∖ - Λ . a st. OPE. o sty 4eokGOG' 2 EBLOTER1 97OcKHO 13* : AGOGIS BIBLIOTEKET 1 TIDSKRIFT FÖR MATEMATIK och FYSIK, TILLEGNAD DEN SVENSKA ELEMENTAR-UNDERVISNINGEN, UTGIFVEN AF DIR GÖRAN DILLNER ADJUNKT 1 MATEMATIK VID UPSALA UNIVERSITET (HUFVUDREDAKTÖR), D:R FRANS W. HULTMAN D:R T. ROB. THALÉN LEKTOR VID STOCKHOLMS HÖGRE ELEM.-LÄROVERK. ADJUNKT I FYSIK VID UPSALA UNIVERSITET FJERDE ÅRGÅNGEN. 18 71. MED EN TAFLA. coel ~-------mon BIBLIOTEKET ) “Toc K H o % UPSALA, W. SCHULTZ, UPSALA, 1872. AKADEMISKA BOKTRYCKERIET ED. BERLING. Till Allmänheten. Med detta häfte afslutas denna tidskrifts fjerde årgång. Liksom under de tre föregående åren vilja vi äfven detta år kasta en blick på tidskriftens verksamhet under det nu för- flutna året. På den elementära afdelningen märka vi Phragméns och Malmstens uppsatser om bortskaffande af rotmärken ur eqva- tioner samt Nordlunds om maxima och minima. På den lärda afdelningen förtjenar framhållas Dillners upp- sats om definita integraler af synektiska funktioner. Anmärk- ningsvärd är här bland annat en formel, som till den Mac- Laurinska serien utgör ett supplement och förmedelst hvilken man med lätthet i förr ej framstälda serier utvecklar vissa slag af funktioner. I samma uppsats finner man den vanliga teorien för maxima och minima generaliserad så, att hon behandlar synektiska funktioner hvilka som helst. Malmsten har lemnat ett enkelt bevis för egenskapen hos homogena funktioner och Falk har framstält en teori för par- tiela differentialeqvationer af andra ordningen. Inom den analytiska geometriens område hafva Falk, Hall- ström, Boije af Gennäs och Lundberg frambringat lättlästa och intressanta uppsatser. — Läran om kedjebråk har af Falk och Broman blifvit bearbetad. I eqvationsteorien möter oss en nätt lösning af kubiska eqvationer af D—g. Samme förf, har angifvit en enkel me- tod för approximativ rotutdragning och genom sin uppsats om benämningarna på olika logaritmsystem visat, att naturliga och neperska logaritmer äro helt olika saker. Inom den tredje afdelningen lär oss Lundqvist bland annat, att man medelst spektralanalysen lyckats finna, att på solen rasa hvirfvelstormar, der vätgasmassorna röra sig med en hastig- het af 20 svenska mil i sekunden, samt att fixstjernan Sirius II TILL ALLMÄNHETEN. aflägsnar sig från vårt solsystem med en hastighet af fyra och en half mil i sekunden. Sju arbeten hafva blifvit granskade. De i mogenhetsexa- mina utgifna satserna hafva blifvit meddelade äfvensom några skolynglingars lösningar af åtskilliga bland dem. Årets prisuppgifter ha blifvit besvarade af sju svenskar, en norrman och två danskar. Med detta häfte afslutas den nuvarande följden af tidskrif- ten. Redaktionen har dock för afsigt, så vida omständigheterna sådant medgifva, att i höst under en något förändrad titel och plan börja utgifva en ny följd af tidskriften, hvarvid akad. adjunkten Thalén kommer att inträda såsom hufvudredaktör i stället för akad. adjunkten Dillner^ hvilken senare jämte akad. adjunkten Rubenson och undertecknad komma att verka som medredaktörer. I afseende på den nya tidskriftens plan skall vid utgifvandet af dess första häfte närmare underrättelse lemnas. Tacksam för den välvilja, redaktionen af allmänheten under dessa fyra år rönt, tager hon nu afsked för att snart åter fram- träda under en något olika sammansättning och med en i nå- gon mon förändrad plan för sin verksamhet. Denna sistnämnda blifver i samma mon angenäm som den uppmuntras och under- lättas genom insändande af för tidskriften lämpliga bidrag. Stockholm, den 6 april 1872. F. W. HULTMAN. Innehåll. AFDELNING I. Uppsatser: Sid. Broman, Några anmärkningar till Euklids III bok. ....... 14. B—g, Approximatif rotutdragning.........................201. G. D., Om vinkelns tredelning...........................199. Hultman, Svenska aritmetikens historia............5, 97, 209. , Om bortskaffande af rotmärken ur eqvationer..............1. Nordlund, Om tredje grads funktionen med variabel........185. SA TSER af Cavallin ................................... 111. „ lösta af Hultman, 104; Lemke 109, 110; Stenborg, 102; Wicksell, 107, 108; A. P—n, K—g och W— d, 18—22; K—g, 22; P—n och K—9 24. PROBLEM, löst af Phragmén.................................12. Prisuppgiften för år 1870 ................................25. PRISUPPGIFTER för år 1871 ................................27. AFDELNING II. Uppsatser. Broman, Om förvandlingen af en serie till kedjebråk.....139. D-g, Anmärkningar beträffande benämningen: naturlig, hyper- bolisk och nepersk logarithm...............................28. „ Solution af 3+p+ == 0....................................31. Dillner, Definita integraler af synektiska funktioner.33, 121, Falk, Om ellipsens och hyperbelns styrlinier och konjugatdiametrar 141. „ Om integrationen af lineära differentialeqvationer af andra ordningen med r oberoende variabler .................................................230. „ Om konvergensen af kedjebråksutvecklingen för ~/a2.— b. 249. Lundberg, Om den oskulerande koniska sektionen............241. Malmsten, Angående den kända karakteristiska egenskapen hos homogena funktioner.......................................225. Satser af Boije af Gennäs, 148; Hallström, 145. AFDELNING III. Uppsatser. - Sid. Hultman, Om harmoniskt förhållande... 153. Lundquist, Om spektral-analysens användning för bestämmande af ljuskällans rörelse..........................................160. AFDELNING IV. Uppsatser. Falk, Granskning. Elementerna af algebraiska analysen och differentialkalkylen, förra delen, reela qvantiteter, af C. F. Björling.....................................................71. Hultman, Beräkning af värdet på en premie-obligation för en tidpunkt hvilken som helst före förfallotiden .............251. Anmälan AF böcker. Läroböcker af Bergstrand, P. E., 266; Broch, 0. J., 182; Chri- stie, H., 181; Gerhardt, C. J. , 84; Gernerth, A., 83; Segerstedt, A., 262, 263; Siljeström, P. A., 84; Weström, C. A., 172; J. E. B., 268. Afhandling af Wrede, Fab., 268. Satser af Sten Boije..................................................173 Satser, lösta i den skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1870, af elever vid Stockholms och Örebro elementarläroverk 85, 89, 90, 91. Sats, löst af hufvudläraren i matematik vid Örebro elementarläroverk . 92. Satser gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1871 ...............93. „ „ „ h. t. 1871 .................177. Aritmetiska problem, gifna vid kongl. lärarinneseminariet den 27 maj 1871 ............................................................ 176. f Konstförvandt Frans Robert Johnsson..............................183. Tillägg till svenska aritmetikens historia.........................270. Rättelser...........................................................96. Prisuppgifterna för år 1871 .......................................271. Till Allmänheten.....................................................I. AFDELNING I. Om bortskaffande af rotmärken nr eqvationer. Af F. W. HULTMAN. Sjelf har jag trott och har äfven i några läroböcker sett det påståendet uttryckt, att en likhet, hvars ena led är fritt från rotmärken och hvars andra led innehåller fyra eller flere med rotmärken försedda termer ej kan befrias från de i likheten ingående rotmärkena. Tag t. ex. likheten Na+Jy+u + Na 1 (1). Genom omedelbar upphöjning i qvadrat och derpå föl- jande öfverflyttning erhålles: 2(± A xy ± ~/xu ± A/xz ± ~/yu = ~/uz)* = 1 — a—y-z—u. Men denna likhet innehåller flere rotmärken än den ursprungliga, och det synes derföre vara förenadt med ännu större svårigheter att bortskaffa rotmärkena ur denna likhet. Ville man på försök skrifva likheten (1) under någon af formerna Ax + A/y + u = 1—Az eller N/x + ~/y = 1 — A/z — s/u * Vi sätta ± framför rotmärkena, emedan vi ej veta, om storhe- terna a, y, u och z äro imaginära eller reela, och i händelse af det senare, om de äro positiva eller negativa. 1 2 AFD. I. OM BORTSKAFFANDE AF ROTMÄRKEN ETC. och derefter qvadrera, skulle man finna en likhet, som innehölle fyra radikaler och således lika många som den ursprungliga. Satte man slutligen likheten (1) under formen A/x = 1 -y-u-z, skulle man få en likhet med sex radikaler, hvilkas antal dock på grund af (1) kan inskränkas till fyra. I alla händelser har man genom qvadrering fått likhe- ter, som innehållit minst lika många med rotmärken för- sedda termer som den ursprungliga likheten (1). Häraf förklaras orsaken till ofvan antydda förmodan om omöjlig- heten att ur en likhet med många radikaltermer bortskaffa rotmärkena. Emedlertid erhöll jag i slutet af förlidet år af lektor Phragmén ett bref, hvari han visade mig, huru man utan svårighet kunde bortskaffa qvadratrotmärkena ur en likhet med huru många radikaltermer som helst. Som exempel valde han likheten Na+Jy+z+Nt - u-Nv= 0 . . .(2). Kort efter emottagandet af lektor Phragméns bref sam- manträffade jag med statsrådet Malmsten och omtalade då för honom, att Phragmén löst uppgiften att bortskaffa qva- drat-rotmärkena ur en eqvation. Lifvad häraf angrep stats- rådet Malmsten genast samma problem och löste det gene- relt för rotmärken af hvad grad som helst. — Vi meddela här begges metoder. 1. Phragméns metod att ur en likhet af formen (2) bortskaffa qvadratrotmärkena. Först behandlas likheten så, att tvenne radikaler t. ex. ~/u och A/v befrias från sina rotmärken. Derefter be- frias 2 andra, t. ex. Nz och Jt från sina rotmärken, och så fortfares tills man kommer till de två (eller till den ena) sista. AFD. I. OM BORTSKAFFANDE AF ROTMÄRKEN ETC. 3 Vi skola här visa de närmare detaljerna utförda på likheten (2). A. Bortskaffande af rotmärkena i radikalerna a/u och N/v. För detta ändamål skrifves (2) under formen N/x + fy + fz + ft = fu + N/v. Häraf erhålles genom qvadrering fxfy + fœfz + fxft + fyfz + y~t+ fzft- a = fufv, hvarest 2a betecknar de termer, som ej innehålla rot- märken. Qvadreras nu på nytt, får man ß2 = ⅛fxfyfzft + γfxfy + JA/aNs + 8N/æN/t + çyAz + ηfyft + 9azNt, hvarest ß2, y, 8, 8, Ç, 7, 9 beteckna storheter, som ej innehålla rotmärken. Här förekomma ej u och v be- häftade med några rotmärken. B. Bortskaffande af rotmärkena i radikalerna fz och ft. För detta ändamål ordnas termerna i föregående lik- het sålunda: β2 - γfxfy - N/EN/J/aV/y + 9) = NX/E + ç-y) + ft(sfx + qy). Efter qvadrering och några enkla reduktioner får denna likhet följande form: i4 — kJ/avy = A/zA/t(A3 + ^fxfy), der i4, λ3, k3, u2 beteckna storheter, som ej innehålla radikaler. Genom ytterligare qvadrering får man en likhet af formen §6 = "N/an/y, 4 AFD. I. OM BORTSKAFFANDE AF ROTMÄRKEN ETC. hvarest 58 och v7 beteckna storheter, som ej innehålla rotmärken. Nu äro z och t befriade från sina rotmärken. C. Bortskaffande af rotmärkena i radikalerna fx och s/y. Föregående likhet gifver omedelbart 510 = v"xy, hvarmed således likheten (2) är fullkomligt befriad från rotmärken. 2. Malmstens* metod att ur en likhet af formen m__________P_____Q * __ Nx, + N x, + Nas + ......+Nan = 1 . . . . . (3) bortskaffa rotmärkena. Sätter man här de på hvarandra följande termerna i ordning lika med c, , aq, as, .... Cn, så får man likheterna a, + a, + &, + ... + Cn = 1, a, = a," x2 = a,P, . ⅞ = a,°, xn = a'. Genom att ur detta eqvationssystem, (der m, p, q, ... s antagas vara hela tal,) enligt teorien för största gemen- samma divisorn eliminera a,, «3, ... Cn erhåller man en relation mellan J1s 02» ∙∙* any hvilken ej innehåller några rotmärken. * Utgifvaren framställer här hans metod i en form, som något af- viker från den, som statsrådet Μ. begagnade i sin muntliga framställning. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 5 Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 249, årgången 1870). 10. MATTHIAS ANDREA BlörK.* Biörks räknebok har följande titel: »Arithmetica eller Räkne-Book, vthi hvilken Blifwer förhandlat om Räkne- bokens naturlighe Ordning och gemeene Räkningar, båhde vthi heele och brutne Thal (med nyttighe Underrättelser förbättrade), såsom ock om then berömlige Algebra, samt Logistica sexagenaria och Geodætica. Hwilke så klart föreställas, att hwar och en, (som någhot Förstånd hafwer) kan them medh eghen Flijt fatta. Sammandraghen aff Matthia Andreæ Biörk. Westerås 1643». Arbetet är till- * Ur Westerås Stifts Herdaminne af Joh. Fr. Muncktell hemta vi följ, biografiska underrättelser om Biörk. Matthias A. Björkstadius föddes 1604. [Hans fader Andreas Georgii Schedvimontanus, som då sannolikt var domesticus i Stora Schedvi, 23 mil från Falun, förekommer från år 1610 såsom kapellan i dom- kyrkan i Westerås och från år 1618 såsom kyrkoherde i Björksta (2 mil från Westerås); han dog vid 91 års ålder 1652 efter att med 2 hustrur haft 19 barn. På en tafla i Björksta kyrka är han afmålad med sina 2 hustrur och 19 barn). Matthias blef stu- dent 1627. Förordnades 1639 att undervisa i mathesis practica på Westerås gymnasium. Prestvigdes 1640 och blef samtidigt kollega i skolan. Förste underkapellan vid domkyrkan 1642, öfverkapellan 1643. En skicklig man med ringa framgång. Hade den olyckan under sin stu- dietid i Westerås att för en fiicka blifva dömd < mista rygghuden och annan plikt «. Frälste sig med flykten. Aterkom efter en längre tid och fann nåd. Hade ett godt mekaniskt hufvud Gjorde ett långt och konstigt skjutgevär, som han ämnade erbjuda konungen. Också gjorde han sig vingar och flög, men föll och bröt ena benet. Dog 1651. Gift 1640 med Mariana Hansdotter, enka efter skolkollega Bartholli. Hans aritmetik lästes i stiftats skolor. Han fick 4 tunnor säd af kapitlets medel, derföre att han egnat sin bok åt consistoriales. 6 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. egnadt biskopen, kyrkoherden, lässmästaren, borgmästaren befallningsmännen, rådmännen, köpmännen, handelsmännen och borgerskapet i Westerås, innehåller 141 ark. Biörks räknebok är synnerligen förtjenstfull så väl i vetenskapligt som pedagogiskt hänseende. Han bevisar näml. flere af sina regler medelst definitioner, axiom och postulat. Alla sina exempel ger han konkret form. Så t. ex. vid subtraktion i hela tal, då eleven skall ifrån 1492 subtra- hera 1230, skrifver han detta exempel sålunda: Conradus Zeltes förmäler, att år 1492 är en gädda funnen i en sjö vid Heylbrunn, som hafver haft ett förgyld band om, derpå dessa ord voro skrifna: »jag är den första fisk, som Fre- drik den andre med sina egne händer hafver släppt uti denna sjö år 1230 den 30 oktober». Nu är frågan, huru många år han hafver varit i denna sjö? På regula dupli löser han vissa exempel genom att gå till enheten. Vi anföra ett. »8 hästar äta 9 spänn hafra uti 12 dagar; huru länge kunna 18 hästar förtära 24 spänn efter samma proportion? Först frågar man således: 8 hästar äta 9 spänn, huru mycket äter en? Facit 1, spänn, det är 18 finska kap- par, när man räknar 16 på spann. När man nu vet, att en häst äter uti de 12 dagar 18 kappar, så frågar man andra gången, huru mycket han får äta på en dag? Facit 14 kappe. Efter man ock vet, att en häst får 1, kappe om da- gen, så frågar man, huru mycket 18 hästar äta på en dag efter samma proportion. Facit 27 kappar. 27 kappar ätas uti en dag, huru länge kunna de äta af 384 kappar eller 24 spänn eller 12 tunnor? Facit 145 dagar». Af detta visar sig, att Biörk var en pedagog af första ordningen, i det han frigör sig från de diktatoriska regler, som förut varit de ensamt rådande i aritmetiken, och låter i stället det nyktra förståndet leda sig att lösa ett uppgif- vet problem. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 7 I afseende på alligationsräkning och regula cecis eller virginum begagnar han dock den gamla otillfredsställande metoden. Likväl säger han om den senare, att den borde kallas cæca för den blindhet, som finnes i dividendens sön- derdelning. * Under regula falsi med 2 antaganden förekomma föl- jande två exempel: Ex. 1. En åsna och en mula buro några flaskor vin, åsnan begynte att tröttna under bördan. Då sade mulan till henne: om man toge en flaska ifrån mig och lade på dig, så hade vi båda lika bördor. Men det vill jag icke, utan få du heller mig en flaska utaf din börda, så bär jag dubbelt emot dig. Nu frågas här, huru många flaskor ås- nan hafver burit, huru många mulan? Ex. 2. Till att förnimma helgonets namn på den da- gen detta exempel är vordet tryckt, förtecknar man bok- stäfverna i en naturlig ordning sålunda: 1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19. 20.21. 22. 23. 24. abcdefghik 1 mn o p q r s t u vx y z Om man nu tager 8 ifrån den första bokstafvens tal i namnet, så gifver resten tillkänna talet öfver bokstafven, som bör stå i det tredje och sjette rummet, och om man lägger I till detta talet, så hafver man den andra bok- stafvens tal. Deraf subtraherar man 4, så blifver den fjerde bokstafvens tal igen. Den förstes och femtes tal adderade gifva den femtes tal. Men den andres och tredjes tal ad- derade utvisa den sjundes och ytterstes tal. När man om- sider subtraherar den ytterstes tal utaf den förstes, så blifva 3 öfver. * Förklaringen till de gamles sätt att räkna vid desse tvänne slag af räkningar ha vi framstält i denna tidskrifts första årgång under Cla- vius och Aurelius. Hvad namnet regula cecis beträffar betyder det san- nolikt regeln om räkningen med zekiner. Det hette näml. först regula zekis, sedermera cekis, så cecis och i slutet af 1700-talet cæsis. Det första exempel i detta räknesätt handlar om några jungfrur, som med zekiner skulle betala hvad de förtärt på ett värdshus. 8 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTOIRA. På detta sista exempel finnes intet svar. Vi hafva löst problemet och funnit att helgonet skulle ha det besyn- nerliga namnet Medardi. I Biörks lärobok påträffar man för första gången vissa kapitel, som ej förut funnits tryckta i någon svensk räkne- bok. Dessa kapitel behandla läran om proportioner, alge- bran, logistica astronomica (stjernekonstens räknebok) samt geodætica (landtmäteri- eller decimalräkning). Vi skola med några ord beröra hvart och ett af dessa räknesätt. Läran om proportioner. Detta kapitel är till större delen skrifvet på latin, «efter sådana termini, som här förekomma, icke så be- qvämligen kunna utföras». Detta häntyder på, att den in- delning af proportioner, som vi här efter Biörk framställa, är hemtad från utländska författare och ej uppfunnen af Biörk sjelf. Biörk tecknar ett förhållande som ett bråk utan bråkstreck, t. ex. 5,6, 0 o. s. v. Förhållandena äro af 5 slag, näml.: 1. Proportio multiplex, t. ex. 5,6, hvilket är en propor- tio octupla. 2. ,, superparticularis [hvars allmänna typ är t. ex. 87 hvilket ar en prop, su- perparticularis sesquioctava. 3. » superpartiens [hvars allmänna typ är 2+", der m > 1], t. ex. 9, hvilket är en pro- portio superbipartientes septimas; ’, hvil- ket är en proportio supertripartientes quintas. 4. „ multiplex superparticularis [hvars allmänna typ är zm*], t. ex. 2, hvilket är en proportio tripla sesquiquarta. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 9 5. Proportio multiplea; superpartiens [hvars allmänna typ nm+o är t. eχ∙ 7, hvilket är en pro- portio dupla superbipartientes septimas. Hittills har endast talats om en större storhets för- hållande till en mindre. Vill man tala om en mindre stor- hets förhållande till en större, begagnas samma termer med den skilnad, att man sätter ordet sub emellan ordet pro- portio och efterföljande adjektivum. Så t. ex. utgör 5 en proportio superbipartientes tertias, men 3 en proportio sub superbipartientes tertias. Härefter följer en redogörelse huru förhållanden adde- ras, subtraheras, multipliceras och divideras. Addition. Subtraktion. Multip likation. , 3 . Summan blir 6. Motsvarar saledes multiplikation. Division. 2 * .Resten ,, § 3 33.Produkten „ % 2 . Qvoten „ : „ division. „ upphöjning till dignitet. „ qvadratrotut- dragning Genom intagandet af detta kapitel sin lärobok har Biörk ofrivilligt förorsakat stor skada i den följande aritme- tiska undervisningen, ty, som vi sedan skola få se, intogs detta kapitel i tiofaldig förstoring i flere derefter utkommande läroböcker, och ungdomen plågades i 150 år med skolasti- ska spetsfundigheter inlagda i en massa exempel på de 10 olika slagen i förhållanden. Vid redogörelsen för Agrelii räknebok få vi tillfälle att göra närmare bekantskap med dessa pedagogiska förvillelser. Algebra. Biörk begagnar Viètes beteckning (se vår redogörelse härför under Stjernhjelm, årgången 1870). Sålunda teck- nar han 64x3 + 16x2 + 4x + 8 med 64 c +16z +4/+8, hvilket utläses: 64 cubiktal (cubus) + 16 qvadrater (zensus) + 4 saker (radix eller res) och ändå 8 deröfver. 10 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Vi anföra endast 2 exempel. Ex. 1. Ibland någre studenter inföll en fråga om en summa penningar, som hvar och en isynnerhet hade. Ar- chias sade: »jag hafver 8 mark mer än Sempronius». Men Titus sade: »jag hafver så mycket allena som i båda och ändå 4 mark öfver». Dertill svarade Alexander: »jag haf- ver 100 mark, hvilket är så mycket, som i hafven alle tillhopa». Nu är frågan, huru mycket Sempronius, Ar- chias och Titus hafva haft. Biörks lösning följer här. Sempronii sumina, som hafver varit minst, kallar man en ting och skrifs således 1// , Archiæ summa..................................1//+ 8, Titi summa....................................2/+ 12, Alexandri.................4√~+20. Men Alexandri summa var ock 100 mark. Sål. 4 lika med 80, hvaraf 1// lika med 20. Ex. 2 Man vill söka ett tal, hvilket när det blifver multipliceradt i sig sjelft, och hvad deraf kommer, multi- plicerad med dess 3-del, så skall det göra 72. Biörks lösning 1// gånger 1./ gifver 1z. 1: gånger : • gör ⅜c. Detta skall göra 72, och således 1c lika med 216, hvadan 1/ lika med 6. Några fullständiga eqvationer af andra graden före- komma ej. Hos Biörk påträffa vi för första gången en tryckt al- gebra samt tecknen + och —. Stjernhjelms algebra fanns endast i handskrift. Logistica astronomica (stjernekonstens räknebok). Innehåller de 4 räknesätten (addition, subtraktion, mul- tiplikation och division) med grader, minuter, sekunder, terser, qvarter o. s. v. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 11 Anm. 1 grad = 60 minuter = (60)2 sekunder = (60)3 terser = (60)4 qvarter o. s. v. Vid multiplikation och division synes Biörk hafva gjort sig skyldig till misstag. Han säger t. ex. Man vill multiplicera 5 grader 21 minuter med 3 grader. Facit: (5 .60 + 21) . (3.60) eller 57780 sekunder. Förty när minuter multipliceras med mi- nuter, så komma deraf sekunder. Man vill multiplicera 15 grader med 3 grader, så blif- ver produkten 45 grader. Dividerar man grader med gra- der, så får man grader; minuter med minuter, så får man minuter. * Geodœtica (landtmäteri- eller decimalräkning). Vid redogörelsen för detta slag af räkning yttrar sig Biörk sålunda: »Somliga hafva delt sin mätestång uti alnar, skor, grader o. s. v. En part hafva sönderdelt hvar sin aln eller annat grundmått i 60 delar likasom uti logistica sexa- genaria. Dermed hafva de kommit både uti ledsam räk- ning, såsom ock stor villfarelse i sin räkning. Detta hafva några behjertade mathemaci låtit gå sig till sinnes och uppsökt beqvämliga medel detta besväret till att lindra. Uti hvilken kamp Johann Hartman Beyer (d v. s. från Bayern) hafver sig manligen bevisat med sin logistica de- cimali. Medlet till att lindra med hafver han tagit ett beqvämligt och högt öfver andra privilegieradt tal, nämn- ligen 10. Först byta de sin mätestång uti 10 skor. Hvar sko bytes sedan uti 10 digitos eller finger. Hvar finger bytes * Detta är dock, hvad multiplikation beträffar, fullkomligt rigtigt, om man tänker sig ett talsystem med 60 till bas, i hvilken enheten betecknas med grader. Emedlertid hafva flere af hans efterföljare tilläm- pat denna metod på områden, der den icke är berättigad, i det att de multiplicera tunnor med tunnor o. s. v. I nära 200 år påträffa vi här- efter i räkneböckerna fel af sådan natur. I afseende på division åter borde Biörk ha sagt, att då minuter divideras med minuter uppkommer i qvoten ett abstrakt tal. 12 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. derhos uti 10 gran eller korn, hvart gran uti 10 skrupler, hvar skrupel uti 10 qvinter, hvar qvint i 10 sexter. Dem hafva de gifvit hvar sitt märke, således () 00 0 @ ® © Pertica eller Skor Finger. Gran. Skrupel. Qvinter. Sexter«. hela stången. Ilos Stjernhjelm kallas desse mått: Stång. Fot. Finger, Gran. Linier (ferulæ). Punkter, tuinbar (tum). Anm. Biörks räkning med decimaler sammanfaller alldeles med Stjernhjelms, hvarföre vi hänvisa till vår re- dogörelse för Stjernhjelm. Der finna vi ock en redogörelse för professor Hartman (1603) och för decimalernas uppfin- nare holländaren Stevin (1583). Det har varit oss ett synnerligt nöje att redogöra för Biörk. Hans räknebok står långt öfver öfriga samtida räkneböcker. Vetenskapens alla framsteg hade han der in- ryckt, t. ex. den förut okända algebran och decimalräknin- gen. Bevis för en mängd regler påträffa vi hos honom, äfvensom en pedagogisk metod. Det är en heder för We- sterås läroverk att inom några få år hafva haft så fram- stående lärare och läroboksförfattare som Stjernhjelm (lek- tor 1625) och den 6 år yngre genialiske men olycklige Biörk (lärare i Westerås från och med år 1639). (Forts.) Problem, löst af Lars PHRAGMÉN. I denna tidskrifts första årgång (1868) sidan 11 före- kommer löst följande problem: »En fader förordnar i sitt testamente, att det äldsta af hans barn skall af hans efterlemnade egendom hafva en 1 summa a rdr och dertill - af resten; det andra 2a rdr n och dertill - af det, som då är qvar, och det tredje 3a AFD. I. LÖST PROBLEM. 13 rdr och dertill - af det, som då är qvar o. s. v. Vid n verkställandet af testamentet befanns, att alla barnen fått lika mycket. Huru stor var egendomen, huru stor hvarje barns del, och huru stort var barnens antal?« Detta problem löses ytterst enkelt genom att använda beviset från m till m+1. Sättes nämnligen egendomens värde = a, erhåller man på grund af likheten mellan det första och andra bar- nets delar likheten a + -(æ — a) = 2a + —[ — 3a--, ? nn hvaraf 1 x — a = an+ x — 3a—(c—a), n och således det första och andra barnets del 1 a + —( — a) - a(n — , hvilken likhet gifver egendomens värde x = a n — 1)2. De två första delarne äro således, hvardera, = a(n—1). Föl' att bevisa, att de öfriga också äro det, så låt m + 1 2 n — 1 och antag att de första m andelarne redan äro bevisade vara, hvar och en, = a(n - 1). Tydligen är då den (m + 1)sta andelen 1 (Μ + l)a + - [a- 1)2 — am(n — 1)— a(m + 1)] n 1 =(m + la + - . a(n2 - 2n — mn) = a n—1). Då satsen nu är bevist för de två första delarne, gäl- ler den således för den tredje, således ock för den fjerde o. s. v. 14 AFD. I. NÅGRA ANMÄRKNINGAR TILL EUKLIDS III BOK. Om m+1=n-1, är n2 - 2n - mn = 0 och således återstoden = 0, sedan det (n — 1)sta barnet ut- tagit (n — 1).a, hvaraf redan synes, att delarnes antal är = n - 1. Några anmärkningar till Euklids III bok. Af student K. E. BROMAN. De satser i Euklids tredje bok, som handla om tan- gering, synas i de vanliga läroböckerna ej alldeles så di- stinkt behandlade, som ske kunnat. Detta har gifvit anled- ning till efterföljande ändringsförslag, som till utgångs- punkt valt den Bråkenhjelmska editionen, hvilken antages vara till hands. Def. 1.* Tvänne linier skära hvarandra i en viss gemensam punkt, om de närmaste punkterna åt hvardera sidan på den ena linien äro på hvar sin sida om den andra. Def. 2. En råt linie säges tangera en cirkel i en viss punkt, om de der råkas, utan att skära hvarandra **. Def. 3. Cirklar sägas tangera hvarandra i en viss punkt, om de der råkas, utan att skära hvarandra PROP. 1 ***. Teorem. Om en rät linie går genom tvänne punkter på en cirkelt, så faller den delen deraf, som ligger mellan punkterna, inom cirkeln, de delar, som ligga utanför punkterna, utom densamma. * Den gamla def. I tages såsom prop., såsom många gjort. ** Tangering i en punkt hindrar sålunda ej tangering eller skärning i en annan. *** De gamla prop. I och II byta lämpligen plats med hvarandra, ty I är sväfvande, utan kännedom om II. t Enligt bruket för cirkelperiferi. AFD. I. NÅGRA ANMÄRKNINGAR TILL EUKLIDS III BOK. 15 Beviset [någon punkt D (se Bråkenhj. fig.) måste vara cirkelns medelpunkt etc.] för senare delen analogt eller så- som koroll, af det första. Koroll. 1. Ingen del af cirkeln är rätlinig. Koroll. 2. En rät linie kan ej träffa en cirkel uti flere än tvänne punkter [en rät linie, som går genom en punkt inom cirkeln, träffar alltså densamma uti tvänne (sjelfklart), och blott tvänne punkter]. Koroll. 3. Tangenten råkar sin cirkel blott i tan- geringspunkten. prop. 2. Problem. Lika med prop. I. PROP. 5—6. Teorem. Tvänne cirklar, som träffa * hvarandra, kunna ej hiafva samma medelpunkt, utan att sam- manfalla. Bevis. Ty om tvänne cirklar, som ega punkten A gemensam, hade samma medelpunkt B, utan att samman- falla, så måste någon från den gemensamma medelpunkten B dragen rät linie träffa cirklarne i olika punkter: den ena i C, den andra i D o. s. v. PROP. 10. Teorem. En cirkel kan ej träffa * o. s. v. ... utan att sammanfalla. Koroll. Om tvänne cirklar tangera hvarandra, må- ste antingen den ena innesluta den andra eller båda ligga utom hvarandra (ty, skär den ena cirkeln den andra i en (ny: jfr III: def. 3) punkt, måste den skära i en tredje, derföre att cirkeln är en sammanhängande linie). I förra fallet sägas cirklarne tangera hvarandra innantill, i senare utantill. PROP. 11. Teorem. Om ... innantill i en viss punkt (7j, och man ... genom denna punkt. ■ * Hvarföre «träffa« blifvit användt, är klart. Obs., att i figuren ingen eller blott en cirkel lämpligen utritas. 16 AFD. I. NÅGRA ANMÄRKNINGAR TILL EUKLIDS III BOK. Bevis. Om den räta linie, som sammanbinder me- delpunkterna, ej går genom T, så låt den gå såsom någon annan rät linie, HK, och låt M vara den inre, S den yttre cirkelns medelpunkt. Drag M7'*. Emedan nu Μ ej är medelpunkt till den yttre cirkeln (III. 5, 6), måste MT> MK (3: VII). Men, som Μ är medelpunkt till den inre cirkeln, och MT blott räcker till periferin, skulle MK ej räcka dit**, hvilket är orimligt (III. 10. koroll.). Alltså måste den räta linie, som går genom cirklarnes medelpunk- ter, äfven gå genom T. PROP. 11.A. Problem***. Att med giften radie (= AB) upprita en cirkel, som i en giften punkt (C) tangerar en gif- ven cirkel (medelpunkt D) innantill. Konstruktion. Afsätt på CD inåt ett stycke CE = AB, tag E till medelpunkt för en cirkel genom C, då skall denna vara en lösning. Bevis. Den cirkel, hvars medelpunkt ligger längre bort från C, har punkten C gemensam med den andra, men hvarje dess punkt, X, för öfrigt ligger utom densamma, ty den från den andra medelpunkten till X dragna linien > den till C dragna linien (3: VII). De båda cirklarne tangera följaktligen hvarandra innantill i punkten C (3: def. III). Sammanfaller E med D, sammanfalla ock cirklarne. Emedan vidare ingen cirkel, hvars medelpunkt ej lig- ger på CD, kan tangera den gifna cirkeln (3: XI), måste den erhållna lösningen vara den enda möjliga. PROP. 12. Teorem. Om ... utantill en viss punkt, ... genom denna punkt. * Man kunde i stället draga ST, då man har att i beviset använda III. 7 eller III. 8, allt efter som ^ ligger inom eller utom den inre cirkeln. ** Obs. dock, att ännu intet hindrar, att cirklarne äfven i K tan- gera hvarandra. *** Den konverterade satsen till 11, hvilken väl är lika vigtig, torde böra framställas i ofvanstående form. AFD. I. NÅGRA ANMÄRKNINGAR TILL EUKILDS III BOK. 17 Konstruktion och bevis (medelst III. 8) analoga med dem för prop. 11. PROP. 12.A. Problem. Att, med gifven radie, upp- rita en cirkel, som i en gifven punkt tangerar en gifven cir- kel utantill. Konstruktion och bevis (medelst III. 8) analoga med dem för prop. 11. A. PROP. 13. Teorem* En cirkel etc. Bevis**. Om en cirkel kunde tangera cirkeln AB i tvänne punkter, A och B, så måste (enl. III. 11 eller III. 12) den räta linie, som sammanbinder medelpunkterna å ena sidan gå genom A och å andra genom B och är följaktli- gen räta linien AB. Men, emedan AB sålunda är i hvar- dera cirkeln en korda, som innehåller medelpunkten, må- ste dess midtpunkt vara cirklarnes gemensamma medelpunkt, hvilket är orimligt (III. 5, 6). Alltså etc. PROP. 16 torde måhända lämpligen ändras till direkt refererande på problemet, att från en gifven punkt på en cirkel draga en tangent. Beviset: den genom radiens ändpunkt dragna vinkel- räta linien lösning; någon annan icke. K. E. Broman. Student. * Denna sats följer såsom koroll, af beviset till III. 11A och III. 12A. Hvarföre vi framställt ett oberoende bevis, behöfver ej påpekas. ** Figuren lämpligen blott en cirkel, med punkterna A och B markerade. 2 18 AFD. I. LÖSTA SATSER. Sats 196 (C. F. Lindman), löst af A. P—N, K—G och W—D (elever i 7:de klassen vid ett svenskt läroverk). I. Kalla medelpunkten till den i 4ABC inskrifna cirkeln för 0. Då är C , = OC. Sin , 2' men . B a Sin — 2 B C a Sin — Sin ⅛ 2 2 • 7= A ’ Cos — 2 Nu är a = 2 R Sin A ABC - τ = 4 R Sin — Sin — Sin , 222' hvilket var det första, som skulle bevisas. 2. Kalla medelpunkten till cirkeln, som tangerar sidan a och de begge andra sidornas förlängningar för U. Då är 7a = UO.Cos C, " 2 men B a Cos — UC =---- A Cos — 2 B C a Cos — Cos - 2 2 7 Pa=A Cos — 2 AFD. I. LÖSTA SATSER. 19 A B C =4R Sin — Cos — Cos , 222' hvilket var det andra som skulle bevisas. På samma sätt bevisar man för 76 och rc. Sats 197 (C. F. Lindman), löst af P—N, K—G och W—D. 1. Enligt sats 196 är Ta****e= 4 R[Sin 4A Cos ‘ B Cos4 C+Cos ‘ A Sin ; BCos 30 + Cos : A Cos : B Sin : 0] , hvilket åter genom sammanslagning af de 2 sista termerna blir = 4 R[Sin 14 Cos IB Cos ^C+ Cos2 14] - 42Cos B+C Cos s cos g. Sin2 B.C L222 2 ,B+0( B + CB CW =4R 1- Cos ---Cos — Cos — Cos — L 2 2 2 2/1 - 4R(1+Sin 4 Sin 2 Sin 2)........(a) = 2 R2 + 2 Sin 4 Sin B(Cos 4 Cos B - Sin 4 Sin B)] L 2 222 2 2/1 BB A A\ Cos2 2 + Sin2 2 + Cos2Sin2 2) A A BB A BT + 2 Sin — Cos 4 Sin — Cos — 2Sin2 4 Sin2 — 2 2 2 2 2 2J B A B B 4 = 2R Cos 2+ Cos+ Sin — Cos2 +Sin2 — Cos L2 222 22 A A BB +2Sin — Cos —Sin — Cos — : 2222 20 AFD. I. LÖSTA SATSER. = 2 R Co: 4 + Cos- B+Sin: 4+B L 2 2 2 - 2 R(Cos-4+Cos" 2 + Cos3 2, .......($) hvilket var det första som skulle finnas. 2. Ur (ß) erhålles AB o Ta + 9’8 + re = 2 R Cos2 — + 2 R Cos2 — + 2 R Cos2 — 2 2 2 ABC a Cos2 — b Cos2 — cCos2 2 . 2 2 Sin A * Sin B * Sin C = 1 a Cot —+ Cot Cot - , 2\ 2 2 2 hvilket var det andra, som skulle finnas. 3. Ur (a) erhålles Ta+18+re = 4R+4 R Sin 4 Sin B Sin C 2 2 2 och således på grund af sats 196 Ya+To+*-, = 4R,* (y) hvilket var det tredje som skulle bevisas. 4. Med tillhjelp af (y) och sats 196 finnes / A BO Ya + To+r — 3, = 4 R 1-2 Sin — Sin — Sin - ( 222/ - . A. B/ A B A B\T = 4R 1 — 2 Sin — Sin — ( Cos — Cos — - Sin — Sin - L 2 2 2 2 2 2/1 = 4 R (Sin2 C.Cos-C)-2 Sin 4 cos4sinB Cos B.2 Sin:4sin B L 2 2/ 2 2 2 2 2 2. * Läsaren behagade gifva akt på denna eleganta sats meddelad af lektor Lindman. F. W. H, AFD. I. LÖSTA SATSER. 21 Genom att inom parentesen tillägga A B A B Cos2 2 Cos2 2-Cos2 2 Cos2 2 erhålles sedan utan svårighet Ta+**+7,-3, - 4 R(Sin2 2+ Sin2 2+ Sin2 2)....(0) A B C - @tg 2 + t 2 + ctg 2,.....................(g) hvilket var det fjerde som skulle finnas. Sats 198 (C. F. Lindman), löst af P—N, K—g och W—D. Om triangelns yta = 4, så är som bekant 4 ? ==—, P A T‘a— , p—a 4 9‘b = ---7 p-6 A rc = —- P=C p43 °.° raTħ rc == ----.-------------- P(p - a)(p-b)(p-c) = p.4 = p2r. Hvilket skulle finnas.* Sats 199 (C. F. Lindman), löst af P—N, K—G och W—D Enligt sats 198 är rrarbrc = p2r2 = 42, och således N/rraTirc = 4 = T. Hvilket skulle finnas. * Ett par andra (trigonometriska) bevis på denna sats äro ock in- sända. F. W. H. 22 AFD. I. LÖSTA SATSER. Sats 200 (C. F. Lindman), löst af K—G. 4 A, B,C, = T, = 4 A, IB, + 4 A, IC, + AB, IC, 12 Sin C ,2 Sin B ,= Sin A - 2 + 2 * 2 ABC = 2,2 Cos 7 Cos — Cos 7. Samma sats, löst af W—D. . τ ab, Sin C, 44B.G 5 71 2 ’ men A. a, = 2, Cos . b, = 2, Cos — 01 2 och C, = 900 - , ty AC = hälften af A A'IB', således ABC T, = 2,2 Cos — Cos — Cos . 1 2 2 2 Sats 201 (C. F. Lindman), löst af K—G. 1. Tages en punkt, der bissektriserna råkas till medel- punkt, och en cirkel inskrifves i A ABC, så fås 4 A B. C , genom att sammanbinda de punkter, i hvilka sidorna tan- gera cirkeln. Vi vilja först bevisa, att AT2 eller 4A, B, C,4 A, B, C,. Drag 74 , IB, , IC. Tydligen är AFD. I. LÖSTA SATSER. 23 AIA B. = AICB, = A44.C. = och AIA, C, = AC BI= AAA, B,. . A 1A, B, + AIA, C, = A AA, C, + A AA B. d. v. s. A4, ≈ A4,. På så sätt erhålles AB, = Λ⅛ Således äro trianglarne T\ och T, likformiga. Vi öfvergå nu till senare delen af satsen och draga derföre från medelpunkten O till den kring T omskrifna cirkeln radierna OA,, OB2, OC2. Man har då 7, = AB, 0A, + 4 A, OC, + A C, OB, R° Sin 2 C, R° Sin 2 B, R° Sin 2 A, - 2 + 2 + 2 ’ = —(Sin 2 C, + Sin 2 + Sin 2 A,) men A A är supplement till ABIC, som åter är supple- . B+C ment till —2—. . T, = 2 (Sin (B + C) + Sin (A + C) + Sin (4 + B)) 72 =(Sin A + Sin B + Sin C) A B C = 2R2 Cos Cos 2 Cos -. Anm. Satserna 200 och 201 visa, att 7, ,2 T, " R2' 2. Med tillhjelp af satserna 200 och 201 finner man, att 7, 7, - 4,2 R° Cos-$ A Cos’B CosBJC, eller, emedan enl. sats 196 24 AFD. I. LÖSTÅ SATSER. A.B.C r=4R Sin — Sin — Sin , 2 2 2’ 7, 7, = R° Sin-A Sin B Sin°C -R Che ahesin"c 2 _ 1 (abSin C) n 2 ) 72 =4 : Sats 202 (C. F. Lindman), löst af P—N och K -G. 1. Emedan Ta och ta hafva samma bas, så är ta ? Ta Pa Således är ta+s to + to l 7 + ? + ? Ta To T. 9'a T6 Tc 2. ab c 2a 26 2c Tat 7t T Taarob+rec 5/1 1 1 = 2 —+ - + - Pa T6 Tc/ _ 2. 9° 3. Det är tydligt, att A Ta To I = Iole + ALa. 2 5 men AFD. I. LÖSTA SATSER. 25 rb + rc I,I=IA+IA= A 264 c 46414041 Cos = 2 och Ala = Sin — 2 41LI= A A. 44a104e 2 Sin — Cos * 2 2 värdena på ra, %‘ och Pc enligt sats 196 Insättas här finner man A B C A1I,I = 8 R° Cos 4 Cos — Cos ; " 222’ men A B C 4 Cos — Cos — Cos - = Sin A + Sin B + Sin C 2 2 2 . 41a 1I = 2 R° (Sin A + Sin B + Sin C) = R'(2 R Sin A + 2 R Sin B + 2 R Sin C) R(a+b+c) = 2p R. abc abc = 2p.= , 4 4pr 27 hvilket skulle finnas. Prisuppgiften för år 1870.* o A uppgiften 1 har ingen lösning inkommit. Denna uppgift framställes derför som prisuppgift äfven för år 1871. Deremot har å prisuppgiften 2 inkommit en särdeles vac- ker elementär ** lösning af en af nutidens mest framstå- * Mellankommande hinder ha vållat, att vi ännu ej varit i tillfälle att i tryck utgifva lösningarna å prisuppgiften för år 1869. ** Bellavitis har äfven lemnat en lösning grundad på den af honom uppfunna eqvipollens metoden, [jfr Nouvelles Annales de Mathématiques, Paris 1869, sid. 289], hvilken lösning i det väsendtliga sammanfaller med den i årg. 1870 sid. 39 gifna. 26 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR AR 1869. ende geometrer, Giusto Bellavitis, professor i matematik vid universitetet i Padua. På grund af denna hans lösning, tillfaller honom det större af de år 1870 utsatta prisen. Bellavitis lösning * följer här. » Om två trianglar ABC och ABO ** ha gemensam micitellinie AAf och om den enes halfva bas MC' är bisseke- rande *** medelproportional till den andres omfattande sidor AC och AB, så är och dennes halfva bas MC bissekerande me- delproportional till den förres omfattande sidor AC och AB'. ») Såsom gifvet ha vi således: - .. ... 2 10 MO = AB. AC ) 2° MC//bissektr. till A BACS............... Man uppritar 4BMF4AMB, så att AM: MB = MB : MF, hvaraf lätteligen framgår, att äfven A AMC 4CMF och således A MCF = A MAC och följaktigen A AMB = A ACF. Då vidare på grund af den sist anförda likformigheten AC : CF = AM: MC = AM: MB, så följer, att äfven 4ACF n. A AMB, då alltså AC: AF = AM: AB.......................(2). Enär vidare A CAF = /\ MAB, så framgår, att bissektr. till A BAC//t bissektr. till A MAF. . . (3). I hvarje annan 4 ABC, der AM är midtellinie, ha vi efter analog konstruktion: AC :AF = AM : AB......................(4). samt bissektr. till ∕∖ BAC l/t bissektr. till A MAF . . . (5). Enligt (1) och (3) fås MC // bissektr. till A MAF; men MC är enligt konstr. bissektr. till ∕∖ AMF, då såle- - 2 des MF ∕∕ AF. Vidare fås enligt (1) och (2) MC = AF. AM; men enligt konstr. är MC2 = MF. AM, hvaraf följer AF = MF', då alltså * Vi hafva tillåtit oss en liten omredigering af Bellavitis bevis i ändamål att göra det lättare begripligt för nybörjaren. * * Figuren teckne läsaren sjelf [jfr årg. 1870, häftet 1 fig. 10]. * ** Jfr årg. 1870, sid. 23. t Tecknet // betyder här: sammanfaller med. AFD. I. PRISUPPGIFTER FÖR ÅR 1871. 27 MF # AF och följaktligen AFMF en parallelogram. Men nu är MC enligt konstr. bissektr. till ∕∖ AMF eller, som är detsamma, // med bissektr. till A MAF, d. v. s. enligt (5), // med bissektr. till A B‘AC‘; vidare är enligt konstr. och med stöd af (4) MC = AM. MF = AM.AF'= AB . AC. Vi ha alltså funnit ----2 1° MC = AB. AC 20 MC//bissektr. till a B AC. Den 11 december 1870. Vid namnsedelns öppnande stod följande att läsa: »Författaren till denna uppsats är GIUSTO BELLAVITIS, uppfinnaren af equipollens-kalkylen, professor i matematik vid univer- sitetet i Padua«. Prisuppgifter för år 1871. 1. Om de räta linier BD och BÄ äro lika stora, hvilka dela midt itu tvenne vinklar EBA och BED, som ligga på samma sida om det gemensamma vinkelbenet BE, så äro dessa vinklar lika stora. 2. Att upprita en qvadrat så, att dess fyra vinkelspet- sar ligga på tre gifna obegränsade räta linier. Det större priset är: de tre första årgångarne (1868—70) af TIDSKRIFT för MATEMATIK OCH FYSIK, tilleg- nad den svenska elementarundervisningen. Det mindre priset är: PLAN trigonometry BY I. TODHUNTER. Lösningarne böra vara insända till lektor HULTMAN i Stockholm före den 1 januari 1872. * Denna lärosats var ock prisuppgift för förlidet år. 20 AFD. II. ANMÄRKNINGAR BETRÄFFANDE BENÄMNINGEN: AFDELNING II. Anmärkningar beträffande benämningen: Natur- lig, Hyperbolisk och Nepersk logaritm. Af D—G. Naturliga logaritmer är en lika passande som vanlig benämning på logaritmer inom det system, hvari e (eller talet 2,718281828...) är bas. Hyperboliska logaritmer är ett ganska olämpligt, men mycket vanligt synonym för naturliga logaritmer. Det skulle lika gerna kunna användas för logaritmer inom otaligt många andra system, om icke bruket inskränkt detsamma; ty den omständighet, att arean af hyperbeln ay = 1 uttryc- kes genom naturliga logaritmer enligt formeln A = nat. log —. a då koordinataxlarna bilda rät vinkel, utgör icke något till- räckligt skäl för att uteslutande kalla dessa logaritmer hy- perboliska. Vid qvadratur af hyperbeln ay = 1 framställer sig nämnligen otvunget logaritmer inom helt andra system, om blott koordinataxlarna äro snedvinkliga. Så är t. ex. hyperbelytan A = logio — , a då vinkeln mellan axlarna är 25° 44'25",6. Alla dessa lo- garitmer kunna derföre med lika rätt, som de naturliga, göra anspråk på att benämnas hyperboliska, och tydligt är, att då man gaf de naturliga logaritmerna ett särskilt namn, derföre att de framträdde vid beräkning af den lik- AFD. II. NATURLIG, HYPERBOLISK OCH NEPERSK LOGARITM. 29 sidiga hyperbelns yta, man snarare borde vid bestämningen af detta hafva afsett kurvans s. k. liksidighet, än hennes egenskap att vara en hyperbel. Nu är emellertid bruket stadgadt, och man använder om logaritmer benämningen hyperbolisk såsom liktydig med naturlig. Man må dock akta sig för att gifva densamma äfven åt de Neperska, ty i annat fall gör man sig skyldig till det felet, att med samma namn beteckna tvänne betydligt olika saker. Neperska logaritmer sägas vanligen vara samma loga- ritmer, som de naturliga. Att detta är oriktigt och att olikheten mellan de verkligt neperska och de naturliga lo- garitmerna är ganska stor, skall här nedan i korthet visas. Neper låter sina logaritmer uppkomma på följande sätt. Tvänne punkter P och p röra sig utefter hvar sin linie, AB och ab, af hvilka den förra är begränsad och af läng- den M, den senare deremot obegränsad. a.------------------1---------------....b C Rörelsen börjar samtidigt i punkterna A och a, på båda ställena med samma hastighet. P rör sig med aftagande hastighet och på sådant sätt, att denna i hvarje punkt C är proportionel mot det återstående vägstycket CB. Der- emot rör sig p med oföränderlig hastighet. Om nu p be- finner sig i c, då P är i C, så säger Neper, att ac = nep. log CB. Sådan är hans definition på logaritm. I hvilket förhållande dessa neperska logaritmer stå till de naturliga, visar sig ganska lätt, om det rörelseproblem, med hvilket Neper sammanlänkat sin logaritmteori, löses med tillhjelp af den moderna kalkylen. Sättes nämnligen ac = &, AC=y, (dt)o \dt)o 00’ 30 AFD.II. ANMÄRKNINGAR BETRÄFFANDE BENÄMNINGEN: så blifva rörelseeqvationerna a = vot, dy vMM - = Wm( AL - , dt . 