. 4 : % r Y, 1 A**= rn.I CI Atr ' 64 Jee %. a MiEw A 5, 0 — * 3% , S * 5 4. e0AGOG1 0 e€DA80or BIBLIOTEKET OckHOUV/ S in I L i v. (D. Y" s 4 Ne r u s, 7 TIDSKRIFT FÖR MATEMATIK och FYSIK, TILLE GNAD DEN SVENSKA ELEMENTAR-UNDERVISNINGEN, UTGIFVEN AF DIR GÖRAN DILLNER ADJUNKT I MATEMATIK VID UPSALA AKADEMI (HUFVUDREDAKTÖR), DER FRANS W. HULTMAN DER T. ROB. THALÉN LEKTOR VID STOCKHOLMS HÖGRE ELEM.-LÄROVEBK. ADJUNKT I FYSIK VID UPSALA AKADEMI. ANDRA ARGANGEN. 1869. MED FYRA TAFLOR. , //" BIBLIOTEKET TOOKHC. UPSALA, ======--- W. Schultz’ FÖRLAG. UPSALA, 1869 , AKADEMISKA BOKTRYCKERIET, ED. BERLING. Till vår Allmänhet. Med detta års utgång har denna tidskrift upplefvat sitt andra år. Innan vi gå det nya året med dess förhoppningar till mötes, vilja vi kasta en återblick på tidskriftens verksamhet under det gamla året. Hvad den elementära afdelningen beträffar, så har äfven i år ett ej obetydligt område blifvit öfverflyttadt från den s. k. högre matematiken till den elementära. Genom Phragméns utmärkta af- handling om maxima och minima, kan man nämnligen numera lösa en mängd problem, för hvilka man hittills nödgats anlita den högre analysen. Särskildt förtjenar framhållas hans sätt att gå till väga vid flere variabla, der han behandlar successivt den ene variabeln efter den andre. DILLNERS enkla sätt att härleda centripetalacce- lerationen är likaledes en vigtig eröfring för elementarmatematiken. Angående DILLNERS elementära afhandling om den geometriska kal- kylen våga vi hoppas, att hon skall utöfva ett mägtigt inflytande på det matematiska studiet. Den har redan genom sin generela metod, sin enkelhet, sin fruktbarhet ådragit sig en välförtjent upp- märksamhet i främmande land. Värdefull bör ock spridningen af läran om lifräntor och lif- försäkringar vara på en tid, då det snart sagdt för hvarje menni- ska blifvit en skyldighet att ingå i en ränte- och lifförsäkringsanstalt. Genom den VREDE'ska idén att för öfverslagsräkning här använda MOIVRE's enkla dödlighetstabell bli de eljest mödosamma räknin- garna reducerade till en obetydlighet, till en lätt tillämpning af lä- ran om sammansatt ränteberäkning. Inom den högre matematiken förekomma afhandlingar af D — G, hvilkas förtjenst består dels deri, att de strängt bevisa vissa grund- teorem, dels deri, att de visa naturliga lagar, der man ofta ej sett annat än konstgrepp. Särskildt har D-G angifvit sådana lagar vid diffe- rentialeqvationers integrering medelst en faktor och medelst substi- tution. En elegant metod, huru man vid vissa slag af differential- eqvationer bör,gå till väga, har ock af Malmsten blifvit angifven. Äfven de koniska sektionerna hafva varit föremål för be- handling. Så har Lindman visat ett enkelt sätt att finna sidor, ytor och vinklar till de minsta och största kring och i ellipsen om- och inskrifna månghörningar. Vidare har Björling (j:r) löst och diskuterat de intressanta problemen att bestämma de punkter, hvar- ifrån man kan draga tvänne mot hvarandra vinkelräta tangenter eller normaler till en gifven konisk sektion. Slutligen har Ekelund rö- rande ellipsen löst en sats, medelst hvilken man för praktiskt be- hof kan på ett vackert sätt konstruera ellipsen genom cirkelbågar huru noga som helst. Afhandlingarna på deh fysikaliska afdelningen äro i allmän- het af den beskaffenhet, att de böra intressera en större allmänhet. Till dessa hör Thaléns afhandling om urtid ech veckodag. Här II TILL VÅK ALLMÄNHET. visar THALÉN, hvar på jordklotet den linie är belägen, på hvars vestra sida man kallar dagen för måndag, under det att man på dess östra kallar den för söndag. Det är denna samma linie, vid hvilken en sjöfarande än får utelemna än lägga till en dag, allt- efter som han seglar mot öster el!er vester. Till dessa afhandlingar hör vidare RUBENSONS underhållande uppsats om väderleken. På samma gång RUBENSON gisslar de många väderleksprofeterna med deras mångtydiga orakelsvar, visar han och belyser medelst en karta, huru och i hvad grad man kan bestämma väderleken. På det historiska området har THALÉN lemnat en teckning af den nyligen aflidne Foucaults snillrika upptäckter. Det väcker för- våning att se, huru denne man snart sagdt på sitt rum genom sin pendel och sitt gyroskop observerar jordens rotation, förklarar or- saken till jordaxelns stabilitet, samt genom att låta ljus falla på en roterande spegel beräknar ljusets hastighet in. m. HILDEBRANDSSON har lemnat en lärorik historisk uppsats om vätskors afdunstning och dervid visat, hvilken stor andel i denne teoris utveckling vår landsman prof. WALLERIUS haft. Man blir här bekant med de re- sultat i denna fråga, till hvilka HILDEBRANDSSON sjelf kommit ge- nom sina experiment. Äfven för några äldre författare i svenska aritmetikens historia har tidskriften redogjort. Dessutom har hon nu senast haft den sorgliga pligten att lemna en teckning af den nyligen hädangångne unge förhoppningsfulle vetenskapsmannen Lund- ströms verksamhet. De af ynglingarne vid elementarläroverken i deras skriftliga mogenhetsexamina bäst lemnade lösningarna å de dem föresatte satser har tidskriften ordagrannt meddelat, dels såsom en uppmun- tran för de unga författarne och dels såsom en föresyn för öfriga studerande. De tre prisbelönta lösningarna af prisuppgiften för 1868 äro jemte figurer nu tryckta i ett särskildt supplementhäfte. Enär å prisuppgiften för i år endast tvänne lösningar hittills inkommit, helsa vi derför välkomna de lösningar, som under loppet af de ännu återstående veckorna kunna inkomma. Tidskriften har slutligen sökt att i mon af utrymme följa den matematiska och fysiska literaturen genom att anmäla och gran- ska utkommande arbeten. Programmet för nästa år blifver fortfarande oförändradt. Vi anhålla att alla, som intressera sig för de matematiskt-fysiska ve- tenskaperna, må så mycket som möjligt befordra tidskriftens fram- gång. Slutligen bedja vi att allt framgent få vara inueslutne i vår Allmänhets välvilja. F. W. Hultman. Innehåll. AFDELNING I. Uppsatser. Sid. Hultman, geometrisk härledning af formeln för triangelns yta efter Riecke.................................................1. ,, , svenska aritmetikens historia..................57, 105. „ , om beräkning af värdena på lifräntor, lifförsäkringar , och lifförsäkringspremier 63, 113, 209. Phragmén, bidrag till en elementär framställning af läran om storheters maxima och minima..............................201. „ , elementär lösning af sats 7..................... 249. Wicksell, sats, framställd och löst................................. Satser, af Aspelin, 12; Boije, 13; Hallström, 12; Hellgren, 12; Johansson, 13; Lindman, 10; Lindqvist, 16; Morén, 15; Wersén, 14; Witt, 16; Åkerlund, 17. Satser, lösta af Frykberg, 124. Lösning af räknegåtan............................................17. PRISUPPGIFTEN för 1868 ..........................................2. PRISUPPGIFT för 1869 ............................................18. AFDELNING II. Uppsatser. D—g, om tredje grads eqvationer.................................19. „ , om resttermen i den Taylorska serien.........................74. „ , bidrag till en elementär framställning af läran om inte- grerande faktorn...................................127. „ , om en formel nr differentialkalkylen........................215. „ , om integrering medelst substitution.........................253. Dillner, grunddragen af den geometriska kalkylen .... 82, 137. Ekelund, sats rörande ellipsen.................................134. Lindman, anteckningar angående rätliniga figurer, inskrifna uti och omskrifna omkring en ellips............................219. Malmsten, integrering af en differentialeqvation................71. Satser, af Dillner, 26; Hallström, 85. Satser, lösta af Björling, 76; Lundström, 235. AFDELNING III. UPPSATSER. Sid. Dillner, konstruktiv härledning af accelerationerna.............178. Hildebrandsson, historisk redogörelse för de vigtigaste åsigterna om vätskors afdunstning..................................26. Rubenson, är det möjligt att förutsäga ■väderleken?.............261. Thalén, om urtid och veckodag på olika punkter af jordytan . 86. „ , Léon Foucault...................................160. AFDELNING IV. ANMÄLAN AF BÖCKER. Hullman, läran om logaritmer och serier för nybegynnare och till ledning vid studium på egen hand af Andersson 185. „ , Samling af problemer, hufvudsakligen afsedda att an- vändas vid skolungdomens skriföfningar af Lindman 188. „ , Les premières notions de la théorie des fonctions el- liptiques, par E. G. Björling...................................38. „ , Sur la realité des racines d’équations algébriques, par C. F. E. Björling.....................................241. Om solen. Fyra populära föreläsningar, af C. F. E. Björling 301. Ett bevis ur Brochs plangeometri.......................................... 189. Elowson, diskussion om undervisningen i aritmetik...........................40. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen, v. t. 1869, 190; b. t. 1869, 303. Satser, lösta vid den skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1869 af en elev vid Wenersborg högre elementarläroverk....................193, 242. Genmäle af akad. adj. V. v. Zeipel å lektor F. W. Hultmans ”kritik af satser gifna i mogenhetspröfningen b. t. 1868”, samt Hult- mans svar dera.................................................97. Den fysiskt-matematiska afdelningen af det naturvetenskapliga säll- skapet i Upsala....................................................38, 246. Satser och diskussionsämnen, framstälda inom den fysiskt-matematiska afdelningen af det naturvetenskapliga sällskapet i Upsala, den 18 febr., 4 och 18 mars 1869 ........................104, 198. Carl Erik Lundström t.................................................298. Till vår Allmänhet I. AFDELNING I. Geometrisk härledning af formeln för triangelns yta efter Riecke. - Af F. W. HULTMAN. Låt ABC ** vara den gifna A, a, b,c de mot vink- lame A, B, C stående sidorna, M den inskrifna cirkelns medelpunkt samt D, E, F de tre tangeringspunkterna på resp, a, b, c. » Vi sätta *** a + b+c = 2p, AE = AF = , BD = BF = B, CD = CE = Y, då följaktligen p=a+B+Y, p-a =a, p-6 - 8, p - c = γ . Vi låta vidare a och b vara utdragna samt N den utanföre inskrifna cirkelns medelpunkt och G, H, K de tre * Jfr Riecke, Mathematische Unterhaltungen. Erstes H. Stutt- gart 1867. ** Figuren behagade läsaren sjelf upprita. *** Jfr sid. 68 Årg. I. 1 2 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. tangeringspunkterna på resp, a, b (förlängda) och c. Vi finna då, enär CG + CHI = 2p, CG = CII = p och följaktligen BG = a och AH = B. Om radierna MD och NG betecknas med resp. , och R, så fås, enär A CMD ~ A CNG, y : , = p : R eller (1) pr = y K. Emedan vidare A MBD ~ A BNG, så är r: ß =a:R eller (2) * Rr = cß. Genom att multiplicera (1) och (2) sida med sida samt förlänga resultatet med R erhålles p22 = paßy eller pr = Apaßy. Men nu är ytan y af A ABC = 2 ar + 1 br + 4cr = pr, då slutligen y = Apaßy eller y = . p(p - a)(p - b)(p - c) * . Prisuppgiften för 1868, att upprita en qvadrat, hvars sidor gå genom hvar sin af fyra gifna punkter, har blifvit behandlad dels medelst analytisk geometri, dels medelst ren geometri. Härvid har det visat sig, att det i allmänhet varit svårare att diskutera lösningen medelst ana- lytisk geometri och trigonometri än medelst ren geometri. * Denna formel förekommer uttryckt redan i Gemma Friesii aritmetik 1593. Enligt Riecke skall den förekomma i Heron den yngres geodesi i det åttonde seklet, ja några tillskrifva den Ptolomæus j det andra århundradet. AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. 3 Skälet härtill är lätt begripligt. Man inför genom de 2 förra behandlingssätten linier (koordinater, sinus, tangen- ter), som i viss mon äro främmande för frågan. De geometriska lösningsmetoderna hafva inskränkt sig, till följande tre. Den första metoden grundar sig på den egenskapen, att den sökta qvadratens sidor äro tvenne mot hvarandra vinkelräta och lika stora projektioner af de li- nier, som förena de fyra gifna punkterna. Den andra me- toden grundar sig dels på den egenskapen, att den sökta qvadratens spetsar skola stå vid periferien af de cirklar, som uppritas med den gifna fyrhörningens sidor till dia- metrar, och dels på den egenskapen,' att den sökta qva- dratens diagonal, som delar midt i tu de räta vinklarne i qvadraten, också måste dela midt i tu tvenne af de på den gifna fyrsidingens sidor uppritade halfcirkelperiferierna. Den ledande tanken i den tredje metoden är följande. Sidorna i den sökta qvadraten äro mot hvarandra vinkelräta och lika stora projektioner af diagonalerna i den gifna fyrhör- ningen. Sammanbinder man midtpunkterna af sidorna i den gifna fyrhörningen, uppkommer en parallelogram, hvars sidor äro hälfter af och parallela med de nyssnämnda dia- gonalerna. Om man söker tvenne lika stora och mot hvar- andra vinkelräta projektioner af denna parallelograms si- dor, blifva dessa linier parallela med och hälften så stora som den sökta qvadratens sidor. Af dessa tre geometriska metoder är utan tvifvel den första elegantast och lättast användbar för diskussion. Den andra metoden utmärker sig derigenom, att den synnerli- gén väl lärapar sig för generalisering af problemet. Den tredje metoden reducerar problemet till det enklare fall, att de fyra gifna punkterna utgöra spetsarne af en paral- lelogram. Lösningar medelst analytisk geometri äro inlemnade af: 1. STENBORG, O. J., student. Af den enkla lösnin- gen finner man genast storleken, läget och antalet af de 4 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. sökta qvadraterna. Herr S. visar, att qvadraterna i all- mänhet blifva 6; att de blifva reducerade till punkter, då 2 samhörande linier* äro mot hvarandra vinkelräta och olika stora; att de blifva oändligt många, då 2 samhörande linier äro mot hvarandra vinkelräta och lika stora. Sär- skildt studerar han det fall, då de gifna punkterna äro hörnpunkterna af en parallelogram. 2. Boije af GENNAS, C. O., student. Hans af hand- ling är omsorgsfullt redigerad och försedd med väl ritade figurer. Han har utfört ett särskildt konstruktionssätt för hvar och en af de, sex qvadraterna. Dessutom betraktar han de specialfall, då två af de gifna punkterna samman- falla till en. Derjemnte förtjenar det framhållas, att han visat, att ingen qvadrat kan uppritas med de begärda egen- skaperna, om 3 af de gifna punkterna utgöra spetsar till en triangel, i hvilken den fjerde punkten utgör skärnings- punkten för de tre höjderna. 3. ÅKERLUND, J. R., elev vid Gefle elem.-läroverk. Herr A. har grupperat de olika fallen vid diskussionen gan- ska väl. Liksom de båda föregående visar han att hvarje samhörande par af gifna linier gifva tvenne qvadrater. Ur hans uttryck på dessa qvadraters ytor härleder han den vackra egenskapen, att två samhörande qvadrater blifva lika, när de samhörande motsvarande gifna linierna äro parallela. Utom detta vackra specimen har herr A. lem- nat äfven ett rent geometriskt, till hvilket vi strax skola komma. 4. ROBSAHM, T. P., elev från Falu elem.-läroverk. Herr R. lemnar synnerligen enkla uttryck på tangenterna för de vinklar, som de 6 qvadraternas sidor göra med en af sidorna i den gifna fyrhörningen. Det är ett nöje att se den skarpsinnighet herr R. ådagalagt, då han vetat att se * Om A, B, C. D äro de gifna punkterna, sägas AB och CD vara samhörande linier, äfvensom AC och BD, samt AD och BC. AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. 5 bort ifrån alla biomständigheter, hvilka behandlingen me- delst analytisk geometri kan medföra, och endast sökt de obekantas rigtning. Afven herr R. behandlar det fall, att två punkter sammanfalla till en. 5. UHR, G., f. d. elev vid Teknol. institutet. Hans af handling framstår genom det utmärkta sätt, hvarpå han börjar henne. För att vara säker på, att han vid sin lösning ej skall förlora någon qvadrat, söker han be- stämma de rigtningar, utefter hvilka projektionen af linien AB* är lika med projektionen af linien CD i en mot den förra projektionen vinkelrät led. Afhandlingen slutar med en redogörelse för de analytiska uttrycken på de 6 areorna. Lösning medelst trigonometri är inlemnad af: 6. SANTESSON, H., elev vid Teknologiska institutet. Liksom Robsahm har han sökt den vinkel, som den sökta qvadratens sida gör med någon af den gifna fyrhörningens sidor. Med tillhjelp af det enkla uttrycket på tangenten för denna vinkel utför herr S. konstruktioner för en mängd fall och särskildt för dem, då de fyra gifna punkterna öf- vergå till 3, 2, eller en punkt. Derefter visar hr S., att uttrycket på tangenten för den sökta vinkeln blir nästan lika enkelt, om problemet generaliseras till följande: att genom hvar sin af 4 gifna punkter draga linier så, att den deraf bildade fyrhörningen blir likvinklig med en gifven fyrhör ning. Lösningar medelst ren geometri, metod 1, äro inlemnade af: 7. LINDBOHM, THERESE, född Spaak. Lösningen är den enkla ofvan antydda. Den är åtföljd af figurer, der man finner alla 6 qvadraterna uppritade. Särskildt har fru L. belyst det fall, då de fyra punkterna utgöra spetsarne af en qvadrat. — Det är oss ett synnerligt nöje att bland * Anm. A, B, C, D äro de gifna punkterna. 6 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. kämparne se ett fruntimmer. Ehuru Ni ej vunnit priset, har Ni åtminstone den tillfredsställelsen att ha besegrat en svår matematisk uppgift — och det är ju hufvudsaken. Välkommen snart en annan gång i striden! 8. SANDSTRÖM, P. A., elev vid Ume elem.-läroverk. Lösningen lik föregående. Den goda diskussionen visar, att antalet möjliga qvadrater i allmänhet är 6, att två qvadrater öfvergå till en punkt, så snart 2 samhörande linier i den gifna fyrhörningen äro mot hvarandra vinkel- räta och olika stora, men att deras antal blifver oändligt, då nyssnämnda linier äro mot hvarandra vinkelräta och lika stora. Tack för Ert vackra arbete! 9. X—Z, student. Herr X—Z:s lösning är förtjenst- full bland annat derföre, att han visar det inga qvadrater finnas, om den fjerde gifna punkten är skärningspunkten för höjdlinierna i en triangel, hvars spetsar utgöras af de tre öfriga gifna punkterna. 10. OLSSON, J. F., lärare vid Göteborgs navigations- skola. Lösning, diskussion och figur eleganta. Herr O. visar bland annat att storleken af tvenne samhörande qva- drater beror endast på motsvarande tvenne gifna samhö- rande liniers storlek och rigtning, men ej af de öfriga gifna linierna. Värdefull af handling. 11. Torell, J. P., löjtnant. Om herr T:s afhand- ling gäller detsamma som om herr Olssons. Afhandlingen är klar, enkel, kort. Diskussion och figur förträffliga. 12. ÅKERLUND, se ofvan N:o 3. Herr Å:s afhand- ling har den pedagogiska förtjensten, att han visar den tankegång, hvarigenom man leder sig till lösningen. Dess- utom visar herr A. här på geometrisk väg detsamma, som han enligt ofvanstående på analytisk väg bevisat. Afven vi- sar han, att inga qvadrater finnas, som lösa uppgiften, då de fyra gifna punkterna äro de tre spetsarne af en triangel och tillhörande höjders skärningspunkt. En god afhandling. AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. 7 13. ALMQUIST, P. W., löjtnant. Ingen har så ut- tömmande diskuterat problemet som herr A. Bland annat har han visat, att två qvadrater aldrig kunna sammanfalla, så framt ej de 4 gifna punkterna utgöra hörnpunkterna i en parallelogram. Om härvid diagonalerna tagas till sam- hörande linier, uppkomma 2 system af oändligt många qvadrater, hvilkas båda maximiqvadrater sammanfalla till en enda. Likaledes har han angifvit, att i händelse de fyra gifna punkterna utgöra de tre spetsarne af en trian- gel och skärningspunkten för de tre höjderna, blifva qva- draterna förvandlade till punkter (fotpunkterna för de tre höjderna) — dock med den inskränkning, att om en vin- kel i triangeln är en half rät, uppkommer i st. f. den ena fotpunkten ett system af oändligt många qvadrater. Dess- utom har herr A. betraktat de fall, då två eller flere af de gifna punkterna sammanfalla. Slutligen stå vi i för- bindelse till herr A. för den vackra och upplysande sam- ling af omsorgsfullt ritade figurer, som han bifogat. Man ser här framför sig de cirkelperiferier, som utgöra de geo- metriska orterna för hörnpunkterna af qvadraterna i de sy- stem, der deras antal är oändligt. 14. BYGDÉN, A. L. och Lundström, A. N., studenter. Afhandlingen enkel och elegant. Diskussionen elegant och fullständig. Den hos herr Almquist omnämnda inskränk- ningen är äfven här anmärkt. 15. Holst, Elling Bolt, student, demitteret til artium 1868 fra Drammens lærde og realskole. Herr Holsts afhandling, som var försedd med namnsedel, hade till motto de hurtiga orden: »Marsch framåt! Gå på!» Den liknar i mycket Bygdén-Lundströms, är som deras enkel. Herr Holsts lösningsmetod och sätt att diskutera är elegant och förråder en hög grad af matematisk mogenhet. Herr H. har ock å prisuppgiften lemnat en rent geom. lösning en- ligt den ofvannämnda metoden 2 samt generaliserat lösnin- gen, så att den gäller, om ordet qvadrat utbytes emot en fyrhörning hvilken som helst. 8 AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. 16. Petersen, Jul., Kand. Mag. från Kjöbenhavn har i allmänna drag löst och diskuterat uppgiften enligt denna metod och enligt metoden i nästa afdelning. Han hänvisar här till satsen 155 af hans värdefulla arbete: Methoder og Theoτier til Lösning af geometriske konstruk- tionsopgaver. Det var för oss en stor heder att från en så berömd geometer som herr P. också få mottaga en lösning. Lösningar medelst ren geometri, metod 2, äro inlemnade af: 17. SJÖBERG, A., student. Lösningen enkel. Herr S. visar, att mot hvarje par af cirklar uppritade på ett par af de gifna samhörande linierna svara 4 qvadrater. 18. ENGHOLM, A., student. Lösningen enkel liksom Sjöbergs. Herr E. visar genom ett skarpsinnigt räsonne- ment, att de sökta qvadraternas antal är 6 och icke 12, hvilket detta lösningssätt först tyckes angifva. 19. CAVALLIN, C. B. S., elev vid Östersunds elem.- lärov. Herr C:s af handling är liksom Holsts förtjenstfull derigenom, att han äfven lemnat en lösning på den all- männare uppgiften att genom hvar sin af 4 gifna punkter draga linier, hvilka bilda en fyrhörning likformig med en gifven fyrhörning hvilken som helst. 20. HÆFFNER, A., student. Han angifver när qva- draternas antal äro oändligt många och när de reduceras till en punkt, en sak som ej är lätt enligt denna metod. 21. F. Μ., elev vid Örebro elem.-lärov. Hans af- handling är den värdefullaste af dem, som behandla upp- giften enligt denna metod. Den innehåller en i det när- maste fullständig diskussion öfver problemet. Den angifver dervid åtskilligt, som ej i någon af öfriga af handlingar blifvit påpekadt. Så t. ex. visar han, att, då de fyra gifna punkterna ligga på en rät linie, komma ett par diagonaler i ett par af de symetriskt om denna liggande lika stora qvadrater att skära hvarandra på denna linie i en af lik- AFD. I. PRISUPPGIFTEN FÖR 1868. 9 formighetsmedelpunkterna till ett par cirklar uppritade på ett par af de samhörande gifna linierna. Lösningar medelst ren geometri, metod 3, äro inlemnade af: 22. Johansson. T. B., student. Herr J. uppritar på ett skarpsinnigt sätt alla 6 qvadraterna. 23. OSSBAHR, F., student Herr O:s af handling ut- märker sig liksom herr Almquists för en synnerlig fullstän- dighet och grundlighet så väl i afseende på diskussionen som i afseende på figurer. Han har i det närmaste uttömt diskussionen. Af nämnda af handlingar hafva herrar ALMQUISTS, BYGDÉN—Lundströms och HOLSTS synts oss vara de för- nämsta och i det närmaste lika goda, hvarföre, om tre pris funnits, vi skulle utdelat dem åt dessa. Almquists af- handling är den mest genomarbetade, den fullständigaste, Bygdén—Lundströms den enklaste. Vid läsningen af herr Holsts af handling känner man sig ledas af en säker och hemmastadd vägvisare på de till målet naturligaste och genaste vägarne. Efter noggrannt öfvervägande hafva vi funnit den sist- nämnda af handlingen böra sättas i främsta rummet; på grund hvaraf vi bestämt priset åt ELLING BOLT HOLST. Derjemnte och med största loford böra de afhandlingar omnämnas, som inlemnats af A. L. Bygdén och A. N. Lundström, samt af P. W. ALMQUIST. För öfrigt stå vi i förbindelse till alla de öfrige, som hedrat oss med insändande af afhandlingar, hvilka hvar och en på sitt sätt varit i något afseende utmärkta. 10 AFD. I. SATSER. Anm. Som vi taga for gifvet, att flertalet af våra prenumeranter önska se och ega de värdefullaste af ofvan nämnda afhandlingar, ämna vi låta trycka ett supplement- häfte om 4 ark jemnte en mängd figurer till tidskriften, hvilket de, som derå vilja prenumerera * kunna erhålla till ett pris af 1 rdr rmt. Satser af lektor LINDMAN. 104. Att så draga en korda parallel med diametern i en halfcirkel, att, om hennes ändpunkter sammanbindas med didmeterns på samma sida, det uppkommande parallel- trapeziet blir så stort som möjligt. 105. Två punkter äro gifna på en cirkels periferi; att på honom finna en tredje punkt, som är sådan, att de linier, som förena honom med de båda gifna, stå till hvar- andra i ett uppgifvet förhållande. (Geom. Alg. och Trig, upplösning.) 106. Att inom en gifven A ABC finna en sådan punkt 0, att A BOC: A COA : A AOB = p:4:1 och att beräkna 0A°, OB2, OC2. 107. Uti en qvadrat kunna otaliga likbenta trianglar så inskrifvas, att de lika stora sidornas skärningspunkt faller i en af qvadratens vinkelspetsar och benens ändpunk- ter på hvar sin af de sidor, som omfatta den mot den förutnämnda vinkeln stående vinkeln; af triangelns bas, ett stycke af qvadratens med basen parallela diagonal samt stycken af triangelns sidor bildas ett parallel-trapezium. När är detta störst? * Prenumeration sker genom muntlig eller skriftlig anmälan hos Tidskriftens förläggare bokhandlaren W. Schultz, Upsala; och bör sådan anmälan vara gjord före den 15 inst. April, då det ifrågavarande sup- plementet kommer att medfölja Maj-häftet. AFD. I. SATSER. 11 108. Att på hvardera af två sidor i en triangel finna en sådan punkt, att, om de sammanbindas med hvarandra och med en gifven punkt på tredje sidan, en liksidig tri- angel uppkommer. 109. Att i en gifven parallelogram inskrifva en med honom likvinklig pgrm, som har en vinkelspets i en gifven punkt på en sida i den gifna. 110. Upplös eqvationen a Sin a + 6 Cos a = c. 111. Att finna æ och y ur eqvationerna R Sin a - r Sin y : R Cos 2a Cos y = 9 Cos a Cos 2y. 112. Upplös eqvationssystemet C+y = 3+v; u + 2 = 3-v; x2 + y2 — w2 — 22 = 6 ; 23+y2+u2+23 = 306; a+y*-u-2"= 606. 113. Om man med ett antal a kort formerar n högar och från antalet ögon på bottenkortet i hvarje hög räknar till talet f, tilläggande en enhet för hvarje kort, som så- lunda lägges ofvanpå bottenkortet, så begäres att finna summan af ögonen på alla bottenkorten. 114. Tre personer taga hvar sitt af talen 1, 2, 3. Bland 18 framlagda kort, slantar eller dylikt tager en af dem så många som hans tal har enheter; den andre dubbelt så många som hans tal har enheter och den tredje fyra gånger så många som hans tal har enheter. Låt sedan b stycken kort, slantar etc. vara qvar. Då begäres att ut- räkna, hvilket tal den haft, som tagit först, hvilket den, som tagit dernäst, och hvilket den siste. (Problemet är hemtadt ur Μ. Scharffs Arithmetica joco-seria. Ham- burg 1693.) 12 AFD. I. SATSER. Sats af lektor Μ. F. HALLSTRÖM. 115. Att konstruera en liksidig triangel, hvars vin- kelspetsar ligga på tre gifna räta linier, och i hvilken en sida . a) är parallel med en gifven rät linie, b) går (förlängd, om så behöfves) genom en gifven punkt, c) har en gifven storlek. Sats af C. L. ASPELIN, föreståndare för Westerviks navigationsskola. »För någon tid sedan blef jag af mina barn ombedd att till ett croquetspel, af en qvadrataln tyg, tillskära en standert, dock så, att intet tyg gick förloradt. Detta gaf anledning till följande sats. 116. Dela en qvadrat genom n linier uti n + 1 delar, så att af desse delar kan bildas en likbent triangel af sam- ma yta som qvadraten.» • Satser af studerande A. E. HELLGREN. 117. Att i en halfcirkel ACDB med gifven diameter AB inskrifva en halfcirkel, hvars diameter Cl har en gif- ven längd och hvars periferi CFD tangerar den gifnes dia- meter AFB. När är CD ett maximum? 118. Att i en gifven qvadrant BOC, begränsad af de mot hvarandra vinkelräta radierna OC och OB samt cir- kelbågen CDEB inskrifva en halfcirkel så, att dess dia- meter DE blir korda i den gifna qvadranten och dess pe- riferi tangerar radierna OB och OC. Huru stor blir den inskrifna halfcirkeln i förhållande till den gifna qvadranten? 119. Att i en gifven halfcirkel ACB inskrifva en an- nan halfcirkel, hvars diameters båda ändpunkter ligga på periferien ACB och hvars periferi tangerar basen AB i en gifven punkt D. AFD. I. SATSER. 13 120. Att finna summan af serien 2+5+11+23+47+... 10 termer, • eller allmännare, summan af de n första termerna af serien a + (ar + k) + (ar2 + kr + k) + (ar3 + kr2 + kr + k) + o. s. v. Satser af student T. B. Johansson. 121. Den minsta n-hörning, som kan omskrifvas kring en cirkel, är liksidig. 122. Den största n-hörning, som kan inskrifvas i en cirkel, är liksidig. 123. En 2n-hörning är omskrifven kring en cirkel och sidorna i ordning betecknade med 1, 2, 3, 4.... Visa, att 1+3+5 + ... = 2 + 4 + 6+... . 124. En 2n-hörning är inskrifven i en cirkel och vinklarne betecknade med 1,2, 3,... Visa, att 1+3+5+... = 2 + 4 + 6 + ... = 2(n — 1) räta vinklar. Satser af student C. O. BOIJE af Gennäs. 125. Uti en triangel förhåller sig radien för den om- skrifne cirkeln till radien för den inskrifne cirkeln såsom sinus-summan af triangelns vinklar förhåller sig till halfva produkten af samma vinklars sinus. 126. Summan af en triangels sidor är lika med ra- dien för den omskrifne cirkeln multiplicerad med dubbla sinus-summan af triangelns vinklar. 127. En cirkelsektor och en punkt på dess båge äro gifna. Hvilken är den störste rätvinklige triangel, som kan inskrifvas uti sektorn, då den räta vinkelns spets skall ut- göras af den gifne punkten. 128. Hvilken är den störste rätvinklige triangel, som kan inskrifvas uti sektorn, då den gifna punkten skall ut- göra ändpunkten af den rätvinkliga triangelns hypotenusa. 14 AFD. I. SATSER. 129. En rät linie AB är gifven. Upprita på AB en halfcirkel. ■ Drag mot AB en vinkelrät linie AC lika stor med AB. Drag ut AB till D, så att BD blir lika stor med AB. Sammanbind C med D och omskrif en cirkel omkring triangeln ACD. Drag från A en rät linie APQ, som skär de begge cirkelperiferierna uti P och Q. Sam- manbind P med B. Bevisa att PQ är lika med summan af AP och PB. Satser af Hans WERSÉN, elev vid Örebro högre elem.-läroverk. 130. Tre punkter äro gifna. Att upprita en cirkel, som går genom en af dem och tillika är så beskaffad, att tangenterna, som dragas till honom från de två andra punk- terna, blifva lika stora med hvar sin gifven längd. 131. Att finna locus för sådana punkter, att summan af qvadraterna på afstånden från hvar och en af dem till två gifna punkter blir lika stor med en gifven qvadrat. 132. Summan af qvadraterna på två tal, minskad med deras produkt, är lika stor med 2405, dividerad med summan af qvadraterna på talen, som tillsammans utgöra 11. Hvilka äro de tvenne talen? 133. En stads namn kan skrifvas med 6 bokstäfver. Den förstas ordningsnummer i alfabetet är lika stor med den andras ökad med produkten af den tredjes och fjerdes; den andras är lika stor med 4 ggr den tredjes minskad med den fjerdes; den tredjes ökad med den sjettes är lika stor med den fjerdes ökad med den femtes; den femtes ord- ningsnummer gånger den andras är lika stor med qvadraten på 9 ggr den fjerdes; den sjettes, som utgör aritmetiska mediet mellan den förstas och fjerdes, är slutligen lika stor med 3 ggr den tredjes. Ilvad heter staden? (Alfabetet antages innehålla 28 bokstäfver). AFD. I. SATSER. 15 134. En örn, sväfvande i luften, bemärkes på samma gång från trenne, på en slätt belägna, ställen, hvilkas in- bördes afstånd äro 200, 172 och 144 famnar och eleva- tionsvinkeln blir 60° från hvardera stället. Huru högt be- finner sig örnen? Satser af E. MORÉN, elev vid Örebro elem.-läroverk. 135. Tag en godtycklig punkt på periferien af en gif- ven cirkel till medelpunkt och rita en annan cirkel, hvars periferi skär den gifna periferien i A och B. Drag från B i den uppritade cirkeln en korda BD hvilken som helst och drag AD, som skär den gifna periferien i E. Bevisa, att ED förhåller sig till DB liksom radien i den gifna cirkeln förhåller sig till radien i den uppritade. 136. Att dela en rät linie i 2 delar, så att qvadra- ten på hela linien tillsammans med qvadraten på en af de- larne blir 3 gånger så stor som qvadraten på den andra delen. 137. Låt ABCD vara ett paralleltrapezium, der AB och CD äro parallela sidor. Bevisa, att sammanhanget mellan diagonalerna, de icke parallela sidorna och de pa- rallela sidorna uttryckes genom AC,+BD, = AD,+BC,+2AB, DC. 138. Om två kordor i en cirkel skära hvarandra vin- kelrätt inom eller utom cirkeln, så är summan af qvadra- terna på dessa kordor lika med 8 gånger qvadraten på ra- dien minskad med 4 gånger qvadraten på den räta linie, som förenar medelpunkten med kordornas skärningspunkt. 139. Det gifves ett tal, som är så beskaffadt, att, om det delas i 2 delar huru som helst, det större talet ökadt med det mindres qvadrat är lika med det mindre ta- let ökadt med det störres qvadrat. Hvilket är detta tal? 16 AFD. I. SATSER. 140. Ett tvåsiffrigt tal är så beskaffadt, att om man fördubblar detsamma och i det så bildade talet antingen multiplicerar båda siffrorna med hvarandra eller lägger dem tillsammans och fördubblar summan, så uppkommer ett tal, som är lika med det ursprungliga. Hvilket är detta tal? Satser af Oττo Witt, elev vid Helsingborgs högre elem.-läroverk. 141. På en gifven linie såsom bas är uppritad en tri- angel med bestämd vinkel vid spetsen. Visa locus för skärningspunkterna af bissektricerna för vinklarne vid basen. 142. På en gifven linie äro trianglar uppritade. Från sidornas midtpunkter äro dragne normaler. Bestäm locus för normalernas skärningspunkter. 143. På en gifven linie är uppritad en triangel med bestämd vinkel vid spetsen. Mot sidornas midtpunkter dra- gas normaler. Visa, att dessa träffas i en fix punkt. Satser af G. H. Lindquist, elev vid Stockholms gymnasium. 144. Att dela en gifven rät linie i två sådana delar, att qvadraten på ena delen blifver = qvadraten på den an- dra delen tillsammans med 1) qvadraten på halfva den först omtalta delen; 2) qvadraten på halfva den sist omtalta de- len; 3) halfva qvadraten på den först omtalta delen; 4) halfva qvadraten på den sist omtalta delen. 145. Att i en halfcirkel inskrifva en likbent triangel, då man känner summan af dess bas och höjd. 146. Om man i en triangel ABC från midtpunkten E på basen drager en rät linie EF parallel med bissektricen AD, och denna linie skär en af triangelns sidor i F, så är AF lika stor med halfva skilnaden mellan AB och AC. AFD. I. LÖSNING AP RÄKNEGÅTAN. 17 Satser af J. R. Åkerlund, elev vid Gefle elementarläroverk. 147. Om uti en triangel ABC sidan BC skares midt i tu i D och genom denna punkt en linie dragés vinkelrätt mot BC, så ligger den punkt E, der denna linie skäres af den vinkeln A tuskärande linien AE, på periferien till den kring triangeln ABC omskrifna cirkeln. 148. Om uti en rätvinklig triangel ABC en höjdlinie AD fälles från den räta vinkeln A, och vinkeln B skäres midt i tu genom en linie, som träffar AD i E och AC i F, så är triangeln AEF likbent. 149. Om uti en triangel ABC, der vinkeln A är rät, en punkt D är så belägen på AB, att, om man samman- binder C med D, vinkeln ACD är tredjedelen af vinkeln ACB, så är rektangeln af BD och CD dubbelt så stor som rektangeln af BC och AD. Lösning af räknegåtan, sid. 246 Årg. I. Af . ---------------n, (Sthlm). » Ter tria sunt septem, septem sex, sex quoque tres sunt; Octo dant quatuor, quatuor faciunt tibi septeni. Hæc bene si numeres, stant* tibi millia * quinque.» * Signaturen .-------n har här gjort tvenne förtjenstfulla rättelser, i det han ändrat originalets faciunt och milia till stant och millia. Genom den förra rättelsen uppstår en rigtigare meter, ge- nom den senare blir den angifna slutledningen möjlig. Emellertid är det lika möjligt, att Aurelius kan ha menat milia med ett 1 och dermed helt enkelt velat säga: milia sunt quinque typi, hvilken uppfattning gjort sig gällande hos en insändare B—s I—s (postst. Skara), af hvilken gåtan i öfrigt blifvit löst på här angifna sätt. 2 18 AFD. I. PRISUPPGIFT FOR 1869. Ter tria = 7 typer. Således ter tria sunt septem, scilicet typi. Septem Sex Octo Qvatuor = 6 » » septem sunt sex, = 3 » » sex sunt tres, = 4 » » octo sunt quatuor, = 7 » » qvatuor sunt septem. Sumina 27 = viginti septem. Men Viginti septem = 13 typer 2 Alltså: Viginti septem Millia, quinque = 13 typer. ) = millia quinque. Deraf sista radens påstående: Hæc bene si numeres etc. Prisuppgift för 1869. På en godtycklig triangels sidor a, b, c uppritas qva- drater utåt. Dessa qvadraters yttre spetsar förenas genom' räta linier a, , b., C så, att ingen qvadrat skäres af dem. På de så erhållna linierna ai , b., C, uppritas åter qvadrater utåt, hvilkas yttre spetsar förenas genom räta linier a2 , 62, C2 så, att ingen af dessa linier skära qvadra- terna. På a2, 62, C. uppritas nya qvadrater. Sålunda fortsattes enligt samma lag. Man kan då bevisa, att l:o. a;+6; + c; = 3(a2+b2 + c”). 2:o. a;+b3 + ; = 16(a2+62 + c2). Om undersökningen vidare fortsättes, hvad är summan af nästa tretal qvadrater? Hvad är summan af det née tretalet? Hvilka egenskaper hafva de mellan qvadraterna liggande trapezierna ? Prisen äro ett större: Mathematical Theory OF Probability by TODH UNTER, ett mindre: History of the Calcules of Variations by TODHUNTER. Lösningarna böra vara insända till lektor HULTMAN före den 1 Janu- ari 1870. AFD. II. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. 19 AFDELNING IL Om tredje grads eqvationer. Af D—G. I. Genom en obetydlig förändring af det vid Bretschnei- derska solutionsmetoden använda substitutionsuttrycket kom- ma vi lätt till följande resultater. 1. Om man i eqvationen f(x) = azx3 + aqx2 + a,r + ao = 0 insätter 1+z C = m+ne , 1-2 så visar sig, att dess solution blifver beroende af följande tre eqvationer: f(m) _ ∕¼) 1.2. f"(m) 1.2.3.f"(m) ' „3 - f"(m + n) f"(m-n) ’ af hvilka den första är af första graden, den andra en ren andre grads, och den tredje en ren tredje grads eqva- tion. 20 AFD. II. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. Rötternas beskaffenhet kan bedömas af n2. Om nämn- ligen - n! < 0, så har eqvationen tre reela och olika rötter; n2 > 0, så har den en reel och två imaginära; n2 = 0, så har den tre reela rötter, af hvilka åtmin- två äro lika. De blifva, som man lätt finner, a. = a, = m, f"(m) . 0’3 = m. / (m) 2. Saknas eqvationens andra term, blifva formlerna följande: f(x) - a,3 + a, æ + ao = 0, m = n= = 23 = & = A. ni = 0. I detta fall finnas lika. De äro 2 ∕(°) ’ 2/(m), ∕"W ’ m+n m—n' 1+2 m + n --. 1—2 tre reela rötter, af hvilka 2 äro ^ = #2 ..., f"(m) 5 23 = m—3 • * m= ~ 2m. 3 f"(m) B. n2> 0. Vi finna i denna händelse en reel rot och två imagi- nära, nämnligen 11 1 2, = — m2-n23. (m+n)3+(m-n)3},. (,, #,) - -4+%3 m2-n-. 1mn+n)i-(m-nli. AFD. II. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. 21 C. n2 < 0. Då finnas tre reela och olika rötter. I detta fall sätta vi n2 = - p* , z = Cos 20+i Sin 20, ω = 30. Våra formler förvandlas härigenom lätt till följande, som sålunda gälla, då casus irreductibilis inträffar: Λx) = m = az&3 + a,z + ao = 0, - 3 » 2 f(o)' P - L o f'(m) 2 7 /»i ' Tg c P m‘ θ = %0o =7], e - ⅛ω, 0 = 3{0o+}, x = m - p Cotg 0 . II. Applikationer. 1. Låt eqvationen vara f(z) = 23-4 + 1 = 0. Man får då m = 0,375 och ' /229 PV 192 ‘ Häraf log m = 0,5740313-1, log p = 0,0382671 22 AFD. II. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. och log tg a = 10,4642358. ∙∕ ω = 710 2 56,"87. De tre värdena på 0 blifva följaktligen 0, = - 360 19 1,21, 0, = 230 40'58,"79 , 0, = 830 40 58, 79. Det första bland deni ger log ^p . Cotg (- 0,)7 = 0,1719621 , °. - p Cotg 0, = 1,485805. Det andra ger log|p Cotg 0a} = 0,8961832, ∙∕ pCotg02 = 2,489907. Det tredje ger log ⅛ Cotg 0s] = 0,0824203-1, ∙∕ pCotg0g = 0,120898. De tre värdena på x blifva sålunda 2, = 1,860805, ⅜ = - 2,114907, ⅜ = 0,254102. 2. Låt eqvationen vara y(^) = 23-2-5 = 0. Då blifva m = - 3,75, „a - 643 " 48 ‘ n = 3,6600319, och således m + n = - 0,0899681, m-n = - 7,4100319, saint AFD. II. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. 23 log 1 - (m + n)3} = 0,6513629 - 1, log {-(m-n)5} = 0,2899400 , hvaraf -{m+n/3 = 0,4480875 , -{m-n 3 = 1,9495753 , och således 1 1 — 1(m + n)3 + (m — n)3 } = 2,397663 , {(m + n) 5 - (m-n)5) = 1,501488. Numera fås lätt genom addition af log 2,397663 = 0,3797881 och 0,6513629-1 0,2899400 log a, = 0,3210910, hvaraf x, = 2,094551. Vidare fås genom addition af log 2 = 0,9375306-1 log 1,501488 = 0,1765218 samt 0,6513629 - 1 0,2899400 lag 1,135940 = 0,0553553, och således blifva de båda imaginära rötterna (xa, a,) = - 1,047276 + 1,135940. i. III. Om a och t äro tvenne variabler, förenade genom eqvationen æ3.t+a = æ, så kan æ enligt Lagranges formel utvecklas i en conver- 24 AFD. Π. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. gent serie, ordnad efter de stigande digniteterna af t, så länge modyl “ 27a% : Af detta teorem följer, att en rot till x3+pa+q = 0 måste kunna utvecklas i en convergent serie, så ofta som (27932% Andra fall att förtiga, är detta vilkor uppfyldt, hvarje gång eqvationen har tre reela och olika stora rötter, eller med andra ord, så ofta casus irreductibilis inträffar. Då kan städse en rot beräknas enligt Lagranges formel, som kan skrifvas sålunda: k — co *%-S(1-18412 72 ⅛ = 0 - eller, om vi utföra några termer, #, --+2-3.%+12.1% - 55 2% + 2732".. PP P P P P De båda andra rötterna åter medelst formeln (22, «3) = 1/2, = J/- 4p 323}. Naturligtvis blir kalkylen ytterst mödosam, om serien convergerar långsamt, och hon är i sådant fall icke att re- kommendera. Convergerar hon deremot starkt, såsom för- hållandet måste vara, då p är till sitt numeriska värde stort i jemnförelse med q, så kan hon med fördel använ- das. Vi skola visa detta genom nedanstående exempel. 1. Låt eqvationen vara x3-4x+1 = Os Serien blir i denna händelse 2 = 0,25 + (0,25)4 + 3 . (0,25)7 + 3 . (0,25)9 + 55 . (0,25)13 + 273 . (0,25)16 + ... AFD. TI. OM TREDJE GRADS EQVATIONER. 25 ∖∙ «, = 0,25 0,0039062.5 0,0001831.0 0,0000114.4 0,0000008 . 1 0,0000000.6 æ, = 0,2541017. De båda andra rötterna äro numera lätt beräknade och befinnas vara %2 = - 2,1149076, ¾ = 1,8608059. 2. Låt eqvationen vara 23+50* + 2 = 0. Denna eqvation har visserligen icke tre reela rötter, men vilkoret (279222 1 (4p3) är emellertid uppfyldt, och Lagranges formel, stäld under den ofvan angifna formen, måste derföre äfven i detta fall vara användbar. Vi beräkna alltså en af eqvationens röt- ter sålunda: 2 23 25 m 3 4 1 50504 507 eller a, = - 0,04 + 0,5 . (0,04)4 - 0,75.(0,04)7+... Redan tredje termen är så liten, att vi kunna försum- ma den och helt enkelt sätta 2, = - 0,04 + 0,00000128, hvaraf 2, = - 0,03999872. Med tillhjelp af denna kunna de båda imaginära röt- terna lätt beräknas. 26 AFD. II. SATS. Sats af G. DILLNER. 14. Om F(S) = S3-LS + MS - N = 0, der L = A + A, + A2, M = A4, + A4, + 4,A, - B2-Bi - B; , N= A4, 4, + 2BB,B, - AB* - A, B3 - A, B; ; bevisa, att, för 1 9N — LM " - - 3 M - 1 och för alla möjliga reela värden på A, A,, A, etc., F'(m) < 0, och på grund deraf de tre rötterna till F(S) = 0 reela *. AFDELNING III. Historisk redogörelse för de vigtigaste åsigterna om vätskors afdunstning. Af II. Hildebrand HILDEBRANDSSON. I fråga om vätskors afdunstning och ångors beskaffen- het voro fysici vid början af detta århundrade delade i tvenne hvarandra motsatta läger. Den ena åsigten, som utgått från den bekante läkaren Le Roy i Montpellier och med värme omfattades af den icke mindre ryktbare fysikern * Den anförda kubiska eqvationen är den välbekanta från läran om ytornas af andra graden principal-diametralplan. Skulle ett enkelt och elegant bevis kunna åstadkommas för denna sats, så vore dermed icke litet vunnet för förenklingen af denna vigtiga’ lära. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 27 och meteorologen Saussure, blef under en längre tid den herrskände, isynnerhet bland Frankrikes lärde. Enligt denna åsigt berodde vätskornas afdunstning af luftens närvaro, som i sig upplöste vätskan på samma sätt, som t. ex. vatten upplöser koksalt. Den andra åsigten utvecklades, med stöd af Wallerii och De Lucs experiment, förnämligast genom Dalton och vann sina tillgifnaste anhängare i Sverige och England. Enligt dessa vetenskapsmän bildade sig vattenån- gan genom värmets inverkan lika väl i tomrum som i luft, i följd hvaraf De Roys lösning ej borde anses vara annat, än en mekanisk blandning af de båda gaserna, luften och ångan. Mellan dessa båda uppfattningssätt utkämpades en het och långvarig strid, tills omsider Dallons teori vann segern. På sista tiden har dock genom Lamonts och andras under- sökningar visat sig, att den vanliga tolkningen af Daltons teori behöfver till en viss grad modifieras, ifall nämnda teori skall blifva allmängiltig. Om man följaktligen, med afseende på ångbildningen från vatten genom afdunstning under vanliga förhållanden, ej kan åt luften tillmäta så stor betydelse, som Le Roy trodde, så blir den dock å andra sidan ej heller af så litet inflytande, som Wallerii experi- ment och Daltons slutsatser kunnat förleda oss att an- taga. • Enär denna fråga i teoretiskt hänseende är af största vigt, och då vidare de första noggrannare försöken till dess lösning blifvit anstälda af en svensk: Nils Wallerius *, pro- * Nils Wallerius (f. 1706, d. 1764) synes ha varit en mångkun- nig man och mycket eftersökt såsom akademisk lärare. Hans biograf berättar derom följande: Medan W. var adjunkt i filosofi, måste han ibland börja sina lektioner kl. 2 om morgonen, då den ena hopen sedan aflöste den andra, ända till aftonen. Trängseln var väl ej alltid lika; men vanligen höll han 8 till 10 timmar dagligen föreläsningar, och det ej allenast i såväl den teoretiska som praktiska filosofien, utan ock i de flesta delar af matematiken och naturkunnigheten. På detta sätt till- bragte han 11 år, efter hvilkas förlopp han befordrades till log. et 28 AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. fessor i logik och metafysik vid Upsala universitet, ha vi trott, att följande kortfattade redogörelse för de vigtigaste dithörande experimenten och de på dem grundade åsigterna ej skulle sakna sitt intresse. 1:o. Le Roys och Saussures undersökningar. Le Roy anstälde sina försök i afseende på ångbild- ningen omkring 1750*. De voro ganska enkla. Han tog nya glasflaskor, i hvilka aldrig varit vatten eller någon annan vätska och korkade dem väl i fria luften en varm dag vid middagstiden. Den sålunda inneslutna luften var fullkomligt genomskinlig och ingenstädes syntes spår till någon fuktighet. Icke desto mindre fann han, om fla- skan fått hänga ute öfver natten, på morgonen hela insidan af densamma öfverdragen med dagg. Han varierade sedan försöken på det sätt, att flaskan till en del nedsänktes i kallt vatten, hvarvid det visade sig, att daggen afsatte sig blott på de delar af glaset, som varit omgifna af det kalla vattnet, under det att intet spår af dagg syntes inuti de ofvanom vattenytan befintliga delarna. Afven fann han, att daggbildningen ej berodde på temperaturdifferenserna mellan dessa olika delar af kärlet, utan att det fordrades, att vattenbadets temperatur nedgått till en viss punkt, för att densamma skulle uppkomma. Alla dessa fenomen hafva onekligen en stor analogi med dem som observeras med en saltlösning och Le Roy drog äfven ur dem följande slutsatser : Luften förblir ständigt vid högre temperatur genomskinlig utan spår till dimma, och vattnet kan således ej vara meka- niskt uppblandadt i luften. metaf. professor. Han blef sedan teologie doktor och slutligen förste in- nehafvare af den Kalsenianska professionen inom den teologiska fakulte- ten i Upsala. Hans bror var den såsom kemist bekante Johan Gott- skalk Wallerius, den ryktbare Torbern Bergmans företrädare. Jfr Biograf. Lexicon Bd. 19. s. 272. * Histoire de l'Acad. Roy. des Sciences 1751. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 29 Luften måste tvärtom tänkas upplösa vattnet, så som vat- • ten salt, och det gifves i det förra så väl som i detfsenare fallet en mättningspunkt, hvilken förändras med temperaturen, så att luften vid högre temperatur kan hålla en större mängd vatten upplöst, och om luften afkyles rinder mättningspunkten, så utfaller en del af vattnet. Till dessa åsigter lade Monge uti sin stora af handling, »om orsakerna till de förnämsta meteorologiska fenome- nen»*, ännu den, att luftens förmåga att upplösa vatt- net äfven skulle bero på dess tension, så att en kompri- merad luft kunde upplösa mera vatten i samma volym, än en tunnare Detta bevisades, menade han, dels derigenom att nordliga vindar, som vanligen åtföljas af högt barome- terstånd, äfven för det mesta medföra klart väder, under det att vindarna från motsatt håll oftast föra med sig lågt barometerstånd och nederbörd; dels genom det af gammalt kända försöket, att recipienten på en luftpump fyller sig med en lätt dimma under urpumpningen, ifall luften i den- samma förut varit mättad med fuktighet, hvilken dimma åter försvinner, om luft hastigt insläppes. Den verkliga orsaken till sistnämnda fenomen såsom beroende på tempe- raturvariationer, var redan förut 1788 framstäld af engels- mannen Erasmus Darwin. Ungefär samtidigt med de båda sistnämnda hade emel- lertid Saussure ** bevisat, att en i en recipient innesluten hygrometer efter luftens urpumpning går mot den sidan, som visar en större torrhet, och han ansåg, att den ob- serverade dimman, som uppkommer, då recipienten inne- håller vatten i öfverskott, förklaras deraf, att vattnets af- dunstning vid förtunningen går för fort, så att luften ej nog hastigt hinner absorbera densamma, hvarigenom den på nytt utfälles. Saussure hade nämnligen observerat vat- tenångans tryck på luftpumpens manometer, och han slöt * Annales de Chimie. T. V. 1800. ** Essais sur l’Hygrométrie. Neuchâtel 1783. Ess. II. Ch. 6; Ess. III. Ch. 1 et 3 30 AFD. III. OM VÄTSKOKS AFDUNSTNING. deraf, att vattnet äfven vid lägre temperaturer än kokpunk- ten genom värmets inverkan öfvergår till en gasformig kropp, nämnligen vattenånga, och modifierade i anledning deraf Le Roys hypotes derhän, att luften ej upplöste vatt- net omedelbart, utan först då det blifvit af värmet förvand- ladt till vattenånga. 2:0. Wallerii och De Lucs undersökningar. Under det att Le Roys åsigter, på detta sätt modifie- rade af den ryktbare Saussure, voro herrskande på konti- nenten, hade en annan gjort sig gällande i Sverige och England. Redan 1738 hade Nils Wallerius utfört en serie undersökningar* på vattnets afdunstning och funnit, att den försiggår med stor hastighet äfven i den största för- tunning, som med luftpumpen kan åstadkommas. Han utförde sedermera en flera år fortgående serie med försök öfver vattnets och flera olika vätskors, samt isens afdunst- ning, då de befinna sig i fria luften **. Han fann då: l:o att den vattenmängd, som afdunstar på lika tid och under lika omständigheter, är proportionel mot den fria vattenytan, på hvilken luften omedelbarligen verkar; 2:o att, om andra omständigheter äro enahanda, af- dunstningen är starkare, då värmen tilltager, ehuru icke proportionelt mot termometergraderna; 3:o att äfven ett starkare luftdrag verkar en starkare afdunstning, samt 4:o att olika vätskor hafva en olika evaporationsför- måga. Efter fullbordandet af dessa långvariga och med en för sin tid sällsynt noggranhet utförda undersökningar, framställer Wallerius slutligen sina åsigter » Om dunster- nas beskaffenhet och orsaken till deras uppstigande». Till en början bevisar han, genom anförande af æolipilen, m. m., * Acta Litteraria. Upsala 1738. ** K. Wetenskaps Akad:s Handlingar för 1746—47. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 31 att ångorna, som uppstiga från vattnet, »så länge de äro varma, äga en stark elasticitet eller utspännande kraft.» Dernäst uppkastar han den frågan: huruvida ångorna, då de hafva elasticitet, möjligen äro luft, eller huruvida med andra ord luften ej är annat än ångorna, som uppstigit från vatten och andra vätskor. Denna fråga besvarar han dock med nej. Efter att hafva anfört en mängd, till en del från vår nuvarande ståndpunkt orimliga bevis härför, öfvergår han till en framställning af orsaken till sjelfva ångbildningen och sammanfattar sin åsigt sålunda, att då flytande eller andra kroppar, antingen af värmet, eller gäs- ning, eller någon annan orsak bringas i en invärtes rörelse, deras minsta delar, som förnt gemom attraktionskrafternas in- verkan hängde tillsammans, nu blifva bragte utom sina attrak- tionssferer och således af den repellerande kraften under namn och beskaffenhet af ångor uppd.rifna ach kringspridda. Emel- lertid anser han, att denna repellerande kraft blott är or- saken till sjelfva ångbildningen, hvilken kraft äfven ver- kar i lufttomt rum, hvaruti ångorna med lätthet bildas och uppstiga. Om emellertid ingen luft tillsläppes, trodde han, att de nybildade ångorna genast åter föllo ned och kondenserades. I atmosferen uppstiga deremot ångorna och Fållas sväfvande i densamma af den orsak, att deras spe- cifika vigt vore mindre än den närmast jordytan befintliga luften, i följd hvaraf ångorna enligt de hydrostatiska lagarna uppstiga till den höjd, hvarest de komma i jemnvigt med luften. nr Ännu ett steg längre gick De Luc. Han bevisade med experimenter, att produkten af evaporationen alltid är af samma natur, nämnligen ett elastiskt fluidum, hvilket vare sig ensamt eller blandadt med luft verkar på, manometern ge- nom sitt tryck och på hygrometern genom sin fuktighet och detta utan någon olikhet beroende af luftens när- eller från- varo, åtminstone utan någon hittills observerad *. Enligt * Philos. Transactions 1792, p. 400—424. 