i 1 i ii o A • A % BIBLIOTEKET ) TOCKHOU TIDSKRIFT FÖR MATEMATIK ock FYSIK, TILLEGNAD DEN SVENSKA ELEMENTAR-UNDERVISNINGEN, UTGIFVEN AF D:R GÖRAN DILLNER ADJUNKT I MATEMATIK VID UPSALA AKADEMI (HUFVUDREDAKTÖR), D:R FRANS W. HULTMAN D:R T. ROB. THALEN LEKTOR VID STOCKHOLMS HÖGRE ELEM.-LÄROVERK. ADJUNKT I FYSIK VID UPSALA AKADEMI. FÖRSTA ÅRGÅNGEN. 1868. MED SEX TAFLOR. A€DÂG CISK BIBLIOTEKE TOCKHOL UPSALA, W. SCHULTZ UPSALA. W. SCHULTZ’ BOKTRYCKERI, 1868. Till vår Allmänhet. Snart har jorden fulländat ett kretslopp, sedan första häf- tet af denna tidskrift utkom. Det är då i sin ordning, att vi kasta en blick tillbaka på tidskriftens verksamhet under det nu förflutna året för att deraf bedöma hennes karakter. I ögonen fallande äro den mängd satser, hvilka till stor del blifvit lemnade af ynglingar vid elementarläroverken, och på hvilka äfven en mängd lösningar inkommit, ehuru utrymmet ej tillåtit att deraf intaga mer än ett ringa antal. Om än nå- gra måhända finna det tröttande att läsa dylika lösningar, så bör det deremot ■ för andra kännas ljuft att på detta sätt kunna lemna bidrag till tidskriften. I allmänhet väcker ju ett arbete, som mau sjelf gjort, större nöje än det, som en annan gjort. Bland afhandlingar, som för undervisningen böra vara synnerligen värdefulla, räkna vi HOLMGRENS om den elementära framställningen af maxima och minima, DILLNERS om isope- rimetriska produkters maxima och minima, samt den senares afhandling om grunddragen af den geometriska kalkylen. Här får man ej glömma PHRAGMÉNS och D-—GS geometriska tolk- ningar af ett par satser i trigonometrien. Inom mekaniken anse vi oss böra påpeka tvenne uppsatser för undervisningen, nämn- ligen DILLNERS bevis för kraftparallelogrammen och THALENS framställning af läran om enkla pendeln. Utrymmet medgifver ej' att anföra öfriga hit hörande uppsatser. Genom de historiska uppsatserna har tillfälle blifvit beredt att för en stund lyssna på den både såsom vetenskapsman och såsom menniska utmärkte fysikern FARADAY’s föreläsningar, då han uppdagar nya, hittills obekanta, hemligheter i naturen. Ge- nom dessa uppsatser har man fått tillträde till den berömde lord Rosse’s palats och verkstad för att derifrån betrakta nya verl- dar, förut ej skådade af menskligt öga. Genom dessa har man ända från dess början för omkring 250 år sedan fått följa det aritmetiska studiets utveckling i vårt land. Vi hafva äfven der- vid fått göra bekantskap med de främmande och svenske män, till hvilka vi i detta afseende stå i stor förbindelse. II På den fysiska afdelningen finna vi en redogörelse för nå- gra af nutidens märkligare uppfinningar. Vi erinra härvid om DELEUILS luftpump och om THEORELLS registreringsapparat för barometer- och termometerobservationer. Genom uppsatsen om bicellen hafva vi sökt ådagalägga, huru matematiken kan bidraga att uppvisa sanningen af den välbe- kanta satsen: »allt har DU ordnat i mått och tal och vigt»*. Den diskussion, som uppstått med anledning af under året utkomna arbeten, bör ej vara utan värde för kommande författare och för allmänheten. Slutligen har tidskriften, genom att redogöra för de i mo- genhetsexamina vid elementarläroverken gifna satserna och genom att införa de bästa lösningarna af dessa, sökt dels att gifva ett begrepp om ståndpunkten af de matematiska och fysiska studierna vid våra läroverk och dels att uppmuntra ynglingarne till fortsatta framsteg. Den i tidskriftens första häfte upptagna prisuppgiften har framkallat en liflig verksamhet. Från många håll i Sverige hafva inkommit lösningar; såsom en synnerligen intressant före- teelse må nämnas, att en af dessa är gifven af ett fruntimmer. Afven från Norge hafva vi haft glädjen emottaga en lösning. Vi hoppas att ännu få emottaga åtskilliga före nyåret. Utan tvifvel skall en granskare efter denna öfverblick finna mycket att anmärka. En förtjenst bör han dock upptäcka hos tidskriften — hennes varma hängifvenhet för det matematiska och fysiska studiets allt vidare utbredande i vårt land. Tidskriftens program blifver för nästa år oförändradt. Vi tacka för det förflutna året. Under förhoppning, att hvar i sin stad genom bidrag med större eller mindre lättfattliga uppsat- ser, anmärkningar och granskningar understöder vårt företag, börja vi tillitsfullt det nya kretsloppet. Vi anhålla att fortfa- rande få vara inneslutne i vår Allmänhets välvilja. * ”Omnia in mensura, et numero, et pondere disposuisti”. F. W. HULTMAN. Innehåll. AFDELNING I. Uppsatser. Sid. D—g, trigonometriska satser........................................68. Dillner, om isoperimetriska produkters maxima.....................102. Hultman, Svenska aritmetikens historia ...............1, 53, 149, 245. „................................................, om bicellens byggnad...........................................197. Nordlund, försök till förenklad framställning af några matemati- ska satser...............................................101. Phragmén, trigonometrisk sats......................................14. Wackerbarth, problem i deskriptiv geometri.........................69. Satser, af Almquist, 114; Björkman, 26; Cederblom, 71; Dillner, 111; Hellgren, 21; Hultman, 11, 15; Lindman, 22; Lindqvist, 21; Lundberg, 23; Lundström, 114; Peterson, 24, 114; S—g, 204; Torell, 203; Wicksell, 20. Satser, lösta af Almquist, 116, 258; Brolinson, 118; Cavallin, 168; Frykberg, 164, 256; Hultman, 11; Leffler, 115; S—g, 204; Torell, 203; Wicksell, 167. Prisuppgift för 1868 .............................................26. AFDELNING II. Uppsatser. Almquist, om bråkexponenter.................................... 264. Björling, till den elementära framställningen af rötter . . . 119. Dillner, grunddragen af den geometriska kalkylen 27, 124, 169,209,270. Holmgren, om den elementära framställningen af teorien för maxima och minima........................31, 73. Saxild, om Keglesnitsliniernes Krumningsradier..................205. Satser och PROBLEM, af Boije, 133; Johansson, 133; Lundberg, 38, 84; Lundström, 133. SATSER och problem, lösta af Lundberg, 36, 79, 82, AFDELNING III. UPPSATSER. Sid. Dillner, bevis for kraftparallelogrammen . 88. Thalén, Michaël Faraday 39, 84. „ , Lord Rosse . 134. „ , om luftpumpar 180. „ , om meteorologiska iakttagelser och den Theorellska re- gistreringsapparaten vid Upsala observatorium . . . 223. , „ , enkla pendeln 285. SATSER, af Cederblom, 93; T., 44, 92. Satser, lösta af Cavallin, 289. AFDELNING IV. Anmälan AF BÖCKER: Hultman, tre femställiga logaritmtabeller (Broch,Schlömilch, Wackerbarth) .....................................................45. „ , Weströms och Lindmans läroböcker i geometri . .96,141. „ , afhandling om relationen emellan kordan för en cirkel- båge och kordan för en part af densamma, af Norberg 185. „ , tio stycken räkneböcker (Elowson, Svenson, Ljungzell Wiemer, Smedberg, Cederblom, Guldberg, Nordlund, Sievers, Hansen) 233. „ , plan trigonometri af Phragmén 291. Elementerna af algebraiska Analysen och Differentialkalkylen af Björling.. 189. Tidsskrift for mathematik af Tychsen . . ..................................144. Den analytiske geometries begyndelsegrunde, af Zeuthen .. . . 294. Elowson, diskussion om undervisningen i aritmetik ...... 294. Lindman, Euklides' fyra första böcker ......................................183. D., något om de skriftliga profven för mogenhetsexamen .... 94. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen, h. t. 1867, 50; v. t. 1868, 146; h. t. 1868, 297. Kritik af satserna för h. t. 1868 ................................300. Profskrifning för maturitetsexamen, v. t. 1868 .......................189. Böcker, utgifna 1867—68 ...............................99, 194. Nya böcker..........................................................193. Insända uppsatser . ................................................196. Rättelser....................................................148, 244. Till vår Allmänhet................................................... I. AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. I det följande ämna vi framställa en, så vidt möjligt, fullständig redogörelse för de läroböcker i aritmetiken, hvilka blifvit utarbetade af svenskar från äldsta tider till den närvarande, och dervid visa, huru aritmetiken utveck- lat sig till sin nuvarande ståndpunkt, samt angifva när tecken, när decimaler började införas, när man började lägga vigt på att ej allenast minnet, utan äfven förståndet fattade de i böckerna meddelade reglerna. Det är tillika af ej ringa intresse att betrakta naturen af de problem, hvarmed läroböckerna under olika tidehvarf sysselsatt sig. Exemplen i de äldsta räkneböckerna beröra vanligen här- förare med deras krigshärar, mytologiska guddomligheter (Herkules, Pallas, Edipus, m. fl.), bibliska personligheter och tilldragelser (Moses, Daniel, syndafloden, förföljelser mot judar), lagfrågor af kinkig natur, m. m. Dessutom äro exemplen, att jag så må säga, ganska skarpt färglagda genom en mängd omständigheter, hvilka ej hafva det rin- gaste att göra med deras aritmetiska lösning. Vissa exem- pel genomgå en hel följd af räkneböcker t. ex. de om Hie- ros krona och Augias' stall. Vi skola vid redogörandet för de olika författarne framställa ett och annat exempel, för att gifva en lifligare föreställning om läroböckernas och tidens ståndpunkt. 1 2 Som vi skola få se, innehålla de äldsta svenska läro- böckerna vanligen regler, på hvilka man skulle blindt tro. Att begripa dem ansågs sannolikt öfvergå sundt för- nuft. Sjelfva författarne höllos utan tvifvel för rigtiga trollkarlar eller åtminstone som menniskor utrustade med synnerligen ovanligt förstånd. Ofta inledas nämligen räkne- böckerna af verser på latin och grekiska, hvilka till för- fattarnes ära blifvit skrifna af professorer vid universite- ten. Sina utgifna läroböcker tillegna författarne vanligen furstar, landshöfdingar, biskopar och andra rikets herrar. Det är tydligt, att innehållet af läroböcker med obe- gripliga eller svårfattliga regler endast med svårighet kan bana sig väg till en större allmänhet. Liksom i medve- tande häraf hafva de svenska författarne, utom den skrift- liga räkningen med siffror, i läroböckerna äfven framstält ett annat (sannolikt mycket gammalt) sätt att verkställa de i praktiska lifvet förekommande räknefrågorna, nämli- gen medelst ett slag af enkla räknemaskiner, hvilka bestodo af linier, belagda med s. k. räknepenningar. I flertalet af de på 1600-talet utgifna läroböckerna utföras alla räkne- sätt också med räknepenningar. Innan vi öfvergå till de af svenska författare utgifna läroböckerna, skola vi redogöra för tvenne utländska, hvilka synas hafva utöfvat ett stort inflytande på våra. Dessa båda utländska arbeten äro författade, det ena af Ramus, det andra af Clavius. P. RA MUS (Pierre La Ramée). Det arbete af Ramus, till hvilket vi haft tillgång *, är utgifvet efter hans död af Stadius och har till titel: Petri * Härmed begagnar jag tillfället att till kongl. bibliotekarien Klem- ming och kongl. bibliotekets öfriga tjenstemän frambära min hjertligaste tacksägelse för den beredvillighet, hvarmed de tillhandahållit för mig behöfliga böcker och meddelat mig önskade upplysningar. 3 Rami professoris regii Arithmetices libri duo, a Jo. Sta- dio, Regio et Rameoe professionis Mathematico, recogniti et illustrati. Parisiis 1581. 96 sidor 8:0*. Första boken behandlar fragor hörande till hela tal, bråk och sorter; den andra innehåller en vidlyftig teori om regula de tri, alligationsräkning samt geometriska serier. Första boken. I afseende på siffrornas namn förtjenar det att anmär- kas, att han kallar nollan för »circulus.» Såsom exempel på addition har han bland andra föl- jande: » om någon frågar för huru länge seda,n Homerus * Ur Firmin Didot’s Nouvelle biographie generale. Paris 1862 hemta vi nedanstående biografiska underrättelser om Petrus Eamus. Ra- mus var född 1515 i Cuth i Vermandois och mördades på det parisiska brölloppet 1572 den 26 Aug. Fadren var en fattig arbetare. Sonen Pierre hade att utstå en stor kamp för att under sina studier ej blifva öfverväldigad af fattigdomen. Då han vid 21 års ålder aflade sin exa- men, försvarade han på ett lysande sätt en af honom mot den peripa- tetiska skolan (till hvilken hans lärare hörde) utgifven sats: "quæcunque ab Aristotele dicta essent, commentitia esse“ (allt hvad Aristoteles har sagt är falskt). Derefter undervisade han i filosofi och angrep skarpt skola- stiken med alla dess onyttiga finesser, sökte reformera logiken och bil- dade en särskild skola, som efter honom kallades den rameiska. Ar 1544 blefvo hans skrifter fördömda och han sjelf förbjöds att undervisa i filosofi. Detta förbud återtogs år 1547, och fyra år senare (1551) blef han professor i filosofi och vältalighet vid College royal. Här före- läste han de första 8 åren grammatik, retorik och logik. Men efter Henrik H:s död 1559 egnade han sig åt matematiken och öfvergick samtidigt frän katolicismen till kalvinismen. Ifrån denna stund var hans lif ständigt utsatt för förföljelser. Då kalvinisterna blefvo förjagade från Paris, er- höll han en fristad i Fontainebleau, men flydde sedan hit och dit, tills han efter freden i Amboise 1563 återfick sin professorsstol. Derpå stu- derade han teologi, kom på nytt med i de borgerliga krigen och åter- vände 1568 till Paris. Nu begärde han afsked och besökte de flesta europeiska universitet (Strassburg, Basel, Zürich m. fl.). Han ater- kallades till Paris för tredje gången 1570 efter freden i S:t Germain en Laye. Såsom kalvinist fick han dock ej vidare föreläsa. I stället offent- lefde, och Gellius svarar, att han lefde 160 är före Roms grundläggning, hvilket skedde 752 år före Kristi födelse, hvilket åter inträffade för 1567 år sedan; hvad skall man svara ? Vid subtraktion, hvilket räknesätt han kallar sub- ductio, verkställer han subtraktionerna från venster till hö- ger eller i motsatt ordning emot hvad man nu brukar. Re- sten sattes ofuan minuenden. Ex.: Från 432 skall bort- tagas 345. Hvad återstår? Räkningen utföres sålunda: liggjorde han sina af handlingar. Ett för honom fördelaktigt anbud af en katolsk furste afslog han, emedan han ej ville tjena en katolik. Fa dagar derefter inträffade den förfärliga bartolomeinatten. Han omkom på den tredje dagen. Hans kropp blef genomborrad och, innan ännu lifvet slocknat, utkastad genom fönstret från femte våningen, släpad på gatorna och kastad i Seinen. Hela Rami lif var en strid, de första 20 åren mot armodet, de föl- jande 37 åren mot obskurantism och skolasticism inom vetenskaperna och religionen. Eamus har i vetenskapen försökt en reform analog med, Luthers och Calvins. Han proklamerade förståndet såsom sanningens högsta kriterium, sökte reformera alla vetenskaper. Han var sin tids störste matematiker i Frankrike, öfversatte Euklides' elementer, förfat- tade en aritmetik, en geometri, en algebra, som ännu i det följande seklet begagnades. Slutligen upprättade han i College royal med egna medel en professorsstol i matematiken, hvilken sedermera illustrerades af Eoberval. Copernici system räknade Eamus bland sina första anhän- gare. I fysiken visade han sig såsom fiende till hypoteser och abstrak- tioner. Med förbigående af hans många öfriga arbeten upptaga vi endast hans matematiska och fysiska. Arithmeticae libri tres. Paris 1555 in 4:0, åter utgifna flere ganger till 1627. Scholarum physicarum libri VIII. Paris 1565 in 8:o (en kritik af Aristoteles). Prooemium mathematicum. Paris 1567 in 8:o. Geometriae libri XXVII. Bale 1569 in 4:o. Scholarum mathematicarum libri XXXI. Bale 1569 in 4:o. Arithmeticae libri Π et algebræ totidem. Francfort publicerade 1586 in 8:o. efter Optica libri IV. Cassel 1606 in 4:o. Eami död. 5 87 Man säger: 3 från 3 gör noll; 4 från 12 gör 8; 432 5 från 12 gör 7. De siffror i minuenden och sub- 345 trabenden, med hvilka man räknat, öfverstrykas * omedelbart efter deras uppnämning, oberoende af s. k. låning. Multiplikation definierar han rigtigt att vara det räk- nesätt, i hvilket multiplikanden lika många gånger adde- ras, som enheten innehålles i multiplikatorn. Resultatet kallas factus. Liksom fallet var med addition, så utföres äfven detta räknesätt alldeles på samma sätt som i våra dagar. Bland exemplen har han följande: »det frågas, huru många gyllen (» aureos») i månadtlig sold 456 solda- ter skola hafva, då hvarje soldat får 4.» Division bestämmer Ramus att vara det räknesätt, i hvilket divisorn borttages från dividenden lika många gån- ger, som han innehålles i densamma. Resultatet kallas qvot. Uträkningen af divisionsexempel afviker i afseende på uppställningen betydligt från vårt vanliga. Divisorn till venster om dividenden skrefs under denna på nytt för hvarje operation, resterna stäldés ofvan dividenden och qvo- ten på sidan till höger om dividenden på sätt som vidfo- gade exempel närmare upplyser. Man skall dividera 7476 med 6: 123 6) 7476 (1246 IIII 6666 II I I 1246 23 För att göra förfaringssättet fullt tydligt, framställa vi här en tabell, som visar räkningens olika utseenden un- der divisionsoperationen, i förhoppning att derigenom all beskrifning blir öfverflödig. * Öfverstrykningen utmärkes här med streckar ofvan siffrorna. 19 M O B CD • o’ (D 0Q 2 JQ a 25 O (D 1° W O. * a A tn 1 A o. o o C a5 on 8 o 3 9 e a O CD C t O 5 15 H O. % 1’ 1 7 Vi vilja nu framställa utseendet på en division med flersiffrig divisor. 841 »coronati» skola fördelas såsom byte mellan 29 soldater. • 26 29)841 (29 29 58 29 261 Hvarje soldat bekommer således 29 coronati. Mot detta exempel skulle man kunna göra den anmärkning, att det enligt hans definition på division ej hör under detta räknesätt. Läran om bråk upptager endast halfannan sida. Bråks förkortning sker medelst den största gemensamma divisorn enligt den i Euklides' sjunde boks andra sats framstälda vanliga metoden att dividera det större talet med det min- dre, det mindre med den i den föregående divisionen er- hållna resten o. s. v. Vid bråks addition adderas endast två bråk hvarje gång. Bråks division, sker genom att di- videra täljare med täljare och nämnare med nämnare, Ex.: , divideradt med $ gifver 3. Af decimalbråk finnes icke en tillstymmelse. Första boken afslutas med sorträkning. Vi meddela endast .ett exempel. »Från 86 libellæ 1 as 7 denarii skola borttagas 47 lib. 10 asses 3 denarii.» Räkningen utföres enligt följande schema med resterna ofvanom minuenden och med iakttagande af ätt 1 libella är 20 asses och att 1 as är lika med 12 denarii. 38 11 4 II i 1 . ■ . 861. la. 7 d. 471. 10a. 3d. Aterstoden blir 38 libellæ 11 asses 4 denarii. 8 Andra boken. Denna bok börjar med att omnämna den hos Eukli- klides VII. 19 framstälda s. k. »gyllene regeln»: »då fyra tal äro proportionella, så är produkten af de ytter- sta lika stor med produkten af de medlersta»; och »om fyra tal äro så beskaffade, att produkten af de medlersta är lika stor med produkten af de yttersta, så äro talen pro- portionella». Ramus karakteriserar 4 proportionella tal, då han sä- ger, att om det första är t. ex. 3 af det andra, så skall det tredje vara 3 af det fjerde. Derpå följa många exempel först för det fall, att de tre gifna talen äro hela, sedan för det, att en eller flera af dera äro brutna. Vidare visar han på ett utmärkt sätt, att en mängd exempel äro så beskaffade, att man måste göra åtskilliga förberedande räkningar, innan man kan erhålla de tre tal, på hvilka den gyllene regeln skall tillämpas. Somliga pro- blem fordra en föregående addition, andra subtraktion, multiplikation eller division, andra åter fordra upprepade tillämpningar af den gyllene regeln. Bland exempel, hvilka erfordra en föregående addi- tion, upptaga vi endast tvenne, hvilka vi sedermera kom- ma att återfinna i många af våra svenska räkneböcker. Ex. 1. » Augeam interrogavit magna virtus Alcidæ Multitudinem armentorum quærens, ipse vero respondit, Circa quidem Alphæi fluvium, amice, dimidium quidem horum: Pars autera octava collem Saturni circumpascuntur. Duodecima autem secessit Taraxippi ad montem. Circa vero Elidem divinam vigesima pascuntur. Verum in Arcadia trigesimam reliqui. Reliquos autem videto greges, hic quinquaginta.» 9 Ur Agners i Stockholm år 1743 tryckta Arithmetica meddela vi följande öfversättning af detta problem: » Augea tilfrågat blef af Hercule, den man så gäf, huru många Nöth han äger? Augea svarar och säger: Halfparten lät jag qvar i bet, vid Alphæi strand: jag wist nu wet, en ottonde del förwist vid Saturni berg, förutan brist de wandra, om de födo få, tolfte delen lika så. Tjugonde med Elida. : Tretijonde uti Archadia fins och här på denne Strand 50 mig när til hand. Huru stor all Summan är, af tig weta jag begär?» Ramus löser detta problem på det sättet, att han först adderar bråken 5, 12, 20, 30, hvarigenom han får summan 120 eller den del af hans hjord, som är frånva- rande. Den återstående delen utgör således 120, men denna var ock enligt uppgift 50. De tre tal, på hvilka gyllene regeln skall tillämpas, blifva följaktligen: 25, 50, 120 *, hvaraf finnes, att antalet kreatur i Augeas hjord utgjorde 240. Ex. 2. En damm har tre aflopp, af hvilka det för- sta ensamt kan tömma dammen på 1 timme, det andra ensamt på 1 timme, det tredje ensamt på 1 timme. Frå- gas, på huru lång tid kunna alla tre afloppen tillsammans tömma dammen. Ramus räknar först ut huru många gånger dammen kan tömmas på en timme genom hvardera afloppet, och finner då för det första afloppet 4 gånger, för det andra 2 gånger och för det tredje 1 gång. Summan af 4, 2 och * Ramus tecknar: 25.50.120.240. 10 och 1 gör 7. Deraf erhåller han sedan analogien: 7.1. 1. γ. Det sista talet (1) angifver det sökta timantalet. - Bland exempel, som erfordra en föregående multipli- kation upptaga vi ett i våra dagar på s. k. sammansatt regula de tri förekommande exempel: . »Om 10 oxar på 7 dagar plöja 35 tunland, huru många tunland kunna då 20 oxar plöja på 24 dagar?» Genom lämplig multiplikation erhåller Ramus de tre talen 70, 35, 480, af hvilka han medelst användande af den gyllene regeln erhåller det fjerde talet 240. Som man ser, ställer Ramus det ena paret storheter, som äro af samma slag, i första och tredje rummet, och det andra paret i andra och fjerde rummet. Härefter kommer i ordning att behandla alligations- räkning, hvilken Ramus liksom större delen af hans efter- följare behandla mycket utförligt. Exemplen äro nämligen af den obestämda natur, att flere svar äro möjliga. Vi uppskjuta dock denna redogörelse, tills vi komma till nä- sta författare, Clavius, hvilken serdeles fullständigt och lättfattligt visar förfaringssättet vid detta slag af räkning. Efter att hafva talat om storheter som äro proportio- nella i ordning och i motsatt ordning (»de æquatione» och »de æquatione turbata»), öfvergår Ramus till summering af serier. Serien 2,4,8,...........64 summerar han på det sättet, att han från den andra ter- men (4) och sista termen (64) subtraherar den första ter- men (2), hvarigenom han erhåller återstoderna 2 och 62. Derpå söker han fjerde proportionalen till dessa båda åter- stoder 2, 62 och första termen 2. Summan af den er- hållna fjerde proportionalen 62 och sista termen 64 utgör seriens summa. Här liksom nästan öfverallt i Rami bok saknas bevis för rigtigheten af förfaringssättet. Med tillhjelp af alge- bran är det dock för detta fall ej svårt att åstadkomma 11 ett bevis. Låt nämligen den geometriska serien vara föl- jande : a, aq, aq2, . . . aq"—1. De båda differenserna blifva alltså a(q — 1) och a(2"-1 - 1). Den fjerde proportionalen till dessa båda dif- ferenser och till seriens första term a är a(qn~1 — 1) q — 1 hvilken lagd till sista termen aq"—1 gifver a."-------- 9-1 som det bör vara. så- Om än i pedagogiskt hänseende Rami lärobok i arit- metiken lemnar åtskilligt öfrigt att önska, kunna vi ej an- nat än beundra den skarpsinnighet *, hvarmed han redu- cerar en mängd problem till regula de tri. (Forts.) Problem af F. W. HULTMAN. En fader förordnar i sitt testamente, att det äldsta af hans barn skall af hans efterlemnade egendom hafva en . . 1 summa a r;dr och dertill en viss del - af resten: det an- n ‘ dra 2a r:dr och dertill - af det, som då är qvar, det tredje n 3a r:dr och dertill 1 af det, som då är qvar o. s. v. Vid n verkställandet af testamentet befanns, att alla barnen fått lika mycket. Huru stor var egendomen, huru stor var hvarje barns del, och huru stort var barnens antal? Vid uppställandet i eqvation af detta problem, hvilket förekommer i flere af våra algebraiska läroböcker, plägar man vanligen begagna sig af endast den uppgiften, att det * Bure, den äldste svenske författare af en räknebok, säger i sin Abacus om Ramus, att hans metod i regula de tri är snillrik men svår (4Ramus docet ingenioso quidem, sed difficili negotio«). 12 första och andra barnets delar äro lika. Det funna värdet af egendomens storlek är följaktligen oberoende af storle- karne på de öfriga barnens andelar. Det bör derföre vara af intresse att undersöka, huruvida icke en likhet mellan andelarne af tvenne barn hvilka som helst möjligen med- för likhet mellan alla barnens lotter, så snart dessa be- stämmas enligt den i problemets uppgift angifna lagen. Vi gå att företaga en sådan undersökning. Sättes egendomens värde = æ och barnens andelar re- spektive A,, Any A.. .. Amy erhålles , x — a ' A. - a+-------, n . x — A, — 2α A, = 2a +-----------, 2 n - A-A,-3a , . x-A.-A,-.. - Am 2-(ml)a -1 = (m—- la + --— - n a — A, - A ... — Am_1—ma = ma + —------—4--------------. . n Genom att successivt subtrahera en föregående eqva- tion från en efterföljande elimineras x. Man finner på detta sätt A, - kA = -α, A. — kA3 = - a, A, - kA, = - a. (2) hvarest Am-1 kAm — α, k -- - — 1 + - n— 1 n — I 13 Förmedelst eqvationssystemet (2) kan man utan svå- righet uttrycka de (m — 1) obekanta A,, A,,...Am — 1 i Am och kända storheter. Eqvationerna gifva k — 1 ∣ Am—1 - kAm a • 7 A,-3 = Tc3Am-a . ----------------, 7.m—1 — 1 A, = km—1 Am - a . —-----------------— . 1 m k — 1 Hittills är om andelarne ingenting anhat bestämdt än att de skola bildas enligt den i problemets uttryck angifna lagen. Skulle nu det vilkoret tilläggas, att tvenne bestämda af dessa m andelar skola vara lika stora, t. ex. att 4p = A,, erhåller man eqvationen km~p — 1 km—r 1 km—P A, — a . —— = km—TAm - a . — , " k—1 " fc-1 hvilkens lösning gifver A, = TC = (n - la....................(4) " k — 1 . 7 Häraf visar sig, att värdet på Am är oberoende af p, r och m eller af ordningsnummern på de tvenne andelar, hvilka voro lika stora. Ur eqvationssystemet (2) finner man sedan, att Am = Am — 1 = Am—2 = .... = 4, = (n - l)a. Den första eqvationen i systemet (1) gifver vidare a = α(n-l)2,.....................(5) hvaraf sedan följer, att barnens antal är = n—1. Anm. Skulle man i stället för vilkoret, att två de- lar skola vara lika stora, införa det, att egendomen skall 14 vara helt och hållet utdelad, då det m:te barnet fått sin andel, blefve tydligen detta barns del Am lika med ma, och man erhölle de öfriga barnens andelar genom att i eqvationssystemet (3) i st. f. Am sätta ma. Delarnes och egendomens storlek blifva Am = ma, a k[km —(m + l]a 4m-1 - T - 1 + - Te - I ’ a k2[km—(m + l)]a Am-2 — - - + - - , k — 1 kc — 1 a km—1[km — (m + I)]a 1 - % - 1 + % - 1 ' ,nm[m — (n — I)]a 2 = a(n - 1)2 + — . . 7 (n — 1"-1 Emedan - m — (n — 1) km — (m + = —2, . 2 n - 1 ' synes, att dessa värden på de obekanta sammanfalla med de förut i (4) och (5) funna värdena, om man gör m = n-∖, d. v. s. låter barnens antal blifva = n —1; ett resultat, som man kunde vänta sig. Geometriskt bevis af formlerna får tredje händelsen vid snedvinkliga trianglars beräkning. (Jfr Lindmans Tri- gonoraetri, s. 73). Gifna: a, b och C. Om a och b äro olika, så låt a beteckna den större. Konstruktion (se fig. 1): A C skäres midt i tu genom CD. BD och AE dragas JL mot CD och A F mot B.D. 15 Beυis. A CBD - 900 - 1C = 1(4 + B); A ABD = T(A + B) L B = :(A - B). AF = CD - CE och BF = BD + DF. Men nu är AF = sin M(4 - B); CD = acos ; C; CE = bcos I C; BF = C COS $(A - B); BD = a sin L C; DF =bsin IC. Således är c sin #(A - B) = (a - b) cos AC c cos 5(A - B) = (a + b) sin 2 C. Af dessa erhållas slutformlerna tg 1(A — B) = (a - b)cotg 2 C a + b (a + b) sin 1C - cos 4(A — B) ° (a — bcosI C . C = - ------------------------eller C sin 2(4 - B) LARS PHRAGMÉN. Satser af F. W. HULTMAN. 1. I Åstrands Aritmetiska Genvägar, Göteborg 1852, andra upplagan, förekommer följande genväg för att förvandla sådana bråk, hvilkas nämnare är 19, 29, 39, 49, ... o. s. v. till decimalbråk. » Täljaren divideras med första siffran af nämna- rens nästa tiotal; qvoten anses såsom ny dividend, hvilken åter divideras med samma divisor o. s. v., da qvoterna uppskrifne formera det sökta decimalbråket. Om t. ex. 10 skall reduceras till decimalbråk, så säger man 2 uti 16, 8 gånger; 2 uti 8, 4 gånger; 2 uti 4, 2 gånger; 2 uti 2, 1 gång; 2 uti 1, 0 gång med 1 till rest; 2 uti 10, 5 gånger; 2 uti 5, 2 gån- ger, med 1 till rest; 2 uti 12, 6 gånger; o. s. v., så att man har 16 = 0,84210526315...... Bevisa rigtigheten af detta förfaringssätt. 16 2. I nyssnämnda bok, sid. 53, förekommer ett sätt att för- medelst successiv division utdraga qvadratroten ur ett gifvet tal. » Om t. ex. qvadratroten begäres ur 124, så di- videras 124 med rotens närmaste tiotal, nemligen 10; emellan detta och qvoten 12,4 sökes medeltalet 11,2, hvarmed det gifna talet återdivideras, då qvoten blif- ver 11,07. Medium af denna och det förra medeltalet är 11,135, som är den sökta roten med trenne deci- maler. Önskas den noggrannare, så divideras det gifna talet 124 med den sistfunna roten, då qvoten blifver 11,1360574 och medium af detta tal samt den sistfunna roten 11,135, gifver roten = 11,1355287 rig- tig intill sjunde decimalen, så att man i allmänhet för hvarje division får ett dubbelt antal decimaler. » Visa detta förfaringssätts rigtighet. 3. Samma bok angifver följande sätt att genom successiv division utdraga kubikroten-ur ett gifvet tal. » Om t. ex. kubikroten begäres ur 72, så divideras detta tal med dess närmaste heltaliga kubikrot, nem- ligen 4; qvoten 18, dividerad med samma tal 4, gif- ver en qvot = 4,5. De båda divisorerna 4 och 4 samt sistfunna qvoten 4,5 hopadderas; summan divideras med den konstanta divisorn 3, då ett nytt närmnings- värde å roten erhålles = 4,167. Denna rot begagnas nu på samma sätt, som det först antagna närmnings- värdet 4, hvarvid sista qvoten blifver 4,14653.- Medi- um af denna och två gånger 4,167 gifver ett tredje närmningsvärde å den sökta roten = 4,16017, rigtigt intill femte decimalen.» Visa orsaken till detta förfaringssätt. 4. 1 problemen 4—11 äro en triangels tre sidor gifna (a, b, c). Att finna uttrycken på längderna af de tre li- 17 nier, som dela vinklarne midt i tu (bissektricerna af triangelns tre vinklar) och äro utdragna, tills de träffa motstående sidor. 5. Att finna uttrycken på längderna af de tre linier, hvilka dela triangelns yttre vinklar midt i tu och äro utdragna, tills de träffa förlängningen af den triangelsida, som står emot den intill ifrågavarande vinkel belägna inre vinkeln i triangeln. (Bissektricerna af triangelns yttre vinklar). 6. Att finna uttrycken på triangelns tre höjder. 7. Att finna uttrycken på de tre räta linier, som från vinkelspetsarne dragas till motstående sidors midt- punkter (triangelns midtellinier). 8. Att finna uttrycken på de tre linier, som förena tri- angelns vinkelspetsar med de punkter på deras mot- stående sidor, der dessa tangeras af «) den i triangeln inskrifne cirkeln; ß) den cirkel, hvilken tangerar en sida i triangeln och de båda andra sidornas förlängningar (utan- förinskrifven cirkel). 9. Att finna uttrycken på ytorna i de tre trianglar, af hvilka hvarje har den omskrifne cirkelns medelpunkt till spets och till bas en sida i den gifna triangeln. 10. Att finna uttrycken på ytorna af de tre trianglar, af hvilka hvar och en har sin spets i den inskrifne cir- kelns medelpunkt och till bas en af triangelns sidor. 11. Att finna uttrycken på ytorna af de tre trianglar, hvilka hafva sina spetsar i medelpunkten till den cir- kel, som tangerar en sida och de båda andra sidor- nas förlängningar, och hvilka hafva triangelns tre si- dor till baser. Att, om möjligt, uttrycka en triangels vinklar, sidor och yta i 12. triangelns bissektricer (se probl. 4); • 2 18 13. triangelns bissektricer af de yttre vinklarne (se probl. 5); 14. triangelns tre höjder; 15. triangelns tre midtellinier (se probl. 7); 16. de tre linier, som förena triangelns vinkelspetsar med de punkter, der dessa tangeras af a) den i triangeln inskrifne cirkeln; ß) den cirkel, hvilken tangerar en sida i trian- geln och de båda andra sidornas förlängningar; 17. radierna till de tre utanför inskrifna cirklarne (se probl. 8 ß); 18. triangelns omkrets och radierna i de in- och omskrifna cirklarne. I problemen 19—28 äro längderna på de tre kantlinier, hvilka bestämma den solida vinkeln vid spetsen i en triangularpyramid, lika med respektive a, a,, a2, samt längderna på de tre kantlinierna, hvilka bilda bastriangeln, lika med b, b., b2, dock så att b2 sammanbinder ändpunkterna af a och α1, b ändpunkterna af a, och a2 samt således b, ändpunk- terna af a och a2. 19. Att finna uttrycket på radien i det inskrifna klotet. 20. Att finna uttrycket på radien i ett klot, som tangerar pyramidens basyta och de tre sidoplanernas förläng- ningar. 21. Att finna uttrycket på radien i det kring pyramiden omskrifna klotet. 22. Att beräkna ytorna af de tre trianglar, af hvilka hvar och en bildas af en från pyramidens spets gående kantlinie, en från samma spets i motstående sidoplan gående bissektrice och af en linie, som förenar nyss- nämnda liniers ändpunkter. 23. Att beräkna ytorna af de tre trianglar, af hvilka livar och en bildas af en från pyramidens spets gående kantlinie, af en från samma spets i motstående sido- 19 plan gående hδjdlinie och af en linie, som förenar nämnda liniers fotpunkter. 24. Att beräkna ytorna af de tre trianglar, af hivilka hvar och en bildas af en från pyramidens spets gående kant- linie, en från samma spets i motstående sidoplan gå- ende midtellinie samt af en linie, som förenar nämnda liniers fotpunkter. 25. Att beräkna ytorna af de tre trianglar, af hvilka hvar och en bildas af en från pyramidens spets gående kant- linie, af en linie, som är dragen från samma spets i motstående sidoplan till tangeringspunkten för den i samma plan inskrifne cirkeln, och af en linie, som förenar nämnda liniers fotpunkter. 26. Att beräkna ytorna af de trianglar, hvilka hafva sina spetsar i det inskrifna klotets medelpunkt och hvilka till baser hafva pyramidens kantlinier. 27. Att beräkna ytorna af de trianglar, som hafva sina spetsar i medelpunkten af ett af de utanför inskrifna kloten och hvilka till baser hafva pyramidens kant- linier. 28. Att beräkna ytorna af de trianglar, som hafva sina spetsar i det omskrifna klotets medelpunkt och till ba- ser pyramidens kantlinier. Att, om möjligt, upprita en triangel, då man känner 29. sidornas midtpunkter; 30. fotpunkterna af höjderna; 31. de punkter, der sidorna skäras af bissektricerna till de inre vinklarne; 32. de punkter, der sidornas förlängningar skäras af bis- sektricerna till de yttre vinklar, som ligga bredvid de emot dessa sidor stående vinklar i triangeln; 33. de punkter, der sidorna tangeras af den inskrifne cir- keln; 20 34. de punkter, der en sida och de båda andras förläng- ningar tangeras af en cirkel; 35. då man känner medelpunkterna till de tre cirklar, som tangera en sida i triangeln och de båda andras förlängningar. Satser af Knut Wicksell, elev vid Stockholms gymnasium. 36. Om man af sidorna i en triangel, hvilken som helst, afskär en tredjedel från vinkelspetsarne räknadt och åt samma led och sammanbinder skärningspunkterna med motstående vinkelspetsar, så bildas en triangel, som är y af den ursprungliga. 37. Att med en gifven medelpunkt upprita en cirkel, som skär två gifna cirklar så, att kordan, som förenar skärningspunkterna blir parallel med en gifven rigtning. 38. A BC är en triangel, der vinkeln vid C är f af en rät. På sidorna äro uppritade liksidige trianglar; bevisa, att triangeln på AB tillsammans med triangeln ABC är lika med triangeln på AC tillsammans med trian- geln på BC. 39. Om två linier, som skära två yttre vinklar till en triangel midt i tu och begränsas af de motstående si- dorna, äro lika stora, så äro de tudelade vinklarne lika stora. 40. I ett tvåsiffrigt tal är den venstra siffran udda och den högra jemn och dubbelt så stor; om man tager hälften af talet och ställer siffrorna i det derigenom bildade talet i omvänd ordning, uppkommer ett tal, som är y af det ursprungliga. Hvilket är detta tal? 41. Två personer P och Q skiljas vid hörnet af ett qva- dratiskt torg ABCI) med 225 fots sida. P går i rigtningen AJ), Q i rigtningen AB med y af P:s hastighet. Hunnen till B vill P för någon angelägen- 21 het åter uppsöka Q och begifver sig derföre i rät li- nie mot @ utefter EF (@ befinner sig nämligen nu i punkten F) samt framkommer till F i samma ögon- blick, som @ kommer till B; @ har nämligen alltjemt fortsatt sin väg. Bestäm punkterna F och F. Satser af G. H. Lindqvist, elev vid Stockholms gymnasium. 42. Att från en punkt utom en gifven cirkel draga en se- kant till cirkeln så, att stycket mellan punkten och den utböjda delen af periferien blir lika stort med vin- kelräta afståndet från medelpunkten till sekanten. 43. I en cirkel äro dragna två radier vinkelräta mot hvar- andra. Att från den enas ändpunkt draga en rät li- nie, som skär periferien och den andra radiens för- längning så, att stycket mellan afskärningspunkterna blir lika med sidan i den i samma cirkel inskrifna qvadraten. Satser af A. E. HELLGREN, forne elev vid Stockholms gymnasium. 44. På sidan AC af en triangel ABC är en punkt D tagen efter behag. Från D är dragen en rät linie DE, som träffar sidan BC i E, så att vinkeln CDE är lika stor med vinkeln B. Bevisa, att de tangenter, hvilka dragas från C till hvilka cirkelbågar som helst på styckena AD och BE, äro lika stora. 45. Att upprita tvenne cirklar med gifna medelpunkter så, att radiernas summa blir lika med en gifven rät linie, samt att den gemensamma tangenten (stycket mellan tangeringspunkterna) till de båda cirklarne, blir lika med en gifven rät linie. 22 46. Att med gifna medelpunkter upprita tvenne cirklar, hvilka skära hvarandra så, att deras gemensamma körda blir lika stor med en gifven linie och att deras gemensamma tangent blir lika stor med en gifven linie. 47. Att med gifna medelpunkter upprita tvenne cirklar, hvilka skära hvarandra så, att vinkeln, som bildas af den utdragna gemensamma kordan och den gemensam- ma tangenten, blir lika med en gifven vinkel, samt så, att denna vinkels spets ligger på ett gifvet afstånd från en af de gifna medelpunkterna. 48. Medelpunkterna A och B äro gifna. Det begäres, att man skall upprita cirklarne, då man känner längden af den gemensamma tangenten CD och längden DD af förlängningen af tangenten CD, som ligger emel- lan tangeringspunkten D och räta linien A B E. 49. Att mellan en gifven vinkels A ben inpassa en gifven begränsad rät linie B så, att, om man skär den in- passade linien B i tre lika stora delar och samman- binder den ene af dessa skärningspunkter med vinkel- spetsen A, vinkeln A blir skuren midt i tu. 50. Att mellan en gifven vinkels ben inpassa en gifven rät linie så, att om man skär henne i tre lika delar och sammanbinder en af hennes delningspunkter med vinkelspetsen, vinkeln mellan den inpassade linien och den sist dragna räta linien blir rät. 51. Att från en gifven punkt utom en cirkel draga en rät linie, som skär cirkeln så, att det stycke af henne, som ligger inom cirkeln, är lika med det, som ligger utom densamme. Satser af lektor Lindman. 52. Om närliggande sidor i ett trapezium skäras i samma proportion, så bilda närliggande skärningspunkters sammanbindningslinier en paralellogram, hvars diago- 23 naler skära hvarandra på den linie, som förenar de punkter, i hvilka trapeziets diagonaler äro midt i tu skurna, samt skära denna linie i samma proportion, hvari sidorna blifvit skurna. 53. Att geometriskt och trigonometriskt bestämma en tri- angel, då man känner två af hans sidor samt att den enas motstående vinkel är dubbelt så stor som deras mellanliggande vinkel. 54. Att bestämma (p ur eqvationssystemet R cos (B + 9) = (b - y) cos C - (a - æ), R cos (A + ) = (a - a) cos C-(b - y), x sin (B + 9) + y sin (A + 9) = c sin 9 , hvarest R = M(a - z)2 + (b - y)2 - 2(a — a)(b - y) cos C och a, b, c sidor, A, B, C vinklar i en triangel. 55. Om en udda dignitet af 2 ökas med 1 och om en jenn dignitet af 2 minskas med 1, så uppkomma tal, som hafva 3 till faktor. Satser af student E. Lundberg. 56. Lös eqvationen M/1 - 3.2 + 3622 — 1 = 3/w2. 57. Att genom ändpunkten af en gifven korda i en cirkel draga tvenne andra kordor så, att de med den gifna kordan bilda lika stora vinklar, och så, att dessutom deras summa eller skilnad blir lika med denna korda. 58. Bevisa geometriskt, att, om de punkter, der en trian- gels sidor tangeras af den inskrifna cirkeln, samman- bindas med motstående vinkelspetsar, sammanbindnings- linierna råkas i en punkt. 59. Bevisa geometriskt, att, om man har figuren till Eukl. I. 47 uppritad, de två räta linier, som sammanbinda de yttersta punkterna af hypotenusan med spetsårne 24 af de på motstående kateter uppritade qvadraterna, råkas på perpendikeln, som frän den räta vinkelns spets är nedfäld mot hypotenusan. (Lösningar af satserna 1—59 remitteras till lektor Hultman). Satser af student N. PETERSON, forne elev vid Upsala priv. elem.-läroverk. 60. ABC är en rätvinklig triangel, uti hvilken den ena kateten AB är dubbelt så stor som den andra A C. Ofver A B och B C såsom diametrar äro tvenne cirklar uppritade, och från B är en godtycklig körda dragen i segmentet ACB. Huru denna körda än må dragas, så är dock alltid hennes afstånd från den mindre cir- kelns medelpunkt lika stort med det stycket af henne, som begränsas af de båda cirklarnes periferier. Anm. Detta teorem, jemnfördt med Eukl. III. 7, gifver vid handen, huru en korda skall dragas i cir- keln, för att summan af henne och hennes afstånd från medelpunkten må blifva ett maximum. 61. Tvenne cirklar CABD och EABF, hvilkas medel- punkter äro Q och P, skära hvarandra i A och B. Radierna PA, PB, QA, QB förlängas till punkterna C, D, E och P. Visa, att skilnaden mellan vinklarne AQB och APB är lika stor med dubbla skilnaden mellan vinklarne CG D och EHF, då G och H äro tvenne punkter, den förra på cirkelperiferien CABD och den senare på cirkelperiferien EABF. 62. A, B, C och D äro medelpunkterna, E, F, G och H tangeringspunkterna för fyra cirklar, af hvilka hvarje tangerar tvenne. Visa, att kring fyrhörningen EFG H kan omskrifvas en cirkel, som tillika är in- skrifven i fyrhörningen A BCD. 63. En cirkel ABDEC, uti hvilken O är medelpunkt och AE en diameter, är gifven. Genom en punkt P 25 på radien 0 A drages en korda B C så att PB blir lika stor med PO, och från C drages en diameter CD. Visa, att bågen AB är hälften af bågen BD. 64. På periferien af en cirkel, hvars medelpunkt är A, tages en punkt B till medelpunkt för en mindre cir- kel CD E, hvilkens periferi råkar den större cirkeln i C, linien AC i D och linien AB i E. Visa, att vinkeln AED är 3 gånger så stor som vinkeln ADE. 65. Trenne cirklar skära hvarandra. De linier, som för- ena intersektionspunkterna för hvarje cirkelpar, råkas i en punkt. 66. Att i en gifven cirkelsektor (radien = r, vinkeln = 2ω, kordan = c) inskrifva en maximirektangel, som har tvenne hörn belägna på bågen. Trigonometrisk be- handling. 67. Samma problem. Algebraisk behandling. 68. Samma problem. Geometriskt bevis. 69. Tvenne lika stora cirklar (radierna = r fot) skära hvarandra så, att den enes periferi går genom den an- dres medelpunkt. Att uti den för de båda cirklarne gemensamma ytan inskrifva en maximirektangel. 70. Att i en gifven triangel (höjden = h fot, basen = b fot) inskrifva ett parallel-trapezium, hvars sidor äro parallela med triangelns sidor, hvars mindre bas utgör en del af triangelns bas, och hvars yta är ett maximum. 71. Hvilken är den största rektangel, som har två spetsar belägne på hvardera af tvenne med hvarandra koncen- triska cirkelperiferier (radierna = R,r fot)? 72. Att upprita en rätvinklig triangel, då man känner höjden mot hypotenusan jemnte katetsumman. 73. Om man till produkten af fyra konsekutiva tal adde- rar 1, så är summan en jemn qvadrat. 74. I Todhunters algebra (ex. 40 på multiplikation) före- kommer följande räknesats: bevisa, att x8+y{+(a+y)8 = 2(22 + ay+y7)4 + 8aly>(a+y)2(~2 + ay+y2). Kan detta • bevis utföras medelst successiva upplösningar i faktorer? 2* 26 Satser af L. J. BJÖRKMAN, elev vid Upsala priv. elem.-läroverk. 75. Tvenne koncentriska cirklar äro uppritade, hvilkas ra- dier förhålla sig som 1:2. I den större cirkeln är en korda dragen, som tangerar den mindre cirkelns periferi. Visa, att denna korda är fyra gånger så stor som höjden i en liksidig triangel, hvars sida är lika stor med den mindre cirkelns radie. 76. Tvenne berg, hvardera af 12000 fots höjd, äro be- lägna på hvar sin sida om ett haf. Om jorden anta- ges vara fullt sferisk och hennes diameter 1190 sv. mil, huru långt är det mellan bergspetsarne, a) om synlinien mellan dem tangerar vattenytan? b) om synliniens kortaste afstånd från vattenytan är 3000 fot? c) om synlinien skär vattenytan så, att höjden i det af henne och vattenytan bildade segmentet är 4000 fot? Huru stor vinkel bilda bergspetsarnes lodlinier med hvarandra i de tre anförda fallen? (Lösningar al satserna 60— 76 remitteras till doc. Dillner). Märk: endast de svårare af de anförda satserna upptagas i de följande häftena till diskussion. Prisuppgift för 1868. (Priset är Traité de Calcul Différentiel par J. Bertrand). Att upprita en quadrat, hvars sidor (förlängda, om så behöfves) gå genom hvar sin af fyra gifna punkter. Anm. Problemet bör fullständigt diskuteras. Lösningarna böra vara insända till lektor Hultman före den 1 Januari 1869. AFDELNING IL Je croy qu’il nous faut encore une autre analyse proprement géométrique ou linéaire, qui nous exprime directement situm, comme l'Algèbre magnitudinem. Leibnitz. Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. Inledning. Hvad vi inom aritmetiken beteckna med talet 1 eller den s. k. aritmetiska enheten är, som bekant, en konventionel eller arbiträr storhet, genom hvars mångfaldning eller delning eller genom dessa två åtgär- der tillsammans de aritmetiska talen hafva sin naturliga uppkomst *. Den allmänna grundsats, hvarpå all aritmetisk räkning bygges och som fin- nes axiomatiskt gifven hos äfven den förste nybörjaren, lyder: storheter, som ingå i samma räkning och äro af samma slag, maste vara hänförda till samma konventionella enhet. Då enheten såsom konventionel kan vara olika för särskilda storheter, så följer deraf, att reduktion till ny enhet (den aritmetiska multiplikationen jemte dess omvändning divisionen) ut- gör en nödvändig förutsättning för den aritmetiska kalkylens utveckling. Öfvergå vi nu till algebran, så ligger likaledes den aritmetiska enheten till grund för det algebraiska talet, men med en ny konventionel be- stämning. Så t. ex., om vi med talet 1 beteckna 1 r:dr, så beror det på godtycke eller fri öfverenskommelse, om denna etta skall beteckna fordran eller skuld (tillgång eller brist); likaledes, om 1 betecknar en grad på termometerskalan, så beror det på konvention, om dermed menas en grad öfver eller under nollpunkten, o. s. v. Denna nya kon- ventionella bestämning på enheten kalla vi hennes sättning eller position, hvilken således enligt sin natur är tvåfaldig och subtraktivt motsatt den ena * Genom en delning af enheten, som går i det oändliga, och genom en motsvarande mångfaldning af delarne kan det irrattionella talet anses ba sin uppkomst. 28 den andra. Enheten sjelf på detta sätt bestämd kallas algebraisl enhet och tecknas ±1. Genom denna enhets mångfaldning eller delning eller genom dessa två åtgärder tillsammans har det algebraiska talet* sin na- turliga uppkomst. Den sättning af enheten, som vi lägga till grund för ett problems uppställning i eqvation, kallas positiv och utmärkes med tecknet +, då den motsatta sättningen utmärkes med tecknet — och kallas negativ. Att det är fullkomligt likgiltigt, hvilkendera af de två möjliga sättningarna det är, som lägges till grund för problemet eller tages positiv, inses lätt af följande två exempel: l:o) en person har en räntefri skuld af K r:dr samt en icke ränte- bärande årlig inkomst af » r:dr; huru stor är hans skuld efter t år? x = K — pt; 2:o) en person har en räntefri skuld af K r:dr samt en icke ränte- bärande årlig inkomst af p r:dr; huru stor är hans tillgäng efter t år? x = pt — K ; der således i l:o skulden och i 2:o tillgången har positiv sättning **. Dock måste, såsom af sig sjelf inses, den sättning man väljer för ett pro- blems uppställning i eqvation vara genomgående, så att man icke i en och samma eqvation betecknar t. ex. en skuld på ena stället såsom posi- tiv och på andra stället såsom negativ. Den allmänna axiomatiska grund- sats, hvarpå den algebraiska kalkylen måste byggas, blir således: storheter, som inga i samma eqvation och äro af samma slag, måste vara hänförda till samma konventionella, enhet och samma konventionella sättning. Då sättningen såsom konventionel kan vara olika för särskilda storheter, så följer deraf, att reduktion till ny sättning jemte den förut afhandlade reduktionen till ny enhet * Vi kunna icke sluta oss till deras åsigt, som anse algebraiska tal (synnerligen de negativa) böra uteslutande benämnas qvantiteter, och det så mycket hellre, som positiva och negativa tal, positivt och negativt talsy- stem äro allmänt gängse termer inom vetenskapen. ** Af det redan anförda inses, att allt tal om utstötning af de nega- tiva qvantiteterna ur algebran såsom orimliga förfaller af sig sjelf. Ty hvilka qvantiteter äro väl genom sig sjelfva positiva eller negativa? — inga; den negativa får nämligen sin tillvaro först sedan den positiva är satt och ingenting, hindrar, att man efter godtycke kastar om sättningen, så att den negativa blir positiv och tvärtom. Hvilkendera qvantiteten skall nu utstö- tas såsom orimlig? Svaret kan icke bli annat än: begge eller ingendera. Åsyftar man åter med sin förkastelsedom de negativa qvantiteternas räkne- lagar, så framgå dessa, som vi skola se, ur sättningens begrepp såsom lika nödvändiga och vissa, som någonsin lagarna för de positiva qvantite- terna. 29 (den algebraiska multiplikationen jemte dess omvändning divisionen) må- ste utgöra den nödvändiga förutsättningen för den algebraiska kalkylens utveckling. Betydelsen af den algebraiska multiplikationen innefattas således i följande två momenter: 1:o) reduktion till ny enhet eller den arit- metiska multiplikationen; 2:0) reduktion till ny sättning eller den s. k. tecken- multiplikationen. Således, om en med + 1 betecknad storhet, d. v. s. positivt satt, inflyttas i en eqvation med oförändrad positiv sättning, måste hon fortfarande tecknas + 1, hvaraf reduktionslagen: +(+1) = +1.........................(1); om åter samma storhet inflyttas i en eqvation med omkastad positiv sätt- ning, måste hon tecknas — 1, hvaraf reduktionslagen: -(+1) =-1..........................(2). Om en med —1 betecknad storhet, d. v. s. motsatt den positivt satta, inflyttas i en eqvation med oförändrad positiv sättning, så måste hon fortfarande tecknas — 1, hvaraf reduktionslagen : + (-1) = -1........................(3); om slutligen samma storhet inflyttas i en eqvation med omkastad positiv sättning, så måste hon, såsom först hänförd till en sättning motsatt sin egen samt sedan till denna sättnings motsats, tecknas + 1, hvaraf reduktionslagen: - (-1) = +1. ...... . • (4). Till belysning af de i (3) och (4) uttryckta lagarna må anföras föl- jande exempel: om en skuld införes i en eqvation, i hvilken dess mot- sats fordran är satt såsom positiv, så maste hon tecknas negativ; infö- res hon åter i en eqvation med omkastad positiv sättning, der således fordrans motsats d. v. s. skuld blifvit positivt satt, måste hon tecknas positiv. Om vi nu med de i (1)—(4 uttryckta reduktionslagarna samman- fatta den aritmetiska multiplikationen, så få vi följande fyra former för den algebraiska multiplikationen: (+a) X (+0) = +ab (1’) (—a) x (+0) == — ab...............(2) (+a) X (—6) ==—a..................(3') (-a)(—6) = +ab*...............(4'). Dessa gι∙undsatser, ehuru fullt tillräckliga att på ett tillfredsstäl- lande sätt förklara de reela qvantiteternas räknelagar, lemna icke den — * Man lägge märke till, att en multiplikation sådan som (— 3) X ( + 4) eller (— 3) X (— 4), der multiplikatorn är ett negativt tal (multiplikatorn måste nämligen enligt sin natur vara ett abstrakt tal) saknar helt och hål- let betydelse, så vida man icke tolkar den i enlighet med ofvan anförda grundsatser. 