2 e (dt/o ° ' och således dy Vo 1 de= M O-» hvaraf erhålles - nat. log (MT-3) = M-n och, emedan y = 0, då t= 0, , M v,t nat. log —— = — EM—y M eller Μ — y « = -M.nat. log - . Poneras nu M-y = N och iakttages, att i detta fall a = nep. log N, så fås slutligen N nep. log N = - M.nat. log M* Sådan är relationen mellan de neperska och naturliga logaritmerna. Att denna förändras med värdet af M är tydligt; men lika tydligt är också, att de båda slagen af logaritmer under alla omständigheter, och således obero- ende af värdet på M, derutinnan ega diametralt motsatta egenskaper, att de naturliga logaritmerna växa, då de ne- perska aftaga, och tvärtom. Neper sjelf antog M = 10000000. Hur stor olikhe- ten mellan en nepersk och en naturlig logaritm för ett och samma tal i följd af detta antagande kan blifva, derom gifva nedanstående exempel en föreställning: AFD. TI. NATURLIG, HYPERBOLISK OCH NEPERSK LOGARITM. 31 nep.1og 1 = 161 180 956,509 5832. nat. log 1 = 0. nep. log 10000000 = 0. nat. log 10000000 = 16,1180956.. nep. log 2909 = 81425309. nat. log 2909 = 7,97556466. Sådane exempel bevisa till öfverflöd, att de neperska och de naturliga logaritmerna ej äro lika. Att de detta oaktadt någonsin kunnat förvexlas, förklaras måhända deraf, att då John Speidell år 1624 företog sig att i 6:te upp- lagan af sitt verk »New logarithms» förändra logaritmerna så, att de motsvarade, icke de neperska talen sjelfva, utan deras reciproka värden, man vid denna förändring kommit att fästa för ringa vigt för att deri finna någon anledning till att betrakta Speidells logaritmer såsom annat än neperska. Det är dock tydligt, att hans nya logaritmer vida mindre, än de ursprungliga, till sin beskaffenhet skilde sig från logaritmerna inom det naturliga systemet, och att de till och med skulle hafva blifvit alldeles identiska med dessa, om Speidell antagit M =1. Solution af ^3 po + 9 = 0. Af D—a. Eqvationen a(a + b)3 - b(a + a)à = 0, som efter utveckling och division med a — b blir 23 — 3aba — ab(a + b) = 0, göres term för term lika med 23 + pa + q = 0 , om a och b bestämmas så, att de satisfiera eqvationssy- stemet p = — , 3 ’ a+b= 37, p 32 ΛFD. II. ANMÄRKN. BETRÄFFANDE BENÄMNINGEN: NATURLIG ETG. hvilket naturligtvis sker, om a och b blifva rötter till an- dre grads eqvationen ,3q p A z -z - —= 0 P‘3 och deras värden sålunda (a E L 372 /92 p 2pV 4p3 t 3° För dessa värden på a och b blifva följaktligen röt- terna till a(a+b)3-b(a+a)3 = 0, som äro x , = asb3(as + bå), 2 = asbs(asa + b-c2), 3 = asbs(asa2 + bsa), tillika rötter till eqvationen x2+pa+q =0. Obs. Då a = b, har den gifna tredje grads eqvationen lika rötter, och man kan följaktligen undvara den nu fram- ställda solutionsmetoden, hvars duglighet man i detta fall kunde ha skäl att betvifla. Att man emellertid kan an- vända den, äfven om a = b, synes deraf, att värdena på x, som då blifva 3q ^ = —, P 3q -3 2p verkligen satisfiera eqvationen. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 33 Definita integraler af synektiska funktioner. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 277, Årg. III). 22. Enligt § 14 âr en synektisk funktions integral längs en sluten kontur = dess integral längs en omgif- vande sluten kontur, om nämnligen den förre genom kon- tinuerlig utvidgning kan öfvergå i den senare utan att be- röra någon kritisk punkt. Om derför a,, a2, ¾ etc. (fig. 1) beteckna spridda punkter, hvilka såsom medelpunkter äro omgifna af små fristående, genom räta linier (såsom fig. antyder) förenade cirklar, hvilkas allmänna representant må vara tecknet @), och om den prickade linien p utmär- ker en sluten kontur, som oändligt nära omsluter dessa cirklar jämte deras föreningslinier, så är under ofvan an- gifna vilkor integralen längs p = integralen längs den om- gifvande slutna konturen P, begge integralerna tagna i samma led, såsom pilteckningen antyder. Om nu p när- mar sig att i alla sina punkter sammanfalla med cirklarne @ jämte deras föreningslinier, så inses omedelbart, att in- tegralen längs P är = summan af integralerna längs @a), alla integralerna tagna i samma led, + summan af inte- gralerna längs föreningslinierna, tagna i motsatta rigtnin- gar, hvilken senare summa således är 0. Om derföre F(z) är synektisk för hvarje punkt på och mellan konturen P och cirklarne (a) och om summan af integralerna längs de senare utmärkes med L/ F(z)dz (der således summations- 3 34 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. tecknet afser de indicerade punkterna a,, a2, a3 etc.), så kunna vi alltså sätta p ( / F(z)dz - L/F(=)dz. . . .(30)*, hvilken vigtiga sats vi uttala under följande form: Om F(z) är synektisk för hvarje punkt på och mellan en sluten kontur P och de inom honom inneslutna små cirk- larne (a), hvilkas medelpunkter utgöras af de spridda punk- terna a,, a2, a3 etc, så är integralen längs den förre = sum- man af integralerna längs de senare, alla integralerna tagna i samma led. . 23. Enligt föreg. § kunna vi nu beräkna integralen längs en sluten kontur P hvilken som helst, så snart vi känna integralerna längs de oändligt små cirklar, som om- sluta de inom konturen befintliga kritiska punkter eller, kortligen uttryckt (jfr § 15), så snart vi känna alla punkt- integralerna inom konturen P. Således, om f(z) och ç(z) äro synektiska för hvarje punkt på och inom P och om 9(a) = 0, der a är den allmänna representanten af de inom P belägna rötterna a,, C2, a3 etc. till 9 (z) = 0, så fram- går omedelbart af (30) följande vigtiga formel P @ /f(z), + 1 • 9(2) — 9(2) k 7 Anm. Denna formel är så generel, att hon gäller för såväl enkla som mångfaldiga rötter till 9(z) = 0 äf- vensom för det fall, att f(z) och 9(z) ha gemensamma röt- f(a) 0 ter, detta senare af det skäl, att, om - = - = ' 15 9p (a) 0 ändlig * Vi begagna här för enkelhetens skull samma bokstaf 2 att ut- märka punkter på så väl konturen P som cirklarne (a) (jfr § 15). Detta behöfver i allmänhet icke föranleda någon tvetydighet, emedan variabeln under integraltecknet alltid är begränsad att fixera punkter på den kon- tur, längs hvilken man integrerar. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER ΛF ETC. 35 qvantitet, så är den motsvarande punktintegralen = 0 (jfr § 7) och försvinner derför ur summan till höger i (31). 24. Om vi i (31) antaga mod 9(a) > 0, d. v. s. alla rötterna a,. a2, ¾ etc. till ç(z) = 0 enkla*, och om vi låta Q0 med a som medelpunkt beskrifva den oändligt lilla cirkeln (a), då z =a+Q och dz=iq„dœ, så erhålles P 27 /f(z) 1 _ v l°if(a+(w)en 1 J 9(=)d5 - -J q(a+(o)" de 0 . eller för lim 0 = 0, då vi iakttaga, att - 1— 9(a+0w) 9(a+Qw)-9(a) Po 1 = - , och under antagande, att inom P finnes p styc- 9(0) ken kritiska punkter a,, aq... ap: P /f(z),f(a,) . / = 2niS.... (32). • 9() 9C) 25. Skulle det inträffa, att en rot b till 9(z) = 0 vore sådan, att 9p (b) = 9(b) = ... = 95—1(6) = 0, d. v. s. att den ste derivatan vore den första, som icke blefve 0, så ega vi att förfara på följande sätt vid beräkning af den motsvarande punktintegralen. Enär 9(z) antages synektisk för hvarje punkt på och inom konturen P, inom hvilken punkten b antages ligga, så kunna vi sätta enligt den Tay- lorska serien gp(e) -(=-b)x(e)......(33), * Att a är en enkel rot till (p(z) == 0 för mod q'(a) > 0 och det för hvilken synektisk funktion q(z) som helst, inses omedelbart genom att utveckla q(z) enligt Taylorska serien: ----( z—a , 9 z) ==(0+2 — a) == 2—a)9'(a) + 1.2 P"(a) + etc. S , der den senare parentesen i sista ledet omöjligen kan bli 0 för s ==a. 36 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. der x()-%0 + .-1q0)+..2'y"*)+ekc... (34), och der således b under angifna vilkor är en s-faldig rot till 9(z) = 0, hvilken synektisk funktion çp(z) än må vara. Med begagnande af likheterna (33) och (34) erhålles på grund af § 16: f(z)- f(z)dz. _ 2rti ( f(2)0-1) (35) J 90)(2-b)°x(2) [8-1 x(z))......................... hvilken likhet visar, att punktintegralen omkring den s- .. 2πi faldiga rotpunkten b finnes genom att multiplicera med det resultat som fås, då i (s — 1)e derivatan af qvoten 9p(z) insattes b. x(2) Anm. Formeln (35) är äfven giltig för s=1, d. v. s. för b = enkel rot, då vi låta 10 betyda 1 och en derivata af ordnings nummern 0 betyda sjelfva funktionen [jfr (32)]. 26. Genom att sammanfatta formlerna (32) och (35) kunna vi således sätta följande generela formel, då det inom P gifves de enkla rötterna a,, a2...ap och de mång- faldiga rötterna bi, b2...bq till 9(z) = 0: /a-a-X ES X-2co, der vi med u,, ua...Lq utmärka de enligt (35) funna punktintegralerna omkring de mångfaldiga rotpunkterna b, , b2 .. .bq , 27. Genom formeln (36) äro vi nu i tillfälle att be- räkna integralen längs en sluten kontur P af hvarje ut- tryck, som låter sätta sig under form af qvoten mellan två synektiska funktioner hvilka som helst. Af denna generela AFD. II. DEFINITA INTEGKALER AF ETC. 37 integrations metod framgå följande tvänne för integration af reela funktioner särdeles vigtiga specifikationer. 1°. Om vi låta konturen P utgöras af en halfcirkel ZAzZ (fig. 2) med medelpunkten 0 som origo och dia- metern 20 Z som grundrigtning, inneslutande de kritiska punkterna a,, a2 ... ap och b,, b,... bq, hvaraf de förra äro enkla och de senare mångfaldiga rötter till ç(z) = 0, och om vi antaga qvoten - narma sig att bli 0, un- 9 (2) der det mod z närmar sig co eller, kortligen uttryckt, zf(z) lim 2 = 0 (37), l 9(z) så fås, då JP sättes = /24% + /2 och under iakttagande, %o att för z = OA - (w är / = i 7 du = 0 0 [enligt (37)], följande särdeles intressanta formel: Anm. Man lägge nogsamt märke till, att (38) gäller endast för så vidt vilkoret (37) är uppfyldt. I detta fall är nämnligen den del af integralkonturen, som svarar mot den oändligt stora halfcirkeln ZA%, oändligt liten, då re- sultatet till höger i (38) måste vara = den del af inte- gralkonturen, som svarar mot grundrigtningen z OZ från — oo till +∞. 2°. Om vi i (36) sätta z=5+in /() - A+1B 9 (z) . (39) der således A och B äro reela funktioner af § och 7, så fås, enär dz = dz+idn: 38 AFD. II. DEFINITA INTEGRALEK AF ETC. P Jd==J(Adg-Bdm)+i adn+Bds) ... (40). der ξ och η äro rätvinkliga koordinater för punkter på konturen P och således äro bundna vid hvarandra genom konturens eqvation Ψ⅛, 1) = 0...............(41), förmedelst hvilken den ene variabeln med dess differential låter eliminera sig ur högra ledet i (40), hvarvid integra- tions gränserna angifvas af konturen P. Såsom enklast ega vi att anse det fall, då konturen P utgöres af en po- lygon t. ex. en triangel eller rektangel, då vi låta (41) successivt representera sidorna, hvarvid integreringen verk- ställes längs hvarje sida särskildt mellan polygonens hörn- punkter som gränser. Om vi åter i (36) låta 2 representera en cirkel med origo i mededelpunkten och vi sätta z = 00 •’• dz = iρωdω | Lz/(e) E X*Y (.................(42), 9 (2) 1 der således X och Y äro reela funktioner af ω, så fås / — dz = / Xdc +i / Ydo............(43), • 9(2)0 hvilken formel anvisar ett ytterst enkelt sätt att finna in- tegralen af reela funktioner mellan gränserna 0 och 27. 28. Om vi i öfverensstämmelse med § 9 ha att taga integralen af en synektisk funktion “(=) mellan gränserna 9 (a) 20 och z (fig. 3) utan att närmare angifva den väg, längs hvilken integrationen tänkes verkstäld och hvilken derför kan vara hvilken som helst, såsom räta linien 202, kon- turen 20 4z etc., så måste integralens resultat i allmänhet bli olika, allt efter den olika väg längs hvilken man inte- grerat, om det nämnligen mellan de olika vägarne gifves en eller flere kritiska punkter. Om vi derför med u re- AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 39 7 presentera den allmänna betydelsen af integralen / "(2) , •9(e) tagen längs någon af de vägar, som leda från 20 till z, och om vidare uo utmärker samma integral, tagen längs en bestämd väg t. ex. räta linien 202, hvilken senare integral vi kunna anse såsom den allmänna integralens principal- värde, så kunna vi sätta i enlighet med (9), då konturen 20 Pro antages med ett eller flere hvarf omsluta de kriti- ska punkterna a., a. etc. och då u tages längs vägen 20 P202 : z % = / —dz = %+Ex. .... (44), J9(z) * 20, der summationstecknet afser de särskilda punktintegralerna eller perioderna S2., S22 etc., som härflyta från de inom konturen 20 Pzo befintliga kritiska punkter (jfr § 26), och der x representerar ett helt positivt eller negativt tal, som för hvarje särskild period kan ha ett särskildt värde. Be- trakta vi åter z såsom en funktion af u, så kunna vi sätta z = F(u) = F(u0 + 2×Ω) .... (45), då således z är en periodisk funktion af u, d. v. s. bibe- håller identiskt samma värde, hvilken period grupp ExS vi än behaga lägga till principalvärdet %o. Vi kunna alltså uttala följande vigtiga och intressanta sats: Om f(z) och g (z) äro synektiska för hvarje punkt på och inom en sluten kontur 20 Pz0, inom hvilken rotpunkterna a,, a, etc. till 9p(z) = 0 ligga, och om tillika qvoten 9 (2) är synektisk för hvarje punkt på vägen 20 Pzg2, så är defi- nita integralen u af —, tagen från till en kontinuer- .9()'' lig och mångsvarig funktion af £, och 2 sjelf är en periodisk funktion af u med 2 x. som period, då nämnl. XxS ut- märker summan af punktintegralerna inom 20 Pro, hvar och en multiplicerad med ett godtyckligt helt pos. eller neg. tal x. 40 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Anm. Enär konturen zo Pzo är till sin form godtyck- lig, så utgöra de inom honom inneslutna kritiska punkter ett godtyckligt antal af rotpunkterna a, , a, etc. till 9(z)= 0, hvarför de i periodsumman innehållna periodernas antal är godtyckligt men icke öfverstigande antalet olika rötter till 9(z) = 0. Maximi-antalet olika perioder S2,, 922 etc., som kunna ingå i YxS, då de perioder, hvilkas argument icke skilja sig på mer än kr (k = 0, 1, 2 etc.), betraktas så- som till betydelsen sammanfallande *, utgör den karakter, efter hvilken man grupperar de periodiska funktionerna i »enkelt periodiska », » dubbelt periodiska» och i allmänhet i n-periodiska. Så t. ex. om u- / ——- = Uo+ExS, der zo de mot rötterna i och -i svarande perioderna äro respek- tive 7 och — , så är z = F(uo + x7) [= tg (uo + x 7)] en enkelt periodisk funktion af principalvärdet uo; vidare om z u = ! -------= u+xS, der den mot roten 0 svarande pe- tz 2 rioden är 2i, så är z = F,(u + 2x 7 i) likaledes en enkelt . - fedz periodisk funktion af un; deremot om u = f — = uo + FxS, der de mot rötterna 0 och a svarande perio- , 27i , 2xiea 0.. . derna äro resp. och , sa ar for C = en - a a * Att perioder, hvilkas argument blott skilja sig på k, icke få betraktas såsom karakteristiskt olika, framgår deraf, att, om deras resp, x-faktorer få lämpliga pos. eller neg. hela tals värden, så kunna deras multipler bringas till likhet. Således, om 2, = 12 [p och g = hela pos. el. neg. tal , så äro för ×1 = ⅛ och κ2 = p periodmultiplerna x, S2, och ×2Ω2 lika; är åter S21 = u .2, der u är ett irrationelt tal och således P 2, så blir formeln (50) tillämplig och således serien inskränkt till fyllnadstermen ensam (= summan af »partialbråken»). Ex. 2. f(x) = 1, v(a) = e% + 1, då rötterna till Y(a) = 0 representeras af ±(2x — 1)ri [x = 1, 2, 3 etc.]. Vi specificera detta exempel efter konvergens cirkelns stor- lek i följande två moment. a) 0 = 37r — e. I detta fall har qvoten —— inom V a) konvergens cirkeln två kritiska punkter, nämnl. 017 = +i 6 - [jfr fig. 6], då alltså enligt (54): Enligt (56) fås för beräkning af punktintegralerna om- kring 0: dz ‘ 0 0 0 1 Ç dz _ 1 1(1 00 0 1 1 ($-1). 2niJ 25 1(2) s-1 4(2)) enligt (57) och (58) fås, enär /V = 2, /V=/V=...=1: 7 = och 240)+7140r-1)+7.2—%4(r-2) 4..47+1 = 0, ∕ lv l l L2 9 hvaraf framgå följande bestämningar: 0 ‘,0 .0 ,0 /V =-% = - A,, /u" = $ = A, /uV=-1 = - 4a, /u"= 17 = A4, /u" = - 4 = - As etc.*, samt /u"=/u" =/u" =...= 0. * Dessa tal A,, A2, A, etc, hvilka, som vi skola se, aro nära beslägtade med de « Bernulliska talen“, ega i likhet med dessa åtskil- 54 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Vidare är enligt (32) a, 2ri, s'V(e) Ex(a)V(a) - (iny + (-in)) ’ hvilken summa är 0 för 8 = udda tal, men - -- för s = jämnt tal. Slutligen är fyllnadstermen dz y° 1 _ 2.7 (, - 2) y(a) P (a-a,)y(a) «3+3 Vår serieutveckling blir alltså: 1 _1_4, 2/„94, _ 212 4, 2. e"+1 2 jl 73 +443 n°) ⅛ 7° ( 7 78) 02+72 Anm. Utvecklingen af .—i en konvergent serie 6 ef + 1 6 efter stigande digniteter af x har förut varit möjlig endast liga intressanta egenskaper, hvilka vi icke kunna underlåta att påpeka. Således, om vi sätta = 1 — ex + e2x — (Sz+... + (2nz =__4 , 1+x der 4 ==1+en+1)z och således /2 == 2, /4 == 2n+1, /4" = (2n++1)2, .../20) == (2n + 1)r, sä fås i öfverensstämmelse med (58): o φ(r)(0) =) u(r) 4+r. u(r-1)2 + T.r--1 u(r-2)" + . . ru'A -1) + u A) i I 2 5 eller, som är detsamma: 0 - -1 2r - 3r... + (2n)r = 2u)-ru(-1).(2n.1).7.7-1,z-2).(2n+1)2... + r'u'(2n + 1)r-1 +u.(2n+ 1y , o ,0 .0 .0 der vi ha att införa de funna värdena pa /u, /u', /u“ etc. Förmedelst denna formel kunna vi således summera de konsekutiva talens rte digni- teter, förenade genom alternerande tecken. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 55 för a < 7t; den här gjorda utvecklingen deremot gäller för 3 > x> 0. Det är nu möjligt att efter behag utvidga konvergens cirkeln, blott vi iakttaga, att för hvarje nytt par af kritiska punkter [± 3i, ± 57i etc.], hvilka inne- slutas inom honom, en summering af motsvarande punkt- integraler verkställes såväl i de successiva koefficienterna som i fyllnadstermen. b) 0 = 2k7, der k är ett mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln finnas nu de kritiska punktparen % = + i, “3 = + 3zi, Caa—10 = ±(2%- 1)ri. Enär i C2) C,) C2k ) öfverensstämmelse med (62) för en oändligt stor konvergens cirkel lim / 1 = 0, 1 2(e3 + 1) ’ så fås enligt (63): ef + 1 2ni / z V(z) A1 z4()) 2ni, , (χ-z)ψ(z) eller efter utförd beräkning af punktintegralerna: 1 1 (_____________1 _________1 1 ) e“ + 1 2 "(22 + n3 * a2+(31)2 * 2+(2k-1)nJ3 ‘ hvilken identitet således är sann för hvilka ändliga värden som helst på a. Anm. Den för konvergens cirkeln 0 = 2kn försvin- nande koefficienten till x3-1 [s = jämnt tal] är af formen 1 ( dz dz ) 5—/ - + 2 / - = 0, 2r 2'V/(2) F=1U 2'w(2)) hvaraf framgår följande särdeles anmärkningsvärda relation: 87A,.1 1 1 —----=1 + — + — — 2[β--33 5i (2k — 1)4 56 AFD. I1. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. eller för s = 2n: na2An 1 11 1 2n 32n52(2% — 1)2n ' hvarur An (synnerligen för hög index) med lätthet låter beräkna sig. Ex. 3. f(z)= 1, (a)= e"-1, då rötterna till 1P(a)= 0 represenseras af ± 2x t i [x = 0, 1, 2 etc.]. Vi särskilja detta exempel i följande två moment. Q = 4m — 8. I detta fall har qvoten tre kri- tiska punkter inom konvergens cirkeln, nämnligen a, = 0, dal = ± 2πi (jfr fig. 7), då alltså enligt (54): 1 2 17 da ly da lies da lyda l e=-1 2ni?v z2x(=) z1(2))23x(2) — 224(=)) Enligt (56) fås för beräkning af punktintegralerna om- kring 0: 0 0 0 dz _ 1 12002011 (—1). 2"x(=) s-1| 4(z)) s-1|° enligt (57) och (58) fås, enär /% = 0, /V=/V“=...= 1: x(z) Y(z) = 1 1+"."-2)+.72 + % = 0, hvaraf framgå följande bestämningar: ÅFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 57 0 ,0 .0 0 /u=- 1, /u=1=B,,/%=-i⅛ = - B., /u" = ⅛ = B,, ,0 ,0 . ,0 ,0 /u" = - 3 = - B,, /u* = ∕β = B, etc.* samt /u" = /u" = /uvn =... = 0. Vidare fås enligt (32) dr 1 y3 e V_________________1 - 1 1 2r i, . =V(=) F2(a,)4(a,) ((2ni) + (-2riy ‘ hvilken summa är 0 for s = udda tal, men 2 för s (2ni)5 = jämnt tal. Slutligen är fyllnadstermen _y/ dz y‘ 1 _ 1 ___________________________2a %πir = ι (a — 2) V(z) (a - ar) V(ar) a * 22+(27)* Vår serieutveckling blir alltså: 1 - 1 (B,2246(B, 2 e“-1 2 12 (2r)2) 14 (2r)4)* 16 (27)8) ∙" 1 .__________2a taf 22+(2n)21 * Dessa tal, B., B,, B, etc. kallas de Bernulliska talen och förete följande märkvärdiga egenskaper (jfr Bertrand, Calc. Diff., pag. 349). Om vi sätta 4 uA ex—1 , 9(2)=1+e + 2+.. +em-12 = o ∕0 /0 10 der — ==m.-1 och saledes (4 == 0, /4 ==m, /4 /0 m2,.../A() == mr sä fås enligt (58) genom att (r + 1) gånger dérivera likheten xç(x) == ud: | ur)A' + 1 ur-1)4" + 2 3— %-24" +- 1 ?. Y eller, som är detsamma: 0 — 1r+2r+3r+..(n-1)—m/}uo+2 10-1.14518—uv-2).n2+ etc.(, der vi ha att införa de funna värdena på /å, ∕ul, ∕u" etc. Förmedelst denna formel finna vi således summan af de konsekutiva talens rte digni- teter. 4* 58 AFD. Π. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Anm. Om vi sätta -—- = F(), sa kan K(a) ut- vecklas efter den Mac Laurinska serien for a < 27 (jfr Bertrand, Calc. Diff., pag. 306). For 22 27 har utveck- 1 e= - 1 lingen af i en konvergent serie efter stigande digni- teter af x ansetts omöjlig (jfr Bertrand, Calc. Diff., pag. 421). Vi se nu, att en sådan utveckling är möjlig och utförbar för en efter behag vald konvergens cirkel, under iakttagande att för hvarje nytt inom cirkeln inträdande kritiskt punktpar [± 4zi, ±6vi etc.] en summering af mot- svarande punktintegraler verkställes i koefficienterna och fyllnadstermen. b) Q = (2k+1)7, der k är ett mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu de kritiska punkterna a, = 0, Ca , = 4 27ci, ? =+4ri,... "2=+2kni. C3) Os) (2k+1) Enär enligt (62) för en oändligt stor konvergens cirkel lim / = 0, så fås enligt (63): ro a, 1 _ 1 dz yati/de ? 1 e"-1 2n i 3 2x (2), . zv(z)) + 2n i,5 J(-z)+(z) eller efter utförd beräkning af punktintegralerna: 1 , 1( 1 1 1) e--1 2 2’ (2+(270)2 2 + (4/1)2 02+(2k7)2) hvilken identitet således är sann för hvilka ändliga värden som helst på a. Anm. Den för konvergens cirkeln 0 = (2k+ 1)7 försvin- nande koefficienten till a-1 [s = jämnt tal] har formen 0 a, 10T=2k+1 . 25+1x(2) + r=2 J 25 4(z)) ’ AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 59 hvaraf framgår följande särdeles anmärkningsvärda relation: 708111 1 — . Bys — — + —— + — + - 2L8 τ 28 48 68 (2k)6 eller för s = 2n [jfr Bertrand, Calc. Diff., pag. 421]: 22n.72n 11 1 2 2n " 22n 32n k2n Genom jämförelse med det i förra ex. funna värdet på An erhålles följande enkla relation mellan talen A., A, etc. och de Bernulliska talen B., B2 etc.: 2n An = B„{22n—1|. Ex. 4. f(a) = 1, V(x) = Cos x, då rötterna till Y(x) = 0 represenseras af ± (x1) [x = 0, 1, 2 etc.]. Vi särskilja följande två moment. 1 a) 0 = $70 — 8. För detta fall har qvoten — fyra kri- 29 2 1 v(a) tiska punkter inom konvergens cirkeln, nämnl. 01 C2 dal = ±37 (jfr fig. 8), då alltså enligt (54): 1 1/ dz y / dz ) . dz yf dz 7 Cosa 2ni/v zv(z)t- z(2)9*470 221(2) * 5 221(=)) dz "r dz | z24(2) Enligt (56) ha vi för beräkning af punktintegralerna omkring 0: /0 0 0 1d. 1(1 )(s—1) 1 i _ / -03 = - )= -24(s—1); 2nid z'U(z) s-1|(4()) s-1 enligt (57) och (58) fås, enär för x = 0, 1, 2 etc. /1(2%) = (- 1)* och /(2%+1) = 0 : 60 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. , _2 (%)s (3 7)) 1 1 1 och Juo-T."-1 18 r-9) + "."-1.."-31(--... 0, lv l 12 14 1 hvaraf framgå följande bestämningar: /0 ,0 ,0 .0 W = 1 = G, /u" = 5 = C, /u = 59 = Ca, /u = 1329 = C4, ,0 ,0 ,0 /ut = 48421 = Cs etc. samt /u =/u" =/u" =... = 0. Vidare är enligt (32) a, dzL'y 1 _1 1 ( 1 1 ) . "V(z)" É (a,y y(ap)" (ny (-ny" ( ry (-4my) hvilken summa är 0 for s = jämnt tal, men - för s = udda tal. Slutligen är fyllnadstermen nar dz L'y4 1 7 37 ,= (ac-a) V(=) É (a-a,)y(ar) - (à 7t)2-a3 (â n)P-a2* Vår serieutveckling blir alltså: 12 2 aC,2 2 ? Cos a - j Am t Am+472 (#7)3 T (7) 4\C, 2 2 i 37 te 14 (#7)6 "(4r)e tt (47)8-2 (Ar)P-æ?° Anm. Denna serie med sin stora konvergens cirkel Q = {7 - 8 har företrädesvis sitt intresse för den hyperbo- liske sekanten, hvilken erhålles genom att sätta x = ig, då 1 222 EC 2 Cls Cosis e5+e : 17 47) 512 (7)2 (A73)) C2 2 2 7 i_______________________________3r 574 (z) ( 7)5 Gx)2+53 (r)2+82 b) Q =k7, der k är ett särdeles stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln finnas nu de kritiska punktparen AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 61 4=-1n, Cs = +:,... 02-1( = + (21 - ). Enär i C2) - α4) C2k ) 2 öfverensstämmelse med (62) for en oändligt stor konver- gens cirkel 7=0 så blir enligt (63) serien inskränkt till endast första ter- men och fyllnadstermen. Om vi införa 4+5= Z = Qu, då § för en oändligt stor konvergens cirkel P kan anses sammanfalla med Qu [jfr fig. 8], hvaraf dç = içdc och lim = 1, så kan första termen sättas under formen ia+S P P 2- dz__ ° dç . do J z Cos z J (%x+5Sint= Sin ; 0 och följaktligen enligt (64) anses såsom försvinnande. Vi kunna alltså enligt (65) sätta a, 1_ - 1'y* Γ___________da_______ 'yo______1____ Cos a 2zi, 0 (a—2) Cos z 1 (a—a) Sin a, eller efter en enkel reduktion af termerna 1 _ ( 1 3 5 (- 1(2k-1) ) Cos a 2((27)2-22 (2x)2-22"(57)2-22 * (26-1 2 ( 2 ) Anm. 1. Genom att sätta a = is få vi följande för en oändligt stor konvergens cirkel gällande serie: 1 1 3 5 2 Cl;” (7)2+E Qn)2+52t(2n)2+g3" et°∙⅛∙ Anm. 2. Den för konvergens cirkeln Q = k i försvin- nande koefficienten till a6 [s = jämnt tal] har formen dz 27i r = 2i V aud T—1 5 0 62 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. hvaraf framgår följande anmärkningsvärda relation: w*+1.C4. , 1 1 (—1) 25+2L8 - 1 3s+1 + 55+1 * (2k—1+1 eller för s = 2n [jfr Bertrand, Calc. Diff., pag. 423]: —2n+1 (7 1 1 22n+22n - 132n++1 + 52+1etc. ’ hvilken formel är giltig äfven för n = 0, då vi låta Co äf- vensom [0 betyda 1. Vi kunna nu med lätthet beräkna Cn för huru högt värde som helst på n. Ex. 5. f(a)= 1, ¥(a) = Sin a, då rötterna till v(a) = 0 representeras af ± xi [x = 0, 1, 2 etc.]. Vi särskilja föl- jande två moment. a) 0 = 37 - , då qvoten 1 har fem kritiska 9 ’ 1 V(x) " punkter inom konvergens cirkeln, nämnl. a1 = 0, a.) 1 = ±70, C3 ) 04( = ±2n, då alltså enligt (54): T=2 1 - 1 Sin. 2ni Enligt (56) är 0 0 0 1 (dz _ 1 3 20ED1 40—1; 2id 2 x(2) 8-1/V(z)) 8-1 enligt (57) och (58) fås, enär för x = 0, 1, 2 etc. / ^^ = 0 och /4(2x+1) = (—1)*: / w(z) och M-D- *a"2ur.9 + *6"-4d"-D--{-o, AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 63 hvaraf fås följande bestämningar: ∕° ,0 0 V= 1 = Di, /u" = = Da, /u" = 21 = D, etc. sarat ,0 ∕0 /ù = ∕u" =/u =... = 0. — Vidare fås enligt (32): r a, 1 yi /dz _ V 11 _u1 1 1 2ni,,2+(=) ,,(a,) Y(ar) ns (-x)*(2n)" (-2n)' hvilken summa är 0 för 3 = udda tal men = —2 705 (278)5 för s = jämnt tal. Slutligen blir fyllnadstermen ta, dz y________________1_____1 2a_______2r r_i (a - z) V(z) ,2.(a-a)Y(ar) a"x3-a3 (27)3-a° Vår serieutveckling blir alltså: • 1 \D, 2 2 D, 2 22 Sin a 4 2 ' 73 + (21)2) +é 14 7r4 t (27)4S +4 216 76 + (27)°) + * n3--a2 (2n)2-a** Anm. Denna serie med sin vidsträckta konvergens cirkel o = 37 — 8 har sitt förnämsta intresse för den hyper- boliske kosekanten, hvilken fås genom att sätta a = is, då 1 i 2 E(D, 2 2 Sh§ - Sin ig - e5-je-s 512 n3 * (2rt)3) (D, 2212 2? *5 4 " t (2n)4 etc. të n2+g" (2n)2+5% b) 0 = (k + 4), der k är ett mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi de kritiska punkterna a,) a )C2z ) , . a, = 0, 2 = ± 7, 4. = ± 2r... =±k. Foren C3) Cs) C2*+1) oändligt stor konvergens cirkel är formeln (65) tillämplig, då alltså 1 19%/d2_ ry2i+1 1 Sin a - 2ni 5 J(a-z)Sinz " 1 (a-a,) Cos a. 64 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. eller efter en enkel reduktion af termerna 1 1 2 1 1 . 1 (-ιy ? Sin a at "n3-a2 (2n)3—w3+ (3n)2—g3 " (kzt)2-a2) Anm. 1. Genom att sätta x =i§ få vi följande för en oändligt stor konvergens cirkel gällande serie: 11(1 1 1 ) Slë § 5772+52 (2n)2+53 (37)2+52 $ Anm. 2. Den för konvergens cirkeln ρ = (k+1)7 för- svinnande koefficienten till 03-1 [s = jämnt tal] har formen 0 ar 1 dz yut /dzl.o 2ni • 2*+1x(=) + a • 2'V(=)) - ’ hvaraf framgår följande relation: 7 D)4, 11 1 (—1) 2Ls 28 35 48 k* eller för s = 2n: «2n. D, 111 22n - 22n 32n 42n + etc. Genom jämförelse med de i ex. 2 och 3 gifna bestäm- ningar på An och Bn erhålles Bn + Dn = 2n A, eller Dn = Bn(22n-2}. Ur denna formel återfinna vi de ofvan beräknade vär- dena på D,, D., D, samt D, = 12,7, D, = 2358 etc. Ex. 6. f(x) = Sin a, Y(a) = Cos a, då de kritiska punkterna äro desamma som i ex. 4. a) 0 =2— 8. I enlighet med våra föregående exem- pel finna vi: (2E, 2 ) (4 E, 2 ) 5 (7)25 . (7)45 (6E, 2 ) 2 +a 6 (n) + + (22* AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 65 Anm. Den hyperboliska tangenten fås genom att sätta a = is, då - tgi§ el—e-5 (2E, i e“+e s (7)25 (4 E, 2 ) . 25 (14 Gr)4S C7)2+52 b) Q = ki, der k är ett mycket stort helt pos. tal. Formeln (65) är nu tillämplig, då ( 1 1 tg X = 2. -— , + , 6 ((2 7)2 - a2 (2 7)2 - a 2 1 2 7) Anm. 1. För a = is få vi följande uttryck för tang. hyp.: Tåg = 25 — + etc.” • .(G 7)2+52 (37)2 + 52 ) Anm. 2. I enlighet med föreg. ex. mom. b) anm. 2 fås för bestämmandet af En följande relation E. - 221. 4,, hvaraf framgår (jfr ex. 2): E, = 1, E. = 2, E, = 16, E. - 272 etc. Ex. 7. f(x) = Cos, Y(x) = Sin a, då de kritiska punkterna äro desamma som i ex. 5. a) 0 = 2n — 8. Vi finna i likhet med förut: . ( 2 F,) ( 2 F,) 6( 2 F,) Cotg a = x— — + - 2 + 53-- + ... 6 (702 2) . (704 4) (709 [6) 1 2a: + , 2, C 70 - Anm. Den hyperboliske kotangenten fås genom att sätta a = is, då ⅛ - /Cous: - 3:4 " - 3 - 102-34-e. 1 25 § 702 + 52 66 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. b) Q = (k + 1), der k är ett mycket stort helt pos. tal. Formeln (65) kan nu tillämpas, då 1 1 1 1 1 2 Cotg 2 a 2a in 3 a + (2r)"-a3 (3n)2-aa ** (n)"-a2 • Anm. 1. For æ = ig fas följande uttryck for Cotang, hyp.: TIE - 7 + 2272+88 + (2r)+F + etc: Anm. 2. För bestämmandet af Fn fås följande rela- tion : Fn = 22". Bn, hvaraf erhålles (jfr ex. 3): F, - 1, F, = *s F, = H, F,= N etc. Ex. 8. f(a) = 1, Y(x) = 1 - Cos a, då rötterna till Y(x) = 0 representeras af 2k 7 [k = 0, 1, 2 etc.]. Enär 2k - /Y(a) = 0, så äro alla rötterna till Y(x) = 0 tvåfaldiga, hvilken omständighet är af särskildt intresse för belysnin- gen af våra formler. , , 1- C) o = 470 — 8, da qvoten —— har tre kritiska punk- ‘ V(a) - ter inom konvergens cirkeln, nämnl. a. = 0 och 2 =+2. ' . Cg Om vi enligt (55) sätta %(z) = (z - a,)2 x(2), så fås enligt (54): 1 — Cos2/i då r=3 r=3 V 1 v3 /dz 2ni -(z-2)4 nfr dz - . . a"H() + 2 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 67 Vi få enligt (56): 0 0 0 1 dz 1 ( 22)(+1) 1 . 2niu 2842x(2) s+1 (4(z)) s+1 Enär / = 0 samt /V(2x-1) = 0 och /1(2%) = (- 1)*-1 [x = 1, 2 etc.], så fås enligt (57) och (60) [r = 3,4 etc.]: u = 2 och 1 -ur—2) - 2----------------u(r-4) \ +-------------%-6-...( = 0, 6 hvaraf framgå följande bestämningar: /u" =3 = G1, /u" = i = G2, /u" = 21 = Ga etc. samt /u = /u" = /u" =...= 0. Om vi enligt (56) sätta a = (2 - a,)2, ß = 2 4(2) samt då / - a - § - g - 0 samt /a - 1.2, /ß" = a, och /ß" = 3sa, , så följer enligt (60) för ,=2 och r = 3: 1.2=/ß+v" = eller /v = — samt 0 =+v" = / 3"v+ 38"d7 eller /v =—. Vi finna således i öfverensstämmelse med (56): ra ar 1 r-3 dz ( 1 1 ) 2m 2/(-a)"x(e) - Alo - - 24(27/11 + (-2ry1, ‘ hvilken summa är 0 för s = jämnt tal och = —-, ° (27)4*1 för s = udda tal. 68 AFD. ιι. DEFINITA INTEGRALER AF Eτc. Om vi slutligen sätta c = (z — a,)2, 6 = (a — 2) V(z) ce - 1“, “, “I, samt — = w, då ∕b = V = 0 samt /0’= a—a, och /b" = - 3, så fås enligt (60) för ‘ = 2 och ,‘= 3: fr 4, ,ar 2 1.2 =b+w" = ∕b"w eller /w = 0 C — Or samt a, ar 4, 2 0 = /b+w)" = /b"w + 36"w} eller /w = (a -a,)2 • Fyllnadstermen antar således formen a, . a, 1Y /da - 2 L - 2 + 251 + 1 2ni• (x - 2) V(z) a ((a-21)2 (a+2r)2) Vår serieutveckling blir alltså: 1 (G, 4.1, „9G, 4.32 „ G, 4.5), 1-Cos a2 (2n)3)* 714 (2r)4j+ 6 (2r)° * af (a — 27)2 * (a + 27)3 Anm. Genom att sätta a = ig fås 1 §G, 4.1 en G, 4.3 1-Ch§ 12 (2zr)≈⅛ 514 (2r)" * : 24(2n)2 2 52 - (2n)2+5212 b) 0 = (2k+1)7, der k är ett mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu de kritiska punkterna 4, - 0, 0 = + 2, C = + 2.2r,.. %% C3) Cs ) (21+1) Enär för en oändligt stor konvergens cirkel lim,—7— = lim 2 = 0 AFD. Π. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 69 [utom möjligen för a, = ett särdeles stort tal och 2 = 0 eller 180°, hvilket fall dock icke kan ha något väsendtligt (P /2 da ./ do 2 V(2) . 1 — Cos z 0 till annat än en oändligt liten qvantitet], så fås enligt (65): 1 - Cos a x (a-2x)2 " (x + 27)2 " (a-2.27)2 1 1 1 2 +(x + 2.27)3 : (a - 2kn)2 + (a + 2kn)3)" Anm. 1. Genom att sätta a =is fås följande ut- veckling: 1 2al(2n)3—*2(2.2n)-52 i 1-Ch§§2" (X(27)2+527° X(2.2n)2+5202: Anm. 2. Den för konvergens cirkeln Q = (2k+1)7 för- svinnande koefficienten till as-1 [s = udda tal] har formen 2/ ,0 J F(e-4 20 0, hvaraf framgår följande relation: (2x+1.040241, 11 1 4s.s+1 241 32+1kë+1 eller för s+1 = 2n: (2)2.G.1 1 1 4(2n - 1). 2n22n 32n k2n" Genom jämförelse med det i ex. 3 erhållna värdet pa Bn framgår följande enkla relation: Gn - 2(2n-1)B,. Ur denna formel framgå de förut beräknade värdena på G,, Ga, G, samt G, = s. G, =1i etc. fdz Anm. 3. Att verkligen första termen / —A är 0 6 UzV(2 70 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. för P = en oändligt stor cirkel 0 = (2k + 1)7 framgår äf- ven af likheten P 1 dz- G, 1 2ti z1(z) [2 "((2rt)2 + (4)2 * :" (2k7)3) der senare ledet på grund af det i a) beräknade värdet på G. är 0 [jfr ex. 3 b) anm.]. Af dessa nu anförda exempel kan man sluta sig till karakteren af de utvecklingar, som låta utföra sig enligt (54), hvilken formel är att betrakta som en supplement- serie till den Mac Laurinska serien. Vi se, huruledes man förmedelst denna integralteori med lätthet löser den förut olösta frågan att utveckla funktioner i konvergenta serier efter stigande digniteter af variabeln för konvergens cirklar, som innesluta ett godtyckligt antal oändlighetspunkter, hvarigenom ett nytt fält af särdeles stor utsträckning öpp- nat sig för. den matematiska forskningen. Vi skola finna, huru detta fält i mon af vår teories fortgående utveckling alltjämt vidgar sig att omfatta nya synpunkter, hvarifrån man med säkerhet och klarhet kan skärskåda frågor af stor vigt och betydelse, hvilka man med förut gifna hjelpkäl- lor icke varit i tillfälle att tillfridsställande utreda. (Forts.). RÄTTELSER. Arg. III. Sid. 264, rad. 13 nerifrån: kontur, som omfattar origo, etc. „ „ „ 272 „3 „ : punkten 0 (origo) ligga etc. AFD. IV. GRANSKNING AF C. F. E. BJÖRLINGS ELEMENTERNA ETC. 71 AFDELNING IV. Granskning. Elementerna af Algebraiska Analysen och Differentialkalkylen, förra ' delen, reela qvantiteter, af C. F. E. Björling. Sedan omständigheterna numera gestaltat sig så, att detta arbete blifvit en ganska allmänt använd lärobok, synes det vara af behofvet påkalladt, att densamma, underkastas en omsorgsfull och i möjligaste måtto fullständig granskning för att lemna dem, som studera arbetet upplysningar om de fel och oklarheter, det här och der innehåller. För att en sådan granskning skulle blifva af verklig och största möjliga nytta, vore det af vigt, att den utfördes af någon grundlig matematiker, hvil- ket vi länge hafva hoppats skola inträffa. Men då vi numera börjat tvifla på uppfyllelsen af denna vår önskan, hafva vi efter bästa förmåga vågat framlägga resultatet af vår undersökning af det meranämnda ar- betet. Vi börja genast med granskningen af de särskilda teorierna och skola derefter försöka att fälla ett allmänt omdöme om arbetet i sin helhet. Först måste vi beklaga, att satserna om gränsvärden för summor, produkter och qvoter af funktioner samt om gränsvärdet för en funktion upphöjd till en annan funktion alldeles blifvit förbigångna i l:sta bokens 3:dje kapitel, der deras plats vore. Detta har vållat, att härledningen af vissa gränsvärden blifvit dogmatiskt framställd, såsom å sid. 18, der det uppvisas, att lim fl + 1) är densamma, oberoende af det sätt på ∖ 0) / hvilket w går mot positiva oändligheten; å sid. 19, der det visas, att samma funktion har samma gränsvärde, äfven då w går mot negativa oändligheten; samt å sidd. 65—68, der lagarne för derivation af sum- mor, skilnader, produkter och qvoter härledas. En annan följd häraf har blifvit, att läsaren ej gjorts uppmärksam på de vilkor, under hvilka de uteslutna allmänna satserna gälla, utan snarare kan känna sig frestad att tro, att åtminstone satsen om en produkts gränsvärde obetingadt gäller, vare sig att faktorernas antal är ändligt eller oändligt, då han ser förf, utan vidare omständigheter verkställa gränsöfvergången i for- meln (6) å sid. 252 vid härledningen af den oändliga produkten för sin x. Det är öfverraskande, att förf., som ju laggt Schlömilchs Hand- 72 AFD. IV. GRANSKNING AF C. F. E. BJÖRLINGS buch der Algebr Analysis jemte andra arbeten till grund för sin läro- bok, kunnat utesluta en så vigtig undersökning som den, hvars från- varo vi här anmärkt och som ovilkorligen måste medtagas, såvida bevis- föringen skall ega bindande kraft. Att förf, icke alltid bland de olika framställningar af en och samma sak, hvilka han haft att välja emellan, utsett den enklaste eller bästa, hafva vi sett mer än ett exempel på. För ögonblicket vilja vi blott nämna förf:s härledning af lim (1+01. Här hade förf, i stället för sin temligen långa härledning helt enkelt kunnat i likhet med Schlö- . alog(1+0)1 milch reducera funktionen, hvars gränsvärde sökes, till a.__________ ,og(1 + 0) x dog (,—), der log betecknar naturlig logaritm. Förf, definierar kontinuitet i en viss punkt på följande sätt å sid. 23: “En funktion, y ==f(x), är kontinuerlig för x — a, om den för € detta x-värde har en finit och determinerad, d. v. s. ändlig och fullt ‘bestämd valör, och derjemte f(a + à), vid indefinit aftagande ö, ten- “derar indefinit mot f(a).« Som förf, icke säger, att 8 numeriskt aftager indefinit, kan man frestas tro, att 0 är en positiv mot noll konvergerande qvantitet. Vi- dare är alltid lim / (a + 0) == f(a); ty detta är helt enkelt definitionen på f(a), så att lim f(a + 0), der 0 0, är ändlig eller oändlig, deter- minerad eller indeterminerad, på samma gång som det ena eller andra är händelsen med f(a). — För att .undersöka kontinuiteten af f(x) för a == a har man att se till, 1) att funktionen i denna punkt är änd- lig; 2) att funktionen är antingen reel å båda eller imaginär å båda sidor om a = a (hvilket vilkor förf, alldeles uteglömt) och 3) att J(a + 8) och f(a — 8), der 5 och 8 äro positiva qvantiteter, som kon- vergera mot noll, hafva ett och samma gränsvärde, hvilket tydligen all- tid inträffar, om lim [/(a + 0) — f(a — *] = 0 för lim 3 == 0 och lim s == 0. Följden af att förf, icke framställt vilkoret 2), blir den, att förf, måste anse f(x) vara kontinuerlig äfven i sina slutpunkter (t. ex. A/x för a == 0), såvida nämnl. öfriga kontinuitetsvilkor äro uppfyllda i dessa punkter. Hvad förf, kallar kontinuitet i granskapet af en punkt, kunna vi icke skilja från kontinuitet i en punkt, enär det intervall, som väljes så, att det innesluter punkten, kan göras oändligt litet och således blir detsamma som punkten sjelf. Vi komma nu till l:sta bokens 5:te kapitel. En ganska stor del af detta kapitel utgör en nästan ordagrann öfversättning, såväl hvad ■■■■■■ AFD. IV. ELEMENTERNA AF ALGEBR. ANAL. OCH DIFFERENTIALK. 73 teori som exempel angår, ur Catalan’s Traité élémentaire des séries. Detta lån från en utmärkt författare vilja vi ingalunda klandra, men det synes oss som om detta arbete hade bort omnämnas i förf:s «Förord < bland «de arbeten, hvilka förf, lagt till grund för sin bok eller rådfrå- gat“, men vi hafva blott funnit förf, i förbigående omnämna det i en not å sid. 65. Den nedtill å sid. 30 stående omvändningen af teorem IV å samma sida tillhör den å följande sida begynnande § 14, enär de båda före- kommande serierna måste hafva alla sina termer positiva. Öfverst å sid. 35 samt i noterna å sidd. 38 och 42 hänvisar förf, till 3:dje boken; i ex. 1) å sid. 43 gör förf, en antecipation af serie- utvecklingen för ex utan någon hänvisning. Som tankesammanhanget lider af dylika hänvisningar framåt och möjligheten af en < circulus in demonstrando « derigenom uppkommer, bör man, såvida det utan svå- righet kan ske, undvika sådant förutsättande af bekantskap med det föl- jande. Detta kan med en, om ej bättre, dock lika god ordningsföljd åstadkommas, om l:sta bokens 5:te kapitel, hvari samtliga de ofvan- nämnda hänvisningarna förekomma, borttages från dess nuvarande plats och i stället användes som inledning till 4:de boken, hvars början hand- lar om oändliga serier. Derigenom kommer hela framställningen af dif- ferentialkalkylen att följa omedelbart efter limesteorien, hvaraf den sjelf utgör en del, och dessutom blir det hufvudsakliga innehållet af 4:de boken algebraisk analys. À sid. 53 undersöker förf, seriens (4) konvergens ofullständigt. Förf, säger nämnl.: — “så inser man lätt dess konvergens genom att « sammanslå termerna två och två och derpå « (d. v. s. på den nybildade serien) « använda teorem VIII.K Låtom oss för korthetens skull kalla serien (4) för uo — u + 12 — us+..., der alla u äro > 0, och den genom termernas parvisa sammanslående derur bildade serien för to + t, +t,+. .., hvilken får alla sina termer positiva; då har man t, = U2n - 12+1. Ur t-seriens konvergens följer nu, att lim t,=0 d. v.s. lim (u2n - M2.1)=0, hyilket tydligen ingalunda behöfver innebära att lim u, = 0. Om vi t. ex. hado 1-20442 så blefve I-sotien: ⅛ + Γ5t⅛+"" som konvergerar enligt förf:s teorem VIII, men likväl är icke lim u„ == 0 lim utan 2 1 + 4 n Hvad förf, behöft tillägga för att be- visa seriens (4) konvergens, är lätt att inse; ty vi hafva enligt våra nyss använda beteckningar, om man tillika med Sm menar summan af de (rn + 1) första termerna i u-serien och för i-serien använder den ana- loga beteckningen Tm, 2n—1 = Tn—1 och S2n = 7n-1+ 2n • 74 AFD. IV. ■ GRANSKNING AF C. F. E. BJÖRLINGS Af dessa eqvationer följer nu omedelbart, att u-serien har en änd- lig och determinerad summa d. v. s. konvergerar, om t-serien konver- gerar och tillika gränsvärdet af allmänna termen i u-serien är noll, men ej i andra fall. Förf, har alltså uraktlåtit att bevisa, att serien (4) uppfyller det nödvändiga konvergensvilkoret limu, = 0. Under för- utsättning att l:sta bokens 5:te kapitel flyttas till den af oss föreslagna platsen, kan detta bevis utan antecipationer framställas på följande enkla sätt. Om x betyder ett positivt egentligt bråk, så aftager funktionen x + log (1 — x), der log betyder naturi g logaritm, med växande x. a 1 — enär dess derivata är negativ; funktionen är alltså < sitt värde för « = 0, d. v. s. att log (1-x) <-2 och således 0<1-< e-%, då 0 ) betecknar, att derivatan är partiel, och nämnaren är tillräcklig att visa, i afseende på hvilken funktion (här: u) derivationen är gjord. Kommer nämnaren du att bortskaffas, så är by icke längre tillräckligt för att karakterisera en partiel differential fullständigt, utan man måste då skrifva d„y eller 0„y. En ledsam följd af förf:s beteckningssätt och hvilken äfven visar detsammas olämplighet, är att förf, genom förkort- ningar i eqv. (g), å sid. 77 finner ett resultat, som ovedersägligen är absurdt till sin form, såvida ej dy är = 0 ; detta resultat är dy = dy + dy. Det fullt klara uttrycket för eqv. (g) är dy dzy dz duy du n dy b y dz_oy du dx dz da du dx dx dz dx du dx . hvaraf genom förkortningar och multiplikation med dx fås dy = zy + Quy, som hvarken till form eller betydelse är absurdt utan blott fullt klart uttrycker, ått den totala differentialen är = summan af de partiela. Vi tillägga, att det äfven gifves ett annat och mycket godt sätt att ut- trycka partiela derivator. Om nämnl. y ==f(z, u), så skrifver man j'u och J’s i st f. % och 2 Af detta goda beteckningssätt hafva vi icke, så vidt vi kunna påminna oss, sett förf, begagna sig i sitt i fråga varande arbete. Häraf framgår, att förf, bland de olika sätt att be- teckna partiela derivator, som vanligen användas, valt det, som väl nä- stan bör kallas det sämsta. o A sidan 92 bevisar förf, det vigtiga teoremet om, att derivations- ordningen är likgiltig vid bildandet af partiela derivator af högre ord- ningar, men utan att dervid framhålla de fall, då detta teorem förlorar sin giltighet. Det sätt, hvarpå beviset föres, innebär dock, att undan- tag verkligen finnas; ty det är icke säkert, att gränsvärdena i högra membra af eqvationerna (2) och (3) äro lika. Hvad förf, anmärker i noten å samma sida, att det är likgiltigt, i hvilken ordning du och dz försvinna, enär de äro af hvarandra fullkomligt oberoende, är icke alltid sannt. Tvärtom är det en lätt sak att uppvisa funktioner af två oberoende variabler, hvilka hafva olika gränsvärden, allteftersom man först gör limesöfvergang i afseende på den ena eller andra af varia- blerna, och för att förf:s påstående skulle blifva bevist, hade förf, derför bort ådagalägga, att högra membrum af (2) eller (3) icke är en sådan AFD. IV. ELEMENTERNA AF ALGEBR. ANAL. 0CH DIFFERENTIALK. 