A à 1 } 4. 5 1 3 Ls 'T 45 0 W. 74 * “ CI , A. V , % ties 5+ 4 ‘. ) ri. . X co ,5s 8 4.7,, ,M hoi 1a Vap. 1e. M. TsY% % i, •* I. w. G.hg OAF: p W A 4- EIBL0TEK STOCKHO 1 05RGOGISR, BIBLIOTEKET ) : : TocKHOU% TIDSKRIFT FÖR MATEMATIK oca FYSIK, TILLEGNAD DEN SVENSKA ELEMENTAR-UNDERVISNINGEN, UTGIFVEN AF DIR GÖRAN DILLNER ADJUNKT I MATEMATIK VID UPSALA UNIVERSITET (HUFVUDREDAKTÖR), D:R FRANS W. HULTMAN D:R T. ROB. TΞALEN LEKTOR VID STOCKHOLMS HÖGRE ELEN.-LÄROVERK. ADJUNKT I FYSIK VID UPSALA UNIVERSITET TREDJE ΛRGANGEN. 187 0. MED SEX TAFLOR. ------0* edÂGOGisk, BIBLIOTEKET UPSALA, TOCKHCU . W. SCHULTZ. UPSALA 1870, AKADEMISKA BOKTRYCKERIET, ED. BERLING. Innehåll. AFDELNING I. UPPSATSER. Sid. : Björling (senior), om de reguliera polyëdrarne...........145. Dillner, Schematisk framställning af läran om jemnlöpande (pa- rallela) linier ..........................................1. Hultman, Svenska aritmetikens historia.............7, 49, 243. „ potensläran.............................................250. Satser, af Broman, 96; Cavallin, 104; Frykberg, 100; Hallström, 110 ; Hellgren, 99; Janzén, 101; K... a, 109; Lagerdahl, 110; Lindman, 98, 101 ; Svenson, 101. Satser, lösta af Cavallin, .164, 167, 168; Lagerdahl, 172; Allida Rossander, 175; Stenborg, 173; Åkerlund, 170. Prisuppgiften för 1869 .................................... 22. Prisuppgift för 1870 ........................................23. AFDELNING II. Uppsatser. Almqvist, deduktion af serierna för Sin x och Cos x........121. Boije, volym af revolutionssolidum.............:...........193. Dillner, grunddragen af den geometriska kalkylen . . . 30, 111,176. „ , definita integraler af synektiska funktioner..........257. Fall, om developpabla ytors kurvaturlinier.................123. „ , om kedjebråk...........................................197. Leffler, integration af en differentialeqvation.............28. Steen, d:o„„ d:o .................24. SATSER, af Cederblom, 133; Lagerdahl, 133; Lindman 201. . SATS, löst af Åkerlund, 128. Prisuppgift för 1870 43. AFDELNING III. Uppsatser. Phragmén, Guldins teorem...................................202. Wackerbarth, om den stora pyramiden i Gizeh..................205 AFDELNING IV. Anmälan AF Böcker. Läroböcker af Bergius, A. T., 47; Nyberg, B. A., 133; Guldberg, A. S., 135, 233; Mundt, C. B., 225, 227; Bergroth, J. E., 227 ; M0ller, C. F. C., 228, 232; Steen, A., 231; Cronhjelm, P. E. (Sylwan, O. C.), 234, 237. Solen, populära föredrag af C. F. Björling sid. 239. Sur le mouvement rectiligne d’une molécule etc. af G. F. Björling „ 138. Utkomna arbeten 140, 240, 289. Nogle Bemærkninger om Integration af Differentialligninger, Steen, A.................................................................. 44. Svar till lösningar af satser gifna af A. E. Hellgren, F. W. Alm- qvist, C. Y. N. Svenson, A. F. Petterson .......................„ 144. Till Hrr Författare...................................................„ 141. Svar och rättelser med anledning af granskade skrifter: Phrag- méns trigonometri, Bergii räknebok..............................„ 138. Breflåda .............................................................. „ 144. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1870 .............„ 141. „ „ ,, h. t. 1870 ............„ 286. Studier öfver sista jernvägslånet af F. W. Hultman.....................„ 278. Politisk sifferlek.............................../.....................„ 290. Till vår Allmänhet.............................................„ I. AFDELNING I. Schematisk framställning af läran om jemnlö- pande (parallela) linier * Af GÖRAN DILLNER. Förberedande satser Definitioner och förklaringar. Då vi här tala om punkter, linier och figurer, så un- derförstås alltid, att de ligga i samma plan. * Läran om jemnlöpande linier har med afseende på den bekanta förutsättningen (”Euklids axiom”) ständigt utgjort ett kors för den, som sökt systematicera den elementära geometriens satser. En hel literatur af mer eller mindre vidlyftiga arbeten har uppstått öfver detta, som det synes, enkla ämne; och de utmärktaste geometrer, såsom t. ex. Legen- dre, hafva deråt egnat tid och möda. Något fullt tillfridsställande re- sultat har dock, så vidt vi hafva oss bekant, hittills icke vunnits. Då ämnets elementära natur fordrar en utveckling, som icke allenast bör vara strängt logisk och systematisk, utan äfven nog enkel och lättfatt- lig för att motsvara sitt pedagogiska ändamål, så har det vanligen in- träffat, att hvad som vunnits i det ena afseendet motsvarats af en för- lust i det andra. Svårigheten synes, åtminstone ur pedagogisk synpunkt, bli väsendtligen modifierad, om man i stället för begreppet vinkel inför det mer ursprungliga begreppet vridning med sitt naturliga mått cirkel- bågen; att vridning är det ursprungligare begreppet framgår deraf, att vinkelbegreppet, sådant det hör vara bestämdt för att vara tjenligt inom geometriens alla grenar, förutsätter för sin förklaring ( ” deskription ” ) vridningen. I stället för ”Euklids axiom” får man med denna utgångs- punkt en ur rumåskådningen omedelbart framgående enkel grundsats, hvilken såsom absolut enkel icke kan bevisas. Ur denna grundsats lå- ter läran om jemnlöpande linier lätt och enkelt utveckla sig. ** Vi upptaga här endast de satser, som äro oundgängligen nöd- vändiga för vårt ämnes utveckling, med uteslutande af alla sådana, lvilka från Euklides eller någon annan känd geometri kunna åberopas. 1 2 ATD. I.OM JEMNLÖPANDE LINIER. 1. Då en rät linie ligger kongruent på en gifven rät linie med sin ene ändpunkt fäst och den andre rörlig, så kallas den rörelse, som beskrifves af en sådan linie, för vridning; den gifna linien kallas grundlinie, den rörliga ben och den mellan dessa linier bildade ytöppningen vinkel. Ta- lar man om vridning utan vidare tillägg, så underförstås alltid, att hon sker från höger till venster eller motsols; är det på en gång fråga om tvenne eller flere vridningar, så underförstås, att de alla ha lika ben ; förekommer uttryc- ket successiva vridningar, så förstås dermed, att den efter- följandes ben utgår från den föregåendes ben som grundlinie. Fästes icke något afseende vid, från hvilkendera linien vrid- ningen sker, så kallas både grundlinien och benet med det gemensamma namnet ben. 2. En rät linies vridning mätes af den cirkelbåge, som beskrifves af hennes rörliga ändpunkt. Likhet mellan tvenne vridningar betyder således detsamma som likhet mellan de- ras bågar, och tvenne vridningars summa eller skilnad mä- tes af deras bågars summa eller skilnad. Anm. Den af benet beskrifna bågen bestämmer tillika benets rigtning från grundliniens rigtning, då nämnligen dessa rigtningar anses gå från den fasta punkten till hvar sin af bågens ändpunkter. Följ dsatser. a) Det är för bedömandet af en rigtning eller vridnings stor- lek likgiltigt, från hvilken punkt af grundlinien benet utgår. b) Lika vridningar göra de mellan benen inneslutna vink- lame lika *. 3. En linie** är jemnlöpande med en rät linie, om * Af cirkelns definition följer nämnligen, att bågar af samma eller lika cirklar täcka hvarandra, hvaraf omedelbart framgår kongruens mel- lan vinklarne. ** Man lägge märke till, att vi här säga linie utan vidare tillägg, hvilken således kan vara rät eller krokig; det gäller sedan att bevisa, att hon är rät. Man har på detta sätt i sjelfva definitionen inlagt ett AFD. I. OM JEMNLÖPANDE LINIER. 3 hvarje hennes punkt är på lika afstånd* från den räta linien. Följdsats. a) Två jemnlöpande linier träffas icke, om de tänkas oänd- ligen utdragna. GRUNDSATS**. 4. Summan af två successiva vridningar är = hela den vridning, som den senares ben bildar med den förstas grund- linie. 1:o. Antingen utgå de begge benen från samma punkt såsom i fig. 1, då summan af de två successiva vridnin- garna a och β omedelbart framgår såsom = hela vridningen y. 2:0. Eller ock utgår den senare vridningens ben från någon punkt på den förstas ben såsom i fig. 2, då med kriterium pa jemnlöpning, hvilket lika val later tillämpa sig pa den kor- taste linie, hvilken icke på något sätt kan utdragas, som på den obe- gränsadt utdragna. För öfrigt har denna definition företrädet att vara fullt allmängiltig, så att hon gäller lika väl för de krokiga som de räta linierna. * En punkts afstånd från en rät linie förutsätter definitionen på rät vinkel, som (i enlighet med Mundt) är en half ”rak” vinkel, hvil- ken åter uppkommer, då benet vrides så, att det sammanfaller med grund- linien åt motsatt hall. Af denna bestämning på rak vinkel härledes omedelbart likhet mellan ” vertikalvinklarne,” hvilken sats vi snart komma att åberopa. ** Denna grundsats kan äfven uttalas under endera af följande former. a) Om genom tre successiva vridningar den sistas ben kommer att falla till hopa åt motsatt håll med den förstas grundlinie, så gör deras summa en rak vinkel. b) Om genom tre successiva vridningar den sistas ben kommer att falla till hopa åt samma håll med den förstas grundlinie, så gör deras summa en hel omkrets. De två synpunkterna 1:o och 2:0 tillämpas äfven här. Med afseende på satsen b), sedd ur synpunkt 2:0, jfr Etudes géo- métriques sur la Theorie des parallèles par N. J. Lobatschewsky, traduit par J. Hoüel, pag. 35. 4 AFD. I. OM JEMNLÖPANDE LINIER. stöd af § 2 a) summan af de två successiva vridningarna a och ß måste vara = hela vridningen y*. Följ dsatser. a) I en triangel är »yttre» vinkeln = summan af de två » inre. » Denna sats framgår omedelbart ur fig. 2, då ß utby- tes mot sin lika vertikalvinkel (jfr § 3, not*). b) I en triangel är summan af de tre vinklarne = en rak vinkel. Denna sats framgår omedelbart ur fig. 2, då man till den yttre vinkeln å ena sidan och till summan af de båda inre å den andra lägger fyllnadsvinkeln i en rak. c) I en fyrhörning är summan af de fyra vinklarne = 2 raka. Denna sats framgår omedelbart deraf, att fyrhörnin- gen är uppdelbar i två trianglar. . * Det är satsen ur denna senare synpunkt, hvarpå parallel-teorien ytterst hänger. Såsom, koordinerad med denne (d. v. s. af den ene som grund framgår den andre som följd) ha vi följande sats: om en rät linie flyttas öfver två fasta räta linier med fix rigtning i förhållande till den ena, så är ock hennes rigtning fix i förhållande till den andra. Så t. ex. om OC i fig. 1 flyttas öfver de fasta linierna OA och OB till läget 0'0 i fig. 2 med rigtningen β fix, så är ock rigtningen γ fix, och tvärtom (jfr förut cit. arbete pag. 37). Hvilken af dessa satser man än sätter som den förste, så är han absolut enkel och kan såsom sadan icke bli före- mål för någon bevisning. Här har man att välja mellan l:o att admit- tera såsom axiomatisk endera af desse enkla satser, eller ock 2:0 att genom en mödosam omväg (till den sferiska triangeln och derifrån ge- nom en limesöfvergång till den plana) söka träffa en grundsats för pa- rallel-teorien. Om man ock ur pedagogisk synpunkt obetingadt måste välja det förra alternativet och det så mycket heldre, som den ene eller andre satsen kan åskådliggöras genom en rätt enkel undervisningsma- teriel, så kan man å andra sidan icke underlåta att beundra den veten- skapliga rigorism, som ligger i det senare (se förut cit. arbete), äfven om man från den rigorösa synpunkten skulle hysa betänkligheter vid att genom en limesöfvergång öfverflytta den sferiska triangelns egenska- per på den plana, då nämnligen aldrig sferens yta kan identiskt sam- manfalla med planet. . AFD. I. OM JEMNLÖPANDE LINIER. 5 SATS I. . 5. Om en rät Linie råkar två gifna räta linier och gär vinklayne på sin ena sida tillhopa = en rak, så gör ock hvarje annan råkande linie vinklarne på sin ena sida tillhopa = en rak. Vi låta AB (fig. 3) vara den råkande linien, som gör vinklarne a + β = en rak. Denna linie och den andra rå- kande linien bilda med de två gifna antingen en fyrhörning såsom A BCD eller ock en triangel såsom ABE. I förra fallet följer beviset omedelbart ur § 4 c); i det senare fal- let framgår beviset deraf, att a + Pjemute de tre vinklarne i triangeln göra till hopa två raka, da alltså, om vinklarne vid B tagas bort, de återstående vinklarne DA E och A EB göra tillhopa en rak. Följdsats. a) Om en rät linie råkar två gifna räta linier och gör vink- larne på sin ena sida tillhopa = en rak, så gör denna äfvensom hvarje annan råkande rät linie » alternatvink- larne» lika. Denna sats följer omedelbart ur figuren. Sats II. 6. En linie, som är jemnlöpande med en rät linie, är sjelf rät. Vi taga tre punkter A, B, C (fig. 4) på den jemnlöpande linien och låta deras »fotpunkter» på den räta vara resp, a, b, c. Vi förena den medlerstes fotpunkt b med A och C, då trianglarne ABb och baA bli kongruenta [§ 5 a) och Eukl. I: 4*] och således vinkeln ABb rät. På samma * Den här gjorda utvecklingen af läran om jemnlöpande linier för- utsätter första och tredje fallet af trianglars kongruens, hvarför hela kongruensläran torde lämpligen böra ställas framför läran om jemnlöpande linier i följande system. 1:o) Kongruensfallet: två sidor och mellanliggande vinkeln. F ölj dsatser. a) Basvinklarne i den lihbenta △ äro lika. (Bevisas bäst genom kongruens mellan A ABC och den omvända AACB, då A B = A C och A C = A B. b) Ben vinkeln är större, som står mot en större sida. 6 AFD. I. OM JEMNLÖPANDE LINIER. sätt bevisas, att den andra vinkeln vid B är rät, då alltså A, B, C ligga i rät linie, d. v. s. en tredje punkt alltid i rät linie med två och följaktligen alla punkterna i rät linie. Följ dsatser. a) En rät linie, som är vinkelrät mot en af två jemnlö- pande räta linier, är ock vinkelrät mot den andra. b) Om eh rät linie råkar två jemnlöpande räta linier, så gör hon vinklarne på sin ena sida tillhopa — en rak och alternatvinklarne lika. Denna sats följer omedelbart ur a) med stöd af de båda satserna i § 5. Sats III. 7. Om en rät linie råkar två räta linier och gör vink- larne på sin ena sida tillhopa = en rak eller alternatvinklarne lika, så äro de två räta linierna jemnlöpande. Vi taga två punkter A och B (fig. 4) på den ena linien och låta a och b vara deras resp, fotpunkter på den andra. Genom att förena A och b, så fås kongruens mellan triang- larne Aab och bBA (§ 5 a) och Eukl. I: 26), då alltså Aa = bB, d. v. s. ett afstånd = ett annat, taget hvar som helst. Linierna äro följaktligen jemnlöpande. 2:o) Kongruensfallet: tre sidor. 3:o) Kongruensfallet: två vinklar och en sida. Följdsatser. a) Om vinklame vid basen äro lika, så är triangeln likbent. (Bevisas direkt i enlighet med 1:0 a)). b) Den sidan är större, som står emot en större vinkel. c) Två sidor i en triangel är större än den tredje. d) Af alla linier, som kunna dragas från en punkt till en rät linie, är den vinkelräta' minst och sedan större ju aflägsnare från henne; blott tvenne lika kunna dragas, en på hvardera sidan om henne. 4:o) Kongruensfallet: två sidor och en icke mellanliggande vinkel samt den tredje vinkeln antingen spetsig eller icke spetsig i båda. Härefter följer läran om jemnlöpande linier och parallelogramen och sist (i enlighet med Mundt) konstruktionssatserna (problemen). AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 7 Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 113, Årg. II). 6. ANDERS BURE.* Denne man är den förste, som sökt införa tiodelnin- gen i mått, mål och vigt i vårt land, och detta på en tid, då decimalräkningen knappt var känd. Visserligen har Anders Bure ej efterlemnat några tryckta skrifter angående denna fråga, men i J. T. Bures ** handskrifna collectanea * Anders Engelbrektsson Bure föddes 1571 och dog 1646. Fadren var kyrkoherde i Själevad i Ångermanland. Anders Bure var en äldre broder till Olof Bure, för hvilken vi hafva redogjort i denna tidskrift, årgång I, sid. 148. Han blef kongl. sekr. år 1619, adlad 1624, Abgesandt till Ryssland vid Stolbovafredens afslutande. 1640 blef han assessor i krigskollegium. Hans ätt utgick med sonsonsonen Axel Eriksson Bure, som stupade i slaget vid Helsingborg 1710. An- ders Bure, liksom många andra lärde på hans tid, var en mångsidig man. Så var han på en gång öfverste, arkitekt och generalmatematikus. Han har gjort sig känd genom utgifvande af de första någorlunda på- litliga kartor öfver Skandinavien. Hans skrifter äro: 1. Orbis Arctoi inprimisque Regni Sueciæ nova et accurata de- scriptio. Stockholm 1626 fol., Lugd. Bat. 1633. 2. Tabula continens observationes in Linguam Suionicam et Fen- nicam. Anm. Dessa uppgifter äro hemtade ur Biografiskt lexikon och ur Anreps Svenska Adelns ättartaflor. Enligt Biogr. lex. är Anders Bure yngre än Olof Bure, hvilken uppgift torde vara den rigtiga. ** Johan Tho mæ Bureus föddes 1568 i Åkerby, der fadren var kyrkoherde. Johan Bureus var Gustaf Adolfs lärare. Han innehade nå- 8 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. på Stockholms K. Bibliotek finna vi tabeller med öfver- skrift Andr. Burei räkning 1637, hvilka utvisa huru många kannor motsvara 100, 100...100 af en öltunua (== 48 kannor), kannor och stop. . . . 100...100 „ » åm (== 60 kannor), fjerdingar och fat. . . 100.. . 100 „ „ tunna (== 8 fjd = 40 fat), qvintin, ort och ass . . 100... 10 „ ett lod (= 4 qv. = 16 ort = 320 ass), qvintin, ort och ass . . 100 . . .100 „ ,, skålpund (= 32 lod), lispund och mark . . . 100...» skeppund (=20 lisp. =400 mark). Det är anmärkningsvärdt, att denna idé af Anders Bure att indela mått, mål och vigt i Sverige blef realise- rad först år 1855 eller 218 år efteråt, och ändock är Sverige ett bland de land, som först tillegnat sig denna fördel. 7. HENRIK OLOFSSON HORTULANUS. Dennes räknebok bär titeln: » Arithmetica. Eller Een kort Reknekunst, Hwarvthinnan the högste och förnämste Reglor finnas, som i Räkningen brwkas plägha. Medh sine Quatuor Speciebus bådhe i heela och brwtne taal, så wäl vthi Regula de Tri, som andre ther hoos biföliande Capit- tel och sköne Reglor i sigh sielff, med thess Explicationer och vthydningar förklarade äro. Alla unga Personer som härtil lust haffua ganska nyttigh. Item. Finnes widh En- den om Mynt- och Jord-Räkning, Wicht, Mått, och annat meer, effter som thet nw hos oss brwklighit är. Kortte- gon tid en språklektion i Strengnäs. Blef sedermera riksarkivarie och K. Bibliotekets förste bibliotekarie. Har utgifvit « Konunga-Styrelse «. Öfverlemnade sig mot slutet af sin lefnad åt stora kabalistiska griller. Hans biograf säger om hans rastlösa verksamhet, att man dervid på- minnes om Leontinus Gorgias och den pytiske Apollo. Han afled på sin gård Wårdsätra 1652, 84 år gammal. Biogr. Lexikon. Vi begagna detta tillfälle att tacka bibliotekarierne Styffe och Hög- man för det de gjort oss uppmärksamma på tillvaron af A. Bures hand- skrifna tabell öfver mått och vigt. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 9 ligen Sammansatt, och uppå Trycket vthgången. Aff Hen- rico Olai Hortulano Nycop. Strengnäs 1638.» Utom denna upplaga förekomma på Stockholms K. Bibliotek ännu 3 andra upplagor, nämnl. en tryckt i Ny- köping 1646 och tvenne i Göteborg af åren 1670 och 1674. Alla upplagorna äro i det närmaste oförändrade. Hortulanus var regementsskrifvare vid Södermanlands infanteri och synes varit innerligt fästad vid sitt regemente. Derom vittna dels de krigiska exemplen i hans räknebok, dels hans tillegnan af den första upplagan. Han har nämn- ligen tillegnat denna åt landshöfdingen öfver Nyköpings län samt åt öfversten, öfverstlöjtnanten, majoren, qvarter- mästaren och alla närvarande kaptener vid regementet. Soldater och underofficerare har han visserligen glömt i sin tillegnan, men han kommer ihåg dem i exemplen. De många upplagorna äfvensom ett uttryck * af för- läggaren i upplagan af år 1670 bevisa, att Hortulani räk- nebok varit använd såsom lärobok i skolorna. Liksom Aurelius bevisar äfven Hortulanus räkningens gagn ur bibeln. Så säger H. i företalet, att aritmetiken är nyttig, emedan man medelst den kan åtskilja böcker, kapitel och verser i bi- * Detta uttryck har följande lydelse: « Anno 1646 är denna Arith- metica, tillika med dess bifogade bokhålleri första gången hos mig tryckt uti Nyköping, och nu efter mångas begäran andra gången tryckt här uti Göteborg 1670/ Denna uppgift i förening med den omständighe- ten, att de 2 första upplagorna hafva tillegnan, hvilket de båda senare deremot sakna, visa, att Hortulanus aflidit mellan åren 1646 och 1670. Detta är nästan det enda, som vi lyckats få reda på angående Hortu- lani lif. Anmärkningsvärdt är att samtidigt med denne Henrik Olofsson lefde i Södermanland en annan Henrik Olofsson (Theng), inskrifven i Söder- manlands nation i Upsala 1599, sedermera pastor Vintros ensis, hvilken blef fader till en på den tiden ansedd matematiker (“ in mathematicis præcipue eximius«), Mag. Georg Vintrosensis, lektor i Strengnäs. Denna uppgift ha vi erhållit från Södermanlands och Nerikes förste kurator herr E. Widlund. Någon annan Henrik Olofsson finnes ej i Södermanlands nations matrikel. 10 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. beln, medelst den kan med ledning af profeterna beräkna verldens ålder. » Den som vill bygga ett torn, sitter han icke först och öfverlägger bekostningen, om han hafver det- han behöfver till att fullborda med? Hvad konung vill be- gifva sig till örlig och strida emot en annan konung, sit- ter han icke först och räknar, om han må med 10000 möta honom, som kommer med 20000? Lukas 14 kap. 28 och 31 v. Hortulani räknebok liknar i det närmaste Aurelii, Gothi och Ublenii räkneböcker. Räkningarna utföras lik- som hos desse dels med siffror, dels med räknepenningar. Intet spår till decimalbråk eller tecken finnes. För öfrigt karakteriseras Hortulani arbete bäst genom några exempel. Vi anföra endast fyra. Ex. 1. En fältöfverste gifver sine officerer, som de 4000 man gemene soldater kommendera skulle, till månads- besoldning, nämnligen 1 kapten.................36 daler, 2 löjtnanter och fänriker . 36 » 2 sargianter.............20 » 4 underbefäl.............20 » 6 korporaler.............18 » 3 trumslagare och pipare . 6 » huru mycket är hela summan? Ex. 2. Man läser uti första mose boks 21 kapitel, att patriarken Abrahams son, Isak, blef född anno mundi 2049, men ifrån den tiden och intill dess Abraham sände sin tjenare att fria åt sin son Isak, hvilket skedde anno 2089, förflöto åtskilliga år. Huru månge år blefvo imel- lertid aflupne? Facit 40 år. Ex. 3. En herre låter uppbygga och af nyo förfärdiga en byggning, den som är fyra våningar hög. I hvar vå- ning åtta kamrar, i livar kammar är try kantor. I hvart kantor 16 lådiker. Om desse lådiker voro så stort till- AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. 11 gripne, att i hvar lådika kunde rymmas 32 pungar, i hvar pung 45 riksdaler, och hvar riksdaler för det pris, som nu invarandes år taxeradt är, till 48 öre hvitt mynt, och hvart öre eller runstycke räknadt uppå fyra fyrkar. Nu frågas, huru inånga fyrkar deruti voro. Facit 424 673 280 fyrkar. Ex. 4. Om 4 grannar bo uti en by tillsamman och äro skattlagde efter den gamla jordrefningen, den ene går- den 5 öres land, den andre 2 öres land, den tredje 4 öres land, den fjerde 7 öres land. Men nu, när den nya landt- mätningen hölls, finnes på hele byen 76958 qvadratalnar. Huru mycket bör då för hvars och ens gård tillordnas, så att dermed lagligen och rigtigt sker, betraktandes rättvi- sans framgång. Hortulani bok slutar med en tafla öfver mått, mål och vigt, hvilken tabells sista rader lyda som följer: »Uppå guld och riksdaler kan intet visst pris sättas, efter dess värde dagligen förändras. Hvilken dess värde veta vill, han finner det väl med tiden.» (Forts.) Prisuppgiften för 1809. På en godtycklig triangels sidor a, b, c uppritas qυa- drater utåt. Dessa qvadraters yttre spetsar förenas ge- nom räta linier a,, b,, ci så, att ingen qvadrat skäres af dem. På de så erhållna linierna a,, b,, c, uppritas åter qvadrater utåt, hvilkas yttre spetsar förenas genom räta linier a2, b2, c2 så, att ingen af dessa linier skär qva- draterna. På a2, b2, C2 uppritas nya qvadrater. Sålunda fortsättes enligt samma lag. Man kan då bevisa, att l:o. al+b5 + c; = 3 (a2 + b2 + c2). 2:0. a; + b; + c; = 16(a2 + b2 + c”). Om undersökningen vidare fortsättes, hvad är summan 12 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. af nästa tretal qvadrater? Hvad är summan af det nte tretalet? Hvilka egenskaper hafva de mellan qvadraterna lig- gande trapezierna ? På denna prisuppgift hafva inkommit 8 lösningar. An- gående en af dera hade dess författare, herr X, uttryckt en bestämd önskan, att på den intet afseende skulle fästas vid prisutdelningen. Han hade nämnligen löst uppgiften endast för att angenämt fördrifva några timmar och deref- ter till redaktionen insändt denna sin lösning. Innan vi gå att redogöra för dessa lösningar, vilja vi förklara de i det följande förekommande beteckningarna. Vi teckna S° = a2 + b2 + c2, S; = a;+b;+c;, 8; = a;+b;+e;, 8 = a; + b; + c: . Vidare förstå vi med T 40 den ursprungliga triangeln, T, ett af trapezierna mellan a och a2, eller mellan 6 och 6,, c » Ca , 7, » » » 4,» Cg» » b, » ba , C. » Ca , Tn » » » an-1» Cn+1, » Ön-1 ») Ön 1, C,-1 » C„ 1. Härefter öfvergå vi till vår redogörelse för de åtta lös- ningarna. 1. Lösningen är åtföljd af en namnsedel utan någon sen- tens. I vapnet af sigillet synes en metkrok i blått och gult AFD. I. PRISUPPGIFTEN FOR 1869. 13 falt ofvanför ett haf i uppror, ined underskrift: non cedo tempori. Ofvanför hjertvapnet spejar ett öga. Förf, bevisar först, att S; - 383 S; - 1683 -....................(1). s; = 7583 1 Vidare lär han, att de tre trapezierna i ett system hvilket som helst äro sinsemellan lika stora paralleltrape- zier. Dessutom bevisar han, att C2n 02n C2n , a - b = c =tn ■ ■ • (2) och att C2n—1 _ b2n ~1 C2n—1 , 7 - - 7 - -— -2n—1 • • • w- C1 C1 Han har derigenom inskränkt problemet till att finna t2n och t2n—1. Förf:s eget framställningssätt medgifver att steg för steg beräkna S2, S3 o. s. v. För trapezierna angifver författaren hans på induktio- nens väg funna rigtiga formel Tn — 1 - tan—1.To...............(4). Denna förmåga hos förf, att likt en siare se resultatet, långt innan han medelst den stränga bevisningens lång- samma väg hunnit dit, beundra vi. . 2. Herr X. På ett klart sätt visar förf, att trapezierna T (eller trapeziet mellan t. ex. a och α2), T2 (eller » » » a, » a,), T2n—1 (eller » » » C2n—2 » a2n) alla kunna sammansättas till ett enda paralleltrapezium, hvarest a och a2n utgöra parallela sidor. Fogas den gifna 14 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FOR 1869. triangeln intill detta så bildade trapezium på det sätt, att sidan a blir gemensam, och om derefter de icke parallela sidorna af trapeziet utdragas, så råkas dessa i triangelns tyngdpunkt. Härigenom uppstår en triangel, som till spets har triangelns tyngdpunkt, till bas sidan a2n och till öf- riga sidor ⅛ C1 + 01 + Ca + +... + C2n-1 och 1 6, + bl + b8 + b. + . . . + b2n—1 , På samma sätt visar herr X, att man kan passa till- sammans paralleltrapezierna To (triangeln mellan vinkel- spetsen A af den ursprungliga triangeln och a.), T2, T. ... T'2n till en enda triangel, som till spets har punkten A af den ursprungliga triangeln ABC och till bas sidan a2n och till öfriga sidor b + b2 + 6a + ... + b2n—1 och C +C2+C4 + ... + C2n-1 . Med tillhjelp af de likformiga trianglar, hvaraf dessa stora trianglar äro sammansatta, leder förf, sig till relatio- nerna C2n a _ ban b C2n , = - = t2n.. C ■ • (2) C2n — 1 a. Ö2n—1 C2n—1 , — 2n—1 • • • (3) samt Un — 5^-2 - ’n — 4 • (5). Relationerna (2) och (3) i förening med 1 gifva: S2 = t2. S2 1 2n 2n'0 t och /.............(6). S2 - = 3t2 .S2 2n—1 2n—1 0 Herr X's lösning utmärker sig genom en synnerlig ele- gans och enkelhet. AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. 15 3. J. MATTSSON, elev vid Teknologiska institutet i Stockholm. Sedan Μ. funnit relationerna 1, 2 och 3, visar han sammanhanget mellan 3 omedelbart på hvarandra följande t genom de begge likheterna t2n = 3t2n—1 + 2n—2 ) och * (7). ⅛∏⅛1 = ⅛n + t2n—l ) Härur leder sig Μ. på ett skarpsinnigt sätt till de båda serierna: t2n = 3n +(2n-1),311+(2n-2),31-2+(2n-3),3n-8+... och . (8) tan-1 = 3n-1+(2n-2) 31-2+(2n-3)31-3+(2n-4),3 4+...) Med beteckningen k, förstå vi som vanligt 7 T(% - 1)(k — 2). ∙ .(k-, + 1) —1.2.3 Serierna (7) stadna, då man kommer till en binomial- koefficient lcr, som blir = 0. Härefter bestämmes med yttersta lätthet S2 och , 1 direkt i S° med tillhjelp af (6). Man studerar med intresse den lyckliga metod, medelst hvilken Μ. arbetar sig fram till sina begge serier (8), hvilka innehålla lagen för storleken af summan af det né tretalet qvadrater. M:s lösning visar, att Μ. är en man, som reder sig utan att behöfva hjelp af den matematiska literaturen. 4. O. J. FJÖRTOFT, student i Kristiania år 1869. Fj. börjar med att bilda en mängd trianglar, som in- nesluta den ene den andre, temligen öfverensstämmande med herr X. Så bildar han * Att formlerna (7) skilja sig från (5) är helt naturligt, alldenstund formeln (5) angifver sambandet mellan 3 på hvarandra följande t med endast jemna eller endast udda indices. 16 AID. I. PRISUPPGIFTEN FÔR 1869. af' α,, b1 , c1 en triangel, » α3 , b3 , c3 en annan, » ¾Λ-13 ⅛n-1> ⅛n-1 θ∏ annan. Derefter ställer ban dessa trianglar så, att «i li ¾ li¾ Ii • • -1! ⅛-ι, hvarigenom inträffar, att äfven ^1 ∣∣MMI∙∙∙l⅛-ι och att ¾ il • • • ii ‰-l . De äro tillika stälda så, att motsvariga vinkelspetsar komma att ligga på en rät linie. På samma sätt bildar han trianglar af de sidor, som ha jemna indices. Genom denna med herr X:s temligen närbeslägtade metod kommer han till följande nätta relation mellan tre på hvarandra följande trapezier: Tn = 5Tn^ι- Tn—2..............(9). Denna formel kan, som man lätt finner, härledas ur formlerna (2), (3), (4) och (5). Medelst formeln (9) leder sig Fj. till följande formel, som gifver Tn uttryckt ome- delbart i T0 : = ⅛-1 = 5-> √n-2),5"-≡ +(m-3)25"-≡-(b-4)s5'-i + ...+(-1) 2 . —— . . . (10). v ∖ 2 n-1 k 7 2 Här är n förutsatt vara udda. Skulle n vara jemnt, utbytes sista termen emot följande: n / n \ (“WP-5 θ 2 • För ett system af tre på hvarandra följande tretal qvadrater finner han följande enkla formel ¾ - 5^1 - ¾-2 +⅛⅛.2^ . . . (12), AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. 17 hvilken formel, såsom han visar, låter skrifva sig på föl- jande sätt: • S;=S;—,+38;-7,(13). Medelst denna formel i förening med (10) leder han sig till följande sluteqvation: S; = 3.83 . {51-1-[(-2) - 1]51-8 + [(n-3)a — (n-4)+1]51-5 -l(n-4)-(n-5)a + (n-6) - 1)51-7 +...). -(14). Serien afbrytes, när man kommer till en potens af 5 med negativ exponent. Ar n jemnt, skall man öka det genom (14) erhållna värdet med S°. I Fjörtofts afhandling röjer sig en karakter, som sta- digt och säkert går framåt med blicken oaflåtligt fästad på sitt mål. 5. O. J. STENBORG, student. Sedan Stenborg framtagit formeln (5) eller tn = 5tn—2 - tn—i och deraf härledt serien (10) eller = 5"-1-(n-2),5"-3+(n-3),51-6-... samt formeln (7) eller tin = tin+1 — É2n—1, drager han härur en praktisk formel för beräkningen af an på grund af (2) och (3). Han finner nämnligen a, = mo-Ca-ya - 4,—y- (15), hvarest 2r+2 är den högsta dignitet af 2, som ej öfversti- ger n och hvarest m( = 52 —2 = 23, ma) = (23)2-2 = 527, m(y = (527)3- 2 = 277727, och i allmänhet mo = må_1-2 (16). 2 18 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. Medelst denna tabell finnas med yttersta lätthet vär- dena på an för olika värden på n. För ett system af 5 på hvarandra följande tretal af qvadrater har förf, funnit följande märkvärdiga egenskap: S; = 38 1+88;_,+387L, 8544. . (17). Trapeziernas beräkning grundar han på formeln (9), hvarur han sedan härleder serien (10). För att praktiskt beräkna summan af ett tretal trapezier hvilket som helst använder han formeln: T, - To T, - T,-4, hvarest r och m- ha den förut omtalade betydelsen. Relationen (17) är af ingen annan insändare anmärkt. För upptäckten af denna relation äfvensom för författarens enkla praktiska reglor samt för förf:ns i öfrigt väl genom- arbetade afhandling bringa vi honom vår hyllning. 6. ERNST PFANNENSTIEHL, student. Förf, härleder först, liksom Stenborg, den vanliga dif- ferenseqvationen (5), den deraf utvecklade serien (10), samt den senare af eqvationerna (7). Han uttrycker lagen för se- rien (10) medelst en symbolisk differentialeqvation, efter hvars integrering han finner a2n~1 1 [/5+/21\ - 21 1 2-1 4 2 L 2 ) - (2) 1 w Häraf erhålles sedan följande vackra independenta be- stämning af S2 med udda indices: (19). Summan S2 finner han härur medelst anlitande af (7). Trapezierna bestämmer han sedan medelst följande af honom härledda formler: AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. 19 Herr Pf:s lösning angifver, att han är en man, som har i sin magt matematikens kraftiga hjelpmedel på olika områden och som vet att begagna sig af dem för att kom- ma fram till det åsyftade målet. 7. V. H. O. MADSEN, premierlöjtnant af artilleriet. Kjöbenhavn. ”Die Kunst is lang, und kurz ist unser Leben." I likhet med herr X. visar Madsen egenskaperna hos trapezierna och den gifne triangelns tyngdpunkt samt härle- der deraf relationen (5) Cn = Dan — 2 an—4. Genom att integrera denna lineära differenseqvation af andra ordningen finner han: Sa - 3 + J21. 5+J21”_ 3—21 (5—21" 727 S, - 24/21 k 2 ) 2/21 ∖ 2 / : : 0 2 och ⅛-ι 1 T/5 + A/21\ /5 - ~/21 1 5 VT LC 2 ) - 2 • (19). Den senare eqvationen öfverensstämmer med den af herr Pfannenstiehl funna. Deraf finner han omedelbart för trapezierna formeln (18) på grund af formeln (4) In—1 , C2n—1 S2n — 1 S2n—1 n , 60 - = t2n—1 = = - = o—— = formeln (18). To C1 Sy SoN/3 Madsens afhandling utmärker sig för sin elegans och enkelhet. Man igenkänner öfverallt mästaren. Det för- vånade oss derför ej, då vi vid öppnandet af hans namn- sedel igenkände namnet på författaren till en mängd lös- 20 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. ningar och uppgifter i Tychsens tidskrift och till en deri förekommande afhandling i partiela differentialeqvationer. 8. F. OSSBAHR, student. Ossbahrs differenseqvation har följande utseende: S, — S,_ 14/3 - S,-2 = 0. Af slägtskapen mellan venstra ledet i denna likhet och uttrycket 1 — 2.3 — x2, leder han sig till att man genom att dividera täljaren med nämnaren i bråket 1-3-3( } skall erhålla en qvot, der de stigande digniteterna af x få till koefficienter successivt 0 S, S, S, S,... också är -------So------= S,+S,/3.æ+S4a2+S,.5//3.æ3 1 - a 3 - a2 + S.192"+S.24N/3.25+... Här är S; = (^0√3)≡ = 383, S; = (S,. 4)3 = 16S3, S; = (⅞5√3) = 75S3, o. s. v. Som man ser, erhållas dessa värden med yttersta lätt- het. Det erfordras blott en enkel division med derpå föl- jande qvadrering. Bråket (23) sönderdelas derpå i 2 bråk, hvilkas nämnare äro af första graden. Härigenom erhålles: So = So 1-23-2 21/7 7+43 + 7-3 1 √7 + √3 47 √7-√3 1----—--. C 1 + ——--. 2 2 2 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. 21 Verkställes här den tecknade divisionen inom parente- sen och termerna ordnas efter stigande digniteter af x, får man som koefficient Sn för x": ¾ TT+J3 "41 , M(T-3"+1 SERT IC 2 7 * TC 2 ) J’ en formel, som i sig innefattar båda formlerna (22) och (19). För trapezierna finner Ossbahr härur relationen: ⅛ + ιτ 7, /7+3201.1) (T-3201t11 Det bråk, genom hvars division af täljaren med näm- naren man erhåller till koefficienter successivt termerna To, 7;, T.,..., finner han ur relationen Th-5Th-1+ Th-2 = 0 vara To s = T.[1+5x+2422+11523+55121+...], 1—5a + 2 0 hvaraf man får T, = To, T,= 5T, . = 2477, T, = 115T, T, = 551T, o. s. v. Ossbahr stadnar dock ej härmed. Han summerar nämn- ligen alla trapezier från och med det första tretalet till och med det nte, likaså alla qvadrater från och med det första till och med detn'e. Han erhåller såsom värden på dessa summor - S2n+2 — S2, TI+ TA + T3+... + Th = . 2 To och S;+S3+S;+...+S3 = Sn Bn+1 - S3. Ossbahrs lösning är lättläst och fullständig. 22 ΛFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1869. Af föregående sammanställning visar sig, att Matts- son, Fjörtoft, Stenborg, Pfannenstiehl, Madsen och OSSBAHR alla bestämt summan af ett hvilket som helst tretal qvadrater eller trapezier uttryckt omedelbart i det första tretalet, att de 4 första (M., F., S. och Pf.) ut- tryckt denna summa i serier, att de 3 sista (Pf., Μ. och O.) angifvit denna summa i en qvadrat på skilnaden mel- lan 2 termer. Ossbahr har dessutom summerat samtliga så väl qvadraterna som trapezierna från och med det för- sta till och med det née tretalet. Stenborg och Ossbahr hafva praktiska formler för beräkningen af qvadraterna och trapezierna. Alla 8 hafva lemnat formler för sammanhan- get mellan 3 på hvarandra följande system af qvadrater eller trapezier. Stenborg har dessutom visat ett samman- hang mellan 5 omedelbart på hvarandra följande system af qvadrater hvilka som helst. Efter att hafva tagit i skärskådande alla afhandlingar med undantag af herr X. (som ej insändt sin afhandling för detta ändamål) och jemnfört dem i afseende på ele- gans, grundlighet och fullständighet, har redaktionen be- stämt det större priset: TODHUNTER'S History of the Probability åt premierlöjtnant V. H. O. Madsen och det mindre priset: TODHUNTER’S HISTORY OF THE CALCULUS OF VARIATIONS åt student F. Ossbahr. Dessutom loforda vi alla de öfriga för deras omsorgs- fullt utarbetade värderika afhandlingar öfver i fråga va- rande prisproblem. Anm. Liksom i fjol, komma äfven i år de utmärk- taste lösningarna af prisproblemet att tryckas och särskildt säljas mot lämplig afgift. AFD. I. PRISUPPGIFTER FÖR 1870. 23 Prisuppgifter för 1870. 1. Om de räta linier BD och EA äro lika stora, hvilka dela midt i tu tvänne vinklar ABB och DBB med ett gemensamt ben BE, så äro dessa vinklar lika stora. 2. Om två trianglar hafva gemensam midtellinie * och den enes halfva bas är bissekerande medelproportional ** till den andres omfattande sidor, så är ock dennes halfva bas bissekerande medelproportional till den förres omfat- tande sidor. Det större priset är: ALGEBRA BY I. TODHUNTER. Det mindre priset är: PLAN TRIGONOMETRY BY I. TODHUNTER. Lösningarna böra vara insända till lektor HULTMAN före den 1 Ja- nuari 1871. * Den linie, som drages från en triangelspets till motstående sidans (basens) midtpunkt; omfattande sidor bli då de öfriga två sidorna. ** Den linie, som är medelproportional mellan de två linierna och på samma gång parallel med bissektricen till deras vinkel. 24 AFD. II. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. AFDELNING IL Ogsaa en Methode til Integration af d’y 7anT - 2/(02+37)(1). 0 + da?) 1. I dette Tidsskrifts anden Aargang Side 69 har Landshövding Malmsten leveret en interessant Integration af ovenstaaende Differentialligning, som han allerede tid- ligere har behandlet i Kgl. Svenska Akad. Handl. Ny Följd 3 B. 1859—60, Stockholm 1862. Ved Læsningen af denne sidste Afhandling faldt jeg paa en anden Integration, som maaske ogsaa kan have sin Interesse og i ethvert Tilfælde synes mig at fore temmelig hurtigt til Maalet. Sættes au = P, faaer man dp = 2/(e"+y7), (1 + p2)2 som omskrives paa folgende to Maader a. P de = 2(e+39) (2), , 1 d.-= A/1+p2 2 2 -------= 2pf(a2+y3) .... (3). AFD. II. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. 25 Multipliceres (2) og (3) henholdsvis med x og y og adderes, faaes • 1 d.-L d.-= a ----------—2- - 3 --—D = 2f(x2+y2)(a+py) da da • 7 - eller d.P#-3 /1 I 2 --------= 2f(x2 + y2)(x +py). • . . (4). da2 Nu integreres (4), saa at man faaer, i det a2+y2 = r^ Pa-S = ff^)d.^ + ct(5). A/1+p2 " Denne Ligning qvadreret og draget fra a2+y2 = r2 giver - - = r2- ['f(r2)d ∙ r2 + C12 eller P3+E=Np-Lf)d.n+C]2.... (6). A1+p2 Nu behover man blat at dividere (5) med (6) for at faae et integrabelt Resultat; thi i p2-3 = _ + P3+2 N/r2-L/f(x2)d.~ + C,]3 er den venstre Side let at ændre formedelst d.arc (tg = \ a) _ pa-y da ,3' d.72. —— = 2(py+), da V° ‘ saa at man faaer d.arc tg = ff(r)d.r+C, 203 = 2r2-------= --=-== py+a d.r2 A/r2-[/f(r2)d.r2+ C1]2 26 AFD. II. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. Heraf erholdes endelig ∕ y\ 1 Γ ( ff(r2)d.72 + C)d.r2 \ «/ 2J r2N/92-(/f(r3)d.r2+ C,)2 stemmende med Malmstens Resultat. + C2 2. Differentialligningen (5) har fort mig til en Egen- skab ved Omdrejningsflader, som jeg tillader mig ved denne Lejlighed at fremhæve. Som bekjendt bestemmes næmlig Retningslinierne for konstant Faid 2 paa en Flade, given i retvinklede Koor- dinater, ved Hjælp af deres Projektioner paa xy planen ved Differentialligningen 0+00 . = tg2, √1 + a2 .1 . , dz dz ι det C, v, Z ere Koordinaterne, — = p,-=0 udrykte • da''dy 4 ° ved aog y formedelst Fladens Ligning i a, y, z, og dy da • Er Fladen en Omdrejningsflade, bar man z = 9(a2+y3), p = 2ay'(a2+y2), 9 = 2y 9(a2+y2), og dermed , a+ya tg λ √l+α- 29( +y ) Soges hertil de orthogonale Trajektorier, i det man sætter œp+1 = 0, α = —1, P hvor da p = ( betyder Differentialkoefficienten af Trajek- toriens Ordinat med Hensyn til Abscissen, saa faaes med r2 for a>+y2, pa-3 - ⅛ 2 /1+p2 29'(r2) AFD. Π. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. 27 Sammenlignes denne Ligning med∙ (5), faaes til Be- stemmelse af f(r2) ■ 11()d.1=+0, = tg2 . ■ 2φ(ri) altsaa ∕(^2) = - 1 tg 2 422. 9 Herved udledes idet Krumningsradius af den forelagte Differentialligning, betegnes ved Q, = cot λ ^2) 90) i det Fortegnet udelades som överflödigt, hvor der ikke er Tale om nogen besternt Retning. Herved er da bevist, at Retningslinierne for konstant Fald (2) paa enhver Omdrejningsflade z = 9(x2+y2) med Hensyn til en Plan vinkelret paa Axen have orthogonale Trajektorier til deres Projektioner paa denne Plan, hυis Krumningsradier 0 ere Funktioner af Punkternes Afstande r fra Axen paa fol- gende Maade 2 = 0 giver Q = co, som er rigtigt, da de orthogo- nale Trajektorier til koncentriske Cirkler ere rette Linier igjennem deres Centrum. Ondrejningskeglen har z =ar, 9(2)= ar2, ç(r2)= a, g"(r2) = 0, altsaa atter 0 = 0o. Frederiksberg ved Kjobenhavn d. 19 Decbr 1869. ADOLPH STEEN. 28 AFD. II. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. Integration af differentialeqvationen f(w2 + y3) = (1 +3°) Af G. Mittag Leffler. Ifrågavarande differentialeqvation låter lätt integrera sig, om man ger geometrisk betydelse åt alla de ingående qvantiteterna. Om x och y äro de rätvinkliga koordinaterna till en o « do punkt belägen på en viss kroklinie, så är —; = — (1+y2) = krökningen i denna punkt, om a är den vinkel, som perpendikeln mot tangenten bildar med positiva rigtningen af x-axeln och ds är differentialen af bågelementet. Vi- dare är x2 +y2 = r2, om r är radius vector. Vår differentialeqvation kan således skrifvas: e da ( Låt ABCF (fig. 11) vara den kroklinie, hvars diffe- rentialeqvation är (1). BD är tangenten i punkten B, BCGE det rätlinigt förlängda bågelementet BC, 0D = p och OE äro perpendiklar nedfällda från 0 mot tangenterna BD och BE. Vidare är OB = r och om OA är den po- sitiva rigtningen af x-axeln, så är vinkeln AOD = a. Vinkeln AOB, som radius vector bildar med x-axeln kalla vi . Om E och D förenas med en rät linie, så är vinkeln EDO = vinkeln EBO, men i limes är tg(EDO) = EG DD = pdC och tg EBO = Sin EBO. Sek EB 0 = P.C8 dp rdr och således är de _ dp ds rdr \ AFD. II. INTEGRATION AF EN DIFFERENTIALEQVAT. 29 Likheten (1) transformeras härigenom till dp = fr°)rdr................(3) eller, då d(v2) = 2rdr, till p = 1/f(2)d(w2) = F(2) .... (4). Men nu är tg DBO = ------ samt till sitt numeri- A/r2-p2 - . r'dgp 1 0 - ska varde = —-—- och således ar: dr , pdr . do = - - (5) rAr2 - p2 eller om man inför värdet på p samt integrerar: F(-)d(r3) 9 =, /----------------==• • • • (b). r2l r2-F(r2)2 De två arbiträra konstanterna finnas i de tecknade integrationerna (4) och (6). Denna integrationsmetod är endast en geometrisk tolk- ning utaf den i häftet 2, Arg. II af denna tidskrift af Statsrådet Malmsten framstälda. Variabeln u = r(r2 +r2)—1, som der införes är nämnligen ingenting annat än perpen- dikeln från origo mot tangenten, hvilken vi i det föregå- ende hafva betecknat med p. Den generellare eqvationen -—- = f(ax2+2bay+cy2+2ex+2fy+9) * . . . (7) (a+ 2b3 + €3 2)5 låter, som man lätt kan finna, genom substitutionerna: u = ba+cy + f v = /ac—62.2 + ec-b/ /ac-62 . ■ (8) reducera sig till formen Fe u (1+w2)* 9(u2 + v2) och är sålunda äfven integrabel. * Se Vetenskaps-Akademiens Handlingar för år 1859 och afhand- lingen «Om Differentialeqvationers Integrering « af C. J. Malmsten. 30 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 159, Årg. II). Tillämpning af förut afhandlade enkla räkneformer. A) Betydelsen af åtskilliga enkla räkneuttryck. 112. Vi införa följande beteckningar. Om vi med OA beteckna en från punkten O till punk- ten A rigtad rät linie, så betyder OA liniens längd eller modyl och 0A den båge eller argument, som liniens rigt- ning bildar med grundrigtningen; eller kortare uttryckt: 04 = M(04) och 62 = A(OA). 113. Om OA och OB beteckna sidor i en triangel OAB, så utmärker 0A + 0B diagonalen från O i den på OA och OB konstruerade parallelogramen eller, som är det samma, 2 gånger den från 0 dragna midtellinien i tri- angeln OAB', skilnaden OA —OB åter utmärker den andre diagonalen, dragen från B eller, som är det samma, sidan BA i triangeln OAB. Anm. Det aritmetiska mediet 5(04 + 0B) utgör så- ledes midtellinie mellan sidorna OA och OB i triangeln OAB; det aritmetiska mediet 1(0A +OB,) åter utgör halfva basen BA i samma triangel. 114. Afsättes från ändpunkten af OA linierna AB och AB, = ABπ, så utmärker summan OA+AB och skil- naden ÖA—AB resp, de omfattande sidorna OB och OB' till OA som midtellinie i triangeln OBB'. * Vi teckna nu och fortfarande Μ för mod och A för arg. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 31 115. Vi antaga likheten OA OB Iv: Med stöd af § 80 är 0A:OB =q och 0A-OB=v, då följaktligen triangeln OAB är till formen fullt bestämd, så snart qu är känd, samt till både form och storlek be- stämd, så snart OA och OB äro hvar för sig kända. Triangeln OAB får derför sitt räkneuttryck i qvoten OA OB (27), så att i stället för att säga triangeln OAB säga vi trian- geln OA genom OB. Linien OB kallas grundlinie, li- nien OA ben och den tredje linien BA betraktas som bas. 116. Likheten OA _ OA OB ' OB ....................(28) såsom sönderfallande i likheterna OA : OB = O‘A: 0'B' OA-OB = OA'-O'B', innebär alltså (Eukl. VI: 6), att triangeln OAB är likformig med triangeln O‘A‘B’. Anm. 1. Betydelsen af ”sammansätta”, ”fördela”, ”alternera” etc. ”termerna” i ”analogien” (28) framgår omedelbart ur det föreg. utan vidare förklaring. Anm. 2. Om tre af de fyra komplexerna i (28) äro gifna, så konstrueras den fjerde omedelbart genom begag- nande af likheterna 0A : OB = 0'A':0'B' och OA-OB = OA-OB'. 117. Af likheten OA _ 0B OB - 00 (29) framgår omedelbart, enär OA: OB = OB : OC och OA-OB = OB-OC, att OB är till storleken medelproportional mellan längderna OA och OC och till rigtningen bissektrice 32 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN till vinkeln * mellan dessa liniers rigtningar. Vi kalla derför OB bissekerande medelproportional till OA och OC eller med en enklare benämning ”geometriska mediet” mel- lan OA och OC. Anm. Att konstruera ett geometriskt medium mellan två komplexer sammanfaller derför med att på bissektricen till deras vinkel afsätta en medelproportional mellan deras längder. 118. jemnföres _ OA Om den i (27) uttryckta triangeln -7 = qv OB med triangeln - = q_», så framstå de såsom OB likformiga och omvändt stälda (d. v. s. genom att svänga den enes plan 1800 bli de likformiga och ”lika stälda”). Sådana trianglar sägas vara hvarandras konjugattrianglar. 119. Om triangeln OA OB = • + gv, så utmärker denna likhet, att triangeln 0 är likformig med triangeln Tet"e, d. v. s. den triangel, hvars grundlinie är = 1 och hvars ben är = qo+qv. Enligt denna sats kunna vi således kon- struera en triangel, som är likformig med summan af två eller flere gifna trianglar genom att uttrycka hvar och en af dessa under formen qυ (jfr § 115). OA 120. Om triangeln — = Q„.(w, så utmärker denna 6 OB likhet , att triangeln OA OB är likformig med triangeln 2ele , d. v. s. den triangel, hvars grundlinie är = 1 och hvars ben är = produkten qv.gv. Enligt denna sats kan man således konstruera en triangel, som är likformig med pro- dukten af två eller flere gifna trianglar genom att uttrycka * Då vi tala om vinkel mellan tvänne i en qvot ingående komplexer, så förstå vi alltid den vinkel, som « tälj arens « rigtning bildar med € nämnarens « rigtning som grundrigtning. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 33 livar och en af dem under formen ge. Eller ock ega vi att förfara på följande sätt. Om vi hafva att konstruera en triangel, som är likformig med produkten af två gifna trianglar —— . —, sa konstruera vi 0A i analogien 6 OM PR' 6 PQ OM . OA : a. 1 62 -= =-, da -blir den sokta triangeln. Pa ena- PR OX' OX 6 handa sätt förfares, om produkten innehåller flere än två trianglar. OA 121. Af (29) följer omedelbart, att — 0 ’ OC , då OA . följaktligen qvadraten pa triangeln ----- är likformig med •-OB 6 . OA triangeln —,. Häraf framgår således sättet att konstru- 0 C era en triangel, som är likformig med en gifven triangels qvadrat (äfvensom qvadratrot). På enahanda sätt kunna vi leda oss till konstruktionen af en triangel, som är lik- formig med en gifven triangels kub, biqvadrat o. s. v. 122. Om vi hafva likheten 1 1 1 2∖0A +OC) ~ OB (50) d. v. s. OB = "det harmoniska mediet" mellan OA och OC, så visar sig enligt § 116, enär (30) kan sättas under formen ⅛(OA + 00) _ OC OA OB' att midtellinien mellan OA och OC bildar med OA en tri- angel, som är likformig med den af OC och OB bildade. De fyra ”harmoniska punkterna” O, A, B och C ligga alltså på en cirkelperiferi, och att konstruera ett harmo- niskt medium mellan två komplexer OA och OC samman- faller derför med att omkring triangeln OAC omskrifva en cirkel och sedan in uti triangeln draga OB till periferien, så att OC bildar lika vinkel med OB som midtellinien från O bildar med OA. 3 34 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN B) Satser, härledda ur geometriska identiteter. 123. Om i identiteten (au)”—(ba)2 - (au + bg)(an - ba), efter utbrytning af lα ur hvardera faktorn till höger, mo- dylerna tagas å ömse sidor, så erhålles a'+b4-2a*b2 Cos 2(3-a)= {M(a+bg.e) • M (a-bg-a)}3 • ∙ (31), hvilken sats utsäges: om i triangeln OBB’ midtellinien OA = a bildar med halfva basen AB = b vinkeln ß—a, så är summan af dessa liniers biqvadrater — dubbla pro- dukten af deras qvadrater × Cos för deras dubbla vinkel = qvadraten på produkten af de omfattande sidorna 0B och OB' (jfr § 114). Genom att konstruera en medelproportional till OB och OB' finna vi således en linie, hvars biqvadrat är = det anförda trinomet. Specifikationer. 1:o ß-a = 0 .. a2-b2 = OB.OB, jfr Eukl. II: 5. 2:0 ß-a = 1z ... a2+b2 = OB.OB, jfr Eukl. 1:47. 3:o ß-a = in ... a*+b*={0B.OB 2 = OC4, då nämnligen 00 är medelproportional till OB och OB'. Har man således att konstruera en linie, hvars bi- qvadrat är = summan af två gifna liniers biqvadrater, så behöfver man blott sätta de gifna linierna under 45°, då medelproportionalen till OB och OB' blir den sökta linien. Satsen utsträckes med lätthet till det fall, då man har att konstruera en linie, hvars biqvadrat är = summan af tre eller flere liniers biqvadrater. Anm. Satser sådane som denne böra icke sakna nyt- tig användning inom geometrien. Så t. ex. om på OA, AB och OC konstrueras likformiga plana figurer, beteck- nade med resp. [O4], [AB] och [OC], så är a2[OA] + b2[AB] = c2[OC], då nämnligen a, b och c äro de tre liniernas AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 35 talvärden; likaså om vi på de tre linierna konstruera lik- formiga solida figurer, betecknade med resp. [[OA]], [[A B] och [[OC]1, så är a[[OA]] + b[[ AB]] = c[[OC]]. 4:0 B-a = I n .. a"+b4-a'b2 = {0B.OB}2 = OC*, då nämnligen OC är medelproportional till OB och OB'. Genom att låta a och b stå i hop under 30° och kon- struera en medelproportional till OB och OB' finner man således en linie, hvars biqvadrat är — summan af två gifna liniers biqvadrater - produkten af deras qvadrater. 5:0 B-a = 17 .. a'+b4+a2b2 = {0B.OB18 = OC*, då nämnligen 00 är medelproportional till OB och OB'. Om således a och b stå i hop under 60°, erhålles i medelproportionalen till OB och OB' en linie, hvars bi- qvadrat är = summan af två gifna liniers biqvadrater + produkten af deras qvadrater. 124. Om i identiteten (aw)3—(bp)3 - (aa-bg)[aa+bg+(an • ba)*][a+ba-(aa ∙ bg)41, efter utbrytning af la ur hvardera faktorn till höger, mo- dylerna tagas å ömse sidor, så erhålles a°+b6—2a”b3 Cos 3(ß—a) =(M(a-ba..).M[euabg.c-(al)}.8-a].N[a-ba-a(ab)4(b-w1/3 (32), hvilken sats utsäges: om i triangeln OBB' (fig. 5) midtel- linien OA = a bildar med halfva basen AB = b vinkeln ß—a, så är stimman af dessa liniers sjette digniteter — dubbla produkten af deras kuber x Cos för deras vinkels trefald = qvadraten på produkten af de tre linierna OB', OC och OC', då nämnligen OC och OC' äro omfattande sidor i triangeln OCC', der OB är midtellinie och BC el- ler halfva basen är bissekerande medelproportional till OA och AB. I enlighet med föreg. § kunna vi för ß—a = 0, 37, 1x, 1x, %n utföra särskilda specifikationer, hvilka dock 36 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN äro af jemnförelsevis mindre intresse, enär vi sakna en ele- mentär metod för konstruktionen af det geometriska mediet mellan tre gifna linier OB', OG och OC'. 125. Om i identiteten (aa)"-(bg) = (az+b)(a«—ba)(az+b8+\a)(a«-b3+4m), efter utbrytning af la ur hvarje faktor till höger, mody- lerna tagas å ömse sidor, så fås a9+b8-2a"b4 Cos 4(3-a) = {^b^^a-b^Wa^.^^^ (33), hvilken sats utsäges: om i triangeln OBB' (fig. 6) midtel- linien OA = a bildar med halfva basen AB = b vinkeln ß—a, så är summan af dessa liniers åttonde digniteter — dubbla produkten af deras biqvadrater x Cos för deras vinkels fyrfald = qvadraten på produkten af de fyra li- nierna OB, OB', OC och OC, då nämnligen OC och OC’ äro omfattande sidor i triangeln OCC', der OA är mid- tellinie och halfva basen AC är = b och bildar /\ 90° med AB. Genom att konstuera medelproportionaler, en mellan OB och OB', en mellan OC och OC' samt vidare en mel- lan dessa tvänne, erhålla vi således en linie, hvars åttonde dignitet är = det anförda trinomet. Specifikationer. 1:0 ß-a = 0, då a-b = OB.OB'.OC.OC, hvil- ken sats är en kombination af l:o och 2:o i § 123. 2:o ß-a = !7, då ai + bi = OB. OB'. OC. OC, hvil- ken sats sammanfaller med § 123, 3:o. 3:o ß-a = tn, då a8 + b8 = [0B.OB'. 00.0013 eller = åttonde digniteten af medelproportionalen till de två medelproportionalerna mellan OB och OB' samt mellan OC och OC. Genom att låta a och b stå i hop under 22 4° och konstruera en medelproportional till de två medelpro- AFD. TI. GEOMETRISKA KALKYLEN. 37 portionalerna mellan OB och OB' samt OC och 0C' finner man således en linie, hvars åttonde dignitet är = suraman af två gifna liniers åttonde digniteter. Satsen utsträckes med lätthet till det fall, då man har att konstruera en linie, hvars åttonde dignitet är = sum- man af tre eller flere gifna liniers åttonde digniteter. Vi förbigå de mot § 123, 4:o och 5:0 svarande spe- cifikationer såsom egande en med dessa öfverensstämmande form. På enahanda sätt förfares vid uppdelning af (aa)8—(6g)8 i faktorer, då man bland annat lär sig att konstruera en linie, hvars 16:de dignitet är = två gifna liniers 16:de digniteter, o. s. v. 126. Om vi utgå från identiteten 0, ' 1 . b eller, som är detsamma, då OÀ, OB och 00 införas för resp. aa, be och Cy (jfr § 113): cγ. AB + a. BO = bg.A0“. Genom att taga modylerna å ömse sidor fås (c.A.B)2-(a.BC)2+2c.AB.a.BCCos(y-a+AB-B0)= (b.AC]3 (34), då följaktligen, om O, A, B, C äro i ordning en fyrsi- dings hörnpunkter, så är det modyltrinom, som bildas af de motstående sidornas produkter, = qvadraten på pro- dukten af de tvä diagonalerna. Specifikationer. l:o Om de fyra punkterna ligga på en cirkelperiferi (fig. 7), så är (y-a)+(AB-BC) = 0, då således c.AB+a.B0 = b.A0, * Denna sats är behandlad af Bellavitis; jfr J. Hoüels Calcul des équipollences i Nouvelles Annales de Mathématiques, 1869. 38 AFD. II.GRUNDDRAGEN AF DEN d. v. s. de två rektanglarne, som bildas af de motstående sidorna, äro till hopa = rektangeln af diagonalerna, - en känd sats. . 2:o Om de fyra punkterna ligga så, att en cirkel om- skrifven om OAB (fig. 8) ger med BC en sådan skärnings- punkt C', att A COO’ = 90°, så är [e. AB]+{a.B0}3 = [b.A0)3, d. v. s. summan af qvadraterne på de motstående sidornas produkter är = qvadraten på diagonalernas produkt. 3:0 Om i fig. 8 A COC' är = 60°, så erhålles (c.AB}%+{a.BC]+c.AB.a.B0 = {b.ACf, d. v. s. summan af qvadraterna på de motstående sidornas produkter + produkten af alla fyra sidorna är = qva- draten på diagonalernas produkt. 4:0 Om i fig. 8 A COC' är = 120°, så erhålles (c.AB)+(a.B0]%-c.AB.a.BC = {b.AC}2, d. v. s. summan af qvadraterna på de motstående sidornas produkter - produkten af alla fyra sidorna är - qvadra- ten på diagonalernas produkt. 127. Om vi utgå från identiteten 1 — -—] + 7— — I + /-— ——j + —— — -I = 0, K-------------------------------------Cy/ Cy da/ ⅛ så fås efter liknämniggöring och införande af OA, OB, 00 och OD för resp. aa, 5g, cy och da följande identitet: cy.d.AB+Qu.d.BC+aq.bg.CD = b?. eγ . AD. Genom att enligt § 40 taga modylerna å ömse sidor erhålles för det speciela fall, att de fem punkterna O, A, B, 0, D ligga på en cirkelperiferi: c.d.AB+a.d.BC+a.b.CD = b.c.AD, hvilken sats utsäges: om O, A, B, C, D (fig. 9) äro i ordning de fem hörnpunkterna af en i en cirkel inskrifven AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 39 femhörning och vi taga i betraktande de från 0 till A, B, C, D utgående fyra linierna, så. är summan af de tre stycken trelediga produkter, som bildas genom att taga två af dessa fyra jemnte en sida i femhörningen, som förenar de öfriga två, = produkten af de två medlersta och de ytterstas föreningslinie. Anm. Vi förbigå öfriga specifikationer af denna iden- titet såsom på detta ställe ledande till nog stor vidlyftig- het. — De i föreg. §§ 123—127 gjorda utvecklingar lemna en antydan om den outtömliga rikedom på geometriska sat- ser, hvilka kunna härledas ur identiteter, vare sig dessa äro identiteter utan alla inskränkningar (såsom de ofvan afhandlade) eller med vissa sådana. Dessa satser, som inom den geometriska kalkylen ha så ytterst enkla förut- sättningar och viga härlednilngar, skulle i allmänhet taget erbjuda oöfvervinneliga svårigheter att på annan väg ut- veckla. Den tillökning i satser, som den elementära geo- metrien på detta sätt ernår, bör bli af nyttig användning vid lösning af flere geometriska frågor. C) Lösning af geometriska likheter. 128. Vid lösning af likketer beteckna vi för vighetens skull komplexer med enkla bokstäfver såsom a, b, a, y o. s. v., hvarvid i enlighet med § 112 de resp, modylerna utmärkas med a, b, x, y och argumenten med a, b, a, y. Såsom belysande exempel framställa vi till lösning följande problem. 129. Midtellinien a och bissekerande medelproportio- nalen b till de omfattande sidorna x och y i en triangel äro gifna; bestäm dessa till storlek och rigtning. I enlighet med §§ 113 och 117 fås uppställningen: %(a+y) = a och (xy) = b, hvaraf framgå följande värden på x och y: c = a+{(a+b)(a—b)}- och y = a—{(a+b)(a—b)}>. 40 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN hvilka lätteligen konstrueras sålunda. Med a = OA (fig. 10) som midtellinie och 6 = AB som half bas uppritas A OBB; från A afsättes bissekerande medelproportionalen AX till de omfattande sidorna OB och OB', hvarpå med a som midtellinie och AX som half bas konstrueras AOXY, då OX och OY bli de sökta värdena på resp, x och y. Följ dsatser. 1:o. Om två trianglar ha gemensam midtellinie och den enes halfva bas är bissekerande m,edelproportional till den andres omfattande sidor, så är ock dennes halfva bas bissekerande medelproportional till den förstes omfattande sidor. 2:0. Emedan x och y äro rötter till eqvationen u2-2au +62 = 0, så kunna vi enligt fig. 10 konstruera rotpunk- terna och Y till hvarje hyfsad qvadratisk eqvation. 130. En triangel t är gifven; bestäm till formen den triangel —, hvars midtellinie och bissekerande medel- 3 proportional bilda en triangel, som är likformig med den gifna. Af uppställningen A( + y) _ a . (ay)± b’ följa svaren (a“ a=[(a + b) (a—b)]- b hvilka enligt föreg. § fig. 10 representera hvar sin af tri- 0x OY0 anglarne - och —, då nämnligen 00 # AB. Qva- 5 00 OC’ 6 1 draten på hvardera af dessa trianglar (jfr § 121) är tri- 1 OX angeln oy eller ock OY ox: hvilken då blir den sökta triangeln — . y AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 41 131. En triangel $ är gifven; bestäm till formen den triangel ----hvars bissekerande medelproportional bildar med bissekerande medelproportionalen till midtellinien x och halfva basen y en triangel, som är likformig med den gifna. Af uppställningen K(a+3)(-y)}* - a . (wy) 6 fås svaren a ~ a+[a+2c,m)a-2c,m)1 y 2c då ( = —, d. v. s. c = tredje proportionalen till a och ∖b ) c b. Med a = OΛ (fig. 10) som midtellinie och 2c., = AB som half bas konstrueras A OBB’; med a som midtellinie och bissekerande medelproportionalen AX till OB och OB' som half bas konstrueras vidare A OXY; trianglarne OX OD och OY OD representera då de funna svaren, då nämn- . . OX+OD 1 OY+OD ligen OD = 2c: och -==- eller —= -==- blir 0 ’ OX - OD OY-OD den sökta triangeln. 132. Midtellinien a och det harmoniska mediet b till de omfattande sidorna æ och y i en triangel äro gifna; bestäm dessa till storlek och rigtning. Af uppställningen 1/1 1\ 1 #(+)= C och 2 * - b framgå svaren hvilka konstrueras sålunda. Vi låta a och b utmärkas med 42 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. resp. OA och OB*. Med OA som midtellinie och bisse- kerande proportionalen AX till OA och 0A-0B eller BA som half bas tecknas A OXY, då 0X och OY bli de sökta a och y. — De fyra harmoniska punkterna O, X, B, Y ligga nu på en cirkelperiferi, och bissekerande medelproportionalen till OA och OB är äfven bissekerande medelproportional till OX och OY. 133. Tre räta linier a, b och c äro till storlek och rigtning gifna; det begäres att med a och b som midtel- linier konstruera två trianglar, som hafva parallela och lika stora baser och som dertill äro så beskaffade, att de bissekerande medelproportionalerna till deras omfattande sidor bilda en väg, som utgör sidor i en tredje triangel med c som bas. Om halfva basen i de två trianglarna utmärkes med æ, så blir uppställningen följande: {(a+a)(a-z)}* + 1(+2)(b-a)}* = c, hvaraf fås lösningen 2ca = {(a+6+c)(a+ b—c)(c+a - b)(c— a—b)}% , då æ således blir fjerde proportionalen till 2c och de två bissekerande medelproportionalerna till de två första och de två sista faktorerna under rotmärket. Anm. Vid lösning af eqvationer, der den obekante förekommer under rotmärke, eger man lika litet att i för- väg göra inskränkande bestämmelser i den sökta komplexens argument som i hennes modyl. Om man derför vid upp- ställning af en dylik eqvation skulle inskränka en radikals argument till ett enda fixt värde, så skulle man riskera att få svar, som icke satisfierade eqvationen: argumentet lika väl som modylen må derför obetingadt få sitt eller sina värden genom uträkningen ensam. Denna enkla anmärk- * Fig. behagade, läsaren sjelf teckna. AFD. II. PRISUPPGIFT FÖR 1870. 43 ning är tillräcklig att häfva de svårigheter, som bruka framträda vid lösning af roteqvationer. 134. De i föreg. §§ gifna exempel lemna en kort an- tydan om eqvationslärans betydelse inom den geometriska kalkylen. En problemsamling inom detta område blir till betydelsen sammanfallande med en samling af konstruktions uppgifter, hvilka med afseende på sin egendomliga karakter och svåråtkomlighet på annan väg böra erbjuda ett mer än vanligt intresse. (Forts.) Prisuppgift för 1870. JEn samling väl valda konstruktionsuppgifter såsom tillämpning på enkla och qvadratiska kcomplexeqvationer samt på sådana, hvilka kunna till qyadratisk form redu- ceras. (Jfr föreg. §§ 128—133 samt Bellavitis' Calcul des équipollences i tidskriften Nouvelles Annales de Mathéma- tiques, 1869). Priset är: Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Inté- gral Par I. Bertrand. Calcul Intégral (eller senare delen). Lösningarna böra vara inlemnade till adjunkt Dillner före den 1 Januari 1871. 44 AFD. IV. NOGLE BEMÆRKNINGER OM INTEGRATION ETC. AFDELNING IV. Nogle Bemærkninger om Integration af Differentialligninger. I dette Tidsskrifts anden Aargang Side 253 findes nogle Underso- gelser af D—g om Differentialligningers Integration ved Substitution, som give Anledning til nogle Bemærkninger, der maaske torde have no- gen Interesse for Læserne af dette Tidsskrift. Hr D—g har tilsigtet en mere rationel Fremstilling af Integratio- nen ved Substitution end der sædvanlig felges. Men om end den Frem- gangsmaade, han fremsætter, fortjener Opmærksomhed, saa troer jeg dog, at den lider af den Mangel ikke at fore til nogenlunde alminde- lige Resultater, men hver gang den skal bringes till Udforelse at kræve Forseg, der ikke altid falde heldigt ud. Dersom man nærmere betrag- ter hans Exempler, vil man ogsaa finde, dels at de ingenlunde pege hen til almindelige Regler, dels at de paa et nær alle lettere behand- les ved en anden Methode. Det ene, som jeg undtager er den sædvan- lige homogene Differentialligning, for hvilken han finder Substitutionen 4 = g ad rationel Vej. Derimod har han ikke fundet andre Substitu- tioner for visse andre Ligninger, som paa en rationel Maade kunne ef- terspores. Jeg tillader mig i den anledning at henvise Læseren til Oversigt over det Kgl. Danske Videnskabernes Selsk. Forhandl. for 1864 Side 45, hvor jeg har meddelt nogle Underssgelser derom. Men betragter man dernæst hans Methode nærmere. saa vil man finde, at det egentlig er den Lagrangeske Variation af den arbitrære Konstant, der er bragt i Anvendelse. Denne Methode plejer man kun at bruge ved de lineære Differentialligninger, hvortil den ogsaa ferst er skabt, men den fortjener visselig mere Opmærksomhed. Vist er det i alle Tilfælde, at Integrationen af den lineære Differentialligning af for- ste Orden da + F(z)y + F,(c) == 0 kun fremviser en speciel Anvendelse af Methoden. Man ser, at dy+F)y—0 AFD. IV. NOGLE BEMÆRKNINGER OM INTEGRATION ETC. 45 har til primitiv Ligning _ —J F(x)ax. 3 5 Ce 3 man lader derpaa c variere og indsætter i dem givne, saa findes det bekjendte Resultat. I Almindelighed maskerer man dette ved Substitu- tionen y = uv o. s. v. Men Hr D—gs Beregninger falde ganske sum- men med det her antydede. Hvad dernæst angaaer hans 3:0, 4:0, 6:o Exempel, saa ere de gan- ske af samme Beskaffenhed, idet Bernoulles Differentialligning (Ex. 3) fares tilbage til den lineære, det fjerde Exempel dy &—3 + 2ay dx =-0 er lineært med Hensyn til y2, og det sjette e° + xe +e + ae3 22 == 0 er lineært med Hensyn til ev, saa at henholdsvis Substitutionen y2 == z og €V ==z gjere dem linæere. Ex. 5 har for mig været det interessanteste, fordi jeg ved farste 0jekast troede, at det kunde henfores under et af de af mig paa oven- nævnte Sted anforte Tilfælde, enten dy o da = f(ocy) eller 2m = X/(zy)—ty, og, da jeg ikke kunde gjennemfare Andringen dertil, troede mig i uventet Besiddelse af en ny almindelig Form, der ligesom de nævnte lad sig integrere ved xy = 2. Paa en Maade er dette vel ogsaa Til- fældet; men Formen er dog for speciel til at hare herhid. Ogsaa den maa behandles ved den arbitrære Konstants Variation. Har man næmlig [wy — F(ay)] % + y2—aayf(ay) = 0, saa bemærkes strax, at dy 2y du + 92=0 har Integralet xy = c. Lader man nu c variere, faaes af den forelagte, idet c dy de dy 1 de c 9 =Z da+9 = dx, dx x da x2 • 46 AFD. IV. NOGLE BEMÆRKNINGER OM INTEGRATION ETC. forst c de (1 de e\ a dx dx a2) + acF(0) og dernæst c — J(c) de 1 cf (c) dx ax a’ hvis Integration giver 'dc a J(c) — l.e = 222—1.2+0 hvor C er den endelige arbitrære Konstant. For e maa dernæst sættes y, saa at man efter behörig Reduktion faaer d.cy a T(my) 19 - 2 49+0. Sætter man her a == 2, f(xy) == 1, faaes Hr D—g’s exempel. Ser man endelig hen til de Exempler, Hr D—g anforer paa Virk- ningen af hans Methodes Gjentagelse, saa viser det sig tilfulde, at hvis man bruger den arbitrære Konstants Variation, saa beheves der ingen Gjentagelse. Hans forste Exempel er dy dP de+32 - d + P2. Men dette ses umiddelbart at have et partikulært Integral y = P. Mere almindeligt vil y = P+c tilfredsstille dy dP dn+U2 - dm+2+26P+c2. Sættes nu det variable z for det konstante c, altsaa 3 = P+2, soges 2 besternt saaledes, at den givne Ligning tilfredsstilles. Man faaer dz da+4 + 2P - 0. som er Bernoulli’s Differentialligning. Det sidste Exempel a3 dy Λ (3 - ) - 9 da = 0, behandles ligeledes, idet man först integrerer AFD. IV. ANMÄLD SKRIFT. 47 og derpaa lader c variere. Man faaer da forst b. — c de a3 a da x' som omskrevet til dæ a de + ca = ba:2 ligeledes ses at være Bernoulli’s Differentialligning. Dens Integration giver 1-a[o-* = d] eller, naar c = bx — ay indfores 1 (bx-ay)2 7 A_(x-oy) 7 a = e 20°-4 e 20* d.(bx—ay)]. Men skjont Hr D—g’s Methode hidtil ikke har vist sig synderlig frugtbar, tor man dog ikke kaste Vrag paa den. Differentialligninger- nes Integration ligger desværre endnu i et Chaos og det mindste Bidrag til Ordning fortjener Opmærksomhed. Frederiksberg ved Kjobenhavn d. 21 Decbr 1869. ADOLPH STEEN. Anmäld Skrift BERGIUS, A. T. Elementarkurs i räknekonsten. Tredje upplagan. Stockholm 1868. Norstedt & söner. Först och främst vilja vi egna vår hyllning åt förf., derför att han varit bland de förste*, som utgifvit en räknebok uppstäld så, att eleven skall förstå räknelagarne. Förtjensterna af förf:ns arbete bestå hufvudsaknigen deri, att han anlitat åskådningen, der den kan komma i fråga (t. ex. vid multiplika- tionstabellen och vid läran om bråk), att han låtit hufvudräkningen ut- göra en vigtig del, att han låtit hvarje regel framkomma såsom ett re- sultat af eller uttryck för det förfaringssätt, som begagnats vid hufvud- räkningen. * Hans båda föregångare voro Otterström och Nyström. 48 AFD. IV. ANMÄLD SKRIFT. Förf, börjar sin bok med addition och subtraktion af små tal (talen 1—10). Man finner här bland annat ett intressant problem, hvilket be- står i att upplösa tal*. Derefter följa addition och subtraktion af ta- len 1—100. Först derefter komma läsning och uppskrifning af större tal och deras behandling med de fyra räknesätten. Omedelbart efter läran om hela tal låter förf, läran om decimaler** följa. Att förf, äfven i denna upplaga låter läran om decimaler föregå läran om allmänna bråk, är lärorikt nog. Det visar nämnligen, att förf, och de lärare, som be- gagnat förf:ns bok, med framgång kunnat följa denna ordning. Vid det nyss hållna läraremötet i Uppsala voro åsigterna i denna punkt delade. Förf:ns bok är skrifven så, att den kan vara afslutad med läran om bråk, ty exempel under rubriken sorter och regula de tri i andra läro- böcker finnas här upptagna på vederbörliga ställen såsom användning af läran om hela tal och bråk. Dock har förf, ej stadnat härmed. Han har näml. derjämte lemnat en redogörelse för raka, omvända och sam- mansatta förhållanden, han har på ett enkelt sätt bevisat satsen, att produkten af de yttre termerna i en analogi är lika med produkten af de inre. Han visar, huru exempel under regula de tri, rabatt-, bolags- och kedjeräkning skola behandlas så väl medelst analogier som medelst att gå till enheten. Exemplen äro praktiska och rätt räknade. I ex. 30 sid 180 har dock förf, gjort en blunder, då han säger den specifika vigten af al vara 0,5, oaktadt det visar sig af det gifna i samma exempel att den är = 1. Att såsom förf, börja sin räknebok med en liten kurs för små tal anse vi förträffligt; men vi förstå icke, hvarför författaren ej utsträckt kursen äfven till multiplikation och division, såsom Siljeström gjort i sin lärobok. — Läran om division sid. 43 börjar förf, med en förbere- delse. I hvad sammanhang denna står med läran om division sid. 46 ha vi ej kunnat fatta. Förf, har ej varit trogen sin grundsats — att ej gifva regel för nå- got räknesätt, så framt ej det först blifvit fullt förstådt — då förf, un- derlåtit förklara sin lära om tals delbarhet och om störste gemensamme divisorn. Vi sluta med att rekommendera förf:ns bok såsom bygd på goda pedagogiska grunder. * Exempel. Att upplösa 5. Lösning. 5 =4 + 1 == 3 + 2 = 3+1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; således inalles 6 sätt. Detta gifver oss anledning till följande fråga: På huru många sätt kan man man upplösa ett gifvet helt tal i hela tal? ** Förf, undviker med flit ordet decimalbråk, emedan den uppfattnin- gen, att räkning med decimaler i sjelfva verket är detsamma som som räk- ning med hela tal, derigenom försvåras. X € /8 eq./0. 17 \ 1 ■ % AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 11). 8. Georg STJERNHJELM. Georg Stjernhjelm är för svenska allmänheten väl be- kant såsom svenska skaldekonstens fader. Hvad han va- rit på det matematiska området, är deremot mindre kändt. Detta är också icke underligt, då af hans matematiska ar- beten hittills endast hans Archimedes reformatus, Holmniæ 1644, och en tabell: mensuræ regni Suethiæ, Holm. 1664, finnas utgifne. Vi komma derföre att vid redogörelsen för Stjernhjelm blifva något utförliga, för att härigenom fylla en lucka i den bild, som förut af Hammarsköld i hans Georg Stjernhjelms Vitterhetsarbeten och i Biografiskt lexi- kon finnes tecknad, och för att tillika lemna ett bidrag till den matematiska kulturhistorien på 1600-talet. A. Lefnadsteckning. Georg Stjernhjelm eller, såsom han under förra hälften af sin lefnad hette, Göran Lilje, föddes 1598 i Vika soc- ken i Dalarne. Efter slutad skolgång fortsatte han sina studier i Upsala. Som yngling vistades han mycket hos Joh. Thomæ Bureus, hvilken värderade honom för hans ypperliga hufvud och för hans vetgirighet. Genom umgän- 4 50 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. get med denne lärde fornforskare insöp han kärlek för språk och svensk fornforskning. Efter slutade studier be- sökte han 1625 Tyskland, Holland, England, Frankrike och Italien. I England väckte han sådan uppmärksamhet, att han blef den förste svenske ledamot af den nyss instif- tade vetenskapssocieteten. Under denna resa utgaf han i Greifswald år 1625 en afhandling: de ornatu reipublicc. Samma år utnämndes han till lektor i etik i Westerås, men kallades strax derefter till en lika beställning vid det i Stockholm inrättade gymnasium illustre, hvilken plats han fylde till ungdomens synnerliga gagn och tillfredsstäl- lelse. Oakradt Lilje ej var jurist, gjorde honom dock Gu- staf, i förlitande på hans utmärkta snille, till assessor vid Dorpats hofrätt år 1630. Konungen misstog sig ej. Lilje satte sig så in i sin nya verksamhet, att konungen såsom en belöning för hans förtjenster för honom år 1631 utfär- dade ett adelsbref, i hvilket han utbytte hans namn till Stjernhjelm och förlänade honom Stjernlunds och Wasula gods i Lifland. År 1639 blef han landtråd i Lifland, hvarvid han tillika tjenstgjorde som medlem af Dorpats öfverkonsistorium. Under denna tid synes han flitigt ha studerat matematik. Bland hans efterlemnade handskrifter finnes nämnligen en uppsats öfver Quadratura circuli, skrif- ven 163310, vidare en algebra suethica, skrifven till stor del i Westerås 1639; *. År 1642 %,° afslutade han i Wa- sula sin arithmetica mnemonica universalis. Samma år kal- lades Stjernhjelm till ledamot i lagkommissionen i Stock- holm angående processen. Af detta uppdrag var han upp- tagen äfven under året 1643. Hindrad dels af ledamot- skåpet i denna kommission, dels af oroligheterna i Lifland, vistades han större delen af denna tid i Stockholm. Hans juridiska studier afbröto dock ingalunda hans matematiska * Att Stj. var öfver till Sverige på en längre tid, vintern 1638--9, synes dels deraf, att han i Westerås skref en algebra, dels deraf, att han år 1639 3 för rikskansleren presenterade i Örebro ett handskrifvet arbete, kalladt Adel-runa. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 51 studier. Vissa ur Herigons * algebra tagna exempel äro nämnligen inskrifna i hans algebra suethica 164212. Vi- dare utgaf han år 16441 i Stockholm sin Archimedes re- formatus, ett arbete, der han bestämt åtskilliga ämnens egentliga vigt, hvarigenom han lade grunden till sina så fruktbärande studier om alla länders mått, mål och vigt. Från denna tid kom han i beröring med en mängd lärde, som drottning Kristina samlade omkring sig. Samtidigt torde han ock ha sammanträffat med professorn i matema- tik vid Upsala universitet Benedictus Hedrœus **. Derom vittna en bland Stjernhjelms handskrifter befintlig trigono- metri af Hedræus och ett citat i Stj:s arithmometria linea- lis, deri han nämner, att Hedræus gjort en kopparskifva för att noga dela en linie i ett gifvet förhållande. Ar 1648 blef Stjernhjelm antiqvarie efter Joh. Thomæ Bureus. Samma år blef han president i Dorpts hofrätt. Under kri- get i Lifland blef han plundrad på en stor del af sin för- mögenhet och begaf sig derföre till Stockholm. På åter- resan förstördes genom skeppsbrott återstoden af hans för- mögenhet, hvarvid fiere af hans folk omkommo. Vid drott- ning Kristinas hof kom han i beröring med Cartesius *** * Petrus Herigon, Cartesii förelöpare, var en framstående mate- matiker i Paris, hvarom man numera intet närmare känner. Stj. ci- terar honom ofta i sina matematiska skrifter. Han har skrifvit Cursus mathematicus nova, brevi et clara methodo demonstratus. 6 torner. Paris 1644. (Poggendorff). ** Hedræus har utgifvit: Astrolabii geometrici structura, nec non quadrantis astronomici Lgd. B. 1643. Hedræus var sannolikt prof, i matematik till år 1650, då Johan Bureus emottog denna professur, hvilken han innehade till år 1664. Johan Bureus och hans bror juris professorn Nils Burensköld voro söner till prof, och biskopen Jakob Bu- reus, hvilken åter var kusin till de begge i vår historik omnämnde brö- derna Olof och Anders Bure. Johan Bureus var syssling till Stjernhjelms hustru Cecilia Bure, hvilken var dotter af kyrkoherden i Gråmunkeklo- ster i Stockholm Laurentius Engelberti samt brordotter till Olof och Anders Bure. (Anrep och Biogr. lex.). *** Descartes (Cartesius), René du Perron. Son af ett parlaments- råd, föddes 1596 i en liten by emellan Tours och Poitiers. Han upp- fostrades i katolska religionen i jesuiterkollegiet i La Flèche 1604—12. 52 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. (Okt. 1649—Mars 1650). Hans matematik vittnar dock ej om någon bekantskap med Cartesii arbeten. Stjern- hjelms likhetstecken (||) efter år 1642 har han dock ge- mensamt med Cartesius. Stj:s matematiska insigter äro be- tydligt underlägsna Cartesii. Stjernhjelms beteckningssätt är helt olika med Cartesii. Stjernhjelm står på den Vieta*— Från 1617—22 tjenade han som frivillig i holländska, bajerska och österrikiska krigstj ensten, hvarunder han emellanåt vistats i Frankrike samt gjort flere resor till Schweiz och Italien. Han stadnade i Holland 1629 och lefde der i olika städer till 1649 i Okt., då han på drottning Kristinas kallelse kom till Stockholm för att undervisa henne i filosofi. Dessa lektioner fortgingo endast en månad kl. 5 hvarje morgon. Car- tesius fann nämnligen ej hos Kristina det allvar han väntat. Han dog i Stockholm kort derefter Mars 1650. — Redan år 1618 väckte Carte- sius uppseende i Breda hos Beekmann genom lösning af ett matematiskt problem. Samma år utgaf han under titeln Parnassus ett fragment öf- ver algebran. Hvad han skrifvit finnes i följande verk: 1. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et cher- cher la vérité dans les sciences; plus la dioptrique, les météores et la géométrie. Leyde 1637. I detta verk förekommer den honom med orätt tillskrifna refraktionslagen, hvilken han otvifvelaktigt lånat af Willebrod Snell, men först bragt i den nu framstälda battre formen samt först an- vändt på regnbågens teori. Sista kapitlet innehåller den analytiska geo- metrien, hvars grundläggare Cartesius är. 2. Compendium musicæ. Ultraj. 1650, redan 1618 författad, men först efter hans död utgifven. 3. Lettres de R. Descartes, où sont traitées les plus belles ques- tions touchant la morale, la physique, la médécine et les mathématiques. 3 vol. Paris 1667. (Här förekommer bref till drottning Kristina från Cartesius). 4. Renati Descartes’ Opuscula posthuma, Amstel. 1701. (Poggen- dorff och Firmin Didot). * Viète (Vieta), François. Född 1540 i Fontenay, protestant, var till 1567 advokat i sin fädernestad, derpå råd i Bretagnerparlamentet. Senare kom han med Henrik IV till Paris och blef der medlem af en- skildta rådet. Han dog 1603 i Paris. Vieta är den förste, som i al- gebran infört symboler (species) eller bokstäfver för att uttrycka så väl obekanta som bekanta storheter. Han kallade derföre algebran för lo- gistica speciosa (räkning med symboler). Hans uppträdande gör en epok inom analysen. Hans skrifter äro, säger Montucla, svårlästa dels för AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 53 Stevinska * ståndpunkten. Kanhända berodde bristen på anknytningspunkter mellan Stjernhjelm och Cartesius ej hans med grekiska uttryck uppfylda språk, dels för hans beteckningssätt så olika den närvarande tidens. I stället för hans beteckningar hafva efterföljarne Stevin, Girard och deras skola begagnat förnuftigare. Den senare af desse citeras aldrig af Stjernhjelm, men så mycket mer den förre Stevin, ja vi våga påstå, att Stjernhjelms matematiska kunskaper äro frukten af ett flitigt studerande af Stevins arbeten. Vieta dref först beräkningen af talet 7r till 11 decimaler. Vietas matematiska arbeten äro utgifna af v. Schooten i Lugd. Ba- tavorum 1646. De innehålla bland annat: 1. Isagoge in artem analyticam. 2. Ad logisticam speciosam notæ. 3. De æquationum recognitione et emendatione, först utgifna af Alex. Anderson. Paris 1615. 4. De numerosa potestatum purarum atque affectarum ad exegesin resolutione tractatus. 5. Apollonius gallus, seu exsuscitata Apollonii Pergæi περl επaφωv (om tangering) geometria. Genom detta arbete har Vieta återstält ett af de gamles arbeten, som gått förloradt. Dessutom har Vieta sjelf utgifvit Canon mathematicus, Lutetia 1579. Detta är en trigonometrisk tabell, der han beräknar de båda kateterna i en rätvinklig triangel, då hypotenusan är antagen till 100000. På detta sätt får han våra sinus och kosinus. Vidare uträknar han en ta- bell för hypotenusan och den närliggande kateten i en rätvinklig trian- gel, då vinkelns motstående katet är antagen vara 100000. På detta sätt får han våra kosekanter och kotangenter. Slutligen har han en ta- bell, der vinkelns närliggande katet är antagen vara 100000. Denna ta- bell gifver våra tangenter och sekanter. (Montucla, Poggendorff, Fir- min Didot). * Stevin, Simon, ryktbar holländsk matematiker, någongång kallad Simon från Bruges, föddes 1548 i Bruges och dog 1620 i Haag. Kom tidigt att blifva bokhållare hos en af de rikaste köpmännen i Antverpen. Utbytte sedan denna befattning emot förvaltningen af finanserna i Bru- ges i Frankrike. Då han ej erhöll tillåtelse att i Bruges inrätta en ät- tikfabrik, började han fara verlden omkring. Han talar i sina arbeten om sina iakttagelser i Danmark, Norige, Sverige och Polen. Man har anmärkt, att han endast besökte länder, der samvetsfriheten var känd. Denna brist på renlärighet förskaffade honom talrika fiender. Ännu 1845 var det med möda, som man i Bruges ville uppresa en minnesstod åt en man, hvars renlärighet var tvifvelaktig. — Sedan 2000 år var meka- 54 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. allenast på olikheten i deras matematiska ståndpunkt utan äfven på olikheten i deras religion. Cartesius var en ifrig niken stationär. Stevin är efter Arkimedes den förste, som gifvit lös- ning åt de problem, som hämmade framstegen. Han är far till den moderna statiken. Han har framstält alla de grundsatser, som i dag utgöra vetenskapen om fasta kroppars jemnvigt. Han har funnit teorien för lutande planet. Han har upptäckt kraftparallelogrammen och i tyd- liga ordalag uttryckt denna grund för mekaniken, hvilken sedermera blef ansedd såsom en upptäckt af Varignon. Han har af hydrostatiken gjort en vetenskap alldeles skild och oberoende af statiken. Han har först till de af Arkimedes gjorda upptäckterna lagt och bevisat såsom en hufvudegenskap hos vätskors jemnvigt, att en vätska kan på bottnen af ett kärl utöfva ett tryck större än dess egen vigt, en princip känd under namnet af den hydrostatiska paradoxen, för hvilken Pascal fått äran. Han har upptäckt lagen för vätskors tryck på väggarne af ett kärl. Han har i sina matematiska undersökningar användt konstgrepp, som man kan betrakta som ett första steg till infinitesimalkalkylen. Han har först infört bruket af decimaler, ehuru Regiomontanus hade gjort ett stort steg härtill, och ehuru till och med Eamus indirekt hade användt dem. Han har skrifvit en af de bästa afhandlingar om konsten att segla. Han har angifvit medlen att af geologien göra en vetenskap. Han inrättade en vagn med vingar, som gick fortare än en häst. Ar 1617 utnämndes han till lägerutstickare åt armén i Nederländerna. Hans arbeten äro : 1. Pratique d'arithmetique. Anvers 1585 2. Problematum geometricorum lib. V. Ib. 1585. 3. Principes de statique et d’hydrostatique. Leyde 1586. 4. Système nouveau de fortification. Ib. 1586. 5. De motu coeli. Ib. 1589. 6. Traité de navigation. Ib. 1599. (På latin öfversatt af Grotius). 7. Limen heureticon, seu portuum investigandorum ratio. Leyde 1624. Alla hans arbeten, från början skrifna på flamländska, äro samlade i Leyden 2 voll. Största delen är på latin öfversatt af W. Snell (Hy- pomnemata, Leyde) och på franska af Girard. (Firmin Didot). Anm. Girard, Albert, berömd holländsk matematiker , dog i armod år 1633. Han har utgifvit: 1. Tables de sinus, tangentes et secantes avec un traité succinct de la trigonométrie. Haye 1626. 2. Fortification ou architecture militaire. Amsterdam 1627. 3. Géométrie contenant la théorie et pratique d’icelle. Ib. 1627. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 55 katolik. Vi ha tyckt oss märka, att de främmande män, med hvilka Stjernhjelm brefvexlade, varit ifriga prote- stanter och till större delen bördiga från Holland. — Omkring år 1650 kom Stjernhjelm i följd af sin frisprå- kighet i onåd hos drottningen och blef af henne genast kommenderad tillbaka till Lifland. Här finna vi honom på sina gods Stjernlund och Wasula sysselsatt med sina veten- skapliga arbeten och sina barns uppfostran. Så t. ex. visa hans handskrifter, att han år 1652 12 på Stjernlund kon- struerat en proportionalcirkel, förmedelst hvilken han geo- metriskt konstruerade fram resultaten i alligationsräkning och vid öfriga proportioneringar (1653 % ). Vidare förfat- tade han 1653 2,5 en större afhandling om quadratura cir- culi och duplicatio spheræ. Ar 1654 2 inskref han i Up- sala i sin algebra suethica åtskilliga ur Diofanti algebra tagna exempel. På Stjernlund hade han inrättat ett litet särskildt observatorium, der han bestämde Stjernlunds pol- höjd till 60° 0'. Han sysselsatte sig också med höjdmät- ningar och konstruktioner af åtskilliga astronomiska instru- ment (en sjelfregistrerande glob, en vattenkonst, som spe- lade med käflingar 29, tympanum azimuthale et almucan- tharale, rota canonica), dervid understödd af hans gode vän kandidat Megalinus. År 1654 9 och 18 skref han på Stjernlund planimetriska problem ledande till andra grads eqvationer. Ar 1655 finna vi honom i Wasula sysselsatt med matematiska studier. En algebra, som förekommer i samma band som hans arithmetica mnemonica universalis 4. Invention nouvelle en algèbre 1629. (Girard har infört negativa storheter äfvensom negativa rötter i analysen. Se inledn. af Agardhs algebra, Carlstad 1846). 5. Les oeuvres mathématiques de Simon Stevin. Leyde 1634. (Ut- gifna efter Girards död. (Poggendorff). I detta sista arbete säger Girard sig ha funnit lösningen till Eukli- des’ porismer. Hans arbete häröfver utkom dock aldrig. Som bekant ha dessa porismer genom Simson blifvit till en del och i våra dagar ge- nom Chasles fullkomligt återstälda. 56 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. är skrifven i Wasula detta år. Likaledes har han samma år 17 skrifvit en särskild algebra för sina söner (Gustaf och Georg Otto). Dessa arbeten finnas ännu på Stock- holms k. bibliotek. Stjernhjelm lärer varit den förste, som i Sverige infört mikroskop och solglas. Afven Wasulas polhöjd bestämde han och fann den vara 58° 19' 5". Dor- pats polhöjd säger han vara 580 15'. Under denna tid um- gicks han sannolikt med matheseos prof. Schelenius * i Dor- pat. Han citerar honom ett par gånger (angående medel- proportionalen och trigonometria sphærica). Ar 1656 blef hans egendom Wasula af de härjande ryssarne uppbränd och han sjelf måste med de sina fly öfver till Sverige. (Han beskref i Wasula 1656 0 dessa härjningar). Från Stockholm skref han 11 1656 till sin vän kandidat Mega- linus i Wexiö på latin ett bref, som ännu finnes qvar på Stockholms k. bibliotek. Brefvet innehåller en numerisk lösning på problemet: att dela en rät linie så, att rektan- geln af hela linien och ena delen är lika stor med qvadra- ten på den andra delen. » Mera nöjsamt skall jag med- dela, så frarat Gud låter mig lefva och ej hungern drifver mig i främmande land att söka bröd, hvilket jag förutser skola inträffa, så framt ej en Deus ex machina kommer och hjelper.» Också måste Stjernhjelm vid återkomsten till Sverige i början lefva af enskildt och allmänt under- stöd, tills han efter Roeskildska freden 1658 blef landt- domare öfver Trondhjems län i Norge; men denna tjenst måste han snart lemna och var snart lika fattig som förut. Ar 1660 insattes han i reduktionskollegiet, men afsade sig snart denna för honom obehagliga befattning. Ar 1661 blef han krigsråd; men han erhöll tillika en angenämare sysselsättning, då, i anledning af ett till hans regering in- gifvet memorial honom uppdrogs att närmare bestämma ri- * Schelenius. „Toachim. professor i matematik vid universitetet i Dorpat omkring 1659, född 1612 i Treptow i Pommern, död 1673 i Dorpat. Har utgifvit: 1. Cursus mathematicus, 4 voll. 1665. 2. Rhabdologia seu computatio per virgulas. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 57 kets mått, mål och vigt samt uppfinna en tillförlitligare allmän mätare för dem. För detta ändamål undersökte han Juli 1661 i Stockholm engelsmannen Gravii pes stati- lianus. År 1663 30 gjorde Stjernhjelm ett utdrag ur Ce- nalis' arbete om måttens verkliga förhållanden. År 1664 utkom det praktiska resultatet af hans måttbestämningar i en halfarkstabell, kallad mensuræ regni Suethiæ, autori- täte regia ordinatæ per Georg Stjernhjelm, S. R, Μ. Consil. milit. Här får man se så väl hans trefaldiga linea caro- lina som håns normalbestämning af den svensk-romerska foten. Graveringen är gjord af Georg Otto Stjernhjelm. Året derpå 1665 blef genom kongl. majestäts »placat om mått och vigt» Stjernhjelms bestämningar om mått och vigt genom lag påbjudna till antagande. Denna lag blef gällande till 1737. Af år 1664 hafva vi af Stjernhjelm enklare planimetriska problem ledande till eqvationer af andra graden, skrifna i Stockholm. År 1667 utnämndes Stjernhjelm till styresman för antiqvitetskollegium i Stock- holm med titeln riksantiqvarius. Detta kollegium hade året förut blifvit inrättadt af Magnus Gabriel de la Gardie i Upsala, men sedan blifvit flyttadt till Stockholm. År 1669 2,7 redigerade han sin Archimedes practicus per lineam carolinam. Stjernhjelm var lång och reslig, brukade eget hår, kort pipskägg och bekymrade sig ej mycket, huru han gick klädd, hade alltid ett gladt sinne, försatte heldre sina an- gelägnaste sysslor än han försummade ett roligt sällskap; var arbetsam och hade ganska mycket för sig, hvilket mer- endels stannade i blotta förslag. Han var frispråkig i reli- giösa ämnen mera än tiderna tilläto och blef af lifländska presterskapet exkommunicerad såsom ateist. Han absolve- rades ej, förrän han uti en oration i Dorpat hade redo- gjort för sin trosbekännelse om Gud och hans under i na- turen. Stjernhjelm dog 1672 11 och begrafdes i Klara kyrka. Enligt Anrep gifte sig Stjernhjelm omkring 1640 med Cecilia Bure, dotter af kyrkoherden i Gråmunkekloster 58 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORTA. i Stockholm Laurentius Engelberti samt brordotter till Olof, Jonas och Anders Bure, af hvilka vi i vår historik redo- gjort för Anders och Olof. Med Cecilia hade han 4 barn: Johan Marqvard, sedermera kapten, Georg Otto, assessor i Bergskollegium ett år efter fadren, Gustaf bortryckt i sin ungdom och Kristina gift 1686 med lagman Silvius. Stjernhjelm har utgifvit Musæ suethizantes, det är sång- gudinnor nu först lärande dikta och spela på svenska, tedde i några små verk och dikter. Stockholm 1668. (Här förekommer hans bekanta Herkules). Dessutom har han utgifvit åtskilliga filologiska, juridiska och matematiska arbeten. Vi upptaga här endast hans matematiska arbeten: A. Tryckta arbeten. 1. Archimedes reformatus, Holmiæ 1644. 2. Mensurœ regni Suethic, auctoritate regiæ ordinatæ per Georg Stjernhjelm, S. R. M. Consil. milit, Sthlm 1664, en kopparstickstabell på ett halft ark. B. Handskrifter. 1. Computus decimalis och arithmetica decimalis (18 qvartsidor på olika tider). Något årtal finnes icke. 2. Arithmetica mnemonica universalis in Wasula con- scripta 1642. Senare delen utgöres af en algebra, skrifven i Wasula 1655 28. 3. Algebra suethica * (på svenska) skrifven dels i We- sterås 16393, dels i Stockholm 1643 13, dels i Upsala 1654 2, efter hvad anteckningarne i bräd- * Algebra suethica och Lineæ Carolinæ constitutio finnas på Up- sala bibliotek (Carolina rediviva). Der finnes ock en senare upplaga af sistnämnde arbete, kalladt Carls-stafven. Vi begagna här tillfället att till bibliotekarien Styffe och öfriga tjenstemän vid universitetsbiblioteket i Upsala framföra vår hjertliga tacksägelse för deras uppoffrande välvilja att hålla biblioteket öppet för oss på extra-timmar. Alla öfriga här nämnda handskrifter finnas på kongl. biblioteket. Vi tacka bibliotekarien Klemming och öfriga tjenstemän vid kongl. bi- blioteket och vid Vetenskapsakademiens bibliotek för deras städse till- mötesgående välvilja. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 59 den upplysa. Denna algebra är af Stjernhjelm på ålderdomen öfversedd. Senare hälften af denna bok är en afskrift af algebran i förra hälften. 4. Algebra retecta, conscripta in usum filiorum Gu- stavi et Georgi Ottonis Stjernhjelmiorum. In Wa- sula die 27 Nov. 1655. Utanskriften heter Pro- blemata stereometrica, metallica et similia enligt Herigone. Samma bok innehåller äfven Proposi- tiones arithmeticæ ex exercitat, arithmeticis Franc, a Schooten *, en arithmometria linealis (här näm- ner han huru Hedræus gjort en kopparskifva), samt en trigonometri. 5. Regula alligationis in lineis et circino proportionali. Harpa analogiæ. Regula societatis, Regula falsi in lineis. Problemata arithmometrica. Stjernlund 1652 12. Divisio testamenti Caroli Magni per meum cribrum mathematicum. Demonstratio Joh. Mega- lini 1657 1, in Forssa. 6. Geometria practica (till en del enligt Stevinus). Stjernlund 1654 25, Wasula 1655 11, Stockholm 1664 . 7. Trigonometrica dels af honom sjelf, dels af prof. Hedræus. I slutet af hans algebra retecta före- kommer en trigonometri. I slutet af hans algebra suethica finner man också en trigonometri enligt Pitiscus. 8. Quadratura circuli 1633 1% och 1653 25 samt sphæra duplicanda. 9. Notæ astronomicœ. Globus se ipsum rectificans per * Schooten, Frans van, son af professorn i Leyden Fr. van Schoo- ten, hvilken uträknat tabulæ sinuum. F. Schooten jun. var extra ordin, prof, i Leyden, dog år 1661. Han har utgifvit: 1. Principia matheseos universalis 1651. 2. Exercitationum mathematicorum libri quinque 1667. Dessutom har han utgifvit Descartes’ geometri med anmärkningar. Likaledes har han utgifvit Vietas arbeten. 60 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. automaton 27. Vattenkonst, som spelar med käf- lingar. Tympanum azimuthale et almucantharale 1653 (af Joh. Megalinus). Geografiska bestämnin- gar och höjdmätningar, Stjernlund 1654. Rota ca- nonica. En kort beskrifning om ett säjerverk. 10. Progressio musica (ett ark). I arithm. mnemonica förekommer också studier i musiken. 11. Notabiliora quædam ex libris geometrica Alberti Dureri*. (Ritning af spiraler och ägg medelst cirklar). 12. Usus lineœ Carolines Carolo Gustavo dedicatæ. Go- thoburgi 1657. Stockholm 1661 Samma arbete, fullständigare och tydligare skrifvet. Lineæ Carolinæ hydro-metro-staticæ constitutio et usus, skrifven för k. Carl Gustaf 1657 **. Baculus Carolinus, sereniss. Regi Suethiæ Carolo XI consecratus 1663. Constitutio et usus pedis Stockholmensis. En mängd lösa hithörande papper. Archimedes practicus per lineam carolinam. Stock- holm 1669 27. Synes vara skrifven för att tryckas. B. Decimalräkningen. Läran om decimalräkning behandlar Stjernhjelm i sin arithmetica mnemonica universalis (Wasula 1642), i sin computus decimalis och i sin arithmetica decimalis. I sin algebra suethica af år 1639 talar Stjernhjelm om decima- * Dürer, Albert, den store målaren, föddes 1471 i Nürnberg och dog i samma stad 1528. Han har skrifvit: 1. Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt in Linien, Ebenen und ganzen Körpern. Nürnberg 1625. 