32 AFD. III. - OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. De Luc egde luften ingen affinitet * till vare sig vattnet eller vattenångan. Vattnet förvandlades, genom värmets inverkan, till ånga, hvilken blandade sig med luften all- deles så som en ny luftmängd, med den skilnad likväl, att ångpartiklarna ej kunna närmas hvarandra mera än till en viss gräns, beroende på temperaturen, utan att åter öfvergå till flytande form. Om således ångan, t. ex. i ett i ena ändan slutet glasrör, tänkes vara afstängd medelst en qvick- silfverpelare, på hvars andra sida luften verkar med en atmosfers tryck, så öfvergår den vid hvarje temperatur un- der kokpunkten, till vätska. Från ett sådant närmande och sammantryckande äro emellertid ångpartiklarna skyddade då de fritt utbreda sig i atmosferen, emedan luftpartiklarna tränga sig emellan dem och lemna dem i samma läge till hvarandra, som i tomrummet. 3:o. Daltons teorier. Dessa åsigter utvecklades än vidare af Dalton**. Se- dan han genom sina bekanta undersökningar öfver ångors tension och vätskors afdunstning förmedelst noggrannare ob- servationsmetoder och fullkomligare experimentela hjelpme- del funnit De Lucs ofvannämnda lag bekräftad, att nämn- ligen ångornas tension är densamma i tomrummet och i ga- ser, samt vidare funnit, att gaser af olika täthet ej kunna * Berthollet i sin Statique Chimique T. I. p. 470 och följ, räknar origtigt De Luc bland de fysici, som antaga affinitet mellan luften och vattenångan, och detta påstående har sedan efter honom upprepats af flere författare. Det är möjligt att De Luc någonstädes yttrat nå- got, som kunnat tydas dertill. Att det icke var hans åsigt, åtmin- stone' 1792, synes af ofvanstående, och i sin bok «Idées sur Météoro- logie“/ egnar han ett helt kapitel till kritik öfver Saussures ofvan- nämnda åsigt. I det band af Phil. Trans., som Berthollet citerar, fins ingen afhandling af De Luc. ** Angående Daltons undersökningar se: Mem. of the literary and phil. Soc. of Manchester V. 5. New ser. V. 1. Nicholsons Journal of Nat. phil. rΓ. 5, 8, 9, 10. Phil. Trans. 1826 and 1837. Se äfven Gilberts Annalen. Bd. 12, 13, 15, 17, 21, 27, m. fl. st. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 33 hålla hvarandra i jemnvigt utan fullständigt blanda sig, äfven om de äro lagrade öfver hvarandra efter sin speci- fika vigt; så uppstälde han sin ryktbara teori för gasbland- ningar. Aro flera gaser eller ångor blandade med hvaran- dra, så måste enligt honom ett af följande fyra fall tänkas inträffa: l:o. Molekyler af olika gaser utöfva på hvarandra samma repulsion, som de minsta delarna af samma gas ut- öfva på hvarandra. 2:o. Repulsionen mellan delar af olika gaser är större eller mindre, än mellan delar af samma gas. 3:0. Repulsionen mellan olika gaser är = 0. 4:o. Kemisk förening inträder. Då nu det sista fallet ej af kemiska grunder kan an- tagas för gasblandningar, så återstå blott de tre första. I första fallet skulle emellertid gaserna komma att lagra sig öfver hvarandra enligt sin specifika vigt och i andra fallet vore t. o. m. en blandning omöjlig. Det tredje fallet åter förklarar med lätthet alla fenomen. Gaser och ångor må- ste enligt denna förutsättning fullständigt genomtränga hvarandra och vattenångan måste i luften antaga exakt samma tension som i tomrummet. Enda skilnaden är den, att utbredningen genom en gas måste försiggå långsammare än i tomrummet, i följd af det passiva motstånd gasens molekyler sätta mot rörelsen, liksom en bäck hämmas i sitt lopp, då den nödgas sila fram mellan stenar. På grund af dessa betraktelser, som vunno stöd i hans talrika och noggranna experiment, uttalade han såsom sin åsigt » att de heterogena partiklarna af blandade elastiska fluida icke ömsesidigt repellera hvarandra på de afstånd, hvarpå de homogena partiklarna af en och samma gasformiga kropp repellera hvarandra, och att de, om de (för alt förblifva vid det vanliga språkbruket) bringas i verklig beröring med hvar- andra, i hvarje afseende göra hvarandra motstånd som oela- stiska kroppar.» ' 3 34 AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. Denna lag har, som bekant, sedermera uttryckts så, att gaser och ångor af olika slag ej kunna hålla hvarandra i jemnvigt, utan utbreda sig genom hvarandra alldeles så, som om hvar och en vore den enda, som fylde kärlet, endast med den skilnad att denna utbredning går långsammare än i tom- rummet, i följd af det mekaniska hinder de ö/riga gaserna sätta mot partiklarnas fria rörelse. I stort tillämpade Dal- ton sin lag på jordens atmosfer genom det antagandet, »att hvar och en af de gaser, hvaraf den består, utgör en egen oberoende atmosfer. » Dessa Daltons åsigter rönte emellertid på många håll häftigt motstånd och en vidlyftig polemik utspann sig, som just ej alltid (isynnerhet i Tyskland och England) kan sägas hafva förts med synnerlig humanitet. I Frankrike framträdde flera af tidehvarfvets störste naturforskare, så- som Berthollet *, Monge, Laplace, m. fl. och underkastade Daltons åsigter en allvarlig kritik. I Tyskland framstälde dralles tvenne vigtiga inkast: dels påpekade han, att formeln för höjdmätningar med barometern icke kunde, såsom den gör, gifva med erfaren- heten öfverensstämmande resultater, såvida ej luftens sam- mansättning vore densamma i de högre rymderna, som vid jordytan; dels att alla direkta bestämningar af luftens sam- mansättning på större höjd gifva samma resultat, som ana- lyserna af luftmängder tagna nära jordytan, då deremot enligt Daltons åsigt syrehalten måste aftaga i de högre re- gionerna, såvida nämnligen hvardera gasen skulle utgöra en egen oberoende atmosfer. — Dalton sökte förgäfves att genom direkta försök vederlägga dessa inkast, som från många håll upprepades, och det återstod för honom intet annat än att antaga, att de oupphörliga strömmarna i at- mosferen fullständigt omblanda dess beståndsdelar. Att Daltons åsigter, oaktadt dessa inkast och motstån- * Se härom Pujoulx: Leçons de Phys, de l’Ecole Polyt. Paris 1805, p. 244, samt Haüy: Traite' élém. de Physique. Paris 1806. T. I. p 191. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 35 det af flera framstående fysici, alit mera vunno insteg, dertill bidrogo i väsendtlig mån: Gilbert, genom sin ut- märkta kritik af dessa frågor i de ofvan citerade banden af sina annaler; Henry genom sina undersökningar öfver vätskors absorption af gaser, hvarvid han uppvisade att en gas ej kan hållas qvar i en vätska genom det tryck, en annan gas utöfvar, d. v. s., för att anföra ett exempel, att kolsyran bortgår lika fullständigt ur ett glas sodavat- ten, om det står i fria luften, som om det befunne sig i tomrummet; och slutligen Regnault, som genom sina rykt- bara försök satt utom allt tvifvel, att gaser och ångor ut- breda sig på sådant sätt genom hvarandra, att de slut- ligen hvar för sig fylla kärlet med samma tryck eller ten- sion, som hvar och en skulle hafva, om den ensam fylde detsamma. Daltons lag har ock på grund häraf vunnit ett allmänt erkännande och har på senare tider ingått äfven i alla elementära arbeten öfver fysiken. Emellertid hafva på sista tiden tvifvel å nyo uppstått emot den Dalton'ska lagens rigtighet, eller det har åt- minstone blifvit satt i fråga, huruvida det vore fullt kor- rekt att under alla omständigheter säga: att »om flera ga- ser befinna sig i samma rum, så utöfvar hvarje gas ett tryck blott på sina egna molekyler.» Vid sina beräknin- gar af meteorologiska observationer bar nämnligen prof. Dove i Berlin, som i hela dess stränghet omfattar den Dal- tonska teorien, ansett sig, för att få veta lufttrycket på en gifven ort, böra fråndraga den i atmosferen befintliga vattenångans tension från de direkt erhållna barometerhöj- derna. Denna subtraktion anser deremot prof. Lamont i München, dervid stödjande sig på sina meteorologiska iakt- tagelser, vara alldeles oberättigad. Enligt hans åsigt fin- ner nämnligen den Daltonska regeln ingen användning inom meteorologien, ty om vattenångan i atmosferen, som är stadd i en oupphörlig rörelse, kan man alldeles icke säga, att hon bildar en af luften oberoende och ensamt för sig i jemnvigt stående ångatmosfer. Man måste tvärtom i följd 36 AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. af rörelsen antaga, att luften och ångan dervidlag utöfva ett tryck på hvarandra, och det var hufvudsakligen för att kontrollera detta sitt antagande, han för några år sedan anstälde följande experiment*. Han använde en glaskula, försedd med ett smalt glasrör, som böjdes horizontelt, och i hvilket befann sig en qvicksilfverindex. Mellan kulan och indexen var röret dessutom böjdt U-formigt nedåt. Kulan och den U-formiga nedböjningen på röret nedsänktes i två bägare med kallt vatten, och hela apparaten var fyld med torr luft. Uppvärmdes nu det första vattenbadet, så ut- vidgade sig luften i den deruti nedsänkta kulan, indexen sköts framåt i röret, och dess väg uppmättes. Omgjordes försöket med litet vatten i ballongen, så borde, enligt Dalton, qvicksilfrets rörelse blifvit i det allra närmaste densamma som nyss, ty största delen af vattenångan kon- denserades i det U-formiga röret och kunde således ej verka på indexen. Det visade sig emellertid, att rörelsen blef betydligt större i det senare fallet, än i det förra, då för- söket utfördes mellan samma temperaturer, och Lamont slöt deraf, alt vattenångan när den bildades sköt luften fram- för sig och således utöfvade ett tryck på densamma. På uppmaning af prof. Ångström anstälde jag seder- mera tillsammans med nuvarande astronomie docenten Lo- sen noggrannare försök häröfver **. De metoder vi använde voro fullkomligt analoga med Rudbergs och Regnaults be- kanta för bestämmandet af gasers utvidgning. Enda skil- naden bestod deruti, att ballongerna innehöllo en bestämd qvantitet vatten, samt att vid användning af manometer ett kylrör infogades mellan densamma och ballongen på sådant sätt, att det i detsamma utfällda vattnet rann till- baka. Utrymmet förbjuder mig att ingå på närmare de- taljer, hvarför jag blott tillägger, att vi lyckades experi- mentelt bevisa, att vattenångan under evaporationen utdrifver * Poggendorffs Annalen d. Phys. u. Chemie. B. CXVIII. ** Öfversigt af K. Wetenskaps Akad:s Förhandlingar 1864. AFD. III. OM VÄTSKORS AFDUNSTNING. 37 ur kärlet en luftmängd, som jemnt motsvarar ångans tension vid den ifrågavarande temperaturen. Detta öfverensstämmer äfven med det bekanta faktum, att man genom kokning kan utdrifva luften ur ett kärl. Af det nu anförda kan således den slutsats dragas, att ' det mekaniska hinder, hvarom Dalton nämner redan vid fråga om olika gasers blandning med hvarandra, blir af ännu större betydelse, så snart den ena gasen är stadd i så pass stark rörelse, som vid afdunstningen eger rum. Om det således å ena sidan är sant , att två kemiskt olika gaser vid hvila och jemnvigt ej utöfva något tryck mot hvar- andra, d. v. s., att de fortfarande under en längre tid ej kunna såsom tvenne skiljda lager spärra vägen för hvar- andra eller lagra sig öfver hvarandra, såsom ungefär qvick- silfver och vatten vid fråga om vätskor, utan tvärtom att de olika gaserna måste så småningom fullständigt genomtränga hvarandra; så är det äfven å andra sidan alldeles säkert, att ett tryck, men af blott mekanisk be- skaffenhet, uppstår, så snart en rörelse hos endera gasen förefinnes, och detta motstånd blir i samma mån stort, som hastigheten vid rörelsen växer. Att trycket endast är af rent mekanisk natur, inses deraf, att man omöjligen genom oupphörlig ökning af trycket hos en gifven gas, t. ex. luft, kan tvinga en annan, i samma kärl befintlig gasmassa, t. ex. kolsyra, att öfvergå i flytande tillstånd. Visserligen skjuter den inpressade luftmängden framför sig den förut i kärlet befintliga gasblandningen och trycker den mekaniskt tillsammans i någon mån, men så snart hvila inträdt, utbreder sig kolsyran på nytt genom hela kärlet, och dess minsta delar förblifva således på samma afstånd från hvarandra, luftens tryck må ökas huru mycket som helst. 38 AFD. IV. ANMÄLD SKKIFT. ÂFDELMNG IV. Anmäld skrift. Les premières notions de la théorie des fonctions ellip- tiques, par E.-G. Bjôkijng (senior); Greifswald 1868, 8:0. Det är med synnerlig glädje vi i dag kunna anmäla ett arbete af en bland matematikens veteraner i vart land. Lektor B. har sedan 1831 med ospard möda och ett sällspordt nit egnat sina krafter åt skol- ungdomens handledning inom matematiken, och denna sin gagnerika verksamhet har han utöfvat ej blott vid de läroverk, der han i egentlig mening varit anstäld såsom lärare, utan äfven inom vida större kretsar, i följd af de utmärkta läroböcker, han till ungdomens tjenst författat. Oaktadt denna rastlösa flit i skolans tjenst har han ändock funnit tid öfrig att med en framgång, hvilken det ej höfves oss att vitsorda, egna sig at rent vetenskapliga arbeten inom den högre analysens område, hvarom Wetenskaps Akademiens Handlingar, Wetenskaps Societetens Acta, Grunerts Archiv och Grelles Journal bära talrika vittnesbörd. Till dessa sistnämnda arbeten har han nyligen lagt ännu ett, nämnligen om de Elliptiska functionerna, hvilket var intaget i 1866 års program för Westerns högre elem.-läroverk, men nu efter öfverflyttning på franska språket offentliggjorts äfven i Grunerts Archiv. Afsigten med denna skrift är — yttrar förf. — att för nybörjaren bereda ett lättare inträde till detta svåra område af den högre matematiken. Förf:s skärpa i definitionerna och diskussionen jemnte hans väl afpassade begränsning af ämnet bör vara honom en borgen, att han lyckats i denna sin afsigt. Vi hoppas och önska, att L. B. allt framgent må få åtnjuta helsa och krafter till glädje för sina anhöriga och vänner, samt till gagn för saväl skolan som vetenskapen. Den fysiskt-matematiska afdelningen af naturvetenskap- liga sällskapet i Upsala. Detta sällskap stiftades i början af 1850-talet af dåvarande amanuensen, numera observatorn vid Upsala astron, observatorium Herman Schultz. Det erhöll då namnet naturvetenskapliga sällskapet för att erinra om dess anspråkslösa karakter. I följd af naturvetenskapernas mångfald grupperade sig medlemmarne snart i tre afdelningar, en för botanik och zoologi, en för kemi och mineralogi samt en för de matematiska veten- skaperna. Vi vilja en stund sysselsätta oss med den sistnämnda afdel- ningen. Dess medlemmar utgöras af studenter och yngre akademiska AFD. IV. DET FYSISKT-MATEMATISKA SÄLLSKAPET I UPSALA. 39 lärare. Sammankomsterna hållas hvar fjortonde dag. De inledas med ett föredrag. Derefter lösas, bevisas och diskuteras matematiska och fy- siska satser. Slutligen redogöras af enkom dertill utsedde referenter i matematik och fysik för de märkligare upptäckter inom dessa vetenska- per, som dagens vetenskapliga journal-literatur vet att omtala. Nyss förflutne höst var undertecknad lycklig nog att få vara närva- rande vid en sådan sammankomst. De närvarande medlemmarne voro omkring ett dussin. Sekreteraren höll ett föredrag angående en komet- banas bestämning ur 2 och en planetbanas bestämning ur 3 observatio- ner. Han visade sig fullt beherrska ämnet. Derefter upptogs till be- handling följande sats: Att af fyra gifna linier upprita den största möjliga fyrhörning. Sedan en af medlemmarne medelst differentialkalkyl visat, att den fyrhörning har största ytan, som har de motstående vinklarne lika med två räta, uppträdde docenten Lundström och visade först det elemen- tära bevis för denna sats, hvilket finnes i våra trigonometrier. Derpå framstälde han ett annat, som visserligen genom sin förutsättning — « af alla ytor med samma omkrets har cirkeln den största ytan « — ifrån elementär ståndpunkt lemnar åtskilligt öfrigt att önska, men som genom sin enkelhet och sin egenskap att kunna utsträckas till en månghörning med ett sidoantal hvilket som helst är synnerligen lärorikt — det låter oss se saken i stort. Med benägen tillåtelse meddelar jag detta bevis. Sats. En månghörning A, kring hvilken en cirkel later omskrifva sig, är större än en månghörning B, bildad af samma sidor, hvilken ej har denna egenskap. Ty lat kring månghörningen A cirkeln C vara omskrifven, och upp- rita pä hvar och en af månghörningen B:s sidor cirkelsegment kongru- enta med de segment, som stå på motsvarande sidor i månghörningen A. Vi hafva nu 2 figurer med samma omkrets, nämnligen cirkeln C och den af cirkelbågar begränsade figuren D Emedan cirkeln är större än hvarje annan figur med samma omkrets, följer att figuren C f figuren D. Borttages från båda sidor de lika stora segmenten, blir den återstående månghörn. A > den återstående månghörn. B, h. s. b. Efter den grundliga behandlingen af denna fråga visades konvergens- kriteriet för en uppgifven serie. Sammankomsten afslutades med under- sökningen af en i optiken förekommande bugtig yta. o Det hela gjorde ett angenämt intryck. Asynen af unge män, som med hela sitt hjertas håg hängåfvo sig åt de matematiska vetenskaper- na, kom hjertat att klappa varmt och påminde om de ljufva dagar, då vi voro arbetande medlemmar i detta sällskap. F. W. HULTMAN. 40 AFD, IV. DISKUSSION OM UNDERVISNINGEN Om den aritmetiska undervisningsmetoden. 1. Diskussion om undervisningen iaritmetik. Af lektor GULLBR. ELowson. (Forts, fr. sid. 297 förra årgången.) Om läraren noga fasthåller l:sta momentet i det ofvan antydda må- let för den aritmetiska undervisningen, så synes mig lärjungen kunna säkrast och lättast förvärfva sig den förmåga, som sätter honom i stånd att uppfylla det angifoa 2:dra momentet i detta mål. Ty om lärjungen känner betydelsen af de särskilda räkneoperationerna eller åtminstone syftet med hvar och en af dem och de hufvudsakliga fall, i hvilka de användas, så synes det naturligt, att han med ledning af denna kun- skap säkrast förvärfvar sig förmåga att bedöma, hvilken räkneoperation bör användas i hvarje särskildt fall af de i lifvet förekommande räkne- frågor. Såsom en möjlig och äfven enligt min erfarenhet icke sällan förekommande följd af mekanisk räkning efter på förhand inlärda regler uppgifver H. den omständgheten, att en yngling med långt drifven räknefärdighet det oaktadt kan «fastna< vid lösningen af den enkla frå- gan, hvad ⅛ af 12 Rdr är, emedan han af « instinkten « förledes till origtig användning af en känd räkneoperation. Denne gosse felar först och främst derutinnan, att han vid lösningen af det framställda proble- met låter sig ledas af instinkten och icke af förståndet. Den undervis- ningsmetod, som med afsigt att uppfostra i intellektuelt hänseende ta- ger instinkten till hjelp, är eo ipso förkastlig. Möjligen är det mate- matiska snillet beslägtadt med någon divinatorisk instinkt (sit venia verbo), men snillet bör man sannerligen låta bli att fästa afseende vid, da fraga är om undervisning i våra skolor för den stora mängden af medelmåttiga förmågor. Vidare visar denne samme gosse på det tydli- gaste, att han icke känner betydelsen af multiplikation. Ty om han vet, att produkten af 3 och 12 är per ipsam definitionem multiplicatio- nis just Å-delar af 12, så lär han icke gerna kunna undgå att inse, det 3-delar af 12 är just produkten af 4 och 12. Den såsom exempel fram- stälde ynglingen gifver bevis om ofullständig aritmetisk bildning deri- genom att han icke känner, i hvilka fall multiplikation bör användas, ännu mindre hvad multiplikation betyder, och derigenom att han icke kan genast uppgifva resultatet af den ifrågavarande enkla räkningen. En annan följd af mindre god undervisning i aritmetik visar sig ofta deruti, att fullväxta personer, som länge och mycket sysselsatt sig med de i lifvet förekommande räknefrågor och hvilka utan att vilja anses för aritmetici dock skulle betrakta såsom en förnärmelse, om man satte i fråga, huruvida de kände betydelsen af multiplikation, genast och såsom någonting sjelfklart uppgifva svaret på frågan, hvad å-delar af 12 Rdr I ÅRITMETIK. AFD. IV. 41 är, men dock kunna «fastna«, om man frågar dem, hvilket räknesätt de för frågans besvarande använde. Det kan inträffa och har ofta in- träffat, att en gosse kan uppgifva, hvad 4-delar af 12 Rdr är, utan att veta, hvilket räknesätt han för resultatets finnande skall använda, och att en annan vet, huru han skall gå tillväga, för att finna hvad 3-delar af 12 Rdr är, utan att genast hafva resultatet «i hufvudetβ. Hos båda är kunskapen i aritmetik mindre nöjaktig; men jag sätter dock den se- nares kunskap betydligt högre än den förres. Den senare kan nämnli- gen besvara alla likartade frågor t. ex. hvad 33r- delar af 0,00643 är, hvilken fråga den förre omöjligen kan besvara, savida icke den bristande kunskapen i det första fallet var en följd af tillfällig tanklöshet eller han är något slags aritmetiskt underbarn, som kan ei hufvudet« finna, huru mycket 531-delar af 0,00643 utgör och dock icke på samma gång vet, att det för honom bekanta resultatet är produkten af de båda gifna talen. Då en gosse vet, att 588-delar af 0,00643 erhålles genom multi- plikation, sa kan han ock, när han kommer till algebran, utan svårig- het finna, hvad —-delar af a är, hvilket är obegripligt för den, som icke känner betydelsen af multiplikation. Svaret på den i alla applika- tioner af aritmetiken vigtiga frågan: «hvilket räknesätt skall jag här använda« synes mig följaktligen böra säkrast finnas, om man känner betydelsen af de särskilda räknesätten eller åtminstone de hufvudsak- liga fall, i hvilka de användas. Det 3:dje momentet i det mål, hvartill den aritmetiska undervis- ningen bör sträfva, nämnligen färdighet i räkneoperationernas utförande, vinnes genom flitig öfningsräkning såväl Eqvationerna (5) blifva således 2a2b2c2a2b28 (6) C+2 - a'p2+a'b*' 2+2 aß" + €20*’ och mellan dessa och (4) skola nu a och ß elimineras. Genom att dividera eqvationerna (6) med hvarandra erhålles a+R_ à 8+3 A' och häraf samt med stöd af (4) . /2 2 C-U-£ Ne+y aß r Tager man härur uttryck för a och ß, samt insätter dem i (6), så får man efter en enkel reduktion eller genom qvadrering och nämnarnes bortskaffande (8) (a2+B2)(a2 + y2)(ay2 + b°a2)2 = (a2—62)"(a?y?-ba-)2, som är den sökta ortens eqvation. Den är alltså en sjette- grads-kurva, symetrisk i afseende på koordinataxlarne, och som har en mångfaldig punkt i origo. AFD. II. LÖSNING AF SATS 6. 79 För att undersöka dess form nogare, införa vi i (7) polarkoordinater förmedelst de bekanta formlerna: x = QCosp, y = o Sin g och erhålla derigenom 791 a>-b2 a> Sin29—b2Cos”9 ° , a2 Sin 39p + 62 Cos 2φ ' För 9p = 0 eller — blir o =-----------------. Vi be- teckna detta värde med 01 , och eqv. (9) blir derigenom a2 Sin 2 œ - 62 Cos 2 gp (10)----------------------------------------0 =0. —---------------------------------2-------------------------------- .-------------------------------------------90 a>Sin39 + b2Cos2g' Genom införande af en hjelpvinkel v, bestämd ge- nom vilkoret a te U = 7, tg (o, kan förestående eqvation bringas till den ännu enklare 02 = e? Cos3yp, men vi föredraga för vårt ändamål formen (10). 62 % p blir = 0 för tg2φ = —. Betecknas arctg — med (p. , så blir, om vi låta 9p variera från 0 till 2ir, det öfre Q- värdet i (10) positivt endast för 7 - 91 > 9 > 91 och 2-91> 9 > 7 + 9r, det nedre Q-värdet tvärtom. Derivation af (10) ger N do 2a-b2 Sin 2yp - dy (α2Sin2φ + b2Cos2g)2 ’ följaktligen blir £ maximum för 9 =och då tydligen = G- 80 AFD. II. LÖSNING AF SATS 6. Genom division af (10) och (11) erhålles ρdφ _ a4Sin49 - b°Cos“9 ( de 2a2b2 Sin 29 ’ som utvisar, att kurvan är vinkelrät mot radius vector i maximi-punkterna, men tangerar densamma, då tg 2 © är b2 a3 ' I fig. 1 äro uppritade ellipsen (1), cirkeln (4) och vår sökta kurva. Denna senare består af fyra öglor, syme- triska två och två. Det öfre o-värdet representerar den öfre och nedre öglan, det nedre värdet den högra och ven- stra. Alla fyra tangera den kring ellipsen omskrifne rekt- angelns diagonaler. Tager man på cirkelbågen AB en punkt hvar som helst och drager derifrån de båda ellips-tangenterna, så träffas de tillhörande normalerna i en punkt på den högra öglan. Likaså motsvaras cirkelbågen BC af den nedre öglan, CD af den venstra, DA af den öfre. De analoga resultaten i afseende på hyperbeln erhållas nu utan svårighet genom att i föregående formler utbyta 62 mot — δ2. Sålunda blir den mot (4) svarande eqvationen (13) a2+p2 = a2-b2. År hyperbeln likaxlig, reducerar sig denna cirkel till en punkt, origo. Till den likaxliga hyperbeln kunna ock i sjelfva verket endast två vinkelräta tangenter dragas, nämn- ligen de båda asymptoterna. Ar b>a, förlorar eqv. (13) all betydelse. Också kunna ej tvenne vinkelräta tangenter dragas till en så beskaffad hyperbel. Genom den ofvannämnda substitutionen öfvergår eqv. (9) till AFD. II. LÖSNING ÀF SATS 6. 81 a2 + b2 a° Sin2, + b2 Cos 2 2 9 V/a2—62 a2Sin2 9 — 62 Cos 2 gp' hvilken också förutsätter a> b. År detta vilkor uppfyldt, så eger tydligen det intres- santa samband rum mellan kurvorna (9) och (14), att den' enas radius vector är inverse proportionel mot den andras. Den senare kroklinien består alltså af fyra skilda delar — motsvarande den förras öglor — af hvilka hvar och en har tvenne oändliga grenar och samma asymptoter som hyperbeln. Kurvan liknar således mycket tvenne konjugat- hyperblar. Ellipsen öfvergår, som bekant, till parabel, om stor- .. 62 axeln a växer indefinit, under det att qvoten — tenderar a till en fix gräns 2p, parametern. , Flytta vi nu vårt origo till ellipsens (1) venstra spets, utbyta i (4) b2 mot 2ap och låta a öfvergå till limes, så förvandlas denna cirkel-eqvation till (15) a+p = 0, och vi återfinna sålunda ett sedan gammalt kändt teorem, nämnligen: Orten för de punkter, från hvilka man kan draga tvenne vinkelräta tangenter till en gifven parabel, är dess direktrice. För att finna orten för de vinkelräta parabel-norma- lernas skärningspunkter, behandla vi på samma sätt eqv. (8). Substituera vi der æ-a i stället för x, och 2ap i st. f. 62, erhålles (a2 + 2ap)(a” - 2aa + «2 + y3)[a'y3 + 2ap(a - α)2]2 = (a2 — 2ap) [a?y2 — 2ap(a - α)2]2 . Vi förkorta å ömse sidor med a3, utföra multiplika- tionerna, ordna resultatet efter de aftagande digniteterna 82 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. af a och erhålla sålunda, om afseende fästes blott vid de båda högsta digniteterna af denna qvantitet, 4p-a7 + 4p(2p2 +y2 - 6pa)a6+... = 4p al-4p(4p2 +y2 + 4pa)a®+ ... Efter limes-öfvergång återstår blott yå = p(a—3p), hvaraf synes, att den i sats 6 efterfrågade orten äfven är en parabel, hvars axel sammanfaller med den gifnas, hvars spets är belägen på halfannan parameters afstånd från dennas, och hvars egen parameter är en fjerdedel af den ursprungliga. Resultatet kan på direkt väg med lätthet verifieras. Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 285, Årg. I). Kap. I. Öfningsexempel. 1. Bevisa genom konstruktion följande identiteter. α) (z-3in)(+3,2) = ^2+y2 • b) (a_„+b_A)(aq+be) = a2+b2+2ab Cos (a-ß). c) (au-ba)(aw+by) = (aw)=-(6p)2- d) (aa+ba)2 = (aa)2+(0p)2+2a,-bp- 2. Finn modylerna och argumenten för summorna α) 1+1,4: ^ -1 1 3. Finn de trigonometriska relationer, som härflyta af följande identiteter. . AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. 83 β) 1a-1,a = (la+1,(la-1p) = 144p.2 Sin(a-P)=. δ) 1aa+1,a - (l+1,2-2a48 = 1a4p.2 Cos a-F). •) lha-1as-(1,-1,)(lau+1,s+1m4p)=(1,-1,)1(1,+1,)"-1n4p1 ^ vw^w^w^^ e) lma-1,8=(1_*1,)(1,-ie+1,-2u-1,+..+1a.1,—as+1,—18), der n representerar ett jemnt eller udda tal. f) 1ha+lhe=(1.+1p)(l,-1,-aa-lg+..-1a.1,-g8+1,14), der n representerar endast ett udda tal. 1 exemplen a)—f) lägge nian märke till, att fak- torn 1,(e+4) kan efter utbrytning bortstötas. 9) lgatlgatlay-34.8.7=(14*1,+1,)(1aa+1ag+lay-laapr1may-1p.y) der man har att iakttaga, att den förre faktorn kan sättas ⅛√) ∙ Cos #(a—P) + 1,(a-p) • Cos 4(a-Y)+ 1,(8-p) ∙ Cos V(-Y) och den senare faktorn 1(1« - 1p)3 +40w- 1,)3+ 40,- 1,)2 • 4. Bestäm de relationer, som förefinnas mellan si- dorna och vinklarne af en i en cirkel inskrifven fyrhörning. 5. Finn den eqvation, som uttrycker sambandet mel- lan kordan för en cirkelbåge och kordan för en née del af bågen *. 6. Krafter, anbragta i samma punkt, äro till storlek och rigtning representerade af de r på hvarandra följande sidorna i en regulier n-hörning; bestäm resultanten. Om åter de 9 krafterna skola ersättas af tvenne mot hvarandra vinkelräta krafter i förhållandet p:q, finn dessas storlek och rigtning a) genom uträkning, b) genom konstruktion. * Denna annars icke så synnerligen lätta uppgift (jfr Arg. I, sid. 185) kan, om hon med komplexer angripes från rätt sida, lätt och full- ständigt utföras på ett ytterst ringa utrymme. 84 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN GEOMETRISKA KALKYLEN. 7. Om räta linien ρu representeras af eqvationen o Cos (co — a) = p, finn i rätvinkliga och polära koordinater eqvationen för räta linien Te, då r, = k,-e.» der k är konstant. 8. Lös med stöd af föregående sats följande uppgift: att lägga en triangel af gifven form så, att han stöder sina tre spetsar på hvar sin af tre gifna räta linier. 9. Om e. = l+(a + u)g » der I och a äro konstanta samt u = ±Q, visa, att Q un- der dessa vilkor kan representera hvilken form som helst af den koniska sektionen. 10. Om h, k, a, 1 och e antagas konstanta och x+y,' ~ h+k, + 1.0 • 27 27 asm samt ,----⅛---= β, ρ OOS ω härled af dessa likheter de formler, som beröra läran om brännpunkten och styrlinien. 11. Om h, k, a, , e och p äro konstanta och h+k, + 1.(+y ) = o samt 0(1 + e Cos co) = p, bestäm h, k, a och φ så, att 1:o för e 31 m.2 + ny2 = 1, 2:0 för e = 1 32 = 2qa; under hvilken form framträda koefficienterna m, n och q? 12. Om i likheten — ρ +1 .ρ v Sw a Snw AFD. II. sats. 85 0 antages konstant, d. v. s. om 0 antages beskrifva en cirkel och 0,w med sitt på denna cirkels omkrets rörliga origo antages beskrifva en cirkel med lika radie, men med n gånger så stor vinkelhastighet och det så, att, då den förra komplexen befinner sig i grundrigtningen, så är den senare i rigtningen a; uttryck i polära och rätvinkliga koordinater eqvationen för epicykeln re. 13. Likheterna r, = a + . och 0. = b+u, äro gifna; uttryck i rätvinkliga koordinater eqvationen för linien 0. under antagande, att a och b samt produkten ru äro konstanta. 14. En triangel med konstant bas är gifven; finn i rätvinkliga koordinater eqvationen för den af spetsen be- skrifna linien, då den yttre vinkeln är = 22. af den inre, n 3) den ena basvinkeln är = m af den andra, n Y) den ena basvinkeln är = ” af vinkeln vid spetsen. (Forts.) Sats af lektor Μ. F. Hallström. 14. Att lösa eqvationerna n∕—- 1 1 NE + Na+l = n + , N/x N/a+1 n 1 n 1 Nx + — = Ax+1 + - • N/æ √Λ'+1 86 AFD. III. OM URTID 00H VECKODAG. AFDELNING III. Om urtid och veckodag på olika punkter af jordytan. Af ROB. THALÉN. Inom hvarje stat med ordnade samhällsförhållanden måste en väl reglerad tidräkning anses vara af största vigt. Redan hos de äldsta kulturfolken, t. ex. Hinduer och Ara- ber, var en sådan fråga föremål för alvarliga undersök- ningar, och i följd deraf kom äfven astronomien, utan hvilken ingen noggrann tidräkning kan i längden fortgå, att af dem med synnerlig förkärlek omfattas. Såsom be- kant är, var det dock hufvudsakligen blott regleringen af de religiösa festerna, som fordom erfordrade pålitliga tids- bestämmelser. Numera är det inom de moderna samhäl- lena äfven för det borgerliga lifvets alldagliga behof, för att ej tala om de rent vetenskapliga intressena, i långt vidsträcktare grad nödvändigt, ja rent af oundgängligt, att städse kunna noga bestämma vecko- och kalenderdag ej blott för sin egen ort, utan äfven för hvarje annan punkt på jordytan; man erinre sig blott den lifliga samfärdsel, som genom användning af ånga och elektricitet på senare tider inträdt mellan vidt skilda folk. Några ord om den urtid och veckodag, som på olika punkter af jordytan sam- tidigt räknas, skola derför — hoppas vi— isynnerhet som AFD. I1I. OM URTID OCH VECKODAG. 87 de äro ämnade för de yngre bland tidskriftens läsare, här icke anses olämpliga *. 1. Hvar och en som befunnit sig vid någon vid det stora jernbannätet i vårt land liggande station vet redan, att en tidskilnad i allmänhet finnes mellan jernvägstiden (Göte- borgstiden) och lokaltiden. Så t. ex. uppgår denna skil- nad i tid mellan Stockholm och Göteborg till 24 minuter, med hvilka Stockholmsuret är före Göteborgstiden. Regeln för tidskilnaden är i allmänhet den, att klockan på hvarje mera östligt belägen ort i ett gifvet ögonblick går före den vestligare klockan, deremot att tvenne under samma meri- dian belägna orter ha samma tider. Tidskilnaden mellan två orter beror således blott på deras skilnad i longitud, men är oberoende af olikheten i latitud. Huru stor denna tidskilnad mellan de båda orterna måste vara, i följd af deras relativa geografiska lägen, kan lätt bestämmas, utan att man behöfver fördjupa sig i några rent astronomiska undersökningar. Tiden som förflyter från det ögonblick, då solen ena dagen befinner sig i söder för en gifven och på norra half- klotet belägen ort, eller såsom det kallas passerar meri- dianen, tills hon den följande dit återkommer, kallas så- som bekant är ett dygn, eller riktigare ett soldygn, och delas i 24 timmar **. Antaga vi denna solens skenbara rö- relse på hvalfvet såsom verklig, hvilket här utan olägen- * En uppsats öfver samma ämne, ehuru särdeles kortfattad, har redan förut varit på svenska offentliggjord, nämnligen i kalendern Svea för 1858: « Om tidens olikhet på särskilda orter«, af kapten C. A. Pettersson. I «Wochenschrift für Astronomie, Meteorologie und Geographie“, N:o 48, 1868 har Prof. Heis i Münster skrifvit en uppsats öfver detta ämne med samma titel, som den vi ofvan begagnat. Det är hans arbete, som tjenat oss till förebild, och ur hvilket den bi- fogade kartan blifvit kopierad. ** För rullningen af ett hvarf kring sin axel behöfver jorden 23t 56m 45 vanlig soltid. Men under loppet af ett dygn har hon der- jemnte rört sig framåt i sin bana omkring solen, och på det att full- 88 AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. het kan ske, inses lätt, att solens ankomst i söder för en vestligare belägen ort måste inträffa senare, än för en öst- ligare belägen. Och om vi vidare för enkelhets skull an- taga solens ofvannämnda rörelse ske med uniform hastig- het, skulle tiden mellan hennes raeridianpassager å de båda orterna vara beroende af deras på eqvatorn uppmätta me- ridianskilnad. Som nu equatorn delas i 360 grader, och solens dagliga omlopp erfordrar 24 timmar, kommer en tidskilnad af en timme att belöpa sig på hvarje 15 graders båge på equatorn, eller — hvilket blir detsamma — på 15 graders longitudskilnad mellan de båda orterna. Emedan jordens roterande rörelse försiggår från vester åt öster, och solens dagliga skenbara rörelse eger rum i motsatt led, måste under antagande af 15° longitudskilnad den östligare belägna orten komma en timme förr midt framför solen, eller m. a. o. få middag en timme tidigare, än den vestligare orten. Och i enlighet härmed måste i öfrigt 1° longitudskilnad motsvara 4 tidsminuter, och 1 minut i båge 4 tidssekunder o. s. v. Såsom tillämpning häraf skola nu några exempel anföras. Jordradien är 597 sv. mil; således blir längden af en grad på equatorn 10,4 mil. Till ju högre breddgrader man kommer, desto mera närma sig meridianerna hvarandra, och desto mindre förflyttning från ost åt vest, eller tvärtom, behöfs det, för att 4 minuters tidskilnad skall mellan två orter uppstå. Exempelvis må nämnas att för mellersta Sverige, hvars polhöjd vi i rundt tal kunna antaga vara 60°, redan 5,2 mil i nyssnämnda rigtning äro tillräckliga komligt samma sida af henne må såväl vid soldygnets slut, som vid dess böljan vända sig mot solen, måste jorden ytterligare vrida sig nära 1°. Det är i följd af denna vridning utöfver 360°, som det bor- gerliga dygnet blir nära 4 minuter längre än jordens rotationstid eller stjerndygnet. Emedan solen står stilla, men jorden rör sig, skulle ett soldygn rätteligen sägas vara tidsintervallet, som förflyter från det att en orts förlängda meridianplan träffar solens medelpunkt till nästa gång detta inträffar. För vårt närvarande behof blir det måhända enklare, om vi endast sysselsätta oss med solens skenbara rörelse. AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. 89 för erhållandet af den ifrågavarande skilnaden i tid, och att för norra delen af Spetsbergen (80° lat.) ej fullt 13 mil dertill erfordras*. Tänka vi oss en parallelcirkel vara dragen så pass nära polen, att dess omkrets vore blott en sv. mil, skulle en förflyttning af 100 fot längs nämnda cirkel räcka till, för att tidskilnaden må bli de 4 minu- terna. Vid sjelfva polen, der alla meridianerna samman- löpa till en punkt, blefve en angifvelse af urets tid deremot rent af omöjlig, så framt man ej bland alla meridianer ut- valde någon viss, t. ex. Londons, och efter densamma rät- tade sina tidsbestämmelser. Med tillhjelp af en vanlig skolkarta öfver Sverige och på grund af den ofvan angifna tidskilnaden af 4 minuter för hvarje längdgrad blir det lätt att finna skilnaden i tid mellan tvenne orter hvilka som helst inom landet, hvarvid efterföljande tabell kan tjena till vägledning. Orternas namn. Meridian- skilnad. Tid- skilnad. Stockholm-Haparanda . - 6° 10' - 0t 25m » -Umeå .... - 2 20 -0 9 » —Wisby.... - 0 20 -0 1 » -Hernösand . . + 0 5 0 0 (Falun .... ) + 2 25 + 0 10 (Carlskrona . ) (Jönköping .) + 3 55 + 0 16 Christianstad) » -Göteborg .. + 6 4 + 0 24 * Betecknar çp ortens latitud, R jordradien, 7 parallel- cirkelns radie, blir r == R Cos , och längden af en grad på parallelcirkeln följaktligen 2 7 R Cos (p 360 ’ 6 90 AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. Meridianskilnaden mellan Sveriges östligaste och vest- ligaste punkter är 131 grader, hvilket motsvarar 53 minuter i tid. Barthelemy ligger 450 v., Göteborg nära 30° ö. om Ferrö; följaktligen är vid middagstiden i Göteborg klockan i Barthelemy endast 7 på morgonen. I Kanton, som lig- ger ungefär 100° ö. om Göteborg, är hon samtidigt redan 6t 40m på afton. Emedan Upsala och Goda Hoppsudden ligga på nära nog samma meridian, ha dessa båda orter ständigt samma urtid. Enahanda förhållande eger ock i det närmaste rum med t. ex. Göteborg, Leipzig, Venedig och Rom, men uren derstädes äro omkring 23 minuter efter Upsalatiden. 2. Reser en person i östlig rigtning, så inträffar det, att dygnet blir med 4 minuter kortare för hvarje longitudgrad han färdats; men om han reser vesterut, så förlänges dyg- net i samma förhållande. Fortsättes resan oupphörligen i samma led hela 360°, så uppgå de dagliga förlusterna eller vinsterna tillsammans till 24 timmar; vid resan österut kom- mer han således ett dygn före, men vid resan vesterut ett dygn efter tidräkningen på utgångspunkten. Huru vigtigt det för sjöfarande är att vid sina verlds- omseglingar känna till det förhållandet, att man under dy- lika resor kan vinna eller förlora en dag i sin tidräkning, insåg man redan, då Magellans följeslagare vid sin åter- komst till Spanien efter den första verldsomseglingen rå- kade i tvist med sina hemmavarande landsmän om datum *. Båda parterna ansågo sig hafva räknat rätt, men icke de- sto mindre voro verldsomseglarne till sin stora förvåning en dag efter i sin tidräkning. Enligt sina noggrannt förda journaler räknade de Onsdag, under det att de hemmava- rande hade Torsdag; och medan man å fartyget räknade d. 5 sept., var man i land redan kommen till den 6:te, hvilken skilnad nödvändigt måste uppkomma, då resan oupphörligen fortgått i vestlig rigtning. Numera komma * Charton, E.: Voyageurs anciens et modernes, T. 3, p. 350. Paris 1855. AFD, III. OM URTID OCH VECKODAG. 91 dylika tvister ej i fråga, ty de sjöfarande hafva för sed att vid passagen öfver den 180 längdgraden från Green- wich (k. astronomiska observatoriet invid London) lägga till eller draga ifrån ett datum och en veckodag, allt efter rigtningen, i hvilken de färdas. I den under svenska fregatten Eugenies resa omkring jorden åren 1851- 53 förda meteorologiska tabellen finner man detta äfven vara iakttaget, i det nämnligen för okto- ber 1852 följande dagar finnas efter hvarandra uppräknade: d. 3, 4, 5, 7, 8, med bifogad anmärkning, att den 6:te okt. utelemnades vid passerandet af den 180 längdgraden från Greenwich. Fregatten seglade i vestlig rigtning, ty ef- ter att hafva lemnat Californien gick den mellan Vänskaps- öarne till Sidney på Australiens östra kust. Likaledes finner man enligt journalen för den österri- kiska fregatten Novara, som i början af 1859 färdades i trakterna af Sällskapsöarne följande dagar anförda: Sönda- gen d. 9 jan., Måndagen n:o 1 d. 10 jan., Måndagen n:o 2 d. 10 jan., Tisdagen d. 11 jan. Veckan, som för dem utgjordes af 8 dagar, innehöll således denna gång två mån- dagar*. Enligt det föregående kan inses, att resan försiggick i ostlig rigtning, hvilket ock var händelsen, ty de kommo från Nya Seeland och seglade i rigtning åt Vänskapsöarne. 3. Ett lyckligt förhållande är det, att meridianen 180° vester om Greenwich till största delen sträcker sig öfver den Stilla Oceanen, och således att inga kulturländer äro under densamma belägna. Häraf synes det således, som skulle de sjöfarande genom iakttagandet af nyssnämnda re- gel ej hafva att befara någon kollision i tidräkningen med de i dessa trakter bosatta innevånarne. Helt annorlunda skulle det naturligtvis ha kommit att gestalta sig, om det norra half klotet rundtorn hade utgjorts af land, och kul- turen allestädes framskridit lika långt som för närvarande * Det gamla ordspråket öm två torsdagar i en vecka, såsom be- tecknande en omöjlighet, tål således inskränkning. 92 AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. inom Europa och norra Amerika. Man hade då blifvit nödsakad att någonstädes fixera en skarp gräns, å ömse sidor om hvilken ett olika datum och en olika veckodag skulle i samma ögonblick hafva räknats, hvilket åter för folkens dagliga samfärdsel kunnat föranleda oupphörliga svårigheter och villervallor, synnerligast i affärsförhållan- den och vittnesmål. För att tydligt angifva, hvari svårigheten vid tidräk- ningen i sådant fall egentligen skulle bestå, välja vi föl- jande exempel. Antag, att klockan vore 10 f. m. i Green- wich, Fredagen den 1 jan. 1869, och att man frågade, hvilket datum och hvilken veckodag skulle i samma ögon- blick räknas på 180 längdgraden derifrån. Räkna vi grad- talen åt öster, skulle till Greenwichstiden 12 timmar ad- deras, och svaret blifva: kl. 10 på afton Fredagen d. 1 jan. 1869. Räknade vi dem deremot åt vester, skulle 12 timmar subtraheras från tiden i Greenwich, hvarigenom man skulle erhålla kl. 10 på Torsdags afton d. 31 Dec. 1868. I ett och samma ögonblick skulle således för en och samma ort två, på ett dygn från hvarandra skiljaktiga veckodagar kunna erhållas. Man kan således med skäl fråga, hvilkendera dagen det är, som för den ifrågavarande orten bör räknas: Torsdag eller Fredag, 31 dec. eller 1 jan. En lämplig öfverblick öfver de olika tider, som sam- tidigt gälla för olika orter, torde genom följande betrak- . telsesätt kunna vinnas. Vi tänka oss först den i hvarje Atlas befintliga efter Mercators projektion ritade globkar- tan vara vecklad rundtorn en cylinder, och antaga vidare, att ett med dygnets 24 timmar graderadt och kring cylin- dern vridbart band blifvit lindadt rundtorn densamma. På ven- stra sidan om midnattstimmen utsättes t. ex. Torsdag, och på den högra Fredag. Välja vi sedan den genom Göte- borgs observatorium gående meridianen såsom den första, så kommer den 180° att ligga i Stilla Oceanen och att gå genom Behringssundet. Om vi slutligen antaga, att Fre- dagsdygnet just nu ingår i Göteborg, så sträcker det sig öfver den österut derifrån belägna delen af Europa, öfver AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. 93 hela Asien och så mycket af Stilla Oceanen, som ligger vester om nyssnämnda 180 längdgrad. Torsdagsdygnet gäl- ler deremot för den vester om Göteborg belägna delen af Europa, för Atlantiska Oceanen, Amerika och Stilla Oce- anen öster om 180 meridianen. Vid denna sistnämnda meridian sker således en hastig ändring af dag och datum. Vrides bandet medsols, så angifva de utsatta timmarne de tider, som för de motstående meridianerna samtidigt gälla. Och man finner vidare, att, ju mera midnatten framskrider åt vester, desto mindre del af jorden räknar Torsdag, un- der det att Fredagsdygnet kommer att omfatta ett allt större och större område. Då midnatten omsider når den 180 graden, räkna alla jordens innevånare Fredag, men i nästa ögonblick börjar Lördagsdygnet vester om nyssnämnde meridian, under det att Fredagen för den öfriga delen gäl- ler. I sin tur växer nu området för Lördagsdygnet allt mer och mer, på samma gång Fredagens minskas, liksom det förut skedde med Torsdagens område. Regeln blir dock alltid den, att man vester om sagde gränslinie räknar en dag och ett datum mer, än öster om densamma. 4. Det visar sig af det ofvan sagda, att den 180°, den må nu räknas från hvilken utgångspunkt som helst, blir den gräns, på ömse sidor om hvilken olika dag och datum bör räknas. Någon olägenhet af en så olika tid- räkning å så nära hvarandra belägna orter synes, då man räknar 180° från Greenwich, icke vara att befara, enär den civiliserade verlden är belägen nära nog på blott den ena sidan af klotet, och länderna i Stilla Oceanen ej hafva någon kultur att uppvisa. Saken är dock i verkligheten ej så enkel, som vi nyss antydt, ty civilisationen har re- dan spridt sig så pass mycket äfven till de i denna ocean befintliga öarne, att deras innevånare, genom skedda in- flyttningar från såväl Europa som Amerika, på flera stäl- len erhållit sin bestämda tidräkning. Det blir då angelä- get att se till, huruvida den gräns, om hvars nödvändiga tillvaro vi redan öfvertygat oss, verkligen går längs den 180 längdgraden från Greenwich, eller annorstädes. Na- 94 AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. turligtvis kan denna fråga ej medelst räkning finna sin lös- ning, utan man måste afgöra den i enlighet med direkt iakttagelse af de redan befintliga förhållandena bland de folk, som på de ifrågavarande öarne bosatt sig. Resultatet af en dylik undersökning blir, att nämnda gräns icke löper längs någon meridiancirkel, utan tvärtom bildar en kroklinie af ganska komplicerad form. ■ Vi få derför på denna linie tillämpa hvad ofvan sades gälla i afseende på den 1800 från Greenwich, så snart fråga är om de kring Stilla Oceanen bosatte innevånarne. För de sjöfarande är deremot, såsom vi redan sagt, nyssnämnda meridian gränsen, hvarest ändringen i tidräkningen sker. Gränskurvan sträcker sig mellan de båda polernas ishaf och går hufvudsakligast genom Stilla Oceanen, men gör dervid en stark vestlig böjning inåt kinesiska sjön. (Se den bifogade kartan). På sin vestra sida har kroklinjen således följande länder: Nya Seeland, Australien, Hebri- derna, Nya Guinea, Sundaöarna, Kina, Japan och Kamt- schatka. På den östra, sidan ligga deremot: Vänskaps- och Sällskapsöarne, Carolinerna och Marianerna, Philippinerna, Aleutiska öarne samt Nordamerikas vestkust. I norr går gränslinien för närvarande genom Behrings- sundet, men detta har först nyligen börjat ega rum, sedan nämnligen det förr s. k. Ryska Amerika såldes till de Förenta Staterna och dermed antog samma tidräkning som det öfriga Amerika. Märkvärdigaste rigtningen hos gränskurvan är obe- stridligen vid hennes böjning åt vester, inåt Kinesiska sjön, men förklaringen till denna hennes egendomliga form fin- ner man lätt genom att erinra sig de vägar, på hvilka den Europeiska kulturen framkommit till dessa trakter. Som bekant är gingo Portugiser och Holländare, på sina upptäcktsresor, omkring Goda Hoppsudden och kom- mo således ursprungligen från vester till de länder i Indi- ska Oceanen, hvilka af dem togos i besittning. Spanio- rerna seglade deremot dels genom Magellanska sundet, dels från Amerikas vestkust och anlände följaktligen från öster AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. 95 till sina vid den Asiatiska ostkusten belägna kolonier. Då nu hvardera gruppen från hemmet medförde sitt datum och sin veckodag, måste det således inträffa, att Spaniorerna å Philippinerna, Marianerna och Carolinerna blefvo en vecko- och kalenderdag efter tidräkningen hos de i Japan, på Sundaöarne och Moluckerna bosatta Portugiserna och Holländarne. Såsom bevis för, att denna olikhet i tidräkningen hos Portugiserna i Macao på Kinesiska kusten och Spaniorerna i Manila verkligen förefinnes, berättas det, att bland an- dra- en pater Alphonsus Sanctius, som från Manila afreste till Macao för att enligt sin mening få derstädes vara när- varande vid Athanasii-festen d. 2 maj, vid framkomsten dit fann till sin förvåning, att de Portugisiska andlige re- dan dagen förut hade firat denna fest, och att de nu redan räknade den 3 maj, eller Korsmessodagen. 5. Redan i början af denna uppsats har blifvit sagdt, att tvenne på samma meridian belägna orter hafva samma urtid. Nu måste vi dock med afseende på de trak- ter, bland hvilka gränskurvan framgår, göra det tillägg, att orter belägna under samma meridian, men på hvar sin sida om sagde linie, visserligen hafva samma urtid, men deremot olika datum och veckodag, i följd hvaraf en tid- skilnad af 24 timmar verkligen uppkommer. Sådant är förhållandet i det allra närmaste t. ex. med Manila på Philippinerna och Makassar på Celebes. Då den förra orten har Lördagsmiddag, har den senare redan Söndagsmiddag. Tidskilnaden mellan två orter kan till och med bli större än 24 timmar. Jemföras nämnligen samtidigt gällande urtid och veckodag i Manila och i Melbourne, er- hålles en olikhet af omkring 251 timmar. Genom ett pas- sande val af orter och tidsögonblick kan'olikheten i veckodag och datum för tvenne orter uppgå ända till två dagar, så att då man på ena stället räknar Lördag, har på det an- dra redan Måndagsdygnet inträdt. Se här ett exempel. Återvända vi nämnligen till den redan förut omnämnda 96 AFD. III. OM URTID OCH VECKODAG. och till en cylinder hoprullade planiglobkartan, samt ställa det vridbara bandet på ett sådant sätt, att midnattstimmen mellan Söndagen och Måndagen antydes inträda i Mel- bourne, så skulle för ifrågavarande ögonblick de österut mellan Melbournes meridian och gränskurvan belägna or- terna, såsom Nya Seeland, Kamtschatka m. fl. räkna Mån- dag, men de till vester om nämnda middagslinie belägna, såsom Sundaöarne, Kina, Ostindien in. fl. räkna Söndag. Söndagsdygnet skulle för öfrigt räknas rundtorn jorden, om vi tänka oss fortgå i vestlig rigtning, således i Asien, Europa, Amerika och ända till östra sidan af gränskur- van. Likväl utgör, i närvarande exempel, ej hela denna kurva gränsen för Söndagsdygnet, utan dertill användes äf- ven den del af Melbournes meridian, som går mellan Ma- rianerna och Philippinerna. För den återstående fliken, Måndag Söndag Lördag Söndag Söndag Måndag Melbournes meridian. som inneslutes af kurvans vestligaste krökning och sagde meridian, och inom hvilken Philippinerna äro belägna, gäller deremot än- nu Lördagsdygnet (se när- stående fig.). Under den gjorda förutsättningen, att midnatt mellan Söndag och Måndag eger rum i Mel- bourne, erhålla vi således för Philippinerna Lör- dag, för vestra kusten af Australien Söndag och för dess östra kust Måndag. Vore således en telegraf- kabel nedlagd från Sidney (169° ö. om Ferrö) öfver Manila (139° ö. om F.) till Kanton (131° ö. om F.), skulle det besynnerliga förhål- landet verkligen kunna inträffa, att ett från Sidney 24 mi- nuter efter midnatt Måndagen d. 1 mars 1869 afsändt te- AFD. IV. GENMÄLE AF AKAD. ADJ. ZEIPEL. 97 legrain skulle framkomma till Kanton 8 minuter före kl. 10 på Söndags afton d. 28 febr, efter att redan Lördags afton d. 27 febr, omkring kl. 10t 24m hafva passerat Manila. Der- med är således uppvisadt, att tre orter i samma ögonblick verkligen kunna räkna tre från hvarandra olika vecko- och kalenderdagar, och detta inträffar hvarje dygn efter Upsala- tid ungefär mellan kl. 1 och 1 6 e. m. I nära sammanhang med sistnämnda uppgift står äf- ven den frågan, huru stor den största tidskilnaden mellan två orter kan bli, och härpå lemnar gränskurvan oss med lätthet svaret: 284 timmar. Frågar man vidare, hvarest nyåret först inträder, så visar sig detta vara på den till Nya Seeland hörande ön Chatam och på Ost-Cap i nordöstra Asien. Det gamla året viker dock först 28, timmar derefter helt och hållet från jorden, och detta sker då å den vestligaste ön bland Philippinerna. AFDELNING 1V. Genmäle af Akad. Adj. V. v. ZEIPEL å lektor F. W. HULTMANS ‘kritik af satser, gifna i mogenhetspröfningen h. t. 1868° samt lektor HULTMANS svar derå. För den, som ej är bekant med våra examensförhållanden, anser sig red. böra förutskicka den upplysning, att det är eklesiastikdepartementet ensamt, som bestämmer satserna för mogenhetspröfningen, och att de tillförord- nade censorerna blott så till vida ega del i dessa, som de på uppma- ning af departementet för hvarje särskild examen ingifva hvar i sin stad förslag till sådana. Den förmodan ligger således nära till hands att, då 98 AFD. IV. GENMÄLE AF AKAD. ADJ. ZEIPEL. hr Zeipel uppträder till försvar för de kriticerade satserna, så är det derför, att han känner sig träffad såsom dessa satsers författare. Vi kunna icke underlåta att önska klarhet i en sak — och vi förmoda att hrr lä- rare med oss dela denna önskan — nämnligen, om hr Z. må anses så- som en representant af departementets egen åsigt, då han säger med afseende på sats 6 och 1, att den yngling, som har anspråk på att mo- gen förklaras, borde kunna sjelf tillägga det vilkor, som är behöfligt, för att dessa satser skola vara rimliga: således begär man af en skol- yngling, att han först skall granska satsen och fylla i (och det < full- ständigt«) de beböfliga vilkoren för satsens rimlighet; derpå har han att utföra sjelfva lösningen. Härmed är ett till alla delar nytt uppslag gif- vet för pröfning af en examinands matematiska insigt, och vårt land skulle säkerligen komma att stå alldeles ensamt om ett slikt sällsamt sätt att pröfva. Med kännedom om vårt departements humana åsigter i undervisningsfrågor kunna vi dock på förhand antaga för nästan all- deles gifvet, att denna nya åsigt står uteslutande för hr Z:s egen räk- ning. Med afseende på sats 1 kan det ej annat än väcka förvåning, att hr Z., som sjelf är en elev af den Malmstenska skolan, är ända der- hän likgiltig för matematisk tukt och elegans, att han försvarar uttryc- ket «trenne“; man borde väl heldre genom att framställa sina satser i ett mönstergildt språk söka uppmuntra ynglingarne till ans och hyfsning i sina skrifningar. Då hr Z. säger, « att sats 1 är den enda af de geometriska på latinlinien, som af ynglingen fordrar något mera skarp- sinne (!)