77 funktion, hvars gränsvärde beror på limesöfvergångarnes ordningsföljd. Det af förf, framställda beviset återfinnes i Sturms Cours d’Analyse äf- ’ vensom i åtskilliga andra arbeten. Det hade varit vida bättre, om förf, byggt såväl detta bevis, som den å sid. 76 gjorda härledningen af la- gen för derivation af en funktion af två variabler, på satsen: «Om en “funktion är kontinuerlig såväl mellan som för gränserna a och (a + h) “och dess derivata är kontinuerlig mellan samma gränser, så har man “alltid f(a + h)-—f(a) = hf"(a + 9h), der 0 < 9 < 1,< hvilken sats då hade bort bevisas före teoremet å sid. 76. Det lämpligaste sättet att med denna sats bevisa teoremet om derivationsordningens likgiltig- tighet synes då vara att utgå från expressionen f(z+4z, u+du)—f(z+4z, u)—f(z, u+du) + f(z, u) och visa att densamma såväl är = Au[fu(z+48, u+l4u)—fu(z, u+lu)}, som = d2[f(z+942, u+d u)—j(z+94z, u)j; och genom att sätta dessa uttryck lika samt dividera med du.ds hade man då lätt erhållit fu(z+4z, u+ldu)-f(z, u+24u) j2(z+94z, u+du)-f(z+P42, u) hvaraf genom limesöfvergång för försvinnande du och 4z ej blott satsen om derivationsordningen bevisas, utan äfven genom det till be- visföringen använda teoremet blir klart; att för satsens giltighet i all- mänhet fordras, att f(z, u), f2, ju och fuz måste vara kontinu- erliga för de u och 2, som förekomma i dessa funktioner. Af § 33 sidd. 102 och 103 hade förf, kunnat saklöst utesluta här- ledningen af formeln för a"d"3 hvilkens egentliga användning till- dan ’ hör operationskalkylen. I en elementär lärobok i Differentialkalkyl eger den vida mindre anspråk på plats än många af de vigtiga satser, hvilka vi redan beklagat, att förf, med tystnad förbigått. A sid. 113 uppställer förf, en analogi, hvilken han blott tillerkän- ner approximativ giltighet, så länge ej dess membra äro =0; men i samma ögonblick, som täljarne blifva =0, försvinner möjlighe- ten att tala om proportionalitet Deremot finna vi ej något hinder för att låta analogien hela tiden vara exakt. Låt oss tvertom definiera 4x, dy och dz genom följande exakt gällande eqvationer 4x dy 42 dx dy dz ~~ ’ 78 AFD. IV. GRANSKNING AF C. F. E. BJÖRLINGS der a är en mot noll konvergerande qvantitet. Har man då % == f(x, y) , så blir tydligen för lim a == 0 e — Tm dz _ lim f(x+udx,y+ady) — f(x, 3) a 0=0 a _ lim df(x+adx,y+ady) ce=0 da = 0 (fé(x+adx,y+ady)dx+f3(x+adx, y+ady).dy} eller dz = fx (x, yy)dx+fy(x, y)dy, hvilken formel ger den totala differentialen af f(x, y). Ett annat sätt att härleda denna formel vore att tänka sig en ar- biträr relation y — (x) mellan x och y, hvarigenom man me- delst differention af 2 == f(x, y) erhåller dz = f(x, y)dx+fy(x, 3).(z)dx eller dz = f&(x, y)da+fi(x, 3)dy, hvilken formel måste gälla för alla möjliga former af γ, hvadan alltså dy är lika arbeträr och af x och y oberoende som någonsin dx. Mot § 39 å sid. 117 hafva vi samma anmärkningar att göra som mot beviset å sid. 92; det är obehöfligt att upprepa dem. A sid. 121 böra de 3 raderna af formler mellan eqvationerna (4) och (5) förvandlas till eqvationer genom att sätta dem i ordning =2 "2y och na, såvida eqvationen (5) skall derur kunna härledas på det sätt, som förf, uppgifver. Andra bokens 6:te kapitel, som handlar om ombyte af oberoende variabler i funktioner af mer än en oberoende variabel samt om elimination af funktioner, synes förf, hafva bort trycka med mindre typer, enär det dels ej är så elementärt som den föregående delen af differentialkalkylen och dels ej heller lika vigtigt för nybörjaren att känna. Då förf, å sid. 145 uttalar vilkoren för giltigheten af Taylors och Mac Laurins serier, sker detta på ett sådant sätt, att icke dessa form- ler nödvändigt behöfva vara sanna; ty ehuru förf, deri har funktionens värden för båda och de n första derivatornas för ena gränsvärdet af den oberoende variabeln, nöjer sig förf, med att fordra, att funktionen och de förekommande derivatorna blott behöfva vara kontinuerliga mel- lan samma gränser, hvilket, enl. förf:s egen definition på kontinuitet mellan vissa gränser sid. 24, icke fordrar att kontinuiteten existerar för sjelfva gränspunkterna. Men finnes icke kontinuiteten för sjelfva gräns- punkterna, så komma formlerna tydligen att innehålla en eller flera indeterminerade termer. De stränga vilkoren äro tydligen, att funk- AFD. IV. ELEMENTERNA AF ALGEBR. ANAL. OCH DIFFERENTIALK. 79 tionen och de n första derivatorna maste vara kontinuerliga i och mel- lan gränspunkterna och den i resttermerna förekommande (n + 1)sta derivatan mellan samma gränser. Denna anmärkning gäller naturligtvis om formlerna (a) och (b) både i 47:de och 48:de §§. — Som de egent- liga bråken 0, hvilka ingå i resttermerna i (a), äro till sin storlek be- roende af x, h och n, så kunna vi säga, att den qvantitet ÿ, som definieras genom eqv. (a) och genom hvars uttrycks insättning i samma eqvation denna blir identiskt satisfierad, är en funktion af x, h och n. Härledningen af Taylors teorem bevisar då, att, såvida de ofan nämnda kontinuitetsvilkoren äro uppfyllda, den funktion 9, som reducerar formeln (a) till identitet, alltid är ett positivt egentligt bråk. En dylik uppfattning af formlerna (b) erhålles genom samma sorts slutledning; och häraf följer, att, så snart kontinuitetsvilkoren gälla, böra dessa formler anses som fullkomliga identiteter och qvan- titeterna & som positiva egentliga bråk. Af denna uppfattning hafva vi längre fram att draga fördel. I början af § 59 säger författaren: «Den fullständiga teorien om maxima och minima grundar sig på Taylors teorem«. Detta är icke sannt. En fullständig sådan teori måste kunna användas för uppsökande af alla funktioners alla maxima och minima, men den på Taylors te- orem grundade teorien fordrar ej blott funktionens utan äfven åtmin- stone dess första derivatas kontinuitet i den sökta maximi- eller minimi- punkten. De maxima och minima, som finnas i diskontinuitetspunkter (vare sig att det är funktionen eller dess derivata, som är diskontinuer- lig), kunna ej härledas med den på Taylors teorem grundade teorien, enär Taylors teorem då ej gäller om funktionen. För öfrigt behöfver ingalunda maximi- och minimi-teorien ens för de funktioner, som upp- fylla de i Taylors teorem fordrade kontinuitetsvilkoren, grundas pä detta. För sanningen af detta vårt påstående äfvensom för åtskilliga vigtiga upplysningar angående kurvors slutpunkter såsom maximi- eller minimi- punkter med mera hänvisa vi till en värdefull uppsats af professor Holm- gren uti denna tidskrift för år 1868 häftt. 1 och 2. Likartade anmärkningar med dem, som vi redan gjort angående förf:s sätt att uppgifva kontinuitetsvilkoren vid Taylors och Mac Laurins teoremer för funktioner af en oberoende variabel, hafva vi äfven att göra å sidan 193, der förf, uttalar kontinuitetsvilkoren vid motsvarande teoremer för funktioner af två oberoende variabler. Vi behöfva ej ser- skildt formulera våra anmärkningar härom, enär de omedelbart inses af hvad vi förut sagt. I 4:de bokens l:sta kapitel uttalar förf, sina vilkor för användningen af Taylors och Mac Laurins teoremer till funktioners utveckling i oänd- liga serier. Dessa vilkor äro enl. förf, följande tre: 1) « Att de sålunda erhållna infinita serierna skola vara konvergenta « ; 80 AED. IV. GRANSKNING AF G. F. E. BJORLINGS 2) « Att f(x) och alla dess derivator skola vara kontinuerliga för “alla valörer af den ingående variabeln mellan x och x+h i (a), “samt mellan 0 och x i (b); och 3) «Att de s. k. rest-termerna ' 1$L,fn+*(e+$1) och "+1,"+-(0a) (n+1)! (n+1)! “skola försvinna vid indefinit växande n. « Härom upplyser förf., att man med ganska stor sannolikhet kan antaga, att, då vilkoret 1) är uppfyldt, äfven 2) och 3) gälla; dock in- träffar detta ej alltid, såsom man kan se af exempel (t. ex. i Sturms Cours d’Analyse). Deremot har förf, icke omnämnt ett annat beroende mellan ofvannämnda 3 vilkor, nämnl. att det första med nödvändighet följer ur de två andra. Detta inses lätt sålunda för t. ex. Mac Laurins teorem. Om vilkoret 2) gäller, hafva vi alltid f(z) == ∕(0) + 4/(0) + af"(0) + ..+2"/ 0)+ ze , 1 n! der R betyder resttermen och innehåller det förut omnämnda positiva egentliga bråket 0, som är en funktion af x och n, hvilken redu- rar ofvanstående eqvation till fullkomlig identitet. Om då lim R == 0 för n ==0, så blir tydligen genom limesöfvergång för n =0 (se- dan R öfverflyttats till venster om likhetstecknet) den oändliga serien f(0)+T/°(0) + 2f (0) +....identiskt == (x) d. v. s. får ett fullt determineradt gränsvärde, enär enl. vilkoret 2) f(x) är kontinu- erlig; men detta är just definitionen på, att den nämnda oändliga serien konvergerar, hvadan alltså vilkoret 1) följer ur 2) och 3). Våra anmärkningar till sid. 145 angående kontinuitetsvilkoren träffa äfven det ofvan nämnda vilkoret 2), nämnl. att förf, ej fordrar, att kon- tinuiteten skall finnas för sjelfva gränserna. A sid. 248 utvidgar förf, teorem IV å sid. 30 till följande, men utan bevis: Om en series termer hafva omvexlande tecken och äro nu- meriskt mindre än motsvarande termer i en konvergent serie med om- vexlande tecken, så är den förra serien konvergent. Detta innehålles näml. i det som förf, säger å samma sida 248: « Då konvergerar visser- « ligen äfven (10), emedan dess termer hafva samma tecken som och « mindre numeriska valörer än de motsvarande termerna i den förra“. Men en sådan utvidgning af teorem IV är icke tillåten; detta skola vi nu visa med ett enkelt exempel. Låt oss taga de båda serierna 1 11111 43 $5 - 46 *47 8 som konvergerar enl. teorem XI å sid. 45, och AFD. IV. ELEMENTERNA AF ALGEBR. ANAL. OOH DIFFERENTIALK. 81 1 1 1 1 1 1 √2-l ~√2+l +√3-l~√3 + l + 44-1 - A/4+1 + ” hvilken deremot divergerar, såsom förf, å sid. 46 — på alldeles samma sätt som Catalan i hans förut omnämnda arbete — uppvisar. Mot termen 1 1 47== i den förra serien svarar ——- i den senare, och deras √2n ~n+1 ' skilnad 1 _______1____4n($n-$2)+1 42n An + 1 4n(/n+1) 1 1 är positiv. Mot termen 4 svarar -—, och deras V/2n—1 Nn-1 skilnad 1_ 1 _ Vn—1—$2n—1 > $n(/n-$2)—1 4/2n—1 Vn—14/2n—10/n—1) 42n—1(/n—1) är positiv för alla n ett visst finit positivt talvärde. Alltså äro, från en viss term räknadt, termerna i den senare serien numeriskt mindre än motsvarande termer i den förra, hvilket visar, att en serie kan vara divergent, äfven om dess termer hafva samma tecken som och mindre numeriska valörer än motsvarande termer i en konvergent serie med om- vexlande tecken för sina termer. Hvad beträffar förf:s framställning af läran om kedjebråk med blott positiva leder, kunna vi ej inse, hvarför ej den fullständiga teorien, som innehålles i §§ 94—96, förtjenar att framhållas såsom lika vigtig som — för att ej säga: vigtigare än — det temligen litet känsliga kri- teriet, hvilket förf, tryckt med stora typer å sidan 273, helst som härledningen af den fullständiga teorien är lika elementär och lättfattlig som någonsin beviset för det nämnda kriteriet, och dessutom detta kri- terium med största lätthet kan härledas ur teorem IV å sid. 279, om man serskildt vill framhålla det för dess stora enkelhet i användningen. Vi vilja uppvisa härledningen af kriteriet ur det nämnda teoremet. Vi finna enl. beteckningarna å sid. 279 7 7 C2n“2n+1 02n 02n+1 Af dessa synes, att, om lim m-1 - för m == 00 är >0, så måste åtminstone någondera af de båda h-seriernas allmänna termer hafva ett gränsvärde >0, d. v. åtminstone någondera af dessa serier divergera, och kedjebråket således konvergera. 6 82 AFD. IV. GRANSKNING AF c. F. E. BJÖBLINGS ELEMENTERNA ETC. I §§ 91 och 97 har förf, i likhet med Schlömilch alldeles onödigt- vis och utan att vinna någon förenkling i bevisen inskränkt qvantite- terna a och b att vara hela tal. Det enda antagande, som fordras för att beviset för kedjebråkets konvergens skall kunna ske på alldeles samma sätt, som förf, utfört det, är blott att dessa qvantiteter äro po- sitiva och att a, 1+b för alla hela positiva n, men ingalunda att a och b äro hela tal. Äro dessa vilkor uppfyllda, så konver- gerar alltid kedjebråket med blott negativa leder; och dess värde är alltid ett egentligt positivt bråk, utom då (, = 1+0 för alla n och tillika serien 1+l, + b,02 + b,0203 + ... divergerar. För att här- leda dessa satser behöfves ingen väsendtlig förändring i förf:s fram- ställning. Hvad förf:s språk angår, synes deri intet bemödande att undvika onödiga fremmande ord och termer; vi vilja blott exempelvis omnämna, att förf, begagnar orden: differens, valör, expression, finit, infinit etc.» ehuru vårt modersmål eger fullt motsvariga ord för dessa begrepp så- som: skilnad, värde, uttryck, ändlig, oändlig etc. Vi afsluta härmed vår granskning, för att den ej må blifva allt- för lång. Förf, har ställt sig ett stort och ädelt mål före: det att bereda vår Svenska studerande ungdom en ändamålsenlig lärobok i elementerna af algebraiska analysen och differentialkalkylen. Att förf, ej låtit afskräcka sig af de mötande svårigheter, som alltid uppställa sig mot ett sådant företag, äro vi så villige som skyldige att hembära förf, vår tacksamhet för. Synnerligen förtjenar det att räknas förf, till beröm, att han åstad- kommit det första något utförligare originalarbete på Svenska spraket öfver den nämnda delen af matematiken samt att han genom den lyck- liga tanken att förena algebraisk analys och differentialkalkyl och låta den ena af dem hjelpa den andra förstått att inom en jemförelsevis trång ram infatta mycket mer än hvad med en annan uppställning skulle hafva låtit sig göra. Men angående det sätt, hvarpå förf, utarbetat de enskilda delarne, måste vi på grund af de många anmärkningar, vi nu framställt, fälla det omdöme, att förf, ej med all önskvärd omsorg och noggrannhet utfört, hvad han föresatt sig, utan att tvertom, beklag- ligtvis, åtskilligt i förf:s lärobok är oklart, ofullständigt eller t. o. m. felaktigt. M. Falk. AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 83 Anmälan af böcker. GERNERTH, A. Fünfstellige gemeine Logarithmen der Zahlen und der Winkelfunctionen von 10 zu 10 Secunden nebst Proportionaltheilen ihrer Differenzen von Aug. Gernerth. Wien 1866. Imperialoktav 120 sidor tabeller och 24 sidor text. Pris 2 rdr 75 öre. Denna af lektor Phragmén i hans reseberättelse i Örebro läroverks- program för år 1868 fördelaktigt vitsordade tabell har följande utmär- kande goda egenskaper. 1. Den är 5- och ej 7-siffrig. För de sammansatta ränteberäk- ningar förekommande talen mellan 10000 och 10800 äro dock logarit- merna 6-siffriga. 2. Sista decimalen åtföljes af en punkt om logaritmen är exakt, men är genomskuren af ett horizontelt streck, om den är för hög. Gagnet af markering på sista decimalen för att antyda, huruvida den är för hög eller ej, är tydlig. Så t. ex. om man vill finna log. A/2, blir denna = 0,80103 , hvilket bråk enligt vanligt bruk blir = 0,15052, men enligt denna tabell rigtigare == 0,15051, emedan sista decimalen i 0,30301 här är genomstruken. Vid logaritmer med 5 decimaler är vig- ten af markering på sista decimalen ännu vigtigare än vid dem med 7, emedan ett fel utgörande en viss bråkdel af den femte decimalen är större än ett fel utgörande samma bråkdel i den 7:de decimalen. Skä- let till att Gernerth satt strecket igenom siffran i st. f. öfver eller un- der densamma är, att erfarenheten visat, att vid stereotypering kanten af stilen ofta blifvit så nött, att strecket försvunnit. 3. Vertikalkolumnernas antal är här 11, då andra tabeller ha 10. Öfverskriften i Gernerths tabeller är näml.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Genom anordningen att ha en vertikalkolumn med öfverskriften 10 blir den sista logaritmen i en rad lika med den första logaritmen i den följande raden. På detta sätt underlättas subtraktionen, då man vill söka skilnaden mellan logaritmen för ett tal i tabellen, hvilket slutas på noll, och logaritmen för det närmast föregående talet. 4. Den trigonometriska tabellen innehåller logaritmerna för hvar 10:de sekund, då deremot andra 5-siffriga tabeller ha dem blott för hvar 30:de sekund eller för hvar minut. Härigenom uppgår hos Ged nerth skilnaden mellan 2 på hvarandra följande logaritmer från och mer 84 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 30 till och med 87° till endast 41, under det i andra dylika tabeller uppgår till 3 gånger eller 6 gånger så mycket. För att kunna väl in- terpolera mellan logaritmerna för vinklar under 3° har utgifvaren nederst på hvarje sida af tallogaritmerna de bekanta, men ej lika mycket an- vända S- och T-tabellerna. 5. För att vid interpolering kunna fästa afseende på om sista siffran i den ena af 2 på hvarandra följande logaritmer är genomstruken men i den andra ej, har förf, bland partes proportionales upptagit som skilnad mellan 2 på hvarandra följande logaritmer skrifna såsom hela tal ej allenast denna skilnad sådan den omedelbart visar sig, utan ock samma skilnad ökad eller minskad med 0,5. Så t. ex. är skilnaden mellan de på hvarandra följande logaritmerna 30103 (sista 3:an genom- struken) och 30125 (5:an genomstruken) lika med 22, men skilnaden mellan 30125 (5:an genomstruken) och 30146 (6;an ej genomstruken) = 21,5. Skilnaden mellan de på hvarandra följande logaritmerna 30168 (8:an genomstruken) och 30190 (nollan genomstruken) är 21,5. Skälet härtill är att enligt denna tabell dessa logaÄtmer kunna läsas och skrif- vas på följande sätt. 30 102 750, 30124 75, 30146 25, 30168 25, 30 189 75. 6. Förf, har på 2 sidor upptagit en hjelptabell, förmedelst hvilken man kan sjelf räkna ut de vanliga tallogaritmerna med 15 decimaler. 7. Slutligen har utgifvaren en tabell utvisande båglängder, en ut- visande korderna för bågarne och en för vissa konstanter. Det torde bli svårt att påträffa en tabell, der man som i denna kan med ”minimum af tid åstadkomma maximum i noggranhet” (ut- gifvarens ord i företalet). Warberg i Augusti 1870. F. W. H. Nya böcker. SILJESTRÖM, P. A. Samling af räkneexempel. Första häftet, inne- hållande 1100 exempel af de fyra räknesätten med hela tal. (Exemplen till stor del hemtade ur Sveriges officiela statistik). Stockholm 1870. Gerhardt, C. J. Der Sammlung des Pappus von Alexandrien l:es und 8∙.es Buch griechisch und deutsch Halle 1871. 7 rdr 40 öre. AFD. IV. LÖSTA SATSER. 85 Satser, lösta i den skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1870.* A) Af en elev vid Stockholms högre elementarläroverk. 1. Att konstruera ett paralelltrapezium, då dess ytinnehåll, af- ståndet mellan de paralella sidorna och samtliga vinklarne åro gifna. Gifvet: en yta ABODE, en linie FG, samt fyra vinklar P, Q, R, S, hvilka aro så beskaffade, att A P + A Q = 180°, och A R + A S = 180°. (AQ> AP, AR> A S). Sökes: ett paralleltrapezium, hvars yta ar = ABODE, hvars höjd är = FG, och hvars fyra vinklar äro = A P, A@, A R, AS. Upplösning. Applicera till FG en rektangel FGHI, som är lika stor med figuren ABODE; skär GF midtitu i T och HI i U. Sätt vid T mot IF en vinkel = A Q — 909, och vid U mot UI en vinkel = A S—90°; låt den genom T dragna linien träffa HG i Μ och FI i N, samt den genom U dragna linien GH i X och Fl i 0. Då är paralleltrapeziet MXON den sökta figuren. Bevis. A @ — 900 = A FTN = A ONM — 900; derföre A@ = A ONM. A P+ AQ = 1800 = AONM + ANMX; derföre AP = ANMX. På samma sätt bevisas, att AR = A MXO, och AS = A XON. Vidare är tydligen A NFT = AMTG, och JOUI = AXUH, samt figuren GHUONT = figuren GHUONT; derföre rektangeln GHIF = figuren MXON. Men rektangeln GHIF = figuren ABODE, * Jfr årg. 1870, sid. 141. 86 AFD. IV. LÖSTA SATSER. derföre paralleltrapeziet MXON = figuren ABCDE. Således uppfyller paralleltrapeziet alla begärda egenskaper, då äfven FG tydligen är = dess höjd, h. s. g. o. b. Anm. 1. Om A P = A Q = 900, eller om A R = AS = 90°, sammanfaller MN eller OX med FG eller HI, och, om båda fallen på samma gång inträffa, öfvergår paralleltrapeziet till en rektangel. Om A P = A S, öfvergår paralleltrapeziet till en parallelogram. Anm. 2. Om ABCDE = Y, FG = h, AP=a, AR=8, så blir 7 7 A/N — Sinw* XO — Sing’ 2Y+h2 (Cot a + Cot 8) 21 ' 2 Y—h (Cot a + Cot 8) 27 • MX = samt N0 = Vi finna häraf, att om 2Y = h2 (Cot a + Cot F), NO = lika med noll, d. v. v. N och 0 sammanfalla, samt paralleltra- peziet öfvergår till en triangel. Om deremot 2Y < h2(Cot a + Cot p), skära linierna hvarandra inom rektangeln, och problemet är omöjligt. : 2. Två koncentriska cirklar äro gifna. I den större skall en körda dragas så, att hon af den mindre cirkelns periferi delas i tre lika stora delar. Denna sats är tydligen endast ett enskildt fall af följande: Två koncentriska cirklar äro gifna. Att i den större draga en körda så, att den del, som ligger inom den mindre cirkeln blir 1 - af hela kordan. Gifvet: två koncentriska cirklar, hvilkas gemensamma medel- punkt är 0. Begäres: att i den större draga en korda så, att den del, som . 1 ligger inom den mindre cirkeln, blir - af hela kordan. AFD. IV. LÖSTA SATSER. 87 Upplösning. Drag från 0 en linie efter behag, hvilken skär den mindre cirkeln i P och den större i S, samt utdragen den mindre ånyo i T. Tag medelproportionalen BO mellan SP och , 187, samt inpassa BC från S mot den mindre cirkelns periferi, hvilken den träffar i P'. Drag ut SP, till dess den ånyo skär den större cirkeln i V och den mindre i U. Då är SV den sökta kordan. Bevis. (SP)-=(BO)=*=1 ST.SP-",1.SU.SP; derföre SP -"-1 SU, 0+1 ‘ eller n+1 —- SP = SU, n— 1 ’ och SP == SP, derföre genom subtraktion . 2 -—T.SP == PU, eller ' 2SP = (n—1)PU, och ■ PU=PU, derföre 2SP + PU = n P U; - men 2SP + PU = SP + PU+ UV = SV, derföre SV =nPU, eller 1 - SV == PU, 1 n , h s g. o. b. Anm. 1. Om i denna sats n sättes 3, blir BC medelproportiona- 3 — 1 1 len SP och 8 + 1ST = 2 ST. Anm. 2. I det fall, då n är = 3, kan konstruktionen äfven ut- föras på följande sätt: Upprita på OS en halfcirkel, som skär den mindre cirkeln i G; drag SG och upprita derpå en halfcirkel; om i denna från S en linie SM = 3 SG inpassas, så är GM = den del af kordan, som ligger inom den mindre cirkeln. 88 AFD. IV. LÖSTA SATSER. Anm. 3. Om SO = R, OP = r, så blir SV = 2n/n-1 R2-,2), n-1 V n+1 pu-=AV=w-n, sp - uv-V"IR-,. 5. Att upprita en triangel, då basen, skilnaden och förhållandet mellan de båda andra sidorna äro gifna. Gifvet: fyra linier m, n, AB, CD.(m > n). Begäres: att på CD såsom bas upprita en triangel så, att sidorna förhålla sig till hvarandra som m:n och så, att deras skilnad är = AB. Upplösning. Tag fjerde proportionalen EF till (m—n), n och AB. Upprita på CD en triangel, hvars sidor äro EF, EF + AB. Låt denna triangel vara CDG. Då är CGD den sökta triangeln. Bevis. (rn—n) : n == AB: EF derföre m:n= (AB + EF) : EF; men AB + EF = CG , EF = DG, derföre m:n = CG: DG, och CG-EF=AB, h. s. g. o. b. Anm. Om AB = d, CD = a, så blir m ndmd m—n‘ m — n’ -___d2(m2+n2)—a2(m—n)a 0 — 2mnd2 ' __d2(m + n) + a (m — n) _ 2mad ' a2(m—n)-d-(m + ri) Cos D= 2nad • AFD. IV. LÖSTA SATSER. 89 B) Af en yngling (G. F. E—N) vid Örebro högre elementarläroverk. 3. Bevisa, att, om man i en quadrat åt samma led förenar hvarje sidas ena ändpunkt med midtpunkten på närliggande sida, så uppstår en ny qvadrat, lwars yta är } af den gifna qvadratens yta. Låt ABCD vara den uppgifna qvadraten. Om jag då från vinkel- spetsarne A, B, C, B till sidornas midtpunkter G, H, E, F dra- ger räta linier AMNG, BNOH, COLE, DLMF, skall figuren LMNO blifva en qvadrat, som är = ⅜ ABCD. Bevis. FB//och == DH, alltså FD//och = BH. AE//och = CG, alltså AG |/och = EC. Fig. LMNO är derför en parallelogram. 4ABG2ADAF, alltså A FAM = A ADF; men A AFD är gemensam för 44 FAM och ADF, alltså A DAF = A AMF = ALMN. Λ DAF är rät, alltså blir parallelogrammen LMNO en rektangel. Eftersom DF// BH och AG∣∕EC, blir AM:MN = AF : FB och BN: NO == BG : GC; men AF:FB = BG: GC; alltså AM : MN — BN: NO. AM och BN äro lika stora, emedan 4AFM ~ BGN. MN blir således = NO och rektangeln LMNO en qvadrat. Eftersom A ANB är rät, blir AB qv. — AN qv. + BN qv. AN qv. = 4 MN qv., emedan AN = 2MN, och BN qv. = MN qv., emedan BN— MN. Alltså blir 5 × qvadraten LMNO = qvadraten ABCD och 1 qvadraten LMNO = ⅜ af qvadraten ABCD, h s. b. 90 AFD. IV. LÖSTA SATSER. 6. Två parallela linier skäras af en tredje. Konstruera en cir- kel, som tangerar hvardera af dessa tre linier. Låt AB skära de parallela linierna AD och BC. Det begäres då att upprita en cirkel, som tangerar alla tre linierna. Skär A À BAB och ABC midt itu och drag ifrån punkten F, der delningslinierna råkas, vinkelräta linier till D, E och C. Jag skall då bevisa, att F är medelpunkten till den begärda cirkeln. Bevis. Eftersom AF är gemensam, A A EAF och DAF gjorda lika stora och A A AEF och ABF hvardera en rät, så bli 44 AEF och ABF kongruenta, och sidan FE = sid. FB. Af samma orsak blir FE = FC. Om man derför tager F till medelpunkt och inritar en cirkel, hvars periferi går genom endera af punkterna B, E, C, så måste den ock gå genom de öfriga och tangera de tre gifna linierna; h. s. g. Anm. Naturligtvis kan ännu en lika stor cirkel uppritas på andra sidan om AB. C) Af en yngling (F. G—M) vid Örebro högre elementarläroverk. 4. Inskrif i en gifven triangel en.annan på samma gång likbent och rätvinklig, så att dess hypotenusa blir vinkelrät mot den gifna triangelns bas. Låt ABC vara den gifna triangeln. Drag från A mot BC en vin- kelrät linie AB! Gör BE = AB, sammanbind A med E, dela AE midt itu i F, drag FC, som skär AB i G, drag HGK parallel med AE, KL// AB och sammanbind G med L. Jag påstår då, att KGL är den begärda 4. Ty eftersom AE är // HK och AB // KL, så äro 44AED och KLH likformiga. Alltså är Λ KLH en rät, HKL = : rät A . KL och LH bli lika stora. Men FA:FC = KG:GC; FC: FE = GC: GH; alltså FA:FE = KG :GH; alltså bli KG och GH lika stora. AFD. IV. LÖSTA SATSER. 91 44KGL och GLH bli kongruenta, alltså A KGL = en rät A , GLK = 1 rät A, GK = GL. Således är 4KGL den begärda tri- angeln, h. s. g. Problemet är omöjligt, om A ABC är < 1 rät eller > 2 rät. (Härefter har läraren tillagt orden: “Således kunna understundom, äfven i strängare mening, två trianglar, sådana som den begärda, in- skrifvas i en gifven triangel«.) D) Af en yngling (C. E. F—o) vid Örebro högre elementarläroverk. 7. Tvenne icke koncentriska cirklar äro gifna. , Att upprita en ny cirkel så, att den tangerar de båda, gifna och har en gifven radie. Cirklarne CDP och EFQ äro gifna. Det begäres att upprita en cirkel, som tangerar dessa båda och har AB till radie. Drag en radie i hvardera cirkeln och' förläng dem med AB och upprita med dessa sammansatta linier till radier 2 nya cirklar med samma medelpunkt som de förra. Sammanbind deras skärningspunkt L med med medelpunkterna 0 och 0i. Då blir OL = OG; OD är = 00; alltså blir DL = (G = AB. På samma sätt bevisas att EL är = AB. Om då L tages till medelpunkt för en cirkel, hvars periferi går genom E, måste den äf- ven gå genom D och i dessa punkter tangera cirklarne. Anm. För att problemet i detta fall skall vara möjligt, måste dubbla linien AB vara större än eller lika med den del af linien 001, som ligger utom båda cirklarne. I förra fallet, finnas 2 sådane cirklar med sina medelpunkter i L och M. Ligger deremot den ena cirkeln CF helt inom den andra EG, gif- ves äfven 2 cirklar, ifall den gifna radien < 2 EC, men 2 FG. (Anm. E, C, 01,0, F och G ligga alla på en och samma räta linie). Är den = 4 EC eller % FG, gifves blott en; i öfriga fall ingen. Kon- struktionen är densamma, blott man af den större cirkelns radie afskär den gifna. Tangerar den ene cirkeln den andre innantill, tangeras de båda i deras, egen tangeringspunkt af två andra och kunna dessutom liksom i förra fallet tangeras af två andra, som tangera, såsom i förra fallet, den ena cirkeln innantill, den andra utantill. 92 AFD. IV. LÖSTA SATSER. Skära de hvarandra, kunna de efter olika omständigheter tangeras af 2, 3, 4, 5, 6, 7 eller 8 cirklar, af hvilka 2 tangera utantill och de öfriga dels båda innantill, dels den ena innantill och den andra utantill. 8. Tre räta linier äro gifna. Att dela den ena af dem i 3 de- lar, så att den första delen förhåller sig till den andra, som den an- dra till den tredje och som den andra gifna linien till den tredje gifna. Linierna A, B och C äro gifna. Det begäres att dela A i tre sådana delar a, b och c, att a:b — b:c = B:C. Sök på vanligt sätt tredje proportionalen till C och B, låt vara M; och skär sedan A i delarne a, b och c proportionelt mot M, B och C. Eftersom då a:b== M:B och M:B = B:C, är äfven a:b== B:C=b:c. Alltså är äfven A skuren i det förhållande som begärdes. E) Af hufvudläraren i matematik vid Örebro elementar- läroverk. * Sats 35. (Sid. 143, årg. 1870). "Ett ur, hvars pendels redu- cerade längd är 3.3 fot vid fryspunkten, går rätt vid denna tempera- tur. Huru mycket drar sig uret på dygnet, om temperaturen hela tiden är + 20° C. Anm. Pendelämnets längdutvigdningstal för 1° C. är 0,0000i ; pen- deln behandlas vid beräkningen såsom enkel enligt formeln g antages till 33 fot “. * Vi kunna ej neka oss nöjet att införa den eleganta lösning, som denne lärare meddelat i sin granskning af en elevs skriftliga arbete vid mogenhets-skrifningen. AFD. IV. SATSER. 93 Låt n, t, l beteckna antalet oscillationer på ett dygn, tiden för en oscillation och reducerade pendellängden vid 0°, samt n1, t,, 7,... vid 200 samt x det antal sekunder, uret vid 20 grader utvisar såsom under- dygnet förflutna. Af 86400:= n:n =t :t == 1 : A/l== ~/1,0002 :1 erhålles 86400 A/1,0002 == 86391,36. Uret drar sig således 8,64 sekunder efter på ett dygn. Anm. Värdena på l och g behöfva således ej vid beräkningen användas. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1870. För latinlinien. 1. Bevisa, att i en likbent triangel basens ändpunkter ligga på lika afstånd från sina motstående sidor. 2. En vinkel i en triangel är rät, spetsig eller trubbig, allteftersom den linie, hvilken förenar vinkelspetsen med motstående sidas midtpunkt, är lika med, större eller mindre, än hälfen af denna sida. 3. Ätt upprita en triangel, då man känner dess ena höjd samt förhål- landet mellan dess sidor. 4. Om i en rätvinklig triangel en qf de spetsiga vinklarne är dubbelt så stor, som den andra, så är hypotenusan dubbelt så stor som triangelns minsta sida. 5. Tre cirklar och en determinerad linie äro gifna. Dela den gifna linien i tre delar, hvilka förhålla sig till hvarandra som cirklarnes areor! 6. En liksidig triangel är gifven. Ätt upprita en cirkel så, att de af triangelns sidor afskurna kordorna äro sidor i en i cirkeln inskrifven regulier sexhorning. 7. Ätt genom en gifven punkt lägga en cirkel så, att den tangerar 2 gifna räta linier. 8. Ätt till en cirkel draga en tangent, som gör en gifven vinkel med en gifven rät linie. 94 AFD. IV. SATSER. 9. Det finnes 2 tal, hvilka förhålla sig till hvarandra som 3 : 5 och hvilkas qvadrater adderade göra 1666. Hvilka äro dessa tal? 10. Tre man skola tillsammans gräfva ett dike af 1200 famnars längd. Den ene kan gräfva 70 famnar på 5 dagar, den andre 80 famnar på 6 dagar och den tredje 90 famnar på 7 dagar. Huru länge skola de arbeta tillsammans för att få diket färdigt? 11. Förhållandet mellan omkretsen och diametern i en cirkel angfves ganska noga genom ett sålunda beskaffadt bråk: täljare och nämnare äro tre- siffriga; de båda sista siffrorna i täljaren äro lika; de båda första siffrorna i nämnaren äro lika; första siffran i täljaren är lika med den sista i näm- naren; summan af alla täljarens siffror är 13; summan af alla nämnarens siffror är 5; summan af täljaren och det tal, som bildas af nämnarens siff- ror, tagna i omvänd ordning, är 666. Hvilket är bråket? 12. Ytan af en rektangel är 23 qv.-tum, omkretsen är 22 tum. Huru stora äro sidorna? 13. En cirkel, hvars radie är 8 tum, tangeras utantill af 10 mindre, men sinsemellan lika stora cirklar, af hvilka hvar och en tangeras utantill af de båda närmast liggande. Huru stor är radien i hvar och en aj dem? 14. Dela talet 36 i tre sådana delar, att summan af deras qvadrater gör 464 och en del öfverskjuter en annan med 4. 15. Finnes något värde på x, som satisfierar eqvationen a + /a2 + x2 = ax? För reallinien. 16. Summan af afståndet från en punkt på basen i en likbent triangel till de två andra sidorna förändras icke med punktens läge. 17. Att omkring en gifυen cirkel omskrifυa en parallelogram, hvilkens area har en gifven storlek. 18. Höjderna AA , BB. , CC. i triangeln ABC, hvilken som helst, äro bissectricer till vinklarne i triangeln A. B. C. 19. I en triangel är hvarje median, d. v. s. räta linie, som förena:' en vinkelspets med midten af motstående sida, mindre än halfva summan af de båda sidor, som utgå från samma vinkelspets, och större än hälften af denna summas öfverskott öfver den tredje sidan. 20. Att i en gifven rektangel inskrifva en annan rektangel, likformig med en gifven. 21. Att upprita tre lika stora cirklar, som utantill tangera hvarandra två och två och innantill tangera en gifven cirkel. 22. En kon och en cylinder stå på samma bas. Konens höjd är dub- belt sä stor som cylinderns. Huru förhålla sig baserna till hvarandra i den genom cylinderns andra bas stympade konen? AFD. IV. SATSER. 95 23. En andra grads eqυation af formen: 22 + ax + 2a = 0 har sinena rot = 6. Hvilken är eqvationen och hvilken är den andra roten ? 24. En legering innehåller 8 delar koppar och 2 delar zink; en annan 4 delar koppar och 6 delar zink. Huru mycket bör man taga af hvardera legeringen för att åstadkomma 12 % vanlig messing, d. v. s.∙en legering, som innehåller 7 delar koppar och 3 delar zink? 25. En serie, som består qf endast positiva termer, är så beskaffad, att summan af två på hvarandra följande termer, hvilka som helst, förhåller sig till den förste bland dem, som denne term förhåller sig till den andre. . Seriens förste term är 1. Huru stor är summan af oändligtmånga termer i serien? 1 26. Man vill af messing förfärdiga en sats vigter, så att 1 K blifver en solid och 1 fot hög cylinder, 2 % en lika hög men ihålig och i båda än- darne öppen cylinder, hυari den förre kan inpassas, 3 ^ en på samma sätt beskaffad cylinder, hvari den föregående kan inpassas o. s. v. Gif formlerna for beräkning af dimensionerna på en vigt af r t, och beräkna enligt dem dimensionerna på en vigt qf 16 fö. Messingens sp.-vigt — 8,61.Vigten af 1 kub.-fot vatten === 61,522 %. 27. En rund stock är 30 fot lång, 1 fot i diameter i den ena och 7 tum vid den andra ändan; på hvilket afstånd från den smalare ändan bör den qfsågas, for att blifva delad midt itui 28. Bestäm tvänne sådana tal, att deras summa, deras produkt och skilnaden mellan deras qvadrater äro lika stora. 29. Uti en plan triangel äro 2 vinklar lika med 130° 20' och 15° 45 samt mellantiggande sidan 25 fot; huru stora äro de emot de nämnda vin- klarne stående sidorna ? 30. Tvänne elektriska strömmar leddes genom hvar sin qf de båda sinsemellan lika och kring ringen på en tangentbussol lindade trådarne. När riktningen för dé båda strömmarne var densamma, erhölls 40° såsom utslags- vinkel hos bussolens nål; leddes strömmarne i motsatta riktningar, minskades vinkeln med 10°. Huru förhöllo sig sirömstyrkorna till hvarandra? 1 31. Ben ena väggen hos ett med vätska fyldt kärl är vertikal och utgöres af en rektangulär yta, som genom två diagonaler antages vara delad i fyra delar. T hvilka förhållanden stå vätsketrycken på de särskilda trian- gelytorna till hvarandra ? 32. Från en och samma punkt falla under lika långa tider tvänne par- tiklar, den ena längs lodlinien, den andra längs ett lutande plan af gifven SATSER. 96 AFD. IV. lutning mot horizonten. Bestäm förhållandet mellan de båda tillryggalagda väglängderna, samt gif en geometrisk tolkning af svaret. 33. Till hυilken temperatur, enligt Fahrenheits thermometer, måste en luftmassa af kylas, hvars ursprungliga volym vid 500 Cels. och 23 tums tryck är 5 kub.-fot, för att hon efter afkylningen må, ehuru trycket ökats med 2 tum, intaga blott af sin ursprungliga volym? Luftens utvidgningskoeff. är enligt Cels. therm. 0,00367. 34. Btt glaskärl med lodräta väggar är fyldt med vatten och står på kanten af ett fensterbräde. Huru högt öfver horizonten måste solen befinna sig, för att mot vattenytan fallande solstrålarne skola efter brytningen träffa golfvet under en vinkel af 780? Vi antaga dervid, att den vägg hos kärlet, hvilken ljusstrålarne skola genomgå, är vinkelrät mot det vertikalplan, hvari strålarne röra sig; att gla- sets brytning ej medtages i beräkningen och vattnets brytningsindex är §. 33. Hvilken lutning bör ett hustak hafva for att regnet skall rinna af på möjligast korta tid? 36. Bn gas är inpressad i ett kärl, hvars volym är V cubikfot. I en å kärlet anbragt öppen qvicksilfvermanometer är höjdskilnaden h tum; baro- metern visar B tum. Kärlet har ett med kran försedt utströmningsrör, och omkring detta är halsen af en större och ytterst mjuk, lufttom gummiblåsa fastknuten. Till hvilken volym sväller denna blåsa ut, när kranen öppnats och höjden h minskats, så att hon i beräkningen kan anses === 0.? RÄTTELSER: Sid. 150 rad. 14 nedifr. står: vara = QO, läs: vara = QO‘ „ 160 sista raden „ noten ** under sid. 156, „ noten under sid. 157. „ 161 rad. 5 nedifr. „ (r—Q‘2 „ (v—Q')2 Planch. III. Fig. 1. Nedersta sidan af 5-hörningen ABC skall vara signerad med BB . Fig. 4. I anteckningen derunder står: TA = Tb, läs: TA = TB. 3z. vi 0 b 2 AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 12). 11. NILS BUDDÆUS. * Buddæi aritmetiska af handlingar äro följande 5. 1. » Gymnasma arithmeticum de computatione numerorum integrorum» (om räkning med hela tal), 2. »Gymnasma arithmeticum fractionum doctrinam exhi- bens» (läran om bråk), 3. »Gymnasma arithmeticum de computatione comparata» (aritmetiska och geometriska serier, regula de tri m. m.), 4. »Gymnasma arithmeticum de extractione radicum») (om utdragning af qvadrat- och kubikrötter), 5. »Gymnasma arithmeticum logisticæ epitomen exhi- bens» (= logistica astronomica, räkning i ett tal- system der 60 är bas). Strengnäs 1646. * Ur "Blad ur Örebro skolas äldsta historia", utgifne af lektor Karlsson och tryckte i Karol, läroverkets årsprogram 1871 meddela vi följande biografiska underrättelser. Nils Svensson Buddæus Nericiensis, den tolfte af Örebro skolas rek- torer, var född 1595 i Längbro socken vid Örebro; började sina studier 7 98 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Buddæus skrifver kort och nyktert, ehuru nästan knapp- händigt, så att arbetet ej är passande som lärobok. Det är mera lämpligt för att få en öfversigt af aritmetikens delar med dithörande regler, belyste med några få exempel. Dei 1632. I Basel egnade han sig åt matematik och grekiska, mmen till Sverige efter en femårig utrikes vistelse, disputerade vid 7 års ålder i Örebro skola,. och har äfven studerat i Westerås. Blef prestvigd i Strengnäs 1623, skolans konrektor derstädes 1624 samt extraordinarie professor (lektor) i retorik och grekiska språket vid Streng- näs kollegium 1627. Reste derefter utomlands och besökte akademi- erna i Jena, Giessen, Olmütz och Basel. I Jena disputerade han De Kun han i Uppsala De Luce och De Methodo, samt promoverades till ma- gister 1633, blef rektor i Örebro 1635. I följd deraf att vederbörande egenmäktigt togo och till kyrkan använde ett till skollärarens underhåll anslaget testamente, kom han i häftig tvist med Örebro borgmästare och råd samt bestraffade deras orättrådighet i en predikan palmsönda- gen 1637, hvilket ännu mer ökade oenigheten Han trifdes derför icke här, utan lemnade Örebro omkr. 1638. Blef 1645 lektor i matematik i Strengnäs, hvilken syssla han bestridde i 4 år. Sedan han under de tre följande åren förestått grekiska lektionen, blef han såsom theologie lektor primarius prost och kyrkoherde i Öfver-Selö 1652. — Buddæus var besvärad af fallandesot, hvilken var orsaken till att han våren 1653, då han skulle fara öfver sjön till sin församling, drunknade mellan Strängnäs och Öfver-Selö. Hans matematiska skrifter äro: 1) 5 afhandlingar i räkning ('gymnasmata arithmetica«), hvar och en utgör 8 små oktavsidor, tryckta i Strengnäs 1646. 2) 2 „ i geometri ('gymnasmata geometrica«), hvar och en ut- gör 8 små d:o, tryckta i Strengnäs s. å. 3) 2 „ i geografi ('gymnasmata geographica<), hvar och en ut- gör 8 små d:o, tryckta i Strengnäs s. å. 4) 4 „ i astronomi (“gymnasmata astronomical), af hvilka den ena behandlar tidräkningen och upptager 80 sidor samt är tryckt i Strengnäs 1647. Samtliga dessa finnas sammanförda i ett band under titeln: «Gymnasmata mathematica a Nicolao Buddæo Nericiensi. Strengnesiæ 1647«. Arbetet finnes på Biksbiblioteket i Stockholm och i Örebro läro- verks bibliotek. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 99 Så här ser hans multiplikationstabell ut: 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 20 25 6 12 18 24 30 36 7 14 21 28 35 42 49 8 16 24 32 40 48 56 64 9 18 27 36 45 54 63 72 81. Afven Buddæus har det ur Peter Lauremberg’s * ar- bete hemtade exemplet om Fredrik II:s gädda. Division definierar han som en upprepad subtraktion af ett och samma tal. Bråk förenklar han genom att dividera täljare och nämnare flere gånger efter hvarandra med lämpliga tal, t. ex. 1134 5673 1893 633 217 3 1512 1756 252 84 |28 ∣4, Detta sätt att förenkla bråk har förut användts endast af Biörk. Samtliga föregående utgifvare af räkneböcker förenkla enligt metoden för största gemensamma divisorn. Det är egentligen genom sin femte afhandling, logi- stica sexagenaria eller astronomica, d. v. s. räkning i ett talsystem, der 60 är bas som Buddæus är intressant. Se här en kort redogörelse för denna räkning. Enheten kallar han här för en grad (300 af en cirkel). Enheterna af högre ordning kallar han sexagena prima = 60 grader, „ secunda = 60 sexagenæ primæ (sextior af första ordningen), * Peter Lauremberg citeras af Stjernhjelm i dennes astronomiska funderingar. Han var astronom samt professor i matematik och fysik ' i Hamburg. Blef sedan 1624 prof, i poesi i Bostock. Föddes derstädes 1585 och död 1639. Han har skrifvit åtskilliga astronomiska arbeten. 100 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. sexagena tertia = 60 sexagenæ secunda (sextior af andra ordningen), o. s. v. Enheter af lägre ordningen kallar han scrupula eller minuta, så att 1 grad = 60 scrupula prima (skrupler eller minuter af första ordningen), 1 scrupulum primum - 60 scrupula secunda (skrupler eller minuter af andra ordningen), 1 „ secundum = 60 scrupula tertia (skrupler eller minuter af tredje ordningen), o. s. v. Dessutom har han i vissa exempel en enhet, kallad signum (tecken) = 30 grader. Anm. Benämningarne grader och tecken äro tagna från astronomien. Följande exempel 12" 13m 15" 22’ 4’ 28° 23' 24" 15" utläses : 12 sextior af fjerde ordningen, 13 „ „ tredje, 15 „ „ andra, 22 „ „ första, 4 tecken, 28 grader, 23 minuter af första, 24 „ „ andra, 15 ,, „ tredje ordningen. Såsom exempel på Buddæi stil anföra vi hans redogö- relse för multiplikation. Multiplikations regel. I. Hela multiplicerade med hela gifva hela. Så t. ex. får man 45° genom multiplikation af 15° med 3°; likaledes AFD, I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 101 genom multiplikation af 9° med 7° erhålles 63°, d. v. s. en sextia af första ordningen och 3°. II. Hela multiplicerade med skrupler gifva skrupler. Så t. ex. frambringa 6° gånger 8' 48. III. Sextior af första och andra ordningen multiplicerade med hvarandra gifva sextior af tredje ordningen. Så t. ex. göra 5' gånger 4" 20ul. Ex. Man skall multiplicera 21° 59' 16" 40" med 19° 36. Buddæus utför räkningen sålunda: 21° 59' 16" 40" 19° 36' 24” 9-36 35—24 12—36 12—40 5-4 18—41 6—39 ' 7 100 57 50” 40" 0" Vid division förfar Buddæus fullkomligt rigtigt, då han säger: » om skrupler divideras med andra skrupler som äro på samma afstånd från den hela, uppkommer hela; men äro de på olika afstånd, subtraheras divisorns karakter från di- videndens, och resten angifver qvotens karakter m. m.» — Som vi erinra oss, var Biörcks divisions regel i detta fall ej rigtig. Någon decimalräkning eller algebra finnes ej i Buddæi lärobok. Buddæi arbete visar, att förf, varit en lärd och grund- lig man. 102 AFD. I. LÖSTA SATSER. Satserna 19—21 (F. W. Hultman), löste af student O. I. STENBORG från Haparanda. 