30 ringaste upplysning om betydelsen af de imaginära qvantiteterna. För algebristen är ~.— 1 eller i ett blott tecken utan något reelt under- lag; att bygga en kalkyl på detta tecken, d. v. s. att utveckla tankens lagar om ett tecken utan innehåll eller begrepp, synes vara en orimlig- het eller en ovärdig fantasilek. Och likväl lemnar denna kalkyl, efter att hafva fört sina innehållstomma tecken genom en labyrint af hypo- tetiska operationer, de mest glänsande resultater, hvilkas sanning trot- sar den skarpaste kontroll: det tomma tecknet pekar öfverallt på ett innehåll, som, engång rigtigt fαnnet, måste ge upphof åt en kalkyl, som under sig subsumerar såsom enskilda species de hittills utvecklade grenarna af matematiken. För att finna detta innehåll uppställde re- dan Wallis (1693) en analogi, +1:i = i:—1, hvilken Eukli- des svårligen skulle hafva erkänt såsom sin, men ur hvilken Wal- lis drog följande för den imaginära kalkylens utveckling epokgörande slutsats: om + 1 och — 1 tänkas förlagda i motsatta rigtningar från en punkt på en rät linie, så måste i såsom medelproportional beteckna en rät linie, som till sin storlek är 1 och som är förlagd i den vinkelräta riktningen från punkten (jfr Eukl. VI: 8). Det är i sjelfva verket på denna hypo- tes som senare tiders matematici byggt sina teorier om de imaginära qvantiteterna, hvarvid gången i allmänhet varit följande: den imaginära kalkylen med sina hypotetiska räknelagar har satts i första rummet så- som någonting i och genom sig sjelf teoretiskt berättigadt; i andra rum- met har kommit den geometriska tolkningen med den Walliska hypote- sen i spetsen. Ar 1847 utgaf Cauchy sin “Mémoire sur les quantités géométriques,< hvari han inslog en motsatt väg, i det han antydde en utveckling ur geometriens egna begrepp, en verklig geometrisk kalkyl, som är oberoende af den imaginära kalkylens tecken och hypoteser, men i sig innehåller algebrans såväl reela som imaginära räknelagar såsom enskilda species. Inom denna kalkyls område återfinna vi vidare lagarna för den plana och sferiska trigonometrien, den analytiska geometrien samt mekaniken. Infinitesimalmetoden, tillämpad på de geometriska qvantiteterna, är synnerligen rik på intressanta och vigtiga resultater., Vi skola på den af Cauchy beträdda vägen egna denna tidskrift en serie uppsatser i den geometriska kalkylen, hvarvid vi skola bemöda oss om korthet, tydlighet och bestämdhet samt en bindande bevisning. Kal- kylens praktiska betydelse kommer att belysas genom talrika öfnings- exempel. Såsom förkunskaper förutsättas endast elementär geometri och algebra samt för räkneexemplen derjemnte de första grunderna af me- kaniken. 31 Om den elementära framställningen af teorien för maxima och minima. Af HJ. HOLMGREN. I de flesta — för att ej säga alla — läroböcker i dif- ferentialräkning är teorien för funktioners maxima och mi- nima enligt vår åsigt ofullständig i det hänseendet, att den ej gör afseende på vissa slag af funktionsvärden, hvilka dock vid teoriens tillämpning stundom äro af stor vigt att iakttaga. Vidare anse vi den framställning af ämnet, som grundar sig på funktioners utveckling i serie, vara mindre lämplig, då det är lätt att inse, att hela den ifrå- gavarande teorien är en af de närmast liggande följdsatser af definitionen på funktionen sjelf och dess derivata. Det faller af sig sjelf, att närvarande uppsats icke afser en fullständig och detaljerad framställning af det väl- bekanta ämnet, utan endast uppmärksamhetens fästande på de antydda anmärkningarna mot det formella i den vanliga framställningen af detsamma. Vi skola derföre inskränka oss till behandlingen af det enklaste fallet eller utvecklade (explicita) funktioners af en oberoende variabel maxima och minima, fastän samma anmärkningar gälla om de mera sammansatta frågornas behandling, och ett förfaringssätt, likartadt med det vi nu gå att framställa, äfven kan til- lämpas på dessa. Med y = f(a) förstås i det följande en reel och entydig funktion af x, eller en sådan, som för hvarje reelt värde på a, för hvilket den sjelf har reelt värde, i allmänhet antager ett enda och bestämdt sådant, och endast undantagsvis för vissa enskilda a-värden (nämligen då den är diskontinuerlig) kan antaga tvenne olika och reela värden. Då man tänker sig den oberoende variabeln a i en sådan funktion genomlöpa alla värden från - ∞ till + ∞, 32 så kan dervid funktionen y = f(x) sjelf genomlöpa flere el- ler färre från hvarandra åtskilda kontinuerliga följder af reela värden. Begynnelse- och slutvärdena på « i hvar och en af dessa kontinuerliga följder angifva hvad vi skola, för korthets skull, kalla funktionens slutpunkter. Benäm- ningen häntyder derpå, att mot dessa ställen svara änd- punkter på de särskilda grenarna af kroklinien y = f(x) i ett rätvinkligt koordinatsystem. Sådana slutpunkter eller ställen, från hvilka räknadt funktionen har en kontinuerlig följd af reela värden åt den ena men ej åt den andra sidan, äro af 4 olika slag. De förekomma nämligen: 1) Då funktionen öfvergår från reelt till imaginärt värde eller tvärtom. En slutpunkt. Ex. y = lx för a = 0, y = %(a — 1)(2 — x) för a = 1 och a =2, y = arc sin æ för x = —1 och x = + 1. 2) Då funktionen är diskontinuerlig eller för vissa vär- den på a antager tυenne olika reela värden. Två 1 1 slutpunkter. Ex. y = -—-—. och v = arcto — - °(x—a)3 • a—a för a = a. 3) Då funktionen för æ = — 0o eller . = + 0o har reelt värde, så motsvarar detta en slutpunkt. 4) Då funktionen tillfölje af särskilda inskränkande vil- kor i en framstäld fråga skall anses gälla endast mel- lan gifna reela gränser a = a och a = b på den va- riabla, äro dessa ställen slutpunkter. — Sådana fall förekomma ofta nog, såsom i de följande exemplen skall närmare visas. Här kan vara tillräckligt erinra, att om t. ex. 0 = f(x) skall vara uttrycket för kröknings- radien i en ellips, hvars ena axel är parallel med a- axeln, så är funktionen Q inskränkt af vilkoret, att i frågan gälla endast mellan de värden på x, som motsvara den nämnda figuraxelns ändpunkter, äfven 33 om /(#) i sin allmänna betydelse skulle hafva reela värden utanför dessa gränser. Hvarje funktion har således åtminstone två slutpunk- ter. Bland en entydig funktions maximi- och minimivärden räkna vi nu alltid dess värden i slutpunkterna, derföre att dessa värden äro antingen större eller mindre än de när- maste i den kontinuerliga följd af värden, som slutpunkterna afsluta eller börja, så framt ej funktionen i närheten af 0 /2 dessa punkter är en blott konstant, såsom t. ex. y = , a i hvilket fall dess värden i slutpunkterna dock åtminstone kunna sägas vara lika med ett funktionens största eller minsta värde. En entydig funktion y = f(x) har alltså maximi- eller minimivärde a) i alla slutpunkter, eller för sådana «-värden, från hvilka räknadt en kontinuerlig följd af reela funk- tionsvärden ansluter endast åt ena sidan; b) för alla öfriga a-värden, der funktionsvärdet f(x) är på samma gång antingen större eller ock mindre än de åt begge sidor i kontinuerlig följd närmast anslutande reela värdena. Man kan anmärka, att vanligen endast de under b) upptagna värdena räknas som en funktions maxima och minima. Häraf blir bland annat den följd, att funktioner skulle finnas, som hade hvarken maxima eller minima, ett antagande, som åtminstone strider emot språkbruket, efter- som det är tydligt, att hvarje funktion måste — om den ej är rentaf en konstant — hafva ett största och ett min- sta värde. Då slutpunkterna medtagas, får hvarje funktion minst ett maximum och ett minimum. De cyklometriska funktionerna arc sin x, arc cos « o. s. v. erbjuda exempel på funktioner, hvilkas reella maxima och minima finnas endast i slutpunkterna. Gå vi nu till uppsökandet af alla dessa under a) och b) definierade maxima och minima, så finna vi först, att 3 34 slutpunkterna för y = f(æ) måste anses omedelbart gifna ge- nom funktionens definition. Hvad åter de maximi- och minimi-punkter beträffar, från hvilka räknadt funktionen åt begge sidor har en kon- tinuerlig följd af reela värden, så motsvarar värdet a = a ett maximum för f(æ), om f(a—h) < f(a) > f(a+h) . . (1), ett minimum » » » f(a-h)>f(a) 0, motsvara minima för f(a). 36 Skulle åter en rot a = a till f'(x) = 0 ej gifva bestämdt tecken åt f"(x), d. ä. skulle den äfven göra f"(x) till noll, så är frågan, om värdet a = a ger ett maximum eller mi- nimum eller ej, på denna väg ännu oafgjord. Vill inan det oaktadt ej direkt undersöka tecknen för f'(a) å ömse sidor om nollvärdet f'(a), så kan man fortgå sålunda. Om a = a skall kunna ge maximum eller minimum, så måste f'(x) vara antingen aftagande eller ock växande, då a pas- serar detta värde (eftersom f'(x) ju då måste vexla tecken). Men då måste dess derivata f"(x), som enligt antagandet äfven blef = 0 för x = a, hafva samma tecken å ömse si- dor om detta nollvärde f"(a). Har den ej det, så vexlar ej f'(x) tecken, och a = a ger hvarken maximum eller mi- nimum; har den det åter, så anger detta tecken, om det är —, ett maximum, om det är +, ett minimum för f(x). Vill man ej heller göra denna undersökning direkt, så är klart, att om f"(x) skall kunna hafva samma tecken å ömse sidor om värdet f"(a) = 0, så är detta nollvärde ett maximum eller minimum för f"(x), hvartill åter fordras, att f"(x) vexlar tecken, d. ä. antingen passerar noll med teckenvex- ling eller ock är diskontinuerlig med olika tecken för de begge värdena. Sker intetdera, så kan ej f'(x) vexla tecken. År åter f"(a) = 0, så afgör f^, om den får bestämdt tecken, huru teckenvexlingen affix') eger rum. Blir äfven f 2) = 0, så är frågan ännu oafgjord, och det nu tillräckligt antydda förfarandet kan upprepas, ifall man ej föredrager den di- rekta undersökningen. (Forts.) Problem, löst af student E. Lundberg. (Ur Géom. Anal. par Briot et Bouquet, éd. 4, Livre II, Excerc. 16). Tvenne fasta cirklar (EeF, GgH, fig. 2, 4, 6) äro gifna. Två rörliga cirklar tangera såväl hvarandra som de båda gifna cirklarne. Att finna locus för de rörliga cirklarnes tangeringspunkt. 37 Det är till att börja med tydligt, att man genom hvarje punkt på endera af de gifna cirklarne kan draga tvenne olika tangerande cirklar, som tillika tangera den andre af de båda gifna cirklarne. De gifna cirklarne höra således till locus. När vi derföre i det följande tala om, hvad locus är, underförstå vi alltid, äfven om detta ej ut- tryckligen nämnes, att till locus dessutom höra de gifna cirklarne. Tag på centrallinien CD tvenne punkter A och B så belägna, att AC:CF = AD: DH och BC:CF = BD:DG, så är det tydligt, att, om man genom A och B huru som helst drager kordor till båda cirklarne, så blifva radier- na, som dragas till dessas ändpunkter, parallela två och två (Ce//Dg, Cf∕∕Dh, Cf'∣∣Dg', Cé//Dh). Kan man genom någon af punkterna A och B draga en tangent till någondera cirkeln, så måste den äfven vara en tangent till den andre. Om c är skärningspunkten mellan Cf och Dg samt d skärningspunkten mellan Ce och Dg, så är tydligen cf = cg och de = dg (tillfölje deraf, att basvinklarne äro lika stora). Med c och d till medelpunkter kan man således upprita cirklar afg och beg, som tangera de fasta cirklarne i f' och g samt i é och g. Häraf inses, att, om en cir- kel tangerar de båda gifna cirklarne, så ligga tangerings- punkterna i samma räta linie med endera af punkterna A och B. Drages genom A en tangent Aa till cirkeln afg, så är ---2---------------. da = Af.Ag. Men, emedan Ce∕∕Dg och Cf∕∕Dh, så är Ae: Af = Ag: Ah eller Ae. Ah = Af.Ag. Dessutom är -------------------2 --2 AM = Ae.Af och AN = Ag. Ah, d. v. s. AM. AN= ------------------------------------------2 ~/Ae . Af. Ag . Ah = Af.Ag. Således är Aa = AM.AN, d. ä. Aa är medelproportional mellan AM och AN. 38 Om man från B drager till cirkeln be'g' en tangent Bb, så bevisas likaledes, på grund af att Bb = Be.Bg, ---2 —---2 BK = Be. Bf och BL = Bg. Bh, att Bb är medelpro- portional mellan BK och BL. För hvarje läge af linien Af är afståndet Aa det- samma. Om man drager en ny cirkel, som utom det, att den tangerar de gifna cirklarne, äfven tangerar Aa, så är det derföre tydligt, att den punkt, der denna cirkel tan- gerar Aa, måste vara samma punkt a, der afg tangerar Aa. De båda cirklarne tangera derföre hvarandra i a, hvadan denna punkt hör till locus, alldenstund afståndet Bb är konstant. Locus ar således (utom sjelfva de gifna cirklarne) tvenne cirklar, af hvilka den enes medelpunkt ligger i A och den andres i B. Den förra cirkelns radie är medel- proportional mellan tangenterna AM och AN, och den andres, medelproportional mellan de mot centrallinien vin- kelräta halfkordorna BK och BL. Båda dessa cirklar förefinnas samtidigt, om cirklarne skära hvarandra (fig. 4). Ligga deremot cirklarne utom hvarandra (fig. 2), så kan man ej i dem genom B draga några mot centrallinien vinkelräta kordor, hvarföre locus i detta fall endast utgöres af den cirkeln, som har A till medelpunkt, hvaremot den andre försvinner. Ligger åter den ene af de gifna cirklarne helt och hållet inom den an- dre (fig. 6), så kan man ej genom A draga några tangen- ter till dessa cirklar, och i detta fall försvinner derföre den cirkel, som skulle hafva haft A till medelpunkt, och locus kommer endast att utgöras af cirkeln med B till me- delpunkt. (Forts.) Satser af student E. Lundberg. 1. Till en hyperbel, som vrider sig kring sin medelpunkt, drager man tangenter genom de punkter, der den skär 39 en fast rät linie. Sök orten för dessa tangenters skär- ningspunkt. 2. Att konstruera en parabel, a) som går genom fyra gifna punkter, b) som tangerar fyra gifna räta linier. AFDELNING III. Michaël Faraday. För enhvar, som än aldrig så litet sysselsatt sig med studiet af fysiken, torde Faradays namn vara bekant. Denne man, som slutligen blef icke blott Englands utan måhända hela Europas förnämste fysiker, ledde sitt ursprung från föräldrar inom den arbetande klassen. Han var född i närheten af London 1791, njöt undervisning till sitt 13:de år i en mindre skola och sändes sedan i bokbindarelära. Under denna tid inhemtade han ur några till bindning lem- nade böcker de första grunderna för en elektricitetsmaskins verkningai’ och gaf sig ingen ro, förrän han sjelf konstrue- rat sig en dylik apparat. En lycklig händelse gjorde, att Faraday vid den tiden fick åhöra några föreläsningar af den namnkunnige Sir Humphry Davy, och det intryck, han dervid erfor, afgjorde hans framtida öde. Från detta ögon- blick låg nämligen lians håg uteslutande åt vetenskapliga sysselsättningar, och Davy antog honom på hans egen be- gäran 1813 till assistent vid laboratoriet i Royal Institu- tion i London. Till en början var Faraday blott och bart medhjelpare åt den ryktbare kemisten, men från och med 1820 uppträdde han såsom vetenskapsman på egen hand. Han 40 blef slutligen professor vid sagde Royal Institution, der han stadnade till sin död sistlidne 25 Augusti. Faraday var med rätta berömd såsom en ypperlig före- läsare; såsom författare var han måhända mindre lycklig, om man fäster sig vid den formella behandlingen af ämnet. Hans föreläsningar, der några matematiska deduktioner al- drig förekommo, utgjordes af en sammanhängande, med yt- tersta omsorg vald serie af handgripliga experimenter; och un- der den välvillige lärarens ledning blef det för åhöraren så- lunda lätt att bilda sig en rigtig föreställning om de naturkraf- ter, hvilkas verkningar de anstälda experimenten voro äm- nade att tydliggöra. Inträffade det vid dessa tillfällen, der vi räknat omkring 50 experiment under en föreläsning, att något af dem misslyckades, lät Faraday detta aldrig förbrylla sig; han begagnade sig tvärtom äfven deraf för -sina åhörares undervisning, i det han för dem uppvisade orsaken, hvarför experimentet ej utfallit efter önskan. Vid jultiden hållas inom Royal Institution hvarje år sex för yngre personer ämnade föreläsningar, hvilka, isynnerhet då Faraday var föreläsare, med nöje följdes äfven af en mängd gråhårsmän. Hände det då, att han för sina yngre åhörares räkning anstälde något puts- lustigt experiment, som uppväckte deras munterhet, ty Faraday var road af dylikt, och denna någon gång öfver- steg de gränser, han kanske åsyftat, voro hans varningsord »låtom oss vara allvarsamma» tillräckliga att återföra dem till allvarlig uppmärksamhet, och ur det experiment, som nyss förefallit såsom ett lekverk, drog han nu fram en hel mängd fakta, som gåfvo åhörarne rik anledning till efter- tanke. Det var med förkärlek Faraday höll dessa för ungdomen beräknade föreläsningar, ty, sade han, »denna ålder är mest fördomsfri, och dess sinne således mest mot- tagligt för naturens sanningar.» Under hans föreläsningar var det icke blott den ut- märkt skicklige experimentatorn, man hade tillfälle att lära 41 känna; åhöraren tilläts dervid äfven blicka in i den flärd- fria, rena och älskvärda karakter, som ständigt och i så hög grad utmärkt Faraday. Såsom vetenskapsman intager Faraday ett särdeles framstående rum. Hela kapitel af fysiken ha före honom icke funnits till, och förnämligast gäller detta inom vissa delar af elektricitets läran. Hans upptäckter voro derjemnte af den art, att de nästan alla ej blott kommit vetenskapen till godo, utan äfven visat sig användbara i det praktiska lifvet. Så till exempel finna vi dem använda vid fråga om sprängning af berg och tunnlar, vid elektrisk telegrafering, vid eklärering af fyrbåkar, vid elektricitetens användning för medicinskt behof, m. m. Men oaktadt Faraday utan tvifvel sjelf insåg, att dessa upptäckter skulle kunnat bli honom inkomstbringande, drog han aldrig någon ekonomisk fördel af dem; — der han hade sått, tillät han andra att skörda. Faradays upptäckter. * 1. Gasers förvandling till vätskor. På grund af sina undersökningar om gasernas för- vandling till vätskor kunde Faraday med bestämdhet på- stå, att gaserna endast i det afseendet skilja sig från ån- gorna, att de under vanliga förhållanden äro långt aflägsna från sin mättningspunkt, medan ångorna äro nära sin. Ty de vanligen s. k. ångorna öfvergå till vätskor vid vanligt tryck och temperatur, men de s. k. beständiga gaserna erfordra särdeles låga temperaturer och starkt tryck för att bringas i flytande tillstånd. Före Faraday hade man verk- ligen lyckats kondensera ammoniakgas, klor och svafvel- syrlighet genom användning af intensiv köld och starkt tryck, men honom lyckades det att medelst enkla appara- ter i betydlig mån minska antalet af de gaser, som dit- * Jfr Revue des deux Mondes d. 15 Okt. 1867. 42 tills motstått kondensering. Vid fortsättningen af sina för- sök begagnade han en köldblandning, som utgöres af ether och kolsyra i fast form, hvars temperatur i luften är — 90° och i tomrummet nedgår till 110 grader under vattnets fryspunkt. Medelst denna köldblandning och 50 atmosfe- rers tryck gjorde Faraday nya eröfringar inom de bestän- diga gasernas område, så att det nu återstår endast 5 ga- ser, hvilka trotsat alla hittills använda medel för att bringa dem till vätskor; de äro: väte, syre, qväfve, koloxid och qvâfoæid. / 2. Induktionsströmmarne. En elektrisk ström, benämnd induktionsström, uppväc- kes i hvarje sluten metallisk ledare, då man till densamma närmar eller derifrån aflägsnar vare sig en magnet eller en elektrisk ström af oföränderlig styrka, äfvensom då vid oförändradt afstånd styrkan hos magneten eller hos den elektriska strömmen ökas eller minskas. När den induce- rande kraften aflägsnas eller till sin styrka minskas, blir induktionsströmmens rigtning motsatt mot hvad den är, då kraften närmas eller får sin styrka förökad. Inom en och samma ledare kan äfven den ena delen uppväcka dylika strömmar i den andra, och dessa kallas då extraströmmar. Dessa af Faraday 1831 och derefter bekantgjorda la- gar gåfvo förklaring på den s. k. rotationsmagnetismens fenomener, hvilka man dittills ej rätt kunnat förstå. Dessa bestå deri, att en jernfri metallskifva kan utöfva inverkan på en närbelägen magnetnål och omvändt, då endera af dem befinner sig i rörelse. Orsaken härtill är den, att magneten uppväcker induktionsströmmar i skifvan, hvilka sedan i sin ordning återverka på magneten. Vid kon- struktion af galvanometrar och kompasser har man häraf gjort en särdeles vigtig användning, när man, för att få den i rörelse satta magnetnålen att hastigt återgå till hvila, omgifver den med tjocka metallringar. Denna vexelverkan mellan magneter och induktionsströmmar uppträder under 43 en särdeles egendomlig form, då man mellan polerna på en stark elektromagnet bringar en metallskifva i ro- tation, ty öfverlemnas skifvan då åt sig sjelf, stadnar hon nästan ögonblickligt i sin rörelse, liksom kompassnålen i sin metalldosa, men öfvervinner man med tillräcklig kraft det starka motstånd, som magneten utöfvar, och verkligen påtvingar skifvan en fortfarande rotation, så upphettas hon så betydligt, att Joule på detta sätt kunnat nedsmälta en skifva af bly. I teoretiskt hänseende måste upptäckten af induk- tionsströmmarne naturligtvis anses särdeles betydelse- full, men man skulle, åtminstone vid första påseende, kunna fråga, huruvida den med hänsyn till det praktiska kunnat vara af någon synnerlig vigt, då man väl hellre borde begagna den direkta och oafbrutet verkande ström- men från staplarne, än den på omvägar erhållna induce- rade, hvars verkningar äro diskontinuerliga.∙ Men skilna- den är den, att induktionsströmmen ej blott eger de egen- skaper, som tillkomma strömmarne från stapeln, utan der- jemte friktionselektricitetens utomordentligt stora tension. Induktionsströmmarne representera således på sätt och vis föreningen af de båda slagen af elektricitet, nämligen stap- larnes dynamiska med stor elektricitetsmängd, och den statiska med dess starka gnistor. Medelst induktionsapparaterna kan man nu ögonblick- ligen och på ett nära nog kontinuerligt sätt erhålla lika kraftiga gnistor, som från de gamla friktionsmaskinerna, utan att på ett tidsödande sätt behöfva ladda ett stort an- tal Leydiska flaskor. Dessa strömmar gifva allt, hvad man med stapelns tillhjelp och förmedelst friktionsmaskinen kan vinna, nämligen attraktioner, repulsioner, gnistor, värme, ljus, kemisk verkan, nervösa stötar, magnetisering af jern m. m., och de ha äfven blifvit oumbärliga för ve- tenskapen, industrien och krigskonsten. Den Ruhmkorffska apparaten, hvars verkningar äro jemförbara med åskans, är verldsbekant; för vetenskapligt behof användes den för- 44 nämligast vid spektral-analysen, och inom krigskonsten be- gagnas den för minors antändning. De magneto-elektriska maskinerna lemna induktionsströmmar, i det man till en sluten ledare alternativt närmar och aflägsnar polerna pä en magnet. Under verldsexpositionen i Paris sistlidne som- mar fick man om aftnarne se elektriskt ljus utsändas från tvenne fullständiga, i parken uppstälda fyrbåkar. Ljuset, som här frambragtes genom en med ångkraft drifven mag- neto-elektrisk maskin, var bländande hvitt och visade, vid jemförelse med det matta gula ljus, som en närbelägen fyr- bak af vanliga slaget samtidigt utsände, huru vigtig upp- täckten af induktionsströmmarne varit äfven för sjöfarten. En lika vigtig användning af dessa strömmar finna vi äf- ven vid fråga om telegrafering, ty vid de vanliga jernvägs- telegraferna är det dessa, och icke strömmar från staplar, som begagnas. Slutligen hafva under aldra sista tiden Wheatstone och Siemens konstruerat induktionsapparater, medelst hvilka man på det mest omedelbara sätt kan för- vandla mekanisk rörelse i magnetism och dynamisk elek- tricitet, och det synes verkligen vara omöjligt att ana, till hvilka vigtiga resultater Faradays upptäckt af induktions- strömmarne slutligen skall leda. (Forts.) Satser. Följande redan af Galileus funna sats anse vi såsom allmänt bekant. Falltiden för en partikel längs den vertikala diametern hos en cirkel är lika stor med falltiden längs en korda hvilken som helst, blott hon drages från den högsta eller lägsta punkten hos sagde diameter. Med tillhjelp af denna sats kunna lösningar finnas till följande problem. Sök läget för den räta linie, längs hvilken en parti- kel faller utan begynnelsehastighet på kortaste tid 45 1. från en gifven punkt till en gifven rät linie; 2. från en gifven rät linie till en gifven punkt; 3. från en gifven punkt utanför en gifven cirkel till cirkeln; 4. från en gifven cirkel till en gifven punkt utanför densamma; 5. från en gifven punkt inom en gifven cirkel till cirkeln; 6. från en gifven cirkel till en gifven punkt inom densamma. AFDELNING IV. Anmälan af tre femställiga logaritmtabeller. 1. Broch, Logarithmetabel med fem decimaler, udgiven til Skole- brug. Christiania 1865. 32 sidd. 8:o. Pris: 30 öre r:mt. 2. SCHLÖMILCH, Fünfstellige Logarithmische und Trigonometrische Tafeln. Braunschweig 1866. 170 sidd. 8:o. Pris: 1 r:dr 90 öre. 3. WACKERBARTH, Femställiga logarithmtabeller. Upsala 1867. 224 sidd. liten oktav. Pris: 2 r:dr r:mt. Ifrågavarande trenne tabeller utmärka sig, såsom sjelfva namnet antyder, framför de hos oss vanligen begagnade sjuställiga logaritm- tabellerna (af Vega-Hülsse, Vega-Bremiker, Köhler, Schrön) derigenom, att de hafva endast fem decimaler. Deras nästan samtidiga utgifvande i tre länder antyda ett på flere håll kändt behof af sådana tabeller. Vid första påseendet tyckes det besynnerligt, att man skall behöfva tabeller, som äro mindre noggranna än de, hvilka man förut har. Men denna besynnerlighet försvinner snart, då man får veta, att begagnandet af sjuställiga logaritmtabeller i de flesta fall förutsätter noggrannare obser- vationsdata, än våra nuvarande resurser medgifva. Sjelfva astronomerna använda derföre vanligen de enkom för deras räkning utgifna Bremikers 46 sexställiga logaritmer; fysici göra vid beräkningar af ljusvågslängder, hvilka erfordra ytterst fina mätningar, vanligen ej bruk af andra än femställiga logaritmer; mekanici behöfva vid beräkning af dimensionerna på längderna af de i deras byggnadsföretag förekommande delar endast femställiga logaritmer.Utom det att således i flertalet af fall sjuställiga logaritmer för praktiken äro öfverflödiga, medför deras begagnande en onödig tidsspillan. Det erfordrar tydligen mera tid att finna ett tal i en större bok än i en mindre, mera tid att skrifva ett större tal än ett mindre, mera tid att räkna med större tal än med mindre. Vidare riskerar man lättare att begå ett räknefel vid vidlyftiga än vid enkla räkningar. I pedagogiskt hänseende kan det ej vara mera lärorikt att begagna stora tal än små. De små talen fattas lättare än de stora och afleda tanken ej så lätt från hufvudsaken som de stora. Inlärandet af logaritmer blir ofta afskräckande vid anblicken af den digra bok, hvari de innehållas. På grund af allt detta anse vi utgifvandet af ofvan- nämnda tre tabeller såsom en nationalvinst. Med detta hafva vi ej velat säga, att sjuställiga logaritmtabeller äro öfverflödiga. Så t. ex. kunna vi ej undvara dem vid räkningar med sammansatt ränta på flera år och i allmänhet ej vid räkningar, der man på ett uppgifvet datum gör itererade räkneoperationer, hvarigenom ett fel i början vid hvarje följande operation förstoras. Vi ga nu till redogörandet för våra tre i öfverskriften omtalade ta- beller. Brochs tabell. Denna tabell innehåller mantissorna för de briggiska logaritmerna för tal från 1000 till 10000 jemnte tillhörande proportionaldelar, vidare logaritmerna för de trigonometriska funktionerna för hvarje minut från 0° till 2°, för hvar femte minut från 20 till 11°, för hvar tionde minut från 11° till 450 jemte differenserna för en minut. Slutet af tabellen innehåller några sjuställiga logaritmer i och för räkningar med samman- satt ränta från och med 1 procent till och med 5, procent. Vidare äro de sjuställiga logaritmerna för talen 7, e och 2 angifha. Såsom skol- bok anse vi denna tabell synnerligen lämplig. Vi skulle dock önskat, att denna tabell vid de trigonometriska logaritmerna begagnat karakte- ristikerna 1, 0, 1, 2, . . i st. f. de använda 11, 10, 9, 8, . . äfvensom att den upptagit de naturliga sinus, kosinus, tangenterna och kotan- genterna med åtminstone tre decimaler. Schlömilchs och Wackerbarths tabeller. Vi taga dessa tabeller tillsammans, alldenstund de begge hafva samma ändamål, nämligen att gagna dels vid skolundervisningen och 47 akademien, dels vid räkningar för vetenskapliga eller mera praktiska ändamål. 1. S:s tabeller äro i det närmaste en afkortning af Schröns sju- ställiga logaritmer, hafva liksom dessa lika höga siffror, äro liksom dessa tryckta pa ett utmärkt vackert papper, hafva liksom dessa ett minus- streck under den sista decimalen, då denna är uppkommen genom ök- ning. W:s tabeller, hvilka till formatet (fickformat) likna Lalande’s, på- minna i typografiskt hänseende om Bremikers tabeller genom sina olika höga siffror. Siffrorna 3, 4, 5, 7, 9 skjuta nämligen nedom linien, siffrorna 6 och 8 deremot höja sig ofvanom densamma. Härigenom sär- skiljas siffrorna lättare från hvarandra, t. ex. 1 från 4, 0 från 6. Om W:s tabeller i detta afseende stå framför S:s, så hafva deremot onekli- gen S:s tabeller företräde framför W:s genom markerandet af sista deci- malens beskaffenhet att vara för stor eller för liten. Om t. ex. man skall dividera 98525 med 2, blir qvoten efter W:s tabell 49263 (åt- minstone enligt det vanliga bruket), men enligt S:s rigtigare 49262. Låt vara att i praktiken resultaten i det närmaste sammanfalla, så kännes det dock angenämare att räkna med pålitligare siffror. 2. Begge tabellerna innehålla femställiga briggiska logaritmer för talen 1 till 10000 jemnte tillhörande proportionaldelar. Derefter upptaga S:s tabeller de sex ställiga logaritmerna för talen 10000 till och med 10909 i och för ränteberäkningar ända till 9,1 procent. W:s tabeller upptaga för samma ändamål de sjuställiga logaritmerna för talen 10000 Jill och med 10999 (duga således ända till 10.procent). Emedan S:s tabeller här äro sexställiga, men W:s sjuställiga, kunna den förres an- vändas vid beräkning af ränta på ränta endast för 10 år, den senares deremot för till och med 100 år. I ränteformeln S = k (1 + r)= blir för n = 10 genom multiplikation decimalkommat framflyttadt ett steg till höger, men för n = 100 framflyttas det 2 steg. En sexställig logaritm blir alltså redan för n — 10 förvandlad till femställig, en sju- ställig deremot blir femställig först för n == 100. Här sidd. 32—36 har W. vidfogat en kolumn, hvarigenom man utan svårighet kan finna en sjuställig logaritm för ett tal hvil- ket som helst mellan 1 och 10000. Detta är synnerligen fördel- aktigt, om man ej har till hands en sjuställig logaritmtabell. 3. S:s och W:s tabeller upptaga begge naturliga logaritmer med 5 decimaler. De skilja sig derutinnan, att S:s tabeller gälla blott för talen 1 till 100, men W:s för talen 1 till 10000. Dessa tabeller kom- ma ofta till gagn vid studiet af differential- och integralkalkylen, der, som bekant, nästan inga andra logaritmer förekomma. 4. S. och W. hafva begge de naturliga sinus, kosinus, tangenter 48 och kotangenter från 0° till 45° med den skilnad, att S. har dem från 0° till 1° med 7 decimaler, från 1° till 50 med 6 decimaler, fran 50 till 45° med 5 decimaler, hela vägen för hvar tionde minut, då W:s tabell deremot angifver dessa funktioners värden i blott tre decimaler öfverallt, och detta för hvar tionde minut till 5°, för hvar 20:de till 15° och sedan för hvar 30:de. Upptagandet af de naturliga sinus anso vi synnerligen fördelaktigt för våra, skolor, der vi ofta nödgas studera mekanik och trigonometri utan att förut hafva kunskap om logaritmer. Dessutom fäster sig betydelsen af sinus och kosinus mycket skarpare i minnet genom att räkna med dem sjelfva i st. f. med deras logaritmer. 5. Om på de naturliga trigonometriska funktionerna S. nedlagt större arbete än W. (ehuru för vanliga praktiska behof W:s 3 decimaler äro fullt tillräckliga), så blir dock vid dessa funktioners logaritmer för- hållandet omvändt. S:s logaritmer för de trigonometriska funktionerna gå nämligen endast från minut till minut. W:s deremot gå från sekund till sekund från 0° till 10', från 10 till 10 sekunder emellan 0° och 5°, från minut till minut ända till 45°. Derjemnte utmärka sig W:s tabeller ejj blott framför S:s utan framför alla andra derigenom, att de utvisa den båge, som svarar emot en bestämd trigonometrisk funktion ej alle- nast, då bågen slutar i första qvadranten, utan äfven då han slutar i någon af de tre öfriga, äfvensom derutinnan (och det måhända den förnämsta förtjensten), att de alltigenom äro beledsagade af interpo- lationstabeller, som angifva korrektionerna för sekunderna. Mot W:s ta- beller vilja vi här i förbigående anmärka, att han i öfverskriften be- gagnat uttrycket sin., tan., o. s. v. i st. f. log sin. log tan., o. s. v.; emot både W:s och S:s anmärka vi, att de begagnat karakteristikerna 9, 8, o. s. v. i st. f. 1, 2. I pedagogiskt hänseende äro desa små förändringar af ej ringa betydelse. 6. Begge hafva tabeller för qvadratrötter ur tal och för vanliga bråks förvandling till decimalbråk, ehuru hos S. detta gäller blott för tal eller nämnare, som äro mindre än 100, då deremot W. har utsträckt tabellen för tal och nämnare ända till 1000. W. har en tabell för primtalen under 1000, en för qvadraterna på talen 1 till 1000. Dessa tabeller har S. ej ansett förtjenta af att upp- tagas. I stället har han en tabell för kubikrötterna ur talen 1 till 100. Denna åter har W. ansett kunna undvaras. S. har en tabell uttryckande längden på ellipsqvadranten i halfva storaxeln såsom enhet för värden på halfva lillaxeln mellan 0 och 1. En sådan tabell har W. ansett öfverflödig. I stället har han en tabell upptagande log 1.2.3.4...x, log 1.3.5 ... x och log 2.4.6 ... x , den första för värden på r från 1 till och med 99, den andra från 1 till och med 65, den tredje från 1 till och med 66. Dessa logaritmer 49 aro ofta till nytta i sannolikhetskalkylen, i binominalräkningar och i teo- rien för definita integraler. 7. Begge innehålla en mängd fysiska och kemiska konstanter. W. upptager dessutom de vigtigaste astronomiska konstanterna. Många af dessa har W. erhållit af prof. Edlund och den engelske astronomen Airy. Vidare har W. en tabell för höjdmätning medelst barometer. Vid många af de fysiska konstanterna har W. vidfogat empiriska formler, allt på grund af de nyaste forskningar och resultater, till hvilka veten- skapen hunnit. Genom dessa formler och konstanter blifva tabellerna särdeles nyttiga vid fysiska och astronomiska räkningar. För lättare öfversigts skull vilja vi sammanfatta det om S:s och W:s arbeten sagda i några få rader. Begge tabellerna hafva stora förtjenster genom att i en bok af ringa omfång upptaga utom femställiga logaritmer för tal och trigo- nometriska funktioner äfven de naturliga sinus, tangenter, o. s. v.; genom att införa sjuställiga logaritmer, der sådane befinnas vara af nö- den, genom att angifva de hyperboliska logaritmerna, genom tabeller för qvadratrotutdragning, för vanliga bråks förvandling till decimalbråk och genom tabeller för en mängd fysiska och kemiska konstanter. I de flesta nu uppräknade fallen äro dock W:s förtjenster öfvervägande, i det att han har flere sjuställiga logaritmer, flere trigonometriska loga- ritmer, flere tal för rotutdragning, flere tal för förvandling af vanliga bråk till decimalbråk, flere konstanter (W. har nämligen äfven astrono- miska). Vidare utmärker sig W. genom, sin lilla hjelptabell, medelst hvilken man utan svårighet kan finna en sjuställig logaritm för ett tal hvilket som helst från 1 till 10000, äfvensom företrä- desvis för sina interpollationstabeller inom hela det trigo- onmetriska området. De delar, hvaruti Schlömilchs tabeller åter öfverträffa Wackerbarths, äro uti tabellerna för natural-sinus (en i femställiga tabeller något pro- blematisk förtjenst), i markerandet af den sista decimalens beskaffenhet att vara för hög eller för låg och i trycket på vackrare papper. Professor Wackerbarths egenskap att vara astronomisk kalkyla- tor*, att vara en såväl i fysik som i den rena matematiken utmärkt väl bevandrad man lemnar oss en borgen för, att hans tabeller innehålla just det noggrannt, som behöfver vara det. Hans tabeller vittna om ett med största . omsorg utfördt • arbete, och vi kunna ej annat än på det varmaste rekommendera detta arbete till antagande i hela den civilise- rade verlden**. * Prof. W. har utgifvit tvenne arbeten, det ena om planeten Neptuni, det andra om asteroiden Ledas perturbationer. Sina nu utgifna tabeller har han tillegnat astronomie professoren Adams, hvilken, såsom bekant, samtidigt med Leverrier förutsade, hvar den då obekanta planeten Neptu- nus på himlahvalfvet skulle uppsökas. ** En ny upplaga af W:s tabeller är snart att förvänta. o* 50 Schlömilch är ett i Sverige väl kändt och värderadt namn. Knap- past finnes härstädes någon matematiskt bildad person, som ej har att tacka honom eller rättare hans arbeten för mycket af hvad han kan. Vi känna oss derföre liksom litet beslägtade med honom och vilja gerna tillegna oss hans, att jag så må säga, populära alster. Hans tabeller komma utan tvifvel att blifva ett öfverallt gångbart mynt. Dock kunna vi ej, på grund af hvad ofvan är yttradt, gifva dem högre rum än det näst efter Wackerbarths. Professor Brochs arbeten äro tyvärr i Sverige ej på långt när så mycket lästa, som de förtjena. Vi känna honom dock dels genom hans ordförandeskap i den matematiska sektionen vid det sista naturforskare- mötet, dels genom hans framstående läroböcker i elementargeometrien, algebran, differentialkalkylen, deskriptiva geometrien, genom hans af- handlingar i de elliptiska funktionerra, i den matematiska optiken, m. m. Hans logaritmtabeller vittna, att han vet att vid undervisning skilja huf- vudsak från bisak. Undertecknad har med nöje och framgång användt dessa tabeller vid det läroverk, der jag har äran vara anstäld. . F. W. HULTMAN. Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen h. t. 1867. För latinlinien. 1. Dela en parallelogram midt i tu medelst en rät linie, som går ge- nom en gifven punkt inom parallelogrammen. 2. Att konstruera en cirkel, hears periferi är medelproportional mellan trenne gifna cirklars periferier. 3. En sexhorning är inskrifven i en cirkel. Att bevisa, det summan af den första, tredje och femte vinkeln är lika stor med summan af den an- dra, fjerde och sjette vinkeln. 4. Bevisa, att summan af qvadraterna på diagonalerna i en pa- rallelogram är lika med summan af qvadraterna på hans 4 sidor. 5. Att af en in det er minerad rät linie afskära ett stycke, som för- håller sig till en gifven rät linie som 43 till 1. 6. Att i en gifven cirkel inskrifva 3 lika stora cirklar, som tangera hvarandra och den gifna cirkeln. 7. Att upprita en triangel, då man känner en sida och de båda holder, som svara mot de öfriga sidorna. 8. Af 2 sifverstänger, den ena innehållande 40 lod koppar och 60 lod rent silfver, den andra 20 lod koppar och 70 lod rent silfver, skall förfärdigas en bägare, som bör innehålla 10 lod koppar ovh 20 lod rent silfver, Hur många lod bör man taga af hvardera stången?. 51 9 Någon bjuder för en gård 5,000 r:dr kontant och 10,275 r:dr efter 6 månader. En annan vill gifta 7,000 r:dr kontant oeh 8,330 r:dr efter 9 månader. Säljaren anser båda anbuden lika goda. Hur stor pro- cent beräknar han på sina penningar? 10. Bevisa, att om man fill både tälja,re och nämnare i ett egentligt bråk adderar ett och samma hela tal hvilket som helst, så ökas derige- nom bråkets värde. 11. Dela talet 16 i två delar, så att summan af deras positiva qva- dratrötter blifver ett maximum. 12. Ur ett med vatten fyldt kärl, som har form af en med spetsen nedåt vänd, kon af 4 tums höjd och 1 '∕3 tums basradie, tömmes 3/4 af innehållet på en cylindrisk faska. Huru stor är hennes radie, om vatt- net i henne efter påfyllningen står lika högt som återstoden af innehållet i det koniska kärlet? 13. , Dela 9,555 i 6 delar, så att hvarje följande del blifver 4 gån- ger så stor som den föregående. Hvilka blifca delarne? För reallinien. 14. Upprita en rektangel, så att den blifver lika stor med en gif- ven qvadrat och får två närliggande sidor tillsammantagna lika med en gifven rät linie. 15. Bevisa, att om en fyrsidig fgur delas i 2 lika stora delar ge- nom en af sina diagonaler, så skär denne äfven den andra diagonalen midt i tu. 16. Att upprita ett paralleltrapezium , då man känner de båda pa- rallela sidorna och båda diayonalerna. 17. Dela en gifven fyrsidig fgur midt i tu medelst en rät linie, som går genom någon affgurens vinkelspetsar. 18. Dela en gifven triangel midt i tu genom en rät linie, som drages parallelt med en gifven rät linie. 19. Att mellan periferierna af två gifna cirklar inpassa en rät linie af gifven längd, parallel med en gifven rät linie. 20. Att genom tvenne cirklars ena skärningspunkt draga en rät linie, som skär cirklarne så, att de afskurna segmenten blifva likformiga. 21. En köpmans handelsvinst var årligen lika med 14 af den för- mögenhet, som han eg de vid årets början; hans lefnadsomkostnader upp- gingo årligen till 2,900 r:dr. Efter tre år var han egare till 1 %, gång så stor förmögenhet, som då han började sin handel. Huru mycket egde han då? 22. Två koncentriska cirklars radier äro 1 fot och 2 fot; huru stor är då radien till en cirkel, som är lika stor med en ring, som inneslutes af de begge förra cirklarnes perferier? 52 23. Två koner aro gif na, hvilkas volymer äro 20 och 30 kubikfot; huru stor blir höjden i en tredje kon, hvars volym är lika med summan af de begge förras, och i hvilken bottenradien är 3 fot? 24. Hvad väger ett marmorprisma, hvars bas är en åttahörning med 0,7 fots sida och höjd 5 fot? Marmorns eg. vigt är 2,8 och vigten af en kub.-dec.-tum vatten 7,871 lod. 25. I en geometrisk progression utgöra tredje och fjerde termen till- sammantagna 180, och tionde och elfte tillsammantagna 393,660. Huru stora äro första termen och rationen? 26. En person eger 16,000 r:dr, utlånte till 5 procent. Som hans lefnadsomkostnader gå till 1,000 r∙dr om året, nödgas han hvarje år bära upp någon del af kapilalet. Hvad eger han efter tio år? 27. I en triangel äro två sidor och mellanliggande vinkeln yifna. Ilen ena sidan är 8. den andra 10 fot. Vinkeln är 29 grader. Huru stor är den omskrifna cirkelns radie? 28. Angif kortaste afståndet mellan cirkeln 4.2 + 4y2— 24a— 16y + 43 = 0 och räta linien y + 3.r — 3 = 0 29. Tre krafter, proportionella mot 1, ~/3 och 2, verka på en och samma punkt samt hålla hvarandra dervid i jemnvigt; sök vinklarne mel- lan dessa krafters rigtningslinier. 30. Längs hvar sin katet till den rätvinkliga triangel, i hvilken hy- potenusan är vertikal och den ene af de spetsiga vinklarne uppgår till 30°, falla tvenne partiklar; angif förhållandet mellan deras sluthasligheter. . 31. En homogen och jemntjock stång väger 16 1 och är 16,5 tum läng. Vid hennes ena ända äro 36 % fastade, vid den andra 118,g €. 1 hvilken punkt bör stången understödjas, om jemnvigt skall äga ruin? 32. Sök förhållandet mellan volymerna hos en luftpumps klocka och cylinder, då 10 kolfslag kunna förändra spänstigheten hos luften i klockan från 760 till 5 millimeter. 33. ■ Antages qvicksilfrets och glasetskubiska utvidgningskoöfficienter vara respective 5359 och 38100 samt qvicksilfrets eg. v. vid 0,0 13,596; huru stor invändig volym måste då vid 0° det glaskärl eya, som vid 30° skall fullständigt fyllas af 6 % qvicksilfver af sistnämnda temperatur? 34. Man föreställer sig, att en sida af ett prisma, hvars brytande vinkel är 45° och brytningsförhållande 3/2, träffas af en ljusstråle under 45 0 vinkel. Konstruera strålens väg och bevisa konstruktionens giltighet. 35. Ur en elektrisk strömbana borttager man en 2 fot lång 0,5 li- nie tjock koppartråd, hvars specifika ledning smotstånd antages till enhet. Huru lång tråd af 0,5 linies radie och af ett ämne, hvars specifika led- ningsmotständ är 9, bör man inpassa i strömbanan, för att strömstyrkan skall återföras till hvad hon var, innan koppartråden borttogs. AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 11). Christopher CLAVIUS* Titeln på det arbete af denne utmärkte matematiker, till hvilket vi haft tillgång, är: Christoplori Clavii Bam- bergensis e societate Jesu Epitome Arithmetic practice, nunc denuo ab ipso auctore recognita et aucta. Colonice Agrippine 1601. 308 sidor 8:0. * Ur M. Μ. Firmin Didot1s Biographie Générale hernta vi följande biografiska underrättelser om Clavius. Clavius (Kristofer), tysk mate- matiker, af jesuiterorden, föddes i Bamberg år 1537 och dog i Rom 1612. Hans samtida kallade honom det sextonde seklets Euklides. Hans förmän sände honom till Rom, hvarest han med stor glans före- stod professionen i matematik under 20 år. Han fick år 1581 af paf- ven Gregorius XIII uppdraget att reformera tidräkningen och fullgjorde med framgång detta arbete. Icke dess mindre måste han vederlägga flere orättvisa kritiker af sina samtida. Hans arbeten äro: Euclidis Elementorum libri XVI, cum scholiis, Romæ 1574. Epitome arithmetics practicæ. 1583. Algebra. 1604. Geometria practica. 1604. Sinus, lineæ tangentes. 1586. Commentarii in Sphæram Jo. de Sacrobosco. 1581. Calendarii romani gregoriani explicatio, jussu Clementis VIII. Romæ 1603. Computus ecclesiasticus per digitorum articulos et tabulas traditus. Romæ 1603. 4 54 Clavii arbete utmärker sig för en synnerlig grundlig- het, vetenskaplighet och mångsidighet. Alla operationer utför han och förtydligar på många sätt samt kontrollerar sina resultat genom flerfaldiga pröfningsmetoder. Såsom exempel på tals beteckning och utsägning välja vi talet 42,329,089,562,809. Detta betecknar han på föl- jande tre sätt: ..... 43210 42 329 089 562 809, 42 329 089 562 809, 2 10 42 329 089 562 809 och utläser de båda första: 42 tusen gånger tusen gånger tusen gånger tusen. 329 tusen gånger tusen gånger tusen, 089 tusen gånger tusen, 562 tusen, 809 samt det tredje »på italienarnes vis»: 42 millioners millio- ner, 329 tusen millioner, 89 millioner, 562 tusen 809. Addition. Uppställningen och uträkningen vid detta räknesätt äro alldeles lika med de nu för tiden brukliga. Pröfnin- gen af summans rigtighet sker på fyra sätt: 1) genom nio- proban, 2) genom sjuproban, 3) genom addition fram och tillbaka, 4) genom subtraktion. Som bekant, sker nioproban på följande sätt: man adderar siffrorna i hvarje addend till en summa, adderar dessa så erhållna summor till en summa, adderar siffrorna Fabrica et usus instrumenti ad horologiorum descriptionem oppor- tuni. 1586. Novi Calendarii romani apologia adversus Mæstlenum. 1588. Adversus Jos. Scaligeri Elenchum et castigationem calendarii Gre- gor. 1591. Astrolabium. 1593. Horologiorum nova descriptio. 1599. Samtliga Clavii arbeten äro utgifna i 5 folio-volymer under titel: Opera Mathematica. Moguntiæ, Eltz 1612. 55 i den sist funna summan till en summa och fortfar så, tills man får blott en enda siffra (låt denna siffra heta a). Derefter adderas siffrorna i den summa, hvars rigtighet skall undersökas, tills man erhåller en enda siffra. Denna siffra bör också heta a, om resultatet är rätt. Vid dessa additioner kan man begagna en genväg genom att öfver- allt bortkasta nior. Vi välja Clavii exempel. Den till en siffra reducerade summan af siff- 710654 rorna i den första raden är 5, 8907 » andra » 6, 56789 » » » » tredje » » 8, 880 » » » » fjerde » 7. 777230 Den ensiffriga summan af alla dessa utgör 8. Den ensiffriga summan af siffrorna i talet 777230 är också 8, såsom den bör vara. Vid sjuproban divideras hvarje addend med 7, resterna adderas till en summa, hvilken åter divideras med 7. Den så erhållna resten bör bli lika med den rest, som man fin- ner, då man med 7 dividerar den summa, hvars rigtighet skall pröfvas. I nyssnämnde exempel blifver summan af de respektive resterna 0, 3, 5, 5 lika med 13. Denna summa 13 och summan 777230 gifva vid division med 7 hvardera samma rest 6. Subtraktion. I olikhet med Ramus uppställer och uträknar Clavius talen alldeles som nu för tiden. Så t. ex. i exemplet 4500026304827 * 3929034567892 570991736935 säger Clavius liksom vi: 2 från 7 gör 5, 9 från 12 gör 3, * Som vi se, begagnar Clavius tal, hvilka af en nybörjare svårligen kunna fattas. 56 8 från 17 gör 9 o. s. v. Men han räknar också samma exempel på följande kanske lättare sätt: 2 från 7 gör 5, 9 från 10 är 1 och 2 dertill är 3, 8 från 10 är 2 och 7 dertill är 9, o. s. v. Liksom vid addition pröfvar Clavius i subtraktions- exemplen den funna restens rigtighet genom nio- och sju- proborna, genom addition eller subtraktion. Multiplikation. Clavii generella definition på detta räknesätt, hvilken passar så väl för hela som för brutna tal (Rami dugde blott för hela tal) är följande: » multiplikation af två tal med hvarandra är uppsökandet af ett tal, som så många gånger innehåller det ena af dessa, som det andra innehåller enheter». Till multiplikationstabell begagnar Clavius den vanliga pytagoreiska. För dem, soro ha svårt att lära sig utantill produkten af tvenrie mellan 4 och 10 liggande hela tal, har Clavius uppgifvit en särskild regel: Man subtraherar hvardera af de gifna faktorerna från 10. Produkten af dessä rester Utgör antalet enheter i den sökta produkten. Antalet tiotal erhålles antingen genom att söka sista siffran i summan af de båda gifna faktorer- na eller genom att från den ena af de gifna faktorerna subtrahera den rest, som hör till den andre gifna faktorn. T. ex.: hvad är 8 gånger 9, hvad 8 gånger 8 och hvad 6 gånger 7?* Clavius uppskrifver uträkningen häraf sålunda: 9. 1 8.2 7.3 8.2 8.___2 6. 4 7 2 6 4 4 2 * Rigtig heten af förfaringssättet inses lätt af följande betraktelse. Kallar man de bada gifna faktorerna a och b. så är 10,4 - (10 — 1)] + (10 — a)(10 — b) = ab och äfven 10(a , b')~- 100 1(10 — a)(10 — b) = ab. , 57 Man säger 9 från 10 gör 1, 8 från 10 gör 2; pro- dukten 2 af resterna 1 och 2 utvisar antalet enheter i den sökta produkten. Antalet tiotal utgöres af sista siffran i talet 17 (summan af 8 och 9) eller ock af skilnaden mel- lan 9 och 2 eller mellan 8 och 1. Anm. Denna för nybörjare svårbegripliga och för andra öfverflödiga metod att multiplicera två ensiffriga tal med hvarandra hafva vi framstält här, emedan vi åter- finna den sedermera i svensken Ublenii Compendium arith- metices. Rigtigheten af en verkstäld multiplikation pröfvar han med nio- och sjuproban, medelst multiplikation (ab = ba) och medelst division. Division. Äfven här har Clavius en generell definition: »division är fördelningen af ett framsatt tal (dividenden) i delar, livil- kas namn bestämmes af ett annat gifvet tal (divisorn) eller uppsökandet af ett tal, som innehåller enheten lika många gånger som dividenden innehåller divisorn ». Denna definition, som passar för både hela och brutna tal, är märkvärdig derföre, att den påpekar, att de till division hörande frågor äro af en tvefaldig natur. Då 12 skall divideras med 4, kan detta betyda icke allenast, att man skall taga fjerdedelen af 12, utan ock, att man skall undersöka, huru många gånger 4 innehålles i 12. Utom Rami sätt att dividera, använder Clavius tvenne andra, af hvilka vi dock endast framhålla det ena; detta sätt karakteriseras af resternas utlemnande och af de par- tiella multiplikationernas verkställande från venster till hö- ger på sätt, som närmare upplyses af vidfogade exempel. Om 1832487 skall divideras med 469, sker uträkningen på följande sätt. Man uppskrifver divisorn 469 under di- videnden så, att 4 kommer midt under den andra siffran (8) af den samma (den går nämligen ej upp i den första); man säger vidare: 469 i 1832 går 3 gånger. Qvotsiffran 58 II 631 iii i 42150 II II 1 655364 Illlll 3 uppskrifves till höger om dividen- den. Derefter fortfar man: 3 gån- ger 4 är 12, 12 från 18 gör 6. Resten 6 uppskrifves ofvan siffran 8 i dividenden, hvarefter de begag- nade siffrorna 1 och 8 i dividenden 1832487 (3907104 samt 4 i divisorn öfverstrykas. Vi- 469999 dare fortsätter man: 3 gånger 6 är 4666 18, 18 från 63 gör 45. Denna rest Ii 45 uppskrifves ofvanom 63, hvaref- 44 ter de använda siffrorna 6 och 3 i dividendens återstod samt 6 i divi- sorn Öfverstrykas. Derefter fullföljer man 3 gånger 9 är 27, 27 från 52 gör 25, hvilken rest uppskrifves ofvanom 52, hvarpå begagnade siffror öfverstrykas. Derpå uppskrif- ves divisorn 469 på nytt under den förra divisorn 469 med iakttagande af att alla dess siffror flyttas ett steg till hö- ger. Gången är tydlig. Man erhåller slutligen en rest 104, hvars tre siffror naturligtvis ej äro öfverstrukna, all- denstund med dem ej vidare opereras. Qvoten blir 3907104. Division pröfvar Clavius med nio- och sjuproborna, medelst multiplikation och medelst division. Bråk. Clavius förkortar bråk dels medelst största gemensam- me divisorn (Eukl. VII. 2), dels medelst att dividera med mindre tal. Bråk gör han liknämniga enligt den metod, som är framstäld i Eukl. VII. 36 och 38 (att till två eller tre gifna tal finna den minsta gemensamma dividenden). Vidare redogör han för, huru man skall finna bråk af bråk, t. ex. att finna hvad 3 af # af en hel är. I multiplikation har han den vanliga regeln: »multipli- cera täljare med täljare» o. s. v. Ex. 1. Hvad är 8 gånger §? Clavius skrifver 1 41 72 eller 6 %. Ex. 2. Hvad är 3 gånger #? Svar: 1s. »Ingen för- 59 undre sig att produkten blir mindre än 4, ty man skall taga den ena faktorn § så många gånger som den andre faktorn 3 innehåller enheter». I division har han den vanliga regeln: »vänd upp och ned på divisorn» o. s. v. Ex. Dividera 6 med 3. Clavius skrifver 121’8 eller 9. Regula trium sönderfaller i enkel, omvänd (eversa) och sammansatt. Enkel regula de tri löses genom användning af den »gyllene regeln» (produkten af de yttersta är lika med pro- dukten af de medlersta. Eukl. VII. 19). På omvänd regula de tri har han bland andra exem- pel följande: »till en klädning åt sig köper någon ett tyg, som är 9 alnar långt och 3 qvarter bredt; huru många alnar skulle erfordras till samma klädning, om tyget vore blott 2 qvarter bredt?» På sammansatt regula de tri anföra vi följande exempel: »Om 300 gyllen på 4 år förtjena 100 gyllen, hvad skola 1580 gyllen förtjena på 7 år?» Clavius löser detta problem genom två på hvarandra följande tillämpningar af den gyllene regeln. Gyllen. Gyllens vinst. Gyllen. Gyllens vinst. 