<, så förmoda vi, att hr Z. dermed icke velat åsyfta någon up- penbar orimlighet. För att freda sig för all misstanke i den vägen upp- mana vi hr Z. att på rent elementär väg eller med de hjelpkällor, som ligga inom skolkursens område, diskutera fram rimlighetsvilkoren samt lemna bevis för satsen; vi lemna icke en tid af några timmar utan ti- den från nu till den l:sta november detta år för utförandet af denna uppgift. Utom fördelen att slita en tvist skulle lösningen af denna upp- gift erbjuda ett mer än vanligt teoretiskt intresse. — Vi öfvergå nu till Hr Zeipels genmäle. Herr H. börjar denna sin kritik med åtskilliga anmärkningar mot de algebraiska satserna för latinlinien och uttalar härvid några åsigter, hvilka jag för min del icke kan gilla. Skulle det vara möjligt, att in- gen planimetri fordras för betyget godkänd i mogenhetspröfningen? Skulle en yngling vara mogen för universitetsstudier i matematik utan att ega kunskap om de algebraiska uttrycken för en triangels, en pa- rallelograms area, cirkelbågens längd, cirkelns area, längden af den i en cirkel inskrifna eller den omkring honom omskrifna qvadratens sida etc.? AFD. IV. GENMÄLE AF AKAD. ADJ. ZE1PEL. 99 Falla H:s åsigter i denna punkt, falla äfven de väsendtligaste anmärk- ningarna mot dessa satser. Vi öfvergå till kritiken af de geometriska satserna för latinlinien. H. yttrar här: « Dessa synas hafva tillkommit i brådska. Sålunda före- komma i uttrycken åtskilliga skriffel och oegentligheter. I första satsen står trenne i st. f. tvenne.< Hvilken har sagt H., att detta är skriffel? Satsen är rigtig, vare sig det står trenne eller tvenne. Vid noggrann granskning af dessa satser, har jag ej kunnat finna något skriffel och dock tillåter sig H. att påstå det flere sådana finnas. Jag anhåller, att H. må närmare redogöra härför. Vidare påstår H., att det i satsen 2 förekommande uttrycket qva- dratens diameter är en misskrifning för qvadratens diagonal. Jag får underrätta H., att så ej är förhållandet. Om H. vill hafva godhe- ten att slå upp 34 prop. l:sta boken af Euklides elementer, skall H. fler finna det analoga uttrycket parallelogramens diameter. Jag anser mig böra påpeka, att ifrågavarande uttryck möjligen blif- vit begagnadt för att väcka de lärares uppmärksamhet, hvilka företagit sig att utplåna det enligt mångas åsigt mera rigtiga Euklideiska språkbruket « parallelogramens diameter « och införa det i nya författa- res arbeten antagna * parallelogramens diagonal«, utan att hvarken lä- rare eller författare gjort sig möda att undersöka , huruvida parallelo- gramernas diagonaler uppfylla vilkoret för att vara diametrar. För det närvarande begagnas vid några läroverk det Euklideiska uttrycket, vid andra utplånas detsamma. Är det för undervisningen nyttigt, att en sådan olikhet i terminologi bibehålles? Är det billigt, att för « misskrifning « , ‘brådska“, “ förhastande € anklaga den, som uppställt ett problem i afsigt att väcka uppmärksamhet härpå. Jag beder H. icke illa upptaga, att jag vågar framställa min åsigt i denna i och för sig enkla fråga. Jag tror nämnligen, att en lärare bör använda följande definitioner: Diagonal i en rätlinig figur kallas den räta linie, som sammanbinder tvenne icke bredvid hvarandra lig- gande vinklar; en sådan diagonal kallas diameter, om den skär figu- ren i kongruenta delar. Detta må vara nog för den första undervisnin- gen. När ynglingen hunnit så långt, att han vet, att sammanfattningen af 2 räta linier bildar en linie af andra graden, bör läraren, hvad särskildt parallelogramer beträffar, visa honom, att parallelogramens 4 sidor bilda tillsammans tvenne linier af andra graden samt att parallelo- gramens diagonal är en för båda dessa andra grads linier gemensam diameter. Skulle ynglingen fortsätta sina matematiska studier, bör han sjelf lätt finna, ätt sammanfattningen af parallelogramens 4 sidor bildar en linie af fjerde graden samt att hvardera af parallelogramens diago- 100 AFD. IV. GENMÄLE AF AKAD. ADJ. ZEIPEL. naler är en diameter till denna fjerde grads linie. Om frågan så be- handlas, tror jag, att sträng logisk konsequens iakttages. Vidare yttrar H. «uttrycket i satsen 5 är sväfvande“. Detta på- stående är origtigt. Uttrycket är fullkomligt Euklideiskt. Medgifvas må, att detta Euklideiska uttryck behöfver förklaring. Denna förklaring bör vara vid undervisningen meddelad. Vidare: «uttrycket på den fjerde satsen är onödigt långt“. Så vidt vi veta förekommer ej hos Euklides något, med detta analogt problem. Detta är möjligen orsaken, hvarför denna sats är fullständigare uttryckt. Vid sammanställningen af de båda senare anmärkningarna förefaller det, som H. varit nog angelägen att visa sitt « målsmannaskap «. Vidare: *1 sats 6 talas om afståndet mellan tvenne kordor. Hvad förstås dermed? « Det har vid flera mogenhetspröfningar visat sig. att ynglingarne ej klart uppfattat uttrycket € afståndet mellan tvenne linier “. Så har det t. ex. blifvit sagdt, att tvenne linier, som skära hvarandra, äro på afståndet noll m. m. d. Enligt min åsigt bör en lärare klart framhålla, att ifrågavarande uttryck saknar all betydelse i händelse li- nierna skära hvarandra. Man kan då endast tala om afståndet mellan en viss punkt på den ena linien och en viss punkt på den andra. Vi- dare bör klart framställas, att detta uttryck med nödvändighet fordrar, att den linie, som bildar afståndet, bör vara vinkelrät mot båda lini- erna och alltså linierna parallela. Slutligen att', om afståndet är noll, måste linierna sammanfalla. När man har att göra med personer, som ej vilja förstå, måste man vara tydlig. Jag har derföre ännu ett tillägg att göra. Tvenne kordor bestämma 4 punkter. Genom 4 punkter kan i allmänhet ej läg- gas en cirkel. Anses problemet derför vara orätt? Bör ej en yngling, som skall «mogen € förklaras, kunna redogöra för det vilkor, som här bör tilläggas? Vi återvända i likhet med H. till sats 1. H. påstår, att ‘den ej alltid är sann«. H. kunde gjort så äfven med föregående sats. Man önskade nämnligen, att ynglingen skulle kunna tillägga det återstående vilkoret. Man önskade äfven, att ynglingen gjort detta fullständigt och ej såsom H. föreslagit. Denna sats är den enda af de geometriska för latinlinien, som af ynglingen fordrar något mera skarpsinne. Har H. glömt, att det är examinatorernas allmänt uttalade önskan, att en eller annan svårare sats framställes ? H. tillägger här: «men äfven sålunda rättad är satsen ej lämplig för skriftlig behandling vid mogenhetsexamen«. Har här någon rättelse egt rum? Finnes ens något fel att rätta? AFD. IV. LEKTOK HULTMANS SVAR. 101 H. påstår, att denna sats ej är lämplig derföre, att den leder till en transcendent eqvation. Jag får bedja H. öfversätta första prop, af Euklides första bok på det analytiska språket och det skall då visa sig, att äfven denna leder till en transcendent eqvation. Denna senare sats har likväl ansetts lämplig att stå i spetsen för undervisningen i geome- tri under mer än tvåtusen år. Vi älska att tro, det H:s kritik tillkommit i förhastande. Vi tro detta derför, att H. talat om fel, der ej fel finnas, om otydligheter, der ej sådana äro förhanden, derför att H. orätt afskrifvit definitionen på komponeradt förhållande samt gjort ofullständigt tillägg, der med skäl kunnat väntas ett fullständigt, derför att H. ej gifvit sig tid att undersöka, huruvida qvadratens diagonal uppfyller vilkoret att vara diameter. Lund i Jan. 1869. V. v. ZEIPEL. Svar på Hr Zeipels genmäle. Äfven vi anse, att en yngling ej bör anses ega godkänd mogenhet utan att ha insigt i de första grunderna af planimetrien, så mycket mer som folkskolan af sina lärjungar numera fordrar insigter häri. De af oss granskade planimetriska satserna äro dock ej af den enkla natur, att deras kännedom bör erfordras för betyget “godkänd «. Hr Z. försvarar uttrycket trenne. Hvarför ej erkänna det såsom skriffel i st. f. tvenne. Genom att begagna ordet trenne i st. f. tvenne införas inga nya svårigheter; lärjungen blott tvingas att förspilla tid med att bevisa en sjelfklar sats, der han ej blir i tillfälle att ådagalägga nå- gon ytterligare mogenhet. Låtom oss öfvergå till uttrycket qvadratens diameter. Här medgifva vi, att vi haft orätt i vårt påstående, att diagonalen ej kan vara en diameter. Han är verkligen en diameter till alla med den an- dre diagonalen parallelt dragna kordorna i qvadraten, emedan han skär dem midt i tu. Hr Z:s definition pa diameter, enligt hvilken en af dess hufvudegenskaper är att dela figuren i kongruenta delar, ha vi ej förut sett. Den är ej i öfverensstämmelse med Euklides, alldenstund denne i I: 34 bevisar, att diametern delar parallelogrammen i kongruenta delar. Icke heller passar den in med den numera i alla läroböcker i analytisk geometri antagna definitionen. Diametrarne i en parabel (axeln undantagen) borde enligt hrgZ. ej ha detta namn, emedan de ej dela parabeln i kongruenta delar. 102 AFD. IV. LEKTOR HULTMANS SVAR. Vår af hr Z. ej uppfattade anmärkning mot sats 4 gälde det öfver- flödiga ordet «apterad“. Det är nämnligen onödigt att omtala, huru man skall få en korda i en cirkel. Vore satsens förf, konseqvent, borde han skrifvit: “en viss punkt är tagen till medelpunkt för en cirkel med gifven radie; på periferien af denna cirkel tager man en viss punkt och inpassar i cirkeln en korda, som har sin ena ändpunkt i denna punkt« ' o. s. v. Denna anmärkning är dock en obetydlighet. Nu till satsen om afståndet mellan tvenne kordor. Herr Z. säger, att man ej kan tala om afstånd mellan tvenne linier, så framt de ej äro parallela. I alla läroböcker i analytisk rymdgeometri, i de flesta engelska upplagorna af Euklides, i de franska geometriska läroböckerna förekommer följande sats: “att draga en linie, som är vinkelrät mot två gifna räta linier i rymden« Omedelbart efter denna sats bevisas, att denna linie är det minsta afståndet mellan dessa linier. Enligt hr Z. är uttrycket på denna sats ett oting, så framt ej linierna äro parallela. Hvarföre onödigtvis afvika från allmänt antagna begrepp? Med afståndet mellan en punkt och en linie menas det kortaste afståndet mellan punk- ten och linien, med afståndet mellan en punkt och ett plan menas det kortaste afståndet mellan punkten och planet, med afståndet mellan två linier förstås det kortaste afståndet mellan dessa linier*. Den sats, hvarom här är fråga, uppfattad så som hr Z. gjort, hade varit fullt klar, om framför ordet «kordor« hade tillagts uttrycket «parallela«. Vi öfvergå till sats 1 : «trenne (tvenne) segments bågar äro lika stora, äfvensom deras höjder; att bevisa deras kongruens«. Hr Z. har rätt i sitt påstående, att vi ofullständigt uttryckt det vilkor, som bör tilläggas, för att satsen alltid skall vara sann. Vårt tillägg var ej alle- nast ofullständigt utan äfven origtigt. Förhållandet är nämnligen, att den arkimedeiske sats, hvaraf vi vid beviset drogo gagn, ej hjelper oss längre, än så länge segmentbågen ej öfverstiger en half periferi. Vi begagna detta tillfälle att rätta vårt tillägg. Såsom vi i vår kritik nämnde, uttryckes sambandet mellan segmen- tets höjd h, bågens längd l och radien x genom likheten 1 — 2x Sin 2- . 4. Genom att differentiera denna likhet, finner man, att det värde på x, för hvilket båglängden l blir ett minimum, erhålles ur likheten tg * Tänkom oss två linier i rymden. Den ena flyttar sig parallelt med sig sjelf allt närmare intill den andra, tills hon slutligen skär henrie. Är det ett betydelselöst uttryck att säga, det afståndet mellan dessa linier un- der denna flyttning blir allt mindre och mindre? AFD. IV. LEKTOR HULTMANS SVAR. 103 Införa vi här i st. f. x segmentets halfva medelpunktsvinkel v me- delst att begagna likheten h = x(1 — Cos v) , förvandlas (1) till v v — to — , hvarest 180° > r > 90o. Härur erhålles v = 133° 34' ungefär. Detta i förening med den i vår kritik omnämnde arkimedeiske satsen lär oss, att för konstant h båglängden l är oändlig, då v — 0; att l minskas, då v växer, att denna minskning fortfar, tills v blir omkring 1330 34', eller noggrannare, tills v blir = tg—. Derefter ökas båglängden oaf- brutet, tills v blir 180°, i hvilket fall bågen blir lika stor som för v = 90°. Kan hr Z. verkligen vänta sig, att bland det fåtal ynglingar på latinlinien, hvilka vid slutet af höstterminen undergå mogenhetspröf- ning någon finnes, som på geometrisk väg under en tid af högst 4 timmar utreder, hvilket vilkor bör tilläggas, för att satsen skall vara sann. För vår egen del ha vi behöft längre tid. Vi ha, som hr Z. fin- ner, nödgats anlita differentialkalkylen för att komma till rätta med satsen. Att bevisa den fullständigt rent geometriskt och på elementär väg är enligt var åsigt omöjligt. Vi komma nu till frågan, huruvida problem, som leda till trans- scendenta eqvationer kunna höra inom elementargeometriens område. Vi svara nej. Ingen enda sats i hela Euklides leder till en transscendent eqvation. Hr Z. uppmanar oss att öfversätta Eu- klides I. i på det analytiska språket. Låtom oss försöka. Tag den gifna linien till x-axel, en genom dess midtpunkt mot denna linie dra- gen vinkelrät linie till y-axel. Man finner då koordinaterna for den sökta triangelns spets att vara * = 0, a — 3/ == 23. Hvar finnes här något transscendent? Ingenstädes. Utan tvifvel förblandar hr Z. irrationella funktioner med transscendenta. Att dessa funktioner ej äro samma sak, kan hr Z. finna af följande ord i Moigno’s Leçons de calcul différentiel sid. 2: « Les fonctions se divisent en fonc- tions algébriques rationelles ou irrationelles lorsqu’elles résultent des cinq premières opérations de l’algèbre, et en fonctions transscendantes.< Med elementargeometrien kunna ej lösas andra uppgifter än sådana, som leda till addition, subtraktion, multiplikation, division och qvadrat- rotutdragning. 104 AFD. IV. SÀTSER OCH DISKUSSIONSÄMNEN. Vi tacka hr Z. för den möda han nedlagt på satsernas försvar äf- vensom för det, att han påpekat-ett par felaktigheter i vår kritik. Dessa äro nu rättade. Det af hr Z. antydda fele⅛i kritiken öfver satsen om komponeradt förhållande erkänna vi icke. F. W. HULTMAN. Satser och diskussionsämnen, framstälda inom den fysiskt-matematiska afdelningen af det naturvetenskapliga sällskapet i Upsala, d. 18 febr., 4 och 18 mars 1869. 1. En hyperbel är gifven; att genom konstruktion finna axlarnes längd. 2. Om genom ändpunkterna af axlarne i en ellips fyra parallela räta linier dragas huru som helst, så äro de punkter, i hvilka de skära ellipsen, ändpunkter till tvenne konjugatdiametrar. 3. Att på en gifven cirkelperiferi finna en punkt sädan, att summan af dess afstånd till två gfna punkter är maximum eller minimum. 4. Visa på grund af den relation, som eger rum mellan radius vector, perpendikeln från origo mot tangenten och radius curvaturœ, att soluttonen af hvarje differentialeqvation af formen d'y f(x2+y2) = dx2 3 låter reducera sig till qvadratur. 2 (dy)2- dx) - . (Se Todhunters Integral Calculus. Pag. 90). 5. En korda glider på en kroklinie så, att det afskurna segmentet har konstant areal. Bevisa, att krökningsradien till den kroklinie, som segmen- tets tyngdpunkt beskrιfver, är proportioned mot kuben af kordans längd. 6. Förhållandet mellan trigonornetriska tangenterna för de vinklar, som tangenterna till hvar sin af tvenne kroklinier, hvilka svara mot samma ab- scissvärde, bilda med x-axeln, är en viss funktion af förhållandet mellan re- spektive ordinator. Man känner eqvationen på den ena kroklinien. Hvilken är den andra krokliniens equation? (Forts.) 50 50 70 30 60 /80 2/0 240 60 30 /0 20 30 /0 20 30 20 /0 --- 2/0 AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 63.) 5. Petrus Nicolai UBLAND (Ublenius). * Ublands arbete heter: »Compendium Arithmetices, eller Een kortt Räknekonst, hvaruti de förnemste och nyt- * Liksom vår föregående författare Gothus utan tvifvel tagit sitt namn efter den provins Östergötland, der han var född, så erinrar ock namnet Ubland om Petri Nicolai landsmanskap. Om Ubland ha vi ej lyckats erhålla andra underrättelser, än att han inskrefs år 1601 under namn af Petrus Nicolai Uplandensis vid Upsala universitet. Vi- dare finner man, att han hvarken varit magister eller prest. Han torde varit omkring 50 år, då han utgaf sin räknebok. Af Stiernmans Bibliotheca suiogothica, Holmiæ 1731, fin- ner man, att Ubland tre år före utgifvandet af sin räknebok offentlig- gjort ett naturvetenskapligt arbete under titel: Oratio admirabilem et pulcherrimam macrocosmi structuram breviter complectens. Upsaliæ 1627. 4:o. Jag begagnar här tillfället att ännu en gång till herr bibliotekarien Klemming och öfrige tjenstemän vid Kongl. Biblioteket i Stockholm frambära min hjertliga tacksägelse för den outtröttlighet, som de städse visat i att skaffa mig erforderliga upplysningar. Hvad Ubland beträffar, får jag särskildt tacka Uplands nations för- ste kurator, hr C. Annerstedt, för den hjelp han lemnat mig vid att skaffa nödiga biografiska underrättelser. 7 106 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. tigheste Reglor, som i Räknekonsten brukas plägha, med sine Regulis, Reductionibus och Compendijs til at medh Cipher och Räknepenningar räkna, förfatadhe, medh Exem- plis och Schematibus förklarade äre. Aff Trycket uthgån- gen och bekostat Aff Petro Nicolai Ublenio, S. R. M. Stip. Tryckt i Upsala åår 1630.» Boken är egnad till Jakob de la Gardie, gubernator öfver Lifland och till Johan de la Gardie, landshöfding öfver Upland. Han synes länge hafva vistats vid univer- sitetet. I sitt företal yttrar han bland annat: »och nu (Gud ske lof!) hafver jag genom mina præceptorers flitiga undervisning kommit så vidt, att jag hafver fördristat sammanskrifva denne ringa traktat, dock i den mening, att jag måtte låta se, att det stipendium, som H. K. M. nådigst mig hafver påkostat, icke alldeles fåfängt är af mig förnött.» Efter företalet följa verser på svenska jamber af förf., vidare latinska disticha af skytteanska professorn Locce- nius samt latinska hexametrar och svenska jamber, inne- hållande artigheter emot Ubland af en dennes kamrat Eri- cus Danielis Achrelius, roslagsbo, som sedermera blef me- dicine professor i Abo. Allt antyder på att Ubland var en aktad och af hållen man. Ublenii aritmetik påminner kapitel för kapitel om Cla- vius. Tvänne kapitel deri (det ena divisionssättet, äfven- som alligationsräkningen) skulle vi ej förstått utan att förut ha läst Clavius. Vi hänvisa derföre till vår fram- ställning af Clavius sid. 60, Arg. I. Räknekonsten sker, säger Ublenius, 1. med ciphrer * enfaldelig, 2. med räknepenningar, 3. cossice eller algebraice. Detta är första gången vi finna algebran omnämnd i en svensk lärobok. För öfrigt har dock Ubl. ej något med * Ublenius kallar eljest siffrorna öfverallt för figurer. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTOKIA. 107 algebran att skaffa *. Ej ens den hos Clavius så grundligt behandlade regula falsi berör han. Ublenii bok börjar med en tabell öfver mått, mål och vigt. Vi anse det vara i sin ordning att här redogöra för denna. Sedermera ämna vi blott angifva de förändringar, som denna tabell efter hand undergår. 1 daler = 4 mark = 32 öre** = 96 örtigh = 128 fyr- kar = 768 penningar. 1 skeppund efter vågen = 20 lispund ***, 1 skeppund efter bitzmar = 15 lispund ***. 1 lispund = 20 besmans t markpund = 16 lödigsmark- pund eller skålpund eller karlgell = 512 lod = 2048 qvintin = 8192 ort **. 6 ( 1 pundläst = 4 skeppsläster = 8 läster = 38, åmar. a ] 1 foder vin = 6 åmar = 74 tunnor. s 1 tunna = 4 fjerd. = 8 åttingar = 48 kannor = 96 stop P ( = 384 qvarter. 1 tunna säd - 2 spann = 8 fjerd. = 40 fot. 1 stycke. = 10 af ett decker = 1, af ett dussin = 1s af en mandel = 2o af en stig = 4o af en timmer = do af en skock. 1 solår = 12, månad = 52, vecka = 365 dygn. 1 dygn = 24 timmar = 1440 minuter = 12 gånger 1440 seierknep. Vi sakna här längd- och ytmått, äfvensom jungfru- måttet. (Aurelius uppgifver dock, att 1 aln är 4 qvarter). Talen utläser Ubl. liksom Clavius på två sätt. Vid alla fyra räknesätten använder han nioproban, då han pröfvar. * I utlandet deremot ha vi redan vid denna tid algebraiska läro- böcker, t. ex. af Ramus, Algebræ libri II, Frankfurt 1586; af Gem- ma Friesius i hans Arithmeticae practicæ methodus, Vitebergæ 1593; af Clavius, Algebra 1604. ** Vi återfinna här de i våra dagar på nytt återupptagne namnen öre och ort. Anm. De mellan måtten befintlige likhetstecknen har ej Ublenius. *** Lispund = liveske pund = lifländska pund. Dalin. t Besman = peso a mano = handvigt. Dalin. 108 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. Multiplikation bestämmer han i likhet med Clavius att vara »en kort additions författelse, genom hvilket man så ofta tillsamman adderar föresatte summa, som det tal, med hvilket man multiplicerar, i sig innehåller 1.» Lika- ledes har han Clavii genväg * att lära sig multiplikations- tabellen. »Division är att dela eller sönderbryta ett tal i äfven så många jemna större delar som divisorn eller delaren i sig innehåller ett.» Vi framställa 2:ne exempel. Ex. 1. 50548 skall divideras med 84. Qvoten blir 5606,% eller 56061. 50548 470952 ( 5606 48 84 420 84 504 84 . 84 504 »Proba per crucem». (Nioproban). dividend. “0/ divisor. 3X 8 qvot. produkt af qvot och devisor + resten. Divisorn 84 står uppskrifven 4 gånger, qvoten 5606 48 står till höger om dividenden, småprodukterna 420, 504, 504 stå under hvar sin divisor, motsvarande rester stå of- vanom dividenden. Ex. 2. 2857390 skall divideras med 326. Qvoten blir 8765. Se här uträkningen. 1 231 316 2459 49913 2857390 ( 8765 326666 3222 33 dividend, divisor. 2 8 qvot. produkt af qvot och divisor. (korsvis-proba eller nioproba). * «Tabula pigri«, såsom det med bläck är antecknadt i en gam- mal räknebok af Aurelius på detta ställe. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 109 Som man ser, står divisorn 326 uppskrifven 4 gån- ger, resterna 4, 29, 49 o. s. v. stå ofvanom dividenden. Se för öfrigt Clavius. Hos Ublenius upptäcker man för första gången en an- tydan af decimalbråk eller rättare, af förvandling af van- liga bråk i sådana. Han säger nämnligen: »Om månge bråk gifvas, såsom 12345678 2°3*4*5%6%7*8*9 eller andre, och man blifver frågad, hvilketdera är större; vill du veta det, så addera en nolla till täljaren och di- videra sedan med nämnaren. Det bråk, som lemnar större qvot, är större.» Ofvanstående bråk gifva 5 . 6; . 74 . 8 . 8+ . 84 . 84 . 8; . Här har Ublenius i sjelfva verket förvandlat ofvan- stående bråk till tiondedelar, ehuru han ej utsatt nämnarne. Så är 1 5 8 8⅜ * =, S =- o. s. v. 2 10, 9 10 Efter bråk följa som vanligt regula de tri directa, in- versa, sällskapsregeln, den egendomliga alligationsräknin- gen, regula dupli, progressio arithmetica och geometrica samt rotutdragning. Regula coecis virginum (jungfruregeln) äfvensom regula falsi saknas. Vi anse ej nödigt att här upptaga mer än 2 exempel, ett på alligationsräkning och en till regula de tri hörande gåta. Ex. 1. Alligationsräkning. En apotekare säljer följande kryddor: 1 fö ingefära för 5 mark, 1 fö peppar för 6 mark, 1 fö mandel för 8 mark, 1 fö saffran för 16 mark, 1 fö muskot för 19 mark och 1 fö neglikor för 24 mark. Huru mycket skall han taga af hvarje slag och för- blanda, att han kan sälja ett fö för 14 mark. Här förenas (»alligeras» *) ingefära med neglikor, * Deraf namnet alligationsräkning. 110 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. peppar med muskot, mandel med saffran. Man tager skil- Mark. Skilnader. Ingefära 5 10. Peppar 6 5. Mark Mandel 8 2. 14 medelpriset. Saffran 16 6. Muskot 19 8. Neglikor 24 9. Summa 40. tagas 10 €, af pepparen 40, af nåden mellan hvarje pris och medelpriset, ställer skilnaden 9 mellan me- delpriset och ingefära i samma rad, samt det ämne neglikor, med hvil- ken ingefäran alligera- des, och så vidare för alla ämnen. Sedan sum- meras alla skilnader. På detta sätt finner man, att af ingefäran skall mandeln 2o, af saffran , af muskot o, af neglikor 40 %. Prisen på dessa blifva respektive 5 0 3 0 1 6 9 6 1 5 2 2 1 6 mayl 409 409 409 40 ’ 40 ’ 40 eller tillsammans 14 mark såsom det skulle vara. Annat sätt att alligera. Här alligeras inge- Mark. Skilnader. Ingefära 5 10.2 Peppar 6 10.5 Mark Mandel 8 5 14 medelpriset. Saffran 16 9 Muskot 19 8.6 Neglikor 24 9.8 Summa 72. Prisen blifva i ordning 6 0 90 40 144 72’ 72’ 72’ 72 ’ fära med saffran och med neglikor, peppar med muskot och med neglikor, samt mandel med muskot. På grund häraf finner man, att man af ingefäran skall taga 12, af pepparen 15, af mandeln “,, af saffran 72, af muskot A4, af neglikor 5 €. ac, 40.8 mark eller tillsammans 14 mark. AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 111 Ex. 2. Régula de tri-gåtan. Sex köpmän be- slöto att segla till Indien efter dyre klenoder. Emedan de alle lade lottelag tillhopa, så förärade de ock till en kyr- kas uppbyggelse en skön summa penningar, i hopp att derigenom bekomma desto större lycka på sin tillämnade resa. De tingade ock en byggmästare, som tog samma penningar till sig och bygde kyrkan. Men när han förfär- digat arbetet, fann han, att hon kostade 735 daler mera än han uppburit, hvarföre han gaf dessa af sin egen kassa. Sedan skref han på kyrkogafveln i rim, hvad livar och en gifvit hade sålunda: En halfpart till denne kyrkas värd Gaf den förste utan flärd. Andre en sjettedel deraf, Tredje tolftedel utgaf, Fjerde en adertondedel. Femte 36:tedel dertill. Den siste ock efter sin råd Fyrtioåttondedel derå. De sju hundra trettio och fem Daler, som än stodo igen, Skänkte byggmästaren af sitt. Bekostningen min vän säg fritt. Uträkning. Man adderas 1, %, is, l'., so, Ms, sub- traherar denna summa från 1. Resten gör 244. Alltså enligt regula de tri 21.735.144. Facit 5040. Den förste hade sålunda gifvit 2520 daler, den andra 840, den tredje 420 o. s. v. Senare afdelningen af Ublenii compendium arithmetices innehåller läran om räknepenningar. Oaktadt vi redan un- 112 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. O der Siliceo (sid. 158 Arg. I) behandlat denna lära, anse vi dock nödigt, att äfven här framställa några exempel, tvänne på multiplikation och tvänne på division, på det vi må bli allt mer förtroliga med våra förfäders sätt att räkna med räknepenningar. Det är så mycket mer på sin plats här, som Ublenius temligen omständligt genomgår hvarje exempel. Ex. 1. Multiplicera 346 med 9. Facit 3114. Gången visas af följande figur. 346 2700 360 54 3114 o Under rubriken Siliceo (sid. 158 Arg. I) visade vi, att en penning på nedersta linien gäller en enhet, på li- nien deröfver en tia, på linien deröfver ett hundra o. s. v., vidare att en penning i mellanrummet mellan första och andra linien nedifrån gäller 5, i mellanrummet mellan an- dra och tredje linien 50 o. s. v. Ex. 2. Multiplicera 876 med 325. Facit 284700. —0-0----—---------- _0------0------— ----0-0-0-0- -0-0-0- o —o-o— o -0-0-0- —0-0—- o —o-o— o —0-0-- o —0-0-0— -o-o-o-o- o —o-o— 876 240000 16000 4000 260000 21000 1400 350 282750 284700 AFD. I. SVENSKA ARITMETIKENS HISTORIA. 113 Division. Ex. 1. 3114 skall divideras med 9. Qvot 346. Dividend. qvot. rest. qvot. rest. qvot. —o-o o -o-o-o-o- —o-o-o— o —o-o-o— —o-o-o— -o-o-o-o- o -o-o-o-o- O o o-— -o-o-o-o- 3114 300 0 0 0 0 414 340 o-o-o-o- 54 o 346 Ex. 2. 284700 skall divideras med 876. Dividend. qvot. rest. qvot. rest. qvot. —o-o— o —o-o-o— -o-o-o-o- o —0-0— —o-o-o— o ∣o 1 00 1 o 1 o ? ! O I I o o I 1 ! -o-o-o-o- —o-o-o- o —o-o-o- o I I c o I I c 1 1 o 284700 300 21900 320 4380 325 (Forts.) Om beräkningen af värdena på lifräntor, lifför- säkringar och lifförsäkringspremier. Af F. W. Hultman. (Forts, fr. sid. 70). 7. Återblick. I vår framställning för denna teori i föregående häfte bevisade vi följande formler: 114 ΛFD. I. 0M BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 1 — 7—(86—m) Zu - (86 — m) 1) _ 1-, Fm F Pm = 1,7 Derefter tillämpade vi dessa formler på ett par exem- pel. Hvad ex. 1 beträffar, böra vi anmärka, att vid den der gjorda beräkningen i tysthet är förutsatt, att lifför- säkringen af försäkringstagaren är en gång för alla till fullo betalt. Detta är dock ej i praktiken det vanliga, utan som bekant betalar man den efterhand medelst de år- liga premierna. Under sådant förhållande blir lifförsäkrings- brefvets värde betydligt förminskadt, såsom vi strax få se. Vid ex. 3 visade det sig, att premien för en 56-åring blef lägre efter vår beräkning än efter Skandias prospekt. Detta beror dels på att Skandias premier äro uträknade efter en annan procent och efter en annan dödlighetstabell, dels och förnämligast derpå, att i Skandias premier ingå också förvaltningskostnaderna. 8. Ett lifförsäkringsbrefs värde. Om en m-årig person tagit en lifförsäkring på lifstid, hvad är hans lifförsäkrings- bref värdt t år efter kontraktets afslutande? Kalla det sökta värdet Rm(t). Tydligen är lifförsäkringsbrefvets närvarande värde Rm(t) lika med lifförsäkringens värde (Fm+t) i denna stund, sedan derifrån blifvit afdraget närvarande värdet af alla obetalta premier, d. v. s. de premier, hvilka försäkrings- tagaren framdeles år efter år skall betala. På grund häraf tar man RW() = F,+t - Pm(1 + (+1)..............(11). Den senare termen erhålles enligt följande resonemang. AFD. I. 0M BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 115 En lifränta å 1 r:dr, som utgår vid hvarje års slut, så länge en nu m + t-årig person lefver, är värd l,n+t r:dr. Alltså blir värdet af en lifränta (eller en premie), som ut- går med 1 r:dr vid hvarje års början, så länge en nu m+t- årig person lefver, värd 1+ln+t r:dr. I följd häraf blir en årlig premie å Pm r:dr värd Pm(1 + Um+1). Om i (11) insättes värdet på Fm+t med ledning af den 3:e formeln i (10) eller Fn+1 = Pm+t(1 + Um+), finner man Rm(t) = (Pm+1 - Pm)(1 + l+l) .............(12). Detta vill i ord säga: ett lifförsäkringsbrefs värde t år efter kontraktets uppgörande är värdt lika mycket som närvarande värdet af alla de premiebesparingar, som för- säkringstagaren gjort, derföre att han assurerat sig vid en tidigare ålder m i st. f. vid den senare åldern m+t — nå- got som man omedelbart kan fatta. Tänker man sig nämn- ligen m + t-åringen nu först skola ingå i bolaget, måste han ju betala den högre premien (Pm+1); men, emedan han endast behöfver betala den mindre premien (Pm), alldenstund han i t år tillhört bolaget, följer deraf, att bolaget anser honom redan hafva betalt premieskilnaden för hans hela återstående lif. Anm. Vid första påseendet tyckes det som om för- säkringstagaren af bolaget borde ha att fordra summan af alla hans inbetalta premier jemte ränta på ränta å dessa. Orimligheten häraf blir dock uppenbar, om man besinnar, att bolaget icke för intet kan ha riskerat att under dessa förflutna t år få utbetala hela försäkringssumman i hän- delse af försäkringstagarens död. Ex. 4. En 26-årig person, som vid 16 års ålder för- säkrat sitt lif för 1000 r:dr, hvilka skola utfalla det år, under hvilket han aflider, nödgas göra cession. Till hvil- 116 AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. ket belopp [1000. R, (10)] skall han uppgifva värdet af sitt lifförsäkringsbref a) efter 4% ränta, b) efter 5% ränta? Jemför med ex. 1 sid. 69. Enligt (11) finner man: a) för 4 procent. 1000⅛(10) - 1000[F -Pie(1 + 740)1 = 1000(0,377 - 0,0193.16,196) = 64 r:dr; b) för 5 procent. 1000Rac(10) = 1000(0,315 - 0,0182.14,375) = 54 r:dr. De inbetalte premierna jemte ränta på ränta utgjorde i förra fallet 1000.0,0193 . (1,04)10-1 0,04 = 232 r:dr, i senare fallet 1000.0,0182. (1,05)10 - 1 0,05 = 229 r:dr. 9. Halfårs-lifräntor. Beräkning af närvarande värdet (IS) på en lifränta, som utgår med 1 r:dr vid slutet af hvarje halfår, så länge en nu m-årig person lefver. Man har ej mortalitetstabeller uträknade för halfår. Denna svårighet kringgår man derigenom, att man anser de lefvandes antal vid midten af året lika med det aritme- tiska mediet mellan de lefvandes antal vid årets början och vid årets slut. Enligt ett resonnemang analogt med det för helårs- lifräntor (sid. 65) får man: 7(1) 1 a,n + Cm+1 1 1 Cm+1 1 Cm+1+Cm+2 1 C= — —------------. —, + — . ----. -— + —---------. —3 m 2 2am N 2 Cm r 2am rå ,1 Cm+2 1 1 Cm+2 + Cm+3 1 , + . --------+*----------.-----------+ etc., 2 Cm r2 2 2am rå AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 117 hvaraf, genom att på annat sätt ordna termerna, erhålles: 7() l(am+1 1 am+2 1 ∖ 2. Cm ? Cm ? / 1.(10m+.1 LCm+2. ) 4nl Cm , Cm v3 y (am+1 1 am+2 1 \ + - • 1 • b • -+.... 4 \ Cm 2’ Cm ?‘ / Uttrycken inom parenteserna äro ej annat än lm och 1+lm (se sid. 66). Man får alltså: , lm 1 + lm r-lm ’m - 2 4n * 4 ' = 4 + (--------2-)........(13). För praktiskt behof kan denna formel förenklas. Man har nämnl. hvarest p = 3, 32, 4 o. s. v. Om man då sätter , = 1 + 8 och utvecklar potenserna af r efter Newtons binomialteo- rem, kunna den andra och de högre digniteterna af 8 sak- löst negligeras. Man får då ,() — 1-18, (1—18+1+48 m 4 + 2 ) 1 , 8 eller i det närmaste 199-1+1..............................................(14), en högst märkvärdig formel. Konstanten 1 som skall till- läggas är nämnl. oberoende af procenten, af mortaliteten och af åldern. 1'18 AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFKÄNTOR ETC. Anm. Denna formel förutsätter, att penningarne gö- ras fruktbärande hvarje halfår, alldenstund formeln för ränta på ränta på hvilken vi här stödja oss, fordrar att räntan lägges till kapitalet vid hvarje nytt tidsintervall. Det är tydligt, att värdet af en halfårs-lifränta å 2 r:dr bör vara större än en helårs-lifränta å 1 r:dr, emedan man dels kan göra ena hälften af lifräntan fruktbärande ett halft år tidigare och dels har större hopp om att få lyfta lifränta. Ex. En 26-årig person eger att vid hvarje halfårs slut, så länge han lefver, uppbära 500 r:dr. Hvad(= 100072) är denna hans halfårliga lifränta nu värd α) efter 4%, b) efter 5°/? Vi använda Moivre's * förut omnämnda dödlighets- tabell. * Moivre (Abraham Demoivre), fransk matematiker, född 1667 i Champagne, död 1754 i London. Han studerade i Paris under Ozonom. Efter nantesiska ediktet blef han innesluten i St. Martins priorat. Då han år 1688 återfick sin frihet, skyndade han sig till England, der han gaf lektioner för att lefva. Sedan han flere gånger genomläst Newtons Principia, blef han mäktig att uppträda bland Europas förnämsta lärde. Han blef medlem af Londons société royale 1697, af Berlinerakademien 1750 och, oaktadt sin egenskap af kalvinistisk flykting, af vetenskaps- akademien i Paris 1754. Han var förtrogen med Newton, åtnjöt akt- ning af Leibnitz och Bernouilli. Newton besökte Moivre ofta i det kafé, der Moivre hvarje afton plägade infinna sig. Moivre blef satt i den komité, som skulle afgöra angående prioriteten mellan Leibnitz och Newton angående upptäckten af infinitesimalkalkylen. Oaktadt den stora aktning han njöt, kunde han hvarken i Cambridge eller i Tyskland er- hålla någon stol och tvingades derföre att sysselsätta sig med privat informering till slutet af sitt lif. Han blef slutligen både döf och blind, och sof då 20 timmar dagligen. AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 119 Enligt formeln (14) och med. begagnande af de i ex. 2 sid. 70 funna tal få vi: a) 1000(70 = 1000. [15,196 + |] = 15446 r:dr, V) 100017, = 1000.[13,875 + 4] - 13625 » Hade vi i stället begagnat den noggrannare men be- svärligare formeln (13), skulle vi ha fått talen 15443 och 13621. För en 56-årig person hade lifräntans närvarande värde blifvit α) 100017 = 1000. 10,014 + 21 = 10264 r:dr, 6) 1000 7 = 1000 . [ 9,239 + 11 = 9489 ». 10. Qvartals-lifräntor. Att beräkna närvarande vär- det (= l) af en lifränta, som utgår med 1 r:dr vid slu- tet af hvarje fjerdedels år, så länge en nu m-årig person lefver. Vi antaga dödligheten jemnt fördelad under hvarje år. Man får då: 74) 1 3am + Cm+1 1 +1 Cm + Cm+1 1 m 4 4am 94t 4 2am * 1 Cm + 3 Cm +1 1 1 Cm+1 1 4 4am 94 4 am? Moivre har skrifvit: 1. Animadversiones in Chensei tractatum de fluxionum methodo in- versa. London 1704. 2. The doctrine of chances. London 1716, 1738, 1756. 3. Evaluation of annuities on lives. London 1724, 1742, 1750. 4. Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. London 1730. 5. En mängd afhandlingar i Philosophical Transactions från 1695 till 1738. 120 AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 1 3am+1+Cm+2 1€ 1.m+1+0m+2.1 4 4am 74 4 2am ml 1 Gm + 3am+2 1 1 Cm+2 1 4 4am rf 4 Om ? +.......................................... 17) 3(1+lm) 9* , 1 + Im 3rt 7 = 1+=16% + 16 m + 16 + 16 Vme Då värdet på lm, löst ur (13), häri insättes, finner man: Lr 4 7. (r +r \ en formel, som är i full öfverensstämmelse med (13). Genom att sätta r=1+8 och utveckla efter stigande digniteter af 8, erhåller man den för praktiskt behof lämp- liga formeln [) 1 + (+) .m » m eller @P = 1 + ln......................(16), en formel, som erbjuder samma intressanta egenskaper som (14). Ex. En 26-årig person eger att vid slutet af hvarje fjerdedels år, så länge han lefver, uppbära 250 r:dr. Ilvad är (= 1000 4 ) denna hans lifränta värd a) efter 4°0, b) efter 5 % ? a) 1000148) = 1000. [15,196 + 1] = 15571, 6) 1000 74) = 1000 . [13,375 + #1 = 13750. För en 56-årig person blir en sådan lifränta värd: α) 1000 1) = 1000 . [10,014 + ⅜] = 10389, 6) 100014 = 1000.[ 9,239 + 11 = 9614. 11. Uppskjutna lifräntor. Att beräkna hvad (= "lm) en m-årig person skall betala för att om n år och sedan AFD. I. 0M BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 121 allt framgent, så länge han lefver, få uppbära vid hvarje års slut 1 r:dr. Om n år är denna lifränta tydligen värd lm++n. I denna stund är den således värd n+n 2’2 under antagande att den nu m-årige personen lefver i n år, men som detta ej är fullt säkert, måste nyssnämnda bråk multipliceras med motsvarande sannolikhet = Qn+n). Man får alltså: ∖ Cm / 7 Cm—n "Um = —7 ------------- 9’23 Cm ..................(17). Ex. En 16-årig person vill köpa sig rättighet till en lifränta, som skall utgå med 1000 r:dr årligen från det han fyllt 56 år. Huru mycket skall han betala för den efter α) 34°, b) 4° ? Vi använda Moivre's dödlig- hetstabell. , 1000/46 30 1000. 10,4421.3 0) 10004 ,0 70 (1,035)10.7 -1130,31. ,1000.10,0136.3 b) 1000 4°43 = ----------------------= 893,88. 2--------------------------------16------------------------------(1,04)40.7 Skulle lifräntan utbetalts halfårligen med 500 r:dr - »O t 00, hvarje gang, hade man fatt: a) 1000 40. 1000.10,69.3 (1,0175)80. 7 = 1143,53 *, 6) 1000 40 1000.10,26.3 (1,02)80.7 901,90. 12. Lifränta under ett bestämdt antal lefnadsår. Att finna hvad [= lm(n)] en m-årig person skall betala för en lifränta, som utgår med 1 r:dr vid slutet af hvarje år, under de n följande åren, ifall personen lefver så länge. * Skandias prospekt för 1869 gifver 1330 r:dr ungefär. 8 122 AFD. I. ON BERÄKNING AP LIFRÄNTOR ETC. Denna beräkning möter inga svårigheter; ty sjelfklart är att lm(n) = lw—(n)lm.........(18). Ex. En 26-årig person önskar köpa sig en lifränta, som skall utgå med 1000 r:dr årligen i 20 år, såvida han lefver; huru mycket [= 1000 12c (20)] skall han derför be- tala efter a) 34%, b) 4 % ? , T. 12,784 401 a 1000 lc(20) = 1000 . | 16,2772 - -------- . —= 11994 *, 7 L (1,035)20 60 ‘ i .12,1347 40] b ) 1000 l,c (20) = 1000 . | 15,1965 - ----- . — = 11504 7 L ’ (1,04)2060 Skulle lifräntan utbetalts halfårligen med 500 r:dr hvarje gång, hade man fått: . 2T 13.034 401 α) 10001, (20) = 1000 .16,537 - — • — =12196**, L (1,0175)40 60_ ’ b) 10007 (20) = 1000.15,4465 - 12,3847 .40 = 11707 . 7 ’ (1,02)40 60 (Forts.) Sats, framstäld och löst af student KNUT WICKSELL. Huru står man säkrast? En kropp står säkrast, då sannolikheten för hans tyngdpunkt att falla utanför basytan är minst, hvilket åter bör inträffa, då denna yta är så stor som möjligt. * Skandias prospekt för 1869 gifver 12742,5 r:dr. **...........................................12805,5 r:dr. Anm. Skilnaden mellan våra och Skandias siffror beror dels på förvaltningsafgiften, som ingår i Skandias talvärden, dels derpå att Skandia begagnat en annan dödlighetstabell. Vi uppgifva talen ur Skan- dias prospekt endast för att påpeka det praktiska intresset af den teori, som vi här framställa. AFD. I. SÀTS. 123 Nu är en stående persons basyta = den yta, som upp- tages af fotsålorna, då man tänker sig tåspetsarne sins emellan och hälarne sins emellan förenade genom räta li- nier. Det är således denna yta, som bör vara maximum. Anse vi nu fotsålorna för räta linier af längden 1, låta afståndet mellan hälarne vara gifvet och = a samt fastställa det vilkor, att sålorna skola bilda lika vinklar mot linien mellan hälarna, så reduceras frågan till följ.: När är ytan af ett parallel-trapezium med två lika sidor, der man känner dessa (= 1) och den ena af de pa- rallela sidorna (= a), störst? Detta problem kan lösas på grund af isoperimetri på följ, sätt: Utmärka vi den obekanta sidan med a + 2a, så blir Trapeziets yta = (a + a)a/l2 — 02.............(1), hvilken produkt är maximum på samma gång som 2 gr. dess qvadrat (a + a)a . (l+ a) . 2(- a) ..............(2). Denna produkt är väl isoperimetrisk med afs. på po- tensernas baser, men inskränker, såsom man lätt kan finna, problemet till vilkoret a = 31, hvarvid vi få 1 a=3.............................(3). För att undvika denna inskränkning gå vi följ, väg (se Årg. I sidd. 110 och 111): Produkten i (1) är tydl. max. på samma gång som 1 - × dess qvadrat, der a, 3 och y äro indeterminerade a2βγ 1 ’ konstanter, eller på samma gång som produkten: 124 AFD. I. SATS. så snart a + x i + x ---+ — + aß hvilken åter är max. for a + . 2 l+æ l— . — =-= -.............................(5), l-æ a 1 1 /11 1 ----= —+ - + + 2—+ — = konstant (6), 7 aβ- 7 . hvilket inträffar då X P — = 0..................(7). a, ß och γ proportionella 1 Införas här ur (5) de mot qvantiteterna, så fås eqv. 11. --+ —-—.— ----------_ 0 a + x l + x l — x 2 hvaraf der vi tydligen blott kunna använda det positiva rottecknet. Göra vi här a = l, så fås a hvarvid tydl. trapeziet blir en parallelt afstympad liksidig triangel. Göra vi a = 30, så erhålla vi Z 2= 3.........................(11), hvilket öfverensstämmer med (3). Satserna 17 och 18 (F. W. Hultman), lösta af E. M. FRYKBERG. 17. Att, om möjligt, uttrycka en triangels vinklar, si- dor och yta i radierna till de tre utanför inskrifna cirklarne. AFD. I. LÖSTA SATSER. 125 Låt radierna betecknas med √, r" och ?", motsvarande sidor med respektive x, y och 2 samt triangelns yta med S. Genom att upprita för sig behöflig figur, skall man omedelbart ur densamma finna följande relationer: r’y rz r a „ 2 2 + re rr Fr 2 2 2 Frr rrr w ? C 9 7 rz g 2 Insattes värdet på S förvandlas eqvationssystemet till: , /p(p-y)(p-z) r _ /-----------------------------, V p — æ ,- /p(p-a)(p-z) ? A/------------------------------5 V P-3 „ /p(p-a)(p-y) Häraf erhålles följande enklare system: , _ p-3 Ir 9 T P — r" p - 2 9 " P-3 r'r" = p(p—2), hvaraf genom insättning af 4122 i st. f. p erhålles sy- stemet : (y+z—a), = (a+z-y)r", (a+z-y)P" = (a+y — z)r", 4r," = (x+y + z)(a +y—z). Utan svårighet finnes härur: + „”) ""(," + 7) == *5» y ~7^=7Γ==^Γ==^Γ1 ' N rr +?, +?, N ?? +7! +77 ,"( + r") rr . it rrr . rr rr + rr +r r Z= 126 AFD. I. LÖSTA SATSER. Häraf erhålles vidare • er 19 rr r r n rrr rr r f rr tr nror rr + 29 + r r hvilken sistnämnda formel ock kan skrifvas: 1 1+1+1(=radien i den inskrifna cirkeln). . 9 9° r 9 Häraf kan man lätt finna radien i den omskrifna cir- kein (R), höjden (∕z) mot sidan x samt Tg à X (Λ X star emot' a). De blifva: (,+*)(,+*")(,"+*) 4(," + „,"+ "# ) ’ A-2, T81X-/ Som man ser, är höjden i triangeln oberoende af ra- dien i den cirkel, som tangerar den sidan, på hvilken höj- den faller. 18. Att, om möjligt, uttrycka en triangels vinklar, si- dor och yta i triangelns omkrets och radierna i de in- och omskrifna cirklarne. Betecknas sidorna med a, y, 2, omkretsen med 2p, radien till den omskrifne cirkeln med R, radien till den inskrifne med ? och ytan med S, så hafva vi som bekant relationerna: +y+z = 2p...........................(1), æyz = 4RS = 4pRr....................(2), S = Pr = AP(p-a)(p-3)P-2). Den sista eqvationen med tillhjelp af de två första gifver: xy+cz+yz = 92+4Ry + p2..............(3). Eqvationerna (1), (2), (3) visa, att a, y, 2 äro rötter till följande tredjegradseqvation: w3-2pu2 + (,2 + 4Rr + p2)u - 4pRr = 0. AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. 127 AFDELNING II. Bidrag till en elementär framställning af läran om integrerande faktorn. Af D-G. 1. Hvarje funktion u, som identiskt satisfierar d(uM) d(N) dy da eller s. ä. d. - du du _ „ (dN d.M) dy dæ (da dy ) gör uMda+uNdy till en exakt differential och är sålunda en integrerande faktor till differentialeqvationen Mda + Ndy = 0.........................(2). 2. För att med tillhjelp af eqvationen (1) finna en faktor u, förfara vi på följande sätt. Först beteckna vi med 9 en tills vidare indeterminerad funktion af æ och y, och förlänga eqvationen med dy. Derigenom erhålla vi ( du du)(dedφ 7 ) (dN dM), M -— N- dx+— dy = u --------------------— dep • ( dy Ca)(CC dy )------------------( Ca--dy) Sedan utföra vi multiplikationen i venstra membrum, hvarigenom detta reduceras till . do dμ dφ dμ 1 dg du, „do dus M- dx — N- — dæ + M— — dy - N - — dy. da dy da da dy dy e dy da 128 AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. Vidare transformera vi denna expression medelst iden- titeten 7 du, du, CUl = —da + ---dU - da dy o och erhålla härigenom (dçp du do du)A,, , (do de, — ----- — (Mdx+Ndy) + M- - N—-du. (da dy dly da) 0 ∖ dy (/ Slutligen söka vi att, genom ändamålsenlig bestämning af den hittills indeterminerade funktionsformen 9p, göra (dg du do du),p,, 27 (dg de\, (da dy dy da) \ dy da) (d~ dM)) = μ — dg (3) (da dy) > integrabel. Lyckas denna determinering af gp, så är det u, vi genom integration erhålla, en integrerande faktor till eqvationen (2). Anm. Emedan eqvationen (3) bör identiskt satisfieras af u, kan den ej genom användning af (2) förenklas. Denna senare eqvation bestämmer nämnligen emellan æ och y ett samband, som den förra visserligen tillåter men alldeles icke fordrar. 3. Hvad nu bestämningen af p beträffar, synes lätt, att man, om möjligt, bör välja denna funktion så, att dN dM . dæ dy M~ -N dy Ca derigenom blir en funktion af 9p allena, korteligen F(gp). Så ofta nämnligen © blifvit så vald, satisfierar p - e/F(p)a. = F(g) den sist framställda differentialeqvationen; ty först och främst blir då OM INTEGRERANDE FAKTORN. AFD. II. 129 dç dμ de du da dy dy da identiskt lika med noll, och vidare blir Mdo - ( dy de) 7 (dN dM\, N-- du = ul —-— dy. da) \dæ dy/ Häraf följande TEOREM I: Om man lyckats så bestämma en indeterminerad funk- tion 9, att expressionen dN dM da dy ardo—Ndg dy CE derigenom blifvit en funktion af 9o allena, så har man ock i U = e dN_ d M * da dy ,7 4q yaq 9 dy da funnit en integrerande faktor till eqvationen Mda + Ndy = 0. Applikationer: 1. Om dN dM da dy : M = x(y), så behöfver man endast sätta 9p = y. 2. Om (dN da sätta vi © = x. Så nen är den lineära dM) 1 — : N = x(a), dy) förfara vi till exempel, om eqvatio- {f(a)y +f(a)| da + f(a)dy = 0. 130 AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. Faktorn blir i detta fall e-Ya(a) . " J,(e) 3. År differentialeqvationen F,(ka + ly)da + F,(ka + l3)dy = 0, så gifver 9 = ka+ly - ___________1 " F,(ka+ly)l — FA(ka+ly)k 4. År eqvationen aF,(a3+y”)dw + y F,(w2+y)dy = 0, så gifver 9 = a2 + y2 1 " - F,(3+y)-F,(a“+3”)° 5. Om eqvationen är 0 0 F,(wy)yd.x + F_(ay)ædy = 0, så fås för gp = æy μ - zy(F,(y)- F,(ay)) ' 6. Faktorn till F, (3)da + F,(J))dy = 0 blifver för μ = e • Anm. Boole anför i sin treatise on differentialeqva- tions det i teoremet I förekommande uttrycket för faktorn. Då han emellertid vill använda detsamma, icke för att finna AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. 131 integrerande faktorn, såsom här ofvan skett, utan för att afgöra, i hvilka fall den är af formen F(g), då φ beteck- nar en gifven och definit funktion af a och y, blir hans metod att ur eqv. (1) härleda ifrågavarande uttryck, iföljd af den bestämning, som sålunda från början tillägges 9p, betydligt afvikande från den i §§ 2 och 3 framställda. 4. Låt Mdæ + Ndy = 0 vara en gifven differentialeqvation. Förlänges denna med en indeterminerad funktion f, så blir eqvationen, som skall integreras fMdx + fNdy = 0. Appliceras nu teoremet I på denna eqvation, så synes, att är en integrerande faktor till densamma, om / och 9p blif- vit så valda, att faktorn till de under integrationstecknet är en funktion af 9p allena. Häraf ett nytt, så lydande TEOREM II: Om man lyckats så bestämma tvenne indeterminerade funktioner f och 9p, att expressionen (di dM\ ydf df (da - dm)/— 7n " M dy (xdgp LNdy), \ dy da) derigenom blifvit en funktion af (p allena, för korthets shell betecknad med - . F(9), sa har man också i u = fe/F()de funnit en integrerande faktor till Mda + Ndy = 0. 132 AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. 5. Användning af detta teorem. 1. Låt eqvationen vara Bernoullis: (Py-Q3"dm + dy = 0. Då är (nQy-1 - P)f + d/- (Py-Qym) df Fady (Py-Qy)d9 - deyy Antag 9 = x och nf + y—= 0. e dy Då blir f=y-n och F = (1-n) P, följaktligen u = y—nel—n)JPdx. 2. Lacroix’ eqvation dy da + y2 = dP 7 — + P2. d I detta fall är F= -2/+%+(P2+P-9)4, 8dy da)3 Poneras först och dy 1 dy så får man d ç — + P = 0, dæ y = y — P AFD. II. OM INTEGRERANDE FAKTORN. 133 och Fdg = - 2y + d(f) + (P2 + P‘—y2"() dady Bestämmes och 3/2 - P derefter / genom eqvationerna d(p) --2P ax d(y — P)• så följer, att d(f) = 0, dy —2 / Pda och Fdφ = -200P). 3-P Den sökta faktorn blir sålunda e—2/Pdx 3. Låt eqvationen vara F, (L)da + F,(L)dy = 0. Antages och / = an så blir i detta fall faktorn För m = 0 ger denna eqvation μ-e , ett uttryck för faktorn, som vi ofvanför på annat sätt funnit. 134 AFD. π. OM INTEGRERANDE FAKTORN. För m = - 1 blir faktorn 1 H Fa + Fly Divideras den faktor, som erhålles för m = a, med den faktor, som svarar mot m = b,så blir qvoten A a — b (a — b)U/ x • Q=@ e ' Men nu är, såsom man kan se i Moignos Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral Tome II pag. 351, qvoten mellan tvenne faktorer, ponerad lika med en kon- stant, generel integral till den gifna differentialeqvationen. Q = c, eller bättre / A,+r,V * a Æe = C, måste följaktligen vara generel integral till F (3) dæ + F,(3) dy = 0. Sats rörande ellipsen. Af student AUG. EKELUND. Nedanstående sats är visserligen åtminstone till en del icke ny, men dock som jag tror temligen obekant, och då jag ej kan hänvisa till något arbete, der den fin- nes behandlad, så torde den förtjena att i tidskriften in- tagas. Om man på storaxeln i en ellips såsom diameter upp- ritar en cirkel, så ligga skärningspunkterna mellan normalen AFD. II. SATS RÖRANDE ELLIPSEN. 135 för en punkt hvilken som helst af ellipsen och radierna i de två punkter af cirkeln, som hafva samma abskissa, på tvänne koncentriska cirklar, som hafva ellipsens medelpunkt till me- delpunkt och hvilkas radier äro lika med axlarnes halfva summa och halfva skilnad — det förra då punkten på ellip- sen och motsvarande punkt på cirkeln ligga på samma sida om storaxeln —; och det stycke af normalen, som ligger mellan dessa skärningspunkter, delas af ellipsen midt i tu. Ty antages ellipsens medelpunkt till origo och hans axelriktningar till koordinataxlar, samt hans halfva större axel = a och hans halfva mindre = b, så är eqvationen för normalen i en punkt (x, y) på ellipsen (fig. 3) "-S= 652 0-1 och ordinatan för den punkt af cirkeln, som har x till ab- skissa, punkt = 53, samt således eqvationen för radien i denna 03 bx Af dessa två eqvationer fås ag y V —- = och - = 1—7 , a a± O b ±0+6 hvilka värden, insatta i ellipsens eqvation a" 2/2 1 05 + 75 = 1, gifva eqvationen för skärningspunktens locus §2+12 = (a+b)%. Att rr, skäres midt i tu i m inses lätt; ty i triangeln ren äro dm och en parallela och rd = de = b. På grund af denna egenskap hos ellipsens normal får man följande särdeles vackra sätt att konstruera ellipsen genom cirkelbågar (se t. ex. Redtenbacher, Resultate für den Maschinenbau): Drag (fig. 4) ellipsens axelriktningar 136 AFD. II. SÀTS RÖRANDE ELLIPSEN. OX och 0 Y och upprita med O till medelpunkt samt b, a och a + b såsom radier cirklarne bqq, app och crr och drag radier Oqpr, Oqpr,...; drag vidare genom q, q',... linier parallela med OX och genom p, p',... linier parallela med 0 Y samt genom de skärningspunkter m, m',..., som härigenom bestämmas och hvilka, som bekant är, ligga på ellipsen, linierna mr, m'',... och upprita slutligen med dessas skärningspunkter n, n',... såsom me- delpunkter cirkelbågar mm', m'm",..., då man, om radi- erna Oqpr, Oqpr',... dragits tillräckligt nära hvarandra, får ellipsen konstruerad med huru stor noggrannhet, som behagas. Då man vid utförandet af ofvanstående konstruktion måste bestämma ellipsens båda axelrigtningar och dessutom punkter m, m',... på ellipsen, förutsättes således att kon- struktören begagnar ett instrument, med tillhjelp af hvil- ket man kan draga vinkelräta och parallela linier. Detta är dock icke för ellipsens konstruktion genom cirkelbågar nödvändigt; ty hans normaler kunna uppdragas äfven då man känner blott en axelrigtning (axlarne antagas till sin storlek naturligtvis alltid gifna) och hans medelpunkt. Vi veta nämnligen att normalen i punkten m (fig. 3) går ge- nom båda punkterna r och r och på grund deraf få vi följande konstruktion: Drag (fig. 5) ellipsens storaxelrigt- ning XX’ och bestäm hans medelpunkt 0 och toppar A och A’; upprita med 0 till medelpunkt samt a + b och a —b såsom radier cirklar, som gå genom C, C' och c, c och afsätt på den förra från C och C' åt ömse sidor först de lika stora styckena CR, CR,, CR, C'R, , sedan de lika stora CS, CS, , C'S, C'S, , o. s. v. samt bestäm skärnings- punkterna r, s, ri, s1 , . . . mellan diametrarne R R., SS‘1 , ...RR, S'S1,... och cirkeln crc' och drag linierna R?1, Ss,..., R,r, Ss,..., som då äro normaler till den be- gärda ellipsen. Fortsättningen af konstruktionen inses nu lätt. År konstruktionen noggran, bör naturligtvis ellipsen, på samma gång han går genom A och A, tangera en cir- AFD. ∏. sats RÖRANDE ELLIPSEN. 