19. Hänför klotet AOBC till ett rätvinkligt axelsystem, hvars origo är hörnet O, der a, b, och ba sammanträffa; låt basytan BOC infalla på X Y-planet och kantlinien OB eller b, på X-axeln. Den vinkel 9, som sidoplanet OAB gör med basplanet OBC, bestämmes enligt sferiska trigonometrien genom formeln r Cos AOC - Cos AOB. Cos BOC - Sin AOB. Sin BOC : Sedan vinkeln 9 blifvit känd, erhåller man lätt eqva- tionerna på pyramidens fyra begränsningsplan. De blifva för basytan BOC: z = 0, för ytan AOB: y - z Cot 9 = 0, för ytan AOC: Cot BOC.Cos % - Cot AO B λ a - y Cot BOC+ Z. = 0 , Sin 9 samt för ytan ABC: b, - b, Cos BOC * 6, Sin BOC :3 6,5, Sin BOC-aba Cos AOB Sin BOC-a Sin AOB Cos gp(b, ab. Sin AOB Sin BOC Sin φ eller kortare: 3+4: = 0, a+Pay + Ta 2 = 0, a+Pa3 + 4a 2 - 6, = 0. Kalla koordinaterna till klotets medelpunkt för a, β och γ. Emedan klotets radie (- 2) är lika med medelpunktens afstånd från hvart och ett af de 4 nämnda planen, har man eqvationerna -b,CosBOC). —2------2z-6, = 0; AFD. I. LÖSTA SATSER. 103 , =y = 8+9) = +P2ß + 92Y = C+Psß+Ya1 - % . 4/1+1 A1+P5+4 1+P3+75 Då a, ß och γ härur elimineras, finner man: N/1 + p3 + 93-1+p3 +3 +(Pa—Pa)(/1 +43—9)+1a—7a 20. Emedan detta klot skall tangera samma ytor, som det i föregående problem afhandlade, men ytan z = 0 på motsatta sidan, så är det klart, att medelpunktskoordina- terna d, β', y, äfvensom radien 9, kunna bestämmas ur samma formler, om blott man i st. f. r = γ insätter r' = —y, emedan y' här är negativt. Man har alltså: , Ly = F+4Y = d+Paß+4aY = C+Paß + TY — 6, 41+g; V1+p3+4 V1+P3+g3 Häraf erhålles: _, -.%,. 1 A/1+p3+q3+(P2-P)(/1+7 + 41)—/1 +P3+42-42+43 21. Klotets eqvation i ett rätvinkligt axelsystem är (a - «)2+(-P)+(=-Y) - R°. Medelpunktskoordinaterna a, ß, y äfvensom radien R bestämmas af de fyra eqvationer, som erhållas genom att låta denna eqvation satisfieras af koordinaterna för pyramidens fyra spetsar O, B, C, A. Begagnar man samma axelsystem och figur som i de båda föregående satserna, så blifva dessa koordinater respektive: • a=0, æ = b. a = b„Cos BOC = x 2=aCosAOB = .2 y =0,,(y = 0,), (3 = ba Sin BOC = 3/), (y = aSin AOB Cos 9p =Ya z = 0 2 = 0 z = 0 2 = aSin AOB Sin = 2 Det första systemet (punkten 0) gifver: (2 + B2+72 = R', hvilken eqvation subtraherad från klotets eqvation lemnar som eqvation på klotet: a(a — 2c) + y(y—23) + 2(z - 2∕) = 0. 104 AFD. I. LÖSTA SATSER. Insättas i denna eqvation i st. f. x,y,z punkten B: koordinater, finner man: b, C =—. 2 Punkterna Ca och Al koordinater gifva: a2+y2-6, & aly+Yay(y2 +y)-b,(zay+ay2)+yaa2+y22 2 2y ■ ‘---------------------------¾77----------------• Vidare har man R = a2+B2+y2. Annan lösning af satserna 19 och 20, lemnad af F. W. HULTMAN. 19. Kalla B, ytan af det sidoplan, hvars bas är b,, B2 » 55 , 55 629 B3 5» » 5, 55 ba) B. „ af bottenplanet, ? radien i det inskrifna klotet, h pyramidens höjd mot bottenplanet B.. Tänker man sig klotets medelpunkt såsom spets för fyra pyramider, hvilka hafva pyramidens bottenplan och 3 sido- plan till baser, och iakttager man, att summan af dessa fyra pyramider är lika med hela pyramiden, så finner man sam- bandet: B,r B,v B,r B,, B,X 3 3 3 3 3’ således r = ._____B,l_____. 1 ' B, + B, + B, + B. • • • • ( Värdena på B,, B2, B., B, känna vi ur planime- trien. Så är t. ex. B, = N p(P -b,)(p-b2)(p-ba) = i^ 5a+26, 6,+2b, ba-b-bå-b;. fad AFD. I. LÖSTA SATSER. 105 hvarest 2p ~ b, + 6, + bg. Återstår att finna uttrycket på h. För detta ändamål sammanbinda vi fotpunkten af h med basens 3 spetsar genom linierna S. , S2 och S3. Vi er- hålla då följande samband: 72 2 S; = 12-a>,..................(2). S3 = h2-a}. Allt inskränker sig till att finna ett samband mellan S,, S2, Sg och kända storheter. så är Sätta vi a = vinkeln mellan S2 och ß = » » S, och 7 = „ „ S2 och S3» S,, S2, Cos a = S2 + S3-63 2S, S, Cos ß = S3 + S3 -6, 2S, S, Som nu tillika Cos γ = S1 + Så -63 2S, 1 2 och således C + A + Y = 2 Cos γ = Cos (a + B) = Cos a Cos ß - Sin a Sin ß. erhålles, genom att i denna sista eqvation införa de nyss funna värdena på Cos«, Cos ß, Cos y och de deraf här- ledda värdena på Sina och Sin ß, efter verkställda för- enklingar : -^ -S)(S - S)-6(S3- SD(^)-^^)(^) = 0, ). Denna eqvation innehåller sambandet mellan en triangels tre sidor b,, 62, 63 och afstånden S., S,, S, från en punkt hvilken som helst i triangelns plan till dess 3 spetsar. Insätter man här värdena på S2, S3, S3 ur (2) och derefter löser eqvationen i afseende på h, erhåller man; 106 LÖSTA SATSER. AED. I. 8 S CI Q & tn O 5 CD O CD 3 O CD D 0 C D B t S CD O 8 O CD B 0 B3 71 so CD B C CD CD B ( O ID • 0 O o C to = o & E CD 0 0Q 230 B 0Q CD o 200 on O B 8 * N O oo - & co to © o° to 8 co 1 to 15 + 8 co to O 15 1 8 to to CD U •: — 1 O- cs 1 a — 15 1 t e e 1 2 8: O P CD o H B 2 C B B 2 200 B — — 0Q 19 19 25 CD < O O (D Ö 2 " 5 O AC E 0 B 2 B 9 2 v 2 8 a to to CD St E + a e N2 09 95 D: c F3 Be rd ( 05 20B — 0Q 89: 2 X O: 92: - — C O CD — B O CD B M S O CD 0. H C. _ o m. • B > U 5 (D — o B-, E + 5 93 A 0 . + 20 CD 0Q 0° . CD on p a E : 1 2: ON - 15 8 to AFD. I. LÖSTA SATSER. 107 och således, på grund af (41) föregående sats, 3V 7a - B, + B, + B, - B, På samma sätt finnas värdena på de tre öfriga radierna ,, 92, 5⅛ • Genom jemförelse mellan värdena på dessa fyra radier och det i föregående sats funna värdet på radien (r) af det i pyramiden inskrifna klotet finner man: 11112 - + - + - +- = -. T'1 T‘2 7’3 ?4 9’ Sats 53 (C. F. Lindman), löst af Knut WICKSELL. Att geometriskt och trigonometriskt bestämma en trian- gel, då man känner två af hans sidor samt att den enas motstående vinkel är dubbelt så stor som deras mellanliggande vinkel. Låt triangeln vara ABC der sidan AC = b och sidan BC = a äro bekanta och der A B är = 2AC Vi för- länga CB till D, så att BD blir = BA och sammanbinda D med A. Nu är BA = BD .. AD = IAABC = AC.. AD = a. Vidare emedan AD är gemensam och A DAB = AC så är CD:AD = AD : DB .. AC = CD. DB. För att upplösa problemet är det tydligen tillräckligt att finna D, hvilket nu lätt sker sålunda: Sätt CA i rät vinkel mot CB, skär CB midt i tu i Μ och drag, med M som medelpunkt, genom A en cirkel, som ---------------------------------2 _2 --2 skär CB utdragen i D. Nu är AC = MD - MC = CD.DB (II: 6), hvilket tydligen visar, att den erhållna punkten D är den rätta. 108 AFD. I. LÖSTA SATSER. För att erhålla formeln för AB = c, kunna vi begagna ___2 oss af eqv. AC = CD. DB, som omedelbart ger DB = AB = c = #(/462+a3—6), hvarefter ytan, då alla tre sidorna äro kända, på vanligt sätt kan beräknas. Om vi göra a=b, så fås c = 2 5-1), hvilket tyd- ligen är uttrycket på basen i en likbent triangel, der hvar- dera vinkeln vid basen är dubbelt så stor, som den vid spetsen; eller uttrycket på sidan i en regulier 10-hörning hän- fördt till den omskrifna cirkelns radie. Sats 58 (E. Lundberg), löst af KNUT WICKSELL. De räta linier, som sammanbinda en triangels vinkel- spetsar med de punkter, der en triangels sidor tangeras af den inskrifna cirkeln, råkas i en punkt. Om D, E, F äro tangeringspunkterna för den i A ABC inskrifna cirkeln så måste, emedan två tangenter dragna från samma punkt till en cirkel äro lika stora, AD vara = AF, BD = BE och CE = CE. Vi draga AE och CD hvilka skära hvarandra i 0, nedfälla från A och C, AP och CQ vinkelrätt mot BC och BA och från O OM ock ON vin- kelrätt mot AP och CQ samt draga BO. Det bör nu be- visas att BO träffar AC i F. ACDB-\CQ. DB, ABOD=4NQ. BD.. ACOB-ANC.BD. På samma sätt är A AOB = AMA.BE. Nu är BD = BE(HTyp.) /. AAOB: ACOB = MA: NC. △ CDA = 1 CQ.04 och A ODA = 2NQ. DA Λ A COA = ACN. DA. NsSlcceitste AFD. I. LÖSTA SATSER. 109 På samma sätt är ACOA = IAM. EC. Således är CN.DA = AM.EC .. AM: CN = DA: EC. Följaktligen är A BOA : A BOC = DA: EC. Om vi utdraga BO och låta den skära AC i 8, så är det naturligt (då Δ COB : ACOF = BO : OF - ABOA: A OAF) att ABOC : A BOA - A BSC: A BSA = CS: SA. SC: AS är följaktligen = CE: AD = CF: FA(Hyp.) ... CS: CA - CF: CA .. CS = CF. F och S sammanfalla då och linien BO går följaktligen genom F. H. s. b. Satserna 211, 213 (C. B. S. Cavallin), lösta af student C. F. LEMKE. 211. Enligt sats (F. W. Hultman, 2:dra a2+62 = 2m + (2) 150 af Todhunters uppl.) följer att: 21 a?+b eller - 2 Geom. 2 9 = m C Öfningss. c2 +—, 4 ’ a" + c2 = 2må + (b 2 1 \eller a + c 2 - = m2 62 2 +--, 4 b- +e2 = 2m2 + L a (a) 2 ieller 62+c 2 2 o - = a a2 + — . 4 Adderas eqvationerna, så blir: α2 + 6a + e2 = m3 + må + m3 + Multiplicera med 4 och man får: 3(a2 +62 + c2) + 4(m3 + må + m3) . 110 AFD. I. LÖSTA SATSER. 213. Låt ABC vara en liksidig A, h = höjden och a = sidan i densamma. Punkten D ligger antingen mellan A’ två sidor för- längda bortom den tredje sidan, eller mellan dem förlängda åt deras skärningspunkt till, eller på sjelfva förlängningen af någon sida. Kalla perpendiklarne mot de båda sidorna n och n, samt perpendikeln mot den tredje sidan n, och man finner att i l:sta händelsen 7 = 72 + n — 7 , 2:dra „ h = n, - (n + n), 3:dje „ h=skilnaden mellan de båda perpendiklarne, som då uppkomma. Första händelsen. Sammanbind D med A‘ tre spetsar. Nu är ytan af figuren ABCD = summan af AA', ABD och OBD, ytor. Tages A ACD bort på båda stäl- len, så blir △ ABC = AABD + A OBD-A ACD eller på annat sätt uttryckt: ha na na n a - -=- + - 4 h = n+n — n , 2222 " hvilket skulle bevisas. Samma konstruktion och bevis användas ock vid de andra händelserna. Satser af student C. F. Lemke. För 7:de klassens latinlinie eller 6:te klassens reallinie. 241. Två cirklar tangera hvarandra innantill, och deras diametrar, dragne från tangeringspunkten, hafva sina änd- punkter, den mindre i A, den större i B. Dragas tangenter till den mindre cirkeln genom A och B, så att den förra tangenten skär den större cirkeln i 0, och den senare råkar den mindre cirkeln i D och B sammanbindes med C, så är BC = BD. AFD. I. SATSER. 111 242. Om man kring en triangel omskrifver en annan genom att draga räta linier parallela med livar sin midtel- linie åt samma håll som dessa genom triangelns vinkelspet- sar, så är den nybildade triangelns α) sidor skurne i 3 lika stora delar af den andres spet- sar och midtellinier, om dessa utdragas, b) omkrets = 2 gånger summan af midttellinierna, c) ytan = 3 gånger den ursprungliga triangelns. 423. Om man från en godtycklig punkt i en regulier månghörning nedfäller perpendiklar mot alla sidorna, så är aritmetiska mediet af alla dessa perpendiklars längder = ra- dien till den inskrifna cirkeln. 244. Visa att höjden i en liksidig triangel är = 3 gån- ger radien till den inskrifna cirkeln och = 1, gång radien till den omskrifne. 245. , Att konstruera en triangel, då dess 3 midtellinier äro gifne. Satser af student C. B. S. CAVALLIN. 246. Bland alla trianglar, som stödja sina spetsar på tre gifna cirklar är summan af qvadraterna på alla sidorna störst eller minst i de trianglar för hvilka de genom stödje- spetsarne förlängda radierna skära hvarandra i triangelns tyngdpunkt. 247. Om tre cirklar äro så belägna, att en rät linie hvilken som helst, som skär två af dem, icke råkar den tredje, så är bland de trianglar, som stödja sina vinkelspet- sar på hvar och en af dessa cirklar den triangelns α) yta ett minimum eller maximum för hvilken de ge- nom stödjepunkterna gående radierna eller deras förlängningar blifva höjder i triangeln; b) perimeter ett minimum eller maximum för hvilken de genom stödjepunkterna gående radierna eller deras förlängnin- gar blifva bissectricer till triangelns vinklar. 112 SATSER. 248. Om i en tetraeder summan af qvadraterna på de kanter, som mötas i en spets, betecknas med S2, afståndet mellan denna spets och motstående gränsytas tyngdpunkt med R, samt summan af qvadraterna på denna gränsytas kanter med S:, så är S3 = 3R3+5S; . 249. Visa äfven att, om L2 är summan af qvadraterna på de linier, som från tyngdpunkten dragas till pyramidens hörn, så är S=2L. 250. Visa att summan af qvadraterna på de linier, som från någon punkt dragas till hörnen af en tetraeder är minst då punkten är tetraederns tyngdpunkt. 251. * Att finna en sådan punkt, att summan af dess anstånd från tre gifna punkter är ett minimum. För det första är tydligt, att den sökta punkten måste ligga i samma plan som de gifna och för det andra, att den icke kan vara belägen utom den triangel, som bestämmes af de gifna punkterna. Låt A, B och C utmärka de gifna punkterna samt P den, som sökes. Vi skola först bevisa, att om Pkan ligga inom A ABC, så kunna icke de cirklar, som hafva respektive A, B och C till medelpunkter samt AP, BP och CP till radier, skära sidorna BC, AC och AB. Ty antag t. ex. det vore möjligt, att cirkeln med A till medelpunkt och AP till radie skure sidan BC i punkten P'. Enligt antagandet måste då AP+BP+ CP- BO + AP‘ eller, emedan AP - AP', * Denna uppgift finnes löst i Matematisk Tidskrift af Tychsen för år 1859 sid. 75 (af F. B.), sid. 170 af Thiele, samt för 1862 sid. 41 af Tychsen, samt i Todhunters Differential Calculus sid. 236. AFD. I. SATSER. 113 PB + CPx BC, hvilket är omöjligt. Vi stödja vår lösning på följande kända teorem: Om AB är en determinerad rät linie, helt och hållet belägen utom en gifven cirkel, hvars medelpunkt är 0, och C en punkt på dess periferi, så är AC + BO minimum, när OC delar AACB midt i tu, och C ligger alltid på den båge, som afskäres af AO och BO, tagna determinerade. Vi öfvergå då till lösningen af det framstälda proble- met och antaga först, att P, om det är möjligt, ligger inom A ABC. Om AP antages känd till sin storlek, så måste enligt det föregående den cirkel, som har A till medelpunkt och AP till radie, ligga utom BC och, enligt hjelpsatsen, på den båge, som AC och AB afskära deraf, och tillika i den punkt, för hvilken förlängningen af AP skär A BPC midt i tu. Af likadana skäl måste förlängningarne af BP och PC skära midt i tu A APC och A A PB. Betecknas de punkter, der AP, BP och CP skära si- dorna BC, AC och AB, med a, ß och γ, har man så- lunda: ABPa = ACPa = A APy = ABPy = ACPß = AAPß eller ABPC = AAPC = AAPB = 120°. Vi hafva således funnit, att P ligger inom A ABC så ofta det finnes någon punkt, som uppfyller det sista vil- koret. Att detta vilkor alltid är uppfyllt så länge triangeln är spetsvinklig, blir tydligt deraf, att cirkelbågar uppritade inåt på två sidor, t. ex. AB och AC, skära hvarandra. Ökas ABAC, så närmar sig skärningspunkten mer och mer till A och sammanfaller dermed, när ABAC = 120°. Försto- ras A BAC utöfver 120°, förlorar ofvanstående lösning sin giltighet. Vi sätta i detta fall ABAC = 1200 + v, höjden mot BC = ha och sidorna = a,b och c. 8 114 AFD. I. SATSER. Är A BAC > 120°, måste P ligga på triangelns perime- ter, emedan uppgiften är af den natur, att den alltid måste ega en lösning. Vi antaga att, om möjligt, P ligger på si- dan BC. Det är då tydligt, att, om detta vore fallet, P ligger i fotpunkten af ha. Enligt antagandet är då a+ha < b + c eller _______________________be Sin(1200 + v) wb2+eh-2bcC08(120°+0) * V62+05-2a6Cos(120°+w)btc. Qvadreras detta uttryck, så blir 62 +c2 -26c Cos (1200 + v) + 2bc Sin (1200+v) 62c2Sin2(1200+) 22 27 *62+ -2ab Cos (1200 + t) 6 C eller - C6s(120"-e)-S1n(120*+e)+to..002000000120.7)1 1 • hvilket är omöjligt, enär ensamt - Cos (1200 + v) + Sin (1200 + v)> 1; och således måste a+ha> b+C. Då det nu härmed är bevisadt, att P icke kan ligga på BC, så återstår att se till, om den ligger på AB eller AC. Hvilketdera antagande man än gör, så följer, att P sammanfaller med A. För att beräkna summan AP + BP + CP, så sätta vi PA = la, PB = L och PC = l. Man får lätt likheterna och lå+l8 + lals = al) 13+12+lale = b2 7+12+lol, = c2) . . (1) 44 √3 ' * ' * hvarest A = ytan af AABC. AFD. I. SATSER. 115 Genom addition af likheterna (1) och en enkel reduktion under begagnande af (2), erhålles 7 7 7 /a?+b2+c2 - 3 la + b + lc = V —-------------2------+2.3A (3). Vi skola nu göra några speciella antaganden. Är någon af vinklarne t. ex. A = 120°, så blir bev/3 r , A = -—-— och al =63+C2 + bc; 4 följaktligen såsom sig bör: L=a+b, hvarest L = la + ls + lc. För A = 60° blir L = 6a + c2+be. - Sättes A = 90°, så fås L = /62 + c2 + beVä. 252. Bland alla tetraedrar, som stödja sina hörn på hvart och ett af fyra gifna klot, ha de summan af qvadra- terna på alla kanterna störst eller minst för livilka de genom stödjehörnen förlängda radierna skära hvarandra i tetraederns tyngdpunkt. Vi skola först bevisa ett par satser på hvilka vi stödja lösningen af denna sats. Om en triangels spetsar utgöres af midtpunkterna på en gifven triangels sidor, om vidare uppritas en ny triangel, hvars spetsar ärö midtpunkterna på den nyssnämnda triangeln och derpå, fortsatt i oändlighet, nya trianglar bildas efter samma lag, så är limes för n- triangeln när n växer obe- gränsadt, en punkt, som sammanfaller med den ursprungliga triangelns tyngdpunkt. Det inses att den gifna triangeln har samma tyngdpunkt som den första härledda, emedan sidornas bissektricer i båda sammanfalla; följaktligen har ock den ursprungliga triangeln samma tyngdpunkt som hvar och en af de öfriga härledda. Emedan nu en triangel alltid måste innesluta sin tyngdpunkt 116 AFD. I. SATSER. och för obegränsadt växande n hvar och en af triangelns sidor närma sig obegränsadt nära en punkt, så måste följ- aktligen i limes, n = 0o, triangeln obegränsadt nära sam- manfalla med den ursprungliga triangelns tyngdpunkt. I en tetraeder är summan af qvadraterna på tre från ett af hörnen utgående kanter lika med tre gånger qvadraten på den linie, som förenar detta hörn med motstående sidans tyngdpunkt tillsammans med en tredjedel af summan af qva- draterna på samma gränsytas, kanter. Låt A BCD vara den gifna tetraedern. A, , B, och C. midtpunkterna på AB, AC och BC, samt T tyngdpunk- terna till AABC. Enligt en känd sats är då ——— 2 ' _----2 ---2 ----2 JR AD + BD = 2 AD + -, 1-----------------2 -----2 -----2 —2- 2 AC AB + CD = 2 B. D + -, .2 _____2 ____2 PC BD + CD = 2CD + , alltså 2 2 2 2 2 2 2 2 AB + AC + BC AD + BD + CD = A,D + B,D + C, D + - eller, med användande af ett kortare beteckningssätt 2 2 2 2 2 AB + AC + BC ■ s-—4—• Behandla vi nu den nya pyramiden DA Bi Ci på samma sätt som den ursprungliga och iakttaga analoga beteckningar, så följer att ---2 ._2-----2 - 8:-- s: +AB+AC+ BO 1--0___16 eller i allmänhet _2 --------------------2--------- 2 2 2 A B + AC + BC + 4n ’ hvadan slutligen AFD. I. SATSER. 117 —--2 --2 ---2 2 2 AB + AC + BC " 34"/ For obegränsadt växande n sammanfalla, enligt ofvan bevisade hjelpsats, A„, Bn och Cn med T, och följaktigen är för denna gräns AnD = B„D = C„D = TD, och alltså - 2 _2 2 2 AB + AC + BC S2 = 3 TD + . 3 Vi öfvergå då till lösningen af den först framstälda satsen. Låt de gifna klotens medelpunkter betecknas med M., M., Ma och M., tetraederns hörn med H., H., Ha och H. tyngdpunkterna till de mot hörnen stående gränsytorna med T, T,, T3 och TA, summan af qvadraterna på alla kan- terna med S2 samt summan af qvadraterna på de kanter, som mötas i H, med S2. Vi antaga att H, I, Ha har det läge, som denna gränsyta intar då S2 är störst eller minst. S2 har så- lunda något af sina gränsvärden när S2 har sina eller på -----------------------------2 -----2------2 0 H H, + H. H, + H, H, samma gang som 3H 7. + ------—----L--------, en- ligt den andra af stödjesatserna, d. ä. på samma gång som T,H,, efter senare termen är konstant. Men TAH, har tydli- gen sina gränsvärden då TAH, går genom M., således äfven på samma gång S7.* Nu äro T,E,, T,H,, T,H, och TAH, de linier, som förena tetraederns hörn med motstående gränsytors tyngdpunkter och gå derföre, såsom bekant är, genom tetraederns tyngdpunkt. 253. Om i en pyramid, med fyrsidig plan bas, basens diagonaler betecknas med D. och D2, den linie, som förenar midtpunkterna af dessa diagonaler, med L, afståndet från midtpunkten på denna föreningslinie och spetsen med R, samt summan af qvadraterna på de kanter, som mötas i spetsen med S2, så är * På samma sätt bevisas, att TyH3; T2H2 och T,H, gå genom Ma, M, och M.. 118 AFD. I. SATSER. S2 = 4R° + A(D3 + D3)+I.2. Vi förutskicka följande hjelpsats. Om en fyrhörning bildas genom förening af sidornas midtpunkter i en gifven fyrhörning och en ny fyrhörning bil- das på samma sätt i den första härledda, samt sedan fyr- hörningar danas efter samma lag, så sammanfaller i limes den nie fyrhörninyen för obegränsadt växande n obegränsadt nära med midtpunkten på den Unie, som förenar diagonaler- nas midtpunkter i den ursprungliga fyrhörningen. Den första härledda fyrhörningen är såsom bekant en parallelogram, hvars sidor äro parallela med den ursprungliga fyrhörningens diagonaler. Enligt sats 52 (I), bevisad årgången 1868 sidan 167, skära hvarandra parallelogrammens diago- naler på midtpunkten af den linie, som är föreningslinien mel- lan den ursprungliga fyrhörningens diagonalers midtpunkter. Hvarje följande fyrhörning är naturligtvis en parallelogram, hvars diagonaler hafva samma skärningspunkt, som diagona- lerna i den första härledda. Deraf följer omedelbart sannin- gen af den framstälda satsen. Vi öfvergå då till beviset för det först framstälda teo- remet. Låt basens sidor betecknas med a, b, c och d, de från midtpunkterna af dessa sidor till spetsen dragna linier med e.,f., g, och h,, de kanter, som mötas i spetsen, med e, f, g och h, midtpunkten på den linie, som är föreningslinien till midtpunkterna af basens diagonaler med Q, pyramidens spets med P, midtpunkterna af basens sidor med E, F, G och H, midtpunkterna af EF, FG, GH och HE med E,, F,, G, och H, , midtpunkterna af E, F., F, G, , G, Hi och H, E. med E2, F, G2 och H. samt i allmänhet midt- punkterna af En-1Fn-1, Fn-1Gn-ι, Gn-1,-1 och Hn-1En-1 med En, Fn, Gn och Hn. Låt dessutom M beteckna basen, M, dess första härledda fyrhörning och i allmänhet Mn dess né. Man har enligt en känd sats a2 b2 e2 +f2 = 2e2 +-, + g2 = 2f2 +, AFD. I. SATSER. 119 2 (72 9"+l2=2g;+2> 72+e2 = 24; + 2 Genom addition af dessa likheter erhålles (1) S2 = S;+|K°, hvarest S; = e? +f1 +91 +l; och K2 = a + b2 + c2 + d2. Med användande af analoga beteckningar erhålles på samma sätt: . S; = SA+4 K; och i allmänhet (2) S,-i = SP + * KÅ—L Med stöd af (2) kan således (1) skrifvas (3) s=-S;+:K +*(K, + K5+K[+...+K71). Nu är i M, sidorna halfparten af diagonalerna i M. och således är, med iakttagande deraf att i en parallelogram summan af qvadraterna på diagonalerna är lika med summan af qvadraterna på sidorna, för n>l. (4) K; - :K,L. Med användande af (4) öfvergår således (3) till 2 2 o / 11 1 1 (5) S = S+IK +IKX 1+2+2 +2++27-2) = s, + K° + K; - = S,+1K3 + AK; [1 - (3)n-1]. Nu är för oändligt växande n i limes, enligt ofvan be- visade hjelpsats, PEn = PFn = PGn = PHn = R och så- ledes S, = 4R', samt (⅜)n-1, för n = oo, i limes = 0. (5) kan derföre skrifvas S2 = 4R2 +\K2 +|Kj. Enligt en känd sats är K2 = D;+D,+4L2, samt, såsom lätt inses, K? = A(D, + Då). Med införandet af dessa värden öfvergår (5) till Ä2 = 4R2A(D; + D,+4L2)41(D;+D[)+4R2+X(D;+D;)+L‘. Detta teorem gäller äfven om pyramidens bas är kon- kav. För att visa dess användbarhet skola vi med stöd deraf lösa några satser. Vi begagna i det följande samma beteckningar som förut. Fyra punkter äro gifna i samma plan. Att finna orten för de punkter, som äro sådane att summan af qvadraterne 120 AFD. I. SATSEE. på deras afstånd från de gifna punkterna är en gifven qva- drat N~. Enligt uppgiften har man omedelbart likheten ' N°. =4 R1 + #(D; + Dä) + L2, hvaraf R - M-L1 - :(D; + D;). Orten är följaktligen ett klot, som har Q till medelpunkt. För uppgiftens möjlighet måste N2L3 +2(D1 + D2). Ett klot och fyra punkter, som ligga i samma plan äro gifna; att finna de punkter på klotet, hvilka äro så beskaf- fade att summan af qvadraterna på deras afstånd från de gifna punkterna är maximum eller minimum. Emedan S2 endast varierar med PQ, så inses att PQ bör hafva ett maximi- eller minimi-värde; således äro de sökta punkterna de uti hvilka klotet skäres då PQ går ge- nom dess medelpunkt. En pyramid med fyrsidig plan bas är gifven. Det be- gäres att finna den punkt för hvilken summan af qvadraterna på dess afstånd från pyramidens hörn är minimum. Låt P, utmärka en punkt i rymden och V2 summan af qvadraterna på afstånden derifrån till basens hörn. Då skall ---------------------2 V2 + PP, = minimum , eller då måste ____2 ___2 4P.Q + PP, ^ mininum, efter endast P.Q och PP, variera. Man inser derföre lätt att P. bör ligga någorstädes på PQ. Sättes P,Q ="+), .. PP, =.R-0, så fås eqvationen 4—+ R -0 = min. 4(51 ) V5 hvaraf ses att å bör vara = 0 , eller ÅR+502 - min., R4 .’. P.Q = — och PP. = =R. 1 6 5 1 5 Den sökta punkten ligger således på } af QP från Q räknadt. Den sökta minimisumman blir alltså 4 t R2+J(D2 + D3) + L2. AFD. Π. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 121 AFDRLNING II. Definita integraler af synektiska funktioner. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 70). 40. Vi gå nu att göra en tillämpning af formeln (54), hvarigenom vi bli i tillfälle att lösa den vigtiga frågan om synektiska funktioners uppdelning i faktorer. De punkter, för hvilka en funktion f(f) blir 0 eller oo eller, som är detsamma, hvilka fixeras af rötterna till f(z) = 0 1 eller - = 0, kallas resp, funktionens nollpunkter och oänd- - lighetspunkter eller med ett gemensamt namn funktionens mär- kespunkter. Om en funktion f(z) eger inom en gifven cirkel P (fig. 10) märkespunkterna a,, aq... ap men är för öfrigt synek- tisk för hvarje punkt på cirkelytan, och om vidare hvar och en af dessa märkespunkter är såsom medelpunkt omgifven af en cirkel nog liten att icke innesluta eller beröra någon af de öfriges cirklar, så låter funktionen eller dess inversa värde för hvar och en af dessa små cirklar utveckla sig efter den Taylorska serien (jfr § 20), då alltså: l:o. Om ar är en m-faldig rot till f(f)= 0, så fås enligt § 25 /(-) - (€ - a,)" z(e)..........(66), der x(2) är en synektisk funktion, som hvarken blir 0 eller oo för någon punkt på den lilla cirkel, som omger ar; . 8* 122 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 2:0. Om a, är en m-faldig rot till på samma sätt 1 - (z-a,)n(z), J(z) 1 f(=) = 0, så fås der Q(z) är synektisk och hvarken blir 0 eller ∞ för nå- gon punkt på den lilla cirkel, som omger a,, eller annor- lunda uttryckt: f^∖= (z—a,)—"x(2)(67), o 1 der Y(z) såsom varande = - likaledes är synektisk och %=) hvarken blir 0 eller oändlig för den a, omgifvande lilla cirkeln. Om vi sammanfatta (66) och (67), så kunna vi sätta, om vi med (, utmärka ett positivt eller negativt helt tal: f^) = (z - ap)"r x(z)...................(68), der således μr med sitt numeriska värde anger mångfaldighe- ten af roten a, och för öfrigt är pos. eller neg., allt efter som a, är en nollpunkt eller oändlighetspunkt hos funktio- nen f(z). Talet u, kallas märkespunktens ar index. En nollpunkt är således en märkespunkt med positiv index och en oänd- lighetspunkt en märkespunkt med negativ index. 41. Genom att derivera likheten (68) erhålles /(=) - Pr(z - arfr-1χ(z) +(= - a,)"rz (=), då följaktligen /() _ Uy e X(a)................... f^) z-an %(=)‘ hvilken likhet således visar, att oändlighetspunkterna hos qvo- f(z) ten • äro helt och hållet sammanfallande med märkes- punkterna hos funktionen f(z). . 42. Om vi enligt (54) utveckla /() för en konver- gens cirkel P, inom hvilken f(z) har a,, a2...Cp, så erhålles, då ao sättes = märkespunkterna 0: AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 123 f(z)dz 27i : C, f(=)dz zf(z) Fyllnadstermen i denna serie kan med stöd (69) trans- formeras på följande sätt. Enär x(z) för hvarje punkt på den ar omgifvande lilla cirkeln är synektisk utan att bli 0 och då dess derivata följaktligen äfven är synektisk (jfr § 18), så måste hvarje punktintegral af formen (jfr § 7), då alltså: ar x(z)dz (a-z)x(z) vara 0 "r A/ar f(a)dzc 1',P ∕ u,dau _ v u, ,. (2-2)(z) 2, (*-*)(*-*5 - , a, Likaledes fås för a, > 0 hvarje punktintegral af formen r dr f(z)dz - 1 / u,dz _ ur 7 z°f(=) 2ni./ 2*(z-a,) (ar)““’ C Med begagnande af (71) och (72) kan serien (70) sättas under följande form, då nämligen o utmärker talet 2 eller 1, allt efter som 0 är en rot till ∕(^) = 0 eller icke (jfr § 39, ex. 2 och 3): (73), der f(e) (74). T=P S+E T=1 ar f(z)dz 1 ( S = — 2ni T=P +«Z T=0 .0 f(2)dz T=Pp,) zf(a) + X a, + * r=o „0 z3f(e) - ( 124 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETO. 43. Genom att integrera likheten (73) från & till a fås: log 7 ) = ∕ Sdœ + 2 u„log /—r + 2kzi... (75), J(o) ,=1 4oQr der sista termen utmärker den vid integrationen inträdande perioden, beroende af den väg man följer vid gåendet från .0 till a (jfr § 28). Likheten (75) kan sättas under formen: r=p( - Ur. Sax f(a)=f(o) II " l e “ • • • (76), der sista faktorn e2kvi är försummad såsom varande = 1. Denna formel, hvars stora vigt och betydelse vi fram- deles bli i tillfälle att närmare belysa, visar det allmänna sätt, hvarpå en synektisk funktion f(z) kan uppdelas i fak- torer, så snart vi känna dess inom en gifven konvergenscir- kel P befintliga märkespunkter äfvensom deras indices samt den i (75) gifna konvergenta serien. Formeln (76) användes vanligen under följande enklare form, då & sättes = 0: Sax f(a)=f(0) II 1-2 ( e ° ... (77). Cr) Anm. 1. Att den i (76) eller (77) gifna produktserien alltid eger ett finit värde eller är konvergent utom för de inom P befintliga oändlighetspunkterna framgår omedelbart deraf, att hon utgör en omedelbar utveckling af den enligt (54) konvergenta serien (70). Anm. 2. Att den definita integralen ÇSdæ är en synektisk funktion af x for alla punkter inom konvergenscir- keln P, följer af § 13, enär serien S är en synektisk funk- tion af a för alla punkter inom P. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 125 44. I följande exempel betjena vi oss af de i § 39 gifna beteckningar, der Q utmärker konvergens cirkelns radie, 8 ett litet positivt talvärde samt a) och b) de särskilda mo- ment, hvari konvergens cirkelns radie antages resp, ändlig eller gränsande till oändligheten. Ex. 1. f(x) = Sin , då märkespunkterna represente- ras af ± kzt [k - 0, 1, 2 etc.] samt hafva samtliga index 1. a) Q = 27 — 8. I detta fall har f(a) inom konvergens cirkeln tre märkespunkter, näml. a, = 0,0 = ± , då C3 ) alltså enligt (76): r-3 J Sdx Sin z = Sin 7 11 4--@e- Sin o 2o ( Sdx æ-n 2+10 ‘ J.----.-----.e 0 . xa-π æ0 +70 För ab = 0, då lim Sin go1, No fås följande enklare uttryck Sin= x .) Sdx 0 Serien S antager enligt (74) följande form (jfr § 39, ex. 7): då följaktligen (72 2 5 (% _a32 F 04(2 F2 a°( 2 . F3 % " 2,7 3 [24 7 4 [4,6 70 6:"’ hvilken serie vi således ha att foga såsom exponent till talet e. b) 0 =(k + 1), der k är mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu märkespunkterna a, = 0, 020 = ±, C3 ) 126 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. a.)C2% ) 7 m. - ( = J 2/0,.. ( =. For en oändligt stor kon- Cs) C2k++1) vergens cirkel blir serien S = 0 [ifr 8 39 ex. 7 b), då alltså: hvilken är den kända formeln för utveckling af Sin x i en oändlig produktserie. Anm. 1. Den för sin. hyp. gällande produktutveckling fås omedelbart genom att i föregående formel införa i5 i stället för a. Anm. 2. Genom att i föreg. formler införa x=a+iß finna vi utvecklingen af Sin(a+iß)- 2/624-e = Sina Cosiß + Cosα Sin iß äfvensom af Mod2Sin(a+iß) = 1(e23-2 Cos2a+e:20) genom att taga modylerna å ömse sidor. Vi kunna äfven utföra en speciel utveckling med afseende på antingen a eller β som variabel, hvilket vi gå att visa i följande exempel. Ex. 2. f(ß) = Sin (a+ip), då märkespunkterna med afseende på β som variabel representeras af i(kz+c), då k = 0, ±1, ± 2 etc., och hafva samtliga index 1. Q = 47, då f(ß) för a < in har inom konvergenscirkeln märkespunkterna a, sic, e = i(a + 1) [jfr fig. 11, der märkespunkterna äro tecknade med små kors], hvadan alltså enligt (77): Sin(α + ^) = Sind 1 -1- 01 - 0 ( ia) ( i C + 70 )) ( i C — T) ) der S enligt (74) låter beräkna sig. Om vi sätta (3) . . . = i Cotg (c + iß) = u, / (3)' så blir enligt (56) .0 0 0 fdz_ 1 (f4-D 11 (-1) 8‘/ 8-18/) s-l| AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 127 Enär /u = iCotg c. och //0) = i Sin (a+2), hvaraf 0 0 0 0 0 0 /f = lf" = /f= ∙∙∙ = Sin a och /f’ = /f" g /f = ..iCosa, så fås enligt (58) r+1 Sin (a+7:-1 7) ∖ 2 ) wny(e-1)y-9...( Sinc-lzur-1,10-1)/2),/o-9..|/Cosc, < [2 9 '1 13 ' ' hvarur framgå följande bestämningar: 0 1 ,0 2iCosc 0 2(1 + 2 Cos° 2) /"=Sin"a' /" - Sin a ' /" - —Sin a0.6.%. Vidare är ‘ 11 _____________________1 1 - (ap) (ia)" Ii(a + n);° * {i(a-n)]s' då alltså serien S får följande form: S = i4o + A,3 + iA,ß2 + A,B3 + , der . 1 1 1 A = Cotg a ; β C C+7 C — 7’ 1 1 1 1 1 Sin2α a2 (a + 7)2 (a — 7)25 Cos a 1 1 1 2 Sin a 3 " (a+7)3 " (a—n)ai 4 1+2Cos2a 11 1 3 3 Sin a + alt (a+x)at (a-x)1i Vår integral blir alltså: Sda = iAß + —2 + + 44 + 0 b) ( =(k+1)r, der k är ett särdeles stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu märkespunkterna 128 AFD. II. DEFINITA INEGRALER AF ETC. S(a+iß)=Sina 1- a, = ic, 2 =i(g + x), 4 = i(d+2n), . . . “2 / C3) Cs) C2*+1) = i(a±k7). För en oändligt stor konvergens cirkel blir på grund af § 37 A, = A2 = , =.. = 0 samt med stöd af § 39, ex. 7 b) äfven A. = 0, då följaktigen vår oändliga produktserie blir: -AY1 - 8X(1 - 8 Yl -g Yl ^ ic/\ i(a+T)\ i(a-7)/\ i(a+2n)/\ i(c-2n) Anm. 1. Genom att i utvecklingen o) taga modylerna och argumenten å ömse sidor erhålles 11e23 +e 23 - 2 Cos 2 cj - Sin * 1+870)1 + 02 ( 1+02 ( 204,8*+14,814.0 ( C2)( (C + 70 )2)(a—7)2) samt Arctg |Cotg a . Th ß} = Ti + Arctgß + Arctg+ Arctg+ A 8+4 A,03+... « a+IT a—IT 0 3 Genom att åter i utvecklingen b) taga modylerna och argumenten å ömse sidor fås: 11e23 + e-23 - 2 Cos 2αj - Sin e 1+82014 B2 1+02 1+@2 14 02 ( α2∏ (a+)2 (a-71)2S(a+2n)2) (a-2.1)2 samt * Vi äro i tillfälle att med detta resultat rätta en i åtskilliga arbe- ten förekommande felaktig formel, näml. e^ - 2Cose + e = =4 Sin2T 1+1+ - 1 + —----------3 2. 62 C (21 ±6)21-(4 r ±6)2 (jfr Plane Trigonometry by I. Todhunter, pag 260). Ty genom att sätta 2/==, och 2. = 0 fås AC -2 ( 2 € ~2 e” -2 Cos0+e 2 =4Sin21+-1+ 1+- 21 629 1 (27 + 6)2 t (2n — 6)2 ( -2 3 -2 \ (47 + 4)2. (47—)2) Den anmärkta formeln bär ock ett inre kriterium på sin felaktighet, ity att den för ett gifvet siffervärde på θ icke kan satisfieras af såväl + 0 som —0. ⅛ΛSS . hateis AFD. Π. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 129 Arctg [Cotgα.Th ß] =lr+Arctq ß + Arcto ß + Arcto ß + Arcto+ Arctg—A +. (a a+7 "a-7 "a+2/ Pa-2/ Detta sista resultat ger vid handen ett högst enkelt sätt att konstruera principalvärdet af arg Sin (α +iß). Ty för a <17 är den venstra sidan i likheten ett bågvärde i I:sta qvadranten, hvarföre bågsumman till höger äfven måste utgöra ett värde i l:sta qvadranten, då således, om vi sätta: 05 = ArctgB 0 a v, - Arctg - ^ — Arctg „ v. - Arctg 2 - Arctg så måste följande likhet ega rum: Arctg (Cotg a . Th ßj = vo - v, - va - , hvilken visar, att vi för finnandet af det i fråga varande ar- gumentet ega att från vo subtrahera de raskt minskande vin- keldifferenserna v,, v2 etc. [jfr fig. 12]. Anm. 2. Om vi i första modylutvecklingen i föreg. anm. införa 2ß = log — 4>1 och 2c =, så erhälles för 2 2 IV LAV J (C <27) (10 M 3) eller, som är detsamma, för 3 879 följande produkt- φ < π utveckling: 9 130 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. der vi i koefficienterna 4, , A, etc. ha att införa 1 9 i stäl- let för c. For en oändligt stor konvergens cirkel åter fäs följande produktserie: M\2 ( log ) M2 + N2—2MN Cos 9p = 4MNSin 2 1 g 1+—— ( 9-) Λ M\2 (, M\2 M\2 ( M\2 J1+N 20 0 N 9 ( O N , ( (27+9)2) (21-9)27 (2.27+9)2)8 (2.27-9)2)" Dessa produktserier egna sig på ett enkelt och naturligt sätt för utvecklingen af störelsefunktionen {M2+N2-2MNCosq}-2 med afseende på log W som variabel. Anm. 3. Om vi taga i betraktande de för en oändligt stor konvergens cirkel försvinnande koefficienterna Ag, A., A. , A3 etc., så framgå derur formler för summe- ring af oändliga serier enligt följande allmänna chema : 0 1 i T=2k+1 1 — U(s-1) = - E -. 8-11 1 (a») Dessa serier hafva vi redan funnit för s = 1 [jfr § 39, ex. 7, 6)] och för s = 2 [jfr § 39, ex. 8, 6)]. För 8 = 3 och s = 4 finna vi resp.: Cosa 111 1 1 Sin a as (a+n)3(a-n)3 (a + 27)3 " (a—27)3 * 1+2Cos a 1 1 1 1 1 3 Sin a a't(a+n) (a—n) (a+2n)'" (a-2x)T- Ex. 3. f(a) = Sin (a + iß), då märkespunkterna med afseende på a som variabel representeras af kat - iß [k = 0, ± 1, ± 2 etc.] och hafva samtliga index 1. a) Q = A(27)2 + 82-8, då ∕(α) inom konvergens cirkeln har märkespunkterna a, =—iß, "( = + x—iß [jfr Cy) fig. 13], då således enligt (77): AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 131 fsaz Sin (a-iß) = Siniß 1+- 1+- 1----------------—e ° , - 5 iß) ( 7+ip) ( 7—i) der vi ha att enligt (74) beräkna S. Om vi derför sätta: ∕(α)/ . -- = Cotg (α + 2p) = u , f(a) 5' så är enligt (56): 1 f’dz 2niJ zsf Enär /u = Cotgiß och /0) = Sin + 28, hvaraf 0 0 0 0 /f" = Cosiß, /f" = — Siniß, //" = - Cosiß, ∕y,v = Siniß o. s. v., så erhålles enligt (58): 9uf - "(=142 + 1 2 Sin Siniß + r aM - "-1 - 2) κ r. ≈, +.Cosi8, (1 3 ' hvaraf framgå följande bestämningar: 0 0 0 ∕ 1 1, 2Cosiß , „ (1+2 Cos 2 iß) / Sin 2 iß’ Sin iß ‘ 4 Sin “iß 0. s. v. Vidare är, då lx sättes = 7-iß, hvaraf l = A/x2+p2 och 2 = Arety ß. T=3 1 1 1 1 (a)e 7 (—iß)* (-i8+7) (-is-n) (—) U5(4' då alltså serien får följande form: S = iAo + Aa + iA,a2 + A,a3 + der 1 2 Sin 2 = — Coth + - + —-—, 132 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 1 1 2 Cos 27 - Sh'ß p2* l- i _ Chß 1 2 Sin 32 I Sh'ß 83* 13 i _ 1+2Ch*8 1 2 Cos 42 4a 3Sh'ß +gi* 1A 3 Vår integral blir följaktligen: /* / Sdæ = iA c + 1 A, c2 + }iA,a3+1A,al+... 0 A nm. Genom att taga modylerna å ömse sidor i vår funna produktutveckling erhålles, då vi iakttaga, att l Cos2 = : (3846 15-2Cos27-(-c0)" 1-()7)14240-(2)°( (, 2a 7 (c\2 ( 02 \l) × e2[44, a2+1A, at+...] Om vi i detta resultat införa 9 1 M M 1 2/=lo7°1 och 2c = p, hvaraf Z2 = 1 (27)2 + log 2 ( N) ) och 2 = Arctg lo N 27 ’ så fås följande egendomliga ut- veckling: M-+N%-2MN Cos 9 = (M-N)3 x 1+9(0 + 47) 1+0 (90 - 47) 24, G()-+4,(0)4.] (2m)"+(logM)N(2m)"-(losM)" ’ hvilken utveckling gäller för Mod(19)<ß eller, som är / M\2 (47)2 + (log . Denna formel AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 133 lämpar sig på ett enkelt och naturligt sätt för utvecklingen af störelsefunktionen {M2 + N2 - 2 MN Cos 91-2 med afseende på © som variabel. 6) 0 = (2kx)2 + B2 — 8, der k är ett mycket stort helt pos. tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu märkespunk- , . a.) , . a.) . . C2k ) terna a, = iß, 2 = ±7—iß, 4 = ±27-i,... C3) Cs) C2k+1) = ± km-iß. För en oändligt stor konvergens cirkel är på grund af § 37 A. = A2 = A, =... = 0; likaså finna vi A0 = 0, då vi i § 39, ex. 7 b) införa iß i stället för a. Vår oändliga produktserie blir alltså: Sin (a + iß) = Sin iß 1 + 0 1+ —0 1-----C (---------------------------------------iß) (----------------------------------70+iß) ( 70 — iß) ( + 2π + iβ∖( 2ττ-iβ Anm. 1. Genom att taga modylerna å ömse sidor er- hålles, då vi sätta 7λ, = 27+iß, [", = 37 + iß o. s. v.: 60 7 Ta+ 2aπ 4cr 7a + Um vi har såsom i foreg. anm. införa M 2 8=log %, 2a—99, (2-1(2r)2+(log N) (, 12=1\(2.2m)2+(1og M)37 och (-+)(2.37)3+(1og M) (o.s.v., så erhålles föl- jande oändliga produktserie: 134 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. M.N°-2MNCoq = (M- N): 1. 9 1. 9(0+47), - (log Nv) " (2r)° (log N) ( 9(9—4 7) K g(y + 4.2 7) 2 (27)2 + log V) (2.27) * log v) g(9 — 4.27) (2 2r)2 log v) g(g+4.37) 2 + / M\2( ( (2.3n)2+(log7) 1 9(9-4.37) 2 Z ( **** (2.3m)2+(log N) hvilken utveckling gäller for hvilka ändliga värden som helst på φ. Genom att sätta exponenten -, till hvar och en af faktorerna till höger ha vi således den oändliga produkt- serie, som är = störelsefunktionen {M2 + N.-2MNCos 9)-2. Anm. 2. De serier, som härflyta från de för en oänd- ligt stor konvergens cirkel försvinnande koefficienterna Ab, A., 42, A, etc., fås omedelbart genom att i de serier, som förekomma eller äro antydda i ex. 2 anm. 3, införa iß i stället för a. Af den nu genomgångna exempelgruppen, som i sjelfva verket icke är annat än tre skilda synpunkter af ett och samma exempel, näml. Sin a, kunna vi sluta till vigten och värdet af den allmänna produktformeln (76) såsom gif- vande uppslag till en outtömlig rikedom på nya och intres- santa utvecklingar. Vi hafva med den fullständiga lösningen af detta exempel velat antyda de skilda utvecklingar en och samma funktion kan erhålla, då hon ses ur olika synpunkter. Ex. 4. f(a) - Cos x, då märkespunkterna represente- ras af +(k+1)n [k = 0, 1, 2 etc.] och hafva samtliga index 1. α) 0 = % — 8, då. f(x) inom konvergens cirkeln har de två märkespunkterna 0= ±17, hvadan alltså C2 ) enligt (77): AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 135 2 fsax Cos 2 = 1 | , der S enligt (74) har formen (jfr § 39, ex. 6): ( 2 2 E,) ( 2 4 E, Λ 2 6E,) 4 "G n) 2 1taeG n)' 4 ta ( n)° 6* och följaktligen .2( 2 2E,) x4( 2 404 2 (2 7)2 [24 ( 7)4 4E2 14 ) a°S 2 6E, + 6(( v)° ~ : b) Q =k, der k är ett särdeles stort pos. helt tal. Inom konvergens cirkeln ha vi nu märkespunkterna a.) , a.) q 42% — 1) 2k — 1 1 = +17, 3 = ±370, 4= + -7. For C2) G,) C2k ) 2 en oändligt stor konvergens cirkel är serien S = 0 [jfr § 39, ex. 6 b)], då alltså: 2 C - 21—1 2 7. hvilken är den kända produktserien för Cos a. Anm. 1. Genom att i föregående formler införa is i stället för x fås omedelbart den för Cos. hyp. gällande pro- duktutvecklingen. Anm. 2. För det allmänna fallet, då x =a+iß, kunna vi enligt föregående formler utveckla Cos (a + iß) = 1 (e + e ) = Cos a Cosiß - Sin a Sin iß äfvensom Mod 2 Cos (a+iß) = 11e28 + 2 Cos 2a + e-20 } i produktserier. En speciel utveckling låter utföra sig i enlighet med ex. 2 & 3 med afseende på vare sig a eller ß såsom variabel, då vi ha att finna märkespunkterna af likheten a+iß = (k + 1 7) för k=0,k=+1, k = + 2 etc., hvilka samtliga ha index 1. 136 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Såsom lämpliga öfningsexempel torde följande förtjena uppmärksamhet: Ex. 5. f(z) = M° + N1-2MN Cos a, direkt utveck- , M ling med afseende på log — som variabel, med kontroll 6N ’ af ex. 2, anm. 2. Ex. 6. f(a) = M2 + N° — 2 MN Cos a, direkt utveck- ling med afseende på a som variabel, med kontroll af ex. 3. Ex. 7. f(a) = tga, direkt utveckling, med kontroll Sin æ af — . Cos & Ex. 8. j(x) = Cotg x, direkt utveckling, med kon- 45. Vi gå nu att ur en annan synpunkt skärskåda den allmänna produktformeln (76) eller ,-p( •______________n u, Sda f(a)=f(wo)II " e =. T=1 Om vi sätta a Sda , Qw = § + in = / Sda samt Rω - e ° = e, “0 så är R = es och 2 = , hvaraf framgår, att argumentet Ω såsom varande = 1 måste beskrifva vinkelbanan 0 för hvarje af Qu beskrifven sluten kontur. Men Qu är synektisk för hvarje punkt inom den af a beskrifna konvergens cirkeln och måste följaktligen beskrifva en sluten kontur på samma gång som x beskrifver en sådan inom sin konvergens cirkel, då således f(x) för denna al kontur måste ha samma vinkelbana som produkten r=P( - u (u. TT-------r . Men en faktor --------------r har vinkel- - (To — ar) (o — ar) r-1 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 137 banan 0 eller 2 ur, allt efter som märkespunkten ar lig- ger inom den af a beskrifna konturen eller icke (jfr årg. III, sid. 119). Om derför märkespunkterna αil, a2... as ligga r=s inom xl kontur, så är funktionens f(x) vinkelbana = 2u, . r=1 Vi kunna alltså uttala följande särdeles vigtiga sats: Om inom den konvergens cirkel, som gäller för en sy- nekctisk funktions f(x) utveckling i produktserie, 2 beskrifver en sluten kontur, hvilken innesluter ett visst antal märkespunk- ter, så är f^f vinkelbana för denna kontur = 2 7r x sum- man af de inneslutna märkespunkternas indices. Om vi åter äro på förhand försäkrade om att f(x) inom den af a beskrifna konturen icke har någon oändlighetspunkt, d. v. s. märkespunkt med negativ index, så kunna vi ock omvändt sluta, att, om för en afbeskrifven sluten kontur f(a) vinkelbana är 2 m, så eger f(a) m stycken rotpunk- ter inom denna kontur.. Anm. I fall vi egde en allmän metod att finna en synektisk funktions f(f) vinkelbana för en gifven kontur x, så vore dermed ock frågan löst att närmelsevis finna läget af funktionens rotpunkter genom att innesluta dem inom allt trängre och trängre konturer (jfr den i årg. III, sid. 177 etc. framstälda metoden, hvilken blott gäller för hela rationela polynom). 