, 12, U3, 04, %5, ...., *) $3 = 93 (u1, Y2,03 , %4, 5, ...., x) • (7). Ur den sista af dessa erhåller man äfven D3. D. = D, dug 3 - AFD. II. oM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 203 och finner derur, att D2 icke är = 0. På grund deraf gifva åter de två första af eqvationerna (1) 02 = 92 (%1, M2, 3..., n) . * . (8), och den första kan skrifvas 1 = Y1 (M1, 02 2,..., 0m) • • • (9). Nu äro alla dessa eqvationer fullt distinkta; ty (9) innehåller intet annat u än N1 , (8) innehåller bestämdt u2 men intet u med högre index, den sista af (7) bestämdt N3 men intet u med högre index o. s. v. Elimineras nu X2 ur (9) medelst (8), så erhålles ett resultat af formen X1 = Yi(u, %2, %3,..., ). • • (10), som kan ersätta (9). Vidare eliminera vi med den sista i (7) C3 ur (8) och (10), hvarigenom fås ett resultat af formen X2 = X2 (41 , 12 ? Yg, 24, ..., Dn) 1 = X1 (11 , %,2 , N3, X4, ..., xn). Ur dessa och den sista af (7) eliminera vi nu X4 me- delst den näst sista af (7) o. s. v., till dess man till sist användt (5) för att dermed ur (6) och sist erhållna re- sultat eliminera Jn- Eqvationen (5) i förening med på detta sätt erhållna slutresultat ger tydligen n stycken distinkta eqvationer af formen (4); och således är satsen II bevist. Anm. Systemets (1) form innebär, att variablerna x kunna anses af hvarandra fullt oberoende och qvanti- teterna u som funktioner af dem. Satsen II innebär nu, att då Dn icke är = 0, detta förhållande kan omvändas, så att qvantiteterna u kunna betraktas som oberoende va- riabler och qvantiteterna x som funktioner af de förra. Då deremot Dn är = 0, är det icke möjligt att anse alla qvantiteterna u som af hvarandra fullt oberoende; ty en- 204 AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. ligt en eller flera eqvationer af formen (2), som i detta fall måste gälla, få en eller flera af qvantiteterna u sina värden bestämda ur de öfrigas värden. Sats III. Om åtminstone någon af de determinantor, hvars par- allela rader utgöras af alla utom en bland följande ele- mentrader neml. du ou oun-1 da dx ’ ’ dx du du2 dun-1 dx,' dx2 " ‘ dx. 04 du du,-i, dan dan don icke är = 0, men Dn är = 0, så är Un en funktion af blott %• M2..., Un-1"). Ty antag att determinanten af alla ofvanstående qvan- titeter utom den r:te horisontela raden icke är = 0. Då kan enl. sats II icke genom elimination mellan de n — 1 första af eqvationerna (1) erhållas någon från explicite ingående %1, X2,..., X,-1, ,+1 ,...,3n fullt fri eqvation, d. v. s. att man ej kan erhålla en eqvation fullt fri från explicite ingående x1, %2, . . . , X,—1, Xr+1,...,"n , d. ä. af formen F(% , u2, . • . , Un-1, ‰) = 0, eller F(41 ,u2,..., un-1) = 0. *) Härmed mena vi, att eqv. (2), som här gäller, bestämdt in- nehåller un, äfven om åtskilliga af eller t. o. m. alla de öfriga funktionerna u deτi skulle saknas, i hvilket sistnämnda fall fås Un == konstant. Jmfr. noten å sid. 196 och ex. 2 här nedan för det fall, att man har a, = α2 = 0. AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. 205 Men som, på grund af att D„ är = 0, nu måste fin- nas en eqvation af formen (2), så följer häraf, att i den- samma ovilkorligen Un måste ingå och att den således kan lösas i afseende på Un, d. v. s. skrifvas under formen %u = y («1 , %2 ,..., Yn—1), hvilket bevisar vår sats. Ex. 1. Se ex. 2 till sats I. Här äro determinan- terna, som skola undersökas, följande: 0,-] a2, OJ 0 a C1 a3. 02 1 ag , och hafva värdena C1 C2, — C3 α1 , a. a3. Så vida icke minst två af qvantiteterna a äro nollor, äro icke alla dessa determinanter noll, och följaktligen, enär D3 = 0, är här verkligen 13 funktion af N1 och %2 («3 = ux + U2). Ex. 2 % = a3 X2 — α2^3 , w2 = C1 x3 - C3 1 , U3 — C1 32 — C2 31 * Här har man, som lätt inses, D3 0 , C3 , - a. , — C3 9 — C2 0, C1 a1 , 0 3 ) 02 0 — «j a2 a3 + «1 «, C3 = 0. — C21 - 03, - 02 0, α1 Det finnes alltså en relation mellan blott funktionerna % utan några explicite ingående x. För att finna, huru- vida denna innehåller U3, har man enl. sats III att un- dersöka determinanterna 0, - a = a%a, 0, — 03= - a s och ag, 0 1 — a2, Q1 A3, 0 — C2, a = 03 01 , 206 AFD. II. OM FUNKTIONAL-DETERMINANTER. af hvilka synes, att %3 bestämdt ingår i den i fråga va- rande eqvationen, så snart man har C32 0, hvadan alltså i detta fall med säkerhet N3 blir funktion af % och % (a3 u3 = C1 % + a2 "2). Ex. 3. uγ = X + 2, N2 = 2 ( 1 + X2), N3 = a — %3 4, ua = %3 %4 - . Här hafva vi D. = 1,2, 0,0 = 0, 1, 2, i 0 , 0 0,0, - 4, ^4 0,0, — 3, 23 som omedelbart synes på grund af likheten mellan par- allela rader. Determinanterna, som här skola undersökas enl. sats. III äro 1,2, 0 1, 2, 0 0,0, -^4 1,2, 0 1,2, 0 0 , 0 , — 3 1,2, 0 0, 0, - x 0,0, - 3 1,2, 0 0,0, - x4 0, 0, — ¾ och dessa äro alla = 0. Men likväl är här %4 en blott funktion af öfriga % (N4 = a — w3). Af detta sista exempel framgår alltså, att vår sats III blott innehåller ett tillräckligt men icke ett nödvändigt vilkor för, att un skall vara funktion af öfriga u. Emel- lertid är det ofta af stor vigt, serdeles i de partiela dif- ferentialeqvationernas teori, att ega ett sådant kriterium, som här blifvit lemnadt, äfven om detsamma icke i alla möjliga fall skulle vara afgörande; och derför torde må- hända denna vår sats III icke helt och hållet sakna vigt och intresse. AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. AFDELNING I1I, Ur Termometerns historia. Den fysiska vetenskapen synes i sin utveckling hafva hållit jemna steg med fullkomnandet af de fysiska appa- raterna. Åtminstone kan detta påstående sägas gälla om termometern. Se vi nemligen på den tid, som för- flutit från uppfinningen af den första florentinska eller holländska s. k. termometern, till konstruktionen af det nuvarande noggranna instrumentet för samma ändamål i ett fysiskt kabinett, för att icke tala om termomultiplika- torn, torde vi nästan kunna säga, att termometerns hi- storia sammanfaller med värmelärans. I motsats mot barometern, som från uppfinnarens hand utgick i nästan fulländadt skick, har termometern blott småningom nått sin nuvarande fulländning. Cotte säger naivt nog i sin meteorologi, tryckt 1774, att termo- metern har för detta sitt öde att tacka den omständighe- ten, att en bonde är dess uppfinnare, (såsom man ganska -allmänt trodde på 16- och 17-hundratalet), under det att den första barometern utgick från en ryktbar fysiker. Vi skola strax närmare tala om, huru härmed förhåller sig. Han säger äfven, att termometern, i likhet med så många andra nyttiga uppfinningar, har ett dunkelt ursprung. Om han blott icke, såsom man vore frestad tro af sam- manhanget, tager detta i meningen låg börd, har han onek- ligen rätt; ty, ehuru man i senare tider uppdagat ett och annat rörande dess första härkomst, är man dock icke ännu fullt säker derpå. Vid 16-hundratalets slut förekommo tvenne slags mometrar, nemligen lufttermometern, som kallades den bel- 208 AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. giska eller holländska, samt sprittermometern under namn af den florentinska. Denna senare synes varit en yngre uppfinning, afsedd att afhjelpa den förras brister, och till- skrifves allmänt Academia del cimento i Florens, hvars mediem Galilei redan 1611 lärer hafva egt en sådan. Uppfinnaren till lufttermometern har deremot varit myc- ket omtvistad. Italienarne tillskrefvo densammas upp- finning en utmärkt läkare i Padua, Sanctorius, under det holländarne höllo före, att Cornelius Drebbel, en begåfvad landtman från Nord-Holland, varit den som först inrättat detta instrument. För öfrigt omtalas flere, hvilka dels ansetts, dels påstått sig vara uppfinnare, såsom Galilei, Porta, Sarpi, Baco och Fludd. Under sjuttonde århundradet benämndes denna termometer ganska allmänt den Drebbelska, och Hennert påstår det blott vara andra nationers afund, som utspridt benämningen bonde om Drebbel, åberopande ett utlåtande af Muschenbroeck, enligt hvilket Drebbel skulle varit adelsman samt lärare och hofråd vid Ferdinand den II:s hof. Senare forskningar hafva emellertid ådagalagt, att Drebbels och Portas uppfinning inskränkt sig till blott ett experiment utan allt afseende på någon värmemätning, men att Drebbel sedan måhända förfärdigat termometrar, hvilka gått i hans namn. Beträffande Sanctorii uppfinning fäster Libri, en Galilei biograf, uppmärksamheten derpå, att Sanctorius och Galilei rätt ofta sammanträffade i Padua, och anser det redan deraf tvifvelaktigt, från hvilken första tanken utgick ; vidare erinrar han derom, att en stor del af Ga- lileis skrifter under inqvisitionen gått förlorade, äfvensom att denne i egenskap af lärare hade godt tillfälle att meddela sina upptäckter, utan att alltid öfverlemna dessa i skrifter. Slutligen anför han ett bref af Sagredo, hvaraf framgår,, att denne Galileis vän redan 1613 anstält observationer med en af Galilei uppfunnen termometer. På dessa grun- der tillerkänner Libri Galilei uppfinningen och anser den- samma vara gjord före 1597. Enligt andra uppgifter AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. 209 deremot, för hvilka vi dock ej funnit anförda några skäl, skall Sanctorius 1590 uppfunnit den. ■ Emellertid voro de första termometrarne högst ofullkom- liga. Galilei, eller om man så vill Drebbels, termometer bestod af ett glasrör, i ena ändan utblåst till en kula och med den an- dra öppna ändan nedsänkt i ett kärl med vatten eller annan vätska. Vid värme och köld sjönk och steg vätskan i röret genom luftens utvidgning och sammandragning. Graderna voro godtyckliga och kallades af Galilei köldgrader, emedan vätskan steg i röret, då det blef kallare. Sanctorii termo- meter var, likadan med den skilnad att den nedra ändan af röret var omböjd och försedd med en utvidgning, hvaruti vätskan befann sig. Dessa termometrar ansågos fullt ändamålsenliga, ända till dess att barometern upp- fans, då man kom under fund med, att de lika mycket tjenstgjorde som barometrar. De la Hire säger också, att det var en olycka för Sanctorii termometer, att man upp- täckte barometern. Det var förmodligen också denna, ofullkomlighet i förening med den obeqväma storleken, som gjorde, att den florentinska sprittermometern alltmer vann insteg. Att här ens söka gifva en kortfattad fram- ställning af alla de olika former och graderingar, som såväl det ena som det andra slaget termometrar efter hand fingo intill senare hälften af adertonde århundradet, skulle föra oss för långt och vara af föga intresse *). Blott några huf- vudsaker, som fört instrumentet, framåt och stå i något sammanhang med värmelärans utveckling, vilja vi anföra. Sprittermometern blef snart ett mycket användt me- teorologiskt instrument, och under ledning af Academia del cimento i Florens gjordes i synnerhet vid klostren regelbundna observationer icke allenast på termometern utan äfven på barometern och hygrometern. Akademiens upplösning genom inqvisitionen hade dock detta observa- *) Cotte beskrifver i sin meteorologi några och tjugu stycken, och de äro ändock icke alla som funnits. 14 210 AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. tionsmaterials likasom Galileis skrifters förstöring till följd, och man skulle varit alldeles okunnig om akademiens ar- beten oali vetenskapliga ståndpunkt uti ifrågavarande af- seende, om ej genom slump ett band af dessa termometer- observationer m. m. hade räddats. Alan erfar af detta, att akademisterna fem gånger dagligen afläste temperatu- ren på två termometrar, i det de med stor försigtighet på samma gång skyddade dem mot strålning från omgif- vande föremål; hvilket jemte iakttagelser af isens strål- ning bevisar deras kännedom om så väl det ljusa som det mörka värmets reflexion. Hvad beträffar dessa termome- trars inrättning, vet man, att deras skala icke hade någon fast punkt, men att likväl akademisterna vid konstruktio- nen förstodo att gifva sina små femtiodeliga sprittermo- metrar en temligen öfverensstämmande gång. Ett större antal dylika påträffade man 1830 i Florens. Af en beskrifning på meteorologiska instrumenter, tryckt i Amsterdam 1688, finner man, efter en inledning om värmets förmåga att utvidga kroppar, bland annat föl- jande råd och förbättringar vid förfärdigandet och grade- ringen af termometrar. »Kulan bör göras linsformig, för att vara känsligare; om vintern iakttager man, hvilket ställe spriten intager i röret, när vattnet börjar frysa, och om sommaren lägger man litet smör på termometerkulan och observerar vätskans ståndpunkt, när detta smälter; ett streck midt emellan dessa båda punkter på röret an- ger, då det hvarken är varmt eller kallt.» Detta beträf- fande lufttermometern. »Rörande sprittermometern ob- serveras, hvarest spriten står, när instrumentet är nedsatt i is, blandad med salt, hvilket är den största möjliga köld; samt spritens ståndpunkt, då instrumentet är nedsatt i en djup källare. Mellanrummet delas i 15 delar hvilka förses med siffror, räknade från spritens höjd i källaren, hvarefter grade- ringen fortsättes uppåt.» Såsom en senare förbättring af luft- termometern, hvarvid det yttre lufttrycket icke verkar, upp- gifves en apparat, liknande en nu bruklig kärlbarometer, med AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. 211 den skilnad, att kärlet är slutet och till tre fjerdedelar fyldt med luft. En termometer af helt annan konstruktion, äfven en florentiner-akademiens uppfinning, grundade sig derpå, att spriten vid olika värmegrader får olika specifik vigt, så att små, med luft fyllda tillblåsta glaskulor i ett kärl med sprit sjönko, den ena efter den andra, vid stegrad värme och tvärtom. Om ock dessa sextonhundratalets termometrar voro af flerfaldig konstruktion, hvarom nyssnämnda afhandlings många teckningar vittna, gäller dock den vexlande olik- heten mest graderingen, hvars normalpunkter och gradtal voro valda utan någon annan norm än godtyckets. Vid slutet af ifrågavarande och början af adertonde århundradet började man inse nödvändigheten, att termo- metrarne hade fixa punkter, voro komparabla samt hade grader proportionella mot värmetillskotten. Denna sista fordran uttalades redan omkr. 1690 af Halley, men frågan synes först af De Luc blifvit på allvar diskuterad. De, som först gjorde en indelning, grundad på vattnets frys- punkt och kokpunkt, anses vara en italiensk fysiker Ri- naldino och Amontons i Padua. Amontons använde äfven först qvicksilfver vid sin lufttermometer och korrigerade afläsningarne för lufttrycket, hvarföre den också kallas den första verkliga lufttermometern. Beträffande sprittermo- metern ansåg Newton linolja lämpligare än sprit, enär den bättre tål höga värmegrader. Nollpunkten satte han vid isens smältpunkt ; den andra normalpunkten var blodets temperatur, och afståndet dem emellan delades i tolf de- lar. Införandet af qvicksilfver i stället för sprit tillhör den bekante upptäckaren af ljusets hastighet astronomen Römer, hvilken ock lärer vara den, som haft den första idén till den efter Fahrenheit benämnda skalan. Denne senare, en utmärkt instrumentmakare från Danzig, seder- mera bosatt i Amsterdam, förfärdigade efter Römers an- 212 AFD, III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. visningar ett stort antal termometrar af sådan godhet, att han allmänt ansågs för desammas uppfinnare. Skalans egendomliga nollpunkt beror såsom bekant på den tidens ofullkomliga insigt i värmets natur. Man trodde nemligen, att den lägsta temperatur, som kunde gifvas, var den, som erhölls genom att blanda snö oeh salt eller salmiak tillsammans, hvadan det var helt naturligt, att man kallade denna temperaturgrad noll. Enligt andra uppgifter skall den vara bestämd efter den lägsta på Island observerade köld, hvilket också var ett lika olyckligt val, då denna ö, trots sitt nordliga läge, har ett jemförelsevis ganska mildt klimat. Gradindelningen grundade sig, likasom Newtons och äfven Réaumurs, icke, såsom numera, på fasta temperaturgrader utan på vätskans utvidgning. Römer fann nemligen, att qvicksilfrets volym vid hans nollpunkt förhöll sig till vo- lymen vid värmen hos kokande vatten såsom talen 11124 och 11336; skilnaden mellan dessa, eller 212, blef grad- antalet. Fryspunkten befanns på liknande sätt vara 320 och blodets värme 960. Réaumurs grader utgjorde hvar och en 1000 af volymen vid vattnets fryspunkt, och hela utvidgningen mellan vattnets frys- och kokpunkt blef då 80 tusendelar eller grader. Fahrenheits likasom Réaumurs termometrar voro ursprungligen fyllda med utspädd sprit, men Fahrenheit utbytte snart denna vätska mot qvicksilfver. De l’Isle i St. Petersburg föreslog att kalla vattnets kokpunkt 0° och delade termometervätskan (hos honom qvicksilfver) i 1000 lika delar; fryspunkten betecknades då med 1500. Den förste, som vid graderingen utgick från de fixa punk- terna och ej från beräkning på grund af vätskans utvidg- ning, var du Crest från Génève, som kallade temperaturen i ett källarhvalf under Paris observatorium för 00 och kokpunkten 1000. Celsius delade skalan i hundra delar mellan kokpunkten, som han kallade noll, och fryspunkten 100. Den nu brukliga omvända skalan lär enligt van Schwinden införts af Römer och Christin. Enligt nyaste AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. 