2. Unterricht zur Befestigung der Stedte, Schlosse und Flecken. Nürnberg 1527. Detta arbete innehåller bland annat 4 böcker om de menskliga proportionerna. Jfr sid. 58, not. AFD I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 61 ler såsom om något allmänt kändt, ty han inför derstädes på de obekantas digniteter beteckningar, som skilja sig nå- got från de af Stevin begagnade för att, som han säger, skilja dem från decimaler. Detta häntyder på att Stjern- hjelm långt före 1639 (troligtvis sedan sin utländska resa 1625) räknat med decimaler. I sina undersökningar om mått, mål och vigt vid slutet af sin lefnad använder han decimalräkningen ofta. Af Firmin Didots’ lefnadsteckning öfver Stevin visar sig, att Stevin är den som först* infört bruket af decimaler (sannolikt i hans Pratique d’arithmé- tique, Anvers 1585). Det förflöt således omkring 40 år mellan decimalernas upptäckt och kännedomen af dem i Sverige. Öfver 200 år förflöto (till början af 1800-talet), innan decimalerna blefvo mera allmänt införda i våra räk- neböcker; ty om de kapitel angående decimalräkningen, som t. ex. Björks, Keæleri och Celsii läroböcker innehålla, * Detta motsäges af Björk, en framstående svensk aritmetiker, för hvilken vi skola redogöra närmast efter Stjernhjelm. Han yttrar i sin lärobok, att decimalerna äro uppfunna af Johann Bartmann Beyer (från Bayern). Som Stevin var 20 år äldre än Hartmann, är det dock san- nolikare, att Stevin varit uppfinnaren. Hartmann, Johann, tysk kemist, född i Amberg i Pfalz 1568. Professor i retorik och matematik i Marburg 1592, medecine doktor derstädes 1606, blef professor i kemi vid samma universitet 1609 (den förste kemiska lärostol i Europa). Han älskade kemien med passion och bidrog mer än andra att borttaga sina samtidas smak för alkemien. Var lifmedikus hos dåvarande landtgrefven af Hessen-Kassel. Han dog 1631 i Kassel. Har utgifvit: • 1. Logistica decimalis et stereometria. 2. Praxis chymiatrica. 3. 25 disputationer i medicinsk kemi. 4. Miscellanea medico-chymica. 5. Stereometriæ inanium nova et facilis ratio geometricis demon- strationibus confirmata. Frankfurt 1603. (Inledningen i detta arbete in- nehåller läran om decimalräkningen). 6. Ein newe und schöne Art der vollkommenen Visierkunst. Frank- furt 1603. Hans opera omnia medico-chymica utkommo 1690 i Frankfurt. Jöcher (Gelehrten Lexicon) och Firmin Didot (Biogr. générale). 62 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. hafva flertalet af läroboksförfattarne under 16- och 1700- talet ej tagit någon kännedom. Anmärkningsvärdt är ock att först i våra dagar genom Wrede, Bergius och Smedberg läran om decimaler blifvit satt i sammanhang med läran om hela tal — i öfverensstämmelse med deras ursprungliga bestämmelse. »Tiondetalsräkningen är» nämnligen, säger Stjernhjelm i sin arithmetica decimalis, »uppfunnen för att undfly bråk och brukas isynnerhet i landtmätning och i mål och foträkning.» Stjernhjelms beteckningar äro följande: 0) eller 0 (en nolla ofvanför sista siffran) betyder hela, (1) eller ' betyder tiondedelar, (2) eller " » hundradedelar, (3) eller » » tusendedelar, o. s. v. Den förra beteckningen (siffror omgifna af cirklar an- vänder Stjernhjelm i sina tidigare arbeten, den senare be- teckningen (kommata, lutande åt venster, satta såsom våra exponenter efter sista siffran af talet) i sina senare skrif- ter. Beteckningen med exponentkommata hafva vi åter- funnit hos Joh. Hartmann i hans stereometriæ ratio. 1603. Talet 5,076 betecknas af Stjernhjelm antingen 5076 (3) eller 5076". 24 hela skrifver han 24 eller 24 © eller 24 eller 240® eller 2400 @ . Addition. Följande exempel enligt vårt nuvarande beteckningssätt 532 + 0,07 + 0,56 + 0,0345 skrifver han 532® 7® 56 @ 345 @ och uträknar på följande sätt AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 63 (0) () @9) @ eller 0 % ** **% V∖X∖ 532 7 532 • 7 5 6 5 6 3 4 5 3 4 5 532 6 6 4 5 () 532 6 6 4 5 ww Subtraktion. Skilnaden 5,7034 — 4,863 finner hån sålunda: 57034 @ 48630 @ 8404 @). Multiplikation. Produkten 5,076.4,58 beräknar han på följande sätt: 5076 () 458 (g) 40608 25380 20304 2324808 Θ Vid produkten sättes summan af faktorernas tecken. Division. Regel. Man subtraherar divisorns tecken från divi- dendens; men om dividendens tecken är mindre, ökar man först dividenden med så många nollor, att han får antin- gen samma eller större tecken. Ex. Fyra hela divideradt med 0,02 utför Stjernhjelm sålunda: 2(2( - 400 (2) \200 (, d. v. s. 2 (2) rym mes i 400(2) 200 ggr, eller sålunda: 400" (200. 64 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Anledningen till decimalernas Uppkomst är att söka i bemödandet att finna lämplig indelning för längdmått, yt- mått och rymdmått. Stjernhjelm har i detta hänseende gjort sig mycket förtjent af vår tacksamhet. Hans bestäm- ningar af längdmåtten äro de samma, som vi ännu i dag hafva. Genom följande exempel blifva Stjernhjelms åtgö- randen i detta hänseende tydliga: Talet 157,32097 eller 15732097 ( bör utläsas på föl- jande sätt: I longimetrien. 157 perticæ (stänger)* 3 pedes (fot) 2 digiti (finger) 0 gran 9 ferul. 7 puncta (arithm. univers, mnemon.) eller 157 stänger 3 fot 2 tumbar (tum, toll) 0 gran 9 li- nier 7 punkter (arithm. decimalis). I planimetrien. 157 qu. perticæ 3 zonæ 2 qu.pedes 0 palmulæ 9 qu. digiti 7 strigæ (arithm. univ. mnemon.) eller 1 podisma 5 plethra 7 qvadr.stänger 3 bälten 2 qv.fot 0 lister 9 qv.finger 7 remsor 0 korn (grana). [Arithm. decim.]. I stereometrien. 157 cub.perticæ 3 scutal. 2 trabes 0 cub.pedes 9 qua- dræ 7 taleæ (arithm. univ. mnemon.) eller 157 kub.stänger 3 skifvor 2 pelare 0 kub.fot 9 taflor 7 torn 0 finger (tessela digitalis) 0 filum 0 granum 0 fe- stuca, 0 scrupulus vel punctum (arithm. decim.). Som vi se, står Stjernhjelm i afseende på namn för ytmått och rymdmått framom oss ännu i dag, i det han liksom fransmännen har särskildt namn äfven på tionde- delar och hundradedelar af yt- och rymdmåtten. Hans för- måga att bilda namn är verkligen förvånande. Slutligen bör anmärkas, att Stjernhjelm vet att för- vandla vanliga bråk till decimaler och tvärtom. Se här * 10 stänger utgjorde ett plethrum (vårt nu varande ref, se sid. 94). AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 65 ett af hans exempel i arithm. univ. mnem. på den senare händelsen, hvilket är lärorikt, emedan det visar, att han kände teorien för närmebråk. 3428 (3) är, säger han, lika med 3 1000 eller i det när- maste 33. Märk. Närmevärdena till 0,428 äro 1, 3, 4, 4°7. C. Algebra. Stjernhjelms algebraiska arbeten utgöras, såsom nämndt är, af 1. Algebra suethica, skrifven i Westerås 1639, Stock- holm 1643 och Upsala 1654. 2. Arithmetica mnemonica universalis, skrifven i Wa- sula 1642 (renskrifven i Dorpat under tillfrisknan- det efter en sjukdom) och 1655. I den förra de- len begagnar han liksom Cardan * och öfrige geo- * Cardano, Geronimo, medecine doktor, praktiserande läkare och professor i matematik i Milano (1534—59), derpå prof, i medicin först i Pavia och derpå i Bologna (1562—70), hvarifrån han flyttade till Rom och lefde der af en påflig pension. Han föddes 1501 i Pavia och dog 1576 i Rom. Har utgifvit: 1. Practica arithmeticae generalis et mensurandi singularis. Me- diol. 1539. 2. Computus minor. Ibid. 1539. 3. Artis magnæ sive de regulis algebræ liber unus. Ib. 1545. Här offentliggjorde han den honom af Tartaglia år 1539 meddelade re- geln till lösning af tredje gradens eqvationer mot dennes vilja. 4. De revolutione annorum, mensium et dierum ad dies criticos. Nuremb. 1547. 5. De temporum et motuum erraticorum restitutione. Ib. 1547. 6. Aphorismorum astronomicorum segmenta septem. Ib. 1547. 7. De subtilitate. Ib. 1550. 8. Claudii Ptolemæi Pelusiensis libri IV de astrorum judiciis. Ba- sel 1554. 9. De septem erraticis stellis. Ib. 1554. 10. De rerum varietate. Ib. 1557. 5 66 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. metier före Viète endast sifferräkning. I den se- nare hälften deremot begagnar han liksoni Viète bokstafsräkningen ined stora alfabetet. 3. Algebra retecta, skrifven för sönerna Gustaf och Georg Otto i Wasula 1655. Följande redogörelse grundar sig förnämligast på stu- dier af de 2 förstnämnda arbetena. Emedan första digniteten af den obekanta kan beteckna en linie, den andra en qvadrat och den tredje en kub, kallade Stjernhjelm de olika digniteterna af den obekanta för geometriska tal. Dessa betecknades af de äldre geo- metrerna t. o. m. Viète sålunda: N (numerus, tal).........................betyder x° eller 1. R (radix, rot eller sida).........................x, z (zensus eller quadratus)........................x2, c (cubus).........................................x3, zz (zensi-zensus eller quadrati-quadratus)........... x', // (sur-solidus) . . . ........................................................25, zc eller cz (zensi-cubus eller...............cubi-qvadratus) x°, B// (sur-solidus secundus)........................w7, zzz (zensi-zensi-zensus)..........................28, cc (cubi-cubus) . ..................................................................x°, z// (sur-solidi-quadratus)........................æ10, C// (sur-solidus tertius) ........................x11, zzc (zensi-zenzi-cubus)..........................λ,12, D// (sur-solidus quartus).........................213, zB// (zenzi-sur-solidus secundus).......................................................................................a14, o. s. v. Som vi se, utmärkas de olika digniteter, som ha prim- talsexponenter öfver 4 med tecknen: 11. Liber de vitali aqua seu de ethere. Ib. 1566. 12. De regula aliza libellus. Ib. 1570. 13. Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum etc. Ib. 1570. 14. Encomium geometria recitatum. 1535. Allt är samladt i Cardani opera. Lugd. 1663. Poggendorff. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 67 JJ, B/J, C/J, D/J, E/J, F/J o.s. v., hvilka betyda respektive: 05, x7, x1, 013, 017, 219 o. s. v. » Men efter denna beteckning är mödosam, har jag — säger Stjernhjelm — funnit för godt att efter Stevin och Bombelli * bruka nya tecken. Stevin använder cirklar, men för att skilja dem från decimaler begagnar jag heldre fyr- kanter.» Se här Stjernhjelms beteckningar. o eller N betyder talet 1, 1 eller —..............x, 2 • .........................2, m . ..................................................................................................23, o. s. v. Hos Stjernhjelm påträffa vi för första gången i en svensk lärobok tecknen + och —**, hvilket senare han * Bombelli, Rafaëllo, ingeniör. Född i Bologna. Ar 1572 utgaf han en algebra med titel: L’algebra parte maggiore dell arithmetica di- visa in tre libri; nuovamente posta in luce. Bologna 1572. Han visar här för första gången realiteten af de tre rötterna i en kubisk eqvation vid casus irreductibilis. Poggendorff och Libri. Dessa tecken hafva först i tryck blifvit begagnade af Stiefel. Men de ha blifvit uppfunna af den verldsberömde målaren Leonardo da Vinci. Denne man är i många hänseenden märkvärdig, ja ett af de kolossala- ste snillen, som lefvat på jorden. Så studerade han mekaniken och fy- siken med tillhjelp af algebran och geometrien. I sina algebraiska un- dersökningar och i applikationerna betjenade han sig af bokstäfver. Han har framstält teorien för lutande planet, tyngdpunkten för pyramiden (genom att dela upp den i skifvor parallela med basen), teorien för krop- pars stöt. Han har infört i mekaniken teorien för friktion. Han kän- ner omöjligheten af perpetuum mobile, uppfann dynamometern för att beräkna verkan af maskiner och han bestämde maximum af djurs kraft genom att kombinera deras vigt med deras muskelstyrka. Han konstru- erade en flygmaskin, uppfann en mängd maskiner för att göra cylindrar, sågar, skrufvar, kläde, hammare för att stämpla guld. Han konstrue- rade eldstäder, som värmde både uppåt och nedåt, lampor med dubbel luftström. Geometrien använde han på perspektiven och på teorien för skuggor. Utkastade först grunderna till undulationsteorien. Han ville kanalisera Arno. Det var dock blott Lombardiet och Frankrike, som i 68 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. skrifver —- (liksom engelsmännens divisionstecken) för att skilja det från —, som hos Stjernhjelm betyder den obe- kanta (x eller cosa, die Cosse). Ex. 3 4 + 5[3 1 2 - 5 — + 24 utsäges: 3 qvadrat-qvadrater, mer 5 kuber, mindre 1 qvadrat, mindre 5 linier, mer 24. Om linien är 2, blir nämnda uttryck 48 + 40 4 : 10 + 24 det är 98. Addition af geometriska eller cossiska tal. Ex. 4 2]—3 — + 2 eller, enl. nuvarande beteckning, 4x2—3a+2 22 + 2- 4 2x2+2x-4 Summa 6 2 1 —2 Summa 6x2 — a- 2. detta hänseende fingo njuta frukten af hans upptäckter. Han är den för- ste, som med omsorg observerat fossila djur och vexter samt beskrifvit dem. Till ebb och flod, åskan, magneten, stjernornas dallring, månens askfärgade ljus, till allt har han sökt gifva förklaring. Upptäckte ka- pillariteten och diffraktionen, luftens motstånd, förtätning och vigt, stoftfigurerna på svängande ytor, stående vattenvågor, m. m. Leonardo da Vinci föddes 1452 i byn Vinci nära Florens, lefde 1482—99 i tjenst hos Lodov. Maria Sforza i Mailand, derpå i Florens och Rom, kallades 1516 af konung Frans till Frankrike, der han lefde till sin död. Han dog 1519 i slottet Cloux nära Amboise. Intet af hans verk har direkt kommit till oss, men af enstaka hand- skriftsnoter och kapitel hafva senare följande arbeten blifvit sammansatta och tryckta: 1. Trattato della pittura. 1651 och 1817. 2. Trattato del moto e misura del aqua. Bologna 1828. Hans handskrifter i pariser-biblioteket innehålla ännu en stor skatt af matematiskt, fysikaliskt och annat innehåll. Han omtalas såsom sin tids skönaste och starkaste man. Libri (Hist. des sciences mathém. en Italie). AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 69 Subtraktion. Ex. 400 + 0 2 + 0 - 250 + 1 2-42 - d. v. s. 400 [250 + 22 - 42a] Rest 150-1 21 + 42 — Rest 150 - 22+42. Här citerar han sina anteckningar i kanten hos Ste- vin, sid. 64. Multiplikation. »Lika tecken gifva plus, men olika minus». Ex. 2 — + 3 d. v. s. 2a + 3 2 - 3 22— 3 - 6 — 49 - 6a — 9 4 2 + 6 - 4a2 + 6a 4 2-0 — 9 4a2 -9. Division. 7+15 H 9.2+15a 1 blir 3 21 + 5 — , d. v. s. 5 = 3x2 + 5æ . 33 Cossiska bråk eller brutna tal. , • 16 13 . 216æ3 2 Förkortning. - blir „—, d. v. s. 2 = . • • 244 3 — 24.4 3a Addition. 9 —+212 21 [3—812 6— till 6— usa 21 ]--61+9 - π 7 12+3 ιr 6 - eller 2 d. v. s. 9a + 2x2 21x3-8.3 21x3-6a2+9a - 7a3-2x +3 6at * 6a 6 2 70 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Subtraktion. 5 —74 — + 10 : 17-1 - 301-5 från 3 [ 5 blir 30 =5’ d. v. s. 4. + 10 5x — 7 17 — 322 — 5 - 322-5 - 323 - 5 Multiplikation. 527+44 2 —4 85-16 41 + 1031—2012 3—45 med 412 blir 12 3 — 2012 522+4x' 2.-4 82°-16a4 + 1023—2002 ' V' s' 3a — 5 4w3 12a3 - 20.2 ' Division. 8 - 2 2412 med — blir 1 921 3 — 182 g 82. 2 2422 9a2 : 3a 1822 Rotutdragning. Rotutdragning utför Stjernhjelm medelst begagnande af 2 tabeller, den ena utvisande de 9 första digniteterna på talen 1, 2, 3....9, den andra (»tabula mirifica») bino- mialkoefficienterna. Se här hans tabula mirifica. 2 [8 3 3 14 4 6 4 5 5 10 10 5 6 6 15 20 15 6 71 7 21 35 35 21 7 o. s. v. ända till och med 10. Som exempel anföra vi endast ett på qvadratrotsut- dragning och ett på sjunderotsutdragning. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 71 Ex. 1. 419 27 89 46 84 (5281,070 2 85 .. . . 62 57 .. eller, enligt nuvarande sätt: N/27894684 - 5281 25 289 102 204 8546 1048 8384 16284 10561 5723 Anm. Nämnaren 10563 = 2.5281+1. Ex. 2. √M 3521614606208 (62 279936 722254606208 722254606208 16 46656 . Mirifica. 7000000 . 2 gör 653 184 000 000 7777 . 2100000 . . 4 » 65 318 400 000 1296 . . 350000 . . 8 3 628 800 000 216 . . 35000 . 16 » 120 960 000 2 36 . . 2100. . 32 » 2 419 200 6 . . 70. . 64 » 26 880 » 128 722 254 606 208. Den sökta sjunderoten var således 62. Stjernhjelm förstår ock att approximera genom deci- maler. Så t. ex. finner han A/226576 ($) att vara 15052 ( eller i längd 15 stänger 0 fot 5 finger 2 gran. 72 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Reduktion med radikaler. Ex. 1. [356+M[3 7 gör 24/131 7 och A/La . 7 eller Sy^Tl - 7 eller A[s 189 d. v. s. enligt vårt beteckningssätt: 256 + %7 = 2√7 + √7 - 3√7 - Å189. Ex. 2. ~/14] 10 gånger ~/141 9 gör ~4190, eller 410 . N9 g 490. Ex. 3. Vared20b är VT2D-200=27 /27-229-700 „ - 3 + . eller 5 +2. V 2 Det är rätt märkvärdigt att se det Stjernhjelm kände till denna invecklade rotutdragning ur irrationela binomer. Eqvationsläran. (Regula algebræ). Första graden. En obekant. Regeln för lösningen af en eqvation innefattas i föl- jande begge latinska hexametriska versar: Pono latus. Quod tracto et construo. Adæquo. Reduco. Divido. Radicem inquiro laterisve valorem. På svenska ordagrant öfversatt blir regeln denna: Jag sätter den obekanta lika med en sida (—). Denna behandlar och konstruerar jag (enligt uppgiften i proble- met). Jag uppsöker en likhet. Jag reducerar (förenklar). Jag dividerar. Jag söker roten eller sidans värde. Problem. Det är tu tal. Det större talet öfverskju- ter det mindre med 6. Multiplicerar man det större med 2 och det mindre med 3 och lägger båda produkterna till desamma talen, så blifver hela summan 438. Hvilka äro de tu talen? ΛFD I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 73 “hencote G/A.o bocfericssokch. Konstruktion. Pono 1. Sätt det mindre talet 1—, då blir det större . . 1 — + 6. Tracto 2. Multiplicera det större talet med 2. Man får: 2 — + 12. mindre. . . 3. . . . 3 — Addera, och summan blir 5 — + 12+2 — + 6 eller 7 — + 18. Aequo 3. Lik 438. Reduco 4. Jämka, genom att från hvarje sida borttaga 18. Man får 7— lik 420. Divido 5. Dela 420 med 7. Qvoten blir 60. 6. Det mindre talet 1 — är 60. » större » 1—+6 är 66. Flere obekanta. Man kallar de obekanta A, B, C, D o. s. v. Problem. Tre hafva penningar. Gifver P åt Q3 af sina och Q gifver R 1 af sina och R gifver P } af sina penningar, så hafva de på sistone alla lika. Huru mycket hade hvardera? För att undvika bråk sätter man: för P 3-, Q 4, K 5 A. Emedan problemet ej är fullt bestämdt, kan man för den ena Q bestämma ett godtyckligt tal 4. När hvar och en hafver gifvit och tagit efter uppgiften, så har P 2 —+14, Q 1-+3, R 44 + 1. Häraf erhålles 2-+141-+3, eller 2a+y = *+3, 1 - 3 4 A + 1. *+3 = 4y+1. Den förra likheten gifver 1 A | - 1 — + 3 d. v. s. y =-, + 3, 74 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. hvilket insatt i den senare förvandlar denna till 1-+34-+13, d. v. s. a + 3 = -4a + 13, hvaraf 1 — || 2 d. v. s. a = 2. P får således 6, 0 4 och R 5 penningar. A nm. Beteckningen af de obekanta med stora bok- stäfver är enligt Viète. Omkring år 1643 synes Stjern- hjelm börjat begagna Cartesii likhetstecken (||). Förut hade han intet utan skref i stället med skrift »är lika med» på svenska eller latin. Eqvationer af andra eller högre grader. Desse indelades i vissa klasser eller reglor. Regel 1. Hit höra eqv. af formen ax = b (d. v. s. eqv. af l:a graden). » 2...........aa" = b. » 3............a) «2 = ba + c, B) 22 =b+c, y) æ* = b—c. æn = ax"—1 + ban—2, x2n+m = aan+m + bam. De begge sista likheterna kunna bringas att bero pa lösningen af en eqvation af formen y2 =ry+8. I ögonen fallande är att vid regeln 3 formen x2=-bx-c saknas. Skälet är naturligtvis, att denna eqvations rötter äro imaginära eller ock negativa. Regel 3a. Ex. 1 2 14 11+ 12, hvaraf 1 1 II 2 +/16 och 1[1 11 6. Regel 3ß. Ex. 1 [2/11-6 — + 16, hvaraf 1ΞI!÷3 + √25 eller ιSi!2. d. v. s. x2=4x+12, a = 2+416 a = 6. d.v.s. 22 = - 6a + 16, a = -3+.25, 2 = 2. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 75 Regel 3y. Ex. 121161--5, d. v. s. x2 =6x-5, hvaraf 1/1 13 + 2, a =3 - 2, eller 1 - 15 eller 1. a = 5 eller 1. Eqvationerna lösas enligt vår vanliga regel: den obe- kanta är lika med halfva koefficienten för andra termen med ombytt tecken + eller — o. s. v. Huru denna regel tillkommit visar ej Stjernhjelm. Ofvanstående 3 exempel visa, att Stjernhjelm ej känner negativa storheter. Ingen negativ rot är nämnligen upptagen. Stjernhjelm slutar detta kapitel i sin algebra suethica sålunda: »De tre första reglornas (lösning af eqvationer af l:a och 2:a graden) autor säges hafva varit en arab vid namn Mahomed hen Mose*. Den fjerde (lösning af trinomiska eqva- tioner) är sedan funnen, af hvem vet man ej. De öfriga eqva- tioner, som bestå af allallo, E Ξ E ’ 4131/2/11/101 o. s. v. och kallas kubik- och quadrati-quadrat-cossa, äro ännu icke lösta efter några vissa generalreglor, derigenom värdet af 11 i alla fall kunde finnas, ehuruväl några spetsfundiga hufvuden sig till det yttersta derom hafva be- mödat, ibland hvilka Cardan, Nicolaus Tartalea Brixiensis**, * Mahomed ben Mose (son af Mose) från Covaresm lefde på 800- talet. Han egnade sig företrädesvis åt geometri och astronomi, skall sjelfständigt hafva funnit den analytiska lösningen af en andra grads eqvation. Det visar sig nämnligen af hans beteckningar — säger Mon- tucla enligt Wallis — att han ej känt Diofantus. Hans matematiska arbeten utgöras af 1. en handskrift med titeln: algebra covaresmica samt 2. af ett trigonometriskt arbete med titeln: om plana och sferi- ska figurer. Gemensamt med sina berömde bröder mekanikern Hamed och geometern Alhazen bestämde han ekliptikans obliqvitet till 230 35'. Efter Montucla. Tartaglia, Niccola. Avtodidakt, lärde i Verona, Vicenza, Bre- scia och slutligen sedan 1534 i Venedig. Född 1506 i Brescia, död 1559 i Venedig. Han upptäckte år 1534 i Venedig lösningen af eqva- tionen x3 +ax = b. Har utgifvit: 76 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Scipio Ferreus Boloniensis *, Antonius Maria Floridus Ve- netianus Raphaël Bombellus och Fransiscus Vieta hafver bragt saken högst, dock till ingen fullkomlighet. Sist haf- ver den högstberömde matematicus Simon Stevin upptänkt ett lätt, dock artigt konststycke till att finna värdet på 1 1 af hvarjehanda eqvation det vara må i gemen, hvil- ket han beskrifver i sin franska arithmetica. »Detta vill jag mina kära landsmän till nytta på mitt sätt med åt- skilliga egna exempel ljufligen förklara.» Detta sätt att lösa eqvationer efter Stevin kallar Stjern- hjelm regula regularum. Det beslår i allmänhet i att ge- nom försök med åtskilliga nummervärden på den obekanta allt närmare approximera sig till densamma. * Ferro, Scipione dal. Lärde från 1496 till 1525 aritmetik och geometri i Bologna, hvarest han dog 1525. Han är den egentliga upp- finnaren af lösningen till eqvationen a3 +pæ = q, men hvilken han ej offentliggjorde utan meddelade till sin vän Antonio Maria Fiore (Flori- dus). Denne Fiore förelade för Tartaglia problem, hvilka voro beroende af denna lösning, och föranledde derigenom att Tartaglia år 1535 för andra gången gjorde upptäckten af denna lösning och generaliserade den. Men Tartaglia offentliggjorde den ej, utan detta skedde mot hans vilja genom Cardan, för hvilken han år 1539 i vers hade meddelat den. ** Antonio Maria Fiore, en vän till Ferro, utan tvifvel samme Antonio Maria, om hvilken Libri säger, att han offentligen meddelade undervisning i matematik i Rom. 1. Nuova scienze, utile per ciascuno speculativo mathematico bom- bardino. Venezia 1537. Här meddelar han, att kastvidden är störst vid 450 elevation. 2. Euclide. Ih. 1543. 3. Archimedis opera emendata. Ib. 1543. 4. Quesiti ed invenzioni diversi. Ib. 1546. Här förekommer hans rätt till lösning af eqvationer af tredje graden. Jfr Ferro. 5. La travagliata invenzione, ossia Regola per sollevare ogni af- fondata nave. Ib. 1551. : 6. Ragionamenti sopra la travagliata invenzione. Ib. 1551. 7. General trattato de numeri e misure. Ib. 1556—60. 8. Trattato di arithmetica. Ib. 1556. 9. Descrizione dell artificiosa macchina fatta per cavare il gallone. Ib. 1560. 10. Archimedis de insidentibus aquæ libri II. Ib. 1565. 11. Jordani opusculum de ponderositate. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 77 Problem samling. I sin arithmetica mnemonica och i sina afhandlingar om linea carolina, men i synnerhet i sin algebra suethica har Stjernhjelm upptagit en samling problem så intressanta, att de äro förtjenta af att i tryck utgifvas ännu i dag. Vi upptaga här några få af dessa, dels författade af Stjern- hjelm, dels af honom hemtade ur andra författare. Man får härigenom reda på flere af de matematiska arbeten, hvilka den tiden studerades. Probl. 1. Af Bachet *. Om till qvadraten på ett tal lägges dubbla talet och dessutom 1, så uppkommer qva- draten på ett tal, som är eu enhet större än det först- nämnda talet. Probl. 2. Af Nicolaus Pavens. Upptecknadt af Stjern- hjelm 1639. En ung sälle hafver äpplen. Honom möta tre jungfrur. Den första af dem gifver han 1 af äpplena. Hon gifver honom 3 igen. Den andra gifver han 3 af alla dem han då hade igen, och hon gaf honom 2 tillbaka. Den tredje gaf han y af hela resten, och hon gaf ho- nom ett igen. När han då såg till, så hade han 13 äpplen qvar. Huru många hade han af begynnelsen? Probl. 3. Ur Lazari Schoneri algebra. Två falka på en gullring, som är till köps för 50 rdr. A säger till B: låna mig hälften af edra penningar, så kan jag betala ringen. B säger till A: käre! låna du mig 3 af dina pen- ningar, så kan jag köpa honom. Huru mycket har hvar- dera ? * Bachet, Claudius Caspar, herre af Meziriac, af en adlig familj i Frankrike, föddes 1593 och dog 1638. Han var i grekiskan, algebran och i synnerhet i mytologien mycket bevandrad. Vid 20 års ålder in- gick han i jesuiterorden, men lemnade den strax. Blef upptagen i fran- ska akademien. Har utgifvit: 1. Problèmes plaisants qui se font par nombres. : 2. Diophanti alexandrini arithmeticorum libri sex, nunc primum græce et latine editi. Paris 1621. Det är i Bachet's porismer till detta arbete, hvarur ofvannämnda problem är taget. 78 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Probl. 4. Ur Herigons Isagoge algebræ. En man mö- ter några fattiga. Dem gifver han så många penningar, som han hafver i pungen, nämnligen: den första 4 + t af alla penningar, den andra 8 + 1 af det som var qvar, den tredje 12 + i af det öfverblifna och så fort, alltid ökandes med 4, så länge han hade något igen. Sist, när intet mer var igen och man såg till, så hade de fattige hvar och en lika mycket. Frågan är, huru många penningar mannen hade, och huru många de fattige voro. Upptecknadt af Stjernhjelm i Stockholm 1643 Sept. 12. Probl. 5. Ur Diofantus * Naket problem. Jag vill dela talet 16 i 2 delar A och B så, att hälften af A öfverskjuter 3 af B med talet 3. Säg delarne. — Upp- tecknadt af Stj. i Upsala 1654 Febr. 2 och af hon∩m be- klädt på 6 olika sätt, hvaraf vi upptaga ett: Samma problem klädt. Två flickor påträffa 16 äpplen liggande på ett bord. Drifna af begär till dem, rycka de dem till sig, hvar och en så många som möjligt. Vid efterräkning befinnes det att hälften af den förstas öf- verskjuter 3 af den andras med 3. Huru många äpplen togo de hvardera? * Diofantus från Alexandria lefde sannolikt under Julianus affäl- lingen och dog omkring år 860 vid hög ålder. Han var en af forntidens berömdaste matematici, algebrans uppfinnare. Efter honom ha sitt namn de s. k. diofantiska eqvationerna, d. v. s. eqvationer, som visserligen kunna satisfieras af oändligt många värden, men som genom frågans natur ej få satisfieras af annat än rationela eller af hela tal. Diofanti egna exempel af denna natur leda vanligen till eqvationer af andra gra- den. Hans arbeten hafva på 400-talet blifvit kommenterade af den lärda Hypatia. Först år 1621 blef det återstående af Diofanti arbeten, ut- görande 6 böcker aritmetik och en bok de numeris multangulis, på la- tin från grekiskan öfversatt och väl kommenteradt af Bachet. Detta mödosamma arbete utförde Bachet under en svår fjerdedags-frossa. Utan den melankoliska envishet, som denna frossa förlänade honom, skulle Bachet, säger han, aldrig kunnat till slut fullfölja detta af oerhörda svårigheter uppfylda företag. Efter Bachet hafva de berömda analystema Fermat och Ozanam sysselsatt sig med diofantiska eqvationer. Enligt Montucla och Bachet’s Diofantus. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 79 Probl. 6. Af Stiefel *. Jag vet ett tal sådant, att det 3 gånger taget är lika mycket under 24 som talet sjelft är under 10. Kan du gissa? Probl. 7. Af Stevin. Dela 5 i 2 delar så, att deras produkt blifver 6. Probl. 8. Ur Nova algebra af Joh. Stampioen. På en till sin längd obekant rät linie AB äro tagna 2 punkter E och F. På AB uppritas en qvadrat ABCD; genom E och F dragas de räta linierna EG och FLH så, att de blifva parallela med sidan BKSC; genom punkterna G och H på diagonalen AGHC dragas de räta linierna GEK och HS parallelt med AB. Man vet, att rektangeln EL är 28, rektangeln FK 40 och rektangeln HK 70 ytenheter. Att finna längderna på AE, EF och FB. * Stiefel, Michel, tysk matematiker, född i Saxen 1486, död i Jena 1567. Han var först augustinermunk. Sedan han antagit Luthers lä- ror, blef han prest i Saxen, i Österrike och i Holtzdorff nära Witten- berg. Han var en af sin tids förnämsta matematici, och så väl i arit- metiken som i algebran har han gjort vigtiga förbättringar. I hans arithmetica integra (Nurenb. 1544 med företal af Melankton) finner man frön till logaritmer, ty han jemför der uttryckligen aritmetiska och geo- metriska serier, såsom man gör i de vanliga afhandlingarne om logarit- mer, men han hade icke sysselsatt sig med att interpolera i den geo- metriska följden mellantermerna. Han har i detta hänseende varit Ne- pers förelöpare, ehuru denne har betraktat alstringen af logaritmer på ett helt olika och för honom egendomligt sätt. Man tillskrifver Stiefel först användningen af bokstäfver för att utmärka de obekanta, och han betjenar sig först af tecknen + och —. Han utgaf en andra upplaga af afhandlingen die Coss af Tysklands äldste algebrist Christian Rudol- phi. Stiefel begick den dårskapen att på religionen vilja använda ma- tematiken, hvilket ledde derhän, att han förutsade verldens undergång till år 1533. Många sålde sina egendomar och då profetian ej inträffa- de, stämde de den falske profeten. Han blef dock genom sin vän Lu- thers bemedling frikänd. Har utgifvit: 1. Arithmetica integra, die vollkommene Rechenkunst, mit Vorrede von Melanchton. Norimb. 1544. 2. Die deutsche arithmetica v. d. welschen u. deutschen Praktik. Ib. 1646. 3. Die Coss Chr. Rudolphis mit schönen Exempeln der Coss ge- bessert. Königsb. 1554. Firmin Didot och Poggendorff. 80 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Probl. 9. Af Clavius. Att finna 2 qvadrattal, hvil- kas skilnad är gifven. Probl. 10. Af Stjernhjelm. Skrifvet i Vasula 1642. »Om du till författarens ålder lägger 5 och från hans ål- der borttager 8 och multiplicerar den sålunda erhållna sum- man och skilnaden med hvarandra samt dertill lägger 172, så erhåller du 4 af kuben på författarens verkliga ålder. Den som löser denna gåta skall af algebran blifva hedrad med excellenstitel.» Dessutom förekomma problem ur Rudolphis*, Lau- rembergs**, Gerh. Ivan Vossii och Alsteds *** arbeten. * Christian Rudolphi, en matematiker, florerade mellan 1512 och 1548 i Venedig och skref Regulam Coss, hvilken Michel Stiefel öfver- satte på tyska. ** Lauremberg, Johann Wilhelm. Född 1590 i Rostock, död 1658 på Sorö. Magister i Rostock 1610, medecine doktor i Rheims 1616, prof, i poesi vid universitetet i Rostock 1618 och 1623 professor i ma- tematik vid riddarakademien på Sorö på Seland. Har utgifvit: 1. Logarithmica. Lugd. Batav. 1628. 2. Lusus et recreationes ex fundamentis arithmetricis. Havniæ 1634. 3. Arithmetica et algebra. Sorö 1643. 4. Instrumentum proportionum, quo universa arithmetica et geo- metria compendiose demonstrantur. Rostock. Brodren Peter Lauremberg citeras af Stjernhjelm i dennes astrono- miska funderingar. Peter Lauremberg var astronom, prof, i fysik och matematik i Hamburg. Blef sedan 1624 prof, i poesi i Rostock. Född derstädes år 1585 och död 1639. Har utgifvit åtskilliga astronomiska arbeten. *** Alsted, Joh. Henrik, född 1588, död 1638 i Weissenburg. Var professor i filosofi och teologi först i Herborn i Nassau och sedan i Weissenburg i Siebenbürgen. Har utgifvit: 1. Compendium physices. Herbornæ 1610. 2. Elementale mathematicum (arithmetica, geometria, geodæsia, astronomia, geographia, musica, optice). Francof. 1611. 3. Methodus admirandorum mathematicorum, exhibens universam mathesin. Herbornæ 1613. 4. Systema physica harmonicæ. Ib. 1616. 5. Scientiarum omnium encyclopædia septem tomis distincta. Ib. 1630. (Den första större tyska encyklopedi). AID. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 81 D. Trigonometri. Stjernhjelms första trigonometri är betydligt olika hans senare. I den förra ingå ej andra satser än Eukl. I. 47; II. 12, 13; VI. 8 och Pappi sats, att o 72 2 C2 + 0% = 2+ 22 L4 hvarest a, b, c äro triangelns tre sidor och m den till si- dan c hörande midtellinien. Med dessa löser han dock ej mindre än 42 olika problem om trianglar. Inga Sinus, Cosinus o. s. v. förekomma. I hans senare trigonometri, hvilken finnes intagen i hans algebra suethica har han följt Pitiscus *. I denna fin- nes ännu ingen bokstafsräkning, deremot påträffa vi här för första gången Sinus, Tangens och Secans, hvilka han definierar såsom linier tillhörande en cirkel, hvars radie är 100000. På grund af dessa definitioner och med tillhjelp af en trigonometrisk (ej logaritmisk) tabell lösas medelst en analogi rätvinkliga trianglar. De snedvinkliga beräknas enligt metoder, hvilkas analytiska uttryck numera skulle vara : a b c Sin 4 - Sin B - Sin C ' * Pitiscus, Bartholomaus. Född 1561 i Schlesien, död 1613 i Heidelberg. Först huslärare i Breslau, senare hofkaplan och sedan 1594 öfverhofpredikant hos kurfursten Fredrik IV i Pfalz. Har utgifvit: 1. Trigonometriæ sive de dimensione triangulorum libri quinque. Edit. HI. Francof. 1612. (Den första fullständiga lärobok i trigono- metri. Upplagan utkom tillsammans med Schulteti sphæricorum libri HI redan 1595). 2. Thesaurus mathematicus sive canon sinuum ad radium 1 00000 00000 00000 a Georgio Joachimico Rhætico supputatus at nunc primum in lucem editus. Ib. 1593. 6 82 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. och b a — c a + c b - 2c Cos A’ hvilken formel tydligen ej är annat än den vanliga: a3 = b2 + % - 2bc Cos A. Dock förekomma ej namnen Cosinus, Cotangent eller Cosecant. Icke heller påträffar man formeln för utveckling af Sin (A + B). Bland de Stjernhjelmska handskrifterna finnes äfven en handskrifven trigonometri af professorn i matematik vid Upsala universitet Hedræus. Denna trigonometri skiljer sig från Stjernhjelms senare endast deri, att Hedræus äfven definierar Sin. compl., Tang. compl. och Secans compl. samt nämner något om beräkningen af sinus-tabeller. Alla trianglar lösas utan någon logaritmisk räkning. E. Archimedes reformatus. Detta arbete in 4:o om 8 ark, tryckt i Stockholm 1644, är tillegnadt drottning Kristina och har till motto: 'Ay80- μετρητoς 88clg eiσoτω (d. v. s. ingen ingånge här utan att vara matematiker!). Hans väl skrifna dedikation till drott- ningen utgör ett loftal öfver mätevisheten (matematiken) och är till större delen aftryckt i Atterboms »svenska siare och skalder». Stjernhjelm sjelf har enligt den tidens bruk i detta sitt arbete blifvit firad medelst latinska lyckönsk- ningsverser af berömda jurister från nordens trenne univer- sitet, näninligen af juris prof. Loccenius * i Upsala, prof., * Loccenius, Joh. Född 1598 i Holstein, studerade i Hamburg, kom 1618 till Helmstedt, vidare till Rostock och Leyden, der han 1625 blef juris doktor. Kallades samma år af Gustaf Adolf till e. o. prof, i historia i Upsala, blef 1627 ordinarie professor, förflyttades 1634 till den juridiska lärostolen, blef 1648 bibliotekarie och år 1651 rikshistorie- graf. Efter Stjernhjelms död 1672 blef han preses i antiqvitetskolle- gium. Han afled 1677 80 år gammal och begrofs i Upsala domkyrka. Var en af universitetets största prydnader. Beskrifves såsom en synner- ligen from man “candida anima«. Biogr. Lex. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 83 juris utr. doktorn Ludenius i Dorpat och assessorn Johan- nes Olai Dalek. vid Åbo hofrätt. Stjernhjelm har här gjort till sin uppgift att angifva beståndsdelarne af en metall-legering, hvars vigt och volym äro kända. Hans första problem är det bekanta om Hieros krona. Han visar här, att man bör för detta ändamål, liksom Archimedes gjorde, i vatten nedsänka den kropp, som skall undersökas, och har derföre kallat detta sitt ar- bete den omgestaltade Archimedes. Han använder 2 metoder. 1. Den archimediska metoden. För att finna den i fråga varande kroppens volym har Stjernhjelm konstruerat ett instrument, bestående af en cy- lindrisk reservoir, täckt med ett tätt tillsittande lock, från hvars midt utgår ett vertikalt, smalt graderadt, upptill slu- tet glasrör. Af detta instrument finnes i boken en väl ut- förd teckning. Vid sina undersökningar fylde Stjernhjelm reservoiren med vatten, stjelpte sedan om instrumentet och inlade metallstycket i reservoiren, sedan han först lösskruf- vat bottnen. Efter att åter hafva påskrufvat denna vände han apparaten rätt och bedömde sedan metallstyckets vo- lym af höjden på vattenpelaren i glasröret medelst en vid detta fästad skala. Genom proppar och ventiler hade han ställt så till, att »vattnet fick andrum», d. v. s. att sam- manpressad luft kunde komma ut. På detta sätt fann han, att lika vigter af guld, silfver och koppar upptogo respek- tive 14, 25 och 29 steg * (skaldelar) på hans glasrör. Dessa tal utgöra dock ett medelvärde af hans, Berneggers **, Bo- * Dessa tal äro omvändt proportionela mot talen 19, 10,64 och 9,1 eller dessa metallers egentliga vigter. ** Bernegger, Matthias, professor i historia och vältalighet vid universitetet i Strassburg. Född 1582 i Hallstadt i Österrike, död 1640 i Strassburg. Har utgifvit: 1. Manuale mathematicum, darin begriffen die tabulæ sinuum, tangentium, secantium. Strassburg 1619. 2. Annotazioni sopra Γtrattato del instrumento delle proporzioni del sign. Galileo Galilei. Bologna 1656. Bernegger öfversatte detta jemte andra verk af Galilei på latin. 84 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. dini, Anders Bures *, Adriani Metii **, Herigon’s och Vil. labandi *** sins emellan temligen öfverensstämmande funna värden på förhållandet mellan volymerna af lika vigter af dessa metaller. Ex. » Jag hafver ett slag af silfvermynt, det jag intet känner, och vill gerna veta, hvad det håller i korn, sän- * För « generalmatematikern « Anders Eure ha vi redogjort på sid. 7 i denna årgång. Vi se här, att vi till hans öfriga framstående egen- skaper äfven kunna lägga den, att han var fysiker. Genom biblioteka- rien Styffe i Upsala ha vi äfven fått reda på, att han för Stockholm konstruerat en vattenledning, hvilken skulle börja vid Norrström och utmynna i ett hus nära slussen på Vesterlånggatan. Vid tillfällen, då ingen ström var, skulle vattnet fortskaffas genom en vid Norrbro upp- förd apparat, som drefs med hästkraft. Äfven för Jönköpings stad lär han ha konstruerat en vattenledning. Metius, Adriaan. (Hette egentligen Adr. Adrianszoon. Metius var endast ett öknamn, som han erhöll som student, hvilket han sedan bibehöll. Detta namn öfverflyttades sedan, märkvärdigt nog, på fadren, Adriaan Antoniszoon, upphofsmannen till förkållandet 113 för talet it och verksam deltagare i nederländska befrielsekriget). Adrian Metius d. y., född 1571 i Alkmaar, studerade under Tycho Brahe, gaf sedan sjelf mycket besökta lektioner i astronomi, blef medecine doktor, deref- ter prof, i matematik och medicin vid universitetet i Franeker (series professorum Franequer anorum). Dog 1635 i Franeker. Har utgifvit: 1. Doctrinæ sphericæ libri V. Francof. 1591. 2. Astronomiæ universæ institutiones. Ib. 1605. 3. De gemino usu utriusque globi. Ib. 1611. 4. Geometrices per usum circini nova praxis. Amst. 1623. 5. Problemata astronomica. 1625. 6. Astrolabium. 1626. 7. Primum mobile astronomiæ. Amst. 1631. 8. Opera arithmetica et geometrica. Lugd. Batav. 1625. 9. Opera astronomica. Amst. 1633. Poggendorff. *** Villalpando, J. Baptiste, lärd spanior, född i Cordova 1552, död 1608 i Rom. Antagen vid 26 års ålder i jesuiterkollegiet, skicklig teck- nare, matematiker och arkitekt, fick af Filip II i uppdrag att jämnte Pedro efter Hezekiel konstruera hans profetior. Resultatet blef följande af Stjernhjelm ofta citerade arbete: In Ezechielem explanationes et apparatus urbis ac templi hieroso- lymitani. Romæ 1596—1606. Detta verk hann han ej afsluta. Dessutom har han utgifvit: Tractatus in epistolas Pauli. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 85 ker det derföre och finner, att 4 lod drifva vattnet till 68 steg i röret, der dock det finaste silfver icke drifver vatt- net högre än till 64 steg. Fyra lod ren koppar deremot drifva vattnet till 74 steg (ty 64 är till 74 i det närmaste som 25 till 29).» Stjernhjelm uträknar detta exempel medelst den egen- domliga alligationsräkningen (se l:a årgången under Cla- vius) sålunda: Medelvärdet 68 Silfver. 64 ' Skilnader från medelv. 74 4 ) K opp ar.-- S:a 10. 74-68 = 6, A ? m. , 68-64 = 4. Derefter bildar han analogierna: 10 delar af blandningen gifva 16 lod, hvad gifva 6 delar silfver? Svar: 9 lod 104 grän silfver. 10 delar af blandningen gifva 16 lod, hvad gifva 4 delar koppar? Svar: 6 lod 71 grän koppar. Anm. 1. Här gå 18 grän på 1 lod. Stj. anmärker, att guldet i afseende på finheten i korn indelas i 24 karat à 12 grän = 288 grän, och silfret i afseende på finheten i korn indelas i 16 lod à 18 grän = 288 grän. Deraf, att antalet grän i båda fallen skall blifva 288, förklaras det olika antalet grän, som gå på 1 karat och på 1 lod. Anm. 2. Om x = antalet lod silfver i myntet på 16 lod, och således 16 — a = antalet lod koppar i samma mynt, leder ofvanstående problem till eqvationen: 64. + 74(16 -«) = 16.68, hvaraf hvilket är alldeles samma räknemetod, som den Stjernhj. begagnat. Stj. begagnar vid flere exempel äfven algebran i st. f. alligationsräkningen. 86 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 2. Den galileiska metoden. Denna metod grundar sig på Galilei* sats, att »när en ting och ehvad som helst det är väger och röres, så går så mycket af (d. v. s. förloras), som det undanvikande medlets, deruti det väger och röres, storlekstyngd är i sig * Galileo Galilei, född i Pisa 1564, uppfostrades i Florens, visade tidigt fallenhet för mekaniken, kom vid 17 års ålder till universitetet i Pisa. Då han der i katedralen såg en lampa svänga för vinden, gjorde han upptäckten om liktidigheten af små och stora svängningar hos pen- deln. I matematiken studerade han i synnerhet Arkimedes, korrespon- derade tidigt med Clavius, blef år 1589 anstäld som lärare i matematik vid universitetet i Pisa. Lärde då lagarne för kroppars fall (25 år gml). 1592 erhöll han en matematisk lärostol i Padua. Författade här en af- handling om befästningar, om gnomoniken, om klotet och en mekanik (der principen om virtuela hastigheterna lägges som grundval för läran om kroppars jemnvigt). Här konstruerade han en lufttermometer, der temperaturen visades af en liten rörlig vätskepelare. Dock hade han ej några konstanta punkter. Konstruerade år 1594 en hydraulisk maskin och en proportional-cirkel för ingeniörer. Ar 1609 gjorde Galilei en resa till Venedig, under hvilken efter en natts reflektioner han upptäckte teleskopet, en upptäckt, som framkallade en oerhörd hänförelse. Vid slutet af samma år utgaf Galilei ett arbete, der han redogjorde för mån- bergen och andra astronomiska märkvärdigheter. I Jan. 1610 upptäckte han Jupiters 4 månar och bestämde deras omloppstider. Blef i Juli månad samma år förste matematiker och filosof hos storhertigen af To- scana, till stor harm för venetianerna, hvilka ville behålla honom qvar. Också blef denna förflyttning för Galilei en källa till hans kommande olyckor. Sept. 1610 upptäckte han faserna hos Venus. Om Saturnus trodde han att han var sammansatt af 3 kroppar. Afven solfläckarne upptäckte han. Han blef invald i Rom i ett framstående vetenskapligt samfund (Lincei). Ar 1612 uppfann han mikroskopet. Samma år utgaf han « en undersökning om ting, som simma på eller röra sig i vattnet «. I detta arbete har han bevisat hufvudteoremen i hydrostatiken. Ar 1613 utgaf han sitt arbete om solfläckarne, hvarigenom han visar solens rö- relse kring sin axel. Teorien för jordens rörelse inprentade han flitigt hos sina lärjungar. Denna lära förargade allt mer de heliga fäderna. Fader Caccini predikade offentligen i Florens mot denne store astronom och började en predikan, hvars ämne var att bevisa det geometrien var en djefvulens konst och att matematici borde bannlysas ur alla stater, såsom upphofsmän till alla kätterier, med dessa ord ur Apost.Gern. kap. 1: 'I galileiske män, hvi stån I och sen upp i himmelen? « På dessa AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 87 sjelf» *. På grund af denna lag fann Stj. guldets, silfrets och kopparens vigt i jemförelse med friskt vatten vara re- anfall svarade Galilei bland annat i ett bref till storhertiginnan Kristina i Toscana år 1615, ett bref, som anses såsom ett mästerstycke i teologisk dialektik. Är 1616 blefvo i Rom alla arbeten, som predikade jordens rörelse af kongregationen Index bannlysta, hvarigenom äfven Copernici arbeten blef- vo förbjudna. Samma år utgaf han satser angående longitudsbestämning till sjös medelst Jupiters månar. Är 1618 utkom en afhandling om detta årets tre kometer, hvarest en inflytelserik jesuit, fader Grassi, kritice- rades, derföre att han i sitt astronomiska arbete ej nämnt Galilei. Grassi, som tillskref Galilei denna afhandlings upphof, angrep Galilei, hvarpå Galilei svarade i en skrift, kallad Saggiatore, en afhandling om kometernas natur. Är 1632 utgaf Galilei i Florens ett arbete: “samtal angående de två stora verldssystemen« (Ptolemei och Copernici), der han visar orättvisan af fördömelsen af Copernici arbeten, och hvarest han på det mest genialiska sätt ådagalägger jordens rörelse. Påfven Urban VIII tillsatte en kommission för att afgöra om detta arbete vore fördömligt eller ej, och trots det att storhertigen i Toscana lade sig ut för honom, måste den åldrige sjuke Galilei på vintern 1632—3 begifva sig till Rom och inställa sig för inqvisitionen. I april 1633 blef han satt i fängelse, hvarest han stadnade i 14 dagar och der undergick ett inqvisitoriskt förhör. Den 20 Juni blef han återförd till inqvisitionen, för att höra domen, som proskriberade hans bok och dömde författaren till fortfa- rande fängelse. På samma gång tvingades han att afsvärja sina villo- meningar och att på knä lofva att aldrig mera tala eller skrifva om jor- dens rörelse, såsom varande * en falsk, orimlig, kättersk och emot skrif- ten stridande lära. « Berättelsen, att Galilei vid detta tillfälle skulle ut- ropat: - och ändock rör hon sig «, har astronomen Heis i Broschüren Verein N:o 5. Cöln visat vara ogrundad. Genom storhertigens beskydd inskränktes dock snart detta fängelse till en förvisning till Trinita dei Monti’s trädgård, hvarifrån han kort derefter tilläts resa till Sienne. Under sin 5 månaders vistelse här skref han om fasta kroppars motstånd. Hans begäran att få återbesöka Florens nekades honom, utan måste han hålla sig på ett landtställe Arcetri i närheten af Florens. Fastän han här blef blind 1637, upphörde han ej att författa och bilda lärjungar. Här undervi- sade han sina sedermera så framstående elever Viviani och Toricelli. Han tilläts ej att trycka något af hvad han här skref (t. ex. hans be- römda matematiska samtal och bevis). Han dog d. 8 Jan. 1642. — Då Kepler fick höra fadren Caccini’s angrepp emot Galilei och hans anhän- gare, utropade han med kejsar Julianus: “du har segrat galilé.« Se Libri, Histoire des sciences mathe'matiques en Italie. Paris 1841. * Denna sats är ej annat än sats 7 i Arkimedes' afhandling om kroppar, som röras på eller i en vätska. Detta synes antyda, att Stjern- 88 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. spektive 19, 10 j och 9, tal som temligen nära öfverens- stämma med nutidens. Afven för denna metod har Stjern- hjelm konstruerat apparater, hvaraf vackra teckningar med gyllene kedjor och kronor förekomma i Archimedes refor- matus. Om vattnets olika vigt vid olika temperaturer har Stj. ingen kännedom. Här böra vi ej underlåta att nämna de noggranna be- stämningar (så uttrycker sig Stjernhjelm), som han gjort angående åtskilliga ämnens egentliga vigt. (Uppgifterna äro hemtade ur en bland handskrifterna till hans linea ca- rolina). Hans tal äro följande: Guld. Bly. Silfver. Koppar. Jern. Silfvermalm. Egentlig vigt. 19. 11,36. 10,50. 8,75-8,36. 7,45 — 7,1. 7. Kexholms rubin Tenn.- Svensk demant. Sten och Korall, och Fürsten. Egentlig vigt. 6,38. 4,1. 2,68. 2,65. Smält glas, hvit kisel Kristall och glas. Flinta. Alabaster. Elfenben. Gult vax. och stenar vid sjön. Eg. vigt. 2,64. 2,62. 2,58. 2,35. 1,75. 0. Dessa tal sammanfalla temligen nära med de nu för tiden antagna. Se t. ex. Wackerbarths tabeller. Der har hjelm ej studerat Arkimedes. Som bekant, finnes numera en väl redi- gerad upplaga af Arkimedes, utgifven af Peirard i Paris 1807. Detta arbete innehåller: 1. Om klotet och cylindern. (Här visas för första gången, att Idotets yta och rymd äro 3 af den omskrifna cylinderns yta och rymd). 2. Om måttet på cirkeln. (Talet i säger Arkimedes ligga emellan 1° och #9). 3. Om konoider och sferoider. 4. Om spiraler. 