300 100 1580 ? Svar: 526%. o Ar Gyllen. o Ar. Gyllen. 4 5263 7? Svar: 9213. Svaret blef altså 921 3 gyllen *. Bolagsräkning (regula societatum). Hithörande problem uträknas enligt den vanliga re- geln: summan af rationstalen förhåller sig till delnings- summan som hvart rationstal till motsvarande andel af * Clavii metod att räkna sammansatt regula de tri prisas mycket af svensken Bure i hans Arithmeticæ instrumentalis Abacus. Helmæstadii 1609. 60 delningssumman. Bland exemplen på denna räkning har han äfven följande: »Ett kar har i sin botten tre rör. Då det största är öppet, utströmmar allt vattnet på två timmar; då det medlersta är öppet, utströmmar allt vattnet på 3 timmar; slutligen då det minsta är öppet, utflyter hela vattensam- lingen på 6 timmar. På huru lång tid alltså skall hela vattenmassan utströmma, om alla tre rören samtidigt äro öppna, under antagande att genom hvardera röret vattnet ständigt från början till slut utflyter på samma sätt?» Clavius uträknar detta genom att först bilda analo- gierna Timmar. Kar. Timmar. Kar. 2 3 3 1 6? Svar: 2 6) 1 hvilka i ord tolkas sålunda: om ett kar kan tömmas ge- nom det största röret på 2 timmar, huru många kunna tömmas på 6 timmar? o. s. v. Häraf bildas enligt regeln för bolagsräkning följande analogi Kar. Timmar. Kar. Timme. 6 6 1? Svar: 1; eller, om 6 kar kunna tömmas på 6 timmar, huru många timmar erfordras för att tömma ett kar? Svar: 1 timme. Alligationsräkning. Såsom vi redan under Ramus nämnt, äro hithörande problem hos de gamle af den obestämda natur, att många lösningar derå kunna erhållas. Vi öfvergå nu till ett när- mare studium af de gamles metod att lösa dessa problem, i det att vi skola grundligt behandla följande ur Clavius hemtade exempel. » Ett skålpund peppar kostar 4 julier, 1 skålpund negli- kor 3 julier, 1 skålpund kanel 6 julier, 1 skålpund saffran 61 Julier. Skilnader. Peppar 4 1 Neglikor 3 3 Julier Kanel 6 7 medelpriset 1 Saffran 10 4 Ingefära 8 3.1* Summa 13 med ett hvilket som 10 julier, 1 skålpund ingefära 8 julier. Huru mycket af kvarje slag skall man taga, för att 1 skålpund må kosta 7 julier? » Man uppställer pro- blemet på det sätt, som vidfogade schema visar. Alla ämnen, hvilkas pris äro mindre än me- delpriset, sättas ofvan- före detta; de öfriga ne- danföre. Derefter kom- bineras hvart ämne, som står ofvan medel- af dem, som stå nedan- före. Man iakttage blott, att alla ämnen få vara med. I detta exempel kombineras peppar med ingefära, neglikor med saffran, kanel med ingefära. Man börjar sedan räkningen med den första kombinationen (peppar och ingefära), i det man tager skilnaden mellan medelpriset 7 och pepparens pris 4, samt ställer den funna skilnaden 3 midt för ingefäran. Vidare uppskrifver man skilnaden 1 mellan ingefärans pris 8 och medelpriset 7 midt för pepparens. På samma sätt förfar man med den andra kombinationen (neglikor och saffran) samt med den tredje kombinationen (kanel och ingefära). Förhållandet mellan summan af de emot ett ämne stående skilnader och summan 13 af alla skilnaderna utvisar den mängd, som af i fråga varande ämne skall tagas, för att 1 skålpund af blandningen skall kosta 7 julier. Enligt detta skall här tagas 1a ^ peppar, 15 46 neglikor, 1a fl kanel, 1a 4 saffran och 1a € ingefära. * Märk, att punkten mellan 3 och 1 har ingen annan betydelse än att skilja siffrorna 3 och 1 från hvarandra. 62 Se här ett annat sätt att kombinera ämnena i samma exempel. Här kombineras peppar med ingefära, peppar med saffran, neglikor med ingefära, neglikor med saffran, kanel med saffran, kanel med ingefära. Flera kombinationer kunna ej komma i fråga. Julier. Skilnader. Peppar 4 1.3 Neglikor 3 1.3 Julier Kanel 6 3.1 7 medelpriset Saffran 10 3.4.1 Ingefära 8 3.4.1 Summa 28 Enligt samma förfaringssätt som nyss finner man, att man bör taga 2s 0 peppar, 2s € neglikor, 2a 48 kanel, 2a € saffran samt ,3 ^ ingefära, för att 1 48 ningen skall kosta 7 julier. Vi afsluta detta exempel med att anföra kombinationssätt. af bland- ett tredje Här kombineras peppar med saffran, neglikor med ingefära, kanel med ingefära. I detta fall finner man, att man skall ta- ga is C peppar, ⅛ € neglikor, 1‘s €8 kanel, 13 46 saffran, 1 46 in- gefära, för att 1 U af Julier. Skilnader. Peppar 4 3 Neglikor 3 1 Julier Kanel 7 medelpriset 6 1 Saffran 10 3 Ingefära 8 4.1 Summa. 13 blandningen skall kosta 7 julier. Anm. Rigtigheten af detta förfaringssätt inses af föl- jande betraktelse. Låt a,, a2, ag, ... a2n vara de respektiva prisen på skålpundet af varorna A, , A2, A3, . . . A2n, hvil- kas antal i följd af kombineringsmetoden vi kunna an- taga vara jemnt (några af dessa kunna vara af samma 63 slag), och låt medelpriset m vara icke mindre än a,, a2, ¾, ... an samt icke större än an+1, an+2, . . . a2n. Man önskar finna huru många skålpund af hvarje vara man bör taga, för att 1 skålpund af blandningen skall kosta m. Om a., &2, g,...X2n äro de respektive sökta an- talen skålpund, så leder problemet naturligtvis till eqva- tionen J.C + 22C2 + C3C3 + ∙∙∙ + 2n C2n = m. C1 + 2 + 3+. + a2n eller till a,(a,-m)+a,(a,-m)+a ag-m) + ... +Tn(an-m)+ + an+1(an+1—m)+an+2an+2 -m)+ an+3(an+3—m) + ... +. a'2n (a2n - m) =0 (I) Om man tänker sig, att varan 4 A2 A kombineras : » med » 4n+1, An+2, )) A 2n » så göra Ramus, Clavius, Bure, a, = k.(an+1—m). Aurelius, Ublenius med flera ¾ = k.(an+s-m), an+2 = k . (rn - a2) , an+3 = k.(m—a). 0n= k. (a2n — m), X'2n = k.(m an). hvarest k = an+1 + an+2 + an+3 + .. • + a2n — a — a - ag . - C, Genom insättning af dessa värden i eqvationen (1), reduceras denna till identiteten % Γ (Cn+1-m)a,-m)+ (Cn+2-mXaa- m) +. +(a2n - m)(an-m)] L + (an+1- m)(m -a,)+ (an+2- mym - a2)+...+ (a2n - m)(m- αn)J 64 Problem, hvilka leda till eqvationer af första gra- den med en obekant, lösa Clarius och hans svenska efter- följare genom Regula falsi. Denna är af 2 slag: a) simplicis positionis, der man åt den obekanta gifver endast ett enda godtyckligt värde, medelst hvilket man sedan uppsöker det rätta värdet på denna; β) duplicis positionis, der man åt den obekanta gifver tvenne godtyckliga värden, medelst hvilka man se- dan uppsöker det rätta värdet på denna. α) Regula falsi med ett enda antagande. Medelst denna lösas eqvationer af formen ax = k eller ax ± bx = k , d. v. s. sådane eqvationer, i hvilkas alla termer på ena sidan om likhetstecknet x ingår som faktor. Ex. Tre personer bestämma sig för att gemensamt köpa ett hus för 2700 gyllen. Den andre vill bidraga med dub- belt så mycket som den förste och den tredje med tre gånger så mycket som den andre. Huru mycket skall hvar och en betalat Lösning. Låt på försök den förste bidraga med ett antal gyllen huru många som helst, antag 6. Den andre skall då lemna 12 och den tredje 36, altså alla tillsam- mans 54 i st. f. 2700, som det borde vara. Man bildar då analogien 54.6 2700? Svar: 300, hvilket i ord uttolkas: då antagandet 6 gifver ett pris af 54 gyllen på huset, hvilket antagande bör man då göra, för att priset på huset må blifva 2700 gyllen? Svaret 300 antyder, att den förste skall betala 300, den andre således 600 och den tredje 1800 gyllen. Anm. Förfaringssättets rigtighet är sjelfklar, allden- stund i eqvationen ax = k k är proportionell emot x. 65 ß) Regula falsi med trenne antaganden. Medelst denna lösas ej allenast eqvationer af formen ax = k utan äfven eqvationer af formen ax+b = k. Ex. Alexander den store kom en gång i ett förtroligt samtal med filosofen Kallistenes att tala om sin ålder. Han yttrade dervid: »jag är två år äldre än Efestion; Klytus är lika gammal som jag och Efestion tillsammans och dessutom fyra år. Summan af våra tre åldrar utgör 96 år eller lika många år som din far lär hafva lefvat. » Huru gamla voro alltså Alexander, Efestion och Klytus? Lösning. Antag på Alexanders ålder två godtyck- liga tal 20 och 30. Med åldern 20 till utgångspunkt er- hålles summan af de tre åldrarne att vara 80 i st. f. 96. Skilnaden mellan 96 och 80 eller 16 antecknas. (Se vid- fogade x-formiga figur). 20 30 Med åldern 30 till utgångspunkt erhålles summan af de tre åldrarne att vara 120 i st. f. 96. Skilnaden mellan 96 och 120 el- 16 24 (minus) ler minus 24 antecknas. Skilnaden (40) mellan 16 och minus 24 tages till divisor; skilnaden (960) mellan 16 gånger 30 och 20 gånger minus 24 tages till dividend. Qvoten 24 utgör Alexanders ålder. Anm. 1. Förfaringssättets rigtighet är ej svårt att finna. Låt nemligen den första grads eqvation, som skall lösas vara ax + b = k. Gif åt x efter hvartannat de godtyckliga värdena m och n. Häraf uppstå skilnaderna mn k - (am + b) och k—(an + b). X Skilnaden a(n - m) mellan dessa två k—(am+0) *—(an+0) nu funna uttryck skall tagas till di- visor, och skilnaden (k — b)(n — m) mellan m[k — (an + b)] och n[k - (am + b)] till dividend. Qvoten -—- är det rätta värdet på x, 66 Anm. 2. Utom detta exempel om Alexanders och hans vänners åldrar, har Clavius flere andra, t. ex. det om Ilie- ros krona, det om kärlet med afloppsrören. Aritmetiska serier. Då man känner första termen, termernas antal och skilnaden mellan två på hvarandra följande termer, visar Clavius, huru man skall finna sista termen och seriens summa samt gifver skäl för förfaringssättet, hvilket är det- samma som i våra dagar. Såsom exempel har han bland andra följande: Då Herkules frågade Augias, huru många kor och oxar han hade, svarade denne, att han hade sina kreatur på 40 olika ställen, och att antalen kreatur på det'första, andra, tredje, fjerae, . . . o. s. v. ställena voro i samma förhållande till hvarandra som talen 3, 5, 7, .9, . . . o. s. v. Herkules, gick till det första stället och fann der 30 oxar. Huru många kreatur hade Augias och huru många hade han på den 40:de platsen? . Geometriska, serier. Summan af sådane serier uttrycker han i en regel, hvars analytiska uttryck skulle vara aq"—1—a S = ----+ 7-1 aq"-1 eller i sjelfva verket samma regel som hos Ramus. Clavius uträknar, att det skulle erfordras 714 jordklot för att frambringa 1+2+22+23+. + 203 ■ hvetekorn, samt räknar ut huru många fartyg, som skulle erfordras för att transportera lika många dukater. »Myc- ket mer skola vi skrifva i vår fullständigare aritmetik». Däran om qvadratrötters utdragning. Clavii metod är ungefär vår vanliga metod med iakt- tagande af de förändringar som Clavii sätt att dividera medför. Vi visa hans metod genom att anföra utseendet af ett räkneexempel. 67 Ex. l. Att draga qvadratroten ur 21178404. Man uppdelar talet i sifferklasser med 2 siffror i hvarje klass genom punkter inunder siffrorna, således här 21 17 84 04. Vi framställa räkningens olika utseende under fortgången af operationen. 21 17 84 04 (4 4 5 : 1 1 21 17 84 04 (46 4 86 5 31 21 17 84 04 4 86 5 31 (46 21 1784 04 (460 III 4 86 20 9 1 II 531 531 21 17 8404 (460 2117 84 ; 1 1 1 1 111111 4 86 20 4 86 20 9 9 92 Den sökta qvadratroten 04 (4602 02 är således 5 31 ii i i ii ii 21 17 84 04 (4602 I I I 1 1 1 1 4 86 20 02 9 92 4602. Ex. 2. Att draga qvadratroten ur 20. Man finner först talet 4. Genom att dividera skilna- den mellan 20 och qvadraten på 4 med dubbla 4 finner man efter några försök, att man till nästa term i roten kan taga bråket ⅛. Genom fördubbling af 4, och division i resten finner man, att till tredje term kan tagas bråket dua 0∙ s∙ v∙ Qvadratroten ur 20 blir således i det när- maste lika med summan af talen 4, 6, dess eller lika med A 29160 261965° Anm. Detta exempel är i flera hänseenden märkvär- digt. Det visar oss, att de gamle utan kännedom af de- cimaler dock med tillhjelp af vanliga bråk kunde draga qvadratroten ur ett tal hvilket som helst. Vi se vidare, att de ej voro angelägna om att förenkla sina bråk. Här förekomma nämligen tvenne otympliga bråk da8S° och 21169 i stället för de enklare 15, och 17. Vilja vi utföra Clavii rot 4,87, blir den 4,47058; således qvadratroten_ ur 20 rig- tig på 2 decimaler. Vi ha nemligen ~/20 = 4,47213. (Forts.) 68 Trigonometriska satser af D—G. I. 1 en triangel äro gij'na a, 6 och c; ait finna A, B, C och ytan. Konstruktion (fig. 7): Medelpunkten 0 till den i trian- geln inskrifna cirkeln förenas med A, B, C; perpendiklarne 0A, , OB, , OC fällas mot a, b, c och sättas = r. Upplösning: Om vi använda beteckningarna a = AB, = AC, ß = BC, = BA,, y=CA, = CB,, P = ⅛(α +b+c), så fås af a = ß+Y, b = y+a. eqvationerna c = a + β a =p-a, ß = p-b. γ = p—C. Kallas triangelytan y, så hafva vi ‘ A A 22 = be sin A , eller y = bc sin — COS-, 9 ‘ 8 2 2 2y = r(a + b +c), eller A ?* = C to——, 6 2‘ eller y = P A ? = (P-a) tg 2 hvaraf erhålles, om man eliminerar r och y. A eos — 2 p(p — a) bc och häraf sin — = A _________X_____/ 2 v bc samt g = N/p(p - a)(p - b)(p - c). 69 II. I en triangel äro gifna a och b (a> b) samt ∕∖ C; att finna A och B. Konstruktion (fig. 8): Med C som medelpunkt och b som radie uppritas en cirkel, som skär BC i I) samt BC förlängd i E∙, A förenas med D och E; BE drages // BA och råkar AE i F. Upplösning: ∕∖ADC = ~(A + B), ∖ADF = ^(A- B); vidare är Men nu är EB EA DB - FA, hvaraf följer, enär EB — a + b och DB = a-b, a + b _ tgy(A + B) a-b tg∣(^-B), Problem i deskriptiv geometri. Af A. F. D. Wackerbarth. Vi förutskicka följande för vårt problem behöfliga sats: Båt AB vara en rät linie (fig. 9). Delas den i C, så att CA; CBx= m : n, och tages D i förlängningen af AB, så att DA : DB i samma, förhållande, nämligen m:n, och ritas med centrum 0 i midtpunkten af CD halfcirkeln CPD, så blir förhållandet emellan de båda linierna PA och PB från en punkt P hvilken som helst i periferien till A och B lika med förhållandet af m till n. Sammanbind P med C och D‘, drag BE//DP och BF// CP (punkterna E och F äro på AP och dess för- längning). 5 70 Vi få DA: DB - PA: PE; CA: CB = PA: PF. Enligt förutsättningen är DA:DB - CA:CB, då således PA : PE = PA : PF, d. v. s. PE = PF. Men, enär ∕∖ EBF är rät, så är PE = PF = PB, då slutligen PA: PB = CA : CB = m:n. Vårt problem lyder: En bas AC (fig. 10) mates upp på ett horizontalt plan, och delas i två segment AB och BC. (Antag t. ex. att AB = 900 fot och BC = 600 fot). Vid de trenne punkterna A, B och C observeras i samma ögonblick ballongens E trenne höjdvinklar E A D (e,), EBD (04) och ECD (03). (Antag t. ex. att dessa äro 0, = 550 9’ 23", 0, = 70° 48 30", 0, = 73° 23' 14"). Att finna ballongens lodräta höjd ED öfver det horizontala planet medelst en geometrisk konstruktion. Tag linien OP af godtycklig längd (fig. 11), och låt POP' vara en rät vinkel. Afsätt vinkeln LPO = komplementet af 0,, (34° 50' 37"), » » MPO = » » 04, (19° 11'30"), »o » NPO = » » 0, (160 36 46"), så äro de trenne linierna OL, OM, ON i samma propor- tion till hvarandra som de trenne linierna AD, BD, CD (fig. 10), som förena foten D af den från ballongen på det horizontala planet fälda perpendikeln ED med de trenne observationsstationerna A, B, C. I närvarande fall äro dessa linier i förhållandet af 14, 7 och 6 re- spektive. Tag nu efter en godtycklig skala AB = 900, BC = 600 (fig. 12). Nu gäller det att finna en punkt F så belägen, 71 att de trenne linierna FA, FB och FC hafva samma för- hållande sinsemellan som OL, OM och ON i fig. 11. På AC (fig. 12) tages punkten D och på dess för- längning punkten E så bestämda, att DA: DC = EA:EC = OL:ON, (= 14:6), och på DE beskrifves halfcirkeln DFE, då de tvenne linierna, som dragas från en punkt hvilken som helst i denna halfcirkels periferi till A och C äro i det erforder- liga förhållandet af OL: ON. , På AB tages punkten G och på dess förlängning punkten H, så att GA:GB - HA : HB = QL:OM, (= 14:7), och på GE ritas halfcirkeln GFH, då linierna från en punkt hvilken som helst i denna halfcirkels periferi till A och B äro i förhållandet af OL:OM. Alltså är punkten F, der de tvenne halfcirklarne skära hvarandra, den sökta punkten, öch linierna FA, FB, FC hafva sinsemellan samma proportion som OL, OM, ON, d. v. s. F är samma punkt, som i fig. 10 betecknas med D. Vinkelrätt mot någon utaf linierna AF, BF, CF (vi välja AF, emedan hon är längst) drages FI, och från A drages AI, som bildar vinkeln IAF lika med θ, (EAD i fig. 10 eller höjdvinkeln vid stationen A, 55° 9' 23") och skär FI i 7. Linien FI är följaktligen ballongens höjd enligt samma skala, som användes för figurens konstruktion. Mätningen’ ger 2000 fot. Satser af J. E. CEDERBLOM, föreståndare för Malmö tekniska skola. 77. En person eger ett krutbruk, en såg och ett trösk- verk, bygda vid samma vattenfall, men vill rasera dessa och i stället anlägga ett spinneri. För att ut- 72 röna den vid samma fall disponibla drifkraften, an- ställer han observationer, hvarvid utrönes, att den of- vanför verken liggande dammen rymmer så mycket vatten, som erfordras för att på en gång hålla dem alla i gång i 5 timmar, men att samma vattenmassa räcker i 7 timmar om 6 krutblandningscylindrar, som hvar och en erfordrar en drifkraft af 24 hästkrafter, äro i hvila. År deremot dammen full och tilloppet till den öppet, kunna alla verken drifvas i 174 tim- mar, innan dammen blir tom. Huru många spindlar kunna i det tilltänkta spinneriet drifvas, då 100 spind- lar med tillhörande arbetsmaskiner drifvas af hvarje hästkraft och spinneriet skall drifvas hela dygnet om? 78. En såg genomskär 304 qvadratfots yta i timmen; den undergår en reparation, hvarigenom drifkraften ökas med 2 hästkrafter, och då befinnes det, att den genom- skär 86 qvadratfots yta i timmen mer än förut och 1 qvadratfot mer pr hästkraft än förut. Med huru många hästkrafter arbetade sågen före reparationen ? 79. En fabrikant drifver sin fabrik med kraften från ett vattenfall, men vill utvidga sin rörelse, och emedan han finner både motorerna för svaga och sina arbets- maskiner föga tidsenliga, beslutar han sig för att om- bygga fabriken. Han låter profva de motorer, som förut drifvit den, hvarvid utrönes, att de tillgodogöra 45 % af vattenfallets hela naturkraft. En ingeniör förbinder sig att konstruera nya motorer, som tillgo- dogöra minst 60 % af naturkraften, och begär i kon- struktionsarvode 1000 R:dr för hvarje hästkraft, som vinnes utöfver dessa 60 %. Vid den ombygda fa- brikens igångsättning och afprofning befinnes, att kon- struktionsarvodet för motorerna uppgår till 7500 R:dr, och då den årliga vinsten af fabriken förut varit 67500 R:dr, uppgår den nu till 131250 R:dr, eller 73 500 R:dr mer för hvarje hästkraft än förut. Huru många hästkrafter sysselsatte fabriken före och efter ombyggnaden? 80. En person eger två ångmaskiner, som han använder till mjölmalning antingen hvar för sig eller båda ge- mensamt. Den ena förmal l kubikfot råg på 1,6 mi- nut kortare tid än den andra och på 0,9 minut längre tid än båda gemensamt; huru många kubikfot per timme formales med hvardera maskinen? AFDELNING II. Om den elementära framställningen af teorien för maxima och minima. Af HJ. HOLMGREN. (Forts, fr. sid. 36). I denna serie af slutföljder innefattas en sats, som äf- ven utan afseende på dess sammanhang med ämnet kan förtjena att antecknas: Omför ett värde a = a /(a)-J(a) -/"(a)...-/a)P 0.........(4), så vexlar hvarannan of dessa derivator tecken på samma sätt vid passerandet genom noll, och för hvarannan är följ- aktligen detta nollvärde gemensamt maximum eller gemensamt minimum. 74 Antages nämligen, att relationerna (4) ega rum, men att = b icke är noll, t. ex. bs o, så vexlar f(æ). (n—2) tecken för a = a från — till +,d. ä. J(a) = 0 år ett mi- nimum, eller J(x) är positiv å ömse sidor om detta noll- o (n—3). . värde; men då måste J(x) vid passerande af noll för a = a • i (n—4) vara växande d. ä. vexla tecken från - till +, d. är/(a) = 0 vara ett minimum 0. s. v. Men man är alldeles icke berättigad, att af denna rik- tiga sats draga den temligen vanliga slutföljden: (n) »Om J(a) är den första af derivatorna till f(x), »som ej blir = 0 för ett värde a = a, så motsvarar ». = a ett maximum eller minimum för f(a) en- » dast i det fall att n är ett jemnt tal.» Ty denna sats är falsk, såsom , af det föregående kan ses. Om nämligen en derivata af udda ordningsnummer vore den förstå , som ej blef noll för a = a, så vore likväl a = a en maximi- eller minimipunkt för f(x) i det fall, att denna derivata för a = a vore diskontinuerlig med motsatta 8 tecken för de begge värdena. Ex. y = (a - a)3 har för= a ett minimum. För ^ = α är y= y = 0 men y" är icke noll, utan diskontinuerlig med de begge värdena — ∞ och + ∞ . För finnandet af alla reela maxima och minima till en entydig och utvecklad funktion af en oberoende variabel y =/(e) har man således följande regel: a) Angif alla funktionens slutpunkter. De äro maxi- mi- eller minimipunkter för f(x). ' b) Bland rötterna till eqv. f(a) = 0 äfvensom bland de värden, som kunna göra f(a) diskontinuerlig, angif alla dem för hvilka f(a) vexlar tecken. Sker tec- kenvexlingen för växande x från + till -, så mot- 75 svarar detta x-värde ett maximum, i motsatt fall ett minimum för f(x). Vi skola nu genom några få exempel söka visa befo- genheten af denna teori. Ex. 1. f(x) = a2 - 7a + 6 2-10 Häraf f(a) f"(x) Söka vi’ först de (a - 4)7 - 16) - (a — 10)2 . 72 - (a — 10)3 under b) upptagna maxima och mi- nima, så ger f(x) = 0 de 2 rötterna 2, = 4, &2 = 16. Den förra motsvarar ett maximum, den sednare ett minimum, såsom af tecknet för f"(a) synes. ∕(4) =1 ett /(16) = 25 ett Skulle vi nu anse att f(x) Således är: maximum, minimum. ej har flera maxima eller minima, så erhölles det besynnerliga resultatet, att dess enda minimum vore större än dess enda maximum och att för öfrigt begge vore mindre än t. ex. /(30) - 34,8 och otaliga andra funktionsvärden. Tagas åter slutpunk- terna med bland antalet af maxima och minima, så befin- nes att f(a) har 4 sådana nämligen för a = — 0o och x = +∞, en för hvardera, och dessutom två för « = 10. Följa vi nu gången aff(x)från J = — 0 till a = + ∞, så finna vi för a = — ∞ ett minimum f(—0 ) = — 0o a = 4 » maximum /(4) ! (= 1 » X = 10 » minimum J(10 - 0) - — 0o » X = 10 maximum ∕(10 + 0)= + 0o » a = 16 » minimum /(16) - = 25 a = + oo » maximum ∕(+ ∞ ) = + ∞ . 76 Den ofvan antydda motsägelsen, åtminstone mot språk- bruket, finnes ej mer. Ex. 2. En ellips, hänförd till sina figuraxlar som ko- ordinataxlar, har eqvationen a2 2/2 1 a 4 1 • Vare sig att man betraktar den ena eller den andra af de begge enkla grenarne blir krökningsradiens uttryck i funktion af abskissan [al-(a3 - b2)22]2 (6) Söka vi nu denna krökningsradies maxima och minima, så finna vi, om först intet afseende göres på funktionens slutpunkter, af eqvationen de - - 3(a%HD. kat-(0)-0)l =0 de 3 rötterna a2 x = Q X=--, N/a2 - 62 Antaga vi asb, så vexlar do tecken vid z: = 0 från 6 ’ dæ + till —. Således ett maximum. . .. do medföra ingen teckenvexling i —. C2 De begge andra rötterna Vi erhöllo således blott ett maximum för hvardera grenens (5) krökningsradie. Vi veta likväl att mot x = —a och x = + a svara minima för denna ellipsens krökningsradier. Att dessa ej genom räkningen erhöllos är naturligt, emedan de motsvara slut- 77 punkter för funktionen Q, i hvilken, då den definieras såsom uttryck för ellipsens kr ökning sradier, nödvändigt inlägges det inskränkande vilkoret, att den icke har några reella vär- den utanför gränserna 2 = - a och a =+a. Dessa äro slutpunkter, hörande till slaget 4) ofvanföre, och bestämma således maximi- eller minimivärden för funktionen Q i den betydelse den har i den framstälda frågan, icke i dess all- männa analytiska betydelse. På hvardera grenen (5) har således krökningsradien för x = —a och 2 = + a ett mi- nimum (a > b). : Som de begge grenarne mötas i dessa punk- ter, så blifva de gemensamma värdena minima för hela el- lipsens krökningsradier. Eœ. 3. Behandlas samma fråga med afseende på hy- perbeln 22 a2 b2 1, så har man [(a2+b)a2—a'] ..(7), ° aAb ) och do 3(a2 + 02____________________ 0 = 20 . (a2 + b2)a2-a* = 0 dx a*b v 7 ger de 3 rötterna a° C = 0, 2= : - - , ~/a2 + b2 af hvilka ingen svarar på den framställda frågan om hy- perbelns krökningsradiers maxima och minima. Orsaken är naturligtvis den, att funktionen Q i denna enskilda fråga är inskränkt af vilkoret att gälla endast mellan gränserna — ∞ och — a å ena sidan samt + a och +∞ å den andra, till följe hvaraf man har på hvardera hyperbelgre- nen de mot dessa funktionens ρ slutpunkter svarande enda maxima och minima för krökningsradien Q. Anm. Man kan vid de begge sista exemplen anmär- ka, att om man uttrycker krökningsradien Q medelst or- 78 dinatan y, man erhåller de felande maximi- och minimi- ställena. Men å andra sidan är obestridligt, att formlerna (6) och (7) gifva värdena på alla ellipsens och hyperbelns krökningsradier och böra således ensamma vara tillräckliga att bestämma dessas maxima och minima. Detta äro de ock, om de blott äro tillräckligt definierade, d. v. s. icke blott i anseende till den analytiska formen, utan äfven i anseende till slutpunkterna. Ex. 4. En balk med rektangulära tvärsektioner af föränderlig storlek är fastgjord vid ena ändan och be- lastad vid den andra. Dess bredd är konstant = b, läng- den = l. Längdsektionen är ett paralleltrapez, hvars bas vid infästningen är = H och vid den fria ändan = h (H > h). Balkens svagaste ställe kan enligt mekaniken ap- proximativt beräknas genom att söka den sektion der — är minimum, när y betyder sektionens höjd, a dess afstånd från den fria ändan. Som nu 3 = 1 + 7 HT—), så har man att söka minimum för funktionen 2/2 7 + 4 H - 7)]2 2 -------------- Af € följer a = + 21, af hvilka det öfre teck- net motsvarar ett minimum för funktionen z. Svagaste stället vore altså vid 1 H-Ji Men om man nu hade t. ex. h - 3 H blef & = 2l, och detta svagaste ställe funnes ej inom balken. Något svagaste ställe måste han dock hafva, eftersom han ej är jemnstark (z är ej konstant). Anmärker man åter, att funktionen z i denna fråga i alla händelser har 2:ne slut- 79 punkter .= 0 och a = l, så inses omedelbart, att i den förra har z, då h = {H, ett maximum, i den senare ett minimum. Problem, löst af student E. LUNDBERG. (Forts, fr. sid. 38). Sättes radien i den mindre cirkeln (EeF) = r, radien i den större cirkeln = R, samt afståndet mellan medel- punkterna C och D = a, så erhålles utan svårighet AC-A, AaD-A", BC - m BD-." 2arR samt AB = ,----- Om man till x-axel tager centrallinien BD och till y-axel en deremot vinkelrät genom B gående linie, så äro de gifna cirklarnes EeF och Gg H eqvationer: x + + y2 = 72............(1) ∖ R+r) • och ( aR \ 2 i x------ + y2 = R2...............(2). När i dessa eqvationer de konstanta termerna (1-mm) 0011 (1-u m )r° på högra sidan om likhetstecknet äro positiva, så uttrycka de qvadraterna på halfkordorna BK och BL (detta in- träffar, när a < R+r, d. v. s. när såsom i fig. 4, 5 och 6, den mindre cirkeln till en del eller hel och hållen ligger inom den större). Medelproportionalen mellan BK och BL är då / a2 n V \ (R+M)3) ’ 80 och således eqvationen for den af de sökta cirklarne, hvars medelpunkt ligger i B: I - -, YR...................(3). (R+)2) Genom ett alldeles analogt resonnemang erhålles eqva- tionen för den andra locus-cirkeln (med medelpunkten A): ∕ 2crR 2 (a2 "* R-,*) -((R-Y' 4 hvilken eqvation endast har geometrisk betydelse, när a> R — r (såsom i fig. 2, 3 och 4). Om de gifna cirklarne tangera hvarandra, d. v. s. om a antingen är = R+r (fig. 3) eller = R-r (fig. 5), så reduceras i förra fallet eqv. (3) till x'+y2 = 0, och i / 27R 2 , - senare fallet eqv. (4) till 2 + — = + 02 = 0; den 7 ∖ R'-T) • förra af dessa eqvationer representerar punkten B, den senare punkten A, hvilka punkter i förevarande fall sammanfalla med cirklarnes (1) och (2) tangeringspunkter. De olika fall, som kunna inträffa, allt efter som de gifna cirklarnes afstånd a förändras, äro således följande: 1) a> R+r (fig. 2); locus är då cirkeln (4); eqv. (3) har ingen geometrisk betydelse. 2) a-R + r (fig. 3); locus är fortfarande cirkeln (4); eqv. (3) representerar en punkt B på denna cirkel. 3) a < R+r, men > R-r (fig. 4); locus utgöres af de båda cirklarne (3) och (4). 4) a = R-, (fig. 5); locus är cirkeln (3); eqv. (4) reduce- ras till en punkt A på denna cirkel. 5) a < R-7 (fig. 6); locus är eirkeln (3); eqv. (4) saknar geometrisk betydelse. Anm. 1. Emedan såväl AC och AD som BC och BD förhålla sig till hvarandra som cirklarnes radier, så äro punkterna A, C, B, D harmoniska. Anm. 2. Multiplicerar man eqv. (1) med R och eqv. (2) med r och adderar resultaten, så erhåller man 81 eqv. (3). Om dessa eqvationer deremot efter samma multiplikation subtraheras, så erhålles eqv. (4). I fall derföre de gifna cirklarne skära, eller tangera hvarandra (fig. 3, 4, 5), så gå cirklarne (3) och (4) genom kontaktspunk- terna. (Detta låter för öfrigt utan svårighet bevisa sig geometriskt). Anm. 3. Skrifva vi eqv. (4) under formen 2" + 4arR ( a2 ∖ R--," +(1- (R+1)*)"R - 0, så utmärker tydligen 1 - —— qvadraten på den tangent till cirkeln (4), som dragés från origo B *. Denna tangent är således lika stor med radien i cirkeln (3). Qvadraten på tangenten från A till cirkeln (3) är (R-73) T -β • Denna tangent är således lika med radien i cirkeln (4). Om de gifna cirklarne skära hvarandra (i hvilket fall äfven cirklarne (3) och (4) måste skära hvarandra i samma punkter), och man genom dessa afskärningspunkter drager tangenter till (3) och (4), så gå dessa följaktligen genom A och B. Anm. 4. Om man i eqv. (4), som kan skrifvas un- der formen (R2—92) x2 + 1 - ——, + 4a»Ræ = 0, ( \ (R+r) ) ) ' sätter B = r, så reduceras den till x - 0. Eqvati∩nen * Vi veta nämligen, att i allmänhet qvadraten på tangenten till en cirkel ( — 0)2 +( — 8)2 — 02 == 0 från en punkt x‘, y‘ är lika med (a‘ — a)2 + (y‘ — 8)2 — q”. 82 representerar i detta fall en rät linie, som ligger på lika nes medelpunkter C och D. mot centrallinien CD vinkel- afstånd från de gifna cirklar- Problem, löst af E. Lundberg. En cirkel rullar utefter en fast rät linie (fig. 13), hvar- υid en cykloid alstras af en viss punkt på periferien; att finna orten för denna punkts projektion på en mot den fasta linien vinkelrät diameter, äfvensom ytan mellan samma ort och cy- kloiden samt denna ytas tyngdpunkt. Cykloidens eqvation erhålles om ω elimineras mellan x = a c - sin ω), y = a(1 — cos ω). Cykloidens yta är Ta A ydx = a2 / (1 — cos 0)2do 0 0 = a(1 - 2 cos ω + cos2ω)dω , 0 eller, emedan / cos 2 co do = cos co sin ω +/sin2c do, och således 2 f cos 2 a do = cos ω sin ω + ω , . . sin co cos co A = er j (co-2 sin co + ---——— + — , 2 2/3 s o A = ~πa~. Den andra kurvans eqvation erhålles ur eqvationerna x = ac, y = α(l - cos co), hvadan hennes yta är 83 yda = a A' = QTE 7a2. 0 0 Ytan mellan de båda kroklinierna är derföre (från a = 0 till a = an) 2 na2, eller hälften af den genererande cirkelns yta. För bestämmandet af ordinatan y för denna ytas tyngd- punkt har man y / a sin co dy = ya2 J sino do = y. — 0 0 2a . a sin (o dy = a3 / (1 —cos œ) sin 2 a do , 0 eller, emedan eo 7 sin "CO (C = 70 2 och sin 2ω cos co sιnaω ----=0, 3 ‘ d. ä. TTC) 2’ a. Det är för öfrigt tydligt, att den sökta orten V=CU cos - 3 2 0 3 = är en sinoid; ty om origo flyttas blir dess eqvation till TT o , y = a, sa 2 ’ 9 ’ eller V, = — C cos 41 . a 2 2 % . 2 LL = sin . CU C Satser af E. Lundberg. (Ur Géom. Anal. par Briot & Bouquet). 3. Att finna orten för medelpunkterna till de cirklar, som skära två gifna cirklar i diametralt motsatta punkter. 4. Hvilken är den största af de ellipser, som kunna in- skrifvas i en gifven parallelogram? 5. En vinkel är omskrifven omkring en parabel, så att ytan af den triangel, som bildas af vinkelns ben och den mellan dem liggande parabelbågen, är konstant; sök orten för vinkelns spets. 6. Att finna orten för de punkter, från hvilka man kan draga tvenne vinkelräta normaler till en gifven pa- rabel. AFDELNING III. Faradays upptäckter. (Forts, fr. sid. 44). 3. Diamagnetismen. Sedan långt tillbaka visste, man, att jern, nickel och kobolt attraheras af magneten, och för en och annan var det till och med ej obekant, att vismuth och antimon af densamma bortstötas. Men att alla kroppar, ej ens ga- serna undantagna, röna inverkan af den magnetiska kraf- ten, det har först Faraday genom sina 1845 utförda un- dersökningar .lagt i dagen. Till de magnetiska ämnena höra, utom de nyss nämnda metallerna, äfven mangan, 85 krom, titan, platina m. fl. och bland gaserna syret; till den andra gruppen, innefattande de af Faraday benämnda diamagnetiska kropparna, räknas guld, silfver, bly, qvick- silfver, tenn, zink, m. fl. och vätgas. Det är dock ej blott de kemiskt enkla kropparne, på hvilka magnetismen ver- kar; äfven de sammansatta, af hvad beskaffenhet de än må vara, äro underkastade denna lag. Så till exempel visa sig tusch, porslin, gummilacca och brännkol magneti- ska, men hartz, trä, läder och de flesta animaliska äm- nen deremot diamagnetiska. Mellan polerna på en stark elektromagnet förhålla sig dessa båda slag af kroppar olika: de magnetiska ställa sig, då de äro fritt rörliga, med sin längdrigtning längs den mellan polerna gående linien; de diamagnetiska intaga en deremot vinkelrät ställning. Men i följd deraf, att äf- ven det omgifvande mediet röner inverkan af magneten, kan det inträffa, då det ena mediet utbytes mot det andra, att kropparnas egenskaper i ifrågavarande hänseende kunna synas helt och hållet förändrade. Såsom exempel härpå kan nämnas, att såväl svafvel som vax bortstötes från magneten, då de befinna sig i luft, men utbytes luften mot vatten, blir svaflet bortstött, under det att vaxet attrahe- ras; deremot kunna båda dragas till magneten, när det om- gifvande mediet utgöres af någon annan lämplig vätska. Man ser således, att ungefär samma förhållande eger rum här, som då kroppar af olika specifik vigt t. ex. trä och jern neddoppas i vatten: den ena stiger till ytan, den an- dra sjunker till botten, oaktadt båda äro underkastade tyngdkraftens inverkan; nedsänkas de deremot i sprit, sjunka båda, men i qvicksilfver stiga de bägge till ytan. De magnetiska fenomenen sökte man förr förklara ge- nom antagandet af tvenne magnetiska fluida, hvilka den s. k. koercitivkraften höll skilda från hvarandra inom ma- gneten. Men denna åsigt blef ohållbar, när Ampère vi- sade, att elektricitet och magnetism böra anses som modi- fikationer af en och samma kraft, och den blef det ännu 6 86 mera, då Faraday upptäckte diamagnetismen. Förklarin- gen af dessa nya fenomen är dock särdeles svår, isyn- nerhet då man numera utrönt, att poler verkligen förefin- nas hos diamagneten likaväl som hos magneten, ehuru de hos båda dessa slag af kroppar ej äro rigtade åt samma håll. Enligt Weber härrör diamagnetismen från induktions- strömmar, som i en bestämd rigtning skulle kretsa kring kropparnas minsta delar, men denna teori är allt för svår- fattlig för att här närmare kunna omnämnas. Oberoende af alla teorier om magnetismens natur har man för de särskilda ämnena kunnat numeriskt bestämma den specifika magnetismen, liksom man för dem bestämt tätheten eller den specifika vigten. Det har dervid visat sig, att, vid lika vigtsdelar, syret är 4 gånger mera ma- gnetiskt än luften, och ungefär 3000 gånger mindre än jern, i följd hvaraf hela atmosferen borde i magnetiskt hänseende åstadkomma samma verkan, som ett lager af jern, hvilket omgåfve jorden och hade en tjocklek uppgå- ende till To millimeter eller ett hårstrås bredd. Utan att inlåta oss på någon närmare förklaring böra vi i sammanhang med det föregående måhända tillägga, att Faraday äfven funnit de diamagnetiska fenomenen vara beroende af kropparnas inre byggnad eller s. k. krystalli- niska struktur, äfvensom att vissa genomskinliga ämnen erhålla, under magnetens inverkan, förmågan att vrida polarisationsplanet hos den ljusstråle, som längs magnetens axel genomgår det ifrågavarande ämnet. Denna sistnämn- da, i och för sig märkvärdiga, upptäckt kan här så myc- ket mindre med tystnad förbigås, som den just utgjorde utgångspunkten för Faradays diamagnetiska undersök- ningar. 4. Lagen för de elektro-kemiska undersökningarna. Då de båda elektroderna till en elektrisk ström ned- sättas i en saltlösning, sönderdelas denna, och lösningens metall samlar sig vid den negativa elektroden. Får en 87 och samma elektriska ström samtidigt genomgå tvenne salt- lösningar, som i öfrigt äro likartade, men af hvilka den ena innehåller t. ex. silfver och den andra koppar, så ut- fällas dessa båda metaller ej till lika vigter, utan i samma förhållande till hvarandra, som de tal, hvilka i kemien kallas equivalenter. Denna af Faraday år 1833 funna lag omfattade endast de af två element bestående s. k. binära föreningarna, men har sedan med vissa modifikationer ut- sträckts äfven till andra sammansättningar. Huru vigtig denna elektrolytiska lag är, kan inses re- dan deraf, att den kemiska verkan, som vid polerna eger rum, verkligen kan tjena såsom mått på strömmens styrka, hvilken vanligen uppmätes genom den ur vatten på en gif- ven tid utvecklade vätgasmängden. Faraday benämnde det instrument, som vid dylik mätning numera användes, Vol- tameter, till erinran om stapelns uppfinnare, liksom man förut efter Galvani uppkallat det mätinstrument, som grun- dar sig på strömmens magnetiska verkningar. Slutanmärkning. I föregående redogörelse för Faradays upptäckter ha vi upptagit endast det aldra vigtigaste. Det redan anförda torde dock vara tillfyllest för att visa, hvilken outtröttlig och redbar arbetare Faraday varit i vetenskapens tjenst, och man kan icke annat än förundra sig öfver, huru det varit möjligt för en enda person att uträtta så mycket. Då någon frågade honom, hvari hemligheten till hans stän- diga framgångar bestod, svarade han, »min hemlighet är »ganska enkel, den innefattas i desssa tre ord: work,finish, »publish ». Ron. THALÉN. 88 Bevis för kraftparallelogrammen efter Laplace och Walker *. Af G. DILLNER. Vi förutskicka följande för vår bevisning behöfliga sat- ser, hvilka dels äro sjelfklara dels blifva det genom någon liten belysning. 1:o. Tvenne på en punkt samtidigt verkande krafter (komponenter) kunna alltid till sin effekt ersättas af en enda kraft (resultant), verkande på den punkten; eller kor- tare uttryckt: tvenne krafter hafva alltid en resultant. 2:o. Resultanten af tvenne krafter ligger alltid i samma plan som dessa samt delar den af krafterna bildade vinkeln, som är mindre än två räta. 3:o. Resultanten af tvenne lika rigtade krafter är arit- metiska summan af krafterna med samma rigtning. 4:o. Resultanten af tvenne lika stora och motsatt rig- tade krafter är noll. * Den del af beviset, som rör resultantens storlek i kraftrektangeln, utgör med några små förändringar det för sin enkelhet berömda Laplaceska beviset i Méchanique Céleste, Liv. I. Chap. I. För den del åter, som rör resultantens rigtning i kraftrektangeln, uppger sig J. J. Walker såsom förste upphofsman (Quarterly Journal, Nov. 1867). Det Walkerska beviset är här omstöpt i en något mera elementär form. — Euklides I bok utgör nu en tillräcklig förkunskap för full insigt i bevi- set för kraftparallelogrammen, denna mekanikens hörnsten, med hvilken mekaniken såsom sträng teoretisk vetenskap står eller faller. Att icke något fullt tillfridsställande bevis för denna sats förut blifvit lemnadt, inses bland annat deraf, att nästan hvarje ny författare i mekaniken gif- vit ett nytt sådant: ty antingen har en önskad förenkling i formen gjort behöflig hypotesen om «krafters flyttning « eller, som är detsamma, om angreppspunktens orubbliga förening med andra punkter, eller ock har en skärpt stränghet i förutsättningarna nödvändiggjort åtskilliga artificia calculi, hvilka varit långt utöfver den elementära matematiken. Det här förebragta Laplaceska och Walkerska beviset torde derföre vara förtjent af en mer än vanlig uppmärksamhet. 89 5:o. Oιιι Ji är resultant till krafterna X och Y, så är uR resultant till krafterna μX och μ Y utan någon rigt- ningsförändring. Man inser nämligen omedelbart, att mot krafterna 2X och 2 Y, 3X och 3 Y o. s. v. måste svara resultanterna 2R och 3R o. s. v. utan någon rigtningsförändring; lika- ledes att mot AX och 4Y, 3 X och 3 Y o. s. v. måste svara 1R och 1R o. s. v., då således mot 2x och Py 9 9 måste svara PR utan rigtningsförändring. Enär slutligen hela talen p och q kunna väljas så, att det irrationella talet ligger mellan gränserna p+1 och - och dessa I 9 kunna fås att différera från hvarandra på huru litet som helst, så inses satsens sanning äfven för det fall, att μ är ett irrationelt tal. 6:o. Resultanten af tvenne lika stora krafter delar vinkeln dem emellan midt i tu. Låt OC vara resultant af de mot hvarandra vinkel- räta krafterna OA och 0B (fig. 14); låt ett med OA, OB, OC kongruent kraftsystem intaga läget OA, OB', OC. Krafterna OB och OB' upphäfva då hvarandra enligt 4:o, och 2.0A blir resultant till de lika stora krafterna OC och OC’, hvilken således delar vinkeln dem emellan midt i tu. I. Kraftrektangeln. Resultanten af tvenne mot hvarandra vinkelräla krafter är till storlek och rigtning lika med diagonalen i den rek- tangel, som konstrueras på krafterna som vidliggande sidor. Vi fördela beviset i följande fem moment. A) Vi beteckna de tvenne mot hvarandra vinkelräta kraft- 90 komponenterna OA och OB med X och Y samt resultan- ten OC med R (fig. 15). Vi sätta x = mk, Y =R, da V eller mR enligt 5:0 kan ersättas af mX och m Y utan rigtningsförändring i kraftsystemet, då således mX kommer att ligga som OF och mY sam OG. På samma sätt ersättes Y eller nR af nX och nY, den förra liggande som OE och den senare som 0D. Men nu äro nX och m Y lika stora, såsom varande begge = mnR, och dertill motsatt rigtade, då de således enligt 5:0 upphäfva hvar- andra. Aterstår således R = mX+nY, hvilken likhet genom multiplikation med talet R blir R- - X3+ Y2, då följaktligen R till storleken är lika med diagonalen i den med X och Y som ~sidor konstruerade rektangeln. B) Om vi antaga X och Y lika stora, så måste enligt 6:o resultanten dela vinkeln dem emellan midt i tu, då följaktligen resultanten af trenne lika stora och mot hvaran- dra vinkelräta krafter är till storlek och rigtning lika med diagonalen i den qvadrat, som konstrueras på de lika stora krafterna som vidliggande sidor. C) Vi antaga tvenne lika stora krafter OA och OB samt AAOB = 450 (fig. 16). Romben OACB och rektangeln OXCY fullbordas; diagonalen 0C drages äfvensom BDL OX. Enligt B) kan nu kraften OB ersättas af krafterna OD och OY, då således resultanten af OA och 0B måste till storlek och rigtning vara densamma som resultanten af OY samt 04 + OD = OX. Men enligt A) är resul- tanten af OX och OY till storleken = OC; och OC, såsom 91 delande A40B midt i tu, är enligt 6:0 till rigtningen re- sultant af 0A och OB, d. v. s. af OX och O Y. Alltså är kraftrektangeln bevisad för det fall, att resultanten bildar . .45° med sin ena kraftkomponent en vinkel = . Med stöd af denna sats kan man på enahanda sätt bevisa, att kraftrektangeln är sann, då vinkeln mellan re- 450 . sultanten och ena kraftkomponenten är ; vidare, att F 2.2’ ’ den är sann, då vinkeln är 450 2.2.2 och i allmänhet, då .- 45° vinkeln ar --. 2n D) Vi antaga de två lika stora krafterna OA och 0B (fig. 17), bildande respektive vinklarna a och β med rigt- ningen OX, samt att kraftrektangeln gäller, då vinkeln mellan resultanten och den ena kraftkomponenten är a eller ß. Bomben OACB och rektangeln OXCY fullbordas. Diagonalen OC dragés äfvensom AD och BF L OX samt AE och BG L OY. Enär kraftrektangeln antages gälla för resultantrigtningarna OA och OB, så måste resultan- ten af krafterna OA och OB både till rigtning och storlek vara densamma som resultanten af krafterna OD+OF = OX samt 0E+0G = OY. Men resultanten af OX och OY är enligt A) till storleken = OC; och OC, såsom delande vinkeln AOB midt i tu, är till rigtningen resultant af 0A och OB, d. v. s. af OX och OY. Men A XOC = 1(a + P), då således, om kraftrektangeln är sann, då re- sultantens vinkel med ena kraftkomponenten är a eller β, så är den äfven sann, då denna vinkel är 4 a + P). E) . 0 45° 45° Då nu kraftrektangeln gäller för a = — och β = — och följaktligen äfven för deras halfva summa 0. s. v., så är det lätt att öfvertyga sig om, att denna sats gäller, då 92 resultanten bildar en vinkel yp hvilken som heist med sin ena kraftkomponent. Ty låt OY vara 10X och låt OC bilda A s med OX (fig. 18). Vi låta A X0A = 45° och antaga φ < 450. Om nu A X0A halfveras af 0A, , så måste 00 dela an- tingen A XOA, eller A A,OA, vi antaga det senare. Om vi sedan halfvera A 4,04, så måste OC dela endera af de uppkommande halfvorna A A,OA, eller A,OA, vi antaga det senare.Om vi vidare halfvera denna vinkel o. s. v. in infinitum, så måste vi slutligen träffa på en halfveringslinie, som antingen sammanfaller med OC eller skiljer sig derifrån på mindre än det minsta tänkbara vin- kelvärde. Men vi hafva bevisat, att kraftrektangeln är sann, då resultantens rigtning sammanfaller med någon af dessa halfveringslinier. Alltså gäller kraftrektangeln, då resultantens vinkel med ena kraftkomponenten är en vin- kel © hvilken som helst, då således kraftrektangeln är fullt bevisad. II. Kraftparallelogrammen. Resultanten af tvenne krafter hvilka som helst är till storlek och rigtning lika med diagonalen i den parallelo- gram, som konstrueras på krafterna som vidliggande sidor. ' Vi antaga de två krafterna OA och OB (fig. 19). Parallelogrammen 0ACB och rektangeln OAXCY fullbor- das. Diagonalen 0C drages äfvensom BD L OX. Kraf- ten OB kan nu enligt I ersättas af OD och OY, då så- ledes resultanten af OA och OB måste till storlek och rigt- ning vara densamma som resultanten af OA + OD = OX samt OY, d. v. s. diagonalen OC, hvarigenom den fram- stälda satsen är bevisad. : Satser. 7. Om en rät linie drages genom tangeringspunkten till två cirklar, hvilka tangera hvarandra invändigt i de- 93 ras högsta eller lägsta punkt, så blir falltiden, längs den mellan de båda cirkelperiferierna belägna delen af linien konstant, ifall partikeln börjar sin rörelse utef- ter denna del utan begynnelsehastighet. Sök läget för den räta linie, längs hvilken en parti- kel, utan begynnelsehastighet, faller på kortaste tid 8. från en gifven rät linie, belägen utanför en gifven cirkel, till cirkeln; 9. från en gifven cirkel till en gifven rät linie, belägen utanför cirkeln; 10. från en gifven cirkel till en annan gifven, men utan- för densamma belägen cirkel; II. från en gifven cirkel till en annan gifven, men innan- för densamma belägen cirkel; 12. från en gifven cirkel, belägen inom en annan gifven cirkel, till denna yttre cirkel. Sats af J. E. CEDERBLOM, föreståndare för Malmö tekniska skola. 13. Ur en metallring abce af rektangulär genomskär- ning och diametern D bortskäres ett stycke ab, hvarefter ringen hopböjes så, att de båda ändarne a och b komma intill hvarandra, hvarvid ringens dia- meter blir d; denna inskjutes nu i en cylinder, hvars diameter också är d. Då ringens dimensioner äro be- kanta, äfvensom elasticitetsmodylen hos det ämne, hvaraf ringen är gjord, samt friktionskoefficienten mel- lan ringen och cylindern, att beräkna den kraft, som erfordras för att skjuta ringen fram genom cylindern. Anm. Förekommer vid beräkningen af det skadliga mot- ståndet inom vissa blåsmaskiner och angmnaskiner. 94 ÅFDELNING IV. Något om de skriftliga profven för mogenhetsexamen. Då till vår kunskap kommit, att åtskilligt missförstånd gjort sig gällande med afseende på den formella behandlingen af de i profskrif- ningen förelagda matematiska och fysiska ämnen, så anse vi oss icke gå utom tidskriftens plan, då vi lemna en kort anvisning om den lämp- liga formen för dylika ämnens behandling. Det lär icke sällan inträffa, att lösningen af en räknesats, inskrän- ker sig till ett naket angifvande af sjelfva slutfacit. En sådan lösning, äfven om hon icke bör anses helt och hållet förkastlig, angifver dock icke, hvad granskaren helst önskar veta såsom rättelse för sitt omdöme, huruvida eleven genom sina studier förvärfvat den omdömets skärpa, som säkert förstår skilja hufvadsak från bisak, samt huruvida han ut- bildat den med rätta högt skattade förmågan att utan fraser tätt binda sina ord vid följdrigtiga tankar, eller kortligen, huruvida han hunnit den mognad i förstånd och omdöme, som man med rätta fordrar som frukt af den matematiska elementarundervisningen. Vid behandlingen af en räknesats bör eleven isynnerhet lägga märke till, att satsens uppställ- ning i eqvation innebär ingenting annat än en öfverflyttning af de i satsen uttalade vilkoren från vanligt språkbruk till det algebraiska språket. En sådan öfverflyttning bör under en väl afpassad diskussion utföras: eqvationen bygges af de i satsen ingående talen (vare sig i siffror eller bokstäfver angifna) genom att foga det ena vid det andra med sitt tillbörliga räknetecken, då betydelsen af hvarje på detta sätt framträdande term, åtminstone om han utsäger något vigtigare vil- kor hos satsen, bör särskildt framhållas, hvarefter den slutliga hopfog- ningen af de diskuterade termerna i öfverensstämmelse med det uttalade hufvudvilkoret utgör satsens öfversättning till det algebraiska språket. Vid uträkningen angifvas steg för steg resultaten af hvarje vigtigare transformation, hvarvid alla möjliga förenklingar och förkortningar sorg- fälligt iakttagas. Slutresultatet eller slutfacit undersökes med omsorg, hvarvid svar, som äro främmande för satsen, utgallras. Inträffar ett sådant främmande svar vid lösningen af en qvadratisk eqvation, så kan man undersöka, om någon sådan modifikation af satsen är möjlig, hvari- genom detta svar äfven blir antagligt; inträffar det åter vid lösningen af en roteqvation, så är det stundom främmande för sjelfva eqvationen 95 och bör då såsom sådant angifvas. I afseende på den yttre städseln iaktta- ges, att en korrekt och koncis text bindes vid hyfsade och väl bygda form- ler genom lediga vändningar och en väl afpassad kommatering, «text och matematik på skilda rader«, så att det hela får utseende af, hvad man kallar, matematisk elegans. — Vid behandlingen af de geometriska satserna bör eleven undvika att slafviskt efterbilda den euklideiska om- ständligheten och omsägningen; han bör i stället i korta och raska drag angifva kärnpunkterna af beviset, bindande dem den ene vid den andre i en enkel och naturlig tankeföljd utan andra omtagningar än sådana, som äro oundgängligen nödvändiga för bevisets tydlighet. Dervid iakt- tages, att de i våra nyare geometriska läroböcker införda beteckningarna för vinkel, parallel, kongruent, likformig o. s. v. användas till förkort- ning af texten och för åskådligheten af beviset. Figurerna böra tecknas med största möjliga omsorg och korrekthet. Såsom synnerligen vigtigt framhålles, att satsens lösning bör vara uttömmande, d. v. s. att alla möjliga fall, som kunna passa in på satsens ordalydelse böra särskildt undersökas och behandlas (t. ex. i fråga om triangel i allmänhet, att de tre fallen spetsvinklig, trubbvinklig och rätvinklig hvart för sig skär-, skådas). Till förtjenst räknas naturligtvis, om eleven, efter att hafva löst sin sats, lyckas finna en allmännare lösning, hvaraf den erhållna utgör blott ett specielt fall; dock bör han icke offra tid på funderingar i den vägen, innan han lemnat den i satsen fordrade lösningen. — De fysiska satserna äro i afseende på den formella behandlingen att hänföra till endera af förut afhandlade kategorier, hvarvid sorgfälligt iakttages, att de fysiska lagar, hvarpå satsernas lösning grundar sig, böra tydligt och bestämdt angifvas. Det är ett obestridligt faktum, att resultaten af den matematiska elementarundervisningen vid våra läroverk, der de förberedande öfnin- garna för profskrifningen blifvit omsorgsfullt behandlade, stå ojemnför- ligt högre nu, än hvad de stodo under samme lärares händer, innan dessa öfningar blefvo en nödvändighet. Vi räkna derföre ock stadgan- det om profskrifningen såsom en af de vackraste paragraferna i vår nu- varande skollagstiftning. Äfven om vi måste medgifva, att de fram- lagda satserna hittills till stor del varit af det enkla slaget, att de i en med afseende på de förberedande öfningarna väl ordnad skolunder- visning kunna med fördel lösas redan af sjette klassens mera försig- komna elever, så anse vi dock visliga handladt af vederbörande, att under närvarande, för det matematiska elementarstudiet vigtiga, öf- vergångsskede småningom vinna land för detta hos oss nya sätt att studera matematikens elementer, hvilket under en skicklig och nitisk lärarecorps otvifvelaktigt kommer att i en framtid bringa vackra frukter både åt vetenskapen och fosterlandet. Profskrifningen har redan alstrat en liten nätt litteratur af fyndigt och väl uttänkta satser, hvilka, om de 96 omsorgsfullt studeras med de under liggande grunderna, utgöra med få luckor en väl afpassad kurs i matematikens och fysikens elementer. Vi hafva väl ännu icke någonting jemnförligt med de engelska “ examens- papperen « med sina höga anor, hvarifrån Todhunter skördat sina för- träffliga exempelsamlingar; säkerligen skall dock — vi hoppas det — inom en måhända icke alltför aflägsen framtid en litteratur af pröfnings- satser hos, oss uppstå, hvilken t. o. m. för utländingen skall vittna om det matematiska elementarstudiets vackra ståndpunkt i Sverige. Tiskrif- ten skall med synnerlig uppmärksamhet följa dessa satser; och, då hon icke saknar utsigt, att tillfälle dertill heredes henne, skall hon intaga de bästa för mogenhetsexamen utförda skrifningarna, hvilka kunna tjena som prof pa de mera försigkomna examinandernas ståndpunkt och såsom efterföljansvärda mönster för kommande examinandi. D. Anmälan af WESTRÖMS och Lindmans läroböcker i geometri. Af F. W. HULTMAN. 