213 forskningar var det vår store landsman Linné, som vid in- delningen af termometern först utgick från de fixa, punk- terna kok- och fryspunkten. Stödet härför är följande yttrande i ett af Arago bekantgjordt bref från Linné: »Ego primus fui, qui parare constitui thermometra nostra, ubi punctum congelationis 0 et gradus coquentis aquae 100, et hoc pro hibernaculis horti; si his adsuetus esses, -certus sum quod arriderint.» Emellertid var det en sak, som man hittills hade för- bisett vid termometerns konstruktion, nemligen vätskornas ojemna utvidgning, det vill säga, att termometrar med olika vätskor, ehuru de befinna sig i samma omständigheter samt hafva samma gradindelning och normalpunkter, ändock icke följas åt i sina temperatur-angifvelser. Detta menliga för- hållande uppmärksammades först isynnerhet af de Luc i senare hälften af förra århundradet. Han företog en grund- lig undersökning af en mängd vätskors utvidgning, under- sökte normalpunkterna m.m., allt i ändamål att förvissa sig om den för ändamålet bästa vätskan och sedan åvägabringa en all- män öfverenskommelse att endast använda den. Utrym- met tillåter oss ej att följa honom på dessa undersöknin- gar. Hans val stannade emellertid vid qvicksilfret, eme- dan af alla vätskor »1) detta med sina volymdifferenser närmast mäter lika värmetillskott, 2) det kan lättast be- frias från luft, 3) det egnar sig bäst att mäta stora tem- peraturdifferenser, 4) det följer hastigast värmeförändrin- garne, 5) allt qvicksilfver har samma gång vid värmeva- riationer» (i motsats mot spritblandningar). Härmed kas- serar han alla termometrar med sprit eller annan vätska än qvicksilfver, äfvensom alla observationer, som med dem blifvit gjorda. Van Swinden har dock gjort komparatio- ner mellan några af de äldre och nyare termometrarne. Vid sin undersökning af Réaumurs termometrar fann de Luc, att vattnets kokpunkt, 80°, på dem i sjelfva verket var spritens i termometern, — en följd af den orätta metod hvarpå Réau- 214 AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. mur bestämde den. Réaumur hade emellertid infört denna sin sprittermometer i Frankrike. Kämz anser, att R. genom sin stora ifver för undersökningen af värmefördel- ningen på jorden mer hämmat än befordrat vetenskapens framsteg. De Luc vann emellertid sitt mål. Fördelen af att använda vattnets frys- och kokpunkt såsom nor- malpunkter fann han bekräftad. Efter dessa undersöknin- gar förekomma också nästan uteslutande qvicksilfvertermo- metrar, graderade efter dessa punkter. Réaumurs gradering öfverfördes af de Luc på qvicksilfvertermometern och den torde jemte Fahrenheits och de l'Isles i Ryssland vara de ända af de äldre graderingarna, som finnas qvar. Fah- renheits qvicksilfvertermometrar vunno insteg i England, och de sedan 1730 med dessa verkstälda observationer anses vara för meteorologien ej utan värde, i synnerhet som Fahrenheit vid termometrarnes gradering tillgodogjorde sig den honom tillskrifna upptäckten af lufttryckets infly- tande på kokpunkten. Man kan med skäl på dessa ska- lor tillämpa ordspråket »ingen är profet i sitt eget fäder- nesland». Fransmannen Réaumurs termometer utvandrade nemligen till Tyskland, tysken Fahrenheits till England och svensken Celsius’ till Frankrike. Dessa tro vi vara ungefärligen hufvuddragen af ter- mometerns barndom och ungdom. Vi skulle nu stå i be- grepp att beträda termometerns sista utvecklingsskede eller, som blir nästan detsamma, den moderna experimentella värmeläran, d. v. s. en Gay Lussacs, Rudbergs, Dulongs och Petits, Hällströms, Regnaults med fleres upptäckter och undersökningar. Då emellertid dessa för de fleste af tidskriftens läsare till det väsendtligaste äro förut kända, och en mera detaljerad framställning af flere skäl här icke är på sin plats, vilja vi blott i korta och allmänna drag påpeka instrumentets utveckling sedan de Lucs dagar. De Lucs arbeten beträffande termometern, så förtjenstfulla de än voro, kunde icke tillfredsställa den sig sedermera AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. 215 hastigt utvecklande vetenskapens anspråk. De kunna sna- rare sägas utgöra de första ansatserna till den kommande vetenskapliga forskningen. Termometern hade hittills mest användts af läkare och meteorologer, för hvilka en minutiös noggrannhet icke var behöflig. Men teoretiska undersök- ningar i värmeläran kräfde noggranna termometrar, och för att få noggranna termometrar erfordrades teoretiska undersökningar, och så gingo undersökningar och förbätt- ringar hand i hand. Gay Lussac öppnade raden af undersökningar af ter- mometer-fluida och uppstälde sina bekanta lagar för luf- tens utvidgning, hvilka sedermera äfven bekräftades af Dulong och Petit. De gälde nu lång tid såsom axiomer, tills Rudberg, professor i Upsala, och derefter Regnault åter upptogo försöken och funno Gay Lussacs så kallade lagar gälla endast approximatift. Den af Gay Lussac samt af Rudberg och Regnault rättade utvidgningskoëffi- cienten för luften blef nu äfven ett medel att tolka den gamla lufttermometerns angifvelser, och denna senare har i Rudbergs och Regnaults händer nått sin fulländning. Qvicksilfret blef efter den kännedom, som Dulong och Petit, men i synnerhet Regnault, togo om detsamma, än mer värderadt såsom termometervätska inom området för dess användning. En sak, på hvilken man först i nyare tider fästat uppmärksamheten, är termometerrörets material. Glasets utvidgning lärde Lavoisier och la Place först känna. Dulong och Petit, Hällström m. fl. bekräftade dessas åsigt, att en korrektion för glaset var nödvändig. Regnault har äfven häråt egnat noggranna undersökningar och har visat, att termometrar af olika glassorter kunde för höga tem- peraturer différera på flera grader, ehuru instrumenten noga öfverensstämde vid noll- och hundragrads-punkterna. Vi förbigå de praktiska svårigheterna och rönen vid sjelfva blåsningen och fyllningen, äfvensom kalibreringen, hvilken senare tagit i anspråk såväl praktisk färdighet som teo- 216 AFD. III. UR TERMOMETERNS HISTORIA. retiskt matematiska hjelpmedel, och för hvilken Rudberg, Hällström, Bessel o. a. framställt metoder. Termometerns normalpunkter, frys- och kokpunkten, underkastades revision. Nollpunktens ändring med tiden framkallade en mängd iakttagelser och hypoteser. Rudberg visade, att den berodde på förändringen i kulans, volym och gaf det rådet att först efter en längre tid efter utblåsnin- gen verkställa graderingen. Svårare syntes fixerandet af 100° punkten vara. Ty, ehuru den Fahrenheit tillskrifna upptäckten af lufttryckets inflytande på densamma afhjelpte det gröfsta felet, och trots en mängd undersökningar af isyn- nerhet franska fysici, lät den dock ej till fullo bestämma sig. Gay Lussac, synes vara den förste, som iakttog och närmare undersökte kärlets inflytande, hvaruti kokningen försiggick. Frågan bragtes till sin slutliga lösning af Rudberg, som visade, att ångan från kokande vatten hade vid lika tryck samma temperatur, vare sig kokningen skedde i glas eller metallkärl, att den, med ett ord, var oberoende af kärlets beskaflenhet. Hans förmodan, att kärlens inflytande bestod i vätskans olika molekulär-adhäsion till de särskilda ämnena har helt och hållet bekräftats af nyaste undersök- ningar, enligt hvilka ångan alltid' har en något lägre tem- peratur än det kokande vattnet. Rudbergs fixerande af 100° punkten var för termometerns utveckling lika epok- görande, som den äldre upptäckten af de båda normalpunk- terna eller lufttryckets inflytande på koktemperaturen; dermed kan äfven termometerns sista väsendtliga ofull- komlighet sägas vara afhjelpt. Termometerns mångfaldiga användning har naturligt- vis framkallat en mängd för särskilda ändamål och äfven på nya principer grundade former, såsom Riess’ luftter- mometer, metastatiska termometrarne, maximi- och minimi- termometern, metalltermometern, heliometern, pyrometern, termomultiplikatorn m. fl., af hvilka hvar och en särskild tarfvar en rätt vidlyftig beskrifning. Nog af — vid be- traktande af de resultater, som inom naturvetenskapens AFD. IV. SATSER. 217 flesta grenar i mer eller mindre mån härflyta eller bero af detta instrument — om någon uppfinning kan berömma sig, af storartade följder, så är det utan tvifvel den belgi- ske landtmannens eller, om det är rigtigare, Galileis. H. E. Hamberg. AFDELNING IV. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Vår-Terminen 1873. För Latinlinien. 1. Den räta linie, som Jorenar midtpunkten på hypotenusan i en rät- vinklig triangel med den räta vinkelns spets, är lika med halfva hypotenusan. 2. Räta linier, som dela tvänne motstående vinklar i en parallelogram midt i tu, äro antingen parallela eller sammanfallande. 3. Tre punkter A, B, C äro gifna,äfvensom tvänne vinklar. Sök en punkt D, hvilkens läge är sådant, att vinklarne ADB och BBC äro lika med hvar sin af de gifna. 4. Om de två spetsiga vinklarne i en rätvinklig triangel skäras midt i tu, och de skärande linierna utdragas, tills de råkas, så uppkommer en trubb- vinklig triangel. Bevisa att denna trubbiga vinkel delas i tre lika stora delar genom mot dess ben vinkelräta linier. 5. En fyrhörning är inskrifven i en cirkel. Bevisa att summan af vinklarne i de fyra cirkelsegment, som ligga utanför fyrhörningen, är 6 räta. 6. Om man i trianglar, som alla äro uppritade på samma bas och åt samma sida om denna linie samt alla hafva motstående vinkel lika, drager räta linier, som halfvera denna vinkel, så skära alla dessa räta linier hvar- andra i en och samma punkt. 7. Cirklar äro uppritade på sidorna i en fyrhörning såsom diametrar. Bevisa, att den borda, som är gemensam for 2 närliggande cirklar, är parallel med den korda, som är gemensam för de båda andra. ■ 8. Skär en triangel midt i tu medelst en rät linie, som är vinkelrät mot en af sidorna. 9. Någon utlånar tre penningesummor, utgörande tillsamman 12000 rdr, den första mot 5 0∕0, den andra mot 4 0∕0, den tredje mot 3 07^. Halfva 218 AFD. IV. sATSER. summan af de två senare kapitalen är lika med det första, och hela räntan uppgår till 490 rdr. Hvilka äro de utlånta penningesummorna? 10. Satisferas eqvationen Vax — a2 +Vax == a af sluteqvationens rot? ■ 11. Årsvinsten i ett bolag, utgörande 2119 rdr, fördelas lika på de i bolaget intresserade personerna, hvarvid det befinnes, att hvarje bolagsman får 150 rdr mera än personernas antal. Huru många voro de? 12. Hur stor är ytan af en triangel, i hvilken höjderna äro 3, 4 och 5? 13. Att finna den rätvinkliga triangel, hvars sidor äro 3 hela konse- kutiva tal. 14. Man vill betala 2 rdr med tillsamman 50 slantar af dels 3 dels 2 öres valör. Hur många slantar bör man taga af hvardera slaget? 15. Uppskrif en andre grads eqvation, i hvilken rötternas summa är lika med deras produkt, och derjemte en af rötterna lika med qvadraten af den andra. 16. 2 cirklars radier äro 3 fot och 5 fot. Om en sektor aj den första cirkeln upptager en båge aj 45 °, huru många graders båge upptager då en med den förra lika stor sektor af den andra cirkeln? För Reallinien. 11. Att upprita en triangel med gifven perimeter och vinklar lika med en gifven triangels vinklar. 18. I en triangel känner man basen och en vid ba sen stående vinke samt den omskrifna cirkelns radie. Konstruera triangeln. 19. En korda skär en diameter i en cirkel och från kordans änd- punkter äro perpendiklar fälda mot diametern. Bevisa att de härigenom uppkommande trianglarne förhålla sig till hvarandra såsom rektanglarne Af de delar af diametern, hvilka bestämmas genom perpendiklarnes fotpunkter. 20. Två räta linier äro gifina. Dela den ena så att rektangeln, som innehålles af dess ena del och den oskurna limen, blir lika stor med qvadra- ten på den andra delen. 21. Uti en cirkel känner man två kordor, af hvilka den ena upptager dubbelt så stor båge som den andra. Konstruera cirkeln. 22. P är en punkt utanför en cirkel, hvars centrum må heta 0. Att från P draga en rät linie, som skär periferien i tvänne punkter A och B, så att triangeln AOB blifver ett maximum. 23. Att skära en gifven rät linie i 3 delar, så att de båda yttersta blifva lika stora, och en af dem kommer att förhålla sig till den mellersta AFD. IV. SΛTSER. 219 delen, som denna förhåller sig till summan af den mellersta och en af ytter- sta delarna. 24. Om någon punkt O sammanbindes med vinkelspetsarne A, B, 0, D i en rektangel, så är summan af qvadraterna på OA och OC lika med summan af qvadraterna på OB och OD. 25. En sfer har en radie af 8 fot, och en rät kon har en höjd af 7 fot och en bottenradie af 3 fot; huru stor blir då höjden af den cylinder, som har bas som könen och som är lika stor med de begge gifna kropparnes summa. 26. Att finna ett 4-siffrigt tal, i hvilket summan af tusentalet och enheterna är tre, summan af hundratalet och tiotalet är 7, summan af tusen- talet och tiotalet är 2/3 af summan af hundratalet och enheterna, och slutligen summan af alla siffrorna 10. 27. 22+3 = 2410; x+Vy= 52. 28. Med huru stor procent har ett lands folkmängd årligen tillvuxit» då det efter 39 år bejinnes att densamma ökats med en tredje del? 29. Uti en triangel äro gifna: sidan a == 5 4,367 fot, sidan b = 13,863 fot samt mellanliggande vinkeln C = 38° 54’ 37”; huru stora äro då de öfriga vinklarne och den öfriga sidan? 30. Summan af sidorna i en rätvinklig triangel är 144; summan af deras qvadrater 7200. Hvilka äro sidorna? 31. Ett hjul med 100 kuggar kringdrifver ett annat, som är försedt med 33 kuggar. Huru många omlopp måste det förra göra mellan hvarje gång sammatvänne kuggar, en på det ena och en på det andra hjulet, gripa i hvarvndra? 32. Solvera egvationen — 4 — + 1= 0 33. Omkretsen, hos en cirkelrund skifva af järn är 12 tum vid 150 Cels. Beräkna skifvans ytinnehåll vid 20° Fahrenheit. Järnets längd- utvidgnings koeff. är 0.000012. 34. Hvilket bör förhållandet vara mellan radierna till två sferiska konkavspeglar, som skola gifva lika stora bilder af ett och samma föremål, om det befinner sig dubbelt så långt från den ‘ene spegeln som från den andre? 33. En skifva i form af en rätvinklig triangel ABC, hvars vigt för- summas, är rörlig kring den räta vinkelns spets vid B, och från de båda andra triangelhörnen A och C nedhänga respective vigterna 8 skålp. och 3 skålp. Längderna hos sidorna AB och BC förhålla sig till hvarandra som som 3 till 4. Bestäm vid jämnvigts-läget hypotenusans lutning mot horisonten. 220 AFD. IV. SATSER. 36. Det begäres finna storleken och riktningen hos den minsta möjliga kraft, som vore i stånd att längs ett skrofligt horisontalplan framsläpa en kropp af 50 skålp. vigt, då friktionen är sådan, att kroppen skulle börja glida utjör planet, så snart dess lutning svinkel mot horisonten uppginge till 30°. 37. 1 en lodrät plan sidovägg hos ett med qvicksilfver fyldt kärl före- finnes en lucka i form af en längs en diagonal midt i tu skuren regulier sexhorning, hvars sida är ⅜ tum. Luckan är så anbringad, att hennes största sida är horisontal och vänd uppåt samt belägen på tre tums afstånd från vätskans fria yta. Huru stor blir vätskans tryck på luckan, när qvicksifrets egentliga vigt är 13,6 och 1 kubikfot vatten väger 61,5 skålp.? 