5. Om plans jemnvigt. (Här förekommer läran om häfstången som föranledde honom till yttrandet: «gif mig en fast punkt, så skall jag röra hela jorden«). 6. Om parabelns qvadratur. 7. Om sandkornens mängd. Här gör han en minimibestämning angående solens afstånd till jorden. 8. Om kroppar som röras på eller i en vätska. Dessutom förekommer här en af Peirard skrifven afhandling om brännspeglar. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 89 man för guld, bly, silfver, koppar, jern, tenn och glas talen 19,36. 11,35. 10,57. 8,85. 7,79-7,21. 7,29. 2,66. Denna Stjernhjelms praktiska förmåga att göra nog- granna iakttagelser är verkligen förundransvärd. F. Om mått och vigt och om linea carolina. Genom sina åtgöranden i afseende på Sveriges mått och vigter har Stjernhjelm gjort epok. Hans förtjenster bestå deri, att han 1. satt längd- och rymdmått i beroende af hvarandra, 2. » rymd- och vigtmått i beroende af hvarandra, 3. dervid tillämpat 10-indelningen, samt 4. låtit förfärdiga af messing en likare med väl utförda skalor, hvilken ännu finnes antingen i Generallandtmäteri- kontoret eller på Vetenskapsakademien. Dessa skalor hafva följande öfverskrift: »Linea caro- lina hydro-metro-statica omnium corporum ponderum et mensura communis inventa et dedicata, Ser:mo Regi Sue- thiæ Carolo Gustavo à Georgio Stjernhjelm, Anno 1657. Bland andra på denna lineal befintliga skalor är äfven ro- merska foten eller Stockholmsfoten. Då Wallmark 1854 i K. General-landtmäterikontoret uppmätte den med Veten- skapsakademiens normaletalong, fann han båda lika inom 0,0001 fot. (Se Ofversigt af Vetenskapsakad. förhandl. år 1854). Deraf sluta vi, att svenska fotmåttet varit oför- ändradt allt sedan Stjernhjelms tid. Stjernhjelm indelade foten på följande sätt: 1 Stockholmsfot = 10 tummar = 100 linier = 1000 punkter. Af denna fot äfvensom af hans linea carolina (för mätning af linier, cirklar och klot) finnas afbildningar i naturlig storlek på hans kopparstickstabell: mensura regni suethiæ. Stockholm 1664. På denna tafla har han följande indelningar. 90 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Rymdmått för våta varor *. 4. tunna = 1, fjerding = % åtting = 1 kanna = 2 stop = 8 qvarter = 32 ort (quartulæ) = 48 sextula = 64 ortulæ = 96 baker (cyathi) = 192 skedar = rymden af 8 romer- ska € vatten = rymden af 100 Stockholms unciæ vatten = rymden af 55296 gran friskt vatten = kuben på 0,465 Stock- holms fot. Anm. (0,465)3 = 0,1 i det närmaste. Rymdmått för torra varor. . måltunna = 2a spann = 1 fjerding = 4 kappe - 1 kanna = rymden af 55296 gran friskt vatten. Vidare har han följande indelningar på samma tafla: Rymdmått efter 10-indelning. 1 Amphora (ämbar) = 10 kannor = 100 röraer (quin- tarii) = 1000 kubik-zoll (modioli eller måtlen) = 10000 ört- len (minuta) = rymden af 1000 Stockholms unciæ = rym- den af 552960 gran vatten = kuben på 1 Stockholms fot. Vigtm ått. 1 €6 Stockh. = 8848 ass (grana) = 16 unciæ = 32 lod = vigten af 16 kubiktum friskt vatten. Bland dessa mått anse vi böra framhållas 1 uns = vigten af 1 kubiktum friskt vatten. Anm. Enligt Archimedes reformatus är 1 svenskt ti rayntvigt = 8768 ass, 1 svenskt ti större vigt = 8750,6 ass, 1 svenskt ii mindre vigt = 8648,56 ass. * I Wallmarks afhandling : Bidrag till svenska fotens, kannans och skålpundets historia (Öfvers. af K. Wetenskapsakademiens förhandl. för år 1854) omtalas att i Wetenskapsakademiens samlingar finnas följande 5 målkärl af Stjernhjelm: 1. 1 kanna (cantharus), 2. 1 Stockholms qvarter, 3. 1 Stockholms quartarius (25 lod vatten), 4. 1 Quintal (Rö- mer), 5. 1 sextarius romanus. Anm. Ett ytterligare bidrag till uppfattning af Stjernhjelms bety- delse såsom ordnare af rikets mått och vigt lemnar Hill i sin uppsats Rydaholmsalnen och dess likare i Nordisk Universitetstidskrift för år 1856. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 91 Iläraf visar sig, att Stjernhjelm höjt skålpundet från 8768 ass till 8848 eller i förhållandet 548 till 553. In- delningen af skålpundet i 8848 ass fortfor ända till 1855. Som 1 kubikfot vatten vid + 4° väger 61,522 €8 (nu- varande vigt), så böra tydligen 61,522 dö nuvarande vigt vara lika med 503200 Stjernhjelms 4ö, och således 1 . .61,522.8848 . Stjernhjelms € = —---— 7 nuvarande vigt = 0,9844 9 552960 5 € nuvarande vigt. Stj:ms ^ är således mindre än vårt nu varande, så vida Stjernhjelms bestämning af vattnets vigt varit lika med vår nu varande. Att vattnet har olika vigt vid olika temperaturer, derom tyckes Stj. ej ha nå- gon kunskap. Emellertid synas hans bestämningar ha skett vid omkring 6° temperatur, enär han säger, att vattnet skall vara friskt. Linea carolina. I en på kongl. biblioteket befintlig handskrift med ti- tel: Archimedes practicus per lineam carolinain, Stockholm 1669 97 (tydligen ämnad för tryckning) definierar Stjern- hjelm sin linea carolina sålunda: »Linea carolina brevissima (d. v. s. tiondedelen af karls- stafven) är sidan till en kub, som jag skulle vilja kalla millena, emedan den rymmer 1000 droppar friskt vatten, hvilka väga 1000 gran (ass). Linea carolina tota (d. v. s. hela karlsstafven) är 10 gånger så stor som den förra och lika med sidan i en kub, som rymmer friskt vatten till en vigt af 1 million gran (ass).» Som storleken af en vattendroppe är något obestämdt, är det egentligen genom vigten af vattnet i kuben och ej genom antalet droppar, som linea carolina blir definierad. Stjernhjelm valde till enhetsvigt ett gran, emedan detta på den tiden var ett för hela Europa (med undantag af Frank- rike) gemensamt mått, kalladt (holländskt) ass. De fran- ska assen voro = 1, gånger den holländska. Dessutom 92 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. var 1 ass = 1 romerskt gramm = 72 af 1 attisk-romersk drakma. Genom att antaga detta mått som vigtsenhet, ansåg sig Stjernhjelm ha valt ett mått, som förenade forn- tid och nutid och tillika hade egenskapen att vara uni- verselt. Den lagliga romerska kubikfoten eller amphoran (också kallad quadrantal, emedan den hade kubisk form) rymde 80 romerska 46 vatten = 80.12 uncia = 80.12.576 = 552960 gran (ass) vatten. Dess sida = den kapitolinska foten (så kallad deraf, att den var upphängd på kapitolium) är följaktligen = A/10000af linea carol. = 0,821 af linea carolina. Nu skall enligt ett påbud af Gustaf II Adolf Stock- holmsfoten vara densamma som den romerska foten, såle- des 1 Stockholmsfot = 0,821 af linea carolina. Följaktligen är Linea carolina (tota) = 1992010 fot = 1,22 fot. Linea carolina indelade han sålunda: 1 linea carolina - 10 decinæ = 100 lineæ = 1000 puncta eller scrupula. Stjernhjelms linea carolina var af 3 slag, nämnligen: N:o 1. för att mäta längder, N:o 2. för att mäta cirkelytor, N:o 3. för att mäta klotrymder. Dessas längder förhöllo sig till hvarandra som 3 Mätte man t. ex. diametern i en cirkel medelst linea carolina n:o 2 och fann den vara a lineæ carol. n:o 2, så visste man genast, att cirkelytan rymde a2 qvadrat lineæ a2 carol, af n:o 1. Ty cirkelytan är = 7T- af n:o 2 = 2 ∖2 af n:o 1 = a2 af n:o 1. TC2 ( AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 93 På samma sätt, om man uppmätte diametern af ett klot med linea carolina n:o 3 och fann den vara a lin. carol. n:o 3, så visste man genast att klotets rymd var a3 = α3 kubiklinea carol. n:o 1. Ty klotrymden = 6 af n:o 3 = 02. 6 af n:o 1 a ga kubik-lineæ carol, af n:o 1. Af allt hvad Stjernhjelm skrifvit i matematik, äro hans undersökningar i mått och vigt det, som mest väcker läsarens beundran. Här kritiserar han den närmast förflutna tidens utmärktaste vetenskapsmän, t. ex. Snellius* och Marianus **. * Snell de Royen, Willebrod, geometer, son af Rami lärjunge Ru- dolf Snell. W. Snell föddes år 1591 i Leyden, der han dog år 1626. Studiet af matematiken upptog hans korta tillvaro. Han studerade med sådan passion, att han vid 17 års ålder försökte återställa Apollonii för- lorade afhandling de sectione determinata och att han vid 19 års ålder kunde förklara de första böckerna af Ptolemæi Almagest. Sedan genom- reste han Frankrike och Tyskland och afhörde Tycho Brahe och Kepler. Ar 1613 efterträdde han sin fader på professorsstolen i Leyden. Bråd- mogen svaghet förde honom till grafven vid 35 års ålder. Två upptäck- ter hafva gjort honom namnkunnig: han fann lagen för ljusets brytning, och han bestämde först jordens storlek genom geometrisk och astrono- misk mätning af en meridiangrad. De operationer, som han i sist- nämnda hänseende företog mellan städerna Alkmaer och Bergen-op-zoom ha saknat noggrannhet, men detta berodde på instrumenten. Har utgifvit: 1. De re numaria. Antverpen 1613. 2. Eratosthenes batavus, sive de terræ ambitus vera quantitate. Leyden 1617. (Ett hufvudarbete för lärde). 3. Descriptio cometæ novembris 1618. Leyden 1619. 4. Cyclometricus sen de circuli dimensione. Ib. 1621. 5. De cursu navium et re navali. Ib. 1624. 6. Doctrinæ triangulorum canonica libri IV. Ib. 1627. Han har offentliggjort Observationes Hassaicæ (Leyde 1618), d. v. s. observationer af landtgrefven af Hessen, Regiomontanus och Walter. Han har från flamländska språken till det latinska öfverflyttat Stevins och van Keulen's arbeten. ** Mariana (Jean), ryktbar spansk historiker och teolog född i Tala- vera 1536, död i Toledo 1623. Ar 1599. utgaf han ett arbete mot mo- narkien (de rege et regis institutione), en afhandling som efter Henrik 94 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Här visar han en förvånande beläsenhet t. ex. af Pæti*, Dio- dori, Villalpandi, Gronovii, Cenalis, med fleres arbeten. Här ådagalägger han en hög grad af skarpsinnighet vid att jemföra europeiska och asiatiska samtids och forntids mått- och vigtförhållanden. En stor del af Stjernhjelms åtgöranden för svenska mått och vigter fingo kongl. stadfästelse genom »kongl. majestäts placat om mått och vigt» af år 1665, under- tecknadt af Hedvig Eleonora. Penningräkning. För att kunna sins emellan jemnföra olika slag af mynt äfvensom för att få begrepp om stora penningsum- mor, ville Stjernhjelm införa ett för hela verlden gemen- samt silfvermynt, som han benämnde dalerus imperialis (riksdaler). Dess bredd skulle vara 1 funis = 1 fot och dess höjd 1 strues = 110 fot. De härmed i sammanhang stående måtten fattas af följande likhet: 1 svensk mil = 60 stadier = 360 plethra (vårt nuva- rande ref) = 36000 fot = 252000 funes = 30240000 strues. * Pætus (Luc), en lärd romare väl förfaren i antiqviteter och lagkun- skap, dog i Rom 1581 vid 69 års ålder. Har bland annat skrifvit: de mensuris et ponderibus romanis et græcis. Diodorus, sicilianare, ryktbar grekisk historieskrifvare, lefde år 50 f. Kr. Han föddes i Agyra. 30 år använde han på sin historia, hade sjelf besökt flertalet af de ställen han beskref. Af hans historia i 40 böcker äro endast 15 i behåll. Gronovius (Johan Fredrik), ryktbar tysk filolog, född 1611 i Ham- burg, död i Leyden 1671. Studerade juridik i Altorf, kom sedan till Holland, der han knöt förbindelse med Salmasius och Heinsius, bekanta med Stjernhjelm sedan deras samtida vistelse vid drottning Kristinas hof. Gronovius har bland annat utgifvit de sestertiis, 1643, hvilket ar- bete skarpt angreps af Salmasius. IV:s lönnmord 1610 blef dömd till bålet. Hans afhandlingar om odöd- ligheten och dödligheten samt om rikets mynt ådrogo honom först fän- gelse i ett kloster i Madrid och sedan en ansenlig plikt. Han har skrif- vit ett stort arbete öfver Spaniens historia. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 95 Ex. 1. 100000 daler (= 1 tunna guld) intaga lagda bredvid livarandra en längd af 143 plethra minus 1 daler. Ex. 2. 1000000 daler intaga lagda bredvid hvarandra en längd af 3 mil 334 plethra. Ex. 3. Tacitus skrifver i sin historias andra bok om kejsar Vitellius, att han på några få månader hade för- slösat 225 000 000 romerska denarier. Detta gör 28 125 000 rdr. Dessa lagda bredvid hvarandra upptaga en längd af 111,6 mil. Lagda i en hög på hvarandra upptaga de något öf- ver 0,9 sv. mil. De skulle kunna betäcka en yta af 10 tunnland och 14 kannland. Deras sammanlagda rymd ut- gör 8,85 stockholmska kubikfot. »Det var en väldig gur- gel, som kunde sluka en sådan silfverklump på så få da- gar.» Detta är dock intet emot kejsar Caligula, som förslösade 3 gånger så mycket eller 84 375 000 rdr. Denna summa väger 18750 skeppund silfver. »Kan frågas, hvilkendera gjorde värre eller bättre: Tiberius, som en sådan penningedrässel af mång mans svett och blod utdestillerade och sedan ingen till nytta samman- muggade, eller Caligula, som på så kort tid med mång mans lust och förnöjelse gjorde så många fångar löse, gjorde staden och hela landet ymnigt af penningar och uppfylde mång fattig bofs toma torftiga taska.» Ex. 4. I första krönikeboken (22 kap. 14 vers.) säger konung David: »Si jag hafver i min fattigdom förskaffat till herrans hus 100 000 centner guld och 1000 gånger 1000 centner silfver, dertill jern och koppar utan tal.»° Detta gör 1 500 000 000 riksdaler, hvilka lagda bredvid hvaran- dra intaga en längd af 5958 mil eller 2358 mil mer än jordens omkrets. Lagda på hvarandra bilda de en stapel af 357% sv. mil i höjd. De betäcka en yta af 546 tunn- land, intaga en rymd af 255 102 kubikfot eller en kub med 63, fots sida. (Forts.). 96 AFD. I. SATSER. Satser*. 1. För elever i elementarläroverkens 4:de klass (latinlinien) eller 3:dje klass reallinien. 150. Bevisa förra delen af Eukl. I. v. (vinklarne vid basen i en likbent triangel äro lika stora) utan att för- länga de lika stora benen nedanför basen. 151. Oni vid förlängning af en triangels 2 sidor ne- danför basen, vinklarne nedanför basen blifva lika stora, så är triangeln likbent. Bevisa denna sats utan att använda någon sats efter Eukl. I. VI. 152. Bevisa, att i Eukl. I. 22 cirklarne måste skära hvarandra. 153. Bevisa det fall af Eukl. I. 24, då den ene tri- angeln innesluter den andre, på ett sätt analogt med bevi- set för det fall, då den ene triangelns bas skär den an- dres sida. 154. Visa, att en cirkels yta är mindre än 4 qva- drater på radien. 2. För elever i 5:te klassens latinlinie eller 4:de klassens reallinie. 155. Visa, att det stundom är möjligt att från 2 punkter på en triangels bas draga räta linier till en punkt in i triangeln så, att dessa dragna sidor tillsammantagna blifva större än triangelns båda öfriga sidor. (Svårt.) / 156. En triangels 3 sidor äro: a) 1, 2, 3 fot; B) 2, 3, 4 »; 7) 3, 4, 5 »; 8) 4, 5, 6 ». * Lösningarne å dessa satser insändas till lektor F. W. Hultman. Adressen är Warberg till den 20 Aug. detta år, derefter Stockholm. AFD. T. SÂTSER. 97 Visa med tillhjelp af Euklides' första och andra böc- ker, hvilken af dessa trianglar är spetsvinklig, hvilken trubbvinklig, samt af hvad natur den fjerde är. 157. Bevisa Eukl. II. 14 med tillhjelp af II. 6 utan att använda II. 5. 158. Bevisa Eukl. II. 12 och 13 genom att på sidorna upprita qvadraterna utan att använda Eukl. II. 4 och 7. 3. För 6:te klassens latinlinie eller 5:te klassens reallinie. 159. Bevisa att en cirkels periferi är mer än 3 men mindre än 4 diametrar till cirkeln. 160. Upprita en triangel, der vinklarne förhålla sig till hvarandra, som talen a) 1:2:3; β) 2:3:4; y) 3:4:5; 0) 4:5:6; Anm. En af dessa uppgifter kan ej lösas med ele- mentargeometrien, d. v. s. här med Eukl. 4:e bok. Menin- gen är blott att få detta angifvet jämte skälet hvarför. 161. Visa att i fig. till Eukl. IV. 10 Strömer’s upp- laga de båda cirklarne skära hvarandra så, att af den större cirkeln blir afskuret 1o af dennes periferi och af den mindre } af dennes. 162. Hvad är klockan, när tim- och minutvisare bilda med hvarandra en vinkel lika stor med vinkeln i en regel- bunden 15-hörning? 163. En trädgårdsmästare reste mellan Upsala och Stockholm. Vid hvarje grind gaf han åt den, som öpp- nade, hälften af det antal äpplen han gaf vid föregående grind och dessutom 1 äpple. Vid sista grinden gaf han 1 äpple. Huru många gaf han då vid den första? (K. E. Broman, Stud. Ner. 1869). 7 98 AFD. I. SATSER. 4. För 7:cle klassens latinlinie eller 6:te klassens reallinie. 164. Bevisa satserna 4—7 i Euklides' sjette bok ana- logt med motsvarande satser för trianglars kongruens ge- nom att lägga den ene triangeln på den andra. (LINDMAN). 165. Hvarföre äro ej tal qvadratiska, då deras siffer- summa reducerad till en siffra är någon annan än 1, 4, 7 eller 9(= 0)? 166. Hvarföre är ett tal delbart med 2, 4, 8, 16 o. s. v., allteftersom den sista, de 2 sista, de 3 sista, de 4 sista o. s. v. siffrorna bilda ett med 2, 4, 8, 16 o. s. v. delbart tal? 167. Hvarföre är ett tal delbart med 5, 25, 125, o. s. v., allteftersom den sista, de 2 sista, de 3 sista o. s. v. siffrorna bilda ett med 5, 25, 125, o. s. v. delbart tal? 168. En rät linie kan ej skära ett cirkelsegment så, att en del af segmentet blir likformig med det hela. 169. Att upprita ett cirkelsegment likformigt med ett gifvet, då man känner a) basen till det begärda segmentet, ß) höjden » » 170. Att upprita ett cirkelsegment likformigt med ett 1 gifvet och - af detta. n 171. Att i en gifven halfcirkel inskrifva en annan gifven halfcirkel så, att a) diametrarne falla utefter hvarandra; ß) den mindres periferi tangerar den störres diameter. 172. Att i en gifven cirkelqvadrant inskrifva en half- cirkel så, att dess diameter blir en korda i qvadranten. I hvad förhållande står ytan af halfcirkeln till ytan af qva- dranten ? 173. Att i en gifven sektor inskrifva en halfcirkel så, att dess diameter blir korda i sektorn. AFD. I. SATSER. 99 174. Två koncentriska cirklar äro gifna; att upprita en liksidig triangel sålunda, att en vinkelspets faller på hvardera periferien och den tredje på den gemensamma diametern, då man känner a) den liksidiga triangelns sida, P) den punkt på diametern, hvari triangelns ena spets skall falla, y) den punkt på den yttre periferien,........................, 0)...........................inre.............................. Anm. Satserna 168—174 äro af stud. A. E. HELL- gren. (1868 April.) 7:de klassens reallinie. 175. Förenkla uttrycket a + bi b — ai ’ Anm. i = den imaginära enheten. 176. En båt skall sätta öfver en flod. I hvilken vin- kel måste han ro för att komma vinkelrätt öfver ström- men, då strömmens hastighet är 5 fot och båtens 8 fot? 177. I en triangel äro 2 sidor 1 och 1 respektive. Vinkeln, som står emot den mindre sidan är = 30°. Be- räkna triangelns öfriga sida, vinklar och yta! 178. Lös eqvationen Cosa + Cot a = 1. 179. Huru mycket rymmer en α) tetraëder, ß) oktaöder, y) kub, J) dodekaöder, (Svårt.) 8) ikosaëder (Svårt.) med a fots sida? 180. Huru löses lättast eqvationen (a-a _ a - 2a - b, a+b) x+2b+a 100 AFD. I. SATSER. 181. Bestäm sidor och vinklar i de trianglar, som uppkomma, om man i en gifven triangel sammanbinder midtpunkterna af sidorna; 182. . . . fotpunkterna af de inre bissektriserna; 183. . . . fotpunkterna af de yttre .... ; 184....................................en inre och 2 yttre . ; 185....................................en yttre och 2 inre . ; 186..................................höjderna; 187. . . . tangeringspunkterna för den inskrifna cirkeln ; 188............................................en af de utan- för inskrifna cirklarne. Anm. Satserna 180—8 äro af E. M. FRYKBERG. 189. Kan en parallelt afstympad rät kons cylindriska medelpunkt någonsin sammanfalla med den stympade ko- nens tyngdpunkt? Anm. Cylindrisk medelpunkt för en med basen pa- rallelt afstympad rät kon = medelpunkten för den cirkel- periferi af en genomskärning af konen, som är = botten- ytan af en cylinder af lika höjd och kubikinnehåll med den stympade konen. 190. Uppgif en formel för beräkningen af en stym- pad kon, när dess toppdiameter, höjd och vidgningskoeffi- cient äro gifna. Anm. Vidgningskoefficient för en stympnd rät kon = tangenten för vinkeln mellan den stympade konens sida och höjd. 191. Angif en stympad kons kubikinnehåll i kubik- fot genom en praktisk formel, grundad på kedjebråksför- kortning och noggrann inom gränsen af kfot på 1000, då vidgningskoefficienten, toppdiametern och höjden äro gifna. Specialfall. Vidgningskoefficient, toppdiameter i duodecimaltum, höjd. To 4 6. .. 5 20. 192. Bestäm förhållandet emellan en stympad rät kon af en gifven vidgdingskoefficient och en cylinder af lika AFD. I. SATSER. 101 höjd med konen, men med en diameter = diametern i cir- keln genom midten af konens höjd. 193. Huru många lika stora cirklar af 4 tums dia- meter kunna rymmas i en qvadrat af 1 fots sida? 194. Praktisk tillämpning af uppgifterna 189—193. Frågas lastrymden af 15000 stockar, 24 fot långa med 5 tums diameter i toppändan och vidgningskoefficient ., då stockarne läggas utmed hvarandra i en s. k. bunke, topp vid rot och rot vid topp? Satserna 189—194" äro af C. Y. N. SVENSON. 195. I Bergii elementarkurs i algebra (sid. 204) fin- nes ett problem af följande lydelse: att finna ytan af en fyrsiding, hvars sidor äro i ordning a, b, c, d fot, då de motstående vinklarne äro lika stora; med svar: 1 ab + cd—-------------—------------------------------ V =-* —,-----------------, • ∖∕ {a^ b ^ c ^ dda + b-c-d)(a+c-b-d)(b + c-a-d). • 4 ab-cd .--------------22--------------------------------7 Huru kan man förklara att detta svar är matematiskt rigtigt, men ^ praktiken alldeles oanvändbart? E. O. JANZÉN, elev vid Norrköpings tekniska elementarskola. Anm. Naturligtvis mottager jag med nöje af ynglin- gar i en lägre afdelning lösningar bestämda för en högre afdelning, äfvensom lösningar å öfriga olösta satser fram- stälda i tidskriften. Min adress är Warberg under tiden mellan den 15 Juni och 20 Aug. detta år, derefter Stock- holm. F. W. HULTMAN. Satser angående triangeln, af lektor C. F. Lindman. (En triangels sidor betecknas med a, b, c och de mot- stående vinklarne med A, B, C resp.; den omskrifne cir- - Dessa satser äro äfven lämpliga för elever vid de tekniska sko- lorna, af hvilka jag derföre äfven emottager lösningar. F. W. HULTMAN. 102 AFD. I. SATSER. keins radie med R, den inskrifnes med 9, radien i den cir- kel, som tangerar endera af sidorna a, b, c och de båda andras förlängningar, med ra, %6, rc resp, och triangelns halfva omkrets med p). 196. , = 4 R Sin 1 A Sin 1 B Sin 4 C, Ta = 4R Sin 1 A Cos (B Cos I C, % = 4R Sin IB Cos [A Cos \ C, % = 4R Sin LC Cos $ 4 Cos I B. 197. Pa+ro+r - 2R(Cos $ A + Cos 1 B + Cos 34 C) = $ (a Cot ; 4 + b Cot I B + c Cot I C); Ya + %'6 + %. - = 4R; Ta + rb+ Po- 3r = 4R(Sin 1 A + Sin 24 B + Sin 24 C) = atg 1 A +btg|B+ctg |C. 199. A ABC = T = A q Ta"oTc- 200. Om den inskrifna cirkeln tangerar sidorna «, b, c i A,, B., C, resp., så är A A, B, C, = 7, = 2r 2 Cos 1 A Cos 4B Cos åC. 201. Om man sammanbinder de punkter, i hvilka bissektriserna till trianglarnes ABC vinklar träffa den om- skrifne cirkelns periferi, så fås en triangel likformig med A A B. C. Gör man hans yta = T2, så är 7, = 2R Cos 4 A Cos 1 B Cos 4 C; 7, 7, = 472. 202. Om I, Iay Io, Jc äro medelpunkterna till de cirklar, hvilkas radier äro r, ra, %6, Te resp., och om man gör A BL C = Tu, A BIC = ta, A A 1 C = 7%, A AIC = to, A AL C = T., A AIB = to, så är ta Co, te - Ta Tb T. ' a b c 2. Tat Tot T, ,3 ΔIa⅛I'= “he - 2pR. AFD. I. SATSER. 103 203. Om radierna i de cirklar, som äro omskrifna kring trianglarne Ta, To, Te, betecknas med Ra, Ro, Re oa2b2c2 resp., sa är Ra Ro Re = o 2r R2. - Sr a To Pc 204. Medelpunkterna till nyssnämnda cirklar ligga på periferien af den kring Δ ABC omskrifna cirkeln och de- ras periferier skära hvarandra i den i A ABC inskrifna cirkelns medelpunkt. Sammanbindas medelpunkterna till de" tre cirklarne, hvilkas radier äro Ra, Ro, Re, så upp- kommer en triangel, likformig med A Ia Io Te och hvars sidor äro parallela med och hälften så stora som dennes. 205. Om radien i den kring A Ia Io Te omskrifne cir- keln betecknas med R, och den inskrifne cirkelns med r1, så är 471 4 Cos 1(7 - A) Cos 1(7 - B) Cos 4( - C) ' Medelpunkterna till dessa båda cirklar ligga på samma räta linie som och till samma afstånd från medelpunkten i den kring A ABC omskrifne cirkeln, hvilken i afseende på A la Io Ic är den s. k. niopunkts-cirkeln. 206. Om från en punkt P på den omskrifne cirkelns periferi perpendiklar fällas på en triangels sidor och om perpendikeln på a betecknas med Pa o. s. v., så är Sin C Sin A Sin B + — Pc Pa Po Sin B Sin A Sin C E ■ + • Po Pa Po Sin A Sin B Sin C _ + — Pa Po Pe År triangeln liksidig, så om P ligger på bågen AB; A C∙, BC. är den mellersta perpendikelns reciproka värde - summan af de andras reciproka värden. 207. Om en punkt P på den omskrifne cirkelns pe- riferi sammanbindes med en triangels vinkelspetsar och om man gör PA = Na, PB = ni, PC = nc, så är 104 AFD. I. SATSER. ng Sin C - Na Sin A+nb Sin B, om P ligger på bågen AB; no Sin B = na Sin A+neSin C,.............A C; m Sin A = 7 Sin B+n. Sin C,..............BC, hvilka uttryck äfven kunna få formen cnc = a na + bnb 0. s. v. År triangeln liksidig, så fås den bekanta satsen bos Tod- hunter, Öfningssatser till Euklides N:o 419 Ed. I: a; N:o 436 Ed. Il: a. 208. Om från en punkt P på den inskrifne cirkelns periferi perpendiklar fällas på en triangels sidor samt per- pendikeln på a kallas Pa o. s. v., så är A/Pe Cos AC = ~Pa Cos 1 A + ~/po CosL B, om P ligger på bågen 4.B. ; A Po Cos AB = Pa Cos } A + A Pc Cos A C, .... A.C,; ApaCos ; A = Apo Cos $ B + Mpe Cos JC, .... B,C,. 209. Om man från en punkt P på periferien af den cirkel, som tangerar sidan A B samt förlängningarne af CA, CB, fäller perpendiklar på en triangels sidor och be- tecknar dem såsom i N:o 208 samt kallar tangeringspunk- terna Ce, Be, Ac resp., så är A/po CosC - MPa Sin ‘ A — /po Sin I B, om P ligger på bågen BcCe; Pe Cos 4 C - ~PoSin-B - ~pu Sin 1 A , .... A Co; Npe Cos 1C = /P« Sin 1 A + ~ Po Sin , B, .... A B.. Dylika formler fås om P tages på någondera af de båda andra cirklarne. Satser af C. B. S. CAVALLIN. 210. AB är korda i en gifven cirkel, C och D två punkter, belägna på hvardera af de segmentbågar, uti hvilka cirkeln delas genom AB och på lika afstånd från A B. AC.BC = AD. BD. AFD. I. SÀTSER. 105 211. Sättas sidorna i en triangel = a, b, c och mid- tellinierna för dessa dess sidor = ma, mö, me, visa att mellan dessa storheter eger rum sambandet 3(a2 +b2 + c2) = 4(m3 + m3 + m3). 212. Om A, B, C och D äro de på hvarandra föl- jande hörnen i en fyrhörning, E midtpunkten på AC och F midtpunkten på BD, så är AB, + BC + CD, + AD, = 2(AF, + BE, + CF, + D.E). 213. Om från en godtycklig punkt utom en liksidig triangel perpendiklar nedfällas mot dess sidor, så är sum- man af två bland dem minskad med den tredje konstant och lika med triangelns höjd. 214. Tre punkter A, B och C ligga i rät linie; att på en gifven cirkels periferi finna en sådan punkt, att derifrån AB och BC ses under lika stora vinklar. 215. Att finna lokus för tyngdpunkten till alla de trianglar, som hafva en konstant bas och en konstant vin- kel vid spetsen. 216. Om en liksidig triangel är inskrifven i en cirkel och en punkt tages på cirkelns periferi samt sammanbin- des med två närstående vinkelspetsar i triangeln, så är dubbla rektangeln af dessa sammanbindningslinier ökad med fyra gånger qvadraten på afståndet mellan midtpunkten på den räta linie, som förenar nyssnämnde sammanbindnings- linier, och midtpunkten på den räta linie, som förenar den valda punkten med triangelns motstående vinkelspets, lika med qvadraten på den iiksidiga triangelns sida. 217. Ytorna af trianglar, som äro inskrifna i samma eller lika stora cirklar och hafva en gemensam eller lika stora baser, förhålla sig till hvarandra direkte som rekt- anglarne af de sidor, hvilka de icke hafva gemensamma eller lika stora. 218. Att i en gifven cirkel inskrifva en triangel så, att två af sidorna förhålla sig såsom två gifna räta linier a) och att dess area blir ett maximum; 106 AFD. I. SATSER. b) och att dess omkrets blir ett maximum; c) och att summan af dessa sidor blir ett maximum; d) och att skilnaden mellan dessa sidor blir ett ma- ximum; e) och att summan af qvadraterna på dessa sidor blir ett maximum; , : /) och att skilnaden mellan qvadraterna på dessa si- dor blir ett maximum; g) och att rektangeln, som innehålles af dessa sidor, blir ett maximum; h) och att dess area är lika med en gifven qvadrats; i) och att dess omkrets blir lika med en gifven rät linie ; y) och att skilnaden mellan dessa sidor blir lika med en gifven rät linie; ⅛) och att summan af qvadraterna på dessa sidor blir lika med en gifven qvadrat; l) och att skilnaden mellan qvadraterna på dessa si- dor blir lika med en gifven qvadrat; n) och att den vinkel, som dessa sidor omfatta, blir lika med en gifven vinkel; m) och att rektangeln, som innehålles af dessa sidor blir lika med en gifven rektangel; o) och att en af de vinklar som stå emot dessa sidor blir lika med en gifven vinkel; p) och att den tredje sidan blir lika med en gifven rät linie. 219. Två cirklar tangera hvarandra innantill eller utantill. Att upprita en triangel, som har sin spets i tan- geringspunkten och de öfriga hörnpunkterne belägna en på hvardera af de båda cirklarnes periferier, så att dess yta blir den möjligast största. 220. Två cirklar tangera hvarandra innantill eller utantill. Att upprita en likbent triangel, som har sin spets i tangeringspunkten och de båda sidornas ändpunkter be- AFD. I. SATSER. 107 lägna en på hvardera cirkelns periferi, så att dess ytinne- håll är det största möjliga. 221. Att i en triangel inskrifva den största möjliga rektangel. 222. En cirkel och en rät linie äro gifna. Att npp- rita en rektangel, som har en sida belägen på den räta linien och den motstående sidan såsom körda i cirkeln. a) så att dess perimeter blir den längsta möjliga; b) så att den intar den största möjliga yta. Anm. Med tillhjelp af sats 60 (I) (N. Peterson) löses satsen 222 a synnerligen enkelt. 223. Två cirklar skära hvarandra. Att genom en af skärningspunkterna draga en rät linie, som afskäres af de båda cirkelperiferierna a) så, att rektangeln af delarna blir ett maximum; b) så att summan af qvadraterna på delarna blir ett maximum ; c) så att rektangeln af delarna blir lika med en gif- ven rektangel; d) så att summan af qvadraterna på delarna blir lika med en gifven qvadrat; é) så att skilnaden mellan qvadraterna på delarna blir lika med en gifven qvadrat. 224. AB är en fast rät linie, på hvilken såsom bas en rörlig triangel ABC är uppritad, så att vinkeln vid spetsen är lika med en gifven vinkel. Stycket AD af si- dan AC är konstant och från D är en rät linie dragen parallelt med CB tills den träffar AB i E och från E är vidare dragen en rät linie EF parallelt med AC, som träf- far BC i F. När eger den sålunda uppkomna parallelo- grammen DEFC sitt största värde? 225. AB är en fast rät linie, på hvilken den rörliga triangeln ABC är uppritad, der vinkeln C är konstant. De konstanta styckena AD och BE äro afsatta på AC och BC. När får triangeln DEC sitt största värde? 226. Bland l räta linier äro m parallela och n gå ge- nom samma punkt. Alla linierna skära hvarandra sins 108 AFD. I. SATSER. emellan i det största möjliga antal punkter. Att finna ut- trycket för detta maximum. 227. Att upprita en fyrhörning, likformig med en gifven fyrhörning, hvars sidor (förlängda, om så behöfves) gå genom hvar sin af fyra gifna punkter. 228. Öfver den räta linien AB äro uppritade tvänne cirkelsegment sådana, att vinkeln som innehålles i det ena, är lika med vinkeln, som innehålles i det andra till- sammans med denna vinkels halfva supplement. På det senare segmentet är en punkt C hvilken som helst tagen och från, den samma en tangent CD dragen till det förra segmentet, hvarpå CE nedfälles L AB eller dess förläng- ning. Bevisa, att qvadraten på CD varierar proportionelt mot räta linien DE. 229. AB är en gifven rät linie och C en gifven punkt på densamma. En godtycklig cirkel ADB är uppritad, som skär den genom midtpunkten O gående, mot AB vin- kelräta linien OD i en punkt D. D och C sammanbindas och DC utdrages tills den råkar periferien i punkten E. AE eller BE utdrages, hvarpå den yttre vinkeln delas midt i tu genom en rät linie. Bevisa, att denna delnings- linie går genom en bestämd punkt, huru man än må taga radien. 230. Att upprita en triangel, då man känner peri- metern, en vinkel och a) höjden till den mot den gifna vinkeln stående sidan; b) höjden mot någon af de sidor, som omfatta den kända vinkeln; c) längden af den räta linie, som skär den kända vin- keln midt i tu och ligger mellan spetsen och den motstå- ende sidan; d) förhållandet mellan de sidor, som omfatta den kända vinkeln ; e) radien till den inskrifna cirkeln; f) summan af de sidor, som omfatta den kända vinkeln. g) skilnaden mellan de sidor, som omfatta den kända vinkeln. AFD. 1. SATSER. 109 Satser af G. A. K...a, student. 231. Att afskära en triangel livad del, soni begäres, medelst en linie, parallel med en sida i triangeln. 232. Att afskära en triangel hvad del, som begäres, medelst en linie, parallel med en, till sitt läge gifven, godtycklig linie. 233. Om två parallela linier och en annan, som skär dem, äro gifna, att . a) på den ena parallela linien såsom bas upprita en triangel, som har sin spets på den skärande linien, är lik- formig med en gifven triangel och skäres midt i tu af den andra parallela linien; b) på den ena parallela linien såsom bas upprita en triangel, som har sin spets på den andra parallela linien, är likformig med en gifven triangel och skäres midt i tu af den skärande linien; c) på den ena parallela linien såsom bas upprita en triangel, som är likformig med en gifven triangel och skä- res midt i tu såväl af den andra parallela linien som af den skärande linien; cl) på den skärande linien såsom bas upprita en tri- angel, som är likformig med en gifven triangel och skäres i tre lika stora delar af de båda parallela linierna; e) enligt ofvanstående vilkor upprita trianglar, som delas på hvad sätt som helst af den tredje linien. 234. Om tre räta linier äro gifna, som skära hvar- andra, att på den ena räta linien såsom bas upprita en triangel, som är likformig med en gifven triangel och a) skäres midt i tu af hvardera af de två öfriga li- nierna ; b) delas i hvad delar, som begäras, af hvardera af de två öfriga linierna. . 235. Om två parallela linier äro gifna och en annan, som skär dem, att upprita en liksidig triangel, som skä- res midt i tu af den skärande linien, har en spets på livar- 110 AFD. I. SATSER. dera af de parallela linierna och sidan, som sammanbinder dessa spetsar, parallel med den skärande linien. 236. Om tre räta linier aro gifna, som skära hvar- andra, att upprita en liksidig triangel, som skäres midt i tu af den ena linien, har en spets på hvardera af de öf- riga två linierna och sidan, som sammanbinder dessa spet- sar, parallel med den tudelande linien. Satser af II. LAGERDAHL. • 237. Att bevisa, det summan af ett bråk och det uppnedvända bråket öfverskjuter 2 med qvoten, som fås, då qvadraten på skilnaden mellan bråkets täljare och näm- nare delas genom dessas produkt. 238. Qvadrering af tal, som ändas på 5, kan med fördel ske genom att multiplicera det tal, de öfriga siffrorna för sig bilda, med det, som är en enhet större än detta, och till produktens slut foga 25. När en eller flere nior omedelbart föregå slutfemman, vinner denna väg ytterligare i genhet. Att visa dess grund eller riktighet. 239. Om eqvationsformerna a±y = a, (22 + y2)(23 ± y2) = b afläsas på så många vis, som de utsatta förtecknen med- gifva, uppstå 8 eqvationspar. Hvilka af dessa underkasta sig qvadratisk lösning och hvilka af de öfriga kunna lösas medelst Cardansformeln, d. v. s. hvilka af de öfriga leda till en sluteqvation af 3:e graden? Sats af lektor M. Hallström. 240. Tre räta linier och en punkt äro gifna i samma plan. Att genom punkten draga en rät linie, som skär de gifna linierna så, att stycket mellan den första och den an- dra är lika med stycket mellan den andra och den tredje. AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. 111 AFDELNING IL Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 43). D) Lösning af geometriska likheter af högre grad. 135. Vi vilja för våra geometriska qvantiteter bevisa några satser, hvilka förut äro kända såsom gällande för algebraiska qvantiteter. Med a,, a2,... an förstå vi n stycken komplexer hvilka som helst och med n C förstå vi kombinationen af rée ordningen af a,, a2,...an» d. v. s. summa af alla särskilda y-lediga produkter, som kunna bildas af de n komplexerna. På grund af sjelfva definitionen på kombination följer att n n—1 n—1 C = a C + C....................(35), r..............................r—1 r der as utmärker någon af de n komplexerna och förutsät- n—1 tes utstött ur de med C betecknade kombinationerna. Denna formel gäller från r = 1 till r = n under förutsätt- n — 1.........................n — 1. ning, att C betyder 1 och C betyder 0. 0 n ■ 112 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN 136. Om ui ha uttrycket n n nn (x-)” + (x,)-1.C + (x-)-2.0+.... C+C. . (36), 1 2 n — 1 n der x representerar en obestämd complex, så blir det 0 för hvarje gång x blir = a eller a, eller o. s. v. till och med an. Ty genom att enligt (35) uppdela kombinationerna i (36) fås n — 1 n — 1 n—1 n— 1 („)” + (a„)—1. {a, C + C/+ (x-)"—2. {a, C + C} + . . . 01 12 ti — 1 n — 1 n-—1 + a, . [as C + C} + a, C .... (37), n — 2 n— 1 n — 1 i hvilket uttryck termerna taga ut hvarandra i ordning två och två, då x sättes = as. Genom att successivt låta s betyda 1, 2 o. s. v. till och med n framgår satsen såsom till fullo bevisad. Anm. Enligt denna sats kan man således af n styc- ken gifna komplexer bilda en née grads eqvation, som har dessa till rötter. 137. Om vi efter införande af &, = § kalla det hyf- sade née grads polynomet (36) för fn(s), så fås genom upp- delning enligt (37) fn(^ + (5+a)fa-1()...............(38), der fn-1(5) betyder ett uttryck af samma form som (36), då vi i stället för n införa n-1. Genom att i (38) sätta s = 1 och sedan ur faktorn fn-1(5) på enahanda sätt utbryta faktorn § + a2 samt vi- dare ur fn—2(§) utbryta § + a3 o. s. v. fås uppdelningen /»(§) = (§ + a,)(% + aq)(§ + (2)... (5 + a,) . . (39), hvarigenom vi således lärt finna multiplikationsresultatet af n stycken binoma faktorer. AFD. TI. GEOMETRISKA KALKYLEN. 113 138. Genom att i (39) sätta al = C2 = a, =...C = a och under förutsättning att vi känna antalet termer i hvarje särskild kombination erhålles binomial-formeln (§ + a)n = gn + τ gn—1 , a + 2—2 gn—2. a2+...an.. (40), 1 1.2 hvilken således framgår såsom en omedelbar följd ur (39). Anm. De kända algebraiska bevisen för de i §§ 136 —138 framstälda satserna kunna enligt de grunder, som äro antydda i § 39 omedelbart antagas såsom gällande för de geometriska komplexerna; men vi hafva för fullständig- hetens skull velat bevisa dessa vigtiga satser särskildt för komplexerna och det så mycket heldre, som de anförda bevisen äro till sin natur måhända något enklare än de, som vanligen framställas från algebraisk ståndpunkt. 139. Vi gå nu att rörande funktioner (sådant deras begrepp blifvit antydt i §§ 62—78) framställa några all- männa bestämningar, af hvilka vi komma att betjena oss vid behandlingen af de vigtiga satserna rörande rötter. Om vi har en funkiion Ro af Ç0 eller Rg = J(ew), så säges hon vara ensvarig, om mot hvarje punkt Qo sva- rar blott en enda punkt R.. I annat fall säges funktio- nen vara mångsvarig, hvaraf vi ha såsom enskilda fall tvåsvarig, tresvarig och i allmänhet n-svarig. Anm. En ensvarig funktion karakteriseras deraf, att, under det Qu med ett hvarf beskrifver en sluten linie eller kontur, så beskrifver Ro en följd af punkter och det så, att, då Qo hunnit sin utgångspunkt, så har ock Ro hun- nit sin. Ur denna synpunkt sedd säges Ro vara en mo- nodrom (enlöpig) funktion af Qo. Om åter samtidigheten i utgångspunkterna icke inträffar, så är funktionen mång- svarig eller icke monodrom. 140. Med en funktions Ro vinkelbana förstå vi det af Re beskrifna bågvärdet, under Qo& argument ω beskrif- 114 ΛFD. II. GRUNDDRAGEN ΛF DEN ver ett helt båghvarf eller går från ett värde ω1 till värdet ω1 + 2. Denna definition inlägga vi i beteckningen wi + 27 Arg/(0w) = Arg f(0w,+21) - Argf(9w), hvilken utsäges: funktionens f(Q0) vinkelbana från 00, till 00, + 27 är skilnaden mellan funktionens argument för vär- det ω1 + 27 och funktionens argument för värdet ω1. 141. Såsom en omedelbar följd af föregående defini- tioner framgår, att en ensvarig funktions vinkelbana måste vara af formen 2k , der k betyder ett helt positivt eller ne- gativt tal eller ock 0. 142. Vi gå nu att uppvisa kontinuitets begreppets be- tydelse för våra geometriska komplexer. Om vi i likheten Ra = f(Q.) låta Qo från gifna grundbestämningar origo N och grund- rigtning NA (fig. 12) fixera punkten P, så måste Ro från sina grundbestämningar origo O och grundrigtning OB fixera någon motsvarig punkt Q. Låta vi punkten P' fixe- ras af Qo + hg, då hg = PP, så kan den motsvariga punk- ten Q representeras af Bo + HE, då HE = QQ, hvarige- nom således det mot tillskottet hg svarande tillskottet HE får följande form He =f(eu + h,)-J(ew). Om det nu inträffar, att, under det P’ närmar sig att sammanfalla med P, äfven Q’ närmar sig att samman- falla med Q och det för hvilket värde som helst på argu- mentet 8 eller, kortare uttryckt, om samtidigt lim H = 0 som limh = 0, så säges funktionen f((w) vara kontinuerlig för punkten P. En funktion säges vidare vara kontinuerlig för en linie eller för en viss del af planet, om hon är kontinuerlig för hvarje punkt på denna linie eller för hvarje punkt inom denna del af planet. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 115 143. Såsom en omedelbar följd af föregående all- männa bestämningar framgår, att, om en ensvarig och kon- tinuerlig funktions vinkelbana är 0, så beskrifver funktionen en kontur, som icke innesluter hennes origo: och om vinkel- banan utgöres af 2k , då k betyder ett helt positivt eller ne- gativt tal, så beskrifver funktionen en sluten kontur, som in- nesluter hennes origo; och omvänclt. 144. Om vi med f(@w) utmärka ett hyfsadt née grads polynom och vi sätta Rg =/(0w) = (en)" + A. ∙ (0.)-1 + Bs ■ Qu + C, .. (41), så är Ro en ensvarig funktion af Qw. Sanningen af denna sats inses omedelbart på grund deraf, att, om vi i polynomet f(@w) i stället för argumen- tet co införa det generella argumentet to + 2kv1, så förän- drar detta icke läget af den af R2 fixerade punkten. 145. Ett hyfsadt n‘ grads polynom f(0w) är en konti- nuerlig funktion af ρω och det för alla punkter i planet. Om vi använda det i § 142 gifna beteckningssättet, så fås EIr = hi.f'^) + 1.2 ".)+..1.2..n-0X(0.) . (42), hvilken utveckling endast förutsätter binomialteoremet och den inom eqvationsteorien vanliga beteckningen med de- rivator. Men då modylen för en summa alltid är ≤ summan af termernas modyler, så fås af (42), då M betecknar den största af derivatornas modyler: H u och = 2π för k < u. Sanningen af denna sats inses omedelbart ur den af likheten representerade figuren. 147. I hvarje hyfsadt né grads polynom R2 -/(em) - (0w)“ + 4q-(w)"—1 +... Bs.qo + C, gifves det alltid ett sådant värde på Q0, som gör polynomet = 0. I. Vi sätta . Rg = Cy +,,(44), der således To = Bg.Qw +... Ax-(eu)" 1+(eu)". Af denna senare likhet följer B.Q+...A.Q"-1+(2, och således ovilkorligen AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 117 då m representerar den störste af koefficienternas modyler B,...A, 1. Men vi kunna på Q finna ett värde Q1 så litet, att me(l - q”) - 1-0 ’ för hvilket värde alltså C> 7. Men för C s ” är i (44) Rgh vinkelbana = 0 (§ 146), hvilket enligt § 143 innebär, att Ro beskrifver en kontur, som icke innesluter dess origo. II. Om vi åter sätta . Rg = ((u). (1 + u) (45), der således A, B. C. Qc (Po)* 1 (0 )" så är A B C — + ...------7 + —u 0 Q"-1 Q” och således ovilkorligen 0/ - T- > % 1 - — 0 då u representerar den störste af koefficienternas modyler A,... B, C. Men vi kunna på Q finna ett värde Q2 så stort, att 1 — I ) Qx 1_1 ’ för hvilket värde alltså 1 > w. Men för 1 > u är faktorns 1 + uy i (45) vinkelbana = 0 och faktorns (?) vinkelbana = 2n, då följaktligen 118 ÂFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN Rol vinkelbana blir 2n 7, hvilket således innebär, att Ro beskrifver en sluten kontur, som innesluter dess origo. Om vi nu tänka oss Q0 med sitt origo som medel- punkt beskrifva oändligt nära hvarandra belägna koncen- triska cirklar, börjande med modylvärdet 01 och slutande med modylvärdet Q2, så måste Ro på grund af § 145 be- skrifva oändligt nära hvarandra belägna konturer, börjande med en, som icke innesluter origo, och slutande med en, som innesluter origo. Men en kontinuerlig öfvergång från den förra konturen till den senare förutsätter med nödvän- dighet, att det för något mellan 01 och Q2 liggande värde på Q måste finnas en kontur, som berör origo (jfr § 145, anm.), för hvilken alltså R = 0. Anm. Det här förebragta beviset, att » hvarje eqva- tion har en rot» utgör måhända det enklast möjliga, som låter finna sig för en så vigtig och på samma gång svår- bevislig sats. Som vi se, står det i det intimaste sam- band med begrepp, som äro för de geometriska komple- xerna egendomliga och hvilka på algebraisk ståndpunkt sakna betydelse. Det är derför ock helt naturligt, att man från denna ståndpunkt förgäfves sökt bevisa denna sats, hvilken till sina förutsättningar går utöfver de algebraiska qvantiteternas speciella område. Det af Cauchy gifna be- viset rör sig ock i sjelfva verket med förutsättningar, som i sträng mening tillhöra den geometriska kalkylen. 148. Om a1 betecknar en rot till det hyfsade né grads polynomet (41), så är f((6) divisibel med Qo — a, och ger en qvot f.(0 ), som utgör ett hyfsadt polynom af (n — 1)2 graden, eller J(ew) = (ew - C,).Ki(0.) (46). Beviset för denna sats sammanfaller till formen med det kända algebraiska beviset. 149. Såsom en omedelbar följd af (46) få vi, då de successiva qvoterna uppdelas på analogt sätt Re = f(0c) = (ee - a,)(qe - a.)... (gw -an). . (47), AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 119 hvaraf framgår, att "en n‘e grads eqvation har n stycken rötter ". 150. Om vi antaga de n rötterna i (47) vara indice- rade efter modylernas storlek, så att C, < a2 <...< Cn, och om vidare 0 har ett sådant värde Q', att a, < 0 < 0,+1, så blir enligt § 146 hvar och en af de r första faktorernas i (47) vinkelbanor = 27, och hvar och en af de n — ? se- nare faktorernas vinkelbanor = 0, då alltså 01+27 Arg/(o w) = 2r7, Och omvändt kunna vi af identiteten (47) sluta, att, om vi för något värde Q’ på Q finna f(0 )8 vinkelbana vara 2r7, så ligger y' mellan de två r'otmodylerna a, och a,+-1, då nämnligen de n rötterna äro indicerade efter modylernas storlek, så att a < C2 <... < Cn. Anm. Af denna sats ha vi således lärt oss, att om Q0 såsom i § 147 beskrifver oändligt nära hvarandra be- lägna koncentriska cirklar från modylvärdet Q1 till modyl- värdet 92, så ökas R2' vinkelbana med 27t, d. v. s. R2 gör en ny slinga omkring sitt origo, för hvarje gång Q under sin tillväxt passerar öfver en rotmodyl. 151. Den punkt, som fixeras af ett rotvärde, då detta hänföres till Qréå origo och grundrigtning, kallas rotpunkt (jfr § 129)∙ Om inom en af Q beskrifven sluten kontur hvilken som helst det finnes r stycken rotpunkter, så är ¾1 vinkelbana för denna kontur 29, d. v. s. Ro beskrifver sin kontur med r stycken slingor omkring sitt origo, under det Q beskrifver sin kontier; och omvändt, om Ros vinkelbana för någon af ρω beskrifven kontur är 2r7, så är detta ett kännetecken, att r stycken rotpunkter ligga inom den af ρω beskvifna konturen. Vi låta Qo = NP (fig. 13) från N som origo beskrifva en sluten kontur PP', inom hvilken en af a, = NA, fixe- rad rotpunkt A finnes. Om vi sätta AP = X, så blir enligt figuren X, = — a, + Qq. 120 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. Men då ρω beskrifver sin slutna kontur PP, så be- skrifver X, samma kontur omkring sitt origo J1, då alltså dess vinkelbana enligt § 143 måste vara 27 eller, som är detsamma, faktorns Qu — a i (47) vinkelbana måste vara 27. På samma sätt bevises, att för A2 och hvarje annan inom konturen befintlig rotpunkt t. o. m. A, måste dess motsvarande faktors vinkelbana vara 27. Ligger åter en af as = NA, fixerad rotpunkt As utanför konturen PP, så fås enligt figuren X, = — Cg + Qω∙ Men då Qo beskrifver sin kontur PP, så beskrifver Xs samma kontur utom sitt origo As, då alltså dess vin- kelbana måste vara 0 eller, som är detsamma, faktorns Q0 — as vinkelbana måste vara 0. På samma sätt bevises, att för hvarje annan utom konturen PP' befintlig rotpunkt är dess motsvarande faktors vinkelbana 0. Alltså måste för ? stycken inom och n —stycken utom konturen be- fintliga rotpunkter Ros vinkelbana vara 22, d. v. s. Ro = OQ beskrifver sin slutna kontur QQ med r stycken slingor omkring sitt origo O. Ömvändningen af satsen inses omedelbart af identite- ten (45), enär Rg‘ vinkelbana 2r7 förutsätter med nöd- vändighet r stycken faktorer med hvar sin vinkelbana 27. Ligger en rotpunkt på sjelfva konturen PP, så lem- nas det obestämdt, om dess motsvarande faktors vinkel- bana må räknas för 0 eller 27, men inskränker för öfrigt ingenting i den uttalade satsen. Anm. Denna både vigtiga och intressanta sats har af Canchy blifvit gjord till föremål för en särskild kalkyl, hvilken han utvecklat under namn af Indicekalkyl (Calcul des Indices). (Forts.) AFD. 1I. DEDUKTION AF SERIERNA FÖR SIN X OCH COS 2, 121 Deduktion af serierna för Sin a och Cos x. Af löjtnant P. W. ALMQUIST, Ystad. Vi antaga såsom kändt, l:o) att binomial-formeln (1+>-1+1=-4-421.