1. Lärobok i geometri, omfattande de sex första böckerna af Euclides, af C. A. Weström, Ph. Mag., adj. vid högre ele- mentarläroverket i Wisby. Stockholm 1867. Pris: 75 öre. Förf, har indelat sin lärobok i fem böcker. Den första handlar om räta linier och trianglar (motsvarande ungefär Eukl. I: 1—I: 32), den andra om parallelogrammer (Eukl. I: 34—II: 14), den tredje om cirkeln och reguliera månghörningar (Eukl. III, IV). Den fjerde boken (Eukl. V) är proportionslära, och den femte visar proportionslärans tillämpning på ytor och plana figurer (Eukl. VI). Detta arbete har liksom Brakenhjelms upplaga af Euklides den för- tjensten att begagna korta beteckningssätt, såsom + , —, A, |, ~ m. m. Bevisen blifva derigenom lättare att genomläsa, äfvensom bo- kens volym betydligt förminskad. Genom att här och der förändra de euklideiska definitionerna, omkasta satsernas ordningsföljd har förf, sökt förenkla bevisen för flere satser. Af sålunda förenklade satser nämna vi följande : 1. Vinklarne vid basen i en likbent triangel äro lika stora. Bevi- set sker genom att dela vinkeln vid spetsen midt i tu. 2. Om i en triangel vinklarne vid basen äro lika stora, så är tri- angeln likbent. För bevisets skull drager man från spetsen en mot ba- sen vinkelrät linie. 97 3. Att förvandla en gifven rätlinig figur till en triangel. Konstruk- tionen är den vanliga att skaffa bort det ena hörnet efter det andra. 4. Att rita en triangel sådan, att hvar vinkel vid basen är dubbelt så stor som vinkeln vid spetsen. Den eleganta upplösningen, som ej förutsätter någon kännedom af Euklides' tredje bok, sker pa följande sätt. Man delar en rät linie AB så, att AB.BC= AC, uppritar på BC såsom bas en likbent triangel BCD, der BD = CD — AC. Trian- geln ABD är den begärda. 5. Om tvenne cirklar tangera hvarandra, så ligga medelpunkterna och tangeringspunkten i samma räta linie. . Efter att hafva anfört arbetets förtjenster, vilja vi påpeka några punkter, i hvilka vi ej kunna instämma med förf. De förnämsta äro följande: 1. Förf:s bevis för den satsen, «två trianglar äro kongruenta, om de tre sidorna i den ena triangeln äro lika stora med hvar sin af de tre sidorna i den andra<, är ofullständigt, enär förf, ej bevisat den satsen, att tvenne cirklar ej kunna skära hvarandra mer än i två punkter, en på hvardera sidan om linien, som förenar cirklarnes medelpunkter. 2. I sitt bevis för satsen + b2 - ab) , der det negativa rottecknet ensamt motsvarar problemets vilkor. Öfningssatser. (Lösas förmedelst qvadratiska eqvationer *). 81. Ett fönster utgöres af en rektangel jemnte en på dess öfra sida konstruerad likbent triangel, hvars höjd och halfva bas äro som 1:/2. Hvilken form bör fönstret ha för att med gifven perimeter 2p insläppa största möjliga qvantitet ljus? * För diskussion af dessa maximi- och minimisatser hänvisas till den svenska bearbetningen af Todhunters algebra. 112 82. Att omkring en gifven rektangel omskrifva en rekt- angel med största möjliga yta. 83. Mellan tvenne räta linier, som bilda med hvarandra en gifven vinkel v, skall inpassas en linie af gifven längd a, så att den uppkommande triangelytan blir den största möjliga. 84. Hvilken form bör en i en gifven sfer inskrifven cylin- der ega, för att l:o hans bugtiga yta 2:o hans hela yta må bli maximum. 85. Två städer A och B äro förenade genom en 3 mils rätlinig jernväg. På sidan om vägen är en egendom C så belägen, att vinkelräta afståndet CP till AB är 1 mil och AP = 2 mil. För att få kommunikation med både A och B anläggas från C två rätliniga kör- banor till jernvägen. I hvilka punkter böra dessa träffa vägen, för att kommunikationen med de båda städerna må ske med största möjliga tidsvinst? 86. Tvenne vägar AC och BC skära hvarandra under 60 graders vinkel. Från A och B utgå samtidigt två kroppar med resp, hastigheterna 1 mil och 1 mil i timmen. Om AC ^ 2 mil och BC = 1 mil, efter hvilken tid äro de två kropparne på minsta afstånd från hvarandra? — Samma fråga för det fall, att A ACB = y, AC = a, BC = b, samt de resp, ha- stigheterna äro a och ß. 87. Att omkring en gifven sfer omskrifva en kon, hvars l:o bugtiga yta 2:o hela yta är ett maximum eller minimum. 88. I en kon. med höjden h och basradien r skall inskrif- vas en cylinder, hvars 1:o bugtiga yta 2:o hela yta skall utgöra ett maximum eller minimum. (Lösas på grund af isoperimetri). 89. En figur, som utgöres af en rektangel och en likbent triangel, skall inskrifvas i en gifven halfcirkel ; hvil- 113 ken form bör figuren ha för att innesluta största möj- liga yta? 90. Omkring en gifven cirkel skall omskrifvas en likbent triangel af minsta möjliga yta. 91. Hvilken form bör ett cylindriskt vätskemått ha för att med minsta möjliga yta förena största möjliga rym- lighet? 92. Af l fot långa trädstammar skall en lapp konstruera en konisk kåta. Hvilken form bör kåtan ha för att bli så rymlig som möjligt *? 93. Att i en gifven sfer inskrifva l:o en cylinder 2:o en kon af största möjliga volym. 94. Att i en gifven sfer inskrifva en kon med största möj- liga bugtiga yta. 95. Ett koniskt kärl, hvars djup är h och basradie y, är fyldt med vatten. Man önskar veta formen på den cylinder, som, neddoppad i kärlet, undantränger så mycket vatten som möjligt. 96. Ur en cylindrisk trädstam skall uthuggas en bjelke af största möjliga fasthet. Huru bör bjelken formas, då man vet, att fastheten F är proportionel mot bred- den x och qvadraten på höjden y, d. v. s. F = cay2, ■ der c är en konstant. 97 **. Sök maximum C) af produkten xy, då — + — = 1, af produkten zyz, da - ++= 1. ‘ - o a2 b2 02 * Svaret, att höjden : basradien = 1:/2 synes, att döma efter ögonmått, något sa när öfverensstämma med lapparnes sätt att bygga sina kåtor. Skulle någon af tidskriftens läsare vara i tillfälle att genom mätning afgöra frågan, så komme resultatet af en sådan undersökning säkerligen att intressera rätt mången. Vi ha så mycket mera skäl att fästa uppmärksamheten på denna omständighet, som tidskriften i något af sina närmast följande häften kommer att redogöra för några andra byggmästares sätt att bygga sina hus, nämligen — binas. ** Detta exempel är af särskildt intresse för dem, som läst analy- tisk geometri, enär a) lär oss inskrifva den största rektangel i en ellips och ß) lär oss inskrifva den största möjliga rektangulära parallelipiped i en ellipsoid. 114 Satser af docent C. E. Lundström. 98. Af en triangel känner man antingen a) arean, peri- metern och en vinkel eller β) arean, en sida och förhållandet mellan de tvenne andra. Att konstruera triangeln. 99. Om på en triangels sidor såsom baser likbenta och likformiga trianglar uppritas, så att deras spetsar alla äro vända utåt eller alla inåt den ursprungliga tri- angeln, att bevisa, det dessa spetsar och samma tri- angels hörn ligga i perspektiviskt läge, eller att, om man sammanbinder dem med motstående hörn, de sammanbindande linierna gå genom en punkt. 100. En triangels sidor skola gå genom tre gifna punkter, och dess hörn ligga på en cirkels periferi. Att kon- struera triangeln. 101. a) Att på en rät linie finna den punkt, hvarifrån en på ena sidan belägen determinerad linie synes under den största vinkel. ß) Att finna en dylik punkt på en cirkel. Sats af löjtnant P. W. Almqvist. 102. Att upprita en qvadrat, hvars sidor (förlängda om så behöfves) tangera hvar sin af fyra gifna cirklar. Sats af student N. Peterson. 103. ABCD är en fyrhörning, uti hvilken sidorna AB och CD äro båda vinkelräta mot BC och tillsam- mantagna lika stora med AD. Om man från midt- punkten af AD drager en perpendikel mot BC och från dess fotpunkt en perpendikel mot AD samt från denna perpendikels fotpunkt åter en perpendikel mot BC, så blifva dessa i zigzag gående perpendiklar i ordning det aritmetiska, det geometriska och det har- moniska mediet mellan AB och CD. 115 Satsen 43 (G. H. Lindqvist), löst af student G. Mittag Leffler. Denna uppgift är ett enskildt fall af följande allmän- nare uppgift, hvilken erbjuder en nära nog lika enkel lös- ning, som det ifrågavarande enskilda fallet. I en cirkel tirages en körda EC och den ene af hennes motsvariga bågar skäres midt i tu i A; att genom A draga en rät linie så, att stycket mellan cirkelperiferien och kordan eller hennes förlängning blir = en gifven längd 1. Sammanbind A och C, drag CO 1 AC och gör CO = il; sammanbind vidare A och 0, afsätt på 0A stycket OD = OC och med A som medelpunkt upprita en cirkel, som går genom D och skär cirkeln CAE i B och B, . Vi taga till undersökning först det fall, då cirkeln CAE skär kordan EC. Vi låta skärningspunkterna vara F och F, och draga AF och AF, , tills de råka cirkeln EAC i B, och B, , samt AB och AB1 , tills de råka kor- dan EC förlängd i F, och Fa; de fyra linierna AF,, AB,, AB, och AF, äro då af den begärda egenskapen. Punkterna C och B, förenas, och med 0 som medel- punkt uppritas en cirkel, som går genom C och D och hvilken således tangeras af den mot OC vinkelräta AC. Emedan A AFC är likvinklig med Λ ACB2, så är ——2 AF: AC = AC:AB, eller AC = AF.AB2; emedan vi- dare AC tangerar bågen DC, så är AC = AD.(AD+20D), hvaraf följer, enär AD = AF och 20D = 1, att AB, = AF+l, då alltså AB, är en linie af den begärda egen- skapen. Om B och C förenas, så följer af likvinklighet mel- -------------------------------2 lan A ABC och A ACF,, att AC = AB . A F2 , då på samma sätt bevisas, att AF, är en linie af den begärda egenskapen. De två linierna AB, och AF, tillsammans med de symetriska linierna AB, och AF3 äro således de fyra so- lutioner, som svara mot förevarande fall. 116 I fall cirkeln BDB1 tangerar kordan EC, samman- falla solutionerna AB, och AB, till en, och om cirkeln icke råkar kordan, så äro blott solutionerna AF, och AF3 möjliga. Vi hafva funnit AC = AB. AF, . Om derföre AC = den gifna längden 1, så är BF, = AB.AF,, hvilket ger uppslag till följande rätt enkla konstruktion af detta enskilda fall. Skär nämligen AC i K, så att AC. AK = KC; drag genom K och parallelt med EC en rät linie B. KB, hvil- ken skär cirkeln i B och B.. Linierna AB och AB1 , utdragna, tills de träffa EC förlängd i F, och Fa, äro då linier af den begärda egenskapen. Ty af KC = AC.AK följer, att BF, = AF,.AB; men enär A ABC är lik- vinklig med A ACF, så är äfven AC = AF, . AB, d. v. s. AC = BF2, då alltså AF, och följaktligen äfven AF3 uppfylla vilkoret. De två öfriga solutionerna (om de äro möjliga) erhållas såsom förut, om man med A som medel- punkt lägger en cirkel genom B samt förenar A med de punkter F och F, i hvilka cirkeln skär kordan EC. Skulle såsom i 43 satsen EC = 2r vara en diameter till cirkeln EAC, så är 2r2 = AC3 = (AC+AB). AB, hvaraf visar sig, att AB P 0, . . . . positiv » 7r 2 > P 7 4’ • o • . negativ » 3 7 4 s P. TT 2’ . . . . positiv » 7T > P- — , 0. s. V., 4 3 eller att i allmänhet R är maximum . . . minimum k7 1 = Na för P= 2, -J . p-CE+1)C-O120a.1) Kurvan är uppritad i fig. 20. ABA'B' är den pri- mitiva ellipsen, Oa är = ~/a. Oa = A/b; linien a'Oa bil- dar vinkeln 45°, B’Oß 135° med A'OA, och aabβda'b'β' är vår sekundära kurva. Den liknar en blomma med fyra kronblad, eller tvenne korsvis lagda ellipser, hvilkas kon- turer i skärningspunkterna sammansmält med hvarandra. Då variabeln z befinner sig i A, och dess argument är 0, måste u vara i a. I denna ställning representerar u den positiva qvadratroten ur den positiva qvantiteten a. Då z genomlupit ellipsens första qvadrant och således befinner sig i B, har u, på grund af (2), hunnit till a. Likaså inses lätt, att, då z är i A', är u i b, ........B’,.... 8, ........A, ....a. 122 I denna sistnämnda ställning representerar u den ne- gatiυa qvadratroten ur den positiva qvantiteten a. Vi låta nu vår oberoende variabel verkställa ett nytt, kretslopp och finna, att, då z är i B, är u i C', A,....U, ........B',.... 8', ........A, .... a. I detta sista läge föreställer u återigen den positiva qvadratroten ur a. Den positiva och den negativa qvadratroten ur en po- sitiv qvantitet äro således icke tvenne särskilda funktioner. Det är nemligen alldeles stridande mot begreppet af funk- tion, att en sådan skulle kunna öfvergå i eller förvandlas till en annan, endast derigenom att- den oberoende varia- beln förändras på ett visst sätt. De båda qvadratrötterna äro olika valörer af en och samma funktion. Denna är således icke-monodrom. För öfrigt inser man, vid första ögonkastet på vår sekundära kurva, bland annat följande: 1) De båda qvadratrötterna ur den negativa qvant. — a äro belägna i b och 6‘, följaktligen rent imaginära, samt af formen ± is/a. Ingendera förtjenar således att framför den andra utmärkas med benämningen principal. 2) De båda qvadratrötterna ur den imaginära qvanti- teten bi ligga i a och a, samt äro således +(1+i). Den förra är principal. 3) De båda qvadratrötterna ur den imaginära qvanti- teten — bi ligga i β och β', äro således - (1-i. Den senare är principal. Antages deremot % = ~//z, eller, som är detsamma, u* = 123 så erhålles, om vi taga samma primitiva kurva som nyss, den sekundära Rå = ab V/a" sin23P + 62 cos 23P Denna eqvation kan undersökas efter samma metod som (4). Kurvan är uppritad i fig. 21, och af densamma kunna följande slutsatser bland andra dragas. 1) z måste tre gånger i samma led genomlöpa sin ellips, för att u skall återkomma till samma punkt. 2) Kubikrötterna till den positiva qvant. a ligga i , s 3 /- 1 + i./3\ α, C, och äro alltså Na samt N/C----------2----Den första är principal. 3) Kubikrötterna till den negativa qvant. — a ligga i C, b, c och äro alltså — N/a samt —2 De båda senare äro lika berättigade till benämningen princi- pala. 4) Kubikrötterna till den imaginära qvant. bi ligga i a, y, β' och äro således 36(—2*4) samt -i,Jb. Den första är principal. 5) Kubikrötterna till den imaginära qvant. - bi ligga i 8, d, Y och äro således i3b samt *b(-2—). Den sista är principal. Den sekundära kurva, som under enahanda förutsätt- ning motsvarar den allmänna funktionen n u = ~//z, har uppenbarligen till eqvation Rn - ab N/a2 sin2nP + 62 cos2nP Dess konstruktion inses lätt af det föregående. 124 Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 30). Förberedande begrepp. Reduktion till nya grundbestämningar. 1. En punkt P (fig. 22) är fullt bestämd till sitt läge, då vi känna hans afstånd från en gifven punkt O samt detta afstånds rigtning från en gifven rigtning AB. Den gifna punkten O kallas origo och den gifna rigt- ningen AB kallas grundrigtning. Går icke AB genom origo, så låter man för enkelhetens skull en med AB pa- rallel och lika rigtad rät linie 00 vara dragen genom origo, hvilken då representerar grundrigtningen. 2. Med O som medelpunkt och en gifven enhetslängd som radie uppritas en cirkel LMN, somskär OC och OP i respektive L och M samt förlängningen af OC i N. Denna cirkel kallas enhetscirkel och tjenar till att på sam- ma gång angifva den enhetslängd, hvarmed OP är upp- mätt, som ock att utmärka den båglängd LM, som be- stämmer OP:s rigtning från grundrigtningen OC. Om nu afståndet OP äfvensom bågen LM, begge uttryckta i den gifna längden OL som enhetsmått, representeras af de re- spektive talen a och a, hvilka kunna vara rationella eller irrationella, så inses, att vi med beteckningen Gx kunna representera läget af hvilken punkt som helst inom planets hela utsträckning. Denna förening af tvenne tal, hvaraf det ena utmärker en punkts afstånd från en gifven punkt och det andra den båge på enhets cirkeln, som bestämmer detta afstånds rigtning från en gifven rigtning, begge hänförda till samma gifna en- 125 hetsmått, kallas geometrisk qvantitet, geometrisk kom- plex eller helt enkelt komplex. Afståndet a kallas radius vector eller modyl, bågen a åter polarvinkel eller argument. Såsom tecken för kom- plexer användas vidare Rp, Tp, Pp ; b, Cy, o. s∙ v∙ 3. En komplex aa kan äfven tecknas a.l., der le, såsom utgörande enhetslängden OM, till rigtningen bestämd af bågen LM eller a, kallas geometrisk enhet. Hvarje komplex kan således betraktas såsom uppkommen ge- nom den geometriska enhetens multiplikation med ett rationell eller irrationelt tal. 4. De bestämningar, som på förhand måste vara gifna för att en geometrisk qvantitet skall kunna vara fullt verklig, d. v. s. uppfylla sitt ändamål att bestämma en punkts läge i planet, äro således: l:o den godtyckligt valda punkten 0 eller origo, 2:0 den godtyckligt valda rigtnin- gen OC eller grundrigtningen samt 3:o den godtyckligt valda längdenheten OL eller enhetsmåttet, hvilka tre be- stämningar kallas den geometriska qvantitetens grundbe- stämningar. Vi skola framdeles se, huruledes ur dessa grundbestämningars arbiträra eller konventionella natur den geometriska kalkylen leder sin utveckling, likasom, enligt hvad vi i inledningen antydt, den aritmetiska kalkylen är grundad på det konventionella enhetsmåttet samt den al- gebraiska på detta jemnte den konventionella positionen. 5. En geometrisk qvantitets rigtning förändras icke, om till argumentet lägges ett helt antal båghvarf. Om derföre k betecknar något af hela talen 1, 2, 3 etc. eller ock 0, så representeras punkten Pé läge, generelt taget, af komplexen Ca+2k= • Då argumentet utgöres af ett enda bågvärde, såsom i ax, kallas det specielt; utgöres det åter af ett obegränsadt 126 antal sådana, såsom i ac+2r , kallas de generelt. Det ge- nerella argumentet öfvergår således i det speciella, så snart k antages representera ett gifvet bestämdt värde eller nå- got af värdena 0, 1, 2, 3 etc. 6. Rigtningen OP angafs såsom bestämd af bågen LM, men kan lika gerna anses såsom bestämd af bågen LNM, då således den led, i hvilken vi kunna räkna våra bågar är tvåfaldig, den ena motsols eller från höger till ven- ster (för en person, som föreställes stå upprätt på planet i origo), den andra medsols eller från venster till höger. Den led, i hvilken vi räkna våra med positiva tal beteck- nade bågar fastställes nu en gång för alla att vara den förra eller motsolsleden *. Bågar, räknade i den senare eller medsolsleden, måste då betecknas med negativa tal, hvilket man lätt finner deraf, att, om radien OL tänkes först beskrifva en båge a i den förra leden och derpå en båge ß i den senare, så blir den båge, som bestämmer ra- diens rigtning efter denna rörelse fram och tillbaka, alge- braiska summan a — ß. Motsolsleden kallas derföre positiv och medsolsleden negativ. Betydelsen af k i det generella argumentet a + 2kr kan derföre utom 0 vara såväl något af de hela positiva talen 1, 2, 3 etc., som något af de hela negativa talen —1, —2, —3 etc. 7. Argumentet kan likaväl uttryckas i grader som i båglängder af enhetscirkeln. Om derföre g betecknar grad- talet af hågen a, så ha vi för beräkning af g ur a eller a ur g följande relation gL a 180 7’ 8. Vi hafva i inledningen antydt den vigtiga grund- satsen, att aritmetiska storheter, som äro af samma slag och ingå i samma räkning, måste vara hänförda till samma arbiträra enhet, likasom ock, att algebraiska storheter, * Förnämsta skälet till denna fasställelse är, att planeternas rörelse omkring solen sker i denna led. 127 som äro af samma slag och ingå i samma eqvation, måste vara hänförda till samma arbiträra enhet och samma ar- biträra position. Denna grundsats utsträckes nu att omfatta de geome- triska qvantiteterna och får då följande lydelse: geometri- ska qvantiteter, som ställas i någon jemnförelse med lvaran- dra, måste vara hänförda till samma arbiträra origo, samma arbiträra enhet och samma arbiträra grundrigtning. Ty det är nämligen sjelfklart, att, om två eller flere punkter i i ett plan skola jemnföras till sina lägen, så kan en sådan jemnförelse icke ega rum, utan att de äro hänförda till samma origo och samma grundrigtning och att de förekom- mande afstånden äro uppmätta med samma enhetsmått. Då vidare de tre grundbestämningarna, såsom godtyckligt fastställbara, kunna vara på mångahanda sätt gifna, så inses, att lagarna för reduktion till samma nya grundbe- stämningar måste bli det närmaste föremålet för vår un- dersökning. Sammanfattningen af dessa lagar med deraf härledda följder utgör ock det system af räknemetoder, hvilket vi kalla geometrisk kalkyl. A) Reduktion till nytt origo med bibehållande af samma enhet* och grundrigtning. (Geometrisk addition). 9. Vi låta komplexen aa, hänförd till O (fig. 23) som origo och 0A som grundrigtning, bestämma någon punkt P i planet. Önskar man nu känna denna punkts läge i för- hållande till ett nytt origo O., så kan detta ske sålunda, att man låter det gamla origo O vara till sitt läge angif- vet af komplexen b3, hänförd till 0, som origo och OA eller den lika rigtade O1A1 som grundrigtning. Punkten * Då vi tala om enhet utan vidare tillägg, så förstå vi dermed enhetsmåttet eller den med 1 betecknade längdenheten utan någon rigt- ningsbestämning. 128 PL läge i förhållande detta nya origo angifves derföre af vägen O1 OP, hvilken vi teckna bg + Ja • Komplexen aa sages nu vara reducerad till nytt origo för- medelst komplexen b. Uttrycket ba + aa kallas geome- trisk summa, och de ingående komplexerna sagas vara ad- derade eller summerade och benämnas termer, addender el- ler summander. Genom upprepande af samma förfarings- sätt erhållas tretermiga, fyrtermiga summor, o. s. v. 10. Man lägge märke till, att tecknet + här ofvan endast betyder, att räta linien aa börjar, der räta linien bs slutar. Termerna i en geometrisk summa utgöra der- före alltid en sammanhängande följd af räta linier eller en väg, börjande i origo och slutande i den punkt, som skall bestämmas. Hvarje rätlinigt stycke af en sådan väg an- gifves alltid till sin rigtning af en längs vägen från dess början till dess slut tänkt rörlig punkt. 11. Punkten P kan lika väl bestämmas till sitt läge af den rätliniga vägen 0iP, tecknad Pg, som af den brutna vägen 0,OP eller beg + aq, då nämligen båda vägarna äro hänförda till samma origo, enhet och grundrigtning. Detta ger oss anledning sätta = bo + Ca...................(1), hvilken likhet utsäges: vägarne r^ och bß + ax äro lika, såsom fixerande samma punkt P och såsom hänförda till samma grundbestämningar; eller: komplexen r& är lika med summan af komplexerna b och ag , såsom fixerande samma punkt som denna och såsom hänförd till samma grundbestämningar. Vår definition på geometrisk likhet blir derföre föl- jande: vägar, som fixera samma punkt och äro hänförda till samma grundbestämningar, äro lika. Detta likhetsbegrepp, ehuru icke innebärande någon likhet i afseende på de ingående komplexernas modyler el- ler argument, är dock fullt berättigadt, såsom grundande sig på de geometriska komplexernas betydelse och ändamål 129 att i förhållande till gifna grundbestämningar bestämma punkters lägen i planet; och då vägarne på ömse sidor om likhetstecknet bestämma samma punkt och äro hänförda till samma grundbestämningar, så äro de att betrakta så- som fullt lika eller identiska till sin betydelse. Vi skola ock se, att den geometriska likheten låter handtera sig ef- ter samma eller analoga räknelagar som den algebraiska, och att denna senare utgör blott ett enskildt species af den förra. 12. Såsom en omedelbar följd af ofvan gifna defini- tion ha vi följande sats: en geometrisk likhet rubbas icke, om vägarne på ömse sidor om likhetstecknet reduceras till samma nya grundbestämningar. 13. Om vi således reducera de båda vägarne i lik- heten (1) till ett nytt origo förmedelst komplexen cy, så äro de nya vägarne lika eller cy + r^ = cy + b$ + aa, såsom fixerande samma punkt i förhållande till samma grundbestämningar. Denna sats uttryckes ock: man eger rättighet att »lägga lika till lika.» 14. Om vi på bp, och aa som hopstående sidor konstru- era en parallelogram 010PB (fig. 23), så bestämmes punkten P lika väl af vägen 0,BP som af vägen 0, OP, då således b& + aa = aa + b$, d. v. s. »termernas ordning i en summa är likgiltig. » Denna sats gäller för summor af huru många termer som helst; ty cy + b^ + aa = cγ + aa + b$ = aa + cy + b& = etc. 15. Såsom omedelbart sanna ha vi följande två sat- ser : l:o. Summan af två lika rigtade komplexer är = aritmetiska summan af deras modyler med deras gemensamma rigtning, eller ⅜ + ⅛ + ¾∙ 130 Anm. År a = 0, så ha vi ao + bo = (a + b)o, då således komplexer i grundrigtningen eller sådana, som teck- nas med argumentet 0, äro att betrakta som positiva tal eller qvantiteter. 2:0. Summan af två motsatt rigtade komplexer är aritmetiska skilnaden mellan deras modyler med den störres rigtning, eller, då a antages > b, au + ba+* = (a - ^a ’ Anm. Af denna likhet följer, att baT kan tecknas - be och tvärtom. Ar a = 0, så blir b, = — b, då såle- des komplexer i rigtningen motsatt grundrigtningen eller sådana, som tecknas med argumentet 71, äro att betrakta som negativa tal eller qvantiteter. Denna motsatta rigtning kallas med anledning häraf negativ grundrigtning, då i sam- manhang härmed den egentliga grundrigtningen stundom benämnes positiv grundrigtning. Man talar ock om positiv och negativ vinkelrät rigtning, af hvilka den förra bildar vinkeln 17 och den senare vinkeln å/ med grundrigtningen. 16. Om vi hafva likheten (1) eller To = be + Cg och vi enligt § 13 lägga 08+i eller - bg till på båda si- dor, så blir, enär bg + 68+I = 0: 8+n + T, = Cap hvilken sats utsäges: man eger rättighet att i en geometrisk likhet öfverflytta en term från ena sidan (mumbrum) till den andra, om blott vtecknet ändras» eller termens argument ökas med TT. 17. Häraf inses, att om den ena sidan i en geometrisk likhet är noll, så utgöres den af den andra sidan betecknade vägen en sluten polygon, börjande och slutande i origo. 18. Hvarje komplex re kan sättas = summan af två komplexer akπ och b,+17, hvaraf den ena således ligger i den positiva eller negativa grundrigtningen (k = 0, k = 1) 131 och den andra i den positiva eller negativa vinkelräta rigt- ningen (k, =0, k, = 1); eller, om vi teckna CkI = x och Ök,T - y> der således x och y äro positiva eller negativa tal, så kan alltid sättas T, = * + 3.......................(2). Komplexen re sages nu vara projicierad på grundrigt- ningen och den vinkelräta rigtningen; a och y kallas hans projektioner, den förra på grundrigtningen och den senare på den vinkelräta rigtningen. Den förra benämnes ock grundrigtningsprojektion och den senare vinkelrät projektion. 19. Ar komplexen, som projicieras, den geometriska enheten 1,, så kallas grundrigtningsprojektionen kosinus, tecknad Cos 0, och den vinkelräta projektionen sinus, teck- nad Sin θ, då således 1, = Cos e + Sin 0,or...............(3). Kosinus och sinus äro således positiva eller negativa tal mellan gränserna + 1 och - 1, till sina storlekar och tecken beroende af värdet på argumentet 0. Såsom omedelbart gifven genom konstruktion ha vi likheten 1-, = Cos 0 - Sin 04,...............(4), då således kosinus blir oförändrad, men sinus ändrar tec- ken vid en teckenförändring hos argumentet. 20. Om komplexen ro enligt § 3 tecknas r.le, så erhålles med stöd af (3) r, - „(Cos 3 + Sin 0,»).............(5). Högra sidan af denna likhet utgör ett ofta användt uttryckssätt för komplexen re och benämnes reduceradt ut- tryck (»reducerad expression»). Anm. Parentesens betydelse för de geometriska kom- plexerna är den vanliga, att nämligen de inom parentesen förekommande termerna tänkas hoptagna till en enda term eller summa. 132 21. Om vi ha likheterna re = æ + 3,m » der argumenten θ och φ äro räknade i samma led samt hvardera < 2r, så kan icke likheten Te = 04 ega rum (Eukl. I: 26), utan att särskildt ’1 = e J....................(6) 0 = 9 och d. v. s. utan att modylerna och argumenten äro lika äf- vensom grundrigtningens och den vinkelräta rigtningens pro- jektioner äro lika. 22. Om vi sätta 7'0 = a+Yyr och 04 = § + ym så är enligt §§ 14 och 15 TA + ( = &+3, + 5 + T,n = (x + 5) + (y + Yn ", då således projektionen af en geometrisk summa vare sig på grundrigtningen eller den vinkelräta rigtningen är = algebrai- ska summan af de ingående termernas projektioner på de nämnda rigtningarna. Denna sats gäller tydligen för en geometrisk summa af huru många termer som helst. På grund häraf och med stöd af (7) kunna vi nu ut- tala följande, under namn af projektionsteoremet kända, sats: Om man projicierar de två vägarne i en geometrisk lik- het på grundrigtningen och den vinkelräta rigtningen, så äro grundrigtningsprojektionerna sinsemellan och de vinkelräta pro- jektionerna sinsemellan lika. Anm. Ar den ena sidan i den geometriska likheten noll (jfr § 17), så är den andra sidans projektioner äfven noll, då följaktligen projektionen af en sluten polygon så- väl på grundrigtningen som den vinkelräta rigtningen är noll. (Forts.) * De tre membra i denna likhet representeras i ordning af de tre lika vägarne i fig. 24, nämligen: OAB, OCADB, OCEDB. 133 Satser af docent C. E. Lundström. 7. Att inskrifva i en gifven cirkel en triangel, hvars area är lika med en gifven qvadrat, så att dess perimeter blifver ett maximum eller ett minimum. 8. Det begäres att inskrifva en månghörning med ett gif- vet antal sidor i en ellips, så att dess area blifver så stor som möjligt. Visa att uppgiften har ett obegrän- sadt antal lösningar och huru hvar och en af dem er- hålles, när man känner den regelbundna månghörnin- gen med samma antal sidor. Satser af student T. B. Johansson. 9. Att genom en gifven punkt inom en konisk sektion draga en korda, som afskär minsta möjliga segment. En i mitt tycke synnerligen vigtig sats är följande: 10. Tvenne ellipssegment, som stå på lika stora baser och mellan samma parallela linier (d. v. s. den gemensamma tangenten är li de lika stora kordorna, hvilka ligga i samma räta linie) äro lika stora, så vida deras med kordorna parallela konjugatdiametrar äro lika stora och ligga i samma räta linie. Satser af C. 0. Börje af Gennäs, elev vid Halmstads högre elementarläroverk. 11. Att i en ellips inskrifva en liksidig triangel. 12. Från en punkt på omkretsen af en ellips äro kordor dragna. Sök locus för midtpunkterna af dessa kordor. 13. En ellips och en punkt P på dess omkrets äro gifna. Från P dragas tvenne lika stora kordor PL och PM. L och M sammanbindas. Sök locus för midtpunkten af I.M. 9 134 AFDELNING III. Lord Rosse. I den medlersta delen af Irland ligger en liten och oansenlig stad, benämnd Parsonstown, hvilken för oss väl icke skulle egt något egentligt intresse, så framt den ej bildade ett slags bihang till och vunne sin glans från det åldriga, i stadens omedelbara närhet belägna herresätet Birr Castle. Denna i medeltidsstil uppförda borg är omgifven af en vidsträckt, från staden genom höga murar afskild park. Kring hufvudbyggnaden sträcka sig likaledes höga vallar, och dessa omgifvas i sin ordning af en djup löpgraf, öfver hvilken en vindbrygga leder till det med tinnar och torn försedda porthvalfvet, der ett grefligt vapen med orden pro Beo et liege högförnämt prunkar. I öfverensstämmelse med dessa anordningar är äfven sjelfva slottet inrättadt; den höghvälfda och med ekpanelning i taket försedda sal till exempel, i hvilken jag vid mitt besök derstädes först inkom, hade sina väggar behängda med gamla rustningar och familjeporträtter från aflägsna tider, och fenstren voro prydda med målade glas. Med ett ord: allt, det ena i förening med det andra, för att nu ej glömma de pudrade betjenterna på trappan, lika litet som de ståtliga påfog- larne på gården, eller svanorna i den närbelägna fiskdammen, gaf åt det hela en så äkta aristokratisk prägel, att det aldrig skulle fallit mig in att taga en närmare kännedom om detta Birr Castle, och ännu mindre att här sysselsätta mig med dess beskrifning, så framt det icke varit residens 135 för den genom sina utmärkta jetteteleskoper vidtberömde Lord Rosse. Kunde det någonsin med skäl sägas, att ytan bedra- ger, så var det här, ty den nyss till utseendet så stela och högförnäma borgen visade sig snart vid en närmare gransk- ning i en ganska förändrad och fördelaktig dager. På sidan om den gamla riddarsalen ligger nämligen ett med böcker rikt försedt biblioteksrum, hvarifrån man genom en med bokhyllor dold dörr inkommer i ett med svarfstolar och hyfvelbänkar, verktyg och modeller fyldt rum, der Lorden sjelf jemte sina söner sysselsatte sig med så oridderliga saker som svarfning och hyfling. Icke min- dre oväntadt var att i ett närbeläget rum finna en full- ständig fotografisk atelier, der de sista och bästa fotogra- fiska recepterna pröfvades af Lady Rosse, för att sedan an- vändas för vetenskapliga ändamål. Bakom slottet äro smärre, men särdeles vidsträckta byggnader uppförda, i hvilka en kraftig ångmaskin arbe- tade; der funnos ock ugnar för smältning och afkylning, apparater för slipning och polering, m. m. Alla dessa arbetslokaler, hvilka kostat ofantliga sum- mor, voro dock ej till blott för att tillfredsställa en rik familjs skiftande nycker, utan med dem åsyftades verkligen uppnåendet af ett bestämdt och rent vetenskapligt ända- mål. Lord Rosse, en ifrig vän och befordrare af astrono- miens framsteg, följde, liksom så många andra privat- astronomer i England, den gamle Herschels exempel deri, att han sjelf förfärdigade sina metallspeglar, och det lyc- kades honom äfven efter otaliga försök att konstruera ett teleskop af så betydliga dimensioner, att dess spegel var 6 fot i diameter. Det var för tillverkandet af denna jette bland de astronomiska instrumenten han egnade en god del af sin tid och sina rikedomar, och detta hans arbete har för vetenskapen ej heller varit fruktlöst. Vi kunna här, i följd af bristande utrymme, icke ingå i någon detaljerad beskrifning öfver de metoder, han an- 136 . vände vid förfärdigandet af dessa sina metallspeglar, ej heller fullständigt angifva, huru hans tuber voro inrättade, men några af de svårigheter, han hade att bekämpa och lyckades öfvervinna, torde dock förtjena att omnämnas. Den till spegeln afsedda metallmassan, som utgöres af koppar och tenn i en bestämd blandning, nemligen 32 till 15, eller noggrannare: fyra equivalenter koppar mot en tenn, måste vid gjutningen vara fullt homogen och fri från luftblåsor. Afsvalningen måste försiggå särdeles långsamt och lika på alla punkter af den blifvande spegelytan, på det att sprickor och härdning der skola undvikas. Slip- ningen och poleringen böra åt ytan gifva en sferisk eller ännu heldre en parabolisk form; och slutligen måste denna form bibehålla sig oförändrad, då spegeln, insatt i tuben, vid begagnandet till observationer kommer att intaga helt olika och vexlande lägen mot horizonten. För att uppnå detta mål, lät Lord Rosse den till en vigt af 4 tons, d. v. s. af ungefär 95 svenska centner upp- gående massan smälta i tre stora deglar, ur hvilka metal- len sedan hastigt, men samtidigt häldes i gjutformen. Denna var, för värmens jemnare fördelning inom massan och för att lämpligen uppbära spegelns stora tyngd, i bott- nen försedd med grofva stänger afjern. Afsvalningen fort- gick under sex veckors tid i en särskild dertill afsedd och ursprungligen till rödglödgning, d. v. s. till omkring 500 grader C. upphettad afkylningsugn, i hvilken spegeln in- sattes och med den tillstängda ugnen fick långsamt af- svalna. Slipningen och poleringen, hvilka verkstäldes med tillhjelp af en ångmaskin, voro naturligtvis, liksom gjut- ningen, det svåraste arbetet; såsom bevis hvarpå kan näm- nas, att ej färre än tre speglar af fem sprungo sönder un- der dessa försök. Det var nämligen, för att nu anföra nå- gra exempel på de försigtighetsmått, som här måste iakt- tagas, icke likgiltigt, huru länge arbetet för hvarje gång fick under dessa operationer fortgå. Ty genom den frik- 137 tion, som vid slipningen egde rum, alstrades värme, i följd hvaraf temperaturen i spegelns yta oupphörligt steg, men hade detta oafbrutet fått ske, skulle den spröda metallen lätt kunnat spricka. Ej heller fick man, så besynnerligt det än vid första påseende kan förefalla, förbise inflytan- det af atmosferens fuktighetstillstånd, ty då detta var un- der eller öfver det normala, medförde den för hastiga eller för långsamma afdunstningen af det vid poleringen erfor- derliga vattnet ett menligt inflytande på den polerade ytans slutliga beskaffenhet. Beskrifningen af det vidlyftiga maskineri, som vid slipningen och poleringen användes, kan ej vara lämplig att intaga i denna lilla uppsats. Här torde blott behöfva nämnas, att, då spegeln på behörigt sätt blifvit bearbetad och medan han ännu qvarlåg i poleringsapparaten, man eftersåg, huruvida en klar bild af något lämpligt föremål, t. ex. porslinstaflan på ett fickur, kunde med densamma erhållas, eller icke. Men den egentliga undersökningen skedde dock först, när spegeln blifvit insatt i sin tub, hvarvid naturligtvis någon himmelskropp fick tjena såsom objekt. Från sliphuset till tuben, som befann sig i parken, fraktades spegeln på jernbana, och när han till tuben an- ländt, anbragtes under honom en mängd häfstänger, för- sedda med lämpliga belastningar. Genom dessa motvigter hindrades den i icke färre än 81 punkter understödda spe- geln från att antaga någon ofördelaktig och af läget be- roende böjning, och följaktligen uteblef härigenom äfven det vanställande af den optiska bilden från himmelskrop- parne, som eljest nödvändigtvis skulle hafva egt rum. Nästan lika stora svårigheter voro att öfvervinna vid sjelfva tubens uppställning och rörelse. Det kolossala rö- ret var mer än 50 fot långt och hade 8 fots diameter, så att det vid rörets horizontela läge verkligen var möjligt för en fullvuxen karl att gå rak längs in i detsamma. Tu- ben rörde sig, kring sin nedre ända såsom fix, i meridian- 138 planet och emellan tvenne särdeles starka, med nämnda plan parallela och 60 fot höga stenmurar. Naturligtvis måste en så betydlig tyngd, som denna tub i förening med sin spegel egde, nämligen 245 sv. centner, på lämpligt sätt vara motvägd, för att utan en allt för stor kraftan- strängning kunna sättas i rörelse. För detta ändamål be- gagnade sig Lord Rosse af en, längs en kroklinie löpande motvigt, och han hade således praktiskt utfört det inom mekaniken bekanta problemet om vindbryggan, som bör stadna i jemnvigt i hvilket läge som helst, ehuru motvig- teu här för enkelhets skull fick löpa längs den cirkelbå- ge, som så nära som möjligt kunde ersätta den egentliga jemnvigtskurvan. Enär instrumentet var inrättadt till ett Newtons tele- skop, måste okularpjesen befinna sig vid rörets öppna ända, och på det observatören der skulle beqvämt kunna göra sina iakttagelser,; voro läktare på olika delar af den ena muren anbragta, hvilka på rullar kunde föras ut mot tu- bens mynning. Tubens såväl som läktarnes rörelse åstad- koms medelst kedjor, hvilka lupo öfver blocktrissor och valsar. Spegelns brännvidd var 54 fot, och ehuru teleskopet understundom medgaf användandet af en förstoring större än 2000, visade sig dock, i följd af klimatets beskaffenhet, 1300 gångers förstoring såsom den lämpligaste. Med förfärdigandet af detta instrument var Lord Rosse sysselsatt under en tid af mer än 16 år, och det uppgifves för honom hafva medfört en uppoffring af 20000 pund ster- ling, eller omkring 3 million riksdaler riksmynt *. Innan han företog sig att utföra det ofvannämnda te- leskopet med 6-fots öppning, hade han allt ifrån 1827 öf- vat sig med att förfärdiga dylika instrument af mindre dimensioner. Bland dessa må i främsta rummet nämnas en reflektor med 3-fots spegel och 26 fots brännvidd, hvars * The illustrated London News, 1867, s. 536. 139 uppställning i det närmaste liknar den af Sir John Herschel använda. Detta teleskop har äfven visat sig ega särdeles goda egenskaper och medgaf, om ock blott i sällsynta fall, användandet af till och med 2000 gångers förstoring. Önskar man för sig åskådliggöra i hvilken betydlig grad Lord Rosse's stora teleskop förmår skärpa synförmå- gan, kan man roa sig med att beräkna längden på den person, hvars pupillöppning vore i stånd att från en stjerna direkt uppfånga lika mycket ljus, som den ifrågavarande 6-fots spegeln. Man erinre sig dervid, att ljusstyrkan hos bilden på ögats näthinna i närvarande fall mångdubblas vid begagnandet af ett teleskop lika många gånger mot livad som eger rum vid direkt seende, som spegelns yta är större än pu- pillöppningen. Men derjemte bör ihågkommas, att spegel- metallen reflekterar endast 3 af den infallande ljusmängden, i följd hvaraf spegelns dimensioner först måste något reduceras; den effektiva diametern kommer icke desto mindre att uppgå till 4,9 fot. Antages nu pupillöppningen hos en karl om 6 fots längd vara 1 linie i diameter, så skulle, under de gjorda förutsättningarne, den ifrågavarande jetten uppnå, den respektabla längden af 2940 fot, eller i rundt tal 1, svensk mil, hvilken längd utgör omkring 6 gånger den stora egyptiska pyramidens höjd. De resultat, hvilka Lord Rosse med dessa sina tele- skoper vunnit, har han angifvit i några till Royal Society i London insända afhandlingar *. Hade han uppstält sitt instrument i ett land, hvars klimat varit mera gynsamt för anställandet af astronomiska observationer, än det töckniga Irland, skulle resultaten otvifvelaktigt blifvit större än nu; men detta oaktadt äro de redan vunna icke obetydliga. Till en början ingick det i hans plan att undersöka, huruvida de töckenstjernor, som förut trotsat en Herschels bemödanden, skulle medelst 6-fots spegeln kunna sönder- delas i smärre stjernor eller icke, och häri lyckades han * Philos. Transactions för åren 1840, 1850 och 1861. 140 äfven fullständigt. Men då han dervid upptäckte, att vissa af dessa himmelskroppar egde en förut alldeles icke anad form, nämligen af en eller flere med hvarandra samman- hängande spiraler, af hvilka några liknade vattenhvirflar, egnade han hela sin uppmärksamhet åt dessa himmelskroppars utseende. Vid denna granskning af Herschels nebulosor fann han, att en betydlig mängd bland dem verkligen voro spi- ralformiga, och med afseende på de öfrigas form har han genom sina mätningar och teckningar om dem lemnat en noggrannare kännedom, än hvad Herschel med sitt instru- ment förmådde. Det är således uppenbart, att det af Lord Rosse utförda arbetet måste ega stor betydelse vid bedöm- mandet af dessa aflägsna himmelskroppars verkliga natur. Alla de, som under gynsamma atmosferiska förhållan- den haft tillfälle att med det ofvannämnda stora teleskopet betrakta vare sig månans berg, dalar och utsläckta vulka- ner, eller planeten Veneris bergiga inre kant vid någon af dess faser, eller system af dubbelstjernor eller nebulosor, hafva derom enstämmigt yttrat, att dessa fenomens verk- liga skönhet vida öfverstiger hvarje derå lemnad beskrif- ning. De egentliga observationsgöromålen öfverlemnade Lord Rosse vanligtvis åt sina assistenter; sjelf sysselsatte han sig mest med instrumentens förfärdigande och iordningsstäl- lande, samt med öfvervakandet af de å desamma ytterli- gare erforderliga arbetena, hvarförutom han naturligtvis ledde sjelfva observationerna. Hans starkaste sida var utan all fråga den praktiska mekaniken, och han har vid dess tillämpning i ifrågavarande fall vetat att på ett lyckligt sätt tillgodogöra sig vetenskapens alla resurser, der dessa såsom gifna redan funnos för handen, men då detta icke var förhållandet, måste han på egen hand söka det rätta och visade sig dervid vara en lika skicklig som ihärdig experimentator. Bland sina samtida åtnjöt Lord Rosse ett särdeles stort och välförtjent anseende. Redan medan fadren lefde, 141 var han åren 1821—34 under namn af Lord Oxmantown parlamentsledamot för Kings County, hvarest Parsonstown är beläget. Till ledamot af Royal Society nämndes han 1831, och till dess president 1849; han var dessutom kan- sler för universitetet i Dublin. Född 1800 dog han den 31 Oktober 1867. Ros. THALÉN. AFDELNING IV. Anmälda skrifter. 2. Euklides’ fyra första böcker, med smärre förändringar och tillägg. Af C. F. Linoman, lektor vid Strengnäs högre ele- mentarläroverk Stockholm 1867. Pris 1,50. (Forts, fr. sid. 99). Det är oss ett kärt nöje att för vännerna af det matematiska stu- diet få presentera vår gamle bepröfvade Euklides i den drägt, hvari förf, af ofvanstående arbete klädt honom. Förf, har följt Euklides sats för sats. De förändringar i bevis och stil, som förf, gjort, hafva sin grund förnämligast i pedagogiska skäl: korthet, redighet, metodik, en- kelhet, antydningar om sättet att tänka för att finna de konstruktioner- hvilka äro behöfliga för en uppgifts lösande o. s. v. Genom att begagna teckenspråket ( + , —, >, A o. s. v.) har förf, fått sina bevis korta och lätta att öfverse. Framställningen är syn- nerligen redig och metodisk. Sålunda förekomma under hvarje teorem, sedan satsen blifvit uttryckt, rubrikerna: hypotes och tes, och under en mängd af problemen rubrikerna: gifvet, sökt, upplösning och bevis. På flere ställen har förf, vid problemens upplösning på ett sär- deles pedagogiskt sätt gifvit läsaren en ledtråd, enligt hvilken han sjelf kan finna lösningen. Som exempel på förf:ns pedagogiska metod välja vi den för oss alla välbekanta satsen: “ Att på en till längd och läge gifven rät linea AB upprita en lik- sidig triangel. 142 Gifven: räta linien AB. Sökt: en punkt, hvars afstånd från A och Bär == AB. Upplösning: Alla punkter, hvilkas afstånd från A är =AB, ligga på en cirkelperiferi, som går genom B och har A till medelpunkt. Alla punkter, hvilkas afstånd från B är == BA, ligga på en cirkelperi- feri, som går genom A och har B till medelpunkt. Den sökta punkten skall uppfylla begge dessa vilkor; således ligga på båda de nämnda pe- riferierna, d. v. s. i den eller de punkter, der de träffas. Tag derföre o. s. v. Bevis. Emedan A är medelpunkt till cirkeln BCD, så är o. s. v.* För åtskilliga satser har förf, lemnat, enklare bevis. Så t. ex. bevi- sar han den satsen, att vinklarne B och C vid basen BC i en likbent triangel ABC äro lika stora derigenom, att han tänker sig den likbenta triangeln ABC flyttad så, att han får läget AlBlCl. Af kongruensen hos trianglarne ABC och A'C,Bl erhåller han AB= A CL = A C*. Satsen “att upprita en triangel, der hvardera af vinklarne vid ba- sen är dubbelt så stor som vinkeln vid spetsen har förf, i likhet med Weström ** löst utan att förutsätta kännedom om Euklides’ tredje bok. Satserna om cirklars tangering äro förenklade. Andra bokens sat- ser äro behandlade dels med, dels utan konstruktion äfvensom algebra- iskt. Flere satser äro tillagda dock utan att rubba nummerföljden. Bland sådana nämna vi endast det fjerde fallet för trianglars kongruens (2 sidor och motstående vinkel), och en rät linies delning i huru många lika stora delar som helst. I slutet af sitt arbete har förf, ett tillägg, der han visar, huru man vid lösningen af ett uppgifvet problem kan förfara än syntetiskt och än analytiskt. Sjelf gör han tillämpning deraf på flere vackra satser. Tryck, papper och figurer äro ypperliga. Vi öfvergå till betraktande af några punkter, i hvilka vi äro af en något skiljaktig mening med förf. Följande äro de vigtigaste. 1. Först vända vi oss emot definitionen på en linie, såsom en längd utan bredd. Man kan fråga: finnes det någon längd, som har bredd? En likartad anmärkning gäller definitionen på yta. 2. Definitionerna på trubbvinkliga, rätvinkliga och spetsvinkliga trianglar böra flyttas fram näst efter den satsen, att i hvarje triangel är summan af två vinklar mindre än två räta. Först då blifva de fullt klara. En sådan framställning strider ej emot förf:ns åsigter för öfrigt. 3. Definitionen på en qvadrat innehåller för många bestämningar, alldenstund några följa af de öfriga. Den kan lyda: den fyrsidiga figur, * Anmärkningsvärdt är att detta bevis samtidigt offentliggjordes i Pæ- dagogisk tidskrift af Aulin. Decemberhäftet. ** Äfven i afseende på detta bevis inträffar det nästan samtidiga of- fentliggörandet i tvenne arbeten, efter hvad vi nu sett. 143 som har alla vinklarna lika stora, och uti hvilken tillika någon vinkel är rät, kallas en qvadrat. 4. Vid det tredje postulatet “att taga hvad punkt som helst till medelpunkt och rita en cirkel, hvars periferi går genom hvad punkt som helst* har förf, gjort det tillägget: ‘detta är, annorlunda ut- tryckt*, att med godtycklig medelpunkt och radie rita en cirkel*. Här tro vi, att förf, missförstått Euklides. Så väl de euklideiska orda- lagen, som tillvaron af satserna 2 och 3: “att från en gifven punkt draga en rät linie lika stor med en gifven rät linie<, och “att, da två olika stora räta linier äro gifna, afskära af den större ett stycke lika stort med den mindre<, visa tydligt att Euklides förutsätter väl, att man på fri hand kan genom en gifven punkt upprita en periferi kring en gifven medelpunkt, men ej att man kan med godtycklig radie och medelpunkt upprita en cirkel. Detta är vida svårare och förutsätter att man genom minnet eller åskådningen skulle vara i stånd att upprita cirkeln, blott jag kommer ihåg eller ser radiens storlek. Vi hålla ej på Euklides’ tredje postulat, vi blott bestrida förf:ns påstående, att detta postulat och förf:ns uttryck på det äro samma sak. På grund häraf erkänna vi ej, att de af förf, tillagda lösningarna af satserna 2 och 3 äro rigtiga, så framt man ej får utbyta Euklides’ tredje postulat emot förf:ns uttryck. I detta fall åter anse vi, att de Euklideiska lösningarna äro bade öfver- flödiga och oklara, alldenstund de göra en enkel sak invecklad. 5. I satsen (I. 22): « att upprita en triangel af tre gifna räta li- nier®, har förf, uraktlåtit att lemna bevis för, att cirklarne skära hvar- andra. 6. I satsen (I. 24): “om två sidor AB, AC i en A ABC äro lika stora med hvar sin af två sidor DE och DF i A DEF, men mellanlig- gande vinkeln A i den förra är större än mellanliggande vinkeln EDF i den senare, så är basen DC i den förre > basen EF i den senare“, har förf, lemnat ett bevis, som gäller för alla händelser. För fullstän- dighetens skull hade dock bort visas, att den der förekommande linien EG verkligen alltid'skär linien DF. . 7. Tillägget vid det fjerde kongruensfallet (I. 26 A) bör heta (så- som Todhunter har det): den motsvarande inre Λ ABF på samma sida, innan förf, i punkten A vid KA satte en A == A ABF. 9. För satsen (III. 13) ® en cirkel kan ej tangera en annan i flere än en punkt® har förf, ett mycket bra bevis i föregående sats 10. Men förf:ns tillägg: *hvartill kommer, att, om de kunde tangera hvarandra * Kursiveringen är gjord af granskaren. 144 i två punkter, så skulle linien, som sammanbinder medelpunkterna, gå genom båda, hvilket är omöjligt«, bevisar ingenting. Om nämnl. man ej får förutsätta satsen 10, så bör tesen i sats 11 förändras till följan- de: om två cirklar tangera hvarandra innantill, så ligga medelpunkterna i samma räta linie med någon af de möjliga tangeringspunkterna. 10. I satsen IV. 2: “att i en gifven cirkel ABC inskrifva en A, som är likvinklig med en gifven △ DEF har förf, utom den Euklideiska lemnat en annan upplösning. Denna andra upplösning, ehuru rigtig, är svårfattlig derföre, att förf, ej lemnat bevis för att verkligen linien B.A skär cirkeln. 11. På några ställen t. ex. vid I. 25, I. 26 A) hade de indirekta bevisen med fördel kunnat utbytas mot direkta. Detta är dock en smaksak. 