38. Polerna of en galvanisk stapel äro förenade med en metalltråd. Denne vill man utbyta mot en annan af samma beskaffenhet, men som är ett visst antal gånger längre, och likväl bibehålla strömstyrkan oförändrad. Med huru många par ef samma slag bör stapeln för detta ändamål ökas? 39. I en vanlig kärlbarometer har man infort torr luft, hvars tempe- ratur är 100° och tryck lika stort som det yttre lufttrycket, nämligen 25 tum. Ilörets längd är 30 tum, dess inre diameter öfverallt 1/2 tum. Om hela barometern, således äfven den instängda liften, afkyles till 0°, huru högt kommer qvicksilfret då att stiga i röret? Det yttre lufttrycket antages förblfva oförändradt hela tiden, och qvicksifverytan i kärlet hålles vid sitt ursprungliga läge. Liftens utvidgnings koeff. är :13 Hörets ut- vidgning forsummas. 40. Hos ett asiatiskt nålsystem hade den ena magneten blifvit försva- gad. Bestäm förhållandet mellan de båda magneternas nu varande styrka deraf, att svängningstiden hos systemet, som rörde sig endast under jordmag- netismens inverkan, befunnits vara 12,5 sek. och 4 sek., allt efter som nål- arnes liknämniga poler voro vända åt motsatta, eller åt samma håll. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Höst- Terminen 1874. För Latinlinien. 1. Bevisa, att hvilken triangel som helst är fjerdedelen af .den triangel, som erhålles, om man genom hans vinkelspetsar drager linier, paralella med motstående sidor. 2. Att från en punkt utanför en cirkel draga en sekant, hvars hela längd är dubbelt så stor, som dess utanför cirkeln belägna del. AFD.IV. SATSER. 221 3. Att upprita en cirkelring med gifven bredd, så att dess ytinnehåll blir lika med arean af en gifven cirkel. 4. Att i en gifven triangel inskrifva en parallelogram, som är likfor- mig med en gifven parallelogram. 5. Att, då en trubbvinklig triangel är gifven, draga från den trubbiga vinkelns spets till motstående sida en rät linie, hvars qvadrat är lika med rektangeln af de delar, som hon afskär af denna sida. 6. Konstruera en cirkel, som af en gifven rät vinkels ben afskär kor- dor, hvilka upptaga § af periferien. 7. En rät linie ligger helt och hållet utom en cirkel.Konstruera den minsta tangent, som från någon punkt af linien kan dragas till cirkeln. 8. Två olika stora räta linier äro gifna. Sök en ny linie så be- skaf ad, att den större af de gifna förhåller sig till den mindre som den sökta till öfverskottet, hvarmed den sökta öfverskjuter summan af de gifna. 9. Huru fort går ett lokomotiv, hvars hjul hålla 16 fot i omkrets och göra 13 hvarf på 6 sekunder? 10. Ett tvåsiffrigt tal är 7 gånger så stort som siffrornas summa, och om man subtraherar 3 gånger denna summa från talet, ställa sig siff- rorna i omvänd ordning. Hvilket är detta tal? 11. En murare arbetar 10 dagar och använder derunder sin son så- som handtiangare samt mottager i betalning for sig och sonen 26 kronor; en annan gång arbetar han 15 dagar och har under 5 dagar sin son till hj'elρ samt erhåller då i betalning 35 kronori 50 öre. Hur högt är sonens dags- penning beräknad? 12. Det gifves tre på hvarandra följande hela tal så beskaffade, att deras summa är lika med deras produkt. Hvilka äro de? 13. En person går från A till B, och samtidigt en annan från B till A. Den förre hinner fram 25, den senare 16 minuter efter mötet. Hur stor del af vägen har hvardera gått, innan de möttes? 14. En arbetare erhåller i betalning för 15 dagars arbete 15 kubikfot råg och 10 kronor 50 öre; en annan gång får han för 10 dagars arbete 10 kubikfot råg och 7 kronor. Hvad är priset på rågen och hvad är dagspenningen? 15. Ytan af en regulier femhörning är 10 qvadratfot. Huru stor är dess sida? 16. En cirkelring är 12 qvadratfot och den inre cirkelns radie 4 fot. Huru stor är den yttre cirkelns radie? För Reallinien. 17. Bevisa, att perimetern i hvarje triangel är större än summan af de tre linier som dragas från vinkelspetsarna till midtpunkterna af motstå- ende sidor. 222 AFD. IV. SAT8ER. 18. ABCD är en parallelogram, JE och F midtpunkter på sidorna AB och , CD, som stå emot hvarandra i parallelogrammen. Bevisa, att räta linier BF och DE dela diagonalen AC i tre lika stora delar. 19. Bevisa, att summan af qvadraterna på de linier, som från en triangels vinkelspetsar dragas till midtpunkterna af motstånnde sidor, är tre- jjerdedelar af summan af qvadraterna på triangelns sidor. 20. Att, då det är möjligt, dela en gifven rät linie i två sådana de- lar, att summan af deras qvadrater är lika med en gifven qvadrat. 21. En vinkel i en triangel är delad midi i tu, och cirklar inskrifna i de nya trianglarne. Bevisa, att de linier, som sammanbinda den delade vinkelns spets med cirklarnes medelpunkter, förhålla sig till hvarandra såsom de motsvarande radierna. 22. Konstruera två qvadrater så, att deras summa blir lika stor med en gifven qvadrat och den gifna förhåller sig till den större af de sökta så- som denna till den mindre. 23. I en fyrhörning, inskrfven i en cirkel, är en diagonal dragen samt cirklar inskrifna i de nya trianglarna. Dessas medelpunkter äro sam- manbundne med diagonalens ändpunkter. Bevisa, att den fyrhörning, som de nya linierna bilda, har två motstående vinklar tillsàmmantagna lika med tre räta. 24. 225 tunnor råg kunna nu säljas efter 14 kronor för tunnan, men 5 månadar härefter till ett pris af 14 kronor 50 öre. Kur mycket vinner man genom att dröja med försäljningen, om man i motsatt fall kan utlåna de genom densamma erhållna penningarna mot 12 procent i månaden? 25. 2 karla?' kunde hafva utfört ett arbete på 12 dagar, men efter 4 dagar måste den ene af dem upphöra med arbetet, hvarpå den andre qfslu- tar detsamma ensa?n efter nya 16 dagars förlopp. Huru många dagar skulle hvar och en af dem behöft för att ensam utföra hela arbetet ? 26. En cistern kan fyllas medelst 2 rör och tömmas medelst ett tredje. Då det ena tilloppsröret ensamt användes, bli?- cisternen full på 8 timmar, och, då det andra tilloppsröret ensamt användes, på 4 timmar. Då den är full och tilloppsrören stängda, kan den tömmas medelst qfloppsröret på 3 timmar. Huru många timma?' åtgå till att fylla cisternen, då alla tre röre?i samtidigt öppnas? 27. I en qvarn förelages reparation, hvarigenom hon förbättras, så att en tunna säd formales på 12 minuter kortare tid än förut, hvilket gör, att 6 tunnor mer än förut förmalas på dygnet. Hur stor är vinsten af qvarnen under ett dygn fore och efter reparationen, om inkomsten på formal- ningen af en tunna säd är 40 öre? 28. x2 + xy+-y2 = 79; x2 —32 == 40. AFD. IV. SATSER. 223 29. En tjenstemans lön ökas årligen med 25 kronor och utgör på det 20:de året 800 kronor; huru stor var den på det 10:de året? 30. Radierna till två koncentriska sferer äro 8 och 12 tum; huru stor blir då radien till en tredje, med de förra äfven koncentrisk sfer, hvil- ken skär intervallet emellan dem midt itu? 31. En person känner vinden blåsa från norr, när hans egen hastighet i östlig rigtning är 1 mil i timmen; han tycker deremot, när denna hans hastighet fördubblas, att vinden kommer från nordost. Beräkna häraf vin- dens verkliga rigtning och hastighet. 32. Till hvilken temperatur bör ett glaskärl, som vid 10° rymmer 623 grammer qvicksilfυer, jemte detta sitt innehåll upphettas, for att 4 gram- mer qυicksilfver må utrinna? Glasets kub. dilatation s-koefficient är 38100 och qvicksifrets 5550- 33. En ljusstråle faller vinkelrätt mot ena ytan af ett glasprisma, hvars brytningsindex är 1,5, och' devieras, efter att hafva genomgått prismat, 18°,5 från sin ursprungliga rigtning. Beräkna prismats brytande vinkel. 34. Blandningstemperaturen antages bljfva 20°, om ett kopparkärl af 50 grammers vigt, jemte tvänne deri befintliga lika tunga stycken af en obe- kant metallblandning, alltsammans af 1000 ,nedsänkes i en kalorimeter, som likaledes är af koppar och väger 30 grammer, men innehåller 1000 gram- mer vatten af 180. Beräkna blandningstemperaturen, fall experimentet repe- teras under för öfrigt lika omständigheter, men med användning åf blott det ena metallstycket. Kopparns specifika värme är 10- 33. Ett snöre är lagdt öfver två trissor. Vid dess ena ända äro 8 skålp. fastbundna, vid den andra 10 skålp.. och vid detsamma, midtemellan trissorna, 12 skålp. Huru stor vinkel bildar snöret vid den sistnämnda vig- tens anknytningspunkt ? 36. Hvilket förhållande bör ega rum emellan yttre radien och väggens tjocklek hos en med vätgas uppblåst såpbubbla, för att hon skall stiga i lift? Vätgasens specifika vigt förhåller sig till luftens som 0,07 till 1 och luftens till såpvattnets som 0,0013 till 1. 37. Volymen af en blykula (lin. dil. koeff. = 0,0000284) är 1638kubik- centimeter vid++ 810G. Vid hvilken temperatur är den 1629? 38. En galvanisk stapel cf 6 par slutes med en tråd, hvars elektriska motstånd är 0,5 af hvarje pars. I hvilket förhållande förändras den vär- memängd, som af strömmen utvecklas på en viss tid i yttre motståndet, om detta dubblas och om tillika 2 par från stapeln borttagas? 224 AFD. IV. SVAROMÅL. Svar på en af hr C. E. F. Björling gjord anklagelse med anledning af en i matem. Tidskrift införd granskning af hr Bjorlings lärobok i algebr. analysen och diff. kalkylen. AF GÖRAN DILLNER. I ’’Ett genmäle till hr M. Falk",* sid. 14, yttrar sig hr Björling på följande sätt: ”Hr Falks granskning offentliggjordes i jan.—mars häftet af matem. Tidskrift för 1871 [sid. 71—82], d. v. s. just vid den tid, då jag var som mest sysselsatt med förberedelser till afläggandet af ett specimen för professuren härstädes. Då läroboken vid detta särdeles väl valda tillfälle** redan varit i hela fyra år tillgänglig för granskning, utan att någon sådan, trots redaktionens af Tidskriften redan tre år förut gifna löfte [Tidskr. 1868, sid. 189], i Sverige utkommit, — då behöfdes det vis- serligen icke-----någon synnerlig stor slutledningskonst för att fullkom- ligen begripa, hvarom fråga var. Man skall tvifvelsutan efterskänka mig en fullständigare utveckling af det vidriga ämnet;** — —”. Då jag såsom Tidskriftens ansvarige utgifvare företrädesvis träffas af denna ankla- gesle, anser jag mig skyldig att med några ord bemöta henne. Hr B. an- tager utan vidare omständigheter, att red. af förföljelselusta infört gransk- ningen ”vid det särdeles väl valda tillfälle”, då hr B. ämnade aflägga prof på skicklighet för professuren i Lund. Huru pass befogad denna tillvitelse är, inses af följande. Då jag förut varit och ännu är af den åsigt, att granskningen af en lärohok bör helst ske af den, som användt boken i undervisningen, så fans det sannerligen icke många att välja på, till hvilka man kunde vända sig för erhållande af en dylik. Doc. Lundström gaf mig under 1868 ett halft löfte att för Tidskriftens räkning granska boken. Men då han dog sommaren 1869, så förföll frågan, till dess Doc. Falk, dertill uppfodrad af hr B. sjelf***, skref sin granskning. Jag hade så mycket mindre skäl att vägra införandet i Tidskriften af denna gransk- ning, som hon enligt mitt tycke var både väl och humant skrifven samt dertill innehöll nödiga rättelser och belysningar till de stude- randes tjenst. Innan granskningen trycktes blef det mig visserligen bekant, att hr B. sökte till Lund; men materialet för häftet jan.—mars 1871 var då redan bestämdt, och det har sig icke så lätt för en redaktion sådan som den matem. Tidskriftens, hvilken icke sjelf uppburit ej heller till annan utbetalt ett öre i författarearvode, att i hast ersätta ett material, som kunde sättas i fråga till uteslutning, med ett annat dugligt. Aldra minst kunde jag ana, att hr B. af detta enkla sakförhållande skulle göra ’’ett ämne så vidrigt”, att allmänheten ombedes att ”efterskänka honom en full- ständigare utveckling af detsamma.” För att få inblick i hr B:s olika sätt att se, då det gäller honom sjelf eller andra, torde vid sidan af det här anförda bland annat kunna lämpligen ställas de anmärkningar, som hr B. vid ett ännu bättre ”valdt tillfälle” fann för godt att göra mot mig och hvilkas rätta halt finnes belyst i ”Svar på några punkter i "Hand- lingar rörande återbesättandet af en professur i matematik vid Universitetet i Lund.” Af Göran Dillner. Upsala, 1872. * Tryckt i Lund 1874. *♦ Kursiv, af red. *** Enligt ett mig förevisadt bref från hr B. till Doc. Falk, hvilket ännu torde finnas i behåll. o AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Forts. Af F. W. HULTMAN. 15. Martinus Erici Gestrinius”. Ledamoten af Riksdagens förste kammare, friherre Johan Nordenfalk, har benäget lemnat oss Gestrinii hand- skrifna aritmetik, hvilken utgör ett ytterst värdefullt *) Ur Stiernmans Bibliotheca Suiogothica, Holmiæ 1731, hämta vi följande biografiiska notiser om denne berömde man. Martinus Erici Gestrinius föddes 1594 i Gehe, hvarest hans fader var rektor. Redan vid fyra års ålder 1598 intogs han i Gefle skola, hvarest han vistades till år 1607, då han som trettonårig yngling kom till Upsala skola. Här tillbragte han 4 år och inskrefs vid 17 års ålder 1611 vid Upsala akademi. Sedan han där stu- derat i 3 år, utbildade han sig genom fortsatta studier vid utländska universitet. Sålunda studerade han år 1614 i Helmstedt (samma stad, där den första af svensk man Olof Bure utgifna räknebok är tryckt år 1609). Året därpå besökte han Wittenberg och Rostock.. Till Greifswald kom han 1617, promoverades där till doktor och filosofie magister, hvarefter han återvände till Upsala. Han blef 1620 e. o. professor och 1621 vid 27 års ålder ordinarie professor- i matematik vid Upsala universitet. Han dog 1648 vid 54 års ålder.. Med sin hustru, dotter till ärkebiskopen Olaus Martini, hade han 8: söner och 1 dotter. Skrifter. 1. Collegii physici novi disputatio proëmialis de philosophia in genere. Upsala 1622. 15 226 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. bidrag till svenska aritmetikens historia. Arbetet är med prydlig stil renskrifvet af Karl Filip von Sack *), sanno- likt efter Gestrinii föreläsningar. Handskriften saknar eget titelblad, men af rubrikerna på arbetets särskilda delar synes, att titeln bör vara Arithmetica practica et geometria practica. Boken har kvartformat och slutar med följande ord: «d. 12 Augusti, Anno 1642. Carolus Philippus von Sack.» På intet ställe finnes Gestrinii namn omtaladt, däremot före- kommer Sacks två gånger, näml. vid slutet af geometriens båda afdelningar. Då Sacks stil i afseende på skrifningen af hans namn öfverensstämde fullkomligt med stilen i hela det öfriga arbetet, låg det närmast till hands att an- taga Sack som förf, till arbetet; men då af Sacks biografi upplyses, att han 1642 endast var 15 år, enär, han var född 1627, och då tillika arbetet så väl genom ka- pitlet om decimalräkning, hvilket förut aldrig förekommit i någon svensk aritmetik, som genom egendomliga geo- metriska konstruktioner vittnade om en ovanlig öfverläg- senhet, var det snart tydligt, att det ej kunde vara för- 2. In Aristotelis mechanica argumenta et notæ. Ups. 1627. 3. Optica. Detta arbete hade Stiernman ej sett. 4. In geometriam Euclidis demonstrationum libri VI. Ups. 1637. 5. Urania libri IV. Ups. 1642. 6. Algebra, handskrifter. Till dessa skrifter lägga vi ofvanstående år 1642 handskrifna aritmetik och geometri med titeln 7. Arithmetica practica et geometria practica 1642. *) Svenska adelns ättartaflor af Anrep lämnar om denne man följande upplysding. Karl Filip von Sack till Hackstad samt Svepenäs, Ösby, Sörby och Dala, föddes 1627 på Hackstad, blef ståthållare på Riga samt landshöfding i Kalmare län. Han dog 1661 på Hackstad och är begrafven i Strengnäs. Hans maka, Kristina Posse, var uppfostrad i Axel Oxenstjernas hus. Hon dog 1668 och ligger begrafven i Riddarholmskyrkan. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 227 fattadt af en 15-åring, utan snarare af en hans lärare. Men huru finna, hvem denne var? Som Sacks födelseort Hack- stad låg ej långt från Upsala, fördes tanken helt natur- ligt till någon af Upsala universitets professorer i astro- nomi eller matematik vid den tiden. Då professorn i astronomi Stenius endast utgifvit ett enda arbete, och detta angående osäkerheten af astronomiska förutsägelser, samt då detta arbete var tämligen gammalt näml. af år 1611, kunde Stenius ej gerna vara förf, till denna aritmetik. Återstod då professorn i ren matematik Gestrinius. Om hans stora produktivitet af matematiska skrifter upplyser Stiernmans Bibliotheca. Då bland dessa skrifter nämnas handskrifter i algebra, ligger det nära till hands, att han ock bör hafva skrifvit en räknebok eller åtminstone före- läst aritmetik. Att denna handskrift är af Gestrinius, blir dock först fullkomligt klart, då man jämför dess geome- triska del med hans upplaga af Euklides af år 1637. Där återfinner man samma egendomliga konstruktioner och de- finitioner som i denna handskrift, och anse vi oss därför med full rätt såsom författare till innehållet i ofvanstående handskrift kunna angifva Gestrinius. Då denna handskrift jämte Stjernhjelms är den första, hvarest läran om decimaler förekommer, anse vi oss böra på svenska språket fullständigt återgifva detta kapitel (med förbigående af det öfriga), synnerligast som aritmetiken ej förut varit tryckt. Ben andra delen af den praktiska aritmetiken, om dekaritmetiken eller decimalräkningen. Kap. 1. Om talens beteckning. 