+.......................(1) är gällande för alla reella värden å u och alla värden å 2, hvilkas modyl är mindre än 1, samt 2:0) att uttrycket , a Na 1 + — der x och au äro reella qvantiteter, obegränsadt närmar sig till en viss finit gräns, e“, när num. valören af u obegrän- sadt tillväxer. I formeln (1) sätta vi nu z = ".2 . Deraf fås för alla var eller m å x, som äro num. mindre än u, xi u xi u u — 1 (xi\2 u) - +1 u+1 2 (a) (in+l ( 1\ n(, xi ( n+1 \ (/ (x i)n 1.2...7 1 xi =1 +— 1 1----. . u/ ( 1 1 — \ U. u ) der A — ----------------------------------- , I - ( 1 4 _ 11 --— . y U c / 1 i 1 100. T)T l+∙∙∙f∙ 1.2. ..(n+l)∖ (/ ∖ 0/( n + 2\ ) I denna eqvation antaga vi nu, att u är positivt, samt söka begge membras gränsvärden, när μ obegränsadt till- växer. 122 AFD. II. DEDUKTION AE SERIERNA FÖR SIN Μ OCH cos x. Beteckna vi fördenskull modylen för xi med ? och mo- dylen för R med Q, så är ,h+1 1 , r2 ( ° - 1.2.. (+1). + n+2 + (n + 2) (n + 3) * ) och således à fortiori „n+1 1 0< 1.27 1 ,- • • • (3) 1.4..0T 1) 1 n+2 och sätta vi derjemte for u = co lim R = R lim 0 = q, sa blir af (2) lim samt af (3) n + 1 1 1.2. ..(+1) 1 ? n + 2 och således för n = 0o lim R'= 0 och - xi (xi)2 , lim 1 + — = 1 + + - 2 + - +................(4), U) ) 1 1.2 1.2.3 hvilket gäller för alla reella värden å x, emedan μ är oändligt. För venstra membrum antaga vi nu, att Q är modylen och 9 principal-argumentet för Då bin- 1 + — μ / = Q(Cosu 9 + i.Sin u9) . . . (5), der 0 = 1 + @3) och 9. - Arctg . . ( / ( AFD. Π. OM DEVELOPPABLA YTORS KURVATURLINIER. 123 Häraf fås 1 2u samt 9 9 43-8 S 1g 9 4 1g 31 För u = ∞ blir då lim 9 = 0, lim Q" = (e*)° = 1 lim u9 = a och således af (5) lim (1+ — - = Cos æ + 2. C. . • . (O). Af (4) och (6) fås nu för alla reella värden å a Cos a + i.Sin= 1 + hvaraf Cos a = 1-23 1.2 ai (a i)2 (a i)3 1 + 1.2 + T. 2.3 a“ + 1.2.3.4 * * Sin = - 1 a3 ab 1.2.3 + 1.2...5 Om developpabla ytors kurvaturlinier. Af docent Μ. FALK. Som bekant är, finner man kurvaturlinierna till en yta ur differentialekvationen I(1+2")s-ptly2-10 90),-(l+p2)e|/*Pqv-(1+p”)s - 0 (1), der dz dz do dp dq dq , , dy da dy da dy da dy ° da för kurvaturliniens projektion i xy-planet. 124 AFD. II. OM DEVELOPPABLA YTORS KURVATURLINIER. Då ytan är developpabel, har man derjemte rt - ) ~ k(a — a)(x — b)(sx — c)(x — d). Det är märkvärdigt att se, huru man för dessa och dylika fall nä- stan utan all räkning kan afgöra rörelsens beskaffenhet. — Våra meka- niska läroböcker innehålla merendels ingen annan händelse, än för f(x) == konstant, d. v. s. f(x) af nollte graden. Herr Björling tillåter f(x) att vara af hvad grad som helst. . F. W. Hultman. Svar och rättelser med anledning af anmälda och granskade skrifter. 1. Phragméns trigonometri. *I anmälan af min plana trigonometri, sid. 291 årg. 1868, ställer referenten till mig den frågan, hvarföre jag först i sista kapitlet af an- dra afdelningen upptagit formeln a2 = b2 + c2 — 2bc Cos A. Jag vill nu besvara denna fråga. m * Förf, skulle skrifva: a. AFD. IV. AF ANMÄLDA OCH GRANSKADE SKRIFTER. 139 Syftet med förra afdelningen har varit att lemna en enkel, för la- tinlinien tillräcklig kurs i trianglars beräkning, och jag har dervid upp- stält såsom mitt mål att i denna kurs endast omnämna Sinus, Cosinus o. s. v. för spetsiga vinklar; icke upptaga andra formler än sjelfva formlerna för trianglars be- räkning; genom geometrisk konstruktion erhålla dessa af figuren och defini- tionerna omedelbart användbara för beräkning med logaritmer. I fråga varande formel var nu icke nödvändig för denna kurs, kunde i denna ej framställas annat än i form af två olika formler och ej användas vid räkning med logaritmer. Jag lät den derföre vänta till andra kursen. 6 I denna ansåg jag lämpligast att låta alla tillägg till läran om tri- anglars beräkning följa i ett sammanhang och naturligtvis då i slutet, emedan jag dérigenom kunde få draga förmon af det förut genomgångna. Ingenting hindrar dock att läsa detta kapitel med förbigående af det tjerde och femte, endast man leninar utan afseende de få häntydnin- garne till användande af hjelpvinklar. I sammanhang härmed vill jag anmärka, att den i detta kapitel (i 86) upptagna formelsamling ej egentligen är härledd ur de formelsy- stem, som referenten angifver, utan såsom det också angifves, ur formlerna i 82.€ Lars PHRAGMÉN. (Ur enskildt bref den 24 Jan. 1869). 2. Bergii räknebok. Till min anmälan af Bergii elementarkurs i räknekonsten finner jag mig skyldig göra följande rättelser och tillägg. Det hette der, att Otterström och Nyström föregått Bergius i att uppställa en räknebok uppstäld så, att eleven förstode räknelagarne. Förhållandet är följande: Otterströms lärobok utkom 1849, Bergii 1850 och Nyströms först år 1852. Nyströms lärobok utkom således först ef- ter Bergii. Till ofvanstående förtjenst har Bergius äfven lagt den, att han i Sverige (så vidt man undantager Stjernhjelms handskrifter och Björks lärobok af år 1643. varit den, som först* i en utförligare läro- bok stält läran om decimaler i sammanhang med läran om hela tal. Vidare är Bergius den, som först infört hufvudräkning i vårt land.. Till dessa förtjenster kunna vi äfven lägga följande trenne: 1. Bergius har först i Sverige infört geometrisk åskådningslära. 2. Näst Mundt-Bergroth och Siljeström är Bergius den, som i geo- metri först infört en metod, der satserna äro stälda i ett organiskt sam- manhang 3. Bergius är den förste och för närvarande ende svensk som i en geometrisk lärobok infört den s. k nyare geometrien och de generela bevis hvaraf den är mägtig. An m. I händelse jag i afseende på prioriteten angående författar- skapet till någon af dessa punkter skulle hafva misstagit mig, är jag tacksam för de rättelser, som i detta hänseende meddelas mig. Warberg i Juni 1870. F. W. HULTMAN. * Vi erinra oss ej med säkerhet, när Wredes lära om decimalräkning utkom. 140 AFD. IV. UTKOMNE ARBETEN. Utkomne arbeten. 1. Leksell, C. Μ. Förberedande kurs i fysiken. Stockholm 1869. 2. Björling, E. G. Elementarlärobok i algebra. 8:de uppl. Förra delen. Westerås 1868. Senare delen. Förra häftet. Westerås 1869. Senare häftet 1870. 3. Sexe, S. A. Om nogle Punkter i den elementære Arithmetik. Christiania 1870. 60 öre. 4. Westergård, P. C. Anvisning att vid sifferräkning begagna P. C. Westergårds räknemaskin. Halmstad 1870. Pris 3,50. 5. Theorell, A. Gr. Proportionslärans elementer. Stockholm 1870. 6. Bergius, A. T. Elementar Geometri. Andra delen: Plan geo- metri. Stockholm 1870. 7. Guldberg, C. M. Lærebog i stereometri. Christiania 1870. 8. Mundt, C. E. Elementarkurs i geometrien, bearbetning af J. E. Bergroth. Helsingfors 1869. 3,75 rdr. 9. Möller, C. F. C. Læren om Rumstorrelser. Forste Del: Plangeometri. Kobenhavn 1870. 10. Steen, A. Ren Mathematik (algebra), indeholdende det ele- mentære Kursus, 3:e Udgave. Kobenh. 1862. 11. — — Elementær Algebra, indeh. læren om potents, rod og logarithme samt Ligninger. Kobenh. 1868. 12. — — Elementær Plangeometri. 1865. 13. — — Oversigt over Hovedformerne i Rummet som inledn. til Geometrien. 1868. 14. Schjgdte, C. A. Tillæg til prof. A. Steens elementære Alge- bra. Kjobenh. 1859. 15. Steen, A. Elementær Stereometri. Kjobenh. 1867. 16. Mundt, C. E. Lærebog i den elementære stereometrie tilli- gemed den sphæriske trigonometri. 3:e Udg. Kjobenh. 1868. 17. — — Lærebog i den elementære plangeometrie til- ligemed den plane trigonometrie. 7:e Udg. Kjobenh. 1867. 18. Jamin, M. J. Petit traité de Physique (enligt den fysiska vetenskapens nu varande ståndpunkt). Paris. Gauthiers-Villars, 1870. 2 voll. 6,40 rdr. 19. Martin , C. R. Behandling af teorem ang. 3 plana räta lini- ers sammanträffande i en punkt. Akad. afh. Ups. 1868. 20. Sundell, A. F. Undersökning om elektriska disjunktions- strömmar. Akad. afhandling. Helsingfors 1870. 21. Steen, A. Integration af differentialligningen • da2 + 2 (dx) dx = ved Faktorer alene indeholdende æ og y. 1863. 22. — — Bidrag til Theorien af Integration af Differential- ligninger af forste orden og förste Grad. 1864. 23. — — Om de lineære Differentialligninger, hvis partiku- lære Integraler alle ere af samme form. 1866. 24. — — Bemærkninger om Sandsynlighedsregningens Anven- delse til at maale Styrken af de Aarsager, der begünstige et Phæno- men, som uafbrudt har vist sig gjentagne Gange. 1866. 25. — — Om Integrationen af Differentialligninger, der fore til Additionstheoremer for transcendente Funktioner. Kjobenh. 1868. AFD. IV. till HRR FÖRFATTARE. 141 26. Steen, A., Om Aendringen af Integraler af irrationale Diffe- rentialer til Normalformen for det elliptiske Integral af forste Art. Anm. Afhandl. 21—24 stå i Oversigt over d. K. D. V. Selsk. Forh. „ 25—26 „ Vidensk. Selsk. Skr. 5 Række. 27. Tychsen, Camillo. Tidsskrift for Mathematik, årgångarne 1868, 69, 70 (3 häften), à 4,25 årgången. 28. Grunert, J. A. Archiv der Mathematik und Physik. 50:ster Theil. (1868 ar således ett jubelår för tidskriften). Vi skola med det första återkomma till en närmare redogörelse för flere af ofvanstående arbeten. F. W. H. Till Hrr Författare. Red. anser sig böra fästa hrr författares uppmärksamhet på föl- jande detta år började arbete. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques; rédigé par M. G. Darboux, avec la collaboration de MM. Hoüel et Lœwy. (Prix pour un an, 12 num., 15 fr., Paris). Med afseende på planen för detta arbete yttras: uκ Amadcnnlsiess AFD. I. OM DE REGULIERA POLYËDRARNE. 153 vidare (se fig. 1) tg12 = 0 neml. ° rad. till facens inskrifna cirkel, (2) samt följaktligen att allt beror på att finna relationen mel- lan R och k. Men, vidare, om man med S utmärker spetsen af nå- gon polyëderns solida vinkel, och med A, B, C, etc. änd- punkterna af de derifrån utgående kanterna (således SA = SB = SC etc. = k); så, först och främst, är den rätliniga figuren ABC... plan. Ty om ifrån enhvar af punkterna A, B, C, etc. drages en perpendikel mot det omskrifna klotets diameter genom S, så råka de ju denna diameter o 0 72. alla i samma punkt, nemligen på afståndet — ifrån spet- 4 - 2R - sen S*, och ligga följaktligen alla i ett och samma plan vinkelrätt mot nämnda diameter. — Men denna plana figur ABC... är ock tydligen inskriptibel i en cirkel (den är ju bas till en likbent pyramid SABC...). Och således, om man med r betecknar hans omskrifna cirkels radie, är 7.2 = √⅛2-r2, eller 2R ' k 2R = ------------------------............(3). _ ( r)” √1 (x) Och som tillika uppenbart är, att denna figur ABC... är liksidig *** och således äfven regulier, så inses nu omsi- der, att i sjelfva verket allt beror, helt enkelt, af relatio- nen mellan k och sidan (AB) af figuren ABC... för de särskilda polyëdrarne. * I den rätvinkliga triangel, hvars hypotenusa är det omskrifna klotets diameter genom S, och ena katet någondera af kanterna SA, SB, SC, etc., är ju denna kant medelproportionalen mellan hela dia- metern och dess stycke mellan S och den punkt, der han trätfas af per- pendikeln från kantens ändpunkt. ** Inl. 2. *** Eukl. I: 4. 154 AFD. I. OM DE REGULIERA POLYÖDRARNE. Alltså: l:o) 0m en regulier polyëder med triangulära facer (således ρ = k = 20) a) har någon 3-kantig solid vinkel (S); så, alldenstund den reguliera fig. ABC... har allenast 3 sidor = k hvar och en, och således t = 3 = 0, är den polyëderns R=1k-/6, ,=T.kA/6(=1R), tg {2=4, tg 2=2/2, 1=70031 435,6. b) har någon 4-kantig solid vinkel, och således fig. ABC... är en qvadrat ined sida = k, r - -2; så är den polyëderns R.=TJR(= t), ,-*:(- 43), tg 12-/2, . tg 2 = - 24/2, och således 2 = precist supplementet till λ i förra händel- sen, d. ä. 109° 28 16",3... c) har någon 5-kantig solid vinkel, och således fig. ABC... är en regulier 5-hörning med sida - k, r-*/5td5; så är dess R-$N/32”(-\r35), r=14v∕⅛‰⅛t√3.(3√5), tg 4A - 3-, tg% = - 3/5 (således Sin 2 = !), 2 = 138° 11 22",8.. Anm. Häraf ser man nu omedelbart — hvad i mom. 4) af anm. näst före detta problem nämndes på förhand — att omöjligen mer än ett af dessa tre alternativer a), b) och c) kan ega rum i samma reguliera polyëder. 2:0) Om en regulier polyëder har qvadratiska facer (således 0 - J2. (=4%); så, alldenstund [se 3) i nyss AFD. I. OM BE REGULIERA POLYËDRARNE. 155 cit. anm.] hvarje dess solida vinkel (S) måste vara 3-kantig, är fig. ABC... en liksidig triangel, dess sida AB = k.2 (vinkeln ASB är ju rät) d. ä. diagonalen i en af de qva- dratiska facerna vid S, och således r = är denna polyëders 63; följaktligen R= ik.3, r =1k, tg2/= 1, 2 = 90°, och således polyëdern en kub. 3:o) Om en regulier polyëder har 5-sidiga facer (såle- a /5+.5_ r 1 /5+2/5 des °-v 10 Sin 3601 P-ikv 5 - $k Cot 36°); så, alldenstund hvarje dess solida vinkel (S) måste vara 3-kantig, är äfven här fig. ABC... en liksidig triangel, dess sida AB = 1k(/5 + 1) — [Λ ASB är ju = 1080] — eller diagonal i en af facerna vid S, och således r = *k./3.(1 + A/5); följaktligen är denna polyëders 3 , /25 + 11 /5 R = 4k./3 .(l + √5) = år, =-—10—-, . „ /3 + /5 1+ /5 tg 1 2 = V2 = —2, tg2 =-2, 2 = 116033545,1. III. Om de reguliera polyëdrarnes konstruktion. — Märkom först, att, alldenstund 2 har allenast en valör i hvarje särskild af de förenämnda 5 händelserna, icke mer än en regulier polyëder af hvarje der angifven art kan kon- strueras på en uppgifven kant (= ky). Men att också verk- ligen en kan konstrueras, skall nu visas. l:o) Kubens konstruktion antages här bekant (se de första orden i anm. näst efter teoremet i I). — Obs. att den äfven benämnes hexaëder, af påtagligt skäl. 2:o) Den reguliera polyëdern med triangulära facer och 3-kantiga solida vinklar — tetraëdern som den kallas — er- hålles genom att på den gifna kanten upprita en liksidig triangel och på denna triangel som bas konstruera en lik- bent pyramid med höjd = ~/k2-q2, eller — med andra 156 AFD. I. 0M DE REGULIERA POLYÖDRARNE. ord — med sidokant = k. — De fyra facerna i denna py- ramid äro ju kongruenta liksidiga trianglar; och att lut- ningen mellan sidoparen vid alla dess kanter är densam- ma, är utan vidare tydligt deraf, att pyramidens alla fyra höjder äro lika. 3:o) Den reguliera polyëdern med triangulära facer och 4-kantiga solida vinklar erhålles genom att upprita en qva- drat på den gifna kanten och sedan på denna qvadrat som bas konstruera, åt ömse sidor derom, en likbent pyramid (spets. S och S') med sidokant = k eller, med andra ord, med höjd = A/k2—r2 (nemligen r radien till basens om- skrifna cirkel), d. ä. = $k./2 (qvadratens halfva diagonal) (fig. 2). De 8 facerna i denna polyëder äro ju då kongruenta liksidiga trianglar. Och att lutningen mellan de kontigua facerna är konstant, kan lätt inses sålunda: Enligt kon- struktionen är det lika långt (= 1k./2) ifrån den nämnda qvadratens ABCD midtpunkt (Q) till alla hörnen af po- lyëdern, hvilken alltså kan omskrifvas med ett klot (radien = 1 k./2 = R kortl.) med Q till medelpunkt. Nedfällas derifrån perpendiklar mot 2:ne kontigua facer, t. ex. SDA och S'DA, så träffa de följaktligen dessa facer i deras midtpunkter (O och O)* och äro lika stora (hvardera = V/R2 - Q2 = kA = r kortl.). Och sammanbindas nu dessa O och 0' med den gemensamma kantens AD midtpunkt (P), så angifver A OPO dessa facers inbördes lutning ( = I, kortligen), /\ OPQ är - 41, och tang 14 - - % - 42. Polyëderns benämning: oktaëder, af påtagligt skäl. 4:o ) Den reguliera polyëdern med triangulära facer och 5-kantiga solida vinklar kan erhållas sålunda: Upprita ** * Inl. 10. ** Figur till resonnementets förtydligande må läsaren, om han så finner, behöfligt, upprita sjelf. (Några antydningar ses i fig. 3). Bäst är naturligtvis att begagna sig af en vanlig stereometrisk figur (af träd eller papp) af hithörande art. AFD. î. OM DE REGULIERA POLYÖDRARNE. 157 en regulier 5-hörning (fig. 3) ABCDE med den gifna kan- ten (k) till sida, och konstruera på den figuren som bas en likbent pyramid (spetsen S) med sidokant äfven = k); dess höjd (Sq) är således = ~/k2 — r2 (nemligen r radien till basens omskrifna cirkel) = *4/5105 - $r(A/5-1) = % (kortligen), och om den utdrages på andra sidan om basen ett stycke 99 = Y, så är midtpunkten (Q) på det stycket lika långt aflägsen från pyramidens alla hörn, nämnligen (som man ju lätt finner) så långt som 1r./5. Konstruera vidare en alldeles dylik pyramid S'ABCDE och ställ deras baser tillhopa, A‘ på A, B på B, o. s. v., men med spetsarne på hvar sin sida om det gemensamma basplanet. Vrid sedan, utan att skilja de båda baserna från hvarandra, den nya pyramiden 36° omkring Sqq (in- definit utdragen) såsom axel (från A åt B till); då.komma tydligen vinkelspetsarne A, B, C, etc. att infalla i de pla- ner, respektive, som gå genom SS' och midtpunkterna (a, β, γ, 8, e) af den förra pyramidens bassidor AB, BC, CD, etc. *. Och låter man nu pyramiden S'ABCD E’ i denna sin ställning mot den förra [d. ä. utan att spetsen S’ skiljes från nämnda axel, ej heller vinkelspetsarne A, B, etc. rubbas ur sina nämnda respektive planer] aflägsnas från pyramiden SABCDE så långt, att basplanet ABCDE' infaller i punkten 9 (eller att de båda basplanernas inbör- des afstånd blir = t); så är midtpunkten ÇQ) på deras af- ståndslinie qq lika långt aflägsen (neml. = $r./5) från de båda pyramidernas alla hörn. Och sammanbinder man slutligen vinkelspetsarne A', B‘, C, D, E med bas- sidornas ändpunkter, respektive, A och B, B och C, C och * Vinkelspetsarne A', B', etc. komma in genom nämnda vridning att inträffa i midtpunkterna af den omkring 5-hörningen ABCDE om- skrifna cirkelns periferibågar, hvilkas kordor sidorna AB, BC, etc. re- spektive äro. Och genom dessa midtpunkter — såsom de der befinna sig på nämnda cirkels radier genom kordornas midtpunkter a, ß, y, etc. — gå ju ock de i texten här omförmälta planerna. 158 AFD. ι. 0M DE REGULIERA POLYËDRARNE. D, D och E, E och A i den förra pyramiden *; så upp- kommer genom de deraf bildade 10 nya trianglarne, i för- ening med de båda pyramidernas 10 liksidiga triangelfacer, en af 20 trianglar begränsad konvex polyëder. Jag påstår, att den är regulier. Att de 10 nya Au, som utgöra bältet mellan de båda pyramidernas baser, äro liksidiga och kongruenta med py- ramidernas triangelfacer, kan inses som följer: Likbent är A A AB (och neml. A’A = A'B), eftersom dess bas AB — såsom varande uppenbarligen vinkelrät mot planet, som går genom axeln SS' och midtpunkten a (äfvensom punk- ten A) — är vinkelrät mot aA'. Men derjemte är denna dess höjd CA' = höjden (eller apotemet) aß, d. ä. = 1k./3, alldenstund a A är = A(99)2+(1 — x)2, nämnl. r‘ radien till den inskrifna cirkeln i någondera 5- hörningen, = + 1-----| , /5-5 = 1r/3 •, 2 V 2 ' 2’ 1+5 emedan ju — är = Cos 36° = .—, T 4’ Alltså är A A'AB liksidig och kongruent med A SAB. — Af dylikt skäl tydligen ock enhvar af Ane BBC, C'CD, D'DE och E'EA; och följaktligen äfven de öfriga 5 tri- anglarne. Och att lutningen mellan kontigua facer är konstant, det kan uppenbarligen alldeles på samma sätt som nyss för * Hvarmed ju ock, omvändt, vinkelspetsarne A, B, C, D, E i i basen ABODE blifvit sammanbundna med bassidornas ändpunkter, respektive, A' och B‘, B' och Cl, C' och D‘, D' och E‘, E‘ och A' i pyramiden SA'BCD'E. AFD. I. 0M DE REGULIERA POLYËDRARNE. 159 oktaëdern visas vara en omedelbar följd af polyëderns egen- skap att kunna omskrifvas med ett klot. Polyëderns benämning: ikosaëder *, af påtagligt skäl. 5:0) Den regulier- polyëdern med 5-sidiga facer kan erhållas sålunda: Upprita ** en regulier 5-hörning (fig. 4) ABCDE med sida (icke = k, utan) = diagonalen i en reg. o , /5+ 5*** 5-hörning med sidan k, alltsa = :k( 5+1) = ( —2— = D (kortl.), och konstruera på den figuren som bas en Iikbent pyramid (spetsen T), sådan att hvarje dess trian- gelface TAB, TAC, etc. får sina basvinklar dubbelt så stora som sin vinkel vid spetsen T, alltså med sidokant (TA, TB, etc.) - 4D(5+1) = k.3+ 5 - s (kortl.) el- . /5+2./5 ler, som ju är detsamma t, med höjd 77 = D / —5 (= diametern till basens ABCDE inskrifna cirkel) , ∕25+ll√5 3+√5 T . - Av—10 : 2 - E (kortl.) Skär sedan den pyramiden med ett plan parallelt med ba- sen och så högt deröfver, att den (efter toppens bortka- stande) återstående stympade pyramidens sidokanter Aa, Bb, Cc, Dd, De blifva = k hvar och en; höjden Sq (= h) till denna stympade pyramid är tydligen - LH-e, och dess mindre bas (abede) en regulier 5-hörning med sida = k * Af grekiska ordet eικoσt- (tjugu). ** Jemf. noten ** under sid. 156 här framför. *** Nämnl. Q bet. radien till den omskrifna cirkeln kring den sist- 6 5 + V5 nämnda 5-hörningen (med sida = 7), således 0 = 7 V—10— • — Med Q’ skall sedan betecknas dess inskrifna cirkels radie. t Emedan ju radien till basens ABCDE omskrifna cirkel är 160 AFD. I. 0M DE REGULIERA POLYËDRARNE. sidan, t. ex. ab, är ju - CT.AB. ’ A T J Och om denna stym- pade pyramids höjdlinie Sq utdrages på andra sidan om dess större bas (ABCDE) ett stycke 9% = 4h(~/5-1)* = 1 90/5 - 1), så är midtpunkten (Q) på det stycket lika långt aflägsen från den stymp. pyramidens alla hörn, nem- . .,/5+4/5 ligen (som man lätt finner)** sa langt som 2 043 . A/ —≈—: = L DA3 = 1k./3 . (A/5 + 1). Konstruera vidare en alldeles dylik stympad pyramid ABCDEedcba och ställ begges större baser tillhopa, A på A, B på B, o. s. v., men så att deras mindre baser komma på hvar sin sida om de störres gemensamma plan. Vrid sedan (likasom nyss i 4:o)), utan att skilja de båda större baserna från hvarandra, den nya stympade pyramiden 36° omkring axeln Sqq (indefinit utdragen) från A åt B till; då komma tydligen vinkelspetsarne A, B‘, C, etc. (äfvensom d, b', c', etc.) att infalla i de planer, respektive, som gå genom nämnda axel och midtpunkterna (c, β, y, 8, a) af sidorna AB, BC, CD, etc. i den förra stymp. py- ramidens större bas ***. Och låter man nu den nya stymp. pyramiden i denna sin ställning mot den förra [alldeles som i 4:o) ofvanför] aflägsnas, utefter axeln, så långt att basplanet A BCD E' infaller i punkten q [eller att afstån- det mellan de båda större baserna blir qq eller = 10(/5—1)]; så är midtpunkten (Q) på denna qq lika långt aflägsen från de båda stymp. pyramidernas alla hörn, hvilka följaktligen allesamman ligga på ytan af ett klot med Q till medel- punkt. Och sammanbinder man derefter vinkelspetsarne A, B, C', D, E' med bassidornas ändpunkter, respektive, A och B, B och C, C och D, B och E, E och A i den * Uttryckets geometriska betydelse behöfver väl icke här utsägas i ord. ** Radien till den större basens omskrifna cirkel är ju = %0 (V5 + 1), likasom hans sida D är = 4k(V5 + 1). *** Jemf. noten ** under sid. 156. AFD. I. OM DE REGULIERA POLYËDRARNE. 161 förra stymp. pyramiden *; så, först och främst, aro de deraf uppkomna 5 trianglarne AAB, B'BC, etc. likbenta och deras ben = k hvart och ett. Ty hvad den förstnämnda A AAB beträffar, så är dess bas AB vinkelrät mot räta linien, som sammanbinder dess midtpunkt (a) med spetsen A, eftersom AB uppenbarligen är vinkelrät mot planet som går genom ofvannämnda axel Sqq... och punkten a (äf- vensom punkten A); och är den således likbent, A A = A B. Och att hvardera af dess ben är = k, är tydligt deraf att dess bas AB är = D - 0/5+ 5, och höjden aA = A(99)2+(v-r)2, då neml. v och € bet. radierna till ba- sens AB'C'D'E' (eller ABCDE) om- och inskrifna cirklar, K_/Kf /r T d. ä. = Q.—e, emedan r=4q(5+1), och - = 01, 4 2 ' t 4’ samt följaktligen AA - 0/5-75 = k. — Och för de fyra andra Ane BBC, C'CD, etc. gäller uppenbarligen alldeles detsamma. — Vidare är deraf en sjelfklar följd, att alla de 10 trianglar, som utgöra bältet mellan de båda stympade pyramidernas större baser, äro likbenta, hvars och ens bas = D, och sida = k. Men de ligga ock, dessa 10 trianglar, hvar och en i samma plan med paralleltrapeziet på andra sidan om sin bas. Att så är med A AAB och trapeziet ABba, är tydligt deraf att afståndet mellan A och sidan ab är = Aa + trapeziets höjd, , -----— 5-5 /, (D-k\2 neml. N(79 + Λ)2 + (-0)2 - ρ . 4 + v 13- 2 ) , * Hvarmed ju ock, omvändt, vinkelspetsarne A, B, C, D, E i basen ABCDE blifvit samman- bundna med bassidornas ändpunkter, respektive, A' och B', B' och C", C" och D', D' och E E" och A i basen ABODE. 11 162 AFD. I. 0M DE REGULIERA POLYÖDBARNE. alldenstund ju, enligt det föregående, qq jr h är = 40(/5+1) = 2(1—0), . - , ,; /5—4/5 och D-k= 1k(5-1), k-0—2—* Och alldeles på samma sätt för enhvar af de 10 trianglarne. Följaktligen utgör enhvar af dessa trianglar i förening med trapeziet på andra sidan om hans bas en plan 5-hör- ning, som är liksidig och — emedan den ju är inskrifven i cirkeln, som utgör det förenämnda klotets afskärning med hans plan — äfven regulier. Och är således hela (den up- penbarligen konvexa) polyëdern begränsad af inalles 12 re- guliera och lika stora 5-hörningar. — Att lutningen mel- lan dess kontigua facer är konstant, är (likasom för ok- taëdern och ikosaedern här framför) utan vidare tydligt af polyëderns egenskap att kunna omskrifvas med ett klot. Polyëderns benämning: dodekaëder*, af påtagligt skäl. IV. Beträffande slutligen relationen mellan kubikinne- hållet (K) och kanten för enhvar af de reguliera polyëdrarne, så kan den städse finnas genom den sjelfklara konsidera- tionen, att polyëdern utgöres af reguliera pyramider med hvar sin af dess facer till bas och det inskrifna klotets medelpunkt till gemensam spets för dem alla. Till följd deraf är nemligen för enhvar af polyëdrarne (om A be- tecknar dess hela yta) tydligen 0 K = IrA, och således för tetraëdern: K = 3r.k2/3 = 1.k3/2, » oktaëdern: K = 3r.2k2/3 = 3 k3./2, » ikosaedern: K= }2.5k2./3 = 1 k3.(3+A/5), » kuben (hezaëdern): K = 3r.6k2 = k3, » dodekaëdern: K = 3r.3k2/5(5+2./5) - |k(15+7./5) = 1k//5.(3+/5)7; hvaraf ses, ibland annat, att, om kuben tages till enhet, * Af grekiska ordet Bvdexa (tolf). AFD. I. 0M DE REGULIERA POLYÖDRARNE. 163 de öfriga, om de hafva lika stora kanter som kuben, skola uttryckas respekt, med talen J./2, $4/2, 1(3+4/5), t/5.(3+/5)2, eller (i det nogaste) 0,118; 0,471; 2,182; 7,663. Anm. Som uttrycken i det 3:e membrum af förestå- ende formler för kubikinnehållen af kuben, tetraëdern och oktaëdern uppenbarligen kunna erhållas äfven på annan väg (och utan all konsideration af det inskrifna klotets radie); så är tydligt, att för enhvar af dem relationen mellan , och k — och således äfven den mellan R och k, äfvensom lutningsvinkeln 2 — kan vid behof finnas ur likheten mel- lan det 2:a och det 3:e membrum i motsvarande formel här framför. I sammanhang härmed må äfven, såsom anmärknings- värdt beträffande ikosa dern och dodekaëdern, nämnas, att kubikinnehållet af det i 5:o) här ofvan omförmälta bältet emellan de båda stympade pyramiderna i dodekaëdern är precist 1 af sjelfva polyëderns, eller (med andra ord) bäl- tet precist = hvardera stymp. pyramiden, samt att det i 4:o) omnämnda bältet mellan de båda pyramiderna i ikasoëdern är = |(1 + M/1)* × hela polyëdern eller (med andra ord) = (3 + x∕5) × hvardera pyramiden, — såsom man allt lätt finner i betraktande deraf, att: för hvardera pyramiden i ikosaëdern, höjden (se 4:0) är = k 55 och basen = 4k-5(5 + 2./5), och, för hvardera stymp. pyramiden i dodekaëdern, höjden /5+/5 (se 5:0) är - k . / -----—, den mindre basen samma som C 7 V 10 nyss, den större 3+5 den mindre. * Alltså 0,72.... (eller i det närmaste 4) af hela polyëdern. D2 ** Nemligen 72 eller 1(V5 + 1)2. 164 AFD. I. LÖSTA SATSER. Sats 57 (E. Lundberg), löst af C. B. S. CAVALLIN. Denna uppgift är ett enskildt fall af följande mera omfattande uppgift, hvars lösning är lika enkel som det framkastade enskildta fallets. Att genom ändpunkten af en gifven körda i en cirkel draga tvänne andra kordor så, att de med den gifna bilda lika stora vinklar, och så, att dessutom dessas summa eller skilnad blir = en gifven längd 21, mindre än två gånger den gifna kordan. Som vi stödja vår lösning af ofvanstående uppgift på teoremet 230 i Todhunters samling af geometriska öfnings- uppgifter (2:a upplagan), vilja vi först lemna nedanstå- ende bevis för det senare. Detta teorem lyder sålunda: AB är en gifven begränsad rät linie; genom A äro två obegränsade räta linier dragna, som bilda lika vinklar med AB; en godtycklig cirkel, hvars periferi går genom A och B, träffar dessa räta linier i B och M. Visa, att, om AB faller emellan AL och AM, summan af AL och AM är konstant; men om. AB icke faller emellan AL och AM, så är skilnaden mellan AL och AM konstant (d. v. s. lika stor, hvilken cirkelperiferi man än må upprita genom A och B). a) AB faller emellan AL och AM. Nedfäll BL, och BM, vinkelräta emot de respektive obegränsade räta linierna, samt drag BL och BM. Af trianglarnes BLL, och BMM, lätt insedda kon- gruens följer LL, = MM, och alltså AL + AM = AL, + AM, = konstant, h. s. b. ß) AB faller icke emellan AL och AM. Utför konstruktionen analogt som i a) och låt den af de obegränsade räta linierna, som skäres i punkten Μ, falla emellan AB och den andra obegränsade räta linien. AFD. I. LÖSTA SATSER. 165 Af trianglarnes BLL och BMM, kongruens följer MM, = I.L, och således AM-AL= AM, + AL, = konstant. Låt AB vara den gifna kordan i den gifna cirkeln och A kordans valda ändpunkt. Upprita öfver AB såsom diameter cirkeln ACBD; tag A till medelpunkt för en cirkel med radien = l och låt densamma skära cirkeln ACBD i punkterna C och D (så att punkten C kommer att ligga inom och punkten D utom den gifna cirkeln), samt låt AC, utdragen, träffa den gifna cirkeln i E och AD (utdragen, om så behöfves) den gifna cirkeln i F. AE och AF skola då vara kordor med den begärda egenskapen. Ty emedan AC = AD och AB en diameter, så är A BAC = A BAD och således enligt a) och β) i vår nyss bevisade hjelpsats AE+AF = AC + AD = 21 allt eftersom AB faller emellan eller icke faller emellan AE och AF. Om O är den gifna cirkelns medelpunkt, så inses lätt att summan af AE och AF löser uppgiften, då A CAD blir mindre än en rät vinkel, men att skilnaden mellan AE och AF löser densamma, då A CAD blir större än en rät vinkel. För att efterse hvilka relationer, som förefinnas mellan OA = r, AD = I, AB = 2k, då A CAD är rät, så låt oss sätta A OAB = c och A DAB = B. Man har Cos a = -, Cos ß = ; Sin a - -92-k>, Sin ß = - 4k2[2. r 2k ?° 2k För (a + B) = 90° är Cos a. Cos β = Sin a . Sin β. Således (m) k . L ⅛ 1 V,2-7a. 1.412—ga. 7 2k r N2 " 2k * 166 ΛFD. I. LÖSTA SATSER. Denna likhet ger /,2 7°42 —M— k-A/— = 1 (r(+l)+ ~/r(r—l), V 9° V4 4 2 / ‘ 1 =—~/P2-k2, T = -----------=-, " N/4k2-12 Emedan likheten (m) satisfieras af två olika, reela vär- den på k (hvilket äfven lätt visas rent geometriskt), så inses, att man under allmänna förhållanden, då r och 1 äro bekanta, icke kan afgöra när summan af eller när skil- nåden emellan AE och AF satisfierar uppgiften. För nå- gra enskildta värden på r och l deremot, t. ex. för r=l, blir k determinerad. Den vinkel, som de satisfierande kordorna AE och AF göra med kordan AB, kan bestämmas af likheten (») Cos ß - 2: Om såsom i 57:de satsen l är = k, så ger likheten (m) 2k =r 3, hvilket bevisar att, då 2k är större än den i den gifna cirkeln inskrifna liksidiga triangelns sida, upp- giften satisfieras af AE+ AF; men att då 2k är mindre än samma triangels sida, uppgiften satisfieras af AE-AF. Den vinkel, som de satisfierande kordorna bilda med den gifna kordan AB fås ur likheten (n) att vara = 60°, hvil- ket lätt visas rent geometriskt. Denna sistnämnda egen- skap hos de satisfierande kordorna ger anledning till en ny lösningsmetod för det i fråga varande enskildta fallet. Man tager nämnligen B till medelpunkt för en cirkel, hvars ra- die = sidan af den i den gifna cirkeln inskrifna liksidiga triangeln, och som skär den gifna cirkeln i punkterna B och F, då AE och Al blifva de satisfierande kordorna. Å denna sats, generaliserad såsom C. gjort, har från G. Mittag LEFFLER inkommit en lösning med fullständig diskussion. KNUT WICKSELL har också insändt en enkel lösning å samma sats. AFD. I. LÖSTA SATSER. 167 Satserna 130, 131 och 137, lösta af C. B. S. CAVALLIN. 130. Låt A beteckna den af de gifna punkterna hvari- genom den sökta cirkelns periferi skall gå, B och B. de öfriga gifna punkterna. Tag B och B, till medelpunkter för cirklar med re- spektive de gifna längderna till radier och låt dessa cirklar vara betecknade med C, och C2. Drag derpå radikal-axeln till C, och C. samt radikal-axeln till A och C, eller C. (låt vara till C) och låt den senare axeln råka den förra i någon punkt D. Från D dragas vidare tangenter DR och D8 till C, och C, och D sammanbindes med A. Om nu en cirkel ritas genom A, S och R, så kommer den att satisfiera uppgiften, ty DR och B,S äro tangenter till denna cirkel och hvardera lika stora med de gifna längderna. 131. Sättes afståndet mellan de gifna punkterna A och B =l, afstånden från A och B till någon punkt på det sökta locus = a, y, afståndet från midtpunkten Af på AB till den valda punkten på locus = z, den gifna qvadraten = a2, så är på grund af uppgiften a+y2 = a°..........................................(1) och i enlighet med en känd sats 22+( )................(2). Subtraheras (2) ifrån (1), erhålles en eqvation, som endast innehåller z såsom obekant och hvilken löst gifver Konstruktionen blir således följande: afsätt från midt- punkten M på AB ett stycke MC = a, gör CD ± och = MC, upprita på MD en halfcirkel, applicera i densamma DE = AB och dela slutligen ME midt itu i F, då F är en punkt på det sökta locus, som är en cirkel med M till medelpunkt. 168 ΛFD. I. LÖSTA SATSER. 137. Är det gifna trapeziet ett hvilket sonι helst med samma beteckningar, med tillägg endast, att afståndet mel- lan midtpunkterna på AC och BD betecknas med EF, så har man med stöd af en känd sats sambanden AD,+CD,=2[DE,+(2),..-. (a) AB, +BC, = 2[BE,+(20),1. . . . (0). Adderas likheterna (a) och (ß), erhålles . ABq + BC + CD, + AD, = AC, + 2(DE, + BE,), men enligt samma hjelpsats, som nyss användes, är DE,+BE,=2 EF,+(BD) . ... . (y), . AB+BC+CD1+AD, = AC,+BD,+4EF, . . (/). Göres nu AB // CD och AB- CD, så blir EF = #(AB - CD) eller 4EF. = AB, + CDq - 2AB, . CD, hvilket värde insatt i st. f. 4EF i (y) förvandlar denna likhet till AC,+BD, = AD,+BC,+2AB,.CD. Satser af C. B. S. CAVALLIN. 1. Två gifna cirklar skära hvarandra i en punkt 0; det begäres ait upprita en tredje cirkel, som skär båda de gifna cirklarne på ett sådant sätt, att de kordor i denna cir- kel, hvilka erhållas genom skärningspunkternas korsvisa för- ening, skära hvarandra i punkten O jemte det de med hvar- andra bilda en gifven vinkel v. Låt A och B vara de gifna cirklarnes medelpunkter. Upprita på AO eller BO (låt vara på AO) såsom diameter, en cirkel; tag derpå midtpunkterna P och Q på AFD. I. LÖSTA SATSER. 169 AB och AO och låt PQ, utdragen om så behöfves, skära den på AO uppritade cirkeln i punkten C; sätt vidare i Q mot QC vinklarne CQD och CQE hvardera = v och låt radierna QD och QE skära periferien i D och E. Drag slutligen genom O räta linierna SOT och Ü0V parallela med hvar sin af de räta linierna AD och AE, så att de förra blifva i punkterna S, I, U och V afskurna af de gifna cirklarne. Genom punkterna S, T, U och V skall då en satis- fierande cirkel gå. Ty upprita en cirkel på AB såsom diameter och en med denna koncentrisk cirkel, som går genom punkterna E och D samt låt AD och AE förlängda råka den förra af dessa cirklar i punkterna H och K och nedfäll slutligen mot ST perpendiklarne AF och HG. Emedan ∕∖ ADO = ∕∖ AFO = R, och FO//AD, så är ADOF en rektangel . AD = FO, af lika skäl är DH = OG. Men nu är FO = 1 SO och OG = 107. F0.0G = AD. DH = 4S0.07. På samma sätt bevisas att AE.EK = 1VO.OU och emedan enligt konstruktion AD.DE = AE.EK", så följer SO.OT = VO.OU, hvadan alltid en cirkel kan uppritas, som går genom punk- terna S, T, U och V, och som äfven satisfierar uppgiften, ty À Sov = A TOV = A DAE = :A DQE = v. Utdragas radierna DQ och EQ tills de råka perife- rien i punkterna D och E' och utbyter man D och E mot D' och E' i konstruktionen, så leder densamma till en ny lösning. Samma lösningar hade också erhållits, om man i kon- struktionen uppritat en cirkel på BO, i stället för på AO, såsom diameter. * (En cirkels korda, som skäres af en inre koncentrisk cirkels pe- riferi, har nämnligen ytterdelarne lika stora). 170 AFD. I. LÖSTA SATSER. 2. Om man med a, b, c och d utmärker de på hvar- andra följande sidorna i en gifven fyrsidig figur, inskrifven i en cirkel, med D och D' diagonalerna, samt med 1 den räta linie, som förenar diagonalernas midtpunkter, så gäller formeln: (a + c)2 +(b ± d)2 =(D + D)2 + 4l2, hvarest vid de dubbla tecknen de öfre eller nedre förefinnas samtidigt. Emedan den gifna figuren är en fyrhörning, så är a2 + b2 + c2 + d2 = D2+D2+42* .... (a) och emedan densamma är inskrifven i en cirkel, så är ac+bd = D.D *.....................(ß). Om (ß) multipliceras med 2 och efter hvartannat led för led adderas till eller drages ifrån (a), så erhålles a> - 2ac + c2 + 62 + 2bd + d2 = D2±2DD + D3+47 eller (a + c)2 + (b + d)2 = (D ± D) + 4l2. H. s. b. Satserna 104,120,139 och 140, lösta af J. R. Åkerlund. 104. Låt halfcirkelns radie vara r, halfva kordan æ. Trapeziets yta är m = (r + ax)/r2 - a3 3 1 = (,+ a)2 (,—a)2 . Den sista produkten är isoperimetrisk i afseende på baserna. Den blir derföre maximum då r + æ r — œ r a - - = T eller då r C =-. _________2 * Enligt sats 156 samt enligt 36 i bihanget af Todhunters Öfnings- satser till Euklides [F. W. Hultman, 2 uppl.], hvilka satser här anta- gas vara kända. AFD. I. LÖSTA SATSER. 171 Trapeziet bildar således halfva den i cirkeln inskrifna sexhörningen. Dess minimiyta är m = 4,24/3. 120. Genom successiva transformationer fås summan S = a+(ar+k)+(ar2+kr+k)+ ... +(am"-1+k"-2+... +kr+k) = a(1.7+24...+9"-1)+k[1-(9+1)+(2+r+1)...+("- 24. ..r+1)] = 1+ ,2(l-1)+(-1)+..+("-1-1)1 = a--------+ ------[1+7+r2... +y"—1—n] ? — 9- = a—- + —TT - n, hvilket sista uttryck också kan skrifvas Uti serien 2 + 5+11 + 23+ är a = 2, , =2, k = 1. Då dessutom n = 10, fås vid insättning i eqv. (1) S = 3(210 - 1) - 10 = 3059. 139. Låt talet vara a och den större delen ; då skall a+(a-a)2 = (a — a) + æ2 . . . . (1) oberoende af storleken på x. Löses eqv. 1 i afseende på a, så fås (2a + 1) -(2a-1) % - 2 eller a, = 2x, a. = 1. Värdet a, tillkännagifver, att relationen (1) eger rum för hvilket tal som helst, så snart de begge delarne äro lika. 172 AFD. I. LÖSTA SΛTSER. Värdet α2 = 1 angifver det begärda talet; ty insättes a, = 1 uti eqv. (1), fås a+(1 - a)2 = (1 - a)+«2 der begge membra äro identiska. 140. Kalla det ursprungliga talet z, tiotalssiffran i det andra a och enhetssiffran y. Man har då enligt upp- giften 10a +y = 2z ay= z 2(a+3) = z. Då man löser dessa tre eqvationer i afseende på x, y, z, fås x = 3, y = 6, z = 18. Sats 55 (af Lindman), löst af LAGERDAHL. Sats 55 (I), bevisad årgången 1868 sid. 168 (och be- friad från de å sid. 244 anmärkta tryckfel), kan ock på följande vis besannas. I Björlings algebra, förra delen, not IV, finner man matematiskt-induktivt bevisadt, att a" — b” är restfritt delbart genom a—b, i likhet hvarmed ock kan bevisas, att an+1+ 62n+1 är restfritt delbart genom a+b. Korollarier. 1. I första satsen sätt a2 i stället för a, och b2 i stället för b; då är (a2)1-(62)", d. ä. a2n—b2n, restfritt delbart genom a2-b%. AFD. I. LÖSTA SATSER. 173 2. I andra satsen och i första korollariet sätt 2 i st. f. a, och 1 i st. f. b; då är 22n+1+ 12n+1, d. ä. 22n+1+ 1, restfritt delbart genom 2+1, 22"- 12% d. ä. 22n-l, d. ä. 3, och restfritt delbart genom 22-l2, d. ä. 3; eller hvarje udda dignitet af 2, med 1 ökad, äfvensom hvarje jemn deraf, med 1 minskad, är restfritt delbar genom 3. Satserna 2 och 3 (F. W. Hultman), lösta af O. J. STENBORG. Dessa båda satser äro enskilda fall af följande teorem. n Om b är ett approximativt värde på √α, så är , Mr + (n—1)0/ ett ännu noggrannare värde derpå. n Vi antaga b > ~/a och använda följande beteckningar: 1 (c ) n ? ,2=1+(n—1)6 = b; 6 — a = ß; b, - a = Då är 1 1 „ _ a+(n-1)b"-nl-la" nb-1(b-a") -(b” -a) 1 nbn-1 nbn-1 A1 2 n-2 1-1, = —P6n-1—(bn-1+bn-2.a"+bn-3.a"+...+b.a n+a n ) nb°-10 ) hvilket äfven kan skrifvas 81 2 3 A. = ,0=1 0"-2(6-a")+bu-3(b2-a")+b"-4(b3-a")+... n—2 n—1 + b{bn~2 — a n ) + (6n-1—a n. ) 174 AFD. I. LÖSTA SATSER. eller 1 2 3 = -P—-(n-1)b-2+(n-2)0n-3an+(n-3)6"4an + ... nbw-1 0 ‘ 9 n—3 n—2, + 2ba n +a • ∙ (1). 1 1 Emedan b > a", är således, om man utbyter a" mot b, eller A. Q2 P[(n-1)+(-2)+(-3)+..+2+1] no 8 < -____1.82 Pi 2b P ' . ∙ (2). Denna formel (2) är märkvärdig, emedan den visar, att b, har minst dubbelt så många exakta decimaler, som b, så snart b icke är < -1, eller c icke mindre än ("-1 . Häraf härledes följande enkla sätt att finna „te ∖2∕ roten ur ett tal. 1:o). Först sökes (ur en tabell, genom försök eller med logaritmer) ett approximativt värde på ~/a. Låt det vara b och ha m exakta decimaler. Sedan divideras a med b"—1, till qvoten adderas (n — 1)6 och summan divi- deras med n. Sålunda fås ett nytt värde b,, som har 2m + u exakta decimaler, om u = antalet nollor till ven- ster i det decimalbråk som är = "2. Förfares med %, på samma sätt som nyss med b, så fås ett nytt värde 62 med 4m + 3u exakta decimaler. Likaså 6a med 8m + 7u decimaler o. s. v. I allmänhet har bn 2".m + (2”— l)u ex- akta decimaler. 2:o). Om %<22 eller a-("2 ) , så multiplice- ras a med 10*” (k = ett helt tal), så att 10kn . a > ("—1) 2 AFD. I. LÖSTA SATSER. 175 Ur 10n. a sökes nte roten enligt föregående regel och di- videras sedan med 10%. 3:o). Man bör städse förvissa sig om att b, b, o.s. v., n då man med dem vill finna ett noggrannare värde på A/a, har sista siffran för stor. Ty antages b 22.2. m 5, . (n- 1\no T. ex. 4/20 = ? Emedan har - = 25 = 32, sa 5 _____________5 -------------------------- sökes √2000000. Med logaritmer fås ~/2000000 = 18,205 på 0,001 när och med sista siffran för liten; alltså b= 18,206 2000000_____ - = 18,20421022, 4.18,206 = 72,824; 18,206 ⅛(18,20421022 + 72,824) = 18,20564204 ; således 5 √20 = 1,8205642 exakt åtminstone på 0,00000001 när. Satserna 237 och 238 (H. Lagerdahl), lösta af fröken Alida ROSSANDER. 237. Låt T = bråkets täljare N = dess nämnare; då blifva de båda expressioner, som skola jämföras, föl- jande: 7 N. (N-T): N+Ti TN eller 72+N2. T-27N+N2 TN à ' TN ’ 7*+N°. 72+N° TN ’ TN 176 AFD. I. LÖSTA SΛTSEK. Det första af dessa uttryck är tydligen 2 mer än det andra. 238. Låt a vara det tal, som föregår slutsiffran 5. Det framstälda talet blir då 10a + 5, och dess qvadrat (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25. Qvadraten erhålles således genom att multiplicera a med det tal, som är en enhet större; denna produkt göres 100 gånger större och ökas med 25, eller hvad som är detsamma, till produktens slut fogas 25. När en eller flere nior föregå slutfemman, ändas det tal, som är en enhet större, än det de öfriga siffrorna för sig bilda, med en eller flere nollor, hvarigenom multiplice- ringen förenklas. AFDELNING II. Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 120). Rättelse. Sid. 112 rad. 9 nedifr., läs: fn(ξ) = etc. „ 113 „ 1 „ läs: under det ρω med ett enkelt hvarf beskrifver en sluten kontur med sitt origo utom eller inom honom, i hvilket senare fall Qus argument etc. 152. Af den i föreg. § bevisade satsen ha vi lärt oss, att, om det är möjligt att bestämma Ro% vinkelbana för AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. 177 en af Qu beskrifven sluten kontur, så veta vi ined det- samma, att det gifves lika många rotpunkter inom kontu- ren, som det antal gånger 27 innehålles i vinkelbanan. Om vi således enligt § 144 sätta Ro = f(@o) = X+Yx.... (48), der Ar och Y äro funktioner af 0 och ω eller af § och 7, då Qw = * + ¾π, så är S = Arctg 3 För hvarje af S2 beskrifvet helt båghvarf d. v. s. för Y. 6 en vinkelbana 27 eller — 2/0 passerar qvoten - minst två gånger ∞ under teckenändring. Men i allmänhet taget kan r för en vinkelbana + 2n passera ∞ ett obegränsadt antal gånger och deribland möjligen äfven någon eller nå- gra gånger utan teckenändring. Således om Ro = OP γ (fig. 18) beskrifver konturen PABCD EF, så passerar — oo hvarje gång konturen skär eller berör den från origo O utgående mot grundrigtningen vinkelräta linien EFDBAC. Under antagande, att Ro beskrifver sin kontur i den af pilteckningen antydda leden, så passerar Y 00 i punkten A från + till —, i punkten B från - till +, i punkten C från + till -, i punkten D från + till +, i punkten E från + till - och i punkten F från - till - o. s. v., allt detta under det S2 beskrifver vinkelbanan 2/. Antaga vi åter, att S2 går i motsatt led eller beskrifver vinkel- y banan — 2/t, så passerar 0o i de anförda punkterna, men med omkastad teckenändring, så att hvarje ändring från + till - öfvergår i — till + och tvärtom. Om vi derför beteckna hvarje passage från + 0o till -∞ med +1 och hvarje passage från - ∞ till + oo med - 1 samt hvarje 12 178 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN passage genom ∞ utan teckenändring med 0, och vi i en- lighet med Cauchy benämna hvar och en af dessa siffror index*, så kunna vi omedelbart ur figguren sluta oss till följande vigtiga sats: summan af indices är 2 för hvarje vinkelbana 2n och —2 för hvarje vinkelbana -2ττ, och i allmänhet ± 2r för en vinkelbana resp. ± 2rn; och omvändt. 153. Om vi antaga den ena af de i X och Y ingå- ende variablerna konstant, under det den andra kontinuer- ligt varierar från värdet a till värdet b, och vi i enlighet med Cauchy beteckna summan af indices (»indiceintegra- len») för qvotenmellan anförda gränser med • X’ a så följer, enär X och Y såsom hela rationela polynom äro kontinuerliga, att qvotenendast kan ändra tecken vid passerandet af 0 eller oo, då alltså JY • x TX [ 1° = + 1 20 2 21 allt efter som “xë 10 42 0 Jy är 145 a l 30= På samma gång som — < 0, Y ‘ 3° 1 — ha samma tecken. 11 a X Y < 0 » » » » 0 > 0 , i — och 1 Y * Vi anföra här den del af Cauchys Indicekalkyl (jfr Journal de l’école polytechnique, Cahier XXV, pag. 176), som omfattar metoden för indexsummeringen. Vår beteckning af passagen öfver ∞ under tec- kenändring med + 1 och — 1 är till förtecknet motsatt Cauchys, hvil- ken förändring vi för symetriens skull vidtagit för att indexsumman ± 2 må motsvara resp, vinkelbanan ± 27. - Vi begagna här substitutionsbeteckningen etc. såsom ut- AFD. ri. GEOMETRISKA KALKYLEN. 179 Denna sats kan inläggas i följande formel: b b I b - (49), der 8 är en variabel, som passerar 0 genom att kontinuer- ligt öfvergå från ett positivt till ett negativt talvärde. Anm. Skulle det inträffa, att en substitution t. ex. blifver 0 eller ∞ och således till förtecknet obestämd så ega vi att efter vanliga metoder undersöka tecknet för Substitutionen , der 8 är ett litet tillskott i den rigt- ning variabeln rör sig. Skulle det åter inträffa, att både ∖aX och ∣aY blefve 0, så innebär detta enligt (48), att a är en rot till eqvationen f(gw) = 0 och kan då enligt § 148 frånskiljas. 154. Såsom omedelbara följder af definitionen på in- dexsumma framgå följande tre satser. b b 1° b y b b b 3° i hvilken sista likhet a är mellan a och b. tal, som till sitt värde ligger Anm. Med afseende på likheten 3° bör man lägga märke till att, om Y= ∞, så bör index för denna substitution tagas blott för den ena termen till höger. märkande qvotens y värde vid insättning af det konstanta värdet a i stället för variabeln. 180 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN 155. Om X och Y, såsom hela rationela polynom af n°e dimensionen med afseende på § och 1, betecknas med resp. 9p och (P1, så erhålles i enlighet med bildandet af de Sturmska funktionerna, då 992, 9P3r...9n beteckna de suc- cessiva resterna efter teckenändring och 91, 92,..-4n-1 de successiva qvoterna: 5 = 991-41 - 9Pa 91 = 9P4-%2—9P3 9r—2 = 9n — 1 • Qn — 1 On- Enär de successiva qvoterna såsom varande antingen konstanter eller ock hela rationela polynom af den ingående variabeln icke kunna hafva någon index, så följer af sist anförda likheter med stöd af föreg. § 1°, att 6 b T9-_ T92 a 91 a 91 hvadan (49) öfvergår i följande form: b J a 9 3 91 Genom att pa J - upprepa samma förfarande O.S.V. 1 a 91 . - fås : T9 _ 15 T"g__ T/9-1T 91L T/917 . 9 2(01 8 91 ol 891 2 1 892 1 892 2(01 Ögn då vi således för att finna indexsumman för 91 mellan 9 gränserna a och b blott behöfva undersöka teckenvariatio- nerna hos de två substitutionsföljderna [a 19 T9, /91 19211+/ 9n ö jö jö /6 9, / 91, / 92,-.-l 9n. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 181 För hvarje permanens i 1°, som motsvaras af en va- riation i 2° blir index +1; och tvärtom, för hvarje varia- tion i 1°, som motsvaras af en permanens i 2°, blir index — 1; och slutligen i begge de andra möjliga fallen, nämnl. då permanens motsvaras af permanens och variation af va- riation, blir index 0. Om vi derför beteckna summan af permanenser i 1°, som motsvaras af variationer i 2°, med P, och summan af variationer i 1°, som motsvaras af per- manenser i 2°, med V, så fås i stället för (51): b J a Om vi vidare med v och p beteckna motsvariga varia- tioner och permanenser i 2°, då följaktligen P=v och V=p, samt utmärka summan af alla permanenser i 1° med S = P+P och i 2° med s = p+P, då nämnl. P, och pl utgör antalet permanenser i 1° och 2°, som svara mot hvarandra (således P = P1), så följer, att S-s P-p = P- v, då alltså b JO =S-=...........................(52), a 9 d. v. s. summan af indices för 91 mellan gränserna a och b är = permanensernas antal i substitutionsföljden 1° minskad med permanensernas antal i substitutionsföljden 2°. Anm. Om man vid upprepandet af det i (50) angifna förfaringssättet träffar en funktion Gr, hvilken icke blir 0 för något värde på variabeln mellan eller för gränserna a och b, så eger man att stadna vid denna såsom den sista Sturmska funktionen, hvilket inses deraf, att under detta b vilkor indexsumman 9r+r alltid måste vara 0. a 9r 156. Genom att enligt (52) söka summan af indices längs en sluten kontur är det således alltid möjligt att be- 182 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN stämma antalet ( = A(S — s), jfr §§ 151 och 152) af de inom konturen befintliga rotpunkterna, under vilkor nämnligen, att 9 och 91 äro uttryckta under form af hela rationela polynom af den ingående variabeln. Detta vilkor uppfyl- les, om man låter Qw = § + 74 = beskrifva en sluten poly- gon, då hvarje sida, stäld under räta liniens form η≈a'ξ + β, tillåter en elimination af den ena variabeln i 9 och 9. utan att förändra dessa polynoms karakter af hela ratio- nela med afseende på den andra variabeln. Det enklaste fall inträffar, då man låter polynomen utgöras af en rekt- angel med sidorna parallela med resp. § och „,-axlarne. Om en sådan rektangels hörnpunkter äro i ordning * (⅞0Yo), (3 7), (5 1i), (F0 71) och indexsumman för hela konturen betecknas med S, så erhålles 70 T2 eller med stöd af § 154, 2:o: 91 9o §o 91 9 157. Om Qw = E + 04 = beskrifver en cirkel med origo i medelpunkten (Q = konstant), så sätta vi, för att 9 och 9 ma framträda såsom hela rationela polynom af en va- riabel: Den närmare betydelsen af § finnes, om man sätter ; = tg2, hvaraf följer tg co = tg 22 eller 2 = %0. Under — * D. v. s. i den ordning de träffas af en komplex, som med sitt origo inom konturen i positiv led beskrifver densamma. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 183 det således 00 går från 0 till n, går § från 0 till + oo, och, under det ω vidare går från 7 till 27, går § från -∞ till 0. I stället för (53) få vi således med denna substitution t = 00 ( =0 + 00 Σ - J $1 + J9 - J 91 (enl. § 154) ■ ■ • (54). ç==0 (=-—co Anm. Om 9p och 91 äro af nte. dimension med afse- ende på § och 1, så bli de af 2nde graden med afseende på ç. Den fördel, som cirkelkonturen enligt (54) erbjuder framför rektangelkonturen enligt (53), att nämnligen er- fordra blott en enda indexsummering, då deremot den se- nare i allmänhet erfordrar fyra, motväges af det större be- svär att bilda Sturmska funktioner af polynom af 2né gra- den mot att för rektangelkonturen bilda sådana af polynom af endast nte. graden. Valet af den ena eller andra kon- turen för bestämmandet af rotpunkternas gränser måste der- för ställas beroende dels af den till lösning framstälda frå- gans natur dels på den gestalt räkningen antager vid bil- dandet af de Sturmska funktionerna. Med denna af Cauchy gifua metod för indexsummeringen är det således alltid möjligt att för hvilken hyfsad numerisk eqvation som helst med vare sig reela eller imaginära koefficienter angifva gränserna för så väl de reela som de imaginära rötterna genom att innesluta dem inom cirklar eller rektanglar (po- lygoner) eller inom de af dessa konturer bildade mellan- rum. Det hufvudsakliga besväret ligger naturligen i bil- dandet af de Sturmska funktionerna för de särskilda sub- stitutionerna af konstanta värden på den ena variabeln, hvilket besvär dock stundom i någon mon kan lättas en- ligt de förenklingsreglor, som äro gifua vid den kända framställningen af det »Sturmska teoremet». Den här förebragta metoden kan anses såsom en generalisering i stort af det Sturmska teoremet, och har denna generalisering sin nödvändiga och tillräckliga förutsättning i den för den geo- metriska kalkylen egendomliga utvecklingsmetoden. 184 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN 158. Vi antaga det till lösning framstälda nie grads polynomet af formen f(ew) = (ew" + Aw-(uy-1+...Bg.0o+C,, hvaraf följer i enlighet med § 145, då f(0c) sättes = X+iY och Qw = § +in: 2 (on X+iY = f(E) + inf(s) + f"(E)+... f(n)(E).. (55). För det fall, att koefficienterna Ax,...B, Cy äro reela, d. v. s. a,...P, y af formen ka (k = helt tal eller 0), erhålles 24 X=9 = /© - f"(E) + 1/(#) -∙∙ | 1 23. (56). Y = %, = „/()- " ") + 7—=/"()-... 4 1.2.3 2 1.2...52 2 / Om 8 är ett positivt tal och vi antaga No = — 8 och 1 = 8, så reduceras enligt § 154, 1°, indexsumman (53), under antagande af de i (56) gifna uttrycken på 9 och 91, till följande form: ∣ X-J % J JP . • . (57) § 1 9 J 9 9 Antages i (57) 8 oändligt liten, d. v. s. rektangelkon- turen oändligt smal och midt i tu delad längsefter af §- axeln, så öfverväger första termen i hvardera polynomet (56) numeriskt summan af de öfriga och bestämmer följ- aktligen med sitt tecken tecknen för 9p och 1, då vi alltså för (57) få y _ .af"() T9f(5)L τ nf (Fo) Under det n går från — 8 till + 8, blir hvardera af de två sista indexsummorna 0, då följaktligen Y. 2 8f(ë) 581 AFD. 1I. GEOMETRISKA KALKYLEN. 185 Om ∕(ξ) och f(#) icke ha någon gemensam rot mellan 50 och 5, och vi antaga indexsumman mellan dessa gränser vara r, då följaktligen > = 2r, så finns det inom den oändligt smala rektangelkonturen eller, som är detsamma, på g-axeln mellan 5. och 5o enligt § 156 y stycken rötter, d. v. s f(#) passerar noll , gånger, under det § går från 5, till i0. Det »Sturmska teoremet» får alltså ur denna synpunkt följande lydelse: permanensernas antal i följden af de » Sturmska funktionerna » för substitutionen §. , minskad med permanensernas antal i samma funktionsföljd för substi- tutionen 5o, är = antalet reela rötter mellan gränserna §1 och Fo. Anm. Som vi se, är det »Sturmska teoremet» ett ytterst enskildt fall af den allmänna satsen att genom in- dexsummering bestämma antalet rotpunkter inom en gifven sluten kontur. För det fall, att vi vilja innesluta de ima- ginära rötterna till en eqvation med reela koefficienter in- om en rektangel eller cirkelkontur, ega vi att af de i (56) gifna polynom 9 och 91 bilda de Sturmska funktionerna efter behörigen enligt (53) och (54) verkstälda substitutio- ner. För det allmännaste fallet, då det gäller att begränsa rötterna till en eqvation med imaginära koefficienter, ha vi att af de två projektionerna X och Y, som erhålles i (55), bilda Sturmska funktioner och sedan på behörigt sätt enligt nyss antydda formler behandla dessa. Närmare de- taljer och belysning genom exempel lemna vi å sido såsom ledande till en här måhända mindre lämplig vidlyftighet. 159. Vi gå nu att beröra några allmänna bestämnin- gar hos konturer, hvilka äro af behof vid våra följande undersökningar rörande ett helt rationelt polynoms derivata. 1. En kontur säges vara bugtig, så länge limes för »kontigensvinkeln»* i hvarje punkt är 0. Närmar sig * Kontingensvinkel = vinkeln mellan tvenne konsekutiva tangenter, räknad från den föregående till den efterföljande, då den ordning, i hvilken dessa anses följa på hvarandra äfvensom deras rigtningar (== kon- turelementens rigtningar), räknas i den led, hvari konturen tänkes be- skrifven af komplexen. 186 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN denna vinkel 0 från positiva hållet, så sages konturen vara positivt devierad, men negativt devierad i motsatt fall. Anm. Öfvergången från en positivt till en negativt devierad kontur sker genom »inflexionspunkten». 2. Med spets förstå vi den punkt på en kontur, der kontingensvinkeln är 7T. Inträffar i någon punkt på en kontur, att kontingensvinkeln har något värde mellan 0 och 7 eller mellan 7 och 27, så kallas en sådan punkt hörn, hvilken, som vi skola se, innebär en diskontinuitet, som icke förekommer i våra närvarande undersökningar. Anm. En spets (eller hörn) kan på samma gång vara inflexionspunkt. 3. Med slinga förstå vi en bugtig kontur (således utan spets och hörn), hvars element (» bågelement») från begyn- nelse- till slutpunkten beskrifver argumentet (»deviationen») ± 2/ eller, kortl. uttryckt, hvars konturelements vinkelbana är ±2rr. Slingan är antingen sluten såsom fig. 19a) eller öppen såsom fig. 19 b) eller c). En slinga säges bestå af r hvarf eller vara r-hvarfvig, om konturelementets vinkelbana från begynnelse- till slutpunkten är + 21 7r. Den enhvarfviga slingan kalla vi i allmänhet enkel. Anm. Den månghvarfviga slingan kan betraktas så- som sammansatt af flere öppna enkla slingor såsom fig. 19 d). 4. Om en del af en enkel slingas plan vrides 180°, så att slingorna a), b), c) fig. 19 forma sig såsom a), b), c) fig. 20, så kallas en sådan slinga oäkta. Såsom karakte- ristiskt för den oäkta slingan är, att“ hennes konturelements vinkelbana är 0. Den förut definierade slingan kallas i motsats mot denna för äkta. Om vi tala om slinga utan vidare tillägg, så förstå vi dermed alltid den äkta. Följdsats. Vinkelbanan för en månghvarfvig slingas konturelement minskas med 27r för hvarje enkel slinga, som vrides eller öfvergår till oäkta. Om således vinkelbanan för en r-hvarfvig slingas konturelement är 2r7, så blir hon, om p enkla slingor öfvergå till oäkta, 2(-p)n. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 187 160. Om vi låta punkterna P' och Q (fig. 12) närma sig att sammanfalla med resp. P och Q, så fås enligt § 145: f(ew) - lim 4 = lim (7) , då således derivatan f(0w) är till modylen = limes för qvo- ten mellan de af f(00) och Qo beskrifna bågelement i mot- svariga punkter och till argumentet = skilnaden mellan dessa bågelements argument; eller kortare uttryckt: mod/(w)-im "(59). arg/(ew) = E-s Om derför i punkten P af Qaå kontur (fig. 21) en tan- gent af arbiträr längd PL drages samt i den motsvariga punkten Q af f(Qc)' kontur en tangent QM drages, begge i konturelementens rigtningar, så fås QM -. PL (Qu) då nämnligen M bestämmes så, att QM: PL*= lim(H:h). I stället för (59) kunna vi således sätta: mod/(ew) - QM : PL (60). arg f(Qw) - om-Pi 161. Likheterna (59) och (60) förklara nu till fullo den geo- metriska betydelsen af första derivatan med hänseende till ett helt rationelt polynom som »primitiva». Om vi såsom i fig. 21 a) och b) låta 00 och f(ρω) beskrifva sina resp, konturer PP och QQ, med motsvarighet i de lika indice- rade punkterna, så måste f'(em) beskrifva någon motsvarig kontur TT, såsom i fig. 21 c) och det så, att modyl och argument äro bestämda af (59) eller (60). Om vi nu och framgent antaga Qo beskrifva sin kontur utan spets eller hörn, d. v. s. utan diskontinuitet i konturelementets argu- * Jfr § 112. 188 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN ment, så kunna vi med afseende på sambandet mellan pri- mitivans och derivatans konturer uttala följande satser; 1°. Emedan derivatan f(0w) lika väl som primitivan f(Qw) uppfyller det i § 145 gifna kontinuitets vilkoret, så va- rierar hennes argument QM — PE kontinuerligt med undan- tag möjligen af de fall, då f(0w) = 0, då alltså, med iaktta- gande af anförda inskränkning, f(0„) måste beskrifva sin kon- tur utan spets eller hörn d. v. s. kontinuerligt med afseende på konturelementets argument. 2°. Ett helt rationelt polynom såsom primitiva kan icke beskrifva något hörn, ty deraf skulle följa, att dess derivata beskrefve ett hörn i nollpunkten, hvaraf åter skulle följa, att andra derivatan beskrefve ett hörn i nollpunkten o. s. v till och med näst den sista, hvilket är orimligt, enär denna, så- som varande af första graden med afseende på Qq, beskrif- ver sin kontur på enahanda sätt som Q. 3°. Om f(0w) = 0 på samma gång som f"(00) icke är 0, så beskrifver enligt 10 f(00) sin kontur genom nollpunkten (origo) utan spets eller hörn såsom i 7, , fig. 21 c), då alltså i denna punkt f(?w) ändrar sitt argument med 71, hvilket motsvaras af en spets hos primitivan f(0,) såsom i Q., fig. 21 b). Och omvändt: om f(0m) beskrifver en spets, så må- ste f(Q), såsom ändrande sitt argument i den motsvariga punkten med 7, under alla omständigheter vara 0. 4°. Ar f"(ρω) = 0 på samma gång som f(@ ) = 0, men deremot f"(9e) icke 0, så erbjuder f(qw) enligt 3° en spets i origo, för hvilket fall f(qw) är kontinuerlig i kon- turelementets argument d. v. s. saknar spets; är åter f"(0o) = 0 på samma gång som f(?) = f"((w) = 0, men deremot f (0m) icke 0, så har f"(Qf) en spets i origo, för hvilket fall f((o) måste passera 0 utan diskontinuitet i konturelementets argument, hvilket åter motsvaras af en spets hos f(Qw), o. s. v., hvadan framgår följande allmänna sats: Om J(ew) = f"(0m) - .../"-(em) = 0, men f"2(ew) icke 0, så erbjuder f"-2(u), f(r-4((w) eller hvar annan AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 189 derivata, från f"X ((0) räknad, en spets i origo, då primiti- van f((w) har spets eller icke, allt efter som r är ett jemnt eller udda tal. Anm. 1. Om den af f(0w) beskrifna konturen saknar spets för f(0o) = 0, så måste i stället inträffa en stad- ningspunkt [jfr (59)], d. v. s. f(Qm) stadnar ett ögonblick i denna punkt, under det hon med en annars kontinuerlig rörelse beskrifver sin kontur. En spets är naturligen ock på samma gång att betrakta som en standningspunkt (vänd- punkt) på konturen. Anm. 2. Om Q0 ersättes af en reel variabel a och vi ansaga f(x) äfven reel, d. v. s. röra sig växande eller aftagande på grundrigtningslinien (x-axeln), så förvandlas spetsarne till öfvergångspunkter från växande till aftagande (maximum) eller från aftagande till växande (minimum), hvarigenom således den vanliga teorien för maxima och minima, åtminstone så vidt hon angår hela rationela po- lynom, framgår såsom ett ytterst specielt fall af satserna 3° och 4°. Skulle åter f(a) bli imaginär för det värde på x, som gör den Ita eller de (, — I)ta derivatorna noll (y = ett jemnt tal), så veta vi nu, att den af f(a) beskrifna konturen erbjuder för detta värde på a en spets och att det samma inträffar med hvar och en af dessa noll-deriva- tor, som är af jemn ordningsnummer. 162. Om derivatan f^^ af ett n-. grads polynom f((m) uppdelas enligt § 149, så fås, då c, , C2 . . . Cn—1 ut- märka de (n — 1) rötterna: 7(ew) = √^-cι)^ω-^)∙∙∙(^-^-ι) .. (61). Om nu Qo beskrifver en sluten kontur, som icke inne- sluter någon af de (n — 1) rotpunkterna, så är enligt § 151 f(Qe)%. vinkelbana 0, då alltså argumentet QM - PL (fig. 21) rör sig fram och åter med slutresultatet 0 eller, som är detsamma, vinkelbanorna för 00‘ och f(@0)% kontur- element bli samtidigt 2/, d. v. s. då 0. beskrifvit en enkel 190 AFD. Π. GRUNDDRAGEN AF DEN slinga P (fig. 22), så har primitivan f(ρω') beskrifvit en enkel slinga Q (med origo inom eller utom henne allt eftersom slin- gan P innesluter någon af f(?„)ë rotpunkter eller icke). Då slingan P kontinuerligt vidgar sig att beröra den första rot- punkten C,, så förvandlar sig slingan Q kontinuerligt till eu kontur med spets (eller stadningspunkt) i den motsvariga punkten C (jfr föreg. §). Då slingan P vidare vidgar sig till P, så att hon innesluter rotpunkten ci, så blir f(Q,)8 eller (QM - PL): vinkelbana 27t, då alltså f(@w)e kontur- element beskrifver vinkelbanan 47 eller, som är detsamma, f(0w) beskrifver en tvåhvarfvig slinga Q. För hvarje deriva- tans rotpunkt, som på detta sätt öfverfares af den enkla slingan P, ökas således slingan Q med ett nytt hvarf, tills slutligen P innesluter alla derivatans (n — 1) rotpunkter, då f(Q0)8 motsvariga slinga Q måste utgöras af n hvarf. Vi sammanfatta resultaten af detta räsonnement i följande all- männa satser. 1. En ny slinga kan på en sig kontinuerligt vidgande kontur icke bildas annorlunda än genom en spets (eller stad- ningspunkt, jfr föreg. § anm. 1). 2. Ett nte- grads polynom f(0.) beskrifver en r-hvarfvig slinga, om Q. beskrifver en enkel slinga, som innesluter (r—1) af första derivatans rotpunkter. 3. Ett nte grads polynom f(0() kan beskrifva en slinga med n hvarf men icke flere, hivilket inträffar, om 0 beskrif- ver en enkel slinga, som innesluter första derivatans alla (n—1) rotpunkter. 163. Vi kunna nu i öfverensstämmelse med föreg. § lätt föreställa oss, huruledes de successivt sig bildande nya slingorna på den af f(0w) beskrifna konturen undan för un- dan vidga sig att omsluta ∕(ρω)± origo, hvarigenom f(Qo)s vinkelbana för hvarje sådan omslutande slinga ökas med 27, och att i allmänhet för en på detta sätt bildad slinga, som med 9‘ hvarf omsluter origo, f(βf)- vinkelbana är 227. Men vi kunna icke sluta omvändt, att, om f(0o)3 vinkel- AFD. 1I. GEOMETRISKA KALKYLEN. 191 bana är 2r7, detta med nödvändighet innebär, att den af f(0_) beskrifna konturen utgöres af minst y enkla slingor. Ty vore detta sannt, sä skulle alltid en af 00 beskrifven slu- kontur, som innesluter ? rotpunkter, tillhöriga primitivan f(Qm), äfven innesluta minst ( — 1) rotpunkter, tillhöriga första derivatan f(Qœ). hvilket är påtagligen orimligt, enär man kan tänka sig en kontur, som innesluter huru många rotpunkter som helst af det förra slaget utan att behöfva innesluta en enda af det senare. För att förklara denna skenbara motsägelse antaga vi 00 beskrifva en enkel kon- tur P (fig. 23), som t. ex. innesluter två rotpunkter a,, C2, tillhöriga f(0m) utan att innesluta någon af första deriva- tans rotpunkter; den af f(^ω) beskrifna motsvariga kontu- ren Q måste då vara en enhvarfvig slinga och dertill så- dan, att f^ω)- vinkelbana blir 4r, d. v. s. en samman- sättning af en enkel äkta såsom AQB och en oäkta slinga såsom BCA. På samma sätt inses, att, om P innesluter r af f(@œ)% rotpunkter utan att innesluta någon af första derivatans, så utgöres den motsvariga konturen Q af en enkel äkta och minst (, - 1) oäkta slingor. Med stöd af detta räsonnement kunna vi nu uttala följande allmänna satser: 1. En kontur a) fig. 24 förvandlas till en oäkta slinga b) utan att passera genom någon spets [stadningspunkt] (d. v. s. utan att f((e) blir 0). 2. En oäkta slinga BCA (fig. 23) kan icke förvandlas till äkta (d. v. s. f(@œ) öka sin vinkelbana med 2n) utan att dess ena ygla C försvinner genom en spets [stadningspunkt]. 3. Om f(0m)% vinkelbana är 2r, så måste af de r slingor, som gå omkring origo, minst en vara äkta; de öf- riga (r — 1) slingorna kunna dels vara äkta dels oäkta. 4. Om ett ntL grads polynom f(0m) beskrifver vinkelba- nan 2nπ i ständigt samma led, d. v. s. utan någon fram- och återgående rörelse hos argumentet, så måste alla n slin- 192 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. gorna, som omfatta origo, vara äkta ; ej heller kan under detta vilkor den af f(0m) beskrifna konturen dessutom ega nå- gon vare sig äkta eller oäkta slinga. Någon äkta eller oäkta slinga utom origo kan nämnl. icke gifvas ej heller någon oäkta slinga, omfattande origo, ty i begge fallen skulle en fram- och återgående rörelse hos f(@o)8 argument bli en nödvändig följd; icke heller kan det gifvas flere än n äkta slingor, omfattande origo, ty po- lynomet, såsom icke egande flere än n rötter, kan icke beskrifva en mer än n-hvarfvig slinga omkring origo. 164. Vi kunna nu uttala följande vigtiga sats rörande läget af primitivans och första derivatans rotpunkter. Om primitivans rotpunkter förenas med räta linier så, att dessa bilda en »konvex» * sluten polygon, hvilken på sam- ma gång innesluter de icke förenade rotpunkterna (pm sådana finnas), så äro första derivatans alla rotpunkter belägna inom eller på denna polygon. Vi låta a, , α2,... ¾ vara primitivans f(0 ) n rotpunk- ter samt a, a, as aqag (fig. 25) den konvexa slutna polygon, inom hvilken de öfriga rotpunkterna befinna sig. Vi låta vidare Qu beskrifva en parallelt omslutande polygon P med afrundade hörn och det så, att den inre polygonen i ingen af sina hörnpunkter berör den yttre. Vi kunna en- ligt § 151 sätta följande likhet J(w) = X,.X,...X,, der X,, X2,...Xn äro resp, a, P, a2P,...anP. Om nu ρω beskrifver konturen P i positiv led, så beskrifver hvar och en af faktorerna X,, X2,...Xn sin vinkelbana 27 i ständigt positiv led, då följaktligen äfven f(@m) beskrifver sin vinkelbana 2n 7 i ständigt positiv led. Deraf följer enligt föreg. §, sats 4, att den af ∕(ρω) beskrifna konturen måste utgöras af precist n äkta slingor, då alltså första derivatans vinkelbana måste för konturen P vara 2(n — 1)7, * D. v. s. en sådan polygon, hvars alla inre vinklar äro livar och en < 180°. AFD. II. VOLYM AF REVOLUTIONSSOLIDUNI. 193 hvilket åter innebär, att alla hennes (n — 1) rotpunkter må- ste ligga inom densamma. Nu kan konturen P betraktas såsom i hvarje punkt oändligt nära omslutande den gifna polygonen a, aqaya,as, då deraf inses, att första derivatans alla rotpunkter måste ligga inom eller på denna senare. Anm. 1. Den gifna polygonen a, aqag a,as kalla vi primitivans f(0m) rotpolygon. Anm. 2. Ett qvadratiskt trinoms rotpolygon kan icke utgöras af annat än den räta linie, som förenar dess två rotpunkter, då deraf inses, att första derivatans fotpunkt måste ligga på denna (jfr § 129). Ett kubiskt polynoms rotpolygon åter måste utgöras af en triangel, inom eller på hvilken således första derivatans två rotpunkter måste be- finna sig, o. s. v. (Forts.). Att finna volymen af ett revolutionssolidum, då genererande kurvan är hänförd till polar- koordinater. Af student BOIJE AF GENNÄS. Låt kurvans eqvation vara Q = g(0), O origo samt OX grundrigtning (fig. 26). Tag en punkt P på kurvan och låt denna punkts koordinater vara OP = Q, A POX = 0. Kalla den volym, som uppkommer genom den utaf OP, den godtyckligt dragna radius vector OC samt bågen PC begränsade plana ytan POC:s rotation kring OX for V. Gifver man θ inkrementet 40= A POP, så erhåller 0 inkrementet 4Q, så att OP' = Q +4Q. Drag genom P och P' de mot OP vinkelräta linierna RPM och PRM samt från R, P, R och P' perpendiklarne PT, PS, R, PS' mot OX. Kalla den volym, som plana ytan POP' genom sin rotation omkring ÛX genererar, i analogi med det före- 13 194 AFD. II. VOLYM AF REVOLUTIONSSOLIDUM. gående för 4 V. Tages 40 så liten, att radius vector och vectorialvinkeln inom samma intervall PP' vexa eller af- taga kontinuerligt, så måste vol. 4 V till sin storlek ligga emellan vol. ROP' och vol. HOP. Man har således vol. ROP % 4 v% vol. ROP eller vol. ROM - vol. POM%A V vol. POM - vol. ROM eller (konen ROT+ kon. RTM) - (kon. POS + kon. PSM) 24v% (kon. POS+kon. PS M)-(kon. ROI+kon. RTM) eller 11OM(RT - PS )<4V 1 7 0M(PS' - RT ). Af figuren fås lätt 0% = oa - (o+40)Cos 40, 6 Cos0' •Cos0 , q Sin (0+40) . , R1 - —Cos Λ θ; ET= (0+4e Sin8Cos4e; PS - Q Sin 0 ; PS’= (q + 4 q) Sin (0 + 40). Efter insättning af dessa värden och vederbörlig re- duktion fås vidare tr(cosotg*40+2Sinotg 40/ - 4V 3( 40 40) < 40 8Sin240 Cos 40Sind0 Cos 240) . 3(0+4 ) Cos 0------40-----: + 2Sin 0--40-----, samt vid limesöfvergång, med iakttagande af att limes för t 2 4 9--------------tv d θ--------Sin 2 40 Cos 40 40’------------------40 '---40 . Sin 40 Cosae ------„ av dv im. --------------------------------------------------------------------= 1 samt lim.-= - 40-------------------.40 de d yr — - 1 103.2 Sin 0 , de 3' hvaraf /0, =A POX Q3 Sin θdθ = 37 / 19(0)/3 Sin ede. @2 = A Cox AFD. II. VOLYM AF REVOLUTION SSOLIDUM. 195 Exempel. 1. Folium Cartesii. 3a 1 1-2 Sin 0 A/2 Cos 0 1+2Sin2e . , 9zca3 //1-2Sin26\3 Sin e - "J 0 Sin 000 - V2 J (1+2 Sin-0) Cos*0 40 _ 9na3 /(1 - 2 Sin 20\3 Sin 0d(Sin 0) √2 J (1+2Sin20) (1-Sin20)2 : Sättes 2 Sin24 = 9—~ så blifver 1-92 v- 9xr4e/2 (°(I-2y")yd9- ma”-/2(2414442 47 El08(8-4A440 ~ J (2-3φ2)2 3 ("93-92 803 9 V - a2d/2( 4 Sin 28 24 Sin 40 1+2 Sin'e 2Cos20 ) 3 1+2 Sin'0 (1 + 2 Sin2 6)2 ~ 12 Cos30 " °g 3(1+ 2 Sin2 0)5 + 0 Volymen, som genereras af kurvans slutna del ar =x/ @3 Sin 0d0 = 2 12 4 log 4 - 3). 0 3 Cos 20 - Sin ‘ e 2. Kurvan 0 = 1a------------- 2 Cos 0 V = 2-Cos * - * Sin‘0 - ‘ Sin-0 -4tg30-12log. Cos o + C. Kurvans slutna del genererar volymen 8 4 log 4-3). 3. Lemniscatan. Q2 = 2a2(Cos*0-Sin=0) q°dq / 02 2a2 V=in osin 0d0 - - % 196 AFD. ∏∙ VOLYM AF REVOLUTIONSSOLIDUM. sättes 0 = aç/2, så fås V=—EC: /99 = \(2g3-y)/1+92.3 log(+/1+91)/+C 3 J √l+φ2 6 (' ) --X-2NMN-S-I(SNISX- Volymen, som hela lemniscatan genererar, är = -β-Iog(l + √2) — √2 . 4. Pascals snäcka. 0 = b Cos 0 ±σ V’) / b ( a“ 63 3ba2 ) y = . (b Cos e-a3Sin de = 31 4b+4+2 =b2a±a3, . Specialfall. (V'= 87a3 , (V’= 2743 a = b; „ C = 20; 3 1 1 3 (V = 0 . - (V = 12703. 5. Cardioiden. Q = a(l — Cos 0) V- xa(1 —Cos 6)'Sin ede = 4ra". 0 6. Cirkeln. 0 = 2a Cos e v - sfæren - jr.8a Sin θ Cos39d0 = {a%. 0 7. Cirkeln. Q = 2a Sin e v = 3,.8a3 /Sin-ede = 2n2a*. 0 AFD. II. OM KEDJEBRÅK. 197 Ett konvergenskriterium för kedjebråk med omvexlande positiva och negativa leder. Af docent M. FALK. Om b och a utgöra täljare och nämnare i det gifna kedjebråket, så låter detsamma förvandla sig till 12 1+6a 1 - 6, 1+... ,b, , . genom substitutionerna 6, = —, on = , hvilken 01 Cn—10n sista formel gäller för n>l. Sätt ytterligare i (1) 6’, = 01— och för n>l 1 1-v "" ~ [1+(-1)"-10,-1][1 + (-1)" Un] ' så erhålles lätt 1 + V2 + "3_______ 1 - ¾ - v,_______ 1 + va + ... Låt nu, som vanligt, - beteckna n‘e konvergenten In till (2); så finna vi P. = %,; Pa = (1+v)p ? eller Pa - P. = Pi ?1 = 1-v,; 4a =(1+12)A1—Va S 93 - % = 0(1-1) * Idén till denna substitution häfva vi erhållit ur Prof. C. J. Malm- stens afhandling om konvergensen af kontinuerliga brak i Vet. Akad. Handl, för år 1848. 198 AFD. II. 0M KEDJEBRÅK. och i allmänhet Pn = [1 +(-1)"vn]Pn-1-(-1)"Y„Pn—2 , eller In = [1 +(-1)e]4n-1-(-1)"v4n-2 ) Pn-Pa-1 = (-1)"0n(P1-1-P1-2)) (3) qn-qn-1 = (- 1)"0n(gn-1-4n-2)) Ersättes i den första af dessa eqvationer n successivt med n, n-1,...3, 2, i det vi observera, att Po = 0 och p - v,, så erhålles Pn -Pn-1=(-1)(Pn-1 -Pn-2), pn-l-pn-2 = (- 1)"-1n-1(Pn-2-Pn-3), Pa -Pa =(-1)2(a-Pi), Pa -P = (-1)2v-P., P, =-(-l)‰ genom hvilkas multiplikation man erhåller: n(n+1) Pn-Ph-1 = -(-1) 2 .",Y2..Un . . (4). Genom dylik behandling af den senare af eqvationerna (3) fås n(n+1) 9n—9n-1 = (-1) 2 .vlυ2...vn . . (5). Jemföres (4) med (5), så finner man Pn+In = Pn-1 +n—1=...=P2+”2 = Pi+% = v,+(1-v)=1, hvaraf 6 In = 1—Pn och således Pr = PH...................(6). In 1-Pn I (4) göra vi nu n successivt = 1, 2, 3,... (n — 1), « och addera, samt erhålla derigenom Pn = 0,+0,2—V 23 — , V2av,+... (n—1)n n(n+1) . - (-1) 2 .%, %a ..0n-1-(-1) 2 . ","av.."n.. (7). Enligt korollariet till teorem XI i § 15 af Björlings Elem. af Alg. Anal, och Diff.kalk. är det för konvergensen AFD. II. OM KEDJEBRÅK. 199 af (7) tillräckligt: 1) att aldrig (numeriskt) en term är > än den närmast föregående och 2) att limes för allmänna termen är noll. Vi vilja nu visa, att dessa vilkor äro uppfyllda, om för alla positiva n 26'2n 2l+ b2n—1 (8). Enligt uttrycket för Un i qvantiteterna v är 0 < va = 1+82—7, 41, om 20 2 1 + 6 0 < v, = 0 < v, - b,(1+Y2) 1 1 + 53(1 + v2) 1 + ba(1 + v,)-6, Antag således, att (8) gäller för för ett visst n funnit v, < 1, v, 21, om 264 = 1+63. alla n, samt att vi Va < l, va 1. Häraf följer, att det första vilkoret för seriens (7) konvergens är uppfylldt. Hvad det andra vilkoret beträffar, så kunna vi ej vara förvissade om, att det gäller, förr än vi bevist, att ej på en gång lim Un kan vara = 1 för både jemna och udda n. Detta återstår nu att göra. Vi veta om qvantiteterna v, att de aldrig kunna öfverskjuta värdet 1. Vi vilja då se till, om de jemna v kunna hafva 1 till limes. Antag lim V2n-2 = liw ‰ = 1, så ger den senare af formlerna (9) 1 - ________62n_____* -1+2b2n-1-U2n ' * Att den i nämnaren negligerade termen — (1 — l'2n-2)0 271 icke ändrar gränsvärdet, bevisas utan svårighet, hvarför vi ej behöfva uppehålla oss dervid. 200 AFD. II. OM KEDJEBRÅK. hvaraf åter, om 8 är en positiv qvantitet, som har noll till limes, _2n_____________1 1+262n — 1 — ban 1 + 28 hvaraf åter Vam(1+20) = 1+202n-1-V2n eller 262n(1+0) = 1+269n- 1, hvilken eqvation, om 262n ersättes med den större qvantite- ten 1 + 62n-1 ur (8) ger olikheten (1+Va-1)(1+0)2. 1+202n-1 eller 0+Van-1(1+0) 2 262n-1. Vi måste nu antaga att lim b‘2n—1 > 0, samt dividera olik- heten med b2n—1, hvarigenom fås 3 - + 1+02 2, 0 2n — 1 som i limes blir omöjligheten 1 22. Vi finna således, att, blott lim 62n—1-0, aldrig lim V2n kan blifva = 1 (eller om de jemna v oscillera mellan flera limesvärden, att al- drig två konsekutiva jemna v kunna samtidigt hafva gräns- värdet 1). Då lim b2n—1 = 0, visar den förra af formlerna (9), att lim V2n—1 = 0. Af allt detta inser man nu lätt, att äfven det andra konvergensvilkoret för serien (7) må- ste vara uppfylldt, hvaraf således följer, att denna serie nödvändigt konvergerar, då vilkoret (8) gäller. Att, hvilka än de positiva qvantiteterna b‘ äro, blott de satisfiera vil- koret (8), man alltid kan erhålla de motsvarande qvanti- teterna v och blott erhåller ett enda sådant värdesystem, visar omedelbart en blick på eqvationerna näst efter (8) t. o. m. (9). Användes, hvad vi nu funnit, på formeln (6), så er- hålla vi omedelbart följande teorem: Hvarje kedjebråk med hvarannan led positiv och hvar- annan negativ låter förvandla sig till formen (1) och konver- gerar, om vilkoret 262n 1+ 62n—1 gäller för alla n, blott ej serien (f) har gränsvärdet 1, hvarom man i hvarje fall har att öfvertyga sig. AFD. Π. SATSER. 201 Ett fall, då serien (7) ej kan hafva gränsvärdet 1, är, då v, + v, V2 ≤ 1 eller (hvilket lätt visas vara detsam- ma) då b2 - ]. Vi begagna på samma gång tillfallet att påpeka, att det Malmstenska kriteriet för kedjebråk med blott negativa leder Qx—1C> 4 visar, att kedjebråket On . b B = a — ----------------- 2a—b 2a — b 2a konvergerar, så snart a2 2b. Då detta kedjebråk kon- vergerar, är dess värde = + ~/a2 - b. Då a2 -, da a >0. 4 (3a2+62)2' 23. Diskutera eqvationen (4-24e24 9e)a + 2(4-10e2-3ef)a3 = -(2 + e2)2. (e - 1). 24. Att dela en gifven parallelogram i fyra lika stora delar genom två mot hvarandra vinkelräta linier. AFDELNING III. Elementärt bevis* för Guldins teorem: Den volym, som alstras af en plan yta, hvilken vrider sig omkring en i dess plan, ehuru utom densamma, belägen axel, är lika med volymen af ett prisma, livars bas är lika med den nyssnämnda plana ytan och hvars höjd är lika med dem cirkelperiferi, som den plana ytans tyngdpunkt beskrifver. Låt till en början den plana ytan vara en A ABC (fig. 27), och låt a, b, c beteckna afstånden till axeln från punkterna A, B, C, af hvilka afstånd a antages ligga mellan de båda andra, samt d och e projektionerna på axeln af AB och AC. Den sökta volymen är då den algebraiska summan af tre stympade koner, hvilkas basradier äro a, b,c. ■ * Utarbetadt efter en erinring från en af prof. Zampieris lektioner i Landstrasser Ober-Real-Schule i Wien. AFD. III. GULDINS TEOREN. 203 Oui K får beteckna den sökta volymen, så är — för den ställning triangeln i figuren innehafver — 3K = d(a2 + ab + 62) + e(α2 + ae + c2) - (d+ e)(b2 +bc + c2) 70 ' = d(a2 + ab-be-e2) + e(a? + ac - b2 - bc) = { d(a - e) + e(a — b)} .(a + b + c). Således är _ d(a—c)+e(a—b)a+b+c K = — 2 × 27 . 2 3 Nu synes af figuren, att d(e, ) betecknar ytan af A ABE, och e( 0) » » » A ACD, till följd hvaraf d(a-Ozete-D) » » » a ABC, hvilken vi hädanefter beteckna med A. Om vidare F är midtpunkten på BC, FG 3 af FA och FH, GK afstånden från F och G till axeln, så är b + c FH = - 1 2 och GK = 84c + 1 2 3 / 6+c\ a — ∖ 2 ) a + b + c 3 Men G är tyngdpunkten till Δ ABC (Cederbloms me- kanik s. 22). GK är således afståndet från denna tyngd- punkt till axeln. Sätta vi detta afstånd =7, så är K = A.2rl..............(1). Om vi nu låta An beteckna ytan af en rätlinig n-hör- ning och l dess tyngdpunkts afstånd från rotationsaxeln 204 AFD. III. GULDINS TEOREM. samt tänka oss månghörningen genom diagonaler indelad i trianglarne A,, A., A,,...An—2, hvilkas tyngdpunkter ligga på afstånden 11, lq, lg,...ln—2 från rotationsaxeln, om vi vidare tänka oss krafter, proportionela mot mång- hörningens och trianglarnes ytor och parallela med axeln, anbragta i tyngdpunkterna, så är (Cederbloms mekanik sid. 12) resultantens moment i afseende på en punkt hvilken som helst på axeln lika med algebraiska summan af kom- posanternas momenter i afseende på samma punkt och således An • l = A, 4 + A, • 4 + A, • 4 + • • ■ + An — 2 • Li — 2 • • • (2). Om K får beteckna den volym, som alstras af mång- hörningen vid dess vridning omkring axeln, så är enl. (1) K = A, . 21 l + A, . 2n l, + A, • 2l, +... + An 2.2tlu 2 = 2rr (A. . l, + A2.l, + A..l, + ... + An_________2 eller ock enligt (2) K = An.2nl. Genom limes öfvergång inses slutligen, att satsen fort- far att gälla äfven för de volymer, som alstras genom en plan kroklinig figurs rörelse omkring en i samma plan be- lägen axel. LARS PHRAGMÉN. AFD. III. OM DEN STOKA PYRAMIDEN I GIZEH. •205 Om den Stora Pyramiden i Gizeh. Af A. F. D. Wackerbarth. De Egyptiska pyramidernas antal belöper sig till flera hundrade, och den största och äldsta bland dem, nämnli- gen den stora Pyramiden i Gizeh, har nyligen utgjort äm- net for en vetenskaplig strid, hvars resultat läsarne af denna Tidskrift med intresse sannolikt skola lära känna. Som bekant är en Egyptisk pyramid i verkligheten ingenting annat än en graf eller minnesvård efter någon Egyptisk konung och vanligtvis konstruerad på följande sätt. En lång, smal och lutande korridor leder nedåt till en med målningar och hieroglyfer smyckad underjordisk kam- mare, hvarest mumien ligger i en sarkofag, som är försedd med ett tätt inpassadt lock af sten; båda äro vanligtvis prydda med hieroglyfer. Den öfriga delen af byggnaden utgöres helt och hållet af en solid stenmassa. Så snart liket en gång blifvit nedlagdt å dess nyss beskrifna hvilo- plats, igenmurades ingången, hvarefter pyramiden med dess kungliga invånare öfverlemnades åt den eviga hvilan. Från detta allmänna inredningssätt afviker den stora pyramiden rätt betydligt. Den eger icke allenast en nedåt lutande gång ab (fig. 28), som leder till den underjordiska kammaren c, hvilken dock ej synes hafva varit begagnad till begrafningsplats, utan derjemte en korridor de, med samma lutning uppåt, ledande till ett stort rum f, vanligtvis kal- ladt »kungens kammare», och försedt med en förstuga g. En del he af denna korridor är mycket högre än de öfriga 206 AFD. ÏII. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. delarne. Det finnes dessutom en tredje gång hi, ledande i horizontel riktning till en kammare j, vanligen kallad »drottningens kammare», äfvensom ventilationsrör k och 1, hvilka sätta kammaren / i förbindelse med den fria luf- ten, och slutligen ett rör hb emellan de båda lutande kor- ridorerna. I kammaren c förefans en källa, försedd med vatten från Nilen; i kammaren / hade sarkofagen sin plats. Alla kamrarne och korridorerna sakna såväl målningar som hieroglyfer. Till sist må ock nämnas, att ingången a var på den norra sidan af pyramiden, och att denna ingång, lika val som mynningen d ar korridoren de, varit igenmu- rad med stenblock. Den väsendtliga olikhet som förefinnes mellan denna och de öfriga pyramiderna, såväl i afseende på dimensio- ner* som inredning, har gifvit anledning till den förmodan, att denna stora pyramid aldrig varit ämnad till någon graf, utan snarare vore en rikslikare i stort för det gamla Egyptiska riket. Denna egendomliga åsigt framkastades af en med. prof, i Oxford, D:r Greaves, som i förra hälften af 1600-talet (1638) besökte pyramiden. Enligt honom skulle ej blott byggnaden i sin helhet och sarkofagen, hvars lock dock förstördes af araberna, utan äfven en i förstu- gan g befintlig stor sten ha utgjort de normala längd-, rymd- och vigtsmåtten för gamla Egypten. Nyligen har denna åsigt blifvit upptagen af K. astronomen för Skott- land, Prof. Piazzi Smyth, som dock går ännu längre än D:r Greaves. Inom pyramiden finner han ej blott de gamla normalerna för Egypten, utan ock en hel mängd matema- tiska och astronomiska konstanter, hvilka således redan för forntidens folk skulle varit bekanta, nämnligen förhållan- det mellan cirkelns periferi och dess diameter, jordens dimen- sioner, dess afplattning och medeltäthet (antagen till 5,7), solens afstånd och parallax, jordens hastighet i dess bana, jordens vigt och medeltemperatur (antagen till 20° Cels.), * Dimensionerna skola i det följande närmare angifvas: i runda tal är sidan = 390 alnar och höjden = 300 alnar. AFD. III. OM DEN STOBA PYRAMIDEN I GIZEH. 207 stjernårets längd i medel-sol dygn, precessionskonstanten, (ty summan af pyramidbasens diagonaler, uttryckt i en- gelska tum, är 25857, d. v. s. ungefärliga antalet af år, som erfordras för 360-graders precession). De mätningar af pyramidens dimensioner, på hvilka Prof. Smyth grundade sina första beräkningar, äro utförda dels af de franska akademiker, som medföljde Napoleon vid hans egyptiska fälttåg, dels af den engelske resanden, öfverste Howard Vyze. Alla äldre resandes uppgifter äro i sjelfva verket så opålitliga och sins emellan så stridiga, att intet vetenskapligt värde kunde tillerkännas dem, ty hela den lägre delen af pyramiden är dold af sand, grus och moras, och ingen af dem hade gräft sig ned till grund- valen, utan de mätte helt enkelt utefter sandytan, sådan denna var vid tidpunkten för hvars och ens besök; — ett förfarande, som tydligen icke kunde leda ens till appro- ximativt riktiga resultat. Också finner man, att dessa upp- gifter så betydligt afvika från hvarandra, att skilnaden mellan dem stundom öfverstiger 100 fot. Sedermera har Smyth sjelf 1865, i förening med Inglis, anstält en ny mät- ning och nedlagt resultatet af sina forskningar i flera stora volymer. De tvifvel, som Smyths åsigter framkallade, för- anledde till en ny uppmätning af Pyramiden, hvilken för några år sedan anstäldes af den engelska topografiska korp- sen, under ledning af Sir Henry James, hvars förklaring, med afseende på pyramidens storlek och inredning, helt och hållet afvikande från Smyths, synes vara enkel och tillfyllestgörande. Han finner basens sida vara jemnt 500 grekiska kubiter, och kantens lutning bestämd genom det enkla förhållandet, att densamma stiger 9 enheter i höjd för hvar 10:e enhet längs basens diagonal, samt att gån- garnas lutning är beroende af friktionsvinkeln för sten. Efter denna inledning skola vi nu närmare redogöra för Smyths åsigt och vederläggningen af densamma. 208 λfd. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 1. Pyramidbasens sida. Vi hafva redan nämnt, att prof. Smyth sökt ur pyramidens dimensioner framleta en mängd matematiska och astronomiska konstanter. För att nå detta mål har han varit nödsakad att göra en mängd godtyckliga antaganden, bland hvilka vi först och främst må nämna, att det hebraiska längdmåttet, eller den s. k. heliga kubiten, skulle enligt honom hafva varit 25,025 eng. tum *, d. v. s. en 10-milliondel af jordens halfva polar- axel. Till stöd för detta sitt antagande åberopar Smyth den af Sir Isaac Newton författade afhandlingen om de olika kubiterna, i hvilken Newton dock blott visat, att man icke eger några tillförlitliga uppgifter för att noggrannt kunna bestämma den heliga kubitens verkliga längd, men att dess sannolika värde torde ha varit 24,83 eng. t. **, hvilken siffra dock betydligt skiljer sig från det af Smyth antagna värdet. Sifferförändringen söker Smyth emellertid försvara med den anmärkningen, att Newton, om ban egt så mycken kännedom om saken som Smyth, visst icke skulle haft något att invända mot denna förändring, hvil- ket påstående är så mycket förunderligare, som Smyth sjelf ej synes ega några andra uppgifter om det Hebraiska måt- tet än dem, han ur Newtons ofvannämnda afhandling häm- tat. Smyth antager dessutom, i strid mot allt hvad man på historisk väg har sig bekant, att pyramiden, ehuru byggd före Abrahams tid, icke skulle vara någon egyptisk, utan en hebraisk byggnad, som i alla sina detaljer blifvit konstruerad efter en gudomlig uppenbarelse och varit äm- nad att för everldliga tider utgöra alla nationers normala likare för mål och vigt. Då Smyth, i förening med Inglis, uppmätte pyrami- * På somliga ställen synes han föredraga talet 25,07 + 0,01, men den ofvanstående siffran använder han i sina deduktioner. Ett Hebreo-Chaldaiskt kub.matt, som Newton ansåg vara äkta, undersöktes af den lärde fransiskanaren, pater Mersenne, hvarvid be- fanns, att den egypt. kub. var lika med 5 palmi af den Hebr.-Chald. kub., d. v. s. att Hebr. kub = 5.20,699 = 24,84 eng. t. == 25,5 sv. verktum. AFD. IIT. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 209 dens fyra bas-sidor, befunnos dessa längder vara 9120, 9114, 9102 och 9102, eller i medeltal 9110 eng. tum. Men detta oaktadt föredrager han värdet 9142, och stundom 9166, ehuru ingendera af dessa siffror någonsin genom mät- ning erhållits. Denna jemnkning förklaras deraf, att Smyth, som hyllar den åsigten, att sidans längd är lika stor med den af honom antagna längden af den hebraiska kubiten, multiplicerad med antalet stjerndygn på ett stjernår (366,257), fann talet 9110 vara för detta ändamål för litet och der- för ökade det till 9142 genom att taga mediet mellan den Ingliska och några äldre mätningar, ehuru dessa dock i noggrannhet alldeles icke kunna jemföras med dennes un- dersökning, af det skäl näinnligen, att Inglis var den för- ste, som undanröjde grus och moras för att verkligen komma åt hörnstenarne. Icke desto mindre befanns äfven 9142 vara ett för litet värde, och det blef derför i sin ordning utbytt mot 9166, hvilket tal erhölls genom att multipli- cera 25,025 med 366,257. På detta sätt lyckades Smyth vinna det resultat, att pyramidens sida, eller det Egyptiska rikets normala längdenhet skulle vara lika med stjernårets längd i stjerndygn, multiplicerad med en 10-milliondel af jor- dens halfva polaxel. Sedermera hafva dock, såsom redan blifvit anmärkt, pyramidens fyra bassidor blifvit uppmätta äfven af den en- gelska topografiska korpsen, hvars ena afdelning för kort tid sedan varit sysselsatt med en undersökning af den Si- naitiska halfön, och medeltalet befanns nu vara 9130 eng. tum. Mediet mellan denna och den Ingliska siffran är 9120. Som nu den grekiska kubiten, hvilken enligt Hero- dotus var identisk med den egyptiska*), hade en längd af * Herodotus, Euterpe 168. ‘0 δt Λιγi'πτιoζ πηχυς τvγχdvsι looç tωv to Xauiq. Denna är den vanliga egyptiska kubiten (mahi); den memphitiska kubiten deremot, af hvilken flere stycken finnas i behåll, under form af tumstockar, som arbetarne begagnat, var 20,699 eng. t. eller = 21,249 sv. verktum. 210AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEΠ. 18,2415 eng. tum, hvilket tal går upp 500 gånger i 9120, kunna vi med Sir Henry James antaga såsom sannolikt, att pyramidens sida var, eller åtminstone var ämnad att vara, 500 egyptiska ( = grekiska) kubiter, och att densamma icke hade det aldra ringaste att skaffa hvarken med jordens dimensioner eller med årets längd i stjerndygn *. 2. Vi komma nu närmast till gradientvinkeln eller sidoytornas lutning mot horizonten. Enär kaliferna alltid begagnat och araberna fortfarande begagna pyramiderna såsom stenbrott, i följd hvaraf hela den gamla och ur- sprungligen polerade stenbeläggningen så fullständigt blif- vit afskalad, att endast två af de ursprungliga stenarna hafva befunnits vara på sin plats, så att den nuvarande ytan af pyramiden blifvit trappformig, i stället för att den- samma fordom var slät, så förstås det af sig sjelft, att någon noggrann bestämning af sidoytornas lutning numera icke kan genom mätning vinnas. Detta oaktadt har Prof. Smyth genom att taga media, och derpå media utaf me- dia, af de olika mätningarna med afseende på de qvarlem- nade stenarnas vinklar, för gradientvinkeln funnit slut- värdet 51° 51'14",3. Antages pyramidens horizontela sek- tion vara en qvadrat, blir hälften af basens perimeter, di- viderad med höjden = 4 x cotangenten för gradientvinkeln. Denna cotangent är 3,1415927091, d. v. s. då vi inskränka oss till 7 decimaler = t, periferien för den cirkel, hvars diameter är 1. Smyth antager nu, att Gud, då han in- spirerade pyramidens architekt, just valde denna vinkel för att för menniskorna angifva och åt dem för evärdeliga ti- der bevara värdet på π, men vi betvifla, att någon annan menniska i verlden kan misstänka gudomligheten för ett så hufvudlöst förfaringssätt. Chefen för den engelska topografiska korpsen, Öfver- * Notes on the Great Pyramid of Egypt 1869. AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 211 ste Sir Henry James har i sitt lilla, men mästerliga ar- bete: »Notes on the Great Pyramid of Egypt» fullständigt förklarat pyramidens gradientvinkel genom det enkla anta- gandet, att pyramidens hörnlinie stiger 9 enheter i höjd för 10 enheter af det horizontela afståndet, uppmätt längs basens diagonal, och följaktligen har gradientvinkeln intet afseende på värdet af 7t. Kalla vi basens sida för a, blir i detta fall pyramidens höjd 9. a 10 2’ och halfva ba- sens perimeter 2a; således är 4 × cotangenten för gradi- 10 entvinkeln = 102//2, och en fjerdedel häraf eller —— 9 .2 är = 3,1427, men icke = 71. Tangenten för gradientvin- keln är således 1o ~/2, och vinkeln sjelf - 500 51'. Detta tal är exakt och alldeles oberoende af vår förmåga att nu mera på mekaniskt vis uppmäta gradientvinkeln. Det var således icke heller nödvändigt vid pyramidens byggnad att ega någon kunskap om vare sig stjernårets längd eller vär- det på 7. 3. Enligt Smyth är pyramidens höjd × 109 = so- lens afstånd, hvilket ganska nära öfverensstämmer med verk- 9 1 liga förhållandet. Ty pyramidens höjd är = — 9120 5 ‘ J 10 / 2 = 5804 eng. tum. Divideras 3962,4 eng. mil (jordequatorns radie) med 109 x 5804, erhålles solens parallax = 8",925. Smyths värde på sidans längd och på gradientvinkeln gifva 8',877. Men denna koincidens är dock blott och bart till- fällig, ty då pyramidens sida (9120 eng. t.) och stigningen hos hörnlinien (9 på 10) äro gifna, så kunna äfven alla öfriga dimensioner hos pyramiden härur erhållas. Den om- ständigheten, att dess höjd (5804 eng. t.) har de tvänne första siffrorna identiska med de tvänne första siffrorna i solens afstånd, uttryckt i tum, kan naturligtvis icke ega 212 AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. någon betydelse. Flere andra mer eller mindre noggranna koincidenser gå vi i tysthet förbi. d Id Id 4. Sarkofagen. En egyptisk sarkofag är vanligtvis inrättad på följande sätt. Den är hel och hållen af sten. En af sidorna har sin öfre del bortskuren, för att locket ab (se vidstående fig.) må kunna skjutas horizontelt in i dess riktiga ställning. I locket äro tre hål ccc borrade nära kanten, och midt emot dem finnas i kistans vägg tre andra mindre fördjupningar ddd. I de förstnämnda hålen insättas tre cylindriska jernstycken tillräckligt långa för att fylla dem, hvarefter locket inskjutes i urhålkningarne ee. Så snart detsamma dervid inkom- mit så långt som det kan gå, falla de tre jerndubbarne genom sin egen tyngd ned i hålen ddd, men då djupleken hos dessa sistnämnda hål är mindre än jernpinnarnas längd, så fastläsa dessa locket, hvilket numera icke kan dragas tillbaka med mindre än att hela sarkofagen vändes upp och ned. Locket till den ifrågavarande pyramidens sarkofag fin- nes numera icke till; det blef förmodligen sönderslaget, när kalifen El Mamoun, i det IX: århundradet, uppbröt py- ramiden och sarkofagen i den förhoppningen att derstädes finna dolda skatter. Ehuru de samtidiga berättelserna öf- ver detta helgerån tydligen tillkännagifva, att El Mamoun funnit i sarkofagen ett lik, förmodligen konung Cheops, förklarade Prof. Smyth i början, att sarkofagen alls icke var någon sarkofag, äfvensom att ingen i densamma nå- gonsin blifvit begrafven, att något lock aldrig funnits till, lika litet som några urhålkningar för detsamma, utan att sarkofagen var det egyptiska rikets normala rymdmått, och att AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 213 dess kubikinnehåll var = 10 × (2 Hebraiska kubiter)3 x jordens täthet, för hvilken senare faktor han antager siffran 5,7. Man erhåller häraf kub.innehållet - To . (50,05)3. 