12. Upplösningen af satsen “att från en gifven punkt A utom en gifven cirkel draga en linie så, att det stycket af denna, som blir korda i cirkeln, erhåller en gifven längd BC. är mer invecklad, än den behöf- ver vara. Enklare är väl att i den gifna cirkeln inpassa en korda lika med den gifna linien BC, att rita en med den förra koncentrisk cirkel, som tangerar denna kordan och att från den gifna punkten till den sist erhållna cirkeln draga en tangent. Orsaken till att förf, ej vidtagit de förändringar, vi i föreg. punk- ten antydt, torde till en del bero af förf:ns pietet för Éuklides. Vi sluta denna anmälan med att tacka förf, derför, att han i detta arbete med- delat oss frukterna af en under många år förvärfvad lärareerfarenhet, förvissade om, att detta hans goda arbete länge skall gagna vårt foster- lands ungdom. F. W. HULTMAN. Tidsskrift for Mathematik. Udgifvet af Camillo Tychsen. Kjobenhavn, Otto Schwartz forlag. Denna tidskrift, som i år kommer att fira sin tionde födelsedag, borde vara allmänt känd och spridd bland oss svenskar. Bedan den om- ständigheten, att tidskriften har en förläggare, som fortfar i denna sin egenskap, vittnar att tidskriften fullgör sin bestämmelse att främja det matematiska och fysiska studiet. Ännu mera finner man detta, da man i densamma får läsa utmärkta afhandlingar af Danmarks ypperste ma- tematiker och fysiker, de berömde professorerna Ramus, Jürgensen, Oppermann, Steen, d’Arrest, Schjellerup, docenterna Lorenz, Thiele m. fl. för att ej tala om redaktören d:r Tychsen sjelf, hvil- kens afhandlingar i differentialeqvationers integrering väckt den lärda verldens uppmärksamhet. Man får i denna tidskrift läsa gedigna upp- satser inom den gamla och nyare geometrien, inom de första elementen af algebran ända till den hittills hos oss ännu jemnförelsevis litet kända lösningen af femte gradens eqvationer; man får der göra bekantskap med de mest delikata undersökningar inom sannolikhetskalkylen eller talteorien. De senare årgångarne innehålla en hel följd af elementära uppsatser, benämnda matematiska lekar, för hvilka lemnas en ma- tematisk teori. Dessa lekar bestå förnämligast i räknegåtor, kortkonster m. m. Som exempel framställa vi följande tvenne allmänt kända: huru skall man flytta hästen på ett schackbräde, för att den skall passera alla rutor utan att komma två gånger på någon? huru skall man med ett tre-kannekärl och ett fem-kannekärl mäta upp fyra kannor ur ett fullt åtta-kannekärl? 145 Som det skulle blifva för vidlyftigt att redogöra för alla de föregå- ende argångarne, inskränka vi oss till att endast omnämna det hufvud- sakligaste af det som förekommer i fjolårets och det första häftet af innevarande års årgång. 6 Äfven i denna argång förekomma matematiska teorier af Steen och Hertzsprung för flere matematiska lekar och vilja vi bland dem särskildt framhålla hasardspelet “spekulation“. Vidare bjuder prof. Steen på några synnerligen eleganta geometriska bevis för satser ur plana och sferiska trigonometrien om sinus, kosinus, tangenter och ko- tangenter för halfva vinklar. I stor förbindelse stå vi till samme för- fattare för hans elementära och lättfattliga framställning af Plückers trilineära koordinatsystem. Förf, behandlar här temligen utförligt alla de satser, som i våra vanliga läroböcker förekomma under räta linien. Hvad som genast slår an i denna teori är den symmetri, som alla ut- tryck erhålla. Med längtan motse vi fortsättningen. — I det i år ut- komna häftet redogör prof. Steen för ett af herr Sörensen uppfunnet sätt att medelst en liksidig hyperbel dela en vinkel i 3 lika stora delar. Denna metods intresse ligger deri, att den ledde till upptäckten af en egenskap hos den liksidiga hyperbeln, motsvarande den egenskapen hos cirkeln, att periferivinklar, som stå på samma båge, äro lika stora. Ifrågavarande sats lyder så: «förenar man ändpunkterna af en godtyck- lig båge på en liksidig hyperbel med ändpunkterna af en genom medel- punkten godtyckligt dragen korda, så blifva de vinklar lika stora, som stå på hyperbelbagen en vid hvardera grenen“. Af prof. Steen förekommer dessutom en afhandling i de elliptiska funktionernas teori och en, der han visar några konstgrepp vid integre- ring af differentialeqvationer af högre ordning. I sistnämnda ämne har löjtnant Madsen och d:r Tychsen lemnat värdefulla afhandlingar. I mekaniken har bland andra mag. Christiansen skrifvit ett par afhandlingar, den ena om kraftlinier och den andra om central- rörelsen, der han genom synnerligen originella och eleganta metoder får fram eqvationerna pa en mängd i fysiken förekommande kroklinier äfvensom formlerna för rörelsen efter tangenten och radius vektor. Under årets lopp äro omkring 50 satser inom matematikens och fysikens olika områden framstälda till lösning och bevis, och hafva un- der samma år omkring 30 blifvit lösta. Bland dessa har isynnerhet en ådragit sig var uppmärksamhet. Denna af prof. Opperman år 1859 ut- gifna sats angående sannolikheten af äktenskap mellan olika qvalificerade personer har först nu blifvit löst. Magister Pullich har nämligen sär- deles grundligt och fullständigt besvarat densamma. Ett högt begrepp om den höga ståndpunkt matematiken intager i den danska bildningen lemna oss de i häfte för häfte förekommande examensuppgifterna vid de lärda skolorna, den polytekniska läroanstal- ten, skogsinstitutet m. fl. Af arbeten utkomna under året i Danmark framhåller tidskriften isynnerhet Zeuthens analytiska geometri och Andræ’s metod att ap- proximativt beräkna bestämda integraler. Vi kunna ej annat än på det varmaste förorda denna tidskrift öfver hela Skandinavien. Den rigtning tidskriften i de senare årgångarne vi- sat — att lemna rum äfven för mera elementära afhandlingar — anse vi prisvärd. Ännu en gång: vi rekommendera d:r Tychsens tidskrift öfver hela norden. 146 Satser*, gifna i skriftliga mogenhetsexamen v. t. 1868. För latinlinien. (2 st. på 4 tim.) 1. Skär en gifven rät linie i fem lika stora delar med tilllijelp af sat- ser ur Euklides' första bok. 2. Att upprita en triangel, som har gifven perimeter och är likvinklig med en gifven triangel. 3. En triangel är inskriften i en cirkel. Bevisa, att summan af vink- larne i de tre utanjör triangeln belägna segmenten är lika med 4 räta. 4. Att upprita en qvadrat, då man känner summan af hans diagonal och sida. ...... 5. Två lika stora cirklar tangera hvarandra utantill. Att upprita en parallelogram, som har en gifven vinkel och med tre af sina sidor tangerar hvardera cirkeln. 6. Tvenne cirklar tangera hvarandra. Att bevisa det hvarje genom tangentpunkten dragen sekant afskär likformiga segment af båda cirklarne. 7. En triangels tre sidor äro delade så, att rektangeln af hvarje sida och dess mindre del är lika med qvadraten på den större delen. Af de tre större delarne är en ny triangel bildad. Bevisa denna triangels likformighet med den gifna. 8. Bevisa, att om någon cirkel utantill tangerar tvenne gifna cirklar, sä måste den räta linie, som sammanbinder tangeringspunkterna, skära den räta linie, som forenar de gifna cirklarnes medelpunkter, i en fix punkt. (2 st. på 4 tim.) 9. Det finnes en rätvinklig triangel, hvars sidor äro sådana, att hy- potenusan öfverskjuter den större kateten äfvensom den större kateten den min- dre med en enhet. Beräkna dess sidor. 10. Ett ur är försedt med tim-, minut- och sekundvisare. Angif nå- gra af de tider, då 1:o. sekund- och minutvisare äro parallela, 2:o. tim- och sekundvisare stå vinkelrätt mot hvarandra. 11. En person köper ett visst antal alnar kläde för 300 R:dr. Hade han jör denna summa fatt en aln mindre, skulle alnen hafva kostat honom 50 öre mera. Hur många alnar köpte han? 12. Bevisa, att summan af två tals qvadrater alltid är större än ta- lens produkt. 13. Bestäm värdena af x och g i ekvationssystemet x+3-5 7—3 1 x2—y2 ==5. * Vi skola i nästa häfte intaga de bäst vitsordade lösningarna af dessa satser. 147 14. Tre personer A, B och C spela tillsammans. I första spelet för- dubbla A och B sina kassor på C:s bekostnad, i det andra fördubbla A och C sina på B:s bekostnad, i det tredje B och C sina på A:s bekostnad. Vid tredje spelets slut befanns A hafva 2 R:dr, B 12 R:dr, C 16 R:dr i behåll. Med huru stor kassa hade hvardera börjat? 15. Tre tals summa är 36. Summan af det första och tredje är lika med det andra, två gånger taget; summan af två gånger det första och det andra är två gånger det tredje. Hυilka äro talen? 16. En cylinder, som är inskrifven i en sfer, är sådan att dess bug- tiga yta är lika med ytan af sferens storcirkel. Huru stor är cylinderns volym. Sferens radie == 1 fot. För reallinien. (2 st. på 5 tim.) 17. Att upprita en cirkel, soin tangerar en gifven cirkel och tvä till densamma hörande tangenter. 18. Att konstruera en triangel, då man känner basen, motstående vin- keln och perimeterns storlek. 19. Att genom en mellan tvenne vinkelben belägen punkt draga en rät linie, så att de delar deraf, som begränsas å ena sidan af den gifna punk- ten och å. den andra af liniens intersektioner med vinkelbenen, blifva till hvar- andra i förhållandet m : n. 20. Bevisa, att den räta linie, som halfverar en vinkel i en fyrsidig figur, hvilken är inskrifven i en cirkel, och den räta linie, som halfverar den motstående yttre vinkeln, skära hvarandra i en punkt på. periferien. : 21. Att dela en gifven rät linie i två delar, sä att summan af deras qvadrater blir lika med en gifven qvadrat. 22. Att upprita den största möjliga liksidiga triangel, hvars sidor gå genom en gifven triangels vinkelspetsar. 23. Bevisa, att de polygoner, som bildas, då man skär en pyramid med parallela plan, blifva likformiga. (2 st. på 4 tim.) 24. På en vagn är hvardera framhjulets omkrets 5,5 fot och hvardera bakhjulets omkrets 6,75 fot. Om nu under en resa framhjulet gjort 3000 omlopp mera än bakhjulet, så frågas: huru stor är den väg, som blifvit till- ryggalagd? 25. Hvilket tal satisfierar eqvationen: x+2__________ a*+1 = a./a3(=+3). 26. En likbent triangel, hvars bas BC = 4 fot och sida AB = AC — 2,5 fot, svänger kring en rät linie, som är parallel med AB och går genom C. Hur stor är den på detta sätt alstrade solida figurens volym? 148 27. I en triangel äro vinklarne vid basen 780 10' 4" och 54° 3' 16“. Triangelns höjd är 15 fot. Hur storå äro sidorna? 28. Emellan talen 9 och 13 skola inskjutas 11 termer, så att eti arit- metisk serie derigenom bildas; hvilken blifver denna serie? 29. Med huru stort belopp skall ett kapital, som blifvit lånadt mot 6 procent ränta, årligen amorteras, för att vara fullt inbetalt efter 20 dr? 30. Om en regulier 6-hörnings sida är 7 tum, huru stor blir dä vo- lymen af den solida figur, som uppstår genom 6-hörningens vridning omkring en af sina diagonaler? 31. Gif eqvationen -for den kroklinie, på hvilken hvarje punkt utgör intersektionen mellan en normal till ellipsen 22 2/2 0+4-1 och den mot normalen vinkelräta linie, som går genom origo. (i på 3 tim.) 32. Huru lång väg tillryggaläyger en kropp vid fritt fall a) under loppet af 58:de Sekunden, b) under n:te sekunden? 33. Hvar ligger tyngdpunkten till en cirkelrund skifva, som någonstä- des har ett cirkelrundt hål? 34. På hvilket afstånd frän en konkav spegel bör man ställa en lysande linie, för att hennes spegelbild skall blifva hälften så lång som linien? 35. På en cirkels periferi tagas sex på lika afstånd från hvarandra belägna punkter, af hvilka en förenas genom räta linier med de öfriga fem. Om linierna beteckna krafter, anbragta i förstnämnde punkt, hvilken rigtning och storlek har dä deras resultant? 36. En vertikalt fallande kropp befinnes under en sekund genomlöpa 143 fot. Huru läng tid hade han rört sig, innan sagde iakttagelse egde rum, om tyngdkraften ensam antages hafva förorsakat rörelsen? Tyngdkraftens acceleration 33 fot. 37. En glascylinder, hvars inre diameter vid 0° är 1.5 fot innehåller vid sagde temperatur en 18 tum hög qvicksilfverpelare. Huru stor höjd kom- mer samma qvicksilfvermassa att i kärlet intaga, dä temperaturen blir 40°? Qvicksilfrets kubiska och glasets liniära utvidgningskoefficienter äro also ocl 11ls0. 38. Hos en af glas förfärdigad plan-konvex lins är tjockleken 2,5 li- nier, diametern 2,5 tum och fokaldistansen 5,5 tum; man begär få veta glassortens brytningsindex. 39. Angif grunderna för beräkningen af volymen hos en gasmassa, vid gifven temperatur och gifvet tryck, då man känner hennes volym, temperatur och spänstighet vid ett annat tillfälle. R ättelse. Sid. 86 rad. 4 nedifr. står; undersökningarna läs; sönderdelningarna. B A 0 Ç O Fig. 24 Fig-21 14 Triai metis] procei lymen en a/ inters och a loppei des h linie, belay> Om 1 och s. 143 . rum, vid St mer s 5 5 50 nier, glasso gifven och s Si AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 67). 1. OLOF BURE* Så vielt vi känna, är Bure den förste svenske man, som utgifvit en räknebok. Hans arbete har titeln: Arith- meticœ instrumentalis Abacus ratione nova ex geometricis fun- damentis absque supputatione numerationes arithmeticas, pro- portiones simplices, multiplices, directas, reciprocas, disjun- ctas ac continuas explicans: et eodem intuitu exempla plura ad oculum monstrans. Inventione et opera Olai Engelberti Bure. ■ Angerm. Sueci. S. Medicin, et Math. Helmæstadii **, anno 1609. Motto: In numero, mensura et pondere. Liten ok- tav utan paginering. * Olof Engelbrektsson Bure föddes 1578 och dog år 1655. Fadren Engelbertus Olai var kyrkoherde i Själevad i Ångermanland och här- stammade från den i Sveriges historia bekante Fale Bure den yngre. Olof Bure adlades 1621, blef utomlands medecine doktor, derefter lif- medikus hos hertig Johan af Östergötland och sedan hos konung Gustaf Adolf, vidare borgmästare i Stockholm och 1687 vice president i Abo hofrätt. Han hade 3 bröder: Anders, Jonas och Lars. Af desse har den äldste, Anders (öfverste, arkitekt och generalmatematikus), gjort sig namnkunnig genom utgifvande af de första någorlunda pålitliga kar- tor öfver Skandinavien. Då vi komma att redogöra för decimalräknin- gens införande i vårt land, hafva vi äfven att säga ett par ord om denne man. Brodren Lars var svärfar till vår berömde Georg Stjern- hjelm, hvilken, som vi skola få se, kommer att intaga en hög plats i vår historik. Se Anrep, Svenska adelns ättartaflor, 1858, samt Bio- grafiskt lexikon. ** Helmstedt. 10 150 Arbetet är tillegnadt hertig Johan af Östergötland och utgifvet under Bures vistande vid akademien i Helmstedt. Det är bygdt på strängt geometriska grunder (en linies del- ning i lika stora delar och likformiga trianglar). Hans definitioner äro ungefär desamma som hos Clavius, hvilken han troget följt äfven i förfaringssättet vid lösningarna af problemen. Stilen är vårdad, klar och tilldragande samt förråder öfverallt en man med mycken bildning. De lyck- önskningsversar på latinska och grekiska hexametrar, hvar- med professorerna i juridik och grekiska vid Helmstedts akademi hedrat honom i detta hans arbete, bära vittne om det anseende han åtnjöt bland sin tids förnämste veten- skapsmän. Bokens ändamål är att, utan räkning på papper eller tafla, medelst en maskin (abacus) göra de aritmetiska operationerna. Bures abacus består af en rektangulär skifva ABGF (fig. 25), tvärs öfver hvilken går en lineal CD, som kan flyttas parallelt med AB eller GF upp och ned. Sidan AB är delad i 10 lika stora delar genom de med 10, 20, 30... utmärkta punkterna. Dessa punkter äro sammanbundna med vinkelspetsen G. De med 150, 200, 400... utmärkta linierna hafva uppkommit genom sammanbindning af G med punkter belägna på förlängningen af AB på afstån- det 150, 200, 400,... från A. Det är tydligt att denne abacus bör vara öfverfull med linier för att kunna beteckna alla möjliga hela och brutna tal. Vi hafva endast uppta- git ett ringa antal linier för att ej göra figuren oredig. Den med AB lika stora linealen CD är uppdelad i delar, hvilka äro lika stora med delarne på AB. På denna li- neal finnes ett stift E, som kan flyttas från venster till höger och tvärtom. Förmedelst denna enkla räknemaskin kan man verk- ställa de i vanlig räkning förekommande operationer utan svårighet. Vi öfvergå till några exempel, men anvisa en- dast vid de enkla räknesätten, huru Bures abacus skall an- vändas, alldenstund det faller af sig sjelft, huru han skall 151 begagnas vid de öfriga räknesätten, hvilka äro samman- satta af de enkla. Ex. 1. Hvad utgöra 10 och 30 tillsammans? Man ställer stiftet E på punkten 10 af linealen, flyt- tar derefter stiftet på linealen 30 enheter till höger. Punk- ten 40, på hvilken stiftet stadnar, gifver det sökta svaret. Ex. 2. Hvad utgöra 60 och 90 tillsammans? Som linealens längd ej är tillräcklig för att direkt finna denna summa, skaffar man sig enheter af en mindre storlek genom att flytta ned linealen, tills t. ex. punkten 6 på densamma faller in på den med 60 markerade linien af abacus, ställer stiftet E på punkten 6 (hvilken numera heter 60), flyttar det sedan till höger 90 af de nya enhe- terna framåt. Ben med talet 150 utmärkta linien, på hvilken stiftet stadnar, lemnar svaret. Linealen tänkes nämnligen nu delad i lika många delar, som det faller li- nier på honom. Ex. 3. En person gaf en annan 9 joakimstaler (»joa- chimicos »), vidare 6; den andre lemnade tillbaka först 54 och sedan 24; den förre gaf åter 11, derpå 4, sedan 13, men fick tillbaka först 8, sedan 91 och slutligen 6. Huru mycket hade den förre att fordra af den senare? Genom stiftets flyttande till höger och venster i den ordning, i hvilken additionerna och subtraktionerna äro framställda, finner man svaret 12. Vi hoppas, att användningen af vår abacus vid addi- tion och subtraktion härigenom blifvit tydlig. Som multi- plikation ej är annat än en upprepad addition och division kan anses som en upprepad subtraktion, möta dessa räkne- sätt inga svårigheter. Ex. 4. Till 2 täcken åtgå 20 alnar tyg, huru mycket .tyg erfordras för 9 dylika täcken? Man flyttar linealen, tills punkten 2 på densamma in- faller med linien 20; linien 90, på hvilken punkten 9 då inträffar, lemnar svaret. Sanningen häraf inses af triang- larnes G-2-9 och G-20-90 likformighet. 152 • Såsom exempel på omvänd regula de tri har Bure bland andra följande: Ex. 5. 21 studerande afskrifva gemensamt Homeri iliad på 49 dagar. Huru många dagar behöfva 14 stude- rande för att göra detsamma? Sammansatt regula de tri uträknar Bure liksom Clavius genom att sönderdela frågan i flera enkla regula de tri frågor. Vi anföra endast följande tvenne exempel, af hvilka det ena bär en pregel af tidens intolerans mot i religions- frågor olika tänkande. Ex. 6. En person ingick aftal med en jude om ett lån af 54 gyllen mot villkor att juden skulle om tre år återfå lånet jemnte en årlig ränta på ränta efter , af ka- pitalets storlek vid hvarje års början. Huru många gyllen skulle denne person efter de tre årens förlopp betala åt juden? Bure löser det på sin abacus genom att efter hvaran- dra besvara de tre frågorna: Då 9 gyllen gifva 10, hvad gifva 54? Svar: 60. Då 54 gifva 60, hvad gifva 60? Svar: 663. Då 60 gifva 663, hvad gifva 66f? Svar: 74, gyllen. Anm. Som vi se, begagnas ännu ej uttrycket procent. Ex. 7. Det öfre röret af en reservoir fyller ett kar på 4 timmar, det andra tömmer detsamma på 12 timmar. På huru många timmar fylles karet, då begge rören sam- samtidigt äro öppna? Genom passande sönderdelning af frågan kan man på Bures abacus finna svaret: 3 timmar. Såsom exempel på bolagsräkning upptaga vi följande: Ex. 8. Tre personer ingå ett bolag att i ett spel dela vinst eller förlust i förhållande till insatsen, så att, i hän- delse af vinst, den som insatt mer, skall vinna i samma förhållande mer, men i händelse af förlust förlora i samma förhållande mer. En af dem skall sköta tärningarne. Den förste insätter 35 joakimstaler, den andre 21, den tredje 153 14. Den som åtagit sig att sköta tärningarne, spelar olyckligt. Förbittrad öfver förlusten sporras han till för- sök att återvinna penningarne, lånar derföre af någon 100 joakimstaler, men spelar äfven nu olyckligt. Huru mycket af denna sista förlust kommer på livar och en af de tre bolagsmännen? Bures abacus lemnar svaren: 50, 30 och 20 joakims- taler. På alligationsr åkning förekommer bland andra exempel det om Hieros krona. Vi framställa dock här ett annat, vid hvilket man kan göra flera kombinationer. Ex. 9. Man vill blanda 4 slag af vin. Ett mått af det första kostar 21 penningar, af det andra 27 pennin- gar, af det tredje 30, af det fjerde 40 penningar. Man vill hafva inalles 60 mått så blandade, att efter blandnin- gen hvarje mått kostar 33 penningar. Frågas: huru många mått böra tagas af hvarje slag? Liksom Ramus och Clavius löser Bure problemet ge- nom att kombinera två och två slag enligt följande sche- ma, hvars förklaring vi visat under Clavius. Skilnader från medelpriset. Priset på ett mått af n:o 1 är 21 7 ............................................, 2» 27.7 ....................................................3» 30 7 Medelpriset är 33. Priset på ett mått af n:o 4 är 40 12.6.3. Summa skilnader 42. Hvarje af de tre första prisen är kombinerad raed det fjerde priset. Antalet af mått, som skall tagas af hvar och en af de tre första, erhålles genom att besvara frågan: Då 42 gifver 60, hvad gifver 7? Svar 10 mått. Antalet mått af n:o 4 finnes genom besvarandet af frågan: Då 42 gifver 60, hvad gifver 21? Svar 30 mått. 154 Bland exempel, hvilka hos Clavius skulle lösas genom regula falsi, förekomma följande: Ex. 10. Tvenne löpare begifva sig från Lyon till Ve- nedig. Den förste tillryggalägger dagligen 21 tusen steg, den andre 35 tusen steg. Den långsammare får fyra da- gars försprång; när upphinnes han af den snabbare? Ex. 11. » Jag Pallas är guldsmidd, men guldet är en skänk af unga skalder. Hälften af guldet har Charisius lemnat, Thespis åttondelen, Solon tiondedelen, Themison tjugondedelen, men de öfriga nio talenterna har Aristodi- cus gifvit mig. Hvad kostar min rustning?» Ex. 12. Augeam interrogavit etc. Se Ramus. På aritmetiska och geometriska serier anföra vi följande tvenne exempel: Ex. 13. Efter en stads plundring delar hufvudanfö- raren bytet emellan anförarne för de 40 legionerna på det sätt, att den som sist hade bestigit muren, skulle få 90 gyllen, den som näst förut hade bestigit skulle erhålla 110, den näst föregående 130 o. s. v. Huru många gyllen skulle den 40:de anföraren hafva, hvilken först besteg muren? Ex. 14. Enligt den saxiska lagen (1:a boken art. 54) skall en bonde på en bestämd dag betala skatten till sin herre, vid straff af skattens oupphörliga fördubblande för hvarje följande dag, som skatten uteblifver. En hårdnac- kad bonde uppskjuter skattens betalning i nio dagar. Do- maren dömer honom enligt lagens stränghet att betala för första dagen ett mått (»modium»), andra två, tredje fyra o. s. v. Huru många mått skall han inalles betala? Vi hafva redan förut omtalat, att Bure troget följt Clavius. På fiere ställen känner man' igen Ramus. Nollan kallar han liksom denne för circulus *, ett namn, som er- inrar på en gång om dess utseende och ursprung, ehuru ej om dess betydelse. * «Circulis sive ut vocant cifris recisis « (sedan nollorna blifvit från- skilda), säger Bure på ett ställe. 155 Bures abacus synes ej vunnit något större utbredande eller erkännande, enär ingen senare svensk författare mig ve- terligen omnämner densamma. I stilens behag och i sträng behandling af sitt ämne står Bure långt framför de fleste af hans efterföljare. 2. JOHANNES Bothvidi*. Den aritmetik, hvilken denne kyrkans apostel under sin andra utländska resa utgifvit, utgöres endast af en ny upplaga af Buscheri lärobok. Enligt Hammarskölds i Stock- holm år 1817 utgifna »Förteckning på de i Sverige från äldre till närvarande tider utkomne schole- och undervis- ningsböcker» är dess titel följande: Arithmetic vulgaris liδri duo, primum ab Heizone Buschero breviter collecti, nunc vero auctiores editi, studio et opera Johannis Bothvidi, Ro- stochii 1613. 8:o. * Ur biografiskt lexikon hernia vi följande. Bothvidi föddes 1575 i Norrköping och dog 1635 såsom biskop i Linköping. Fadren Bothvid Hansson var stadsskrifvare. Bothvidi un- dervisades i Linköpings och Stockholms skolor ända till 1599, då han begaf sig till Upsala akademi. Gjorde 1603 sin första resa till Tysk- land. Prestvigdes 1604, företog omedelbart derefter sin andra utländ- ska resa, under hvilken han besökte många orter i Tyskland och dess- utom Holland, England och på hemvägen Danmark. Hemkommen 1616 till Sverige blef han antagen till hofpredikant hos Gustaf Adolf. Pro- moverades 1617 till teologie doktor, trädde 1618 i äktenskap med Ka- tarina Nilsdotter, hvars andre man blef den olycklige Arnold Joh. Mes- senius. Bothvidi var tillika Gustaf Adolfs konfessionarie och derjemnte hans konsistorialråd, åtföljde konungen på hans många krigståg i Lif- land, Kurland, Preussen och Tyskland. Under.slaget vid Kleve stod Bothvidi jemte andra krigsprester på ett berg och anropade Gud om se- ger med utsträckta händer. Aftonen efter slaget sade konungen till ho- nom: « herr doktor! det hafver icke varit svårt för oss att strida i dag, emedan Moses stod pa berget och stridde med bönen. « Ar 1630 be- gärdes Bothvidi till biskop af Linköpings stift, men hans biskopliga verksamhet afbröts året derpå, då han måste till Tyskland beledsaga drottning Maria Eleonora. Ar 1632 fick han förordnande att i Sachsen oga anstalter till evangeliska religionens bästa och att i Magdeburg och 156 Soni jag ej lyckats få se detta arbete, redogör jag i stället för en äldre af Buscherus sjelf utgifven upplaga* med titeln: Arithmeticæ logica methodo in usum scholarum trivialium succincte conscripte libri duo. Auctore M. Hei- zone Buschero **, Scholce Hannover ensis Rectore. Editio tertia 1601. Witebergæ. 56 sidd. I företalet, dateradt år 1590 ***, tackar Buscherus Gud, derföre att han frambragt en man sådan som Ra- mus, hvilken genom lättfattliga definitioner och indelningar infört reda och klarhet i det koas, hvari matematiken förut var. Ramus skall för detta prisas genom sekler, tillägger han. Denna sin beundran för Ramus visar Buscherus öf- verallt i sitt arbete. Han har nämnligen följt honom nä- stan stycke för stycke. Sjelfva nummerexemplen äro Ra- mi. Skiljaktigheterna, hvilka till större delen bestå i ute- Minden upprätta konsistorier. Samma år i Augusti tillträdde han sitt biskopsstift i Linköping, der han utmärkte sin styrelse genom att an- skaffa skickliga och lärda prestmän och genom den omsorg han drog för skolors och hospitalers välfärd. Han dog 1635 efter att hafva fått slag under det han satt i konsistorium. Hans söner Samuel och Noe adla- des af drottning Kristina 1650 och erhöllo tillnamnet Örn med hänse- ende till fadrens apostoliska namn och det detta tillhöriga attribut. Skrifter. Liber de radii structura et usu. Arithmeticæ vulgaris libri duo. Rostochii 1613. Dessutom har Bothvidi utgifvit en mängd religiösa skrifter, bland hvilka vi endast nämna tvenne: 1. Psalmen 39 i gamla svenska psalmboken. 2. Utrum Moscovite sunt Christiani? Holmiæ 1621. * Denna bok har jag till låns erhållit från Skara elementarläroverks bibliotek. Jag begagnar här tillfället att tacka nyssnämnde biblioteks förestandare, herr magister Torin, för den stora tjenst, han härigenom gjort mig. Utom detta arbete har Buscherus utgifvit: Exercitationes contra J. Piscator et Rdph. Goclenium. P. I—HI. Frf. 1612. O. Siffran näst framför nollan i årtalet är ej läslig, kan möjligen vara en 8. I denna händelse kan Buscherus ej ha någon kunskap om Clavii aritmetik, hvilken utkom först år 1583. Rami aritmetik utgafs år 1555. 157 slutningar, aro ej stora. Division i bråk uträknar han medelst att göra bråken liknämniga och derefter dividera den ene täljaren med den andre. Ex. y divideradt med 2 eller 13 divideradt med 12 gifver qvoten 13 eler 14. På några ställen erinrar han om Clavius. Så t. ex. har han Clavii lätta metod att finna produkten af tvenne mellan 4 och 10 liggande hela tal. Vid bolagsräkning har han följande exempel, hvilket sedermera förekommer i flere af våra svenska räkneböcker. » Kort före sin död bestämde Titius genom testamente, att hans hafvande hustru skulle, om hon födde en dotter, af hans efterlemnade 3600 gyllen bekomma y och dottern 3; men om hon födde en gosse, skulle hon få blott 3 och sonen 3. Nu fick hon tvillingar, en gosse och en flicka. Frågas: huru stor andel af arfvet får hvar och en?» Geometriska serier summerar han utan förklaring en- ligt den numera vanliga formeln uq — a 9-1 Härpå har han blott ett enda exempel, nämnligen: »En man säljer sin stridshäst, som på sina fotter hade 24 söm på det villkor, att han skulle få för det första sömmet 2 penningar, för det andra 4, för det tredje 8 o. s. v. Huru mycket kostade hästen?» I ordning följer att redogöra för Aurelii aritmetik. Hans lärobok är den första svenska, der vi påträffat räk- ning medelst räknepenningar. I utländska räkneböcker hafva vi påträffat detta slag af räkning 100 år tidigare (1514). Trogne vår grundsats att behandla hvarje kapitel enligt den författare, der vi först finna det framstäldt, skola vi meddela läran om räknepenningar enligt Silicei aritmetik, 158 Räkning med räknepenningar enligt Johannes Martinus Siliceo *. I spetsen för detta kapitel ställa vi bifogade karakte- ristiska och upplysande teckning *t. Man ser här tre förnäma män vid ett bord eller en s. k. räknebänk sysselsatta att räkna medelst räknepenningar. Penningarne läggas på och * Ur Jöcher’s Allgemeinen Gelehrten Lexicon, Leipzig 1750, hemta vi om denne man följande biografiska underrättelser. Johannes Martinus Siliceo eller du Bois, eljest Guiso eller Guijeno kallad, föddes 1477 i Villagarcia i Castilien. Han var en fat- tig bondson och måste med bekymmer hjelpa sig fram. Han införde filosofien i Sevilla, begaf sig derifrån till Rom, bief sedan professor i filosofi i Salamanca, teolog i Coria och Philippi samt prins Karl V:s informator och allmoseskötare. Slutligen blef han kardinal och erkebi- skop i Toledo. Utom sin aritmetik har han utgifvit ett arbete öfver några böcker i Aristoteles. Dessutom har han öfversatt ett verk af engelsmannen Svisset, hvilket han kallat Calculatio. Han dog 1557 i det 80:de året. ** Denna figur är afritad efter en vignett på titelbladet af R. Gem- ma’s förträffliga aritmetik: Aritmeticæ practicæ methodus facilis per 159 emellan enkom derför dragna linier. På väggen hänger en linierad räknetafla. Personerna äro klädda i pösbyxor och pösärmar samt bära hermelinmantlar. Golfvet är rutigt. I taket hänger en praktfull krona. Fönstret är samman- satt af en mängd linsformiga glas*. Allt antyder perso- ner af en hög, kanske furstlig rang. Silicei räknebok har till titel: Ars arithmetica Ioan- nis Martini Silicei; in theoricem** et praxim scissa, in Beluacorum *** palestra composita anno domini 1514. Af inledningen synes, att räkning medelst räknepen- ningar måste vara urgammal. Enligt Siliceo omtalar nämn- ligen biskop Isidorus Hispalensis i den tredje boken af sin etymologia, att numerus (tal) har sitt namn af nummus (penning), en måhända något vågad gissning, men som dock bevisar räknepenningarnes ålder. »Konsten att räkna med räknepenningar är nyttig för alla dem, hvilka ei för- * Dessas medelpunkter äro i figuren utmärkta med prickar. Gemmam Friesium, medicum ac mathematicum, Vitebergæ 1593. Boken, hvilken vi godhetsfullt till lans erhållit från Skara elementarverks biblio- tek genom dess bibliotekarie Torin, synes hafva begagnats såsom läro- bok i Sverige. Gemma, nederländsk läkare och matematiker, föddes i Friesland och dog i Löwen 1555, der han sedan år 1541 var medicine professor. Glansen af hans läror ådrog honom Karl V:s uppmärksamhet. Han har skrifvit många arbeten. Gemma har i sin aritmetik för öfrigt ej ett ord om räknepenningar. Ofvanstående figur, som ej finnes i de 2:ne äldre på Stockholms k. bi- bliotek befintlige upplagorna, är, såsom vi sedermera funnit, tagen ur Hilderici i Wittenberg år 1568 utgifna aritmetik, der den också före- kommer såsom vignett på titelbladet. Anm. Hildericus von Varel, en lutersk teolog, f. 1533 i Je- vern, dog 1599 i Altorf efter många vexlande öden. Han var bland annat matheseos prof, i Jena 1564—1567. ** Den teoretiska delen är full af skolastiska spetsfundigheter angå- ende talens natur. *** Beauvais." + S. Isidorus Hispalensis, uppkallad af sitt biskopsdöme i Se- villa, spanior, dog år 636. Han har bland annat utgifvit Originum seu etymologiarum libri viginti. 160 stå betydelsen af siffror, såsom fallet är med flertalet hand- lande, snickare, krögare och andra personer i ringa vil- kor», säger Siliceo. Vi öfvergå till sjelfva redogörelsen för räkning medelst räknepenningar. Såsom figuren antyder, drager man på ett bord, en bänk, en tafla eller ett papper flere sins emellan parallela linier, ofta grupperade så, att tre linier höra till hvarje grupp. Den nedersta linien kalla vi den första linien, li- nien deröfver benämna vi den andra, linien deröfver den tredje o. s. v. Mellanrummet mellan första och andra li- nien kalla vi första mellanrummet, mellanrummet mellan andra och tredje linien benämna vi andra mellanrummet o. s. v. Då en penning ligger på första linien, gäller han för en enhet; då han ligger på den andra, betecknar han ett tiotal; ligger han på den tredje linien, utmärker han ett hundratal o. s. v. En penning i första mellanrummet gäller lika mycket som fem enheter, en i andra mellanrum- met gäller 5 tiotal, en i tredje mellanrummet utmärker 5 hundratal o. s. v. I allmänhet gäller en penning på en linie 1 af värdet på en penning i mellanrummet ofvan li- nien. En penning i ett mellanrum åter är lika med hälf- ten af en penning på linien strax der ofvan. På en linie får ej förekomma mer än fyra penningar, och i ett mellan- rum aldrig mer än en enda penning. Enligt detta skrifver man 1358 ducati sålunda (fig. 1), och 374 ducati 17 duo- deni så som fig. 2 visar. Fig. 1. -----O------ ---0-0-0---- o o ---0-0-0---- Fig. 2. -—0-0-0- o ---0-0--- '—o-o-o-o o--- o 0-0—— Huru 237 ducati 173 franci 19 duodeni skrifves, der- om se fig. 3. 161 Fig. 3. 0-0 0-0-0 0 o 0-0- o — o o o-o 0-0-0 —0-0-0-0— Vid addition börjar man med enheterna. Ex. 1. Man vill till 437 ducati lägga 234 ducati. Man erhåller till summa 671 enligt en räkning, hvars gång vi hoppas skall blifva tydlig af fig. 4, der man efter hvar- andra finner talen 437, 441, 471 och 671. Fig. 4. i—o-o-o-o- —o-o-o-o— —o-o-o-o— o o 0 —0-0-0— —o-o-o-o— 0-0 o o 0-0 0-0 0 0 ----O------ Ex. 2. Man vill addera 323 franci 19 duodeni 19 turoni till 234 franci 15 duodeni 7 turoni. Genom att börja med turoni och ihågkommande att 1 duodenus är 12 turoni, samt att 1 francus är 20 duodeni finner man summan (se fig. 5) vara 558 franci 16 duodeni 2 turoni. Fig. 5. o o o — 0-0-0 — 5 0 1 0-0 Subtraktion. Man vill fran 3582 subtrahera 2534. Gången af räkningen synes af fig. 6, der man efter hvarandra finner talen 3582, 3578, 3548, 3048, 1048, 162 Fig. 6. - O-O-O— o -0-0-0- o — 0-0-0 - o —0-0-0 — o o -0-0-0- -— 0-0 o 0-0 - 0-0-0- -o-o-o-o- o —0-0-0- -o-o-o-o- o —o-o-o- -o-o-o-o- o —o-o-o— Multiplikation. Ex. 1. Man vill multiplicera 24 med 3. Man säger: 3 ganger 4 är 12, vidare 3 gånger 20 är a 60. Summan af 12 och 60 gifver den sökta produkten 72. Gången af räkningen synes af fig. 7, der man efter hvar- andra finner talen 24, 12, 72. ---o-o— -o-o-o-o- Fig. 7. ----o------ 1---0-0---- o ---O-O---- ---O-O----1 Ex. 2. Man vill multiplicera 321 med 123. Man söker först 3 gånger 321 eller 963, adderar der- efter till 963 20 gånger 321, hvaraf man finner 7383. Härtill adderar man 100 gånger 321, hvaraf slutligen er- hålles 39483, Se närmare fig. 8, der man efter hvarandra finner talen (321, 123, 963), (321, 123, 7383) och (321, 123, 39483). Som man ser, förblifva multiplikanden och multiplikatorn oförändradt qvarstående under räkningen. Fig. 8. o -o-o-o- 0 -o-o-o-o- o —0-0— —0-0— — o —o— - o-o-o- —o-o-o— o — 0-0 -o-o-o- —o — - o-o-o- o —0-0 — —o-o — -o-o-o- O -o-o-o- -0-0-0- 163 —- 0-0-0 o -o-o-o-o- —0-0-0— o—— -o-o-o-o- o O-o o —0-0 — 0-0-0 — — 0-0-0— —0-0-0— Division. Ex. 1. Man vill dividera 879 med 6. Förfaringssättet synes af fig. 9, der man efter hvar- andra finner talen (6, 879), (6, 879, 100), (6, 279, 100), (6, 279, 140), (6, 39, 140), (6, 39, 146), (6, 3, 146). Som man ser, står divisorn oförändrad under räkningen. Fig. 9. —o—o-o-o-o - ----o ---0-0-O-O o o Qvoten o —o—o-o-o-o -o-o-o-o- o 0---- o ----o-----o-o-o-o -0- o —o—o-o-o-o 0-0-0 o -o-o-o-o- 0---- • o ----------------------- —0- 0-0— o 0-0— o 0-0-0— o -0-0-- o 0-0-0— o 0-0-0- o blir 146 med resten 3. O -----o- —0-0-0- o --O-O-- o —0-0--- o —0-0— o o-o-o-o— -o-o-o-o- o ----Q----- -0-0-0-0- o ----0----- o -----o- Ex. 2. Man vill dividera 5432 med 32. Förfarings- sättet visar sig af fig. 10, hvarest man efter hvarandra finner talen (32, 5432). (32, 2232, 100), (32, 312, 160), (32, 24, 169). 164 Fig. 10. Qvoten blir 169 med 24 till rest. —0-0-o- ---0-0 --0-0 —o-o-o- o-o-o-o- 0-0 — 0-0 0 —0-0-0- —o-o —0-0-0- ---0-0--- —o-o-o- —0-0— ---0-0--- o-o-o-o —o-o-o-o— • 0-0— 0-0 ----0---- —0-0-0— ----0---— 0-0-0- - o- o --0- Vid räkning med räknepenningar kan man antingen lägga penningarne i en stapel på hvarandra, hvilket Sili- ceo gör, ehuru vi ej angifvit detta i figurerna, eller bred- vid hvarandra. För att lättare utmärka de linier, som be- teckna tusental, milliontal, tiotusenmilliontal o. s. v. bruka Aurelius och hans efterföljare sätta ett kors på dessa li- nier. Härmed anse vi oss ha tillräckligt redogjort för läran om räknepenningar. (Forts.) Satserna 4, 5 och 8 (F. W. Hultman), lösta af E. M. FRYKBERG, elev vid Teknologiska Institutet. 4. Sätter man y = den delen af sidan a, som ligger intill b och z = det stycket af a, som ligger mellan skär- ningspunkten och den mot sidan a fälda höjden, samt bis- sektricerna Was wö, wc, så fås lätt 165 y.a-y = 6:C .............. (1), 63 = w2 + 33 + 2yz (2), c2 = w2 +(a—y)2-2(a—y)z (3). Medelst (1) kan man eliminera y ur (2) och (3), hvar- efter z lätt bortskaffas, och man finner _ A/bc(a + b + c)(b + c - a) På samma sätt fås A/ ac(a +b+ + c—b) . W. = --------------—--- . 0 a + C A/ ab(a +b+ c)(a + b — Wc = ---------7------- a+b 5. Bibehållas samma beteckningar, som i det föregå- ende, under iakttagande att de obekanta äro punkterade samt att y betyder hela den förlängda sidan a, så fås lätt y:y-a = b:c, ö3 - woa +y2-2y=, 08 = wà +(y-a-2(y-a)=. Man finner , A/bc(a+ b—c)(a + c—b) w = , , a b-c , N/ac(b + c — a)(a + b — c) wb . , 0 c — a , A/ab(a+c—b(b + c — a) w = --------------------- € a —b Vore två af sidorna lika stora, så synes af formlerna, att bissektricen, som skulle falla på den tredje sidan blir oändlig d. v. s. parallel med denna sida. Sättas de mot sidorna a, b, c stående vinklar = A, B, C, triangelns yta = T, samt a+b+c = 2p, 11 16β erhålles ur föregående båda system af formler följande enkla samband mellan wç och wc: , ,4abZ' Wc.Wc = -27, och Neaa-b. / p(p-c) to a+6 NV (p-a)(p - b) eller, enligt kända trigonometriska formler, we a-b.C rn A-B w, a + 0 C ot 2 =T 2 . weA - B — = Tg —9—, Wc 2 en egenskap, som lätt visas rent geometriskt. 8. α) Låt y beteckna den delen af a, som ligger mel- lan tangeringspunkten och sidan e, z det stycket, som lig- ger mellan tangeringspunkten och den på a fälda höjden, ta, to och tc de sökta linierna, så fås b-(a-3) = c-y, 62 = tå +(a-y)3 + 2(a-y)z, c3 = tä +y3- 2yz. Genom eliminering af y och z finner man 1 _ /b”(p-b)+cp—c) - 7 - V a 2 - (p-6Xp-c), • - /c”(p—c)+ap-a) - v - V ——6—2-(P-CXp-Q), 4 - χ∕≤≡Ξt≡∑^ΞΓ), ß) Låt ta, to, te vara de tre sökta linierna, hvilka sammanbinda triangelns spetsar med tangeringspunkterna till den utanför sidan c inskrifna cirkeln. Genom ett för- farande analogt med det föregående finner man: 167 l 1 b2(p—a) - c2p " - V P-O - a ' 6 = / m a(p-6)-c'p g, = /a(p—6)+b(p—a) Z TZ Z Ur dessa och föregående formler finner man följande begge rätt enkla samband: 1 , (a - b)%(a + b) C och at3 - bt3 = (a—b)(p-a)(p—b). Sats 52 (C. F. Lindman), löst af KNUT WICKSELL. Låt AB CD vara ett trapezium, hvars sidor aro skurna i samma proportion i punkterna E, F, G, H, så att AE: EB = FC:BF = CG: GD = AH∙.HD. Det är då klart att EF ∕∕ AC // HG och EH//BD// FG, samt att således E, F, G och H äro spetsar i en parallelogram. Vi öfvergå derföre till den senare delen af beviset. Låt Μ vara midtpunkten på AC och N midtpunkten på BD och sammanbind M och N. Drag FH och låt den skära MN i O. Det bör nu bevisas att FO = OH, i hvilket fall tydligen den andra diagonalen EG i parall. EFGH äfven går genom 0, samt att MO : ON - AH: HD. Sammanbind F med MON samt drag ut FM till I och FN till K, så att FM = MI och FN = NK, sam- manbind I med A och H saint K med D och H. Emedan nu A M = MC (Hyp.) och IM = MF(Kon.), så är tydligen AI// och = FC; på samma sätt bevisas att KD//och = BF. Emedan då AI = FC och KD = BF, så är AI: KD = OF: FB = AH: H D. Och emedan AI //BC// KD, så är A HAI = A HDK. Trianglarna 168 AIH och DKH äro följaktligen likformiga /. ∕∖ IHA = ∕∖ KIIA, IIIK är således en rät linie. Enär nu FM = MI och FN ≈ NK, så är IK∕∕ MN.". FO = OH, hvilket var det ena s. s. b. Vidare är af samma skäl III: MO = HF: OF = IIK :ON. Följ, är MO : ON = IH: HK ≈ AII:HD, hvil- ket var det andra s. s. b. Sats 55 (C. F. Lindman), löst af S. B. S. Cavallin, elev vid Östersunds högre elom.-läroverk. Vi vilja först behandla den senare händelsen. Om n är ett helt tal hvilket som helst, så är 2w ett jemnt tal och sålunda 22" - 1 ett uttryck, som, uppdeladt i faktorer, bör få en sådan lika med 3. Detta uttryck kan sättas (2")2 — 12 = (2” + 1)(2"- 1), i hvilken produkt faktorn 2” fattas för att den må utgöras af 3 konsekutiva hela tal; men i en produkt af 3 konse- kutiva hela tal har ovillkorligen en af faktorerna sjelf en faktor 3. Deraf följer att (22n + 1)(22"-1) har en faktor 3, emedan 22n, som fattas, endast innehåller faktorn 2. Förra händelsen. S2n÷1+1 är det uttryck, som skall bevisas hafva 3 till faktor. Detta uttryck kan sättes 2 . 22n — 2 + 3 = 2(22n-l) + 3, men 22n — 1 är nyss bevisadt hafva en fak- tor 3, derföre har äfven 22" + 1 + l en faktor 3. 169 AFDELNING IL Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 132). B) Reduktion till ny enhet med bibehållande af samma origo och grundrigtning. 23. Om modylen af komplexen r9 tecknas 1 . r, d. v. s. enhetslängden 1 tagen ? gånger, så inses på grund af en- hetens arbiträra natur, att man i stället för 1 kan införa en längd betecknad med talet s, då produkten s.r utmär- ker, att längden s är tagen ?’ gånger eller multiplicerad med talet 9. Genom denna aritmetiska multiplikation, här kallad reduktion till ny enhet eller enhetsreduktion, antager komplexen formen (s.r)9 eller enklare srg , då vi säga, att komplexen 7’9 blifvit reducerad till ny enhet förmedelst talet s. Anm. Enär faktorernas ordning i en produkt är lik- giltig, så kan s7‘9 under alla omständigheter ersättas af ?8e. 24. Vi antaga vägarne OP och OBP (fig. 26), hän- förda till OA som grundrigtning, representeras af likheten (1) eller re = ba + C- Genom en enkel konstruktion inses, att vägen 2^ fixe- rar samma punkt som vägen 20g + 2a och i allmänhet att vägen pro fixerar samma punkt som vägen pbg + pa., då p är ett helt tal. Likaledes inses, då q är ett helt tal, 170 1 — T’A q 8 att vägen 11 fixerar samma punkt som vägen •—bg + -—a , 98 90 då följaktligen vägen P-r. fixerar samma punkt som vä- 2bg + P-ag. Enär slutligen hvarje irrationelt tal kan fås I att ligga mellan gränserna 2 och P och dessa grän- ser kunna bringas hvarandra huru nära som helst, så föl- jer, att likheten 87’9 = sha + sa...........................(8)’ representerad af vägarne OP och OB’P‘, är sann för alla möjliga rationella och irrationella värden på talet s. Detta bevis kan äfven formuleras sålunda: enär sb: sa =b:a och den mellan sb och sa samt mellan b och a lig- gande vinkeln är lika, så måste den mot sb och sa sva- rande tredje sidan i triangeln vara sr, bildande vinkeln 0 med grundrigtningen (Eukl. VI: 6), då följaktligen vägen 87’9 fixerar samma punkt som vägen sög + sa. Likheten (8) säges nu vara härledd ur likheten (1) ge- nom tillämpning af satsen: man egen rättighet att » multi- plicera lika med samma tal. » Satsen utsträckes med lätthet till likheter, hvilkas si- dor eller membra utgöres af huru många termer som helst. Anm. Det här utförda beviset bestyrker nu rigtighe- ten af den i § 12 uttalade grundsatsen, så vidt den be- träffar reduktion till ny enhet. 25. Om vi i (8) införa ba + a. i stället för 9'g, hvilka uttryck på grund af parentesens betydelse (jfr § 20, anm.) äro att betrakta såsom fullt identiska, så erhålles s(bg + a,) = sba + sax...................................(9), hvilken sats utsäges: » då en summa multipliceras med ett tal, så multipliceras hvar och en af summanderna med talet och resultanten adderas;» och omvändt: »då alla termerna i en summa äro multiplicerade med samma tal, så sättes talet som faktor till termernas summa.» 171 Satsen gäller i enlighet med föregående § för summor af huru många termer som helst. 26. Den i § 20 framstälda likheten kan nu sättas under formen = 2(Cos e + Sin 0-) = ?■ Cos e + , Sin 0,- , hvaraf följer (§ 21), då vi enligt § 18 sätta Te = o + Y.: a -rCose (.....................(10), 3 = m Sin 0 ) då således r Cos θ är grundrigtningsprojektionen och r Sin 0 den vinkelräta projektionen af komplexen rθ . 27. Med stöd af föregående § kunna vi nu framställa det i § 22 uttalade projektionsteoremet under följande för detsamma gängse form. Om vi projiciera de två vä- garne i likheten l = a + b + c+... λ C9 så äro deras projektioner på grundrigtningen lika eller l Cos 2 = a Cos a + b Cos β + c Cosy+... äfvensom deras projektioner på den vinkelräta rigtningen lika eller 1 Sin 2 = a Sin a + b Sin β + c Sin y + .. . Denna sats är tydligen sann, äfven om vi i stället för l tänka oss en summa af huru många termer som helst eller ock noll, i hvilket senare fall den högra sidan af den geometriska likheten representerar en sluten polygon. C) Reduktion till ny grundrigtning med bibehållande af samma origo och enhet. 28. Om vi låta komplexen 7g, fixerande punkten P(fig.27) i förhållande till 0 som origo och OA som grundrigtning, hänföras eller, som det här kallas, reduceras till en ny grund- rigtning 0A , från hvilken den gamla grundrigtningen be- 172 stämmes af argumentet o, så representeras en sådan re- duktion till ny grundrigtning af beteckningen 1,-ro» der den geometriska enheten 1g, tecknad som faktor till Te, kallas reduktionsenhet till ny grundrigtning. Då kom- plexens argument i förhållande till den nya grundrigtnin- gen är σ, + 0, så framgår deraf följande identitet 1.74 - (11), 00 0 T 0 ‘ hvilken sats utsäges: en komplex r, reduceras till ny grund- rigtning förmedelst reduktionsenheten 1g genom addition af argumenten o och 0. — Argumentet σ kallas ock med an- ledning häraf reduktionsargument och kan vara såväl posi- tivt som negativt. Anm. Enär termernas ordning i en summa är lik- giltig, så kan 1..9 under alla omständigheter ersättas af 0 0 29. Vi låta likheten . To = Ua + Cx representera de två vägarne OP och OBP (fig. 28), hän- förda till O som origo och OA som grundrigtning. Dessa vägar, såsom hänförda eller reducerade till den nya grund- rigtningen OA,, från hvilken den gamla grundrigtningen OA bestämmes af argumentet o, äro fortfarande lika och blifva, såsom fig. omedelbart visar, 70+9 och 60+8 + Co+a> då alltså på grund af (11) 1,-r, = 1o-0a+1o-au..................(12). Denna likhet säges nu vara härledd ur den förra ge- nom tillämpning af satsen: man eger rättighet att multipli- cera lika med samma geometriska enhet. Satsen gäller tydligen för en likhet af huru många termer som helst på ömse sidor om likhetstecknet. 173 30. Om vi i likheten (12) ersätta rθ med det identi- ska uttrycket bβ + aa, så erhålles 1,-(b, + 4w) = 1,-ba+1,-au.............(13), hvilken sats utsäges i öfverensstämmelse med (9),. då ordet tal utbytes mot geometrisk enhet. Satsen gäller i öfverens- stämmelse med föreg. § för summor af huru många termer som helst. 31. Om den geometriska likheten i § 27 multipliceras med lσ, så erhålles lo+2 = Co+a + ba+8 + Co+Y hvaraf genom projicering 1 Cos (o + 2) = a Cos (o + a) + b Cos(o + ) + c Cos (o+y)+... l Sin (0 + 2) = a Sin (o + a) + b Sin (o + ß)+c Sin (a + 7) + ... Detta är en utsträckning af projektionsteoremet, som ofta eger användning. D) Samtidig reduktion till ny enhet och ny grundrigtning. (Geometrisk multiplikation). 32. Enär 37040 kan betraktas som resultat af såväl lg.(srg) som s.(1g.rg), så följer, att vid reduktion till ny enhet och ny grundrigtning det är likgiltigt, i hvilken ord- ning reduktionen verkställes. Vi sätta derföre 8g.T, = 8Po+0..................(14), der komplexen 8g, satt som faktor till komplexen 7q, ut- märker, att Y‘ är samtidigt reducerad till ny enhet och ny grundrigtning och det så, att s utgör reduktionstalet till ny enhet och o reduktionsargumentet till ny grundrigtning. 33. Då det är likgiltigt, i hvilken ordning man ad- derar och multiplicerar tal och således 87040 = Y89409 så följer att So-P9 = P9. So..................(15), 174 då alltså faktorernas ordning i en produkt af komplexer är likgiltig, d. v. s. man erhalle?' samma resultat, om sσ tages som reduktions qvantitet för r^ eller tvärtom P9 fö?' sσ . Satsen gäller tydligen för en produkt af huru många faktorer som helst. 34. Om vi antaga likheten T0 = ba + Qa» så följer genom samtidig reduktion till ny enhet och ny grundrigtning enligt (8) och (12), att äfven likheten Sa-P9 = Sg-bs + 80 • Ca...............................(16) är sann, då denna likhet säges vara härledd ur den förra genom tillämpning af satsen: man eger rättighet att multi- plicera lika med samma komplex. Om vägarne i den förra likheten äro OP och OPP, hänförda till OA som grundrigtning (fig. 29), så blifva vä- garne i den senare likheten OP och OB,P, hänförda till OA,, som grundrigtning, då näranligen OP, OB. B1P1 1 —1 = —,1 - —1—1 = s och A A. OA = o. rb a 1 Satsen gäller i öfverensstämmelse med §§ 24 och 29 för likheter, hvilkas sidor utgöras af huru många termer som helst. 35. Om i (16) r^ ersättes af det identiska uttrycket 68 + Ca, så erhålles i enlighet med (9) och (13): 80 - (be + Ca) = 8o-be + Sa • Ca......................(17), hvilken sats utsäges i öfverensstämmelse med (9), då ordet tal utbytes mot komplex. 36. Om vi sätta 80 = da + Cy och vi i stället for So taga summan da + cy till reduktions- qvantitet for en komplex rs, så låter visa sig genom kon- struktion, att ett lika resultat erhålles. 175 Ty låt vägen OP (fig. 30), hänförd till Ö som origo och OA som grundrigtning, betecknas af 7e; låt vidare vä- garne BE och BDE, hänförda till B som origo och BC som grundrigtning, betecknas af sσ och dg + c? . Konstru- era på OP en med A BDE likformig A OFP, så att , och s bli homologa och hafva lika vinkel åt samma sida vid begynnelsepunkten, då följaktligen r OF FPdr cr — = - = ------eller OF = — och FP = —. 8C.C s s Linierna OF och FP bilda med OA respektive vink- lame 0 - (c - 0) och 0 + (y --), då alltså . ( dr\ (cr\ re = — / , + — ) ° \8/9+8—0 \879+7—0, • hvilken likhet, multiplicerad med talet s och reducerad till den nya grundrigtningen 0 A, förmedelst argumentet 0, blir S0+T, = d-To + °,-T9.....(18), då således ett lika resultat erhålles, om re multipliceras med hvar och en af termerna i summan dg + Cy och produkterna adderas eller om Y9 multipliceras med sσ, då nämligen s0 = da + Cy- Satsen gäller tydligen för summor af huru många ter- mer som helst. 37. Om i (18) sσ ersättes af det identiska uttrycket dg + cγ, så fås (da + C).P0 = dg∙rθ + cγ-rθ ..... (19), hvilken identitet utsäges: produkten af en summa och en komplex är identiskt lika med summan af de produkter, som uppkomma, då komplexen multipliceras med hvar och en af summanderna. 176 38. Om vi i (17) sätta so = da + c , så fås med stöd af (19): (da + 9) + au) =dg-ba+(y.ba+d.du + Cy . Qu . .(20). Satsen gäller i enlighet med föregående vid multipli- kation af summor med huru många termer som helst. Vi kunna genom konstruktion lätteligen öfvertyga oss om rigtigheten af det i (20) gifna multiplikationsresultatet. Vi låta vägarne OP och OBP, hänförda till O som origo och 0A som grundrigtning, representeras af likheten To = be + «» - Vidare låta vi vägarne CF och CEF, hänförda till C som origo och CD som grundrigtning, representeras af lik- heten So = dö+cy- Konstruera på OB en med A CEF likformig A OGB, så att 6 och s bli homologa och hafva lika vinkel åt sam- ma sida vid begynnelsepunkten; upprita vidare på BP ef- ter samma konstruktion A BHP. Vi erhålla då b OG GB a BH HP — = — = -— och — = - = — 8 CC 8 C C eller og=db, GB=c, BH-du, HP-Ca, 8 S S S hvilka fyra linier bilda med grundrigtningen OA respektive vinklarne ß-(G - 8), ß+(y — ), a-(o—), α + (y-σ), då följaktligen (db∖ fcb∖ (da) fca∖ r. = ——)+ — | + — )+ — ) \S/8+0—0 18/8+7—0 \8/&H0—σ \8/a+/—0, hvilken likhet, multiplicerad med talet s och reducerad till den nya grundrigtningen OA1, förmedelst argumentet σ, blir 80.1 q = dj.be+cy.bg + dö. aq + cy-4q, 177 hvilken likhet åter efter utbyte af 8 och ro mot respektive dö ÷ cy och 6g + aa sammanfaller med (20). 