46. Enär enligt § 18 en derivata f'(x) är synektisk för hvarje punkt på en yta, för hvilken funktionen f(x) sjelf är synektisk, så kunna vi på grund af det i § 2 med till- hörande figur antydda sambandet mellan primitivans och de- rivatans konturer uttala följande satser, då vi nämligen an- taga den oberoende variabelns kontur bugtig, d. v. s. limes för kontingensvinkeln i hvarje punkt = 0. (Jfr årg. III, sid. 187). l:o. Om f(x) är synektisk för hvarje punkt på en kon- tur P, så varierar derivat ans f°(x) argument OM — PL kon- 138 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. tinuerligt, med undantag möjligen af det fall, då f'(x) = 0, då alltså f(x) i allmänhet måste beskrifva en bugtig kontur o o pa samma gang som a. 2:0. Om f"(x) = 0 på samma gång som f"(x) icke är 0, så beskrifver f°(x) en bugtig kontur genom sitt origo (noll- punkten), då alltså f"(x) i denna punkt ändrar sitt argument med 7, hvilket hos primitivans kontur motsvaras af en spets [= den punkt, der limes för kontingens vinkeln är π]. Och omvändt, om f(x) beskrifver en spets, så måste f (x), så- som ändrande sitt argument i den motsvarande punkten med 7U, vara = 0. 3:o. Om f°(x) = f"(x) == 0 men deremot f"(x) icke 0, så måste enligt föreg. sats f'(x) förete en spets i sitt origo, för hvilket fall fff- kontur är bugtig eller saknar spets. Är åter f'(x) = f"(x) = f"(x) = 0 men deremot fi(x) icke 0, så företer f "ff af enahanda skäl en spets i sitt origo, för hvilket fall f'(a) saknar spets, hvilket åter motsvaras af en spets hos f(æ), o. s. v., hvaraf i allmänhet framgår, att, om fff = f"(x) = ... for-1(a) = 0 men f(r)(a) icke 0, så företer fr-2(x), f(r—4)(x) o. s. v. eller hvarannan deri- vata från den rée en spets i sitt origo, då alltså primitivan fff företer spets eller icke, allt efter som r är ett jämnt eller udda tal. Anm. Den vanliga teorien för maxima och minima hos reela funktioner framgår som ett specielt fall af dessa satser, åtminstone så vidt hon behandlar synektiska funktio- ner. Ty om a, i stället för att röra sig på en bugtig kon- tur, rör sig på grundriktningslinien (x-axeln), så måste f(x) såsom reel röra sig på samma linie antingen såsom växande eller aftagande: spetsarne bli då öfvergångspunkter från växande till aftagande (maxima) eller från aftagande till växande (minima). Om åter för det värde på x, som gör f(a) = ...fr-1(x) = 0 [v-jämnt tal], fff blir imaginär, så företer f(a) i denna punkt en spets likasom ock hvarje deri- vata af jämn ordningsnummer, hvilken är = 0. (Forts.) AFD. II. ON KEDJEBRÅK. 139 Om förvandlingen af en serie till kedjebråk. Af student K. E. BROMAN. Låt serien vara u, + u2 + N3 + etc., så vilja vi söka ett kedjebråk b,_____ a, + 02 «2 + ba______ aa +. sådant, att dess nte konvergent är (identiskt) lika med serien, tagen till och med n^ termen. Att ett sådant kedjebråk måste finnas, är deraf lätte- ligen insedt, att med née leden inkomma 2:ne indeterminater an och bn, hvilka måste kunna så bestämmas, att de, utom uppfyllandet af ett annat arbiträrt vilkor, göra n‘e konvergenten = en godtycklig qvantitet, alltså i närv. fall = %, + 12 ■ ..+Un. * Gå vi till denna bestämning, alltid såsom det arbiträra vilkoret tagande qn=1, hvilket närmast erbjuder sig, så måste först b, 1 - = - =1 91 «1 ( 91 = a =1 ' hvaraf samt p2 a.p. ) 1 92 a2g1+b2 1 27 eller 2* 2 , T 1 C, +0, 1 1 925020*62-1 / - ) * Emedan i 2n ingår blott förhållandet —, blifver naturli- In Cn gen detta härigenom bestämdt, och det arbiträra vilkoret får alltså ej röra detta förhållande. 140 AED. II. OM KEDJEBRÅK. hvaraf Antag vidare an—2, bn—2, an—1 bn—1 så bestämda, att ----= %1 + U. + .. + Un—2 / In—2 ( 9n-2=1 ) samt ----= U + U. + .. +U—1 / In-1 In—1 = 1 ) så öfvergår systemet Pn an — 1 + — 2 ) — = —L----------------------= % + %. + .. + ln / In--------------------Un In—1+Ongn — 2-.( In = an Çn — 1 + bnQn—2 = 1 uti an(u, +u +..+Un-1) + Ön(u +02+.. + un-2)= U+U2+..+Und an + bn =1 ) som ger , un 1 bn = - - "r-1 t för n>3. . . . (3). Un — 1 + Un 1 Införas de medelst (1), (2) och (3) gifna värdena på a och b, blir det sökta kedjebråket efter en lätt transformation * 11 1 — ⅝ U1 + u2 — 1 13 12 + N3 — W2 N4 % + «4 ~ . och, som detta till följe af sin natur måste samtidigt konver- gera och divergera med serien w1 + u, + W3 + etc., är alltid * Härvid är naturligen ej vidare 9, = 1. AFD. II. OM ELLIPSENS OCH HYPERBELNR STYRLINIES ETC. 141 2 u. + %. + U., + etc. = ,-------- 1 2 3---------------------------1—u. 11 +12- 21 ⅝. W2 + U3 — %2 W4 w3 + U vare sig man fortgår till en viss index eller i oändlighet. Om ellipsens och hyperbelns styrlinier och konjugatdiametrar. Af M. FALK. Den mest elementära framställning af läran om ellipsens och hyperbelns styrlinier* och tillika sådan, att den väl läm- par sig till komplettering af den för de aldra första grun- dernas af Analytiska Geometrien inhemtande synnerligen goda läroboken af Jochnick, torde vara följande. Vid den i nämnda lärobok utförda härledningen af ellip- sens eqvation tinner man, om (x, 3) är en punkt af kurvans periferi, r och 21 bränpunktsradierna till densamma och c, a, b och e hafva sina i läroboken gifna betydelser, cæ cæ 9° = a , 9. = a + -— C C eller c(a2 \(a\ c(a2 \ (a \ r = 2 = ef 2 och ?. = — —+2 = €-+. C\C /e / a\c / e / Vi sätta här 4-x=d och +*=d. Stycket finnes geometriskt såsom en 4:de proportional till c, a och a; och, enär %>1, är >a. Genom dessa insättningar c c får man * Sedan denna uppsats blifvit inlemnad till Tidskriftens Redaktion, hafva vi i en Analytisk Geometri af Stammer återfunnit den här gifna framställningen af läran om andregrads kurvornas styrlinier; oaktadt härledningen således icke är ny, så tro vi den dock för sin stora enkel- het förtjent af att blifva allmänt bekant. 142 AFD. II. OM ELLIPSENS OCII HYPERBELNS STYRLINIER ETC. man räta och " = 21 d d. Låt nu F och F, (fig. ) OF = OF, = c. Låt vidare OB = OB. = a ß linier jj OY. Då har man MF = r, MF, = r, , PB = vara bränpunkterna, så och drag genom B och 2 OB-OP=L-æ=d C (1). har B. - e PB, = 0B, + op="ta=d, C och hvadan alltså eqvationerna (1), enär tillika MD = PB . MF M1,1 MD = PB. , blifva - = —1 = e, hvilka uttrycka, att 1 1 MD MD ’ • linierna BD och BiDi äro sådana, att förhållandet mellan en punkts på ellipsen afstånd från ena bränpunkten och från den på samma sida om y-axeln som bränpunkten belägna af de nämnda två linierna BD och B. D, är konstant och = ellipsens excentricitet. Uppställer man då följande definition: Med en andregrads-kurvas styrlinie förstås en sådan rät linie, att förhållandet mellan en punkts af kurvan afstånd från bränpunkten och från styrlinien är konstant; så är nu bevist, att ellipsen har två styrlinier belägna utom ellipsen på lika afstånd från och parallela med ellipsens mindre axel; dessa tillhöra hvarsin af bränpunkterna samt . . ∙ , a2 . harva till eqvationer J = — och æ = —— , tör hvilkas c c uppskrifvande vi tydligen hafva den enkla minnesregeln att sätta uttrycken för de båda bränpunktsradiernas längder hvart för sig = 0. För hyperbeln äro härledning och slutresultat likartade med de för ellipsen gällande, endast med den skilnad att här a2 o — < a och att således styrlinierna ligga mellan hyperbelns c båda grenar. AFD. II. OM ELLIPSENS OCH HYPERBELNS STYRLINIER ETC. 143 Vi finna alltså, att hos ellipsen är förhållandet mellan en punkts på kurvan afstånd från bränpunkten och från styr- linien <1, hos hyperbeln deremot >1; som detsamma hos parabeln (se förut nämnda lärobok) är =1, utgör alltså parabeln ett gränsfall mellan ellipsen och hyperbeln. Defini- erar man excentriciteten såsom det konstanta förhållandet mellan de nämnda afstånden, kan man derjemte säga, att pa- rabelns excentricitet är e =1. Vi skola, nu framställa en enkel härledning af ifrågava- rande kurvors konjugatdiametrar och ställa i spetsen deraf den vanliga definitionen på diameter neml. Diameter till en andregradskurva kallas den linie, som skär ett visst system af perallela kordor midt i tu. Af beviset skall framgå, att diametern är en rät linie. Ofvannämnda definition kan äfven framställas sålunda: Diameter till en andregradskurva är lokus för midtpunkten till en korda, som rör sig, i det den ständigt håller sig pa- rallel med en viss riktning. Man bör då först uppvisa, att en dylik lokus verkli- gen finnes. Detta sker lätteligen sålunda. Tag ett visst läge af den rörliga kordan; då blifva äfven dess ändpunkter be- stämda. Tages sedan ett nytt läge af kordan nära det förra, så komma denna nya kordas ändpunkter hur nära man be- hagar till den förras, blott kordan sjelf indefinit närmar sig till den förra. Men då kommer ock den nya kordans midt- punkt hur nära man behagar intill den ursprungligas midt- punkt. Tänker man sig alltså kordor dragna parallela med hvarandra och tillräckligt tätt intill hvarandra, så komma ock dessa kordors midtpunkter att ligga i en rad hur nära intill hvarandra man behagar; och om kordorna blifva oänd- ligt många och oändligt nära hvarandra, så öfvergår serien af deras midtpunkter för ögat till en sammanhängande linie. Denna lokus finnes alltså, hvadan det nu blott återstår att söka densamma. Den härledning *, vi här nedan gifva, behöfver blott fram- * Vi bedja läsaren observera, att denna metod delar med den på koord. förändring byggda den fördelen att icke fordra elimination af 144 AFD. II. OM ELLIPSENS OCH HYPERBELNS STYRLINIER ETC. ställas för ellipsen; ty den kan steg för steg göras på samma sätt för hyperbeln (och äfven för parabeln undantagandes frå- gan om konjugat-diametrar ; ty sådana finnas ej hos parabeln utan blott diametrar). Härledningen afser äfven att vara så enkel och direkt som möjligt utan att derför behöfva byggas på koordinatförändring. Vi hafva då blott att söka en eqvation, som satisfieras af alla dessa kordors midtpunkters koordinater; ty denna eqvation betyder en linie, som innehåller alla midtpunkterna och utgör följaktligen lokus för den rörliga kordans midtpunkt. Låt de parallela kordornas gifna vinkelkoëfficient vara m och upprita en hvilken som heldst af dem P MP2. Kallas koordinaterna för kordans midtpunkt för § och 7, så blir tydligen kordans eqvation, enär hon går genom sin egen midtpunkt och har vinkelkoëfficienten m, följande: 3-1=m(z-5)......................(2). Denna eqv. betyder således en hvilken som helst af alla kordorna och (s, 7) är derför ett läge hvilket som helst af den rörliga punkten, hvars lokus sökes. Vi hafva således blott att söka den vilkorseqvation, som måste vara uppfylld, för att (E, n) skall vara midtpunkt af kordan (2). Kalla På koordinater för 21, 31 och P2å för 2, 32- Dessa koordinater skola alltså erhållas som æ- och y- värden ur systemet, som består af (2) och ellipsens eqvation: α2 1.....................() Elimineras y mellan dessa, fås eqationen - a'm(1--m}) b2 - (1 — m E)2 , 22 + 2—2—= a’--------------,—-. . . (4), a'm2+62--------------------a'm2+62 hvars rötter äro a, och &2. Men skall M vara midtpunkt, måste man hafva § = 41542; och summan af rötterna till variabla parametrar; ty här äro de variabla parametrarne just de löpande koordinaterna för den sökta lokus. Betydelsen af en sådan parameter- elimination hafva vi funnit vara icke alldeles lättfattlig för nybörjaren. AFD. II. OM ELLIPSENS OCH HYPERBELNS STYRLINIER ETC. 145 (4), d. v. s. x, + .2, är ju = koëff. för 1:sta diguiteten af æ med ombytt tecken, hvadan man alltså får . a m(n-m5) 5 a2m2+b2 eller, om nämnaren bortskaffas och eqvationen hyfsas, 72 M =-- (5), ' a'm som är den sökta diameterns eqvation. Diametern är alltså en rät linie. Som man kan gifva kordorna hvilken riktning 62 . som heldst, kan vinkelkoëff, m. = -—— för diametern a’m blifva hvilken som heldst, hvadan hvarje genom ellipsens me- delpunkt dragen rät linie är en diameter. Men då är äfven linien y = mæ , som är en af kordorna, hvilka (5) skär midt i tu, en diameter, och denna tillsammans med (5) kallas ett par konjugatdiametrar. Vi finna alltså, att räta linierna 62 y = mæ och y = mCot2®.aCotf) RP= 106-2,2+33/1 = si„W/absa" Cot-0-aCote) ...(3). Häraf fås RP.RP = —0 (4) Sin-e............(*) AFD. II. SATSER. 149 och på samma sätt och således SQ.SQ - SM4 RP.RP_b_ OP so.soc Q 2. Om en körda BFB dragés genom fokus parallelt med kordan RPR, så är rektangeln, som innehålles af RP och RP lika stor med rektangeln, som innehålles af BB och OP. Sättes b = a uti eqv. (3), så fås fokalkordans delar 1+Cose 1—Cose BF = 2a Sin 0 BE - " sin 0 ....(5). Häraf fås BZB - Sin-@...................(6) och således af eqv. (4) och (6) RP. RP = BB.OP. 3. Drages genom vextex en korda OA parallel med kordan RPR, så är skilnaden mellan RP och RP lika stor med OA. Sättes b = o uti eqv. (3), så fås vertexkordans längd 4 a Cos 6 OA="Sinte . . . . (7). Af (3) fås äfven RP-RP= 4a Cos θ Sin20 och således är satsen bevisad. 4. Rektangeln, som innehålles af en fokalkordas delar, är lika stor med rektangeln, som innehålles af hela kordan och afståndet från fokus till vertex. 150 AFD. II. SATSER. Detta följer omedelbart ur sats 2, ty den godtyckligt dragna kordan RPR kan vara just sjelfva fokalkordan, och då är ju BF.BF = BB.OF. 5. Om en cirkel uppritas, som går genom vertex 0 och den godtyckligt dragna kordan RPRs ändpunkter R och R, så skall denna cirkel af parabelns axel afskära ett stycke PC, som är lika stort med längden af den fokalkorda BFB, som dragés parallelt med RPR. Enl. Eucl. III: 35 är OP.PC = RP.RP och enl. sats 2 RP.RP = BB.OP således är OP.PC = BB.OP och PC = BB. 6. Om man genom vertex i en parabel drager tvenne mot hvarandra vinkelräta kordor OA och OD och samman- binder skärningspunkterna A och D mellan dessa kordor och parabeln, så går AD genom en fix punkt på parabelns axel. Eqvationen för den ena vertexkordan OA är 3 = atg e samt för 0D y = —x Cot 0. Koordinaterna för A äro a,) § 4 a Cot2 0 % S 74 a Cot 0 samt för D wg| _ (4a tg2 0 y. S - —4atg0) AFD. II. SATSER. 151 Eqvationen för AD är då y~yι - Va—31 (a-a>) eller 2y-xtg20+4atg 20 = 0. Sättes y = 0 i denna eqvation, så fås æ = 4a, hvilket visar, att AD alltid går genom en fix punkt på parabelns axel. Denna punkt, hvars afstånd från parabelns vertex är lika med längden af latus rectum, skola vi i det följande kalla F. 7. Tangenten för vinkeln 4OF är lika stor med kubik- roten ur tangenten för vinkeln OAF. Enl. eqv. (7) är , 4 a Cos 0 OA = Sin2 0 Tydligen är äfven 4 a Cos (3n—0) 4 a Sin e 02 - Sin-Ga—e) Cos‘0 • Häraf fås OD , — = tg30 = tg3 AOF'. Den rätvinkliga triangeln AOD ger äfven OD . — = tg OAF . OA 6 Således är tg OAF' = tg3 AOF’ eller tg AOF’ = 3/tg O A F'. Denna parabelns egenskap gifver följande solution af problemet om kubikrätters utdragande ur räta linier, som representera nummertal. Låt AL vara enheten samt MI den linie, ur hvilken kubikroten skall dragas. Upprita på OF' ett cirkelsegment 152 AFD. II. SÂTSER. OAF, som i sig innehåller en vinkel OAF, hvars tangent är MI. Tag O till medelpunkt för en cirkel, hvars radie är lika stor med AL = enheten. Denna cirkel skär parabelns axel i G. Drag GH vinkelrätt mot axeln och låt H vara skärningspunkten mellan räta linierna OA och GH. GH är då lika med kubikroten ur ML. 8. Qvadraten på OA förhåller sig till qvadraten på OD liksom kuben på AF' förhåller sig till kuben på DF. 4AOFär=O.OFSinAOF-1.4aC0s0.4a Sin e - 8a? Cot e ADOFär-%D0.OFSin DOF=1 . C20.4aCos0=8a2tg 0. Således är AAOF' ADOF =Cot20. Men emedan dessa trianglar hafva samma höjd, så är ' 440F_ AF ADOF' DF och således AF Dr=Code hvaraf (arg. Cotto. (DF)3 I förra satsen bevisades, att OA 8 hvaraf (04)-coeto (OD)2 och således är (0A)2 : (OD)2 = (A F)3 : (DF)3. AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE 153 AFDELNING III. Om harmoniskt förhållande. Af F. W. HULTMAN. Som bekant förhålla sig längderna af de 3 strängar, hvilka anslagna gifva den vackra treklangen (c-dur-ackordet), lik- som talen 1.4.2 * 1'5'3' Dessa 3 tal sägas derföre bilda en harmonisk progres- sion. Omvändas dessa 3 tal, blir det medlersta ()= det aritmetiska mediet mellan de 2 yttre 2 och 3\ —. Denna 2/ egenskap hos i fråga varande 3 tal att omvända bilda en aritmetisk progression har man sedermera lagt till grund för definitionen på 3 tal i harmonisk progression, så att 3 tal (a, b, c) sägas vara i en harmonisk progression, hvilka om- vända bilda en aritmetisk progression 1 1 11 a b b c eller 2 11 7 = — +-. b a c * Stränglängderna i motsvarande moll-ackord förhålla sig liksom talen 1.5.2 1: 6: 3 • 154 AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. Exempel på tal i harmonisk progression förekomma ofta i naturen och i allmänna lifvet. Vi vilja angifva några sådana. Ex. 1. Konvexa speglar. Kallas den lysande punktens afstånd från spegeln - a, bildens „ „ „ =b, spegelns radie. . . . =r, så eger som bekant följande samband rum mellan dessa 3 storheter: 2 1 1 r a b’ hvilken visar att spegelns radie r är det harmoniska mediet mellan föremålets och bildens afstånd från spegeln. Vill man finna, hvar föremålet skall ställas för att de 3 afstånden skola förhålla sig som längderna på strängarne, hvilka gifva treklangen, har man blott att sätta a: r - 1 5’ hvilket gifver 5 C =-9 4 och b=67. Ex. 2. Positiva linser. Sättes föremålets afstånd från linsen = a, bildens „ „ „ =b, hufvudbränpunktens „ „ „ =f, har man som bekant 211 2/ ^ a + ⅛ ’ hvilket visar, att dubbla afståndet till bränpunkten är det harmoniska mediet mellan föremålets och bildens afstånd från linsen. Stälde man föremålet på afståndet 5 4.2f, upp- AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. 155 komme bilden på afståndet 6° 2/. Om i detta fall man genom lika spända strängar af samma tjocklek och beskaffen- het förenade linsens midtpunkt med föremålet, med bilden och med en punkt på afståndet 2/ från linsen, skulle dessa strängar anslagna gifva den sköna treklangen. Anm. Afståndet 2f är märkligt derigenom, att om före- målet ställes på detta afstånd från linsen, uppkommer bilden på samma afstånd från linsen på andra sidan om denne. Ex. 3. Naturkrafterna. Det är allmänt bekant, att tvänne på afståndet R från hvarandra belägna kroppar med massorna Mm Μ och m attrahera hvarandra med kraften * Har man en tredje kropp med massan m‘ och vill veta, livar den skall ställas på föreningslinien af kropparnes M och m tyngdpunk- ter, för att han skall attraheras lika af begge, får man således svaret ur eqvationen Mm _ mm’ a? - (R-a)2' hvarest a = det sökta afståndet från kroppen Μ. Häraf erhålles VM /m V/M+Vm — ⅛ =: — . . 2 R — x R hvadan RV/M ' C = - —. N M = o/m Det finnes således två sådane punkter, en på hvardera sidan om kroppen m. För deras afstånd a, och a, från M gäller sambandet 112 C1 C2 hvilket visar, att 2, R och x, bildar en harmonisk pro- gression. Vill man veta, huru kropparne M och m skola 156 AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. vara beskaffade för att dessa afstånd besträngade må gifva treklangen, har man blott att sätta 2 4 eller RNM_5R VM - m 4 ’ hvilket gifver M = 25 m. Om således den ena kroppen har 25 gånger så stor massa som den andra kroppen, så gifva afstånden från den större kroppen till den mindre och till de två punkter på kropparnes föreningslinie, hvilka lika attraheras af dessa begge kroppar, den behagliga treklangen, om dessa afstånd så att säga besträngas. Samma svar skulle man erhållit, om man frågat efter de 2 punkter, som lika upplysas af två ljuskällor, eller som lika uppvärmas af två värmekällor eller som lika attraheras af två magneter. Ex. 4. Besmanet.* Besmanet är en häfstång med rör- lig stödjepunkt (hylsa). Sätt P = lastens vigt = vigten af det som skall vägas, Q - besmanets vigt, 9 = tyngdpunktens afstånd från den ända af bes- manet, i hvilken lasten är upphängd, x, y, z = afstånden på samma ända, der stödet eller handtaget (hylsan) skall ställas, då la- sten är respektive = P, P+ 1 och P+2. Besmanets ställning bör vara horisontal. Enligt jämn- vigtslagen har man följande likhet: Pa= Q(-a), som gifver * Namnet härledes af peso a mano (handvigt). AFD. IIT. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. 157 1 1 P På samma sätt erhålles: 1 1 P+1 — — - + ---- y q Qq och 1 1 P+2 - = —+———• 2909 Af dessa 3 likheter får man: 112 — + - =-, hvilket angifver det märkvärdiga förhållandet, att ett besmnan är genom sina delningsstreck uppdelad i en oupphörlig har- monisk progression.* Vill man veta för hvilka delningsstreck afstånden till den belastade ändan äro som längderna på de strängar, hvilka gifva treklangen, har man att sätta 4 3 =5€: eller 1 P+1 5 7 P∖ 1 + ——— =-1+ — • Denna likhet gifver trycket (P+Q) på stödjepunkten att vara P+Q =4. Således, då trycken på hylsan äro till hvarandra som talen 4, 5, 6, hvilka omvända förhålla sig som längderna på treklangssträngarne, äro hylsans afstånd från den belastade ändan som de stränglängder, hvilka gifva treklangen. Ex. 5. Rabatt- och diskontafdrag. Sättes k = begynnelsekapitalet, s = slutkapitalet, * Hr adjunkten d:r Simon Nordström och herr prof. Daug hafva gjort mig uppmärksamma på denna egendomlighet. 158 AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. r = rabattafdraget eller räntan på k, d = diskontafdraget eller räntan på s, så har inan som bekant sambanden s=k+r, kpt ‘-100’ d=spt 100 Elimineras s och k ur dessa likheter, finner man a = „(1+pr), hvilken formels likhet med formeln ,*(1+PL) \ 100/ är i ögonen fallande. Ur dessa båda formler får man k _ r s d‘ Då värdet på k ur denna likheten insättes i likheten s=k+r, uppkommer det vackra sambandet 1 1 1 * dsr' hvilket visar, att dubbla rabattafdraget (eller räntan på be- gynnelsekapitalet) är det harmoniska mediet mellan diskont- afdraget (räntan på slutkapitalet) och slutsumman. Detta samband konstrueras lätt geometriskt. Uppritar man nämli- gen en cirkel ADB med AB (2r) till diameter, utdrager AB ett godtyckligt stycke och på förlängningen tager en punkt C så, att räta linien ABC = s samt från C drager en tangent CD till cirkeln ADB och vidare från D nedfäller perpendi- keln DE, så är AE det sökta diskontafdraget. * På denna likhet har prof. Daug gjort oss uppmärksam. AFD. III. OM HARMONISKT FÖRHÅLLANDE. 159 Ehuru i ett problem af denna natur det är alltför mycket sökt att vilja finna någon glad treklang, kan det dock i ana- logi med föregående exempel vara af ett visst intresse att erfara, huru länge för en gifven procent ett kapital k skall vara utlånadt, för att talen s, 27 och d skola förhålla sig till hvarandra som treklangslängderna. Sätter man för detta ändamål 5 8==.27, 4 ‘ finnes, med iakttagande af sambanden i föregående likheter, 2k . 200 r = - - och t = ——-. 3 3p För p = 5, blir t = 13j år. Slutanmärkning. Det är i synnerhet exemplen 1—3, som äro af intresse. Det är nämnligen märkvärdigt, att de i naturen förekommande ackorden alltid äro de sköna, glada dur-ackorden och aldrig de vemodiga moll-ackorden, oaktadt förändringen från de förra till de senare är högst obetydlig. I dur-ackordet är nämnligen mellansträngen $ af den längre strängen, under det att i moll-ackordet den är 3. Känslan häraf stämmer menniskan gladt, då hon vandrar i naturens rike. Hon är då benägen att i sin fantasi sätta strängar mellan stjernorna på himmelens fäste, mellan daggdropparne, mellan blommorna in. m., och att med sina fingrar anslå dessa strängar. De toner hon då tycker sig höra från dessa strängar ljuda harmoniskt och majestätiskt liksom Skapa- rens ord vid slutet af hvarje skapelsedag: »se det är allt ganska godt». 160 AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. Oui spektral-analysens användning för bestäm- mande af ljuskällans rörelse. Af G. Lundquist. Ibland nyare tiders upptäckter inom fysikens område torde ingen finnas, som med afseende på mångfalden och betydelsen af sina tillämpningar kan mäta sig med spek- tral-analysen. Särskildt har dess användning inom astro- nomien redan visat sig i hög grad fruktbärande, och un- der det kännedomen om himlakropparnes fysiska beskaffen- het förut var ytterst ringa, i de flesta fall nödtorftigt ersatt af obestyrkta gissningar, har man nu i detta hänseende in- samlat en rik skörd af fakta och är i stånd att draga slut- satser med samma säkerhet, som inom andra grenar af fysiken. Ett af de nyaste resultat, man på detta område ernått, är, att spektroskopet lemnar medel i hand att uppskatta den hastighet, hvarmed ljuskällan förflyttar sig. Det är om de hithörande fenomenen, hvilkas utomordentliga vigt ej torde behöfva påpekas, vi nu gå att yttra några ord. De satser, som kunna sägas ligga till grund för spek- tral-analysen äro, såsom bekant, hufvudsakligen följande: 1) Ljuset från en glödande fast eller flytande kropp, framsläppt i form af ett smalt knippe, gifver vid brytning i ett prisma ett s. k. kontinuerligt spektrum, och är sålunda sammansatt af strålar af alla grader af brytbarhet. 2) Ljuset från en glödande gas gifver ett diskontinu- erligt, för hvarje gas olika och fullkomligt karakteristiskt spektrum och består således af endast ett visst antal be- stämda ljussorter. 3) En gas absorberar af genomgående ljus precis samma ljussorter, som den sjelf i glödande tillstånd utsänder. AFD. IIT. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. 161 De slutsatser, man härur dragit med afseende på so- len, torde äfvenledes vara allmänt kända. Solljuset gifver ett spektrum, som är till sin allmänna karakter kontinu- erligt, men på en mängd ställen genomdraget af fina mörka linier, de s. k. Frauenlιoferska. Alltså: det från solens inre delar utsända ljuset, som i och för sig skulle gifva ett kontinuerligt spektrum, passerar på sin väg ut i verlds- rymden genom ett hölje af sannolikt glödande gaser, hvilka absorbera just de ljussorter, som de sjelfva skulle synas ut- skicka, om det från dem utgående, ofantligt svagare ljuset kunde uppfattas och undersökas; dessa ljussorter komma följaktligen att felas i solspektrum, d. v. s. motsvaras af mörka linier, och genom att jemföra dessa med spektra från en mängd kroppar, på ett eller annat sätt bragta i glödande gasformigt tillstånd, har man funnit det ofvan- nämnda absorberande gashöljet, solens atmosfer, till huf- vudsaklig del bestå af vätgas, natrium, magnesium, jern och ett antal andra med dessa beslägtade ämnen. En lysande bekräftelse vunno dessa åsigter vid 1868 års solförmörkelse, i det de s. k. protuberanserna, som vid flera föregående dylika tillfällen iakttagits, och om hvilkas natur man dittills sväfvat i ovisshet, då visade sig gifva ljusa linier i spektroskopet och sålunda i sjelfva verket vara endast mera utstående delar af den solen omgifvande gasmassan. Upptäckterna i denna riktning hafva sedan gjort snabba framsteg och vunnit i fullständighet, förnäm- ligast genom en af Lockyer och Janssen uppfunnen metod, att äfven vid fullt solsken observera protuberanserna och solatmosferen. Såsom lätt inses, är det egentliga solljuset alltför bländande att under vanliga förhållanden tillåta oss se det svagare ljuset från de glödande gaserna, men genom deras metod kringgås denna olägenhet på ett enkelt sätt. Om nämligen det genom en fin springa infallande solljuset får brytas genom en hel följd af prismer efter hvarandra (Lockyer använder 7 och Young en dispersion svarande mot 13 flintglas prismer), så blir det kontinuerliga spektret, 11 162 AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. som genom den starka spridningen mycket förlänges, äfven i samma mån ljussvagt, under det att de ljusa, fullkomligt enfärgade linier, som härröra från gaserna, visserligen rycka längre isär, men ej förlora synnerligen i ljusstyrka, hvar- före de också kunna blifva synliga; i det samtidigt närva- rande solspektret har man dessutom en skala, hvarmed de- ras läge mycket noggrant kan bestämmas. Insättes ett en- ligt denna princip inrättadt spektroskop i stället för okular i en astronomisk tub på sådant sätt, att den genom strå- lames brytning i objektivet uppkomna bilden just faller på den lilla skärm, hvari springan är anbragt, så erhålles ett instrument, ett telespektroskop, hvarmed man beqvämt kan undersöka hvilken del af solen som helst. Häri visa sig nu ljusa linier, de flesta härrörande från vätgas, ej allenast i spektra från protuberanserna och andra delar af solkan- ten, utan, äfven från vissa punkter af sjelfva solskifvan, synnerligast de i solfläckarnes närhet liggande s. k. fack- lorna. Genom att gifva springan en passande ställning och vidd, har man dessutom i samma instrument ett medel att bestämma gaslagrets tjocklek och form. Af alla dessa un- dersökningar framgår, att solatmosferen kan anses samman- satt af tvenne delar, en undre, som utgöres af alla de ga- ser, hvilka genom sin absorption åstadkomma de Frauenho- ferska linierna och en öfre, till hufvudsaklig del bestående af vätgas, och att detta yttersta gashölje visserligen sträc- ker sig rundt omkring solen, men är mycket ojemt förde- ladt och ständigt underkastadt förändringar, vanligen lång- samma, men stundom af en häftighet, hvarom det är svårt att bilda sig en klar föreställning. Locker omtalar t. ex. ett tillfälle, då en protuberans af omkring 4200 mils höjd inom 10 min. spårlöst försvann. Att solfläckarne vid dessa omstörtningar spela en betydande, ehuru ännu ej fullt känd rol, kan på goda grunder antagas. Härpå häntyda också de fenomen, vi nu gå att be- skrifva. Vid observationer med telespektroskopet af sol- fläckar och angränsande ställen af solskifvan har Lockyer AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. 163 och efter honom äfven andra ofta funnit, * att allteftersom olika delar af solbilden öfverfarits af springan, de mot vätgasen svarande Frauenhoferska linierna C och F, lig- gande den förra i den röda, den senare i den grönblå de- len af spektrum, undergått de märkligaste förändringar, synnerligast den senare. An är den böjd eller utsvälld, än flyttad åt ena eller andra sidan om dess vanliga plats, utan att något dylikt kunnat märkas hos de omkringlig- gande linierna, än försvinner den delvis eller helt och hål- let, än ersättes den till och med af en ljus linie. Det- samma har han ock iakttagit i fråga om protuberanserna. I den ena delen af synfältet, i det kontinuerliga spektret, intager då F-linien, allt som springan flyttas, stundom ett, stundom ett annat läge, under det att i den andra den deremot svarande ljusa vätgas-linien framblixtrar än här, än der i dess närhet. Att dessa förflyttningar stå i något sammanhang med de våldsamma förändringar i vätgas-mas- sornas fördelning, som redan förut på annat sätt blifvit ådagalagda, är ett nära till hands liggande antagande. Aterstår att undersöka, om och huru man deri kan finna ett mått på hastigheten af dessa rörelser. Såsom bekant, föreställer man sig numera ljuset såsom en vågrörelse i ett mycket fint, öfverallt i verldsrymden utom och inom alla kroppar befintliga ämne, som benäm- nes etern. Då en kropp säges vara i glödgning, betyder det ingenting annat, än att dess partiklar oskillera med utomordentlig snabbhet fram och tillbaka i alla möjliga riktningar. Derigenom uppväckes i den omkringliggande etern vågrörelser, som utbreda sig åt alla håll och de bland dem, hvilkas vågor ej äro längre än omkring 700, och ej kortare än 400 milliondelar af en millimeter, upp- fattas af vårt öga såsom ljus. Eterpartiklarne svänga der- vid i transversella, d. v. s. mot ljusstrålarnes riktning vin- kelräta banor, och allteftersom dessa vibrationer försiggå * Proceedings of Royal Society 1869 o. följ. 164 AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. med större eller mindre liflighet, allteftersom ljusvågorna äro kortare eller längre, erfar ögat ett olika intryck, lju- set säges vara olika färgadt. Dock är ögats iakttagelse- förmåga i detta hänseende temligen begränsad, så att en jemförelsevis betydlig olikhet i våglängd erfordras, för att det med bestämdhet skall kunna angifva en skilnad i färg. Ett vida noggrannare medel att särskilja olika ljussorter äger man i deras egenskap att brytas olika vid öfvergån- gen från ett ämne till ett annat. Dervid är den lagen gällande, att afvikningen är större i samma mon som våg- längden är mindre, således minst för det röda ljuset, som har de längsta, störst för det violetta, som har de korta- ste våglängderna. Enligt detta uppfattningssätt har ljusets teori att upp- visa rätt många anknytningspunkter med ljudets, utan att dermed vara fullt analog. Liksom ljuset är ljudet en våg- rörelse, ej i etern, men i en materiel kropp t. ex. luften. Liksom ögat skiljer mellan ljus af olika färger, så förnim- mer örat hos olika toner en olikhet i höjd, likaledes bero- ende endast på den hastighet, hvarmed luftpartiklarne vi- brera. Äfven det ofvan beskrifna, af Lockyer observerade fenomenet har sin motsvarighet inom akustiken, och till dess tolkning bör således ett från detta område hämtadt, till en viss grad analogt exempel kunna bidraga. En person, stående invid en jernbana, då ett lokomo- tiv med ljudande hvisselpipa ilar förbi, märker lätt en plöts- lig sjunkning i tonen i samma ögonblick det passerar. Orsaken härtill är lätt att angifva. Den ur pipan hastigt urströmmande ångan stöter mot kanten af en liten klocka, försätter denna i vibrationer på ett sådant sätt, att den ömsom vidgar sig, ömsom drager sig tillsamman ett visst antal (n) gånger i sekunden, och denna rörelse åstadkom- mer i sin ordning en följd af förtätningar och förtunningar i den omgifvande luften. Till utsändandet af ett sådant par, en ljudvåg, åtgår alltså en tid af - sekund. Då lo- AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. 165 komotivet är stillastående, utbreda sig dessa vågor lika åt alla håll med den hastighet, som tillkommer ljudet, c me- ter i sekunden, indelande hvarje sträcka af denna storlek i n lika delar, och sålunda blir längden af hvarje våg År åter lokomotivet i rörelse med en hastighet af a meter i sekunden, hinner ljudkällan under den tid af 1 sekund, som den behöfver för att utskicka en våg, sjelf förflytta sig ett stycke , hvarföre de i detta fall utsända vå- ? gorna blifva i rörelsens riktning så mycket kortare, i den motsatta så mycket längre än förut, således våglängden under det att de i den deremot vinkelräta riktningen gå- ende vågorna tydligen ej undergå någon förändring. Om värdet på n, taget ur eqv. (1) insättes i detta uttryck, er- hål les der + eller — är att taga, allteftersom den ifrågava- rande vågen fortplantar sig åt ett håll motsatt eller sam- manfallande med ljudkällans rörelseriktning. Då ljudkällan är i hvila, mottager trumhinnan i en lyssnande persons öra n stötar i sekunden, hvilka tillsammans uppfattas såsom en viss ton. I motsatt fall åter blir deras antal W = 2 eller ur eqv. (1) och (2) n_ c n c ± a’ (3) och tonen således förändrad. Antages lokomotivets hastighet a t. ex. till 11.3 me- ter, och svängningstalet n af hvisselpipans ton = 2673, så blir, med antagande af c = 340 meter, n‘ = 2759 då loko- 166 AFD. II1. OM SPECTRAL-ANALYSEN. motivet närmar sig, och = 2587 då det aflägsnar sig; den iakttagna tonen sjunker sålunda vid förbifarten från / till e i 4-strukna octaven. Skulle i stället observatorn vara i rörelse med hastig- heten a, så erhålles på liknande sätt samma uttryck, der + eller — är att använda, allteftersom observatorn rör sig från eller till ljudkällan. För öfrigt torde knappast be- höfva påpekas, att alla dessa formler äro fullt allmänna, gällande för en ljudkälla hvilken som helst. Ofvanstående betraktelser äga, såsom redan är nämdt, sin tillämpning äfven i fråga om ljuset, ehuru förhållandet der ej är fullt så enkelt. Fyra olika omständigheter kunna nämligen dervid tänkas utöfva sitt inflytande: rörelse hos den lysande kroppen, hos det absorberande mediet, då lju- set passerar igenom ett sådant, och slutligen hos de appa- rater, hvarmed ljuset uppfattas, spektroskopet och ögat, alla dessa rörelser i förhållande till etern, tänkt såsom stillastående, och endast för så vidt de försiggå i rikt- ning af sammanbindningslinien mellan den lysande kroppen och ögat. Hvad först sjelfva ljuskällans rörelse beträffar, så är dess inverkan på ljusets beskaffenhet ej så lätt att på för- hand bestämma. Analogien med ljudet är nämligen här ej fullständig, ty en ljudande kropps partiklar svänga vanli- gen endast fram och tillbaka ungefär i samma plan, under det en lysande kropps smådelar måste tänkas vibrera åt alla möjliga håll, och rörelsens öfvergång till luften i förra fallet och till etern i det senare blifva sålunda egentligen ej med hvarandra jemförbara. Förefinnes emellertid en så- dan inverkan, böra det utskickade ljusets våglängder, i öf- verensstämmelse med hvad vi ofvan funno vara händelse med ljudet, förminskas, då kroppen närmar sig ögat, och förlängas, då den derifrån aflägsnar sig. I fråga om glö- dande fasta och flytande kroppar, hvilka utsända ljussorter af alla slag, kan dock en sådan förändring aldrig blifva märkbar. För att inse detta, behöfver man blott erinra AFD. πτ. OM SPECTRAL-ANALYSEN. 167 sig, att utom de vågrörelser i etern, som af ögat uppfat- tas såsom ljus, äfven andra finnas, hvilkas våglängder äro för korta eller för långa att göra ett sådant intryck, och att dessa i föreliggande fall undergå samma modifikationer som de förra. Om t. ex. ett närmande, således en för- minskning af alla vågrörelsernas våglängder eger rum, så blifva några af dessa, det yttersta violetta ljusets, för korta för att vidare kunna ses, andra åter förut osynliga s. k. värmestrålar, nu synliga såsom rödt ljus; hvad som på ena hållet går förloradt, återfås på det andra, och liksom förut innehåller det utskickade ljuset alla möjliga slag af ljussor- ter. Annat blir förhållandet med en glödande gas. Om den är stadd i rörelse, måste under nämnde förutsättning i dess diskontinuerliga spektrum en förflyttning af de ljusa linjerna åt ena eller andra sidan om deras rätta platser kunna blifva märkbar. En dylik förskufning har också iakttagits och på detta sätt tolkats af Lockyer, och någon annan förklaring af detta fenomen är hittills ej angifven.* Att det absorberande mediets rörelse måste utöfva ett inflytande på absorptionen är vida lättare att förutse. An- tag t. ex. att en ljusstråle, sammansatt af alla möjliga ljus- sorter, på sin väg till vårt öga passerar igenom en vätgas- massa. Vore denna stillastående, skulle deri absorberas den grönblå ljussort, som vätgasen sjelf vid glödgning ut- sänder, hvars våglängd är 486.1 milliondelar af en milli- meter, och i strålens spektrum skulle efteråt den Frauen- hoferska linien F uppträda. Ar deremot gasmassan i rö- relse, framströramar den t. ex. i riktning mot ljuskällan, så blir förhållandet ej mer detsamma. Den nyssnämnda * Det enda mig bekanta försök att på experimentel väg utreda denna fråga finnes omnämdt i en äldre uppsats af Angström (Optiska Undersökningar, Kongl. Vetenskaps-Akad. Handl. 1852), hvarvid han som ljuskälla begagnade de metallpartiklar, som i elektriska gnistan i glödande gasformigt tillstånd utkastas från poltrådarne. Oaktadt deras hastighet bör vara betydlig, kunde likväl icke någon förskjutning af de- ras spektral-linier upptäckas. 168 AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. ljussortens svängningar träffa nu vätgasen tätare än eljest, dess våglängder förefalla densamma, så att säga, allt för korta, och i stället absorberar den en annan ljussort, som för tillfället tyckes vara den rätta, men som i sjelfva ver- ket har något för långa våglängder. Denna ljussort, min- dre brytbar än den förra, kommer således att saknas i strålens spektrum, d. v. s. F-linien blir, om vätgas-mas- sans hastighet är tillräckligt stor, märkbart förflyttad åt den röda sidan af spektrum. Aflägsnar sig åter gasen från ljuskällan, kommer förflyttningen naturligtvis att äga rum åt motsatt led. Har ej gasmassans alla delar samma ha- stighet, så absorberas på olika ställen något olika ljussor- ter: absorptionslinien kan då synas utbredd delvis eller ut- efter hela sin längd, eller ock förete andra oregelbunden- heter. Frågan om inverkan af spektroskopets rörelse på vår uppfattning af det genomgående ljusets brytbarhet står i det närmaste samband med den om eterns fördelning inom materiella kroppar. Den sannolikaste åsigten härom, först uttalad af Fresnel och bekräftad genom ett bekant experi- ment af Fizeau, hvari visas, att ljusets hastighet i vatten är till en viss grad beroende af dettas rörelsetillstånd, sy- nes vara, att etern till en del är bunden i kropparne ge- nom deras molekylers attraktion, till en del åter fri. Deraf följer,* att i spektroskopet den genomgående strålens de- viations-vinkel visserligen i någon mon förändras genom det brytande prismats förflyttning i rymden, men för att ljuset skall infalla längs observations-tubens optiska axel, måste man gifva denna en sådan riktning, att nämnda för- ändring fullständigt eller till större delen upphäfves, och den aflästa vinkeln blir densamma, som om spektroskopet stode stilla. För öfrigt är denna afvikning sannolikt gan- ska ringa, åtminstone har den hittills undgått alla direkta efterforskningar. * Fresnel, Oeuvres complètes, II, pag. 627. Paris 1868. AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. 169 Genom ögats rörelse skulle deremot en variation i vår uppfattning af ljusets färg kunna uppkomma, i det näthin- nan vid rörelse till ljuskällan på samma tid träffas af flera, i motsatt fall af färre ljusvågor, än om det vore stillastå- ende, alldeles som i ofvan anförda, från akustiken hemtade exempel den observerade tonens höjd var beroende af örats rörelse. Så skulle t. ex. grönt ljus kunna förefalla antin- gen mera blått eller mera gult. Emellertid är vårt ögas största möjliga hastighet så obetydlig i förhållande till lju- sets, att en sådan färgvexling aldrig kan ens märkas, än mindre med noggranhet uppmätas. Ty antag, att jorden befunne sig i den delen af sin bana, der hennes rörelse är riktad åt samma håll, som solsystemets i rymden, så för- flytta vi oss i denna och i förhållande till stjernor, belägna på rörelsens utdragna riktningslinie, med den största ha- stighet, som öfverhufvud för oss kan ifrågakomma, nämli- gen jordens 2.74 + solsystemets 0.74 = 3.48 mil i sekunden. Den i ögat uppkommande förändringen i våglängd hos dessa stjernors ljus, beräknad enligt formeln (2) på sid. 165, som naturligtvis äfven här är att tillämpa, — a sättes 3.48 och c = ljusets hastighet = 27600 mil — befinnes då för t. ex. den∣ gröna ljussort, hvars våglängd är 520 milliondelar af en millimeter, ej utgöra mer än 0,07 af en sådan enhet, under det att en förändring af minst 30 à 40, ja kanske ännu flera dylika är nödvändig för att en variation i färg skall af ögat märkas. Af ofvanstående betraktelser draga vi nu den slutsats, att då rörelsen hos de apparater, hvarmed ljuset uppfattas, ej visat sig utöfva något märkbart inflytande, en observe- rad förflyttning af en ljus linias läge måste antagas bero endast af sjelfva ljuskällans rörelse. Likaså är en för- skufning af en Frauenhofersk linia, under förutsättning att ljuskällan utskickar alla möjliga ljussorter, endast att till- skrifva den absorberande gasens rörelse och fullkomligt obe- roende af den förras, hvarföre denna också ganska väl kan deltaga i den senares rörelse, såsom förhållandet är t. ex. 170 AFD. III. OM SPEKTRAL-ANALYSEN. med solen, utan att absorptionsfenomenet derigenom i nå- gon mon förändras. För öfrigt är vid alla hithörande ob- servationer, som endast gå ut på att jemföra det relativa läget af tvenne mörka eller ljusa linier, samtidigt observe- rade med samma apparat, den möjliga inverkan af dennes rörelse tydligen för båda densamma och resultatet således deraf fullständigt oberoende. Alla de förut beskrifna, af Lockyer först iakttagna förändringarne och oregelbundenheterna i F-linien och den deremot svarande ljusa vätgas-liniens läge och utseende finna på detta sätt sin otvungna förklaring och efter all sannolikhet har man häri också erhållit ett mått på den hastighet, hvarmed vätgas-massorna i det yttersta lagret af solatmosferen förflytta sig. De mot dessa förändringar i brytbarhet svarande förändringarne i våglängd kunna näm- ligen genom jemförelse med de närliggande fixa Frauenho- ferska linierna, hvilkas våglängder alla finnas angifna i Ångströms bekanta Atlas öfver Solspektrum, med säkerhet uppmätas på 0.1 när af en milliondels millimeter, och om man med Lockyer antager formeln (2) på sid. 165 äfven här äga giltighet, — en fullt berättigad förutsättning i fråga om den mörka liniens förflyttningar, mindre väl grundad deremot med hänseende till den ljusa liniens — kan den lysande eller absorberande gasens hastighet sedermera derur med lätthet beräknas. Härvid är dessutom att ihogkomma, att endast de rörelser, som försiggå på sammanbindnings- linien mellan ljuskällan och ögat, åstadkomma dylika fe- nomen, hvarföre också de upp- och nedgående strömmar- nes hastighet iakttages på midten af solskifvan, de tangent- tiellas åter vid dess kant. De på denna väg vunna resultaten bekräfta fullstän- digt de förut uttalade åsigterna om dessa rörelsers utom- ordentliga häftighet. En hastighet af 3 à 4 mil är mycket vanlig, och ej sällan rasa hvifvelstormar af betydligt —. 250 à 300 mils — omfång, hvari vätgas-massorna drifvas om- AFD. in. om SPEKTRAL-ANALYSEN. 