137 kel, som med radie = b uppritas från O såsom medel- punkt. Båda dessa konstruktionssätt hafva livar sina företrä- den: det förra ger genom punkterna m, m',... under kon- struktionens lopp en god kontroll på dess noggranhet; det senare förutsätter enklare instrumenter och bör bestämma normalernas lägen säkrare, eftersom punkterna 9° och 91 (fig. 3) äro längre i sär än punkterna ? och m, samt torde dessutom för utförandet fordra något kortare tid. För båda gäller att konstruktionen blir noggrannare ju mindre lång- sträckt ellipsen är och ju tätare normalerna ligga hvaran- dra i närheten af toppen, der förändringen i krökning är störst. Genom ofvanstående konstruktion underlättas betydligt uppritandet af den så kallade korglinien, en linie, som isynnerhet användes vid hvalfkonstruktioner och består af cirkelbågar, så förenade, att det hela så mycket som möj- ligt närmar sig en ellips. (Jemför Μ. Becker, Allgemeine Baukunde des Ingenieurs, sidd. 168—170.) För öfrigt in- ses lätt, att detta konstruktionssätt låter använda sig, icke endast på ellipsen, utan äfven på den ännu generel- lare toroiden, som är ellipsens parallela och eqvidistanta kurva. Grunddragen af den geometriska kalkylen Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 85). K A P. IL De omvända räknesätten: Division och rotutdragning. . A) Division. 80. Division definieras här på vanligt sätt såsom den räkning, enligt hυilken, då en produkt och den ene faktorn äro gifne, den andre faktorn finnes. 9 138 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN . Om således i likheten ?‘, = Ca.be produkten 7, och den ene faktorn ao äro gifne, så finnes den andre faktorn 6g på följande sätt. Enligt § 32 är 7‘g = (ab),+8, då således enligt § 21 r = ab och θ-a + β eller, som är detsamma, b = 1 och ß = θ — a, hvaraf a slutligen • bg = =............................(1), P Ca 0/9—a hvilken sats utsäges: qvoten — finnes genom att dividera Ca dividendens (täljarens) modyl r med divisorns (nämnarens) modyl a samt från den förres argument θ subtrahera den senares argument C. 81. Om vi hafva likheten ", = Ca + bg» (r \ / a\ tb\ c/e—y \c/e—y \c/g—y eller enligt (1) 7, an bg - =+.............................(2), Cy Cy Cy hvilken likhet säges vara härledd ur den förra genom till- lämpning af satsen, man eger rättighet att dividera lika med samma komplex. _ Satsen gäller i öfverensstämmelse med § 34 för likhe- ter, hvilkas sidor utgöras af huru många termer som helst. 82. Om T9 i (2) ersättes af det identiska uttrycket ao + bg, erhålles följande identitet ax + bg ac bg -- P = — + — ------------------(3), Cy------------------------------------Cy Cy 9 hvilken utsäges: vid ett polynoms division med ett monom di- videras hvarje term särskildt med monomet. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 139 83. Vid ett polynoms division med ett polynom eger man att följa det algebraiska förfaringssättet såsom grun- dande sig på tillägg och fråntagande af identiskt samma termer. 84. Med stöd af (1) inses omedelbart följande iden- titet aa _ ∕ca∖ _ (ca)a+7 _ %y.Cg be" (cbu+7—(+2 (cb)8+y" cy.bp "‘" hvaraf framgår rättigheten till bråks förlängning och för- kortning eller rättigheten att multiplicera och dividera divi- dend och divisor med samma komplex. 85. Vidare inses omedelbart identiteten cγ Cu (c) (a _ (ca) _ (ca)a+y da ba (d//—8 (b/a—8 \db/a+y—(8+3) (db)8+à hvaraf framgår den kända lagen för multiplikation i bråk, ax 86. Genom att förlänga bråket — med bg-de och o . d, förkorta erhålles identiteten Gg ba d.ax -= -..............................(6), dy hvaraf framgår den kända lagen för division i bråk. 87. Med stöd af nu utvecklade grundsatser kunna alla i algebran utvecklade formler rörande division och bråk omedelbart tillämpas på våra geometriska qvantiteter (jfr § 39). 140 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN N(x+5)+k(+ a2+32+52+n2+2(5+yn)' 88. Vi gå nu att anföra ett särdeles vigt och använd- bart sätt att projiciera komplexer af bråkform. Vi antaga till projiciering bråket Ca To + Qu Genom att förlänga detsamma med 7_g + _ erhålles med stöd af § 40 bråket ___________________⅝^-9 + ,2 + ρ2 + 2re Cos (6 — cu) ’ hvars projektioner på grundrigtningen och den vinkelräta rigtningen blifva respektive ar Cos (a - 0)+a0 Cos (a - co) a? Sin (a- 0)+a0 Sin (α-o) 72+q2+2rq Cos (0-ω) ’ 92+Q2+2rq Cos (0—co) : Sätta vi % = 2+ym och Q. = §+71, så antar bråket formen _ Cg (c+E)+(y+"),' hvilket åter genom förlängning med (x+5)-(y+1), får följande form: aul(z+*)- (y+n w (a+5)2+(y+1)2 Sättes nu ax = h+k,, så bli de två projektionerna: k(a + §)—h(y + n)______________________________ a2+y2 + 52+72+2(5 + yn) ' utsträcka sig till bråk, hvil- låter Det kas täljare och nämnare utgöras af huru många termer som helst. B) Rotutdragning. 89. Rotutdragning definieras här på vanligt sätt så- som den räkning, enligt hvilken man finner en komplex Qw, då dess née dignitet aa är gifven. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 141 Då enligt lagen för komplexers multiplikation vi hafva (Qw)” = Qu.Qw.Qw... till n stycken = (", så följer ome- delbart af likheten (ew)" = ac, - lo att 0” = a och n0 = a eller ρ - an och ω = —a, då följ- n aktligen 1 1 Qw = (a)" = a1 ...................(7), hvilken sats utsäges: man finner née roten ur en komplex aa genom att taga né roten (den numeriska) ur modylen och née delen af argumentet. 90. Om i (7) i stället för a införes det generella ar- gumentet a+2k 7 (jfr § 5), så fås likheten 1* 1 hvaraf framgår, att det till en komplex med generelt argu- ment alltid gifves n stycken särskilda née rötter, hvilka er- hållas genom att successivt göra k = 0, 1, 2 etc. till och med n - 1. Genom att ytterligare göra k = n, n+1, n+2 etc. upprepas i samma ordningsföljd de förut erhållna rötterna. Göres åter k = — 1, —2 etc. till och med -n, upprepas äfvenledes samma rötter men i motsatt ordningsföljd, hvil- ket inses, om man till hvarje på detta sätt erhållet argu- ment lägger 2n. 91. Den rot, som erhålles, då argumentet utgöres af ett fixeradt värde, d. v. s. den rot, som svarar mot kom- plexens speciella argument, kallas hufvudrot; de öfriga röt- terna deremot kallas birötter. * Användes beteckningen ((a))" , så är den till betydelsen helt 1 och hållet sammanfallande med (a n . c + 2k 71/ 142 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN Anm. Den här gifna betydelsen af hufvudrot mot- svarar icke alltid, hvad som enligt Cauchy förstås med principalrot., hvars argument alltid måste hafva sin slutpunkt mellan gränserna 17 och — 17 eller ock, enligt en senare åsigt, mellan gränserna 0 och 7 och som tillika företer den minsta vinkelöppningen. Vi gå nu att undersöka några allmänna lagar för rötter. 92. Vi ha enligt 90 och 89, då — är ett oför- kortligt bråk: 11 m n a" m vidare är m n m, n m ’m (c + 26 7) då följaktligen hvilken sats utsäges: mée digniteten af en komplex' née rot är identiskt lika med née roten ur komplexens mée dignitet, m te och kunna begge dessa tittryck representeras af —potensen - n af komplexen, då betydelsen af en sådan potens är 2 po- me" tensen aj modylen och — delen af argumentet. n Anm. Man lägge här märke till, att vid tal om ge- nerelt argument afses uteslutande den ursprungliga kom- plexens argument, d. v. s. att uttryck af formen 2kπ endast få tilläggas den ursprungliga komplexens speciella argument. Identiteten (9) äfvensom de följande rotla- garne förutsätta med nödvändighet denna inskränkning hos det generella argumentet, hvilken ock ur den synpunkten AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 143 inses såsom fullt naturenlig, att detta argument må anses såsom tillkommet genom den ursprungliga komplexens upp- repade omsvängning omkring sitt origo ett helt antal båg- hvarf. (Angående de särskilda undersökningar, som blifva nödvändiga vid förbiseendet af denna inskränkning, jfr P. W. Almquists afhandling. Arg. I sid. 264). 93. Om u är ett positivt helt eller brutet tal, är en- ligt föreg. § (au+an) = aM(u+am)..................(10). Vi vilja nu för det fall, att u är ett negativt helt el- ler brutet tal eller ock noll, ge potensen (a + 21) 4 en så- dan betydelse, att den i (10) uttryckta lagen är derpå till- lämplig. Om derför l:o u = —v, så är enligt (10) 11 ( _ 0 _ ----------- ----------- (Co+2k7)(—v (a+2k7t) - (a ,p ’ Qv(a. + 2h 7t) v 0.+2h då således allmängiltigheten af lagen (10) fordrar, att en potens med negativ exponent bör betyda det inverterade vär- det af potensen med ombytt tecken för exponenten. 2:0. Om u = 0, så är enligt (10) a+2kr) 0o(a+2k 7) ’ då alltså allmängiltigheten af lagen (10) fordrar, att en potens med noll till exponent bör under alla omständigheter betyda 1. Anm. Om i (10) g antages vara ett irrationelt tal p+1 p . samt beläget mellan gränserna ------och -—, der skil- 9 I naden 1 kan göras mindre än hvilket litet talvärde som helst, så är betydelsen af potensen (a+2 )" sådan, att p+1 7 modylen a" anses ligga mellan gränserna a 3 och α3 oc}1 144 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN argumentet (a + 2kr) mellan gränserna p+l( +2km) 9 och 2 (a+2k7). Då skilnaden mellan dessa argument- 9 gränser kan för tillräckligt stora värden på k göras huru betydlig som helst, så inses, att en potens med irrationel exponent måste, generelt taget, erbjuda ett obegränsadt an- tal särskilda argumentvärden. 94. Enär —(c + 2k ) = -— (a + 2k ) och det för n pn hvilka värden som helst på k, så inses omedelbart föl- jande identitet: m m pm pm (a ) = an = apn = (a .. (11), \ a + 2iπz m. , , pm . k C+12k/ V /9 — (C + 2k T) —(C — 2k 7r) n pn då således värdet af en potens icke förändras, om det bråk, som utgör exponenten, förlänges eller förkortets. Af denna sats följer omedelbart, att det är nämnaren i den oförkortliga bråkexponenten, som anger rötternas an- tal eller antalet af potensens särskilda värden. 95. Om vi i enlighet med § 93 antaga u representera ett tal hvilket som helst, positivt eller negativt, så är (au+am) (08+==) - «Mo+aim-b5(+2m) - (aD)M(+**+B+2*) = [(0),+**+8+2K=1" = a+ax-ba+aml .................................(12), då således produkten af potenser med samma exponent är identiskt lika med produkten af potensernas baser, höjd till den gemensamma exponenten. På analogt sätt bevisas, att (a,+21)" _ ("a+zn)" (7 ) ..........(13), hvilken sats utsäges i öfverensstämmelse med föregående, då ordet produkt utbytes mot qvot. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 145 Anm. Man lägge märke till såsom någonting rätt egendomligt, att produkten (qvoten) af potenser med sam- ma exponent icke erbjuder, generelt taget, ett större antal värden än livar och en af de ingående potenserna, utan ett jemnt lika antal. • 96. Vi hafva med stöd af §§ (94), (92) och (95): m p gm np ( a+2 m) ""a + 2% 7) \ a+21 7) : a + 2% T 1 1 1 =(a 1gn. [(a "Png = f(a m+npng LV a+2k n/ ∙ L\ ot+2k n/ J LV o + 2k 7/ J qm+np m p =4) "4 = (Ca+sam)" J...........................(14), hvilken sats utsäges: produkten af potenser med samma bas är identiskt lika med den potens af basen, livars exponent är summan af de gifna exponenterna. På analogt sätt bevisas, att m (a n m p 0+2 7 ? (IF) p - (Ca+2k t) (a+an)" hvilken sats utsäges i öfverensstämmelse med föregående, då orden produkt och summa utbytas mot qvot och skilnad. Anm. Man bemärke, att produkten (qvoten) af po- tenser med samma bas erbjuder, generelt taget, ett sådant antal särskilda värden, hvilket utvisas af minsta gemen- samma dividenden till de gifna exponenternas nämnare. 97. Under antagande, att u och v representera hvilka tal som helst, positiva eller negativa, är enligt (10): ^^Y = kzusuml” - ^^ - (4,+a1(16), hvilken sats utsäges: en potens, höjd till ny potens, är iden- tiskt lika med den potens af basen, hvars exponent är pro- dukten af de gifna exponenterna. 146 AFD. ∏. GRUNDDRAGEN AF DEN Anm. Antalet särskilda värden af en dylik potens angifves af nämnaren i bråkprodukten uv, sedan denna produkt blifvit bragt till sin enklaste form. 98. Om vi ha likheten a + 2k t 3+2=' så är likheten 1 1 ("z+=-)" = (ba+3.)" ...........(17) på samma gång sann, om nämnligen vilkoret (a + 2% 7) — (8 + 2/7) >-----/—P-------2 = 227........(18), n der 2 representerar ett helt pos. eller neg. tal eller ock 0, är uppfyldt; hvilket omedelbart inses deraf, att af den ur- 1 1 sprungliga likheten följer a = b eller an = bn och af vil- koret (18) a + 2kπ 8+2K7 = L + 227 . n n Vi kunna derför uttala följande sats: man eger rättig- het att draga lika rot ur lika, om skilnaden mellan argumen- ten, dividerad med rotindex, ger till qvot noll eller ock ett helt antal båghvarf. Anm. Vilkoret (18) är af synnerlig vigt att iakttaga vid tillämpning af grundsatsen » att draga lika rot ur lika». Så t. ex. rubbas likheten a, = a- vid qvadratrotutdrag- ning, hvarom man äfven på förhand kan vara förvissad, enär A [ — (-7)] = 7; deremot rubbas icke likheten C37 = a_, vid qvadratrotutdragning, enär 1[3m - (- 7)] = 2/, men väl vid utdragning af 3:e och 4:e roten, o. s. v. 99. Enär man eger rätt att höja lika till lika digni- tet (jfr § 34), så kunna vi på grund af (17) uttala föl- jande sats: man eger rätt att höja lika till lika potens, om skilnaden mellan argumenten, dividerad med nämnaren i ex- ponenten, ger till qvot noll eller ock ett helt antal båghvarf. AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 147 100. De räknelagar, som i föregående §§ 89—99 blif- vit utvecklade för de geometriska qvantiteterna, äro i formelt hänseende fullt öfverensstämmande med de i algebran kända lagarne för rötter och potenser. Den förmenta inskränk- ning eller rubbning i dessa lagar, som man trott sig finna vid försök att tillämpa dem på de algebraiska imaginä- rerna, härflyter icke från någon brist i dessa lagars all- mängiltighet utan från det algebraiska beteckningssättets otillräcklighet att nyansera och skarpt begränsa de opera- tioner, som man behöfver inlägga i sina tecken. Utom den synnerligen stora vigt dessa potenslagar ega i rent geome- triska undersökningar, tjena de i första hand att lemna en fullständig belysning öfver karakteren af den imaginära kalkylen, hvarigenom det blir möjligt att å ena sidan an- visa de imaginära tecknen deras naturliga innehåll och be- tydelse och å andra sidan uppvisa den inre nödvändigheten utaf, att räkningen med dessa tecken måste leda till rig- tiga och sanna resultat. Tillämpning på Algebra. 101. Innan vi gå att tillämpa de geometriska räkne- lagarne för division och rotutdragning på de algebraiska qvantiteterna, vilja vi erinra om de i § 44 antydda syn- punkter, hvarur vi ega att se den algebraiska kalkylens förhållande till den geometriska. Dessa synpunkter äro här af så mycket större vigt att fasthålla, som algebran, för att möjliggöra en sträng behandling af läran om röt- ter, måste taga sin tillflygt till den imaginära kalkylen, hvilken, som vi skola se, endast är att betrakta som ett ofullkomligt uttryck för den geometriska. Det skall visa sig här i måhända bestämdare drag än förut, att de alge- braiska räknelagarne endast äro att betrakta som enskilda fall af de geometriska och att de förre först i och genom de senare kunna ernå en i allo tillfredsställande förklaring och en fullt afslutad utveckling. 148 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN 102. Med stöd af § 80 kunna vi härleda de lagar för den algebraiska divisionen, som motsvara de i § 42 framstälda lagarne för den algebraiska multiplikationen. Enligt formeln (1) fås nämnligen: ao - (a) b =6) ’ 0 ∖ u /0 ax (a) bo (6), ' Co = (a) hvilka fyra lagar äro uttryckta i den algebraiska regeln: »lika tecken ge + och olika tecken ge — ». Anm. Man lägge märke till den framträdande skift- ningen i qvotens argument, då ett negativt tal delas med ett positivt och då ett positivt delas med ett negativt: i begge fallen blir qvoten negativ, i förra fallet med argu- mentet tt och i senare fallet med argumentet — t. Dylika skiftningar, som icke förändra något i talens karakter af positiva eller negativa, framträda på mångahanda sätt så- väl vid divisionen som vid multiplikationen, då i stället för argumenten 0 och 7 användas argument af formen 2ka och (2k + 1)7 (jfr § 6). Sådana argumentskiftningar spela en synnerligen vigtig rol i läran om rötter, der de tjena som förklaringsgrund för åtskilliga skenbara motsä- gelser (jfr § 98, anm.), hvilka — naturligt nog — på rent algebraisk grund icke kunna lösas. 103. Vid utdragning af qvadratroten ur ett positivt tal blir enligt § 91 hufvudroten positiv, om argumentet är 0, men negativ, om argumentet är 27, eller annorlunda ut- tryckt : (a): = al = a 1 1..........................(19), (a, )2 = a2 = - a 27/ 7T AFD. 11. GEOMETRISKA KALKYLEN. 149 der ~/ såsom vanligt utmärker den numeriska qvadratro- ten ur talet (roten ur modylen). Anses det positiva tal, hvarur qvadratroten skall dra- gas, hafva det generella argumentet 2k, så blir (02x-) - Cm - ± ...........(20), der det lemnas obestämdt, hvilkendera roten är hufvudrot och hvilkendera birot. Anm. Vår i § 91 gifna bestämning på hufvudrot le- der, som vi se, till det antagandet, att såväl den negativa som den positiva qvadratroten kan gälla som hufvudrot. Om vi ur algebraisk synpunkt anse den af de begge röt- terna, som ensamt besvarar en framstäld algebraisk fråga, för hufvudrot, och då denna kan vara lika väl den nega- tiva som den positiva, så inses, att det berörda antagan- det öfverensstämmer icke mindre med algebrans än med geometriens natur. Kommer då dertill, att man under lop- pet af en räkning får full visshet om, att argumentet för det tal, hvarur qvadratroten skall dragas, är t. ex. be- stämdt 27 och icke något annat, så vore det utan tvifvel oegentligt, att kalla den positiva roten för hufvudrot, hvil- ken med den räkningen ingenting har att göra, och tvärt- om. Förekommer benämningen principalrot, så afses der- med konventionelt den positiva roten, hvilket vi anmärka för att undvika förvexling af denna och hvad vi förstå med hufvudrot. 104. Vid utdragning af qvadratroten ur ett negativt tal ligger hufvudroten i den positiva vinkelräta rigtningen, om argumentet är 7, men i den negativa vinkelräta rigtningen, om argumentet är — 7 (37), då följaktligen 150 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN der 1, utmärkes med i* (» den positiva imaginära enhe- ten »). Anses det negativa tal, hvarur qvadratroten skall dra- gas, häfva det generella argumentet 7t + 2k v, så lemnas hufvudroten obestämd, då (a+w.1 - = +iJa...........(22). 105. Den geometriska betydelsen af de imaginära qvantiteterna är enligt (21) och (22) att utmärka tal i den positiva eller negativa vinkelräta rigtningen **, då nämnligen * Man har funnit det oändamålsenligt att med √-1 beteckna den positiva imaginära enheten, emedan den först faststälda betydelsen af det enkla rotmärket, nämnligen att utmärka den positiva qvadratroten ur ett positivt tal, med nödvändighet fordrar, att om talet under rot- märket sättes negativt t. ex. —a, den dermed betecknade imaginära roten eller √—a måste vara b. Ar åter aq2. Ar åter a2 < q2, så är delningen overkställbar, och den imaginära lösningen erbjuder ett omöjligt svar på den fram- stälda uppgiften. Om vi åter för a2 0 vara uppfyldt ; om a sättes = 1q och 6 = A/(3p)3-(29)2 , 1 1 så blir lösningen a = (a + ib)3 + (α —ib)3 , der produkten af termerna till höger måste vara positiv på samma gång som p. Om nu a+ib sättes = Qu och följaktligen a-ib=—0) så fås enligt § 51, då det generella argumentet införes och 1 1 2 produkten (ew+2* 2)2 . (Q.-(+287))2 = sättes posi- 1 tiv d.v.s. k=k, följ, lösning: 2 = 03 (1, (w .2n)+ 1_4(0 + 2’1)3 1 = 203 Cos ∣[ω + 7(k + k)], der de tre rötterna finnas ge- nom att göra k =k = successivt 0, 1, 2. Vi må nui den framstälda eqvationen införa qvantiteter af hvad natur som helst, t. ex. en summa penningar, en värmemängd, en vigt, ett yt- eller kubikinnehåll o. s. v., så visar sig dock facit såsom en summa af tvenne till storlek och rigtning be- stämda linier, hvilken summa har sin slutpunkt i den po- sitiva eller negativa grundrigtningen. Detta exempel be- 10 154 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN lyser i väsendtlig mon den geometriska kalkylens generella karakter: att nämnligen de räkneformler, som ur geome- trisk synpunkt kunna utvecklas för talbetecknade linier af formen C,, dessa formler må under sin utveckling i sig upptaga talbetecknade linier af formen a, gälla för hvilka qvantiteter som helst, blott de kunna fattas under positiv eller negativ talform (jfr § 44). 106. De skenbara motsägelser, som framträda vid rotlagarnes tillämpning på de imaginära qvantiteterna, för- svinna omedelbart vid användningen af det geometriska be- teckningssättet. Om vi i formeln N/A.B = N/AB i stället för A och B införa —a och —b, så blir den venstra sidan (åt- minstone efter det vanliga uppfattningssättet) i a.in b d. v. s. — ~/ab och den högra sidan A/-a . - b d. v. s. A/ab. Efter det geometriska beteckningssättet fås enligt § 95: (a ).(b ) = a} .b: = (ab., eller ock (a )-.(6 ) . T. . T0/ 2 70 2 70 ∖ ar 2 \ = a"..b5 = (ab)ö, således i begge fallen rigtigt. Ana- loga motsägelser framträda vid tillämpningen af de öfriga rotlagarne. Det är lätt att se, att dessa motsägelser bero dels på algebrans saknad af medel att på behörigt sätt nyansera betydelsen af tecknen + och —, allt efter som dessa tecken härflyta från olika räkneoperationer (jfr § 102 anm.), och dels på frånvaron af begreppet hufvudrot, så- dant detta blifvit i det föregående bestämdt (jfr § 103 anm.). Den del af algebran, som berör lagarne för rötter och po- tenser, så vidt dessa gå utöfver de positiva rötterne ur positiva tal, har derför sin naturliga plats inom den geo- metriska kalkylen; eller åtminstone måste algebran, för att med tillbörlig skärpa och stränghet kunna behandla ifrå- gavarande ämne, tillegna sig det geometriska betecknings- sättet och de geometriska rotbestämningarna. Anm. Om man med det enkla rotmärket, då det står öfver ett negativt tal, afser sjelfva hufvudroten, så får AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 155 A/-a betydelsen + is a, om —a är liktydigt med a, men betydelsen — i / a, om —a är liktydigt med a_, (jfr § 104, not *). Då det enkla rotmärket står öfver ett po- sitivt tal, så är dess häfdvunna betydelse att alltid utmärka den positiva roten, äfven om hufvudroten vore den nega- tiva. Vi begagna derför inom den geometriska kalkylen enkel parentes med bråkexponent att beteckna hufvudro- ten, hvilken beteckning äfven gäller birötterna, då argu- mentet är generelt. 107. Vid utdragning af né roten ur ett positivt tal a erhålles, generelt taget: 1 1 (aa1m)". = Gän................(23), n då de n rötterna blifva 1 1 an, an a .... a , o’ ' 7T 9 ∙∙∙ "2(n—1)7 n n n hvilka sägas uppkomma genom att » multiplicera née roten ur modylen med hvar och en af de n stycken née rötterna ur + 1.» 1 Om vi således med a" som radie upprita en cirkel och dela periferien från grundrigtningen räknad i n lika delar, så erhållas de punkter, som fixeras af de n stycken né rötterna ur ett positivt tal. Anm. År i (23) rotindex n ett jemnt tal, så gifves det två reela rötter, en positiv för k = 0 och en negativ för k = in, hvilka rötter ur algebraisk synpunkt äro att betrakta som hufvudrötter. Ar åter n ett udda tal, så gifves det blott en reel rot, nämnl. för k = 0, hvilken rot då är att anse som den algebraiska hufvudroten. I begge 1 fallen är a" den principala roten (jfr § 91, anm.). 156 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN 108. Vid utdragning af n= roten ur ett negativt tal — a erhålles, generelt taget: 1 1 (qci+1))" = qe+Dx--(24), n då de n rötterna blifva 111 1 am, a^^ «Su” ... An-1m* n n n n hvilka sägas uppkomma genom att »multiplicera né roten ur modylen med hvar och en af de n stycken né rötterna ur ~ 1.» 1 Om vi här med a" som radie upprita en cirkel och dela periferien i n lika delar från den punkt räknadt, som ligger en née-dels halfcirkel från grundrigtningen, så fås de punkter, som fixeras af de n stycken né rötterna ur —1. Anm. År i (24) rotindex n ett jemnt tal, så gifves det ingen reel rot, och man talar då om hufvudrot endast i den mening, att argumentet framträder i vara räkningar med ett fixeradt värde. År åter n ett udda tal, så gifves 1 det en reel rot, nämnligen a", hvilken fås, då k göres = 1(n—1), och hvilken då är att betrakta som den alge- 1 braiska hufvudroten. I begge fallen är a" , såsom förete- ende det minsta argument, den principala roten. 109. Vid utdragning af née roten ur en »imaginär eæ- pression» af formen a+ib, der a och b äro positiva eller negativa tal, erhålles 1 2n_____ (a+ib)" = a2+b2 % (25), — arctg — na der vi enligt § 41 hafva att lägga märke till, att bågen arctg— har sin slutpunkt i första qvadranten, om a och b äro begge positiva, i andra qvadranten, om a är nega- AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 157 tiv och b positiv, i tredje qvadranten, om både a och b äro negativa, och slutligen i fjerde qvadranten, om b är negativ och a positiv. Om vi i (25) tänka oss det generella argumentet in- fördt, så kan det antingen underförstås eller ock tecknas 1* 2« [(a+ib)ax„]" =2+64 6 22. . .. (26), — arctg 1 n an då de n stycken née rötterna ur a + ib sägas uppkomma ge- nom att multiplicera den komplex, som utgöres af née ro- ten ur modylen N/a2+b2 och nte-delen af argumentet b . arctg — , med hvar och en af de n stycken née rötterna ur +1. 2n_______ Om vi här upprita en cirkel med ~/a2 + b2 som radie och dela periferien i n lika delar från den punkt räknadt, o 6 . som ligger en n/e-del af bågvärdet arctg — från grundrigt- ningen, så fås de punkter, som fixeras af de n stycken n‘e rötterna ur a + ib. Anm. I (26) talar man om hufvudrot endast i den mening, att argumentet framträder i våra undersökningar med ett fixeradt värde. Vanligen visar sig den i (25) gifna roten som hufvudrot. Dervid har man dock på det sorgfälligaste att iakttaga icke allenast den qvadrant, hvari b argumentet arctghar sin slutpunkt, utan äfven den led (jfr § 98, anm.), i hvilken nämnda argument bör räknas. Med tillhjelp af konstruktion finner man lätt följande re- gel: argumentet bör räknas i positiv led, om'a varierar från + till —, under det 6 är positiv eller efteråt går från * I stället för denna beteckning kan äfven användas beteckningen 1 ((a+ib))n (jfr § 90 not *). 158 AFD. II. GRUNDDRAGEN AF DEN + till —; argumentet bör räknas i negativ led, om a va- rierar från + till -, under det å är negativ eller efteråt går från — till +. Det visar sig omedelbart, då nume- b riska värdet af arctg — anses ligga mellan gränserna 0 C och 27, att Cauchys principalrot, sådan hon blef be- stämd efter den äldre åsigten, alltid sammanfaller med den i (25) gifna roten, då deremot hans principalrot efter den senare åsigten blott för enskilda fall sammanfaller med denna (jfr § 91, anm.). 110. Tecknas en qvantitet algebraiskt, d. v. s. utan argument, såsom det ofta händer, synnerligen om qvanti- teten är obekant, så användes fortfarande enkel parentes med bråkexponent för rotbeteckningen, då argumentet all- tid underförstås och då dettas karakter af specielt eller generelt framgår under loppet af en företagen räkning eller ock bestämmes, om så behöfs, genom särskild undersök- ning. Såsom belysande exempel välja vi eqvationen x — 2(a)++ 3 = 0, som, löst i afseende på (x)*, ger följande två system af värden : l:o. (&) = 1+i/2 och a = - 1+2.2, 2:o. (a)t = 1 — i N/2 och. a = - 1 — 2i/2, hvilka begge satisfiera den framstälda eqvationen, såsom man lätt finner genom konstruktion. Det i a underför- stådda argumentet framgår här såsom fullt bestämdt i re- sultatet af räkningen. Löses åter den framstälda eqvationen med afseende på x, så erhålles l:o a = -1+2i//2 o. det motsv. värdet på (c)==>3, 2V2 . - Nardts2 2:0 a--1-2i/2 » » » (a)1—A/3,arcu-BYZ.am, AFD. II. GEOMETRISKA KALKYLEN. 159 der mot hvarje värde på a svara tvenne värden på (æ)!. Genom särskild undersökning eller pröfning visar sig, att de värden på (x)-, som äro antagliga, erhållas, då k göres = 0, om nämnligen argumentet i l:o räknas i positiv och i 2:o i negativ led (jfr föreg. §, anm.). Afven här fram- går således det underförstådda argumentet såsom fullt be- stämdt till sitt värde. 111. För att belysa sambandet mellan den algebrai- ska och geometriska lösningen anföra vi följande eqvations- exempel : 1) 03-1= 0. De tre algebraiska rötterna äro: 1, 1(-1+i.3), A(-1—i.3); de motsvarande geometriska åter: l0, 1., 1,; då följaktligen 1,r = 4(-1+in/3) eller Cos § nr = —i och Sin 3 1 = 14/3, 1,1 - #(-1-i/3) eller Cos $ 7 = -4 och Sin $ 7 =-4/3. 2) x3+1 = 0. De tre algebraiska rötterna äro: —1, 1(1 + i./3), 4(1 — i. 3); de motsvarande geometriska åter: 1, 1, » 1, ; då följaktligen 1 .x = #(1+in/3) eller Cos $7 = 1 och Sin} = 14/3, 1, = #(1—i~/3) eller Cos % nt = 1 och Sin ; i = - $43. På enahanda sätt kunna vi behandla alla algebraiskt lösliga eqvationer af formen a" ± 1 = 0, hvaraf, under för- utsättning att man träffar den rigtiga motsvarigheten mel- lan den algebraiska och geometriska roten, på ett högst enkelt sätt framgår beräkningen af Cos och Sin för båg- -2kr n (2k+1)n värden af formen eller . (Forts.) 160 AFD. III. LÉON FOUCAULT. AFDELNING III. Léon Foucault. Få vetenskapsmän hafva genom sina arbeten vunnit europeisk ryktbarhet vid så tidiga år som Foucault. Här- till bidrog väsendtligast det enkla bevis för jordens dagliga rotation, han med pendelns tillhjelp lemnade, hvilket ex- periment lika mycket intresserade den större allmänheten, som vetenskapsmännen, och derför upprepades inom de mest aflägsna länder. Denna första triumf åtföljdes seder- mera af en mängd andra genom hans vigtiga upptäckter inom mekanikens och fysikens område, ehuru dessa naturligt- vis ej i lika hög grad, som pendelförsöket, kunde vara af allmänt intresse. De vittna dock alla dessa hans arbeten om en särdeles lycklig uppfinningsförmåga och skarpsinnig- het, förnämligast med afseende på de mekaniska anord- ningarne, och de vunna resultaten hafva i flera afseenden varit af största vigt för vetenskapens framåtskridande, så- som läsaren af nedan gifna redogörelse torde kunna finna. Foucaults lefnadsöden äro oss till största delen obekanta. Vi veta blott, att han föddes i Paris d. 18 sept. 1819, att han under sista 10-talet af sin lefnad antogs till fysiker vid det astronomiska observatoriet derstädes och för några få år sedan invaldes till ledamot af det franska institutets meka- niska klass. Han synes alltigenom hafva varit sin egen läromästare, men arbetade dock flera gånger tillsammans med andra vetenskapsmän, bland hvilka Fizeau intager AFD. III. LÉON FOUCAULT. 161 främsta rummet. En svår sinnessjukdom afbröt 1867 hans rastlösa arbeten och ändade hans lif d. 11 febr. 1868. 1. Foucaultska pendeln. Det första direkta beviset för jordens rullning kring polaraxeln härrör från Newton, enligt hvars förutsago hvarje mot jordytan fritt fallande kropp måste erhålla en östlig afvikning från lodlinien. Nödvändigheten af denna sido- riktning hos fallkroppen, uppkommen i följd af jordens dagliga rotation, är lätt att inse. Tänker man sig nämn- ligen en roterande cirkelskifva, med rotationsaxeln vinkel- rät mot skifvans plan, måste den verkliga hastigheten hos de vid periferien belägna punkterna vara större, än hos hvarje annan närmare medelpunkten. Och man finner der- jemte, att, om i närvarande fall en vid periferien befintlig partikel drages in mot medelpunkten, bans rörelse på skif- van måste bli beroende ej blott af hela hastigheten längs radien, utan ock af öfverskottet i periferihastighet vid ut- gångspunkten mot hvad hon är för punkter belägna när- mare centrum', samt att partikeln följaktligen under sin rörelse inåt skifvan kommer att städse befinna sig framom den radie, från hvars ändpunkt han först utgick*. Tilläm- pas detta på jordklotet, så visar det sig, att afvikningen åt öster hos fallande kroppar växer med fallhöjden och ju närmare eqvatorn observationsorten är belägen. Direkt an- stälda försök af Benzenberg i Michaeli-kyrkans torn i Ham- burg, der fallhöjden var 285 svenska fot, och af Reich i Freibergs grufvor (534 fots fallhöjd), hafva, såsom kändt är, ådagalagt, att medelafvikningen, beräknad ur en mängd försök, fullständigt bekräftar Newtons förutsago. Men huru tillfredsställande allt detta i teoretiskt hänseende än må- * Med centrifugalmaskinens tillhjelp kan enhvar lätt bekräfta nyss- nämnda påstående. - 162 AFD. III. LÉON FOUCAULT. ste anses vara, blir dock afvikningens verkliga belopp, som vid det Benzenbergska försöket uppgick till endast 4 och i Reichs till 9,5 sv. dec.linier, så utomordentligt litet, att dessa försök i och för sig svårligen kunna öfvertyga dem, som tvifla på jordens dagliga rörelse kring axeln. Ett dylikt fallförsök, om det anstäldes i Fahlu grufva, hvars djup vi antaga till 180 famnar, skulle nämnligen icke gifva större medelafvikning från lodlinien än något öfver 2 dec. tum. Ett annat bevis för jordklotets dagliga rullning har man i det bekanta, af Richer 1672 upptäckta faktum, att hvarje sekundpendel, som från högre breddgrader förflyttas närmare eqvatorn, lider, likaledes i följd af jordens rota- tion, en sådan ändring i sin gång, att en förkortning af pendellängden erfordras, så framt pendeln fortfarande skall på eu sekund fullborda sin svängning. Men om man till och med ända från Spetsbergen till sjelfva eqvatorn gjorde en dylik förflyttning, skulle pendelns längd ej behöfva för- kortas mera, än några få linier. Man finner således, att begge dessa slags försök äro, i följd af sin beskaffenhet, för svåra att af enhvar kunna anställas, och vidare att de data, som genom dem skulle vinnas, äro alltför obetydliga för att inför den stora all- mänheten tjena såsom lämpliga bevis för jordens rotation. Annu mindre lärer det väl för nyssnämnda ändamål löna mödan att åberopa jordens afplattning vid polerna, eller att anföra det analogi-bevis, som från andra planeters form och rotationsrörelse kan hämtas. Vida lämpligare, än de nu omnämnda bevisen för den ifrågavarande rörelsen hos jorden, är det deremot att så- som sådant anföra den betydliga afvikning åt höger, som vissa hafsströmmar på det norra halfklotet erhålla från den riktning, de eljest skolat få, när de anlända till bredd- grader med mindre rotationshastighet än utgångspunkten. Exempel härpå lemnar Golfströmmen vid sin rörelse från mexikanska viken i sned riktning öfver atlanten mot Nor- AFD. ITI. LÉON FOUCAULT. 163 ges och Spetsbergens kuster. Och man kan med lika skäl åberopa den analoga afvikning, som för samma orsaks skull uppstår hos de nordliga vindarne, ju mera de närma sig eqvatorn, i hvars närhet de, efter att förut hafva vridits till nordostliga vindar, nu öfvergå till de rent ostliga s. k. passadvindarne. Men i alla fall, då det gäller att finna ett bevis, som skall tillfredsställa den större allmänheten, kunna icke ens de nu uppräknade, huru förträffliga de i öfrigt än må anses vara, hvarken i hänseende till enkel- het eller öfvertygande beskaffenhet, mäta sig med det af Foucault anstälda försöket, hvilket vi nu gå att i några få ord söka förklara. Iakttager man noggrannt rörelsen hos en kring sitt jemnvigtsläge fritt svängande pendel, så visar sig utom den fram- och återgående rörelsen hos pendelkulan äfven en af- vikning hos sjelfva pendelplanet. Det var denna medsols fortgående afvikning, som af Foucault först uppmärksam- mades, eller rättare af honom först användes* såsom ett lättfattligt bevis för jordens rotation kring axeln. Visser- ligen skall hvarje åskådare af detta experiment, som ej erinrar sig jordens roterande rörelse, förledas att anse den nämnda, hos pendelplanet observerade vridningen för full- komligt verklig, likaväl som han, under likartad förutsätt- ning, på solen, sjelf öfverflyttar den dagliga rörelse på hvalfvet från öster till vester, som nämnda himmelskropp synes ega. Men så snart man betänker, att den enda på pendelkulan verkande drifkraften ligger i sjelfva vertikal- planet eller pendelns svängningsplan, inses genast, att ku- lan i följd af sin tröghet måste städse fortsätta sin fram- och återgående rörelse längs samma riktning i rymden och således bibehålla sitt svängningsplan oförändradt. Den hos pendelplanet från öster, genom söder och vester fortgående * I sjelfva verket iakttogs den omnämnda vridningen i svängnings- planet redan år 1661 vid pendelförsöken i Florens, ehuru man dä icke gaf någon förklaring deraf. 164 AFD. III. LÉON FOUCAULT. vridningen är således blott och bart skenbar, enär densam- ma i verkligheten härrör från jordens egna rörelse i mot- satt led. Emedan observationsorten naturligtvis icke kan vara belägen vid någondera polen, och således ställets lodlinie icke sammanfaller med jordaxelns riktning, är det icke hela den verkliga vridningen kring axeln hos jorden, som i pen- delplanets skenbara rörelse återfinnes, utan blott den del deraf, som försiggår kring ställets lodlinie. Det skulle er- fordras en mera fullständig framställning af ämnet, än här är afsedd, om vi skulle redogöra för sättet, huru man för en gifven ort till storleken bestämmer planets vridning på en viss tid, men hufvudsaken är att göra sig förtrogen med oföränderligheten hos pendelsvängningens riktning *, ty viss- heten derom räcker till, för att det Foucaultska experi- mentet må lemna ett direkt bevis för jordens rotation, hvil- ket redan då blir af en mera påtaglig art, än alla de förut kända bevisen. Det första af Foucault med pendeln gjorda experimentet anstäldes 1851 i en särdeles anspråkslös lokal och medelst en pendel af endast 7 fots längd. Snart sattes han dock i tillfälle, när sjelfva Pantheon uppläts till hans förfo- gande, att ända till 64 meter (216 sv. fot) öka pendel- längden, hvarvid det redan efter förloppet af några få pen- delslag blef möjligt att hos svängningsplanet iakttaga en särdeles märkbar afvikning från dess ursprungliga riktning. En dylik apparat fanns äfven vid verldsexpositionen i Paris 1855 och hade då på ett sinnrikt sätt af Foucault blifvit satt i förbindelse med en sjelfreglerande elektromagnet, hvilken genom sin inverkan på kulan ständigt höll henne i rörelse, * En dylik beständighet i svängningsplanets riktning visar till och med en vibrerande stång, åt hvilken man medelst en s. k. centrifugal- maskin eller genom en svarfstol gifvit en roterande rörelse kring stån- gens längdriktning. Hvarken här eller vid pendeln har nyssnämnda ro- tation hos sjelfva stången eller tråden något inflytande på läget hos svängningsplanet. AFD. III. LÉON FOUCAULT. 165 utan att dervid hvarken påskynda eller förhindra vridnin- gen hos sjelfva pendelplanet. Annu vid den tiden var ex- perimentet att anse såsom nytt och kunde derför med rätta bland den vettgiriga delen af de besökande påräkna upp- märksamhet. Tillfället var äfven väl valdt för att låta allmänheten med egna ögon öfvertyga sig om experimen- tets lika enkla natur som vigtiga betydelse, på det den- samma derefter i sin tur skulle till vidsträckta kretsar kunna sprida en sanning, som visserligen alltsedan Coper- nici och Galilei dagar ansetts böra inses och erkännas af hvarje bildad samhällsmedlem, men detta oaktadt icke kan hvarken för ofta upprepas eller genom nya rön bekräftas, isynnerhet om densamma, såsom sig bör, skall få ett fast fotfäste äfven hos den lägre befolkningen. Att det Foucaultska experimentet skulle af vetenskaps- männen med intresse studeras och från deras sida fram- kalla en mängd såväl teoretiska som experimentela under- sökningar, var ganska naturligt. Storleken hos pendelpla- nets vridning, som är beroende af observationsortens lati- tud, har dervid städse befunnits vara, såväl i närheten af eqvatorn, som vid högre breddgrader, i öfverensstämmelse med beräkningen *. Äfven i Upsala var en dylik pendel * Antages såsom bekant, att en fast kropps rotation kring en gif- ven axel kan ersättas genom de samtidiga rotationerna kring hvar sin af tvänne mot hvarandra vinkelräta linier, och vi på grund häraf tänka oss jordens rotationshastighet kring polaxeln upplöst i sina komposanter, nämnligen den ena längs observationsortens lodlinie, och den andra längs en genom jordcentrum parallelt med ställets meridian gående li- nie, af hvilka komposanter det dock endast är den förra, som åstad- kommer den hos pendelplanet observerade vridningen, — så erhålles omedelbart enligt hastighetsparallelogrammen : 0 3600 vridningen pa en timme = -t—— Sin gp ; 23 ,9344 der p får beteckna observationsortens latitud, och 23,9344 är tiden för jordens rullning 360° kring axeln. 166 APD. III. LÉON FOUCAULT. af 64 fots längd uppsatt redan 1854 i det norra slotts- tornet, och erhölls dervid en vridning af 13° på timmen*. Tid efter annan anställas visserligen ännu dylika pen- delförsök, men som man numera vanligen har för afsigt ej blott att i detalj studera formen på pendelkulans bana, hvilken så småningom från att vara rätlinig öfvergår till elliptisk, och då i sin ordning inverkar på planets vrid- ning, utan ock att närmare lära känna de främmande or- saker, som till framkallandet af detta fenomen väsendtligen bidraga, kunna dessa försök från denna synpunkt icke ega något allmänt intresse och böra således icke här anföras. Deremot förtjena några, med anledning af det Foucault- ska experimentet anstälda skjutförsök så mycket mera att här omtalas, som de kunna anses bilda en sammanbind- ningslänk mellan vridningen hos pendelplanet och den till höger fortgående afvikningen hos hafsströmmarne och vin- darne. Ty liksom dessa måste nämnligen, i följd af jor- dens rotation, hvarje i horizontel led afskjuten kula afvika åt höger från sin ursprungliga riktning; men kulan kan ock tänkas fästad vid en osynlig, i vertikalplanet belägen pendeltråd, och hennes pendelplan måste följaktligen då vrida sig medsols. Under hvilketdera antagandet som helst måste således en deviation åt höger ega rum, men natur- ligtvis är det endast vid rätt ansenliga skottvidder, som detta fenomen kan bli af någon större betydelse. Några för detta ändamål vid Woolwich anstälda skjutförsök hafva vid en skottvidd af nära en half svensk mil gifvit en af- vikning af 33 sv. fot, hvilket resultat nära öfverensstäm- mer med beräkningen. Detta experiment är i öfrigt af största intresse, ty fastän dess utförande till tiden är senare, än Foucaults försök med pendeln, så var det dock af Poisson redan långt förut uttaladt, att en dylik afvikning borde hos kastkrop- * Angström, A. J.: Om det Foucaultska experimentet för att bevisa jordens rotation. Akad. Afh. Upsala, 1854. o AFD. III. LÉON FOUCAULT. 167 par ega rum, och man kan med stor sannolikhet antaga, att, om det ock icke var just denna Poissons förutsägelse, det åtminstone var en likartad tankegång, som föran- ledde Foucault att anställa sitt ryktbarvordna pendelförsök. 2. Gyroskopet. Visserligen kan det redan anförda och med pendelns tillhjelp vunna beviset för jordens rotation anses tillfyllest- görande, men icke desto mindre begagnade sig Foucault för samma ändamål äfven af en rotationsapparat, vanligen kallad gyroskop, hvars intresseväckande egenskaper grunda sig på stabiliteten hos vissa rotationsaxlar inom en rote- rande kropp. Instrumentet, som först användes af Boh- nenberger för att förtydliga precessionsfenomenet, eller vår- dagsjemningspunktens tillbakagående, och då hade form af en kula, utgöres numera förnämligast af en tung trissa, hos hvilken den största tyngden, i form af en ring, blifvit symmetriskt fördelad längs kanten. Hennes vinkelrätt mot skifvan och genom tyngdpunkten gående axel uppbäres ge- nom s. k. kompassupphängning * och kan i följd deraf an- taga hvilken ställning som helst i rummet. Så snart tris- san blifvit försatt i hastig rotation kring denna sin axel, bibehåller han sin riktning oförändrad i rymden, förut- satt likväl att han är fullkomligt fri och af yttre kraf- ter oberoende. En dylik stabilitet hos rotationsaxeln påträffas oupp- hörligen. Vi behöfva blott erinra derom, att, vid en rät- linigt framåt rullande ring eller slant, eller en s. k. velo- * Denna upphängning består af tvänne koncentriska ringar, hvilkas rotationsaxlar äro mot hvarandra vinkelzäta. Den yttre uppbär den inre, och denna åter frissan. Emedan äfven den inre ringens och frissans axlar sins emellan äro vinkelräta, kunna alla tre axlarne intaga ett vinkelrätt läge mot hvarandra. 168 AFD. III. LÉON FOUCAULT. ciped, det just är genom sjelfva rullningen, som dessa krop- par bibehålla sig i upprätt ställning, och att hvars och ens rotationsaxel dervid ständigt förblir parallel med sig sjelf. Från samma orsak härrör äfven den stadiga ställningen hos den vanliga snurran, då hon hastigt roterar, och derpå grundar sig äfven det bekanta konststycket att få en med snabb fart roterande tallrik att balancera på en spets. Likaledes är det just genom sin rotation, som spetskulan från ett reffladt skjutgevär erhåller en säkrare riktning än den runda kulan, och astronomen Piazzi Smyth har genom att kombinera ett bord med ett slags svänghjul af stora dimensioner trott sig kunna på ett gungande fartyg till- försäkra de sjöfarande ett till riktningen orubbligt under- lag, genom hvilket deras på sjön erforderliga astronomiska observationer skulle betydligt underlättas. Sjelfva jordklo- tet, och likaså hvarje annan planet, kommer i följd af rullningen kring axeln att under den årliga banan kring solen oupphörligen vända nordpolen åt samma trakt af himmelsferen och derigenom göra samma stjerna hela året om till polstjerna. Utom den nu omnämnda stabiliteten hos axeln förete roterande kroppar en mängd andra högst intressanta feno- men, för hvilka vi här ej kunna redogöra; vi få derför nöja oss med att i afseende på gyroskopet anföra följande. Vore trissans axel från början parallel med jordaxeln, så skulle det inträffa, att denna hans ställning förblefve oför- ändrad under hela tiden för rörelsen, men i hvarje annat fall att han genom kombinerad inverkan af jordens och trissans rotationer måste synas sträfva att antaga nyss- nämnda läge. Den sålunda uppkomna förflyttningen hos axeln kan naturligtvis likaväl som pendelplanets vridning användas såsom bevis för jordklotets rullning, men förkla- ringen är dock ej så lättfattlig, som den vid fråga om pendeln erforderliga. ‘ Skall detta experiment emellertid utfalla gynnsamt, måste apparaten vara med synnerlig omsorg konstruerad. AFD. III. LÉON FOUCAULT. 169 Detta oaktadt räcker dock trissans rörelse blott en kort tid, vanligen 8 à 10 minuter, emedan man från början ej kunnat meddela henne en tillbörligt stor hastighet. Foucault fann sig derför nödsakad, för att göra axelns förflyttning snart märkbar, att använda mikroskop, hvilket inriktades antingen på sjelfva axeln, eller på någon af de till kom- passupphängningen hörande cirklarne. Visserligen kan instrumentet sålunda med fördel be- gagnas för vinnandet af ett direkt bevis för jordens rota- tion, ehuru det dock ej kan täfla med pendeln. Men ett vida större intresse erbjuder apparaten i det hänseendet, att man, såsom Foucault experimentelt visat och en nog- grannare teori sedermera bekräftat, kan genom att på lämpligt sätt* förhindra den fria rörelsen hos trissans axel, få instrumentet att sjelft för observationsorten angifva såväl dess meridianlinias läge som polhöjdens storlek. Dessa bestämningar kunna derför ega rum i ett fullkomligt slutet rum, utan det ringaste användande af rent astronomiska observationer, i följd hvaraf man således i nämnda hänse- ende, så länge fråga är om endast ungefärliga värden, lyckas göra sig oberoende af det för astronomerna eljest så oeftergifliga vilkoret af en klar himmel. 3. Bestämning af ljusets fortplantningshastighet. Danske astronomen Römer var den förste, som genom sina observationer på förmörkelserna af Jupiters månar be- visade (1675), att ljuset behöfver tid för sin fortplantning, nämnligen 8 minuter och något deröfver eller i rundt tal 500 sekunder, för att hinna från solen till jorden, hvilket motsvarar en hastighet af omkring 29000 svenska mil i * Ett närmare angifvande af det härvid erforderliga förfaringssättet med bifogad förklaring öfver fenomenets gång torde svårligen här kunna lemnas. 11 170 AFD. III. LÉON FOUCAULT. sekunden. Visserligen är denna hastighet betydligt stor, men i alla fall i förhållande till jordens hastighet i hennes bana, hvilken belöper sig till 2,8 sv. mil i sekunden, icke att anse såsom oändlig. En följd af denna sistnämnda om- ständighet blir, att hvarje mot en stjerna riktad tub måste, på det att stjernans bild må synas i synfältets midt, stäl- las något litet på sned mot den riktning, i hvilken nämnda 1 himmelskropp verkligen befinner sig, eller bestämdare: att tuben måste peka något litet framom stjernans verkliga läge i den vinkel, som ljusstrålen bildar med riktningen för jor- dens egen rörelse. Emedan tuben sålunda, alltefter jor- dens plats i banan, måste ändra sin ställning, tyckes stjer- nan ej vara fullkomligt fix på hvalfvet, utan tvärtom un- der årets lopp förflytta sig längs en kroklinie, som skulle bli en cirkel, ifall stjernan vore belägen i ekliptikans pol, och om man gjorde det med afseende på detta fenomen tillåtna antagandet, att jorden med konstant hastighet rörde sig i en cirkulär bana*. Ar stjernan icke belägen i eklip- tikans pol, blir nämnda kroklinie till följd af projektion på himmelshvalfvet en ellips, allt mera tillplattad ju när- mare hon ligger ekliptikan, så att ellipsen för en i sjelfva ekliptikan belägen stjerna öfvergår i en rät linie. Engel- ske astronomen Bradley, upptäckaren af detta s. k. aber- rations-fenomen, uppmätte 1728 längden af ellipsens med ekliptikan parallela storaxel, hvilken befanns vara 40,4, och erhöll derigenom för ljusets hastighet ett värde, som teinligen nära öfverensstämde med det af Römer angifna och föga skiljer sig från det numera antagna. Inom vårt eget solsystem begagnas för uppmätning af planeternas och månarnas inbördes afstånd dels jordradien, dels radien till jordens bana, men detta mått blir för li- tet, när frågan gäller så aflägsna himmelskroppar, som * I verkligheten skulle den ifrågavarande i ekliptikans pol antagna stjernan beskrifva en ellips, hvars form vore beroende af det variabla förhållande, som under olika tider på året förefinnes mellan jordens och ljusets hastigheter. AFD. III. LÉON FOUCAULT. 171 fixstjernor och nebulosor. Deremot har för sistnämnda än- damål ljusets utomordentligt stora hastighet befunnits vara en lämplig måttstock, och astronomerna säga i enlighet härmed, att ljuset från den oss närmast befintliga stjernan, a Centauri, behöfver 34 år för att hinna till oss. Emedan astronomerna äfven för beräkningen af sina observationer behöft känna verkliga värdet af den s. k. aberrationskon- stanten, har bestämningen häraf, hvilken i sig äfven inne- fattar bestämningen af ljusets verkliga hastighet i tomrum- met, alltsedan Römers och Bradlees dagar varit föremål för astronomernas flitiga undersökningar, och det har till och med ansetts, att denna uppgift endast på astronomisk väg vore möjlig att lösa.Så mycket större öfverraskning måste det då väcka, när omkring år 1850 tvänne af sär- skilda personer författade afhandlingar inlemnades till fran- ska vetenskaps-akademien, i hvilka det redogjordes för två i öfrigt olika metoder att endast med terrestra hjelpmedel bestämma ljusets fortplantningshastighet. Författarne till dessa båda afhandlingar voro Fizeau och Foucault. Fizeau använde ett hastigt roterande hjul, mellan hvars tänder de från en fix ljuskälla utgående Ijusstrå- larne efter ytterst korta mellantider oupphörligen fram- släpptes. De fingo derefter genomlöpa en väglängd af un- gefär € af en sv. mil, för att sedermera återkastas i samma riktning, de kommit. På det att ljuset vid sin återkomst till hjulet skulle på nytt slippa fram, erfordrades natur- ligtvis, att en öppning mellan tänderna, och icke en tand, skulle befinna sig i strålens väg, i hvilket sistnämnda fall mörker naturligtvis skulle ha uppkommit. Vid lämplig ro- tationshastighet hos hjulet måste det inträffa, att bredden af en tand nätt och jemnt hunnit passera förbi strålens väg under den tid, som förflutit från det ögonblick, då strålen framsläpptes, och tills han nu återkom. Bestämdes för detta fall hjulets rotationshastighet, och var derjemte det af ljuset tillryggalagda vägstycket bekant, så kunde deraf ljusets fortplantningshastighet lätt beräknas. Enligt 172 AFD. III. LÉON FOUCAULT. Fizeaus bestämning skulle ljusets hastighet vara 29500 sv. mil, och således ungefär sådan, som redan Römer bestämt densamma. Foucault nöjde sig med det utrymme, som ett vanligt rum kan erbjuda. Hans apparat bestod väsendtligen af tvänne speglar, af hvilka den ena fick, liksom en akustisk siren, hastigt rotera med en turbins tillhjelp, men den an- dra vara fix. Ljusstrålarne, som utgingo från brännpunk- ten till en såsom objektiv för en tub använd lins, fingo, efter att ha genomgått densamma, träffa först den rörliga och sedermera den fixa spegeln, samt slutligen återvända samma väg tillbaka. En bild af ljuskällan måste således uppstå i tubens brännpunkt och vid stillastående spegel sammanfalla med ljuskällan sjelf, men deremot något litet afvika åt endera sidan, så snart den rörliga spegeln sattes i gång. Det är nämnligen lätt att inse, att den roterande spegeln under den lilla mellantid, då ljuset fortplantade sig fram och tillbaka mellan de båda speglarne, skulle hinna om ock obetydligt ändra sin ställning och således återsända ljusstrålarne mot objektivet i en något förändrad riktning mot den, i hvilken de till nämnda spegel ankom- mit. Följaktligen måste äfven den vid spegelns rotation erhållna bilden förflyttas åt sidan om den bild, som vid stillastående spegel skulle uppkomma. Kännedomen om förflyttningens storlek, den roterande spegelns hastighet och det mellan speglarne genomlupna vägstycket gaf sedermera värdet på ljusets hastighet. Samma apparat använde Foucault äfven för att be- stämma förhållandet mellan ljusets fortplantningshastigheter i luft och i vatten. Mellan de båda speglarne inskjöts nämnligen för sagde ändamål ett med vatten fyldt rör, hvilket ljuset således fick genomgå både fram och tillbaka. Ifall nu olika media hafva ett olika inflytande på ljusets hastighet, måste den genomlupna väglängden vatten mot- svara en större eller mindre våglängd luft, hvilket åter, då rotationshastigheten hos spegeln likaväl som allt öfrigt AFD. III. LÉON FOUCAULT. 