39. De i detta kap. utvecklade räknelagar för de geometriska qvantiteterna äro till formen helt och hållet sammanfallande med de räknelagar inom algebran, hvarur den algebraiska kalkylen leder sin utveckling. Således hafva vi funnit, att den geometriska likheten låter behandla sig efter samma reglor som den algebraiska, att de geome- triska multiplikationsreglorna för binomer och polynomer äro desamma som de algebraiska; och liksom den algebra- iska kalkylen leder sin utveckling ur de grundsatser, som motsvara de här afhandlade räknelagarne, likaså kunna vi ur dessa lagar steg för steg leda utvecklingen af den geo- metriska kalkylen i full öfverensstämmelse med de alge- braiska räkneformlerna. Det är derföre tillåtet och fullt rigtigt, för så vidt som de begge utvecklingarna gå ur formelt lika grundsatser, att i en algebraisk formel införa geometriska komplexer, med den särskilda tolkning natur- ligtvis, som är öfverensstämmande med dessas natur. Så t. ex. äro de kända multiplikations- och divisionsformler, som inom algebran härledas ur den mot (20) svarande grundsatsen, fullt gällande äfven inom den geometriska kal- kylen, såsom lika möjliga att der utveckla; likaså skola vi finna, att de algebraiska eqationerna med sina lagar för upplösning kunna omedelbart förvandlas till geometriska. A andra sidan, enär den algebraiska qvantiteten utgör det species af den geometriska, som betecknas med ak eller ao (positiv) och a, (negativ), så utgör den algebraiska kal- kylen blott ett enskildt fall af den geometriska, hvilken senare är till sina förutsättningar helt och hållet oberoende af den förra, då den algebraiska kalkylen (den imaginära) deremot vinner sin fulla förklaring först i och genom den geometriska. Hvarje geometrisk formel öfvergår derföre omedelbart och under alla omständigheter till algebraisk, så snart de förekommande argumenten göras till o eller i eller i allmänhet kn (k är ett helt tal eller noll). 178 Summors modyler och argument. 40. Vi antaga likheten "9 = Ca + be- Enär den led, i hvilken vi räkna våra bågar, är helt och hållet arbiträr, så är likheten 9 = a +b på samma gång sann som den förra. Genom att multi- plicera dessa två likheter sida med sida erhålles ,3 - a'+b> + ab(la—A + 1_ _A)) = a‘+ b2 + 2ab Cos (a—B) eller 1 , = [a2 + 62 + 2ab Cos (a - 8)12......(21), hvarigenom vi således uttryckt modylen y för en tvåtermig summa ax + 6g i termernas modyler och argument (jfr Eukl. 1 II: 12 & 13). År ß = a+1, erhålles r = (a2 + b2)2 (jfr Eukl. I: 47). På samma sätt blir modylen ? för en tretermig summa Ca + bg + Cy : , = [a2+62+c2+2ab Cos(a-B)+2ac Cos(a-y)+2bcCos(8-y)]3. Vi kunna med lätthet utsträcka denna sats till sum- mor af huru många termer som helst. 41. Af likheten re = a + 34, följer r Cos θ = x och r Sin 0 =y, hvaraf genom att dividera sida med sida fås tg @ = L eller 0 = artg 3.............(22). Vi böra nogsamt lägga märke till, att den qvadrant, hvari 0 ligger, bestämmes af tecknen för æ och y, såsom man omedelbart finner genom konstruktion. 179 Således för æ och y begge pos. är Θ i första qvadranten, » • neg. och y pos. är Θ i andra qvadranten, » x och y begge neg. är θ i tredje qvadranten, » x pos. och y neg. är θ i fjerde qvadranten. I enlighet med (22) erhålles argumentet för summan ax + 6g genom att projiciera likheten T9 = Gx + bg. Vi få nämnligen a Sin c + b Sin ß .aSinc + bSin ß tg 0 = —-----——⅛ eller 0 = arctg —----(23). 5 a Cos a + b Cos ßaCosa+b Cosß 2 På enahanda sätt finnes argumentet för en summa af huru många termer som helst. Vi kunna finna ett annat uttryck för argumentet 0 i (23) genom att sätta Gu + be = 1g-(aa—8 + 0). Men argumentet för summan da-8 +bär arets a Sin (a - •) 418 b+a Cos (a - B)’ då alltså a Sin (a - B) ° - arcta o+a Cos @a - A) + B...(24). (Forts.) 180 AFDELNING III. Om Luftpumpar. Af Rob. THALÉN. Utan anspråk på fullständighet antecknas här följande momenter såsom de vigtigaste med afseende på luftpum- pens historia. Den vanliga luftpumpen. Såsom bekant är, konstruerades den första luftpum- pen af den namnkunnige borgmästaren Otto von Guericke i Magdeburg (1650), hvilken förnämligast genom denna sin uppfinning och de med den ifrågavarande apparaten an- stälda experimenten förvärfvade sig ett välförtjent rum inom fysikens historia *. Hans luftpump, som icke egde mer än en cylinder, och denna enkel verkande, var i följd af atmosferens tryck mot kolfven i samma mån svårhandterlig, som förtunnin- gen ökades. Visserligen afhjelptes detta fel till en god del redan af Boyle, hvilken for att lättare kunna sätta pump- stången i rörelse begagnade tandadt hjul och häfstång, men fullständigt skedde det först genom Papins metod att, * I ett, för sin tid, praktfullt arbete, benämndt: Ottonis de Gue- ricke experimenta nova Magdeburgica de vacuo Spatio, (Amstelodami 1672), har Guericke redogjort for de experiment med luftpumpen, hvilka han inför Kejsaren och de vid riksdagen i Regensburg 1654 för- samlade furstarne anstälde, hvarvid de Magdeburgska kulorna flitigt an- vändes. Man finner der äfven beskrifningen på den första elektricitets- maskinen, för hvars uppfinning vi likaledes hafva samma sinnrike man att tacka. 181 på samma sätt som i den nu brukliga luftpumpen sker, låta två pumpar verka skiftevis, hvarigenom atmosferens menliga inverkan eliminerades. Först omkring hundrade år efter Guerickes uppfinning satte en engelsk ingeniör, Smea- ton, klockan i förening med en barometer, så att man i hvarje ögonblick kunde direkt bestämma, hvilken grad af förtunning åvägabragts. Den vigtigaste förbättring, luft- pumpen sedan den tiden undergått, härrör onekligen från ledamoten af Franska Institutet Babinet, hvars förändrade konstruktion af den mellan de båda pumpcylindrarne be- fintliga kranen förminskade inflytandet af det skadliga rum, som alltid uppstår mellan kolfven och cylinderns botten. För att i korthet angifva, hvari denna Babinets förbättring bestod, kan man säga, att han, vid inträdande stor förtun- ning, lät den ena pumpen pumpa luften ur den andras skadliga rum. Deleuils pump. Ända intill senaste tid har det ansetts såsom ett oeftergifligt vilkor, att hvardera pumpkolfven skulle sluta lufttätt till väggarne inom sin cylinder, men Deleuil, fa- brikant af fysiska instrument i Paris, har-nyligen visat, att detta icke behöfver vara förhållandet. Genom att kon- struera en pump, hvars kolf löper fullt fri från väggen, har han nämnligen visat, att förtunningen icke desto mindre kan bringas lika långt som eljest. Kolfven, hvars form är cylindrisk med tre gånger större höjd än diameter, eger på sin bugtiga yta ett stort antal sinsemellan och med bottenkanterna parallela för- djupningar och skiljer sig från cylinderväggen genom ett mellanrum af endast so millimeters bredd. Det luftlager, som qvarstadnar i detta mellanrum och i de nämnda för- djupningarna, adhererar starkt vid väggarne och utgör den enda packning, som kolfven verkligen eger. För att visa, huru stor denna adhesion är, lät Deleuil en gång genom- borra kolfven och pumpstången på sådant sätt, att nämnde 12 182 luftlager kom att stå i omedelbar förening med den yttre luften. När pumpen fick arbeta under dessa, såsom det kan synas, rent af orimliga förhållanden, visade det sig likväl, att lufttrycket i klockan kunde nedgå ända till två milli- meter. Det besynnerliga faktum, vi nu omnämnt, att nämnli- gen en dylik pump verkligen kan åstadkomma en betydlig förtunning, eger sin förklaring i den redan omnämnda stora adhesionen mellan luftlagret och kolfven. Ty besinnar man rätt, hvilken liten qvantitet so millimeter är, skall man lätt inse, att det kapillärfina mellanrummet kan, på grund af nyssnämnda orsaker, vara i stånd att hindra luf- ten från att tränga derigenom. En direkt bekräftelse på rigtigheten af föregående för- klaring kan enhvar lätt förskaffa sig genom anställandet af följande försök. I en upptill öppen, till en vanlig luft- pump hörande glasklocka inpassas ett fint thermometerrör af större längd, medelst hvilket den i klockan instängda luften således kommer att stå i en oafbruten förbindelse med den atraosferiska luften. Om man nu på vanligt sätt genom pumpning söker göra klockan lufttom, kommer na- turligtvis den .yttre luften att oupphörligen genom röret in- strömma i henne, men denna inströmning sker så ytterst långsamt, i följd af friktionen mot väggarne och deras dragningskraft på luftpartiklarne, att förtunningen inom en jemnförelsevis förvånande kort tid kan bringas temli- gen långt. Så snart pumpningen upphört och cylindrarne blifvit afstängda från klockan, kommer profvaren naturligt- vis att stiga, men den ringa hastighet, hvarmed detta sker, ådagalägger tydligt, att ett stort motstånd utöfvas genom det hårfina röret mot luftens inträngande i klockan. De fördelar, som denna Deleuils luftpump erbjuder, äro, att ingen friktion förefinnes mellan kolfven och cylin- derväggen, följaktligen att ingen upphettning, ingen nöt- ning och likaledes intet motstånd derstädes eger rum. Nå- gon olja behöfves icke i pumpen för att täta den, i 183 följd hvaraf man ej heller har att befara någon förstopp- ning hos ventiler och rörledningar. Pumpen har endast en cylinder, men denna är dubbelverkande, och följaktligen kommer kolfven att röra sig i en allt mer och mer förtun- nad atmosfer. Den hålles i rörelse genom kringvridning af ett stort svänghjul, hvilket medelst tandade hjul står i förening med pumpstången. Förtunningen, som under van- liga förhållanden kan åstadkommas med denna pump, upp- går till en millimeters tryck. Slutligen bör nämnas, att den ifrågavarande pumpen kan omedelbart förvandlas från sugpump till kompressions- pump, och att man med dess tillhjelp kan utan märkbart motstånd eller upphettning åstadkomma en förtätning hos gasmassan motsvarande fem atmosferers tryck. Denna pump var utstäld och förevisades under verlds- expositionen förlidet år i Paris och tillvann sig då ett allmänt bifall. En lika konstruerad pump, hvars pris är 700 francs, har sedan början af detta år blifvit använd å kemiska la- boratoriet vid Upsala Universitet och synes motsvara de bil- liga fordringar, man på en luftpump för det närvarande kan ega. AFDELNING IV. Anmälda skrifter. 1. Euklides fyra första böcker, af C. F. Lindman. Med anledning af några punkter, i hvilka granskaren af detta ar- bete i tidskriftens förra häfte haft något skiljaktiga åsigter med förf., har förf, lektor Lindman meddelat följande upplysningar. 1. Uti Euklides’ def. på linie har jag ej gjort ändring, emedan jag ej ansåg någon annan för undervisningen mera lämplig. 184 2. Här delar jag rec:s åsigt, men trodde mig ej böra göra en så stor förändring. Jag hade visst kunnat bibehålla numret och hänvisa till längre fram, men tror, att en mängd andra, mot min plan i öfrigt stridande, förändringar deraf blifvit en nödvändig följd. 3. Här måste vara något tryckfel (det bör stå: sidorna i stället för vinklarna). Emellertid tror jag, att Eukl:s def. i den ställning, som hon har, kan försvaras. Helt annat vore förhållandet, om jag icke bun- dit mig vid nummerföljden, i hvilket fall de senare deff. bort få helt annan plats och form. 4. Här har rec., sannolikt i följd af mitt mindre noggranna ut- tryckssätt, missförstått mig. Med orden: « annorlunda uttryckt « har jag alls icke velat säga, att det följande är fullt identiskt med Eukli- des‘ tredje postulat, utan blott bana väg för det af mig föreslagna sätt att upplösa I: 2 och 3. Vid sådant förhållande har rec. sjelf på bästa sätt rättfärdigat mig. Beträffande Euklides’ eget 3:dje postulat, så tog jag mig just af det deri förekommande ordet didornua anledning till det af mig föreslagna. 5. Samma anmärkning, som här göres, är befogad redan vid I: 1, men sjelfva saken synes vid min plan svår att hjelpa. 6. Här har jag visat, att FG alltid faller inom Λ DFH, hvilket tyckes mig tillräckligt. 8. Orsaken till det klandrade förfarandet är, att Eukl. i allmänhet plägar göra konstruktionen först och sedan låta beviset utan afbrott följa. 9. Gerna medges, att orden: < hvartill kommer...........omöjligt « bevisa föga och således äro öfverflödiga; men jag trodde mig böra taga något ur III: 13. 10. Det bevis, rec. saknar, hade lätt kunnat lemnas, men torde ock vid betraktande af några propp, i I och III kunna umbäras. För öfrigt var min afsigt med denna solution endast att visa, det en A, likvinklig med en gifven, kunde inskrifvas, utan att en tangent behöfde dragas. 11. Jag har ingen smak för indirekta bevis, utan anser fastmera, att sådana böra undvikas, der det låter sig göra. I de citerade fallen skulle jag således hafva föreslagit direkta, om jag kommit att tänka derpå, men det är vanligen svårt att hitta något nytt sätt, då man blif- vit väl invand vid ett annat. Annars hade nog den lättare upplösningen på IV: 10 tidigare blifvit funnen. För min del fann jag den d. 3 April 1867, under det jag arbetade med den nya upplagan och just på den väg, som ses i ex. 2 sid. 93. 12. Det här af rec. rekommenderade sättet för problemets lösning 185 var mig visst icke obekant, isynnerhet som ett specielt fall deraf vid skrifning för afgång v. t. 1867 framstäldes (i hr lektor Hultmans sam- ling pag. 31 n:o 68). Jag begagnade det icke, emedan problemets upp- lösning der på stället för mig ej var hufvudsak, utan emedan jag ville på ett enkelt exempel visa användningen af III: 36 A. Att solutionen då kunde ske på ett annat, till och med enklare sätt, var i min tanke ingen olägenhet. C. F. LINDMAN. 2. Afhandling om relationen emellan kordan för en cir- kelbåge och kordan för en part af densamma af CHR. NORBERG, civilingeniör. Första häftet. Stockholm 1867. Pris 2: 50. 110 sidor 8:0. Ifrån äldsta tider nästan lika långt tillbaka, som man kan följa geometriens studium, ända till närvarande tid, torde knappast något geometriskt problem varit föremål för en sådan mängd försök af lösnin- gar som det att dela en gifven vinkel i tre lika stora delar. Problemet löstes redan af de gamle med tillhjelp af vissa kroklinier, sedan de miss- lyckats att göra det med endast cirkeln och räta linien *. I nyare ti- der, sedan analysen blifvit upptäckt, fann man snart att den elementära lösningen medelst räta linien och cirkeln var omöjlig. Problemet leder nämnligen till lösning af en kubisk eqvation. Denna omöjlighet kan emellertid ej den fatta, som ej studerat analysen. Hvarföre kan man ej med räta linien och cirkeln dela en vinkel i tre lika stora delar, när man kan dela honom i 2, 4, 8,... lika stora delar? Detta gör att pro- blemets geometriska lösning på elementär väg med synnerlig ifver för- sökes af en mängd dilettanter i geometrien, så mycket mer, som många fått för sig, att ett stort pris är utsatt för den, som kan lemna en lös- ning af detsamma. Jag känner en fästningsfånge, som trott sig skola få nåd hos konungen på grund af en sådan lösning; jag vet en yngling, som offrat en ansenlig tid och nattvak på försök med lösningen af detta problem i akt och mening att derigenom bereda sig och sina obemed- lade föräldrar och syskon en framtid af guld och gröna skogar. Jag vill ej tala om alla de ynglingar vid våra läroverk, hvilka år efter år pröfva sina krafter på detta otacksamma problem. Ofvanstående afhandling sysselsätter sig med det vida allmännare problemet att dela en gifven vinkel i huru många lika stora delar som * Nikomedes begagnade dertill konkoiden, Dioldes cissoiden, Dinostra- tus qvadratricen o. s. v. 186 helst, i det den framställer en eqvation, som visar sambandet mellan kordan för en godtycklig cirkelbåge ABC och kordan för en part BC af densamma. Vi skola söka att lemna en redogörelse för författarens sätt att gå till väga härvid. Tag till enhet radien i den cirkel, hvaraf bågen ABC utgör en del. Sätt kordan AC — b, kordan BC == a och kordan AB — c. Drag dia- metern BOD samt kordorna AD och CD. På grund af den satsen om en i en cirkel inskrifven fyrhörning, att rektangeln af diagonalerna är lika med summan af rektanglarna af de motstående sidorna, erhåller man 2b = a./4—c2 + CA/4-a2............(1). Göres här a == c, finner man b = c/4-.....................(2), hvilken eqvation visar sammanhanget mellan kordan för en båge och kordan c för en hälften så stor båge. Gör man i (1) a = c4/4 — c2, d. v. s. man låter [se (2)] bågen för a vara dubbelt så stor som bågen för c, kommer man till den enkla eqvationen e3 - 3c + δ = 0....................(3), hvilken eqvation löser problemet trisectio anguli. Låter man i (1) bå- gen för a vara 3 gånger så stor som bågen för c, d. v. s. gör man enl. (3) a = 3c —c3, erhåller man såsom eqvation för sambandet mellan kordan för en båge och kordan för dess fjerdedel följande relation: (2-20)/4 - 2 = -...............(4). Genom analogt förfarande finner man såsom eqvationer för samban- den mellan kordan för en båge och kordan för dess femte-, sjette-, sjunde-, åttonde-del relationerna c6—5c3+5c — b = 0..............................(5), (c5 - 4c3 + 30)A/4—c - b.......................(6), , el - 7e + 14c3—Tc + b = 0...................(7), (c7-6c5 + 10c3-4c)/4 22 = - b...................(8). Fortsätter man dessa eqvationer, skall man vid en blick på dem genom induktion finna, att eqationerna (1), (3), (5), (7),..., hvilka gälla för en båges delning i ett jemnt antal lika stora delar utgöra spe- cialfall af eqvationen 187 n-1L (n 2)1 n-84- (»____3)a n —5 _ (n_43 n-7 + C 2 - 2+ n-4_______________________n-6 +222- . c] 4-ea - - (- 1)2 • b2*, samt att eqvationerna (2), (4), (6), (8),..., hvilka gälla for en båges delning i ett udda antal lika stora delar, utgöra specialfall af eqva- tionen ex - „en-g +,.(n-3),144 -n.(1-4) + ... n-4 n-6 z -(n+ 11 (-1) 2 " 2 ) - + . 2 c3 3 n — 1 ∕ 1∖ n+1 + (-1)2..2 1 0 =-(-1)3 .b. Höjas dessa båda eqvationer i qvadrat, sammanfalla de till följande eqvation: €2n - 2me2n-2 + 2n 2n - 3)2 ç2n—4 - 2n (2n - 4) c2n—6 +... 2n — 4 2n - 6 + (-1)-12n.m-1.c+(~1)162 = 0, hvilken eqvation utvisar sambandet mellan kordan b för en båge och kordan c för dess vite part. Vi se att mot hvarje rot c finnes en rot = — c. Dessa eqvationers allmängiltighet bevisar förf, genom att gå från 11 till n + 1. Återstår att se, om man på förhand kan finna, att denna eqvation måste i afseende på c vara af nte eller 2nte graden. * I denna och de båda följande eqvationerna mena vi med uttryck af formen ne binomialkoefficienter, så att _ n(n — 1) — 2) .. . (n—k+ 1) 188 Emedan h varje korda b är korda ej allenast för den deremot sva- rande mindre bågen ß, utan äfven för den större bågen 27 —samt för dessa bågar ökade eller minskade med ett godtyckligt antal cirkel- periferier, så följer, att kordorna c skola tillhöra ej allenast bågen — n utan äfven bågarna 8 ±27 och 27------------ß ±2=, der % betyder n------------------------------------------n " hvilket som helst af talen 0, 1, 2, 3... i oändlighet. Vid första på- seendet skulle det tyckas, som om man på detta sättet skulle få oänd- ligt många kordor, emedan antalet bågar är oändligt stort. Men man finner snart att antalet bör vara inskränkt, emedan alla bågar som hafva samma begynnelse- oeh slutpunkter hafva samma kordor. Nu är tydligt att den senare båggruppen 27± 2%7 kan sättas under formen n — 212 och således sammanfaller med den förra båggruppen med ombytt tecken. Denna grupp gifver således inga nya kordor. Vidare inses, att, om k>n i den återstående båggruppen, man kan sätta k=r+s, der s « — 1. Är kan man sätta s = n — s,, der n o 257 _ 28.7 0 . S. < —; man lar da ■— — 277 --------1— och således baggruppen ιn- 2 n n skränkt till /2S , der ¾ < — • Lätt inses, att antalet olika kor- n------------------------------------2 dor här äro n. Sättes i den allmänna eqvationen b == 0 och eqvationen derefter di- videras med c, betyder den minsta c-roten, sidan i en regulier mång- horning. Förf, redogör för de i Euklides’ fjerde bok förekommande månghörningar samt dessutom för 17-hörningen, hvilkens eqvation af 16:de graden han fullständigt löser. Han har härigenom bevisat möj- ligheten att med endast räta linien och cirkeln inskrifva en sådan i en cirkel. Förf, lofvar att i ett senare häfte lemna en särskild teori för reguliera månghörningar. Sannolikt kommer han der att lemna ett ele- mentärt bevis för den af Gauss först uppstälda satsen, att det ej är möjligt att i en cirkel inskrifva andra reguliera månghörningar än dem, hvilkas sidoantal kan representeras med ett primtal af formen 2(2 ) + 1. Förf, skall ha tack för sitt oegennyttiga bidrag till en populär fram- ställning i läran om en båges delning. Han skall genom denna sin af- 189 handling utan tvifvel höja det matematiska vetandet hos sitt fädernes- lands ungdom. Mot afhandlingen skulle vi vilja anmärka, ifall det vore tillåtet i afseende på en gåfva, att stilen är långtrådig, vidtsväfvande, att hufvudsak och bisak ej skarpt skiljas. Vi säga detta endast för att förf, må göra gåfvan af sitt utlofvade andra häfte i dubbelt hänseende välkommen. F. W. HULTMAN. 3. Elementerna af Algebraiska Analysen och Differen- tialkalkylen i korthet framstälda af C. F. E. BJÖRLING, lektor i Halmstad. Förra delen: reella qvantiteter. Förra häftet, pris 2,25. Senare häftet, pris 2,25. Detta arbete är en i många afseenden intressant och i sitt slag ny företeelse inom den svenska matem. litteraturen, hvarpå vi nu fästa våra läsares uppmärksamhet. Vi torde framdeles blifva i tillfälle att egna detsamma en närmare granskning. Profskrifning för maturitetsexamen v. t. 1868. Af en elev från Westerås högre elem.-läroverk. 25. Hvilket tal satisfierar eqvationen x+2 ax + r = a2./a3(+3)? Som på vår ståndpunkt potenser * af negativa och imaginära qvan- titeter äro främmande, förutsätta vi i det följande, att a är en positiv qvantitet. Den framstälda eqvationen kan transformeras till 30 + 3) ar+1 = a2.a +2 , samt derefter till på grund af hvilken sistnämnda likhet man erhåller eqvationen * “K(andra än digniteter, förstås)“, lärarens rättelse. 190 Denna eqvation gifver vid öpplösningen «= 1 4412; men då det begäres att få veta det tal, som satisfierar den framstälda eqvationen, kan endast det öfre värdet här komma i fråga. Nu är (se log.tab. sid. 372) . √12 = 3,464101........ således x = 4,464101.... 24. På en vagn är hvardera framhjulets omkrets 5.5 fot och hvardera bakhjulets omkrets 6,75 fot. Om nu under en resa framhjulet gjort 3000 om- lopp mera än bakhjulet, så frågas: huru stor är den väg, som blifυit till- ryggalagd? Om vägens längd, uttryckt i fot, betecknas med x, så angifver tyd- ligen qvoten 5.3 , huru många hvarf, framhjulet gjort på den ifråga- varande vägen, och qvoten - huru många hvarf bakhjulet gjort på 6 - 6,75 6 J 1 samma väg. På grund af uppgiften erhåller man derföre eqvationen — = - + 3000 , 5,5 6,75 ' hvilken upplöst gifver a = 89100 fot*. * På samma gång det är oss ett nöje att erkänna det utmärkta sätt, hvarpå förf, löst och redigerat detta och öfriga problem, kunna vi dock ej underlåta den anmärkning, att i ett prof vi önskade se ett problem sådant som detta mera uttömmande behandladt, äfven med risk, att man derige- nom skulle medhinna ett eller annat problem mindre. För att göra klart, hvad vi mena, skola vi sjelfva upptaga detta problem till behandling. Uppgiften angifver ett samband mellan 1) en väglängd, som tillryggalägges af Ivenne par hjul; 2) det antal omlopp, som hjulen göra på denna väglängd; och 3) hjulens omkretsar. Eqvationen kan följaktligen angifva tvenne olika uttryck på 1) väglängden, eller på 2) antalet hjulomlopp hos någotdera hjulparet, eller på 3) hjulens omkretsar. Emedan inga andra storheter förekomma i uppgiften, kan ej gerna någon fjerde möjlighet komma i fråga. 191 27. I en triangel öro vinklarne vid basen 78010’ 4" och 54n 3' 16". Triangelns höjd är 15 fot. Huru stora äro sidorna? Låt ABC föreställa den ifrågavarande triangeln och låt Λ B vara — 78° 10'4* och AC = 54°3’16* samt höjden AD vara betecknad Om vägens längd betecknas med x fot, antalet hjulomlopp hos fram- hjulet med g och dess omkrets med p fot, så eger mellan dessa tre stor- heter följande samband rum: 2 == JP, alldenstund väglängden x liksom uppmätes med y stycken mått, hvarje mått p fot långt. Af denna eqvation följer, att hvilka båda eqvationer utan svårighet direkt kunna fattas. Uppställning 1. Eqvationen skall angifva tvenne olika uttryck på. väglängden. Upp- mäter man väglängden med framhjulets omkrets, blir uttrycket på den = y.5,5; uppmäter man den deremot med bakhjulets, blir uttrycket på den = (y — 3000). 6.75 . Dessa båda uttryck skola vara lika. Man har alltså y.5,5 == (g — 3000). 6,7s, hvilken eqvation löst gifver g —r 16200 omlopp. Bakhjulet har således gjort 13200 omlopp. Hela vägen är 16200.5,5 — 13200.6,75 = 89100 fot. Uppställning 2. Eqvationen skall angifva tevnne olika uttryck på antalet omlopp hos t. ex. framhjulet. Se förf:s lösning. Uppställning 3. Eqvationen skall angifva tvenne olika uttryck på framhjulets omkrets. Enligt eqvationen (B) har man omkretsen — —; men enligt uppgiften 3 är den 5,5 fot. Eqvationen blir således X y På samma sätt erhålla vi för bakhjulet - ----------— 6,75. g — 3000 Ur dessa två eqvationer finna vi samma värden på x och g som förut. F. W. HULTMAN. 192 med h. Om nu sidan BC betecknas med ^, AC med y och AB med z. så erhållas lätt eqvationerna : h = y Sin C, l = z Sin B, hvilka gifva h 15 T 3 - Sin C~ Sin 540 3 16" - 18,52824... fot, och Den tredje sidan x kan finnas enligt Sinusteoremet, således ur eqv.: h Sin a 4 = Sin B Sin C' Nu fås, alldenstund A A är supplementvinkel till B + C, utan svårighet x = 14,01884...fot. 29. Med huru stort belopp skall ett kapital, som blifvit lånadt mot 6 proc, ränta, årligen amorteras, för att vara fullt inbetaldt efter 20 år? Låt kapitalet vara betecknadt med k och låt den årliga amorte- ringen utgöra c proc, derutaf. Om nu _. k tills vidare tecknas — y/, 6100 så kan skuldens storlek efter de särskilda inbetalningarna inhemtas af följande tableau: 1) k.1,06 -y 2) k.q2-yq-y (om q = 1,06) 90 7. 20 , 19, Som efter de 20 årens förlopp skulden skulle vara till fullo betald, erhålles eqv.: 7,/20 ,19 , , _n Nu kan (se Algebr., sen. del.) det förra membrum i denna eqvation 193 transformeras till: kq-0 —y , 9-1, till följd hvaraf förenämnda eqv. kan bringas till formen: 20 — 1 o1 9L - 7.20 31 7-1 2 ' och vidare, eftersom y är == —k, till 20 1 9 " 1 9 — 1 hvilken gifver 100 20 9 (a) 100(7 - 1)920 . 6.920 _ θ 20 1 - — 20 1 — 1 20 • 9° -9 - 1 9 Nu är 9—20 < 1 och kan således tecknas = Sin2φ (nämnligen 9 en båge i 1:a qvadr.), genom hvars införande i formeln (a) man erhåller 6 Cos 2φ Ur eqv.: Sin‘9 = 7 20 fås nil 9 = 30° 56 41,5"; och sål. x = 8,71845...%. Då är också y = 0,0871845... k. Något noggrannare svar kan icke på den framstälda frågan lemnas *. (Forts.) Nya böcker. Nordlund, K. P. Räkneöfningsexempel för skolor uppstälda med afse- ende pa den heuristiska metodens användande, 2 häften. (Hela tal och bråk). Stockholm. 80 öre. Ljungzell, N. G. Räknetabeller. Stockh. 1865. Hansen, C. Billed regnebog for smaaborn. 2:en udg. Kjob. 1868. 8 sk. Bokkenheuser, C. H. F. Regnebog for begyndere. Kjob. 24 sk. Facitliste till regnebog for begyndere. 10 sk. Hemmel, L. L. Ledetråd ved undervisningen i brokregning. 2:en udg. 28 sk. * Ordet "lemnas“ är af läraren rättadt till: finnas medelst de för oss tillgängliga tabellerna. 194 Schön, L. Sjuställiga vanliga logaritmer för -alla hela tal från 1 till 10800. Stockh. (utan trigon, tabell) 1,90; med trigon, tabell och med interpolationstabell 4,90. Mundt, C. E. Lærebog i den elementære stereometri tillige med den sphæriske trigonometri, 3:e udg. Kjobenh. 80 sk. Bergius, A, T. Sur quelques fonctions alternes. Afhandl. i pro- grammet från nya elementarskolan 1868. Smitt, J.‘D. Några satser ur vibrationsteorien. Afh. i progr. från Westerviks läroverk 1868. Guldberg, C. Μ. Bidrag til Legemernas molekylartheori, aftryck ur Vidensk. Selsk. forh. for 1867. Christiania. -------Kortfattet framstilling af den mekaniske varmetheori. Chri- stiania 1868. Ulle, 0. Hvarför och derför. Frågor och svar ur naturlärans vigtiga- ste områden. . Öfversatt och bearbetad af Fernlundh. Sthlm. 1,25. Tychsen, C. Mekanikens grundsætninger efter Delaunay. 9:de og 10:de heft. à 40 sk. Kjobenh. -------Tidsskrift for mathematik. 2 rdr (4,20 svenskt). Thomsen, J. et A. Tidsskrift for physik og chemi. 3 rdr. Böcker, utgifna 1867—1868. Aritmetik och Algebra. (Forts, fr. sid. 100). y) I Danmark. Skjoldager, N. H. Praktisk regnebog for almueskolernes yngste klasse. Fjerde udgave. 56 sid. i 8. Jörgensen. 16 sk. Grünfeld, H. P. H. Theoretisk-praktisk regnebog. Andet cursus, for borger-, real- og latinskoler. 118 sider i 8. Tryde. 48 sk. ------Theoretisk-praktisk regnebog. 3:e udg. 32 sk., Eesultater. 8 sk. Tryde. Kjobenh. Hansen, C. Hoved- og tavleregningsopgaver (3:die deel) til anven- delsen af brokregning ved delingsregning, procentregning o. s, v. 4:de udgave. 100 sid. 8:o. Schubothe. Inb. 32 sk. 195 Westrup, A. Regnekunstneren eller den nye hovednögle. 416 sid. i 12. Inb. 76 sk. 0) 7 Frankrike. Pichot, Éléments d’arithmétique (année préparatoire et l:me année) 1 vol. Jeanne, E. Cours d’arithmétique commerciale (2:me année) 1 vol. 3 fr. Courcelle-Seneuil, Cours de comptabilité (1—4 années) 4 vol. à 1 fr. 50 c. André. Leçons d’arithmétique. Année préparat. In 12. Delagrave. 1 fr. Roguet. Traité d’arithmétique. In 8. Masson et fils. 3 fr. Amey. Cours d’arithm. et de calcul litteral. In 8. Grassart. 5 fr. Garcet. Traité d’arithmétique. In 8. Delagrave. 4 fr. Laurent. Traité d’algèbre. In 8. Gauthier-Villars. 7 fr. 50 cent. 8) 7 Tyskland. Aschenborn. Lehrbuch d. Arithm. m. Einschluss d. Algebra. Berlin, v. Decker. 2 Th. Kameke. Der Schnellrechner. Berlin. 6 Liefer, à 1 Th. Berlin. Grieben. Lübsen. Ausführliches Lehrbuck der Arithmetik u. Algebra. Leipzig. Brandstetter. 1' Th. Möllman. Vorschule der Arithmetik. Rostock. Stiller. 1 Th. Ruland. Ausführl. Auflösung der Aufgaben in Heis’ Sammlung. Auf- gaben. In 8. Bonn. Cohen. 14 Th. Sass. Buchstabenrechnung, nebst e. Anhang enth. die Logarithmen d. Zahlen 1—10000. Altona. Schlüter. 1 Th. 4, Gr. Elementar Geometri. α) 7 Sverige. Lagerhamn, C. Μ. Geometri förenad med linearteckning för folksko- lelärareseminarier och folkskolor. 7:e uppl. (Hæggstrôm). 90 öre. Weström, C. A. Lärobok i geometri, omfattande de 6 första böckerna i Euklides. 79 sidor (Bonnier). 75 öre. Siljeström, P. A. Lärobok i geometrien till folkskolornas tjenst ut- arbetad. 50 öre. Danielson, Adolf. Lärobok i praktisk geometri, med talrika öfnings- exempel. Till folkskolornas tjenst. 75 öre. Örebro. (Lindh). Cronhjelm, P. E. Elementerna af arithmetiken och planimetrien. Sjette uppl. omarbetad af Sylvan. Christianstad 1867. (Littorin). II. Planimetri. 1 rdr. 115 sid. 196 Norberg, Chr. Afhandling om relationen emellan kordan for en cir- kelbåge och kordan för en part af densamma. Första häftet. Sthlm 1867. 2,50. Lindman, C. F. Euclides’ fyra första böcker med smärre förändringar och tillägg. (Hæggstrôm). 1,50. Bäckman. Tillämpad geometri med talrika öfningsexempel. 2 uppl. Stockh. Hæggstrôm. 1,25. 3) 1 Norge. Saxild, V. Geometri for begyndere. Indeholdende plan geometri, plan trigonometri och stereometri. Dydevad. Inb. 60 sk. y) I Danmark. Mundt, C. E. Lærebog i den elementære plan geometri tillige med den plane trigonometri. Syv. Udg. 190 sid. i 8:o. Gydendal. Inb. 1 rdr 32 sk. Petersen, J. Geometriske opgaver til skolebrug. 52 sid. i 8. Steen, A. Elementar stereometri. 152 sid. i 8. Reitzel. Inb. 1 rdr 16 sk. Simesen, R. J. Grundtræk af rumforholdenes naturlære eller geome- trien, trigonometrien och Stereometrien genetisk fremstilled. (Wöl- dike). 1 rdr 64 sk. (Forts.) Insända uppsatser. Sats ur allmänna eqvationsläran af M. F. Hallström. Lösning af sats 57 (I) af G. Mittag-Leffler. Satser af T. B. Johansson. Lösning af sats 13 (ΠI) af P. W. Almqvist. Om bråkexponenter af d:o. Satser af C. 0. Boije af Gennäs. Satser af A. E. Hellgren. Sats med lösning af S—g. Satser af Otto Witt. Satser af G. H. Lindqvist. Lösning af satser 1—6 (HI) af Cavallin. Lösning af sats 56 (I) af E. M. Frykberg. Lösning af satser 1 (ofullständig), 42,45—47 samt 49 och 50 (I) af Erik. Lösning af satser 53, 55, 57 och 58 (I) af Knut Wicksell. Satser af J. R. Åkerlund. AFDELNING I. Oui bicellens byggnad. Af F. W. HULTMAN. Bina älska värme och solljus. Derföre ställes vanli- gen bikupan så, att det s. k. flustret eller ingången till kupan vetter mot söder. Vi tänka oss kupan i detta läge, då vi nu göra ett besök i den samma. Strax innanför flu- stret påträffa vi en mängd lodräta, sins emellan parallela, väggar (honungs- eller vaxkakor), hvilka sträcka sig från kupans tak till dess botten i rigtning från söder till norr, så att bina genast efter inträdet lätt kunna förflytta sig mellan hvilka kakor som helst. För att underhjelpa kom- munikationen äro dessutom kakorna ofta afbrutna eller för- sedda med öppningar. Mellanrummet mellan tvenne kakor är ej större än att tvenne bin utan svårighet kunna i detta gå bredvid hvarandra. Sjelfva väggarne eller kakorna hafva en tjocklek af ungefär 8,6 linier. Hvarje kaka är medelst en lodrät bucklig mellanvägg delad i 2 lager, hvartdera af 4,3 liniers tjocklek. Begge lagren äro sam- mansatta af en mängd vågräta, vinkelrätt mot mellanväg- gen liggande, 6-kantiga prismatiska celler, hvilka således sträcka sig emellan öster och vester. De äro bestämda dels till boningsrum för binas larver, dels till förvarings- rum för deras föda, honungen. Cellens längd är lika med lagrets tjocklek eller 4,3 lin., dess bredd är 1,7 lin. Hvarje 13 198 cell är ihålig och försedd nied ett plant lock i form af en regulier sexhörning, på sin fria sida, ifall den innehål- ler en larv eller honung, men utan betäckning, om den är tom. På den sidan deremot, som vetter åt den buckliga mellanväggen, är cellen täckt med ett lock i form af en tresidig pyramid. Denna pyramid står på den liksidiga triangel, som erhålles genom att sammanbinda hvarannat af de 6 hörn i den sexhörning, som skulle begränsa cellen intill mellanväggen. Pyramidens tre sidoplan äro sedan förlängda, tills de träffa de 6 sidoplanen af den prismati- ska cellen, och blifva derigenom romber dubbelt så stora som trianglarne. Cellen kommer sålunda att begränsas af en plan re- gulier sexhörning, af 6 sidoplan i form af paralleltrapezier samt af tre romber. Som vi se, kommer sålunda cell- lagret utefter mellanväggen att bilda en yta, bestående af en mängd pyramidspetsar, mellan hvilka ligga pyramid- formiga gropar. Dessa gropar fyllas jemnt af pyramid- spetsarne hos honingskakans lager på andra sidan om mel- lanväggen. Någon annan egentlig mellanvägg än de romb- iskt pyramidaliska locken hos cellerna finnes dock ej. Ut- seendet af mellanväggens yta fattas för öfrigt bäst af vid- fogade figur (fig. 33 a). Cellen i sin helhet synes i fig. 33 ß. Efter att hafva redogjort för cellens utseende, vilja vi söka utreda den förnuftiga grunden till cellens egendomliga form. Hvad först den egenskapen beträffar, att basen till den prismatiska cellen utgöres af en regulier sexhörning, derpå har enligt Maraldi * redan Pappus ** lemnat svar. * Astronomen Giacomo Filippo Maraldi föddes 1665 i Nizza och dog 1729 i Paris. Han har i Histoire de l’académie royale des sciences pour 1712. Paris 1714, skrifvit en utmärkt intressant naturhistorisk af- handling: « Observations sur les abeilles*. Han redogör der bland an- nat för de noggranna mätningar han gjort öfver vinklarnes storlek i de romber, hvarom vi nyss talat. Så har han funnit den trubbiga vinkeln 109° 28' och den spetsiga 70° 32'. ** Den utmärkte matematikern Pappus från Alexandria lefde år 199 Vore cellerna cylinderformiga och ej prismatiska, skulle de ej kunna passas intill hvarandra, utan att en mängd onyttiga mellanrum skulle uppstå. För att hindra sådana att uppkomma böra cellerna vara prismer, hvilkas baser äro reguliera rätliniga figurer så beskaffade, att, då de ställas intill hvarandra med sina vinklar omkring en punkt i ett plan, hela planet omkring denna punkt blifver be- täckt. Af så beskaffade månghörningar hafva vi endast tre, den liksidiga triangeln (der hvarje vinkel är 1 af 4 räta), qvadraten (der hvarje vinkel är 1 af 4 räta) och sexhörningen (der hvarje vinkel är 3 af 4 räta). Men af dessa är sexhörningen den, som har minsta omkrets, då ytan är den samma. Bestämma vi nämnligen ytans stor- lek till a2 ytenheter, blir hos den liksidiga triangeln omkretsen = 2/3 3.a = 4,559. a längdenheter, hos qvadraten ... = 4a..............................» och hos sexhörningen = 2/2//3.a = 3,722. a » Det behöfves således mindre byggnadsämne till sexkan- tiga än till tre- eller fyrkantiga celler. Vi vilja vidare tillse, huru locket på en sådan cell skall byggas med största hushållning. Tänkom oss till en början cellen fullkomligt prisma- tisk med platt lock. Låt den reguliera sexhörningen vid locket vara ABCDEF* och vid basen ABCDE F. Låt O vara medelpunkten i den förra och 0' i den senare. Drag ut axeln 0'0 ett godtyckligt stycke 0Q (= a). Samman- bind O med A, F och E samt drag AE. Emedan AF= 400 e. Kr. Hans matematiska arbeten i 8 böcker, hvaraf olyckligtvis de två första äro förkomna, utgöra ett ytterst värdefullt arbete för ma- tematikens historia. De äro öfversatta och kommenterade af den lärde geometern Commandinus, som lefde 1509—1575, och utgåfvos efter dennes död under titeln: Pappi Alexandrini Mathematicæ Collectiones a F. Commandino in latinum conversæ et commentariis illustratæ. Pi- sauri 1588. * Figur upprite läsaren sjelf! FE = EO - OA (AF och FE äro sidor i den reguliera sexhörningen, EO och OA äro radier i den kring sexhör- ningen omskrifna cirkeln), så är AOEF en romb, och så- ledes måste dess diagonaler AE och OF skära hvarandra vinkelrätt midt itu i någon punkt S. Afskär vidare af FF' ett stycke FR = 0Q. Alldenstund vidare OQ # FR, måste FQ # OR. Figuren FQOR är således en paral- lelogram, hvarföre dess diagonaler QR och OF måste skära hvarandra midt i tu i en punkt. Men S är midt- punkten af OF. Punkten S måste således också vara midt- punkt af QR. Linierna AE, OF och QR skära hvarandra alltså i en och samma punkt. Drag nu linierna QA, AR, RE, EQ. Emedan i den plana fyrhörningen QARE dia- gonalerna skära hvarandra midt i tu, är han en parallelo- gram, och emedan AR = RE såsom baser i de kongru- enta trianglarne AFR och RFE, så är fyrhörningen AQER en romb. Låter man nu den pyramid, som till bas har triangeln AEF och till spets punkten R vrida sig till li- nien AE, tills punkten F faller in på 0, måste FR falla in på OQ, punkten R på punkten Q, och således hela py- ramiden AEFR falla in på pyramiden med AEO till bas och Q till spets. Afskär man på samma sätt af DD’ ett stycke DT = OQ, och af BB' ett stycke BW = OQ, samt gör samma konstruktion, erhålla vi en med det ursprung- liga prismat lika stor solid figur, begränsad af en plan sexhorning, 6 paralleltrapezier och tre romber. Som vi se, är volymen konstant för olika längder af OQ eller FR. Här är ock stället att anmärka, att spetsen af en py- ramid i det ena lagret celler passar fullkomligt in i mot- svarande fördjupning hos det andra lagret celler. I fig. a synes nämnligen, att solida vinkeln M är kongruent med solida vinkeln N, alldenstund alla 3 planvinklarne, som bestämma vinkeln M, och alla 3 planvinklarne, som be- stämma solida vinkeln N, äro (alla 6) sins emellan lika stora. 201 Återstår nu att bestämma längden af 0Q(= FR = x) så, att cellens yta blir ett minimum. Låt sexhörningens sida AF vara = a, prismats längd eller höjd AA’ = l; då blir ytan af ett paralleltrapezium t. ex. af AAFR = 402—2), af sexhörningen ABCDEF = 6. 3 33.2 4 2 ‘ af romben AQER = AE.SQ = 3W/3 + Cellens hela yta blir alltså: 3√3 ,a(2l — 2) 5 / 2+6 2 + 3av3v a + 4 . . (1). Denna yta är tydligen ett minimum, då 20 - 2 +A/ 322 + — är det. Genom att sätta detta uttryck = m och lösa den så uppkomna eqvationen i afseende på a, finner man, att ytan blir ett minimum för 2 = /2; d. v. s. att FR skall göras lika stor med diagonalen i en qvadrat, hvars sida är fjerdedelen af sidan AF i den re- guliera sexhörningen. Insättes detta värde på x i (1), fin- ner man minimiytan vara (, √2 + √3 ∖ + 4 • a\. Hade cellen varit fullkomligt prismatisk med platt lock, skulle ytan ha blifvit 6al + A3 + A/3 4 202 Den senare ytan öfverskjuter den förra med 3a°(/3 - 4/2) _ ------------------2---------0,4774 eller med nästan hälften af qvadraten på sexhörningens sida. De öfriga längderna blifva: / 3//2 . . ER = = V a2 +--------1 = — a = sidan i romben, v (4 )--------------------4 QR = 2. SQ = 2.RS = 2.+ - = — = den " " V 44 / 2 mindre diagonalen i romben, AE = 2.SE = 2/(ER)2 - (SR)2 = an/3 = den större dia- gonalen i romben. Vidare är, märkvärdigt nog, rombens höjd eller höj- den i A AEQ, dragen från E eller A, = sexhörningens sida a. Genom trigonometrisk räkning finna vi vidare: Tg A EQS = SQ = V2 . A EQS = 54°44 och A AQE = 109° 28, alldeles öfverensstämmande med Maraldi’s mät- ningar. Utan svårighet erhålla vi derjemnte lutningsvinkeln mellan 2:ne romber = 60° = vinkeln i en liksidig triangel, samt lutningen mellan en romb och närliggande sidoplan i den prismatiska cellen att vara = 1200. Enligt de ungefärliga* mätningar, som vi hafva gjort med passare och skala, hafva vi funnit den mindre diagonalen i romben = 1,325 sv. dec. linier, » större........................= 1,875 » » sidan a i sexhörningen..............= 1,08 » » halfva bredden af vaxkakan.........=l = 4,287 » » * Mätningarna äro gjorda på en honungskaka, 14 dagar efter sedan den tagits ur kupan, och i den tryckande sommarvärme, som nui Aug. 1868 råder. 203 Beräknar man, med dessa värden på diagonalerna, rombens vinklar, skall man finna dem ej mycket skilja sig från de ofvan beräknade och af Maraldi uppmätta vink- larne. Vi se alltså, att bina bygga med så stor hushållning som möjligt, och att de sålunda följa den stora naturla- gen: alla verkningar i skapelsen ske med den minsta möjliga omkostnad. Hvem som först funnit, att ytan af bicellen, då voly- men är konstant, utgör ett minimum, vet jag icke. Pro- blemet står upptaget bland maximiproblemen i Frenet’s Recueil d’exercices du calcul differentiel. Dessutom finnes det utförligt behandladt i Tychsens tidskrift för matematik, årgången 1865, under den anspråkslösa titeln: »Et lille Regnestykke af en Biavler». Ofvanstående problem, som genom sitt innehåll låter oss blicka in i skapelsens hemligheter, är intressant äfven derföre, att dess lösning förutsätter så ringa matemetiska insigter, men tillika erbjuder en rik tillämpning på flere olika områden inom de första elementen af matematiken. Vi rekommendera det derföre till behandling vid våra ele- mentarläroverk. Sats af löjtnant JOH. P. TORELL. .På hvardera af två hvarandra skärande räta linier är en punkt gifven; det begäres att upprita två cirklar, som tan- gera dessa linier i de gifna punkterna och hvarandra, samt att linien genom medelpunkterna till de sökta cirklarne går genom de gifna liniernas skärningspunkt. Låt SR och ST (fig. 34) vara de gifna räta linierna och A och B de bestämda punkterna. Gör SL = SM = #(SA + SB). Drag AE och BN vinkelräta mot SR samt BK och MN vinkelräta mot ST. Rita med N till medelpunkt en cirkel med radien = # (SB - SA) = AL = MB. Drag från S tangenterna SP och SQ till denna cirkel, som äfven tangerar AE och BK. Om nu KO göres = KB, så måste IK = KD och OI - BD = EN = AC, men HI- HC och således AH = HO. Cirklar med K och H till medelpunkter samt resp. BK och AH till radier uppfylla således de bestämda vil- koren. På samma sätt bevisas äfven, att cirklar med E och G till medelpunkter samt resp. AE och BG till radier uppfylla de bestämda vilkoren. Sats af studerande S—G. AB och BC äro två mot hvarandra vinkelräta linier; A är fast och B rör sig utefter en gifven rät linie. Bestäm geometriskt locus för C, då förhållandet mellan AB och BC är konstant. Låt ay vara den gifna räta linie utefter hvilken B rör sig. Drag AD vinkelrät mot ay; bestäm på ay en punkt E, sådan att AD är till DE i det gifna förhållandet AB till BC. Förena AE och drag genom E en mot AE vin- kelrät linie. Denna linie är locus för C. Förena A och E med C. △ ADE är likformig med Λ ABC; följaktligen ∕∖ AEB = A ACB. Om derföre kring A ABE en cirkel omskrif- ves, måste den äfven gå genom C. A ABC är då = A AEC; A AEC således rät. Alltså ligger punkten C på den mot AE uti E vinkelräta linien, som således är locus 205 ÀFDELNING IL Om Keglesnitsliniernes Krumningsradier. Af V. Saxild, ■ Adjunkt ved Kongsbergs Middel- og Realskole. Med megen Fornoielse læste jeg som Subskribent paa »Tidskrift för Matematik och Fysik» Afhandlingen om iso- perimetriske Produkters Maxima. Den vakte ogsaa min Lyst til at prove, om ikke Elementæralgebraen kunde gjore nogen Indskrænkning i det Monopol, som Differentialkal- kylen formentlig har paa at bestemme Krumningsradien. Skulde saadant lykkes, saa kunde man blandt andet kom- me ganska let over den Vanskelighed, som man har, naar man af den 2:den Keplerske Lov grundigt skal deducere Tyngdeloven for Elever, som ikke kjende hoiere Analyse. Saavidt jeg ved, pleie de elementære Læreboger i ana- lytisk Geometri ikke at beskjæftige sig med Keglesnitsli- niernes Krumningsradier. Materien synes dog ikke at være uden, praktisk Interesse; heller ikke synes den att ligge ganske udenfor den elementære Mathematik, endskjont de Methoder, hvarefter denne faar behandle den, vel altid ville være noget vidloftige. Folgende elementære Fremstilling stotter sig til Op- fatningen af en Kurves Krumningscenter som det Punkt, hvortil Sjæringspunktet for Normalerne till to Kurvepunk- ter nærmer sig, naar de to Kurvepunkter lobe sammen. Parabolen. Kurvens Ligning i retvinklet Koordinat- system er y2 = 2px. Et Kurvepunkts Koordinater være 206 a, og 31, et andet Kurvepunkts Koordinater være (~1 + da) og (31 + 4y), hvor Aa betegner et Stykke af Abscisseaksen og 4y et Stykke af Ordinataksen. Man har nu (31 + 4y)2 = 2p(ax, + 4x) og 3? = 2px, , altsaa (y1 + 4y)2 — y3 = 2pda eller (31 + dy+y)(31 + dy-y,) = 2pd a eller (2y1 + 4y)4y = 2pdx, fölgelig 4y _ 2p Zx 2y, + 4y Heraf faas lim 4y = P. da 31 Ligningen for en Normal gjennem Punktet (x,, Y1) er y - 3 = ~ 21-(a - 2,), og Ligningen for en Normal gjennem Punktet (x, + 4x, 31 + 43) er y-( + 4y) = - 31 ±4y [a-(a, +da)]. P Koordinaterne xog y til disse to Normalers Skjærings- punkt findes efter nogle Reduktioner at være A. + & + p + 4x, 1 = L3(1+43) 4x P 4y" Skal dette Skjærningspunkt være Krumnningscentret, saa gaar man til Grændsen for aftagende 4x og dy, i hvilket Fald man har lim 4 = P. eller da 31 lim da=31 4y p 207 Folgelig ere Krumningscentrets Koordinater 3/2 a =++ 2 2 Betegner nu r Krumningsradien, saa faas, naar denne udtrykkes i Funktion af Abscissen, __________________— 1 3 r = N (a,-2)2 + (1—3)2 = = P (22,+P)2. Anmærkning. Bestemmes i Parabolens Ligning y,2 = 2pa, Storrelserne a, og Y1 ved Hjæp af Krumningscentrets Koordinater, saa faar man Evolutens Ligning 2/2 = 8 —pa. • 27p 2 Ellipsen. Kurvens Ligning i retvinklet Koordinatsy- stem er a2y2 + b°x2 = a2b2. Et Kurvepunkts Koordinater være a og Y , et andet Kurvepunkts Koordinater være (x, + 4 x) og (y1 + 4y). Man har nu a∖yi + 4y)2 + b°(a, + 4a)2 = a2b2 og a'y,2 + a2a,2 = a2b2, altsaa a2[(31 + 4y)2 -32] = - b2[(a, + Ax)2 ~ a,3] eller a∖yi + 4y+31)(31 +4y-31) = - b°(a, + 4a+2)(a, + da-a,) eller a'(2y1 + 4y)4y = - b2(2., + 4x)4x , fölgelig 4y b2(2x, + 4x) dx a (2y,+4y) " Gaar man til Grændsen for aftagende Ax og 4y, saa faaes lim 4y = _ b'z,. dx a'y, ‘ 208 Ligningen for en Normal gjennem Punktet (a, , 31) θr a'y, . og Ligningen for en Normal gjennem Punktet (x, + Ax, 31 + 4y) er _ 1 — a°(1 + 4y) _ 3 (1+42) - b°(a, + 4a) e a Koordinaterne xog y til disse to Normalers Skjærings- punkt findes efter nogle Reduktioner at være δ2-α2 x,(x, + da)4y a2 y4x - x.4y ‘ 1 _ b2-a2.3101+4y)4z 8 b2 yAx - x4y Disse Ligninger giver felgende Form: b2 - a2 a,(a, + 4x) b2—a3 a2 dz 7 J 62 31 dy - ^1 31(31+4y) 4y° y. — X. - 8 1 1 æ Skal dette Skjæringspunkt være Krumningscentret, saa gaar man til Grændsen for afta^nde Ax og 4y, i hvilket Fald man bar lim - = - -1 eller lim — = - . AX a'Y1 4y 6°2 Indsættes disse Værdier, og indforer man Storrelsen c2 = a2 - b2, saa faar man Krumningscentrets Koordinater c2a,3 Betegner nu r Krumningsradien, saa faaes, naar denne udtrykkes i Funktion af Abscissen, 3 --------------------—---------— (a4-c2x,2)2 = + V(=, -a)2+(31 - 3)2 = ± —2 Anmærkning. Sætter man for Kortheds 02 Skyld — = 3 209 og — = a, saa faar Evoluteus Ligning folgende Form a 4 + — = 1. (a/ Hyperbolen. Kurvens Ligning i retvinklet Koordinat- system er a'y2 - b2x2 = a2b2, og man ser let, at man kan bruge en Fremgangsmaade, som er analog med den under Ellipsen anforte. Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 179). Tillämpning på algebra. 42. Vi hafva i § 39 antydt, huruledes den algebrai- ska kalkylen är att betrakta som ett enskildt fall af den geometriska. Vi vilja nu ur denna synpunkt lemna en närmare belysning öfver betydelsen af de i Inled. (1)—(4) framstälda multiplikationslagarne för algebraiska qvantite- ter. Dessa lagar få här med stöd af (14) följande form: qo. bo = (ab)o ax. bo = (⅛ Co • = (ab)m ax-be = (ab)2n och tolkas i ordning sålunda: l:o ett tal i grundrigtningen (b0), multipliceradt med ett tal a och hänfördt till en ny grundrigtning, som bildar med den gamla grundrigtningen vinkelen 0, ger till resultat ett tal ab i den ursprungliga grundrigtningen; 2:0 ett tal i grundrigtningen (6o), multipliceradt med ett tal a och hänfördt till en ny grundrigtning, från hvilken den gamla grundrigtningen bestämmes af vinkelen 7, ger till re- 210 . sultat ett tal ab i den rigtning, som är motsatt den nya grund- rigtningen; 3:o ett tal i den negativa grundrigtningen (b,), multipli- ceradt med ett tal a och hänfördt till en ny grundrigtning, som bildar med den gamla grundrigtningen vinkelen 0, ger till resultat ett tal ab i den negativa grundrigtningen; 4:0 ett tal i den negativa grundrigtningen (b), multipli- ceradt med ett tal a och hänfördt till en ny grundrigtning, från hvilken den gamla grundrigtningen bestämmes af vinkelen n, ger till resultat ett tal ab i den nya grundrigtningen. 43. Det är nu på samma sätt möjligt att i öfverens- stämmelse med denna tolkning och med stöd af (20) när- mare belysa betydelsen af den algebraiska multiplikations- lagen för binomer och polynomer. Således, om k, kl, k2 ka beteckna hela tal eller noll, erhålles (de- + bkiπ)(ck1π + da,m) = aca+*" + bfkt+^π + cθl(]s+kgyπ +bd,+tm hvilken formel uttrycker, att summan (c4, + d,,), multipli- cerad med modylen för summan (a,x + b, ) och reducerad till ny grundrigtning förmedelst den senare summans argu- ment, ger till resultat en summa, hvars termer bildas genom att multiplicera hvarje term i den förra simman med hvarje term i den senare. 44. Vi hafva i § 39 antydt, huruledes den algebrai- ska kalkylen är att betrakta såsom ett enskildt fall af den geometriska. Hvad vi hos den algebraiska qvantiteten kal- lat positiv och negativ sättning (jfr Inled.) utgör hos den geometriska positiv och negativ grundrigtning; att reducera till ny, sättning sammanfaller således med att reducera till ny grundrigtning förmedelst argument af formen kar (k = 0 eller ett helt tal). Likasom man enligt den Cartesianska grundsatsen räknar med positiva och negativa tal såsom betecknande längder i motsatta rigtningar, så att, då t. ex. + 3 betecknar en längd i en rigtning (grundrigtningen), så 211 betecknar — 3 samma längd i den motsatta rigtningen, li- kaså kunna tal, tecknade med argumenten 0, 7, 27 etc., i en räkning beteckna algebraiska qvantiteter af motsatta sättningar, så att t. ex. 3, 3 etc. kan beteckna en for- dran, på samma gång som 3, 337 etc. betecknar en lika stor skuld o. s. v., då nämnligen i begge fallen såväl teck- net + som argumentet ka hufvudsakligen afser att gifva den talbetecknade qvantiteten en additiv eller subtraktiv ka- rakter. Den invändningen, att den geometriska kalkylen, såsom uteslutande grundad på geometriska begrepp, icke vore tillämplig på qvantiteter in abstracto, bemötes med den erinran, att geometriska talförhållanden ständigt till- lämpats på qvantiteter, som blott haft det gemensamt med de geometriska att kunna med tal uttryckas. Att t. ex. dela en summa penningar, en värmemängd, en vigt o. s. v. efter »aurea sectio» (Eukl. II: 11), förutsatt att det på konstruktion grundade geometriska förhållandet är i tal uttryckt, är utan tvifvel en både sund och rimlig tanke; lika sundt och rimligt tänkt är det ock att i en räknefor- mel, hvilken ursprungligen gäller för talbetecknade linier af additiv eller subtraktiv natur (af formen a, ), införa qvantiteter af hvad slag som helst, blott de kunna fattas under positiv eller negativ talform. Vi vilja belysa detta med ett exempel. Enligt den allmänna multiplikationsla- gen ha vi (ac + ba)(ac + b,8+=) = ax + 623 +, hvilken for- mel enligt § 38 kan geometriskt konstrueras. För a = kπ och ß = k,7 erhålles (aka+ban)an+ban+m) = aLπ + bLiπ+π^ hvilken formel måste vara sann för hvilka positiva och ne- gativa tal som helst vi behaga införa i stället för Cxm och 64, och följaktligen för hvilka qvantiteter som helst, hvilka kunna med positiva eller negativa tal betecknas. Vi kunna derföre uttala följande för den algebraiska kalkylen syn- nerligen vigtiga grundsats: det är under alla omständigheter tillåtet och fullt rigtigt att i en räkneformel, hvars deduktion är rent geometrisk och hvars alla typer äro af formen akπ, 212 införa hvilka qvantiteter som helst, blott de kunna fattas un- der form af positiva eller negativa tal. Med stöd af denna grundsats framstå de i föreg. §§ 42 & 43 framstälda alge- braiska grundformler med full bevisningsstyrka, om hvars delvisa frånvaro på rent algebraisk grund de konventio- nella (!) räknelagarne och de ända till våra dagar fortsatta disputerna om de negativa qvantiteternas mer eller mindre berättigade plats inom vetenskapen nogsamt bära vittne; än mer, den algebraiska kalkylen, sedd i sitt intima sam- band med en ännu generellare kalkyl, den geometriska, hvarpå de imaginära symbolerna oupphörligt liksom peka, framstår härigenom i ett nytt ljus och med nya resurser att häfva de olägenheter, som ännu vidlåda honom. Tillämpning på trigonometri. 