171 kring ined den nästan otroliga hastigheten af 20 svenska mil i sekunden. Dessa i solspektrum observerade fenomen stå för öfrigt ej enstaka; i ett fixstjerne-spektrum hade Huggins redan förut gjort en liknande iakttagelse af fullt ut lika stor be- tydelse.* Genom hans och Secchis arbeten är ådagalagdt, att alla fixstjernor, liksom solen, förete kontinuerliga, af mörka linier genomdragna spektra, och då dessa liniers läge för olika stjernor är betydligt olika, har man häri det säkraste bevis för, att de äro sjelflysande kroppar, i fysiskt hänseende analoga med solen. I somliga fixstjernors spek- tra uppträda vätgasens absorptionslinier, i andras icke. Till de förra hör Sirius. Genom upprepade jemförelser mellan denna stjernas spektrum och vätgasens i elektriska gnistan, särdeles svåra och mödosamma observationer i följd af det förras ljussvaghet, fann Huggius, att F-linien i detta var något utbredd men ej symmetriskt i förhållande till den motsvarande ljusa linien i vätgas-spektrum, utan öf- vervägande åt den röda sidan, och detta så mycket, som i medeltal svarade mot en förlängning i vågläng af 0.11 milliondels millimeter. Förklaringen häraf innehålles i det föregående. Under samma antaganden, som ligga till grund för Lockyers beräkningar, måste denna olikhet i våglängd förorsakas af en relatif rörelse mellan den elektriska gni- stan och den absorberande vätgasen i Sirius’ atmosfer upp- gående till 6.2 mil i sekunden. En del af denna hastig- het tillkommer den förra, som, åtföljande jorden, vid ob- servationstillfället rörde sig från Sirius 1.8 mil i sekun- den; det återstående måste härröra från dennas egen rö- relse. Alltså förflyttar sig denna himlakropp för närva- rande bort ifrån vårt solsystem med en hastighet af 4.4 mil. Betänker man nu, att detta är utefter ljusstrålens riktningsliriia räknadt, och att vanliga teleskopiska obser- vationer gifva hastigheten vinkelrätt deremot, så inses huru Philosophical Transactions 1868 p. 529. 172 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. lyckligt dessa båda metoder komplettera hvarandra för stu- diet af stjernornas egna rörelse. Huggins har i samma syfte undersökt åtskilliga andra stjernors spektra, men kan ej ännu med säkerhet i något annat uppvisa en dylik förskjutning. Denna framställning, om än kort, torde dock vara tillräcklig att gifva en öfverblick öfver denna frågas när- varande ståndpunkt. Ehuru förklaringen af denna klass af fenomen i ett och annat ännu måste anses bristfällig, är dock deras stora betydelse för utvidgandet af vår känne- dom om himlakropparnes rörelse och fysiska beskaffenhet ej att underskatta, och ännu stå vi säkerligen endast vid början af de upptäckter, som på denna väg komma att göras. AFDELNING IV. Anmälan af böcker. WESTRÖM, C. A. Lärobok i Geometri. II. Stockholm 1871. Alb Bonniers förlag. 48 sidor 8:o. Häft. Pris 50 öre. Detta arbete, som utgör en fortsättning af författarens år 1807 ut- gifna plana geometri, innefattar planimetri och läran om storheter i rymden samt deras mätning. Arbetet har förtjensten af att vara kort. Mot detsamma kunna dock följande anmärkningar göras: 1. En kropp anses lika med summan af ett oändligt antal plan. (VIII. 7 och 15). 2. En cirkel anses som en månghörning med ett oändligt antal sidor (VI. 10), en cylinder som en prisma med ett oändligt antal kan- ter (VIII. 12), en kon som en pyramid med ett oändligt antal kanter (IX. 6). 3 Alla linier anses kommensurabla sinsemellan. Förf, antager nämligen, att man genom oupphörlig tudelning af en gifven linie slut- AFD. IV. SATSER. 173 ligen kan komma till en del, som jämnt innehalles i en annan gifven linie (VI. 1, VIII. 1, IX. 1). 4. Förf:s bevis af lemmat på sid 19 (= Eukl. I. 25) förutsätter hvad som skall bevisas och är således ett cirkelbevis. 5. Förf:s påstående, att de två prismor, i hvilka en parallelepiped genom diagonalplanet delas, kunna helt och hållet passas i hvarandra, är falskt Rigtigt bevis för denna sats finnes i geometriska läroböcker af Kjellin, Lithander, Legendre (Harfvefeldt), Lidberg, Hellström, Mundt- Bergroth m. fl. Dessa anmärkningar visa, att arbetet icke är godt. Stockholm den 30 Oktober 1871 F. W. HULTMAN. Satser af STEN BOIJE, elev i 7:de klassen vid Strengnäs elementarläroverk. Prop. IV (XIV enl. Björling). Om uti A:na ABC och abe A A = A a, A B=b, AC=C; så skall 1) AB:ab = AC:ac, 2) AC:ac = CB;cb, 3) CB:cb = BA:ba. Afskär af AC AE = ac (I: 3)* och drag ED //CB och EF// AB (I: 31). Då är fig. BDEF en prgrm (def.) och BF = DE (I: 34), Eftersom A A =Aa, A AED = A ACB (constr. o. I: 29) = Aacb och AE gjord = ac, är AADE OP Aabe (I: 26) och följaktligen AD:ab == AE:ac, AE:ac = ED:cb, ED:cb == DA:ba eller efter altern. (V: 19, Cor. 3): AD:AE = ab:ac, AE: ED = ac:cb, ED∖EA≈ cb-.ba. 1) Eftersom ED ∕∕CB, måste AB: AC = AD : AE (VI: 2, Cor.) = ab: ac (V: 10) * Citaten till Bok. I—IV äro enligt Lindmans edition, och till Bok. V—VI enligt Björlings proportionslära. 174 AFD. IV. SATSER. och således genom altern. (V: 19, Cor. 3): AB : ab = AE: ac ; hvilket var det första som skulle bevisas 2) Efter . EF//AB, måste AC:BC = AE: BF(VI: 2, Cor.) = AE:DE (V: 12 o. 10) = ac: cb(V: 10) eller genom altern. (V: 19 Cor. 3) AC: ac = CB : cb; hvilket var det andra som skulle bevisas. 3) Efter nu är bevist, att AB, AC och CB äro i ordning proportionela mot ab, ac och cb, så slutes af likhet, att CB:cb = BA:ba (V: 23); hvilket var det tredje som skulle bevisas Prop. V (XV enl. Björling). Om uti A:na ABC och abc AB, AC, CB äro i ordningen pro- portionela mot ab, ac, cb; så skola A:na A, B, C vara = hvar sin i ordning af A:na a, b, c. Samma konstruktion som i prop. IV. Eftersom ED//CB är A AED 00 A ACB (I: 29), hvaraf följer (enl. föreg. prop. 4) 1) att AE: AD = AC: AB =ac:al (V: 10), således genom alten. (V: 19, Cor. 3): AE:ac = AD:ab, hvaraf AD = ab (V: def. 7, Cor 1); och 2) att AE: ED = AC : CB =ac:cb (V: 10) således genom altern. (V: 19, Cor. 3) AE:ac = ED:cb, hvaraf ED = cb (V: def. 7, Cor. 3). Alltså är ADE OO Aacb (I: 8), Aa = A A, A b = A ADE = A B, AC = A AED = C. Hvilket skulle bevisas. AFD. IV. SATSER. 175 Prop. VI (XVI enl. Björling). Om uti A:na ABC och abc AB: AC ==ab:ac och A A = A a; så skall ock A B = Ab. AC = Ac. Samma konstruktion i prop. IV. Eftersom ED∕∕CB, är AE:AD = AC : AB (VI: 2, Cor.) =ac:ab och således genom altern. (V: 19, Cor. 3) AE:ac == AD:ab, hvaraf AD = ab (V: def. 7, Cor. 3). Alltså är A ADE CO Aabe (I: 4), A b = A ADE = B, = A AED = C. Hvilket skulle bevisas. Prop. VIT (XVII enl. Björling). Ora uti A:na ABC och abc A C = Ac och AB ∙. AC = ab ∙. ac och A:na B och b äro antingen spetsiga i båda eller icke spetsiga i båda, så skall A A = A a, A B = Ab. Samma konstruktion som i prop. IV. Eftersom ED//CB, är AE:AD = AC: AB (IV: 2, Cor.) =ac:ab (V: 10), således genom altern. (V: 19, Cor. 3) AE:ac = AD:ab, hvaraf AD = ab. Alltså är A ADE 00 Aabe (I: 26 A.), A a = A A, AV= A ADE = A B. Hvilket skulle bevisas. 176 AFD. IV. PROBLEM. Aritmetiska problem,* gifna vid Kongl. Lärarinneseminariet den 27 Maj 1871 åt de afgaende eleverna. 3 st. på 3 timmar. 1. År 1870 belupo sig svenska folkets utgifter för åttonde hufυudtiteln (undervisningsväsendet, fattigvården m. m.) till 4 95 7 200 rdr. I år uppgå dessa utgifter till 5158 000 rdr. : Med huru många procent öfverstiga såle- des detta årets utgifter 1870 års? 2. Dela 4 000 rdr mellan A och B i förhållandet 7: 9. Huru mycket får hvardera? . 3. En moder är 60 år, hennes dotter är hälften så gammal. När var modern 4 gånger så gammal som dottern? 4. En person lottar bort en klocka, värd 378 rdr. Om han säljer lotten till 3 rdr 40 öre stycket, förlorar han lika mycket, som han vinner, om han för hvarje lott erhåller 5 rdr. Huru många lotter säljer han? 5. En köpman betalar 216 rdr för ett visst antal centner af en vara, för samma summa köper han sedermera af samma vara, men erhåller då 3 centner mindre än förut, emedan varan under tiden stigit med 1 rdr på hvarje centner. Huru många centner köpte han första gången ? 6. Befolkning ar ne i Asien och Afrika utgöra, den förra 5, den senare 11 af Europas befolkning. Huru stor är Afrikas befolkning? Man anser, att Asiens befolkning utgör 725 millioner innevånare. 7. Hvarföre skall man vid division i bråk multiplicera dividenden med divisorns inverterade värde? 8. Beräkna uttrycket 3 20 6 — 0,4 , 2-5 (105 0,16)-24 9. Om man beräknar för ett skolbarn 200 kubikfot luft, för huru många skolbarn är då en sal beräknad, hvars längd är 60 fot, bredd 40 fot och höjd 12 fot? 10. Hvarföre är ett tal jämnt delbart med 5, om det slutas på 5 eller noll? * Insända lösningar å dessa af flickor eller skolynglingar emottagas med nöje af F. W. HULTMAN under adress: Stockholm. AFD. IV. SATSER. 177 Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen h. t. 1871. För latinlinien. 1. Att genom en gifven punkt på en cirkelperiferi draga en tangent, då cirkelns medelpunkt ej kan konstrueras. 2. Att konstruera en rätvinklig triangel, då man känner dess ena kaet och höjden mot hypotenusan. 3. Att konstruera en cirkel så, att dess perferi går genom en gfven punkt, tangerar en gfven linie och har en radie af gfven längd. 4. Att skära en gfven rät linie så, att rektangeln af båda delarne blir lika med qvadraten på en fjerde del af hela linien. 5. Att upprita ett paralleltrapizium, då man känner storleken af båda parallela sidorna och de båda diagonalerna. 6. Att på en gfven cirkels periferi söka de punkter, hvilkas afstånd fråntvenne gfna punktér äro lika stora. 7. Att i ett gfvet cirkelsegment inskrifva en qvadrat. 8. Att konstruera rötterna till eqvationen 22—57 = - 3. 9. Någon utlånar 1000 rdr, en del efter 4 procent och en annan del efter 5 procent. Arliga räntan för hela summan uppgår till 46 rdr 40 öre. Frågas efter delarnes storlek? 10. Dela en linie, som är 10 alnar lång, i 2 sådana delar, att rek- tangeln af hela linien och den ena delen må vara dubbelt så stor som rek- tangeln qf båda delarne. 11. Produkten af två tal är 10. Summan af qvadraterna, som fås genom hvardera talets dividering med det andra utgör 29/10. Hvilka äro dessa tal? 12. . Upplös eqvationen N/a2+7 = 6—1( + 1)! 13. Upplös eqvationen a.2—5x + N/a2—5x + 6 = — 4 + A/2! 14. Från ett och samma ställe utgå två personer samtidigt och i sam- ma rigtning men med olika hastighet. Efter någon tid är afståndet mellan dem 1/4 mil. Då vänder den, som hunnit längst och går för att möta den 12 178 AFD. IV. SATSER. andre, hvilken han träffar efter förloppet af en tid, som till den nyssnämnda förhåller sig, som 1 till 5. Hela tiden från skιlsmessan till mötet är 1 timme 48 minuter. Hur fört gå de båda personerna? 15. Två personer ging o samtidigt från ett ställe A till ett annat B, beläget på 4 mils afstånd från det förra. Den ene gick 1/3 mil i timmen , den andre 1∕2 mil. Båda hvilade under sm färd, den ene tre gånger så länge som den andre. Samtidigt inträffade de i B, Hur lång hvilotid tog hvardera, och hur lång tid använde båda på färden från A till B? För reallinien. 16. Att upprita en rhomb, då man känner en vinkel och summan af diagonalerna. 17. Att dela en cirkel i två sådana segmenter, att vinkeln i det ena är dubbelt så stor, som vinkeln i det andra. 18. Att omkring en gifven cirkel omskrifva en femhörning, som är lik- vinklig med en gifven femhörning. 19. Att i en gifven sfer inskrifva en tetraëder. : 20. Att upprita en parallelogram, som är likformig med hvar och en af de parallelogrämmer, som uppkomma, då midtpunkterna på hans båda större sidor förenas genom en rät linie. ' 21. Att upprita en triangel, då man känner två vinklar och de mot- stående sidornas skilnad. 22. Att upprita en cirkel, som går genom två gifna punkter och skär en gifven cirkels, perferi midt uti. 23. Att från en punkt utom en cirkel draga en sekant, så att rektan- geln, som innehålles af densammas utom och inom cirkeln liggande delar, blir lika stor med en gfven rätlinig figur. 24. x+xy = 60; y+A/cy = 40. 25. En eqvation af andra graden är af formen: x2 + ax + b = 0; att uppställa en eqvation, hvilkens rötter äro n gånger så stora som den gfnas. 26. Man känner om en ångbåt att den på 7 timmar tillryggalägger vägen fram och åter mellan två ställen, belägna vid en fiod och på 21/3 mils afstånd från hvarandra. Derjemte vet man, att strömmen har en ha- stighet af 1/4 mil i timmen. Hvad är ångbåtens hastighet i stillastående vatten ? AFD. IV. SATSER. 179 27. En person afreser frän en ort och tillryggalägger första dagen 3 mil och hvarje följande dag 1/2 mil mer än den närmast föregående.Samti- digt reser en annan person från samma ort och utefter samma väg 5 mil dagligen. .När här den förre upphunnit den senare? 28. Med huru stort belopp skall en skuld af 12,000 rdr, å hvilken beräknas 51/2 procent ränta, årligen amorteras, for att vara fullt godtgjord med den 30:de inbetalningen? 29. En ockrare utlånade 500 rdr emot en skuldsedel på 700 rdr att betalas räntefritt efter tre år. Huru många procent tog han, då han beräk- nade ränta på ränta. 30. En stympad rät kon rymmer 24 kannor. Hess höjd är lika med skilnaden mellan bottenradierna, och förhållandet mellan dessa är 5:3. Huru stora äro de? 31. Höjden i en triangel är 5 tum och motstående sida 7 tum. Vin- keln mellan höjden och en af de närliggande sidorna är 23°. Bestäm trian- gelns sidor och vinklar. ‘ 32. Med hvilken hastighet bör en kropp kastas' lodrätt nedåt från ett ställe, för att under sin rörelse efter 3 sekunder upphinna en annan kropp, som fallit från samma ställe 2 sekunder, innan den förstnämnda kroppen sat- tes i gång? 33. Angif svängningstalet för den ton, som uppkommer vid blåsning i pipan till en vanlig nyckel af 3∕4 tums djup, under förutsättning af att lju- dets hastighet i luft är 1100 fot i sekunden. 34. En jemntjock skfva, i form af en liksidig triangel och gf 71/2 skålp. vigt , är vridbar kring en af sina sidor samt uppbäres från motstå- ende vinkelspets genom ett snöre, hvars andra ända är fästad i en midt öf- ver vridningsaxeln belägen punkt.Skifvan antages vara horizontel, och snö- ■ ret gf samma längd som triangelsidan. Beräkna spänningen i snöret. ■ 35. Ett cylinderformigt dricksglas gf 3 tums djup invändigt är, med botten vänd uppåt, till halfvasin inre höjd nedsänkt i vatten,. hvarvid vatt- net antages stå lika högt inom och utom kärlet. - Om glaset varsamt upplyf- tes ur vattnet, så att ingen lift dervid får inströmma, tills nedre kanten be- finner sig i jemnhöjd med det yttre vattenbrynet, så kommer vattnet att stå högre invändigt, än utanför kärlet. Beräkna höjdskilnaden mellan vatten- ytorna för det fall, då barometern visade 25 tum och qvicksifrets täthet i förhållande till vattnet var 13 6. 36. En persons syndistans är 8 tum. Huru många gånger förstoradt ser han ett joremål genom en lupp gf en tums brännvidd? 37. J ett glasrör, som är graderadt i lika stora volymdelar, upptager en qvicksilfverpelare 47 delar vid 12° C. Huru många delar upptager han 180 AFD. IV. SATSER. υid 90° C., då qvicksilfrets kubiska utvidgningskoëficient är 0,00018 och gla- sets liniära 0,000009? 38. Om styrkan hos den galvaniska ström, som vid 0° och 25,6 tums lufttryck under 1 minut förmår utveckla en kubiktum knallgas, väljes såsom enhet för strömstyrkan, frågas styrkan hos den ström, som vid 24 tums tryck och 15° kan under 10 minuter utveckla 180 kubiktum vätgas. Luftens ut- vidgningskoefficient är 0,00367. AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 181 Norska läroböcker. 1. Lærebog i Fysik for Middelskolen. Af H. CHRISTIE, profes- sor ved Universitetet i Christiania. (Christiania P. T. Malling 1871. 190 sid. Pris inb. 55 skill.). Indhold. Om faste, flydende og luftformige Legemers Egenskaber. Om Magnetisme. Om Elektricitet. Om Blanding, mekanisk (Luften), Ke- misk (Vandet). Om Forbrænding (Flammen). Om Varmen. Om Lige- vægt och Bevægelse. Om Lyden. Om Lyset 2. Kortfattet Lœrébog i Arithmetik og Algebra med Exempel- samling, utarbeidet for Middelskolen af I. A. BONNEVIE, Overlærer ved Kristiansands Kathedralskole. (Kristiania P. T. Malling 1871, 165 sid. Pris 48 skill.). Indhold. Indledning. I Bog. Hele tal. II Bog. Brβk. III Bog. Lignin- ger af forsta grad. IV Bog. Potenser, Rodstorelser og Logarithmer. V Bog. Ligninger af anden Grad. 3. Kortfattet Lærebog i Plangeometri, utarbeidet med særligt hensyn till Middelskolens Behov af I. A. BONNEVIE, Overlærer ved Kristiansands Kathedralskole. (Kristiania P. T. Mailing 1871, 123 sid. Pris 40 skill.). Indhold. Indledning. I Bog. Retteliniers gjensidige Stilling. Polygoner. II Bog. Cirkelen. III Bog. Rumsttrelsers Forhold til hinanden. Vin- kelns och Liniers Udmaaling. IV Bog. Polygoners Fladeindhold. V Bog. Ligedannede Polygoner. VI Bog. Regulære Polygoners og Cir- klers Beregning. 182 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. Traité Élémentaire des Fonctions Elliptiques par D:r O. J. Broch (Christiania P. T. Mailing 1867, 281 pag.) Table des matières. CHAP. I. Définition et théorème fondamental d’Abel sur Vaddition des inté- grales elliptiques. CHAP. II. Intégrales elliptiques complètes. CHAP. III. Fonctions elliptiques d’arguments négatifs et imaginaires. CHAP. IV. Périodicité des fonctions elliptiques. CHAP. V. Fonctions elliptiques des multiples de l’argument. CHAP. VI. Fonctions elliptiques des parties aliquotes de l’argument. CHAP. VII. Développement des fonctions elliptiques en séries infinies. CHAP. VIII. Fonctions de Jacobi. CHAP. IX. Transformations des fonctions de Jacobi par rapport au nome. Chap. X. Développements des modules et des intégrales complètes en séries infinies. Chap. XI. Calcul numérique des fonctions elliptiques. AFD. IV. KONSTFÖRVANDT F. R. JOHNSSON. 183 Konstförvandt Frans Robert Johnsson född d 26 febr. 1840, död d. 31 okt. 1871. Det namn, för hvilket tidskriften nu fäster dödstecknet, tillhörde en man, hvars tidiga bortgång redaktionen med verklig saknad bekla- gar; ty den mannen har i sin mon och det på ett hedrande sätt bidra- git i det gemensamma arbetet för tidskriftens framgång. Johnsson mot- tog vid tidskriftens början uppdraget att vara hennes sättare; och hvar och en, som under de fyra år tidskriften fortvarat haft att läsa korrek- tur på inlemnade uppsatser, drar sig säkerligen till minnes, med hvil- ken tillfredsställelse blandad med förvåning man ögnade igenom korrek- turarket, icke rätt vetande, om man hade att göra med ett reviderark i stället för ett första korrektur. Hvar och en, som har sig bekant, hvil- ken ojämförligt större svårighet sättning af matematik erbjuder framför sättning af vanlig text, ity att den matematiska formeln erfordrar för att korrekt och väl byggas icke allenast konstfärdighet i sättareyrket, utan äfven skarpsinnighet och omdöme att med ledning af ett ofta nog otydligt manuskript anvisa hvarje tecken sin rätta plats, erkänner säker- ligen med nöje, efter gjord bekantskap med Johnsson, att man hos den anspråkslöse arbetaren med vanlig folkskoleuppfostran kan träffa prof på intelligens, som skulle kunna räknas för en prydnad hos mången, som bär i flere instanser kontrollerade anspråk på bildning. Också stude- rade Johnsson på lediga stunder i hemmet matematik, så vidt förmå- gan att reda sig på egen hand medgaf. Flere af tidskriftens problem på första afdelningen funno i honom en intresserad om ock icke bekant lösare. — Johnsson hade haft anställning på det akademiska tryckeriet i 7 år. För 31/2 år sedan insjuknade han i lunginflammation, efter hvilken tid hans helsa var svag och ojämn. Sistlidne vår efter ett svå- rare sjukdomsanfall mottog han af läkaren med lugn undergifvenhet det budskap att han snart måste skiljas hädan. — Frid öfver hans minne. s <(x-7) „2 :((-7) . iz / / J ∕ / zel u 9 -2 -7 27 AFDELNING I. Om tredje grads funktionen ined en variabel. Af lektor K. P. NORDLUND. På det att de unge läsarena, för hvilka denna upp- sats är skrifven, må fatta undersökningen af den all- männa tredje-grads-funktionen, vilja vi såsom inledning un- dersöka följande enskilda fall af densamma: A'3 — 7a2 + 11 & + 1........A 49 309 - 46 23-7x2+18- C. 3 Om man i 2327222 4 1141..........................A insätter ett bestämdt värde i st. f. x, erhåller A ett be- stämdt värde. Insättes t. ex. i st. f. x värdet 2, erhåller A värdet 3. Detta värde 3 kan äfven A erhålla för tvenne andra värden, nämligen: 5 +/21 5 - 21 — och , 2 2’ hvilka vi finna på följande sätt: A divideras med a - 2, då qvoten a2-5a + 1 och resten 3 erhållas, hvadan A är likabetydande med 13 186 AFD.I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. (a — 2)(a2 — 5a + 1)+3, hvilket uttryck blir 3 endast för värdena 5+4/21 , 5 — /21 2,2 och 2 Anm. De värden, för hvilka en a-funktion erhåller lika värden, kalla vi korresponderande a-värden i afseende på funktionen. - 5 +/21 5 —/21 Sålunda äro 2, ------2---och —2-------korresponde- rande a-värden i afseende på A. Genom ett dylikt förfaringssätt finna vi de korrespon- derande a-värdena jemte 7 vara V/- 11 och - - 11 och värdet på A 78, de korresponderande -värdena jemte 1 vara 5 och 1 och värdet på A 6. För att närmare undersöka de korresponderande a-vär- dena i afseende på A, söka vi de värden, som jemte u (u antages vara reel och oberoende af x) äro korresponderande. Genom division af A med x-u finna vi A vara likabety- dande med (« - u)(æ2 + (u-7)a + u?-7u + 11)+u3-7u2+ llu+1 ...A, för hvarje u-värde. De korresponderande x-värdena jemte μ äro således 7 - U + V 3 - 3 4 - 3) ■ 2 .... “i och 2 Anm. I denna uppsats hafva vi sökt gifva uttrycken den för undersökningen tydligaste formen Vid aktgifvandet på de trenne korresponderande x-vär- dena c, och α2 finna vi, att ΛFD. I. 0M TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 187 som som som med med 1) Summan af tre korresponderande a-värden hvilka helst är 7 (koefficienten för x2 med ombytt tecken). 2) Summan af tre korresponderande a-värdens hvilka helst tvålediga produkter är 11 (koefficienten för x). 3) Produkten af tre korresponderande a-värden hvilka helst minskad med värdet på A för ett x-värde lika något bland dem är —1 (den af a oberoende termen ombytt tecken). 4) Skilnaden mellan de jemte u korresponderande x-vär- dena a, och C2 är /64 7 . . /64 hvilken erhåller sitt största värde A/-, då V 3 af koefficienten för a° med ombytt tecken). 1« - 7 5) När / 7\2 3 u — = \ 3/ 64 3 eller u = — 1 3 eller 5 äro C. senare och C, lika, i med 1. förra fallet med 11 3 och i det 6) När 7\2 3U--I \ 3) 64 3 eller ( är något medelvärde mellan 1 3 och 5 äro a. och C. 2 reela och olika. 7) När / 7∖2 3 ∕"3 64 3 eller (U 1 — eller 3 äro Q och Anm. C2 En för a = a, om pet och den af a (såväl imaginära. funktion säges erhålla funktionens värden för större som mindre än ett minimivärde M, för a = a, , för a-värden i grannskapet af a. ett maximi-värde Μ a-värden i grannska- a) äro mindre än Μ om funktionens vär- äro större än M,. 1 o Sättes u = — — i A. , erhålles P 3 1 / 1W 11 2° _ 94 27 • A.. 188 AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. Sättes A. och 8) För u = 5 i A., erhålles (a - 5)(a - 1)2 + 6 . . Aa äro likbetydande med A. 11 - 94 2 =-—- ar A, = — . 3 - 27 A, . För x-värden i grannskapet af — ar A > 3 94 27 • Således har A ett minimivärde 94 13 11 - -, da ? = . 27 3 9) För 0= 1 är A3 = 6. För x-värden i grannskapet af Således har A ett maximivärde lär A < 6. 6 , då z =1. 10) Från a = - 0o 1 till æ = - -växer A 3 från - oo till 94 27 „ a = - 1 3 „ a = 1 „ A 94 27 " 6. „ *= 1 11 » C= 3 aftager 4 95 6 Y 55 94 27* „ 0= 11 3 „ a = 5 växer A 55 - 94 27 ” 6. „ * = 5 „ 0= 00» A 35 6 „ 00. 11) När k θ4 r -har eqv. A = 27’ 4 k (k oberoende af en reel rot mindre än 1 1.. . — och tva imaginära. x) 3 6 11 3 12) När k= - - 27 11 och -. 3 har eqv. A=k 1 rötterna 3 13) När k är något medelvärde mellan 94 - och 6, 27 ' har eqv. A = k tre reela och olika rötter. Den minsta är något af medelvärdena mellan -- och 1. AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 189 Den andra (i afseende på storleken) något af medel- 11 värdena mellan 1 och 3 Den tredje (i afseende på storleken) något af medel- 11 värdena mellan 3 och 5. Anm. Eqv. A = 0 har sina tre rötter reela och olika och deras gränsvärden äro de ofvan uppgifna, eme- dan 0 är ett af medelvärdena mellan -7 och 6. I all- mänhet har en tredje grads eqvation, hvars ena membrum är 0, sina tre rötter reela och olika, då den funktion, som utgör det andra membrum, har maximi- och minimi- värden och dessa hafva olika tecken. 14) När k = 6, har eqv. A = k rötterna 1, 1 och 5. 15) När k> 6, har eqv. A = k en reel rot större än 5 och två imaginära. Dels för att åskådliggöra det ofvan sagda, dels för att påpeka några andra egenskaper hos A, hvilka hufvudsak- ligen hafva geometrisk betydelse, hafva vi i fig. 18 upp- ritat en del af den kroklinie CQMND, som motsvarar A. Anm. För korthetens skull kalla vi denna kroklinie i det. efterföljande K. Upplysningsvis meddelas följande: AOB är grundlinien (a-axeln), O begynnelsepunkten (origo) och e den antagna enheten. De positiva x-värdena räknas till höger om O, de ne- gativa till venster. Funktionens A positiva värden räknas ofvanom och dess negativa nedanom, grundlinien. Följande liniers storlekstal i förhållande till längden- heten e äro: 190 AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. on-}. on-1, oo-T.on-".ux- 4. 1G-34. EQ = HIN = 94, MF = ST-6, PI = IR = 4. Anm. I st. f. uttrycket: »storlekstal i förhållande till längdenheten e» användes i det efterföljande blott »stor- lekstal». Vilja vi med användning af K söka värdet på A för ett bestämdt värde på a t. ex. r, afsättes på OAB ifrån O r längdenheter e (åt höger om r är positiv, åt ven- ster, om r är negativ). Ifrån ändpunkten af detta stycke fälles mot BOA en vinkelrät linie och utdrages, så att den träffar K, storlekstalet till denna linie (med tecknet +, om den faller ofvanom, med tecknet —, om den faller ne- danom grundlinien) är värdet på A. Vilja vi finna det eller de a-värden, som jemte 9° äro korresponderande, drages genom den punkt (p), der den vinkelräta linien träffade K en med BOA parallel linie, då följande fall kunna inträffa: 1) Att linien endast träffar Kip, hvilket händer, då p ligger på QC eller KD. I detta fall äro de jemte ?‘ korresponderande a-vär- dena imaginära. 2) Att linien träffar K i tvenne andra punkter, hvilket händer, då p ligger på QM, MN eller NK. I detta fall äro de jemte r korresponderande a-vär- dena reela och olika. 3) Att linien tangerar K i p och skär den i en annan, hvilket händer, då p är någon af punkterna M eller N (maximi- och minimi-punkterna). I detta fall finnes blott ett korresponderande a-värde jemte r. 4) Att linien skär Ki p och tangerar i en annan punkt, hvilket händer, då p är någon af punkterna Q eller K. AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 191 I detta fall aro de jemte r korresponderande a-vär- dena lika. Ifrån denna eller dessa punkter på K fällas vinkel- räta linier mot BOA, storlekstalen till de stycken af BOA, som ligga mellan 0 och de vinkelräta linierna (tagna med tecknet +, om styckena ligga till höger, med tecknet —, om de ligga till venster om O) äro de jemte y korrespon- derande ^-värdena i afseende på A. Vilja vi finna de reela rötterna till eqvationen A=f (f är beroende eller oberoende af x), uppritas den linie, som motsvarar f, med samma grundlinie, utgångspunkt, enhet och rigtningar. Värdena på x, som motsvara denna linies skärningspunkter med K, äro de reela rötterna till eqvationen A = f. Ann. 1. De värden, som man genom detta förfa- ringssätt erhåller, äro i de flesta fall blott närmevärden, men felen blifva mindre ju noggrannare linierna äro uppri- tade och mätningen verkställes. Anm. 2. De imaginära värdena kanna ej på detta sätt erhållas. Vi företaga oss en undersökning af K. Divideras A med (x - 2)(a -4) befinnes (a - 1)(æ — 2)(a — 4) + 9 — 3a .... 4 vara likbetydande med A. 9—3æ antager samma värden som A, eller A endast för a-värdena 1, 2 och 4, hvadan den räta linie, som motsvarar 9—3x går endast genom de punkter på K, som motsvaras af a-värdena 1, 2 och 4. Divideras A med (x - 2)( — 3) befinnes (a — 2)‘(a - 3) + 13 - 5a . . . . A, vara likabetydande med A. 13 - 5. antager samma värden som 4, eller A endast för a-värdena 2 och 3. Insättas i A, x-värden i grann- 192 AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. skåpet af 2 (såväl större än, som mindre än 2) blir 13 -5 x större än A,. Insättas deremot a-värden i grannskapet af 3, blir 13 - 5x större än A,, om de äro mindre än 3, och mindre än A5, om de äro större än 3, hvadan den räta linie, som motsvarar 13 - 5x endast går genom de punkter på K, som motsvara «-värdena 2 och 3 samt tangerar K i den förra punkten och skär i den senare. För att närmare undersöka denna fråga, dividera vi A med (x - m)(a — n) (in och n antagas vara reela och oberoende af a), då -7(m+n)-1 1)a+1 (a-m)(a-n)(a-(7-m-n))+(m2+mn+n2 + 7mn — mn(m + n) ) befinnes vara likbetydande med A för hvarje värde på m och n. På ofvan angifna sätt kan visas, att den räta linie, som motsvarar (m2 + mn + n2 - 7(m + n) + 11)). +1 + 7 mn - mn(m + n) endast går genom de punkter på K, som motsvaras af x-värdena m, n och 7-m-n. 16) Äro m, n och 7-m-n olika, går linien genom tre punkter på K. 17) Äro två lika t. ex. m = 7-m-n går den en- dast genom två punkter och tangerar K i den, som mot- (1 - af koëffici- svarar C = m. 18) Åro alla tre lika, hvilket endast inträffar, då m 6 7 och n och således äfven 7-m-n äro 3 enten för a2 med ombytt tecken), tangeras och skäres K af 7 linien i den mot 3 svarande punkten. 7 Anm. Punkten (1), som motsvarar 0=31 kallas omböjningspunkt (inflexionspunkt), emedan K der ändrar böjning. Bågen MI är nämligen konkav åt venster och AFD. I. 0M TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 193 IN åt höger. Storlekstalet till denna punkts afstånd från 34 BOA är 27 Summan af m, n och 7—m—n är 7 (koefficienten för x2 med ombytt tecken), hvaraf följer: 19) Om en rät linie skär K i tre punkter, så är summan af de mot skärningspunkterna svarande a-värdena lika med 7. Anm. Satsen 1 är till en del ett enskildt fall af 19. 20) Om en rät linie tangerar K i en punkt och skär i en annan, så är summan af det a-värde, som motsvarar skärningspunkten och 2 gånger det a-värde, som motsva- rar tangeringspunkten äfven 7. 21) Tre gånger det a-värde, som motsvarar omböj- ningspunkten är äfven 7. . . 7 Sättas i st. f. m och » i 46 värdena 3och hvilkas aritmetiska medelvärde är 3 erhälles - (7 \ C——C ' 7 C — — . 3 + æ — — + Cl 3 , ' 2 16\ 370 7 2 . 3) 27 3 likabetydande med A. Den räta linie, som motsvarar ( 16\ 370 7 ∖ 3 / 27 3 o går den genom de punkter pa K, hvilkas motsvarande a-vär- 7 7 äro x+«, — — a och — (c-värdet, 33 32 som motsvarar omböjningspunkten). Anm. 1. Ar 16 — blir γ 3 ‘ 34 - som mot- 27 svarar den räta linie, som genom omböjningspunkten dra- ges parallel med grundlinien. 194 AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. Anm. 2. Storlekstalet till LI (se fig. 18) är således /16 . /64 A/ —. I satsen 4 visades, att LKS storlekstal var A/ V 3 ’ V 3' således är LI = IK. Af samma sats 4 följer äfven, att af alla räta linier, som dragas genom punkter på MN pa- rallela med grundlinien och begränsas af MQ och NS är LK den största. Anm. 3. Är a = 0 blir y 370 16 « . — —hvilket uttryck motsvarar tangenten i om- 273’ J 6 böjningspunkten. Anm. 4. Utdrages MP (se fig. 18) så, att den träf- far tangenten i omböjningspunkten, så är stycket af den förlängda MP mellan M och tangenten hälften af MP. Af denna sats inses lätt, huru man skall finna tangen- ten i omböjningspunkten. Af ofvanstående följer: 22) Om ifrån tvenne punkter på grundlinien, belägna på lika afstånd från den punkt, der vertikalen från om- böjningspunkten mot grundlinien träffar den, fällas vinkel- räta linier mot grundlinien och utdragas så, att de träffa K, så skall den räta linie, som sammanbinder de begge punkterna på K gå genom omböjningspunkten. 23) Om en rät linie drages genom omböjningspunkten parallel med grundlinien och ifrån punkter på denna linie, belägna på lika afstånd från omböjningspunkten, fällas vinkelräta linier mot denna linie och utdragas så, att de träffa K, så skola dessa vinkelräta linier blifva lika stora, och linien, som sammanbinder punkterna på K, vara midt i tu skuren i omböjningspunkten. 24) K är i omböjningspunkten delad i två kongruenta delar. Anm. De punkter på K, som komma att samman- falla, då den ena delen af K lägges på den andra, så att de täcka hvarandra, kallas kongruenspunkter. AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 195 25) Maximi- eller minimi-punkterna äro kongruens- punkter, hvilkas räta sammanbindningslinie går genom om- böjningspunkten och är i denna skuren midt i tu. 26) Punkter på K, hvilkas räta sammanbindnings- linie går genom omböjningspunkten, äro kongruenspunkter. Sättes i 4g m = n, erhålles formen (a — m)"(a -(7 - 2 m))+(3 m°- 14 m+1 1)a+1 -2m2+7 m2.. .A,. Anm. Formen A, kan äfven erhållas genom division af A med (a — m)2. Den räta linie, som motsvarar (3m2 — 14 m + 11)a + 1 — 2 m3 + 7 m2 ... 7 tangerar K i den punkt, som motsvarar a = m och skär K i den, som motsvarar a = 7—2m. Storlekstalet till det stycke af grundlinien, som ligger mellan vertikalen mot grundlinien från punkten, som mot- svarar æ - m och vertikalen mot grundlinien från om- 7 ∖ böjningspunkten är 1 3 m Storlekstalet till stycket af grundlinien, som ligger mellan vertikalen mot grundlinien från punkten, som mot- svarar a = 7—2m och vertikalen från omböjningspunk- ten mot grundlinien är 2 3m: o 7 Anm. Tecknet + gäller, da m < . 6 3 7 ' " " 3 Häraf följer: 27) Om en rät linie tangerar K i en punkt och skär i en annan och den del af denna linie, som ligger mellan dessa punkter på K, delas genom en vinkelrät linie dra- gen mot grundlinien genom omböjningspunkten, så är den delens, som ligger närmast tangeringspunkten, projektion 196 AFD.I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. på grundlinien hälften af den andra delens projektion och således är den förra delen hälften af den sednare. Anm.. Med ledning af denna sats löses lätt proble- met: » Att ifrån en punkt på K draga de begge tangen- terna till K». 28) Om från tvenne kongruenspunkter p och r° dragas räta linier, som tangera K i p och 9° och förlängas, så att de träffa K i p. och 71, så skall den del af grundlinien, som begränsas af vertikalerna från På och r. mot grund- linien, blifva delad i 4 lika delar genom vertikalerna från p, omböjningspunkten och ?’ mot grundlinien. Anm. Emedan maximi- och minimi-punkterna M och N äro kongruenspunkter, så följer, att (se fig. 18) ET är delad i 4 lika delar genom punkterna F, G och H. Enligt Analytiska Geometrien utmärker koefficienten för a i 71 3m2 — 14m + 11 eller ( 7\2 16 3 m --.... 8 3/3 tangenten för den vinkel, som den mot Y svarande räta liniens öfver grundlinien liggande del bildar med den del af grundlinien, som ligger till höger om nämde linie. Anm. Denna vinkel kalla vi i det efterföljande v. Vid aktgifvande på 8, finna vi, att 29) Från m = -0 till m = 1 aftager 8 från ∞ till 0 och m = 1 7 m=. 3 11 m = — 3 v„ 90° „ 0°. 7 16 „ m = = ,, 0, 0 till —och " 3 ” ” 3 v „ 180° till 100037'11". 11 16 - ,, m =. telltagero „ —— till 0 och 3 1 3 v „ 100037 11" till 180°. ,, m = 0o , 0,0 till ∞ och v, 0 „ 90°. AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 197 För två värden på m, hvilkas aritmetiska medelvärde 7 är -, antager 0 lika värden. Häraf följer, att 30) Tangenterna till K i tvenne kongruenspunkter äro parallela. För m = 1 och m= 11 blir 8 = 0 och således 3 äro de mot 71 för dessa m-värden svarande räta linierna parallela med grundlinien. I det föregående är visadt, maximi- och minimi-punkternas motsvarande a-värden 11 1 och hvaraf följer, att 3 • ‘ att äro parallela 31) Tangenterna i maximi- och För med grundlinien. 7 m =erhåller 0, såsom 3 ’ minimi-punkterna äro lätt synes, sitt minsta värde 16 3 * 7 Insättes i v. m = , 3' erhålles 16 ——C 3 370 27 ’ hvilket uttryck, såsom förut är visadt, motsvarar tangen- ten i omböjningspunkten. Anm. Tangenten i omböjningspunkten och den ge- nom omböjningspunkten mot grundlinien fälda vinkelräta linien bilda med hvarandra 4 vinkelöppningar. Inom två af dessa midt emot hvarandra stående ligger K. Hvarje rät linie, som drages genom omböjningspunkten och ligger inom dessa vinkelöppningar skär K dessutom i tvenne punkter. Hvarje rät linie, som drages genom omböjnings- punkten inom de begge andra vinkelöppningarna, träffar ej K i någon annan punkt. 198 AFD. ι. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. Vi öfvergå nu till en undersökning af de begge åter- stående funktionerna och 349 309 „ 23-7.2 +a-——........B 3 27 43-722+ 18 - 46.....C. 3 I fig. 19 är uppritad en del af den linie, som mot- svarar B och i fig. 20 en del af den, som motsvarar C med samma antaganden, som i det föregående blifvit gjorda, angående enhet, rigtning o. s. v. Genom samma förfaringssätt, som förut blifvit an- vända finner man, att satserna 1 (Obs.! Koefficienterna för æ2 är - 7 i både A, B och C) 16—25, 28 och 30 äfven äro gällande för funktionerna B och C samt de linier, som motsvara dem. Satserna 2 och 3 gälla äfven, om koefficienterna i A utbytas mot de motsvarande i B och C. I likhet med K hafva de mot B och C svarande lini- erna omböjningspunkter, hvilka äro betecknade med I och 7 motsvaras af C = . Deremot hafva B och C inga maximi- och minimi- värden. De begge korresponderande a-värdena till ett reelt «-värde i B äro imaginära, undantagandes, då 2 = 3, .• 7 i hvilket fall de begge korresponderande värdena äro -. ' 3 De begge korresponderande o-värdena till hvarje reelt .«-värde i C äro alltid imaginära. Med iakttagande af samma förfarings- och becknings- sätt, som i inledningen till satsen 29 blifvit använda, fin- ner man i afseende på linien, som motsvarar B, att AFD. I. OM TREDJE GRADS FUNKTIONEN. 199 från m = -till mn = 3 aftager 8 från ∞ till 0 och v „ 90° „ 0° 7 » 27 = 3 „ ? = o tilltager d » 0 » 00 och v„ 0° „ 90° samt i afseende på linien, som motsvarar C, att 5 rån ∞ till 3 och „ 90° „ 590 2 10, 5 - » 3 „ ∞ och „ 59°2 10" till 90. ran m=— O till m =aftager 0 v 7 . ,, 27 = 3 » m = oo tilltager d v Anm. 1. Tangenten i omböjningspunkten på linien, som motsvarar B är parallel med grundlinien och motsva, 34 27 * ras af Anm. 2. som motsvarar Tangenten i omböjningspunkten på linien- 71 27 • 5 C, motsvaras af —C— 3 Både B och C tilltaga, då a tilltager. (Forts, följer.) Om vinkelns tredelning.* Af G. D. Låt den gifna vinkeln, som skall delas i tre lika de- lar, vara C (fig. 21); förena punkterna A och B på benen och omskrif en cirkel omkring A ABC. Tag midtpunkten * Denna konstruktion af vinkelns tredelning är i sak ingenting annat än den välbekanta tredelningen förmedelst hyperbeln (e = 2) [jfr 200 AFD. I. 0M VINKELNS TREDELNING. S på AB och drag SD i AB. Det gäller nu att finna sådane punkter P och P' på periferien, att bågen BP = ba- gen PP' = bågen P'A eller, som är detsamma, kordan BP = kordan PP' = kordan PA. Låt Q vara träffpunkten mellan SD och PP, då PQ LSD samt PQ - ; PP eller som är detsamma, PQ =4BP....................(1). Då nu punkten P har ett sådant läge på periferien, att vilkoret (1) är uppfyldt, så är A PCB = 1 AACB och så- ledes tredelningen verkstäld. För att finna punkten P göra vi följande konstruktion. Vi dela AB i tre lika delar och sätta a = 3AB; vidare afsätta vi på förlängningen af AB stycket AE = a. En- ligt Eukl. II, 13 eller 12 fås, om vi för korthetens skull sätta EP = R och BP=r, följande likhet: R2 = (4a) + 2 - 2.4a(a-4r) som efter en enkel reduktion blir R=F+2a eller R-2a=, . . . (2). Vi få alltså följande regel för finnandet af punkten P: markera på bågen BD en punkt p, der vi kunna antaga P ungefärligen ligga; tag E till medelpunkt och rita en cirkel genom p; tag vidare B till medelpunkt och Ep — 2a till Tychsens Tidskrift for Mathematik 1868, Aug.—Sept.]. Vi hafva an- fört denna förenkling af hyperbelkonstruktionen, emedan förutsättnin- garna för beviset äro ytterst små och det praktiska utförandet enkelt och lätt (ofta nog äro två korspunkter q och 41, om de ligga på hvar sin sida om bågen BD och honom temligen nära, tillräckliga att för- enade genom en rät linie angifva läget af punkten P så pass nära, som det för praktiska behof är nödvändigt). Det gifves äfven andra kon- struktioner af vinkelns tredelning såsom förmedelst Pascals snäcka, qva- dratricen m. f., hvilka dock icke torde kunna jämföras i enkelhet med den här anförda. Nybörjaren må derför icke tro, att han har att göra med någon ny upptäckt i geometrien, då han sysselsätter sig med pro- blemet om vinkelns tredelning. Detta problem är nämligen, såsom vi här antydt, löst på flerfaldiga sätt, med konstruktions postutat, som gälla andra kroklinier än cirkeln. AFD II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. 201 radie och rita en cirkel, som skär den nyss ritade cirkeln i q; upprepa detta förfaringssätt för nya skärningspunkten 91 , 92 etc., till dess vi träfa en skärningspunkt qn, som antingen ligger på bågen BD eller ock så nära honom, som vi nå- gonsin behaga. Denna punkt qn anger då antingen full- ständigt eller ock så nära vi behaga läget af dem sökta punkten P. . Approximatif rotutdragning. Af D—G. I nedanstående formler betyda: N, A, a positifva qvantiteter hvilka som helst, b en positif qvantitet mindre än 1, m, n hela tal större än noll, a en positif eller negatif qvantitet, hvars nu- meriska värde ligger mellan 0 och 1, B en positif- eller negatif qvantitet. 1. Med tillhjelp af den generella formeln r" — an ----= rn~1 + y"=2,8+ ... + r . s"-2 + s"-1 r — s erhålles för r- 1 + a och s = 1 (1+a — 1 n 1 + af > -----------> n , a hvaraf först och främst följer, att 1 + a)" < r---) 1—na 1 - - (.................(1) om na <1 ) och vidare, att (1 + af > 1 + na.....................................(2). 14 202 AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. 2. Insattes nu i (1) 1.0 i stället for a, så erhålles nl+a utan något vilkor 1 a n - 1+-, ) (1 + -—| 5 7 ∖ nl+a) och i stöd af (2) (1+a > 1 + -— ..... (3). S 7 n1+a Insattes ater i (2) - -—— i stallet for a, sa far man • nl-6 ( 1 6 Y" 1 hvaraf 1 > 1 (nl-b ' (1-b) Om nu m b 1 n1-b ’ så följer af (1), att m mb (1—bn > 1- —, (4). 7 n1-b 7 Denna formel, som blifvit beräknad under nyssnämnda vilkor, gäller äfven detta förutan, såsom man lätt finner af expressionen i högra membrum. Insättes vidare i (2) %i stället för a, så blir hvaraf AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. 203 a 7, m m och häraf erhålles på grund af (1) om m (1 + a)n < 1- 1 m — a ? . . (5). m —a < 1 n 6 n Om slutligen insättes i (1) i stället för b, så för- vandlas denna olikhet till (1+2)" X n/ 1 1-b' hvaraf 1 b∖m n/ m , (1 - b) och häraf följer i stöd af (2), att m (1 - b)n < 1 1 + —δ n . • (6). 3. Af olikheterna (3), (4), (5) och (6) följer nu, att om ma <. n 4. Antag nu att A är ett approximatift värde på nte ro- ten ur N, så att i eqvationen N = A" + B........................(8). B kommer att beteckna en qvantitet, som uppfyller vilkoret 204 AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. Då kan man på sednare faktorn i högra membrum af eqvationen m ( B)m Ni = Am 1 + 4.".................(9). applicera formeln (7), som i sådant fall och i förening med (8) gifver (m+n)N-m 4 (1+B) n.A" 11 nN ∖ A") (m+n)A1-mN-' Adderar man här täljarne och nämnarne i de båda yttersta membra, så får man som bekant är ett medel- värde mellan dem, och om detta insättes i eqvationen (10) i st. för sista faktorn, erhåller man en approximations- forme! MTL A n (n+m)N+(n-m)A1 1 (n-m)N + (n + m)A"0 hvari felet måste vara mindre, än Am multiplicerad med differensen mellan de båda yttersta membra i (11). Om detta fel betecknas med F, är följaktligen — m Am (m+n) N — A"X2 L < 7 * /A • • . • • ( 3). n N (m + n) A" - mN Allt under förutsättning af mN— An ' _ -------< 1 • n An Obs.: I Francoeurs Algèbre Supérieure förekommer pag. 19 ett specialfall af formeln (12), men detta utan fel- bestämning. 5. För det fall att A" är ett bråk med stort antal deci- maler och kalkylem med detta sålunda skulle blifva besvär- lig, kan den förenklas på sätt här nedan skall visas. Man AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. 205 bortkastar i A" ett antal decimaler och betecknar ■ det så- lunda erhållna värdet med Ap. Vidare låter man A° be- teckna samma bråk, hvari likväl sista decimalen blifvit ökad med en enhet. I följd af måste nu olikheten (11) förändras till (m+n)N - m A3 / B\n n AT (14) nN ∖ A") (m + n^A^ — mN och approximationsformeln blifva N=-4-.(u*m)N-0-m)4s.............