173 förblef oförändradt, borde visa sig genom en förändring i bildens läge. Resultaten af dessa Foucaults undersökningar voro: 1:o) att ljusets hastighet är icke obetydligt mindre, än hvad man hittills antagit, densamma borde nämn- ligen minskas med 30; och 2:o) att ljuset fortplantar sig med större hastighet i luft, än i vatten; eller i allmänhet: hastigare i ett tunnare medium, än i ett tätare. Det förstnämnda resultatets pålitlighet kan dock tills vidare lemnas derhän. Det är nämnligen ganska vanskligt att från en uppmätt längd af några få millimeter, ty större var dock icke ljusbildens förflyttning, sluta till det exakta antalet af tusentals mil, enär ett, om ock aldrig så litet och derför oundvikligt, fel vid mätningarne kommer att medföra stora felaktigheter i slutresultatet. Deremot är den sistnämnda delen af hans undersökning, hvilken på Aragos inrådan anstäldes, fullkomligt tillförlitlig. Den var äfven af största vigt, ty genom densamma vanns ytterligare ett säkert bevis för sanningen af den teori, enligt hvilken lju- set består, icke i någon från ljuskällan utkastad materie, utan i en vågrörelse. 4. Foucaults spegelteleskop. Hvarje achromatiskt objektivglas består af två linser, den ena bikonvex af kronglas, den andra bikonkav af flint- glas. Vid förfärdigandet af ett dylikt sammansatt objek- tiv har man således att med noggrannhet och efter inbör- des bestämda dimensioner slipa icke mindre än fyra ytor, hvilken omständighet naturligtvis fördyrar dessa glas, så snart de äro ämnade för astronomiska instrument af be- tydliga dimensioner. Vida mindre svårighet synes deremot förfärdigandet af ett spegelteleskop erbjuda, hvarest endast en yta behöfver slipas och poleras. 174 AFD. III. LÉON FOUCAULT. Gregory, hvilken först angaf konstruktionen för ett reflexionsteleskop, föreslog att använda konkav-speglar af glas. Dylika speglar användes verkligen någon tid för astronomiskt behof, men utbyttes sedermera mot me- tallspeglar, emedan förlusten i ljusstyrka, som genom speglingen förorsakas, ansågs vara mindre hos de senare. Metallspeglarnas yta angripes dock temligen lätt i fuktig väderlek, och den sålunda matt blifna ytan kräfver då en ny polering, på det att instrumentet åter må komma i tjenstbart skick. En sådan operation, förenad såsom den är med en mängd svårigheter, enär man måste undvika, att den ursprungliga formen på något sätt förändras, kan i följd häraf ej af enhvar nöjaktigt verkställas. När der- till kommer, att dessa metallspeglar ega en betydlig tyngd, genom hvilken teleskopet blir svårt att handtera, och dess- utom att kostnaden för spegeln sjelf, likaväl som för de vid ompoleringen erforderliga apparaterna, blir rätt betyd- lig, så inses lätt, hvarför man i allmänhet ej ansett lämp- ligt att för de offentliga observatorierna anskaffa dylika instrument, utan dessa slags teleskop hafva på senare ti- der hufvuds ak ligast användts af privatastronomer, sådana som Herschel, Lord Rosse, Lassel, De la Rue, m. ff., för hvilka öfvervinnandet af de rent mekaniska svårigheterna vid instrumentens förfärdigande erbjudit nästan lika stort intresse, som de med deras tillhjelp vunna astronomiska resultaten. Ett lyckligt sätt att tillgodogöra sig fördelarne hos metallspeglarne, utan att råka ut för de redan omnämnda olägenheterna, fann Foucault, då han, liksom samtidigt eller kort förut Steinheil i München, enligt Liebigs försilfrings- metod medelst mjölksocker beklädde en för ändamålet kon- kavt slipad glasyta med ett tunnt lager af silfver och åt densamma sedermera förskaffade en fullständig politur. Fördelarne af ett på dylikt sätt inrättadt spegelteleskop äro lätta att inse. Sjelfva slipningen af glaset erfordrar AFD. III. LÉON FOUCAULT. 175 tydligen endast en fjerdedel af det arbete, som ett vanligt objektivglas af samma storlek kräfver. Beträffande den för spegeln använda glasmassan, må densamma vara i närva- rande fall beskaffad huru som helst, blott dess öfversta lager eger så pass stor homogeneitet, att en noggrann slip- ning och polering blir möjlig, under det att ett vanligt objektivglas måste genom hela sin massa vara af fullkom- ligt enahanda beskaffenhet, så framt tydliga bilder skola erhållas. Dessutom är glasspegelns vigt naturligtvis en obetydlighet i jemförelse med en lika stor af metall, och följaktligen blir instrumentet lika lätthandterligt, som en refraktor af motsvarande brännvidd. När slutligen den speglande ytan behöfver ompoleras, lärer detta af en hvar kunna med lätthet verkställas, ty man riskerar i detta fall ej att samtidigt ändra sjelfva formen på spegelns yta. En olägenhet i afseende på politurens beskaffenhet må dock här påpekas: densamma visar sig nämnligen icke kunna under någon längre tid bibehålla sig oförändrad, utan det uppstår efter hand en mängd små gulbruna fläc- kar här och der hos beläggningen, hvilka med tiden allt mer och mer utbreda sig. Felkällan synes ligga i sjelfva försilfringsmetoden och torde i den händelsen framdeles kunna afhjelpas, men olägenheten beror sannolikt äfven +deraf, att silfverytan angripes af i rummet befintliga svaf- velångor. I alla händelser kan en ny försilfring bortskaffa felen, utan att medföra någon synnerlig kostnad. För Pariserobservatoriets räkning har Foucault förfär- digat ett dylikt instrument, hvilket tillvunnit sig astrono- mernas odelade bifall. Han har sedermera begagnat samma försilfringsmetod för att bekläda ett vanligt objektivglas med en dylik silfverhinna, hvilken är så tunn, att man särdeles tydligt kan se föremålen genom densamma. Vin- sten af detta sista förfaringssätt är den, att vid observa- tioner på solen det belagda objektivet ersätter de förut be- gagnade färgade glasen, hvilka satta framför ögat skulle till största delen utestänga solljuset. Dessa glas, hvilka 176 AFD. III. LÉON FOUCAULT. oftast ej voro nöjaktigt homogena, gjorde bilden mindre tydlig; de utsattes vidare för en stark temperaturstegring, hvarigenom de ofta spräcktes. Nu deremot reflekteras stör- sta delen af de ankommande ljus- och värmestrålarne bort vid objektivets yttre yta, och den blåaktiga bild, som i tuben uppstår, kan af ögat utan någon vidare mellankomst af färgade glas betraktas. Fördelen af ett dylikt med silf- ver belagdt objektiv uppgifves vid observationer å solen, der det har sin enda användning, vara synnerligen stor. 5. Regulatorn för det elektriska ljuset, eller den s. k. elektriska lampan. Det elektriska ljus, som vanligast begagnas för belys- ning af t. ex. offentliga platser uppstår vid en stark elek- trisk ströms fortplantning mellan kolspetsar, hvilka från hvarandra blifvit till en viss grad aflägsnade. Ljuset här- rör dervid dels från de i en intensiv glödning försatta po- lerna, dels från den mellan dem uppkomna ljusbåge, be- nämnd Voltas båge, hvilken utgöres ej blott af de från po- lerna lösslitna och glödgande partiklarne, utan ock af des- sas likaledes glödgande förbränningsprodukter. Intensiteten hos ljuset är för hvarje gifven ström beroende af afståndet mellan polytorna, så att, då dessa stå med hvarandra i omedelbar beröring, på sin höjd en svag glödgning hos ko- len kan uppstå, men naturligtvis ingen båge, under det att vid stort afstånd strömmen helt och hållet afbrytes och ljuset utsläckes. För olika afstånd vexlar således ljusstyr- kan rätt betydligt, och det blir derför nödvändigt, för att undvika dessa för ögat så obehagliga variationer, att afståndet mellan spetsarne bibehålles oförändradt. Detta åter kan, då polerna genom de utkastade partiklarne oupp- hörligen aftäras, hvilket försiggår ungefär dubbelt fortare på den ena polen, än på den andra, icke ske med min- AFD. III. LÉON FOUCAULT. 177 dre, än att spetsarne oupphörligen återföras till sitt ur- sprungliga läge, hvarvid dock den mest aftärda polen må- ste flyttas ett dubbelt så långt vägstycke och dubbelt så hastigt mot den andra, om ljuskällan ständigt skall befinna sig på samma punkt i rummet. Af menniskohand kan detta visserligen för någon kort tid, men ej på längden, med nödig punktlighet utföras, utan detta arbete måste öfverlåtas åt en sig sjelf reglerande apparat. Den svåra uppgift, som konstruktionen af den behöf- liga regulatorn för det elektriska ljuset i sig innebar, har af Foucault på ett lyckligt sätt blifvit löst. Han förenade nämnligen kolspetsarne med ett hjulverk, som oupphörligen sträfvade att sammanföra dera, men dervid reglerades af en vid apparaten fästad och af strömmen sjelf påverkad elektromagnet. Så länge strömmen förblir stark, griper magnetens ankare in i hjulverket och hindrar dess rörelse. Under tiden aftäras kolspetsarne, strömmen försvagas, och magneten förmår slutligen ej qvarhålla sitt genom en fje- der spända ankare, i hvilket fall hjulverket lössläppes. Nu närma sig polerna till hvarandra, i följd hvaraf strömmens styrka tillräckligt ökas, för att magneten på nytt må hin- dra rörelsen. På detta sätt återföras spetsarne till sitt ursprungliga afstånd och läge, i följd hvaraf ljusstyrkan blir återstäld till hvad hon från början var. Emedan denna reglering oafbrutet försiggår, blifva de små ändrin- gar, som i ljusstyrkan förefinnas, föga märkbara, så att ljuset verkligen synes vara af konstant styrka. Sedan Foucault konstruerade sin första apparat, hvil- ken ännu förvaras i instrumentsamlingen i École normale i Paris, hafva vigtiga förbättringar å denna regulator egt ruin, till hvilka dock Foucault sjelf i väsendtlig mån bi- dragit. Det är äfven denna apparat, som åt det elektri- ska ljuset förlänat den vidsträckta användning, det nu verkligen eger t. ex. inom föreläsningssalarne, vid teatrar, 178 AFD. III. KONSTRUKTIV HÄRLEDNING vid nattliga arbetens utförande inom skeppsdockor eller vid större byggnadsföretag, vid gatubelysning, äfvensom vid fyrbåkar och på fartyg m. m. Till det redan anförda skulle ytterligare kunna läggas redogörelsen för Foucaults polarisatör, bans upptäckt af det absorptionsfenomen, som kan sägas ligga till grund för Kirchhoffs förklaring af de fraunhoferska spektrallini- erna, hans intressanta experiment, genom hvilket meka- niskt arbete omsättes i värme o. s. v.; men denna vår uppsats skulle då mera än tillbörligt öfverskrida sina gränser. Läsaren torde redan af livad vi nu anfört tillräck- ligt kunna uppskatta den svåra förlust, vetenskapen lidit genom denne utmärkte fysikers allt för tidiga frånfälle. Rob. THALÉN. Konstruktiv härledning af accelerationerna. Af G. DILLNER. För att bereda behöfliga hållpunkter för vårt räsonne- ment anföra vi inledningsvis några enkla begreppsbestäm- ningar ur mekaniken. Om vi i tvenne punkter A och B (fig. 6) af en materiel partikels bana tänka oss hastigheterna AP och BQ afsatta utefter de resp, tangenterna, så kallas den hastighetskompo- nent, som tillsammans med förra hastigheten AP ger till resultant den senare BQ, för hastighetstillskott för den tid v, som åtgår för partikeln att beskrifva bandelen AB. AFD. III. AF ACCELERATIONERNA. 179 Om således BR drages # AP och parallelogrammen BRQS konstrueras, så representerar BS till storlek och rigtning hastighetstillskottet för den ifrågavarande tiden τ. Om hastighetstillskotten äro till storlek och rigtning lika för lika tider, så kallas hastighetstillskottet för tiden 1 (1 sek.) konstant acceleration, hvilken således kan uttryc- kas med qvoten Äro hastighetstillskotten vare sig till storlek eller rigt- ning eller ock beggedera olika för lika tider, så låta vi B allt mer och mer närma sig att sammanfalla med A, då BS och τ samtidigt närma sig noll. Qvoten (1) förändras då oupphörligt, tills vi hinna gränsvärdet, då BS lim τ (2) utgör hvad vi förstå med variabel acceleration, gällande här för punkten A af banan. Formeln (2), hvilken i sig upptager formeln (1) såsom "ett specielt fall, låta vi vara det allmänna uttrycket för acceleration utan vidare tillägg, hvilken då kan vara an- tingen variabel eller konstant. Efter dessa förberedelser öfvergå vi till lösning af föl- jande uppgifter. 1. Att finna accelerationen, då banan är en cirkel och hastigheten till storleken konstant. Vi låta C vara cirkelns medelpunkt och r radien. Bok- stäfverna A, B, P, Q, R och S (fig. 7) ha samma bety- delse som i fig. 6. De till storleken lika hastigheterna AP och BQ beteckna vi med v, bågen AB med o och A ACB = A RBQ med a. Enär A BQR är likbent, blir hastighetstillskottet BS till storleken 2v Sin 1 8 eller 180 AFD. III. KONSTRUKTIV HÄRLEDNING oh t., v . 8 Sin s € och till rigtningen 4x+4e från AP eller BR räknadt. Vi finna således, då uttrycket för rigtningen sät- tes såsom index till storleken: BS T / a Sin 1 a\ V. —.—2, . T 2 8 /47+1s der τ såsom förut betyder tiden för partikeln att gå ban- delen AB eller o. Enär re = o och — = v, då v är kon- ε 1 stant, blir — = - T ? O 1 — = — och således τ r BS - (v2.Sinj8) r , 4a 4r+4s" Om nu punkten B närmar sig att sammanfalla med punkten A, så blir 8 = 0 och-lim Sin S & = 1, då följakt- 2 8 ligen i öfverensstämmelse med (2): BS (72. lim 2 =............................(3). T \r/4r Accelerationen i punkten A har således storleken — och är rigtad 17 från tangenten d. v. s. längs radien mot centrum. Denna acceleration kallas centripetalacceleration *, * Ehuru den här gjorda härledningen af centripetalformeln innehål- les som ett enskildt fall i lösningen af nästföljande uppgift, hafva vi likväl särskildt anfört den för dess enkla och bindande bevisning och för dess ringa förutsättning af matematisk insigt. I sjelfva verket är det Sin 6 0 blott den enkla satsen lim = 1 för 0 = 0, som kan anses gå ut- öfver de första elementen, hvilken sats dock finnes upptagen i åtskilliga trigonometriska läroböcker t. ex. Todhunters. Då centipetalformeln för cirkelbanan har för sin stora vigt och betydelse en sjelfskrifven och obe- stridd plats i hvarje ordnad skolbok i mekanik, torde det här förebragta beviset få anses förtjent af någon uppmärksamhet från såväl skolmännens som läroboksförfattarnes sida. AFD. III. AF ACCELERATIONERNA. 181 och, multiplicerad med partikelns massa, utgör den hvad vi förstå med centripetalkraft. 2. Att finna accelerationen längs normalen och tangen- ten, då hanan är en kurva hvilken som helst. Låt bokstäfverna A, B, P, Q, R och S (fig. 8) ha samma betydelse som i fig. 6. Kalla vinkeln mellan de tvenne normalerna AC och BC för Δa, hvilken då är = A mellan tangenterna eller, som är detsamma, A RBQ. Beteckna storleken af hastigheten AP # BR med v samt storleken af hastigheten BQ med v + Av. Afsätt på BQ längden BL = BR = v, då LQ = Av. I stället för r använda vi At att beteckna tiden för partikeln att gå ban- delen AB = As. Hastighetstillskottet BS, som är # RQ, uppdelas nu i komponenter, som äro # med RL och LQ. Men RL har storleken 2v Sin 2 Ac och rigtningen 17+Aa från A Pel. BR; LQ » » Av » » Aa från AP eller BR, då följaktligen, om rigtningen i enlighet med förut sättes som index: RLE Aa Sin 2 4c) At ( At ^Aa 4r+Aa LQ _ (Av) At (At/Aœ Om nu punkten A, följaktligen punkten B närmar sig att sammanfalla med så bli Ac, Av och At samtidigt noll, då RL f da\ lim — = v- (4), At ∖ dtj⅛π lim T.Q - de (5), At dt " d. v. s. den förre accelerationskomponenten har storleken 182 AFD. III. KONSTRUKTIV HÄRLEDNING da υ -7 dt och är rigtad 17 från tangenten d. v. s. längs nor- malen emot krökningscentrum, den senare accelerations- komponenten åter har dv storleken — och är dt rigtad längs tangenten, hvarigenom vi således funnit de i uppgiften an- gifna accelerationerna. Då bandelen AB eller As öfvergår till noll, samman- falla normalerna AC och BC med krökningsradien r, då da ds „ da v . 0 9’— = - = 7 eller — = —, hvarigenom saledes acce- dt dt dt r lerationen längs normalen blir 2 V r hvilket uttryck i sig upptager centripetalaccelerationen för cirkelbanan som ett enskildt fall. 3. Att finna accelerationen längs radius vector och den mot radius vector vinkelräta linien, då banan är en kurva livilken som helst. Bokstäfverna A, B, P, Q, R och S (fig. 9) ha sam- ma betydelse som i fig. 6; 0A och OB, betecknade med resp. Q och 0 + AQ, äro tvenne radii vectores med mellan- liggande vinkeln Ac. BT är //OA och BU är förläng- ning af OB, då A TBU = Ac. R’ och Q’ äro projek- tioner af R och Q på de resp, rigtningarna BT och BU. På BU afsättes BI = BR, RRQ'L är en parallelogram och på 0’0 afsättes Q'M = Q‘L; R'IQ'K och LMQN äro äfvenledes parallelogrammer. Vi införa nu följande beteck- ningar : BR = § och BQ'=§ + Ag, då IQ' = △ §; RR = QL =och Q'Q = 7 + An, då MQ = Aq. Hastighetstillskottet BS # RQ uppdelas nu i kompo- nenter, som äro # RL och LQ, hvilka åter hvar för sig AFD. III. AF ACCELERATIONERNA. 183 uppdelas i komponenter, den förre i sådana, som äro # R‘I och R'K, den senare i sådana, som äro # LM och LN. De fyra linierna R'I, R'K, LM och LN representera så- ledes till storlek och rigtning de komponenter, som ha till resultant hastighetstillskottet BS. Men R'I har storleken 25 Sin 1 Aoch rigtningen 1 z+1Ac från OA el. BT; R'K » » A§ » » Ac från OA eller BT; LM » » 2n Sin 1 A co ») TT + 1 Ac från 0A el. BT; LN » » An » » 17 + Ac från OA el. BT; då följaktligen, R'I om rigtningen sättes _ (x Ac Sin 4 A w) ~ (5 A ⅛∆ω ) - (AE At/Ao / Ac Sin 1 A co såsom index: At RK At LM 9 1z+IAo At LN At =(7A ⅜∆ω ) _ (An) (At+Aw ' IT + 2 △ 0) der At i enlighet med förut betecknar tiden för partikeln att gå bandelen AB. Om nu punkten B närmar sig att sammanfalla med punkten A, så bli Ac, A5, An och At samtidigt noll, då följaktligen de fyra accelerationskomponenterna bli lim dt ‘ lim RK - At 184 AFD. III. KONSTRUKTIV HÄRLEDNING ETC. lim — = . At \dt/{o Taga vi nu tillsammans de accelerationskomponenter, som ligga i samma rigtning, få vi, då p betecknar perpen- dikeln mot radius vector Q: accelerationen längs Q do nar (6), dr do » » p =+ € -......................(7). 4 dt dt Om vi antaga såsom bekant, att hastigheten längs Q eller och hastigheten längs p eller dω så bli slutligen formlerna (6) och (7) d2o (do3 dt2 9\dt) accel. längs 0 = AFD. IV. GRANSKNING AF LÄROBÖCKER. 185 AFDELNING IV. Granskning* af läroböcker. 1. Andersson, A. J. Läran om logaritmer och serier för nybegynnare och till ledning vid studierna på egen hand. Andra uppl. Stockholm 1868. Hæggstrôms förlag. 54 sidd. 8:o. Denna lärobok har följande tvenne stora pedagogiska förtjenster. 1. Den är lättläst, hvarigenom den gifver ynglingarne lust för det matematiska studiet. 2. I läran om logaritmer verkställas nästan alla räkningar med logaritmerna tecknade som exponenter. Så t. ex. skrifver förf. sid. 15: (6,84)3 = (100,8350501)3 = 102,5051683 = 320,013485 . Först på de sista sidorna af kapitlet om logaritmer bortkastar han vid räkningen basen 10 och räknar endast med exponenterna (logarit- merna). På detta sätt tillhålles ynglingen oafbrutet att ständigt ha för sig hvad logaritm är. Han känner sig derigenom genast hemmastadd på det nya området. Med dessa förtjenster har dock hr A:s bok åtskilliga brister. Se här de väsendtligaste. 1. Förf:s bok saknar början. Förf, visar nämnligen aldrig möjlig- heten af, att i ofvan anförde exempel 102,5051083 kan betyda 320,0135 . Med andra ord, förf, visar aldrig betydelsen af potenser, ej heller hvar- före man på dem (för positiva baser) kan använda samma lagar som för digniteter. Visserligen säger förf. sid. 1 : «enligt algebra är 10° ==1“ «23 = ~/2°, och vidare på sid. 9, att enligt läran om division är * Som dr Smedberg på grund af lektor Elowsons i tidskriften införda diskussion om undervisningen i räkning till stor del funnit sig förekommen i hvad han ville anföra, har han återtagit sin insända uppsats; "genmäle till F. W. Hultman". På grund deraf måste naturligtvis också vårt svar uteblifva. 12 186 AFD. IV. GRANSKNING AF LÄROBÖCKER. 102,457... 0 100,903.. == 101,554... o. 8> v.; men gå vi till förf:s algebra, andra upplagan, Stockholm 1857, för att få reda på beviset för dessa påstå- enden, blifva vi långt ifrån tillfredsstälda. Beviset för α° = 1 gör förf, sålunda (algebran sid. 52): α0.α5 40+5 α5 a° = —3 = —5- == =1. Förf, tillåter sig här origtigt att använda den endast för hela tal (> 0) bevisade regeln a", a" = αm + n. Dessutom är det origtigt, ja omöjligt, att bevisa något om storhe- ter (t. ex. a°), innan de genom någon definition erhållit betydelse. På samma sätt slutar förf. (alg. sid. 58) till att 23 = N/2, der- före att A/612 = 66 = 62. Då förf, ej gifvit eller visat betydelsen af potenser med brutna ex- ponenter, blir det ett oting att skrifva Å2 = 2, ty 23 skulle enligt förf:s definition på exponent (sid. 5) innebära, att man skulle skrifva upp 2 som faktor 3 gång, hvilket är lika svårt att verkställa, som det att ta sig motion 3 gång om dagen. Vi vilja här hjelpa förf, till rätta. I en lärobok om logaritmer bör man först bestämma sig för en de- finition på potenser. Denna definition bör tillika vara sådan, att de räknelagar, som deraf blifva en följd, i sig äfven inbegripa räknelagarna för digniteter. En sådan egenskap har följande bestämning. Med en potens eller ett uttryck af formen a, der a är en posi- tiv storhet och u en reel, rationel storhet, mena vi det värde, som denna storhet a får genom att äfven för denna låta gälla regeln am.a" = am+n*, hvilken endast kan bevisas vara sann för m och n lika med hela tal. - * Andra utgå lika bra från formeln am Andra åter definiera potenser genom serien x x2 x3 € cl+i+1.9 + 1.2.3 Denna senare definition, ehuru generel, synes dock hafva emot sig pedagogiska svårigheter. AFD. IV. GRANSKNING AF LÄROBÖCKER. 187 Skulle u vara en irrationel storhet bestämma vi betydelsen af al derigenom, att vi låta den vara ett medelvärde mellan » au+i och a"—8, der k och 8 bestämmas så små som möjligt, men tillika så, att u + k och u — s blifva rationela. Numera blir det ej svårt att bevisa de tre öfriga potenslagarne au av —-”, ((4)" —a”, (cb)% — ab“, m äfvensom att finna betydelsen af a—k och af an. 2. Förf, är ej noggrann vid bestämmandet af de sista decimalerna. Så t. ex. finner man i ofvannämnde exempel genom direkt räkning (6,sa)3 = 320,018504 och ej (som förf, har det) = 320,018485. 3. Formeln för att finna n2 termen i en aritmetisk serie uttryc- ker förf, sålunda: u = a ± (n — 1)d. Hvarföre begagnar förf, dubbeltecknen för d och ej lika gerna för u och för a? Antag att u, n och s äro kända. Man vill finna a och d. Hvilkendera formeln skall man använda, u = a + (n— 1)d eller u — a — (n— 1)d ? 4. Förf, tillämpar origtigt formeln för ränta på ränta ( p \n 8 - u + 100) äfven för det fall, att n är ett brutet tal, ehuru den blott gäller för n helt tal. Så t. ex. säger förf. sid. 53, att ett lån af 10000 rdr, som går med ränta på ränta efter 5% om året och som skall amorteras ge- nom årliga afbetalningar af 600 rdr, blir amorteradt efter 36, år. Då afbetalningarna ske årligen vid hvarje helt års slut och ej qvartalsvis vid hvarje fjerdedels års slut, kan väl ej lånet bli amorteradt förrän ef- ter förloppet af ett helt antal år, det vill här säga förrän efter 37 år, ehuru amorteringen det sista året utgör endast 437 rdr 19 öre *. * Vid beräkning af hithörande frågor besparar man mycket tid, om man använder Hülssé’s Sammlung Mathematischer Tafeln. Leipzig 1849. Der finner man bland annat omedelbart värdena af t—n (1+100)" och X(1+100) t=1 från n = 1 till och med n — 100. 188 AFD. IV. GRANSKNING AF LÄROBÖCKER. Dessa äro de hufvudsakligaste anmärkningar, som vi hafva att göra mot författarens lärobok. Nästan samtliga felen härröra deraf, att förf, i st. f. matematiska bevis använder induktionsbevis, så att förf, anser en sats gällande för alla storheter, om blott han har bevisat den gälla för hela tal, och en sats gälla för udda tal, om blott han har bevisat den för jemna. Vi älska att tro, att förf, i kommande arbeten tager sig till vara för fel af detta slag. 2. Lindman, C. F. Samling af problemer, hufvudsakli- gen afsedda att användas vid skolungdomens skriföfnin- gar. Örebro 1868. Pris 1 rdr rmt. 8:0. Denna samling innehåller ett stort förråd af synnerligen väl valda problem till läran om första och andra gradens eqvationer med en och flere obekanta, till läran om maxima och minima, om aritmetiska och geometriska serier, till läran om planimetrien och plana trigonometrien. Liksom utgifvarens bada föregående läroböcker — geometriska problemer och plan trigonometri — utmärker sig äfven denna genom smak och noggrannhet. Problemen äro praktiska, ofta rätt ovanliga, alltid i mer eller mindre grad undervisande. Som prof meddela vi här några. Pr. 126. «Ett telegram afsändes från Göteborg, då klockan der är 15 minuter öfver 2, och kommer till sin adress i Stockholm, då kloc- kan der är 14 minuter öfver 3. Från Stockholm sändes sedan svar, då klockan der är 15 minuter öfver 4, hvilket hinner sin adress i Gö- teborg klockan 4t 26' Göteborgstid. Huru lång tid erfordrade telegram- mets gång och expedition, och huru stor är skilnaden mellan Stockholms- och Göteborgsuren? « Svar. Telegrammet behöfde 35' och skilnaden mellan uren är 24’. Pr. 349. « Finnes någon rätlinig figur, som har n diagonaler ? « Svar. Ja, om 3+9+8n är ett rationelt helt tal. 2 Pr. 166. «Att bestämma n så beskaffade tal, att, om från det första till hvartdera af de öfriga läggas så många enheter som dessa sjelfva utgöra, och sedan från det andra och de följande på samma sätt ända till och med det né, slutligen n tal erhållas alla lika stora med a«. Svar. Talen äro: 1+n.2n — 1 1 + n . 2n — 2 1+n 2n a, 2n ÀFD. IV. ETT BEVIS UR O. J. BROCHS PLANGEOMETRIE. 189 De båda senare problemen äro förträff liga genom sin allmänlighet och genom det tillfälle till diskussion de erbjuda. Sådana problem äro i pedagogiskt hänseende synnerligen nyttiga. Boken är, som titelbladet angifver, afsedd för skriftliga uppsatser utom lärorummet och är derföre ej försedd med några andra anvisnin- gar än sjeifva svaren. Dessutom äro de svårare problemen utmärkta genom en liten stjerna. Svaren äro, åtminstone så långt vi varit i till- fälle att pröfva dem, rigtiga. De anmärkningar vi på ett och annat ställe sett oss befogade att göra, inskränka sig vanligen till uttrycken och redigeringen. Så t. ex. hade utgifvaren i probl. 62 bort bestämma ti- den, då hvardera af de resande börjar rasta. I annat fall kan man nog ställa så till, att det uppgifna ‘svaret blir origtigt. I probl. 67 har utg. glömt ordet « samtidigt «. Kortligen: anmärkningarna äro ytterst obe- tydliga. Vi tacka utgifvaren för detta hans goda bidrag till vår matemati- ska läroboksliteratur. F. W. HULTMAN. Ett bevis ur O. J. Brochs plangeometrie*. Bland alla plana figurer med samma omkrets är cirkeln den största. (Ur Lærebog i Plangeometrien af O. J. Broch. Tredje Udgave. Christiania 1863, sid. 169). «Figuren ABCFE ** være den storste Figur med en given Perime- ter. Enhver ret Linie AC, som halverer dens Perimeter, maa da ogsaa halvere dens Flade; thi er Linien ABC lig linien AEFC men Fladen ABC f. Ex. storre end Fladen AEFC, saa kunde man ved at sætte en med ABC congruent Figur istedet for AEFC erholde en storre Figur med samme Perimeter, hvilket strider mod Betingelsen, at den givne * I januarihäftet af Tidskrift för Matematik och Fysik 1869 förekom- mer på sid. 39 det omdöme om satsen "af alla plana figurer med samma omkrets har cirkeln den största ytan”, att denna sats från elementär syn- punkt lemnar åtskilligt öfrigt att önska. Med anledning häraf tager jag mig friheten meddela följande bevis för nämnde sats ur "Lærebog i Plan- geometrien af O. J. Broch”, hvilket såsom det vackraste vi ega i denna väg förtjenar att blifva kändt af den svenska allmänheten, M. F. HALLSTRÖM. ** Figuren behagade läsaren sjelf teckna. 190 AFD. IV. SÀTSER. Figur er den storste med den givne’ Perimeter. Drager man dernæst fra Enderne af Halveringslinien AC rette Linier til et vilkaarligt Punkt D i Perimeteren, saa maa disse Linier AD og CD staae lodrette paa hinanden; thi hvis de dannede en skjæv Vinkel, saa fik man, ved af dem som Cathetre at construere en retvinklet Triangel, et storre Tri- angel end A ADC, altsaa ved at tilfoie Segmenterne AED og CED en storre Figur end AEDFC, og ved at fordable den en storre Figur end den givne ABCFE med samme Perimeter, hvilket strider mod Betin- gelsen. Men staae AD og CD lodrette paa hinanden, saa maa Punktet D, der er valgt vilkaarlig i den givne Figurs Perimeter, ligge i den på AC som Diameter construerede Cirkellinie, hvormed altsaa den givne Figurs Perimeter maa falde sammen.« Det af docenten Lundström meddelade beviset för fyrhörningen sam- manfaller alldeles med det på sidan 170 i Brochs Lærebog gifna bevis för satsen: «af alla polygoner med till storleken gifna sidor är den störst, som kan inskrifvas i en cirkel «. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1869. För latinlinien. (2 st. på 4 tim.) 1. Att draga en rät linie så, att hon tangerar 2 gifna cirklar. 2. Att genom 2 gifna punkter draga räta linier så, att de med en till sitt läge gifven rät linie bilda en liksidig triangel. 3. Alt förvandla en gifven 4-hörning till rätvinklig triangel med gifven hypotenusa. 4. Att upprita en qvadrat, som är lika med summan af 3 gifna qva- drater. 5. En rätlinig figur är gifven. Konstruera en ny af samma form som den gifna och med en tre gånger så stor yta. 6. Att från en gifven punkt draga en rät linie så, att det stycke af linien, hvilket faller mellan tvenne parallela räta linier, får en bestämd längd. 7. Gifven äro en triangels bas, motsvarande höjd och den linie, som förenar basens ena ändpunkt med motstående sidas medelpunkt. Att upprita triangeln. 8. Bevisa att i hvarje regulier 5-hörning träfas diagonalerna så, att AFD. IV. SATSER. 191 hvar och en af dem blir skuren efter den mellersta och yttersta i proportion till hela linien. (2 st. på 4 tim.) 9. A kan ensam fullborda ett arbete på 15 dagar, om han arbetar 10 timmar om dagen. B gör samma arbete på 18 dagar med 9 arbetstimmar om dagen. Hur lång tid skulle de hυarje dag behöfva arbeta för att tillsam- man verkställa arbetet på 8 dagar? . 10. Af tvenne arbetare, som hafva olika dagspenning, erhåller den ene vid arbetstidens slut 25 rdr, och den andre, som försummat 3 dagar, 16 rdr. Om den sednare arbetat hela tiden, men den förre åter försummat 3 dagar, skulle båda vid arbetstidens slut hafva erhållit lika aflöning. Hur stor dagspenning hade hvardera arbetaren, och hur många dagar hade han arbetat? 11. I hvad fall kan ett vanligt bråk exakt förvandlas till decimalbråk ? 12. Hur stor är ytan af en regulier * månghörning, hvars perimeter är 1000 fot och hvars alla sidor tangera en cirkel med 80 fots radie. 13. Att dela talet 98 i tvenne delar så, att summan af delarnes qva- dratrötter blir ett maximum. 14. Summan af termerna i en aritmetisk serie är 36, första termen 15, differensen — 3; hur stort är termernas antal? 15. Om antalet personer, som födes i ett land under året är 40, och antalet af dem, som dö, J af hela befolkningen vid årets början, så frå- gas: effer hur många år är folkmängden fördubblad? För reallinien. (2 st. på 5 tim.) 16. Bevisa, att om man genom ändpunkterna cf 2 diametrar i en cir- kel drager tangenter, så blir den parallelogram, som sålunda bildas, en romb. 17. Att förvandla summan af en triangel och en 4-hörning till regulier 6-hörning. 18. Tre räta linier skära hvarandra uti en punkt. Konstruera en lik- sidig triangel, hvars spetsar ligga på hvar sin af dessa linier. 19. Att på en gifven rät linie konstruera en oktaëder. 20. Att genom tal uttrycka förhållandet mellan de tre olika diagona- lerna i en regulier 8-hörning. 21. Bevisa, att två 4-hörningar äro lika stora, om diagonalerna i den ena äro parallela och lika stora med hvar sin ■ diagonal i den andra. * Bör vara irregulier. 192 AFD. IV. SATSER. 22. Att inskrifva en qvadrat i en gifven triangel. 23. Att upprita en triangel, då man känner 2 höjder och den in- skrifna cirkelns radie. (? st. på 4 tim.) 24. En -person säljer en vara for 112 rdr och vinner dervid hälften så många procent som varan kostat riksdaler i inköp. Hvad hade hon ko- stat? 23. Hvilken positiv qυantitet satisfierar eqvationen A/x+3 — A/x — 2 - A/x — 5 = 0? 26. Begäres eqvationen for den cirkel, som har sitt centrum i brän- punkten till parabeln y2 == x och tangerar samma parabels styrlinie. 27. Om man från 4 tal i geometrisk progression i ordning subtraherar talen 3, 6, 9, 13, så erhållas 4 tal i aritmetisk progression. Hvilka äro de förstnämnda talen? 28. Ett kapital har under 10 år genom ränta på ränta vuxit från 10000 rdr till 15000 rdr; efter hvilken procent har det varit utlånadt? 29. Hvilken är basen till ett system af logaritmer, som äro 5 af dem i det Briggska systemet? ' 30. Huru stor är perimetern till den omkring en cirkel omskrifna re- guliera 7-hörningen, då cirkelns radie = a. 31. En stympad kon af 8 dec. tums höjd rymmer 24 kannor. Hans ena bottenradie är 10 dec. tum. Hur stor är den andra? (1 på 3 tim.) 32. En flod af 1000 fots bredd och med en hastighet hos vattnet af 1 mil i timmen skall i vinkelrät rigtning mot stranden öfverfaras af en per- son, som i stillastående vatten kan ro med en hastighet cf Å mil i timmen? Det frågas, i hvilken rigtning båten dervid bör styras, och hur lång tid öf- verfarten erfordrar. 33. En kula af 10 orts vigt lemnar mynningen af en 3 fot lång böss- pipa (från laddningen räknadt) med 800 fots hastighet. Hur stor var drif- kraften, under förutsättning att hon hela tiden varit oförändrad. Accelera- tionen vid fria fallet sättes = 33 fot. .. ... .1 . 34. Ett cylindriskt kärl af gifna dimensioner är till n af sin höjd fylld med gvicksilfver och återstoden med vatten. Huru högt öfver bottenytan ligger de båda vätskornas gemensamma tyngdpunkt, när qvicksilfrets egentliga vigt antages vara gifven? AFD. IV. LÖSTA SATSER. 193 35. Med huru stor hastighet bör en kropp slungas lodrätt uppåt för att han vid 50 fots höjd skall ega 5 fots hastighet? Accelerationen vid fritt fall antages till 33 fot; luftens motstånd lemnas utan afseende. 36. Huru stor blir vigtförlusten i tori' hfl af 15° och 25 tums baro- metertryck för en platinacylinder, hvars volym vid 20,5° är 1,86 kub. dec tum? En kubikfot torr luft antages vid 00 och 25,6 tums tryck väga 7,53 ort, dess utvidgningskoefficient är 0,000009. 37. En gifven metallsträng gör vid 4 % belastning 750 svängningar i sekunden. Om strängen sedermera förkortas med 4 ef sin ursprungliga längd, huru stor belastning blir då erforderlig, för att den förra tonens qvint må er- hållas? 38. Hur stor är gränsvinkeln vid ljusets öfvergång från glas (brytnings- förhållandet — 1,53) till vatten (brytningsförhållandet — 1,336). 39. Bevisa, att den största möjliga strömstyrkan från ett gifvet antal staplar alltid erhälles, så snart paren ordnas på ett sådant sätt, att motstån- den inom och utom stapeln bli lika stora. Satser, lösta vid den skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1869 af en elev vid Wenersborgs högre elementarläroverk. Geometriska satser*. (4 timmar). 1. Att draga en rät linie så, att hon tangerar 2 gifna cirklar. Hypotes. Två cirklar äro gifna. Tes. Att draga en rät linie, som tangerar dem båda. Upplösning. Olika fall kunna inträffa efter cirklarnes storlek och läge. Vi antaga först, att cirklarne äro olika stora och ligga utom hvarandra. Upprita på centrallinien AB en halfcirkel. Aptera i denna ifrån A räknadt en körda AC = skilnaden emellan cirklarnes radier. Låt den utdragna AC träffa den större cirkeln i B. Drag BE// AD och sam- manbind D med E. Då är DE en gemensam tangent. * Läsaren behagade sjelf teckna figurerna. 194 AFD. IV. LÖSTA SATSEK. Bevis. AC = AD — BE, AC = AD — CD, . BE = CD, BE|/ CD, *.* BD en parallelogram. Emedan A BCD ät rät, så äro äfven A A D och E räta och DE en gemensam tangent.' Denna tangent skär utdragen cirklarnes centrallinie. En annan tangent med samma egenskap finnes på samma sätt. Ännu två gemensamma tangenter finnas. Upplösning. Upprita en halfcirkel på AB. Inpassa i denne AG = summan af radierna. Drag radien BK// AFG. Drag FK. FK blir då den sökta linien. Bevis. AG = AF + BK, FG = BK o. s. v. (lika med föreg.) Anm. I allmänhet finnes det fyra gemensamma tangenter. Tan- gera cirklarne hvarandra utantill, finnas endast tre. Skära de hvarandra, finnas endast två. Tangera de hvarandra innantill — endast en. Ligga de helt och hållet inom hvarandra — ingen. Den punkt, der de gemensamma tangenterna råka hvarandra och centrallinien, kallas cirklarnes likformighetspunkt, emedan de sekanter, som från den dragas till båda cirklarne, afskära likformiga segment. Lika stora cirklar hafva endast en likformighetspunkt. De båda yttre tangenterna finner man hos dem genom att från medelpunkterna draga radier vinkelräta mot centrallinien och sammanbinda deras ändpunkter på samma sida om centrallinien. 2. Att genom två gifna punkter draga räta linier så, att de med en till sitt läge gifven rät linie bilda en liksidig triangel. Hypotes. Punkterna A och B samt linien xy äro gifna. Tes. Att genom A och B draga två linier, som med xy bilda en liksidig triangel. Upplösning. Tag två punkter C och D på xy efter behag. Upp- rita på CD liksidiga triangeln ECD. Drag FAG ∕∕ EC, FBH (/ ED.— Då är FGH den sökta triangeln. AFD. IV. LÖSTA SATSER. 195 Bevis. A FGH = ECD = 3 rät, A FHG = EDC = 3 rät, A F = 3 rät, '.∙ Λ FGH liksidig. Gör man AKM ∕∕ ED, BKL //EC, så bevisas på samma sätt, att KLM är liksidig. I allmänhet kan man sålunda upprita två trianglar, som uppfylla vilkoret. - . Låge punkten BiN (MN// AK), öfverginge den ena triangeln till en punkt. Låge B emellan M och N*, komme den ene triangeln att ligga på andra sidan om xy. Upplösningen blir densamma för hvilket inbördes läge mellan punk- terna och linien som helst. 3. Att förvandla en gifven fyrhörning till en rätvinklig triangel med gifven hypotenusa. Hypotes. En fyrhörning är gifven ABDC. Tes. Att förvandla den till en rätvinklig triangel med hypotenu- san EF. Upplösning. Drag BC. DG ∕∕ BC. Utdrag AB till G. För- ena C med G genom linien CHG. Drag höjden AH. Upprita på EF en halfcirkel ELMF. Sök fjerde proportionalen till EF, CG, AIL. Låt det vara EK, vinkelrät mot EF. Drag KM ∕∕ EF och sammanbind EM och FM. Då är EMF den sökta triangeln. Bevis. A BCG = A BDC, . A AGC = ABDC. KE = höjden i triangeln MEF. Emedan A A MEF och ACG hafva baser och höjder inverse pro- portionella, så är A MEF = A ACG = fyrhörningen ABDC. Triangeln MEF är också rätvinklig och har EF till hypotenusa. Triangeln LEF uppfyller naturligtvis också vilkoret. Anm. Den största rätvinkliga triangel, som kan uppritas på EF såsom hypotenusa, är naturligtvis den, som har till höjd 4EF. * "Hade punkten B ett sådant läge, att den ena af de från B dragna linierna först träffade linien från A nedanföre xy, så etc.” Lärarens rättelse. 196 AFD. IV. LÖSTA SATSER. För att problemet skall vara möjligt fordras sålunda, att fyrhörnin- _______________________2 gens yta skall vara < 4 EF d. v. s. lika stor med eller mindre än qvadraten på halfva den gifna linien. 4. Att upprita en qvadrat, som är lika med summan af 3 gifna qvadrater. Hypotes. Qvadraterna AB, CD', EB° äro gifna. Tes. Att finna en qvadrat, som är lika stor med summan af dessa. Upplösning. Drag BG normalt mot AB och lika stor med CD. Drag vidare HG L AG och = EF. Då är AE den sökta qvadraten. Bevis. AB = AG+GE = AB + BG + GE = AB + CD + EF. Problemet är alltid möjligt. 5. En rätlinig figur är gifven. Konstruera en ny af samma form som den gifna och med en 3 gånger så stor yta. Hypotes och Tes. Rätliniga figuren ABCDE är gifven, att upprita en med denna likformig figur med tre gånger så stor yta. Upplösning, Upprita såsom i n:o 4 en qvadrat, som är = CD' -______2 ---2 ----2 0 + CD + CD == BCD • Lat FG vara sida i denna qvadrat och upp- rita på FG såsom homolog sida med CD en med ABCD likformig figur FGHKL. Då är denna den sökta figuren. Bevis. Emedan likformiga figurer förhålla sig till hvarandra som qvadraterna på deras homologa sidor, så är FGHKL = 3ABCDE. Han är också likformig med densamma. 6. Att från en gifven punkt draga en rät linie så, att det stycke af linien, hvilket faller mellan tvenne parallela räta linier, får en bestämd längd. Hypotes. Två parallela linier uBv, x Cy och en punkt äro gifna. Tes. Att från den gifna punkten A draga en rät linie ABC så, att BC blir af en gifven längd Q. Upplösning. Tag en punkt D på en af linierna. Tag D till medelpunkt och Q till radie. Låt cirkelperiferien skära xy i E och F. Drag DE och DF. Drag ABC∕∕DE. ' Då är BC = Q. ÅFD. IV. LÖSTA SATSER. 197 Bevis. BCED är en parallelogram, i följd hvaraf BC == DE = Q. En från A med DF dragen parallel linie uppfyller naturligtvis också vilkoret. Anm. I allmänhet kunna två så beskaffade linier dragas. Ar Q = vinkelräta afståndet mellan linierna, kan blott en, är den mindre, ingen så beskaffad linie dragas. 7. Gifna äro: en triangels bas, motsvarande höjd och den linie, som förenar basens ena ändpunkt med motstående sidas medelpunkt. Att upprita triangeln. Hypotes. En triangels bas = AB, dess motsvarande höjd = CI) och afståndet EF mellan basens ena ändpunkt B och den motstående sidans midtpunkt äro gifna. Tes. Att upprita triangeln. Upplösning. Drag xy//AB på afstå det AG = CD från den- samma. Tag B till medelpunkt och en radie = EF och rita en cir- kel, som skär xy i H och K. Drag AB och utdrag den, så att HL = AH. Drag LB. Då är ALB den sökta triangeln. Konstr. Drag höjden LNM. Bevis. ∣∖ AHG = A LHN = A LAM, - A AGH = A AML. Alltså äfven A GAH = A ALM, AAGH ~ A LMA, LM: LA = AG: AH . LM = 2AG = CD. HB är också = EF. Använder man punkten K i stället för H, finner man på samma sätt en annan triangel, som uppfyller vilkoret. Anm. I allmänhet äro sålunda två trianglar möjliga. Är EF = |. CD, finnes endast en, är den mindre, ingen. 8. Bevisa, att i hvarje regulier femhörning träfas dia- gonalerna så, att hvar och en af dem blir skuren efter den mellersta och yttersta i proportion till hela linien. Hypotes. En regulier femhörning ABCDE är gifven. Tes. Diagonalerna bli skurna efter den mellersta och yttersta i proportion till hela linien. 198 AFD. IV. LÖSTA SATSEK. Bevis. I Eukl. 4:de bok visas, att en cirkel kan omskrifvas kring en regulier femhörning. Vi låta detta vara gjordt. De lika stora si- dorna afskära lika stora cirkelbågar, hvardera = 1 af hela periferien. Periferivinkeln ADE = AEF (AEB). Λ EAD är gemensam för trianglarne EAD och FAE; alltså äro dessa trianglar likformiga och AD: AE = AE:AF ---2 v AD.AF ≡ AE . A EFD = A AEB +. A EAD = en periferivinkel, som står på 3 af cirkelperiferien = A DEF (DEB). Emedan A EFD sålunda är = DEF, så är DE = DF. ---2 ---2 ---2 v AD.AF == AE = DE = DF . •.• AD:DF = DF:AF. På samma sätt bevisas, att de öfriga diagonalerna bli skurna efter den mellersta och yttersta i proportion till hela linien. (Forts.) Satser och diskussionsämnen, framstälda inom den fysiskt-matematiska afdelningen af det naturvetenskapliga sällskapet i Upsala, d. 18 febr., 4 och 18 mars 1869. (Forts, fr. sid. 104.) 7. En korda i en ellips rör sig så, att hon städse afskär ett segment af konstant area. Hvilken kroklinie envelopperas af henne? 8. Det antages, att man kan genom en punkt, belägen i en rät vinkels plan, lägga en rät linie utaf gifven längd, som har sina ändpunkter på vin- kelns ben: visa geometriskt, att man med tillhjelp af denna konstruktion kan skära en vinkel hvilken som helst i tre lika stora delar. 9. Rigtningarna af två par konjugatdiametrar i en ellips eller hyperbel äro gifna; att finna rigtningarna utaf stora och lilla axeln samt förhållandet mellan längderna qf dessa axlar. AFD. IV. SATSER OCH DISKUSSIONSÄMNEN. 199 10. Af alla trianglar med samma omkrets sökes den, som beskrifver den största dubbelkon, om han roterar kring en af sina sidor. . dy .. 11. Integrera differentialeqvationen - — f(v), då v är gifven genom eqvationen y === x ç(v)+ w(v). 12. Visa på geometrisk väg sambandet mellan Jf(x)dx och Jf-l(x)dx, der f~1(x) betyder en rot y till eqvationen f(y) = x, ge- nom att utbyta integralerna mot areor, och härled deraf den satsen, att f 1(x) är integrabel i finit form, så ofta detta är förhållandet med f(x). 13. Drag från den trubbiga vinkelns spets uti en trubbvinklig triangel till den motstående sidan en linie, som är medelproportional mellan de delar, uti hvilka hon skär densamma. 14. Att genom en punkt inuti en cirkel lägga en korda, som af punkten delas i en gifven proportion. 15. Man har tvenne homofokala ellipser. Från en rörlig punkt på den yttre drages ett tangentpar till den inre. Visa, att skilnaden mellan de tvenne tangenternas sammanlagda längd och längden af bågen mellan tange- ring spunkterna är konstant. 16. Om med w forstås den vinkel, som tangenten gör med x-axeln, och med o radius curvaturœ, sök eqvationen for den kroklinie, hos hvilken g = k o (k = konstant), och särskildt sambandet mellan radius vector och radius curvaturœ hos samma kroklinie. ■ 17. Att genom ena ändpunkten af mindre axeln i en ellips draga stör- sta möjliga kordan. 18. Axlarne till tvenne cirkulära cylindrar råkas vinkelrätt; att finna arean och volymen af cylindrarnes gemensamma del. 19. En tung elastisk ring ligger i jemnvigt på en rät kon; att finna jemnvigtsläget, då man känner ringens elasticitets-koefficient och diameter fore sträckningen. Friktionen och ringens tjocklek negligeras. 20. En cylinder, som stöder sin bas mot ett glatt vertikalplan, uppbä- res af ett snöre fästadt vid cylinderns bugtiga yta till ett qfstånd h ifrån det vertikala planet. Då snörets rigtning är gifven, frågas: inom hvilka gränser skall h ligga, för att jemnvigt skall vara möjlig? 21. Hvilken kraft bör användas för att hålla en port ijemnvigt, hvars gångjern ej ligga midt öfver hvarandra? 22. En kedja hänger i jemnvigt öfver tvenne glatta pinnar, som ligga på samma horizontala linie på ett bestämdt afstånd från hvarandra. Att finna minsta längden på kedjan för att jemnvigt skall vara möjlig. 200 AFD. IV. SATSER OCH DISKUSSIONSÄMNEN. 23. Tre frissor äro fästade i taket. Ofver dem löpa snören, i hvilkas ena ända vigter äro fästade. De tre andra ändarne äro sammanknutna och i knuten är en gifven tyngd fästad. Hvilket är jemnvigtsläget? 24. Om en plan rätlinig figur är omskrifven omkring en cirkel, så förblifver en materiel punkt, placerad i medelpunkten, i hvila, om figurens perimeter attraherar efter Newtonska lagen. 25. Fyra trissar äro fästade i taket, så att de bilda hörnpunkterna af en qvadrat. Ofver dem löpa snören, i hvilkas ena ända vigter af lika tyngd äro fästade. De fyra andra ändarne äro sammanknutna, och i knuten en gifven tyngd fästad. Hvilket är jemnvigtsläget, och huru går det, om ett. af snörena af klippes ? 26. Hvad är orsaken, att papper blir genomskinligare, om det blötes med olja? 27. Begäres en elementär framställning af de kapillära rörelsefeno- menen. 28. En lysande punkt befinner sig på afståndet a från ytan af en sfer med radien R; begäres den lag, efter hvilken ljusstyrkan varierar på sferens yta, om punkten befinner sig 1) utom eller 2) inom sferen. 29. Huru stor blefve värmeutvecklingen, om månen jölle ned på jorden, då värmets mekaniska eqvivalent är == 433 klgr.m. 30. Begäres det enklaste beviset för formeln för ljudets teoretiska ha- stighet. 31. Är afståndet för tydliga seendet större eller mindre i vatten än i luft? 32. Man har observerat, att mot slutet af en konsert blåsinstrumenten i allmänhet blfva ostämda: huru skall detta förklaras? 33. Huru kommer det sig, att en Voltas stapel, bestående af ett stort antal små plattor, åstadkommer starka fysiologiska verkningar, utan att för- må glödga en metalltråd, under det att strömmen från ett enda par bestå- ende af stora ytor, ej har någon märkbar inverkan på menniskokroppen, men bringar en platinaträd i glödgning? % 6 € 4/ ea AFDELNING I. Bidrag till en elementär framställning af läran om storheters maxima och minima. Af LARS PHRAGMÉN. i Till lättnad vid uppfattningen lösa vi först den enkla uppgiften: Hvilken är den största af alla rektanglar med omkret- sen 2a? Om en sida i rektangeln betecknas med x, så är rekt- angelns yta x(a — x). För a = a och för a = 0 blir ytans värde = 0. För ett värde a,, som vi antaga < a, bör ju samma värde kunna erhållas, som för ett värde 22, som vi antaga något > 0. Sammanhanget mellan a, och a2 ut- tryckes ju genom eqvationen: 1 (a — &,) = a2(a — J2) eller a?-u3 = a(a, - 2). Eqvationen är divisibel med (a, - x2) och satisfieras således af a, = 2. Men som detta endast betecknar, att samma värde på ytan erhålles för samma x-värden, aflägs- nas denna faktor ur eqvationen, hvarefter vi finna 2, + a2 = a * Jfr Martus, Maxima und Minima, Berlin 1861. 13 202 ΛFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. såsom uttryck för sammanhanget mellan två a-värden, som gifva lika stort värde på ytan. Mellan dessa båda a- värden måste ju vid denna uppgift endast finnas x-värden, som gifva större värden på ytan. Ju närmare våra båda värden på x, och x2 få nalkas hvarandra, desto närmare innesluta de också det värde på x, som gifver ytan sitt största värde. Sätta vi derföre & = 2 = &0, så finna vi a “o - 2 och dermed också svaret på den framstälda frågan. Vi antaga derefter en algebraisk expression innehål- lande endast en obekant, som vi kalla a, och vi vilja söka att bestämma de ändliga värden på a, som gifva expres- sionen dess största (och minsta) värden, d. v. s. värden, som äro större (eller mindre) än de värden på samma ex- pression, som erhållas för de närmaste vare sig större eller mindre värdena på x. Låt &o vara ett af de sökta vär- dena och 2., och 22 två angränsande värden, af hvilka vi antaga x, > o > T2. Vi söka då först att i en formel ut- trycka det algebraiska sammanhanget mellan sådana vär- den på , och X2, som gifva expressionen samma värde. Denna formel erhålles genom att i expressionen insätta först 2, och sedan 22 och derefter sätta dessa uttryck lika med hvarandra. Den derigenom erhållna eqvationen måste tyd- ligen vara divisibel med (x, - &2). Om nu denne faktor bortdivideras, uttrycker den återstående eqvationen det all- männa sambandet mellan två värden a, och 02, som gifva expressionen samma värde. Ju närmare dessa värden ligga intill hvarandra, desto sannolikare är det, att de innesluta endast ett största eller minsta värde. Och få de till sist smälta tillsamman till ett enda värde &0, så är detta ett af de sökta värdena, hvilka således erhållas derigenom, att man i den sistnämnda eqvationen sätter a = a2 = To. I afseende på hvarje värde bestämmes derefter genom in- sättning i den gifna expressionen dennas motsvarande vär- AFD. I. 0M STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. 203 de, hvarefter slutligen genom jemnförelse mellan expressio- nens värden afgöres, om hvarje värde på a gifver ett stör- sta eller minsta värde. . Vi gå nu att tillämpa ofvanstående teori på några Exempel. 1. Sök de största och minsta värdena på expressionen 23-6a> + 9a + 1. Vi erhålla först al - 6a; + 9a, = a3 -6a; + 9aa eller efter öfverflyttning och division med (x, - &2) al + 2 %, +, - 6(x, + 2) + 9 = 0 såsom uttryck för sammanhanget mellan de «-värden, som gifva expressionen samma värde. Sättes nu &= X2 = ⅜, så angifver x0 - 4ao + 3 = 0 värdena 3 och 1 såsom gifvande expressionen dess största eller minsta värden. Då vi nu vid insättning finna, att den för a = 0o reducerar sig till ∞, för & = 3 till 1, för a = 1 till 5 och för . = —∞ till —oo, så har expressio- nen sina största värden för .= 1 och . = 0o och sina min- sta för x = 3 och = —∞. 2. Att omkring en giften sfer med radien r omskrifta en rät kon af a) minsta möjliga volym *, b) d:o mantel och c) d:o area. Om konens basradie kallas a, dess höjd y, så erhålles α) Volymen = åzay = 3‘y Sättes nu _y; = Y1 — 2r Y2 - 2r' * Jfr Årg. I. sid. 110 ex. 10. 204. AFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. så erhålles deraf efter hyfsning och division med (Y1 —Y2) en eqvation, af hvilken för Y1 = Y, = Yo erhålles Y0 = 4r, X0 = 72 och min. volymen = %7r3. Min. volymen är således dubbelt så stor som sferens. - T .—2 y(y—r) b) Manteln = JU2. √⅛+ιy = 9°. %-------------- 7 • 3 — 2r På samma sätt som i a) finnes 3o = 9(2 + /2), To = ".N.2+1, min. manteln = 7 . [(~/2 + 1)]2. e) Arean = + A/22+12) = 7P.— 7 % 3 — 2r Vi återfinna således könen i a). Dess area är 8/72 och således dubbelt så stor som sferens. Dessa uppgifter kunna ock lösas medelst qvadratiska eqvationer. 3. Huru stor qvadrat bör bortskäras ur hvarje hörn af ett rektangulärt pappstycke, för att man af återstoden må kunna forma en låda af största möjliga rymlighet ? Om samma beteckningar bibehållas som i Årg. I. sid. 110, ex. 11, så erhålles likasom der lådans volym = ⅛(a-æ)(b - œ)æ . Vi erhålla deraf al — 22 - (α + ^)(.æi - &2) + ab(x, — 2) = 0 eller efter division med (x, — &2) och för 2 = 2 = &o eqva- tionen 3x° - 2(a + b)xo +ab = 0 hvilkens enda för uppgiften användbara rot är Xo = 3 (a + b - ∖∕a2 + b2 - ab). AFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. 205 4. Sök det positiva värde på a, som gifver största vär- det på expressionen (a +a)./12—a3 *. Då denna expression har sitt maximum för samma värde som dess qvadrat, så erhålla vi först eqvationen (a + a,)2 . (2 - a;) = (a+ w,)2 . (2 -;), som kan skrifvas aj(a + 2,)2 -a3(a + w,)2 -l[(a + a,)2 -(a + «,)?] = 0 eller efter upplösning i faktorer och division med (x, — 72) [a? + x2 + a(x, + x2)l(x, + , + a) - l2 (x + 2 + 2a) = 0 eller slutligen för 01 = a‘2 = ao (xo + a)(2x0 + axo — l2) = 0. Af denna eqvations tre rötter är endast en positiv, nämnligen «o = 4(/a2 + 8l2 — a). II. Om den expression, hvars största (och minsta) värden skall bestämmas, innehåller två eller flera af hvarandra oberoende obekanta, så kan man ju alltid (efter den i I framstälda metod) söka bestämma de värden på en hvilken som helst af dem, som gifva expressionen dess största (och minsta) värden under antagande, att de öfrigas värden äro, om än godtyckligt, bestämda. Den derigenom er- hållna eqvationen angifver således det fördelaktigaste sätt att bestämma denna obekanta ur alla de öfriga och på samma gang ett vilkor, för att det slutliga systemet skall kunna leda till ett största (eller minsta) värde. Genomgå o * Jfr Arg. II. sidd. 122—124. 