45. Genom att sida med sida multiplicera de två lik- heterna 1« = Cosa + Sin0.7 och 1 c = Cos a — Sin , erhålles 1 = Cos2α + Sin 2α.............(25). Detta multiplikations resultat kan enligt § 38 kon- strueras på följande sätt. Vi låta de två anförda likhe- terna representeras af trianglarna 0BP och CEF (fig. 35). Genom att på OB och BP konstruera med CFE likfor- miga och homologt belägna trianglar OBG och BPG er- hålles vägen OGBGP, hvilken, reducerad till OP som ny grundrigtning förmedelst argumentet —a, ger till resultat OP - OG + GP, d. v. s. 1 = Cos-a + Sin a. 46. Genom att addera och subtrahera de två anförda likheterna erhålles Cosa = *(1.+1-) Sind x = 1(1 .-1 =)0 I fig. 36 representeras le + af vägen 0BP samt 1- 1—« af vägen OBP , hvilka vägar äro respektive lika 213 med 2 Cos a och 2 Sin Qx , då således de af perpendiklarne från B afskurna linierna OC och OD äro Cos a och Sin a, . 47. Om vi sida med sida multiplicera de två likhe- terna l = Cos a + Sin a x och 1g = Cos ß + Sin ß1 , erhålles 1 43 = Cos a Cos ß + Cos a Sin ß+ Sina Cos ßim+ Sina Sin ß,,, hvilken likhet efter projiciering sönderfaller i följande kända formler : Cos (o + ß) = Cos a Cos β - Sin a Sin ß 2 97 Sin (c + ) = Cos a Sin 3 + Sin a Cos β ) Detta multiplikations resultat kan enligt § 38 kon- strueras på följande sätt. Vi låta de två multiplicerade likheterna representeras af trianglarne OBP och CEF (fig. 37). Genom att på OB och BP konstruera med CFE likformiga och homologt belägna trianglar OBG och BPH erhålles vägen OGBHP, hvilken, reducerad till OG som ny grundrigtning förmedelst argumentet ß, ger till resultat OG— GI (GI# HP) i grundrigtningen samt GB + BH i den vinkelräta rigtningen, hvilket öfverensstämmer med formlerna (27). 48. Genom att sida med sida multiplicera likheterna la = Cosα + Sinα,π och 1-B = Cos ß - Sin ß, erhålles 1- = Cos a Cos ß - CosaSinß, + Sin a CosA, , + SinaSinβ, hvaraf de kända formlerna: Cos (a - B) = Cos a Cos ß + Sin a Sin ß ) Sin (a — B) = — Cosa Sin ß + SinaCos β ) Detta multiplikations resultat kan på enahanda sätt konstrueras genom att låta de två multiplicerade likhe- terna representeras af trianglarne OBP och CEF (fig. 38). Man konstruere på OB och BP med CFE likformiga och 14 114 homologt belägna trianglar OBG och BPH, hvaraf erhål- les vägen OGBHP, hvilken, reducerad till OG som ny grundrigtning förmedelst argumentet — ß, ger till resultat OG + HP i grundrigtningen samt — GB + BH i den vin- kelräta rigtningen, hvilket öfverensstämmer med (28). 49. Genom att qvadrera och kubera likheten le = Cos a + Sin C. fås Cos 2a = Cos-a - Sin 2 a 7 Sin 2« = 2 Sin a Cos a ) Cos 3a = Cos3a-3 Cos a Sin2a Sin 3a = 3 Cos a Sin a - Sin3a .....(29), ....(30). Det förra multiplikations resultatet (29) representeras i öfverensstämmelse med (27) af vägarne OG — HP och GH (fig. 39); det senare multiplikations resultatet (30) åter representeras af vägarne OI-KL och IK - LP. Genom att upphöja likheten la = Cos a + Sin C till m‘e dignitet är det på enahanda sätt möjligt att uttrycka Cos ma och Sin m a i digniteter af Cos a och Sina (Moi- vre's teorem). Således är 1, = Cosma + — Cosm—la(Sine, ) +—-----Cosm-2a(Sin a, )2 m(m — 1)(m—2)„ . . + —C— -Cosm-3α(Sιn α. )3 + ..., 1.2.3 k 172 ' hvaraf Cos m.c = Cosma-m(m-Cosm-2 Sina+... ) 1∙2 (31)∙ Sin ma = — Cos"1-1α Cosm-a Sin +... 1 1.2.3 7 Enligt ofvan gifna antydan kunna vi steg för steg ge- nom konstruktion följa denna dignitets utveckling. 50. Genom att qvadrera likheterna (26) erhålles Cos2α = #(an + 2 + 1— 2a) = #(1 + Cos 2u) ) (32) -Sin2a = 4(l2e - 2+1 20) = %(-1+Cos 2c) : 215 Denna qvadrering belyses enligt § 38 genom följan- de konstruktion. Vi låta den förra likheten (26), satt under formen 2 Cos a = 1 + 1—0, representeras in duplo af trianglarne OBP och CEF (fig. 40). Genom att på OB och BP konstruera med CFE likformiga och homologt be- lägna trianglar OBG och BPH fås vägen OP = vägen OGBHP, hvilken likhet, multiplicerad med 2 Cos a, ger till resultat å ena sidan 4 Cos-a och å den andra 12c + 2 + 1 —20 , hvaraf ofvan anförda resultat (32) omedelbart följer. Genom att åter låta den senare likheten (26), satt un- der formen 2 Sin C, = 1 — 1—q, representeras in duplo af trianglarne OBP och CEF (fig. 41) och genom en analog konstruktion fås vägen OP = vägen OGBHP, hvilken lik- het, reducerad till ny grundrigtning 01 förmedelst argu- mentet 1 7 och multiplicerad med 2 Sin a, ger till resultat å ena sidan Sin2a, och å den andra 12c -2 + 1_2, hvaraf ofvan anförda resultat (32) omedelbart följer. Genom att höja likheterna (26) till tredje, fjerde digni- tet etc. kunna vi på enahanda sätt uttrycka tredje, fjerde digniteten etc. af Cos a och Sin a i första digniteten af Cos och Sin för multipla bågar af a. 51. Emedan a = %(a + ß) + %(a — ) och ß = l(a + B) — 1(a - ß), så är lw+l, = 1,(+s) ∙ llxce-e)+1-xu-e)} =l,ca+8)* 2Cos-2(α-β), hvaraf genom projiciering Cos a + Cos ß = 2 Cos 1(a + B) Cos :(a - ß) 7 (33) Sin a + Sin ß = 2 Sin : (a + ß) Cos la - B) ) På samma sätt erhålles 1w-1,= lκα+∕3)∙ ( ¼(α-3)-l-'(w-∕3)5 = l,ccte)-2Sin4(c-p),p> hvaraf genom projiciering Cos a - Cos β = — 2 Sin 1(c + 3) Sin 4(c - ß) ) . : •1 : (..(34). Sin a -Sin β = 2 Cos 2(a + ß) Sin 2(a—B)) 216 De i föreg. §§ 45—51 utvecklade formler utgöra nu den plana trigonometviens grundformier, och vi se, hurule- des denna del af matematiken på ett högst enkelt och na- turligt sätt så att säga framspringer ur den geometriska kalkylens första och enklaste operationer, addition och mul- tiplikation, med dertill hörande konstruktioner.. Tillämpning på triangeln. 52. En triangel ABC (fig. 42), hvars sidor betecknas med a, b, c och vidstående yttre vinklar med a, β, y, re- presenteras, då linien ao eller BC tages till grundrigtning, af följande likhet do + ba + C8+y = 0.................(35). Genom att multiplicera denna likhet med la eller, som är detsamma, genom att reducera henne till AB som ny grundrigtning erhålles likheten Ca + ba+A + Ca+8+7 = 0, hvilken ock kan tecknas au + bu+p +, = 0...................(36), hvaraf följer, att a + A + Y = 27...................(37). Då a + B = B + C = y + A = , så måste A + B + C = π (jfr Eukl. I: 32). Genom att multiplicera likheten (36) med 1y eller re- ducera henne till CA som ny grundrigtning erhålles en analog likhet, hvilken vi lemna åsido såsom obehöflig vid våra deduktioner. 53. Genom att taga de vinkelräta projektionerna af (35) och (36) erhålles b Sin β + c Sin (3 + y) = 0 och a Sin a + b Sin (a + ß) = 0, hvilka likheter, efter utbyte enligt (37) af ß + y och a + β mot respektive 2r - a och 2/ - γ, kunna sättas under formen 217 ab c ι 720 Sin y SinSin ß 00 der 2 är en gemensam beteckning för de lika qvoterna. 54. Genom att sätta (35) under formen a, = 1g.(00 + Cy) erhålles enligt §§ 40 och 41 a2 = b2+c2 + 2bc Cos y samt - c Sin y 7 - = arcte 7• 0 T C UOS 7 Analoga formler erhållas för de öfriga sidorna och vinklarne. Likaledes genom att sätta (36) under formen ax+a = 18-Qa + c—p), erhålles ■ - b Sin a — c Sin 3 +-P - aret 8 o Cos a+c Cos ß Sin«-Sin - 8 2 = arctg g.—— .—- [enligt (38) ]. Sin a Cos a + Sin ß Cos ß 55. Genom att multiplicera (36) med 1 4( + 8) fås ^(α-^) + ⅛(α + ^) + C-K(.+0) = 0, hvaraf genom projiciering a Cos 1(a - 3) + (5 + c) Cos N(a + ß) = 0, a Sin $ (a - 3) + (b-c) Sin %(a + 3) = 0, eller ock omedelbart enligt § 41 z + 1(a - B) = arctg o + e tg 1 c + B) ....(39). Vi kunna genom konstruktion belysa dessa formler på följande sätt. Låt ABC (fig. 43) vara den af likheten (36) representerade triangeln, hänförd till AB som grundrigt- ning; tag vidare A till medelpunkt och rita en halfcirkel DCE, förena DC och drag DF//BC. A BDC bevisas 218 nu lätteligen vara = 1 a + B) (jfr sid. 69), då således en multiplikation med 1 (a 4+) innebär en reduktion från AB till DC som ny grundrigtning, med hvilken rigtning såle- des sidorna a, b,c bilda resp, vinklarne 4(a-B)[= A FDC], 1(a + ß) och —⅛(α + ß). I öfverensstämmelse med den tri- gonom. satsen på sid. 69 ha vi således c-6 _ FCC tg K(a—B) e + b - EC tg[n - :(a + ß)] ’ hvilken formel öfverensstämmer med (39). Vi se således, huruledes vi, genom denna enkla ope- ration på triangelns likhet (36) [multipl. med 1 4(2+€)], omedelbart hänvisas till den å sid. 69 gifna konstruktionen på »den tredje triangelhändelsen», hvilken konstruktion utan tvifvel är den enklast möjliga. Genom att multiplicera (36) med 1,y erhålles med stöd af (37) Ca+4y + 6—4y + Cly = 0, hvaraf enligt § 41 , e — b y T0 + C + : = arctg 0+6 t 2, hvilken formel för »tredje händelsen» omedelbart ger vär- det på a samt belyses i enlighet med föregående af fig. 43, enär den nya grundrigtningen AG (bisektricen till y) är DO. 56. Det skulle nu stå oss öppet att ur (35) härleda nya trigonometriska relationer för triangeln likasom ock att ur likheten för en månghörning i allmänhet härleda de för honom gällande trigonometriska samband mellan sidor och vinklar; men vi vilja stadna vid de redan gifna antyd- ningarna, öfverlemnande åt läsaren att på den geometriska kalkylens hittills lagda grunder bygga de utvecklingar, som för honom kunna vara af något intresse. 219 Tillämpning på analytisk geometri. Koordinat-transformation en. 57. Transformation från ett rätvinkligt till ett annat rätvinkligt system. — Om en punkt P (fig. 44), hänförd till O som origo och OA som grundrigtning och bestämd af de rätvinkliga koordinaterna 0A = § och AP = 1, hänfö- res till en ny grundrigtning OB, från hvilken den gamla grundrigtningen bestämmes af A a, så finnes följande sam- band mellan punktens nya rätvinkliga koordinater 0B = hvaraf momenteqvationen — aA = æ Y— yX............(46). 223 Momentet af en kraft, som söker åstadkomma en vrid- ning motsols såsom i den förra momenteqvationen har der- före positiv karakter, då deremot momentet af en kraft, som söker åstadkomma en vridning medsols såsom i den senare momenteqvation, har negativ karakter. På grund af de i denna och föreg. § framstälda sat- ser kunna vi nu med tillhjelp af den geometriska kalkylen utveckla alla de mekaniska lagar, som gälla för krafter i planet. (Forts.) AFDELNING III* Om meteorologiska iakttagelser och den Theorell- ska registreringsapparaten vid Upsala Ob- servatorium. Af Rob. THALÉN. Inom meteorologien, liksom inom hvarje annan empirisk vetenskap, måste man för att erhålla tillförlitliga resultat underkasta sig mödan att samla så många och så noggranna observationer som möjligt. Sjelfva arbetet vid observatio- nernas anställande är dock för meteorologen förknippadt med en mängd svårigheter, som vanligen icke förekomma inom närslägtade vetenskaper. Under det att fysikern i sitt uppvärmda kabinet kan i all sköns ro anställa sina experiment, då tid och öfriga omständigheter synas honora dertill lämpliga, och genom ändamålsenliga anordningar af sina undersökningar framtvinga direkta svar på sina frå- * Figuren 32 å taflan IV hörer till den, sid. 181, beskrifna luft- pumpen af Deleuil. 224 gor, nödgas deremot meteorologen göra sina iakttagelser på förut bestämda tider och låta dem oafbrutet fortgå natt och dag, hela året om, efter den en gång utstakade pla- nen. Han får dervid icke sky hvarken regn eller snö, storm eller köld, och vågar knapt någon enda gång undandraga sig sitt arbete af fruktan för, att det just under hans frånvaro skulle kunna inträffa något egendomligt fenomen, som borde tillvaratagas, eller vid hvars tolkning hans ob- servationer kunde vara upplysande. Det ligger för öfrigt i sakens natur, att meteorologen vid studiet af de atmosfe- riska fenomenen icke kan ändra något af de vilkor, under hvilka de uppenbara sig, utan är inskränkt till att endast med sina observationer följa dem, och att detta måste ske i den ordning, fenomenen sjelfmant visa sig. När det nu är hans uppgift att lära känna de förän- dringar, som oupphörligen försiggå i luftens tryck, tempe- ratur, rörelse, fuktighetstillstånd, nederbörd och elektriska beskaffenhet, m. fl., och han för den skull samtidigt och oafbrutet, på det sätt vi redan nämnt, måste observera en mängd olika instrument, såsom barometer, termometer, anenometer, psychrometer, udometer, elektrometer, m. m., så inses genast, att en enda persons krafter omöjligen kunna vara tillräckliga för ett sådant Herkules-arbete. Enda möj- liga sättet för åvägabringandet af dylika sammanhängande observationer är antingen att fördela arbetet mellan en mängd personer, hvilket åter i ett fattigt land, som ej för- mår aflöna en stor observationspersonal, förutsätter ett all- männare intresse hos frivilliga deltagare, än man kan vänta med afseende på de i sig sjelfva just ej så synnerligen uppbyggliga meteorologiska iakttagelserna; eller ock att an- förtro observationsgöromålen åt apparater, hvilka i följd af sin noggranna konstruktion kunna fullständigt ersätta en intelligent observatörs arbeten. Visserligen hafva vi här i Upsala nyligen sett, att bland den akademiska ungdomen ett dylikt intresse verkligen före- funnits, äfvensom att detsamma för utförandet af de meteoro- 225 logiska tiπιobservationerna, kunnat oafbrutet under en sa lång tid som utöfver fulla tre år tagas i anspråk, nämnligen från den 30 Maj 1865 till den 9 Aug. 1868; men detta förhål- lande, hvilket härstädes visserligen icke står alldeles en- staka*, måste väl i allmänhet anses såsom exceptionelt för universitetsstäder. Och måhända vi, utan att stöta någon bland de 125 deltagarne i detta berömvärda arbete, kunna våga antaga, att det gynsamma resultatet ändock bör till hufvudsakligaste delen tillskrifvas den outtröttliga ihärdig- het, med hvilken D:r Rubenson förmått leda företaget från dess början allt intill dess slut, och det på ett så förtjenst- fullt sätt, att af de omkring 28,000 timobservationerna å hvarje särskildt instrument nästan ingen enda gått förlorad eller måst såsom oduglig kasseras. Sådana noggranna iakttagelser af de atmosferiska fe- nomenen, som vi nyss omnämnt, jemte observationernas beräkning, äro ur flere synpunkter att anse såsom en sär- deles nyttig sysselsättning för den kunskapsökande ungdo- men. Och att samma uppfattning gjort sig gällande äfven på andra orter, visar sig deraf, att det nyligen lärer inom de franska skolorna blifvit den studerande ungdomen ålagdt att öfva sig i dylika arbeten. Hvilken stor vinst bör kunna påräknas af många personers deltagande i de meteorologi- ska studierna, vare sig inom skolan eller vid universitetet, är äfven lätt att inse. Ty först och främst kommer på detta sätt en väl behöflig kunskap i meteorologien att spri- das bland allmänheten, hvilket åtminstone med tiden bör kunna blifva en hälsosam motvigt mot de rent af befängda åsigter om orsakerna till de atmosferiska fenomenen, som * De jordmagnetiska observationerna enligt Gauss’s system, som att börja med under flera och sedermera under fyra terminer om året hvar femte minut anstäldes härstädes från 1836 till 1852, utfördes un- der Prof. G. Svanbergs ledning till största delen af äldre studerande vid universitetet. (Nämnda observationer publicerades årligen af Gauss och Weber i tidskriften: Re iltate aus den Beobachtungen des ma- gnetischen Vereins, så länge denna tidskrift utkom.) 226 nu så ofta göra sig gällande. Vidare, och med särskildt afseende fästadt på vårt vidsträckta land, bör det ofvan— nämnda intresset för meteorologisk verksamhet blifva frukt- bringande äfven för vetenskapen sjelf, derigenom nämnligen att tillförlitliga iakttagelser från olika orter framdeles kunna med lätthet anskaffas, en fördel så stor med hänsyn till den moderna meteorologiens nuvarande riktning, att den icke kan nog högt uppskattas. Men oaktadt det således både för enskildt och allmänt gagn är högeligen att önska, att tillfälle till undervisning i denna vetenskap såsom sär- skildt läroämne måtte fortfarande beredas de studerande vid universitetet, synes oss likväl den förändring för fram- tiden böra ega rum, att sjelfva arbetssättet eller formen för undervisningens meddelande göres mindre betungande såväl för observatörerna som för den person, hvilken skall öfvervaka deras arbete. Vi kunna derföre icke annat än gilla den redan vidtagna åtgärden, att medelst sjelfregistre- rande instrument till hufvudsaklig del * söka vinna sam- ma resultat, som timobservationerna hittills afsett. Det hade också sedan lång tid tillbaka varit påtänkt att vid Upsala observatorium införa sjelfregistrering för meteorologiskt behof, men svårigheten var att göra ett godt val bland den mängd apparater, som för närvarande verk- ligen finnas i bruk vid flere af de större meteorologiska anstalterna inom Europa. De för ifrågavarande ändamål hittills inventerade ap- paraterna kunna grupperas i två hufvudklasser : de fotogra- fiska och de mekaniska. Till den förra klassen höra de i Greenwich, Oxford och Kew begagnade; de i München och Rom deremot till den senare, till hvilken sistnämnda grupp äfven hörer den af Docenten Theorell konstruerade appa- * Det gifves nämnligen en mängd atmosferiska fenomen af den art, att de svårligen kunna iakttagas annat än genom observatörens per- sonliga uppfattning. Dit räkna vi förnämligast de optiska fenomenen, såsom vädersolar, regnbågar, norrsken, zodiakalljus, luftens polarisa- tion, himmelens och molnens utseende m. m. 227 rat, som vid Upsala observatorium blifvit antagen och der sedan Augusti månads början arbetar. Vi skola i det föl- jande, så långt utrymmet medgifver, söka att i allmänna drag lemna en beskrifning på densamma. Theorells registreringsapparaf. Denna apparat registrerar angifvelserna hos barometern och två termometrar, af hvilka den ena har torr, den an- dra fuktig kula, och denna registrering verkställes medelst elektricitet. Hvart och ett af dessa tre instrument står nämnligen genom sin qvicksilfvermassa i ledande förbindelse med en galvanisk stapel, derigenom att en i glasväggen in- lödd platinatråd blifvit förenad med stapelns ena pol. Eme- dan barometern är en vanlig häfvarebarometer, och dess rör således har formen af ett U, samt termometerrören äro i sin öfra ända öppna, inses omedelbart, att om man i nå- got af dessa rör nedsänker den andra poltråden från sta- peln, så sker strömslutning i samma ögonblick, som denna poltråd kommer i metallisk beröring med qvicksilfverytan *. Den sålunda alstrade strömmen genomlöper nu en elektro- magnet, hvilken medelst ett stift vid sitt rörliga ankare inhugger ett märke i det papper, som bekläder ytan på en med konstant hastighet roterande cylinder. Om man så vill, kan denna del af apparaten liknas vid en vanlig elek- trisk telegraf af Morses konstruktion; telegrafnyckeln skulle då föreställas genom den rörliga poltråden, skrifapparaten genom den här befintliga elektiomagneten och den löpande pappersrimsan genom cylinderns med papper beklädda yta. Ifall elektromagneten ständigt stode stilla, skulle de på papperet inhuggna märkena naturligtvis komma att bilda en rät linie, af hvilkas lägen man dock icke kunde sluta något * Engelske fysikern Wheatstone har först föreslagit denna metod för registrering af temperaturen, och pater Secchi i Rom har äfven för detta ändamål användt densamma i sin meteorograf, 228 till instrumentens angifvelser. Vore magneten deremot rörlig i vertikal led och parallelt således med cylinderns rotations- axel, såsom verkligen är händelsen, samt denna rörelse vore liktidig och lika stor med rörelsen hos den poltråd, som nedfördes till qvicksilfret, så måste märket tydligtvis kom- ma att inhuggas högre upp eller lägre ned på papperet, alltefter qvicksilfverpelarens egen större eller mindre höjd i röret. I följd af dessa båda mot hvarandra vinkelräta rö- relser hos cylindern och magneten komma märkena att ligga på en mer eller mindre komplicerad kroklinie, och deras afstånd från någon rät linie såsom utgångspunkt (abskiss- axel) måste då direkt angifva instrumentens stånd vid re- gistreringsögonblicken. För åstadkommandet af denna samtidiga och lika stora rörelse hos poltråden och elektromagneten, ha de blifvit fästade i hvar sin ända af en likarmad häfstång, liknande en vanlig vågbalans, så att, då den ena rör sig t. ex. en decimallinie nedåt, den andra går ett fullkomligt lika långt stycke uppåt. Ville man mångdubbla den enas väg i för- hållande till den andras, så behöfde man, såsom sjelfklart är, endast förändra förhållandet mellan längderna hos häf- stängernas armar, och detta har här verkligen skett vid barometern, emedan nivåändringarne, som der i allmänhet äro synnerligen små, väl behöfva för afläsningens under- lättande förstoras vid registreringen. Af apparaten erfordras för undvikandet af åtskilliga olägenheter, hvilka det blefve för omständligt att här be- skrifva, att den nedgående poltråden ej får doppa sin änd- punkt djupt under qvicksilfverytan, utan tvärtom ögonblick- ligen stadnar, så snart kontakt dem emellan egt rum, och strömmen således blifvit sluten. Huru detta skall verkstäl- las, inses lätt, då man först erinrar sig, att magneten, häf- stången och poltråden bilda ett sammanhängande system och således samtidigt hejdas i sin rörelse, samt vidare att magneten medelst en sena fasthänger vid ett med 229 ett löpverk A (fig. 49)* förenad hjul, hvilket löpverk i sin tur regleras af den elektriska strömmen. Ty denna löper ej blott genom det meteorologiska instrumentet och den rörliga magneten, utan äfven genom en fix elektro- magnet, hvars ankare vid strömslutningen spärrar nyss- nämnda löpverk och dermed äfven allt, som med detta står i förening. Sedan registreringen på det ofvan angifna sättet för- siggått, skall häfstången vickas tillbaka för att vara i ord- ning till nästa observation. Men innan detta får ske, må- ste ytterligare en sak iakttagas. Då poltråden utgår ur det meteorologiska instrumentets qvicksilfvermassa, skulle un- der vanliga förhållanden strömmen afbrytas, och en elek- trisk gnista der uppstå, hvaraf den olägenheten dock blefve en nödvändig följd, att qvicksilfverytan vid metallens för- bränning skulle förorenas, och strömslutningen således med tiden omöjliggöras. För att hindra detta, afbrytes derför strömmen på annat ställe i ledningen, innan poltråden hun- nit lemna qvicksilfret i instrumentet, och detta sker helt enkelt derigenom, att den fixa magneten får upplyfta en liten hake h, hvars spets varit neddoppad i en med qvick- silfver fyld och i strömbanan insatt kopp. Någon gnistbild- ning eger derför aldrig rum i det meteorologiska instru- mentet, och deri ligger kanske ett af de största företrä- dena hos denna apparat framför de närslägtade. Den tillbakagående rörelsen hos häfstången åstadkom-' mes genom samma hjul, som ofvan sades uppbära den rör- liga magnetens sena s. Men hjulet, som förut rört sig i en led, har nu blifvit utlöst från löpverket A och deremot koppladt vid ett annat i motsatt led gående löpverk B, hvilket frigjordes i samma ögonblick och genom samma fixa magnet, som det förra stadnades. * Ehuru den bifogade schematiska figuren på intet vis gör an- språk på att vara en afbild af apparaten i dess närvarande form, torde den likväl för läsaren kunna vara tjenlig för bibringandet af ett unge- färligt begrepp om det sätt, hvarpå apparaten opererar. 15 230 För lättare öfversigt skola vi nu, innan vi gå vidare, sammanfatta det redan sagda. Vid hvart och . ett af de tre instrumenten förekommer en vickning hos häfstången, först åt ena sidan, dä poltråden nedföres i qvicksilfret, och se- dan åt den andra, då han derifrån uppdrages. Dessa båda, af livar sitt löpverk åstadkomna, rörelser medföra dess- utom en samtidig upp- eller nedgående rörelse hos elektro- magneten. På mellantiden mellan dessa båda rörelser, just i det ögonblick då strömmen slutes, hugger den rörliga magneten sitt märke i papperet, medan den fixa afbryter strömmen samt ej blott stoppar det ena löpverket, utan äf- ven frigör det andra. Det återstår för oss att nämna, att apparaten är för- sedd med ett urverk, som håller cylindern i jemn rörelse och derjemte på vissa förutbestämda tidsögonblick genom tryck med sina minutvisare mot en spärrande fjederhake / lössläpper en lättrörlig balans, hvilken i sin ordning vid hvarje observations början frigör det vid poltrådens nedgå- ende rörelse verksamma löpverket A. Enär uret har sex på lika afstånd från hvarandra stälda minutvisare, kommer hvarje instrument således att afläsas hvar 10:de minut, hvilket utan tvifvel är för behofvet mer än tillräckligt, synnerligast som noggrannheten hos observationerna synes vara särdeles tillfredsställande *. Vid slutet af hvarje observation vickas barometern åt sidan och återföres derifrån till sitt lodräta läge några mi- nuter före nästa observations början. Afsigten med denna skakning på barometern är den, att qvicksilfrets adhesion vid kärlväggarne hos instrumentet ej skall menligt inverka på barometerns angifvelser. På det att regn och snö ej må intränga i de öppna * I förbigående må anmärkas, att jemförelser mellan apparatens an- gifvelser och direkta observationer vissa tider på dagen anställas, för att derigenom dels utöfva en nödvändig kontroll öfver apparatens gång, dels erhålla säkra utgångspunkter vid observationernas afläsning å cy- lindern. 231 termometerrören, äro de öfre delarne af dessa instru- ment instängda i ett snart sagdt lufttätt skåp af zink, hvilket derjemte skyddar häfstängerna och poltrådarne vid deras rörelser från den perturberande verkan, blåsten eljest skulle utöfva. Allt detta är nu särdeles enkelt, och apparaten skulle ej heller behöft något tillägg, derest man åt hvart och ett af de tre instrumenten velat anskaffa ej blott, såsom nu verkligen är händelsen, en särskild häfstång, poltråd och rörlig elektromagnet, utan derjemte två löpverk, så- dana som de redan nämnda, förutom särskild ström och fix magnet. Men detta hade naturligtvis varit ett allt för stort slöseri. Apparaten inrättades derför på det sätt, att de båda löpverken successivt få tjenstgöra vid hvart och ett af de tre instrumenten, och härpå beror det, att appa- raten i sitt närvarande skick förefaller åskådaren temligen komplicerad. Små förändringar eller omställningar måste nämnligen oafbrutet försiggå i hjulverket, ett sorts vakt- ombyte skall der ega rum, hvarigenom den fram- och åter- gående rörelsen kommer att repeteras hos hvarje häfstång, och strömmen att inledas just i den elektromagnet, som för tillfället skall arbeta. Visserligen kunna vi nämna, att dessa operationer verkställas genom löpverket B och dess tillbehör. Men skulle vi fullständigt beskrifva hela den vidlyftiga meka- nism, som i apparaten verkligen förefinnes, nödgades vi trötta läsaren med redogörelsen för en mängd häfstänger, muffhjul, kuggar, fjedrar, nabbar, hakar och excenterskif- vor m. m., hvilka gripa in i hvarandra och utföra en mängd komplicerade rörelser. Och emedan det sannolikt icke skulle lyckas oss att utan tillhjelp af fullständiga teckningar gifva annat än en ofullständig idé om beskaffenheten hos denna del af apparaten, få vi i stället hänvisa dem, som intres- sera sig för ett detaljeradt studium häraf, antingen till 232 sjelfva apparaten, eller till Hr Theorells egen derå lemnade beskrifning *. Dessa rent mekaniska anordningar äro för öfrigt i sin närvarande form icke helt och hållet väsendtliga för regi- streringsapparaten, utan skulle möjligen ännu kunna be- tydligt förenklas. Redan det, att jemte uret begagna två löpverk, är, enligt Hr T:s egen utsago, nära nog två löp- verk för mycket, men dylika förändringar och förbättringar komma nog med tiden, om Hr T. blir satt i tillfälle att ytterligare leda utförandet af dylika apparater. Hittills har Hr T. låtit förfärdiga fyra apparater af ungefärligen enahanda beskaffenhet, nämnligen hvar sin för de meteorologiska stationerna i Stockholm, Köpenhamn och Upsala **, samt ett exemplar för expositionerna 1866 i Stockholm och 1867 i Paris, hvilket vid båda dessa till- fällen förskaffat honom prismedaljer. * K. Vet. Akad:s Handl. Stockh. 1868. ** Den vigtigaste olikheten mellan de för Köpenhamn och Upsala konstruerade apparaterna består i formen på de till termometrarna hö- rande häfstängerna. I Upsala befinna sig dessa instrument jemte den omgifvande skyddande buren på temligen stort afstånd från väggarne af den observationslokal, inom hvilken registreringsapparaten är uppstäld, hvarför häfstängerna hafva erhållit följande form: - Hela denna häfstång befinner sig i horizontalplanet. Vickningen försiggår kring längdriktningen hos stången aa', och i hvar sin af punk- terna b och c hafva poltråden och elektromagneten blifvit placerade. 233 AFDELNING IV. Anmälan af tio stycken räkneböcker. 1. Elowson. Elementarlärobok i aritmetik. Upsala 1868. Schultz. 289 sidd. Inb. 2 rdr. 2. Svenson. Räknelära enligt den algebraiska metoden med bihang. . Kongsbacka 1867. Zachrisson. 68 och 24 sidd. 1,50. 3. Ljungzell. Räknetabeller. Stockholm 1865. 66 sidd. 4. Wiemer. Första grunderna i räkneläran. Kalmar 1866. 98 sidd. 0,60. ------------Exempel för öfning i arithmetik. Kalmar 1866. 56 sidd. 0,40. 5. Smedberg. Skolarithmetik, omfattande så väl muntlig som skrift- lig räkning. Förra kursen. Stockholm 1868. Samson oeh Wallin. 244 sidd. Inb. 1,75. 6. Gederblom. Exempel till arithmetiken, algebran och plana tri- gonometrien. Första häftet. Arithmetik. Lund 1868. Glee- rup. 93 sidd. . 7. Guldberg. Opgaveri praktisk regning. Christiania 1865. 46 sidd. 8. Nordlund. Räkneöfningsexempel för skolor uppstälda med afse- ende på den heuristiska metodens användande. Häftet I. hela tal. 56 sidd. Häftet II. Bråk. 46 sidd. Stockholm. Inb. 0,80. 9. Sievers. Första öfningsboken i räkning. Stockholm 1867. See- ligmann. 138 sidd. Inb. 0,85. 10. Hansen. Billed-regnebog for smaaborn. Kjobenh. 1868. Schu- bothe. 32 sidd. 8 sk. En blick på ofvanstående nästan samtidigt utgifna arbeten i samma ämne är lärorik i flere afseenden. Deras mängd visar, att sådana böc- ker äro en kurant vara, något som litet hvar behöfver. Ar 1867 ut- 234 komme icke mindre än 13 räkneböcker *. På hela 1600-talet utgåfvos knappt flere. På hundra år kommo då i dagen ungefär lika många som nu på ett år. Enligt denna beräkning skulle bildningen 0 Sverige nu vara 100 gånger så stor som för två hundra år sedan. Ean behöf- ver dock ej gå så långt tillbaka för att finna detta anta" (13) stort. Endast för ett eller tvenne tiotal år sedan var utgifvandet af en arit- metik visst ingenting vanligt. I hela riket hade man nog af en enda lärobok i detta ämne — Zweigbergks lärobok i räknekonsten. Den ansågs oöfverträfflig, föreskrefs för examina och fordras ännu i dag för åtskilliga sådana **. Denna oerhörda framgång *** kan ej förklaras af annat än deraf, att boken var skrifven enligt den tidens pedagogiska grundsats, att den räknemetod är bäst, som lär att med min- sta ansträngning af tanken uträkna ett problem. Derföre hette det t. ex. vid division i bråk: * vänd upp och ned på divisorn « o. s. v.; vid regula de tri: «sätt orsakerna i första och andra rummet samt verkningarne i tredje och fjerde« m. m. På hvarje räknesätt följde en massa exempel. Om man begrep förfaringssättet, betydde föga. Huf- vudsaken var att svaren på alla exemplen blefvo rigtiga och att räknin- gen var vig. En examen efter denna metod utföll ock vanligen mycket lysande. De mest invecklade exempel på sammansatt regula de tri lö- stes med största lätthet. Men “allt är ej guld som glimmar«. Hvad hände? Denne yngling, som nyss visat sig kunna räkna de svåraste exempel, fastnade, då han kom ut i lifvet. Här behöfde han en gång söka, hvad 4 af 12 rdr ut- gjorde. Nu skulle han anlita sina aritmetiska insigter. Första tanken var: « hvad räknesätt skall jag använda? « Instinkten sade honom: «na- turligtvis division, ty de 12 riksdalerna skola sönderdelas.« Alltså: vänd upp och ned divisorn o. s. v. Han räknade enligt sin regel och fick till svar: 16 rdr. Vi vilje hoppas, att hans förstånd slutligen ledde honom rätt. Säkert är dock, att han ej hade den i räkneboken följda metoden att tacka derför, om han lyckades. Detta ledsamma resultat framkallade slutligen mot hela metoden en protest, hvilken först framträdde i Ot- terströms i satirisk ton hållna räknebok och sedan fortsattes i Ny- ströms, Bergii, Siljeströms m. fl. räkneböcker. Ofvanstående tio arbeten äro samtlige också en protest mot samma metod. Numera är man allmänt öfverens derom, att man bör begripa, hvad man lär. Men ändock finnas stora skiljaktigheter i läroböckerna, ytterst härflytande af tvenne olika åsigter om den aritmetiska undervisningens ändamål. Enligt den ena åsigten har den aritmetiska undervisningen till mål * Se sista sidan af denna tidskrifts andra häfte. ** T. ex. för inträde till farmacevtiska institutet. *** I fjol utkom 22:a upplagan af denna lärobok. att lära eleven klart inse lagarne för de aritmetiska operationerna. Lärjungen är här företrädesvis receptiv. Enligt den andra åsigten bör den aritmetiska undervisningen afse att utbilda elevens förmåga af tankearbete på aritmetiska uppgifter och derigenom indirekt äfven på frågor inom öfriga delar af mensklig forskning. Här är lärjungen mera produktiv. I läroböcker hörande till den förra ståndpunkten framställes regeln färdig genast, och beviset kommer efteråt. Sedan eleven fått regeln bevisad, räknar han mekaniskt. I lärobocker, som stå på senare stånd- punkten, går man från enklare till lättare exempel, tills man finner re- geln. Exemplen vexla ofta, för att lärjungen ständigt skall tvingas till eftertanke. Förnämste representanten bland våra tio här i fråga varande författare för den förra åsigten är Elowson, till hvilken ock Svenson sy- nes ansluta sig. I spetsen för den andra åsigten stå Nordlund och Ce- derblom. Med dem stå Guldberg, Sievers, Hansen och Ljungzell i för- bund. Förmedlande mellan båda stå Wiemer och Smedberg. För vår del ansluta vi oss obetingadt till den åsigten, som anser tankeverksam- heten för hufvudsaken, alldenstund detta är skolans syfte i allmänhet. Vid akademien eller vid de högre klasserna af elementarskolan anse vi deremot att äfven den andra metoden kan komma i fråga. — Med un- dantag af Elowsons och Smedbergs läroböcker hafva alla de öfriga den stora förtjensten att vara korta. Efter denna allmänna öfversigt gå vi att yttra några ord om hvarje arbete särskildt. 1. Elowsons aritmetik. Såsom vi nyss antydt, anse vi denna bok, tagen i sin helhet, vara skrifven för ynglingar på ett högre stadium, alldenstund alla räknelagar framställas i vidlyftiga regler, hvilka sedan strängt bevisas på grund af föregående definitioner, och emedan tillika förf, ofta rör sig med vidlyf- tiga tal, hvilket allt förutsätter en mognare'ålder. Visserligen säger E., att man ej skall förelägga ynglingen eller barnet de större talen, innan det lärt sig fatta dem. Men sjelf följer dock E. i sin lärobok ej denna grundsats. Se t. ex. sidan 48. Härmed vilja vi ej förneka, att delar af boken, t. ex. hufvudräkningsexemplen passa för lägre stadier. E:s bok är temligen fullständig. Den sönderfaller i tvenne delar, en teoretisk del, läran om hela tal och bråk, samt en praktisk del, utgörande tillämpning af den förra delen på sorter, regula de tri, bo- lags-, intresse-, alligationsräkning m. m., allt åtföljdt af en synnerligen rik exempelsamling. För att gifva ett begrepp om den noggrannhet och fullständighet, som E. iakttager, vilja vi framhålla ett par af de satser, som han bevisar vid division i enkla tal: 236 «Om vid multiplikation den ena faktorn multipliceras eller divideras med ett tal, så blir derigenom produkten så många gånger större eller mindre som det multiplicerande eller dividerande talet innehåller enheter. Om vid multiplikation den ena faktorn multipliceras och den andra divideras med ett och samma tal, så blir produkten oförändrad.« Teorien för största gemensamma divisorn, för tals delbarhet, m. m. allt har blifvit fullständigt framstäldt med bevis. Regula de tri-frågor löser förf, medelst analogier, sedan han förut bevisat, att produkten af de yttersta är lika med produkten af de medlersta, och sedan han redo- gjort för sammansatta och omvända förhållanden. Han tillägger dock, att hithörande exempel äfven kunna räknas ut derigenom, att man verk- ställer de räkneoperationer, som betingas af sambandet mellan de tre gifna och den sökta, samt att det för nybörjaren är bäst att göra på båda sätten. Särskildt stå vi i förbindelse till förf, derföre, att han gjort klart, hvad det menas med att en storhet är proportionel mot en annan. Obe- kantskapen med denna punkt hindrar ofta nybörjare att förstå fysiska och astronomiska skrifter. I den rikhaltiga exempelsamlingen finnas bland annat exempel an- gående de i de dagliga tidningarne förekommande börsuttrycken: «fran- ska 3-procentsräntan noteras 70, engelska consols 80 < o. s. v. I följande punkter dela vi ej förf:ns åsigter. 1. Förf, har på division följande definition: «division är det räkne- sätt, som användes, då man vill dela ett gifvet tal uti ett uppgifvet antal lika delar; (eller division är det räknesätt, som användes för att finna, huru många gånger ett tal är större än ett annat; eller slutligen division är det räknesätt, som användes för att finna, huru många gan- ger ett tal innehålles uti ett annat.< Af detta skulle en nybörjare tro, antingen att divisionen användes vid tre olika slag af räknefrågor eller ock vid endast ett slag af sådana, ehuru man kan betrakta dem på tre olika sätt eller åtminstone uttrycka dem på tre olika sätt. Nu äro, som bekant, de till division hörande uppgifter af tvåfaldig natur: antingen skall man dela ett gifvet tal i ett visst antal lika stora delar, eller ock skall man undersöka, huru många gånger ett gifvet tal innehålles i ett annat gifvet tal. Dessa båda slag, hvilka aldrig kunna sammanblandas, har förf, också mycket rigtigt an- fört i de två första momenten. Det tredje momentet i förf:s definition är blott ett bättre sätt att uttrycka det andra. Men att så uppfatta definitionen är ej gerna möjligt för den som läser den samma. Divisio- nens dubbla natur blir klar af följande enkla exempel: 12 rdr är lika med 4 gånger 3 rdr. I denna af tre storheter bestående likhet kunna två vara gifna och den tredje obekant. Äro storheterna 4 och 3 rdr gifna, och man vill 237 söka, livad 4 gånger 3 rdr är, har man multiplikation. Är deremot 12 rdr och endera af de öfriga gifna, har man division. Då 12 rdr och ta- 9 let 4 äro gifna, d. v. s. då man vill dela 12 rdr i 4 lika delar, har man division af första slaget; är deremot 12 rdr och 3 rdr gifna, d. v. s. då 7 man söker huru många gånger 3 rdr innehålles i 12 rdr, har man det andra slaget af division. På grund af denna åtskilnad anse vi förf:ns påstående sid. 39 «egent- ligen är division ingenting annat än en upprepad subtraktion « behöfva något förändras. Detta påstående är nämnligen sannt endast för det - senare slaget af division. Ty tag exemplet: 2, 4, 6, 8 » 3, 5, 7. » » » 194, , 1 » » Schön » Schrön. » » » 13 , , Ulle , Ule. AFDELNING I. Svenska aritmetikens historia. Af F. W. HULTMAN. (Forts, fr. sid. 154). 3. Aegidius AURELIUS*, Upsal. Af denna aritmetik hafva utkommit åtminstone 8 upp- lagor, en på latin och 7 på svenska. Den första har till titel: Arithmetica practicæ libri duo, studio et opera Aeg. Aurelii Upsal., quibus isagoge numeri figurati, logistices sexagenariæ, praxis italicæ ad scientiam motuum coelestium necessariæ adjecta est; nec non quæstiunculæ variæ, quibus tara integrorum quam fractorum numerorum usus exacte * Ur Biografiskt lexikon meddela vi följande om denne man: Vi känna om denne för sin tid märklige skriftställare blott det, att han var uppsaliensare, blef först rector scholæ i Upsala, sedan syndi- cus i Stockholm. Han synes ha lefvat under Johan III:s, Sigismunds, Karl IX:s, Gustaf Adolfs och Kristinas, kanske in i Karl Gustafs rege- ringstider. Hans arbeten utgöra hufvudsakligen värderade läroböcker från och med 1614 till och med 1647; de omfattade flere undervisningsgre- nar, såsom aritmetik, retorik, grammatik och religion. I afseende på den sist nämnda synes han aktat uppbyggelsen mer än begreppsinskärp- ningen. Hans utgifna arbeten äro: 1. Arithmetica, minst 8 upplagor (1614—1705), tryckta 5 i Up- sala, 2 i Stockholm och en i Strengnäs. 16 246 ostenditur. Ups. 1614. Deraf utkom en öfversättning i Upsala samma år. Der utkommo ock upplagorna af 1628*, 1633 och 1642. • Upplagan af år 1655 är utgifven i Stock- holm, den af år 1671 i Strengnäs samt den af 1705 (ut- gifven af Joh. Fr. Ulrik) i Stockholm. De fem upplagorna af åren 1633—1705 hafva till titel: Arithmetica eller Räk- nebook, medh heele och brutne Taal, på nytt öfuersedd och medh lustige och sköne Exempel förbättrat af Aeg. Aure- lius Holmens. Secret. 11 ark 8:0 utan paginering. Alla hafva de på titelbladet följande motto på dåliga hexame- trar : Ad Oedipum. Ter.tria sunt septem, septem sex, sex quoque tres sunt: Octo dant quatuor: quatuor faciunt tibi septem. Hæc bene si numeres, faciunt tibi milia quinque **. 2. Audomaci Talai Rhetorica Bamæa. Sthlm 1615 (troligen enligt. Petri Rami föreläsningar). 3. Then Tydska Theologia försvenskat. Upps. 1617 (med Luthers ? företal). 4. Grammatica Tideri, aucta appendice syntaxeos et prosodiæ . Stockh. 1635. 5. K. David Penitenz eller the 7 Penitenzpsalmerna. Stockholm } 1620 och 1640. 6. Barna Biblia. Stockholm 1642. Synes ock ha blifvit utgifven ■ på latin, tyska och finska. 4 7. Calendarium novum oeconomicum 1644—64 (om Gudi täckes , med verldens ände så länge fördröja), til Stockholms horizont • / stält. . 8. Phosphorus, thet är: En rätt Leedsagare til then sanna Chri- stendomen. Stockh. 1647. * Upplagan 1628 finnes på Skara bibliotek. Denna upplaga, upp- lagorna af 1655 och 1671, äfvensom de båda af år 1614 har jag al- drig sett. De tre öfriga upplagorna deremot har jag studerat på-K. bi- blioteket i Stockholm. * * Eller på svenska: <3 gånger 3 är 7; 7 är 6, men 6 är också 3; 8 gifver 4, och 4 gör 7; om man väl räknar detta, erhåller man 5000.« — Jag skulle vara synnerligen tacksam, om någon af tidskriftens läsare kunde gifva mig lösningen på denna gåta. . 247 Inunder dessa versar förekommer följande lilla tafla: 8.1.6 3.5.7 4.9.2 Upplagan af år 1633 är tillegnad borgmästare och råd samt köpmännen och borgerskapet i Stockholm. Ofvan stående hexametrars betydelse har jag fåfängt sökt utgrunda och har ej i boken på något ställe funnit ens en antydan derom. Hvad åter figuren eller taflan un- der dem beträffar, löser den det problemet att uppställa siffrorna från 1 till och med 9 i 3 rader under hvarandra så, att siffrornas summa i hvarje rad, tagen vågrätt, lod- rätt eller snedt från hörn till hörn, utgör 15. Alla upplagor efter 1633 äro i det närmaste oförän- drade. Förändringarna bestå endast i några religiösa be- traktelser, tillsatta här och der. Så t. ex. inledas i de se- nare upplagorna addition och subtraktiou med följande vers : Hvad en flitig fader adderar, En olydig son det subtraherar. Multiplikation och division hafva till ingångsvers: Fastän en menniskas ägodel blifver multiplicerad, Ar ej Guds välsignelse hos, så varder den dividerad. Aurelius är den förste, som utgifvit en räknebok på vårt modersmål. Hans bok blef ock derföre med sådan be- gärlighet mottagen och fortfarande bibehållen, att hon un- der ett helt sekel begagnades såsom lärobok i Sveriges sko- lor, en ära som knappast tillfallit någon annan läroboks författare. Att boken under en så lång tidrymd kunde qvarstå som lärobok och ej utträngdes af bättre under se- nare hälften af 1600-talet utgifna, är så mycket märkvär- digare, som de senare upplagorna ej tillegnade sig de fram- steg som räkneläran under detta tidehvarf gjorde. Icke 248 heller är hans bok i pedagogiskt hänseende utmärkt. Långt derifrån! I henne spåras ej ens ett bemödande att förklara de i sig sjelfva ytterst knapphändiga och svårfattliga reg- lerna. Sjelfva mottot på boken — de hemlighetsfulla ver- serne ■— häntyder på räkneläran såsom något synnerligen underbart, i det den lärer att lösa så obegripliga gåtor och hvilka dertill tyckas innebära motsägelser. Men, såsom nyss är nämndt, bokens ovanliga framgång kom sig deraf, att hon var den första på svenska utgifna räknebok. I stället för att våra förfäder i Rami, Buscheri-Bothvidi, Gemmas, Clavii och Bures räkneböcker fingo räkna med coronati, franci, joachimici, grossi, gyllen m. m. påträffade de här sina gamla bekanta daler, mark, ören, fyrkar; här fingo de räkna med skålpund, lod, kannor, kast, dussin, ris m. in., kortligen: de fingo röra sig med sådana mått, mål och vigter, hvilka förekommo i deras hvardagslif. Der- till hade Aurelius i sitt arbete upptagit läran att räkna medelst räknepenningar, hvilken räkning genom sin hand- gripliga enkelhet ersätter det bristfälliga i begreppsbestäm- ningar, förklaringar och uttryck. Aurelii räknebok karakteriseras för öfrigt bäst, då jag säger, att han följt Ramus * i det hufvudsakligaste, ehuru han saknar Rami reda och skärpa. Han har ett nytt räk- nesätt, kalladt regula cœcis seu virginum, hvilket sedermera förekommer i flere svenska räkneböcker under detta namn. Hit höra sådana exempel, der antalet obekanta är större än motsvarande uppgifter och der deras bestämmande möj- liggöres endast derigenom att de obekanta skola vara hela tal **. Orsaken till namnet «jungfruregeln» känner jag ej, om ej namnet kan härleda sig af det första exemplet, som behandlas i detta slag af räkning, hvilket till någon del * Rami inflytande på tidehvarfvet och särskildt hans auktoritet för Aurelius visar sig bland annat också deraf, att Aurelius utgifvit Rami föreläsningar i retorik. ** Man kallar numera de eqvationer, medelst hvilka man löser så- dana frågor, diofantiska. 249 handlar om jungfrur. Vi skola nedanföre anföra detta exem- pel. Hans bok afslutas, liksom Gemma Friesii, med »kon- stiga, lustiga och kortvilliga frågor, hvilka man ibland sällskap bruka kan». Bland dessa förekommer ett bekant exempel om en skeppare, som vid en storm genom lottning stälde så till, att alla om bord befintlige judar blefvo ka- stade öfver bord. Efter denna allmänna redogörelse vilja vi framställa några exempel ur Aurelii aritmetik. Subtractio eller Subductio. Hon lärer, huru man ett tal af det andra aftaga eller afkorta skall, på det man kan förnimma, hvad som rester eller öfverblifver. Ex. En apotekare köper ett skepp af en indiansk köpman med allehanda speceri och dyrbara kryddor och gifver derföre 3452 daler 29 öre 2 fyrkar. Nu hafver han både skepp och gods enom androm köpman igen försålt för 7989 daler 5 öre och 1 fyrk. Huru mycket hafver han derpå vunnit? Facit. 4536 daler 7 öre 3 fyrkar. Aurelius utför räkningen medelst räknepenningar på följande sätt: o - 0-0—--0-0-0— Man har att iakttaga, att 1 daler = 32 öre, en* öre 4 fyrkar. I denna tafla förekomma efter hvarandra talen * Läsaren behagade märka, att det på denna tiden hette en öre, två öre, ej ett öre, såsom nu för tiden. 250 (7989, 5, 1), (4989, 5, 1), (4537, 5, 1), (4536, 8, 1), (4536, 7, 3). Som man ser, skiljer sig Aurelius från Si- liceo derutinnan, att han börjar med de stora talen och slutar med de små. Siliceo gör tvärtom. Multiplikation lärer huru man ett tal mångfaldigt göra skall. Ex. Uti en by bo tillsamman 9 bönder, hvardera har 8 hanar, hvar hane hafver 9 hönor med sig, och hvar höna hafver 16 kycklingar. Nu vill jag gerna veta, huru många kycklingar der äro. Facit 10368. Division lärer huru man ett tal rätt afdela och utskifta skall. Ex. En begär veta, huru många daler 1340 mark göra. Facit 335 daler. Anm. En daler är 4 mark. Med räknepenningar uträknas exemplet enligt följande schema : o 1 I o I c o I c o I C 1 —0-0-0 — o- —0-0-0----o-o-o-o- —0-0-0— o-o-o— o-o-o-o- —0-0-0 —0-0-0 0-0- —o-o-o — —0 o-o-o-o- I ) c ) c 5 C U U U o hvarest man efter hvarandra finner talen: (0, 1340), (300, 1340), (300, 140), (330, 140), (330, 20), (335, 0). Med siffror utförd ser räkningen ut på följande sätt: 12 1340 (335 444 1220 12 251 Divisorn 4 är uppskrifven 3 särskilda gånger under dividenden 1340, partialprodukterna 12, 12, 20 stå nedan- för divisorn samt resterna 1 och 2 ofvanför dividenden. Se för öfrigt Ramus och Clavius. Bråk. Det, som blifver öfver vid division, kallar man bråk eller brutet tal. Af decimalbråk finnes ej ett spår, ej ens i upplagan af 1705. Regula de tri utföres enligt regeln: «multiplicera det andra och det tredje talet, och hvad deraf kommer, skall med det första afdeladt blifva.» Vidare följer den afυiga regula de tri (regula inversa), regula dupli, sällskap sr eg ein, der vi påträffa exemplet om Titii testamente till sin hafvande hustru *, de gamles egen- domliga regula alligationis (se Clavius). I progressio arithmetica har han tre regler, en för att finna det yttersta talet och en för att finna »det medlersta» (så kallar han antalet). Vi vilja som prof på hans regler anföra den sista. »Det medlersta talet, som midt uti progressionen står, skall du således igen finna: tag det första talet af det si- sta; hvad öfverblifver, skall du dividera med progressionens skilfång. När du till qvoten 1 adderar, så hafver du det medlersta talet.» Ex. att finna summan. Såsom en affärdigar ett bud till Geste ifrån Upsala, deremellan äro 16 mil; gifver ho- nom for den förste milen en gammal örtug, för den andre halfannan öre, för den tredje 2 öre och en fyrk och för den fjerde 3 öre, och så vidare ökades på hvar mil 3 fyr- kar. Huru mycket får han för den ytterste, såsom ock hvad löper hela summan som han förtjent hafver? Facit. * Se under Bothvidi sid. 157. Exemplet förekommer redan hos Gemma. 252 12 öre för den ytterste milen, summan är 3 daler och 6 öre. Regula cœcis sive virginum. Utan vidare förklaring börjar Aurelius sålunda: »Uti denna regula skall man således procedera. Sätt mantalet vid den venstra handen, och hvad förtärdt är skall sättas vid högra handen. Item, midtuti skall hvar person särdeles samt deras utlagde penningar sättas. Se- dan skall man resolvera alla utlagde penningar till det minsta myntet som man hafver; dernäst skall man ock multiplicera det mindre myntet med personernas summa; hvad deraf kommer, skall subtraheras af de förtärda pen- ningar, det öfriga skall sättas afsides. Sist skall du alltid subtrahera det minsta talet från det största; och det som är öfver skall vara delaren. När det skedt är, så tag det öfverblifna talet och dela det i några vissa delar, hvilka du jemnt afdela kan med de små delarne, så att der intet brutet tal vidhänger, eljest står det snöpligt, att man halfva personer framställa kan.» Efter denna regel, hvilken i afseende på tydlighet in- galunda är något mästerstycke, kommer följande exempel, som handlar om jungfrur: »Uti ett värdshus gästa 30 personer tillhopa, de hafva förtärt 6 mark ringare * 2 öre. När en mansperson lägger ut 5 öre, så gifver en hustru 3 öre och en piga 1 öre. Nu spörs här, huru många män, hustrur och pigor i synnerhet uti samma värdshus varit hafva.» Uträkningens gång enligt nyss nämnda regel är föl- jande: »46 5 4 personer 2 män, 30 3 2. 30 4 qvinnor, 16 1 24 pigor. Säg alltså: en gång 30, det är 30, dem subtrahera af * Af sammanhanget framgår, att härmed menas: minskadt med (minus), alldenstund 6 mark ringare 2 öre == 46 öre = (6.8 — 2) öre. 253 46 öre, rester 16. Det är det tal, som delas skall. Se- dan tag 1 af 5, rester 4. Item l af 3, rester 2. Dessa två äro delare. Tag nu de förre 16 och dela honom uti två delar, så att du jemnt dividere kan med 4 och 2, li- kasom 8 och 8; det första dela med 4 och det sista med 2, så finner en 2 män 4 qvinnor.» Vi anföra på jungfruregeln ännu ett exempel: »En man vill göra bröllop åt sin dotter, sänder sin dräng ut med 100 daler. Derföre skall han köpa 100 styc- ken boskap, oxar, svin, får och gäss. För en oxe gifver han 4 daler, för hvart svin 2 daler, för ett får 3 mark och fpr en gödd gås 2 mark. Nu spörs, huru många styc- ken han af. hvart slag bekommit hafver. Facit. 