(15) (n — m) N + (n + m) Au samt felet p n+m Am m(N-A3)(N-47)+nN(At-472) n N (n + m)A%-mN under förutsättningen m N - A" , ■-----------—-cl. n A" 4 6. Exempel 1. Se facitboken till Björlings problemsam- ling pag. 49, ex. 116. 3____ 1 /954 ov 41 Sätt och v - Nros2 - 4186.14... 206 AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. Genom försök finner man lätt A = 5,7 .. A== 185,193. Följaktligen är approximatift 2.7632 + 41.185,193 * 7632 + 2.41.185,193 y = 5,70972.... 1,9 (39,087)2 1908’22739,652 < 0,00007. Häraf erhålles 5,70980 >y> 5,70965 och således med säkerhet æ = 0,5709.... a = W(8200)3. A = 2 får man A4 = 8192 och således approximatift _ 23 16.8200 + 10.8192 4 10.8200 + 16.8192 _ 13320 0:13317 106560 - 13317 = 8,001802.... p.38 16.64 - 13 8200106472 < 0,000002. AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING, 207 Följaktligen är 3 8,001805 > (8200)13 > 8,001800 och således med säkerhet 3 (8200)13 = 8,00180.... Exempel 3. 2 a =35. Antages först och främst 5 4 - 4’ så fås approximatift enligt den först framställda formeln 15 6.3.1024 + 4.3125 3° - 4 4.3.1024 + 6.3125 5 15466 ~4'15619 = 1,2457.... Sättes nu vid en följande approximation A = 1,246, så blir A° = 2,991208.... ett decimalbråk med 15 decimaler. För att ej nödgas an- vända detta vidlyftiga bråk sätta vi AA = 2,991208 A° = 2,991209. Då blir (N - AT)(N - A) < 0,0000773 och 7 (1,245)22.0,0000773 + 5.3.0,000001 < 5' 3 7.2,991208 - 2.3 10,86 0,00017 - 15 '14,938456 19 - 2240768 < 0,000009 208 AFD. II. APPROXIMATIF ROTUTDRAGNING. samt approximatift 33 _ 1,550025.7.3 + 3.2,991209 3.3 + 7.2,991208 = 1,5518459.... Häraf med säkerhet 2 35 = 1,5518.... I sjelfva verket äro 6 decimaler rigtiga. 7. Olikheten (11) kan skrifvas under följande form, om man iakttager eqv. (10) och observerar, att plustecknen höra tillsammans och likaså minustecknen: (N) n - m m(A"\±1 > 1 +----— n n LV) ...(17). Medelst denna formel kan man genom att successive använda plus- och minustecknen instänga Nn mellan grän- ser och derigenom med lätthet finna, hur många decimaler i dess beräknade värde blifva exakta. Exempel. Vi välja samma exempel, som nyss ofvan blifvit anfördt, näml.: 3 X = (8200)13. Man har A3=8 A13 = 8192 och således a 1 3 3 8192 813 13’8200 § 1 32 3 8200 a 13 13 8192 Häraf 8,001803... > « - 8,001801 ... och således med säkerhet a = 8,00180...... AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 209 Svenska aritmetikens historia. Af F. W. Hultman. (Forts, fr. sid. 101.) 12. J. MEURS. I sin »Förteckning på de i Sverige från äldre till när- varande tider utkomne skole- och undervisningsböcker», Stockholm 1817, uppgifver Hammarsköld en lärobok i räk- ning med titeln: »Arithmetica eller Räknebook aff Johannes Meurs. Strengnäs 1652. 8:o. Någon vidare kunskap om detta arbete eller om dess författare har jag ej lyckats erhålla. Om det är samme Joh. Meurs, som utgifvit arbetet »Majestas Veneta», Lugd. Batav. 1640, vet jag ej. 13. Nicolaus Petri Agrelius (AGRELL).* Knappast torde någon lärobok haft att glädja sig åt ett så långt lif som Agrelii lärobok i räkning. Emellan * Det är en besynnerlig ödets lek, att vi ha endast ytterst knapp- händiga biografiska notiser att meddela om denne man, hvilkens arbete fortlefvat i en sådan mängd upplagor och en så lång tidrymd, att knap- past någon författare i detta hänseende kan täfla med honom. Med led- ning af företalen till hans läroböcker och af upplysningar lemnade af bibliotekarien för Wexiö högre elementarverks bibliotek doktor Johans- son, hemtade ur J. Forsanders handskrifna samlingar till Wexiö Stifts herdaminne, kunna vi meddela följande. Nicolaus Petri Agrelius föddes i Småland. (Namnet härledes san- nolikt af Åkers 5 mil från Jönköping belägna församling). Blef 1646 medlem af Smålands nation i Uppsala. Efter slutade studier derstädes kallades han till Linköpings stift för att der som apologist undervisa ungdomen i skrifva och räkna, hvarmed han fortfor i två år. Ar 1655 utgaf han sin lärobok i räkning i Stockholm, den enda af honom sjelf utgifna. Den andra upplagan af år 1672 är tryckt i Göteborg och af förläggaren tillegnad författaren, numera (1672) borgmästaren och tull- förvaltaren Agrell i Warberg. Nu varande tjenstförrättande borgmästaren L. P. Larsson i Warberg har skriftligen meddelat mig, att han påträffat Agrells namnteckning under ett intyg i 1678 års dombok i Warbergs 14* 210 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. den tidpunkt, då första upplagan af hans lärobok utgafs, och den då den sista utkom eller emellan åren 1655 och 1798, ligger en tidrymd af 143 år. Får man förutsätta att den sista upplagan af år 1798 begagnades lika länge som den näst föregående af år 1754 eller i 44 år, har således hans lärobok varit använd i Sveriges skolor i 187 år, d. v. i nära 200 år eller ifrån Karl X Gustafs tid 1655, ända in i Karl XIV Johans regering. IIvad kan skälet vara till en så lysande framgång? Ar hans lärobok utmärkt fram- för föregående svenska aritmetiska läroböcker genom goda bevis och förklaringar? Nej, några bevis framställas här ej. Finnes der decimalräkningen bättre framstäld än hos föregående författare? Nej, i ingen enda upplaga ända in- till 1798 förekommer ett ord om decimalräkning. Ar ar- betet framstående genom de vyer det erbjuder, genom ett noggrant fasthållande af hvad som är hufvudsak och hvad som är bisak? Nej, tvertom kan det karakteriseras genom dess brist på förmåga att skilja mellan hufvudsak och bi- sak. Kanhända är dock arbetets innehåll lätt att inhämta genom lärobokens ringa omfång? Nej, någon digrare läro- bok i räkning än Agrelii på 400 sidor har hvarken förr eller senare blifvit utgifven. Dess framgång kan derför svårligen förklaras af annat än af det imponerande i dess dedikation till konung Karl Gustaf, af det vidlyftiga och ytterst detaljerade arbetet, af dess stora massa af räkneexempel samt af den nära anslut- ningen mellan denna lärobok och den då mest begagnade aritmetiska läroboken, näml. Aurelii lärobok (se matema- tisk tidskrift för år 1868, sid. 245). Björcks ojämförligt mera framstående lärobok skiljde sig för mycket från Au- relii lärobok för att kunna blifva allmännare antagen. Vi vilja nu närmare redogöra för Aurelii arbete. Dess titel är: rådstufvurätts arkiv, äfvensom att Agrell ej finnes upptagen i Warbergs kyrkoböcker, hvilka dock ej gå längre tillbaka i tiden än till år 1692. Häraf visar sig, att man kan förlägga Agrells lefnad ungefärligen mel- lan åren 1625—1680. Att Skåne också gör anspråk på Agrell visar sig deraf, att han finnes uppförd såsom en bland Skånes lärda i Sommelii lexicon eruditorum scanensium. AFD. I. SVEHSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 211 »Institutiones arithmeticæ: Eller Een kort Vnderwiis- ningh om de Skiön-högnödigste Regler, exempel, Italien- sche Practiquer och Compendier, som i daghligh rächningh mäst brukelige are: Them Konstälsk- och Lusthafvandom til nytta och gagn sammanskreefne och första gangen Cum Gratia et Privilegio S. R. Mtis sampt Authoris egen Be- kostnadt vnder Trycket giffne Aff Nicolao P. Agrelio Smo- lando. Stockholm 1655». 8:0 419 sidor. Af arbetet äro utkomna åtminstone följande åtta upp- lagor, hvilka alla finnas på riksbiblioteket i Stockholm. Upplagan 1. Stockholm 1655, utgifven af honom sjelf och tillegnad konung Karl Gustaf. „ 2. Göteborg 1672, förlagd af boktryckaren Grefve och tillegnad förf, sjelf (som numera under namnet Agrell blifvit borgmästare* och tullförvaltare i War- berg) och fem andra män (råd- och handelsmän i Warberg). „ 3. Stockholm 1683. Upplagan saknar före- tal och tillegnan. „ 4. Jönköping 1729. Arbetet inledes med nå- gra verser utan underskrift. Utan företal. „ 5. Stockholm 1737. Utgifven af Wallersten. Inledes med samma verser. Utan företal. ,, 6. Stockholm 1738. Med företal af P. A. Bliberg, ** samt med tillägg af ett kapitel om italienskt bokhålleri af samme man. „ 7. Stockholm 1754. Innehåller ock Blibergs kapitel om bokhålleri. „ 8. Stockholm 1798. Likaledes. * Kanhända erhöll Agrell såsom en erkänsla af Karl Gustaf denne plats i ett af Sveriges då nyförvärfvade landskap. ** P. A. Bliberg var informationsmästare för pagerna vid hofvet. Pagerna bodde i Storkyrkobrinken i huset närmast till slottet, der jern- vägstrafikstyrelsen nu har sitt säte. Denna lilla skola för pagerna, hvilka utgjordes af adliga ynglingar, blef snart en militärskola, ur hvilken se- dan Carlbergs krigsskola utvecklade sig. 212 AFD. I. SVENSKÅ ARITMETIKENS HISTORIA. Någon annan olikhet mellan den första upplagan af 1655 och alla de följande än att i de senare tryckfel blif- vit rättade, ha vi ej kunnat förmärka. I upplagan af år 1655 säger han sig hafva åtnjutit stipendium vid Uppsala akademi samt af konungen erhållit särskildt privilegium på tryckning af sitt arbete och till tacksamhet derför tillegnat det till konungen. Som van- ligt i arbeten från denna tid lyckönskas äfven Agrelius i en mängd verser i början af arbetet. Sålunda lyckönskas han af eloqu. professor Svenonius i Abo. I en af dessa lyckönskningar omnämnes han som apologist hos Gustaf Kurk, friherre till Allenö, Braheberg m. fl. Att Agrelii lärobok varit utsatt för skarp kritik visar sig af Blibergs företal till upplagan af 1738. Vi kunna ej neka oss nöjet att derur göra följande utdrag: »Onekligt är väl att åtskilliga kortare räknesätt än Agrelius brukar äro i senare tider uppfunne och äfven väl i Sverige öflige, men likafullt blir dock en ostridbar sanning, att hans me- toder äro som erfarenheten visar så väl tydligare som lät- tare att fatta för de mindre qvicka och uppstädade hufvu- den, hvilka begripa äfven så litet, ehuru man predikar för dem en hop beniga algebraiska upplösningar samt decimal- och centonalräkningar, som bonden grekiska. En som väl uppodlat sina snillegåfvor kan med redighet lära räkne- konsten så, att han vet gifva besked till allt hvad han deruti läst och må derför en sådan gerna följa hvad auk- tor han finner behag uti, men en enfaldigare lärer bäst genom flitig öfning och exempel, fast han ej kan begripa, hvarför det bör vara så men intet så. Agrelii fiender må derför fritt svärta hans räknebok, hälst som deras lack och tadel, långt ifrån att fläcka och sudla henne, gifva henne fast mer glans och befordra dess beröm. Och alltså gjor- den I bättre och skäligare, mine käre momister, om I följ- den hvad arithmetica I haden smak före och lemnaden denna i det värde hon förtjenar». AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 213 Boken sönderfaller i fyra delar. Första delen. (Hela tal och bråk). Addition. Exempel. Ifrån 1550 intill 1586 hafva pa- pisterne mördat, bränt och ihjelslagit uti några åtskilliga länder, derför att de ej ville emottaga påfviska läran; furstliga personer ... . 49, grefvar 148, friherrar 235, adlige personer 147518, gement folk 700060. Hvad är summan? Facit 848010. Subtraktion. Exempel. Anno Christi 1260 blef den kongl. residensstaden Stockholm funderad af Birger Jarl. Huru länge är sedan? Facit 393 år. Multiplikation. Ex. 1. En man blef tillfrågad, huru många svin han hade. Han svarade sig ej hafva mer än 12 galtar, med hvar galt 13 suggor och med hvar sugga 14 grisar. Nu frågas huru många svinen voro. Facit 2352. Ex. 2. Multiplicera 34567 med 23456! Bland andra sätt att multiplicera förekomma ock föl- jande tvenne: 34567 34567 23456 23456 14 691341852 1221 10370630 101828 138284 8152435 1727 612203042 20 9162536 810803552 122030 1524 18 Facit 810803552 Som man ser, bilda delprodukterna i sin uppstälning i förra exemplet en dubbelkägla och i senare en omvänd 214 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. pyramid. Någon förklaringen på räkningen finnes ej. Emed- lertid märker man snart att i förra exemplet förf, räknat sålunda: Första delprodukten: 2 ggr 7 är 14. Andra „ 2 ggr 6 är 12, 3 ggr 7 är 21. Tredje „ 2 ggr 5 är 10, 3 ggr 6 är 18, 4 ggr 7 28. O. s. v. I senare exemplet har Agrelius räknat sålunda: Första delprodukten: 2 ggr 34567 = 69134. Andra „ 3, „ = 103701, der sista siffran blifvit uppflyttad i för- sta raden näst efter 4. Tredje „ 4 ggr 34567 = 138268, der 6:an blifvit uppflyttad en och 8:an två rader. O. s. v. Division. Ex. Dividera 110592 öre genom 32 till da- ler. Facit 3456. Se här uppstälningen : 10 13 116 159 182 4160 8492 11714 14936 46158 78370 110592 32222 333 1111 1111 1111 111 11 1 Fac. 3 4 5 6 Åfven här finnes ingen förklaring. Dock märker man snart, att under dividenden 110592 är divisorn 32 skrif- ven 4 gånger, motsvarande de 4 siffrorna i qvoten. Första AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 215 gången är 32 skrifven under talet 10 af dividenden, andre gången under 05, tredje gången under 59 och fjerde gån- gen under 32, ehuru de tre sista gångerna siffran 2 är uppflyttad en rad. Divisionen sker genom oupphörliga sub- traktioner af divisorn 32 och resten sättes alltid ofvanom dividenden och tillika så att dess siffror komma dividen- den så nära som möjligt, hvarigenom ofta inträffar att dess siffror komma att stå i olika horisontela rader. Vid hvarje subtraktion sättes ett streck i qvoten. Läran om bråk liknar den i Aurelii lärobok. Inga förklaringar. Inga decimaler. Tabell öfver mått, mål och vigt. Mynt. Torrvaror. 1 riksdaler håller 6 mark. 1 läst spanskt salt 18 tunnor, 1 daler. . . . . . 4 mark. 1 gemen läst. . . 12 tunnor, 1 mark . . . . . 8 öre. 1 tunna 4 half- 1 1 öre . . . skeppund . . .24 penningar. Vigt. . 2, centner, 1 1 spänn = 6 skäppor, halfspann . ... 12 kannor, skäppa 8 kannor. 1 1 centner. lispund. .8 . 20 lispund, marker, 1 Vin och ölmått. foder håller . 6 åmer, 1 mark . . .1 skålpund, 1 åm 14 tunna, 1 skålpund . 16 uns, 1 tunna ....4 fjerdingar, 1 uns . . . .2 lod, 1 fjerding . . . 2 åttingar, 1 lod . . . .4 qvintin, 1 åtting . . . . 6 kannor, 1 qvintin . .4 ort, 1 kanna . . . . 2 stop, 1 lödig mark 16 lod. 1 stop 4 pelar. Denna tabell den hit. Några Stycke mått. 1 bal 10 ris, 1 ris 20 böcker, 1 bok 25 ark, 1 timmer ... 40 stycken, 1 stig 20 stycken, 1 minut .... 12seierknäpp. står i slutet på arbetet. Vi ha flyttat längdmått eller ytmått förekomma ej. 216 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Dock förekomma sådana mått äfvensom andra styckemått (t. ex. decker, mandel) i exemplen i boken. Andra delen innefattar 1. Regula de tri i hela tal, 2. „ „ i bråk, 3. Praxis italica. 4. Progressiones. Regula de tri i hela tal. Ex. En fader skickar sin son till ett universitet och gifver honom 470 rdr med sig, hvaraf han hvar vecka för kost gifva måste 3 daler: item, hvar månad till tvätterskan 1 daler; uti alla extraordinarie expen- ser hvarjo 2 månader 4 daler. Nu frågas, huru mycket han för hvarjo utgifvit hafver uti 3 år, 6 månader och 2 vec- kor. Sedan hvad honom ännu af penningarne resterar, hvart år räknadt för 13 månader eller 52 veckor? Facit. Kostpenningarne belöpa sig till 546 daler. Tvät- terskans 454 daler. Extra ordinarie expenserna 91 daler. Honom restera 212, daler. Anm. Här följa ett kapitel om papper, ett om våta varor, ett om torra varor, ett om penningar o. s. v. Regula de tri i bråk. Ex. En köper 89 decker bock- hudar och betingar halfparten för 48% daler, den andre halfparten för 524 daler hvart decker, hvad är summan? Facit 4516 daler 24 öre. Praxis italica (så kallad efter dess uppfinnare, de ita- liener) är ej annat än hvad numera kallas parträkning. Agrelius indelar den i fyra afdelningar, näml.: 1. Huru öre emot daler skola proportioneras. Ex. Ett lispund kostar 5 öre, hvad 120 lispund? Facit 18 daler 24 öre. Ty de kosta först 120 gånger 4 öre eller 120 ggr § da- ler, d. v. s..............15 daler, vidare 120 ggr 1 öre, d. v. s. 1 af 15 daler..........3 daler 24 öre. Summa 18 daler 24 öre. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 217 2. Huru penningar mot öre skola proportioneras. Ex. 1 aln kostar 21 penningar, hvad kosta 567 alnar? Fac. 15 daler 16 öre 3 pgr. Uträkning. • 21 p. 567 alnar. 12 ..........................283 öre 12 penningar. 6..............141 „ 18 , 3...............70 „ 21 „ Facit 496 öre 3 penningar. 3. Huru multiplicationis exempla compendiose skola behandlas. Ex. 1 lispund kostar 6 daler 12 öre 6 pgr, hvad kosta 240 lispund? Facit 1531 daler 28 öre. Uträkning. 6 d. 12 öre 6 pgr. 240 1440 d. 240 ggr 8 öre är . 60 d. eller 240 ggr 1 daler. „ „4 30 d. 240 ggr 6 pgr . . 1 daler 28 öre eller 240 ggr 1 öre. Summa 1531 daler 28 öre. 4. Multiplicationis och divisionis exempla. Denna afdelning är ganska vidlyftig, och då det är i synnerhet genom den, som Agrelii lärobok karakteriseras, komma vi att något utförligare redogöra för dem -— något som vi vid framställningen af läran om proportioner efter Biörcks lärobok (sid. 9 denna årgång) antydde. Liksom hos Biörck är terminologien på latin och låter svårligen öfversätta sig med annat än algebraiska beteck- ningar. Afdelningen sönderfaller i två stora kapitel, ett der förhållandena aro större än 1 (proportiones majoris inæqualitatis) och ett der förhållandena äro mindre än 1 (proportiones minoris inæqualitatis). Hvartdera af dessa uppdelas vidare i 5 smärre underafdelningar, allteftersom förhållandena kunna sättas under någon af formerna 1 7* m, 1+-, 1 + — , m +-, m2 + — ? nn 15 218 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. eller under någon af följande 1111 1 1’ m‘ 1’ r' 1 + - 14— m + — m + - n n n n A. Majoris inæqualitatis. (Förhållandena större än ]). I. Proportio multiplex. (Förhållanden, hvilkas expo- nenter kunna uttryckas med ett helt tal m). Ex. Proportio sextiquingecupla (d. v. s. = talet 56). Om 7 lispund kosta 12 daler 16 öre 16 penningar, hvad kosta 392 lispund. Facit. 701 daler 5 öre 8 penningar. Agrelii uppstälning och uträkning är följande. I P: - 12 rår 16 öre 16 p. - 300 iep. Fac. 701 daler 5 öre 8 pgr. Så väl i detta som i följande exempel är ej sjelfva pro- blemets uttryck angifvet, utan får man tänka sig i stället för den ena strecken (—) i exemplet ordet »kosta» och i stället för den andra orden »hvad kosta». II. Proportio superparticularis. fl +1). ∖ n/ Anm. Förhållandet 1, kallas sesquialtera, „ 13 „ sesquitertia, „ 14 „ sesquiquarta, o. s. v. Ex. Proportio sesquioctava (d. v. s. = talet 14). 16 lisp. — 12 daler 18 öre 16 penningar — 18 lisp. Fac. 14 da- 16 ler 5 öre. 1 » 18,8______________» 2 14 d. 5 öre 0 penn. III. Proportio superpartiens (1+7). Ex. Proportio super nonipartiens quadridecimas (d. v. s. = 1,.). AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 219 14 lisp. — 12 dr 14 öre 18 penn. - 23 lisp. 14 6 „ 7 „ 9 .7 28 „ 114 1 28 „ 1141 Facit. 20 dr 15 öre 21 penn. IV. Proportio multiplex superparticularis (m+-. Ex. Prop, septupla sesquioctava (d. v. s. = 74). 8 lisp. — 20 daler 20 öre 20 penn. - 57 lisp. 144 „ 17 „ 20 56 :2,18 „ 14, 1 Facit. 147 dal. 4 öre 104 penn. V. Proportio multiple, superpartiens (m+;). Ex. Proportio nonupla superseptipartiens decimas (d. . s. = 9,0). 10 lisp. — 8 dr 16 öre 20 penn. - 97 lisp. 76 23 12 90 4 8 10 5 27 64 5 1 27 64 5 1 Facit 82 dr 22 öre 113 p. B. Minoris inæqualitatis. (Förhållanden mindre än 1). I. Proportio submultiplex d. v. s. formen — . \ m/ Ex. Proportio suboctupla (d. v. s. = 1). 72 lisp. — 5 dr 6 öre 7 p. - 9 lisp. 8 Facit 20 öre 18, p. 1 . .. 1 II. Proportio subsuperparticularis /•---- (1 + 1) n Ex. Proportio subsesquiquinta (d. v. s. = 12). 220 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 30 lisp. - 16 dr 14 öre 12 p. — 25 lisp. 8 7 6 15 5 15 12 10 Facit 13 dr 22 öre 18 p. III. Proportio subsuperpartiens (-------- (1 + m n Ex. Prop, subsupertripartiens septimas (= 1 10 lisp. - 12 dr 16 öre 12 p.- 7 lisp. 6, 8, 6 5 2 „ 16 „ 23 2 IV. Ex. Då Fac. 8 dr 24 öre 85 p. Prop, submultiplex subsuperparticularis / _1 ( 1 \m + —/ n Prop, subquintupla subsesquisexta = . -4 ∖ 5√ 31 lisp. — 64 dr 17 öre 9 p. - 6 lisp.(c) 30 12 29 1’............⅛ 1 13 74..........(y) Facit 12 dr 15 öre 18 pgr. föregående afdelningar temligen lätt begripas af dem, som förstå parträkning, är denna och följande (IV och V) något svårare. Emellertid märker man snart att raden (ß) är 1 af raden (a) och att raden (y) är 31 af ra- den (ß). Facit är = (ß) minskad med (y). Förfaringssättet i denna och följande afdelning grundar sig derpå, att 1 1 mn 1 mn + p-p P\ p m mn+p m mn+p m\ mn + p/ m+- n 1_1 p m m mn + Pp ... 1 V. Proportio submultiplex subsuperpartiens. (----------------∖ . \2 + 2 Ex. Prop, subnonupla subsuperseptipartiens decimas. / 1 ) 9.7) 1 0/ AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 221 97 lispund - 82 dr 22 öre 113 : penningar. - 10 lisp. 90.......................9 » 6 » 11s 1 9 (3298 1....................3 99 04365 2 32 8 « ..............s* +18 1 44365 Facit: 8 dr 16 öre 20 penningar. Tredje delen innehåller: 1. Regula conversa. 8. Stick- eller byteräkning. 2. Regula dupla. 9. Factorie. 3. Interesse. 10. Vinst och förlis. 4. Rebatto. 11. Societatis ell.sällskapsregeln. 5. Thara. 12. Skeppsparter. 6. Fusti. 13. Arf- och annor delningsräk- 7. Vexel- och kassaräkning. ning. Vi välja några exempel på några af dessa 13 räknesätt. Om intresse. Ex. En trängder man tager af en danist skinnare och ockrare 400 daler med sådant förord, att han hvar vecka af dalern 1 öre gifva skall. Nu frågas hvad han foeneratori efter ett års förlopp uti interesse gifva skall. Facit 650 daler. Det är pro cento om året 162 och en half daler. 1 dr 1 öre 400 dr 1 vecka 12, dr 52 veckor. Anm. Detta är så vidt vi erfarit första gången som ordet procent förekommer i en svensk räknebok. Om rebatto. Ex. En köper en obligation om 3456 dr 24 öre, uti sex år förfallande emot 54 pro cento de anno: Nu frågas hvad han kontant derför gifva bör? Facit. 2599 daler 1133 öre. 133 - 100 - 3456% dr. Om thara. Thara kallas det ting uti hvilket något vä- ges, såsom säckar, tunnor, näfver, korgar etc. Detta bör subtraheras från hela vigten, anders finge man (det oskäligt vore) så dyrt betala, näfver som smör, en grof säck som muskot, en gammal handsketumme som saffran, o. s. v. Thara är trefaldig. 1. Thara, som subtraheras af godset, hvarefter det öfriga betalas. 222 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 2. Thara, så och så mycken thara på (auf) hvarje skeppund. 3. Thara uti eller af (in eller von) hvarje skeppund. Exempel på det första slaget af thara. En månglerska vill köpa af en bonde 4 näfverskrindor smör, hvarför han för hvar mark 3 öre begär. Detta synes käringen för dyrt, gifver honom alltså 10 dr 30 öre oför- sedt. Smöret vog brutto 14, 15, 14, 14 lispund. Thara för näfvern är 3 , 3; , 4, , 4; mark. Nu frågas hvad henne en mark netto kostar, och hvil- kendera bedragen blef. Facit. Hvar mark kostar henne 3, öre. Blef förden- skull månglerskan bedragen, ty hon gaf bonden 8 pgr för hvar mark mer än han begärde, det är tillhopa 1 dr 3 öre. 5’ lisp. - 10 dr 30 öre - 1 mark. Anm. Mellan de två andra slagen af thara är det un- gefär samma skilnad som mellan diskont och rabatt i våra räkneböcker. Om fusti (vrak). Ex. En köper 560 sablar och befin- nes uti hvart hundrade 5 stycken oduglige och förderfvade, hvart decker de bäste kosta 40 rdr, och hvart stycke fusti 2 rdr. Facit 2184 rdr. 100 - 5 — 560. Facit 28 st. 1 deck. 40 — 532 st. 1 st. 2 rdr - 28 st. Om vexel och kassaräkning. Att förvandla ett lands mått, mål och vigt i ett annat lands. Ex. När 30 öre göra 12 holländske stooter, och 2 stooter göra 5 brabandiske stüver, och 100 brabandiske stüver göra 5 holländske gylden, och 21 gylden göra 3 flemske nobel, och 12 nobel göra 42 holländska statens dr. Nu frågas huru många holländska statens daler man får för 750 svenska dr? Facit 600 dr. Om stick- eller byte-räkning. Denne regel lärer, huru man gods emot gods skall barattera, förvexla och förbyta. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 223 Ex. Två vilja med hvarandra barattera. A hafver koppar à 40 dr skeppundet, men sätter det i stick för 44 daler. B hafver jern, kostar à skeppund 32 dr. Nu frå- gas, huru högt han det skall sätta i stick eller byte, på det han sitt jern efter sitt värde sätter så högt i stick, som den andre sin koppar. Facit 35, daler. 40 dr bahr — 44 dr stick — 32 dr bahr. Nota. När detta ordet bahr framställes, då förstår man dermed de penningar, som äro godsens rätta värde, förrän de stegras till stick eller byte. Om faktori. Faktori är en räkning emellan en köp- man och hans kommissionär (faktor). Ex. En köpman eller principal i Stockholm försänder sin facteur i Westervik gods af åtskilliga sorter på 6000 daler, hvilket facteuren å hans vägnar på det bästa föryttra skall. För sådan sin provision och omak tillsäges honom 22 daler för hvart 100. Nu kommer godset senare än facteuren det hafver förskrifvit, och kan fördenskull godset ej högre föryttra än principalen honom det i händerna satt hafver. Nu frågas hvad facteuren för hans provision efterlåta bör? Facit 150 dr. 100 - 2, dr - 6000 dr. Om vinst och förlis. Ex. En köper en åm brunsvikisk mumma för 18 dr 24 öre och vinner 16 pro cento. Kort derefter slår han af att han 24 pro cento förlorar, hvad kostar då en åm? Facit 12 dr 9 öre 210 pgr. Om skeppsparter och delar. Ex. Tre frakta ett skepp för 184 dr. Deruti vill A hafva en halfpart, B à och C 3. Nu frågas hvad hvar betala bör? Facit. A 48 dr, B 64 dr och C 72 dr. 23 - 184 - 1 - 6 48 2 * 3 - 8 Facit 64 4- 9 72 dr. 23 Fjerde delen innefattar 1. Regula alligationis, 2. „ falsi, 3. „ cesis eller virginum. 224 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Här sammanfaller Agrelii framställning med Clavii och Aurelii. (Se årgången 1868). Boken slutar med »några lustiga frågor». Se här en. En bondpiga (Corebij syster) går till torgs med några ägg, hvarest henne möter en druckenbulter och slår sönder några af äggen. Pigan brukar mun. Denne druckne säger: Huru många vöro äggen, jag vill dig dem betala. Pigan svarar och säger: Bumsse må Gute hielpe, ia wa ett tålij- kit ålike, ia ottade intet på när moor hasse inladhe, men Guds blum hää, huxar ia, at han först lade dum i jeen korgh altijdh 2 tillijka och tå bleeff ett åfver, sedan lade bun dum i een annor korgh medh 3 och tå bleeff å ett åfver, lijka så mä när hun lade in dum 4 eller 5 eller å 6, tå bleeff altijdh 1 åfver, men sidst lade hun dum in medh 7 och tå gick häå juust uth: Nu frågas huru många äggen voro. Facit 721. Anm. Man bör här ha 3.4. således också 5n+1 , , —----= ett helt tal, 3.. * —-— = ett helt tal, 7 hvilket gifver n =5, 12, 19, hvaraf talet = 60n+1 = 301, 721, 1141, 1561,..., 301 + n.420. Slutord. Af var framstälning af Agrelii arbete visar sig, att detsam- ma är öfver måttan detaljeradt och att der hufvudsak och bisak äro blan- dade om hvarandra. För dess läsare bör räknekonsten förefalla synner- ligen vidlyftig, dess inhemtande ett verkligt herkulesarbete, och förfat- taren Agrelius sjelf ett märkvärdigt underdjur i afseende på lärdom. Tanken på huru Sveriges ungdom i nära 200 år plågats med detta ar- bete och derigenom tillbakahållits i sin utveckling är i sanning förfårande. Man kan derför ej vara nog tacksam mot de män, hvilka genom korta, enkla och väl redigerade läroböcker bidraga till att sprida och hos litet hvar inplanta de sanningar och upptäckter, som våra store män bragt i dagen. Tanken på hvad ondt Agrelii lärobok gjort och hvad godt en god undervisnirg kan göra, bör vara lifvande för hvarje skolman. Skol- mannen är ju mellanhanden, som förer det skapande snillets alster till hvarje härd. Utan denna mellanhand skulle dessa alster komma verlden till liten eller ingen nytta. AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONER. 225 AFDELNING II. Angående den kända karakteriska egenskapen hos homogena funktioner. Af C. J. Malmsten. Vid Fysisk-Matematiska föreningens sammankomst d. 19 oktober 1871 framställdes till behandling bland andra uppgifter äfven den, att på ett enkelt sätt bevisa den be- kanta egenskapen hos homogena funktioner ( d ∖ ∖ da ody/° n(n — 1). .(n-k- 1).f(x, y), der f(æ, y) är en sådan funktion af nte graden. Det är med anledning häraf som jag tillåter mig här nedan meddela tvenne särskildta bevis för den likaledes kända, ännu generellare satsen (64, 14, -+--a2)r- no--1--(1-f-T)y, () der f=f(a,, aa, ... 4m) är en homogen funktion af nte graden. Det förra A af dessa bevis, hvilka båda förutsätta såsom bevisadt, att ( d d d\. . 7 — + X2--- + ... + Cm”— f = n.f, .... (2) da da2 dam/° " är onekligen det enklaste; det senare B — eller rättare sagdt, hvad som i noten bevisas — torde icke heller sakna intresse, då det lemnar ett ganska godt tillfälle till öfning i kalkylen med högre partiella derivator. 15* 226 AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONER. A. Bevis från k till k + 1. Antag att formeln d d d yk x,— + 2——+..+m——= n(n-1)...(n-k-1).f ...(3) da d^ dæm/J är gällande för k. Om man då å ömse sidor opererar med d d r dæ, +4 da,t:t"dxm/ ■ erhålles med tillhjelp af (2) (d d d d X, — + 02— +... +Tm- 1 A — +...+ am — ∖ da, dx2 dxm∕ da Can (4) ..(5). = n2 (n-1) ... (n-k- 1).f Men resultatet af Operationen (4) på d d dyk x,-+ 2-+..+m....................................(6) da da, dam/ är = suraman af resultaterna som erhållas, om man först opererar med (4) på (6) såsom om i (6) a,, 2,...am vore konstanta, och sedan opererar med (4) på (6) såsom d d d om i (6) ——, ——, ... —— vore konstanta. da da2 Cam Då nu i allmänhet / d d d\f d d d y da da dam/\ da da2 dam/ (d d d yr+1 ∖α* da, *"da, **mdam) ‘ och / d d d\ t a . ”dæ, F zdæ * ~'* nmda, 41 +4242 * t Amdm) - =k(A,, + A ,+...+ Am m)-1 (A,a, + 4¾ + ... + AmTm) = k(A,a + A.&2 + ... + AmTm) ; så blir naturligtvis resultatet af operationen (4) på (6), un- der förutsättning att i (6) , , &2, ... am äro konstanta, 7 7 k+1 (s, ad, + m,au, +...+amamm) (7) AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONEN. 227 och resultatet af operationen (4) på (6), under förutsättning . d d d att i (6) ——, - .. . —— äro konstanta, da,’ da2 dam (d d dy *"da,*"da, ** 2ndam) Om nu summan af dessa båda (7) och (8) insattes i (5) i stället för ( d d d∖V( d d d k- “i da, t"ada,tyt"ndaw) L“i da, * "ada,*~tend.m) ‘ erhålles omedelbart d —----1 J. da, 4 = nå(n - 1)...(n -k - 1).f, och med tillhjelp af (3) ( d d d \+1 — X. — + J2— + - + ’m—— | f = n(n-l)... (n-k-1)(n-k) .f. ...(9) (da dæ2 dam/ " Vi hafva således bevisat att, om formeln (3) gäller för k, densamma äfven gäller för k+1, och således i allmänhet. B. Om man på den bekanta relationen ( d d d\ da 'da2 "dam)° opererar å ömse sidor med (d d dy "da,*Eda,tyt "ndaw) ' erhålles omedelbart / d d d VT/ d ^ X +2+..+m— 21+X2+..tm”—f= ∖ day da2 Cam/ L day Ca2 dam/_ ( d d ( \ da2 dam/ 228 AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONER. Men na är i allmänhet, såsom här nedan i noten skall bevisas, * d d d VT/ d d "ida,t">da,ty*ndam) L"aa,*">da,tyt"ndem)] ( d d d +1 - "x da, *4dm, + " + “n dam) (d d dy +k" dm,tAdm, tut “n aim) i således erhålles ur (10), om i stället för k sättes k-1. * Om man enligt kända reglor utvecklar d d d\k Vx =-(hdz,+dia * — * mdim)'W erhålles , ak 9k=PM.-2m", dah.dz. ..dakm)-.-(9) der summationstecknet hänför sig till alla möjliga kombinationer af värdena på ky, k2,... Km, hvilka uppfylla vilkoret 7, +, + ... + km = k.............. (y) På grund af (ß) erhålles då äfven K d d d - nam + Team —+ umda,D] - -*h" asp.aegin.ae-(e 7E,+-+*-7) om man, efter att hafva verkställt . dk o ( d d operationen — — pa 4-2+ 5275 + •■• + sm E, d.d...dä,n 5 d$2 däm) gör i resultatet § == x. AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONER. 229 (d d d γ ( C. — I C. —— + ... + 2m —— ) \ da, C&2 Cam/ = (n-k — l)x, - + ... + xm ——| f. da dam/ • Om i denna formel sättes undan för undan k-1, k-2, k-3, ... 3, 2, 1 Men utan svårighet inses att för § == x . a* t dusd t d di" .d^ ∙∙∙d⅛V1 ^1 +5dg, * * + naçm) - de+1 de C1 7ek+1 gka dtkm + 41 ek, ekm d“+1 _d + Zzagh .dgge+1 ...dz"m + zagh .dg4, ...dg'm m 4m + îndië dEAm+1 * "ds" . dig...dE"m' d. v. s. till följe af (y) (för § = x) ( d d di) dk \ 1 2 C $2 dsm/dg . d:ka . ..d.m \1m dl dsf .d42 ...dg"m Detta insatt i (0) gifver, på grund af (a) och (p) (för § == x) (d d d\ 9a “ida, + dad., + ∙∙∙ + "nd.xm) - ( d d d\(d d d\k == 21 778 + T27e +...+ Em : | 21 7/E + 227: + ... + Am75- 1 ( d d d\k + k 217E +02: .+m) 1 0 S2 230 AFD. II. ANGÅENDE HOMOGENA FUNKTIONER. i stället för k, och resultaterna multipliceras samt de lika faktorerna å ömse sidor bortdivideras, erhålles d / d V’ da. + 2 dæ, ** m dæ,) / = n(n - 1) ... (n-k — 1).f. d \’ Hvilket skulle bevisas. eller, hvilket är detsamma, (för § == x) ( d d d k+1 ( d d diyk = < + ^dξ2 + • + 2nd §m) + * (21 d§,+22 d§,“= +Zmdgm), och således slutligen ( d d dik |/ d d diyl Eida,t">dzat-+2ndam) Lida, Tadxat*andam)J= ( d d d \k+1 ( d d d \k = 1 da, " 2da,+.mdam) + (31 da,+Tada,*.+"mdam) >--(D. Hvilket skulle bevisas. Om integrationen af partiela lineära differential- eqvationer af andra ordningen med r obero- ende variabler. Af M. FALK. Följande härledning är i hufvudsak lika med den af prof. Boole i hans Differential Equations gifna framställ- ningen af Monges metod för integration af partiela lineära differentialeqvationer af andra ordningen med två obero- ende variabler. Vi hafva likväl skiljt oss från Boole deruti, att vi sökt göra en bestämd skilnad mellan diffe- rentialeqvationens satisfiering medelst en första integral in- nehållande en arbiträr funktion af definita funktioner och AFD. IT. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 231 dess satisfiering medelst ett system, som uttrycker att samt- liga dessa definita funktioner äro konstanta. Att Boole sammanblandat dessa från hvarandra be- stämdt skilda sätt att satisfiera diff. eqv., har blifvit en följd af det oriktiga förmenandet, att en relation u = f(v) skulle, på grund af den omständigheten att / är arbiträr, vara iden- tisk med två relationer, innebärande att både % och v äro konstanta. Han sluter ju af du = f(v)dv till, att du = 0 och dv = 0. Men detta är samma felslut som att på- stå, att eqvationen 2 = xy skulle, enär y är arbiträrt, endast satisfieras af z = 0 och a = 0, d. v. s. repre- sentera blott en linie (y-axeln), ehuru den ju tillåter oänd- ligt många andra värden på a och y, eftersom den re- presenterar en andregrads-yta. Denna anmärkning tro vi oss veta vara allmänt bekant; förf, till denna uppsats är ej den första, som gjort den. Efter dessa förberedande anmärkningar öfvergå vi till sjelfva härledningen af integrations metoden. Här låta vi z betyda den beroende variabeln, som är funktion af de oberoende x, , X2 , ar; pi må betyda 0% för hvarje dan 0 förekommande i-värde, och u., u2, ... ur äro ett sy- stem af r definita funktioner af variablerna, bland hvilka funktioner åtminstone någon förutsättes innehålla en eller flera af 28 derivator p. Teorem I. Om det finnes en första integral F(u,, ug , ..., ur) = 0 (1), der F är en arbiträr funktion, till en viss partiel differential- eqvation af andra ordningen med r oberoende variabler, så är denna partiela differential-eqvation äfven satisfierad af sy- stemet simultana eqvationer: % = «i , u2 = C2, ..., ur = a, . . . (2); 232 ΛFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. och omvändt: om systemet (2) satisfierar differential-eqvatio- nen, så satisfieras han äfven af (1). Bevis. Ur (1) härledes diferential-eqvationen genom partiel derivering i afseende på hvar och en af de obero- ende variablerna och derpå följande elimination af deriva- torna af F i afseende på funktionerna u. För enkelhets skull mena vi med (2=)uttrycket e+P2L. För att erhålla differential-eqvationen hafva vi då att eliminera de nämnda derivatorna af F ur systemet: y P[(u4 y 0u, 22z 140 A du L\da, / = dp, da, day ‘ . F [()u) = du, L\daa/ Du, 022 1 dpi daqdaj = 0 , ....(3). y OF[(u y Du 02z - A du; L\dar/ A dpjda,daj- = 0 Eqvationerna (2), betraktade som simultana, innebära, enär derivatorna p äro funktioner af variablerna, bestämda af den funktionsform af dem som z är, 9’ stycken relationer mellan de r+1 variablerna z, a,, X2, ..., ar. I eqvationerna (2) hafva vi således blott en oberoende varia- bel och r beroende, hvarför vi der hafva verkliga relatio- ner mellan alla variablernas differentialer, hvilket icke är händelsen i (1). Vi kunna tänka oss det i (2) uttryckta sambandet mellan variablerna så, att vi anse 2 som funk- tion af de öfriga variablerna och dessa utom en som funk- tioner af denna undantagna. På grund häraf hafva vi då ur den omständigheten, att z får anses som funktion af 01 9 029 •.., ar. AFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 233 Dessa eqvationer hafva vi alltså att förena med föl- jande ur (2) härledda: 0, . (6). Ur (6) är dz delsen af (Ou); redan bortskaffadt på grund af bety- vi behöfva derför blott använda (5) och (6) och mellan dem till en början eliminera dpi. Då erhålla vi det med (5) och (6) eqvivalenta systemet 16 234 AFD. ∏. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 0, (7). * dx, = 0 da; = 0, 0u, 02z ■ dpj da,daj Koefficienterna till derivatorna af F i (3) äro nu de- samma som koefficienterna till differentialerna af varia- blerna a i (7), dock så, att de horizontela raderna i det ena systemet äro i ordning lika med de vertikala i det andra. Enligt det på determinant-teorien byggda elimina- tionssättet blifva då eliminationsresultaten lika. Häraf föl- jer således, att eqvationen (1) och systemet (2) alltid satis- fiera samma differential-eqvation. Korollarium. Om vi nu lättare kunna finna systemet (2) än eqvationen (1), så behöfva vi blott, sedan vi fått sy- stemet (2), göra upp en arbiträr relation (1) mellan de funna funktionerna u för att erhålla en första integral till differential-eqvationen. Klart är äfven, att alla vilkor, som metoden att utgå från (!) inför, äfven innehållas i me- toden från (2), och tvertom. Teorem II. Härledning af ett system ordinära differential-eqvationen, som systemet (2) måste satisfera, om det skall gifva uppliof till den lineära partiela differential-eqvationen: * Att detta är eqvivalent med (5) och (6) sammantagna, är klart deraf, att de ingående derivatorna af 2 uttrycka, att s är funktion af 01,2,..2r AFD. II. ON INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 235 i=r j=r 2dU.... (8) i=1 j=i eller, som är samma eqvation, ' Xu2-2% * - U...o) Denna eqvation skall således vara resultatet af alla differentialers elimination mellan (5) och (6). Den innehål- les derför i systemet (5), om dess innehållna differentialer satisfiera (6), d. v. s. om systemet (2) satisfierar differen- tial-eqvationen (9). Vi hafva derför att tänka oss, att deri- vatorna p, hvilkas differentialer ingå i (5) äro sådana funk- tioner af variablerna, som satisfiera (2). Då blifva äfven (6) satisfierade och differential-eqvationen bör följa ur sy- stemet (5). Multipliceras derför eqvationerna (5) i ordning med indeterminerade faktorer 2,, 22, ..., 1, och adde- ras, så fås t—r j=r 32 ir 2 Z danda, ' 2de, - X’dp(ι°) eller, som man lätt finner, 32 r-1 j=r tr X 23.2da, + X E (Ajda, + A,da)) = X A,dp....(11). 4=1 Ci i=l j=i41 1 Men enligt systemet (2) måste denna eqvation vara homogen och af l:sta graden med afseende på differentialerna da,, da,, ..., dar, hvilka ju äfven ingå på detta sätt i dpi, då dessa Pi betraktas som funktioner af variablerna, såsom ofvan nämnts. Men dessa variablers a differentia- ler hafva till hvarandra förhållanden, som äro funktioner af variablerna. Följaktligen kommer eqvationen (11) efter division med en af dessa differentialer då icke att inne- hålla någon af dem. Han bör derför med lämpliga funk- tionsvärden på qvantiteterna 2 öfvergå i (9), hvartill tyd- ligen är nödvändigt och tillräckligt att 236 AFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 2,dx, λ2d⅞, λrdxr l/dai +,daj X1,1 X2.2 Xr,r Xi,j X A,dpr 1, (12). U2 Dessa utgöra alltså de eqvationer, soin det är nödvän- digt och tillräckligt, att qvantiteterna 2 och eqvationerna (2) skola satisfiera, for att dessa sistnämnda eqvationer, be- traktade som simultana, skola satisfiera (9). Dessa eqva- Tioner (12) kunna vi dela uti två grupper, hvaraf den ena ger qvantiteterna 2 och de vilkor, som i öfrigt måste vara uppfyllda, och den andra utgör sjelfva systemet ordinära differential-eqvationer, hvars integralsystem eqvationerna (2) äro. Ur (12) fås för alla i och j, som förekomma i dubbelsumman i (9) eller (11), eqvationerna 2, 2, Xi,j = 1,X,1+2, %j,j.....................................(13), hvilka dels bestämma qvantiteternas 2 förhållanden och dels äro vilkors-eqvationer mellan koefficienterna i (9). Dessa eqvationer (13) äro till antalet r( — 1) och 2 eqvationerna (12) äro ,+[1 stycken, hvarför, om qvantiteterna 2 satisfiera alla eqvationerna (13), vi blott hafva r distinkta differential-eqvationer qvar af (12) för att bestämma de r funktionerna u i (2). Men detta sy- stem innehåller mer än en differential mer än eqvationer- nas antal och är således ofullständigt. Det är derför icke säkert, att man kan erhålla ett system af r integraler till detsamma; detta kan ju tydligen blott ske, då differential- eqvationen har en första integral af formen (1). Om det lyckats att bestämma qvantiteterna 2 så, att alla eqvationerna (13) äro satisfierade (hvilket icke alltid är möjligt), kan man insätta dem i systemet AFD. TI. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 237 i=T , , - Zadp A. da. Å. Ca, 2-d., 11 - --1 = -—2 = —r = -- . . . (14), X1,1 X2,2 Xr,r U som då i förening med eqvationen (4) är det sökta hjelp- systemet, hvarur (2) skola härledas. [Hvad detta hjelpsystem angår, har Boole med an- vändning af variations-kalkylen funnit eqvationerna x. . dx? -χ. . dæ. dx.+x. .da? = 0 , i,i j "i,j i j 1 som utgöra hvad eqvationerna (13) blifva, om qvantite- terna 2. och 2. ersättas med de mot dem proportionela Xi i X55 — och —. Se härom det af Todhunter utgifna Supple- dai daj 6 ment till Boole’s Diff. Equ.]. r(, - 1) 2 Eqvationerna (13) äro stycken; de i dem in- gående. obekanta (qvoterna mellan qvantiteterna 2) äro r- 1 ledes stycken. Antalet vilkor, som (13) innehålla, är så- (, — 1) (,-2) 2 För r - 2 äro dessa vilkor 0 styc- ken, och för r = 3 fås ett vilkor, som lätt befinnes vara 4 X1.1X2,2 X3,8+1.2 X2,3X1,3-X1,1X28-X2.2X28-X3,8X),2 = 0 -..(15), som, eget nog, är vilkoret för, att ytan X1,152 + Z2 2 √ + Xs.302 + X2,875 + XI,SE5 + X1,257 = U, der 1, § äro löpande koordinater, har antingen ingen eller oändligt många medelpunkter. För det allmänna fal- let (, oberoende variabler) blifva vilkoren flera, men af samma form som (15). Vi skola nu bevisa följande Hjelpsats. =1 M och S (=-UM....(16), dpi i 4. A; da. der Μ är en af i oberoende funktion. 238 AFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. (5), Men Bevis. Eqvationerna (5) och (6) äro eqvivalenta med (13) och (14), enär hvartdera systemet återger (9). (5) och (6) äro eqvivalenta med (5) och (7); derför måste (7) vara eqvivalent med (13) och (14), sedan man i sista membrum af (14) eliminerat dp, med (5). Vi böra derför äfven erhålla (9) genom att mellan en af eqvatio- nerna (7) [t. ex. den som innehåller ux] och alla eqvatio- nerna (14) utom en [vi undantaga den, som fås genom att använda sista membrum] eliminera differentialerna af vari- ablerna x, hvarvid naturligtvis qvantiteterna 2 måste satis- fiera (13). Denna elimination ger i==r-1 j=r i===r i=r—1 j==r % Xi,iDux 02z Y V TXi,i Du Xj,joux 022 = Ai dpi dal * — - 2.7* 2. 1 - + S j- L dpj 2j dpida daj +y %;,i( up) _ o. 5 2; (dlæ;/ Som denna eqvation skall sammanfalla med (9), måste vi hafva 1 DUx 2, dp: mk 9 Xi,iDux, Xj,joux 2, dpj+ %, dp: - " %M' Xi,i(d ux) i 7. da) = U, i—1 "i ddl' der m, är en af i oberoende funktion. Det andra af dessa vilkor är uppfyldt på grund af det första, emedan det följer ur det första i förening med (13) genom elimi- nation af qvantiteterna 2. Vi behöfva således blott det första och det tredje vilkoret, och dessa gifva eqvationerna (16) genom multiplikation med or och summering från α⅛ AFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. 239 k = 1 till k = r , om man för korthetens skull med M k=r 0 F — . dux Teorem III. Om qvantiteterna p satisfiera de första integralerna till (9), betraktade som simultana eqvationer, så uppfylla de äf- ven integrabilitets-vilkoren for eqvationen (4). Bevis. Enligt Booles Diff. Equ. sidan 354 eqv. (45) måste de funktioner af formen O = 0, som tillsammans med F = 0 uppfylla de nämnda integrabilitetsvilkoren, härledas ur eqvationen y T F 0 0 4 L\dai) dpi > F°@ FOI dpi da, Pi dp, dzj ‘ hvarför Φ = 0 fås ur hjelpsystemet bestående af eqvatio- nen (4) och dx, dx, dæ, J F OF oF dp dp2 ' dpr dp, dp2 ' (2 F (0 F “ 1 2 ...