206 AFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. vi sålunda de obekanta, livar och en i sin tur, så erhålla vi en följd af vilkorseqvationer, lika många som de obe- kanta, ur hvilka således ett eller flere system af värden på de obekanta kunna beräknas. Aterstår slutligen att undersöka, huruvida de funna värdesystemen leda till stör- sta eller minsta värden på expressionen samt i öfrigt upp- fylla de fordringar, som uppgiften förutsätter. Vi öfvergå nu till några Exempel. 1. En rät parallelepipeds volym är gifυen. Hvilka di- mensioner fordrar den minsta ytan, a) om den är försedd med lock, b) om den är utan lock? Längd, bredd, höjd, volym och yta betecknas med x, y, 2, k och a. a) Eqvationerna blifva: xyz = k och 2(xy + xz+y2) = a. Genom elimination af 2 erhålles k k a 29 + — + — = —. 3 @ 2 Söka vi nu först att bestämma a så fördelaktigt som möjligt för ett godtyckligt värde på y, så erhålles detta genom följande kalkyl: &ly + — = T2y + — eller (a - 2)y = -. C1 C2 0102 Efter division med (x, -⅜) och för , = 2 =er- hålles x~y = k. Genom en likartad operation erhålles xy2 = k och följaktligen 3 — a= y = 2 = k. b) På samma sätt finnes 3 - a = y = 22 = 2k. AFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. 207 2. Dela en summa sin delar, så att produkten blir den största möjliga. Enligt uppgiften är &, + ¾+¾ + ... + an—1+Un = 8, och det begäres att bestämma de n obekanta så, att &1-02.C3 ...0n-1."n eller &1.C2.K3..."n-1.(s-01-&2-a3-...-Cn-1) blir den största möjliga. Söka vi först att bestämma, huru X1 bör beräknas af de öfriga och med 31 och 21 beteckna två värden på 1 , som gifva produkten samma värde, så erhålles 31(8-31-22-as-...-an-1) = Z1(8-%1-%2-T3-.---0n-1) eller efter termernas öfverflyttning, division med (y1 - 2) och för Y1 = 2 = 1 2.1 + 22 + 03 +...+*n-1 = s eller , = an. Produkten får således sitt största värde för s 21 =42 =4=*= En—1 = an = —. æ2 y2 22 3. Sök maximum af produkten xyz, då —++ =1 % • a b Utan svårighet finnas eqvationerna 22-9-201 2 - 1 a2 62 al 62 - eller x2 32 2 29 2 1 a2 3 4. Man vill förfärdiga en bägare af volymen K i form af en parallell stympad kon. Huru stora böra dimensionerna tagas, på det att ytan a må blifva den minsta möjliga ? Den större uppåtvända basen är obetäckt. Om vi beteckna den mindre basradien med y, den större med zy och höjden med ay, så blifva eqvationerna 208 AFD. I. OM STORHETERS MAXIMA OCH MINIMA. c = 7 = æy3(z2 +z+ 1); %=32 +y2(e + 1). /æ> + (= - 1)3 = 2 1+ k(z + 1) ) 1yal ÿ 1 V (+=+1) +C -Des: Beteckna vi nu med z, och 22 två värden på 2, som för ett godtyckligt värde på y gifva samma värde på arean, så erhålles mellan dem följande relation: lc2. [2182(21+22)+27 + 22+22122 + 2(21+z2) + 2 }(212,+21+22) 3° (=; + 3, + 1)2(E 1 + 2, + 1)3 - (=+=1-2)(4+=), hvilken för 21 = 22 = 2 gifver följande vilkorseqvation: k-(= + 2) = 2(z-1)(2+z+1)3.y°(1). Den andra vilkorseqvationen erhålles först under formen: V (('+=+1)3) 46 1)7-9 = z+1. (+1)(z-1)2.05 .. (2). 2ιy (z3+z+1)37 . A Genom elimination mellan dessa båda, och sedan vär- dena 2 = 0, 2 = 1 och 2 = - l blifvit förkastade såsom orimliga, erhålles eqvationen: 221 - 22 = 3, hvaraf erhålles A/7+1 Z = ———• 2 Derefter finnas utan svårighet 3 ___________________________________ den mindre radien...................= 0,45713../K, 3 __________________________________ den större radien..................= 0,83329.. K, AFD. I. ON BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 209 hoj den.........................= 0,74356.. K, 3 _________ ytan = a = /36(7+2) . K° = 2,07023.x . Ytterligare exempel finnas bland annat i Årg. I. sidd. 106—113, derifrån äfven de flesta bland de föregående hemtats. Om beräkningen af värdena på lifräntor, lifför- säkringar och lifförsäkringspremier. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 122). 13. Lifförsäkring. Att finna närvarande värdet (= F,)) af en lifförsäkring, som skall utgå med 1 r:dr vid slutet af det halfår, under hvilket en nu m-årig person dör. Tydligt är, att en m-årig person, som vill försäkra sitt lif för närmast följande halfår, ifall han skulle dö un- der detta, nu bör betala 1 r:dr, multiplicerad med sanno- likheten att han dör under detta halfår och reducerad till närvarande tid, eller analogiskt uttryckt 1 Cm Cm+1 1 2am yl” Vill han försäkra sitt lif till 1 r:dr äfven för derpå följande halfår, ifall han skulle dö under detta, bör han derjemnte betala 1 .Cm Cmn+1 1 210 AFD. I. 0M BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. Vill han försäkra det äfven för det tredje halfåret till 1 r:dr, ifall han under detta skulle dö, bör han ytterligare betala 1 Cm+1 Cm+2 1 2am 2" o. s. v. Följaktligen, om han vill försäkra sitt lif för 1 r:dr, som skall utbetalas vid slutet af det halfår, under hvilket han dör, när helst detta må inträffa, bör han nu betala 7() Cm Cm+1 1 Cm - Cm+1. 1 "" 2amyi + 2am? ⅛ + l~‰ + 2 1 * —A.........................(19) eller på grund af (5) sid. 68 - Fm(1+94) (20) hvaraf, efter utveckling af yl efter stigande digniteter af 100 och försummande af andra och högre digniteter, er- hålles tillräckligt noga för praktiskt behof: FQ = F(1+-D)...................(21). " " 400/ Anm. Vi hafva här antagit dödligheten jemnt förde- lad under hvarje år, äfvensom att penningarne kunna gö- ras fruktbärande hvarje halfår. Ex. En person vid 26 års ålder vill försäkra sitt lif för 1000 r:dr, hvilka skola utfalla vid slutet af det halfår, under hvilket han dör, hvad skall han nu betala för att erhålla denna förmån a) efter 4%, b) efter 5% ränta? Jemför ex. 1 sid. 69. * Detta sätt att resonera finna vi naturligare än det på sidd. 67 och 68 begagnade för att finna Fm, hvarföre vi nu önska, att det äfven der måtte begagnats. AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 211 a) 1000 P = 377(1 + a o) = 377 + 3,77 = 381 ndr. 6) 1000 F4X - 315(1 +dö) = 315 + 3,94 = 319 » För en 56-åring hade man erhållit (se slutet af sid. 70): a) 1000 FS - 576(1 ⅛5∣ - 582 r:dr. b) 1000 F9 = 512(1 + 3m) = 518 » 14. Lifförsäkring. Att finna närvarande värdet (FW)) af en lifförsäkring, som skall utgå med 1 r:dr vid slutet af det qvartal, under hvilket en nu m-årig person dör. Enligt' ett resonemang analogt med det i föregående paragraf erhålla vi —() i Cm - Cm+1 l., 1 Cm-Cm+1 1 , - Cm - Cm+1 1 m =1*• 1 + 1 • — 1 • 1 + le- - • , 4cm 7* 4Cm ? 4cm r* - Cm Cm+1 1-----------Cm + 1 Cm+2 1 t 1 • -----------------+ 1 • ---T-------— + . . . 4dm ?’ 4am 2** eller, på grund af (5) sid. 68 Pu =Im°---------------4---------"m° 4(+-1) (22). Anm. Skall lifförsäkringen utgå vid slutet af det nte-dels år, under hvilket personen aflider, erhålles enligt samma förfaringssätt . Ex. En person vid 26 års ålder vill försäkra sitt lif för 1000 r:dr, hvilka skola utfalla vid slutet af det qvar- tal, under hvilket han aflider; huru mycket (= 1000 F.}) skall han nu betala a) efter 4 % ränta, b) efter 5 % ränta? Jemför ex. 1 sid. 69. * För n = ∞ erhålles närvarande värdet af en lifförsäkring, som skall med 1 r:dr utgå i sjelfva dödsögonblicket, att blifva 1(0) = F m m r — 1 logr ’ 212 AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. a ) 1000 F() = 377. 0,04 = 383 r:dr. / 26 0,0394 6 ) 1000 FQ = 315. 0,05 = 321 7 20 0,0491 For en 56-åring hade man erhållit a) 1000 19 = 576 - 0,04 = 585 r:dr. ' 0,0394 b) 1000 FQ) = 512. 0,05 = 522 » 0 18 0,0491 15. Lifränta och lifförsäkring kombinerade. En m-årig person önskar köpa en lifränta, som skall utgå med 1 r:dr vid slutet af hvarje år, så länge han lefver, och tillika med 1 r:dr vid slutet af det år, under hvilket han dör; huru mycket (= Sm) skall han betala derför? Man finner omedelbart Sm = In+TM = 1+lm...................(23). ?° . Skall utbetalningen ske med - r:dr vid slutet af hvarje halfår och dertill med , r:dr vid slutet af det halfår, un- der hvilket han dör, bör han betala _ 7 (4) L 1 71() m T 2m • Skall den utgöra 1 r:dr vid slutet af hvarje qvartal, så länge han lefver, och dessutom 1 r:dr vid slutet' af det qvartal, under hvilket han aflider (såsom händelsen är i Ränte- och Kapitalförsäkringsanstalten i Stockholm), bör han betala s@) = 1 ++FX........................(24). AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. 213 Ex. Att finna S469 S®, S® och Stβ,' SO, S.0 efter a) 4%, b) 5 %. Jfr ex. sidd. 69 och 70. a) ⅜e = 15,196 + 0,377 = 15,573 r:dr. b) Sag = 13,375 + 0,315 = 13,690 » a) So = 10,014 + 0,576 = 10,590 » b) Sse = 9,239 + 0,512 = 9,751 » . () .0.381 . , a) = 15,196 + 0,25 H—:— = 15,636 r:dr. .0,319 b) S20 = 13,375 + 0,25 + = 13,784 » a) SÇ - 10,552 r:dr och 6) S$ = 9,745 r:dr. a) s.o = 15,196 + 0,875 + 0,481 = 15,666 r:dr. i 0,319 δ) ⅛ = 13,375 + 0,375 + 4 = 13,830 » a) S = 10,533 r:dr och %) S4 = 9,742 r:dr. Anm. Den ringa skilnaden mellan S, och S förtjenar att beaktas. I det år 1850 i Stockholm utgifna reglementet för en ränte- och kapitalförsäkringsanstalt sid. 31 finner man följande enkla regel att beräkna S, och S,) : »Skall lifräntan utbetalas halfårsvis, så ökas inköps- priset med 4 r:dr, och skall den utbetalas qvartalsvis, så ökas det med 3 r:dr. Skall lifräntan äfven utbetalas för det halfår eller qvartal, under hvilket ifrågavarande person dör, så ökas inköpspriset dessutom — i förra fallet med 214 AFD. I. OM BERÄKNING AF LIFRÄNTOR ETC. kapitalvärdet af en lifförsäkring på lifstid å 2 r:dr, och i senare med kapitalvärdet af en sådan lifförsäkring å 1 r:dr, hvilket i medeltal utgör respektivt omkring 1 och 3 r:dr. Alltså ökas de i lifräntekolumnen uppgifna talen med 1, antingen lifräntan utbetalas halfårsvis eller qvartalsvis, och då i båda fallen lifräntan utbetalas äfven för den ter- min, under hvilken delegaren dör.» Det analytiska uttrycket på denna regel är S@ - S.P - Ta+$......................(25). Tillämpas denna regel på nyssanförda exempel, finner man: a) s#. = s. - 15,696 r:dr.* 6) s#. = s#. = 13,875 » «) s9. = S9 - 10,514 » * ö) s90 - s2 - 9,739 » Som vi se, skilja sig visserligen dessa tal från de of- van funna. Men de äro i alla fall af stort värde, derföre att man medelst dem hastigt kan få ett begrepp om stor- leken af S, och Sm. Regeln lär oss att se saken mera i stort. (Forts.) * I nyssn. reglemente sid. 18 Tab. 1. B för mankön är S9 = 16,96 ungefår. **................sid. 19.....................SQ)=10,11 „ AFD. II. OM EN FORMEL UE DIFFERENTIAL-KALKYLEN. 215 AFDELNING IL Om formeln F(a+h) — F(a) F'(a+ah) f(a+h)—f(a) - f(a+Ah) ' Af D—a. Om 1. F(~) kontinuerligt öfvergår från och med ett änd- ligt och determineradt värde F(a) till och med ett likaledes ändligt och determineradt värde F(a+h), under det att a kontinuerligt rör sig från och med a = a till och med a = a+h; 2. detsamma gäller om f(a); 3. vidare F°(x) och f"(x) äro kontinuerliga för alla värden på x från a = a till c =a+h; 4. slutligen f(a) antingen ständigt är positiv eller ständigt negativ för värden på a från a = a till a=a+h: så är F(a+h) - F(a) _ F(a+lh) F(a+1)-f(a) F(a+27)' deri 2 betyder ett positivt och egentligt bråk, hvilket så- som sådant är större, än noll, och mindre, än 1. 216 AFD. II. OM EN FORMEL UR DIFFERENTIAL-KALKYLEN. Innan vi öfvergå till beviset för detta teorem, förut- skicka vi följande anmärkningar: Vilkoret innebär, , a. att F(a + ah) är kontinuerlig, så länge 8 har ett värde, som är större, än 0, och mindre, än 1, b. att, om samma 8 konvergerar mot 0, F(a + 8 h) samtidigt konvergerar mot ett enda, ändligt och determineradt gränsvärde, c. att det uteslutande är detta gränsvärde, vi be- teckna med F(a), d. att F(x) kan för a = a hafva andra värden, kon- tinuerliga eller diskontinuerliga, hvilka i så fall icke böra förblandas med det, som erhållit beteck- ningen F(a), e. att, om nyssnämnda 8 konvergerar mot 1, F(a+eh) samtidigt konvergerar mot ett enda ändligt och determineradt gränsvärde, f. att endast detta gränsvärde betecknas med F(a+h), g. och att F(x) kan för a =a+h hafva andra, kon- tinuerliga eller diskontinuerliga värden, som i så fall hvarken böra förblandas med sistnämnda gräns- värde, eller såsom detta betecknas med F(a + h). 2. Detsamma gäller om f(a). 3. Vilkoret 3 innebär, a. att F"(a + ch) och f(a + a h) äro kontinuerliga, så länge 8 är större, än noll, och mindre, än 1, b. att såväl F(a + ah) som f(a + el) utan olägenhet kan erhålla något diskontinuerligt värde, om a öfvergår till och blir lika med noll eller 1. 4. Vilkoret 4 innebär, a. att f(a + ch) är oafbrutet större, eller oafbrutet mindre, än noll, så länge 8 är större, än noll, men mindre, än 1. AFD. II. OM EN FORMEL UR DIFFERENTIAL-KALKYLEN. 217 b. att de värden, som f(a + ah) antager, då 8 öfver- går till och blir lika med 0 och 1, kunna utan olägenhet vara noll. 5. Slutligen fästa vi uppmärksamheten på den stränga skilnad, vi i fråga om kontinuitetsgränserna göra, mellan uttrycken » från» och »från och med». Bevis. Låt alla ofvan angifna vilkor vara uppfyllda. Då är ( F(a + 7) - F(a) 1(a) - ma + 7) -/(a) 3 F(æ) + F(a)f(a + Λ) -f(a) F(a + 1) en funktion, hvars värden kontinuerligt gå från och med 0 till och med 0, under det att æ rör sig från och med a = a till och med a = a+h. Den måste således för nå- got mellanliggande värde a = a+lh kontinuerligt öfvergå från växande till aftagande, eller tvärtom. Men häraf följer, att derivatan |F(a+1)-F(a)]J (e)-V/(a + 1)-f(a)] F(e), som är kontinuerlig för värdet a =a+lh, för detta samma värde också är noll. Häraf likheten {F(+1)-F(a) f(a + 2h)- (f(a+1)-f(a)| F(a + 21) = 0. För att nu från denna kunna öfvergå till sluteqvatio- nen, måste vi bevisa, att qvantiteterna f(a+21) och f(a + A)-f(a) hafva hvardera ett från noll skildt värde. Att den första skiljer sig från noll, följer omedelbart af vilkoret 4. Att åter den senare är något annat än noll, bevisas sålunda: Vilkoret 4 är uppfylldt. Derföre är f(x) en oafbrutet vä- xande eller oafbrutet aftagande funktion, så länge x ligger mellan a och a+h, följaktligen måste för ett litet, posi- tivt bråk u, och hvarje ännu mindre, qvantiteten {/(a + % -(h)-f(a + ul)]a 14 218 AFD. II. OM EN FORMEL UR DIFFERENTIAL-KALKYLEN. vara och förblifva större, än en konstant positiv qvantitet △ 2. Men på grund af vilkoret 1 är f(a + h-uh) — f(a + uh) = f(a + h) -f(a) + 9 (u), då ç(u) betecknar en samtidigt med u mot noll konver- gerande qvantitet. Kunde nu J(a + 7) -/(a) vara noll, så skulle, i stöd af hvad nyss blifvit sagdt, {9(u)}2 också vara och förblifva större, än A°, hur myc- ket än u aftoge i storlek. Detta strider dock uppenbart mot betydelsen af 9(u). Det synes häraf, att Ka + 7) -/(a) nödvändigt måste, på grund af vilkoret 4, hafva ett från noll skildt värde. Sedan vi sålunda bevisat, att hvarken fa+1) - f(a) eller f@a + 21) kan vara noll, dividera vi utan tvekan vår första eqvation med produkten (f(a + 7) -/(a)} ./(a + 2/). Genom denna operation erhålla vi F(a + 1) - F(a) _ F(a+27) K(a+1) - f(a) - f(a+27) ‘ som sålunda är sann, om alla fyra ofvan angifna vilkor äro uppfyllda. AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 119 Anteckningar angående rätliniga figurer, inskrifna uti och omskrifna omkring en ellips. Af lektor LINDMAN. Sedan gammalt är det bekant, att en parallelogram, som till diagonaler har ett system af konjugat-diametrar i en ellips, är lika stor med den parallelogram, hvars dia- gonaler äro principal-axlarne *. Afvenledes är det kändt, att nämnda parallelogram är den största, som kan inskrif- vas. Emedan jag ingenstädes funnit något derom nänindt, har jag ansett det icke sakna allt intresse att undersöka, huruvida något dylikt gäller angående andra rätliniga figu- rer än parallelogrammen. Att så är finner man lätt på följande sätt, hvars enkelhet måhända gjort, att saken hit- tills, så vidt jag vet, af ingen blifvit omnämnd. 1. Hos Briot et Bouquet och annorstädes visas, att hvarje ellips kan betraktas såsom ortogonala projektionen af en cirkel, hvars radie är = halfva storaxeln och hvars plan med ellipsens plan bildar en sådan vinkel (= 8), att b Cos a = —, om a och b äro ellipsens halfva större och a r mindre axel. Kändt är äfvenledes att ytan af en plan fi- gurs projektion på ett annat plan är = figurens yta, mul- tiplicerad med Cosinus för lutningsvinkeln. Gör man så- ledes ytan af en i en cirkel inskrifven figur = Y och pro- jektionens yta = ^, så blir y = Y Cos ε . * Denna sats bevisades redan af Apollonius. 220 AFD. Π. OM RÄTLINIGA FIGURER. Ar nu figuren Y regulier, så ligger han alltid symme- triskt med hänseende till två mot hvarandra vinkelräta diametrar, af hvilka den ena går genom en vinkelspets i figuren. Har denna ett udda antal sidor, så är den nämnda diametern vinkelrät mot den mellersta af dessa, från för- berörda vinkelspets räknadt. Ar sidornas'antal jemnt, så går den ena diametern genom två vinkelspetsar och den andra äfven, så vida sidornas antal är jemnt divisibelt med 4, men annars är han vinkelrät mot den mellersta af dem, som ligga på samma sida om den förra. De nämnda diametrarna bli ett system af konjugat-diametrar uti ellip- sen, och då ytan af den i cirkeln inskrifna reguliera figu- ren är densamma, i hvilken punkt på. periferien än den första vinkelspetsen ligger, så blir ock projektionens yta densamma, huru än de uppkommande konjugat-diametrarna i Ellipsen äro belägna. Om således den vinkelspets, hvil- ken betraktas såsom den första, faller i ena ändpunkten af storaxeln eller af en annan diameter i ellipsen, så är den inskrifne figurens yta i alla fall lika stor, och då den i cirkeln inskrifne reguliera figuren är i sitt slag den stör- sta, så måste detta ock vara händelsen med den i ellipsen inskrifna figur, som är den förras projektion. Hvad som gäller om en i ellipsen inskrifven parallelogram, som har ett par konjugat-diametrar till diagonaler och hvilken är projektion af en i cirkeln inskrifven qvadrat, gäller såle- des om alla andra i ellipsen inskrifna figurer d. v. s. att hvarje sådan, som är projektion af en i cirkeln inskrifven regulier figur, är i sitt slag den största och till sin storlek oberoende af sitt läge i öfrigt inom ellipsen. Om nu Y betecknar ytan af en i cirkeln inskrifven regulier figur med n sidor och y dess projektion, så är — na2a. 27 na2. 27 nab. 27 Y = — Sin—, y = — Sin — Cos a = - Sin— (1). 2n2n 2 2 Således är den i ellipsen inskrifna figuren med n si- dor medelproportionalen mellan de reguliera figurer med AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 221 lika många sidor, som äro inskrifna i de cirklar, hvilkas radier äro a och 6 resp., likasom ellipsen sjelf är medel- proportional mellan nämnde cirklar. 2. Antag att cirkelns periferi skär ellipsen i punk- terna P och P; låt vidare A., A., Ag... An utmärka vinkelspetsarne i den reguliera n-hörning, som är inskrif- ven i cirkeln, och E,, E2, E3... En motsvarande vinkel- spetsar i den n-hörning, som i ellipsen uppkommer genom den förres projektion. Om man sammanbinder dessa punk- ter med cirkelns och ellipsens gemensamma medelpunkt O och med hvarandra på lämpligt sätt, så blir man i till- fälle att bestämma den i ellipsen inskrifne n-hörningens sidor. Antag derföre, att 0A, med OP bildar en vinkel 27 . = C (denne kan saklöst antagas < ■—) och beteckna vink- ? larna A.OE,, A,OE2, o. s. v. med 91, 92,... resp, samt vinklarna POE, , POE2, o. s. v. med %1, 2,... resp. Då finner man . . ., Cosα Sιn = Sin € Sin a , Cos = —----------------------, ' Cos 91 ’ Sin (P. = Sin 8 Sin a +-, ∖ n Cos V2 = * ( 270 Cos C + — ∖ n Cos 92 och i allmänhet ∕ 2(m-1)7 ∕ o/ ∖ Oos C+--------------------------------— Sin %m = Sin e Sin ( + 2 22—)), CosYm =--------"-. \ 2 / O0s 9m Härvid märkes att 9m alltid är numeriskt < a och så- ledes Cos 9m alltid positiv, till följd hvaraf Cos 1m alltid 1 / 2(m - 1)\ 1 har samma tecken som Cos C + — . Nu finner ∖ N) man lätteligen E, Ex = a2[Cos291+Cos92-2 Cos 1 Cos 92 Cos(Y2-Y.)], _____2 E. Eg = a2[Cos292 + Cos2 93 — 2 Cos 92 Cos P3 Cos(Y3-12)], 222 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. och i allmänhet _______2 Em E+1 = a'[Cos'gm+Cos'9m+1 - 2 Cos 9m Cos 9m +1Cos(Vm+1- ‰)], hvilka efter värdenas insättning och några reduktioner gifva E,E, = 2a Sin "1-Sin Pa Cos + ) , 1 nV \ nJ E,E, = 20 Sin1-Sin a Cos ? (a+37), nV ∖ nJ och i allmänhet E.EL+ - 2a Sin /1 -Sin°eCos (a+(2m-1)7)..(2). nV \ nJ Vid insättningen af värdena på Sin Um, Sin Ym+1 i Cos (m+1- Ym) kan det synas tvifvelaktigt, med hvilket tecken A/1 — Cos 2 %m och 0/1-Cos2 m+1 bora tagas. Tydligt är dock, att om både ψm och Ym+1 är > eller < 7, så skall samma tecken tagas för båda; men om Vm + 1 är >π, på samma gång som %m < t, så skall man taga mot- satta tecken, då således tecknet för termen Sin Wm Sin Ym+1 blir —. Besinnar man dock, att man i sådant fall har /Sin 2 _ gin + 2m7z), så blir klart, att ifrågavarande terras tecken alltid blir +*. 3. Vill man nu söka vinkeln Em-1 Em Emn+1 = 0m, så finner man med ledning af det föregående och efter li- ten reduktion * Vid bestämningen af Cos (Ym+1 — Ym) kan man, om så godt synes, använda sferisk trigonometri, hvarigenom i allt fall en kontroll på räkningen vinnes. AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 223 Em—ι Em. Em Em+1 Cos 0m = α2 Cos 2 9pm + Cos 9m-1 Cos 9m+1 Cos (Vm+1 - m-1) - Cos 9m-1 Cos 9m Cos (4m - Vm-1) — Cos 9m Cos 9m+1 Cos (4m+1 - 1m) : Som man nu i allmänhet har Cos 9p Cos 9q Cos (Yq—Yp) = Cos 2(9-p)z n - Sin R e Sin (a+2(p—1)") Sin \ nJ ' 2(q — 1)7t C + ---— , A) så befinnes efter insättning och några reduktioner Em — 1 Em . Em Em+1 Cos Com . * 2r( (2m-1)A ( (2m-3): = 4a2Sin2—- Cos — + Sin2 8 Cos a + — Cos (« + 2 n L n \ "A Inför man nu värdet på Em—1 Em-Em Em+1 och bort- dividerar den gemensamma faktorn 4c 2 Sin 2 2, så erhålles n 27 / (2m - 1)z\ ( (2m—3)7 — Cos —: + Sm 2a Cos C + --| Cos c + --1 n ∖n)∖nJ S 00m = ===================================================== = T1- Sin ReCos" (a+(2m-1)z) | Γ1- Sin Re Cos 3 « + (2m-3)7) VL NL ∖ n 4. Angående vissa omskrifna figurer gäller ungefär detsamma som angående förutnämnda inskrifna, nämnligen att de kunna anses såsom projektioner af reguliera figurer, som äro omskrifna kring den cirkel, hvars projektion ellip- sen är, men den kring ellipsen omskrifne blir i sitt slag den minsta oberoende af läget i öfrigt, emedan den kring cirkeln omskrifna reguliera figuren är i sitt slag den min- sta. Som nu den senares yta är = na tg 2, så blir ytan af dess projektion = n2a 2 tg — Cos a = nab tg — . . (4). J 1 0n On 224 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. Emedan den reguliera figur, som är omskrifven en cir- kel, hvars radie är = a, kan anses inskrifven i en cirkel med radien = ——, så kunna den kring ellipsen om- Cos - n skrifna figurens sidor erhållas genom att i värdena på den inskrifnes insätta —&— i stället för a. Vinklarne äro Cos - n naturligtvis resp, lika stora i båda. 5. Sedan vi nu med tillbörlig allmännelighet funnit den största n-hörning, som kan inskrifvas uti, och den minsta, som kan omskrifvas omkring en gifven ellips, torde det ej synas olämpligt att särskildt betrakta några vissa inskrifna figurer och detta utan biträde af projektioner. Låtom oss på detta sätt söka den största triangel, som kan inskrifvas i den ellips, hvars eqvation är a y3+6%a2 = a>ba ..............(5). Upplösningen af detta problem blir skäligen obeqväm, om man väljer principal-axlarne till koordinat-axlar. Tager man deremot dertill det system af konjugat-diametrar, af hvilka den ena går genom en vinkelspets, så blir upplös- ningen rätt beqväm. Betecknas hälften af nämnda diame- trar med a, b' resp., så är d‘y2 + 82a = d2b2 ellipsens eqvation samt 3 = t(a - d) eqvation för en rät linie, som går genom den förres posi- tiva ändpunkt och har t till vinkelkoefficient. Denna linie råkar ellipsen i ännu en punkt, hvars koordinater äro: a(d?t2 - 6’2) 2a'b't 41 - a22 + 62 3 31%2 + 02 * AFD. ∏. om RÄTLINIGA FIGURER. 225 En annan genom punkten (a', 0) gående linie, som har t till vinkelkoefficient, råkar ellipsen derjemte i punkten a(d-62) _ 2a'b't' " A22+62' 32d22+b3* Gör man axlarnes vinkel = β, så finner man, att de kordor (= s,, s2), som gå genom punkten (a', 0) samt hvar- dera af de nyss bestämda punkterna, äro: 2db%/ 1 + t2 + 2t Cos β 1 α⅞2 + 02 2d02/1+12 + 26 Cos ß 82 F d(2+b2 • Dessa linier bilda med hvarandra en sådan vinkel (= V), att , toy- (€-t) Sin ß 6 1+tt+( + t) Cos ß’ (t-t) Sin ß Sin V= -===---------------------------------------------------==. - √1 + ⅛2 + 2t Cos ß)(1 + t'2 + 2t' Cos ß) Om man nu med T betecknar den triangel, i hvilken S1, 82 äro sidor och V deras mellanliggande vinkel, så fin- ner man 2d2b *(t - t) Sin ß 4 - (√⅛2 + b2)(a(2+ b2)° Gör man nu t'-t . (a2t2 + 6'3)(a"t2 + b'2) ' så befinnes du 1 2a2t(t — t) dt - (a?t?+b3)(d t”+b3) - (a2t2 + b2)(a3 t3 + b3)' " du 1 2a 2t (t - t) di - (d?t3+b2)(d (2 + b3) - (a2t2+63)(d(>+b3): Sätter man dessa = 0 och adderar, så fås t-t= 0, att + V2 = 0, t'+1 = 0. 226 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. Af dessa kan den första ej användas, emedan ingen triangel då uppkommer; ej eller den andra, emedan t och t' då bli obestämda. Alltså är t+t = 0 eller t - — t'. Insättes detta, så erhålles , b' t~ t = CA3 b' dM3 , 3ab.3 .3ab./3 2 4 Sin- 4 hvilket är det största värde T kan hafva, såsom på van- ligt sätt utrönes. I detta fall är x. = 22, yi = — Y2, hvaraf följer, att den linie, som sammanbinder dessa båda punkter, har sin vinkelkoëfficient = co, hvilket äfven nu, då axlarne äro snedvinkliga, betyder, att hon är parallel med y-axeln. Det nu erhållna resultatet öfverensstämmer fullkomligt med det, som fås ur de allmänna formlerna i § 3. 6. Det enda hithörande fall, som jag sett behandladt, är följande: » att bestämma den största triangel, som kan in- skrifvas i en gifven ellips, under förutsättning att en af dess sidor går genom ena focus», hvilket problem upplöses i Tychsens Tidsskrift for Mathematik för år 1868 pag. 82 följ. För jemnförelses skull och för att få tillfälle till ett litet tillägg till den der gifna upplösningen bifogas den följande. Låt ellipsens eqvation vara eqv. (5) och y = t{x-k) eqvation för en rät linie, som skär storaxelns positiva hälft på afståndet k från origo. Hon skär då ellipsen i två punkter, hvilkas koordinater äro: C= a2 kt2 ± ab(a) — k2)t2 + 62 y = a2t2 + 62 -°kt-abt / (a? -k2)t2 + 62 .... (6), a2t2 + 62 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 227 och hvilkas afstånd (= B) således är - _ 2ab./1+t./(a) — k2)t2 + 63 a t2+b2 * De punkter, i hvilka ellipsen träffas af de med kor- dan B parallela tangenterna, ligga tydligen längst från henne och de största trianglar, som hafva B till bas, skola naturligtvis hafva de nämnda punkternas afstånd från B till höjd. Betecknas tangeringspunkternas koordinater med 21, y1, så finner man derföre a°t 62 2. = ÷ •■ ----, . =• , 1.= , A/a2t2+b2 N/a2t2 + 62 hvarest, om Arctgt < 2, hvilket intet hindrar att antaga, det öfre tecknet hör till tangeringspunkten, som faller hö- ger om kordan, det undre till den, som faller venster om henne. Höjderna i de båda trianglar, som hafva B till bas, blifva alltså _ Na2t2+ba + kt " /1+t2 ’ hvarest tecknens ordning är densamma som förut. Ytan (= T, , T2) af den största i hvartdera segmentet inskrifna triangeln är således _ ab-(a2 - k>)t2 + b2(/a=t2+b3-kt) 21 " alt + b3 ’ = ab-(a3-k3)t2 + b3(/a-t2 + 62 + kt) 3 a t + b2 ' Om man här i stället för k, b, t inför ae, a 1-e2, tg 9 resp., så blir 1—2 Cos 1 9 - e Sin 9 - 1 - e2 Cos 9 ’ T = a(1-e2) - 21 4 V1-e2 Cos 2 9 + e Sin 9 42 - 1-82 Cos 2 9 • 228 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. Betecknas bråken i dessa uttryck med u,, u2 resp., så finner man du, _ e Cos 9 (e Sin 9-/1-e2 Cos2 9)(/1-e2 Cos 2 9+2eSin 9) d-9 - (1 - e2 Cos 2 9)- ' dug _ e Cos 9(e Sin 9+/1-e3 Cos 2 9)(4/1-e2 Cos 3 9-2eSin 9 d9 (1 - e2 Cos 9)2’ du 7T Sätter man —1 = 0, så befinnes 9 = —, emedan d92' man blott kan hafva Cos 9 = 0. Det största värdet på T, är således 7,=a*(1-e )(1-) (9 = $). du. o Gör man — = 0, sa finner man Cos 9 = 0, 9 = Z och N/1—e Cos 2 9 - 2e Sin 9 = 0, som ger Sin 9 = , e V 3 hvarest man måste hafva e2 1, emedan man annars får Sin 9 > 1. Det förra ger T'2 = α2(l - e2)(1 + e), som är det största värdet på triangeln till venster om kor- dan, då 9 = 2, det senare ger 2’ 6 . 3a2 √3 --------, - som är den absolut största triangel, som kan inskrifvas i ellipsen så, att hans ena sida går genom ena focus. Då e är <1, så kan den absolut störstas sida icke gå genom focus och k måste alltid vara = apotemet, som är = —. AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 229 Det är just denna anmärkning, som saknas uti afhandlin- gen i Tychsens tidskrift. Då e > 1, finnas alltid två ma- ximi-trianglar; i den ena (den nu erhållna) har man 2 > 9 2 0; i den andra är 0 2 9 - . 2’ 2 7. Sedan vi nu funnit den absolut största triangel, som i ellipsen kan inskrifvas, må vi söka att få veta nå- got om de liksidiga trianglar, som i honom kunna inskrif- vas. Om en af hans sidor antages skära a-axeln under en vinkel = 9(tg9 = t) och i en punkt, hvars abscissa är = k, så fås de värden på skärningspunkternas koordinater som i § 6 eqv. (6) uppgifvas. Atskiljer man dem och gör A(a1Lk2)t2 + ba = R, så befinnes a'kt+abR a2t2+62 b2 kt — abtR a?t2 + 62 ’ 31 - 7 alkt+abR 02 a2t2 +62 ' b-kt + abtR a2t2+62 31 =7 Eqvationen for de linier, som ga dessa punkter och med den förra bildar genom hvardera af vinklar = 2, äro: 3 ’ t-3 . 3-31 = 7 Ji) 1-t 3 hvilka gifva a°kt2 + abt/3R a2 t2 + b2 b2kt+ab 3 R 3- at2+62 9 — 32 - -- 1+te 3 C = Emedan denna punkt skall ligga på ellipsen, så må- ste hans koordinater satisfiera dennas eqvation. Insättas de deri, så erhålles, efter bortdividering af a2b2, (ökt +aN3 R)3 + (akt + btA/3 Λ)2 = (a3t2 + 62)3 eller efter parentesernas bortskaffande 2ablt(1 +t)A3R = - [3α2-δ2 +(3b1-a2)t]R2 . 23.0 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. Emedan nu, då linien skall skära ellipsen, R ej kan vara = 0, så kan det saklöst bortdivideras, hvarefter man får eqvationen 2abkt(1+t)A/3 = - [3a3-b2+(363-a2)t]R... (8), som upplöst i afseende på k2 ger 27 _ (a-t-+b>)[3al - 62+(363-a2)t"]2 4 [3a2-b+(363-a3)t3]3 + 12a262(1+t2)2 hvarigenom man kan finna k för gifna värden på t. Ur samma eqvation bör man ock kunna få t för gifna värden på k; men som han är af tredje graden med afse- eude på t2, så blifva värdena i allmänhet högeligen kom- plicerade. Derföre må vi inskränka oss till att betrakta tre speciela fall nämnligen k = a; k = 0; k = ae. För k = a öfvergår eqvationen (8) efter införande af av/1-e2 i stället för b till 2t3A/3 + (2 - 3e2)t2 + 2t/3 + 2+e2 =0, 1 0 som tydligen satisfieras af t = — och har de båda an- * √3 dra värdena imaginära. Den sökta triangelns sidor, som gå genom storaxelns ändpunkt, bilda således med honom vinklar = Om k = 0, så ger eqvationen (8) hvaraf ses, att man måste hafva e2 2 3. Ar slutligen k = ae, så öfvergår eqv. (8) till 2et √3 N1+ta =-[2 + + (2 - 3⅛*2] (9) eller, om man gör t = tg 9, till 4e2 Sin9-2N/3Sin 9 = 2+e2, AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 231 soin upplöst ger Sin 9 = 43 ±V 11+4e2 4e Det öfre värdet kan ej användas, emedan det alltid är > 1. För att det undre skall kunna begagnas, fordras, att 3e22-(/3 - 1)2. Eqv. (9) medger visserligen endast ett värde på t, negativt, om högra membrum är negativt, positivt i motsatt fall. Besinnar man dock, att den förut- sättning i afseende på punkternas inbördes läge, som gif- vit den ursprungliga eqvationen, kan omändras så, att vinkelkoëfficienterna bli ombytta för de två linier, som med den genom punkten (k, 0) gående bilda vinklar = , så blir tydligt, att man i allmänhet får två trianglar, hvilket äfven följer af ellipsens symmetriska beskaffenhet. Man kan således, då ofvannämnda vilkor äro uppfylda, uti en gifven ellips inskrifva två liksidiga trianglar, i hvardera af hvilka en sida går genom focus. För att finna den största och minsta bland de liksi- diga trianglar, som kunna inskrifvas i ellipsen, kan man sätta en sida = S och får då 2 4a2 62(1 + t2) R2 8 = (% 72) +(1 32) (at + 62): » hvarest man har att i R insätta det förut funna uttrycket på k2t2. Gör man det, så befinnes. S2 = 48a464(1 + ⅛2)3 (a2t>+b2)|[3a2—b2+(362-a2)t2]2 + 12a2b2(1+t2)2} : Inför man nu tg 9 i stället för t och antager α2 Sin9+62 Cos 2 9 = 22, så fås S3 _ ___________4a?b2~/3_____________ 232 AFD. II. oM RÄTLINIGA FIGURER. På vanligt sätt finner man, att S har sitt maximum för z = + 43a? +62, 7 , b 9 = = , k = — 3' √3 och sitt minimum för z =44/aa + 362 , 5 II € + II d samt att 4a b./3 12a4b2 3 max. för S är - o 2 79, 3a2 + ytans max. = -, 7,, 3 (3a2 + 62)2 4ab2 4/3 . 12α264√3 min. för S är = ——.72 , α2 + 36 ytans min. = 72 971 7 • (a‘+ 36 ) d. v. s. att den största triangeln har en vinkelspets i änd- punkten af den mindre axeln och den minsta en vinkel- spets i ändpunkten af den större axeln. 8. För att utan anlitande af projektioner finna den största fyrsidiga figur, som kan inskrifvas i ellipsen (5), kan man gå tillväga på följande sätt. Antag att en vin- kelspets ligger i punkten (x,, y1), så finnes intet hinder att derjemte antaga x, och Y1 positiva. Eqvationen för en rät linie, som går genom denna punkt, är då 3-3 = t(a - a,) och om hon skär ellipsen, så är den andra skärningspunk- tens koordinater (a?t2—b)a, — 2a'ty, _ (α2i2- 63)y1 +26%t, Va - a2t2 + b2 ’ 32 - a>t2 + b2 : Om nu g, Y3 och ,, Y4 äro koordinaterna för två andra punkter på ellipsen, så äro Y1 — Y3∖ y,—YaX y-3 = (0-), 3—32 =(—02) 0103 02-04 eqvationer för diagonalerna i den fyrsidiga figur, hvars AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. 233 vinkelspetsar hafva 2,, Y1; C2, Y2; o. s. v. till koordina- ter. Betecknas dessa diagonaler med D, och D2, så är D, - N(,—#,)1 +(J1-ya)2 ; D, = N(a-0,)*+(ya-y0)*. Om man med V utmärker den vinkel, som de bilda med hvarandra, så befinnes 6 (a, - a,)(aa - a)+(31 -3a)(3a—34) och Sin V + (31 - 3a)(4A - m) - (Va - 34(4, - a) r (a1W3 + 31—3a Λ¾-¾ + 32-34 ) allteftersom täljaren sjelf är positiv eller negativ. Gör man figurens yta = F, så är F = 1 D, D, Sin v eller F = ± ⅛[(¾ -Ya)(aa-«.)-(3a-3a)(a, -⅜)], hvarest det tecken väljes, som gör qvantiteten positiv. Genom att differentiera fås dF TT dy, / 1 as, - 6 - ) da, (a 78) 1 dF z dy, da, - +Lu-ya-( aa,J' dF 1Γ 7 dy,] da," La 34 - 7 %) aa,l' dF dy, , 1 da, " 1 @-=as, (J4 Ba)]° o dy, dy. Om man här insätter värdena på -, —— 0. S. V. 5 das da2 nämnligen 1, —2 o. s. v. samt sedan gör de- - a'31 a'32 rivatorna = 0, så fås 15 234 AFD. II. OM RÄTLINIGA FIGURER. Y2 — Y, + -202 - ) = 0, 31 — Ys +—2 T — 3) ~ 0, 0 31 C32 32—Y4+-2(2-74) = 0, 31 — Y3 +-2 (01 — 3) = 0. C33 034 Subtraheras den tredje och fjerde ifrån den första och andra resp., så erhålles al Qg &2 & 31 3a 3a 3. som ådagalägga, att X3 och Y3 måste hafva samma tecken och detta —, emedan den punkten annars skulle samman- falla med punkten (x,, Y1), hvars koordinater antogos po- sitiva. Genom kombinering med ellipsens eqvation finner man 3 =33, 3å =y3, a; =;, a3 = 43 och derföre är %, = - 4, 31 = - 31 och af samma skäl som förut a, = — Ta, 3. = — Ja • Genom vederbörliga insättningar finner man ytterligare α½ bæ, C2 = * - 7, Y2 = = , ay, b, 2 =7, = =—1. Häraf ses att fyrsidingens diagonaler äro diametrar i ellipsen och att således denna fyrsiding är en parallelogram. Vidare finner man, att tangenterna för de vinklar (= «, C,), som dessa diametrar bilda med storaxeln, äro: x 62a, tg a =-1, tg c, == --2, 01 C2 CY1 hvaraf följer 62 tg a. tg e, = — =, AFD. II. LÖST SATS. 235 hvilken eqvation visar, att diametrarne, som utgöra paral- lelogrammens diagonaler, äro konjugat-diametrar. På vanligt sätt utrönes, att ifrågavarande parallelogram är maximum, och man finner alltså, att den största in- skrifna fyrsiding är en parallelogram, som har ett system af konjugat-diametrar hvilket som helst till diagonaler. Då således V är = c, —a, så är max. af F = 2ab. Med stor lätthet finner man slutligen, att den största liksidiga parallelogram, som kan inskrifvas, har sina vin- kelspetsar i principal-axlarnes ändpunkter och att hans yta är = 2ab samt att den minsta liksidiga parallelogram, som kan inskrifvas, är en qvadrat, hvars diagonaler med stor- axeln göra vinklar 7 4’ 37 - resp, och hvars yta är 4a262 a2+621 Sats 7, löst af docent C. E. Lundström. Att inskrifva i en gifven cirkel en triangel, /wars area är lika med en gifven qvadrat, så att dess perimeter blifver ett maximum eller ett minimum. Om x, y, z betyda sidornas längder i den sökta tri- angeln, k2 den gifna qvadratens ytinnehåll, ? cirkelns ra- die, så gälla enligt trigonometrien relationerna: 24* - AP(P-m)p-BXp-=) = 22; 2p = a+y+z. Häraf uppstår genom logaritmisk differentiation eqva- tionssystemet : 236 AFD. II. LÖST SATS. - dæ dy a y dz + — 5 Z 1 1 - 1 dz dæ dy 0 = dp — +--+----+ —-—:----------------, p-C p—3 p — Z) P—C p-y p - 2 2dp = dæ + dy+dz. Med tillhjelp af determinanter kunna vi genast upp- skrifva den eqvation, som återstår efter eliminationen af dy och dz. Den är dp = da 8el — 8 el— — ‘8 | & 1 — — 2 ,1,1 1 1 0 ,-, - I111 1 1 — + + + , . , p p—a p-y P—z’ P-3'atP—z Determinanten i täljaren bringas subtraktion och utbrytning af faktorer genom kolumnernas till (y-a)(z-y) 0 ,0 ,1 laub161 xy ' yz ‘2 1 1 _________________________1 (p-a)(p-y)' (p-3)(p-z)' p-2 - (3-a)(z-3) 4rk6 -P(P-2), -p(p-æ) =(y-a)(z-y)(z-a) ■ P 472a-1, ^4=^-^^^ Z C Determinanten i nämnaren, behandlad på samma sätt, öfvergår till AFD. II. LÖST SATS. 237 0 , _(z+3) 0 3-3 1 1 (z+3)(z-3) -1 1 3+3 32 -(s-3) z 32 1 -1 1 P(p-a) p(p-a) ’ (p-y)(p-z) p-2 _ (z+J)(2 — 3) z2+y-x2 ∙ yz 2F ‘ Eqvationen mellan dp och da kan således förenklas till denna dp = — da(y — a)(z - a)p2 (z + y) , (z2 + y2 — 2) . 2 % / Första vilkoret för ett maximum eller minimum "2 = 0 satisfieras dels af y = , dels af = = x, hvilket innebär att triangeln skall vara likbent. Uppsöka vi nu de värden på x, för hvilka detta inträffar, så hafva vi för deras bestämmande eqvationerna : y4 — 16rk‘y + 4k4 = 0 . 4rk2 y Hvad angår eqvationen för y, så kan den icke hafva mer än två reela positiva rötter, men den har alltid två sådana, så länge k2 icke öfverstiger den liksidiga triangels area, som kan inskrifvas i den gifna cirkeln. Dessa röt- 3 ______________________________________________________________ ter ligga tillika på livar sin sida om qvantiteten ~/4rk2, och den större bland dem är större än motsvarande värde på x, den andra mindre. För att afgöra, i hvilket af de anförda fallen ett ma- ximum, och i hvilket ett minimum inträffar, undersöka vi dp tecknet för — i grannskapet af de tvänne a-värdena da 238 AFD. II. LÖST SATS. och börja med det, som svarar mot den större roten. Men härvid behöfva vi endast undersöka tecknet för faktorn (z — x), emedan de öfriga bibehålla konstant tecken i grann- skapet af ifrågavarande värde. Nu låter det visa sig, att nämnde faktor är negativ, när a växer, och positiv, när a aftager. Ty ur formeln för dp härleda vi formeln för dp 5 da dz genom permutation af x och z, och finna vid substitutionen dp . dæ dz ,, . . - ττ.. p a=z 1 --------= — θtt negativt varde - 1. Harai fram- dp da ° dz sår, att dp är positiv på den sida, der æ växer, men ne- 6 da gativ på den andra, och således att p för ifrågavarande värde på æ är ett minimum. Samma undersökning, an- ställd i grannskapet af det andra dp till resultat, att tecknet för - är dæ åt hvilken x vaxer, men positivt x-värdet, måste lemna negativt på den sida, på den andra, emedan y — x har motsatt tecken mot i förra fallet, men de öfriga faktorerna icke. Således gifver detta värde ett maximum. Men härmed äro icke maximi- och minimipunkterna för p, betraktadt som funktion af a. uttömda. Vi hafva vi- dare att efterse, om dp.. 1 - byter om tecken ι nagon punkt, C ° utan att gå genom 0, samt om diskontinuitetspunkter. För detta p eger slutpunkter och ändamål låta vi x va- riera från 0 upp till 2r under förutsättning, att 2k2 icke öfverstiger den inskrifna qvadratens ytinnehåll. Vi finna då, att ingen triangel med arean k2 kan inskrifvas med en sida = x, förrän x uppnått det mindre värdet som satis- fierar eqvationen x%-16rk°c+4k4 = 0. AFD. II. LÖST SATS. 239 Mot detta värde på x svarar således en slutpunkt för p, såsom funktion af a. Det är tillika af det föregående tydligt, att det är en maximipunkt. Vidare anmärka vi, att det är möjligt att inskrifva tvenne särskilda trianglar med den uppgifna arean och en sida = x, men att deras perimetrar äro lika. Således motsvaras tillsvidare hvarje x-värde af ett värde på p. Låta vi nu a vidare växa, så komma vi till den redan påvisade minimipunkten. Der- efter, när a uppnått det större värdet, som satisfierar eqvationen a"-16rk a+4k4 = 0, så låta trenne trianglar med arean = k2 och en sida = inskrifva sig. Jemnte de tvenne redan anförda, uppträder nu den likbenta triangel, som svarar mot ett minimum för p, och hvars p på en ändlig qvantitet skiljer sig från de båda andra trianglarnas p. Denna punkt är således en slutpunkt på en annan branche af p och tillika en minimi- punkt. Derefter låta fyra trianglar under samma vilkor inskrifva sig, men två och två hafva samma perimeter, så att blott tvenne värden på p mot ett värde på a kan er- hållas. Under det x vidare växer, når p på den förra branchen det maximum, hvarom vi först talat, deremot tilltager det kontinuerligt på den senare. När slutligen a vuxit upp till 2r, hafva alla 4 trianglarna samma perime- ter. I denna punkt förena sig de tvenne brancherna, och dp har för dem båda ett oändligt värde. Inalles hafva vi da 0 således 2 maximi- och 2 minimipunkter, hvaraf tvenne äro slutpunkter. Ar åter 2k2 > den inskrifna qvadraten, så finna vi som förut en slut- och tillika maximipunkt, när a uppnått den mindre roten i anförda 4:de grads eqvation. Derefter låta tvenne trianglar med den uppgifna arean och en sida = x inskrifva sig, men gifva blott ett värde på p. Under det a vidare växer, komma vi till den minimipunkt, der 240 AFD. II. LÖST SATS. dP = o, derefter till den af samma vilkor erhållna maximi- da punkten och slutligen till den punkt, der a har den större rotens värde, samt finna honom vara en minimi- och till- lika slutpunkt. Âfven i detta fall finnas således 2 maximi- och 2 minimipunkter, hvaraf 2 äro slutpunkter, men p kan nu endast ega ett värde för hvarje värde på a. Att några andra maximi- och minimipunkter icke finnas, inses deraf, att p beständigt af- eller beständigt tilltager mellan två successiva punkter bland de fyra anförda. Den nu be- traktade funktionen representeras af en 5:te grads kurva, af hvilken blott en del kan vid detta problem lemna nå- gon solution. Genomföres samma undersökning för de båda andra variablerna y och 2, så kommer man naturligtvis till liknande resultat och finner, att en maximi- och mi- nimipunkt för p i afseende på a äfven är en maximi- och minimipunkt i afseende på y och z, ehuru, om det är en slutpunkt för x, det icke tillika är en slutpunkt för någon af de andra. Häraf ses, att problemet alltid eger två so- lutioner, så länge k2 är mindre än den liksidiga inskrifna triangeln, och att af dessa solutioner den ena ger ett ma- ximum, den andra ett minimum. AFD. IV. ANMÄLD SKRIFT. 241 AFDELNING IV. Anmäld Skrift. Björling, C. F. E.. Sur la réalité des racines d’équations algébriques. (Afhandling i Grunert's Archiv för 1868). I denna vackra afhandling bestämmer förf, antalet reela och imagi- nära rötter (samt de förras läge) i en algebraisk eqvation i förhållande till derivatans rötter. Hufvudteoremet, på hvilket denna bestämning grundar sig, är följande: Om alla rötterna i eqvationen f(x) = 0 äro reela och olika, äro rötterna af eqv. f(x) = 0 också reela och olika, så framt tillika alla minima af funktionen f(x) äro negativa och alla maxima positiva. För hvarje maximum eller minimum = 0 blifva två rötter af eqvationen f(x) = 0 lika stora. För hvarje positivt minimum eller negativt maximum blifva två rötter imaginära. Sanningen häraf inses omedelbart, om man tänker sig eqvationen y == f(x) representerad geometriskt och tillika observerar, att mot hvarje värde på x, som gör f'(x) lika med noll, svarar ett maximi- eller mini- mivärde hos funktionen. Till detta teorem komma ännu några andra, hvilka vi förbigå. På grund af dessa teorem diskuterar förf, en komplett tredje grads eqvation. Dess derivata blir nämnligen en andra grads eqvation, hvilkens rötter man således kan finna. Bland annat visar förf., att en tredje-grads eqvation med kommensurabla koefficienter ej kan hafva lika rötter, om rötterna till derivatans eqvation äro inkommensurabla. Tillika påpekar förf., att det ofta är fördelaktigare att använda hans metod än Sturms teorem för att finna rötternas läge vid eqvationer af högre grader. Man slipper nämnligen i förra fallet den tidsödande me- toden för störste gemensamme divisorn. Afhandlingen slutar med en fullständig tablå öfver läget af rötterna i en 5:te grads eqvation i förhållande till läget af derivatans rötter. Förf:ns metod anslår genom sin enkelhet och bör ha en plats i hvarje lärobok af eqvationsteorien. F. W. HULTMAN. 242 AFD. IV. LÖSTA SATSER. Satser, lösta vid den skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1869 af en elev vid Wenersborgs högre elementarläroverk. (Forts, fr. sid. 198), Algebraiska satser. 7. Om antalet personer, som födas i ett land under året, är 40, och antalet af dem, som dö,af hela befolk- ningen vid årets början, så frågas: efter huru många år är folkmängden fördubblad? Antager man folkmängden vara = 1, så är hon tydligen efter 1 års förlopp , 1 + ( - ) = 1+ . =4%. Vid andra årets slut blir folkmängden 121 af hvad den varit vid samma års början, sålunda 120) : O (121-3 Efter tre ars förlopp 120) , 6 (121\« efter x ars förlopp (120) • Nu skulle folkmängden efter x års förlopp vara fördubblad, alltså blir eqvationen (121_ 9 (120) * (log 121 —log 120) = log 2, x.0,0036042 = 0,3010300, *.36042 = 3010300, ∙.∙ log r+log 36042 = log 3010300, log x = 1,9218009, ∙∕ x = 83,522. Folkmängden blir sålunda fördubblad efter något mer än 83 år. 6. Summan af termerna i en aritmetisk serie är 36, första termen 15, differensen — 3; huru stort är termernas antal? AFD. IV. LÖSTA SATSER. 243 Kallas första termen i en aritmetisk serie a och differensen d, så är hon af formen a, a + d, a+2d,... Är termernas antal m, så är tydligen siste termen u == a+(m — 1)d. Uppsätter man serien i motsatt ordning: u, u — d, u — 2d, . . . och adderar dessa båda seriers summor, finner man 2s == a + u + a+u + a + u + ... (m) a+u •.’ s =m. 2— Insattes värdet på u, blir 2a + (m — 1)d s +--------2-------. Tillämpas denna formel på ifrågavarande exempel, blir uppställ- ningen : nn 30 — 3(z — 1) 36 = x. 2 2, 2—11-------24, = =**, *, = 8, =, = 3. Båda värdena besvara frågan 5. Att dela talet 98 i tvenne delar så, att summan af delarnes qvadratrötter blir ett maximum. De båda delarne äro: x, 98 — x; i följd hvaraf rf X + A/98 X == M, A/98 — x = M — A/x, 98 — = M2+*—2MN=, 98 — M2 x — MN:= 2 9 - M1196 — M2 y ± V 4 Det största värde M kan hafva för reelt värde på A/x är det, som gör 244 AFD, IV. LÖSTA SATSEK. M2 = 196, M = 14, = 7, : =49. Talet skall sålunda delas midt i tu, då det största värde, nämnl. 14, på (summan af) * delarnes qvadratrötter erhålles. 4. Huru stor är ylan af en regulier månghörning, hvars perimeter är 1000 fot och hvars alla sidor tangera en cirkel med 80 fots radie. Den reguliera månghörningens yta är naturligtvis lika med summan af alla de trianglar, af hvilka hvar och en har en af månghörningens sidor till bas och den inskrifna cirkelns radie till höjd. Kallas cirkelns radie = r, månghörningens sida s, och antages sidornas antal vara m, blir tydligen månghörningens area: A = *s+1s+2s+ . . . (m) =*[ + + + ...(m)] = \rP, om man med P menar perimetern. Tillämpadt på detta problem, sålunda A = 40.1000 = 40000 qv.fot. (Den cirkel, som tangerar en månghörnings alla sidor, måste nämnl. vara inskrifven i densamma) **. 2. Af tvenne arbetare, som hafva olika dagspenning, erhåller den ene vid arbetstidens slut 25 rdr, och den andre, som försummat 3 dagar, 16 rdr. Om den senare arbetat hela tiden, men den förre åter förstimmat 3 dagar, skulle båda vid arbetstidens slut hafva erhållit lika aflöning. Antag, att A arbetat x dagar. o 25 Hans dagspenning var då — rdr. B hade arbetat (x — 3) dagar. 16 - Hans dagspenning var — 3 rdr. * Lärarens tillägg. ** Här har läraren tillagt: ”Obs. Här skulle anmärkts, att omkring en cirkel med 80 fots radie kan ingen regulier fig. med 1000 fots peri- meter omskrifvas." AFD. ιv. lösta SATSER. 245 Om B arbetat hela tiden χ dagar, hade hans aflöning vid arbets- 16% tidens slut varit. x—3 Hade A endast arbetat (x — 3) dagar, skulle hans aflöning blifvit 25 (x — 3) x I följd häraf är: 16x 25 (x — 3) . x—3 x ‘ 9x2— 150x = — 225, D 2 ±1625-225 3 ' 9 ’ *, = 15, *,=$. o Det första värdet besvarar problemets fråga. A hade arbetat 15 dagar med en dagspenning af 15 rdr = 1,664 rdr. B hade arbetat 12 dagar med en dagspenning af 14 rdr == 1,384 rdr. Det andra värdet gör B:s arbetstid negativ. Insätter man ~χ i st. f. x* i den ursprungliga eqvationen får denna följande utseende: 16x 25(3 — 2) 3 —z x ‘ hvilken eqvation ger anledning till, följande problem: “Af tvänne arbetare, hvilka tillsammans arbetat 3 dagar med olika dagspenning, erhöll den ene vid arbetstidens slut 25 rdr, den andre 16 rdr; hade de bytt arbetstider, skulle de hafva erhållit lika mycket. Huru stor etc. « . Detta problem besvaras af värdena: A:s arbetstid = 5 dag. B.s arbetstid = 3 — | = $ dag. 1. A kan ensam fullborda ett arbete på 15 dagar, om han arbetar 10 timmar om dagen. B gör samma arbete på 18 dagar med 9 arbetstimmar om dagen. Huru lång tid skulle de hυarje dag behöfva arbeta för att tillsammans verk- ställa arbetet på 8 dagar? * Här har läraren anmärkt: ”Lärjungen skulle skrifvit —(x — 3) i st. f. (x — 3), eftersom detta är B:s arbetstid. Detta tyckes äfven, att döma efter omstående eqvation, ha varit meningen.” 246 AFD. IV. LÖSTA SATSER. Kallas arbetet, som skulle fullbordas, 1, så kunde A på en dag fullborda 1s och på en arbetstimme 130. B kunde på en arbetstimme fullborda 1________1 18.9 = 162 A och B tillsammans kunde sålunda på en arbetstimme fullborda 150 T 162∙ Kallas den sökta tiden x, så kunde A och B tillsammans på en dag fullborda (So + +3e). och på åtta dagar sålunda: 8r (716 + 13s). Detta skall vara lika med hela arbetet, sålunda 8x (lo + wo) = 1, 8r. %, = 1. *.* x = 9163 timmar. 3. .I hvad fall kan ett vanligt bråk exakt förvandlas till ett decimalbråk? Vi antaga bråket vara bragt under sin enklaste form d. v. s. att täljaren och nämnaren icke hafva något helt tal till gemensam faktor. Låt bråket vara a b För att detta skall kunna exakt förvandlas till decimalbråk fordras, att a, multipliceradt med en dignitet af 10, hvilken som helst, skall a (10)m kunna jemnt divideras med b, d. v. s. att —i—— skall vara ett helt J b tal. Emedan a och b icke hafva någon helt tals faktor gemensam, må- ste sålunda b:s alla faktorer innehållas i (10)m eller, hvilket är detsam- ma i 2". 5‘. Nämnaren måste sålunda vara en produkt af 2 och 5, hvarvid likväl den ene faktorn naturligtvis kan vara ≈ 2° = 5° = 1. Den fysiskt matematiska afdelningen af naturvetenskapliga föreningen i Upsala. Vi meddelade i denna årgångs första häfte några underrättelser om denna afdelnings verksamhet och införde i sammanhang dermed en nätt lösning af docenten Lundström å en i detta sällskap framstäld sats. Vi AFD. IV. DEN FYSISKT MATEMATISKA FÖRENINGEN I UPSALA. 