1. Dekaritmetiken eller decimalräkningen är en konst, som lärer sättet att genom vissa tecken beräkna de mått, hvilka landtmätare och ingeniörer begagna. 2. Emedan de geometriska storheternas dimensioner högst sällan fullkomligt passa in på heltalsmått, hafva 228 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. konstnärerne, för att den förträffliga heltalsräkningen skulle äga bestånd, blifvit tvungna att dela måtten i de minsta- delar, hvarför de dela sin stång, hvilket beryktade mått de använda vid sina mätningar, i fot, foten i tum och tummen i gran. 3. Men det finnes en annan och olika fördelning af denna stång i fot och tum. Några dela stången i 12, andra i 14, andra i 16 fot, och foten i lika många tum, och tummen i lika många gran. För större bekvämlighet skull uppdelade de gamle sina mått i tio delar och kal- lade sin stång för tiofoting (decempeda), emedan den be- stod af tio fot eller mått. 4. För den lättare räkningens skull finna äfven vi behag i tioindelningen, hvilken i alla indelningar skall kallas tiofots-räkning, hvarvid bör anmärkas, att vi beteckna antalet stänger med hela tal och antalet fot eller tum med delar af hela eller bråk, hvilka några dela i bråk af första, andra, tredje, fjärde ordningen o. s. v. 6. Det gifves tre slag af storheter att uppmäta, nämligen linien, hvilken uppmätes med längdmåttet och hvilket mätningssätt kallas longimetrien (längdmätning), ytan, som har längd och bredd, hvilkens mätning läres af planimetrien, och kroppar, som hafva längd, bredd och djup, hvilka dimensioners undersökning utföres i stereo- metrien. Därför böra vid de nu för tiden mera brukliga .måtten följande små anmärkningar framställas. 1. Om längdmåtten. En längd- (stång fot tum gran fot .. 1 1 1 tum är en finie, hvars längd är 10 gran skrupel. hvilka sistnämnda i longimetrien' anses för intet. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 229 2. Om ytmåtten. En kvadrat- stäng ' fot tum är en yta, som är 1 gran stång lång och (fot, fot bredoch in- tum, tum nehåller100gran, gran kvadrat- (skrupel, hvilka sistnämnda tillika med gran kunna förbigås i plani- metrien. Om rymdmåtten. En kubik- Ifot är enkropp, J fot tum som är 1 tum (gran (gran lång, bred och tjock ochinnehål. 100 kubik- 'fot, tum, gran, skrupel, hvilka sistnämnda tillika stereometrien. med gran kunna försummas i 6. Alla tal så väl hela som delar af hela tecknas tillsammans i en oaf bruten rad, liksom om alla vore hela. Man bör emedlertid märka, att de hela och delarne af de hela betecknas med en viss siffra i en cirkel till höger om talet. Dessa siffror brukar man skrifva på följande sätt ©, ©, ©, @, @ o. s. v. så långt man behagar, så att, om någon uppmätt en linie eller längd till 123 stänger 4 fot 5 tum 6 gran, då skall man skrifva alla siffrorna tillsammans på följande sätt 123456 G), hvilket tecken utvisar, att vid de hela äro fästade delar af de hela, men själfva talet utläses på samma sätt som det förra och är lika med 123 stänger 4 fot 5 tum och 6 gran. För öfrigt kan man skrifva talet på vanligt sätt i bråk sålunda 123 M.S. 7. Men om endast hela utan delar finnas, skall man i stället för siffran i cirkeln skrifva en nolla, som utmär- 230 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. ker, att vid de hela inga delar äro fogade. Sålunda ut- visar i talet 492 (), tecknet (o), att talet uttrycker hela, och att det är detsamma som 492 stänger. 8. Men om någon önskar veta, huru många hela finnas i ett tal, då skall han medelst ett komma afskilja från höger till venster så många siffror som den i cirkeln stälda siffran innehåller enheter. Siffrorna till venster om kommat utvisa de hela, men de öfriga angifva delar af hela. Sålunda äro i detta exempel 246,3578 Q), 246 hela 3 delar af första, 5 af andra, 7 af tredje och 8 af fjärde ordningen. 9. På det att icke i beteckningen något fel må upp- komma, bör man noga se till, att de särskilta delarne af de hela genom ett komma skarpt skiljas från de hela och allt efter dimensionen uppdelas i vissa perioder, så att hvarje period i ett lineärt exempel innehåller enligt liniens enhetsdimension en siffra, i ett ytexempel enligt ytans dubbeldimension två siffror; och slutligen i ett rymd- exempel enligt kroppens trefaldiga dimension tre siffror, såsom man kan se af de följande exemplens beteckning. 1. Då någon har uppmätt en linie eller längd till 264 stänger 3 fot 5 tum 2 gran, så innehåller där hvarje period af delarne blott en siffra, och detsamma talet är lika med 264352 (). 2. Har någon uppmätt en åker och funnit dess area vara 12 kv.stänger 34 kv.fot 56 kv.tum och 78 kv.gran, då skrifver han alla siffrorna i en sammanhängande rad sålunda 12345678 () kvadrater, hvilket betyder och ut- läses såsom förut. 3. Om någon funnit en bergmassa innehålla 12 ku- bikstänger 345 kubikfot 678 kubiktum och 978 kubikgran, då skrifver han exemplets alla siffror i en sammanhän- gande rad sålunda 12345678978 Q, hvilket betyder och utläses såsom förut. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 231 Kap. II. Om Addition. 1. Addition af dessa mått skiljer sig nästan intet från vanlig addition af hela tal, ty af de förut meddelade föreskrifterna rörande hela tal inses förfaringssättet, om blott de olika slagen af tal rätt ordnas och fördelas, så att lika slag ställas under lika, d. v. s. stänger under* stänger, fot under fot, tum under tum o. s. v. Sedan därefter alla talen blifvit samlade till en summa, bör vid det hela fästas addendernas högsta tecken. Exempel. 1. Jag vill addera 365 stänger och 7 gran till 61 stänger och 7 fot. Summan blifver 426 stänger 7 fot och 7 gran. Exemplet uppställes på följande sätt. 365007 @ 617 ® 426707 () 2. Vid mätning af vissa linier har jag funnit stor- hetsmått, hvilka jag önskar sammanlagda till en enda summa. Sålunda innehåller linien AB 246 stänger och 8 fot, linien BC 35 stänger 7 fot och 8 tum, men linien CD '4 stänger 5 fot 6 tum och slutligen linien DE 5 stän- ger 4 fot 8 tum och 6 gran. AB 2468 (D) BC 3578 © CD 456 (2) DE 5486 () ‘ 292626 (3) 232 AFD. I. SVENSKÅ ARITMETIKENS HISTORIA. 3. Man har 3 åkrar A, B, C, af hvilka A har en yta af 45678 () •, B 1234560 @) • och C 2458760 @ •. Hvad är deras sammanlagda arcal? A 45678 (2) B 1234560 O C 2458760 © 8261120 Kap. III. Om Subtraktion. 1. Subtraktion af tiotalsmått skiljer sig i intet från vanlig subtraktion af hela tal, om blott stänger ställas rakt under stänger, fot under fot och tum under tum, hvarvid liksom vid addition man äfven till återstoden bör lägga det högsta tecknet af det tal, från hvilket subtraktionen sker. 2. Men om tecknet af det tal, från hvilket subtrak- tionen sker, är mindre än det tal, som skall subtraheras, då måste det tal, från hvilket subtraktionen bör ske, ökas med nollor och dess tecken med lika många enheter, och sedermera utföres operationen såsom vid vanlig subtrak- tion, hvilket blifver klart af exemplen. Exempel. 1. Man har genom mätning funnit två linier till sin längd, nämligen AB, från hvilken subtraktionen bör ske, 45678 (2) och BC, som skall subtraheras, 1248 (1). Deras skilnad är 33198 (2), d. v. s. 331 stänger 9 fot och 8 tum längdmått. 45678 () 1248 () 33198 φ AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 233 2. Jag önskar subtrahera 3245035 ( frän 7531 (. Emedan här subtrahenden har flere delar, och altså det tal, från hvilket subtraktionen bör ske, måste ökas med nollor, och äfven till dess tecken måste läggas lika många ■enheter, kommer räkningen att få följande utseende. 7531000 ( . 3243035 @ 4285965 () 3. Man har två åkrar, af hvilka den ene A inne- håller 3467000 @ •, och den andre B 1596780 @ •. Skilnaden blifver 1870220 () •. 3467000 G) □ 1596780 @) □ 1870220 0 • Kap. IV. Om Multiplikation. 1. Multiplikation med tiotalsmått utföres enligt samma operationsregel som i vanlig aritmetik, och det är likgil- tigt om lika slag komma under lika eller ej, om blott första siffran (från höger räknadt) af multiplikatorn skrif- ves midt under första siffran af multiplikanden. 2. Sedan talen blifvit stälda så, bör man börja med den första siffran af multiplikatorn. Denna siffra skall man multiplicera i ordning med hvar och en af multiplikandens siffror och uppskrifva produkten enligt den vanliga arit- metiken. På alldeles samma sätt skall man multiplicera multiplikatorns andra siffra med hvar och en af multipli- kandens siffror, hvarvid produktens första siffra ställes under multiplikatorns andra (allt från höger räknadt), och de öfriga komma till venster i lämplig ordning hvar och en under sin siffra. På samma sätt, om multiplikatorn haft flere siffror, skall man med dem multiplicera hela multiplikanden. 234 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 3. Då operationen sålunda blifvit fullgjord, skall man slutligen sammanlägga de särskilta radernas tal samt ad- dera båda talens tecken så väl multiplikandens som mul- tiplikatorns och vid produkten fästa summan. Då skall det sökta framkomma. Exempel. 1. En linie innehåller i längd 24 stänger 5 fot och 6 tum. Jag önskar multiplicera denna med 12 stänger och 3 fot. Efter operationens afslutande framkomma 302 stänger 8 tum och 8 gran. 2456 () 123 (D 7368 4912 2456 302088 (3) 2. En åkers längd är 45678 @ • *), dess bredd 2456 (2) □ *). Frågas arean af hela åkern. Det svaras att arean har befunnits vara 11218 • stänger 51 • fot 68 • tum. 45678 @ □ *) 2456 @ □ *) 274068 228390 182712 91356 11218,51,68 0 ∏ Kap. V. Om Division. 1. Vid division af tiotalsmått finnes ingen svårighet, och ingenting är olika med de regler, som blifvit fram- *) Tillägget af tecknet • är här oriktigt. Utgifvarens an- märkning. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 235 stälda i den vanliga aritmetiken, alldenstund divisorn ställes under dividenden på samma sätt, och dividenden divideras med divisorn enligt den vanliga operationsregeln. Kvotens värde finnes af tecknet, om divisorns tecken sub- traheras från dividendens tecken, och återstoden vidfästes kvoten. 2. Men om dividendens tecken varit mindre än di- visorns tecken, då bör dividenden ökas med nollor och till dess tecken läggas lika många enheter, som till divi- denden äro lagda nollor, hvarefter man har att fortgå på samma sätt som i den vanliga aritmetiken. 3. Då endera af talen, vare sig dividenden eller di- visorn, saknar delar (decimaler), då skall man till det tal, vid hvilket inga delar äro fästade, i stället för delar till- sätta nollor och till dess tecken lägga lika många enheter som nollorna äro. 4. Om efter verkstäld division resten varit mindre än hälften af divisorn, då anses den för intet; men om den är större, då uppskattas den till en hel; utgör den åter ungefär hälften af divisorn, då bör efter kvoten till- sättas talet 5, och kvotens tecken ökas med en enhet. Exempel. 1. Jag åstundar dividera 23615108 (j) med 694562 (3). Efter slutad operation finner jag i kvoten 34 (o). 23615108 G 694562 ($) 34 () 2. Om någon vill dividera 95437 @) med 5023 (3, skall han, emedan i detta exempel dividendens tecken är mindre än divisorns tecken, till dividenden sätta en nolla och tillika öka dess tecken med en enhet enligt den andra regeln af detta kapitel. Efter fullbordad operation finner man i kvoten 190 (). 954370 5023 (3) (3) 100 (0) 236 AFD. i. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 3. Man vill dividera 533 (o) med 4264 (3). Eme- dan här vid dividenden inga delar äro fastade, tillsätter jag så många nollor som divisorn har delar; och så många nollor som äro tillsatta, lika många enheter skrifver jag äfven i tecknet enligt den tredje regeln af detta kapitel. Efter slutad operation finner jag i kvoten 125 (o). 4. Man skall dividera en åker af 8976 (2) • med dess ena sida 6789 (3) längdmått. Man finner 13 (0) längdmått. Emedan resten 1503 är mindre än hälften af divisorn, anses den för intet och förbigås alldeles. 9 (13 ( längdmått. 6789 (3) längdm. 9 - 1503 5, Må äfven här en åker af 837269 () • divide- ras med sin ena sida 678 (2) längdmått. Man finner 1234 φ längdmått. Resten 617 är större än halfva di- visorn. Således bör en enhet adderas till den sista siffran i kvoten, och såsom det sökta talet skall framkomma såsom i det närmaste riktigt 1235 φ längdmått eller 12 stänger 3 fot 5 tum. 837269 Q D (1235 678 © längdm. ( 617 Bihang. Såsom en smaklig dessert (coronidis loco) vilja vi visa, huru bråk af tal hvilka som hälst bringas till deci- maldelar. Detta sker på följande sätt. Till bråkets täl- jare lägg några nollor, 2, 3, 4, 6 eller 9 stycken, allt efter exemplets natur, och dividera det hela med samma bråks nämnare. Då betecknar kvotens första siffra fot, AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 237 andra tum, tredje gran o. s. v. enligt talserien. Man frågar, huru mycket 3 af en stång utgör i decimaler. Svar. 875 (g). Härmed är Gestrinii lära om decimalerna afslutad. Som vi se, är den utmärkt redigerad. Redogörelsen för den geometriska delen af Gestrinii arbete, så intressant den kunde vara, ingår för närvarande ej i vår plan. Vi sluta med att redogöra för de 5 svenskar, som först framstält decimalräkningen. 1. Anders Bure har i sin handskrifna räkning 1637 upprättat tabeller med tioindelning i mått och vigt. 2. Stjernhjelm i hans handskrifna arithmetica mnemo- nica universalis, Wasula 1642. 3. Gestrinius i den af Karl Filip v. Sack handskrifna arithmetica practica och geometria practica 1642. 4. Biörk, Arithmetica, Westerås 1643. 5. Kexlerus, Arithm. geodoetica denaria af år 1649. Samtliga dessa skrifter hafva utkommit mellan 1637 och. 1649 d. v. s. under loppet af 13 år. Endast tvänne äro tryckta. Alla sammanknyta läran om decimalerna med landtmäteriet, hvaraf namnet arithmetica geodoetica. 16. Petrus Laurbecchius. Dennes af oss ej sedda aritmetik*) har enl. Hammar- skölds förteckning på skolböcker följande titel: Arithme- tica generalis cum Isagoge succincta de Mathesi in genere et Pædia Mathematica, auctore P. Laurbecchio, Aboæ 1673. *) Sannolikt förstördes denna äfvensom Gezelii och Achrelii läroböcker vid Åbo stora brand 1827. 238 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. I Svenskt Biografiskt lexikon finna vi följande un- derrättelser om denne man. Petrus Laurbecchius föddes i Gammalkils socken i Östergötland 1628. Fadren var gårdsfogden Lars Knutsson. Redan som gymnasist ut- nämndes han 1649 till förste kollega vid trivialskolan i Linköping samt for därifrån 1652 till Abo och blef stu- dent. Han blef 1660 filosofiska fakultetens adjunkt samt 1661 filos, magister. Bibliotekarie och e. o. mathes. prof. 1666. Poëseos prof. 1668. Denna tjänst behöll han i 20 år. Pastor i Piikis prebende 1680 och i Lundo 1682. 1688 blef han Tredje Theologiæ professor, 1689 Theol. doktor, 1692 Andre och 1694 Förste Theologiæ professor och domprost. Blef 1696 biskop i Wiborg och afled där 1705. Laurbecchius hade anseende som en polyhistor, hvil- ket så väl hans olikartade akademiska uppdrag som ut- gifna skrifter bekräfta. Han var matematiker, filosof, poet, polyhistor, jurist, teolog. Gift 1) 1668 med Maria Hörling, dotter af grefve Nils Brahes kamrerare; 2) 1676 med Maria Pratanus, dotter till prosten i Kimito, f. d. professor i logik. Skrifter. 1. Oratio in obitum Caroli Gustavi Aboæ. 1660. 2. Arithmetica. Ab. 1673. 3. Oratio carmine latino in Solemnia Coronationis Ulr. Eleonoræ. Ab. 1681. 4. Solennitas doctoralis in mem. Conc. Ups. peracta. Ab. 1693. 5. 56 diss, philos, et theol. Dessutom förekommer i Kexleri Arithmetica vulgaris contracta ett tillägg af Laurbecchius kalladt Canon sexa- gesimorum, innehållande en multiplikations- och divisions- tabell af tal, bestående af grader, minuter och sekunder. Denna tabell hafva vi sett. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 239 17. Johan Gezelius, d. ä. Enligt Hammarskölds Förteckning är titeln på hans aritmetik följande. Arithmetica latina contracta, Aboæ 1677. 8:o. Om- tryckt därsammastädes 1684. 8:o. Icke häller detta arbete hafva vi lyckats få se. Biografiskt lexikon lämnar om denne man följande underrättelser. Johan Gezelius föddes den 3 Febr. 1615 i Westmanland och Romfertuna socken på Gezala rust- håll. Fadren var nämndeman. Ar 1626 skickades han till Westerås; 1632 student i Upsala, 1638 fil. mag. vid det kort förut 1632 inrättade universitetet i Dorpt; 1641 prof, i grek, och österländska språken. I denna egenskap utgaf han sin grekiska språklära, som prisvärd för sin korthet och redighet bibehållit sig i Sveriges och Fin- lands läroverk intill våra dagar. 1643 e. o. prof, i teol. fakulteten. Under denna tid lefde han i förtroligt um- gänge med den berömda Stjernhjelm, som samtidigt där beklädde civila ämbeten. Ar 1649 utnämndes han till pastor i Stora Skedvi i Dalarne. I följd af det anseende Gezelius genom sin kun- skap och verksamhet förvärfvat blef han 1660 utnämd till generalsuperintendent i Lifland. 1661 blef han promov. till teologie doktor. Ar 1664 utsågs han till biskop i Abo efter Terserus. Under sin 25-åriga biskopstid sys- selsatte han sig med många arbeten. Han deltog såsom ledamot i kyrkolagskomitén, hans arbete utkom 1686, be- sörjde den första i Sverige och Finland utkomna upplaga af Nya Testamentet på grundspråket. Det vigtigaste af hans arbeten var en förbättring af den svenska bibelöfver- sättningen. Detta arbete begynte han med allvar 1674, teg sedan sin son Johan Gezelius d. y. till medarbetare. Öfversättningen blef mycket lofordad af teologiska fakul- teten i Upsala, men utkom ej förrän efter d. ä. Gezelii 240 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. död under sonens uppsigt. Han gifte sig 1643 med v. superintendenten Gutheims dotter och hade med henne 6 söner och 6 döttrar. Endast en son Johan öfverlefde honom och blef hans efterträdare på biskopsstolen. Äk- tenskapet var besynnerligt. Hustrun och döttrarna voro fåfänga. Om dottern Annas man heter det, att han var «en krasslare och oduglig, liksom de fleste af Gezelii mågar.» Vid 69 års ålder gifte han sig i nytt gifte med amiral Bergenstjernas enka. Han dog 1690 den 20 Jan., efterlämnande 70 barn och barnbarn. Skrifter. 1. 43 disputationer i Dorpt, de fleste på grekiska. 2. Grammatica Græca. Dorpati 1647. Den 16:de upplagan utkom i Westerås 1813. Öfriga skrifter förbigå vi. 18. Daniel Erici Achrelius. Denne, hvars lärobok utgafs år 1689 under titel: «Arithmetica. Aboæ 1689», var son af medic, professorn Erik Achrelius i Åbo. När han var född, är obekant. Dock kan man med stor sannolikhet förlägga hans födel- seår till år 1644, enär fadren gifte sig år 1643, och man tillika vet, att Daniel år 1670 höll parentation öfver sin fader och således då borde vara kommen till en mogen ålder. Daniel Achrelius utgaf såsom disputation pro gradu 1672 en afhandl: Dissertatio physiologica terr-aquei globi; blef akad.-adjunkt i Åbo 1679. Han dog barnlös 1692. Han gifte sig 1680 med Anna Lund. Han har skrifvit en mängd parentationer öfver kung- liga och förnäma personer samt flere af handlingar till större delen i naturvetenskaperna och i politiken. Största, uppmärksamheten ådrog sig hans Contemplationes mundi. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 241 Aboæ 1682, enär filos, fakulteten ansåg, att detta arbete icke borde få tryckas, såsom innehållande afvikelser från föregående filosofers meningar. Däremot ansågo dompro- sten Svenonius och teol. professorn Bång, att Achrelii verk ej vore i någon motsägelse med bibeln. Utom natur- forskare var Achrelius äfven skald. Se Biogr. lexikon. • Hans ofvannämnda lärobok i konsten att räkna finnes sannolikt numera ej till. Anm. 1. Märkvärdigt är att se det vetenskapliga lif i aritmetiken i Finland, som uppblomstrade samtidigt och efter Åbo universitets inrättande år 1640. Detta lif grund- lades af prof. Kexlerus genom läroböcker 1658 och 1668 och fortsattes af professorerna Laurbecchius, Gezelius och Achrelius genom läroböcker af år 1673, 1677 (1684) och 1689. Märkvärdigt är ock att se, huru desse fyra fram- stående mäns läroböcker numera 200 år efteråt äro i det närmaste försvunna. Endast af Kexlerus finnas, så vidt vi känna, 2 exemplar af aritmetiken af år 1658 och 1 af 1668 års upplaga. Däremot hafva vi ej lyckats finna något exemplar af de tre sistnämdes. Anm. 2. Intill år 1700 förekomma ej mindre än 4 biskopar som skrifvit läroböcker i aritmetik, näml.: Peder Månsson, biskop i Westerås 1523—34; Johannes Bothvidi, biskop i Linköping t 1635; Laurbecchius, biskop i Wi- borg 1696—1705; Gezelius, biskop i Åbo 1664—1690. (Forts.) Om pröfningen vid roteqvationer. Af KNUT WICKSELL. Eqvationer, der den obekante förekommer under qva- dratrotsmärke, kunna, som kändt är, i allmänhet blott lösas förmedels qvadrering, hvarigenom rotmärkena försvinna. 16 242 , AFD. I. om PRÖFNINGEN VID ROTEQVATIONER. Vid hvarje sådan qvadrering har man dock samtidigt qva- drerat en annan roteqvation, hvars rötter, om den har några, äfven måste innehållas i sluteqvationen, och man blir derför nödsakad att genom en särskild pröfning afgöra, huruvida någon af de erhållna rötterna verkligen satisfierar den ursprungliga roteqvationen. För detta ändamål före- slås i läroböckerna vanligen insättning af de funna rot- värdena i den ursprungliga eqvationen. Men en sådan operation är besvärlig, åtminstone med undantag af de högst enskilda fall, då rötterna blifva rationella. Har åter sluteqvationen irrationella rötter, så måste man efter insätt- ningen tillgripa reduktion af sammansatta radikaler enligt formeln 1/ . 1\ 1/xa + V(a2-1)\ 1/(a- V(a: - 6)\ V(a-Yo)- V (---------------2------) V (---------2------)' och pröfningen upptar då vanligen längre tid än hela lös- ningen för öfrigt. Att man dock i de flesta fall på ett långt enklare sätt kommer till målet torde vara en iakttagelse, som redan mången gjort, men då läroböckerna, så vidt jag vet, ej nämna något härom, tar jag mig friheten att med ett par exempel påpeka denna sak. Första exemplet. Antag till lösning eqvationen V(5. — 7x + 21) = 2x + 1.(a). Upphöjes här på ömse sidor om likhetstecknet i qva- drat, så har man med detsamma qvadrerat eqvationen — V(522-7x+21=2x+1...............(b) och det är då klart, att sluteqvationen måste innehålla rötterna till båda dessa eqvationer. Men lika tydligt är äfven, att den ej kan ega några andra rötter. AFD. I. om PRÖFNINGEN vid ROTEQVATIONER. 243 Nu ser man omedelbart, att eqv. (a) innebär en orim- lighet, så framt icke uttrycket på höger sida är > 0 och således > 1∕2 Eqv. (b) åter fordrar med nödvändighet a < — 12. Har således sluteqvationen en rot >— 1/2, så måste denna äfven vara rot till vår ursprungliga eqvation. En rot < — 1/2 åter tillhör eqv. (b). I närvarande fall blifva rötterna 1/2 (11 ± V41). Båda dessa rötter äro > — 1/2, båda tillhöra derför eqv. (a), hvaremot eqv. (b) är orimlig. Andra exemplet. V(2 a + 3) - V(4 - 3 2) = V(1 - a). Om man vill qvadrera denna eqvation, sådan den står, nödgas man särskildt undersöka vilkoret, för att en rot till den qvadrerade eqvationen också skall kunna tillhöra den ursprungliga eqvationen. Genom en enkel öfverflytt- ning blir denna undersökning öfverflödig. Vi skrifva näm- ligen V(2x + 3) = V(1 - x) + V(4 -3 %) .... (a). Upphöjes här å ömse sidor om likhetstecknet i qva- drat, så hafva vi visserligen äfven qvadrerat eqv. - V (2 a + 3) = V(1-x) + V(4-3a), men denna eqvation är tydligen redan genom sin form orimlig och kan således icke hafva några rötter. Man är således här säker, att den genom qvadreringen uppkom- mande eqv. 3^-1 = V(1-).V(4-3x)................(b) 244 AFD. i. om PRÖFNINGEN VID ROTEQVATIONER. ej kan hafva några andra rotvärden än sådana, som till- höra eqv. (a). Hvad nu ofvanstående eqvation (b) beträf- far, så inses lätt, att om den är satisfierad af något reelt x-värde, man måste hafva uttrycket på venster sida äfven som båda uttrycken under rotmärke samtidigt > 0 eller också alla tre samtidigt <0. För att afgöra, huruvida ett funnet x-värde verkligen tillhör denna eqvation, är det då nog att tillse, om det gör eqvationens venstra sida äfvensom ett af uttrycken under rotmärke samtidigt D 0 eller samtidigt <(0*). I närvarande fall kunna dessa båda alternativa vilkor skrifvas 1/3 T> 1, af hvilka det senare såsom varande orimligt ej behöfver tagas i betraktande. Rötterna blifva efter ny qvadrering af eqv. (b) - 1 ± V73 12 ' En blick på dessa rötter öfvertygar oss om, att den „ -1+V78 öfre eller 12 uppfyller ofvanstående vilkor och sålunda är rot till eqv. (b) samt dermed äfven till vår- ursprungliga eqvation. Det nedre rotvärdet tillhör uppen- bart eqv. 3. - 1 = — V(1 - x) V(4 — 3 a). Man jemföre härmed det besvär, som förorsakas af en exakt pröfning i form af insättning af rotvärdena i den ursprungliga eqvationen, eqvationens derpå följande förlängning med en af termerna och slutligen reduktion af de båda öfriga. *) Uttrycket under det andra rotmärket, måste nämligen då samtidigt bli > 0 eller <. 0, eljest kunde icke . vara reelt. AFD. I. om PRÖFNINGEN VID ROTEQVATIONER. 245 Någon pröfning af imaginära rötter kan af kända och lätt insedda skäl ej ifrågakomma. Qvadratrötterna ur ett imaginärt uttryck kunna väl bringas till formen ± (a + bV-1), men om dessa kan omöjligt utan nya definitioner afgöras, hvilkendera skall anses positiv och hvilken negativ. Man skall nu måhända anmärka, att de här framställda exemplen äro af alltför enkel natur, för att man af dem skulle kunna sluta till metodens allmänna tillämplighet, och det måste medgifvas, att i exempelsamlingar ofta påträffas eqvationer, der det blir svårare än här eller till och med omöjligt att på förhand åtskilja rötterna. Men ser man närmare på sådana eqvationer, så torde man finna, att de alldeles icke utgöra några allmänna, för alla möj- liga koefficientvärden lösbara eqvationsformer, utan tvärtom kunna lösas endast på grund af vissa på förhand gifna relationer mellan de ingående koefficienterna. Så kan i det förra af våra exempel på höger sida tilläggas termen — 7 5 men ger man denna term en annan koefficient, så blir eqvationen olöslig. Lika litet kan ett af rotmär- kena i det senare exemplet i allmänhet utbytas mot ett uttryck utan rotmärke innehållande x. Men det behöfver knappast påpekas, huru ringa utsigt man har, att i det verkliga lifvet påträffa ett problem af så speciel beskaffenhet, och hvad läroböckernas svårare exempel beträffar, så kunna de ofta lösas medels artificier, som göra pröfningen öfverflödig, eller hafva de rationella rötter, då den i alla händelser blir lätt. 246 AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(xeQx). AFDELNING IL Om utvecklingen af u ==f(œe?“) efter stigande digniteter af x. Af C. J. Malmsten. Den bekanta Maclaurinska formeln gifver omedelbart u=f(0)+a x+aqx2+ • • • + amam + etc. , . . . (1) der värdet på 1 fdmu∖ (m+1) \dlzc“/==0...................(2) återstår att finna. Emedan u är en »funktion af funktion» nemligen u=f(y) för y=xeQ=, finnes utan svårighet (de) = bif(0) + ⅛√"(0)+...+ b„f(m)(0) (0 2/,=0- J p=m = Sö-/0(0), p=1 der b, äro koefficienter oberoende af funktions formen f, hvilka således, om man kan finna dem för en funktions- form, äfven äro desamma för hvilken annan som helst. AFD II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(x eQ=). 247 Låtom oss då söka koefficienterna Öp för funktions- formen Ky)=y", d. v. s. för u=xP.cPQ=. Utan svårighet finnes p=m \dam),0 = D mp po)n-P. p+1), P=1 hvilket jemfördt med (3) -— emedan för f(y)=yP äfven f(P(0)= K(p+1) — gifver p=m p=m Si,-+1-S mp-(vo)"-P. (p+1), p=1 p=1 och således bp = mp (po)"-P, samt på grund af (2) och (3) p=m Cm = === ■ (7-m) = — o mp (pom-P • /(p) (0). (m+1) w /a=0 l(m + 1) =1 Vi hafva således funnit f(xe°=) =f(0)+41x +aqx2 +... +amam+ etc. , . . (4) der p= M am =1mp (pq)m-.fp)(0)..................(5). K(m + 1) ,= I afseende på konvergensen af serien (4), hvarom nedanstående undersökning icke torde sakna allt intresse, gå vi nu att bevisa följande 248 AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(xeQz). Theorem. Låtom oss med Mo beteckna den största af modulerna till J(0), J"(0)...J(m)(0);...........(6) serien f(xe@=)=f(0)+aq +az 2+ ... +ama + etc.,. . (7) der p=m a. = = 1• Smp(poy-p. f(p(0),... (8) " K(m+1) är alltid konvergerande för hvarje ändligt värde på x, så ofta d. v. s., med andra ord, för hvarje sådan funktionsform f, att 1 lim (Mo)m har ett ändligt värde. Bevis. Kalla mod .0 =r, mod. am = Am och mod .x = #; serien (?) är, såsom bekant är, konvergerande för alla värden på x, hvilkas modul ? < —1—,................- (10) lim (Am) m På grund af den betydelse vi gifvit åt Mo, r. A, följer omedelbart ur (8) att AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(x eQ=). 249 * p=m - , Mo.rm mod. Cm = Am < -mp . r-P .pm-P, (m+1) och ännu mer, om vi med R beteckna det värde på p som gör 2m-P till ett maximum, 1p=m , Mo.rm. Rm-R Q 4m < = • °mp.r-P, (m+1) A d. v. s., emedan p=m r—P <(1+- p=1 äfven , Mo(1+r)m. Rm 4m < ■= , l(m + 1) och a fortiori, om L är ett tal som är > R, Mo (1 +r)m. Lm /11, lO + 1) Låtom oss nu för ett ögonblick betrakta 2"-P = φ (p) såsom en i afseende på p kontinuerlig funktion; genom dess differentiering erhålles 9’ (p) = pm-P-1 . (m-p (1+log p)). Om vi här sätta am , 2 log m 5 erhålles, efter några lätta reduktioner, 250 AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(x eQz). y (m)--o-(e-ntue-1q(0272) der Q är en faktor, som aldrig kan bli negatif. Häraf synes att, lör C> 1, (p --alltid är negatif. •--------------------(log m/ 9 ,--------------------.-2m. och således 9(p) med säkerket negatif för P 2 log m’ hvaraf följer att, från och med „-.2m,---------------(12) - log m’ 9p (p) = pm-p går i oupphörligt aftagande för växande vär- den på p. Skall nu R vara det värde på p, som gör pm-P till ett maximum, så måste 2m log m — R.... .. (13) Vi äro hvarigenom således berättigade att i (11) sätta - 2 m - log m’ vi erhålla 2m (1+r)m. Mo / m \m Am < —--------------0 • 1----| , (m + 1) (log W hvadan (4„ <2(1+r). ____m____(Mo)m (-— V log m2 U(m +1)/m AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u==f(oeQa). 251 d. v. s., emedan *) 072 1 lim • = - - e, ( (m + 1))" också lim(Am)m <2(1+r) e.lim 1 (Mo)m log m På grund af (10) hafva vi således bevisat, att serien (7) är konvergerande för alla värden på x, hvilkas modul 52(1+r)e och således, om . log m lim -1 , (Mo)m . log 272 hm -1 = oo (Mo)m eller, hvilket är detsamma, om lim 1 (Mo)m log m = 0, konvergerande för alla ändliga värden på x. H. S. B. *) Antag mm -— == Um. (m+1) Emedan i allmänhet, såsom bekant är, lim (Um)m ==lim Um+1 Um måste således 270 lim---------1 = lim ( (m+1) )m (m + 1)m+1 (m + 2) (m+1) mm = lim . (m+1)m mm — lim 1’m — ) =e. 252 AFD. II. OM UTVECKLINGEN ÀF u=f(e0x). För att göra åtminstone en tillämpning af formerna (7) och (8), antaga vi /0) = e, hvadan Om vi då sätta x i stället för e=, erhålles för 0≤^≤∞ ? x= = 1+ a1 log + az(log 2)2 1.2 am (log xc)m + . . . + -+ etc. 1.2...1 1 der p=m am = S 9p(vo)n-P. p=1 Exemp. 1: För 0 = 1 erhålles (14) 1 % = 1 + — log x a.(log.)2 am(log xc)m 1 1.2 1...m (0 < a < 0) p~m am = S ?9 .pm~P. p=1 , (15) Exemp. 2: för Q = —1, erhålles J _ 1 Cyloga, C2 (log a)2 47 1 m Cm(logx)"it 4 1 1.2—* - 1.2... m etc: (0 < < 00) p=m = S (-1)2. mp . pm~P p==1 - (16) AFD. II. OM UTVECKLINGEN AF u=f(æeQ=). 253 Exemp. 3: Antag c ce a 1 C = ß; hvadan a = på. Formeln (16) gifver då omedelbart β-ι-⅛+⅛M^.,. + (-l^ 1 1.2 7 1.2...m - 7 (0 < $ < 0) Formlerna (15), (16) och (17) gifva de inversa solutio- nerna till dem, hvilka innehållas i de bekanta Eisenstein- ska formlerna (se Crelles Journal To:. 28 pag. 50 och 51), hvilka sedermera Woepke behandlat i Crelles Journ. Tom. 42 pag. 83 och sednast Seidel gjort till föremål for en förtjenstfull undersökning i Abh. d. K. Bayr. Akad. d. Wiss. II Cl. XI B. I Abth. (1870). Ett problem i Probabilitetskalkylen. Af C. J. Malmsten. Det är egentligen för den gjorda tillämpningens skull, som vi här för ett ögonblick vilja sysselsätta oss med följande ' Problem. Att finna sannolikheten, att den ene af tvenne lika skickliga spelare skall erhålla m spel af n. 1. Kalla denna sannolikhet In (m) ; 254 AFD. ∏. ett PROBLEM I PROBABILITETSKALKYLEN, och låtom oss söka förhållandet mellan 9n (m + 1) och 9n(m). 