(17). dpr dQ - (0 F) - 0 Dessa gifva med tillhjelp af (16) systemet i—r dæ, dæ, 2, 2, il II Ild 8 C . $ Sätter man vidare häri %.2 = u, och eliminerar alla 1 ur detta system och ur (13), så får man 240 AFD. II. OM INTEGRATIONEN AF PARTIELA ETC. v am U, da, U2da2 _ _ Urdar _ i= 1 der qvantiteterna u bestämmas ur eqvationerna Ki Mo Men sora nu dessa eqvationer (18) och (19) äro allde- les desamma som (14) och (13), så är satsen bevist. Obs. 1. Då r'> 2, blifva de generela första inte- gralerna till antalet färre än qvantiteterna p och räcka derför ej till bestämning af dem. Då måste man söka att integrera en af dessa första integraler, hvilket lätt går för sig, om den är lineär i afseende på derivatorna p. Obs. 2. Man kan äfven söka en komplett primitiva till (9) och dervid gå så tillväga, att man först söker en komplett första integral till (9). En sådan kan erhål- las derigenom, att man löser en generel första integral F(u,, %2, ur) = 0 i afseende på en funktion w* innehål- lande åtminstone någon af derivatorna p, så att man får Ux = f(u, , ⅝, ••• uz-1 , ¾+1 , ... ur) och ponerar / = en arbiträr konstant C. Detta visar, att alla de eqvationer af systemet (2), som innehålla någon eller några af derivatorna p, tillika äro kompletta första integraler till (9). Sedan en sådan (a = C) är erhållen, sätter man i (17) F = u - C och söker ur det sålunda uppkomna systemet, om möjligt, ut (y — 1) från denna skilda första integraler. Dessa tillsammans med ux = C gifva värden på derivatorna p, som göra (4) integrabel, och gifva således en komplett primitiva till (9). AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN,. 241 Om den oskulerande koniska sektionen. Af ERIK Lundberg. Att finna den koniska sektion, som har en bestämd punkt 0 till bränpunkt och i någon viss punkt P oskulerar en gif- ven kurva APB (fig. 22). Låt den gifna kurvan APB, hänförd till O såsom origo och OX såsom grundriktning, vara representerad af en eqvation i polarkoordinater 9(, e) = 0.....................(]). De qvantiteter som sökas äro: 2 = vinkeln XOK mellan grundriktningen och den del OK af den koniska sektionens axel, som är riktad från origo mot närmaste punkt B af den koni- ska sektionen, e = den koniska sektionens excentricitet, p =, 9, „ parameter. Aro dessa bestämda, är den koniska sektionen till läge, form och storlek fullständigt känd. Sambandet mellan koordinaterna ?, 6, för hvilken punkt som helst på den koniska sektionen är 2 , [1 + e Cos (6), - 2) = p. Häraf erhålles genom differentiation r\ /1 + e Cos (0, -2)1 = er. Sin (0, — 2), ; /1 + e Cos (01 - 2)3 = 2er, Sin(01 -2)+er. Cos (0, - 2). Men enligt vilkoret i problemet skall den koniska sektionen oskulera den gifna kurvan, hvilket fordrar, att, om man gör 0, - e, det äfven måste inträffa, att 242 AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. 9’1 =7, r, = Y, r, = r", hvaremot det i allmänhet ej är möjligt att bringa de hö- gre derivatorna r”, " etc. till likhet med „", rlV etc., enär man ej har flere än tre parametrar 2, β, p att för- foga öfver. Med begagnande häraf få vi vilkorseqvationerna , /1 + e Cos (e — 2)} = p (2), ,[1+e Cos (0-2)} = er Sin (0-2) . . . (3), ,”[1 +e Cos (0 — 2)3 = 2er Sin (6 — 2) + er Cos (e - 2) ... (4). Enär θ är den arbiträrt bestämda kontaktspunktens polarvinkel, och r, r, r" medels (1) kunna tänkas ut- tryckta i 0, innehålla dessa eqvationer inga andra obe- kanta än 2, e, p, för hvilkas bestämning de således äro tillräckliga. Divideras (4) med (3) erhålles ne" Cot (0 - 2) =-, - 2-................(5). hvaraf man genom jemförelse med (3) finner FY Cosec (e — 2) A/,2,3 + (2,1-7Y)2 92+2r-" ,2 + 2,3—r" Med användande af dessa uttryck för 2 och e gifver slutligen (2) , P ,3+23-Y' Härmed är i sjelfva verket problemet löst. Emellertid blifva formlerna (5) - (7) anmärkningsvärdt förenklade, om man i dem sätter 1 , = -.......................(8) % 7 och inför u såsom beroende variabel i stället för 7°. AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. 243 Insättning af (8) i de redan funna uttrycken för 2, e, p möter naturligtvis ingen svårighet, men vi föredraga en direkt utledning af de nya uttrycken för samma qvantiteter. Vi tänka oss medels (8) kurvans eqvation vara bragt till formen v(u, 0) = 0 (9). Genom likartadt betraktelsesätt med det för härledning af (2) - (4) använda finna vi pu = 1 + e Cos (0 — 2) .... (10), pu = - β Sin (0 - 2) (11), pu = — e Cos (e — 2) (12). Häraf erhålles med lätthet ft Cot (0 - 2) =.....................(13), % p = 1........................(15). U + U Då nu e och p äro kända genom (6) och (7) eller ge- nom (14) och (15), finner man, under antagande att e2 1, den koniska sektionens halfaxel a och halfva fokaldistans c af eqvationerna P 4-e-1........................(16)2 pe 1 (7) hvarvid såsom positiv anses riktningen från L eller O mot K. Kallas afstånden från origo till den närmaste och till den aflägsnaste ändpunkten af axeln respektive ? , 72, båda dessa afstånd räknade positiva i riktningen OK, har man 244 AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. r. = c a = a(e-1)-- . . . (18), . Te+1 ‘ 7, = c+a = d(e + 1) = P. . . - \ ‘ e - 1 . Någon mera anmärkningsvärd geometrisk egenskap hos den nu funna oskulerande koniska sektionen eller något samband mellan henne och den oskulerande cirkeln har jag ej funnit. * Dock torde formeln 2 Q der som vanligt Q = krökningsradien och s = bågen, ej sakna allt intresse. Dess sanning är lätt bevisad. Vill man finna orten för den oskulerande koniska sek- tionens medelpunkt, då kontaktspunkten successivt flyttar sig utefter kurvan (1) [(9)], har man att mellan uttrycken för c och 2 i någondera variabeln, t. ex. ö, eliminera denna variabel, hvarefter det erhållna, af 0 oberoende sam- bandet mellan c och 2 utgör eqvation för den i fråga va- rande orten, c och 2 dervid betraktade som löpande koor- dinater. Naturligtvis är det dock för detta ändamål ej behöfligt att hafva c och 2 explicit uttyckta i 6, utan man kan i stället lika väl eliminera 0, 2(u), e, p mel- lan (l)-(4) [(9)-(12)], 17, Användes (18) eller (19) i st. f. (17) finner man på samma sätt orterna för axelns ändpunkter. * Vid sökande härefter påträffade jag följande formler för bestäm- ning af centrum curvaturæ (Y0, (o) och radius curvaturæ Q: Cos (6)—60) _ iu"—u2 ‰u2(u + u") ’ Sin (6—o) _ u'(u2 + u'2) Vo " u3(u + u")' - (u2 + u2)M= ° - u3(u + u") ’ Ehuru de ej höra hit, har jag dock ansett dem förtjena anteck- nas. Den sista formeln förekommer i Todhunters Differential Calculus. AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. 245 Orten for den rörliga bränpunkten är naturligtvis en med orten för medelpunkten i likformighetsförhållandet 2 homotetisk kurva. Vi gå nu att tillämpa det föregående på ett par exempel. Ex. 1. Den gifna kurvan må vara en logaritmisk spiral APB (fig. 23) sådan, att den konstanta vinkeln OPT mellan radius vector och tangenten är = a. Då vi till grundriktning välja riktningen af den radius vector, hvars längd är = 1, blir kurvans eqvation 2 = e° Cota............................................(a) eller % = e-PCot”. Man finner nu enligt det föregående: Axelns vinkel XOK med grundriktningen: λ=θ+a-π . . . . . (b), excentriciteten: 8 = Cos a, halfaxeln LM: a = —?, halfva fokaldistansen OM: C = - 7 Cos a..................(c), radius vector OE till axelns närmaste ändpunkt: 2 = 2(1 — Cos a), samt radius vector ON till axelns andra ändpnkt: 92 = - 7(1 + Cos a) . Häraf framgå följande egenskaper. De oskulerande koniska sektionerna äro alla likfor- miga ellipser med excentriciteten Cos a. I hvar och en af dem är storaxeln parallel med spiralens och ellipsens ge- mensamma tangent, så att kontakten eger rum i den ena ändpunkten af ellipsens lillaxel. Häraf är en naturlig följd, att längden af ellipsens halfva storaxel är = radius vector till kontaktspunkten. 246 AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. På grand af dessa egenskaper är det ytterst lätt att i hvilken punkt som helst af spiralen konstruera den osku- lerande ellipsen. Eliminerar man r och 0 mellan (a), (b), (c) erhålles — c — Cos a . eQ+= — ) Cotce , eller, då han i stället för -c och 2+, hvilka här kunna betraktas såsom löpande koordinater, skrifver ?‘ och 0, , = Cos a. e 9—€) Cot ce.........(d). Denna eqvation representerar orten för medelpunkten, i figuren utmärkt genom den prickade linien. På liknande sätt finnas orterna för axelns ändpunk- ter L. och N: ,=(1—Cosc)e(—c+-)Cotc . ... (e) och τ = (1 + Cos a)e0- a) Cot.c . . . . (f). Eqvationerna (d), (e), (f) utmärka, som man ser, loga- ritmiska spiraler, lika den gifna (a), men skiljande sig från denna till sina lägen resp, med vinklarna log Cos a Got c log(1 + Cos C 9 2 . Cot a Ex. 2. Låt den gifna kurvan APB (fig. 24) vara ,0 = k eller e U=— (a). k Hos denna kurva är subtangenten , konstant = -k. För 0 = 0 är 7’=0o. Kurvan har således en asymptot, parallel med grundriktningen och belägen på afståndet k AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. 247 öfver densamma. Då 9 växer från noll, aftager r allt- jemnt, och kurvan beskrifver ett oändligt antal hvarf kring origo, hvarintill hon obegränsadt närmar sig. Mot negativa värden på 0 svarar en dylik gren, sym- metriskt med den förra i förhållande till ordinataxeln OY. För undvikande af oreda har dock i figuren blott den mot positiva värden på r och 0 svarande grenen blifvit utmärkt, lika som vi äfven i det följande inskränka oss till att taga endast denna gren i betraktande. Formlerna (13)-(19) gifva 2-0+% (6), 2 ‘ e = = (c), k / ke 1-03............... "-1-00) 5 1-8...............(0) : Af (b) och (d) synes, att kontakten mellan den gifιιa kurvan APB och dess oskulerande koniska sektion eger rum i ändpunkten P af den sistnämndas parameter OP, så att axeln LN är vinkelrät mot radius vector OP. Tänker man sig OY tagen till grundriktning i stället for OX, är det af (b) tydligt, att (e)-(g) just blifva eqva- tioner för medelpunktens samt axeländpunkternas orter. Det är lätt att finna utseendet af de genom (e)—(g) representerade kurvorna. Så föreställes t. ex. i figuren den första af dem (orten för medelpunkten) genom den 248 AFD. II. OM DEN OSKULERANDE KONISKA SEKTIONEN. prickade kurvan ace, Mb. Då kontaktspunkten flyttar sig utefter den gifna kurvan från oändligt afstånd mot den punkt C, hvars koordinater äro r=k, 6=1, flyttar sig medelpunkten i den oskulerande koniska sektionen, som enligt (c) då är en hyperbel, utefter ac. I Cär den osku- lerande koniska sektionen en parabel, hvadan motsvarande punkt af (e) flyttas på oändligt afstånd, och, som man lätt finner, har kurvan här en asymptot GH, belägen på af- ståndet i från origo och bildande med OY en vinkel = 1. När sedan kontaktspunkten löper utefter den åter- stående delen C PB af kurvan, är den oskulerande koniska sektionen en ellips, och dess medelpunkt löper utefter c, Mb, beskrifvande en spiral, som med oändligt många hvarf omsluter origo. (/) eller orten för axelns närmaste ändpunkt L är samma kurva som den gifna, vriden i positiv led en vin- kel =1.* (g) eller orten för axelns andra änd- 2 punkt 7V är den kurva, som uppkommer, då (f) hvälfves ett hvarf kring OY. Dessa båda kurvor (ej utsatta i figu- ren) äro således lätta att upprita, och det inses utan svå- righet, huru man med deras hjelp kan konstruera den osku- lerande koniska sektionen i hvilken punkt som helst P af den gifna kurvan. Emellertid kan man äfven konstruera den oskulerande koniska sektionen oberoende af dessa kurvor. Vi hafva nämligen sett, att längden af subtangenten OK är kon- stant och = k, på grund hvaraf tangenten KP kan dra- gas. Men då tangenten och den ena fokalradien OP äro gifna, erhålles genom afsättning mot tangenten af en med KPO lika stor vinkel den andra fokalradien PF och så- ledes äfven, då ju axelns riktning är känd, den andra * d. v. s. vriden så mycket, att punkten C kommit att samman- falla med a. AFD. II. OM KONVERGENSEN AF KEDJEBRÅKSUTVECKLINGEN ETC. 249 bränpunkten F. Härmed är äfven medelpunkten M be- stämd, och storaxeln finnes nu antingen på grund deraf, att dess längd skall vara = FP+OP, eller på grund deraf, att dess halfva längd ML skall vara medelpropor- tional mellan MO och MK. Om konvergensen af kedjebråksutvecklingen för V/a2 — b. Af Μ. Falk. Schlömilch har i »Zeitschrift für Mathematik und Phy- sik», 1872 l:sta häftet, meddelat, att en herr doktor Weyr uti »Abhandlungen der böhm. Gesellschaft der Wissen- schaften» i febr. 1869 genom geometrisk undersökning upp- täckt, att konvergensvilkoret 2ab+1 (hvilket Schlö- milch för öfrigt blott bevist vara afgörande, då 2a och b äro hela tal) för kedjebråket i högra membrum af eqva- tionen ,----b Ja^ — b = a —---------------, 2a- b 2a — b 2a-. är för inskränkt och att det uttömmande kriteriet på detta kedjebråks konvergens i stället är a‘> b. För denna sats lemnar Schlömilch derefter ett enkelt analytiskt be- vis. Att Schlömilch verkligen anser nämnde d:r Weyr här- vid hafva upptäckt något nytt, inses temligen klart af föl- jande hans yttrande: »Neuerdings hat nun Herr D:r E. Weyr durch eine geometrische Untersuchung gezeigt....., und es entsteht daher die Aufgabe, dies auch analytisch nach- zuweisen», hvarmed man sammanställe hvad han straxt 17 250 AFD. II. OM KONVERGENSEN AF KEDJEBRÅKSUTVECKLINGEN ETC. ofvanför säger om kriteriet 2a 2 b+1: »Der Grund für die letztere Beschränkung lag in dem Mangel ausreichender Criterien für die Convergenz solcher unendlicher Ketten- brüche, welche aus negativen Einzelbrüchen bestehen». Men vid den tid, då Schlömilch utgaf 3:dje upplagan af sin »Handbuch d. algebr. Analysis» (1862), hade vi här i Sve- rige redan i 14 års tid varit vida bättre lottade, än hvad detta sista citat visar hafva varit händelsen i Tyskland, ity att vi hafva det Malmstenska skarpa kriteriet, som offentliggjordes år 1848 uti Vetenskaps-Akademiens hand- lingar. I detta bevisas som specialfall af det allmänna kri teriet, att kedjebråket Ga ba C3 — ... konvergerar, om 4= 4. Som det föregående kedje- bråket har an — 1 = a, = 2a och bn = b, så ger detta kriterium a22 b som konvergensvilkor. Det är häraf tydligt, att äran af den upptäckt, som Schlömilch tiller- känner d:r Weyr, och dessutom den mycket större af att hafva funnit det skarpa generela kriterium, hvaraf denna d:r Weyers’ upptäckt är specialfall af påtagligaste art, tillkommer professor C. J. Malmsten sedan nära ett fjer- dedels sekel tillbaka. Denna anmärkning hafva vi velat offentliggöra för att befria dem af våra svenska matematiker, som icke tagit kännedom om det Malmstenska kriteriet, men möjligen i en framdeles kommande ny upplaga af Schlömilchs Handbuch d. alg. Anal, få se denna d:r Weyrs upptäckt omnämnd, från att tro, att d:r Weyr är den, som först gjort oss full- ständigt bekanta med konvergensen af kedjebråket för ~/a2—b. AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 251 AFDELNING IV. Beräkning af värdet på en premie-obligation för en tidpunkt hvilken som helst före förfallotiden. För några veckor sedan lemnade mig en bankir en Smålands hy- poteksförenings premieobligation med anhållan att få veta dess närva- rande värde. Som beräkningen häraf utom dess praktiska nytta äfven erbjuder ett teoretiskt intresse, införes den samma här. Obligationen utgifven på tyska, har på svenska öfversatt följande lydelse. Ena sidan. "Premie-obligation utfärdad af den svenska hypoteksföreningen mellan jordägare i Småland och andra provinser. I Ser. 218. | Grundad på jordegendomar belägna LN:0 4360.1 i provinserna Småland, Halland, Blekinge och Skaraborgs län för hela lånesumman utgörande Stämpel för premielån. 5 Groschen eller 171/2 Kreuzer. tio mill. (10 000 000) mark hamburger banko. Mark 200 Hamburger banko. Mark 200 Hamburger banko. Vi OSKAR med Guds nåde, Sveriges, Norges, Götes och Wendes honung, . göre veterligt, att sedan styrelsen for hyp oteksför eningen, mellan jord* ägare i Småland, Halland, Blekinge och Skaraborgs län jämte andra- gande, huru i följd af vunnen erfarenhet under föreningens verksamhet åtskilliga förändringar och tillsatser erfordras i det af Oss den 12 no- vember 1846 faststälda reglementet för en tilltänkt hypoteksförening, till oss i underdånighet inlemnat en i föreskrifven ordning af deltagarne i föreningen antagen plan till ett förnyadt reglemente för ofvannämnda tilltänkta förening med ansökan om Vår nådiga stadfästelse a detsamma; Så hafva Vi, efter pröfning af den nämnda planen, med upphäfvande af Våra den 12 november 1846 och den 2 november 1847 gifna nådiga förordningar, faststält följande reglemente för den ofta nämnda föreningen 252 AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-ORLIGATION ETC. under förändrad benämning "Hypoteksförening mellan jordägare i Små- land och andra provinser”: — — — § . 26. Föreningen eger att förskaffa sig lån 1) genom att upp- taga s. k. amorteringslån efter de grunder, som i allmänhet iakttagas vid statslån-----— § 27. Amorteringslån få genom styrelsen upptagas så väl inom landet som i utlandet, hvarvid dock i senare fallet erfordras ett särskilt af föreningen på ordinarie bolagsstämma fattadt beslut deröfver samt öfver lånets maximibelopp. — — — § 33. Föreningens penningelån garanteras af dess enligt denna ordning ägande fordringar af reservfonden och af all annan föreningen tillhörande förmögenhet. I den oväntade händelse att, sedan alla dessa medel blifvit anlitade, brist likväl skulle uppstå, skall bristen betäckas så väl af föreningens låntagare med deras i föreningen förpantade gård och grund som ock af de intressenter, hvilka icke hafva erhållit något lån, i förhållande till deras insatser, och skall denna säkerhet tillhöra obligationsinnehafvarne med företrädesrätt framför föreningens intressenter. — — — Gifvet i Stockholms slott den 13 nov. 1849. OSKAR. A. P. Sandströmer. Vid i dag här hållen ordinarie bolagsstämma af medlemmarne i hypoteksföreningen mellan jordägare i Småland och andra provinser blef föreningens styrelse befullmäktigad att vid första gynsamma tillfälle upp- taga ett nytt amorteringslån å högst tio millioner hamburger mark banko i utlandet, hvilket härmed försäkras. Wexiö den 9 december 1857. C. J. Keij. G. O. Hellman. Ordförande på bolagsstämman. Föreningens ombudsman. Vi undertecknade direktörer för hypoteksföreningen mellan jord- ägare i Småland och andra provinser förklara härmed, att vi, i följd af uppdrag på ordinarie bolagsstämma den 9 december 1857 af medlem- marne i denna förening och i följd af deras fullmakt här ofvan, såsom ock på grund af kongl. majestäts nådiga sanktion af det deröfver utfär- dade reglementet af den 13 november 1849 och med uttryckligt tillstånd af chefen för finansdepartementet i Stockholm af den 17 juli 1858, hafva för ofvan nämnda hypoteksförenings räkning afslutat ett amorterings- lån å tio millioner mark hamburger banko till här nedan angifna villkor och i följd häraf för beloppet af detta lån å tio millioner mark hambur- ger banko utgifvit 50000 stycken på innehafvaren stälda och med 60 halfårs ränte-kuponger försedda obligationer i 2500 serier med 20 styc- ken i hvarje. AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 253 Vi direktörer förplikta oss på det kraftigaste, för oss och våra ef- terträdare i styrelsen, att för hypoteksföreningens räkning oåterkalleligen iakttaga nedanstående bestämmelser: 1. Återbetalningen af kapitalet jämte räntan sker under de första tio åren genom utlottning med premier för innehafvarne enligt den på obligationernas baksida tryckta planen. 2. För detta ändamål företages dragning af de planmässiga serie- talen hvarje år den 1 oktober och dragning af de planmässiga nummer- talen den derpå följande 2 januari i Hamburg i närvaro af två notarier och ett befullmäktigadt ombud från föreningen eller af ett vittne, som angifves af herr Paul Mendelssohn-Bartholdy i Hamburg. Den första seriedragningen sker den 1 oktober 1859, den första nummerutlottnin- gen den 2 januari 1860. Den första premieutbetalningen äger rum den 1 juli 1860. 3. Resultaten af utlottningarne skola offentliggöras genom åtmin- stone en berliner- och en hamburger-tidning. 4. Betalningen af de genom utlottningarna faststälda beloppen sker den 1 juli efter dragningen kostnadsfritt till innehafvarne af de dragna obligationerna hos herr Paul Mendelssohn-Bartholdy i Hamburg eller hos herrar Mendelssohn et C:o och H. C. Plaut i Berlin. Utöfver de förfallna kapital- och räntebetalningarna godtgöras aldrig vidare rän- tor, och beloppet af felande kuponger afdrages vid återbetalningen. 5. Efter tio års förlopp, d. v. s. från den 1 juli 1869 sker för- räntningen af lånet med 4 procents årlig ränta i halfårliga delar den 2 januari och den 1 juli hvarje år efter kuponginnehafvarnes val kostnads- fritt i Hamburg eller Berlin hos de förut under n:r 4 angifna handels- husen. Amorteringen försiggår genom årliga utlottningar den 2 januari med 280 mark banko för hvarje obligation betalbar den derpå följande 1 juli. 6. Liqviden af räntorna samt af kapital-återbetalningspremierna sker i Hamburg i hamburger banko, i Berlin i preussiska thaler kurant till dagens kurs. 7. Kapitalåterbetalningar och räntor, hvilka ej återfordras inom fyra år efter deras förfallotid, tillfalla föreningen. 8. Skulle låneobligationerna brinna upp eller på annat sätt för- komma eller blifva odugliga, så är hypoteksföreningen skyldig att mot ersättning af derigenom för föreningen uppkomna kostnader, lemna nya obligationer i stället, sedan innehafvaren skaffat de erforderliga bevisen och sedan ett proklama utgått, hvarigenom de förkomna obligationerna blifvit dödade. 9. Hypoteksföreningen ställer på det sätt säkerhet för lanet, att oberoende af tidigare lån ett belopp af 10 000 000 mark hamburger banko i inteckningar i jordegendomar måste finnas i styrelsens ägo och 254 AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. under dess skydd och ansvar, hvilket hypotek endast får ligga inom första hälften af det vid skattläggningen lagligen faststälda värdet. 18. Hypoteksföreningen är också med afseende på detta lån un- derkastad kongl. svenska regeringens kontroll. Till säkerhet för det här sagda lofva och förplikta vi direktörer för hypoteksföreningen oss för oss sjelfva och våra efterträdare i styrelsen på det högtidligaste att hålla och iakttaga allt det, som af kongl. majestät i nåder föreskrifves till säkerhet för föreningens borgenärer. Vi direktörer förklara härigenom vidare för oss och våra efterträ- dare i styrelsen, att innehafvarne af obligationer hafva ända till det i hvar och en af desamma faststälda beloppet en obestridlig fordran hos hypoteksföreningen liksom en mot storleken af hvarje obligation mot- svarande andel i alla de rättigheter, villkor och fördelar, hvilka äro till- försäkrade samtliga obligationerna. Slutligen förplikta vi oss och våra efterträdare i styrelsen i hypo- teksföreningens namn och å dess vägnar till noggrant och hastigt upp- fyllande af förestående förpliktelser ingångna vid bolagsstämman mellan samtliga medlemmarne i hypoteksföreningen och sanktionerade af kongl. majestät, och bestrida för oss och våra efterträdare i styrelsen och i hypoteksföreningens namn invändningar och inkast af alla slag, hvilka skulle kunna anföras mot dessa våra utfärdade obligationer, särskilt den invändningen, att en allmän protest icke gäller, om icke de enskilta invändningarna i detalj anföras, vi bestrida invändningen om det miss- taget, att saken blifvit annorlunda nedskrifven än efter aftalet, vi be- strida rättigheten för oss att begagna oss af moratorium eller af med- gifvet uppskof för andra gäldenärer af deras betalningsförbindelser, vi bestrida den invändningen, att blott så mycket behöfver betalas som innehafvarne af obligationerna hafva gifvit i valuta för deras fordran, och öfverhufvud alla invändningar, som kunna härledas ur de svenska lagarne och den svenska författningen. Wexiö, den 20 juli 1858. . J. C. Keij. J. H. Forshæell. C. Küijlenstjerna. A. Hederstjerna. G. C:son Ulfsparre. J. C. Kuylenstjernc. C. v. Boisman. J. Axelson. Wilhelm Rappe.” Andra sidan. (Se vidfogade tabell). (Tillhör sid. 254.) Andra sidan. "Öfversigt af vinstdragningarna. Den första seriedragningen sker den 1 oktober 1859, den första nummerutlottningen den 2 januari 1860. Den första premieutbetalningen äger rum den 1 juli 1860. De följande dragningarna och premieutbetalningarna ske under de derpå följande nio åren på samma terminer. 1860. 1 stycke à mark 200 000 1 „ à „ 40000 2 „ à 10 000 mark „ 20 000 2 „ à 5 000 „ „ 10 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 24 „ à 700 „ „ 16 800 60 „ à 400 „ „ 24 000 800 „ à 224 „ » 179 200 1861. 1 stycke à mark 200 000 1 „à „ 40000 2 „ à 10 000 mark „ 20 000 2 „ à 5 000 „ „ 10 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 24 „ à 700 „ „ 16 800 60 „ à 400 „ „ 24 000 800 „ à 224 „ „ 179 200 1862. 1 stycke à mark 200 000 1 „ à „ 40000 2 ,, à 8 000 mark ,, 16 000 2 „ à 5 000 „ „ 10 000 10 „ à 1000 „ „ 10 000 28 „ à 700 „ „ 19 600 5 6 „ à 400 „ „ 22 400 1 000 „ à 232 „ „ 232 000 1863. 1864. 1 stycke à mark 200 000 1 stycke à mark 200 000 1 „à „ 40 000 1 „ à „ 35 000 2 „ à 8 000 mark „ 16 000 2 „ à 7 000 mark „ 14 000 2 „ à 5 000 „ „ 10 000 2 „ à 4 500 „ „ 9 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 28 „ à 700 „ „ 19 600 28 „ à 700 „ „ 19 600 5 6 „ à 400 „ „ 22 400 56 „ à 400 „ „ 22 400 1000 » à 23 2 „ „ 232 000 1000 „ à 240 „ „ 240 000 900 stycken mark 500 000 1865. 1 stycke à mark 200 000 1 „ 30 000 1 „à „ 8 000 3 „ à 4 000 mark „ 12 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 28 „ à 700 „ „ 19 600 56 „ à 400 „ „ 22 400 1 000 „ à 248 „ „ 248 000 1 100 stycken mark 550 000 900 stycken mark 500 000 1866. 1 stycke à mark 200 000 1 „à „ 20000 1 „à „ 10000 3 „ à 4 000 mark „ 12 000 10 „ à 1000 „ „ 10 000 28 „ à 700 „ „ 19 600 56 „ à 400 „ „ 22 400 1 000 „à 256 „ „ 256 000 1000 stycken mark 550 000 1100 stycken mark 550 000 1867. 1 stycke à mark 175000 1 „ à „ 25000 1 „à „ 8000 3 „ à 4 000 mark „ 12 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 36 „ à 700 „ „ 25 200 48 „ à 400 „ „ 19 200 1 060 „ à 260 „ „ 275 600 1160 stycken mark 550 000 1100 stycken mark 550 000 1 100 stycken mark 550 000 1868. 1869. 1 stycke à mark 170 000 1 stycke à mark 170000 1 » à 20000 1 „à „ 20000 1 » à » 8 000 1 „à „ 8 000 3 „ à 4 000 mark „ 12 000 3 „ à 4 000 mark „ 12 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 10 „ à 1 000 „ „ 10 000 34 » à 700 „ „ 23 800 34 „ à 700 „ „ 23 800 50 „ à 400 „ „ 20 000 50 „ à 400 „ „ 20 000 1060 » à 270 „ „ 286 200 1 060 „ à 270 „ „ 286 200 1160 stycken mark 550 000 1 160 stycken mark 550 000. De obligationer, som genom dessa tio dragningar icke amorteras, förräntas från den 1 juli 1869 efter 4 procent om året i halfårliga delar. Återbetalningen af dessa sker med 280 mark för stycket enligt de årliga utlottningar, som i följande utlottningsplan äro faststälda. Amorteringstabell. Nummerdragningarna för de obligationer, som enligt denna plan skola amorteras, äga rum hvarje år den 2 januari, betalningen för de utlottade pantbrefven den derpå följande 1 juli. Den första utbetalningen sker den 1 juli 1870. År. Stycken. År. Stycken. År. Stycken. År. Stycken. År. Stycken. 1870 843 1876 999 1882 1 183 1888 1 401 1894 1 659 1871 868 1877 1 028 1883 1 217 1889 1 441 1895 1 706 1872 893 1878 1 057 1884 1 251 1890 1 482 1896 1 755 1873 918 1879 1 087 1885 1 288 1891 1 524 1897 1 805 1874 944 1880 1 118 1886 1 324 1892 1 568 1898 1 857 1875 971 1881 1 151 1887 1 362 1893 1 613 1899 1 907 Tryckt i det kungl. preussiska statslotteriet." AFD IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 255 Till hvarje obligation höra 60 ränteqvitton eller kuponger utgö- rande tillsammans ett ark, hvaraf man afLlipper en kupong, som lem- nas i utbyte hvarje gång man uppbär en halfårsränta. Vi aftrycka här endast den första och sista kupongen. "J 1. Den första räntekupongen. J 1. hörande till premieobligationen, som blifvit utfärdad af den svenska hypoteksföreningen mellan jordägare i Småland och andra provinser. Ser. 218 J 4360 betalbar den 2 januari 1870. Innehafvaren af denna kupong emottager den 2 januari 1870 halfärsräntan för den ofvan betecknade låneobligationen å två hundra mark hamburger banko med fyra mark hamburger banko för hypoteksföreningens räkning hos herr Paul Mendelssohn-Bartholdy i Hamburg eller i preussisk kurant till dagens kurs hos herrar Men- delssohn et C:o och herr H. C. Plaut i Berlin. Wexiö, den 20 juli 1858. . (L. S.) J. C. Key. C. Küijlenstjerna. G. M. Ohlson. Räntor, hvilka ej lyftas inom fyra år från den i kupongen ut- satta betalningsdagen, tillfalla hypoteksföreningen”. "J 60. Den sextionde räntekupongen. J 60. Ser 218. J§ 4360. betalbar den 1 juli 1899. Vi öfvergå nu till beräkningen af värdet på en obligation för en gifven tidpunkt. Antages den procent, som obligationsköparen erhåller på sina pen- ningar vara == p, och sätter man det värde 280, hvarmed obligationen inlöses, = a, „ „ . 4, hvarmed hvarje kupong inlöses, = b , 256 AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. och för korthets skull 1 ( , p ) = , (1 + 100) samt Von, Vga,..........V,0 obligationens värden den 1 januari 1899, 1898, 1870 respektive, så får man obligationens värde den 1 juli 1899 =b + a = kupon- gens + obligationsbrefvets värde = 284. Vidare blifver Vgo = b(1 + c) + ac eller lika med värdet & af den kupong, för hvilken penningar lyftas genast den 2 januari 1899 . + det för i år rabatterade värdet bc af den kupong, för hvilken penningar lyftas den 1 juli 1899 + det för i år rabatterade värdet ac af det obligationsbref a, för . hvilken penningar lyftas den 1 juli 1899. Derefter finner man 1857 1907 V98 = 6(1 ++ 37θ4 ac + 3764 c2 V9g, d. v, s. = närvarande värdet af de båda kuponger, som utfalla den 2 ja- nuari och den 1 juli 1898 + närvarande värdet ac af obligationen a multiplicerad med 1857 sannolikheten 3764 att denna obligations nummer utfal- ler vid lottningen den 2 januari 1898 + närvarande värdet c2. V99 (d. v. s. V,9 rabatteradt tillbaka 2 halfår) af obligationens värde V99 den 1 januari 1899 1907 multipliceradt med sannolikheten 3764 att obligationens nummer ej utkommer vid lottdragningen den 2 januari 1898.* * Visste man med säkerhet, att obligationens nummer utkomme vid dragningen den 2 januari 1898 , så vore Vos = b(1 + c) + ac, visste man åter med säkerhet, att denna nummer vid nyssnämnda drag- ning ej kunde utkomma, så vore ^8 = b(1 + c) + c≡ Voo. Nu vet man intetdera, derför måste man vid beräkningen af vär- det V98 medtaga af så väl ac som af c2 V99 så mycket som sannolikhe- ten för inträffandet af hvardera bjuder. AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 257 Anm. Som bekant uttryckes sannolikheten för att en händelse A inträffar genom ett egentligt bråk, hvars täljare utgöres af antalet af för händelsen A gynsamma fall och hvars nämnare utgöres af antalet af alla för samma händelse möjliga fall, gynsamma och ogynsamma. Här visar sig af bifogade amorteringstabell, att antalet gynsamma fall för att obligationens nummer utkommer vid lottningen den 2 januari 1898 är 1857 samt att summan af alla då ej ännu (strax före dragnin- gen) utkomna lotter utgöra 1857 + 1907 = 3764. På samma sätt erhålles med ledning af amorteringstabellen V, = b(1 + c) 1805 + 5569 + 3764 27 5569c Pos’ V,o - 6(1 + c) 1755 + 7324 CC + 5569 7324 C Yo7 ’ V,s - &(1 + c) 1706 + 9030 αc + 7324 9030c 96 ’ V. = za + c) 1659 + 10689 CC + 9030 , 106890 08 ^3 == V(1 + c) 1613 + 12302C + 10689 F 12302 Vo == 5(1 + c) 1568 + 13870C + 12302 13870c2 Yoa Va = 6(1 + ) 1524 + 15394 αc + 13870 , 15394 c2 02 ^0 - 6(1 + c) 1482 + 16876 αe + 15394 16876c Vao = 0(1 + c) 1441 + 18317 C + 16876 . 18317e 90' • I 88 =J( + c) 1401 + 19718 C + 18317 19718e 89‘ Va = 5(1 + c) 1362 + 210804C + 19718 . 21080e 88‘ 7 r 86 = 0(1 + c) 1324 + 22404 C + 21080 22404e 87 V. = 5(1 + c) 1288 + 23692 C + 22404 23692e 86‘ Va - 0(1 + c) 1251 + 24943 C + 23692 a 24943e 1217 24943 V83 — 0(1 + c) + 26160a C + 26160 2 Vs» 258 AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. v 1183 - 5(1 + c) + 27343 C 26160 27 + 27343 83’ 1151 27343 V81 == b(1 + c) + 28494C + 28494 1118 28494 F 80 - + + 29612 C + 29612 -Y81 1087 29612 V, = ö(1 +0) + 30699°C + 30699c^ Y8o? 1057 30699 V,s = 801 + e) + 31756 C + 31756 2 Yror 1028 31756 V„ - 5(1 + c) + 32784C 1 32784 999 32784 τ ‘ 76 - 5(1 + 0) + 33783 C + 33783 Pr 971 33783 v. == 6(1 + c) +34754C + 34754 3 ro: 944 34754 F 74 = + 0) + 35698 C + 35698 2 918 35698 v. = + ) + 366160 + 36616C 774’ 893 36616 - 5(1 + c) +37509CC + 37509 2 Y13 868 37509 y 71 - ++ 38377 C + 38377 2 843 38377 V,o = 5(1 + c) + 39220 C + 39220 2 Pre Summan af två på samma rad stående sifferbråk utgör all- Anm. tid 1, emedan det ena bråket uttrycker sannolikheten för att en hän- delse inträffar och det andra sannolikheten för att samma händelse icke inträffar. Det är anmärkningsvärdt att talen i täljarne af den första vertikalraden temligen nära bilda en aritmetisk serie af andra ordnin- gen. Tager man successivt skilnaden mellan två på hvarandra följande täljare, uppstår nämligen en aritmetisk serie, hvars första term är 50 och sista term 25 (allt ungefärligen). För aren 1860—9 finnas inga kuponger. Vid dessa år förekommer utom nummerdragningen den 2 januari, äfven en seriedragning den 1 oktober (dock ej år 1869). Men som texten till obligationen ej på nå- got ställe gifver vid handen, hvarken huru många serier vid hvarje se- riedragning skola utlottas, ej heller huru många nummer af hvarje serie vid nummerdragningen skola förekomma, är det ej möjligt att beräkna AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 259 värdet för tidpunkten den 1 januari, utan välja vi derför under dessa ar i stället tidpunkten den 1 juli och beteckna obligationens värden den 1 juli 1869—59 med respektive V’i V..... V'm. Med ledning af öfversigten på obligationens andra sida finner man V. - V d. v. s. = obligationens värde den 1 januari 1870, reduceradt till den 1 juli 1869 550000 2 39220 V'os - 40380 ∙c2 + 4038002 Y 69 Anm. 550000 är = summan af de vinster, som utdelas 1869 den 1 juli. 39220 = antalet af den 1 juli 1869 ännu qvarstå- ende outlottade obligationer. 40380 = 39220 + 1160 antalet af den 1 juli 1868 ännu qvarstående outlottade obligationer. 550000 40380 167 41540T41540 68’ . 550000 o 41540 66 - 42700 c2 + 42700 2 V'67 : 550000 42700 43800 c43800 66’ τ 550000 43800 τ Poa - 44900 ée + 44900c2 > 550000 44900 46000 C - 46000 64’ y _ 550000 , . 46000 47100 C ‘ 47100 63’ 550000 47100 48200 C48200 κ 62 ‘ , 500000 a 48200 Poo = 49100 c2 + 49100 2‘81 1 • _ 500000 2 49100 ‘s9 - 50000 c + 50000 Y60 Efter verkställande af här tecknade räkningar finner man obliga- tionens värde 260 AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ ÉN PREMIE-OBLIGATION ETC. 4 %. 5 %. 6 %. 1899 den 1 juli vara mark 284,00 — 284,00 — 284,00 1899 den 1 jan. 3 282,48 — 281,16 — 279,85 1898 55 23 280,99 — 278,35 — 275,81 1897 J> » 279,53 — 275,64 — 271,90 1896 19 278,09 - 272,99 - 268,10 1895 » 21 276,67 - 270,40 - 264,40 1894 29 1 275,28 — 267,88 — 260,82 1893 97 55 274,44 — 265,90 — 257,82 1892 55 273,01 — 263,41 — 254,36 1891 55 271,63 — 260,98 — 251,02 1890 ?> 270,28 - 258,63 - 247,78 1889 55 268,97 - 256,34 - 244,64 1888 » 5, 267,68 — 254,10 — 241,60 1887 » » 266,41 — 251,92 — 238,65 1886 » 2 265,18 — 249,80 — 235,79 1885 1 » 263,97 - 247,73 - 233,02 1884 » » 262,78 — 245,71 — 230,33 1883 2 » 261,61 — 244,25 — 227,72 1882 » 23 260,46 — 242,28 — 225,17 1881 » 259,35 - 240,37 - 222,25 1880 » 258,25 — 238,50 — 219,91 1879 9 2 257,17 — 236,68 — 217,63 1878 » » 256,11 — 234,90 — 215,41 1877 2 ' 29 255,08 - 233,17 - 213,26 1876 » 23 254,05 - 231,49 - 211,16 1875 » » 253,06 — 229,84 — 209,13 1874 » 19 252,08 — 228,23 — 207,15 1873 » 5> 251,11 — 226,66 — 205,49 1872 » » 250,16 — 225,14 — 203,59 1871 55 29 249,24 — 223,65 — 201,76 1870 2) 248,32 — 222,20 — 199,98 1869 den 1 juli 97 243,49 — 216,85 — 194,24 1868 5> 240,50 - 213,56 — 190,83 1867 5, » 237,53 - 210,32 - 187,49 1866 » 2 234,57 — 207,13 — 184,22 1865 » 29 231 97 — 204,27 — 181,28 1864 , 22 229,35 — 201,43 — 178,38 1863 9 5J 226,75 — 198,64 — 175,54 1862 92 22 224,17 - 195,89 - 172,76 1861 » 2 221,60 - 193,17 - 170,02 1860 » » 218,97 - 190,30 - 167,07 1859 32 216,38 — 187,50 — 164,20. AFD. IV. BERÄKNING AF VÄRDET PÅ EN PREMIE-OBLIGATION ETC. 261 Antager man, att obligationen såldes den 1 juli 1859 för jemnt 200 mark, finner man genom interpolation, att den verkliga räntefoten är 4,543 procent. Tager man nämligen differenserna, finner man △ (4 %) = - 28,88 Δ (5 %/o)-----23,30 och häraf A-(4 %/o) = + 5,58. Enligt Newtons interpolationsformel n(n — 1) Un = %o + "Yo + 1.2 •o + ... blir således 12—n 200 = 216,38 - 28,88n +2.5,58, eller efter hyfsning n2 — 11,352n + 5,871 = 0, som gifver n, = 0,543, n2 = 10,809. Men som n här bör vara ett egentligt bråk, finner man procen- ten vara = 4 + 0,543.(5—4) = 4,543. Stockholm, den 21 december 1871. F. W. Hultman. 262 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. Anmälan och granskning af böcker. 1. SEGERSTEDT, A., Geometrien i folkskolan och för nybegyn- nare. Metodiska anvisningar. Karlstad 1871. 51 sidor. Häftad. 50 öre. Arbetet är indelt i tre kapitel. Det första innefattar en i öfver- ensstämmelse med Bergii ‘geometri och linearteckning< metodiskt ord- nad kurs i geometrisk åskådningslära. I det andra får man lära sig att beräkna ytan af en parallellogram, triangel, månghörning, cirkel, cylinder, kon och klot (dock utan bevis för klotet); att finna rymden af en parallelepiped, ett prisma, en cylinder, pyramid, kon och klot, äf- vensom att lösa några dermed sammanhängande uppgifter. Det tredje kapitlet innehåller några af satserna i förra hälften af Euklides' första bok med stränga bevis. Boken, som till stor del är utgifven såsom en ledning för läraren, är enkelt och klart skrifven samt förråder mycken pedagogisk erfarenhet, hvarför den synes oss lämplig för sitt afsedda ändamål. Endast i några smärre punkter tillåta vi oss några anmärk- ningar. Sid. 4. Här säger förf., att en lärjunge på frågan: “hvad kallas en yta, som inneslutes af en korda och en båge? « skall svara: «den yta, som inneslutes af en korda och en båge, kallas segment.« Rigti- gare är det att svara helt enkelt: “ett segment«. Logiken fordrar nämligen, att svaret angifver det uttryck; som skall sättas i st. f. frå- geordet. Sid. 8. Författarens definition, att kantvinkel är rummet mellan två ytor, som skära hvarandra, öfverensstämmer ej med författarens defi- nition på linievinkel (« öppningen mellan tvenne linier«) och är dessutom svårfattlig, emedan det mellanliggande rummet är oändligt stort. Sidd. 24 och 25. Här visar förf, huru ytan af en rektangel finnes endast då sidorna betyda hela tal, men låter sedermera icke desto min- dre sidorna äfven få brutna talvärden. Samma anmärkning gäller för- fattarens framstälning af sättet att beräkna rymden af en kub (sidd. 37 och 38). Sid. 32. Näst sista raden. Framför «3,14« böra tillsättas orden «i det närmaste«. Sid. 41. Referenten har ej lyckats förstå, (ehuru det möjligen bör vara ganska lätt,) huru förf, tänker sig en parallelepiped med qvadra- tisk bas sönderdelad i fem pyramider med samma höjd som pyramiden, af hvilka en har till bas parallelepipedens qvadratiska bas och de öfriga fyra hafva till baser rektanglar lika stora med halfva basen. Emedlertid möter det inga svårigheter att uppdela en parallelepiped hvilken som AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 263 helst i tre lika stora pyramider, som till baser hafva tre af parallelepi- pedens bestämmande sidoplan och till spets en af parallelepipedens vin- kelspetsar. Förf:s arbete är värdt erkännande derför, att han på ett enkelt och klart sätt visar de vigtigaste af elementar-geometriens sanningar vid mätning af plana och solida figurer och derigenom tidigt inviger nybör- jaren i elementar-geometriens kanske mest fängslande kapitel. F. W. HULTMAN. 2. ALBR. SEGERSTEDT. Hufvudräkningskurs för folkskolor och nybe- gynnare. Utarbetad af A. Segerstedt, seminarie-adjunkt. Karlstad. 1871. E. Kjellin. 124 sidor. 8:o. Häft. Pris: 90 öre. Det hör till vår tids företräden att hafva framalstrat läroböcker, der tillbörligt afseende blifvit fästadt på pedagogikens fordringar. Sär- skilt gäller detta i afseende på läroböcker för barn. Om å ena sidan intet synes lättare än att skrifva en lärobok för barn, alldenstund de derför erforderliga kunskaperna äro ganska obetydliga, så torde å andra sidan knappast något vara svårare, enär läroboksförfattaren skall kunna helt och hållet ställa sig på barnets ståndpunkt, göra sig fri från en mängd förutsättningar, som för honom synas axiomatiska, men som för barnet ej äro det, samt ytterst långsamt gå framåt. Den som ej hand- lagt barnaundervisning kan ej göra sig en förestälning om de oerhörda svårigheter barnaundervisaren har att bekämpa, så framt han ej har för- mågan att uppfylla de här angifna fordringar. Vid felaktig barnaunder- ning sättes lärarens tålamod på de hårdaste prof, för hvilka han mån- gen gång dukar under, och i stället för att erkänna felet ligga i hans egen undervisning, händer det ofta, att han tilldelar barnet skymford, eller att han om barnet fäller nedsättande omdömen, sådana såsom t. ex. att det är dumt, enfaldigt o. s. v. Den’ som skrifver dugliga läroböcker för barn, gagnar således ej ensamt derför att han lägger en god grund till ett nyttigt vetande och derför att han meddelar lärarne sättet att göra undervisningen angenäm, han gagnar barnen äfven i moraliskt hänseende derigenom, att han besparar dem många till intet tjenande snäsor, be- friar dem från mycket gnat och sålunda äfven från ingalunda efterföl- jansvärda föredömen. Han gifver barnet hvad detta tillhörer. Han vi- sar detsamma den aktning, hvartill detsamma sås m en Guds afbild är berättigadt. Han uppfostrar i viss mon barnalärarne, han utbreder hu- manitet i verlden. Ett arbete i denna rigtning är i fråga varande hufvudräkningskurs af Segerstedt. 264 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. Segerstedts arbete är indeladt i 6 kapitel Första kapitlet 19 sidor behandlar talet 1—5 andra tredje fjerde femte sjette „ 17 „ „ „ 6—10, „ 17 „ „ „ 11—15, 18 „ „ „ 16-20, » 28 „ „ „ 21-100, „ 24 „ „ „ öfver 100 jämte sorters reduktion och tillämpning af de fyra räknesätten. Redan af denna indelning visar sig en pedagogisk anordning. Öfver halfva arbetef eller 71 sidor äro egnade åt talen 1—20, och af dessa 71 sidor är den drygare fjerdedelen afsedd för talen 1—5. Ser man närmare på innehållet, skall man äfven der finna pedagogikens for- dringar tillgodosedda. Sålunda utgöres hvarje kapitels ena hälft af ad- ditions- och subtraktionsöfningar, andra hälften af multiplikations- och divisionsöfningar. På begge slagen af divisionsfrågorna förekomma ex- empel. Arbetet består till största delen af idel fragor rörande konkreta exempel i systematisk ordning vanligen utan svar. Som exempel på förf:s metod anföra vi några: Sid. 5. «Uppskrif med siffror huru många fötter du har! „ , streck „ „ tår du har på hvarje fot! „ „ siffror „ „ fötter en oxe har! „ „ streck „ „ horn han har! „ „ siffror „ „ horn en hund har!« Sid. 7. «En bonde hade ett par hästar; deraf såldes 1, och 1 bortbyttes mot en annan häst, huru många hade han sedan ?« Sid. 10. «En svala förde till sina ungar 2 flugor, 1 humla och 1 geting; — då hon kom tillbaka, var blott en fluga qvar; huru många insekter hade ungarne uppätit?« Sid. 21. «På ett tak sutto 6 foglar, både sparfvar och ärlor; huru många af hvardera slaget?« (Bra påhittadt exempel!) Sid. 27. «I en ask lågo 5 tändstickor; deraf användes 3 på mor- gonen och lika många på aftonen; huru många äro se- dan qvar?« Detta exempel är anmärkningsvärdt för dess sokratiska metod. Särskilt erkännande förtjenar förf:s sätt att före räkningen med talen 21, 22, 23 .... räkna med talen 10, 20, 30, o. s. v., ehuru vi skulle önskat att förf, i allmänhet skarpare accentuerat vigten deraf, att sedan man räknat ett tiotal med enheter af lägre ordning, man bör öfva sig med enheter af högre ordning, innan man börjar att räkna med tal sammansatta af enheter af begge slagen. AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 265 Den pedagogiska gången synes oss böra vara följande: 1) Γ äkning ; med talen 1, 2, 3, .. .. 9, 2) 22 2 2 10, 20, 30, .. .. 90, 3) » 57 11, 12, 13,.. .. 99, 4) 2 » 2 100, 200,300,.. .. 900, 5) » » 2 101. 102, 103, .. .. 999, Vi gilla derför ej, att förf, ställt talet 100 i samma kapitel, der talen 21—99 stå. Några andra små anmärkningar ha vi ock att göra: Sid. 5. Sista raden Talet 5 är betecknadt med 6 streck. „ 7. Ex. 17. Star: «den« och “en annan«; läs: JC % C -5 P . - ,3 1 % $ - %.A obu 4 -T . . 7.5 S 1 R Y SRTYS *1594.1 " +. 5 .2.