247 äro nu i tillfälle att gifva tidskriftens läsare del af tvänne, ur förenin- gens protokoll hemtade, eleganta lösningar, hvilka blifvit lemnade a sammankomsterna den 5:te och 19:de November 1868. Den ena, hvil- ken är af den nyligen aflidne docenten Lundström, gifver oss ett begrepp om denne mannens förmåga att väl angripa de svåraste problem, att pa ett förvånande enkelt sätt lösa dem och att utsträcka denna sin lösning till en hel klass vida allmännare problem. Den andra lösningen är af studenten G. Mittag-Leffler, afdelningens dåvarande sekreterare. Sats 1. »Man har tre koncentriska cirklar. Att upp- rita en liksidig triangel, som har en spets på hvardera cir- kelns periferi. Docenten Lundström lemnade följande utmärkt eleganta lösning. Problemet är tydligen obestämdt, ty har man inpassat en liksidig tri- angel mellan de tre periferierna, så kan man i följd af cirklarnes sym- metriska läge inpassa oändligt många. Vi kunna derföre taga bort den ena af cirklarne och gifva problemet följande form: Man har tvänne koncentriska cirklar A och B samt en gifven punkt C. Att upprita en liksidig triangel, som har en spets i denna punkt och sina andra båda spetsar, en på hvardera af de båda cirklarnes pe- riferier. Låt oss antaga att en rät linie, som har sin ena ändpunkt i C, glider med den andra ändpunkten på den ena cirkelperiferien, låt vara A. Frågas: hvilken kroklinie B beskrifver spetsen af en liksidig trian- gel, som har till bas denna linie? Det är tydligt, att punkten C och den punkt, i hvilken den sökta kroklinien D skär cirkeln B, samt den motsvariga ändpunkten af den rörliga linien på cirkeln A äro de tre hörnpunkterna af en liksidig triangel, som satisfierar det uppgifna pro- blemet. Kroklinien D består af tvänne med A lika stora cirklar, hvars me- delpunkter äro belägna en på hvardera sidan om den räta linie, som förenar C med medelpunkten till cirkeln A. Detta är lätt att inse, ty hvar och en af cirklarne D genereras ef- ter alldeles samma lag som cirkeln A. Då den omtalade rörliga linien beskrifver cirkeln A, beskrifves nämnligen hvardera utaf cirklarne B af en rät linie, som är lika stor med den förstnämnde, och som alltid med densamma bildar en konstant vinkel af 60° åt samma sida och har samma fasta ändpunkt C. Emedan B består af tvänne cirklar, så skär densamma B uti fyra punkter, och man erhåller således i allmänhet på detta sätt fyra lösnin- gar på problemet. Vi hafva icke begagnat oss af det gjorda antagandet, att cirklarne A och B äro koncentriska, och detta var således onödigt. Om man i stället för uttrycket “en liksidig triangel* satt en triangel, likformig med en gifven, så hade lösningen blifvit nästan alldeles densamma. Enda skilnaden är, att cirklarne B då icke längre blifvit lika stora med cirkeln A. utan i stället hade förhållandet mellan radien till cirklarne D och radien till cirklarne A blifvit detsamma som förhållandet mellan de sidor i den rörliga triangeln, som hafva sin ändpunkt i C. Man inser också, att samma lösningsmetod kan användas på det allmänna problemnt: Man har en gifven punkt C samt tvänne kroklinier hurudana som helst, A och B. Att upprita en triangel likformig med en gifven, som 248 AFD. IV. DEN FYSISKT MATEMATISKA FÖRENINGEN I UPSALA, bar sin ena spets uti C och sina två andra, den ena på A och den an- dra på B. Kroklinien D blir af alldeles samma form, som kroklinien A, och dess dimensioner stå till dimensionerna af kroklinien A i samma förhål- lande .som den sida i den rörliga triangeln, som beskrifver D, står till den sidan, som bsskrifver A." ■ Sats 2. »Hvilka äro de punkter, från hvilka trenne klot synas under lika vinkel? Undertecknad (Leffler) lemnade följande lösning: Lat oss kalla de tre kloten 1, 2 och 3, och låt deras medelpunk- ter vara A, B och C samt deras radier R. , R2 och Ry. Det är tydligt, att om man erhåller orten för alla de punkter, från hvilka 1 och 2 synas lika, och orten för alla de punkter, från hvilka 2 och 3 synas lika, så skall skärningen mellan dessa båda orter utgöra orten för de punkter, från hvilka 1, 2 och 3 synas samtidigt lika stora. Om man tager ett plan genom A och B, så blir detta plans ge- nomskärning med de båda kloten tvänne cirklar, och från alla de punk- ter i planet från hvilka cirklarne synas lika stora, synas äfven kloten lika. Lat planet vara papperets plan och de två cirklarne vara acb och a'c'b'. Låt 0 vara en sådan punkt, att vinklarne a'Ob' och aOb, under hvilka cirklarne ses från punkten 0, äro lika stora. Om A förenas med O samt med den punkt b, i hvilken linien Ob tangerar cirkeln acb, och B förenas med 0 och med den punkt b‘, i hvilken linien Ob' tan- gerar cirkeln a,c'b', så erhåller man triangeln AOb likformig med trian- geln BOb‘, hvaraf följer, att 40 : BO = R : R2. Skäres nu linien AB i punkten d, belägen mellan A och B, så att Ad: Bd = R: R2 och i punkten d‘, belägen på förlängningen af Ab, så att - Ad’: Bd’ = R,: R2, så följer, att 40:B0 = Ad: Bd = Ad : Bd. Sammanbindes 0 med d och d‘, så är således — Eukl. VI: 3 — A AOd = A BOd och Λ B0dl = hälften af supplementet till A AOB. Vinkeln dθdl är således en rät vinkel, och de punkter, från hvilka acb och alclbl synas lika stora, äro alla belägna på en cirkel, hvars dia- meter är ddl. . Vrider man nu papperets plan kring AB som axel, så beskrifver cirkeln acb klotet 1 och cirkeln alclbl klotet 2 och cirkeln dOd beskrif- ver ett klot, som är orten för alla de punkter, från hvilka kloten 1 och 2 synas under lika vinkel. På samma sätt bevisas, att orten för de punkter, från hvilka 2 och 3 synas under lika vinkel är ett klot, som erhålles genom samma konstruktion. Skärningen mellan dessa båda klot är i allmänhet en cirkel, och orten för de punkter, från hvilka 3 gifna klot synas under lika vinkel, är således en cirkel, hvilken vi i det föregående ha lärt oss att erhålla.“ »M AFDELNING I. Elementär lösning $ af den af docent C. E. Lundström i tidskriftens andra af- delning framstälda och lösta satsen 7: Att inskrifva i en gifven cirkel en triangel, hvars area är lika med en gifven qvadrat, så att dess perimeter blifver ett maximum eller minimum. 3 Af LARS PHRAGMÉN. Om X, Y, Z, beteckna vinklarne i den sökta tri- angeln, k den gifna qvadratens sida, r cirkelns radie och ⅛ 2p triangelns omkrets, så erhålles (86, 10) och T)) p = 4r. Cos — . Cos k2 1800 = 2r2.Sin X. Sin Cos— 2 2 Y. Sin z $. På grund af de båda sista eqvationerna är Sin — = Cos — . Cos 2 2 Y Z = Cos — . Cos —— 2 2 Z Y. Z — - Sin — . Sin — 2 2 2 7:2 Y Z' 8r2. Sin X. Cos 2.Cos 2 * Siffrorna inom parenteser hänvisa till paragraferna i Phragméns trigonometri, senare delen. 16 1 y 250 AFD. I. ELEMENTÄR LÖSNING AF SATS 7. 0 Y Z. . Om det sa funna värdet pa Cos — . Cos — insättes i 2 2 värdet på p, så är / x p =T.Sin X + /r.Sin 2X + fc2. Cot —. • 2 Sökas nu de värden på X, sonι gifva p dess största och minsta värden, enligt den i tidskriftens senaste häfte framstälda metod, så erhålles, om — sättes = z, såsom r uttryck för sammanhanget mellan två värden på X, som gifva omkretsen samma värde, / : x. Sin X - Sin X2 + Sin 2 X, + 12. Cot2 - sin: X,+1.Oote. eller, efter qvadrering och division med 2(Sin X - Sin X2), sin X, + - "(cot ) - Cot 2 ) 2 - 2(Sin X, - Sin X) = -------------J--------------. . (47 och 46). 4 Sin 2 2 Cos 2 Sättes här X, = X, = Xo och qvadratrotmärket bort- skaffas, så finnes efter några enkla transformationer (41 och 42) Sin ® X, Cos Xo - 4, hvilken eqvation således angifver de värden på X, som gifva omkretsen dess största och minsta värden. Innan vi vidare sysselsätta oss med denna eqvation, vilja vi visa, huru man, om värdena på Xo äro kända, kan finna värdena på Yo och Zo. Enligt en formel i (56), föregående värden på p och nyss erhållna eqvation är AFD. I. ELEMENTÄR LÖSNING AF SATS 7. 251 Sin Yo + Sin Zo =- Sin Xo = Sin 2 X + ZP. Cot No V 2 = Sin Xo 1+4 Sin Xo . Cos X . Cot —0 V 00 2 = Sin Xo(1 + 2 Cos Xo). Dessutom är 72 Sin Yo. Sin Z0 = - = 2 Sin 2 X . Cos X . ° 0 2 Sin Xo 0 0 Således äro Sin Yo Sin Z, ) Sin X, ( Sin X - 1 + 2 Cos X ± (1 - 2Cos X)} = 210 2 0 (Sin 2 Xo De trianglar, som hafva största eller minsta omkret- sarne, äro således alla likbenta, och Xo betecknar en af deras lika stora vinklar. För att nu kunna afgöra, om eqvationen 72 * Sin X. Cos X = — har några reela rötter och i så fall huru många, söka vi de värden på Xo, som gifva-l2 sitt största värde och finna — 2 T72 3 /33,3 6 Xo = 600, hvaraf 72 = —-— . Om 72 ar < -—°—, böra sa- 4 4’ ledes två reela och positiva värden på Xo finnas, ett på hvardera sidan om 60°, hvilka satisfiera eqvationen. Det ena af dessa gifver ett största, det andra ett minsta värde på omkretsen, emedan, om båda voro af samma slag, ett * Insattes i denna eqvation Sin 2X = 2, så erhålles y* — 16rk'y + 16/4 = 0, hvilken är identisk med den i senaste häftet gifna, sedan ett der före- kommande tryckfel blifvit rättadt. 252 AFD. I. ELEMENTÄR LÖSNING AF SATS 7. af motsatt slag måste finnas mellan dem. Då vi vidare funnit p = r.Sin X + /r.Sin 2 X + k2.Cot—, L V 2’ . hvilket uttryck, om k2 är = —.r2, har pa en gang sitt 4 maximum och sitt minimum för X = 60°, och då för min- dre värden på k2 den senare termen under qvadratrotmär- ket för ett jemnförelsevis mindre stort inflytande på ut- tryckets värde, måste för värden på k2, som äro € 3./3 e hvarje värde på X i närheten af 60° gifva ett större eller mindre värde på omkretsen än det, som motsvarar X = 60°, allt efter som X sjelf är större eller mindre än 60°. Af o 0 3,3 de bada reela värden pa X, hvilka, när 02 är < -—-—, -‘ 4’ kunna erhållas ur eqvationen Z2 Sin 3 X . Cos X = 0 0 4 ‘ ger således den större ett största värde och den mindre ett minsta. /3 z Ex. Om Tc2 är = 2°2.-, finnes (genom försök) vär- - 47 dena på Xo vara, det ena 30° (exakt), det andra 83° 40‘ 10' (ung.). Motsvarande värden pa p äro, det förra r. ——— eller r. 1,866.., det senare r. 2,207. AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. 253 AFDELNING II. Om integrering medelst substitution. Af D—G. Till en differentialeqvation fi(, y)da + f-(, 3)dy = 0, i hvilken variablerne icke äro separabla, kan, såsom be- kant är, integralen mångengång erhållas derigenom, att man ponerar 3 = F(a, =) och väljer funktionen F så, att då denna i stället för y införes i den gifna eqvationen, man härigenom bekommer en ny differentialeqvation, i hvilken variablerne a och z äro separerade och genom hvars integration z blir bestämdt. Som det icke är möjligt att genom reglor afgöra, hur funktionsformen F bör väljas, för att leda till en differen- tialeqvation, i hvilken x och 2 äro separerade, torde föl- jande förfaringssätt, hvarigenom valet icke sällan underlät- tas, förtjena någon uppmärksamhet. I. Man lemnar till en början y obestämdt, men ut- byter dy i den gifna differentialeqvationen mot det af funk- tionsformens beskaffenhet helt och hållet oberoende ut- trycket dy dæ+dde. Cæ dz 254 AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. Derigenom förvandlas eqvationen till y) + f(æ, y) — dæ + f,(x, y)dz = 0. da) 1 0 dz Sedan söker man bestämma de partiella derivatorna så, att dessa jemnte den funktion y, som af dem härledes, bringa denna differentialeqvation till formen F,(a) F,(z)da + F,(a) FA(z)dz = 0 . Bestämningen af derivatorna kan lika litet, som valet af y, verkställas efter reglor. Den är emellertid ofta lätt och sker i många fall helt enkelt derigenom, att man po- nerar summan af 2 eller flera termer inom koefficienten för dæ lika med noll. Observation: I hela vårt föregående resonnemang kunna vi naturligtvis utbyta a mot y, och tvärtom. Exempel. 1. y+F(a)y + 8(a) = 0. Den reducerade eqvationen blir +dy da = 0. dz 8(a) + F(a)y + duld» Sätt häri F(a)y +dy = 4da ’ så erhålles y = 9(z)e“/Eda och deraf B(a)da + e-/Fazç(a)dz = 0. I de båda sista eqvationerna kan man bibehålla 9p obestämdt eller godtyckligt bestämma det, hvilket man be- hagar. Låter man det förblifva obestämdt, så blir inte- gralen till 1 y = g(z)e—J"()az, , . -0/ ∖ fF(æ)da 9(z) = c -U a)e • AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. 255 2. g(1)da + r(y)ey - o. Häraf S8(z) + F(u)dy(da +F(y)dyde - 0. ( \g) \&/da) ∖x J dz Ponera nu dye 3 da 2’ så blifver y = «ç(z). För. 9p(=) = z följa häraf eqvationerne 3 = az, (8() + F(z)z]da + F(z)adz = 0, som åt integralen till 2 gifva formen 3 =az _ / F(=) 4 J 8() + F(e)=45: 3. Bernoullis eqvation lyF(a)—y+1f(a)}da + dy = 0. Denna ger \yF()—y"tA/()+4K|dn+4%d== 0. Sätt - dy Π +da= 0, så blifver y = gp(z)ecId= eller, om 9(2) determineras, y = ze—JFäx. 256 AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. Häraf differentialeqvationen —2"+1 e-n/F()azf(a)da + dz = 0, och sålunda integralen till 3: V β JF(x)dx, 1 - - c — n Jf(z)e-"/"()da da • 4. (x -y)dx + 2xydy = 0. Denna eqvation kan skrifvas sålunda: ( 2 dy) -dy - ( • oda) odz Ponera 2 9 dy y - 243 a = 0, hvaraf 3/2 - 2g(z). Genom detta värde på y2 förvandlas den gifna diffe- rentialeqvationen till da + a 9(2)dz = 0. Integralen till 4 blifver följaktligen 32 = a'go(z), 9(2) = C — lx. 5. (2xy + y2) da + (xy — 1)dy = 0. Poneras i 2æy +y2 + (xy — 1) — ( dæ + (xy ~ 1) — dz = 0 da) 0 dz . dy »+ 23 da = 0≈ hvaraf y (z) y = -------- AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. 257 så förvandlas denna eqvation till (5 ( q'(2)), n + — dx + {(z) + - dz = 0, k &) ( 9 (z) ) ' som ger «2 + la + 9(z)—lç(z) = c. Solutionen till 5 blifver sålunda a2+xy—ly = c. 6. (es + el + ee)da + xeldy = 0. Om man i . ew+ev + zee + aey dy da + wey 3 da = 0 ( da) dz ponerar er + evdy = 0, dx ' så följer af detta antagande, att e + eV = 9 (z) och 9(z)da + a ç’(z) dz = 0. Dessa båda eqvationer i förening gifva följande inte- gral till 6: C ex+el = —. 2 II. Om man misslyckats i sitt försök att bestämma de partiella derivatorna och funnit en differentialeqvation, i hvilken x och z icke äro separerade, så inträffar stundom, att denna eqvation, om den behandlas enligt samma metod, som eqvationen i a och y, gifver upphof åt en ny differentialeqvation, i hvil- ken de ingående variablerna verkligen finnas separerade. Sker icke detta, kommer man någon gång genom iterering 258 AFD. Π. OM INTEGRERING SIEDELST SUBSTITUTION. af den framställda substitutionsmetoden till den sökta in- tegralen. Exempel. 1. Lacroix’ eqvation dy „ df(x) da 0 da 0 eller kortare dy.y= = p+p.. da 8 I detta fall får man först SH-Pp: + dyl de + dyda - 0. ( da) dz Antagandet dy pao da . leder till de båda eqvationerna y = P+9(),...................(1) (229(z) + 9 (z) }da + 9(z)dz = 0. Betraktas i den sista af dem 2 såsom funktion af x och en ny variabel u, så kan denna eqvation skrifvas så- lunda: 2P9 + φ2 + oda(da + %/du - 0. Ponerar man häri ,dz 2 + (P'— = 0. da så erhålles eqvationssystemet 9(9) - v(e-s/nae.............(2), 4(w) e-2JPazda + 1p(u)dw = 0. AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. 259 I den sista eqvationen äro variablerna separerade. Den kan derföre ined lätthet integreras och gifver — =c + fe—2/Pddæ............... %(u) Elimineras nu 9(z) och Yp(u) mellan eqvationerna (1), (2) och (3), erhålles slutintegralen —2/Pdx fe-2/Pddx — = 0. 3-P 2. Låt eqvationen vara da — aydy = 0. Såsom i föregående exempel förvandlas denna till , a3 dy), dy, λ by-----CU — ax — C% -Cz = 0. • X odx) j dz Antag häri b-ady = dæ 0. Denna eqvations integral är bx — ay = 9(z), som för specialvärdet 9 = z ger eqvationssystemet bx — ay = 2, — dæ + (-------a dz = 0. a ∖α C ) Sätt i den sista eqvationen - da, da, dx = — C++ — Cu, dz du så blir denna 260 AFD. II. OM INTEGRERING MEDELST SUBSTITUTION. Ponera nu a3 dæ z - ----------------------+ — = 0, X d2 a så erhålles 2a'la + 22 = Y(u) eller, om man specialiserar %, _z a = ue 201. Deraf eqvationen «du - be 2a* dz = 0, u2 som integrerad ger % 22 - 2a4 - e Cz Den gifna eqvationens integral är följaktligen elimina- tionsresultatet af . ba-ay = z, a = ue 20 och 1 b -4 — =-e dz. % av AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 261 AFDELNING III. Är det möjligt att förutsäga väderleken? Af R. RUBENSON. I) Ovetenskapliga försök. I alla tider har det sannolikt funnits personer, som trott eller föregifvit sig ega förmågan att förutsäga den blifvande väderlekens beskaffenhet, och beklagligen är detta slägte af väderspåmän ännu ej utdödt, lika så litet som tron på deras förmenta kunskap ännu hunnit af den sti- gande bildningen tillintetgöras. Det betyder föga, att de förutsägelser, som i mångfaldiga tryckta skrifter och tid- ningar återgifvas, stå i uppenbar strid med kända och af vetenskapen allmänt erkända naturlagar, att de innebära motsägelser mot sig] sjelfva och således kunna på förhand bevisas vara omöjliga, ty deröfver reflekterar icke den flyk- tigt läsande allmänheten, som framför allt tyckes fästa sig vid de försäkringar om spådomarnas tillförlitlighet, hvilka i inledningen till dem aldrig saknas. Det betyder slutligen ingenting om dessa förutsägelser i många och de flesta fall ej slå in, ty mången är så öfverseende med de små bri- sterna, att han blott minnes de få gynnsamma fallen eller hurusom utsagorna en eller annan gång blifvit af erfaren- heten bekräftade (hvilket händelsevis kan inträffa), men öfverlemnar åt glömskan de vida flera ogynnsamma. Le Verrier anför såsom exempel på allmänhetens lättrogenhet 262 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. i detta hänseende, att en viss väderleksprofet förmådde bibehålla sig i dess gunst och åtnjöt ett otroligt anseende, ända till dess han en gång råkade förutsäga regnväder under flera veckor förmodligen i förhoppning, att det under denna långa tid skulle regna någonstädes i Europa, men beklagligtvis såg sig gäckad derutinnan, då luften un- dantagsvis bibehöll sig ren och klar öfver hela vår verlds- del och från ingen af dess hufvudstäder underrättelse in- gick om dåligt väder. Det faller icke mången in, minst spåmännen sjelfva, att underkasta dessa profetior en nog- grann kontroll för utrönande af deras praktiska duglighet, och detta torde äfven vara förknippadt med ej så obetyd- liga svårigheter, då deras upphofsmän, kanske dertill drifna af en dunkel aning om osäkerheten af sitt vetande, vanli- gen begagna ett språk likartadt med det bekanta oraklets i Delphi. En sådan undersökning skulle annars helt visst leda till det resultat, att dessa spåmän böra sättas i sam- ma kategori som astrologer, chiromanter och förkunnare af andra nu mera lyckligtvis försvunna förvillelser. Besinnar man, hvilket stort inflytande väderleken har på. ett lands ekonomiska förhållanden, så inser man lätt den skada, som kan uppkomma för den enskilda, om han.sätter tro till ifrågavarande personers förmenta vetande. Och vi tro det vara så mycket mera nödvändigt att varna för de uppgif- ter om stundande väderlek, hvilka tidt och ofta publiceras, som icke få af dessa väderleksprofeter söka inbilla läsaren (möjligen tro de det ock sjelfva) att deras prognostica stödja sig på vetenskapliga grunder. De utgå vanligen från nå- gon alldeles obestyrkt åsigt om månens inverkan och an- föra, att denna inverkan och följaktligen äfven deras vä- derleksregler äro bevisade genom långvariga observationer. Så uppgifves t. ex., att den s. k. 100-åriga kalendern, af hvilken i parentes sagdt många och alldeles mot hvaran- dra stridande upplagor finnas, skulle vara uppgjord på grund af 100-åriga meteorologiska observationer, hvilket kan bevisas vara omöjligt, då denna kalender antagligen AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 263 redan fanns till innan de meteorologiska instrumenten bör- jade komma i bruk. En fransk väderleksspåman påstod, att nederbördens mängd berodde på, hvilken timme ny- måne inträffade och sade sig hafva kontrollerat detta ge- nom att genomgå de meteorologiska observationer, som under en längre följd af år varit anställda i Geneve. Le Verrier, som fått i uppdrag att granska ofvannämnda vä- derleksregler, ådagalade emellertid, att om de siffror, mannen användt i sin kalkyl, behandlas efter vetenskapliga grunder, så visar sig den uppställda lagen fullkomligt origtig och man kommer tvärtom till det resultat, att timmen för ny- månens inträde alls icke utöfvar något märkbart inflytande på den kommande nederbördsmängden. Dessa exempel skulle kunna mångfaldigas, men vår mening har blott va- rit att gifva en föreställning om arten af den vetenskaplig- het, som ligger till grund för dylika uppgifter om väder- leken. I en tid, då den meteorologiska vetenskapen tagit problemet om väderleksförutsägelse om hand, torde det ej vara onyttigt för den, som ej haft tillfälle att tillräckligen sätta sig in i de meteorologiska frågorna, att ega ett kän- netecken, hvarpå han kan igenkänna de alster, som leda sitt ursprung från den klass af personer, vi ofvan sökt karakterisera. Sådana prognostica igenkännas lätt på den tidslängd, för hvilken de antagas gälla. Att kunna för- utsäga väderleken för morgondagen eller några följande dagar skulle ej skänka väderleksprofeterna det anseende de eftersträfva. De omtala derföre redan i Januari månad den väderlek, vi hafva att vänta i slutet af året, eller upp- gifva de en regel, hvarigenom man är i stånd att bestäm- ma den väderlek, som kommer att inträffa en tio eller hundra år härefter. Men just genom den långa tid, för hvilken de vilja angifva väderleken, hafva de ställt sig ut- om allt samband med vetenskapen, ty alla nutidens me- teorologer antaga på giltiga grunder såsom en omöjlighet på vetenskapens närvarande ståndpunkt att uppgöra väderleks- prognostica för längre tid än några dagar. 264 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. II) I hvilken mån äro observationer på en ort tillräckliga för förutsägelse af väderleken. Det finnes ock en annan metod, som i enskilda fall användts och ännu dagligen användes för att bestämma vä- derleken om ock endast för den närmaste framtiden d. v. s. efter några timmar, följande dag eller dagar. Denna me- tod består i aktgifvande på det närvarande väderlekstill- ståndet i förening med en genom lång erfarenhet vunnen kunskap om de meteorologiska fenomenens vanliga gång på observationsorten. Det är genom en sådan erfarenhet och en skarp uppmärksamhet på hvad som tilldrager sig i luft- kretsen, som sjömannen på förhand anar den inbrytande stormens ankomst; ett obetydligt moln, som knappt ådra- ger sig andra personers uppmärksamhet, är ett tillräckligt tecken för den erfarna navigatören att vidtaga anordningar för att försäkra sig mot den kommande orkanens faror. Det är ett sådant aktgifvande på naturen, som kan vara landtbrukaren till mycken nytta i hans af väderleken i så hög grad beroende verksamhet. Annu mera betydande blir denna art af iakttagelse, om den paras med observation på af vetenskapen godkända och i godt stånd varande in- strument, förutsatt att observatören är i besittning af tillräcklig kunskap i den meteorologiska vetenskapen, för att af de gjorda observationerna draga tillförlitliga resultat. Men oaktadt många lärda och med djupa insigter i meteorologien utrustade män funnits allt ifrån medlet af förra århundradet, hvilka under en lång följd af år iakt- tagit ändringarna i de meteorologiska instrumentens angif- velser, har det dock ej lyckats att på denna väg lösa den svåra uppgiften, att om också endast i dess hufvuddrag bestämma den stundande väderlekens beskaffenhet. Hvarföre ett så rikhaltigt material, som det af dessa meteorologer insamlade, likväl ej tycktes vara tillräckligt för problemets ens approximativa lösning, skall, hoppas vi, ur det föl- AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 265 jande tydligen framgå. Man finner för öfrigt hos förra ti- ders meteorologer, ända till de sista decennierna, en viss obenägenhet att upptaga denna fråga till behandling, en obenägenhet, hvilken var så mycket naturligare, som de ansågo problemet för olösbart, såsom det ock i sjelfva ver- ket var vid den ifrågavarande tiden. Det var nämnligen icke bristande kunskap om de atmosferiska förhållandena, som vållade detta långvariga uppskof med studiet af en fråga af största vigt för menskliga samhället. Ty om ock meteorologien just genom de sista decenniernas mångdub- blade ansträngningar i denna rigtning, gjort förundrans- värda framsteg, så kände dock de äldre meteorologerna Brandes, Kämtz, Dove m. fl. tillräckligt af de atmosferi- ska vexlingarnas beskaffenhet för att derpå kunna tillämpa den moderna meteorologiens metoder. Det var ett annat hjelpmedel, som saknades och som nutiden eger, nämnli- gen de lättade kommunikationer, som det öfver hela den civiliserade verlden spända telegrafnätet erbjuder. Då vi ofvan nämnt, att i många praktiska yrken, så- som landtbrukarens, sjömannens m. fl:s, ett skarpt aktgif- vande på atmosferens fenomener i förening med erfarenhet om beskaffenheten af de vexlingar, väderleken vanligen un- dergår, icke sällan är tillräckligt att låta ana förestående förändringar, torde det förefalla besynnerligt, att vi be- trakta denna metod såsom omöjlig eller otillräcklig. Men om man besinnar, att hvad som af den enskilda observa- tören iakttages och som skall väcka hans uppmärksamhet på det stundande fenomenet, i sjelfva verket utgör en in- tegrerande del af detta fenomen, så att han t. ex. varnas för en annalkande storm af de stormen åtföljande och af densamma uppväckta företeelser, såsom hög sjö, viss moln- bildning eller dylikt, så inses utan svårighet, att man vis- serligen i många fall kan förutsäga dylika fenomens an- komst, men vanligen för sent för att af denna kunskap draga någon direkt fördel. Härtill kommer äfven den om- ständigheten, att vid våra latituder väderleken är särdeles 17 266 APD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. oregelbunden, hvarigenom en säker slutledning från det närvarande tillståndet till beskaffenheten af den närmaste framtiden betydligen försvåras och i många fall omöjliggö- res. Annorlunda är dock förhållandet i de tropiska trak- terna och särdeles på hafvet eller på isolerade öar. Alla de meteorologiska instrumenten hafva der en fullkomligt regulier gång under dygnet, vindens rigtning är öfver stora sträckor nästan oföränderlig under året (passadvindar) eller varierar den på ett kändt sätt emellan tvänne hufvudrigt- ningar (monsuner). Antages på en sådan ort det normala tillståndet vara genom några års fortsatta observationer tillräckligen kändt, så bör en äfven ganska obetydlig af- vikelse från detta normala tillstånd vara tillräcklig för att angifva annalkandet eller grannskapet af ett oväder, och de lagar vetenskapen uppställt såsom gällande för sådana i dessa trakter ovanligare, men desto mera förhärjande företeelser, räcka ofta till för kännedomen af fenomenets gång och utbredning. Ett sådant studium af stormarna på ön Mauritius har nyligen blifvit utfördt af en skicklig meteorolog derstädes vid namn Meldrum, hvilken af sina instruments gång med så stor tillförlitlighet uppgjort kar- tor öfver de stormar, som på hafvet utomkring passerat, att han väckt de sjöfarandes förvåning, då han efter er- hållen kännedom om deras kurs angifvit, på hvilken lon- gitud och latitud de råkat ut för storm, i hvilken rigtning vinden vid ifrågavarande tillfälle blåste, hvilken förändring sedermera denna rigtning undergick o. s. v. Sedan han börjat att i ortens tidningar meddela ankomsten af stor- mar till ön, lär ingen sådan förutsägelse slagit fel. Mau- ritius är för öfrigt bekant för de olyckor, hvaraf den vid flera tillfällen drabbats genom orkaner; dessa Meldrums studier blifva derföre säkerligen af oberäknelig vigt för öns välstånd. Den omständighet, vi här påpekat, har icke endast betydelse för det ifrågavarande stället, utan den visar, hvad i dessa tropiska trakter kan åstadkommas genom ob- servationer på ett enstaka ställe långt skiljdt från andra AFD. ιπ. oM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 267 observationsorter, således äfven på ett fartyg, om dess be- fälhafvare är utrustad med den dertill nödvändiga kunska- pen. Annu mera fruktbringande måste denna metod blifva för sjöfarande, när det engelska kartverket öfver hafvets meteorologi blir fullständigt utgifvet. III) Det internationella systemet. Den tanken, att väderleken på en trakt vid ett gifvet tillfälle ej kan rigtigt uppfattas utan jemförelse med det på större sträckor af jordklotet vid samma tillfälle rådande väderleksförhållandet, är visserligen icke ny. Redan Bran- des och Doves äldre arbeten gå i denna rigtning och La- voisier antydde ännu tidigare möjligheten af väderlekspro- gnostica grundade på kännedomen af de meteorologiska in- strumentens samtidiga variationer på en större landsträcka. Men dessa jemförande studier af väderleken öfver hela verldsdelar hafva egentligen först i de sista decennierna börjat att med tillbörlig ifver bedrifvas, sedan man kom- mit till insigt derom, att materialet till en sådan jemfö- relse kan på otroligt kort tid insamlas med tillhjelp af telegrafiska meddelelser och resultatet af denna jemförelse omedelbart på samma väg befordras till de trakter, som hotas af stundande häftiga väderleksvexlingar. Nära nog samtidigt realiserades denna tanke i England och Frank- rike, i det förra landet af Fitz-Roy, i det sednare af Le Vervier. Det var i anledning af den starka storm, hvilken den 14 Nov. 1854 åstadkom förfärliga sjöolyckor i Svarta Hafvet, under de allierades krig med Ryssland, som Le Ver- rier förskaffade sig från alla observatorier i Europa under- rättelser om den väderlek, som denna och närliggande da- gar varit rådande i de europeiska länderna. Ett noggrannt studium af de dokumenter, omkring 250 till antalet, som från alla länder insändes till Pariser-observatoriet, väckte hos Le Terrier den tanken att genom en internationel orga- 268 AFD. I∏. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. nisation på en gång befordra den meteorologiska vetenska- pen och låta dess resultat komma till omedelbar använd- ning i det borgerliga lifvet. Redan i Februari månad 1855 hade han ett fullständigt förslag färdigt till organisation af detta internationella system, hvars syftemål, enligt hans egna ord, var: »att signalera en storm, så snart den vi- sade sig på något ställe i Europa, följa dess gång förme- delst telegrafiska meddelelser och i tid underrätta de kust- orter, som af densamma kunde komma att träffas. För att vinna detta mål, måste man använda alla de resurser, det europeiska telegrafnätet erbjuder, och genom detsamma samla alla orters observationer till en hufvudort, från hvil- ken man då blefve i stånd att meddela de hotade punkterna underrättelse om stormens framsteg.» Detta internationella system har icke endast bibehållit sig allt framgent, utan äfven erhållit vissa för vetenskapens vidare utveckling vigtiga tillägg, hvarföre vi vilja i korthet redogöra för detsamma. Observatorium i Paris erhåller hvarje dag på tele- grafisk väg del af de meteorologiska observationer, som på omkring 70 orter i Europa (hvaraf 22 äro belägna i Frank- rike) anställas kl. 7 eller 8 om morgnarna. Sedan samt- liga telegrammer ankommit, hvilket antages hafva skett kl. 11 f. m., konstrueras af alla de från de särskilda orterna meddelade samtidiga observationerna en s. k. synoptisk karta, till hvilken vi i det följande- skola återkomma. En resumé af det meteorologiska tillståndet i Europa, sådant det af synoptiska kartan för dagen framgår, expedieras ge- nast med telegraf till de franska hamnarna och de utländ- ska stationer, som med observatoriet stå i telegrafisk kor- respondens. Denna resumé är beledsagad af varningar, då den sändes till sådana orter, som antagas skola blifva utsatta för en storms härjningar. De ingångna observationerna utgif- vas dessutom med litografiskt tryck i ett dagligen utkom- mande häfte med titel Bulletin international, hvilket sam- ma dag med posten öfversändes till hufvudorterna i de särskilda länderna samt till abonnenterna. I denna Bulle- AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 269 tin är jemväl dagens synoptiska karta återgifven och un- der kartan införes förutnämnda resumé öfver allmänna vä- derlekstillståndet i Europa. Dessa synoptiska kartor * kompletteras sedermera med det material af meteorologiska observationer, som efter hand publiceras i de europeiska länderna samt framför allt med de observationer på Atlan- tiska oceanen, som af de flesta länders sjöfarande verk- ställas. I detta mera fullständiga skick utgifvas de efter några år samlade i kartverk under titel »Atlas des mou- vements généraux de l’atmosphère», ett arbete, som otvif- velaktigt kommer att ligga till grund för alla framtida de- taljarbeten öfver väderleken. Bland andra vid samma tid af Le Verrier gjorda anordningar torde böra påpekas de vid alla Frankrikes folkskoleseminarier inrättade meteorologi- ska stationer, vid hvilka observationer verkställas hvar tredje timme under dagen i ändamål att erhålla en nog- grann kännedom af landets klimat, likaså de i hvarje kanton pågående observationer af åskvädren, hvilka i såväl vetenskapligt som praktiskt hänseende lofva märkvärdiga resultat och torde förtjena efterföljd i andra länder. Ett likartadt studium af åskvädren har hittills endast, så vidt vi veta, blifvit börjadt af professor Mohn i Norge. Likasom Le Verrier i Frankrike hade amiralen Fitz-Loy vid handelskammaren i England organiserat ett system för dagliga telegrafiska meddelelser af väderleken och derpå grundade stormförutsägelser. Han inrättade ock ett sy- stem af signaler, hvilka uppsattes i hamnarna, så snart från honom erhållits underrättelse om ankomsten af en storm. Sådana signaler infördes snart i många länder. Men efter Fitz-Roys sorgliga frånfälle indrogos de öfverallt * Dylika synoptiska kartor till en del grundande sig på samma ob- servationer, som de franska, konstrueras ock i England, Skottland, Norge och Österrike, der de dels användas för att vinna kännedom om de stormar, som till dessa länder ankomma, hvilken kännedom är nöd- vändig för att kunna varna de inhemska hamnarna, dels till fortsatta teoretiska studier. 270 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. i följd af de i flera hänseende grundade, men i vissa delar kanske föga vigtiga anmärkningar, som gjordes af en kom- mité, tillsatt för att granska Fitz-Roys meteorologiska verksamhet. Sedan denna tid hafva de meteorologiska an- ordningarne i England blifvit nästan fullkomligt omorgani- serade och det sålunda, att det vetenskapliga samfundet Royal Society genom en kommité leder alla de af staten bekostade meteorologiska arbeten. I spetsen för denna kommité står R. Scott, hvilken utgifver och diskuterar hela det observationsmaterial, som från de särskilda stationerna inkommer. De i England inrättade stationerna äro af tvänne slag; 7 äro nämnligen försedda med fullständig upp- sättning af sjelfregistrerande instrument, de öfriga 17 der- emot med enklare utrustning, egentligen endast afsedd för väderlekstelegraferingen. Sedan de kl. 8 om morgonen vid sistnämnda stationer verkstälda meteorologiska observatio- ner i förening med telegrafiska meddelelser från flera stäl- len i Europa samt från Hearts Content i Amerika blifvit af Scott använda till konstruktion af en synoptisk karta, sänder han, i händelse af en storm, varning till hotade ställen, och stormsignaler, enklare än de af Fitz-Roy an- vända, hissas till de sjöfarandes varning. Att man i Eng- land måste åter införa dessa signaler, oaktadt man indrog dem kort efter Fitz-Roys död, har sin grund i det förtro- ende dessa anordningar lyckats förvärfva sig hos de sjöfa- rande samt det fördelaktiga resultat, deras användning vi- sat för sjöfarten, hvilket ock af den förr nämnda gransk- ningskommitéen sjelf åtminstone i vissa delar hade blifvit erkändt *. Hvad åter beträffar de fullständiga meteorolo- giska stationerna, hvilka förestås af vetenskapsmän och afse att lemna ett noggrannt och pålitligt material för stu- dium af meteorologiens allmänna frågor och särskildt af * Hos engelska fiskrarne skall förtroendet till Fitz-Roys vetande varit så stort, att de tillskrefvo honom förmågan att uppväcka storm och i vresiga ord gåfvo sitt missnöje med honom tillkänna, så ofta stormsignaler hissades på kusten. AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 271 dem, som angå väderleksförhållandet på de Brittiska öarna, så äro de visserligen ännu icke ställda i något direkt sam- band med de hufvudsakligen för väderlekstelegraferingen och stormvarningarna gjorda inrättningar, men meningen är att inom kort vidtaga en sådan anordning, hvilket ock otvifvelaktigt skall betydligt höja värdet af det engelska stormvarningssystemet. IV) Synoptiska kartor. Innan vi nu gå att närmare skärskåda betydelsen af de s. k. synoptiska kartorna, torde det vara nödvändigt att redogöra för de vexlingar i väderleken, som af mete- orologerna benämnas perturbationer. Ofvan hafva vi anfört, hurusom i de varma länderna de meteorologiska instrumen- ten visserligen äro underkastade förändringar, men att dessa förändringar återkomma i det närmaste på fullkomligt ena- handa sätt från den ena dagen till den andra. Sådana variationer, af hvilka förekomma tvänne slag nämnligen dagliga och årliga, kallar man periodiska, emedan efter en viss period, dag eller år, instrumentets stånd i det närma- ste återgått till hvad det var vid periodens början. Så börjar t. ex. barometern att stiga emellan kl. 3 och 4 om morgonen och fortfar dermed till kl. 9|, sjunker sedan till kl. 4 e. m., hvarefter han åter stiger till kl. 10 på afto- nen, samt faller ånyo under natten. Men det händer nå- gon gång, att barometern fortfar att sjunka efter kl. 4 om morgonen, att han uppnår sitt lägsta stånd längre fram på förmiddagen, att den qvantitet, med hvilken han under ett dygn varierat, är ovanligt stor, med ett ord att han visar en från det normala förhållandet afvikande gång. Man säger då, att instrumentets variation icke är perio- disk och slutar deraf, att tillståndet i atmosferen, hvad lufttrycket beträffar, blifvit perturberadt. Härvid inträffar vanligen, att alla de meteorologiska instrumentens reguliera 272 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. gång samtidigt rubbas. Man kallar detta tillstånd en per- turbation. Hvad som utmärker denna är således ovan- ligare förändringar i lufttryckets och temperaturens dagliga gång, till högre grad än vanligt stegrad vindstyrka eller hvad i dagligt tal kallas storm, och dylikt. Dessa pertur- bationer äro ock beledsagade af mulen himmel, regn, ha- gel, åska och dylika snart öfvergående fenomen. Vid högre latituder förhåller det sig åter sålunda, att något reguliert tillstånd jemförligt med tropikernas allde- les icke förekommer. Instrumenten äro för det mesta un- derkastade förändringar, som icke äro bundna af tiden på dygnet eller af årstiden, eller s. k. »icke periodiska» va- riationer. Endast hos termometern, hvilken erfar starkaste inverkan af solens olika höjd, framträda den dagliga och årliga periodens vexlingar. Men vid de andra instrumen- ten liksom bortskymmes denna reguliera gång af de »icke periodiska» förändringarna, hvarföre de dagliga och årliga variationerna endast genom mångåriga observationer kunna utletas. Man skulle derföre med skäl kunna säga, att luf- ten vid högre latituder alltid är i mer eller mindre grad perturberad. Men de »icke periodiska» förändringarna äro blott då till sina verkningar jemförliga med de perturba- tioner, som i tropikerna förekomma, när instrumentens an- gifvelser betydligt afvika från sina medelvärden, hvarföre vi med detta namn utmärka endast starkare afvikelser från atmosferens vanliga beskaffenhet. Vid en sådan perturba- tions närvaro på en ort är det likväl icke nödvändigt, att alla de fenomen, vi uppräknat såsom för densamma karak- teristiska, samtidigt uppträda. Så kan t. ex. en stark blåst äfven utan nederbörd vara ett tillräckligt bevis på pertur- bationens närvaro, så kan ett häftigt regn utan blåst eller ett starkt barometerfall gifva dess närvaro tillkänna o. s. v. Skulle man vilja införa en svensk benämning på begreppet perturbation, vore möjligen »oväder» det mest passande, men då detta ord i språket erhållit en inskränktare be- märkelse såsom blott innefattande de momenter af pertur- SYNOPTISK KARTA för den 18 November 1864. 140% 19,7 745 155 T60 765 760 165 = 0 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 273 bationen, som hafva afseende på vindens, nederbördens och elektricitetens förhållanden, torde det vara lämpligast att till undvikande af missförstånd bibehålla termen » pertur- bation». De moderna franska meteorologerna benämna ifrågavarande totalbegrepp med namnet »bourrasque», de engelska använda helt enkelt ordet »storm», hvilket senare ord förefaller oss hafva en alltför inskränkt bemärkelse i språket, för att kunna beteckna hela det fenomen af rubb- ning i de normala förhållandena, hvarom här är fråga. För att studera dessa perturbationer har man konstrue- rat de synoptiska kartorna, hvilka uppritas efter följande plan (se planchen) *. På en geografisk karta öfver den trakt, der observationer finnas tillgängliga, inskrifves bred- vid hvarje observationsort det barometerstånd, som der blif- vit iakttaget. I Paris har man t. ex. funnit barometer- ståndet kl. 8 om morgonen d. 18 Nov. 1864 vara 751,7nm, i Stockholm 761,6mm∙ o. s. v., hvarvid första siffran, som alltid är 7, för rummets besparing på kartan blifvit ute- lemnad. Sedan drages med stöd af dessa siffror cirklar eller kroklinier genom alla de ställen, som visa samma ba- rometerstånd. Dessa linier benämnas »isobarometriska li- nier» och dragas endast för hvar 5:te millimeter. Vidare sättes vid hvarje ort en pil utvisande vindens rigtning vid observationstillfället, och vindstyrkan markeras med små streck på pilens bakre ända sålunda, att mycket svag vind betecknas med naken pil, svag vind med en-streckad, star- kare vind med två-streckad och slutligen orkan med sex- streckad pil (efter en flerstädes antagen indelning af vin- dens styrka i sex grader). På de franska kartorna slutar pilens främre ända i en liten cirkel, hvilken antyder ortens läge samt molnmängden genom följande konventionella be- teckning. Ar himmelen på observationsorten molnfri, an- * Den medföljande planchen är hemtad ur Marié Davy’s arbete < Les mouvements de l’atmosphère et des mers“. 18 274 AFD. III. OM VÅDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. tydes detta derigenom, att den lilla cirkelns periferi är smal, vid halfklart väder sättes en punkt i cirkelns cen- trum, mulen himmel utmärkes derigenom, att cirkelns pe- riferi göres tjockare, så att det blott återstår en liten hvit fläck i centrum, regnar det utfylles hela cirkelytan med svart. En blick på medföljande planch, utgörande den synop- tiska karta, som i Frankrike konstruerades för den 18 November 1864, visar .omedelbart, att förhandenvarande perturbation icke inskränker sig till en enda ort, i hvilket fall den vore lokal *, utan är utbredd öfver en betydlig del af Europa. Granskar man densamma något närmare, finner man den hafva följande egenskaper, hvilka visat sig ega allmängiltighet, i det de framträdt hos alla de mång- hundratals synoptiska kartor, man redan konstruerat. Så ses först, att det lägsta barometerståndet intager en rela- tivt taget liten yta. Vi benämna denna yta perturbatio- nens centrum. De isobarometriska kurvorna omsluta detta centrum, i det de närma sig till cirkulär eller elliptisk form. Man ser ock, att vindrigtningen på ett ställe hvil- ket som helst icke mycket afviker från den rigtning, kur- vorna i dess grannskap följa, och det så, att vinden söder om centrum blåser från vestliga hållet, öster derom är den sydlig, norr derom ostlig och vester derom nordlig, hvaraf följer att, om ock ej strängt taget, dock approximations- vis, luftmassan roterar omkring centrum mot-sols d. v. s. från V. till Ö. i sydliga delen af perturbationen. Närmare bestämdt bildar vindrigtningen på ett ställe hvilket som helst en vinkel af 60° till 80° med den räta linie, som från samma ställe tänkes dragen till perturbationens centrum (se fig. 10) **. Hvad åter vindens hastighet eller styrka be- * Till lokala perturbationer hänföras bland andra fenomen de s. k. skydragen. ** Fig. 10 framställer vindrigtningen i de fyra kardinalpunkterna på en isobarometrisk kurva, hvilken för enkelhetens skull antages vara cir- kulär. AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 275 träffar, så ansag man i början, att den alltid var starkast söder om centrum och svagare norr om detsamma. Detta eger visserligen i de flesta fall rum; emellertid hafva flera nyare meteorologer, isynnerhet Buchan i Skottland, åda- galagt, att förhållandet icke egentligen är sådant, utan att vinden är starkast på de ställen, der kurvorna ligga hvar- andra närmast. Så se vi på medföljande synoptiska karta, att stark storm råder i England och Frankrike, hvarest kurvorna ligga tätt tillhopa, medan vinden ej är af någon betydenhet i Skottland, der dessa linier äro mera åtskiljda. Af största vigt är likaledes den iakttagelse, att i pertur- bationens centrum en nästan fullkomlig vindstilla är rå- dande. Jemföres vidare en viss dags synoptiska karta med dem, som för följande dagar uppritas, hvilket förfarande dag från dag iakttages vid de större meteorologiska insti- tuten i Paris, Wien och London, så finner man, att den perturbation, som förekommer på den första, alltid åter- finnes på de följande, dock med den förändring, att cen- trum flyttat sig ett stycke framåt vanligen men icke alltid i nordostlig eller ostlig.' rigtning, medan kurvornas form tillika undergått smärre förändringar. Dock är den bana, i hvilken centrum rör sig, aldrig fullt rätlinig utan alltid något krökt antingen uppåt mot norden eller nedåt mot sydligare trakter. Sällsynta äro icke heller de fall, då perturbationen hastigt byter om rörelserigtning, så att cen- trum under några dagar går t. ex. åt 0., men hastigt stan- nar och tager en annan väg t. ex. mot N. Så var förhål- landet med den perturbation, som finnes afritad på medföl- jande planch. För att ögonblickligen få en föreställning om, hvilken bana centrum beskrifvit, plägar man på de synoptiska kartorna med en punkterad linie utmärka dess väg. Planchen visar, hurusom den der aftecknade pertur- bationen hade sitt centrum den 18 Nov. i norra England, den 19 på Shetlandsöarna, den 20 i Östersjön och den 21 i det inre af Ryssland. Det rika material af synoptiska kur- 276 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. vor, man redan insamlat, har dessutom ådagalagt, att de perturbationer, som passera öfver vår verldsdel, sällan komma ensamma. Oftast följa de efter hvarandra, så att den ena knappast hunnit östra delen af Europa, förr än den andra redan gjort sitt inträde på vestkusten. Detta sker dock ingalunda vid samma latitud. En del perturba- tioner inkomma nämnligeni Europa genom England och Frankrike, en annan del i Finnmarken och många gå san- nolikt med centrum norr om Nordkap. Man har äfven flera gånger observerat, att perturbationer träffat tillsam- mans. Synoptiska kartan för en sådan dag visar tvänne centra, som omslutas af till en del gemensamma kurvor, hvilka i sin gång förete en viss likhet med de figurer, som af matematici benämnas »lemniscator» (se fig. 11). Sedan två sådana perturbationer en tid varit förenade, händer det någon gång att de skiljas åt och gå sedan hvar och en åt sitt håll. Ofvan anförda företeelser gifva ock en enkel förklaring till den omständigheten, att i våra trak- ter ovädren äro så långvariga. Förhållandet är nämnligen det, att vid ihållande dåligt väder, regn och blåst, flera perturbationer aflösa hvarandra eller ingripa i hvarandra, såsom ock barometerns vexelvisa sjunkande och stigande vid sådana tillfällen antyda. Dessa och många flera in- tressanta iakttagelser har man redan lyckats göra, alltse- dan man kommit på den fruktbara tanken att på en ge- mensam karta representera den samtidiga väderleken på en större sträcka af jordytan. V) Hvirfvelstormar. Alltifrån konstruktionen af de första synoptiska kar- torna kunde man ej undgå att observera den stora likhet, som eger rum emellan perturbationerna i våra trakter och de länge kända och studerade roterande stormarna eller cyklonerna. Dessa i de flesta haf uppträdande, men på AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 277 olika ställen med olika namn (cykloner, tyfoner, orkaner) betecknade stormar hade långt förut genom Redfields, Reids, Piddingtons m. fl:s arbeten blifvit grundligt behandlade, och Dove hade gifvit en förklaring öfver deras uppkomst och framskridande, som ända in i senare tider varit allmänt antagen. Af dessa arbeten, hvilka stödja sig på ett be- tydligt antal observationer, gjorda på alla länders fartyg, framgår, att äfven cyklonerna alltid hafva ett centrum, der det lägsta barometerståndet eger rum och der en full- komlig vindstilla råder. Sjömännen känna detta ställe och kalla det »stormens öga». Kring detta centrum roterar luftmassan och dess rotationsrigtning är alltid bestämd, nämnligen på norra halfklotet mot-sols och på det södra med-sols. Utom denna roterande rörelse hafva de ock en framåtskridande. Så vet man t. ex., att de Vestindiska cyklonerna, hvilka börja ungefär vid 10 graders nordlig lati- tud, först röra sig i vestnordvestlig rigtning mot Mexikanska viken, till dess de anländt ungefär utanför halfön Florida, der rörelserigtningen temligen hastigt förändras först till nordlig och sedan till nordostlig, under det deras omkrets betydligt förstoras. Vindens styrka är ock något olika i olika väderstreck från cyklonens centrum. Då i alla dessa hänseenden en perturbation visar samma egenskaper, som en cyklon, ifall denna tänkes fortsätta sin bana från hafvet och röra sig öfver vår verldsdel, var det naturligt, att man skulle, när dessa studier först började företagas, ledas på den tanken, att de perturbationer, som vid våra lati- tuder förekomma, i sjelfva verket ej vore annat än fort- sättningen af de Vestindiska cyklonerna, och detta med så mycket större skäl, som man redan förut kunnat följa en och annan af de senare öfver England ända till Norska kusten. Sådant är dock ingalunda förhållandet. Redan Fitz-Roy trodde sig finna, att perturbationer kunna taga sin början i England, och Buchan har framdragit exempel på perturbationer, hvilka börjat i Amerika och fortplantat sig öfver Atlanten ända till Norra Europa. Centrum till 278 AFD. ∏I. om VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. en sådan perturbation fann han t. ex. ligga i Texas den 13 Mars 1859 och i St. Petersburg den 23; den hade följ- aktligen på 11 dagar tillryggalagt en väg öfver jordytan af 5,300 geografiska mil. Men om ock de europeiska per- turbationerna ej leda sitt upphof från samma trakt af jordklotet, der cyklonerna vanligen begynna, måste man dock på grund af det likartade i dessa båda fenomen an- taga, att det är samma orsaker, som hos båda åstadkomma lufttryckets förminskning i centrum, rotationen omkring detsamma, hela fenomenets framskridande rörelse och de andra karakteristiska företeelserna. Vi skola nu i korthet redogöra för, huru man tänker sig förloppet vid dessa hvirfvelrörelser i luften, i det vi hufvudsakligen följa de framställningar i ämnet, som blif- vit gjorda af Buchan och Mohn. Om vi föreställa oss, att på en trakt af jorden af någon orsak, som vi för tillfället lemna derhän (t. ex. starkare uppvärmning än på omkring- liggande ställen) uppstått en luftförtunning, hvilken visar sig genom en sänkning af barometerhöjden, så måste enligt fysikens lagar luften från kringliggande trakter komma i rörelse mot detta ställe. Men i följd af jordens rotation kring sin axel öfvergår på norra halfklotet hvarje sydlig vind till alltmera vestlig ju längre den får blåsa, d. v. s. ju längre söderifrån den kommer, likaså vrider sig hvarje nordlig vind mot ostliga hållet. Detta förhållande, som också erfarenheten mångfaldiga gånger bekräftat, beror nämnligen derpå, att den i följd af jordens rullning kring axeln uppkomna rotationshastigheten hos ett ställe på jord- ytan är större närmare equatorn, än längre derifrån och att luften, som kommer från sydliga trakter bibehåller sin ursprungliga rotationshastighet åtminstone en viss tid och roterar således starkare åt öster än den punkt af jordytan, till hvilken den kommer. Den sydliga vinden har följakt- ligen, när den anländt till nordliga trakter, tvänne rörel- ser, den ena från S. till N., den andra från V. till 0., af hvilka den senare till storlek beror på latitudskillnaden AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄ GELSER. 279 emellan den ort, från hvilken vinden utgått och den till hvilken han ankommit. Men enligt den allmängiltiga la- gen för hastigheters sammansättning uppstår af dessa ha- stigheter en medelrigtning emellan S. och V. Nordliga vindar åter hafva, då de komma till en ort, mindre rota- tionshastighet omkring jordaxeln än stället sjelft, d. v. s. de röra sig mindre från V. till Ö. än marken öfver hvilken de fara, hvilket är liktydigt dermed, att de hafva en sken- bar rörelse från 0. till V. Om man sammansätter denna skenbara rörelse från O. med deras verkliga rörelse från N., erhålles en resultant i någon rigtning emellan N. och O. Detta för alla fall giltiga resonnement, hvilket först användts till förklaring af passadvindarna, visar, att om vi tänka oss luften från alla håll strömma till det luft- förtunnade stället i perturbationens centrum, så måste efter hand alla vindarna afvika något åt höger från sin ursprungliga rigtning. De kunna således ej framkomma till centrum utan måste beskrifva spiralformiga linier mot denna punkt, och hela luftmassan måste följaktligen synas rotera omkring centrum mot-sols, men. så att vindrigtningen på ett ställe hvilket som helst gör en spetsig vinkel med den linie, som sammanbinder stället med centrum. Huru stor denna vinkel är, beror för öfrigt på förhållandet emellan vindens fortplantningshastighet mot centrum och jordens rotationshastighet. Att vinden är starkast på de ställen, der de isobarometriska kurvorna ligga tätast tillhopa, föl- jer omedelbart ur den grundsats, vi ofvan anfört till för- klaring af den omgifvande luftens rörelse mot centrum. Ty, om skillnaden i lufttryck emellan tvänne orter föror- sakar en rörelse hos luften från det ställe, som har högre lufttryck till det, som har mindre, så måste ock hastighe- ten, hvarmed denna rörelse' sker, ökas med ifrågavarande skillnad. Hvad åter angår orsaken till hela perturbatio- nens framåtskridande och rigtningen af dess bana, så tyc- kas meningarna derom ännu vara delade. De flesta mete- orologer antaga ännu, att den hvirflande luftmassan bildas 280 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. uti och framföres i sin bana af den s. k. equatorialström- men, en varm och fuktig luftström, som leder sitt upphof från de tropiska länderna. Emedan denna luftström hos oss framflyter i rigtning från SV. eller V., måste pertur- bationernas vanliga väg äfven blifva en sydvestlig eller vestlig. Emellertid kan denna uppfattning knappast sägas vara genom erfarenheten tillräckligen bekräftad, och det är ej osannolikt, att man vid närmare studium af banorna kan hos de inom fenomenet verkande krafterna finna såväl orsaken till deras långa fortvaro, som ock till den rigtning i hvilken de vanligtvis framskrida. Men det finnes dock äfven yttre omständigheter, som onekligen inverka på ba- nans läge och form. En sådan omständighet är lufttryc- kets fördelning utomkring och till och med på långa af- stånd från den hvirflande luftmassan. Ett högt barometer- stånd på något ställe öster om perturbationen kan hindra henne att framkomma och tvinga henne att taga en mera nordlig eller mera sydlig väg. Kännedomen af de lagar, som i detta hänseende äro gällande, måste vara af största betydelse för den praktiska lösningen af den fråga, som utgör föremål för denna lilla uppsats. Men om ock dessa och flera andra utmärkande egen- skaper hos perturbationen genom nu framställda teori er- hålla sin förklaring, torde likväl ej böra förnekas, att an- dra vigtiga förhållanden qvarstå, som, åtminstone ej utan svårigheter eller hypotetiska antaganden, hittills kunnat för- klaras. Dit hör den omständigheten, att det luftförtunnade spatium i perturbationens centrum så länge bibehåller sig, oaktadt luft från alla sidor närmar sig detsamma eller in- tränger deri. Det är sannolikt denna och andra likartade omständigheter, som göra, att meteorologerna ej allmänt uttalat sig för ofvan framställda uppfattning af fenomenets natur, utan att många ännu bibehålla den förr allmänt an- tagna teorien för cyklonerna. Enligt denna teori uppkom- mer genom luftens rotation omkring centrum en centrifugal- kraft, som drifver luftpartiklarna inifrån och utåt och der- AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 281 igenom underhålles luftförtunningen i centrum. Af detta föreställningssätt följer, att luftpartiklarna måste rotera i cirkulära banor omkring nyssnämnda punkt, eller åtmin- stone skulle göra detta, om perturbationen ej hade någon framåtskridande rörelse. Då likväl en sådan rörelse nästan alltid förekommer, måste vindrigtningen i hvarje punkt af perturbationen något afvika från tangentens rigtning. I figur 12 föreställer pilen 0P den hastighet, hvarmed per- turbationen framskrider och de öfriga pilarna beteckna luft- partiklarnas hastigheter i de särskilda punkterna af en iso- barometrisk cirkel. I punkten a t. ex. har luften tvänne hastigheter nämnligen rotationshastigheten ab längs efter cirkelns tangent och hastigheten ac af samma storlek och rigtning som OP. Genom deras sammansättning uppstår resultanten ad. Af figuren ses, att denna och alla de an- dra på perturbationens främre sida AaB belägna resultan- terna hafva en rigtning, som ådagalägger, att i alla dessa punkter vinden blåser ifrån perturbationscentrum. Nu hafva likväl senare tiders noggranna studier af de synoptiska kar- torna ådagalagt, såsom vi ock ofvan nämnt, att vinden i alla punkter af perturbationen och således äfven i dess främre del otvetydigt har en rigtning vettande något åt centrum (se fig. 10), hvilket uppenbarligen står i strid med nu senast anförda åsigt om perturbationens natur. Att för öfrigt lagen för vindrigtningen, enligt hvilken denna bildar en spetsig vinkel med den räta linie, som sammanbinder ob- servationsorten med hvirfvelns centrum, icke blott gäller de vid våra latituder förekommande perturbationerna, utan äfven återfinnes hos de egentliga cyklonerna har Buchan genom vidlyftiga undersökningar ådagalagt. De orsaker, som ligga till grund för sjelfva perturba- tionernas uppkomst, hafva ännu ej med någon större grad af säkerhet kunnat utrönas. Vi förbigå derföre de hypo- teser, som af de moderna meteorologerna blifvit för detta ändamål uppställda. En minutiös jemnförelse af de synop- tiska kartorna för de dagar, som föregå perturbationens 282 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. uppträdande, förutsatt att kartorna upptaga de trakter af jordytan, der perturbationen börjar, skall onekligen förr eller senare gifva meteorologerna anvisning till att nöjak- tigt besvara denna och flera dermed i sammanhang stående frågor. Denna okunnighet eller osäkerhet i afseende på de verkande orsakerna bör för öfrigt ingalunda väcka förun- dran, då man besinnar, att knappast mer än ett tiotal af år förflutit, sedan dessa fenomen först började att stude- ras, och att de för detta ändamål erforderliga undersök- ningar betydligt försvåras genom den omständigheten, att de europeiska perturbationerna vanligen börja ute på haf- vet, hvarifrån observationerna alltid måste blifva i mer el- ler mindre grad ofullständiga. Men hvilken än den slutliga förklaringen af perturbationernas uppkomst må blifva, så är den närvarande osäkerheten i teorien lyckligtvis utan väsendtlig inverkan på den praktiska tillämpningen af hit- intills kända fakta i och för förverkligandet af ett euro- peiskt system af varningar och väderleksförutsägelser. Hvad vi ofvan anfört om frågans teoretiska ståndpunkt afsåg ej heller att bevisa möjligheten af sådana förutsägelser. Denna möjlighet anse vi nämnligen redan gifven genom de bestämda figurer perturbationerna visa sig ega pä de synoptiska kar- torna, genom kännedomen af de lagar vi ofvan angifvit såsom allmängiltiga för dessa fenomen, och slutligen genom telegraf- nätets allmänna utbredning. Hvad vi med denna framställ- ning åsyftat, var endast att visa teoriens närvarande stånd- punkt och gifva en antydning om de frågor, med hvilka vetenskapen i den närmaste framtiden måste sysselsätta sig för att vinna allt större klarhet i uppfattningen af dessa intresseväckande fenomen. Men oaktadt den ofvan uppvisade likheten emellan de europeiska perturbationerna och de egentliga cyklonerna, äro dock de förra af ojemnförligt mera invecklad beskaf- fenhet än de senare, hvaraf ock förklaras, hvarföre man så länge kunnat förbise deras cykloniska natur. De egent- liga cyklonernas centrala del är nämnligen mycket liten AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 283 och fullkomligt cirkulär samt omgifven af nära cirkelfor- miga isobarometriska linier, medan centrum i perturbatio- nerna oftast är betydligt, mer eller mindre ovalt, någon gång till och med mycket långsträckt och icke sällan gå- ende i många krökar, i följd hvaraf de isobarometriska kurvorna ofta antaga en ganska oregelbunden form. Vidare är vindstyrkan ej mycket olika på samma afstånd i olika rigtningar från cyklonens centrum, medan perturbationerna i detta afseende visa betydliga olikheter. Dessa irregula- riteter hafva väl sin hufvudsakliga förklaringsgrund i ojemn- heterna hos jordytan, öfver hvilken perturbationerna pas- sera, i det att dessa verka mera hämmande på en del af den roterande luftmassan än på en annan. Cyklonerna åter, som öfverfara hafsytan, böra på grund af dennas jemnare beskaffenhet bibehålla en mera regelbunden form. Denna cyklonernas regularitet gör ock, att man vid sammanträf- fandet med en cyklon ute på hafvet kan af de meteorolo- giska instrumentens gång och genom att noga aktgifva på de atmosferiska förhållandena med stor sannolikhet och i flera fall med fullkomlig visshet bedöma läget af centrum samt andra omständigheter, som för fartygets räddande un- dan fara äro nödvändiga att känna. För att visa detta genom ett exempel antaga vi, att ett fartyg sammanträffar med cyklonen Ci punkten a (se fig. 13)*. Om rigtningen, i hvilken cyklonen framskrider, är från SV. till NO. (i fi- guren betecknad med en större pil) och luftmassan roterar mot-sols, såsom alltid är händelsen på norra halfklotet (detta är i figuren genom de små pilarna angifvet), så må- ste de meteorologiska instrumenten på fartyget förete föl- jande förändringar. När fartyget först träffas af cyklonen, är vinden SSO., men drager sig småningom öfver åt S., * I detta exempel antaga vi för enkelhetens skull, att vinden går exakt i samma rigtning, som de isobarometriska kurvorna, hvilket, så- som vi förut nämnt, ej är händelsen; men då vi blott velat förtydliga metoden att bestämma läget af centrum och ej med noggrannhet an- gifva detsamma, hafva vi trott oss böra sålunda förenkla frågan. 284 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. hvarvid vindstyrkan tilltager, under det att barometern sjunker. Sedan cyklonen så långt framskridit, att fartyget befinner sig i grannskapet af centrum, har vinden uppnått en betydlig styrka och vrider sig raskt genom SSV. och SV. till VSV. Barometern, som fortfarit att sjunka, till dess fartyget kommit till punkten m, der afståndet till centrum är minst, börjar ånyo att stiga, hvarmed den fort- far till dess cyklonen passerat. Under tiden har vinden aftagit i häftighet och långsamt vridit sig genom V. till NV. Vindvridningen har följaktligen under hela tiden va- rit med-sols. Träffas fartyget åter af cyklonen i punkten b, der vinden är SO., så fortfar vinden att blåsa från samma håll med alltjemt fallande barometer och ökad styrka, till dess fartyget kommit till randen af centrum. Då inträder fullkomlig vindstilla, hvilken fortfar en kort stund, hvarefter orkanen plötsligen ånyo utbryter, men från nordvestliga hållet med stigande barometer. Om åter far- tyget har ett sådant läge, att det råkar cyklonen i punk- ten c, så vrider sig ock vinden, såsom i det först omtalade fallet, men denna vridning går i motsatt led mot den förra eller är mot-sols, såsom af figuren lätt inses. Som nu or- kanens häftighet är störst ett litet stycke från centrum, och denna punkt för öfrigt är ytterst farlig i anseende till den derstädes rådande sjögångens höjd och irregularitet, samt till följd af den plötsliga omkastning i vindrigtning, för hvilken fartyget utsattes vid passagen genom densam- ma, så är sjömannens vigtigaste uppgift, då han samman- träffar med en cyklon, att af sina instruments gång bedö- ma läget af centrum, på det att han genom behörig ma- növrering må aflägsna sig derifrån. Af den framställning af instrumentens gång, vi nyss gjort, följer ock, att denna bestämning med stor säkerhet låter verkställa sig, och om det blott är fråga om att erhålla en ungefärlig föreställ- ning om denna punkts läge, erhålles denna genom följande regel: Om man ställer sig med ansigtet vändt åt det håll, dit vinden blåser, ligger centrum alltid åt venster. AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 285 Motsvarande regel för fartyg på södra halfklotet blir den, att centrum ligger åt höger. Dessa enkla regler hafva räddat månget fartyg från undergång. Men icke blott rigt- ningen af centrum kan med stor säkerhet bestämmas, äf- ven afståndet derifrån kan ungefärligen uppskattas, och in- strumentens gång visa med stor tillförlitlighet, huruvida fartyget närmar sig eller aflägsnar sig från denna farliga punkt, såsom af vår föregående framställning lätt torde inses. Som vi dock ej kunna i denna lilla afhandling an- föra alla de regler, den praktiske sjömannen behöfver känna, för att på de olika hafven kunna undgå orkaner- nas raseri, eller alla de fördelar, han kan draga af den kännedom om cyklonerna, man hitintills förvärfvat, vilja vi blott hänvisa dem af våra läsare,, som äro intresserade af ämnet, till en liten förtjenstfull skrift med titel »Om lagen för stormar» utgifven af lektor C. Cramé, hvilken skrift, ehuru den, såsom utgifven 1856, från teoretisk syn- punkt icke i alla afseenden kan utgöra ett uttryck af de åsigter, som numera äro gällande inom vetenskapen, likväl innehåller en för praktiskt ändamål särdeles väl lämpad framställning af detta ämne. Den irregularitet, som enligt hvad vi förut nämnt eger rum i de isobarometriska kurvornas form hos en europeisk perturbation, förklarar ock, hvarföre meteorologiska obser- vationer anställda på en enstaka ort ej kunna lemna nå- gon säker ledning vid bedömandet af beskaffenheten hos ett ankommande oväder. Om nämnligen en perturbation pas- serar en ort, så ega visserligen derstädes en vindvridning och en barometer-variation rum efter samma lagar, som vi vid framställningen af cyklonerna hafva angifvit, nämnligen att barometern faller, då centrum närmar sig och stiger, då centrum aflägsnar sig samt, hvad vinden beträffar, att denna vrider sig med-sols om centrum ligger till venster och mot-sols om det befinner sig på högra sidan om ob- servationsorten. Men försöker man att af de data, obser- vationerna lemnat, draga slutsatser med afseende på af- 286 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. ståndet till centrum, att bestämma den hastighet, med hvil- ken denna punkt framskrider i sin bana, eller att göra sig en föreställning om denna banas form, så uppstår i de fle- sta fall en stor villrådighet om, huru fenomenen skola tol- kas. Barometerns gång kan nämnligen vara ganska ore- gelbunden, vinden vrider sig ofta flera gånger fram och tillbaka, vindens styrka tyckes ej alltid stå i något be- stämdt förhållande till den hastighet, hvarmed barometern oscillerar o. s. v., allt naturliga följder deraf, att de iso- barometriska kurvorna ej äro cirklar, utan hafva formen af fram och åter bugtande kroklinier. Hvad således den enskilda observatören saknar och som han ej kan genom egna observationer vinna, är kännedomen af de isobarome- triska liniernas form, på hvilken dock ytterst tolkningen af instrumentens gång beror. Det finnes sannolikt ej hel- ler någon annan utväg för den, som vill rätt förstå orsa- ken till sina instruments variationer utan fara att miss- taga sig, än den, att skaffa sig kännedom om det atmo- sferiska tillståndet öfver en så betydlig del af jordytan, som perturbationen upptager och detta för en så nyss för- fluten tid som möjligt. Detta har åter möjliggjorts genom det från Frankrike och England utgångna internationella systemet, hvilket vi i det föregående kortligen beskrifvit. VI) Det internationella systemets ändamålsenlighet. Att redogöra för hvad detta system redan uträttat och genom statistiska uppgifter bevisa detsammas ända- målsenlighet, skulle fordra ett utrymme, som långt öfver- skrede måttet för en uppsats i denna tidskrift. Vi inskränka oss derföre till att endast anföra ett exempel, hvilket tyc- kes oss tillräckligen ådagalägga säkerheten af de stormför- utsägelser, som på senaste tider blifvit sända från England och Frankrike till andra orter i Europa. Freeden, direktör för »die Norddeutsche Seewarte» i Hamburg, omtalar, att AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 287 han till slutet af December månad 1868 från meteorologi- ska bureaun i London emottagit sammanlagdt 37 telegram- mer, innehållande underrättelser om existerande stormar. I 19 fall af dessa inträffade storm i Hamburg följande natt eller dagen derefter; 9 gånger följde hårda brisar efter te- legrammets emottagande och i de 9 återstående fallen var vinden redan hög före telegrammets ankomst; men af dessa sistnämnda stormar, var det blott 3, som utmärkte sig ge- nom någon större grad af intensitet och dessa kommno från öster, hvilket vill säga, att Hamburg låg norr om centrum eller att dessa 3 stormar alls icke passerat England eller norra Frankrike. Emedan de flesta perturbationer inkomma i Europa från vester, är det för det ifrågavarande systemet af största vigt, att telegrafiska meddelelser om väderleken insändas till Paris och London från de mest vestligt belägna punkterna af vår verldsdel. Detta är isynner- het behöfligt för att kunna varna de hamnar på vestkusten af Frankrike och England, som först träffas af en pertur- bation. Af de statistiska uppgifter, som i England nog- grannt insamlas öfver väderlekens större eller mindre grad af öfverensstämmelse med de på förhand utsända varnin- garna, är det till fullo bevisadt, att de allra flesta pertur- bationer, som träffat södra och östra Englands hamnstäder, på förhand varit kända, under det att detta ej alltid varit händelsen för vestkusten af Irland. En förökning af ob- servationsorter på denna ö samt framför allt tätare obser- vationer under dygnets lopp på dessa utposter mot hafvet, böra enligt Buchans och andras åsigter leda till ett bättre resultat äfven i detta afseende. För öfrigt torde redan deruti ligga ett tillräckligt bevis på systemets brukbarhet, att man i England och Frankrike kunnat göra sig förut- sägelserna till godo, oaktadt dessa länder vanligen först träffas af perturbationerna. Detta beror till icke ringa del af de isobarometriska kurvornas form, hvilken gör att man ännu då centrum är långt ute på hafvet och endast en li- ten del af perturbationen ankommit till de vestliga ham- 288 AFD. ∏I. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. narna, kan känna dess tillvaro och bedöma dess ungefärliga läge. Vi vilja förtydliga detta genom ett exempel. Om vi antaga, att man den 18 Nov. 1864 i Christiania mot- tagit telegrafiska underrättelser om väderleken från alla or- ter öster om staden Bergens meridian, men att inga tele- grammer från Frankrike och England anländt, så kommer den synoptiska karta, som i Christiania uppritas för ifrå- gavarande dag, att blott bestå af en del af de isobarome- triska linier, som svara mot 745, 750 och 755mm ; men re- dan denna del är tillräcklig att fästa uppmärksamheten på tillvaron af ett barometriskt minimum i vestlig rigtning från Danmark, såsom en blick på den medföljande kartan omedelbart ådagalägger. I denna ställning befinna sig all- tid England och Frankrike, hvilka dagligen blott kunna blifva underrättade om den på östliga orter rådande väder- leken, men deremot sakna alla underrättelser från närma- ste trakter i vestlig rigtning. Det enda kännemärke, de kunna ega på tillvaron af en ankommande perturbation är således det, att kurvorna vid ett sådant tillfälle blifva kon- kava mot vester; men detta kännetecken är ock tillräckligt för att antyda, att en perturbation befinner sig ute på haf- vet i Europas grannskap. Genom att dag för dag konstru- era nya kurvor på grund af ingångna telegrammer från hela Europa erhåller man så småningom en allt säkrare föreställning om de vigtigaste omständigheter, som röra ifrågavarande perturbation och kan i de flesta fall äfven medhinna att varna de orter, som först komma att utsät- tas för svårare olägenheter af densamma. Men om också systemet i detta hänseende lemnar något öfrigt att önska, har det redan äfven härutinnan gifvit ganska goda resultat och skall, stadt i oupphörlig utveckling och förbättring, som det är, säkerligen inom kort visa sig fullt tillfreds- ställande. I alla händelser bör man besinna, att uppgif- ten att meddela underrättelser till de orter, dit perturba- tionen först ankommer, i sjelfva verket är förenad med be- tydligt större svårigheter, än säkra underrättelsers medde- AFD. III. on VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 289 lande åt andra håll. Att likväl äfven den förra uppgiften i ej ringa mån lyckats, är ett säkert kännetecken på an- ordningarnas ändamålsenlighet. VII) Underordnade system i de särskilda länderna. Det nät af observationsorter, som hvarje dag bidrager till de synoptiska kartornas ursprungliga konstruktion i Paris, är utsträckt öfver hela Europa, men är tätast i Frankrike och England och mera glest i andra länder. Detta beror icke endast på dessa länders folkrikhet, utan härleder sig hufvudsakligen från behofvet hos de stora kultur- folken att först och främst se sina egna intressen till godo. Frankrike skulle hafva kunnat med färre observationsorter inom eget land meddela det öfriga Europa åtminstone i det närmaste samma varningar, som det nu är i stånd att ut- sända; men det skulle ej förmått lemna sina egna hamnar de detaljupplysningar, som äro nödvändiga för en säker uppfattning af de ankommande perturbationernas beskaffen- het. Tillämpar man detta på de stormvarningar, som från Frankrike öfversändas till andra länder, så innebär detta, att de meddelade underrättelserna blott kunna innehålla det allmänna väderlekstil Iståndet, men att de speciellare uppgifter, som erfordras, måste från annat håll anskaffas. De franska vetenskapsmän, som infört och handlagt denna gren af meteorologien, såsom ock flera lärda af andra na- tioner, hafva också uttalat den åsigt, att stormvarningarna för aflägsnare länder ej få någon betydelse, om de ej kom- bineras med observationer gjorda i dessa länder sjelfva och att de till och med kunna blifva vilseledande och för de särskilda ländernas sjöfart skadliga, om de utan närmare detaljundersökningar tillämpas. Det ligger också i naturen af ett sådant internationelt system att endast sysselsätta sig med det allmänna tillståndet och lemna de speciellare undersökningarna åt hvarje land att utföras på ett sätt, 19 290 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. som bäst öfverensstämmer med detta lands egen fördel. Ty först och främst vore ett dylikt detaljstudium för hela vår verldsdel förknippadt med så stort arbete, att ingen mete- orologisk institution skulle ensam utan ofantliga omkost- nader kunna underkasta sig detsamma; ej heller torde nå- got land känna sig förpligtigadt till ett arbete, hvars egent- liga fördelar endast komma de öfriga länderna till godo. Men framför allt skulle det internationella systemet genom en sådan verksamhet gå miste om enkelheten i sin orga- nisation och sina metoder samt derigenom sannolikt komma på afvägar från sitt egentliga ändamål. Detta systems hela uppgift går nämnligen ut på att vinna en totalbild af vä- derlekstillståndet. Skall det hela, som här är hufvudsak, ej fördunklas af delarna, så måste framför allt denna en- kelhet bibehållas, om ock systemet kan på annat sätt kom- pletteras t. ex. genom upptagande af en ännu större land- sträcka inom observationsnätet, genom förökande af obser- vationsorternas antal i de trakter, der nätet tydligen är för glest, genom lämplig användning af temperaturobserva- tionerna, hvilka ännu ej vid diskussionen kunnat medtagas samt slutligen genom en ännu mera lättad kommunikation med östra Europa, hvilken visat sig vara af behofvet på- kallad och hvilken skulle kunna realiseras derigenom, att en särskild telegraftråd ställdes till meteorologernas förfo- gande. Det tillkommer nu hvarje land att af de upplysningar, som genom det internationella systemet meddelas, draga den största fördel till båtnad för sin sjöfart och sina öfriga intressen. Detta låter ej verkställa sig med mindre än att de på spridda ställen i landet och närmaste grannländer gjorda iakttagelser genom telegrafen insändas till en cen- tralort inom landet, der de användas till komplettering af de uppgifter, som det internationella systemet utifrån med- delar, hvarigenom den behöfliga detaljkännedomen af hvarje särskild perturbation omedelbarligen erhålles. Med andra ord, för att göra sig till godo det internationella systemets AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 291 fördelar, fordras nödvändigt en särskild organisation inom landet. Man inser lätt, att ett enskildt landricke kan nöja sig med de grofva bestämningar, hvilka äro i sin ordning, då det gäller att uppgöra en allmän skizz af väderleken öfver en hel verldsdel, eller med de få observationsorter, som ingå i det internationella systemet, utan att här for- dras mera detaljerade undersökningar, talrikare observatio- ner och tätare observationsnät; i motsatt fall kommer man ej synnerligen längre än till det, hvarom man förut genom telegrafen från Paris fått kunskap. Men att detta inga- lunda är tillräckligt, är lätt att inse. Lika så litet, som man genom att betrakta en allmän europeisk karta kan förvärfva sig tillräcklig kunskap i Sveriges geografi, oak- tadt å andra sidan ett sådant betraktande är nödvändigt för att förstå landets betydelse i geografiskt hänseende inom vår verldsdel, lika så ofullständiga begrepp erhåller man om den blifvande väderleken i vårt fädernesland, i fall man ej har annat att följa, än det allmänna resultat, som ge- nom det internationella systemets arbete vunnits. De franska meteorologerna hafva onekligen gjort tillfyllest t. ex. i afsèende på våra trakter, om de uppgifvit, att en per- turbation följande dag kommer att passera Östersjön; på sin höjd kan i telegrammet tilläggas »norra» eller »södra» Östersjön. Men icke är en sådan uppgift för oss tillräck- lig. Besinnar man, hvilken olikhet, som råder i afseende på vindrigtning, vindens styrka o. s. v. emellan perturba- tionernas högra och venstra sida, så bör man inse, att det är af största vigt att mycket närmare kunna på förhand angifva perturbationens läge. Det är ingalunda likgiltigt för t. ex. Kalmar eller Visby, om centrum passerar norr eller söder om någon af dessa städer. Att exakt angifva detta läge, torde visserligen ännu ej låta sig göra äfven med den bästa organisation, men mycket närmare än, hvad i de utländska telegrammen meddelas, kan och bör man komma genom lämpliga anordningar här hemma. Nödvän- digheten af en särskild nationel organisation har också blif- 292 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. vit insedd i många länder. Vi behöfva blott såsom exem- pel anföra broderlandet Norge, der sedan 1866 ett system i och för studier af de perturbationer, som träffa detta land, finnes organiseradt och står under ledning af profes- sor Molin. Detta system har, utom de, fördelar, som det redan beredt eget land och hvilka genom den nu inledda direkta telegrafförbindelsen med Skottland komma att be- tydligt förökas, äfven på ett genomgripande sätt verkat till det internationella systemets utbildning genom inrättan- det af meteorologiska stationer högt uppe i Finnmarken. Fråga vi slutligen, hvilka mått och steg, som i vårt land blifvit vidtagna för att göra oss delaktiga af de för- måner, vi genom det internationella systemets uppkomst och allt mer stigande utveckling kunnat vinna, så måste beklagligtvis erkännas, att ännu intet blifvit åtgjordt i och för detta ändamål. Och dock hafva vi ganska vigtiga merkantila intressen att bevaka, dock ingår efter hvarje svårare storm från Kattegat och Östersjön underrättelse om sjöolyckor, hvilka skulle kunnat genom behöriga åt- gärders vidtagande om ock ej fullkomligt undvikas, likväl till antal betydligen förminskas. Införandet af ett natio- nelt system i vårt land skulle med så mycket större san- nolikhet bära goda frukter, som vårt ostliga läge skulle medgifva oss att i god tid blifva underrättade om de från Atlanten inkommande perturbationer. Till stöd för denna åsigt vilja vi anföra att Coumbary, föreståndare för det meteorologiska nätet i Turkiet, i ett bref till Le Verrier uttrycker sin tillfredsställelse deröfver, att alla de från Paris till Constantinopel sända varningar så tidigt ankom- mit, att man alltid hunnit vidtaga de nödvändiga försig- tighetsmåtten, hvarigenom många sjöolyckor på Svarta Hafvet kunnat förekommas. De enda fall, då vi i vårt land möjligen skulle äfventyra att öfverraskas af en per- turbation utan föregående varning från annat håll, äro de, då hvirflarna passera från Ishafvet genom norra Ryssland eller Sverige och taga sin väg åt Svarta Hafvet, hvilket AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 293 icke så sällan inträffar. Men om ett blifvande svenskt sy- stem särskildt rigtar sin uppmärksamhet på detta förhål- lande, torde någon öfverraskning ej behöfva ifrågakomma, isynnerhet som den nyligen öfver till Finnland lagda tele- grafkabeln medgifver oss att utan dröjsmål erfara väder- lekens beskaffenhet i nordöstligaste delen af Europa. Dessa fall böra åtminstone då med fullkomlig säkerhet kunna för- utses, när Finnland och Ryssland få sina systemer i ord- ning, hvilket efter all sannolikhet ej kommer att dröja länge. Genom att vaka öfver dessa i östliga Europa fram- skridande perturbationer erbjudes för öfrigt Sverige, lika- som nyssnämnda länder, ett tillfälle att återgälda det in- ternationella systemet de tjenster, vi af detsamma dag- ligen skola emottaga, när ett nationelt system en gång hos oss kommer till stånd, hvilket vi hoppas måtte ske ju förr desto heldre VIII) Kunna väderleksprognostika göras ännu fullständigare? Vi hafva hitintills endast sysselsatt oss med de s. k. perturbationerna. De karakterer, på hvilka vi urskiljde dessa från andra atmosferiska tillstånd, som möjligen kunna på de synoptiska kartorna framträda, voro: l:o) att det lägsta barometerståndet eller minimum intog en jemnfö- * För att befrämja detta mål vore det önskligt, att några förmög- nare kommuner på egen bekostnad inrättade fullständiga meteorologiska stationer, der tätare observationer öfver väderleken, helst förmedelst sjelfregistrerande apparater, utfördes. Detta vore så mycket angeläg- nare, som de utgifter, hvilka i vårt vidsträckta land komma att erfor- dras, för att på ett såväl för vetenskapen som för det borgerliga lifvet fullt tillfredsställande sätt ordna denna angelägenhet, icke äro obetyd- liga. Billigheten fordrar ock, att staten härutinnan understödjes åtmin- stone af de förmögnare sjöstäderna, då dessa framför andra komma i åtnjutande af de fördelar, de ifrågavarande anordningarna åsyfta att be- reda alla industriens grenar, synnerligast handeln och sjöfarten. 294 AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. relsevis liten yta af cirkulär eller aflång form, 2:o) att de isobarometriska linierna i form af mer eller mindre bug- tande kroklinier omslöto denna yta och 3:o) att luftmas- san roterade mot-sols omkring perturbationens centrum, dock så att vindrigtningen på ett ställe hvilket som helst ej följde tangenten till/ den genom stället gående isobarome- triska kurvan, utan hade en afvikelse i rigtning mot cen- trum. Vi sågo ock, att under förutsättning af en lämplig organisation såväl de olika länderna emellan, som ock inom hvarje land särskildt, de af dessa perturbationer beroende väderleksvexlingar kunde någon tid före deras ankomst till en ort signaleras och att sålunda tillfälle vore beredt för anordningars vidtagande till skydd mot de olägenheter, som af perturbationens närvaro kunde blifva en följd. Vi hafva ock ofvanföre antydt, att dessa olägenheter kunna vara betydliga, emedan perturbationerna åtföljas af hvad vi i dagliga lifvet kalla »fult väder», nämnligen regn och snö- fall, häftiga stormilar, elektriska urladdningar o. s. v., med ett ord af sådana fenomen, som vi oftast anse till sina verkningar skadliga. Derföre hafva ock dessa pertur- bationer hittills nästan uteslutande utgjort föremål för de praktiska meteorologernas uppmärksamhet. De äro dock ej de enda tydliga och för att så säga bestämdt begrän- sade fenomen, som på de synoptiska kartorna framträda. Lika väl som barometerns lägsta stånd intager en liten yta på kartan, visa sig barometermaxima hafva formen af smärre begränsade fläckar. Dessa maxima äro likaledes omgifna af bugtande isobarometriska linier, hvilka dock vanligen ligga på längre afstånd från hvarandra, hvarföre ock vinden, enligt en af oss förut omnämnd lag, måste vara betydligt svagare än hos de egentliga perturbationerna. Dessutom finner man, att vinden följer en alldeles motsatt rigtning mot den för perturbationerna gällande, i det att luftmassan på norra halfklotet roterar med-sols omkring centrum och att vinden på ett ställe hvilket som helst blå- ser ifrån denna punkt. Afven derutinnan kan man anse AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 295 dessa barometriska maxima förhålla sig såsom motsatser till perturbationerna eller barometerminima, att de fram- skrida öfver Europa esomoftast i rigtning från öster till vester. Oaktadt nu dessa fenomen ej förorsaka så våld- samma förändringar, som perturbationerna, då de röra sig öfver en ort, bör det dock tydligen vara af intresse att känna deras läge och form. Ty oafsedt den omständighe- ten, som vi förut framhållit, att deras läge kan inverka på perturbationernas bana, är det just dessa barometer- maxima, som medföra hvad vi i dagligt tal kalla »vackert väder», d. v. s. klar himmel, obetydlig vindstyrka o. s. v. Men de hafva ock oftast i sitt följe stark och ihållande köld. Man inser lätteligen, att det ingalunda vore ovig- tigt att kunna i någon mån förutsäga kall väderlek eller fortfarande vackert väder, och att dessa slags prognostika egentligen skulle lända landtbruket till båtnad. Emellertid tyckes det, som om meteorologerna ej ännu tillräckligt rig- tat sin uppmärksamhet åt detta håll, hvilken omständighet möjligen sammanhänger med det internationella observa- tionsnätets ofullständighet i östra Europa, hvarifrån dessa maxima tyckas göra sitt inträde. Ar denna förmodan rig- tig, så blir inrättandet af särskilda systemer i Ryssland, Finland och Sverige så mycket mera behöfligt och af desto större betydelse. Huru långt det internationella systemet behöfver utsträckas åt öster, på det man må kunna på- räkna samma säkerhet i fråga om barometermaxima, som den man redan förvärfvat för minima, kan ej på förhand afgöras. Möjligtvis erfordras en utsträckning af detta sy- stem in på det asiatiska höglandet. Frågar man vidare, om de båda slag af fenomen, vi nu sökt karakterisera, äro de enda möjliga väderlekstill- stånd, som i vår verldsdel kunna förekomma, eller om de blott utgöra för att så säga undantagsfall från det all- männa tillstånd, som der råder, så måste man erkänna sig för närvarande ej kunna på denna fråga gifva något till- fredsställande svar. Alltifrån Dove hafva meteorologerna 296 AFD. I∏. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. ansett, att väderleken vid nordliga latituder vexlade emel- lan tvänne motsatta tillstånd, beroende på läget af tvänne luftströmmar, hvaraf den ena (eqvatorialströmmen) varm och fuktig ledde sitt ursprung från eqvatorialtrakterna och derifrån medförde värme och nederbörd, medan den andra (polarströmmen) torr och kall flöt från de nordliga län- derna mot eqvatorn. I hvilket förhållande stå nu de af samtidens meteorologer upptäckta hvirfvelrörelserna till dessa tvänne luftströmmar? Det tyckes, som om denna fråga ej kunde med någon säkerhet besvaras med tillhjelp af det material, som finnes nedlagdt på de synoptiska kar- torna; ty, märkvärdigt nog, återfinnas ej på dessa de ifrå- gavarande jemnsides och i motsatt rigtning mot hvarandra löpande hufvudströmmarna. Det är visserligen möjligt, att det sätt, på hvilket man hittills tänkt sig dessa strömmar framflyta längs efter jordytan, i vissa hänseenden behöfver modifieras; men å andra sidan bör ej förglömmas, hvilken liten del af jordytan vår verldsdel upptager, och huru otill- räckliga iakttagelser gjorda på denna lilla del måste vara för att bedöma fenomen af sådan utsträckning, som de ifrågavarande luftströmmarna, genom hvilka den till följd af olika uppvärmning vid olika latituder nödvändiga luft- cirkulationen emellan eqvatorial- och polartrakterna under- hålles. Frågan kan derföre icke afgöras, förr än synopti- ska kartor blifvit konstruerade öfver en mycket större yta och helst öfver hela norra halfklotet. Det är att antaga, att genom en sådan öfversigt af den samtidiga väderleken på halfva jordklotet icke allenast vetenskapen skall er- hålla förklaring öfver de flera dunkla punkter, som ännu - återstå att utreda och af hvilka vi ofvan antydt några få, utan att härigenom äfven väderleksförutsägelserna torde kunna utsträckas till något längre tid, än hvad för när- varande är möjligt. Fördelen af en sådan utvidgning af det internationella systemet insågs redan af Le Verrier vid tiden för detta systems uppkomst, och det var sanno- likt det amerikanska kriget, som hindrade genomförandet >50 5 0 NN WI 600 W O Go’ S N W O S AFD. III. OM VÄDERLEKSFÖRUTSÄGELSER. 297 af den för dylikt ändamål af honom framställda planen, om hvilken för öfrigt ännu lär underhandlas. Le Verrier föreslog nämnligen observatoriet i Washington att hvarje dag konstruera en synoptisk karta efter samma plan och i samma format som de franska, upptagande hela Norra Amerika och Stilla Oceanen. Han åtog sig tillika att komplettera sina egna kartor med observationer från norra Atlanten (såsom ock sedermera skett), hvarigenom dessa skulle komma att i ost-vestlig rigtning sträcka sig från Ural till Amerikas ostkust. Sin redogörelse inför franska Vetenskaps-Akademien af de med Amerika i och för detta ändamål inledda underhandlingar slutar han med följande ord: »Om Amerika går in på detta förslag, hvarpå vi för öfrigt ej tvifla, så tillkommer det England och Ryssland, som hafva ett stort antal observatörer i Asien, att utfylla den återstående luckan. Vi se följaktligen redan i fjerran möjligheten att erhålla, hvad för några år sedan syntes outförbart, nämnligen kännedom af atmosferens allmänna och samtidiga tillstånd öfver hela norra hemisferen. Omät- liga fördelar skulle vetenskapen deraf skörda. Hvad be- träffar södra halfklotet, måste studiet af detsamma öfver- lemnas till en kommande generation.» 298 AFD. IV. CARL ERIE LUNDSTRÖM. AFDELNING IV. * Carl Erik Lundström.* På Hults bruk i Qvillinge socken af Östergötland föddes Carl Erik Lundström den 21 Aug. 1840 af för- äldrarne Bruksinspektören Johan Erik Lundström och hans hustru Catarina Charlotta Qvarfordt. Sedan han åtnjutit en förberedande undervisning dels i föräldrahemmet och dels i församlingens folkskola, intogs han vårterminen 1852 i 3:dje klassen af Norrköpings elementarläroverk och fort- satte der sina studier till hösten 1856, då han inskrefs i 2:dra » auditoriet» (klassen) af Linköpings gymnasium. Hösten 1859 afgick han till Upsala, der han den 8 Sept, tog studentexamen. Härefter vistades han 1 år såsom in- formator på det natursköna Edeby i Södermanland. I början af år 1861 återkom han till universitetet, der han sedermera oafbrutet fortsatte sina studier, till dess han våren 1865 aflade filosofie kandidatexamen och hösten 1866 * Då tidskriften nu lemnar en kort lefnadsteckning af Docenten C. E. Lundström, sätter hon derigenom en plan i verkställighet, hvilken hon redan från sitt första framträdande tänkt sig såsom öfverensstämmande med sitt allmänna syfte, att nämnligen söka bevara minnet af de hädangångne landsmän, hvilka inom de fysiko-matematiska vetenskaperne visat sig fram- stående såsom lärare eller författare; och företrädesvis vill hon med skyl- dig erkänsamhet egna dem ett minnesblad, hvilka tagit verksam del i hen- nes eget arbete för de fysiko-matematiska vetenskapernas spridning i vårt land. ΛFD. IV. CARL ERIK LUNDSTRÖM. 299 offentligen försvarade en för filosofiska gradens erhållande utgifven akademisk afhandling: »Utkast till isoperimetriska problemers fullständiga solution». På grund af denna med högsta betyget vitsordade afhandling blef han af filo- sofiska fakulteten föreslagen och af universitetets kansler den 8 derpå följande Januari kallad till docent i matema- tik. Förlidne vår utgaf han en afhandling: »Distinction des maxima et des minima dans un problème isopérimé- trique», hvilken hedrades med Vetenskaps-Societetens i Up- sala pris och trycktes i dess Acta. Äfvenvår tidskrift har hugnats med ett bidrag af hans hand, hvilket står att läsa i nästföregående häfte. I början af Juni detta år reste han till det för honom så kära föräldrahemmet för att der vederqvicka sig och hemta ökade krafter till fortsatta sträfvanden på sin ve- tenskapliga bana. I följd af en genom förkylning ådra- gen häftig lunginflammation afled han efter några dagars sjukdom den 9 sistlidne Augusti. Den af efterlefvande för- äldrar och syster djupt begråtne och af lärare, kamrater och vänner innerligt saknade unge vetenskapsmannens stoft hvilar på Qvillinge kyrkogård; hans minne skall i deras hjertan städse lefva friskt och kärt. Redan under den första skoltiden visade Lundström en mer än vanlig fallenhet för matematiken och var i detta likasom i de flesta andra ämnen sina kamrater öfverläg- sen, hvarför han ofta såväl hemma som på lärorummet hade omkring sig en skara kamrater, hvilka med tacksam uppmärksamhet afhörde hans städse klara och lättfattliga meddelanden. Ja, man kan, om man så vill, ända från hans späda barndom spåra anlag för geometriens studium: man såg den 4 till 5-årige gossen gerna söka ensamheten, då hans största nöje och käraste sysselsättning var att med kol och hvarjehanda till hands stående ritmaterial teckna streck och figurer, hvilka sedan blefvo föremål för hans allvarliga betraktande. Dessa streck och figurer ut- vecklade sig småningom till geometrisk regelbundenhet, allteftersom hans förstånd gick framåt i utveckling och mognad. Afven sedan han blef äldre, studerade han sitt älskningsämne merändels på det sättet, att han genom geometrisk konstruktion gjorde de föreliggande frågorna åskådliga för sig, hvarefter lösningen på en gång fram- 300 AFD. IV. CARL ERIK LUNDSTRÖM. stod för honom i sin fulla klarhet. Man kunde ofta finna honom flere timmar försjunken i betraktande af en uppri- tad figur, och först sedan problemet på det a sätt fram- stått för honom klart och tydligt, sökte han på analytisk väg utveckla detsamma. Det var också på det geometri- ska området han helst rörde sig och der han företrädesvis visade prof på sin skicklighet. Hans stora förmåga att på ett åskådligt sätt framställa och behandla frågor af så väl rent matematisk som fysisk och mekanisk natur gjorde honom till en skicklig och säker problemlösare, som med ovanlig skärpa och utan omvägar förstod begagna de hjelp- medel den matematiska vetenskapen erbjuder. Om denna hans förmåga och verksamhet lemna den fysisk-matemati- ska sektionens i Upsala protokoll de bästa bevis såväl un- der som före och efter den tid han var dess sekreterare. Den del af matematiken, som Lundström med förkär- lek omfattade, var Variations kalkylen. Redan i sitt gradual- specimen visade han en ovanlig sjelfständighet och skärpa vid behandlingen af detta svåra ämne. Äfven här har han stödt sin utveckling på det geometriska åskådningssättet. I sitt senare arbete har han inskränkt sig till frågan om särskiljandet af maxima och minima i ett isoperimetriskt problem, en fråga, som utan tvifvel är en af de svåraste i hela matematiken och måhända derför ock en af de minst bearbetade. För att fullständigt bedöma den förtjenst Lundström inlagt i lösningen af denna fråga fordras större material, än vi för närvarande hafva till vårt förfogande. Den metod, som han lagt till grund för sina undersök- ningar och som i närvarande arbete endast berör enkla in- tegraler, ansåg han så generel, att den utan svårighet kunde utsträckas att omfatta multipla integraler. Han hade för afsigt att denna vinter utgifva fortsättningen af detta sitt arbete i nyssnämnda utsträckning — de förberedande un- dersökningarna voro redan i tanken utförda —, då döden helt oförmodadt beröfvade oss frukterna af hans löftesrika verksamhet. Sin afgjorda hog och fallenhet för matematiken synes Lundström hafva fått i arf efter sin fader, hvilken under sin mångåriga befattning som inspektor vid Hults bruk med intresse egnat sig åt den praktiska mekaniken och dermed i sammanhang stående frågor. Det har under de AFD. IV. CARL ERIK LUNDSTRÖM. 301 senare åren varit fadrens största glädje och förnöjelse att få sina ideer rörande mekaniska uppfinningar och förbättrin- gar stälda under sonens kontrollerande kalkyl. I sin karakter röjde Lundström samma fasthet och sjelfständighet som i sin vetenskapliga verksamhet, och hans närmare vänner kunna icke utan beundran tala om den orubbliga kraft, med hvilken han motstod lifvets alla frestelser. I sitt uppträdande visade han sig städse blyg- sam och tillbakadragen; och endast på det lugna allvaret i hans väsende och den skarpa, intelligenta blicken kunde man hos den anspråkslöse mannen ana en mer än vanligt rik inre begåfning. Af sina kamrater var han i högsta måtto afhållen för sin trohet och vänfasthet. Om sina egna förtjenster hörde han högst ogerna talas; om någon välmenande vän häntydde derpå, så blef han, från att förut hafva varit glad, dyster och sluten. Af praktiska bestyr var han föga intresserad; men när några sådana anförtroddes honom, fullgjorde han dem icke allenast sam- vetsgrannt utan äfven väl och med stor framgång. Så t. ex., då han, ehuru högst ogerna, måste emottaga för- sta kuratelet inom Ostgöta nation, skötte han det till all- män belåtenhet och förde ordet icke allenast med stor reda och klarhet, utan ådagalade äfven vid högtidliga tillfällen prof på en särdeles lycklig talareförmåga. Om det ock i allmänhet är svårt att af rika anlag döma till deras frukter för vetenskapen, så torde dock hvar och en, som varit i närmare beröring med docenten Lund- ström, känna sig lifligt öfvertygad, att han, derest helsa och lifdagar blifvit honom beskärda, skulle hafva hedrat det svenska namnet inom den vetenskapliga forskningen. Anmäld Skrift Om Solen. Fyra populära föredrag af C. E. E. BJÖRLING. Med stort nöje tar en bildad läsare denna lilla bok i handen. Den afhandlar ett ämne, som för hvar och en ej kan annat än vara af ett högt intresse. Förf, visar sig också hafva behandlat detsamma med syn- nerlig förkärlek. 302 AFD. IV. ANMÄLD SKRIFT. Han inför sin läsare nästan genäst midt i ämnet, ger oss först ett begrepp om solens storlek, antyder dess sannolika ursprung, så vidt vi tro oss kunna känna detsamma, solens fysiska beskaffenhet, dess plats i rymden, det beroende, hvaruti jordklotet och dess innevånare stå till denna himmelskropp, och slutar med. en blick på hvad vi kunna för- moda om solens och solsystemets framtid. Den trånga ramen af fyra föreläsningar har ej medgifvit förf, att vidare utföra åtskilligt, som man kunde önskat mera utfördt. Det kan vara nog, att här hafva lemnat en kort redogörelse för bokens innehåll: dess intressanta detaljer inhem- tar läsaren bäst af boken sjelf. Föredraget är i hög grad redigt och klart, och utmärker sig ge- nom en så att säga matematisk metod', i det att förf, på ett enkelt och öfvertygande sätt i hvarje punkt af berättelsens tråd anknyter de behöf- liga skälen, så att läsaren icke blott inhemtar saken, sådan hon är, utan äfven inser, hvarför det så måste vara. Man kan derför ej annat än prisa den flit och det urval, hvarmed förf, samlat och sammanfört hithörande fakta samt berömma boken i dess helhet. Man lägger den ej ifrån sig, utan att hafva inhemtat ganska mycket, samt deribland åt- skilligt, som ger vidare anledning att tänka öfver. Några anmärkningar i afseende på det faktiska kunde visserligen göras, men som de icke äro af den beskaffenhet, att de på något sätt skulle förringa bokens värde, inskränka vi oss till följande. Förf, säger pag. 36, att det är oafgjordt, hvem som först sett so- lens protuberanser. Hvad som sker i vart eget land är ofta minst be- kant för oss svenskar. Den, som först iakttog detta fenomen, lärer varit Stannyan från Bern (1706), men den första noggranna beskrifningen af fenomenet är af lektor Birger Wassenins i Göteborg, som i sin be- rättelse om den totala solförmörkelsen 1733 omtalar i Philos. Transact., att han såg vid månranden 4 rödaktiga fläckar, af hvilken en hade ett molnaktigt utseende. Celsius, som vid ifrågavarande förmörkelse var i Berlin, der den endast var partiel, såg naturligtvis inga protuberanser, men vid återkomsten till Sverige skref han en redogörelse för de gjorda iakttagelserna, der han nämner 2:ne andra observatörer, nämnl. Johan Edström, lektor i matematik vid Carlstads gymnasium, samt Anders Swebilius, prost i Alhem nära Östersjön, 4 mil från Kalmar. Det är således tre svenskar, hvilka hedern tillkommer att hafva i vetenskaplig mening först iakttagit solens protuberanser. Ett populärt vetenskapligt föredrag icke blott medger utan anbe- faller ett prydligare samt, när så passar sig, ett mera upphöjdt språk. Det torra bör så mycket, som utan skada för bevisningen kan ske, bannly- sas derifrån. Man kastar gerna ett lätt och genomskinligt draperi der- öfver, som flärdlöst och naturligt smyger sig intill innehållets konturer, tuan att skymma dem. Om vi ock af någre hört den anmärkning gö- AFD. IV. SATSER. 303 ras, att stilen vore nog yppig och på sina ställen tyngd af onödiga prydnader, så får man å andra sidan icke förbise den populäre föreläsa- rens dubbla uppgift att angenämt fängsla den i ämnet oinvigdes fantasi på samma gång han har att bereda hans förstånd nya insigter; — och hvad bättre göra i förra fallet än att på lämpliga hvilopunkter strö blom- mor, om ock yppiga och praktfulla, och hvad bättre i det senare än låta ämnet framstå i sin största möjliga klarhet? Vi för vår del kunna icke annat än egna förf, vårt bifall i begge dessa hänseenden. Vi lyckönska lektor Björling att hafva lagt i dagen denna nya glansfulla sida af sin författareförmåga, och vi hoppas att framdeles få se nya frukter af denna vackra talent. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen h. t. 1869. För latinlinien. (2 st. på 4 tim.) 7. Den räta linie, som sammanbinder midtpunkterna pä två sidor i en triangel, är hälften så stor, som triangelns tredje sida. 2. Att i en cirkel inskriftja en rätvinklig triangel, hvilkens yta är en fjerdedel af den inskrifna qvadratens yta. 3. I en triangel är en punkt tagen, och till densamma äro räta linier dragna, från triangelns spetsar. Devisa då att de nya trianglarne förhålla sig till hvarandra två och två såsom delarne af den sida i den ursprungliga triangeln, hvιlken skäres af de tvä trianglarnes gemensamma sida, då den utdrages. 4. Om två rätvinkliga trianglar hafva lika stor hypotenusa, men en spetsig vinkel olika, så står mot den större spetsiga vinkeln en större katet. 5. Att konstruera en triangel, då man känner basen, summan af de båda andra sidorna och en vinkel vid basen. 6. Att i en gifυen triangel inskrifna en rektangel likformig med en gif- ven rektangel. 7. I hvarj'e 4-hörning är skärningspunkten mellan de räta linier, som förena motstående sidors midtpunkter, belägen midt på den räta linie, som sammanbinder diagonalernas midtpunkter. ■ (2 st. på 4 tim.) 8. Af 100 man, som på 30 dagar kunde hafva verkställt ett visst arbete, om de alla deri deltagit, sjuknade efter de 12 första arbetsdagarne 304 AFD. IV. SATSER. 8 man, ock efter ytterligare 5 dagar öfvergåfvo 25 man arbetet. När blef det under sådana omständigheter färdigt? 9. Två personer, A och B, begifva sig kl. 8 på morgonen från ett ställe C till ett annat ställe D. Ben förre går milen på 21, den senare på 3 timmar. Afståndet mellan C och B är 4 mil. När är A lika långtfrån B, som B från C? 10. Tvänne böcker kosta inbundna, den ena 3 rdr 12 sk., den andra 3 rdr 6 sk. Banden äro lika dyra. Ben första boken innehåller 16 ark, den andra 18. Priset på ett ark i den senare är 6 af priset på ett ark.i den förra. Huru mycket kostar hvardera boken oinbunden? Hvad kosta banden? Hvad är priset på ett ark i hvardera boken? 11. Under loppet af 11 månader varierade en gång procenten sä, att den för första tiden öfversköt och för den återstående understeg sin normala höjd, båda gångerna med 4. Ett kapital af 19200 rdr g af under den för- sta tiden 483 rdr i ränta, och lika mycket under den senare. Hur stor var den normala procenten, och huru länge varade procentförhöjningen? 12. Huru många grader är den cirkelbåge, hvars längd är lika med diametern ? 13. Hvad är det för ett bråk, som blir == 1, då mån addera?- 1 till dess täljare, och = 1, då man addera?- 2 till dess nämnare? 14. En cirkel, hvars radie är 17 tu?n, skall genom en med honom kon- centrisk cirkel delas så, att ringe?i mellan perferierne blifve?- 5 af den gifna cirkeln. Huru sto?- bör perferien i den nya cirkeln vara? För reallinien. (2 st. pä 5 tim.) 15. Att på en vinkels ena ben finna en punkt, lika aflägsen från det andra vinkelbenet, som från en gifve?? punkt på det första. 16. Om man genom tvänne cirklars kontaktspunkt drager två för cirk- larne gemensamma kordor, så blifva de linier, so?n inom hvardera cirkeln förena kordornas ändpunkter, parallela. 17. Bestäm i planet en så belägen punkt, att då man derifrån drager tangente?- till 3 gifna cirklar, dessa blifva af lika längd. 18. Två cirkla?- äro gifna. Att omkring dem omskrifva en liksidig triangel, hvilkens ena sida tangera?- båda cirklarne, och öfriga sidor hva?- sin vinkel. 19. Att genom en gifven punkt på en sida i en triangel draga en rät linie, som skä?- triangeln så, att dess delar förhålla sig till hvarandra som m till n. 20. Be perpendiklar, som jällas från spetsarne i en gifve?? triangel AFD. IV. SATSER. 305 mot sidorna, halfvera vinklarna i den nya triangel, som har till spetsar de punkter, der perpendiklarne träffa den gifna triangelns sidor. 21. Att konstruera en triangel, då man känner en vinkel, motsvarande höjd och den inskrifna cirkelns radie. (2 st. på 4 tim.) 22. AB och AC äro tvänne mot hvarandra vinkelräta linier, denforra b fot och den senare c fot. Från B utgår en kropp med konstant hastighet af h fot i sekunden och rör sig mot A. Samtidigt utgår en annan från C med hastigheten h, och rör sig äfoen den mot A. När är afständet mellan dessa kroppar minst? Under hvad villkor sammanstöta de? 23. Ett kärl kan fyllas medelst 2 rör på 9 minuter kortare tid, än medelst det ena ensamt, och på 16 minuter kortare tid, än medelst det andra ensamt. Huru lång tid erfordras jor att fylla kärlet medelst båda rören? 24. En velocipedåkare far på 10 minuter uppför en sluttning af 2250 fots längd och tillbaka igen. Vid färden uppför minskar han och, då det bär utför, ökar han med 300 fot i minuten den hastighet, med hvilken han brukai' färdas på horizontel mark. Hvilken är denna hastighet? 24. Huru länge bör ett kapital stå utlånt mot 44 procent ränta för att blifoa jemdubbladt? 26. Huru sto?' är radiem i en sfer, hvars yta har samma storlek, som ytan af en kon af 5 tums höjd och 2 tums bottenradie? 27. I en triangel är sidan a — 15 tum, sidan b = 21 tum och vin- keln c = 320 19'. Huru stor ä?' den omskrifna cirkelns radie? 28. x2 + y2 — 25 ä?' equation fö?' en cirkel. Gif eqvationen for det tangentpar, som går ge- nom punkten x == 7 och y — 9. (1 på 3 tim.) 29. På ett lutande plan, hvars lutningsvinkel med horizonten vore 30°, motverkas e?i gifoen vigt först medelst en parallelt ?ned planet och sedermera genom en horizontelt verkande kraft; sök forhållandet mellan de tryck, som mot planet i de båda händelserna utöfoas. 30. Från en punkt A afsköts en kula mot en skottafla i B. I punk- ten C, på räta linien AB, beläge?? på a fots afstånd från A, iakttog en observatör, att i Sekunde?' forflöto mellan de ögonblick, då han hörde skottet smälla och taflan träffas af kulan. Antagas hastigheterna hos ljudet och ku- lan vara h och c, huru stor bli?- skottvidden AB? 31. Hvilken lutning mot horizonten bö?' ett plan ega, fo?' att en med känd begynnelsehastighet längs planet kastad partikel må, under nte sekunden af si?i rörelse, genomlöpa ett lika långt vägstycke, so?n en lodrätt fallande kropp under samma sekund aj sitt fria fall tillryggalägger? 20 306 AFD. IV. SATSER. 32. Ett vinglas, i form af en kon, fylles fullständigt med vatten, be. täckes derpå med ett papper och vändes upp och ned, dock så att ingen lift inkommer i glaset.Med huru stor kraft pressas det nu fasthängande pappe- ret verkligen mot glaset, då man antager radien i glasets mynning vara 1 tum, dess djup 21 tum, b ar ometer höjden 25 tum, qvicksilfrets egentliga vigt 13,6 och vigten af en kubikfot vatten 61,5 skalp.? 33. Ett med en kran försedt glaskärl fck fylla sig med luft af H millimeters tryck och t graders temp., hvarefter kranen tillslöts. Någon tid derefter, då den yttre luβens tryck och temperatur voro EP och tl, öppnades kranen. Visa, huruvida luften vid detta sistnämnda tillfälle strömmade in i eller ut ur kärlet. Vid kärlets egen utvidgning fästes ej afseende. 34. En kula af zink, hvars egentliga vigt var 7,2, upphettades till 200°, hvarefter hon nedsänktes i ett med 5 skålp. vatten fyldt jernkärl af à skalp, vigt. Om temp, hos vattnet och kärlet dervid steg från 14,5° till 20°% och egentliga värmet för zink och jern antages vara 0,096 och 0,114; huru stor beräknas då zinkkulans radie? 35. I ett papper, som täcker en med plana och sinsemellan parallela ytor försedd glasslcifva, skola tvänne fina öppningar anbringas på ett sådant afstånd från hvarandra, att en under 300 mot glasets yta genom den ena öppningen infallande stråle kan, efter att vid glasets undre yta hafva blifvit reflekterad, utgå genom papperets andra öppning. Angif afståndet mellan de båda öppningarna, då man vet, att glasskifvans tjocklek är A tum och dess brytningsindex 4. 36. Under den tid, som en 2 fots pendel fullbordade en enkel sväng- ning, gjorde en öppen orgelpipa 500 vibrationer. Antag tyngdkraftens acce- leration vara 33 fot, ljudets hastighet 1150 fot, och beräkna deraf pipans längd. RÄTTELSE. Sid. 304 rad. 5 nedifr. står: vinkel, läs: cirkel. .9 Y' Pos G S 14 pe, 1 y ⅛