2. Låt an (m) betyda antalet kombinationer m och m utaf n elementer, eller, hvilket är detsamma, antalet sar- skilda m—lediga produkter af n quantiteter. Emedan sannolikheterna förhålla sig som antalet af de respektive gynsamma fallen (d. v. s. här, som antalet motsvarande kombinationer), är tydligt att 9w(m + 1) L an (m + 1) 9n (m) - an (m) ........... 3. Nu är klart att, om jag kombinerar hvar och en af de an(m) kombinationerna med hvart och ett af de återstående n—m elementerna, erhålles (n — m) . an (rn).....(m + 1) — lediga kombinationer, der hvar och en kombination förekommer m+1 gånger; hvadan (n—m) Cn (m) = (m+1) an (m+1) ; och således a (m+1) n — m Cn (?) m + 1 hvilket insatt i (1) gifver / . n — m (, (1 + = — . (On . " ' m + 1 " Härur erhålles genom att undan för undan sätta m-1,m-2,m-3,..1,0 i stället för m, och multiplicera resultaterna med hvar- andra samt slutligen förbyta m + 1 i m, AFD II. ETT PROBLEM I PROBABILITETSKALKYLEN. 255 der nm betyder, såsom vanligt, binomial-koëfficienten för termen u"--m. vm i utvecklingen af (u + v)" ; det vill säga n(n — (n — 2) ...(n+1 — 172) 1m = ï .) . ’ — = 4. För att bestämma 9n(0), behöfver man blott ihogkomma, att 9n(0)+9n (1)+99n (2) + 9n(n-1)+5n(n) = 1 , hvadan 9n(0){90+M1+12+..."n-1+Nn} = 9n(0). (1+1)" =2"9n(0) =1 och således, på grund af (3) Koroll. 1. Formeln (4) lärapar sig äfven till att beräkna sannolikheten för, att en af tvenne spelare skall erhålla m af n kort. Koroll. 2. Således är (för m = 0, 1, 2, 3 eller 4) sanno- likheten, att en af två spelare skall erhålla m af de 4 figurerna i någon viss färg (4)m 94 (m) = 16..................(o) Vi skola nu göra ett par tillämpningar af det före- gående på det under namn af Whist kända sälskapsspelet. Emellertid och då detta spel på olika ställen spelas med många, från det ursprunliga Whist-spelet afvikande förän- 256 AFD. II. ETT PROBLEM I PROBABILITETSKALKYLEN. dringar, förutskicka vi det tillkännagifvande, att det ur- sprungliga Whist-spelet, hvilket här är i fråga, utmärker sig, såsom kändt är, för följande 3 egenheter: l:o. Det spelpar, som står på 8, har rättighet att »ropa» sig ut; d. v. s. det »går ut» före spelets början, om det har två honnörer eller flera; 2:o. Finnes honnörer, får man alltid vid spelets slut räkna sig dem fullt tillgodo (man »går ut» på 6 och på 7, om man har 4 honnörer) med undantag af 3:o. då man står på 9, i hvilket fall man icke utan trick kan flytta sig fram den ena point, som återstår för utgången. För att på ett ställe hafva samlade de sannolikhets siffror, som röra Whist-spelet, anteckna vi här följande ur formeln (4) härledda resultat: I. Sannolikheten att få ") 1 (13), 1716 trick = 21=8192=0,20947, » » » 2 » (13) 1287 = U -8192-0,15710, » » . » 3 » (13) 715 =-—— = = 0.08728, 213 8192 » » 4 » -4,2r-AN-0,03491, » » » 5 » (13) = 78 =0,00952, 213 8192 ' ' » » » 6 » -(18)1 13-0,00159, 2’3 8192 » » » 7 » - 0l-sl02-0,00012. *) Icke mer och icke mindre. Exemp. I. A står på 8, och B på 9. a) partiet afgöres före spelets början derigenom att A får 2 honnörer eller deröfver .. 0,3125 partiet afgöres under(A får 2 trick eller deröfver speiet derigenom att IB »1» » .0,2905 .0,5000 b) partiet afgöres icke före spelets början 0,6875. partiet afgöres ej under att spelet derigenom, A får blott 1 trick 0,2095 [ A får i nästa spel 1 trick eller mer... 0,5000 B får i nästa spel 1 trick eller mer. .. 0,5000 S:a 1,0000 S:a 1,0000 S:a 1,0000 » Således : Sannolikheten att A vinner: 1) före spelets början 2) 3) vid vid första spelets slut nästföljande spels = 0,3125 = 0,6875.0,2905 . = 0,1997 slut = 0,6875.0,2095.0,5 = 0,0720 0.5842 Sannolikheten att B vinner: 1) 2) vid vid första spelets slut nästföljande spels — 0,6875.0,5 = 0,3438 slut = 0,6875.0,2095.0,5 = 0,0720 0,4158 1,0000 Anmärkn. Häraf synes att sannolikheten att vinna på 8 är 40 0∕0 större än sannolikheten att vinna på 9, hvilket man äfven sålunda kan kortare uttrycka: Det är 40 % bättre att stå på 8 än på 9. Exemp. 2. A står på 7 och B på 9. a) partiet afgöres i första spelet: l:o. A vinner: a) genom att få 1 eller 2 trick jemte honnörer .. 0,36657 . 0,3125 = 0,11455 8) » » 3 trick eller deröfver............................0,13343 0,24798 2:0. B vinner genom att få 1 trick eller mer................................................ 0,50000 b) partiet afgöres icke i första spelet : då är, enl. föreg. Ex. 1, för l:o. Om A får 1 trick utan honnörer (A kommer på 8; B står qvar på 9) ... 0,20947.0,6875 = 0,14401 A sannolikh. att vinna=0,5842 » — 0,4158 —-----------—1,000 B » i då är för - A sannolikh. att vinna =0,5000 B » » = 0,5000______1,000 S:a 1,0000 Således : För A blir sannolikheten att vinna partiet = 0,24798 + 0,14401 . 0,5842 + 0,10801 . 0,5 = 0,38612 »Bi) » » » = 0,50000 + 0,14401 . 0,4158 + 0,108 01 . 0,5 = 0,61388 S:a 1,0000 Anmärkn. Häraf synes att sannolikheten att vinna på 9 är nära 60% större än sannolikheten att vinna på 7; hvilket man äfven kan sålunda kortare uttrycka: Det är nära 60%/ bättre att stå på 9 än på 7. AFD. II. ETT PROBLEM I PROBABILITETSKALKYLEN. 257 Härur fås genom summering II. Sannolikheten att få 1 trick eller deröfver = 0,50000, » » 2 » 3 »4 » 6 » 7 » » » » » » » » » » » » = 0,29053, » = 0,13343, » = 0,04615, » = 0,01123, » = 0,00171, » = 0,00012. » » » » Vidare erhålles ur formeln (5): III. Sannolikheten att erhålla 4 2 honnörer = —= 0,2500, - 16 » » 4 1 » =—=0,0625. 16 2 Sannolikheten att erhålla 2 honnörer eller deröfver = 5 == 0,3125. 16 ‘ Sannolikheten att icke erhålla honnörer = = summan af sannolikheterna att erhålla 2, 1 och ingen figur = — = 0,6875. 1b ' 17 258 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. Försök till en kort, för praktiskt behof lämpad framställning af de elliptiska funktionerna. Af GÖRAN DILLNER. (Forts, fr. föreg. häfte, sid. 193.) Abels additions teorem *). 22. Vi antaga följande beteckningar: n (Co + C 2) = 9 (7) =90 7. . . (59), 00 T T02'7 X ) der Co och C1 utmärka arbiträra parametrar. Vi antaga vidare beteckningen: . F(n) = x — 42.................(60). Eqvationen F(1) = X - 92 = 0(61) är således af tredje graden med afseende på 12, hvaraf följer, då vi med Y12, 122, 132, beteckna hennes rötter: F()=%-gp3=-a,2 (n2-m3) (2-n22) (n2-ro) . . . (62). *) Af de flere metoder, som användas för beviset af de ellip- tiska funktionernas additions teorem, välja vi helst den af Abel gifna, enär denna i sina hufvudformler innesluter en synnerligen stor rikedom på utvecklingar, tillhörande de elliptiska funktionerna af första slaget, samt dertill i ett sammanhang ger vid handen de formler, som vid dessa funktioner binda de elliptiska integralerna af andra och tredje slaget. Abels additions teorem är dessutom att anse som ett mästerstycke i analytisk bevisningskonst [jfr Legendres utsago, Inled.] samt låter, såsom Abel sjelf visat, generalisera sig att omfatta integrationen af differentialer med koefficienter af hvil- ken algebraisk form som helst. Det här framstälda Abelska teore- met kan derför på samma gång betraktas som det första steget till den höga och omfattande teori, som är känd under namn af de Abelska transcendenterna. De obetydliga modifikationer, jag tillåtit mig af det Abelska framställningssättet, afse förenklingar, som äro lämpade efter den elementära naturen af närvarande uppsatser. Så- som rätt anmärkningsvärdt förtjenar anföras, att läroboksförfattarne i detta ämne med undantag af Broch allmänneligen föredragit andra med afseende både på enkelhet och innehållsrikedom betydligt underlägsna metoder för beviset af de elliptiska funktionernas och integralernas additions teorem. AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 259 Alldenstund (61) satisfieras såväl af eqv. X*—9= 0 som af eqv. X’+ 9 = 0, så följer, enär den senare eqva- tionen öfvergår i den förra genom att ändra tecken för 1, att för de tre rötterna Y1, 12, 13, gäller följande system: % (71)* = Sp (71) X (72) = 9p (12) /1 Ax X (%)’ = 9 (773) . . (63). Vi antaga nu att eqv. (61) sasisfieras som identitet, i det vi låta parametrarne Co och C variera. Qvantiteten n, såsom representerande någon af de tre rötterna 71, 12, 13, måste då äfven variera, hvaraf följer genom differen- tiation af (61): dF(n) = F(n)dn — 2 989 = 0 . . . (64), der F(n) utmärker derivatan af F(n) med afscende på 9 ensam som variabel samt 89 totala differentralen af 9p med afseende på de två parametrarna Co och C som vari- abla. Af (64) fås med stöd af (63): dn289() x(7)8 F° (n)0 Vi sätta, utmärkande med bo och b1 konstanter: 9 (n) = bo + b n2........(66); af (65) fås efter införande af de tre rötterna 11, 12, 13 och genom addition följande resultat: s ____9(y)dy. _ 2 9(7-)89 (7») der a är en konstant qvantitet. Enär rötterna 11, 02, 13, till eqv. (61) måste såsom funktioner af de obestämda parametrarne Co och 01 i allmän- 260 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONFR. het betraktas som enkla och då 1109 är ett ratio- P(a) nelt bråk, der nämnaren [af 6:te graden] är af högre gradtal än täljaren [af 5.te graden], så fås genom upp- delning i partialbråk, under iakttagande att följande formel: ⅜(¾) - de(—n) F"(Y) F°(-n)' 9(a)åq(a) * F(a)= 2 9 (7) 8 9 (7r) F" (nr) ( 1 1 ) 3----+------ (a-7r a+ηr) eller, som är detsamma: T—3 a°(a)8g (a) - 9 % 9 (7)8 9 (7r) F(a) 23 ("r)l ( ∖ a / ) Genom jämförelse mellan (68) och (67) fås: ‘ 9 (7r) dnr a 9(a)8q(a) 2 ( (1-\2)" F(a) r=1 1- (X (r)2 Då i högra sidan af (69) ingenting annat variabelt förekommer än Co och C1 i 9p (a), så framgår, då vi införa x(a)± T 7 1 δ V (a) y = - och således dy = — x (a)- ∙ -2-- • • (70), • 9 (a)4 9(a)2 . " följande resultat [jfr (18) och (5)]: a 9(a)å g (a) _ a 9 (a) dy a 9 (a) a 9 (a)+x (a): 71 F(a) x (a) 1 - y2 2x (a) " gp (a)-x(a)k \ " hvadan integralen till (69) får följande form: % ( 9(7r)dmra 9 (a) 1 9(a)+x(a)t. 7 791 2/ (1-2)7 2 x(a)± 9 (a)-x(a) " =1a) jz (r) der C utmärker integrations konstanten. AFD. II. 0M ELLIPTISKA FUNKTIONER. 261 ia, För det fall att a är en imaginär qvantitet af formen då således y x (ic)à 9p (ia) . (73), fås i stället för (72) följande integrations resultat: s /9(nr)dnr_ _ a 9(ia) Aehix(ia)% + 0. . (74), 2 1e( " x (ia) 88 9 (ia) " 1=1 + a) (x (r) der uttrycket till höger är en reel qvantitet. 23. Om vi antaga x (1) = 0 - "2) (1 - lo2 n”) § = V1-12 A= V1-k2n2 (75), så fås af systemet (63) efter behörig indicering af 'ξ och A: Y («o + «1 ¼2) = ^ Aj 72 («0 + «1 722) = 52 A2 ¾ («o + «1 %2) = 53 A3 . . (76). Af detta system härledas lätteligen följande symetriska formler: 1 _ 1 2(1 52 A2+12 51 A1) = Y1 M3 (m1 53 A + Ta 5i A1) «1 1-k2 n12 n22 1-k2 n12 na2 72 03 (72 53 As + 3 52 A2) 1 72 7 2 2 1-‘72 13 • (77), A2 «1 12 262 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. ce / 7.2 E\ / 7,2 E 7200+1 = A (A + 1 = A2 (A2+ 2 = - A,(A, + 5,) (79). Om vi i (62) införa successivt n=0, =1, n =1, fås de resp. formlerna: 1 0,2 = ("1 "2 a)2(80), R+1 = (51 52 53)(81), (12 4q+1) =(Ai A. A:)• • - (82). Om vi i dessa tre formler använda + tecknet å ömse sidor vid utdragning af qvadratroten [hvartill skal fram- deles skall visa sig], så fås genom jämförelse med (77)—(79) följande symetriska formler såsom resultat af eliminationen af ao och C1 ur systemet (76): _ 1 — 11 52 A2 + 12 51 Ar _ "i 5a A, + Y2 51 A - M3 (1 - k2 012 122) 12(1 - k2 012 122) 1 _ $1+0203 452+00:42 §a+M1"2 4a 5.5a 5,5a 5.52 1 - Ax+k2n2 Ma 5, L A2+l2m1 Ma 52 L Aa+l2m1 "25a A2 As Ap Ag A1 A2 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 263 24. Utom det samband mellan 11, 12, 13, samt deras funktioner 51, 52, 53 och A1, Δ2, A3, hvilket utvisas af de tre formlerna (83)-(85), förefinnes samtidigt ett annat samband mellan samma qvantiteter, uttryckt i diff. eqv. (69) samt dess integral (72) eller (74). Det är dessa två samtidigt förefintliga samband mellan nämnda qvantiteter, som uttrycka additionsteoremet på samma gång hos de elliptiska funktionerna af första slaget som hos de ellipti- ska integralerna af andra och tredje slaget. Anm. Sjelfva kärnpunkten i det Abelska beviset ligger, som vi se, deri, att man drager nytta af de syme- triska egenskaperna hos de tre rötterna till en kubisk eqvation, hvilka, såsom funktioner af de i hennes koëffi- cienter ingående variabla parametrarne C1 och C., äro sjelfva variabla och kunna såsom sådana underkastas differentiation och integration. Dervid fås frara summan af tre symetriska integraler, uttryckt i känd funktion af Co och C1 [jfr (72) eller (74)], hvilka åter enligt (77) och (78) uttryckas i de tre rötterna 11, 12 73 jämte deras funktioner 51, 52, §3 samt ∆1, Δ2, Δ3. Den storartade innehållsrikheten af det Abelska teoremet blifva vi i tillfälle att se vid de tillämpningar vi. nu gå att göra. Tillämpning af det Abelska teoremet på de elliptiska funktionerna af första slaget. 25. Om vi i differential eqv. (69) sätta 9(7)=1 samt 0=0, så blir högra sidan 0 samt den venstra af formen: ⅛ + ⅛ VI -ηf V1 - k2 012 VI - ¾2 VI - 12 122 + dn V1 - Na” V1 - k2 "732 = 0. . . (86). 3 264 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. Då vi iakttaga, att enligt (83) 01, 12, 13 kunna sam- tidigt vara 0, antar integralen till differential eqv. (86) följande form: dn V1 - 2V1 - k2 n2 V-V -, A 0’7 Vi - V1-%2 2 der integrations konstanten är 0, enär enligt(30) hvar och en af dessa tre integraler är 0 för sin nedre gräns. Om de tre integralerna utmärkas i ordning med % , N2, %3, så kan integrations resultatet (87) skrifvas sålunda: M1 + 02 + ua = 0.....................(88), då vi enligt den i n:o 11 gifna betydelsen af Sin am ha: 01 = Sin am %1, 02 = Sin am N2, 73 = Sin am ua = - Sin am (U1 + 12) . . (89). Enligt (75) fås vidare: 51 = Cos am 1, 52 = Cos am u2, §3 = Cos am Ng = Cos am (⅜1 + 12) . . . (90), samt A1 = Aam %1,A2=A am u2, Ag = A am u3=Aam(4+W2) (91). Genom att införa dessa i (89)-(91) gifna betecknin- gar i (83)-(85) fås de formler, som uttrycka additions- teoremet för de elliptiska funktionerna af första slaget. Af dessa formler uttaga vi såsom vanligast förekommande följande tre, hvilka fås genom att taga till hopa första och andra ledet i (83) samt första och sista ledet i (84) och (85): AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 265 Sin am (N1 + %2) = _ Sin am y Cos am u2 4am 02 + Sin am 2 CosamuA amu 1-k2 Sin2 am u Sin2 am u.2 Cos am (N1 + N2) = = Cos am N1 Cos amu2 — Sin am Nj Sin amu2 △ am (11 +N2) (93), Δ am (u1 + w2) = = Aamu Aam ua — k2 Sin am N1 Sin am u.Cos am (u1 + %2) (94). Genom att mellan (93) och (94) i ordning eliminera Δ am (u1 + u2) och Cos am (11 + %2) fås följande två med (92) analoga formler: Cos am (W1 + N2) = _ Cosam u Cos am u2 - Sin am u Sin am uq Aam MAamu2 1-2 Sin2 am 21 Sin2 am w2 (95) Δ am (w1 + W2) = _ AamuAamu2-k2Sin amu Sin amw2Cos amu Cos amu2 1-k2 Sin2 am M1 Sin2 am %2 Anm. Det i n:o 23 antydda skälet, att endast de med + betecknade qvadratrötterna ur (80)—(82) vore att använda vid härledningen af formlerna (83)-(85), visar sig nu, enär formlerna (92)-(94) endast under denna för- utsättning kunna satisfieras för små värden på w1 och W2. 26. För att af qvantiteterna N1 och %2 som gifna konstruera am (%1 + %2) ega vi att förfara sålunda: enligt n:o 9 konstrueras de mot bågvärdena 0 P1=% och 0P2=12 [fig. 20] svarande am %1 = A O Cl P1, am u2 = A O C1P2; derpå afsättas U1 + u2 = bågen O P3, då am (%1 + %2) = A O C Pa är den sökta amplituden. De i formlerna (92)—(95) uttryckta sambanden gälla således de tre ampli- tuderna A O Ci Pi, AO C P2 och A O Ci Pa, detta allt under förutsättning af vilkoret 1 > k > 0. 