5,7 = 71464 eng. kub.tum = 447 kannor ungefärligen. När han sjelf för sex år sedan besökte pyramiden, fann han dock, att stenkistan verkligen hade urholkningar för ett lock, äf- vensom hål för detsarnmas fastläsande, följaktligen har nog här en gång funnits ett lock, liksom i alla de öfriga egyp- tiska sarkofagerna. För öfrigt må nämnas, att sarkofa- gen, långt ifrån att vara en exakt parallelipiped, till alla sina dimensioner, så väl invändigt som utvändigt, varie- rade rätt betydligt; medellängden utvändigt uppgifves nämn- ligen till 90,52, maximilängden till 91,41 eng. tum, och de öfriga dimensionerna förete dylika variationer, hvartill kommer att ingen af ytorna är plan. Och slutligen erinra vi derom, att icke blott pyramidens ingång a (fig. 28), utan ock ingången d af den uppåt lutande korridoren, voro igenmurade med massiva block af huggen granit. Man skulle då tro, att dessa omständigheter bort vara tillräck- liga att öfvertyga enhvar derom, att ifrågavarande sten- kärl icke är något normalt rymdemått, utan helt enkelt konung Cheops likkista. Ty hvilken skulle väl göra ett normalmått för rymd med oregelbundet bugtiga ytor, hvars kubikinnehåll det är omöjligt att noggrannt beräkna, eller inmura det i en grift, der det blir alldeles oåtkomligt och dessutom göra det noggrannt i form af en likkista och så- som sådan äfven begagna detsamma. Dylika skäl gälla dock ingenting för prof. Smyth, som fasthållande sin älsk- lings-idé om ett normalmått tror sig ha funnit, att kistans inre volym är noggrannt (noggrannheten inskränker sig dock endast till de tvenne första siffrorna) hälften af dess yttre volym, och dessutom, att summan af dess största längd och största bredd, dividerad med dess största höjd är = 7 (till 2 decimaler, ty 3:e decimalen afviker), hvari han finner ett ytterligare bevis för sin åsigt, att kung 214 AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. Cheops' likkista måste hafva varit Egyptens normala rymd- mått. Framför mig står i detta ögonblick ett pianoforte, hvars längd är 6 fot, dess bredd 21 76 = 2,583 och dess höjd från messingstrissorna 286,75 = 2,73. Nå väl, oak- tadt vi äfven här finna, att längden + bredden 6 + 2,583 —5--------------------------= - = 3,14, ■ höjden 2,73 så tror jag ändock icke, att mitt pianoforte är eller nå- gonsin har varit Sveriges normala rymdmått, ej heller att det blifvit förfärdigadt efter någon gudomlig uppenbarelse. En stor sten, fästad i muren till förstugan g, antager Smyth hafva i vigt varit lika med vigten af den vatten- massa vid 20° C. (ungef. 2750 €), som motsvarar kistans volym. Denna »normala» vigt var således icke endast för- varad i förstugan g, dit ingen under vanliga förhållanden kunde komma, utan ock fästad i muren, så att den ej kunde begagnas för vägningar och justeringar, om den ock i öfrigt varit åtkomlig; — men ändock anser Smyth, att allt detta tillkommit genom en gudomlig ingifvelse! 5. Vidare har prof. Smyth ett kapitel angående vin- kelmåttet hos pyramid-byggmästarne, hvilka, enligt honom, icke voro Egyptier utan Hebreer af en epok äldre än Egyp- tens historiska tider, i hvilket kapitel han påstår, att de delade den räta vinkeln i 250 grader, äfvensom ett kapitel om deras termometerskala, der han bestämmer, att deras noll- punkt var densamma som hos oss, d. v. s. temperaturen hos smältande snö, men att kokpunkten var 250°, och så- ledes temperaturen af glödgande jern (rödt i mörkret) 10000. Till stöd för dessa påståenden anföres icke det ringaste be- vis, utan de hvila helt och hållet på prof. Smyths nakna utsago, och sakna, så vidt jag kan inse, hvarje spår af sannolikhet för sig. Vi kunna således förbigå dem såsom alldeles oförtjenta af uppmärksamhet. AFD. III. OM DEN STOKA PYBAMIDEN I GIZEH. 215 6. Vi hafva sett, att grundvalen for hela denna fanta- stiska byggnad är prof. Smyths förmenta Hebraiska heliga kubit, hvilken han förklarar vara = 25,025 engelska tum. Hans enda grund för detta påstående är, att denna längd just är en 10-milliondel af jordens halfva rotationsaxel och således borde vara en passande qvantitet för ett nor- malmått. Denna kubit indelar han i 25 delar, hvilka han benämner pyramidal-tum. Hvarje pyramidaltum = 1,001 engelska tum. Utgående från denna enhet uppställer han en komplett serie af tabeller för mått, mål och vigt, hvilka icke äro någonting annat än de nuvarande engelska tabel- lerna med »pints’, gallons, yards, feet, pounds, quarters, tons» etc. etc., ökade i det lineära förhållandet af 1,001: 1, och dessa påstår hau hafva varit de allra äldsta prehisto- riska Egyptiernas mått-, mål- och vigtsystem, hörande till en urgammal period, innan de blefvo förderfvade genom afgudadyrkan; — äfvensom att pyramiden och dess tillbe- hör utgjorde de normala likarne för detta system, och voro uppförda för dess förevigande i everdeliga tider, och att detta allt har skett, enheterna blifvit valda, tabellerna uppstälda, decimal- i st. för duodecimal-räknesystemet in- fördt, och pyramiden byggd efter en speciel uppenbarelse af Gud till herden Philition eller Philites * (ty namnet * Prof. S. är en förträfflig pyramidbyggare, men hans pyramider hvila på sina spetsar, så att deras jemnvigt icke är synnerligen stabel. Allt hvad man vet om denna pastorala personlighet består uti några få ord hos Herodotus, hvilken berättar (Euterpe 128), att Egyptierna hyste en sådan afsky för de tyranniska konungarne, som byggde pyra- miderna, att de icke en gång ville nämna dem vid namn, utan plägade kalla pyramiderna efter herden Philites, hvilken vid den tiden vallade kreatur i nejden. TovTovs vπo ulosvc ov xoQta v/lovou iyintiou ovoμaζuv, allo κa'ι tàg πvρaμiδaς xaléovou πoιμivoς Pulivios, os τoυτov τov χρovov Zvsus xthvsa κaτd taïta Tà zuqia. Från dessa ord kan man icke en gång sluta till, huruvida Philites var någon verkligt lefvande menniska, eller blott ett namn, diktadt af Egyptierna, för att undvika nämnandet af ett förhatligt föremål; — således ett sådant namn som 216 AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. skrifves på begge sätt)!! Det vore en förnärmelse mot läsaren, om vi frågade honom, huruvida han tror, att det behöfdes en gudomlig uppenbarelse för att bestämma 7 till 2 decimaler, (ty flera riktiga siffror gifva icke prof. S:s ur pyramiden hemtade eqvationer), då enhvar kan komma till detta resultat endast genom att lägga en tråd kring ett vagnshjul eller något annat rundt föremål; — huruvida han tror, att Gud skulle taga ett så stort steg baklänges som att afskaffa duodecimal-systemet för att införa det deci- mala, eller skulle ingifva en profet idéen om sådana en- heter för mått och mål som de ofvan beskrifna och seder- mera, för att visa att han skämdes för dem, låta inmura dem på en så otillgänglig plats, att ingen kunde derstädes se dem. Men prof. Smyth är icke nöjd med att begagna sin imaginära heliga kubit såsom måttstock för att uppmäta pyramiden och jorden; han vill, att den äfven skall gälla såsom mått på nationernas civilisation. Hos honom är det en älsklingssats, att de Nord-Europeiska nationerna, som hafva antagit protestantismen, äro afkomlingar af de tio förlorade Israelitiska slägtena, och att invånarne på Britti- ska öarne äro i sjelfva verket Efraims slägt. Således finner han, att deras mått- och vigtsystem icke äro annat än hans återuppfunna gamla hebraiska system, ofullständigt konser- veradt genom tradition, och han antager såsom mått på nationernas civilisation den grad af approximation, med hvilken deras normala mått och vigt närma sig till hans imaginära pyramid-kubit af 25,025 eng. tum och hans ima- «Hum-Hum β, med hvilket de satiriska poeterna i början af detta århun- drade betecknade den engelska ‘ Prince Regent«, senare Georg IV, eller Dickens’ odödliga « M:rs Harris“. Hvad sjelfva namnet angår, är den senare formen den, som vanligtvis förekommer i de moderna upplagorna af den grekiska texten, men de Aldinska och gamla Pariska upplagorna, och de MSS som dessa representera, hafva Philition, hvilken form all- mänt varit antagen af öfversättare och historici. AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 217 ginära pyramid-pund af 7196 eng. grains. Ordningen är följande: 1. Pyramiden. 7. Livorno. 2. Preussen. 8. Österrike. 3. Danmark. 9. Brittiska Öarne. 4. Sverige. 10. Portugal. 5. Ryssland. 11. Frankrike. 6. Spanien. 12. Turkiet. Smyth känner sig djupt bedröfvad deröfver, att Bri- tannien, genom sitt ogudaktiga antagande af »yarden» så- som längd-enhet i stället för den förmenta heliga kubi- ten, har fallit ifrån sin höga protestantiska ställning ibland de Skandinaviska och Germaniska nationerna och kommit att intaga en låg plats bland de katolska och latinska fol- ken. Han är likväl icke utan tröst. Den engelska topo- grafiska korpsens nya karta öfver England är på en skala af 25,344 eng. tum (d. v. s. nästan en Smythsk helig ku- bit) på en eng. mil, och ehuru det är svårt att begripa, huru detta kan influera på den engelska rikslikaren, gifver det dock honom anledning att återställa England, eller åt- minstone topografiska korpsen till ett högt läge, ja, att till och med sätta densamma i spetsen för verldens civili- sation. Men detta utgafs naturligtvis innan hans teori hade blifvit så i grund nedergjord af just denna korps och dess högt begåfvade chef. Sverige intager visserligen en hög plats i hans lista, men huru skulle han icke utgjuta sin vredes skålar öfver Stjernhjelm, om han blott visste, att vårt svenska mått- och målsystem, i stället för att vara en tradition från den inspirerade herden Philition, daterar sig från 1600-talet, och ej är annat än ett försök, ehuru visserligen ett misslyckadt, att återställa just de gamla hedniska romerska måtten och vigterna. 7. Det återstår att angifva prof. Smyths förklaring af den långa korridorens ab (fig. 28) lutning mot hori- 218 AFD. IIT. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. sonten. Denna korridor ligger i meridianens plan, och dess inklination är enligt prof. Smyth 260 18'. Andra pålitliga resande hafva uppgifvit andra siffror från 25°1 till 26°4. Smyth antager såsom den approximativa epoken för pyra- midens byggande år 2128. Vid denna tid var a Draco- nis * den största stjerna i nejden af Nordpolen, och dess afstånd derifrån var ungefärligen 3° 42. Pyramidens lati- tud befanns af Smyth vara just 30°. Nu är 30° - 3° 42' = 26° 18'=korridorens lutning. Korridorens lutning är så- ledes = stjernans höjd vid dess nedre kulmination, och man skulle alltså kunna observera stjernans nedre passage genom den långa mörka gången, antingen den egde rum under dagen eller natten. Denna förklaring af korridorens lut- ning, som först framkastades ** af Sir John Herschel, men af honom sedermera blifvit öfvergifven, har det emot sig, att ingången till korridoren var igenmurad, och i detta skick är det icke lätt att begripa, huru en observation af en stjerna skulle kunnat anställas. Men samma skarpsinniga officer, som på ett så öfvertygande sätt förklarat pyramidens form och dimensio- ner, har äfven med afseende på gångens lutning träffat en lika enkel som tillfredsställande förklaring. Ingången cl af den uppåtlutande gången var, sedan mumien blifvit lagd i sarkofagen, tillpluggad med stora granitblock, och passa- gens dimensioner äro vid mynningen något förminskade för att mottaga ett sådant block. Dessa stenar måste läggas i öfre delen af korridoren vid e, och sarkofagen i rummet f, innan dessa tilltäcktes. Hvarje block var nära 8 alnar långt och vägde nära 90 skeppund; det första eller lägsta blocket var noggrannt hugget att passa in i och tilltäppa *‘a Draconis är nu en föga lysande stjerna af 4:de storleken, men det finnes tydliga bevis på, att hon fordom har varit mera lysande«, Herschel. Prof. Smyth, i sin karta öfver denna del af himlen vid py- ramidens epok, tecknar henne såsom af 2:dra storleken. I Ptolemæi tid synes hon hafva varit af 3:dje storleken. ** Herschel. Outlines of Astronomy § 319. AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. • 219 mynningen d af uppgången. Lutningen, som just är frik- tionsvinkeln, är särdeles väl vald, när man betänker, att dessa stenmassor måste åka ned från e till d; — med en större lutning hade det varit ganska svårt att styra bloc- ken i deras fart nedåt, och med en mindre lutning hade det varit svårt att röra dem. När en gosse tar fyra tegel för att dermed bygga en fälla för att fånga sparfvar, ställer han ett af dem i en lutande ställning och upphöjer dervid dess ena ända unge- fär 4 tura. Nu är ett engelskt tegels längd 9 tum, således hafva vi $ = Sin lutningen = Sin 26° 23', d. v. s. gångens lutning. Låt A (se figuren) vara detta tegel. Om man nu lägger ett annat tegel B på det förra, skall man finna att det 1 nätt och jemnt skall ligga i hvila ( 4 derpå, men att en högst obetydlig • ; stöt kommer det att åka ned. Detta bevisar, att för sådana ämnen som tegel och sten,af hvilka pyramiderna äro byggda, denna vinkel är »friktions- eller hvilo-vinkeln», och här hafva vi skälet, hvarför denna vin- kel blifvit vald för korridorernas lutning. Då de båda kor- ridorerna hafva samma lutning, är det lätt att inse, huru ett system af afvägda kärror, förenade genom rep, skulle kunna styras af ett enda gångspel, uppstäldt antingen i kammaren c eller i någon annan af kamrarne, och det är icke osannolikt, att konung Cheops sjelf emellanåt besökte sin egen grift på detta sätt. Vid foten af sidomurarne af den stora korridoren eh (fig. 28) är en rad af hålor, äm- nade förmodligen att taga emot bjelkar för att förvandla det lutande stengolfvet till en (tillfällig) trätrappa för hans majestäts och måhända äfven för likprocessionens beqväm- Iighet. De långa urholkningarne i stenarbetet utefter begge sidorna voro förmodligen ämnade för lampor eller facklor vid begrafningen. 220 AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. - : * - S 4 Efter konungens död blef mumien i all sannolikhet in- förd i pyramiden ända till foten af det lägsta stenblocket på ofvanantydda sätt, hvarifrån den måste bäras in i kun- gens kammare och nedläggas i sarkofagen Sedan detta blifvit gjordt och processionen lemnat pyramiden, nedsläpp- tes stenblocken för att stänga ingången d till korridoren, och murarearbetet fullbordades för att dölja ingången. Ar- betarne, som utfört detta, kunde sedermera, med tillhjelp af en lina komma ut genom röret hb, lemna pyramiden och igenmura mynningen a, så att hvarje spår af den enda in- gången utplånades. Konung Cheops hoppades, att hans lik »skulle, då »det blef gömdt i midten af denna ofantliga stenmassa, få »hvila i fred till den yttersta domen; och det hvilade verkligen »ostördt i tre tusen år. Men sjelfva griftens herrlighet »väckte i en nedrig museimans bröst hoppet om att deri »finna ett lika ståtligt rof. Kalifen Al-Mamoun bröt sig »in år 830 i pyramiden, och kungens lik utkastades för »att skymfas och misshandlas af pöbeln på Cairos gator. »Sic transit gloria mundi»*. 8. Jag har i det föregående framstält hufvudpunkterna af prof. Smyths åsigter om den stora pyramiden och de egenheter i denna byggnad, på hvilka han grundar sina på- ståenden, tillika med den enligt min tanke fullständiga och öfvertygande förklaring af dessa egenheter, som den lärde chefen för engelska Topografiska korpsen har lemnat, hvilken synes mig i grund nedergöra Smyths hela teori. Det är ingen svår sak att finna sätt att ur en byggnads dimen- sioner frambringa st eller e eller andra af matematikens eller naturens konstanter, utan att denna byggnad har va- rit ämnad att på något sätt framställa dem. Halfva pyramidbasens perimeter, dividerad med dess böjd, befanns vara = 3,14 = 7 till och med 2 decimaler. Nå väl, * Sir Henry James. 1. c. AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 221 höjden af spiran på Salisbury domkyrka i England är 4848 tum, d. v. s. längden af en båge af 1" för en radie af 4848 109 engelska tum. Multipliceras -- med 648000 (an- 6 1 109 talet sekunder på 180°), så få vi 3,1415 — en något när- mare approximation; och i den gamla S:t Pauls domkyrka i London, som förstördes af eldsvådan 1666, var enligt Dugdales planritning längden af tvärkyrkan, trappan vid norra dörren inberäknad, 314 fot, d. v. s. 100 × 7t fot. Pyramidens höjd x 109 befanns vara = solens afstånd, då parallaxen antages = 8",86. Men längden af Salisbury domkyrka är 480 fot. Detta gifver äfven solens afstånd på samma sätt, om vi antaga en parallax af 8",99, hvilket värde icke öfverstiger osäkerhetens gränsor. Och återigen: den uppgifna längden af gamla S:t Pauls är 690 fot; — om vi härfrån subtrahera två gånger skeppets yttre bredd, nämnligen 208, enligt Dugdales planritning, när man ute- lemnar kontreforterna, så få vi 482. Anse vi 109 gånger denna siffra för solens afstånd, så få vi en parallax af 8",95, hvilket är Le Verriers värde. Längden af den lilla tvärkyrkan i Salisbury upp- gifves vara 172 fot. Denna siffra gör icke anspråk på större noggrannhet än att angifva den närmaste foten, och vi kunna således antaga, att den kan vara 13 tum för stor. I detta fall blir längden 2062,65 tum = 100 x (radien i sekunder); och för gamla S:t Pauls, ehuru den vanligaste uppgiften för spirans höjd är 525 fot, variera de olika uppgifterna mellan 520 och 534, fot, d. v. s. 6382 tum = 2 × 3141 eller 2000.7 tum. Salisbury och gamla S:t Pauls skulle förmodligen erbjuda flera koincidenser, i fall vi fortsatte att leta efter dem, ehuru jag valde dessa båda kyrkor alldeles på måfå; hade jag valt Upsala domkyrka eller det i Stockholm år 1866 uppförda industripalatset, skulle de i all sannolikhet icke hafva företett större svårigheter, 222 AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. Prof. Smyths metod, nämnligen att multiplicera eller dividera med något tal, för hvars införande det vore svårt att lemna något tillfredsställande skäl, såsom t. ex. årets längd, med hvilken basen dividerades, eller jordens täthet, med hvilken sarkofagens innehåll multiplicerades, synes mig i högsta grad farlig. Huru bedrägliga sådana resultat kunna vara, skall jag såsom slut på mina anmärkningar ådagalägga medelst några få exempel. Ex. 1. I trots af prof. Smyths påstående, att den moderna engelska »inch » är ett gammalt mått från pyra- midens tid, förvaradt genom en oafbruten tradition, är det ett välbekant historiskt faktum, att de nuvarande engelska måtten och vigterna icke äro särdeles gamla, utan datera sig från året A.D. 1101. Vid Normanniska eröfringens epok var en engelsk »yard» ungefärligen = 39,6 moderna »inches», d. v. s. litet större än en fransk »Mètre», och således foten ungefärligen = 13,2 moderna »inches», d. v. s. litet större än en Pariserfot. Men året 1101 bestämde ko- nung Henrik I ånyo »yarden» efter längden af sin egen arm, och det är just denna bestämning, som den nuvarande »yard» representerar*. Dessutom har aldrig en »yard», icke en gång i moderna tider, blifvit bestämd såsom nå- gon viss bråkdel af jordens dimension, utan efter sitt för- hållande till längden af sekundpendeln vid 511 graders latitud, och af denna yard är en engelsk fot en tredjedel. Nu är en grad på eqvatorn just = 365 260,524. Divideras en tusendedel af detta tal med stjernårets längd i soldygn, 365,256 358, så få vi 1,000 0114, d. v. s. om vi taga en * Prof. Smyth påstår visserligen, att denna bestämning af “yard < icke kan influera på « inch € som är ett mycket äldre matt. Att «inch « är äldre än “yard « är obevisadt, begge äro fullt så gamla som vår ti- digaste kännedom om engelska språket och literaturen, och då de alltid hafva varit och ännu äro förenade medelst eqvationen yard = 36 × inch, har jag svårt att begripa, huru kungen kunde förändra den ena, utan att förändra den andra, och ändock låta eqvationen stå qvar. AFD. III. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. 223 1000:de-del af en grad på eqvatorn, och dividera den ined stjernårets längd i borgerliga dygn, så få vi en engelsk fot sä noga som ett kraftigt mikroskop kan bestämma den; och dock är det absolut säkert, att detta är blott och bart en tillfällig koincidens. Ex. 2. Om jag tar 10 000 gånger e, basen för de hy- perboliska logaritmerna, och multiplicerar densamma med den qvantitet, som i man-teorien kallas för g, d. v, s. förhål- landet af skillnaden emellan månens och hans uppstigande nods medelrörelser till månens medelrörelse, och dividerar jordens polar-radius med produkten, blir resultatet läng- den af pyramidens sida*. Men kan någon tro, att, i fall vår gode vän herden Philition för fyratio århundraden se- dan hade, genom den allsmäktige Gudens ingifvelse, erhål- lit kännedom om man-teorien, jordens kompression och täthet, och logaritmernas teori och bruk, han skulle hafva dolt denna sin visdom för alla menniskor genom att mura in densamma i pyramiden, nedlagd i mystiska dimensioner, hvilkas betydelse ingen kunde tolka? År det inte sanno- likare, att arkitekten helt enkelt bestämde, att längden af basens sida skulle vara 500 kubiter (760 eng. fot) och så- ledes uppmätte detta afstånd. Ex. 3. Om vi taga medium af de uppgifter om ba- sens längd, som blifvit lemnade af Vyse, de franska aka- demikerna, Caviglia, Wilkinson, Eane och Davison, så få vi 756 3 eng. fot, en siffra, som uttrycker i millimètres barometerns medelhöjd vid Upsala. Men det är föga san- nolikt, att konung Cheops byggde med afseende på denna intressanta meteorologiska konstant. * I detta och i följande exempel, der sidan af pyramidens bas om- talas, så menas den af prof. Smyth i hans första afhandling antagna längden 763,81 eng. fot. Den verkliga längden är 760 eng. fot. Men det var med afseende på denna första afhandling som dessa exempel samlades. Då prof. Smyth för öfrigt, i sina många sedermera utgifna band drifver samma sats medelst samma metod, med blott några få små aritmetiska modifikationer, äro dessa exempel lika lämpliga. 224 AFD. IIT. OM DEN STORA PYRAMIDEN I GIZEH. Ex. 4. Om vi multiplicera ihop en 10:de-del af sidan af pyramidens bas, längden af den linie, som förenar py- ramidens spets med midten af en sida af basen (d. v. s. höjden hos hvar och en af de fyra likbenta trianglar, som bilda pyramiden) och modylen M för de vanliga logarit- merna, så blir resultatet 3420, mån-parallaxkonstanten, som, i Burgs tabeller, antages = 3420",96. Ex. 5. Slutligen, i fall basens sida (763,81 fot) divi- deras med hyperboliska logaritmen för 7, och denna qvot åter med förhållandet (1,00188) mellan gravitationskraften i London och gravitationskraften vid pyramiden (hvars latitud antages vara 30°), blir resultatet 666, vilddjurets mystiska tal i Uppenbarelseboken. Skulle vi deraf kunna sluta till, att vilddjuret i profetens vision var den stora Sfinxen *? Dessa exempel kunna tjena till att bevisa, att det, med användning af prof. Smyths metod, icke blir svårt att framtrolla hvilken konstant som helst ur den stora pyra- midens dimensioner; och de ådagalägga i öfrigt, huru far- ligt det är att på ofvannämnda sätt leka med siffror. * Log 1,00188 = 0,00082 Log (Logeπ) == 0,05870 0,05952 Arit kompl. = 9,94048 Log 763,81 = 2,88299 Log X = 2,82347 æ = 666. AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 225 AFDELNING IV. Anmälan och granskning af böcker. 1. MUNDT, C. E. Lærebog i den elementare plangeometrie tillige- med den plane trigonometrie. 7:de Udg. Kjobenhavn 1867. Inbunden 2 rdr 80 öre. Denna lärobok är ett hufvudarbete i elementargeometrien, skrifvet i enlighet med nutidens fordringar. Detta visar sig af följande redo- görelse. 1. Proportionsläran är hänvist till sin rätta plats algebran. Då man läser Euklides' femte bok, har man i sjelfva verket ej lärt sig an- nat än satserna u A-uB = 4(A-H B). Eukl. V. 1, 5, 12, 19. uA-vA = (/:)A. #(.A) = (u)a == (1) A. A u A B - uB u och v betyda tal hvilka „ V. 2, 6, 17, 18, 24. „ V. 3,4, 20, 21, 22, 23. „ V. 7, 14, 15, 16. helst, rationela eller irrationela. Dessa satser behöfvas också i algebran, der de bevisas först för ra- tionela tal och sedan medelst antingen exhaustions- eller limesmetoden för irrationela tal. Det är då onödigt att bevisa dem på nytt i geo- metrien och der ofta under en oigenkänlig form. Icke alla märka t. ex., att satserna om proportionaliteten af likhet hos storhetsgrupper, der storheterna äro proportionela i direkt och omvänd ordning, i sjelfva ver- ket innehålla satsen, att faktorernas ordning är likgiltig äfven då fak- torerna äro irrationela. Ännu mera blifva nya bevis för dessa satser 226 ATD. IV. ANMÄLAN af BÖCKER. onödiga, om såsom ofta händer dessa bevis äro svårfattligare och mera svåra att erinra sig än de algebraiska. Det är lätt att tänka sig den vinst i tid som genom denna förenk- ling uppkommer. 2. Mundt har vid många tillfällen i sin geometri begagnat algebran för utförande af sina bevis. Genom att till enhet taga en längd, far han öfriga längder betecknade med tal, samt ytor och kroppar med pro- dukter af respektive 2 och 3 algebraiska tal. Ytterligare enkelhet vin- ner han genom att härvid begagna de allmänna algebraiska och geome- triska tecknen ( + , —, >=<, A,//,L m. fl.). 3. Limesmetoden använder han konseqvent vid öfvergång från sat- ser gällande för rationela tal till motsvarande för irrationela, vid öfver- gång från rätliniga figurer till krokliniga. 4. Likformighetsbegreppet generaliserar han så, att det passar för plana räta och krokiga linier samt för plana figurer begränsade af räta eller krokiga linier. Härigenom utvidgas elementargeometriens område betydligt. 5. Satserna äro stälda i ett organiskt sammanhang till hvarandra. Detta har blifvit utförbart derigenom, att behöfliga konstruktioner blif- vit verkstälda i tanken blott på grund af deras möjlighet. 6. Trigonometrien är synnerligen enkel. Sinus och Cosinus m. m. äro definierade såsom förhållanden mellan linierna i en rätvinklig trian- gel, hvarvid han dock begagnat den bekanta figuren med cirkeln. För att få begrepp om Sinus och Cosinus m. m. för negativa bågar och för bågar af hvad storlek som helst, generaliserar han den för spetsiga vink- lar bevisade formeln Sin (a 0) = Sin « Cos b + Cos « Sin b. Vidare visar han, att de Sinus, som man algebraiskt kan beräkna, utgöra hälften af de i planimetrien algebraiskt beräknade och geometriskt konstruerade, då radien tages till enhet. Hans formler för trianglars beräkning äro enkla. Hela trigonometrien är mycket kort. Mot författarens för öfrigt utmärkta definition på likformiga plana figurer anse vi oss böra anmärka, att den lider af för många bestäm- ningar. Vidare anse vi att förf, kommer väl sent med sina problem. Detta bör erinra författaren, att han i någon mon bör söka annorlunda grup- pera satserna. För öfrigt allt godt om arbetet. AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. 227 als CSAlnlnisnnKh 2. MUNDT, C. E. Lærebog i den elementære Stereometrie tillige- med den sphæriske trignnometrie. 3:e udg. Kjeb. 1868. Inb. 1 rdr 75 öre. Denna bok har i likhet med plangeometrien egenskapen att vara synnerligen väl redigerad. Särskildt framhålla vi läran om symmetri jämte förklaringen på, huru en kropp, som är symmetriskt lika stor med en annan, genom krängning ut och in, blir kongruent med den samma. Äfven här finnes en generel definition pa (direkt och symmetriskt) likformiga figurer omfattande linier med enkel och dubbel krökning, plana och bugtiga ytor samt kroppar hvilka som helst. Den sferiska trigonometrien är enkelt oeh redigt framstäld med hän- visning till den föregående geometriska framställningen af läran om pla- net och solida vinklar. Här finner man ett synnerligen enkelt elemen- tärt bevis för satsen att en storcirkelbåge är mindre än en småcirkel- båge med samma ändpunkter, vidare ett enkelt bevis för de 5 så kallade platonska kropparnes möjlighet. De antydningar härom, som vara sven- ska läroböcker innehålla, visa väl att inga andra reguliera polyëdrar kunna sättas i fråga såsom möjliga, men ej att dessa äro verkligen möj- liga. — De olika händelserna vid sferiska trianglar äro noga diskuterade med afseende på möjlighet, obestämdhet m. m. Arbetet är godt. Dock lider definitionen på likformiga figurer af det felet, att den har för många bestämningar. Huru förf, i § 151 i läran om prismer bevisar kongruensen af prismat FBKIAE med prismat GCLMDH, ha vi ej lyckats finna. Anm. Förf, indelar begge dessa sina böcker i kapitel och para- grafer, hvarigenom innehållet blir ett mera sammangjutet helt. Hos oss indelar man som bekant de geometriska arbetena i böcker och satser, hvarigenom sammanhanget ej så lätt märkes. 3. BERGROTH, J. E. Elementarkurs i geometrien af C. E. Mundt. Bearbetning efter danskan af J. E. Bergroth. Helsingfors 1869. 3 rdr 75 öre häftad. Detta arbete utgör en öfversättning och bearbetning af ofvansta- ende begge förtjenstfulla Mundtska arbeten med uteslutande af den plana och sferiska trigonometrien. Bearbetaren förtjenar erkännande för detta sitt tidsenliga företag. Bearbetarens tillägg och förändringar äro ofta värdefulla förbättrin- gar, t. ex. vid satserna om prismer, om sammanhanget mellan antalet kanter, hörn och sidor hos vissa slag af solida figurer, men äro någon gang försämringar i synnerhet i början af arbetet. Förf:s ändring i af- 228 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. seende på det typografiska att ha både paragrafer och satser, ehuru ej i vårt tycke befogad, kan dock försvaras såsom en öfvergang från vårt vanliga indelningssätt till danskarnes. Emellertid göra de ringa afstan- den mellan paragraferna i jämförelse med afstanden mellan satserna, att man ofta blir vilseledd i afseende på innehållet. Se t. ex. sid. 16 §§ 52—4. Förf:ns språk stöter på många ställen oss, som bo vester om Öster- sjön. Så t., ex. använder förf, konseqvent ordet “så vida « i betydelsen af vårt « emedan «. Af verbum < måste < bildar förf. Infinitiven A, finge man G> A> A>G eller G > A „ o G/< A, alltså G — G1 > A — 4-, hvilket strider mot förutsättningen om beskaffenheten af G — C1- För att gifva ett begrepp om bevisningsmetoden och användandet af detta teorem, anföra vi med bevis följande teorem. «Rektanglar med lika stora baser förhålla sig som deras höjder. Vi beteckna höjderna med h och 71, rektanglarne med r och 1- 1. Höjderna kommensurabla. Kallas höjdernas gemensamma matt m och innehalles det p gånger i h och q gånger i h1, har man h P A = 00, 71 — Im, alltsa: Tt, == q 230 AFD. IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. Drager man nu genom delningspunkterna paralleler med baserna, delas 1: i p och r i q lika stora rektanglar; kallas en af dem 0, hvil- ken alltså är det gemensamma måttet för de gifna rektanglarne, får man o r° p h T=PQ, T1=-40, alltså: 7’= q = 7,1 2. Höjderna inkommensurabla. Afsättes .1, på 7 ifrån den ena ändpunkten, så träffar ingen delningspunkt in på en annan, men man får: : 271 1,>1>7-1,, alltså 21>1> Drager man nu genom delningspunkterna på h paralleler med ba- sen, framkomma (p + 1) rektanglar, som äro hvar och en lika med 7ni man får då: p+1.,3 P llts^. p+1ar p. q 71 1 q'1' a sa∙ q 7 q' 1 4 Alltså falla — och — mellan samma gränser, hvilkas skilnad är ett obenämndt tal, som genom att göra q tillräckligt stor kan blifva huru liten som helst. Följaktligen har man: r h« r, h, ' Huru enkelt och lättfattligt är ej detta bevis i jämförelse med det att taga lika mångfaldiga af den första och tredje o. s. v.? Synnerligen elegant är Mellers definition på likformiga figurer. Denna är så generel, att den passar in på alla plana eller solida figu- rer, begränsade af räta eller krokiga linier eller ytor. Definitionen ly- der som följer: 0. Antaga vi nu att 6 g___■ a > 0, blir ap > 0 och således äfven ~/a" > 0, hvaraf synes, att för a > 0 man har rättighet att sätta likheten p q ag =aP.............................(6). 3. Jämförelse mellan potenser med samma bas men med olika exponenter. Sats. Om 2 > 2, der p, q, r, s äro hela tal, a 9 8 sa är r dq gas, allteftersom a — 1. Bevis. p ps qs__________ aq = ags = A/aps, 252 AFD. I. POTENSLÄRAN. och r : qr qs___________________________' as = ags = N/a. Men af olikheten PS ? 7s följer, att ps > qr och således aps = a", allteftersom a — 1, och således äfven qs__qs______ A/aps € N/a?, d. v. s. P 2 r dg 2 αs , allteftersom a — 1. Med andra ord, en potens med rationel exponent och positiv bas växer samtidigt med det att exponenten växer, om basen är > 1, men är 1 då basen är 1, samt aftager samtidigt med det att exponenten växer, om basen, är < 1. 4. Betydelsen af en exponent med irrationel exponent. Denna betydelse kan ej ur det föregående finnas. Hvilken betydelse man vid en sådan potens bör fästa, är dock tem- ligen naturligt, sedan man lärt känna att en potens med rationel exponent städse växer eller städse aftager samti- digt med det att exponenten tillväxer, allt efter som basen är 1, samt är 1 då basen är 1. Definition. Med en potens a" med irrationel exponent u förstå vi ett medelvärde mellan potenserna P p+1 aq och a q , hvilkas rationela exponenter P och p+1 ligga på hvar 9 7 sin sida om u, och hvilkas skilnad — kan bli mindre än hvilket tal man behagar uppgifva. AFD. I. POTENSLÄRAN. 253 Häraf följer att C = 1 för a = 1 äfven för irrationelt μ. Vidare följer att för a > 0 är a" > 0 äfven för μ ne- gativ. ■ Slutligen följer att, om μ > v, a" * a', allteftersom a = 1, äfven då μ och v äro irrationela. Ty tänkom oss rationela bråk p+1, P+2 så beskaf- I P I fade att • p + 2 p+1 p 4 > Ul > L >V. 4, o o 9 2 9 da maste P + 2 p+1 P a a > a" > a q ao ag för a> 1, men ..=..= .. =.. =.. för a = 1 och ..<..< .. <..<.. för α < 1. 1 . Anm. Deraf, att skilnaden — mellan de rationela I o p + 1 p.. . bråken och — kan bli huru liten som helst, följer I 7 att skilnaden p + 1 p a g — aq kan bli huru liten som helst. Ty p+1 p p 1 P 9 a g — ag = a q (aq — 1) = 02 ( a — 1) . . (7). 9 — . Men ~/a för växande q närmar sig 1 huru nära som helst, hvaraf följer att för växande q nämnde skilnad kan närma sig noll huru nära som helst. 5. Bevis för grundformeln — = a° v. ar 254 AFD. I. POTENSLÄRAN. Göres i (1) u = Q—v, erhålles a° = a?-”.a", hvadan o G = a°..........................(8). av 6. Bevis for grundformeln (a“) = a"v uuder förutsättning att a > 0. För v = ett helt tal n är formeln redan bevist genom formeln (5). Låt nu v vara = ett brutet tal P-.. Då har man på grund af (6) och (5) p q_________________Q-------up ,P ' (a")1 = N(a")P = N a"P = aq = a 9, h.s.b.. . . (9). Låt slutligen v vara irrationel och belägen mellan de rationela bråken — och P+1. Då är, enligt definitio- 9. 9 nen på en potens med irrationel exponent, (a")" ett me- delvärde mellan p p+1 (a")? och (a") . Vidare är, enligt artikeln 4, a^v ett medelvärde mellan up u(p+1) a2 och a 9, det vill på grund af (9) säga, emellan p p+1 (a")o och (a") 0. Emedan således (a“)” och a"V begge ligga emellan stor- p p + 1 c heterna (a")2 och (a") 2, hvilkas skilnad på grund af (7) kan bli huru liten som helst, måste dessa storheter vara lika. Att satsen gäller äfven för v negativ = — 7T (7 posi- tiv) är ej svårt att bevisa. Man har nämnligen (q“)” = (a“)= ^ = = ----= a-"" =a"V ... (10). . (a")” a"" AFD. I. POTENSLÄRAN. 255 Således är vår grundformel (10) sann för alla reela värden på μ och v, om blott a > 0. Kor. ( = -.......................(11). \a) C" / Ty man har 7. Bevis för grundformeln (ab)" = a"b“ under antagande att a > 0 och b > 0. Låt först μ vara ett helt tal m. Då är enligt (2) (ab)n = ab.ab.ab.... = a"bm . . . (12). Låt vidare μ vara ett brutet tal P.. Då är p,P a96q = Y aqbq) , emedan a och b äro antagna vara positiva. Häraf följer med stöd af (12) och (10) att p P 9---------9--------. p aq bo = A/aPbP = A/(ab)P = (ab)o . . (13). Låt slutligen μ vara ett irrationelt tal samt först a och b begge större eller ock begge mindre än 1. Då är, om p p + 1 — < u >-------, I I P p+1 (ab)" ett medelvärde mellan (a b)2 och (ab) Q . p p + 1 Vidare är a" ett medelvärde mellan C2 och a 2 samt P P + 1 6%...................bq och bq , och således äfven (enär a och b äro samtidigt > eller sam- tidigt < 1) °....................'p p p + 1 p + 1 a" b“ ett medelvärde mellan a2 by och a q b q p P+1 eller enligt (13) mellan . . . (ab)« och (a b) 9 . Enär således (ab)“ och a" b“ begge ligga emellan sam- p P+1 ma gränser (ab)2 och (ab) 9, hvilkas skilnad enligt (7) 256 AFD. I. POTENSLÄRAN. kan bli huru liten som helst, måste dessa storheter vara lika. Man har således a"U" = (ab)“..................(14), så framt begge baserna a och b äro samtidigt ≈ eller sam- tidigt < 1. Om endera basen är = 1, är. satsen sjelfklar. Antag nu «>1 och b<1. 1) ab - I . Man har då på grund af (11) 6)-6" - (ab.b) : med stöd af (14), enär ab och i äro samtidigt > 1. Så- ledes är (ab)" = a"b“. 2) ab=1. Man har då i följd af antagandet och (11) a"bu = = 1 = (ab)«. 3) ab < 1. Då blir enligt (11) — . a" = ab. — . a", a ) ∖ a) 1 med stöd af (14), emedan ab och — äro samtidigt < 1. a Således är (ab)" = b"a". Vår sats är således bevist för positivt μ. Låt nu u vara negativ och = -π (zt positiv). Då är (at)" - (Lt)" nal - • Vår sats är således sann för a och b begge > 0 och μ en reel qvantitet hvilken som helst. Ty . (a ah Korollarem. (6) 6" Ty (%) - (a.b-"y -a".8"- Formlerna (1), (8), (10), (14) i förening med (2), (3), (4) och (6) innehålla potenslagarne. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 257 AFDELNING ïï. Definita integraler af synektiska funktioner *. Af G. DILLNER. 1. Vi förutsätta såsom här gifna de allmänna be- stämningar rörande komplexa funktioner, hvilka förekom- ma i Grunddragen af geom. kalkyl §§ 139—143. I det följande låta vi, der ej annorlunda föreskrifves, enkla bokstäfver såsom z, h etc. beteckna komplexer, hvar- vid modylerna utmärkas med 2, h etc. och argumenten med 2, h etc. (jfr Grunddr. af geom. kalk. § 112). * Denna af Cauchy till väsendtlig del funna teori, som, med afse- ende på sin utomordentliga rikedom på vigtiga och intressanta utveck- lingar, utgör ett af matematikens vackraste framsteg under senare tider, är hittills föga allmänt heaktad och studerad och det, som det vill synas, af orsak, att hennes förutsättningar och bevis, såsom stödda på imagi- nära operationer, äro af en allt för svårfattlig och hypotetisk natur för att göra henne allmännare tillgänglig och skaffa henne tillbörligt förtro- ende. Vi skola här söka visa, huruledes denna teori, såsom stödd på den fullt reela betydelsen af geometriska qvantiteter och deras räkne- lagar, låter utveckla sig på ett lika enkelt som bindande sätt, hvarige- nom de särdeles vigtiga satser, som innebära vilkoren för en funktions utveckelbarhet i serie, framstå i den enkla form, att de kunna intaga sin naturliga plats såsom grundval för läran om serier. Det må anmär- kas, att denna uppsats med afseende pa den formela behandlingen är att betrakta såsom tillhörande den geometriska kalkylen och att den till sin allmänna omfattning förutsätter, utom hvad hittills i denna tidskrift blifvit utveckladt af denna kalkyl, äfven läran om transcendenta funk- tioner och lagarne för derivation. Vi skola derför begränsa vår uppsats derhän, att, hvad vi förutsättningsvis behöfva, icke blir mer, än som vi vid hvarje särskildt tillfälle kunna antyda eller belysa (jfr Théorie élémentaire des quantités complexes par J. Hoüel, II part.). 17 258 AFD IT. DEFINITA INTEGRALER ΛF ETC. En funktion af en komplex variabel, som för hvarje punkt inom ett visst gebit af planet förenar egenskaperna att vara ensvarig (monodrom), ändlig och kontinuerlig, kal- las synektisk inom detta gebit af planet. Anm. I den vanliga betydelsen af synektisk funktion ingår ock termen »monogen», hvilken innebär, att funk- tionens oberoende variabel är af formen Çw. Denna term blir öfverflödig i och med detsamma, som de variabla, hvilka ingå i våra funktioner, på förhand angifvas såsom fullständiga komplexer. 2. Vi anföra inledningsvis den geometriska betydelsen af sambandet mellan en komplex funktions derivata och funktionen sjelf såsom dess primitiva. Om vi antaga F(z) vara en kontinuerlig funktion af z och vi låta z = OP (fig. 30) beskrifva en kontur PP', så beskrifver F(2) = 0,0 en motsvarig kontur QQ. Anta- ges OP = z+1, då följaktligen 0,Q = F(z+h), så definie- ras derivatan af F(z) i punkten P sasom lim pp for PP’ — 0, eller, då QQ sättes = △ F(2) och PP' = h = Az: . A F(e) . F(z + l)-F(e) d F(z) - 1 lim —- = lim — -2 = — — = F(2) ... (1), Az h da d. v. s. då dS och ds utmärka de resp, konturelementens modyler i de motsvariga punkterna Q och P samt - och o deras rigtningar (- tangenternas PL och QM rigtnin- gar): d F(z) (dS)= (dS\ då följaktligen en komplex funktions derivata är till modylen = qvoten mellan funktionens och den oberoende variabelns »bågelement» i motsvariga punkter och till argumentet = skilnaden mellan dessa elements argument. 3. Enär tillskottet h icke ingår i derivatan, så är denna densamma, i hvilken rigtning man än drager h, d. v. s. * Jfr Grunddr. af geom. kalk., § 115. AFD. ∏. DEFINITA INTEGRALER af ETC. 259 qvoten mellan de två konturernas element i motsvariga punkter äfvensom skilnaden mellan dessa elements rigtnin- gar är densamma, åt hvilket håll man än drager den obe- roende variabelns kontur från punkten P. Denna egenskap hos en komplex funktions derivata plägar anföras såsom kännetecken på, att funktionen sjelf är monogen (jfr § 1, anm.). 4. Man lägge här märke till, att kontinuitets krite- riet för en funktion F(z) är lim { F(z+1)-F(z)] = 0 för lim h = 0, under det argumentet h representerar hvilket värde som helst mellan 0 och 2/1. Om vi jämföra detta kriterium med den i § 2 gifna betydelsen på derivata, så framgår, att så ofta som en derivata är andlig måste dess primitiva med nödvändighet vara kontinuerlig. Dermed är dock icke sagdt, att en funktions kontinuitet är begränsad till endast de fall, då dess derivata är ändlig. 5. Af den i (2) gifna betydelsen på derivata följer omedelbart, att en ensvarig primitiva F(z) har en ensvarig derivata F(2). Deremot svarar mot en ensvarig derivata f(z) = F(z) ett obegränsadt antal primitivor, hvilka alla ha sina konturer kongruenta och parallela och derför kunna re- presenteras af uttrycket F(z) + C, der C utmärker en arbiträr konstant komplex. 6. Om f(z) är en synektisk funktion af z och vi låta z beskrifva en kontur P.P, P,... P, (fig. 31), der ⅛ = OP, 21 = OP etc. och der följaktligen kordorna P.P, P.P, etc. äro i ordning 2,—20 = 7, Z 2n-1 — hn 260 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. och om vidare Q0QlQi . .. Qn utgör den af f(z) beskrifna motsvariga konturen, der f(z0) = 0,o, f(z,) = 0,01 etc., så utgör serien (P.P,) • (0, 00) + (P,P,). (0,0) +... (Λ--1Λ). (0, Qn-1) eller annorlunda uttryckt r =n Z lrf(zr-1) = 1, f(z0)+ha f(z,)+...lnf(zn-1).. . . . (4) r=1 för lim n = 0 d. v. s. för oändligt små kordor 7i,, h2p...hn, hvad vi förstå med definit integral af f(z) mellan gränserna zo och Z, vanligen tecknad r=n Z X her f(zn-i) = y f(z)dz .... (5). r=1 Zo Vi säga nu, att vi integrerat funktionen f(z) längs kon- turen z eller P.P P2... Pn från gränsen %0 till gränsen Z. En definit integral kan således betraktas som en po- lygon R R, R....Rn, der sidorna äro i ordning termerna i (4) och som i limesöfvergången förvandlas i en bugtig kon- tur, hvilken vi kalla integralkonturen. Kordan RoRn är såsom väg identiskt lika med polygonen RoR. R. ... Rn äfven i limes, då alltså den definita integralens betydelse är att representera den korda, som förenar integralkonturens begynnelsepunkt med dess slutpunkt. 7. Enär modylen för serien (4) är mindre än sum- man af termernas modyler eller r =n r =n mod X hrf(z,—1) < L hr. mod f(z,-1), r=1 r=1 så följer a fortiori, om M utmärker det största modylvärde, som f(z) kan få mellan gränserna 20 och 2, att r = n r =n mod X hrf(zr—1) < MX hr, d. v. s. < Ms . . . (6), r=1 r=1 då s är summan af de oändligt små h-kordorna eller, som är detsamma, då s är = båglängden P PP2...Pn. På grund AFD. ∏. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 261 häraf kunna vi uttala följande sats: en synektisk funktions definita integral har alltid ändlig modyl. 8. Om f(z) = F(z), så kunna vi i öfverensstämmelse med (1) och med iakttagande af (3) sätta följande likheter: F(=,) - F(=0) =ħMza) + 4,1 ⅛)-⅞) = ka lf(z,) + ¾J F(Z) - F(zn-1) = ln(f(zn—1)+ên} , der 8,, 82... 8n äro komplexer, hvilkas modyler bli = 0 för lim n = ∞. Genom att addera dessa likheter fås r-n r=n F(Z)-F(=0) = X hr f(z,-1) + X a,hy. r=1 T=1 Om m utmärker det största modylvärde, som någon af qvantiteterna 81, 82... 8n kan få, så är enligt (6), då s utmärker båglängden mellan integrations gränserna: r=n mod X a, le, < ms, då alltså för lim n = oo : r=n . z F(Z)-F(=0)=X hr f(z,-1) = J f(z)dz. • . (7), r=1 %o hvilken sats utsäges: om F(z) är primitiva till f(z), så är definita integralen af f(z) mellan gränserna 20 och 2 skilna- den mellan primitivans värde för substitutionen Z och primi- tivans värde för substitutionen z0. Anm. Summering af komplexa serier af formen (4) är nu alltid möjlig, så snart vi kunna finna primitivan till en gifven funktion f(z) som derivata. Primitivan F(z) re- presenterar nu integralkonturen och skilnaden F(Z) - F(zo) representerar den korda, som förenar integralkonturens be- gynnelsepunkt med dess slutpunkt. 9. Om vi låta den oberoende variabeln 2 beskrifva en sluten kontur, då följaktligen z0 = Z, så beskrifver f(z), såsom varande en synektisk funktion af 2, äfvenledes en 262 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. sluten kontur; den motsvarande integralkonturen måste då vara antingen sluten eller öppen, hvilka tvenne fall gifva uppslag till följande vigtiga klassifikation af de definita in- tegralerna. 1°. Integralkonturen längs en sluten kontur sluten. I detta fall måste enligt (4), för hvarje gång 2 ånyo beskrifver sin slutna kontur, den deremot svarande integral- konturen lägga sig i alla punkter kongruent på den först beskrifna integralkonturen, då alltså, för huru många gån- ger z än beskrifvit sin slutna kontur: J f(z)dz = 0. Häraf framgår således, att, om en punkt 2 tages hvar som helst på den oberoende variabelns kontur såsom öfre gräns och F(z) i enlighet med föreg. § representerar pri- mitivan till f(z), så är alltid integralen “f()dz - F(=)-F(=0) . (8), en kontinuerlig och ensvarig d. v. s. synektisk funktion af z. Vi kunna alltså uttala följande sats: Om en synektisk funktions definita integral, tagen längs en sluten kontur, är 0, så är integralen, tagen från en kon- stant nedre gräns 20 till en variabel öfre gräns 2, en synek- tisk funktion af z. 2°. Integralkonturen längs en sluten kontur öppen. Om vi i detta fall antaga R RRn (fig. 32) represen- tera den öppna kontur, som beskrifves af integralen, under det z beskrifver sin slutna kontur P, så erhålles enligt (4), då z å nyo beskrifver sin slutna kontur, en kongruent och parallel integralkontur RaR Rn, som börjar i den föregå- endes slutpunkt, o. s. v. Detsamma inträffar, om vi inte- grera längs konturen P i motsatt led, d. v. s. om vi sum- mera serien (4) i motsatt ordning. Om vi derför med ß AFD. ∏. DEFINITA INTEGRALER AF etc. 263 utmärka kordan Ro Rn och med x ett helt positivt eller negativt tal, så fås för den öppna integralkonturen / F(=)d: = xS, der x utvisar antalet gånger, som 2 beskrifvit sin slutna kontur, och anger för öfrigt med sitt tecken, i hvilken led konturen blifvit beskrifven. Häraf följer således, att, om en af e representerad punkt P tages hvar som helst på den oberoende variabelns kontur såsom öfre gräns och vi låta R vara dess motsva- riga punkt på integralkonturen samt Ro R sjelfva integra- len från Po till P, så är, då i öfverensstämmelse med (8) RoR sättes = F(z)-F(=0) och u utmärka integralens gene- rela värde: u = F(z)dz = F(z) - F(=0) . (9). Denna integral är kontinuerlig, men representerar för x = 0, 1, —1 etc. ett obegränsadt antal värden såsom R R, R R, RR" etc., hvilka alla bildas genom att till integra- lens värde från Po till P lägga 0, S2, — S och i allmän- het xS2, då 2 = R R, + RR+# R"R. Komplexen s2 kal- las period, och 2 betraktad som en funktion af u är pe- riodisk d. v. s. bibehåller identiskt samma värde, hvilken multipel af S2 man än må lägga till u. Vi kunna alltså uttala följande sats: Om en synektisk funktions definita integral, tagen längs en sluten kontur, är en komplex 2, så är integralen, tagen från en konstant nedre gräns 20 till en variabel öfre gräns 2, en kontinuerlig och mångsvarig funktion af z, och z sjelf är en periodisk funktion af integralen med 32 som period. Om i (9) x antages = 0, så utgör F(z) - F(z0) eller, som är detsamma, integralens värde från Po till P, hvad vi förstå med den mångsvariga integralens principalvärde. 264 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Anm. Af den definita integralens betydelse, sådan hon hittills blifvit utvecklad, ega vi inga allmänna krite- rier, som afgöra, då en integral, tagen längs en sluten kontur, bildar en sluten eller öppen kontur eller m. a. o., då en integral utgör en ensvarig eller mångsvarig funktion af sin öfre gräns. Emellertid gifves det en mängd fall, då vi omedelbart kunna afgöra, om en definit integral är af det ena eller andra slaget. Således är enligt (7) defi- nita integralen af en synektisk funktion f(z), som har en känd primitiva F(2), af samma karakter som denna. Så r =n t. ex. är integralserien X hr. z,—1 en ensvarig funktion af r=1 Zn, enär zå primitiva 122* är en ensvarig funktion af z; dereinot är integralserien 2. -----en mångsvarig funktion r=1 zr—1 1= o af Zn, enär - primitiva lz ** är en mångsvarig funktion af z, o. s. v. Dessutom inses, att för /(=) - "(), der Y(a) är en synektisk funktion af z med vinkelbanan 0, integra- r=n len X hy.f(zr—1), tagen längs en sluten kontur, måste r=1 ha en öppen kontur och således utgöra en mångsvarig funk- tion af sin öfre gräns. Ty hvarje element i integralkon- turen har formen -------. W(r—1), men arg----------sasom Fr — 1 2,—1 utgörande vinkeln h, - 2,—1, d. v. s. vinkeln mellan rigt- ningarna af z konturens radius vector och tangent, har * Vi förutsätta här såsom bevisadt, att de kända integrationslagarne för reela qvantiteter äfven gälla för komplexer. ** Betydelsen af transcendenta funktioner såsom lz, ez etc., då den oberoende variabeln z är en geometrisk komplex, är för vårt när- varande ändamål tillräckligt anvisad af den vanliga teorien för imagi- nära qvantiteter, hvarför vi här lemna å sido all närmare förklaring af dylika funktioner. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 265 vinkelbanan 0, då följaktligen argumentet för integralkon- turens element äfven måste ha vinkelbanan 0, hvarför denna kontur omöjligen kan vara sluten. Så t. ex. är u = / -------- Zo med all säkerhet en mångsvarig funktion af z och följaktli- gen a en periodisk funktion af u. Det faller af sig sjelf, att ett allmänt kriterium för särskiljandet af de fall, då en synektisk funktions definita integral är en ensvarig eller mångsvarig funktion, måste vara af särdeles stor vigt. Vi öfvergå nu till utvecklingen af de satser, hvarpå detta kriterium beror. 10. Vi utgå från de två integralserierna r=n r=n Lh.f(z,1) och X k,.f(G,—1), r=1 r=1 der vi mellan § och z ha följande relation: § = =+1.4()......................(10), der τ är ett af z oberoende litet talvärde och 9(z) repre- senterar en arbiträr synektisk funktion, blott så till vida bestämd, att 9p(=0) = 99(Z) = 0(11) eller, som enligt (10) är detsamma: § = 2 och n = 2n = Z. Om vi således låta z = OP och ( = OP' (fig. 33) re- presentera de resp, konturerna PoPPn och P P'P, så måste ∕(^) = 0,Q och f(©) = 0,Q representera motsvariga konturer såsom QoQQn och Q.QQn, då följaktligen PP - -=-T49 (-), (12), hvaraf inses, att,,om ç(z) = O,S beskrifver den till sin form fullkomligt arbiträra konturen S, börjande och slutande i origo O, [jfr (11)], så är deviationen PP P till sin form be- roende af denna arbiträra kontur och det så, att, då t när- mar sig att sammanfalla med 0, närmar sig deviationen PoPPn att i hvarje punkt sammanfalla med konturen P PPn 266 AFD' IL DEFINITA INTEGRALER AF ETC. och konturen Q.QQn att i hvarje punkt sammanfalla med kon- , r =n turen Q.QQn. Om slutligen X hr-f(=,—1) = R Rn och r=n X k,. f(G,—1) = RoRn representera de mot P, PP och r=1 Po P’P svarande integralkonturerna Ro R Rn och Ro R'Kn och vi kalla föreningslinien Rn Rn mellan de två integral- konturernas slutpunkter för T, så erhålles: r~n r=n r= n T = X k K(G,-1)-X hrf(z,-1) = I [k,f(G,-1)-1e,f(=,-1)] (13). r=1 r=1 r=1 Komplexen 7’ utgör nu livad vi här förstå med den definita integralens / f(z)dz differens för deviationen P0P'Pn af konturen Po PPh, längs hvilken integralen är tagen. Vår uppgift är nu att bestämma värdet på denna differens för lim t = 0, d. v. s. för det fall, att deviationen P.PP i alla sina punkter närmar sig att sammanfalla med konturen PoPPn. Om under suinmationstecknet i (13) lägges till och tages ifrån termen krf(zr-∂ och vi teckna G—1—r-1 ...................(14) N - 9(zp)—9(zr-1) hr samt iakttaga följande från (12) härledda likhet k,-hr = G,-,-(,1 - zr—1 - hrτN . . . (15), så erhålles af (13): ryt r=n r=n - =h,{ M g(zr-1)+Nf(z,-1)]+tX h, M N g(z,-1).. (16). 7 r=l r=1 Men enligt (14) och med stöd af (12) är lim ⅛-0j = ∕¼-ι) och lim N, =0 = 9(z,—1), hvaraf följer, då hr och t samtidigt konvergera mot 0 och AFD. Π. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 267 under iakttagande, att senare summan i (16) måste bli 0 samtidigt med v, då nämnl. /(2) och 9(z) antagas ändliga: t r=n 2 lim — = X hrlf(z,-1)9(z,-1)}'* = / {f(z)q(z)'dz, r=1 %0 d. v. s. enligt (7) och med stöd af (11): lim 2 =/(Z)9(Z)-/(=a)sp(=0) = 0 ■ • (17), hvaraf framgår följande särdeles vigtiga sats: Om deviationen Po P Pn närmar sig att i alla sina punk- ter sammanfalla med konturen Po PPn, så närmar sig den mot deviationen svarande integralkonturens Ro RRn ändpunkt Rn att sammanfalla med den mot konturen svarande integral- konturens Ro R Rn ändpunkt Rn och det med en ojämför- ligt raskare konvergens; eller annorlunda uttryckt: differen- sen T mellan definita integralen H0R'n∙> tagen längs deviatio- nen Po P Pn, och definita integralen Ro Rn, tagen längs kon- turen Pg PPn, dividerad med det mot 0 konvergerande talet %, som är måttet på deviationens närmande till konturen, är i limes 0. Om vi i öfverensstämmelse med den i Variations kal- kylen gifna terminologien benämna lim — för variation, så kan ofvanstående sats kortligen uttryckas sålunda: » Variationen af en synektisk funktions definita integral är 0.» ** * Vi förutsätta här den kända derivations lagen (uv)' = uv‘ + vu’ såsom gällande äfven för komplexa funktioner, hvilket lätteligen låter visa sig. ** Jfr Briot & Bouquet, Fonctions doublement périodiques, p. 21. Det der anförda beviset för denna sats hvilar på tvenne obevisade för- utsättningar: 1° antages Variations kalkylen gälla för komplexa funktio- ner utan att dess betydelse för dessa ens är uppvisad; 20 förutsättes den för reela funktioner af två variabla gällande permutabiliteten af differen- tions ordningen såsom gällande äfven för komplexa funktioner. Det af 268 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Anm. Man lägge nogsamt märke till den i (10) gifna betydelsen af den arbiträra hjelpkonturen çp(z) eller S; ty genom att på behörigt sätt variera dess form är det alltid möjligt att gifva deviationen P0PPn hvilken tänkbar form som helst. Vi komma i det följande att draga en synner- lig nytta af denna hjelpkonturens arbiträra karakter. 11. De punkter, i hvilka en funktion f(z) upphör att vara synektisk, kallas »kritiska». På grund af (17) kunna vi nu omedelbart sluta oss till följande vigtiga sats. Om vi låta kontieren z med sina begge ändpunkter 20 och Z fixa kontinuerligt devieras från läget Po PPn (fig. 34) till läget Po P Pn och om f(z) inom det af de successiva de- viationerna berörda gebitet Po PP P icke har någon kritisk punkt, så devieras integralkonturen / f(z)dz likaledes kon- tinuerligt inom ett motsvarande gebit af planet från läget Ro R Rn till läget Ro R' Rn med sina begge ändpunkter äfven- ledes fixa. Denna sats kunna vi äfven uttala under följande form. Om man har att integrera en synektisk funktion f(z) från en punkt %0 till en punkt Z, så är det likgiltigt, hvilken väg man vid integrationen följer, om nämnligen f(z) mellan de i fråga satta vägarne icke har någon kritisk punkt. Anm. Att konturen z under den successiva deviatio- nen kan undergå hvilken formförvandling som helst, fram- går omedelbart deraf, att formen på hvarje särskild de- viation, såsom endast beroende af den arbiträra formen på hjelpkonturen gp(z), kan vara hvilken som helst (jfr föreg. § anm.). En tydlig föreställning om tillkomsten af en sådan Bertrand, Calcul integral, pag. 295, anförda beviset är begränsadt till det fall, dä arg ç(z) är konstant == 1, hvilket naturligen för frågans generela behandling på ett högst betänkligt sätt inskränker deviationens form. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 269 formförvandling under en kontinuerlig deviation far man, om man tänker sig en tråd, löpande genom två fasta yg- lor, forma sig på alla möjliga sätt, under det han med alla sina punkter i planet glider från ett gifvet läge till ett annat. 12. Emedan enligt (6) modylen af en synektisk funk- tions definita integral alltid är < längden af den väg, längs hvilken man integrerat, × det största modylvärde, som funktionen kan få mellan integrations gränserna, så inses, att, om vi i fig. 34 låta vägen P.PP närma sig att bli 0 eller, som är detsamma, vägen P. P P, att bli slu- ten, så närmar sig ock integralen Ro Rn att bli 0 eller, som är detsamma, integralkonturen R RRn att bli sluten. På grund häraf och med stöd af föreg. § kunna vi således uttala följande särdeles vigtiga sats: En synektisk funktions definita integral, tagen längs en sluten kontur, inom hvilken funktionen icke har någon kritisk punkt, är 0 eller, som är detsamma, bildar sjelf en sluten kontur. 13. Denna sats, jämförd med den i § 9, 1° uttala- de, kan ock uttryckas under följande form: En synektisk funktions definita integral, tagen mellan gifna gränser på en sluten kontur, inom hvilken icke fin- nes någon kritisk punkt, är en synektisk funktion af sin öfre gräns. Anm. Med denna sats ha vi således vunnit en vigtig insigt i det i § 9 anm. antydda kriteriet, i det vi utan förutsatt kännedom om primitivan kunna afgöra, då en definit integral med all säkerhet är en synektisk funktion. Huruvida åter den definita integralen af en funktion, som är synektisk längs en sluten kontur, men icke för alla punkter inom densamma, är med bestämdhet en mångsvarig funktion, låter icke afgöra sig af vår hittills gjorda ut- veckling. Vi blifva framdeles i tillfälle att närmare beröra denna fråga. 270 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 14 Om PP' (fig. 35) är en sluten kontur, som fullt omsluter en annan sluten kontur T7', och om F(z) är synektisk för hvarje punkt på dessa konturer äfvensom för hvarje punkt på den mellan dessa konturer belägna »ring», så är enligt § 12 integralen längs konturen T TT = in- tegralen längs konturen TPPPT, begge integralerna tagna i den af pilteckningen antydda leden. Men den senare in- tegralen är = integralen längs den slutna konturen PPP + integralen längs T P + integralen längs PT, hvilka två senare integraler såsom varande identiskt lika och af mot- satta tecken utgå “. Vi kunna alltså uttala följande sats: Om F(z) är synektisk för hvarje punkt på en ring jämte dess begränsande konturer, så är integralen längs den ena konturen = integralen längs den andra. 15. Såsom en omedelbar följd af föreg. § framgår, att, om f(f) är synektisk för hvarje punkt på och inom en sluten kontur P (fig. 36) och om t är en punkt inom P, omgifven af en oändligt liten cirkel, som vi utmärka med (i), så är, då § och z utmärka punkter på resp. (?) och P: © P /f(9dt _ /f(z)dz J g-t • z—t ∙∙∙ ‘ Integralen till venster i (18) likasom hvarje integral, bvilken tages längs en oändligt liten cirkel, som omger en kritisk punkt, kalla vi punktintegral * De satser, som här förutsättas, nämnligen F(f)dz= / l()da + / F(e)dz, Zn Za z der .21 ligger på konturen mellan 20 och Z, samt F(e)d: = — / l()dz zo 2 , utgöra omedelbara följder af den i § 6 gifna definition på definit integral. se Vid en definit integral, tagen längs en hel sluten kontur, sättes konturens namn på den öfre integrations gränsens plats. *** En sådan punktintegral, dividerad med 2πi, utgör hvad Cauchy kallar résidu intégral, representerad af ett tecken, hvilket vi af typo- grafiska skäl icke kunna här utsätta. AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 271 16. Onι till venster i (18) ⅛-i sattes = Qu, då vi låta ρω med t som medelpunkt beskrifver den oändligt lilla cirkeln (), så fås, enär dy = iρudω, för lim o - 0: f()dt • C—t / 2r J if (t + Qw)da = 2rv if (t) , 0 då alltså med stöd af (18): 1 /(0 = 7 270 0 „( AP f(©)dç__ 1 //(z)dz —t 2xid z — t . (19). hvilken sats utsäges : om f(z) är synektisk för hvarje punkt på och inom en sluten kontur P och om t är en punkt inom konturen, så är funktionens värde f(f) för denna punkt 1 2ni punktintegralen (t) / f()dT • S—t eller perioden f(2)dz z — t 15. Genom att dérivera* (19) r gånger med afse- ende på t och under antagande, att t icke ingår i f(z) eller är af 2 beroende, erhålles: fr) (t) = 0 AP 1.2..9 ∕ f(©)d§ 1.2..7 ∕ f(z)dz 2ni • (c-ty+1 2ni J (z—t+1 ..(20), hvilken likhet utsäges: om f(z) är synektisk för hvarje punkt pa och 1230m en sluten kontur P och om t ar en punkt inom konturen, så är rte derivatans värde fr) (t) för denna punkt - 1.2...r 2 ni P / F(z)dz J (z—t+1 * punktintegralen /f(d; • (S—t+1 eller perioden * Lagen för denna derivation låter uppvisa sig på formelt enahanda sätt för komplexa som reela funktioner. 272 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 17. Med stöd af (19) och (20) kunna vi nu beräkna hvarje integral af formen / f(z)dz _ / f(2)dz • (z-tr+1 • (z-t+1 ' der ιf(z) representerar en synektisk funktion för alla punk- ter på och inom P samt t en gifven punkt inom P. Så t. ex. finna vi enligt (19) omedelbart följande integraler: P P e‘dz. Sin zdz /-= 2ni.e; / ≤-----------------= 2xi.Sint*; v 2—t t∕ 2—t P l(a + 2)da -------= 2ila, o. s. v. Vidare finna vi af (20) följande integraler: P P Ce’d.z 27vi (Sindz 2ni . rπ J ar+1 1.2...73 • ar+1 1.2..7 2 ‘ P l(a + 2)dz (— l)r~1.2i / —-1 = —2—,—, o. s∙ v∙ • 2'T. r.ar Anm. Fömedelst formlerna (19) och (20) äro vi nu i tillfälle att beräkna punktintegralerna eller perioderna för en utomordentligt stor klass af funktioner och derigenom afgöra, då dessa gifva slutna eller öppna integralkonturer, d. v. s. då de äro att behandla enligt formeln (8) eller (9) [jfr § 9 anm.]. * Man lägge märke till, att för t = 0 är perioden 0 och således integralen / Sindz en synektisk funktion af s (jfr § 9). U 2 zo. ** Man iakttage här, att vinkelbanan för a + 2 måste vara 0, d. v. s. punkten a ligga utom . Såsom rätt anmärkningsvärdt framgår, att (C + 2) dz är synektisk för 0 = 1, men mångsvarig för hvarje an- ¾ . nat värde på a. AFD. ii. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 273 18. Af (20) framgår omedelbart, att derivatan f(r)(t), såsom utgörande en multipel af perioden / -, . o J (s-ty+1 ' dividerad med 2vi, måste vara ändlig och ensvarig (jfr § 9) samt kontinuerlig (jfr § 4), då vi alltså kunna uttala följande särdeles vigtiga sats: Om f(a) är en synektisk funktion för hvarje punkt på och inom en sluten kontur P och om t är en punkt inom konturen, så är hvarje dess derivata, af hvilken ordning hon än må vara, en synektisk funktion af t. 19. Om f(f) är synektisk för alla punkter på och inom en sluten kontur P, och om tillika a och a+h ut- märka punkter inom denna kontur, så gäller enligt § 8 lik- heten f(a + 1)-f(a) = /f(a+h-a)da, 0 hvaraf erhålles efter utförd delvis integration fa+1)=f(0)+ 1-/00 + 1.2/00+.* " fn(a) +/ x"fn+1(a+h—x)dx . . . (21). n ' 0 Denna likhet utgör under angifna vilkor en fullkomlig identitet, enär vi enligt föreg. § äro försäkrade om de suc- cessiva derivatornas synekticitet. Vi hafva således funnit de allmänna vilkor, under hvilka en komplex funktion lå- ter utveckla sig enligt den Taylorska serien, utan att nå- gon af hennes termer upphör att vara ensvarig eller änd- lig. Likväl är seriens användbarhet begränsad deraf, hu- ruvida modylen för »resttermen» kan vid något steg af utvecklingen göras mindre än ett talvärde, som på åsyftad noggrannhet i vår räkning icke har något inflytande. Om derför resttermen benämnes R och vi sätta a = Qw samt 18 274 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER ÄF ETC. integrera rätlinigt från 0 till h, så erhålles, då i öfver- ensstämmelse med (6) M utmärker maximi modylen af f"+1(a + h -x) från a = 0 till a = h: _ 7/ /h 7n+1 R < . / o" do d. v. s. s----------.M ...(22), n J 2+1 hvarigenom vi således erhållit en »öfre gräns» för rest- termens modyl, hvilken må tjena som proba på seriens an- vändbarhet. Anm. 1. I fråga om att utveckla en reel funktion enligt Taylorska serien användes naturligtvis i stället för (22) de kända medelvärdena för resttermen (jfr Arg. 1869, sid. 75). Anm. att öka n värde som 7n+1 2. Ehuru faktorn ,---------= i (22) kan genom n+1 tillräckligt göras mindre än hvilket litet tal- helst, så följer deraf ingalunda, att produkten dervid låter bringa sig under hvilken liten tal- helst. Tv maximi modvlen 14, ehuru alltid gräns som ändlig, kan dock vid nå tillväxt möjligen ökas på ett så- dant sätt [jfr (20)], att den i fråga varande produkten får ett ganska högt värde. Vi skola i nästa § finna de när- mare vilkoren för den Taylorska seriens användbarhet. 20. Om vi i (21) införa de i (19) och (20) gifna uttrycken på ∕(α), f(a) etc., så erhålles P P f@+4) - 1 (f()dz + I (f)dz 1 " 2ni. z - a (z—a)2 P P , h2 (f()ds l" (f()dz * 2xiJ (z-a)3 *2niJ ^-d)n + 1 der resttermen R har följande form: . A P R = n+1 ( (f()dz______________7 (24) 2xiJ ' J (z-a+a-1)+2) ). 0 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 275 Vi antaga z = OP (fig. 37) beskrifva en cirkel P, hvars medelpunkt A fixeras af OA = a och hvars radie AP sät- tes = Qo; vi antaga vidare denne cirkel innesluta den af a+1 = OA + AH fixerade punkten H, då således alltid 0 >h. Vi få då med begagnande af likheterna 2 — a = 0, 0 = konst., d^ = iρω.dω följande uttryck på (23): P f(a + h) = - f d+0,) d( + P l 1 (f(a+ew)dc Q 271/ la P P - 1 [f(a+Qo)dc + 1 (f a+e)do+R Q/ 27 J (1a)2 ⅛V 27 J (lc)n Om m utmärker maximi modylen af f(a+(0) från ω = 0 till ω = 2n, så fås enligt (6) för 9 = 0, 1, 2 etc.: P mod (X+eu)de c m.2n, • (lœ)r hvaraf omedelbart framgår: modfa+h) h, att se- rien (23), utsträckt i oändlighet, är konvergent. Det återstår nu att visa, att lim R[n= oo] = 0. Om vi för detta ändamål i (24) sätta x—h = la samt låta 1 c / f(a + o )lc.do U utmarka maximi modylen af / • 50 — , J (l\ 2"+2 (lo + — ( under det a går längs räta linien AH från 0 till h eller, som är detsamma, under det 1 går från h till 0, så erhål- les i enlighet med (6): U 0 276 AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. Men enär 0 > l, så har max. modylen u alltid ett änd- ligt värde, då således lim R[n=0] = 0. Vi kunna alltså uttala följande under namn af »Cauchy- anska teoremet » bekanta sats. Om f(a) är synektisk för alla punkter på och inom en cirkel P och om a utmärker cirkelns medelpunkt och a+h en punkt inom cirkeln, så låter f(a + K) utveckla sig i en konvergent serie, som till formen är den i (21) gifna Taylor- ska serien. Cirkeln P utgör hvad vi förstå med Taylorska seriens konvergenscirkel. Anm. Man lägge nogsamt märke till, att resttermen, endast för så vidt som serien tänkes utsträckt i oändlig- het, får försummas såsom varande absolut 0. 21. Om i (19) t sättes = a+h, då vi genom divi- sion få 1 1 ( h 72 hn 7n+1 ) z-a-h z-a( 2-C (=-a)2 (a-C)" (3-a+1 4 ) e ' ∖ z-a) så framgår omedelbart följande likhet f(e)dz P f(z)dz der resttermen R har följande form P Serien (25), som, oberäknadt resttermen, är af iden- tiskt samma form som serien (23), är konvergent under sam- ma vilkor som denna. Genom att ersätta integralerna AFD. II. DEFINITA INTEGRALER AF ETC. 277 i (25) med motsvariga uttryck ur (19) och (20) fås den Taylorska serien under följande form: 7 7 2 7n f(a+1) = f(a) + — f(a) + "f"(a)+... f"(a) + R... (27), • /1.2 n der resttermen R nied begagnande af den i föreg. § gifna bestämning på (0 äfven kan uttryckas sålunda: - (1\”+1 1 f f(a + 0o)d œ 931 (1c)n+1.1------| \ Qu/ Om u utmärker max. modylen af Ka±eu), under ]--------------------------------------L Qw det co går från 0 till 2r, så fås enligt (6) hvilket uttryck visar, enar u’ på grund af de ponerade vilkoren alltid är ändlig, att lim R(n= a] = 0. Anm. Den här följda metoden att härleda konver- gensvilkoren för Taylorska serien är enklare än den i § 19 och 20 gifna; men den Taylorska serien under formen (21) har det företrädet, att resttermen för reela funktioner låter förvandla sig i de kända medelvärdena (jfr § 19 anm. 1), hvilket icke är händelsen med de i (26) och (28) gifna ut- trycken på resttermen. (Forts.). 278 AFD. IV. STUDIEB ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. AFDELNING IV. Studier öfver sista jernvägslånet. Med anledning af sist förflutne riksdags beslut uppdrog Kongl. Maj:t de fullmäktige i riksgäldskontoret att för jern vägsbyggnadernas skull å statens vägnar upptaga ett lan af högst 40 000 000 riksdaler samt lö- pande med högst 5 procents ränta, som halfårsvis förfaller. Detta lan skulle återbetalas genom ärlig amortering inom loppet af 40 år, ägande fullmäktige att sjelfve bestämma öfriga vilkor. På grund häraf «upplade « riksgäldskontorets fullmäktige den 30 Sept. 1870 ett statslån å 40 000 000 rdr genom att låta allmänheten köpa statsobligationer, som betalas med 95,5 procent af deras nominela belopp (eller, som det heter, köparen åtnjöt 44 procents kapitalrabatt). Innehafvaren af en sådan obligation ägde sedan att hvarje halfår (den 30 Mars och den 30 Sept.) uppbära 24 procents ränta af det nominela beloppet mot aflemnande af en kupon (= ett obligationen åtföljande tryckt ränteqvitto). Tillika bestämdes att riksgäldskontoret å denna sin skuld ej skulle göra någon afbetalning förrän år 1876, men att från och med detta år annuiteten d. v. s. den sammanlagda årliga räntan och amorteringen (afbetalningen) skulle utgöra 2 450 000 rdr. Dessa uppgifna data föranleda ett par problem. Innan vi gå att lösa dem, lemna vi här ett aftryck af en till ofvannämnda lån hörande statsobligation a 1000 rdr, till tjenst för dem, som ej varit i tillfälle att se en obligation. Obligationen utgör ett ark å 4 sidor. Ini den- samma ligger ett halfark, innehållande kuponer d. v. s. tryckta ränte- qvittenser, daterade den 30 mars och den 30 sept. 1870, 1871, 1872 -------1910. Vid köpet af en obligation får köparen tillika dessa ku- poner, men hvarje gång han lyfter en halfårsränta på sin obligation, måste han coupera (klippa af) ett sådant qvitto och lemna det i utbyte mot den erhållna räntan. Första sidan af obligationen. "Svensk Stats-obligation å Riksdaler 1000 Riksmynt utgörande andel af det utaf 1870 års Riksdag beslutade och under Kongl. Maj:ts garanti stälda Amorteringslån af Riksdaler 40,000,000 Riksmynt. Litt. B. N:o 0000 Rdr 1000 Rmt. Rdr 250 Silfver. AFD. IV. STUDIER ÖFVER sista JERNVÄGSLÅNET. 279 Innehafvaren af denna Obligation har uti ofvan nämnda Amorteringslån deltagit för en summa af Riksdaler ETT TUSEN Riksmynt, motsvarande Riksdaler TVÅHUNDRAFEMTIO i Silfver, och eger att derå uppbära Fem (5) procents årlig ränta, hvilken half- årsvis, den 30 Mars och den 30 September, till betalning förfaller och af Riksgäldskontoret erlägges emot återställande af den bland bifogade räntekuponer, som för halfåret gäller. Det förskrifna kapitalet godtgöres i enlighet med härvid fogad, för hela lånet upprättad Amorteringsplan, utvisande det belopp, som från den 30 September 1875 skall årligen af Riksgäldskontoret amorteras, så att samma lån senast Fyratio år härefter blifver till fullo betaldt. Den årliga amorteringen sker genom uppköp och annulering af obligationer, då dessa kunna erhållas till ett pris icke öfverstigande det i dem förskrifna kapital, men i annat fall genom utlottning, som inför Fullmäktige i Riksgäldskontoret, i närvaro af Notarius Publicus, verk- ställes första helgfria dag i Juli månad. Dervid utlottade obligationer förfalla till betalning den 30 nästföljande September. Riksgäldskontoret förbehåller sig rätt att efter den 30 September 1885 uppsäga, antingen alla för detta statslån utgifna, då utelöpande obligationer till betalning Sex månader från uppsägningsdagen, eller ock endast en del af desamma; och skall i senare händelsen genom utlott- ning bestämmas hvilka obligationer komma att Sex månader från utlott- ningsdagen till betalning förfalla. Kungörelse om de efter uppköp under året annulerade obligationer samt om verkstäld utlottning eller uppsägning införes ofördröjligen af Riksgäldskontoret i Sveriges officiella Tidning och i två andra dagliga Tidningar. Obligation, som företes till inlösen, bör vara försedd med alla der- till hörande, icke förfallna räntekuponer, vid påföljd att eljest de fe- lande kuponernas belopp innehålles. Ränta å obligation, som är till inlösen förfallen, godtgöres ej längre än till och med förfallodagen. Har obligation eller räntekupon icke inom Tio år från dess förfallodag blifvit till inlösen företedd, upphör all rätt att derför erhålla betalning. Stockholm den 30 September 1870. På Riksgäldskontorets vägnar: Henning Hamilton. L. Kinnmanson. C. G. Hierta. A. H. Fock. Sam. Warburg. A. A. Berger. Hj. Holmgren. C. G. Stuart.” « Räntan å denna obligation utgör for en dag 13,89 öre och för en månad 4 riksdaler 16% öre.“ 280 AFD. IV. STUDIER ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. Andra sidan. "Kongl. Maj:ts nådiga Kungörelse, an- gående uppläggande af ett lån å högst Fyra- tio Millioner Riksdaler mot fonderade Stats- obligationer i Svenskt mynt; Gifven Stockholms Slott den 20 Maj 1870. Vi CARL, med Guds nåde, Sveriges, Norges, Göthes oeh Vendes Konung, göre veterligt: att, sedan senast församlade Riksdag, i under- dånig skrifvelse den 13 innevarande månad, anmält, det Riksdagen be- slutat uppläggandet af ett större inhemskt amorteringslån, och tillika anhållit, det Vi måtte å samma lån meddela Vår nådiga garanti; så hafve Vi, som i fråga om nyss nämnda garanti vilje framdeles, uppå framställning af Fullmäktige i Riksgäldskontoret, meddela särskildt nådigt beslut, funnit godt att, på sätt Riksdagen tillika begärt, i nåder fastställa följande, i afseende på ifrågavarande upplåning, af Riksdagen beslutade stadganden, nämligen: a) åt Fullmäktige i Riksgäldskontoret uppdrages att, till bestridande af de vid innevarande års Riksmöte beviljade anslag till Statens jern- vägsbyggnader äfvensom för att bereda tillgång dels för blifvande anslag till jernvägsbyggnader, dels ock för inlösande af 1867 och 1869 års för jernvägsbyggnaderna upptagna lån, mot fonderade Statsobligationer i Svenskt mynt å ett sammanräknadt nominelt belopp af högst Fyratio Millioner Riksdaler samt löpande med högst 5 procent i ränta, som half- arsvis förfäller, upplägga ett lån, att återbetalas genom årlig amorte- ring inom loppet af 40 år; egande Fullmäktige att icke allenast bestäm- ma obligationernas valörer och försäljningspris, utan äfven i öfrigt vid upplåningen tillvägagå på det sätt, de finna lämpligast och med det all- männas fördel mest öfverensstämmande; dock må under åren 1870 och 1871 mot förenämnda obligationer icke upplånas större belopp än Atta Millioner Femhundratusen Riksdaler; b) i afseende på föryttrandet af återstående obligationsbeloppet ega kommande Riksdagar att för hvarje gång bestämma det belopp, som för året må i rörelsen utsläppas ; c) Penningar, som genom ifrågavarande upplåning inflyta, må icke användas för andra än de i mom, a) omförmälda ändamål; d) Till ränteliqvider och kapitalskuldens amortering anvisas ett år- ligt anslag, motsvarande det belopp, som hvarje år erfordras för sagda liqviders och amorterings verkställande; börande detta anslag, till dess hela skulden blifvit i stadgad ordning betald, årligen af Riksgäldskon- torets medel afsättas; samti e) De uti nästföregående moment omförmälda ränte- och amorte- ringsanslag skola ingå till en särskildt redovisad liqvidations- och amor- tissementsfond, hvars behållning skall för det med dessa medel afsedda AFD. IV. STUDIER ÖFVEE SISTA JERNVÄGSLÅNET. 281 ändamål oförryckt tillhandahållas och användas, så att ränteliqviderna vid derför bestämda terminer varda ovilkorligen fullgjorda och skuldens betalning i föreskrifven ordning verkstäld; och skola de till liqvidations- och amortissementsfonden influtna medel, så vidt ske kan och denna fond åliggande liqvider medgifva, städse på säkert och ändamålsenligt sätt göras fruktbärande. Det alle som vederbör hafve sig hörsamligen att efterrätta. Till yttermera visso hafve Vi detta med egen hand underskrifvit och med Vårt Kongl. sigill bekräfta låtit. Stockholms Slott den 20 Maj 1870. CARL. (L. S.) Pehr Ehrenheim. Transsumt af Kongl. Maj:ts nådiga bref till Fullmäktige i Riksgäldskontoret, angående meddelad garanti å det af 1870 års Riksdag beslutade amorteringslån samt inlösen i Landt- ränterierna och mottagning i uppbörden af Räntekuponer, tillhörande Obligationerna för detta lån. CARL, med Guds nåde, Sveriges, Norges, Göthes och Vendes Ko- nung. Var ynnest — — Sedan Vi den 20 nästlidna Maj, i sam- manhang med utfärdande af nadig Kungörelse angående det lån å högst 40 Millioner Rdr, som, i följd af senast församlade Riksdags, uti un- derdånig skrifvelse den 13 i nämnda månad anmälda, af Oss faststälda beslut, skall uppläggas emot fonderade statsobligationer i Svenskt mynt, förklarat Oss vilja, uppå Eder framställning, meddela särskildt beslut i fraga om den af Riksdagen begärda nådiga garanti å samma lån; så — Och hafve Vi dervid funnit godt att å det af Riksdagen beslutade lån, som, under iakttagande af de hos Oss nu anmälda bestämmelser i afse- ende på betalningsvilkoren för lånet och innehållet af de dertill hörande obligationer, kommer att af Eder uppläggas, meddela Vår nådiga ga- ranti; hvarjemte Vi i nader bifallit, att de till berörda obligationer hö- rande halfärsräntekuponer, när de till inlösen förfallit, må, en hvar med det deruti förskrifna belopp, icke allenast uti Landtränterierna, med un- dantag af Stockholms läns, inlösas i den mån Ränteriernas kassabehåll- ningar sådant medgifva samt derefter vid skeende penningeremisser till Stats- eller Riksgäldskontoret insändas, utan ock vid uppbörden af de till Ränterierna ingående stats- och riksgäldsmedlen emottagas i afräk- ning å hvad de skattskyldige skola erlägga och sedermera i behörig ord- ning levereras, äfvensom att de räntekuponer, hvilka förfalla den 30 282 AFD. iv. STUDIER ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. Mars det år, då uppbörden sker, jemväl må dervid emottagas, fastän de vid uppbördstiden ännu icke förfallit; — — — — — — — ) Stockholms Slott den 2 Augusti 1870. CARL. C. Fr. Wærn." Tredje sidan. Amorteringsplan för det enligt 1870 års Riksdags beslut upplagda Statslån å 40,000,000 Rdr Rint. År. Ränta. Amor- tering. Kapital- återstod d. 30 Sept.. År. Ränta. Amor- tering. Kapital- återstod d. 30 Sept. Transport 12 659 500 1876 2 000 000 450 000 39 550 000 1894 1 367 025 1 083 000 26 257 500 1877 1 977 500 472 500 39 077 500 1895 1 312 875 1137 100 25 120 400 1878 1 953 875 496 100 38 581 400 1896 1 256 020 1 194 000 23 926 400 1879 1 929 070 520 900 38 060 500 1897 1196 320 1 253 700 22 672 700 1880 1 903 025 547 000 37 513 500 1898 1133 635 1 316 400 21 356 300 1881 1 875 675 574 300 36 939 200 1899 1 067 815 1 382 200 19 974 100 1882 1 846 960 603 000 36 336 200 1900 998 705 1 451 300 18 522 800 1883 1 816 810 633 200 35 703 000 1901 926 140 1 523 900 16 998 900 1884 1 785 150 664 900 35 038 100 1902 849 945 1 600 100 15 398 800 1885 1 751 905 698 100 34 340 000 1903 769 940 1 680 000 13 718 800 1886 1 717 000 733 000 33 607 000 1904 685 940 1 764 000 11 954 800 1887 1 680 350 ' 769 700 32 837 300 1905 597 740 1 852 300 10 102 500 1888 1 641 865 808 100 32 029 200 1906 505 125 1 944 900 8 157 600 1889 1 601 460 848 500 31180 700 1907 407 880 2 042 100 6 115 500 1890 1 559 035 891 000 30 289 700 1908 305 775 2 144 200 3 971 300 1891 1 514 485 935 500 29 354 200 1909 198 565 2 251 400 1 719 900 1892 1 467 710 982 3 00 28 371 900 1910 85 995 1 719 900 1893 1 418 595 1 031 400 27 340 500 Transport 12 659 500 Summa 40 000 000 Fjerde sidan (innehållande utanskriften på obligationen). ”Svensk Stats-obligation å Riksdaler 1OOO Riksmynt med Fem procents ränta. Litt. B. N:o 0000.” AFD. IV. STUDIER ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. 283 Vi öfvergå härefter till våra problem. Problem 1. Under förutsättning af 41 procents kapitalrabatt, hvad skall man betala för en statsobligation å nominell belopp af 1000 rdr den 30 Dec. 1871? Svar: (955 + 7,.50) rdr = 967,5 rdr. Man ihågkomme att en ränteliqvid egt rum den 30 Sept. 1871. Problem 2. Under antagande af en annuitet af 2 450 000 rdr under åren 1876—1909, huru stor är den sista annuiteten (d. v. s. afbetalningen å statslånet år 1910)? Med iakttagande af att ingen amortering äger rum åren 1871—5 och att således statsskulden 40 000 000 under dessa 5 år qvarstår oför- ändrad, finnes svaret ur eqvationen 49a 49a 49a C(1,05)85 - 800(1,05)34+800(1,05)43 +800(1,05) +2, hvarest a = 40 000 000 , x = den sökta annuiteten under år 1910, 49 2 450 000 800 - 40 000 000 : Denna eqvation gifver i det närmaste x = 1805 870. Enligt riksgäldskontorets fullmäktiges amorteringsplan åter är = 1805 895 (= 85 995 + 1719 900). Skilnaden 25 rdr beror derpå, att i praktiken är man tyungen att låta annuiteterna något variera än öfver än under medelannuiteten, eme- dan alla amorteringar måste ske i jemna hundratal, alldenstund de ske genom att återköpa obligationer, hvilka äro stälda på jemna hundratal. Den variation i annuiteten, som på grund häraf varit af nöden, har riksgäldskontorets fullmäktige serdeles lyckligt utfört, i det att de dels sökt göra den så liten som möjligt, dels ock uppfylt villkoret, att me- delannuiteten skall vara 2 450 000 rdr. Enligt amorteringsplanen är nämnligen 45 105 910 — 1805 895 ,,. medelannuiteten = -----------------34-----------= 2 450 0003 Anm. 45105 910 = summan af samtlige räntor och amorteringar under åren 1876—1910, 1 805 910 = räntan och amorteringen under år 1910. Problem 3. Huru stor procent betalar i sjelfva verket staten för detta lån å 40 000 000 rdr, om ofvanstående amorteringsplan med en medelannuitet af 2 450 000 rdr iakttages, d. v. s. att den i amor- 284 AFD. IV. STUDIER ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. teringsplanen uppgifna årsräntan betalas till hälften den 30 Mars och till hälften den 30 Sept.; amorteringen deremot sker endast den 30 Sept. Tillika antages att 44 procents kapitalrabatt lemnas åt köparne. Lösning. Kalla kapitalet 40 000 000 för a och 260 för k samt 2 450 000 =na == annuiteten. Då ske utbetalningarne på följande sätt. AFD. IV. STUDIER ÖFVER SISTA JERNVÄGSLÅNET. 285 Siffertalen för året 1910 fattas genom att studera fullmäktiges amor- teringsplan för 1910. I st. f. 1719 900 +82496 kan man ock skrifva 1008 0og.a. Förestående alla utbetalningar af riksgäldskontoret med ränta på ränta för hvarje halfår ända till 1910 den 30 Sept, böra vara lika med hvad riksgäldskontoret uppburit, d. v. s. med 0,955α förräntadt med halfårlig ränta på ränta till samma tid allt efter den för oss ännu obe- kanta procent, efter hvilken penningarne i detta lån verkligen förräntas. På grund häraf får man följande eqvation, der med r menas värdet af 1 rdr, sedan den blifvit förräntad 2 år efter den i fråga varande ränte- foten : 0,955?80 = Tr79 + kr78 + ... + 7769 + (n—k),68 m-(n-27)(1 + 24)n + (n-21)(1 + 2%) + 2 + 2 . re m-(n-24) (1 + 2/)2 n + (n-27)(1 + 27)2 + 2 198 + 2 294 m + (n-2k)(1 + 2%)33 0 + g re n-(n-27)(1 + 27)34 705159 + 2 r* 16 000 000 2111 n 768—1 (—2%) [/2—(1 + 2k)r] = k.r69 + 1 + 9 r—12 r—1 2 ,68—(1 + 21)34 705159 x 72—(1+ 27) + 16 000 000' Hyfsas denna eqvation i afseende på r och införas sedan värdena på k och n, får man följande eqvation: 1528,-83 - 1568/82-1604,4,81 + 1646,4,30-18/11 + 18,45,70 + 25,76423273 —26,4083706/2 + 72,2358336-74,045695 = 0. Löst genom försöksmetoden (underhjelpt af t. ex. Newtons approxi- mationsmetod) med användande af 10-siffriga decimaler gifver denna eqvation r = 1,0262. Staten betalar således 2,62 procent hvarje halfår på detta sitt lån eller 5,31 för helt år. Man har nämnl. 2,62 + 2,62.1,0262 = 5,31. Problem sådana som detta hafva de af riksdagen tillsatte revisorerne öfver statsförvaltningen att lösa nästan hvarje år. F. W. HULTMAN. 286 AFD. IV. SATSER. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen h. t. 1870. För latinlinien. 1. Bevisa, att bissectricerna till de inre vinklarne i en 4-hörning bilda en 4-hörning, som kan inskrifυas i en cirkel. 2. Korstruera en triangel, då basen och den inskrifna cirkelns radie äro gifna. 3. En rät linie är gifven. Att dela den i 2 delar, att den ena delen kan vara diagonal, den andra délen sida i samma qvadrat. 4. Att förvandla en trapezoid till liksidig triangel. 5. Att inskrifva en gifven qvadrat i en annan gifven qvadrat. 6. Att i en liksidig triangel inskrifva en rektangel, hvilkens ena sida är dubbelt så stor som den andra. 7. Att på en gifven rät linie upprita en rätvinklig triangel, så att per- pendikeln, som fälles från den räta vinkelns spets mot hypotenusan, af henne skär ett stycke, lika stort med en af kateterna. 8. En cirkel och en rät linie äro gifna. Man vill i cirkeln inskrifva en rektangel, hvars perimeter är lika med den gifna linien. 9. Om 100 skålp. hafsvatten innehålla 2,7 skålp. koksalt, frågas: hur många skålp. färskt vatten skall man hälla till 150 skålp. hafsvatten, för att 100 skålp. af blandningen må innehålla 0,9 skålp. koksalt? 10. En person tillfrågad om sin ålder svarade: ”om man till det tal, som uttrycker min ålder adderar 9 samt från samma tal subtraherar 2, fin- ner man tvenne tal, hvilkas qvadratrötters differens är enheten. Huru gam- mal var han? 11. Dela talet 6 i två delar, så att summan af deras kuber blir ett minimum. 12. En triangels sido?' förhålla sig sinsemellan som talen 2, 3, 4. Tri- angelns yta är 24 qvadratalnar. Huru stora äro dess sidor. 13. En månglerska som köpt ett parti äpplen efter 4 öre för 3 stycken, säljer detsamma efter 7 öre for 4 stycken. Hela hennes vinst blir derigenom 75 öre. Huru många äpplen hade hon köpt? 14. En rät linie skär 2 parallela linier under half rät vinkel. Stycket af densamma mellan de parallela linierna är 4 alnar. Huru stor är radien till den cirkel, som tangerar både den skärande linien och de parallela? AFD. IV, SATSER. 287 För reallinien. 15. Att skära en rät linie i fyra delar så att den första delen har till den andra en duplicerad proportion af den, som den andra har till den tredje; och den andra delen har till den tredje en duplicerad proportion af den, som den tredj'e har till den fjerde. 16. Bevisa att 2:ne 4-hörningar äro lika stora om deras diagonaler äro lika stora och bilda lika vinklar. 17. Att från ena vinkeln af ett paralleltrapezium draga en rät linie, som delar trapeziet midt i tu. 18. Att i en 4-hörning inskrifva en romb, hvars sidor äro parallela med 4-hörningens diagonaler. 19. Att konstruera en rätvinklig triangel, då en spetsig vinkel och öf- verskottet, hvarmed summan af kateterna öfverskjuter hypotenusan, äro gifna. 20. Att från en punkt utanför en cirkel draga en rät linie, som af cirkelns perferi delas så, att rektangeln af hela linien och den ena delen blir lika med qvadraten på den andra delen. 21. Att genom en punkt utom en sfer lägga ett plan, hvars afskärning af sferen får en gfven radie. 22. Två resande äro på 33 mils afstånd från hvarandra och fara hvarandra till mötes. Den ene tillryggalägger på första timmen 1 mil och under hvarj'e följande timme 20 mil mera än under den närmast föregående. Den sednare färdas hvarje timme 13 mil. När och hvar mötas de? 23. En person köper the för 120 rdr. Hade han för denna summa fått 6 skålp. mera, än han fick, så hade skålp. kostat honom 1 rdr mindre än det nu kostade. Hur många skålp. köpte han? 24. Under tiden från och med den 1 Juli till och med den 10 i samma månad steg termometern hvarje dag 4 grad. Aritmetiska mediet af alla dagarnes termometerstånd utgjorde 19 grader. Hvilket gradtal visade termometern den 1 Juli? 25. Ett samhälle har lånt 1000000 rdr. Hur stor annuitet bör det betala för att på 29 år amortera sin skuld? Räntan beräknas efter 5 procent. 26. Tre sferer hafva radierna 5, 6 och 7 fot. Hur stor är radien till den sfer, hvilkens volum är lika med volumen af dessa 3 sferer? 27. Sök de tal som satisfera x—y = 211, 5_ 5 N/x — N/y == 1. 28. Huru stor är ytan af en triangel, i hvilken tvenne sidor, som omfatta en vinkel af 137° 35' äro 10 och 100 fot? 288 AFD. XV. SATSER. 29. Ett kärl af 1 kubikfots rymd innehåller luft, hvars elektricitet*, liksom den yttre atmosferens, mätes af en 25,6 tum hög qvicksilfverpelare. Kärlet är tillslutet medelst en ventil, hvars vigt är 25 skålp. och genom- skärningsarea 1 qvadrattum. Bestäm, huru många skålp. luft måste i kär- let införas, för att ventilen må nätt och jemnt lyftas. Luftens temperatur är 30°, dess utvidgningskoefficient 213; qvicksilfrets egentliga vigt 13,6; vig- ten af 1 kubfot vatten 61,3 skålp. och af 1 kub.fot luft under normala för- hållandet 8 ort. 30. En rätvinklig parallelipiped af is, hvars längd är 2 alnar och bredd 3 fot, flyter i vatten med sin öfre yta horizontel, som dervid befinner sig 2 tum ofvanom vattenbrynet. Hur många kannor vatten af 40 erfordras för att smälta detta isstycke? Isens egentliga vigt är 20, dess smältnings- värme 794. 31. Från den öfre af två i samma lodlinie, på 100 fots afstånd från hvarandra, belägna punkter nedsläppes en kropp på samma gång som en an- nan med 30 fots hastighet slungas lodrätt i höjden från den andra punkten. Hvar sammanträffa de två kropparne, förutsatt att intet luftmotstånd funnes? 32. I sin ena ända begränsas en smal glasstång af en utåt bugtig sfe- rislc yta och träffas derstädes af parallelt med den optiska axeln infallande ljusstrålar, hvilka sedermera sammanbrytas till en enda på den ifrågavarande axeln belägen punkt. . Sök afståndet mellan denna punkt och begränsnings- ytan, hvars radie antages vara 3% tum. Glasets brytningsindex är 1,6. • 33. En jemntjock och homogen bordskifva af 4 skålp:s vigt har form af en qvadrat och uppbäres i en punkt af sin yta. Från hvart och ett aj de fyra bordshörnen hänga i ordning vigterna 1, 3, 3, 7 skålp. Angif, huru stora afstånden från understödspunkten till sidorna (1, 7) och (5, 7) böra vid horizontalt jemnvigtsläge vara, då qvadratens sida är 2 fot. 34. Man har tolf alldeles lika galvaniska par. Man sammansätter först hafva antalet till en stapel af sex par och förenar medelst två metall- trådar polerna med en af syradt vatten fylld voltameter, i hvilken platina- blecken stå en half tum från hvarandra. Strömmen utvecklar då 1 kubik- tum knallgas i minuten. Derefter gör man af alla paren en stapel af tolf par, fördubblar poltrådarnes längd, ökar afståndet mellan voltameterns pla- tinableck till en tum, och förenar så stapeln med voltametern. Huru mycken knallgas utvecklas nu på tre minuter? 33. Få en ort, der jordmagnetismens hela styrka uppgår till 4,92 och inklinationsvinkeln är 71°, behöfver en gifven, kring vertikallinien rörlig magnetnål 4,6 sekund för hvarje svängning. Angif nålens svängningstid for den ort, der jordmagnntismens horizontela komposant fir 1,8. * Skriffel for elasticitet. G (2) Q 4 A +> 3. X 20/) -——> O maettsitiuns AFD. ιv. nya BÖCKER. 289 Nya böcker. 1. Guldberg, A. S. Räknesätten och deras tillämpning, öfversättning af Dieterich. Stockholm 1869. 75 öre. 2.-----------Matematikens betydning og anvendelse, fem populære fore- drag. Kristiania 1870. 1: 50. 3. Relander, J. R. Elementarkurs i räkning, omfattande läran om bråk jemte dess tillämpning på regula de tri, bolags- och bytesräkning. Wiborg 1870. 1: 12. Inbunden. 4. Sievers, P. Fr. Räknebok för flickor. Stockholm 1871. 75 öre inbunden. 5. Wiemer, A. Elementerna i Geometri. 1. Planimetri. Andra uppl. 2 rdr. Kalmar 1870. 6. Guthrie. The laws of magnitude or the elementary rules of arith- metic and algebra demonstrated. London 1870. 5 rdr. 7. Bienenfeld. Auflösung der Aufgaben Sammlung aus der Algebra v. Meier Hirsch. Würzburg 1870. 2 rdr. 8. Prisi. Unterricht in d. Algebra mit 1500 Aufgaben. 1 Th. 1: 75. 9. Baltzer. Elemente der Mathematik. Planimetrie. Leipzig 1870. 5: 50. 10. Frischauf. Elemente der Geometrie. Graz 1870. 2: 40. 11. Harris. Kuklos (quadratura circuli). Montreal 1870. 10: 50. 12. Ziegler. Trigonometrie. München 1870. 1 rdr. 13. Jochens. Trigonometrische Aufgaben. Berlin 1870. 1: 15. 14. Gauss. Fünfstellige Logaritm- u. Trigonometrische Tafeln. Ber- lin 1870. 1: 90. 15. Stampfer. Logarithmisch Trigonometrische Tafeln (6 decimaler). Wien 1871. 1: 90. 16. Curtze. Die mathematische Schriften des Oresme (1320—1382). Berlin 1870. 1: 15. 17. Bretschneider. Die geometrie und die Geometer vor Euklides. Leipzig 1870. 3: 75. 18. Frischauf. Analytische Geometrie. Graz 1871. 2: 40. 19. Spitz. Differential- u. Integralrechnung. Leipzig 1871. Erste Liefer. 4: 15. 20. Schlömilch. Übungsbuch zum Studien d. höheren Analysis. 2 Th.: Aufgaben aus d. Integralrechn. Leipzig 1870. 5: 50. 21. Cremona. Oberflächen, ins Deutsche übersetzt vom Curtze. Ber- lin 1870. 7: 40. 19 290 AFD. IV. politisk SIFFERLEK. 22. Weyr. Regelflächen dritter Ordnung. Leipzig 1870. 3: 75. 23. König. Modulargleichungen d. elliptischen Functionen. Heidel- berg 1871. 60 öre. 24. Baltzer. Determinanten. 3 Auflage. Leipzig 1870. 4: 65. 25. Lejeune-Dirichlet. Zahlen-Theorie. 2 Auflage. Braunschweig 1871. 4: 15. 26. Goldberg. Rest und Quotient-Rechnung. Hamburg 1871. 5: 50. 27. Müller. Die Keplerschen Gesetze, eine neue element. Ableitung derselben. Braunschweig 1870. 1: 40. 28. Reusch. Constructionen zur Lehre v. d. Haupt- uud Brennpunk- ten eines Linsensystems, mit fünf lithogr. Tafeln. Leipzig 1870. 2: 75. 29. Duhamel. Des méthodes dans les sciences de raisonnement. IV: Applic. à la science des forces. Paris 1870. 6 rdr. 30. Wolf. Handbuch d. Mathematik, Physik, Geodäsie und Astro- nomie. Erster Band. 11: 35. 31. Karup. Theoretisch-Praktisches Handbuch d. Lebensversicherung. 3 Lieferungen. 4: 70. 32. Aebsch u. Neumann. Mathematische Annalen. Leipzig 1870. Erster Band. 14: 75. Politisk sifferlek. Ludvig Filip, konung 1830-1848 = 18 år. Ludvig Filip född 1 773, siffersumman =18. Hans gemål „ 1782, „ = 18. Förmälda 1809, „ = 18. Ludvig Napoleon, kejsare 1853—1870 — 17 år. Ludvig Napoleon född 1808, siffersumman = 17. Hans gemål „ 1826, „ =17. Förmälda 1853, „ = 17. Beräkna sannolikheten af en sådan dubbelhändelses inträffande. Till vår Allmänhet. Denna tidskrift har med 1870 års utgång upplefvat sitt tredje år. Liksom under de båda föregående åren vilja vi äf- ven detta år kasta en blick tillbaka på tidskriftens verksamhet under det senast förflutna året. På det elementära området möta vi först en uppsats af DILLNER om det ofta behandlade ämnet: "jämnlöpande linier”. Förf, har sökt att ställa sig på en säkrare grundval än hans föregångare derigenom att han utgått från begreppet ”vridning” — ett ursprungligare begrepp än begreppet ”vinkel”. — Syn- nerligen förtjenstfull anse vi lektor BJÖRLINGS (senior) uppsats om de reguliera polyedrarne ( = de s. k. platonska kropparne d. v. s. de reguliera 4-, 6-, 8-, 12- och 20-planingarne) för den enkelhet, likformighet och stränghet han ådagalagt vid här- ledningen af dessa kroppars konstruktion samt vid bevisen. Att dessa polyedrar verkligen kunna finnas till, följer af de sätt., hvarpå de uppritas. Den afhandling jemte bifogad teckning om den stora py- ramiden i Gizeh, hvilken prof. WACKERBARTH meddelat, har ett stort kulturhistoriskt intresse. Ett sådant bör också finnas, särskildt för oss svenskar, i vår redogörelse för Peder Måns- sons (1514), Anders Bures och STJERNHJELMS matematiska skrifter, hvilka hittills ej varit tryckta. Vi finna här bland an- nat, hvilken kraftig vägbrytare Stjernhjelm varit äfven på det matematiska området. På den lärda afdelningen ha vi haft nöjet mottaga skarp- sinniga uppsatser af prof. STEEN i Köpenhamn och af studenten LEFFLER angående differentialeqvationens integration jämte geo- metriska tillämpningar derå. Docenten Falk har visat att kur- vaturlinierna på developpabla ytor äro af två slag, hvilkas tan- genter äro vinkelräta emot hvarandra. — För kedjebråk med omvexlande positiva och negativa leder har doc. Falk lemnat ett enkelt konvergenskriterium. — Löjtnant ALMQVIST har lem- nat en deduktion af sinus- och kosinus-serierna utmärkt genom sin generela och stränga hållning. En vacker seriesummering har ock blifvit lemnad af en förhoppningsfull ung matematiker Åkerlund vid Gefle läroverk. II TILL VÅR ALLMÄNHET. Icke mindre än tvänne värdefulla uppsatser om sättet att finna volymen af ett revolutionssolidum ha förekommit. I den ena af studenten BOIJE AF Gennäs uttages volymen på ett re- volutionssolidum, då alstringskurvan är hänförd till polarkoordi- nater. I den andra af lektor PHRAGMÉN beräknas volymen med tillhjelp af längden på den väg, som den roterande plana ytans tyngdpunkt beskrifvit (GULDINS teorem). Den senare uppsatsen förtjenar uppmärksamhet för det att beviset är elementärt. DILLNERS uppsats — grunddragen af den geometriska kal- kylen — har fortgått till en allt större omfattning. Det enkla sätt, hvarpå här bevisas, att hvarje eqvation har en rot, äfven- som den storartade generaliseringen af det sturmska teoremet kan ej undgå att slå an. Denna uppsats har också blifvit upp- märksammad både i Tyskland och Frankrike. Liksom under de föregående åren ha en mängd satser blif- vit inlemnade till tidskriften, äfvensom en mängd böcker gran- skade. Å prisuppgiften 1 på elementarafdelningen för år 1870 har under året ingen lösning inkommit, samt å prisuppgiften 2 en- dast en lösning (från Padua i Italien). Detta missförhållande häntyder på, att prisuppgifterna varit antingen för svåra eller ock ej tilldragande. Afdelningen III för fysik har i följd af ogynnsamma om- ständigheter detta år varit mindre representerad. Vi hoppas dock att under nästa år kunna glädja vår allmänhet med åt- skilliga uppsatser äfven på denna afdelning. Inneslutande oss i vår allmänhets välvilja skola vi söka att efter samma plan som hittills och efter bästa förmåga medverka till att allt vidare sprida intresset för matematiska studier, och skola vi för detta ändamål söka att hålla tidskriften så elemen- tär som möjligt. Stockholm, nyåret 1871. F. W. HULTMAN. th 1 + 1 ' 4). 1 a - * ( * = ‘ 8e- 5. % ) TA 1 e i 1