266 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 27. Om vi sätta am ul-a, am %2 = ß och am (41 +u)=y samt låta a, β, γ vara sidor i en sferisk triangel med de motstående vinklarne A, B, C, så öfvergär, då 1-3 och följaktligen Cos C=V1- k2 Sin2y = △ am(2 +w2), Siny formeln (93) i den kända trigonometriska relationen Cos γ = Cos a Cos 3 — Sin a Sin β Cos C. Om derför am u = a, am Y. = β med den gemensamma modylen k äro gifna, då följaktligen äfven /\ A genom relationen Sin A = k Sin a är gifven, kunna vi alltså af de tre elementen a, β och A konstruera en sferisk triangel, hvars sida γ då utgör am (⅜1+w2). Denna konstruktion är känd under namnet den Lagrangeska. Anm. Om man jämför denna konstruktion med den i det föreg. n:o gifna, så framgår sättet att få de tre sidorna i en sferisk triangel afsatta såsom bågar på en och samma cirkelperiferi för det fall nämligen att 1 > k> 0. Tillämpning af det Abelska teoremet på de elliptiska integralerna af det andra slaget. 28. Om mellan variablerna x, y och φ sättes följande samband x = ky Cos g och y = Sin 9p . . . (96), der ki har den i (21) gifna betydelsen, så äro x=OC och y = CP [fig. 21] rätvinkliga koordinater för en punkt P på en ellips 224 022 1 (97) k,2 12 - hvars halfva större axel således är 1=OB och halfva mindre axel ky = O A. Qvantiteten φ åter är =A40Q, då Q utmärker den punkt på den omkring ellipsen omskrifna cirkeln DB, hvilken träffas af räta linien PQ dragen//0AD. Om B är träffpunkten mellan 0 Q och ellipsen, så kallas AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. 267 ellipsens båge AR=v, betraktad som funktion af 9p[= bå- gen DQ], för ellipiisk integral af andra slaget och tecknas v = E(9) eller v = eps(g) . . . (98), der 9 i likhet med förut kallas amplitud. Det analytiska uttrycket för detta samband mellan v och φ är, som man af (96) lätt finner: v =A gdq........................(99), ‘o der såsom vanligt Ag = V1-k-Sin2, samt k2 + k 2 = 1 [jfr n:is 8 och 9]. I enlighet med n:o 9 ha vi äfven här 0 = E(0), -V = E(- gp). Den elliptiska qvadranten A B tecknas Ej, då således E = E(1 n). Anm. Då tydligheten så fordrar, utmärkes äfven för funktionen B madylen k sålunda: v = E(9,k) = Ex(9) [jfr n:o 9, anm.]. 29. Om vi enligt (24) införa 9=am u, då följaktligen enligt (29) de = Aam udu, så fås af (99): es v = Δ2 am u du . . . . (100), 0 såsom uttryckande sambandet mellan en elliptisk integral af första och andra slaget. Genom att kombinera de i n:o 9 och n:o 24 gifna konstruktionerna kunna vi af ett gifvet värde på u finna 9 samt deraf v, och tvärtom. 30. Genom att i differential eqv. (69) införa 9 (7-) = 1-k2 n-2 samt enligt (75) x(nr) = (1-7,2)(1- k2 7,2) fås för G=co : r=3________ “ V1-k2n,2dn- 22124(1 — V1-n,2 (101), 1 . hvars integral, enär enl. n:o 23 — = 1 02 a, får följande form : C1 268 AFD. II. OM ELLIPTISKA FUNKTIONER. r=3 ______ %,'V (V1-k2 1,2 dry 7 / - 72 me 7203 + C.. (102), = V1-T,2 der C utmärker integrations konstanten. Om vi sätta 91 ≈ am %1, 92 = am 2. 93= am (M1+W2), så fås enligt (89) 71 = Sin 91, 72 = Sin 92, 13 = — Sin 993- hvaraf framgår enligt (102), då vi iakttaga att 91 = 92 = 0 gör 93 = 0 och följaktligen C=O: di 42 Ps Aqdyp+ /Agdgp-Agpdsp = 0 0 0 = k2 Sin 91 Sin 92 Sin 3(103), hvilken formel uttrycker additionsteormet hos de elliptiska integralerna af andra slaget. Anm. För 93 = 1 7 öfvergår (103) i följande formel: 1 +, Agdqp+ Agpdp-E = 72 Sin 991 Sin %P2 0 0 hvars geometriska tolkning utgör Fagnanis berömda teorem. Slutanmärkning. Det återstår nu att göra tillämpnin- gar af de elliptiska integralerna af andra slaget på hyper- beln m. m. samt att derpå öfvergå till de elliptiska, inte- gralerna af tredje slaget med tillämpningar. Dessa sist- nämda integralers additions teorem är uttryckt i formlerna (72) och (74). Vidare har jag haft för afsigt att behandla ©-funktionerna enligt den i n:o 19 anm. gjorda antydan samt slutligen att visa sättet för numerisk beräkning och tabellers användande. Men då Tidskriften med detta häfte upphör, så får jag med det nu anförda afsluta min afhand- ling, uttalande dervid den förhoppning, att hon, ehuru i stympadt skick, dock må vara af någon nytta för en och annan af Tidskriftens läsare. AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. 269 AFDELNING III. Meteorologiska notiser, meddelade af R. Rubenson. Om vattengasens förminskning med tilltagande höjd i atmosferen. Professor Hann i Wien har i »Zeitschrift der oester- reichischen Gesellschaft für Meteorologie» gifvit ett nytt uppslag åt denna i meteorologiskt hänseende vigtiga fråga. Vi skola här i korthet meddela det väsentligaste inne- hållet af Hanns uppsats. Som bekant aftager lufttrycket, ju mer man höjer sig från jordytan. Det är lätt att härleda lagen för denna lufttryckets förminskning, emedan den uteslutande är be- roende af luftens egen tyngd. Tänker man sig nemligen en luftkolonn, belägen på höjden h öfver jordytan, hvars bottenarea är lika med enhetsytan och hvars höjd dh är oändligt liten, så är trycket uppåt på dess nedre yta så mycket större än trycket nedåt på dess öfre yta, som vig- ten af den luftmassa, som i den oändligt lilla kolonnen innehålles. Kallas denna tryckskillnad dp, så erhålles följaktligen : dp = - Q g dh...............(]), der Q betyder luftens täthet vid höjden h, och g är tyngd- kraftens acceleration på samma ställe. Tecknet — utmär- ker att trycket minskas, när höjden tilltager. 270 AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. Men emedan luften följer Mariotte'ska lagen, har man mellan p och Q följande enkla relation p =ko .......................(2), hvilken genom division uti (1) gifver dp g dh dh 791 P = - I 00 om man för korthetens skull sätter C = . 9 Antager man C vara konstant *) och verkställer inte- grationen mellan de motsvarande nedre gränserna h = 0 och p = Po i det man lemnar öfre gränserna obestämda, erhåller man h (4) C p C *) I verkligheten är C ingalunda konstant, ty dels är k en funk- tion af temperaturen (luften följer nemligen icke blott Mariotte’ska utan äfven Gay-Lussac'ska lagen), dels är g beroende såväl af ortens latitud, som af höjden öfver jordytan. Emedan man icke med säker- het känner lagen för temperaturens aftagande med höjden, plägar man antaga temperaturen vara konstant och till storlek lika med mediet mellan temperaturen vid jordytan och vid luftkolonnens öfre gräns. Af de omständigheter, som göra att C antager olika värden, är det således blott en, som kan inverka på formen af equationen (4), nemligen tyngdkraftens förändring med höjden. Men denna kan i de flesta fall saklöst negligeras i följd af atmosferens ringa höjd i förhållande till jordradien. De båda öfriga omständigheterna kunna tagas i beräkning efter integrationen genom att gifva C i formeln (4) olika värden. För den undersökning, som här är i fråga, kunna vi dock utan olägenhet betrakta C såsom konstant och haf- vande det värde, som svarar mot temperaturen 0° och tyngdkraftens storlek vid 45° latitud. AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. 271 För att bestämma C erinra vi oss eqvationen (2), af hvilken följer, att värdet på k kan uträknas, om man kän- ner tätheten hos luften vid någon bestämd temperatur och något bestämdt tryck på enhetsytan. Kallas dessa sam- manhörande värden P1 och Ç1, så erhållas Luftens tryck på enhetsytan uppmätes, som bekant, genom vigten af den qvicksilfverkolonn, som på samma yta håller jemvigt med detta tryck. Kallas höjden af denna qvicksilfverkolonn b, så är Pr =JD, om D är vigten af enhetsvolymen qvicksilfver. Å andra sidan är luftens täthet S 01 = - 9 om s är vigten af enhetsvolymen luft. Häraf erhålles kp bD (5) 9 901 S Antaga vi till enhet för volymen 1 kubikmeter och förutsätta luftens täthet Q1 vara den, som eger rum vid 0° temperatui’ och 0,76 meter barometerstånd på en ort vid 450 latitud, så äro qvantiteterna b, D och s kända. Reg- nault har nemligen genom experimenter funnit, att 1 kubik- meter torr luft under nyssnämde förhållanden väger s = 1,293186 kilogramm. Vidare är enligt antagandet b = 0,76 meter, och slut- ligen veta vi att I) eller vigten af en kubikmeter qvick- silfver är 13600 kilogramm, eftersom qvicksilfrets specifika 272 AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. vigt är 13,6 och 1 kubikmeter vatten väger 1000 kilo- gramm. Formeln (5) öfvergår således till följande: D13600kil. C =0,76 - = 0,76". . = 7992,6 . . (6). » ' 1,293186l ' Formeln (6) visar oss för öfrigt den fysikaliska bety- delsen af konstanten C. Tänka vi oss nemligen en luft- kolonn af konstant täthet helt igenom och denna täthet bestämd på sätt nyss nämdes, så skulle C utgöra längden af denna luftkolonn, när den hölle jemvigt med en qvick- silfverpelare af 760"" höjd. Ty enligt lagen för kom- municerade kärl, hvilken gäller för vätskor med konstant täthet, äro höjderna omvändt proportionella mot tätheterna. Det i (6) funna värdet på C gäller för torr luft. Om jorden vore omgifven icke af luft utan af vattengas, så skulle tryckförändringen uppåt lika väl representeras af formeln (4), förutsatt att man gåfve åt C ett annat värde C1. Af formeln (6) synes, att C1 skulle kunna erhållas, om man kände det värde S1 på S, som gäller för vatten- gasen, d. v. s. vigten af enhetsvolumen af detta ämne. Men nu vet man att vattengasens täthet är 0,623 af luftens täthet under samma tryck och temperatur, följaktligen har man C 7992 6 C. = - = - = 12829" • .. (7). 1 0,623 0,623 7 Samma formel (4), i hvilken man insatt det ur (7) erhållna värdet C1, skulle äfven kunna användas för beräk- ning af förhållandet mellan fuktighetens tryck i de högre luftlagren och vid jordytan, om vattengasen i den fria atmosferen vore fördelad så, som den Dalton'ska lagen fordrar. Om nemligen atmosferen tänktes bestå af tvenne AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. 273 särskilda gashöljen, luft och vattengas, hvilkas tryckför- hållanden vore af hvarandra oberoende, så skulle tryckför- fördelningen i vertikal led kunna beräknas för hvar och en af dem genom att gifva C värdet ur (6) eller ur (7), allt efter som det var fråga att finna trycket hos den ena eller andra af atmosferens beståndsdelar. Under denna förutsättning skulle ock vattengasens elasticitet vid jord- ytan uteslutande vara en följd af den vertikala vattengas- kolonnens tyngd, och då ett analogt förhållande naturligtvis gäller om blandningen af luft och vattengas, hvilkas hop- lagda tryck uttryckes genom barometerståndet, så skulle man genom att subtrahera elasticiteten hos vattengasen vid jordytan från barometerståndet erhålla det tryck, som ut- öfvas af den i vertikalkolonnen innehållna torra luften. Detta förfaringssätt, som af Dove infördes i meteoro- logien och som ända in till senare tider varit användt för att beräkna »torra luftens tryck», hvilar ock på det anta- gandet, att luftens och vattengasens tryckförhållanden i den fria atmosferen äro af hvarandra oberoende, såsom förhål- landet visat sig vara i en i ett slutet kärl instängd bland- ning af luft och vattenånga, så snart blandningen kommit i jemvigt. Emellertid hafva på senare tider starka tvifvel uppstått öfver behörigheten af ett sådant antagande med afseende på vattengasens utbredning i atmosferen, och man har ådagalagt såväl på teoretiska grunder som ock genom observationer i naturen, att vattengasens fördelning i en vertikal luftkolonn icke öfverensstämmer med den Dal- ton’ska lagen. Professor Hann har i detta afseende sam- manställt en stor mängd fuktighets-observationer, gjorda dels i bergstrakter dels under ballongfärder. Jemföras nu de värden på — , som erhållas ur formlerna (4) och (7) Po - med de ur direkta observationer härledda, fås i medeltal af alla de använda iakttagelserna för olika höjder öfver hafvet följande tal: 18 274 AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. ⅛ 1 Höjder, uppmätta i 1000 Eng. fot såsom enhet.. 0 4 8 12 16 20 PS beräknadt ... 1,00 0,91 0,83 0,75 0,68 0,62 Po i observeradt . . 1,00 0,64 0,42 0,27 0,18 0,13. Af dessa tal framgår med evidens, att fuktighetstryc- ket aftager mycket hastigare med höjden, än som är för- enligt med antagandet af en oberoende vattengas-atmosfer. På grund af detta resultat, som före Hann blifvit upp- visadt af Strachey och andra genom diskussion af observa- tioner utförda på sluttningarne af de Ost-Indiska bergs- kedjorna, skulle man kunna frestas att antaga det vara omöjligt att ur fuktighetstrycket vid marken härledda tryc- ket i de högre luftlagren, såsom ock flera fysici, bland andra Lamont, ansett. Strängt taget låter ej heller detta verkställa sig för ett bestämdt gifvet tidsmoment. Men detta hindrar icke, att ju medelförhållandena kunna låta, representera sig genom en formel, låt vara att densamma icke har någon egentlig teoretisk betydelse, utan är helt och hållet af empirisk natur. För att undersöka, huru härmed sig förhåller, har Hann i formeln (4) betraktat C såsom obekant och uträknat dess värden för flera olika höjder ur de genom observationerna funna fuktighetstryc- ken p och Po: Han fann då, att C ökas med höjden, men emedan små ändringar i C utöfva ringa inflytande på qvo- ten — försökte han använda medeltalet 2830 af de sär- Po skilda C-värdena för att genom dess insättning i formeln ( 4) approximativt beräkna förhållandet — . Resultatetoch Po dess jemförelse med de ur observationerna direkt erhållna värdena af — äro sammanställda i följande tabell. Po ° AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. 275 Höjder, uppmätta i 1000 Eng. fot såsom enhet............1 4 8 12 16 20 , ( ber. med C= 2830". 90 65 42 27 18 12 Po l observ.................87 64 42 27 18 13. Öfverensstämmelsen är fullkomlig, och följaktligen låter vattenångans tryck vid höjden h med tillräcklig nog- granhet beräkna sig ur formeln h p =Poe 2830 ................(8). Med tillhjelp af formeln (8) beräknar Hann vidare den vattenmängd, som finnes i hela den vertikala luft- kolonnen mellan marken och höjden h och jemför detta värde med det, som skulle erhållas enligt den Dove’ska hypotesen. Denna beräkning verkställes sålunda. Såsom ofvan nämdes, väger 1 kubikmeter torr luft vid 0° och 760m. m∙ tryck 1,293186 . Ar temperaturen £° och trycket p blifver vigten af samma luftvolym 1,293186 l. p 1 + at 760 der a är gasernas dilatationskoëfficient. Följaktligen väger 1 kubikmeter vattengas vid samma tryck och temperatur q = 0,623 1,293186kl. 1 + at p ' 760 eller om siffervärdena hopslås I = 0,00106 1 + at p, 276 AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. hvilket på grund af formeln (8) öfvergår till h 0,00106 —2830 g r . Po e 1+at 0 Vigten af den vattengas, som finnes i en luftkolonn med enhetsytan (1 qvadratmeter) till bas och hvars höjd är dh meter, hvars volym således är dhcub. m∙, har följakt- ligen till uttryck Om denna eqvation integreras från h = 0 till ett be- stämdt värde h, hvarvid t antages vara konstant och betecknar kolonnens medeltemperatur, erhålles vattenga- sens vigt i hela kolonnen mellan marken och höjden h h 0,00106 2— 2830 Q = — — . ‰ . 2830 1 - e % 1 + at L J . (9). Hade man utgått från den Dove’ska hypotesen, skulle man för samma qvantitet erhållit 0 00106 = - Po . 128291—e 1 + at 40 - 12829 . J. . (10). För mycket stora h-värden närmar sig andra termen till noll i begge formlerna (9) och (10), hvaraf man kan draga den slutsats, att, i fall man medtager vattengas- mängden i hela luftkolonnen ända till atmosferens öfre gräns blir AFD. III. METEOROLOGISKA NOTISER. 277 eller den verkliga vattengasmängden i hela luftkolonnen endast 0,22 af den som erhålles, om man antager tillvaron af en oberoende vattengas-atmosfer. Formeln (9) kan tjena till lösning af åtskilliga intres- santa frågor. Med dess tillhjelp kan man t. ex. bestämma, huru högt i atmosferen den punkt är belägen, under och öfver hvilken vattengasmängderna äro lika stora. Kallas denna höjd , så fås ur equationen x 0,5 = 1 - e 2830 x = 2830 loge 2 = 1962" = 6608/0. Likaledes får man ur equationen _ 0,9 = 1 - e 2830 a = 2830 loge 10 = 6516" = 21945/02 , vid hvilken höjd således 0,9 af luftens hela vattenhalt befinner sig under orten och endast 0,1 öfver densamma. Häraf förklaras med lätthet den olikhet, som eger rum i afseende på fuktighets- och nederbördsförhållandena inom tvenne områden, som skiljas af en bergskedja, äfven om dennas medelhöjd ej uppgår till mer än ett par tusen fot. Den här framställda lagen för fuktighetens aftagande med höjden gäller endast för medelförhållandena. Man får derföre icke vänta, att den i hvarje enskildt fall skall öfverensstämma med verkligheten, lika så litet som man är berättigad att antaga, att temperaturen vid hvarje till- fälle aftager med höjden efter den i medeltal temligen riktiga proportionalitetslagen. 278 AFD. IV. SATSER. AFDELNING IV. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Höst- Terminen 1873. För Latinlinien. 1. Att i en gifven liksidig triangel ABC inskrifva en annnan DEF, så att hans sidor blifva vinkelräta mot den förres. 2. Att i en gifven cirkel inskrifva tre lika stora cirklar, som tangera hvarandra utantill och den gifna cirkeln innantill. 3. Om två cirklar ligga på hvar sin sida om en gemensam tangent, så skall den linie, som sammanbinder medelpunkterna, af den tangerande linien så delas, att delarne förhålla sig till hvarandra som cirklarnes radier. 4. Ett trapezium är inskrifvet i en cirkel och två qf dess motstående sidor äro utdragna tills de råkas. Bevisa, att de trianglar, figuren inne- håller, äro likformiga. 5. Att i en gifven cirkel inskrifva en rektangel, som är lika stor med qvadraten på radien. 6. Att förvandla en gifven qvadrat till romb med gifven sida. 7. Att konstruera en rätvinklig triangel, då man känner hypotenusan och differensen mellan kateterna. 8. Att dela en triangel midt itu genom en rät linie, som går genom en gifven punkt på en af triangelns sidor. 9. En påle står 1∕4 i grunden, 1∕3 i vattnet och 10 fot öfver vattnet. Huru lång är han? 10. Hur många uns koppar skola smältas tillhopa med 96 uns 14- lödigt silfver, för att blandningen må blifva 13-lödig? 11. 216 rdr skola delas mellan fiere personer, men 3 af dem afsäga sig sina andelar. Derigenom erhåller hvar och en af de öJrige 6 rdr mer, än om alla tagit ut sina lotter. Huru många voro de? 12. En ö är 73 mil i omkrets. A och B fara omkring henne samma- väg och utgå från samma ställe och på samma gång. A reser 5 och B 8 mil om dagen. När träffas de? 13. Tre köpmän, A, B, C, sammanskjuta en summa till ett gemensamt foretag; B lämnar 200 rdr mer än 2/3 af A:s tillskott, C 350 rdr mer än 3/4 af B:s. De erhålla en vinst, som är 1∕j af hela kapitalet, och C:s an- AFD. IV. SATSER. 279 del deraf är 1,350 rdr. Huru mycket hade hvar och en tillskjutit, och huru stor var hela vinsten? 14. Att finna den största rektang-l, som kan inskrifvas i den liksidiga ■triangel, hυilkens sida är a. För Reallinien. 15. Att upprita en cirkel, som tangerar radierna och bågen i en gifven -cirkelsektor. 16. Att förvandla en gifven qvadrat till rektangel med gifven diameter. 17. En qvadrat är gifven. Konstruera en rektangel, hvilkens ena sida är dubbelt så stor som den andra, och hvilkens yta är lika stor med qva- dratens. 18. I en triangel känner man en höjd, en mot denna höjd stående vin- .kel och den punkt, der höjderna skära hvarandra. Konstruera triangeln. 19. En qvadrat är gifven. Konstruera den cirkel, hvilkens periferi af qvadratens sidor afskär kordor, hvilka äro sidor i en regulier åttahörning. 20. Att genom en gifven qvadrats hörn lägga linier, som bilda en qva- -drat med sidor af gifven längd. 21. Att konstruera en rätvinklig triangel, då man känner en katet och differensen mellan hypotenusan och den andra kateten. 22. Att i en gifven cirkel inskrifva en rektangel, hvars sidor stå till hvarandra i ett gifvet förhållande. 23. Finnes det två tal, hvilkas summa, produkt och skilnaden mellan deras qvadrater äro lika stora? 24. Summan af 4 tal, som bilda en aritmetisk serie, är 36, och sum- man af deras qvadrater 404. Hvilka äro talen? 25. En man har i 20 års tid och vid början af hvarje år inbetalt 42 rdr till en pensionskassa, och derefter har hans enka i 9 års tid och vid slutet af hvarje år utbekommit en pension af 250 rdr. Har kassan .härigenom vunnit eller förlorat? liänta beräknas efter 4 0∕0. 26. Hur stor är arean af en regelbunden 9-hörning, hvars sida är 7,4 tum? 27. Uppskrif den equation af andra graden, i hvilken rötternas skilnad = 6 och den ena roten är qvadraten af den andra. 28. Om en liksidig triangel, hvilkens sida = 1 fot, genererar en kon genom sin rotation omkring en höjdlinie, huru stort blir då kubikinnehållet af denna kon samt af den i könen inskrifna sferen? 29. Tvänne lika tunga vigter, hvardera af 4 skålp., äro fästade vid ■hvar sin ända af ett snöre, som löper öfver tre trissar A, B och C. Be tre trissorna äro belägna i samma vertikalplan och fästade i hvar sitt hörn af en liksidig triangel, hvarυid A och C ligga på en under B gående hori- s ont el linea. Beräkna trycket på hvar och en af dessa trissor. . 280 AFD. IV. SATSER. 30. En viss fast kropp väger i liften 7,55 skålp., i vatten 5,17 skålp. och i en viss vätska 6,35 skålp. Bestäm den fasta kroppens och vätskans specifika vigter. 31. Af tvänne till samma vattenledning hörande rör är det ena belä- get 36 fot högre än det andra. Om vattnet ur det lägre belägna röret ut- strömmar med dubbelt större hastighet, än ur det högre, frågas, huru stora de båda tryckhöjderna äro. Några hinder för vattnets rörelse antages icke, förefinnas. 32. Kolfven till, en luftbössa rymmer 40 kubiktum och innehåller luft af 7 atmosferers tryck. Skulle den luft, som vid första skottet utströmmar, intaga 72 kubiktum vid det yttre trycket af 26 tum, huru stort blefve då trycket hos den i kolfven qvarvarande luften? atmosferstryck == 25,6 tum. 33. Beräkna volumen vid Of hos det glaskärl, som vid 45,0 Jylles af 1 skålp. qvicksilfver. Qvicksilfrets egentliga vigt vid Of är 13,6; vattnets vigt pr kubikfot 61,5 skålp. och utvidgning skoefficienterna för qvicksilfver och glas äro /3850 och 1/38700: . 34, I hvilka delar bör man dela 7 skålp. 14 ort vatten om 210 C., for att den ena delen vid sin afkylning och förvandling till nollgradig is må afgifva lika stor värmemängd, som den andra delen erfordrar för sm upp- hettning och förvaltning till ånga vid 1000 C. under vanligt lufttryck? Isens smältning sv är me och ångans bundna värme äro 79 och 535. 35. Hos en terresterkikare är objektivglasets brännvidd 10 tum, oku- larets 1/3 tum. Mellan dessa båda linser befinner sig en tredje af 2 tums brännvidd, hvilken lins hvarken förstorar eller förminskar den genom objek- tivet uppkomna bilden, utan endast omvänder den samma. Beräkna kikarens längd, och huru mycket haκ förstorar, vid inriktning pä ett mycket aflägset föremål. 36. Strömstyrkorna hos tvänne galvaniska staplar, bestående den ena af tvä, den andra af tre elementer, alla af lika beskaffenhet, förhöllo sig till hvarandra som 6 till 7. Bestäm här af förhållandet mellan ledning smotstån- den hos den yttre ledningen och hos hvarje särskildt element, då vi antaga, att det yttre ledningsmotståndet var lika stort inom de båda staplarne och att elementen voro inom hvardera stapeln ordnade efter hvarandra. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen Vår-Terminen 1875. För Latinlinien. 1. Bevisa, att trianglarne A, B, C, och a b c äro lika stora, om AB är lika med ab, Bb lika med bc, och vinklarne B och b äro tillsammantagne lika med tvänne räta. AFD. IV. SATSER. 281 2. Delà en gifυen cirkel i två segment, så att vinkeln i det ena seg- mentet blir 5 gånger så stor, som vinkeln i det andra. 3. Bevisa, att, om två cirklar tangera hvarandra, och en rät linie drages genom tangeringspunkten, så att hon skär cirklarne, den ena cirkelns segment äro likformige med den andre cirkelns. 4. Bevisa, att de räta linier, som sammanbinda vinkelspetsarne i en regulier femhörning, skära hvarandra i punkter, hvilka utgöra vinkelspetsar i en annan regulier femhörning. 5. Upprita en cirkel, som tangerar en gifven cirkel och tvä räta linier» hvilka sjelfva tangera den gfna cirkeln. . 6. Två parallela räta linier äro gifna. Konstruera en cirkel, som skär dem båda så, att kardorna hafva till hvarandra ett gifvet förhållande. 7. Från två punkter på en halfcirkels periferi äro räta linier dragna till diameterns ändpunkter. Bevisa, att de cirklar, som omskrifvas omkring de då erhållna lilformiga trianglarne, skära hvarandra på diametern. ' 8. Två cirkelsegment stå på samma bas och åt samma sida. Hvilken är den största korda, som kan dragas i det yttre segmentet, så att den tan- gerar det inre. 9. Mellan några fattiga fördelades 60 kronor, så att halfva antalet af dem erhöll 3 kronor, tredjedelen 3 kronor 50 öre, och resten 4 kronor hvardera. Hur många voro de fattige? 10. Hur mycket rent silfver finnes i ett stycke arbetssilfver, ■ som inne- håller 22 ort koppar? Arbetssilfver är 13 1/4 lödigt. 11. Från orterna A och B utlöpa tvänne ångbåtar samma morgon kl. 8. Då de mötas, har båten från A tillryggalagt 2 mil mer, än den andre, och kommer fram till B 4 timmar efter mötet. Båten B deremot hinner först 9 timmar efter mötet fram till A. När och på hvilket afstånd från A möt- tes de? 12. En dam kan fyllas medelst tvänne tillopp på 18 timmar; medelst det ena på 15 timmar kortare tid än medelst det andra. Hur läng tid be- höfver hvardera tilloppet for att ensamt fylla dammen? 13. Ett cirkelsegments korda och höjd äro hvardera 5 decimaltum. Hur stor är segmentets yta? 14. Att angifva equation af andra graden, i hvilken rötternas summa är lika med 88 och deras skillnad lika med 62. 15. Huru många qradratfot innehåller en rektangel, hvars perimeter är 202 fot och hvars större sida öfverskjuter den mindre med 55 fot? 16. En kurir skall tillryggalägga en väglängd af 144 mil. Efter 2 da- gars resa erhåller han genom telegram befallning att hinna fram 1 dag tidigare än först varit bestämdt. Genom att göra de följande dagsresorna 3,6 mil längre än de begge första verkställer han denna befallning. Huru många dagar var han på väg? 282 AFD. IV. SÀTSER. För Reallinien. 17. Upprita en likbent triangel, i hvilken vinkeln mellan de lika stora sidorna är fyra gånger så stor, som hvardera vinkeln vid basen. 18. Dela en gifven triangel midt itu medelst en rät linie, som går ge- nom en gifven punkt på en af sidorna. 19. Sök en så belägen punkt inom en triangel, att de räta linier, som derifrån dragas till vinkelspetsarne, dela triangeln i tre lika stora delar. 20. ABCD är en parallelogram, E och E punkter på en rät linie som är parallel med AB. AE och BF träffas i G, DE och CF i 11. Bevisa att GH är parallel med AD. 21. Upprita en cirkel, så att de tangenter, som från tre gifna punkter dragas till honom, blifva lika stora. 22. En cirkel är gifven. Upprita en qvadrat så beskaffad, att de kordor, som cirkeln afskär af qvadratens sidor, blifva lika stora med en gif- ven rät linie. Bestäm vilkoren för problemets möjlighet. 2. 3. På en rät linie äro afsatta två determinerade stycken, hvilka ligga utom hvarandra. Sök en punkt dem emellan så beskaffad, att rektangeln, som innehålles af afstånden frän densamma till det ena styckets ändpunkter, blir lika stor med rektangeln, som innehålles af afstånden från samma punkt till det andra styckets ändpunkter. 24. En triangel är gifven. Konstruera på triangelns bas och med gifven höjd ett paralleltrapezium, som har en vinkel gemensam med triangeln och hvars yta är lika stor med triangelns. 25. Man vill på 20 dagar ha färdigt ett arbete, som på 30 dagar kan utföras af 20 man, men kan under de 6 första dagarne endast använda 16 man. Huru stor arbetsstyrka bör under den återstående tiden användas? 26. Om man af 18 och 22 karats guld vill åstadkomma 60 ort 21 karats guld, huru mycket skall man då taga af hvardera slaget? 27. En ångbåt går uppför en flod och tillbaka igen på 11 timmar vid det tillfälle, då strömmens hastighet är 1/2 mil i timmen. Vid ett annat till- fälle, dä strömmens hastighet är 3/4 mil i timmen, behöfver ångbåten för samma väg 12 timmar. Hvad är ångbåtens hastighet i lugnt vatten? 28. En person har 100,000 kronor insatta i en ränteanstalt, som ger 4 0∕0. Huru länge kan han derifrån uppbära 6,000 kronor årligen? 29. Hur stor är ytan af ett klot, hvars volym är 50 kubik deci- maltum ? 30. Ett cirkelsegments bas är 2fot, och den vinkel som tangenterna i bågens ändpunkter bilda med hvarandra är 45° 40' 10". Huru stor är cirkelns radie? 31. Tvänne bröder, tillfrågade om deras ålder, svarade: för 28 år sedan var den äldre dubbelt så gammal som den yngre, och för 36 år sedan var den äldres ålder qvadraten af den yngres. Huru gamla voro de? AFD. IV. SATSER. 283 32. Ett skrofiigt plan lutar 600 mot horizonten. Sök storleken och rigtningen has den minsta möjliga kraft, som kan hindra en kropp af 80 . 1 . skalp, att glida utför planet. Friktionskoefficienten är 33. En viss mängd torr vätgas intager vid 15°0 och 20 tums tryck en volym af 3 kubiktum. Frågas, 1:o) huru mycket gasmassan väger, och 2:o) huru stort hennes tryck blir vid 250°, ifall hon då finge intaga en rymd af 5 kubikfot. En kubikfot torr luft vid 0° och 25.6 tums tryck väger 8 ort, vätgasens specifika vigt i förhållande till luft är 0,069, och gasens utvidgnings- koëfficient 0,00367. 34. En iform af en halfcirkel böjd koppartråd har sina ändpunkter för- ■ enade medelst en längs diametern rigtad stång, hvars ena del utgöres af zink, den andra af platina. Beräkna det erforderliga förhållandet mellan läng- derna hos zinken och platinan, för att koppartråden må, vid hvilken tempera- tur som helst hos systemet, bibehålla sin halfcirkelrunda form. Utvidgnings- ■koefficienterna för zink, koppar och platina äro respektive 0,000029, 0,000017 och 0,000009. 35. En positiv lins, hvars diameter är 4 tum och brännvidd V10.5 tum, har sin optiska axel vinkelrät mot, samt sin brännpunkt belägen ι ytan till en i ett dricksglas befintlig vätskmassa, hvars höjd öfver glasets botten är 24 tum. Linsen träffas af strålar, hvilka såväl sins emlléan som med axeln äro parallela. Bestäm radien hos den cirkelrunda yta, som på kärlets botten härvid upplyses, då brytning sförhållandet mellan luften och vätskan antages vara 4/3- 36. Tvänne horizontelt stälda och med sina midtpunkter öfver hvaran- dra vid samma vertikala stång fastade magneter hafva sina längdriktningar belägna i hvar sitt of två mot hvarandra vinkelräta vertikalplaner. Får systemet under jordmagnetismens inverkan fritt röra sig, och vid jemvigt den ena magneten gör 181 grads vinkel med den magnetiska meridianen; huru förhåller sig då, i cfseende på styrkan, den ena magneten till den andra? 37. När 1/o-del af en viss sträng svänger ger han tonen ë, om ä .motsvarar 440 dubbla svängningar i sekunden; hvilken ton ger då samma sträng, när han svänger hel och hållen? 38. Beräkna vigten af det qvicksilfver, som vid 26° C. rymmes i ett ,koniskt kärl med 0,87 meters höjd och 0,23 meter till bottenradie. Qυicksilf- rets specifika vigt vid 0° C är 13,596 och dess dilatations koefficient 0,00018. 284 AFD. IV. LITTERATUR. Litteratur. Bland den utländska lärobokslitteraturen, hvilken nyligen utkom- mit, torde företrädesvis förtjena nämnas: Cours d'Analyse. Par Ch. Hermite. 1 Partie. Paris 1873. An elementary Treatise on Quaternions. By P. G. Tait. 2 ed. Ox- ford 1873. Introduktion to Quaternions with numerous exemples. By P. Kelland and P. G. Tait. London 1873. För den, som nu eller framdeles kan finna något intresse att taga kännedom om de skrifter, hvilka utkommo rörande det s. k. »Lundamålet», lemnas å dessa efter tidsföljd följande förteckning. i:o. Handlingar rörande återbesättandet af en professur i matematik vid universitetet i Lund. Utgifna af C. F. E. Björling Första häftet, Stockholm 1872. Andra häftet, Halmstad 1872. 2:0. Svar på några punkter i »Handlingar rörande återbesättandet af en professur i matematik vid universitetet i Lund». Af Göran Dillner. Upsala 1872. 3:o. Genmäle till herr G. Dillner. Af C. F. E. Björling. Halm- stad 1872. 4:o. Utlåtande af herr 0. Broch och Hj. Holmgren. Har stått att läsa i de flesta svenska tidningar i slutet af Juli samt början af Aug. 1873. 5ιo. Handlingar rörande herr C. F. E. Bjorlings matematiska läro- . boks författareskap. Af Μ. Falk. Upsala 1874. 6:o. Ett genmäle till herr Μ. Falk. Af C. F. E. Björling. Lund 1874. Till "Suum cuique". Med anledning af er skrifvelse till mig, att Bergii geometris andra del (med undantag af proportionsläran och några andra para- grafer) ej är annat än en öfversättning af Rouché et Comberousse’s geometri, vill jag meddela eder, att detta redan år 1872 blifvit an- märkt af Bergroth i 3:e häftet af Finska Pedagoiska Föreningens tidskrift sid. 185; och anser jag därför edra utförliga detaljer nu- mera öfverflödiga. Skada att ej den tillhörande problemsamlingen också blef öfversatt. F. W. HULTMAN. Rättelse: Sid. 98, fjerde raden uppif., står # V--1 +, läs #V$—1 — . 2 2 c. [ i 4o Tie P.- * 1 : 1 1 ut - F s- 89, Ao. 4oN, -rce ore” 2.