10 oxar, 4 svin, 36 får och 50 gäss.» 400.200.4 14 100 200 26 4 3 1 400 2 Gången är: 2.100 = 200; 400 — 200 = 200; 200 delas i 3 delar, så att den första kan delas med 14, den andra med 6, den tredje med 1, t. ex. 140, 24, 36. Vi vilja-söka förklaringen till detta förfaringssätt. Låt hvarje person i grupperna A,, A2, ... An gifva ut respektive ..................α1 , a2,... an, och låt grupperna vara ordnade så, att a, är minst. Låt vidare antalet personer i dessa grupper vara respektive J19 029e.= Un» samt summan af alla personerna = N och summan af alla utgifterna = S. Då har man enligt uppgiften: C1a, + a„a2 + agag +... + anan = S, x, +, +, +... += N. Genom eliminering af x. erhålles: a-aat-a) + a(aa-a)+... + an(an - a,) = S-a,N. För ätt finna de (n-1) obekanta ¾, œ3 , . .. an, skall 254 man således sönderdela S- ayn i (n - 1) delar, hvilka äro delbara med respektive C2 C1, C3 C., ... an a , hvilket just är den regel, som Aurelius i dunkla ordalag uppgifvit. Tillämpa vi denna regel på det förra exemplet, så finna vi, emedan 16 lämpligen kan uppdelas i 16 och 0, 12 och 4, 8 och 8, följande möjligheter: I värdshuset hafva varit antingen 0 män, 8 qvinnor, 22 pigor, eller 1 » 6 » 23 » eller 2 » 4 » 24 » eller 3 » 2 » 25 » eller 4 « 0 » 26 ». Tillämpas åter regeln på det.senare exemplet, erhållas icke mindre än 177 möjliga system, af hvilka vi blott upp- taga tvenne: 1) 0 oxar, 33 svin, 2 får och 65 gäss, 2) 7 » 2 » 90 » » 1 gås. Efter jungfruregeln följer rotutdragning och regula falsi med ett och 2 antaganden, hvilka lösas på samma sätt som hos Clavius sid. 64. Här förekommer exemplet angå- ende Alexander och Klytus, vidare det om Hieros krona, hvilket vi nu framställa: Ex. 1. på regula falsi *. Vitruvius berättar i det tredje kapitlet af sin nionde bok, att konung Hiero beslutit gifva sina gudar en krona af rent guld. Han uppdrog åt en guldsmed att förfärdiga den. Men denne tog, såsom ofta * Exemplet är framstäldt sådant det förekommer hos Gemma Frie- sius (t 1555). Vi se af hans antaganden angående det vatten, som flöt öfver kanten, då guld och silfver nedsänktes i ett kärl fullt med vatten, att han ej hade begrepp om guldets och silfrets egentliga vigt. Enligt hans uppgifter skulle guldets egentliga vigt vara , — 1,67 och silfrets 11 = 1,11 i st. f. talen 19,26 och 10,47 . Enligt Aurelius skulle förhållandet mellan guldets och silfrets egentliga vigter vara såsom 3 till 2. 255 händer, en del guld och tillsatte i stället lika mycket silf- ver. Utan att skada den redan färdiga kronan upptäcker syrakusanaren Arkimedes stölden på följande sätt. Han skaffade sig en massa rent guld af samma vigt som kro- nan, likaledes en massa rent silfver. Sedermera nedsänkte han dem den ena efter den andra i ett kärl fullt med vat- ten och vägde på det sorgfälligaste det afrinnande vattnet. Häraf upptäckte Arkimedes, huru mycket guld och huru mycket silfver kronan innehöll. Vitruvius säger ingenting vidare. Vi vilja antaga att kronan vägde 5 €; att, då guld- massan nedsänktes, 3 ^ vatten flöt öfver kanten, men då kronan nedsänktes 34 €, samt då silfret nedsänktes 4, &. Svar: 41 Cö guld och % gö silfver. Ex. 2. En ung person möter några jungfrur tillsam- man, helsar dem sålunda: går i frid, I hundrade tillsam- mans! Svarade en af dem och sade: vi äre icke så många, utan om vi ännu vore här till så många och en halfpart och 1 och 12 dertill, så vore vi alle 67. Nu spörs här, huru många jungfrurna voro. Svar: 20. Aurelii bok afslutas med sju s. k. korollarier (»lustiga sällskapsfrågor»). Vi framställa en: En venedisk köpman fraktar ett skepp till Neapolis, till honom komma 15 kristne och 15 judar och förtinga sig med honom öfver hafvet. När de kommo ut, då växte en hufvudstorm i sjön, att skepparen begynte tvifla om de- ras välfärd, och så framt mesta delen af godset och half- parten af folket icke öfver bord kastades, då måste de alla samtlige i grund förgås. Här begynna de rådslå och ställa uti skepparens magt, att han dem uti en ring ställa skulle och hvar nionde person öfver bord kasta, och läto honom så begynna att räkna på hvilken han först ville, till dess 15 voro utkastade. Den fromme* skepparen ville gerna * Kursiveringen är gjord af den, som skrifver historiken. 256 skona de kristne, hvar möjligt vore, och laga så, att lot- ten alltid föll på judarne, att hvar 9:de, som utkastades, skulle vara en jude. Och blefvo således alle 15 judar om halsen och de kristne behållne. Nu må en gerna veta, huruledes han dem i ordning ställt hafver. Svaret finnes af vokalerna i minnesversen: Populeam virgam mater regina ferebat, hvarest a = 1, e = 2, i = 3, 0 = 4, u = 5. Man skall således uppställa först 4(= o) kristna, sedan 5(= u) judar o. s. v. Skulle hvar tionde hafva kastats öfver bord, skulle de hafva uppstälts enligt vokalerna i minnesversen: Ilex Paphi cum gente bona dat signa serena. (Forts.) Satserna 56 OC11 59 (E. Lundberg) samt 36 (K. Wicksell), lösta af E. Μ. FRYKBERG. Elev vid Teknologiska Institutet. 56. Lös eqvationen 1 - 3æ3 + N36w2-1 = 3 Væ3 . Genom att öfverallt dividera med A/x2 erhålles 5 5 36-1 - 3-1 - 3. V V a2 Sätter man här V - 3 = 5 blifver 5 A/33 - = 3 — z. Upphöjes denna eqvation till 5te digniteten, fås 24 - 623 + 18z2 - 27z + 14 = 0. 257 Genom att lägga 25 till hvardera ledet, blir det ven- stra en jemn qvadrat, och man erhåller följande eqvation : (-3= + 1e - * eller, genom rotutdragning ur båda leden, 22 - 3z + 2 = = 5 hvaraf 2 {3-.19./-1} 1 (35 och således -, = 4 4 $39=59>/19-N/-1}, hvilka värden tillfyllestgöra eqvationen. 59. Låt KA vara utdragen till O, gör 4O = CE och sammanbind O med B och C, och låt AE råka BI och BC i M och N. Emedan AO # CE, så är CO∕∕ AE, och emedan A ENC = A BNM och Λ AEC = A IBC, så är A BMN = A ECN = R; alltså BI vinkelrät mot AE och således äfven vinkelrät mot CO. På samma sätt bevisas att CF är vinkelrät mot BO. OE är också vinkelrät mot BC. Följaktligen sammanfalla linierna BI, CF, OL med de tre höjderna i triangeln BOC; och således måste BI och CF råkas på perpendikeln AL. II. s. b. 36*. Låt punkterna E, D, F vara tagna på sidorna AC, BC, AB i Δ ABC så, att AE = 1Ac, CD = 1 BC n n och BF= 1AB; låt.vidare AD råka BE i G och CFi n HI, och låt CF och BE råka hvarandra i I. Drag EK∕∕ BC tills den råkar AD i K. Emedan EK//CD, så är CD: EK = AC : AE - n:1; vidare är BD : CD = n - 1 :1, alltså BD: EK = BG : EG * Denna sats är äfven löst af P. W. Almquist. 258 = n(n - 1): 1, hvaraf följer att BE: EG = 1+ (-1):1 = A ABE: Δ AEG och således 1 11 A AEG = -—- Δ ABE = -—- • — Δ ABC. 1+n-1 n På samma sätt bevisas att Δ CDH och Δ BFI äro 11 hvardera = — • — A ABC. 1+n(n-1 n Vidare är Δ GHI = A ABC - Δ ABE - Δ ACD - A BCF + Δ AEG + Δ BFI + Δ CDH = A ABC 3.3 1 ay Δ ABC + — Δ ABC ∙∕ Δ GHI n I+n-1)n . - (n-2)3.■δ ABC. 1 + n (n - 1) Sättes n = 3, så blir Δ GHI = VA ABC. Satserna 44—51 (A. E. Hellgren), 77 (J. E. Cederblom), samt 98 (C. E. Lundström), lösta af löjtnant P. W. ALMQUIST. 44. Emedan vinklarne ADE och B tillsammans ut- göra 2 räta, så kan en cirkel uppritas, som går genom alla fyra punkterna A, B, E och D, och de tangenter, som från C kunna dragas till de bågar af denna cirkel, hvilka stå på styckena AD och BE, äro lika stora. Men alla tangenter, som kunna dragas från C till cirkelbågar på AD äro sins emellan lika stora, emedan de alla äro medelproportionaler till AC och CD, och alla tangenter, som dragas från C till cirkelbågar på BE äro medelpro- portionaler till BC och CE, och således äfven sins emellan lika stora. Alla de förra tangenterna äro derföre också lika med alla de senare, h. s. b. 259 45 Låt 4 och B vara de gifna medelpunkterna. Emedan tvenne cirklars gem>ensamma (yttre) tangent (styc- ket mellan tangeringspunkterna) är katet i en rätvinklig triangel, hvars hypotenusa är afståndet emellan medelpunk- terna och hvars andra katet utgör skilnaden emellan cirk- larnes radier, så upprita på AB en halfcirkel och aptera i densamma från A en korda AC af samma längd, som den gifna gemensamma tangenten, så blir afståndet BC lika med skilnaden emellan de sökta cirklarnes radier. Ut- drag nu BC åt C till D, så att BI) blir lika med samma radiers gifna summa, och skär CD midt i tu i E, så blifva BE och ED de sökta radierna. Anm. Emedan tvenne cirklars gemensamma inre tan- gent (stycket emellan tangeringspunkterna) är katet i en rätvinklig triangel, hvars hypotenusa är afståndet emellan medelpunkterna och hvars andra katet utgör summan af cirklarnes radier, så finner man ock lätt lösningen till det problem, som erhålles, om i denna sats ordet »summa», utbytes mot »skilnad». 46. Lemma. Att på en giften rät linie finna en punkt så belägen, att skilnaden emellan dess afistånd från tvenne gifna punkter är lika med en gifven rät linie. För korthetens skull antagavvi, att lösningen af denna sats är känd **. * Sats 45 är äfven löst af Erik. ** Denna sats reduceras lätt till följande: att konstruera en cirkel, som har sin medelpunkt på en gifven rät linie, går genom en gifven punkt och tangerar en gifven cirkel ; hvilket åter löses på följande enkla sätt. Upprita en godtycklig cirkel, som har sin medelpunkt på den gifna linien, som går genom den gifna punkten och som skär den gifna cir- keln, samt uppdrag dessa båda cirklars gemensamma korda. Drag vi- dare genom den gifna punkten en rät linie vinkelrät mot den gifna li- nien och tag skärningspunkten mellan denna linie och den nyss dragna gemensamma kordan, samt drag från denna skärningspunkt en tangent till den gifna cirkeln. Tangeringspunkten emellan denna tangent och den gifna cirkeln är tillika tangeringspunkt emellan den gifna cirkeln och den sökta, hvilken derefter.lätt uppritas. 260 - Låt då A och B vara de begge gifna medelpunkterna och uppdrag en rät linie CD, som är parallel med AB och hvars afstånd från AB är lika med halfva längden af den gemensamma kordan, så måste de sökta cirklarnes ena skärningspunkt infalla på CD. Emedan vi vidare känna längden af den gemensamma (yttre) tangenten, så är ock skilnaden emellan de sökta cirklarnes radier känd. (Se lösningen af föregående sats). Tag derföre på linien CD en punkt E, så belägen, att skilnaden emellan dess af- stånd från de gifna medelpunkterna är lika med skilnaden emellan de sökta cirklarnes radier, så är E den ena af dessa cirklars skärningspunkter. 47. Vi antaga såsom kändt, att tvenne cirklars gemen- samma korda delar den gemensamma tangenten midt i tu. Låt då A och B vara de begge gifna medelpunkterna och upprita kring den ena af dem (låt vara A) en cirkel, hvars radiefär lika med det gifna afståndet, så måste den i satsen omtalade vinkelspetsen infalla på denna cirkel. Upprita sedan på AB en halfcirkel och aptera i densamma från A eller B en korda, hvars vinkel med AB är kom- plement till den gifna vinkeln, så.är denna korda sida i en rektangel, hvars motstående sida utgöres af den gemen- samma tangenten. Skär derföre denna korda midt i tu och drag genom skärningspunkten, åt motsatt sida om kordan i förhållande till AB en rät linie, som är vinkelrät mot kordan, så måste denna linie äfven skära den gemensamma tangenten midt i tu, och går derföre genom den i satsen •omnämnda vinkelspetsen, hvilken således sammanfaller med skärningspunkten emellan denna linie och den kring A upp- ritade cirkeln. Drag sedan genom denna skärningspunkt en fät linie parallel med kordan, så är denna linie de sökta cirklarnes gemensamma tangent, hvarefter cirklarne lätt uppritas. 48. Upprita på AB en halfcirkel och aptera i den- samma från B en korda BF, hvars längd är lika med Fig. %5. € 0 3 C Fig.31. 8 @ E Fig-29. A$ MC 2 ds 2 -=----=========i IAEINRIKI Fig.28. 3 Fig.30. Fig.32. sa sa oc OC de sk lä sk lö en st; en de OC hv i U fri pl en sa dr i kc ta or sk rit er ci: up 1 1 AUF % 2 °. 1 R 3 n e NX — .,⅛ : ‘5 1 261 CD, samt utdrag denna körda åt B till G, så att BG blir lika med DE. Drag genom G en rät linie vinkelrät mot BG, så skär denna linie linien AB i punkten E, och drag sedan genom E en rät linie parallel med FG, så är denna linie de sökta cirklarnes gemensamma tangent, hvar- efter dessa lätt uppritas. 49*. Afsätt från A på vinkelbenen styckena AC och AD, så att AC är dubbelt så stor som AD, så delas li- nien CD af den gifna vinkelns bissektrice i tvenne sådana delar, att den ena delen är dubbelt så stor som den an- dra. Inpassa sedan linien B parallelt med CD, så delas äfven B af bissektricen på samma sätt. 50. Afsätt från spetsen A å det ena. vinkelbenet ett godtyckligt stycke AB och upprita en cirkel med AB till diameter. Utdrag AB åt A till C, så att AC blir hälften af AB, och upprita på BC som diameter en cirkel, som skär det andra vinkelbenet i D. Linien BD skäres då i punkten E af den på AB uppritade cirkeln i tvenne sådana delar, att den ena delen är dubbelt så stor som den an- dra, och om punkten E sammanbindes med A, så är vin- keln AEB rät. Inpassa sedan den gifna räta linien pa- rallelt med BD, så är den också vinkelrät mot AE och skäres af honom i tvenne sådana delar, att den ena delen är dubbelt så stor som den andra. 51. Betecknas den sökta sekantens hela längd med a samt längden af den tangent, som kan dragas från den gifna punkten till den gifna cirkeln med 1, så är .. — = 72 2 eller æ2 = 202 hvaraf härledes följande konstruktion. * Äfven löst af Erik. 17 262 Låt A vara den gifna punkten och drag från A till den gifna cirkeln en tangent AB samt genom tangerings- punkten B en rät linie BC vinkelrät emot och lika stor med AB. Tag sedan A till medelpunkt och drag en cir- kel, som går genom C och skär den gifna cirkeln i D, så är AD den sökta sekanten. 77. Låt W vara den vattenmängd, som rymmes i dammen, V den vattenmängd, som tillflödet medför per timme, v den vattenmängd, som hvarje hästkraft förbrukar per timme, samt a det sökta antalet spindlar, så har man följande eqvationer : w w - 5 = 1— + 6.22 0 0 3 W 1 w v v 174v υ z v 100 v I de två första eqvationerna angifva begge membra det antal hästkrafter, som erfordras för drifvande af alla de gamla verken, och den tredje eqvationen uttrycker, att det antal hästkrafter, som erfordras för drifvandet af det nya spinneriet, icke öfverstiger det, som lemnas af tillflö- det ensamt, hvilket är nödvändigt, för att spinneriet skall kunna gå oafbrutet. Ur dessa eqvationer kunna qvantite- W v . terna — och — eliminineras, hvarigenom man får VV a = 4000. 98. a) Ar C den gifna vinkeln, 2p perimetern och k2 arean, så är to :c / (p - a)(p - 6) k2 = A p(p - a)(p - b)(p — c) • 263 Häraf fås eller k2 / X = P(p—c 08 2 C 72 2 ptg 1 C Gör nu linien AD = p och A DAE = 1 C samt drag DE 1 mot AD, så är DE = ptg10. Afskär vidare af DA linien DF = k samt af DE li- nien DG = k, och drag GB// EF tills den råkar AD i B, så är k2 ED = —-—— = p—c ptg%C 4 samt AB = c och således är AB den sidan i den sökta triangeln, som står emot den gifna vinkeln G. Sök vidare den tredje proportionalen AL till AB och k, så är AL hälften af den mot AB vinkelräta höjden i den sökta triangeln. Gör slutligen AM 1 mot AB och lika stor med 2AL, drag MC//AB samt konstruera på AB ett cirkelsegment ACB, som innehåller den gifna vin- keln C, så blir ACB den sökta triangeln. ß) Låt AB vara den gifna sidan och m det gifna för- hållandet. Tag på linien AB de begge punkterna D och E, hvilka äro så belägna, att AD AE BD 5 BE ~ m samt upprita en cirkel på DE såsom diameter. Emedan det är bekant, att denna cirkel utgör locus för alla de punk- ter, hvilka äro så belägna, att deras afstånd från A och B hafva till hvarandra det gifna förhållandet m, så måste den sökta triangelns tredje vinkelspets vara belägen på denna cirkel. 264 Emedan vidare den sökta triangelns area är känd, så känner man också storleken h af den.mot AB vinkelräta höjden i samma triangel. Drag derföre linien CC’//AB på afståndet h, så är ABG eller ABC' den sökta trian- geln. AFDELNING II. Om bråkexponenter. Af löjtnant P. W. ALMQVIST. Om z är en algebraisk qvantitet hvilken som helst samt m och n hela positiva tal, så betecknar, såsom be- kant, zm den mte digniteten af z, 1 1 zn = (z)” den principala nt roten ur z, samt 1 hvar och en af qvantitetens z alla née rötter. Deremot är det icke af beteckningssättet sjelft tydligt, huruvida ut- trycken m m m z" = (=)" och ((z))" skola beteckna m‘ digniteten af resp, den principala née roten och af hvarje née rot till z, så att man har (A) 265 eller om samma uttryck skola beteckna resp, den principala né roten och hvarje n‘ rot ur 2", i hvilket fall man skulle hafva mm 1 Vi vilja försöka att i nedanstående uppsats något när- mare belysa olikheten emellan dessa begge uppfattningssätt af bråkexponentens betydelse. Antaga vi då, att , är modylen och τ principal-argu- mentet för z samt k ett helt positivt eller negativt tal el- ler ock noll, så har man, såsom bekant, 2m = ,"(Cos mt + i. Sin mr).......(1), 1n 1/ , z” = N/z = o" Cos----b z. Sin—| .... (2), n--------------------7 1 n Y+2n T + 2kx\ ((z))% = w/z = r"Cos + z. Sin . ∖ n n i hvilken senaste formel högra membrum är kapabelt af n olika värden, hvilka erhållas genom att tilldela k n kon- sekutiva värden hvilka som helst, såsom 0, 1, 2,...(n — 1). Emedan vidare modylen y alltid är en reel positiv qvanti- tet, så har man städse . 1 1 m („n)m = (pm)n = n (4) och således blir (2Tyn = „” (Cos+i.Sin °T ==(CosMT+i.Sin MT) (5), n n/n n) LAM* - T,5(cosτ + — + 7.Sin T+2m" - ,”(cos m(+2Lr) + .Sin m(e+21 1)). (6). n n / 266 Ar nu — det oförkortliga bråk, som är lika med så är också . m ml γn = Pni, För hvilket värde som helst på k är dessutom m(T + 2k 7) m(r + 2kn) n n och således blir enligt (5) och (6) (z") = (zn1)m1 + ” Cos —+ .Sin—. . • (7), 7 ∖ n n / 1 r/z 1 , m / m‘«+2km‘n . . m'v+2km'n [((z)) "m = [ ((z))n1m1 =~n Cos , +i.Sin , | (3). För att tvenne värden k och k" å k skola tilldela högra membrum i formeln (8) ett och samma värde, är nu nödvändigt och tillräckligt, att skilnaden k‘m‘ — k’m är en multipel af n‘, eller att bråket ni(K-k) n‘ är ett helt tal. Men emedan m‘ och n‘ sins emellan äro primitiva, så är härtill nödvändigt och tillräckligt, att F — k är en multipel af n. Gifver man derföre åt k i formeln (8) n‘ konsekutiva värden hvilka som helst, såsom 0, 1, 2,...(√- 1), så erhåller denna formels högra mem- brum n‘ olika värden, men alla öfriga värden å k återgifva åt samma membrum något af de förut funna värdena. Man finner således häraf, att qvantiteterna 1 1 (z")n och [(z))")" förblifva oförändrade, om bråket — förlänges eller förkortas, n samt att den senare städse har så många värden, som utvi- sas af samma bråks minsta möjliga nämnare. 267 I formeln (8) kunna vi ock sätta km' n I + ,. " n der q är ett helt tal eller noll samt K ett helt tal, som är mindre än n‘, hvaraf fås 2km‘r2k7 ---, = 297 + —,, n--n o2km7. . 0 och om detta uttryck pa —,—- insättes i formeln, sa kan n termerna 2qr bortkastas. Men det är bekant, att om m‘ och n‘ äro sins emellan primtal, samt n' konsekutiva multiplar af m', såsom km', (k + 1)m‘, (k+2)m,...(k+n-I)m', divideras med n‘, så blifva alla resterna olika och utgöras i någon viss ordning af talen 0, 1, 2,...(n - 1). Formeln (8) kan derföre också erhålla utseendet r1 mT+2k . . mT+2KT [((z))"]m = [((z))"'1 = 9” Cos —-— +i.Sin——,— ) (9), der k är hvilket som helst af talen 0, 1, 2,...('- 1), och hvaraf äfven synes, att högra membrum är kapabelt af inalles n‘ olika värden, hvilka alla hafva samma modyl och hvilkas argument différera sins emellan på 1-del af pe- riferien. Beteckna vi nu med Tm principal-argumentet för z™, så är enl. (1) - Sin Tm = Sin mr och Cos Tm = Cos mr och således Tm = mτ + 2u, der u är något visst helt tal, positivt eller negativt, eller ock noll. Vidare är 1 m ∖ (zm)n = „n ( Cos — + i.Sin 9 n n / 1 m T, + 2kr . T„ + 2kx\ ((2m))” = ?n [Cos----------■ +i.Sin—---------— 2---------------------∖ n-nJ 268 och således blir 1 mr + 2(u + k)z • . mτ + 2(u + k)r) ((zm))% =r" Cos---——2 + i.Sin----------—— | \N----------------nJ m-----------------m eller om -, är det oförkortliga bråk, som är lika med — , ?-----------------n 1 2ux\ . (m'v 2ux\1 (zm∖n = r” Cos—, + ---+i.Sin—, + •---j . (10) L \n n / \n n 1 " fm'τ 2(u + k)n\ . (m'v 2(u+k)r\1. ((zm)) =2 Cos— + —---— +z. Sin - + --------- (11). Ln n J n n / / I den senare formeln kan nu talet (u + k) genom olika värden på k erhålla hvilket helt tals värde som helst, po- sitivt eller negativt, eller ock noll. Denna formel kan der- före också erhålla utseendet 1 " (m'r 2/x\ .(mτ 2k7\T ((zm))" = r" Cos—, + -------------+ «. Sin —, +■------(12) L \n n / \n n 0 der k‘ är ett helt tal hvilket som helst, positivt eller ne- gativt, eller ock noll. Högra membrum i denna formel är derföre kapabelt af inalles n olika valörer, hvilka erhållas genom att tilldela k n consekutiva värden hvilka som helst, såsom 0, 1, 2,...( -1), och alla dessa värden hafva samma modyl, men deras argument differera sins emellan 1 på------del af periferien. Af formeln (10) finner man, att qvantiteten icke förblir oförändrad, om bråket — förlänges eller förkor- n tas, annat än i den speciella händelsen att u = 0, hvartill erfordras, att man har 70M7 270 269 eller att τ är numeriskt mindre än —. I denna händelse m är ock 11m Af formeln (12) finner man vidare, att betydelsen af tecknet (=)* alltid förändras, när bråket — förlänges eller förkortas, samt att detta tecken alltid har så många värden, som utvisas af samma bråks nämnare. Ar — ett oförkortligt bråk, så är n m = m‘ och n = n och i sådant fall blir högra membrum af formeln (12) iden- tiskt med högra membrum i (9), men är m = m'.d och n = n'.d, der d är ett helt tal, som är större än 1, så blir högra membrum i formeln (12) lika med något af värdena å sam- ma membrum i (9) så ofta, som k i (12) är en multipel af d, d. v. s. för de n‘ k-värdena 0, d, 2d, ...(n'- 1)d. Man finner häraf, att om " är det oförkortliga bråk, som n är lika med —, så är n 11 1 [K=)"]n = [K=))"]n' = ((=)" samt att alla de n olika värden, som tillkomma hvar och en af dessa tvenne qvantiteter, återfinnas jemnt fördelade bland de n olika värdena af gvantiteten 1 ((zm))n ■ 270 Af ofvanstående undersökning är nu klart, att om be- tydelsen af tecknen m m m z" = (z)n och ((z))" skall förblifva oförändrad, när bråket 2. förlänges . eller förkortas, så måste betydelsen af dessa tecken bestämmas enligt formlerna (A), eller så, att de anses beteckna m2 digniteten af resp, den principala n= roten och af hvarje ne rot till z. Grunddragen af den geometriska kalkylen. Af G. DILLNER. (Forts, fr. sid. 223). Härledning af liniers eqvationer*. 62. Emedan en linie först då kan sägas vara till alla delar fullt bestämd, då vi ega hvarje hennes punkt bestämd i förhållande till gifna grundbestämningar, så inses, att de- finitionen på en linie måste sammanfalla med angifvandet af den lag, enligt hvilken en föränderlig komplex tänkes successivt eller punkt för punkt beskrifva henne. En så- dan definition uttryckes under form af eqvation, och att ur en linies definition härleda hennes bestämningar sam- manfaller derföre med att enligt kalkylens lagar ur hennes eqvation utveckla de geometriska egenskaper, som tillhöra henne. Vi hafva härmed i korthet antydt den analytiska geometriens metod, och vi skola genora nedanstående exem- pel visa, huruledes denna metod omedelbart framträder så- som en högst enkel och naturlig följd af de grundbegrepp * Denna rubrik, ehuru hörande till hufvudrubriken tillämpning på analytisk geometri, sid. 219, har, för undvikande af brytning, fått särskild plats i detta häfte. 271 vi hittills utvecklat för våra geometriska komplexer, då nämnligen dessa betraktas här såsom föränderliga, d. v. s. icke, såsom fixerande blott en enda punkt, utan såsom fixe- rande successivt en kontinuerlig följd af punkter. Räta linien. 63. Def. Räta linien är en kontinuerlig följd af punk- ter, livilka fixeras af en föränderlig komplex med konstant ar- gument. Om Q utmärker den föränderliga komplexen i förhål- lande till O som origo och OA som grundrigtning (fig. 50), så sammanfaller den räta liniens definition med eqvationen o = konstant......................................(47). Om vi nu med bibehållande af samma grundrigtning, OA// O,BC, reducera Q0 till ett nytt origo 0, förmedelst vägen h + k. (h = 0iB, k = BO), och om vägen till en af ρσ fixerad punkt P i förhållande till det nya origo 0, är x+34- (a = OC, y = CP), så ega vi att sätta a+3,-=h+k.+Yo....................(48), hvilken likhet genom projektion sönderfaller i följande tvenne a - h = o Cosa, y - k = o Sin a. Om tg o sättes = m, der m således äfven är konstant, så erhålles genom att dividera sida med sida dessa sista likheter g — k = m(x — h).............(49), hvilken likhet således representerar den räta linie, som går genom punkten O (h, k) och bildar med grundrigtningen A o, hvars tangent är m. Enär m icke förändras, om o ökas med 7, så inses, att (49) är eqvationen för den räta linien, utstärckt åt ömse sidor om 0. 272 Anm. Vilja vi uttrycka linien i snedvinkliga koor- dinater med en axelvinkel 2, så hafva vi att i (48) i stäl- let för argumentet åi införa Λ, då projektionerna blifva (a — h) + (y — k) Cos 2 = q Cos o , (y - k) Sin 2 = Q Sin o, hvaraf fås genom division och efter lösning i afseende på y-k: 7 m Sin o , 3 " Sin 2, - m Cos 20-4) - Sin (A - 0)2 - 4), hvilken likhet således representerar samma räta linie i sned- vinkliga koordinater. 64. Vilja vi finna eqvationen för den räta linie OQ (fig. 51), som är vinkelrät mot ρσ och går genom punkten O samt är hänförd till 01 som origo och 01CB// OA som grundrigtning, så hafva vi att sätta vägen O,CQ = vägen O1BOQ eller, då O,C = x, CQ =y, O1B = h och BO - k samt 0Q = r: +y,a = l+l*+*o+,*..................(50), hvilken likhet efter öfverflyttning af h och k, samt mul- tiplikation med blir (a-N)Lyx+(y-k) = To, hvaraf fås genom projektion y-k = r Cos , - -(x-h) = "Sin o , då slutligen 1 y-k =-------— 1)..............(51), m hvilken likhet således representerar en rät linie som är vin- kelrät mot den af (49) representerade räta linien och går genom punkten (h, k). Antaga vi OQ bilda en vinkel a med Qo i stället för en rät vinkel, så hafva vi att i stället för (50) sätta a+yx = h+k„+ro44, hvilken likhet efter öfverflyttning af h och K, samt mul- multiplikation med 1_blir (2-1)- + (y-k)n-a = Fo, hvaraf genom projektion (x — h) Cos a+(y - k) Sin a = ? Cos o , — (a — h) Sin a + (y - h) Cos a = rSin o, då slutligen , m+tga . , y—k = -------—(x — h).............(51) 8 1-mtga 7 S blir eqvationen på en rät linie, som går genom punkten (h, k) och bildar A a med den af (49) representerade räta linien. 65. Vilja vi uttrycka räta linien OP (fig. 52) i för- hållande till O som origo och OBA som grundrigtning för- medelst perpendikeln OC eller p och dess A a med grund- rigtningen, så ha vi att sätta vägen 0BP = vägen OOP eller "+3im=Put "A+In......................................(53), då nämnligen OB = , BP= y och CP = Y. Genom att multiplicera (53) med 1 fås . + = p+r , hvaraf grundrigtningsprojektionen blir a Cos a + y Sin a = p . . ..... . (54), hvilket således är den begärda eqvationen i rätvinkliga ko- ordinater för räta linien CP. Anm. Sätta vi i (53) 00 i stället för 0+34 och multiplicera med 1_4, så få vi omedelbart genom projek- tion 0 Cos (o - a) = p, hvilket således är eqvationen i polarkoordinater för den ifrågavarande räta linien. 66. Vilja vi slutligen uttrycka det vinkelräta afstån- 274 det QP (fig. 53) eller d från en känd punkt Q till en gif- ven rät linie OP eller ρσ, hänförd till 0, som origo och OA ∕∕ O,BC som grundrigtning, så hafva vi att sätta vägen 0,CQ = vägen 0,BO PQ eller P+4" =l+k,x + Po + do+inx.............................(55), der betydelsen af de ingående bokstäfverna är sjelfklar på grund af figuren. Genom öfverflyttning af h och k,samt multiplikation med 1_o erhålles (p-h)L + q-l)n—o = 0 + dix» hvaraf fås genom projiciering (q - k) Sin o + (p - 1) Cos o = 0. (56) (q - k) Cos o + (p - 1) Sin o = d ) Genom att införa tg o = m blir den senare likheten , (q — k)—m(p—h) d = —2 (57), ± ~/1+m2 en välbekant formel. Anm. Den förra af likheterna (56) ger oss afståndet från punkten O eller (h, k) till perpendikelns fotpunkt P. För det fall, att QP bildar en A v hvilken som helst med OP, hafva vi att i (55) införa do+v i stället för do+17 sårat för öfrigt förfara på analogt sätt. Koniska sektionen. 67. Def. Cirkeln är en kontinuerlig följd af punkter, hvilka fixeras af en föränderlig komplex med konstant modyl. Om ρσ utmärker den föränderliga komplexen, så sam- manfaller cirkelns definition med eqvationen Q = konstant...................(58). 68. Def. Ellipsen är en kontinuerlig följd af punkter, hvilka fixeras af två föränderliga, från hvar sitt origo ut- gående, komplexer, hvilkas modyler bilda en konstant summa. Om Y, och 0 utmärka de två föränderliga komplexer- 275 na, utgående från hvar sitt origo A och O (fig. 54) och fixerande punkten P, så sammanfaller ellipsens definition med eqvationen ,+Q = 2a.....................(59), då 2a utmärker en konstant. Om 4O sättes = 2ae och nämnda linie tages till grund- rigtning, så erhålles den geometriska likheten 7, = 2ae + 06..................(60). Genom att i denna likhet taga modylerna å ömse si- dor fås ,2 = 4a2e2 + 4aee Cos o + q2, hvaraf följer, om man med hjelp af (59) eliminerar T: a(l-e)_ 1+e Coso (61), hvilket således är ellipsens eqvation, uttryckt i Q och o. 69. Def. Hyperbeln är en kontinuerlig följd af punk- ter, hvilka fixeras af två föränderliga, från livar sitt origo utgående, komplexer, hvilkas modyler bilda en konstant skil- nad. Om Q och rβ utmärka de två föränderliga komplexer- na, utgående från hvar sitt origo O och A (fig. 55) och fixerande punkten P, så sammanfaller hyperbelns definition med eqvationen. ,-Q = 2a........................(62), då 2a utmärker en konstant. Om OA sättes = 2ae och nämnda linie tages till grund- rigining, så erhålles den geometriska likheten 00 = 2ae + 7,....................(63). Genom att öfverflytta 2ae och taga modylerna å ömse sidor fås ç2 — 4αeρ Cos o + 4a'e2 = r2, hvaraf följer, om man med hjelp af (62) eliminerar r: 0 = C(e2-1) 1 + e Cos o (64). 276 Sätta vi i stället for (62) 0- = 2a, då ρσ ch Ye fixera en punkt af läget P', så erhålles efter eliminering af : - ° 1 — e Cos o................... hvilken eqvation fås ur den förra genom att ändra tecken för a och e, då således ρσ beskrifver hyperbelarmen P el- ler P, allt eftersom 0 är bunden vid o genom relationen (64) eller (65). 70. Def. Parabeln är en kontinuerlig följd af punkter, hvilka fixeras af en föränderlig komplex, hvars modyl är = den fixerade punktens vinkelräta afstånd från en gifven linie. Vi låta den föränderliga komplexen ρσ utgå från 0 som origo (fig. 56) och vara hänförd till den mot den gifna linien AB vinkelräta linien OA som grundrigtning. Om vi sätta 0A = p, så sammanfaller parabelns definition med eqvationen 0=p—QCoso, hvilken på samma gång uttrycker.sambandet mellan Q och 0 och vanligen förekommer under formen ° 1+Cosc..................( ) 71. Eqvationerna (58), (61), (64) och (66) kunna sam- manfattas under den allmänna eqvationen Q(1+e Cos o) = p..........(67), hvilken således för e = 0 representerar cirkeln, för e< 1 ellipsen, för e>1 hyperbeln och för e = 1 parabeln. Vi kalla derför (67) för den allmänna eqvationen för en konisk sektion. 72. Vi låta Q0, hänförd till O (focus) som origo och OA (axeln) som grundrigtning (fig. 57), enligt (67) be- skrifva en konisk sektion AP. Vilja vi nu uttrycka denna 277 koniska sektion i rätvinkliga koordinater i förhållande till ett nytt origo O, och en ny grundrigtning O1CD//OB, då ∕∖ BOA = a och vägen O1CO = h+k,,, så ha vi att sätta +3,w=l+k,m+la-0o ................(68), då således x (= OD) och y (- DP) äro de rätvinkliga ko- ordinater, som i förhållande till de nya grundbestämnin- garna fixera samma punkt P på den koniska sektionen som eg- Genom att i (68) öfverflytta h och k,π samt taga mo- dylerna å ömse sidor erhålles q = N(a—h)3+(y—k)3.............(69). Om vi efter nämnda öfverflyttning multiplicera (68) med 1—α , erhålles (a-1)—« + (s - T), *-« = Po» hvaraf grundrigtningsprojektionen blir Q Cos o = (a — ft) Cosa+(y — k) Sin a. . . . (70). Genom att addera likheten (69) och (70), efter den se- nares multiplicering med e, fås med stöd af (67): A(z—h)2+(y—k)3 + e {(a—h) Cos a + (y- k) Sin aj = p (70), hvilket således är den allmänna eqvationen i rätvinkliga koordinater för en konisk sektion, hvars focus är bestämd af de rätvinkliga koordinaterna h och k och hvars axel (rigtad från focus till närmaste punkten på sektionen) är bestämd af A a. Anm. Genom att hyfsa (71) erhålles en fullständig andre grads eqvation af formen Ax2 + Bay + Cy + Da+Ey+F = 0, der koefficienterna A, B,...F innehålla a, e, Ii, k och p. Om nu en andre grads eqvation mellan a och y af formen A,æ2 + B,wy + Cyl + D,a + E,y + F, =0 18 278 är gifven, så kunna vi af likheterna A, B, C, D, E, F, A B CD E F beräkna de fem konstanterna a, e, h, k och p, hvaraf så- ledes inses, att eqvationen (71) i sig innebär hela teorien * om den koniska sektionen. Cykloiden. 73. Def. Den linie 0iP (fig. 58), som beskrifves af en punkt P på en cirkels omkrets, under det denne rullar utan att glida på en rät linie 01A, kallas cykloid. Låt O vara cirkelns medelpunkt och A hans tangent- punkt med 0,A; låt vidare OP, hänförd till OA som grundrigtning och beskrifvande negativa argument, utmär- kas med komplexen Q_o; vi hafva då att reducera Q_ först till O1A som ny grundrigtning förmedelst 1,7 och * Vi kunna icke underlåta att här rigta en anmärkning mot ett temligen gängse föreställningssätt rörande karakteren af den lägre geo- metrien (Euklides) och den högre eller analytiska geometrien (Cartesius): man har nämnligen kallat den förra syntetisk i motsats till den se- nare såsom analytisk, viljande dermed antyda den logiska skilnaden mellan begges utvecklingsmetoder. Af det föregående torde redan kunna inses, att vi här likasom i den lägre geometrien utgå från definitioner (eqvationer) och allmänna grundsatser (räknelagar), då vi ur dessa hafva att steg för steg (förmedelst kalkyl) härleda de konkretare bestämningar, som tillhöra det definierade begreppet. Den logiska gången är således hos begge geometrierna i grunden densamma, nämnligen den' syntetiska. Hela skilnaden mellan dessa båda geometrier belöper sig således huf- vudsakligen dertill, att, då den lägre utvecklar sitt innehåll ur defini- tionerna genom vanligt räsonnerande, så betjenar sig den högre för sam- ma ändamål af ett särskildt för det matematiska räsonnementet utbil- dadt teckenspråk, kalkylen, hvarigenom det blir för denna senare möjligt att med lika lätthet och ledighet behandla de mest komplicerade krok- linier, som det är för den förra att behandla cirkeln. Afser man åter med ordet analytisk sjelfva verktyget för räsonnementet, kalkylen el- ler, som den ock kallas, analysen, så är benämningen analytisk (kal- kylerande) här fullt egentlig. 279 derpå till 01 som nytt origo förmedelst vägen 0,40=h+0,. Vi få således likheten «+J«=l+4u+lm-QLo(72), då nämnligen x och y utmärka de rätvinkliga koordinaterna 0,B och BP. Om slutligen till (72) fogas vilkoret 0,A = bågen AP eller h = 0.0...........(73), så erhålles genom att eliminera o mellan (73) och likhetens (72) projektioner a = h-QSin , y = 0 - Q Coso, följande uttryck a = arccos 3—0-20-y)y.....(74) såsom cykloidens eqvation i a och y. Epicykloiden. 74. Def. Epicykloiden är den linie, som beskrifves af en punkt på en cirkels omkrets, då denne rullar utan att glida på yttre sidan af en gifven cirkel. Vi låta O.C eller cy (fig. 59) vara den gifna cirkelns radie, hvars förlängning går genom den rullande cirkelns medelpunkt 0; vi låta vidare OP eller ρσ vara den i po- sitiv led beskrifvande radien samt lägga genom På begyn- nelseläge D på den gifna omkretsen vår grundrigtning O1DB. Vi hafva då att reducera Q0 från begynnelserigt- ningen OA till vår grundrigtning O,B förmedelst 1, samt derpå till det nya origo 0, förmedelst (c + Q),, hvarföre vår uppställning blir «+J« = (c+Q)y+lx-0o ..............(75), då nämnligen x och y utmärka de rätvinkliga koordina- terna OB och BP. Om till (75) fogas vilkoret c. y = e(o—Y) eller, som är detsamma: (c+Q).y = q.o................(76), 280 så fås efter eliminering af σ mellan (76) och projektionerna af (75) följande eqvationer a = (c + Q) Cos γ - ç Cos 40 . y y = (c + Q) Sin y—q Sin C+0 • y såsom representerande epicykloiden. ....(77) Hypocykloiden. 75. Def. Hypocykloiden är den linie, som beskrifves af en punkt på en cirkels omkrets, då denne rullar utan att glida på inre sidan af en gifven cirkel. Vi låta O,C eller cy (fig. 60) vara den gifna cirkelns radie, på hvilken befinner sig den rullande cirkelns medel- punkt O; vi låta vidare OP eller Q_, vara den i negativ led beskrifvande radien samt lägga genom På begynnelse- läge D på den gifna omkretsen vår grundrigtning 0iBD. Enär Q_g& begynnelserigtning OA sammanfaller med vår grundrigtning O,B, så hafva vi blott att verkställa reduk- tion till det nya origo 0i förmedelst (c — 0)y, då vi följ- aktligen få «+3, = (c-⅛+ 0...................(78), der a och y äro de rätvinkliga koordinaterna O.B och BP. Om till (78) fogas vilkoret c.Y = q(o + Y) eller, som är detsamma: (c-).y = q.c ................(79), så fås efter eliminering af o mellan (79) och projektionerna af (78) följande eqvationer c — 0 ) & = (c — Y) Cos Y + 0 Cos —- • Y 2 L...(80), y = (c — Q) Sin y-Q Sin-----• y såsom representerande hypocykloiden. 281 Lemniskatan. 76. Def. Lemniskatan är en kontinuerlig följd af punk- ter P (fig. 61), hvilka fixeras af tvenne från kvar sitt origo O och A utgående föränderliga komplexer r^ och uλ , hvilkas modyler bilda en konstant produkt. Om vi sätta OA = 2a och låta från dess midtpunkt B en komplex Q0 äfven fixera P, så ha vi att sätta lik- heterna ", = a+Ro ) hvartill bör fogas vilkoret ru = konstant...............(82). För att nu uttrycka linien i 0 och o, ha vi att (81) taga produkten af r6 och wa, då (vu)a+a = (eo+a)(eo — a) = (ea)” — a’ ... (83), hvaraf följer, då modylerna tagas å ömse sidor: (ru)2 = 04 + at-2a°q2 Cos 20 , eller, då i (82) ru efter vanligheten sättes = a2: ρ2=2a2Cos2σ.................(84), hvilket således är lemniskatans eqvation i Q och o. Vilja vi åter uttrycka lemniskatan i rätvinkliga koor- dinater, så ha vi att i (83) sätta 00 = +3, samt taga modylerna å ömse sidor, då a4 = (a2-2 - a?)2 + 4222* eller (x2+y?)2 = 2a2(a2-y2).............(85). 77. Vi vilja belysa vår geometriska metod genom följande exempel, hvilket visar, huruledes man genom några enkla konstgrepp kan med synnerlig lätthet lösa uppgifter, hvilka annars erbjuda icke obetydliga svårigheter. En triangel med konstant bas a är gifven; finn i rät- vinkliga koordinater eqvationen för den af spetsen beskrifna linien, då 282 a) den yttre vinkeln är = n gånger den inre, ß) den ena basvinkeln är = n gånger den andra, 7) den ena basvinkeln är = n gånger vinkeln vid spetsen. De geometriska likheter, hvilka motsvara dessa tre fall, äro Po = C+Fno.....................(c), Q0 = a+r , ....................(B), (y). o = a + r 1 ........ Genom att multiplicera (c) med (Q_on erhålles (%(e_ 0)"—1 = a(e_o)" + "(" eller, då vi sätta 00 = a+34 och följaktligen Q_0 - 2-34» utveckla efter binomialteoremet och taga de vinkelräta pro- jektionerna å ömse sidor: (x2 + v ) i —-—x"—2y + -—---a—4y3—... X 1 0 1.2.3 • ) ( n < n(n — 1(n-2)) , = a—xn—ly+-—-—x"-8y3-... .. . (a). (1 8 1.2.3 8 ) Genom att åter multiplicera (B) med (ρσ)n erhålles (0+1 = a(o )n+on.7 eller, då Q0 ersättes af & + Y4, binomen utvecklas och de vinkelräta projektionerna sättas lika: n+1 (n + 1)n(n — 1) 1 0 1.2.3 J j n1, n(n - 1)(n - 2)3, 2 7 50/1% y—1.2.3y Genom att slutligen i (y) öfverflytta a och multiplicera båda sidorna med 1 ,fås -(σ+⅛σ) n 0 (0 + n 0 ?° hvilken likhet genom upphöjning till née dignitet och efter en enkel anordning blir ("-1.(e_a)-[aq"-5.(0—a)"+"1.2)a2"s.(e_.)-... - ,". Då i denna likhet Q_o ersattes af a-yi, binomen utvecklas och de vinkelräta projektionerna sättas lika, så blir, efter bortdividering af ρ, den sökta liniens eqvation följande: n— 2 x—4 (2+32) 2 •(-) - 1 a(z2+33) 2 .(-2^) ( - 1 n--6 + 1.2"a3(a+J") 2 (-3a'y + 30)—*. = 0 .∙∙∞. För n = 2 representera eqvationerna (a), (ß) och (y) i ordning cirkeln, hyperbeln vch Pascals snäcka *. 78. Om komplexen ρσ beskrifver någon linie, så be- skrifver komplexen k, . Q0, der k, = konstant, en likformig (homotetisk) linie med ett begynnelseläge, som i förhållande till den förras är bestämdt af Av. Vi vilja nu genom ett exempel visa, huru vi ega att behandla uppgifter rörande dylika linier. En till formen oföränderlig triangel BCD (fig. 62) är med en af sina spetsar fästad i en gifven punkt B. Om den andra spetsen C rör sig på en gifven linie AC, så frågas efter eqvationen i rätvinkliga koordinater för den af den tredje spetsen D beskrifna linien. Om, i förhållande till O som origo och OA // BC som grundrigtning, OB utmärkes med c , BC med 0, BD med * Den anförda vinkelegenskapen hos dessa tre linier leder, som man lätt finner, till lösning af den vidtberyktade uppgiften, « vinkelns tre- delning«, dock, såsom af sig sjelf förstås, med konstruktions-postulat, som ligga utom den elementära geometrien (jfr N:o 229 af Todhunters Öfningssatser till Euklides [F. W. Hultman, 1 uppl.] jemnte Tychsens Tidskrift för matematik, 1868 Aug.—Sept.). 284 kρσ½υ, OC med rβ och OD med uλ, så ha vi att sätta likheterna ", = c + 0o och %, = ,+k„-00» då triangeln är af oföränderlig form, så snart kυ är konstant. Genom att eliminera 0g mellan dessa eqvationer fås u, =c+k.r — k,.c ......................................(86), hvilken likhet, så snart eqvationen för den gifna linien Ye är bekant, ger oss eqvationen för linien u, i rätvinkliga koordinater a och y, då nämnligen u, sättes = & + Yy. Om Ye antages beskrifva en konisk sektion r(1 + e Cos 0) = p................. (87) med 0 som origo och OA som grundrigtning, så elimine- ras r och θ mellan (87) och (86) i enlighet med det i § 72 angifna förfaringssättet, då den sökta eqvationen blir Nia - c Cos y + ke Cos (y + v)j2 + [y — c Sin y + kc Sin (y + v)32 +e {a Cos v + y Sin v - c Cos (y — v) + ke Cos y} = kp..(88)*. 78. De i det föregående utförda härledningar af li- niers eqvationer äro till sin uppställning ytterst grundade på geometriska likheter af formen u = a+b.v, der de in- gående bokstäfverna representera komplexer eller deras pro- jektioner, och der u och v äfvensom stundom a äro förän- derliga. Det innehåll, som låter utveckla sig ur denna enkla funktionsform, berör, som vi sett, hela den plana analytiska geometriens område, sådant detta för närvarande är begränsadt. Den utvidgning, som detta område måste vinna, då vi öfvergå från denna enkla funktionsform till en funktionsform af hvad slag som helst r& = f(0c), bör icke blifva mindre än den, som algebran vunnit, då man inom henne öfvergått från första gradens eqvationer till * Förmedelst denna eqvation kan man lösa uppgiften att lägga en triangel af gifven form så, att han stödjer en af sina spetsar på en ko- nisk sektion och de två öfriga på hvar sin af två gifna linier. 285 eqvationer af högre algebraisk eller ock transcendent form. Vi blifva ock, som vi skola se, allt framgent i tillfälle att, vid studium af komplexernas funktionsteori, besanna rigtigheten af detta analogislut, hvarvid skall visa sig, hu- ruledes man genom den geometriska kalkylens enkla och viga metoder med lätthet kan lägga i dagen geometriska sanningar af djup och stor betydelse, hvilkas åtkomlighet på annan väg knappt låter tänka sig som möjligt. (Forts.) AFDELNING III. Enkla pendeln. Af Rob. THALÉN. Följande elementära härledning af formeln för den enkla pendelns svängningstid torde förtjena att bli allmännare känd*. Den grundar sig derpå, att svängningstiderna för en vanlig enkel pendel och för en konisk ** af samma längd äro lika stora. 1. Låt l beteckna pendelns längd, g tyngdkraftens acceleration, sårat a den vinkel, pendeltråden hos den enkla pen- deln gör med lodiinien i det ögonblick han vänder. Antag vidare, att pendelkulan i sistnämnda ögonblick erhåller en stöt, i vinkelrät rigtning mot det ursprungliga * Vi hafva hemtat densamma från Prof. A. J. Angströms före- läsningar i allmän fysik. ** Som bekant härleder sig namnet konisk pendel deraf, att denna pendel under en hel omsvängning alstrar en kon-yta. Den van- liga enkla pendeln, som under sin svängning alstrar en plan sektor, borde i enlighet med denna benämning kallas plan sektorpendel; — men vi bibehålla den en gång häfdvunna terminologien. 286 svängningsplanet och så afpassad till sin styrka, att kulan kommer att beskrifva en cirkel i horizontalplanet, så måste samtidigt inträffa, att tråden beskrifver en kon i rymden, att vinkeln a ständigt förblir densamma och att kulans ha- stighet i banan äfvenledes blir konstant. Att hastigheten i närvarande fall verkligen förblir konstant, beror derpå, att, såsom vi genast få se, ingen accelererande kraft verkar längs banans tangent. Det är således endast i följd af sin »tröghet», kulan i nämnda rigtning framhärdar i sin rö- relse, och detta sker med den hastighet, hon genom stöten en gång erhållit. I hvarje ögonblick verka nu två krafter på kulan, nämnligen tyngdkraften i lodrät rigtning och spänningen i tråden. Om nu tyngdkraften sönderdelas i tvenne kompo- santer, den ena längs trådens rigtning, hvilken kraft ge- nom spänningen i tråden upphäfves, och den andra längs cirkelradien, så blir det just denna sistnämnda kraft, som tvingar kulan att beskrifva den cirkulära banan och derför utgör den s. k. centripetalkraften. En uppritad figur (63) ger på grund häraf eqvationen centripetalkraften -----------------= tg a.................(1). tyngdkraften Om nu r betecknar kulans horizontela afstånd från lodlinien, längs hvilken tråden ställer sig, då han är i hvila, v kulans konstanta hastighet i banan, samt t tiden för hennes rörelse under ett halft hvarf, erhålles vid insättning i (1), enär 4 är måttet på centripé- talkraftens acceleration *, — = tg a........................(2). * Ett enkelt bevis för, att — är måttet på centripetalkraftens ac- celeration, skola vi måhända en annan gång få tillfälle att anföra. 287 Men enligt definitionen på konstant hastighet måste och ur figuren erhålles omedelbart r = l sin a, i följd hvaraf, efter eliminering af v och r‘ ur (2), den exakta formeln för svängningstiden hos en konisk pendel blir t = TUA/ — cos C....... V 9 Antages pendeltråden göra en liten vinkel med lodli- nien, kan cos a approximativt utbytas mot 1, hvarigenom (5) blir uttrycket pa den tid, som en konisk pendel, under of- van gjorda antaganden, behöfver för att genomlöpa ett halft hvarf af sin bana. 2. Denna formel (5) gäller äfven för den i ett och samma plan svängande enkla pendeln, ty man kan bevisa, att tiden för den koniska pendelns rörelse under ett halft hvarf i dess cirkulära bana är precist lika lång, som tiden för en enkel svängning hos en med den nyssnämnda lika lång vanlig pendel i dess såsom rätlinig ansedda bana, hvarvid vi naturligtvis antaga utslagsvinklarne vara ytterst små; eller, hvilket blir detsamma, att den förra pendelns kula hinner tillryggalägga 180° af cirkelperiferien på samma tid, som den sednare rör sig längs diametern i en lika stor cirkel. Giltigheten af nyssnämnda påstående kan inses på den grund, att rigtningen hos den plana pendelns ursprungliga svängningshastighet är vinkelrät mot rigtningen hos den ha- stighet, som genom stöten blifvit meddelad, i följd hvaraf 288 denna senare icke kan inverka störande på den förra. Visser- ligen kommer kulan att nu röra sig i en cirkel, men som denna rörelse uppkommit genom sammansättning af tvenne rätliniga och af hvarandra fullkomligt oberoende rörelser, nämnligen längs diametern och vinkelrätt deremot, måste hon ock kunna tänkas åter uppdelad längs samma rigt- ningar i tvenne samtidiga och rätliniga rörelser, hvilka alltså, med afseende på sina hastigheter, måste vara af hvarandra oberoende. Hastigheten längs den ursprungliga svängningsriktningen i pendelplanet måste följaktligen efter stöten förbli densamma, som den var före stötens med- delande. Genom ett enkelt experiment kan man äfven finna detta förhållande bekräftadt. För detta ändamål upphänger man tvenne likadana pendelkulor på lika långa trådar och un- dersöker, genom att låta dem någon tid svänga bredvid hvarandra, huruvida deras svängningstider äro lika stora. Antages detta vilkor vara uppfyldt, och man sedan i det ögonblick, då de båda kulorna befinna sig på sina största af- stånd från de respektiva lodlinierna, åt den ena af dem ger en stöt, på det redan omnämnda sättet, vinkelrätt mot svängningsplanet, hvarigenom en cirkelformig rörelse hos kulan uppkommer, så finner man dervid, att denna kula behöfver lika lång tidslängd för sin rörelse längs periferi- en, som den andra fram och åter i sin bana. Ett annat bevis för samma sak erhålles, om den kon- stanta hastigheten hos den koniska pendelns kula sönder- delas parallelt med en diameter i den horizontalcirkel, längs hvars periferi kulan rör sig. Jemnföra vi nu med hvarandra rörelserna hos kulan och hos hennes projektion på diametern, så inses omedelbart, att dessa båda punkter måste samman- träffa vid diameterns ändpunkter och att de således måste hafva lika långa svängningstider. Vore nu denna diameter till sin rigtning parallel med den plana pendelns svängnings- plan, och till sin längd lika stor med hela svängningsbågen för sistnämnda pendel, så kan med lätthet bevisas, att den om- seritAlLoti-snieMITSMGL P al 289 nämnda hastighetskomposanten till sin storlek är steg for steg lika med den verkliga hastigheten hos den plana pen- delns kula, hvaraf slutligen följer, att äfven svängningsti- derna för den koniska och den plana pendeln måste vara lika stora. Ett sådant bevis finnes äfven på flere ställen medde- ladt*, hvarför vi ej anse det nödvändigt att här återgifva detsamma. 3. Enär det vid den elementära undervisningen i fysik aldrig kan, med afseende på pendeln, bli fråga om någon annan svängningstid än den, som svarar mot oändligt små bågar, torde föregående deduktion af den koniska pendelns svängningstid i förening med ettdera af de ofvannämnda be- visen för liktidigheten i de båda pendlarnas svängnings- perioder, kunna anses vara alldeles tillräcklig för att inse giltigheten af formeln (5). På grund af sin enkelhet sy- nes den ock böra få företrädet framför de långa och svår- begripliga härledningar, som i våra vanliga läroböcker of- tast förekomma. Och detta torde så mycket hellre kunna ske, som sistnämnda kalkyler, oaktadt sin afskräckande vid- lyftighet, ändock icke räcka till för ett fullständigt angif- vande af det i eqvationen (5) gifna uttrycket för den enkla pendelns svängningstid, hvilket vanligen anföres under slut- ligt åberopande af »högre kalkyl». Satserna 1-6, lösta af C. B. S. CAVALLIN **, elev vid Östersunds högre elem.-läroverk. 1. Låt O vara den gifna punkten och AB den gifna räta linien. * T. ex. i Jamins och Müller-Pouillets läroböcker. ** Fullständiga lösningar af dessa satser 1—6 hafva af Hr Caval- lin blifvit insända. De erforderliga bevisen äro dock så nära lika hvar- andra, att vi ej ansett oss behöfva här intaga flere, än ett och annat af dem. För de öfriga satserna antydas endast konstruktionerna, 290 Konstruktion. Drag genom 0 vertikallinien OC, fäll från 0 perpendikeln OD mot AB, skär ∕∖ DOC midt i tu genom räta linien OB och drag EF// OD . Emedan BF∕∕OD, så är A FBO = A DOE, men A DOE = A FOE, således FE = FO. Om således F tages till medelpunkt för en cirkel med radien FO, måste denna cirkel tangera AB i E. Sammanbindningslinien OE är den sökta linien, utefter hvilken falltiden från punk- ten 0 till linien AB blir kortast. Bevis. Vore icke 0E den sökta linien, så antag, att en annan linie OL hvilken som helst, dragen från 0 till AB, vore det. Emedan OL alltid kan uppdelas i tvenne delar, nämnligen kordan OK och det utanför cirkeln be- lägna stycket KL, så följer deraf, att falltiden längs OL, måste vara > falltiden längs OK, hvilken sistnämnda fall- tid åter, enligt Galilei sats, är lika stor med falltiden längs den till samma cirkel hörande kordan OE. Följaktligen måste OE vara den räta linie, längs hvilken en partikel, utan begynnelsehastighet, faller på kortaste tid från 0 till AB. 2. Drag genom den gifna punkten 0 en horizonte! li- nie OM till den gifna räta linien AB, afsätt på AB uppåt, från M ett stycke MN lika stort med OM, så blir NO den sökta linien. För bevisets skull uppritas sedan en cir- kel, som i O och N tangerar de båda linierna OM och MN. 3. Låt 0 vara den gifna punkten och AEB den gifna cirkeln. Genom 0 drag vertikallinien OP och genom den gifna cirkelns medelpunkt C diametern AB // OP. Förena dessutom 0 med den nedra ändpunkten af diametern AB och låt sammanbindningslinien dervid skära cirkelperiferien i E. Låt vidare en från C genom E dragen rät linie träffa OP i F, och tag denna sistnämnda punkt till medel- punkt för en genom 0 gående cirkel, så inses lätt, att 291 denna cirkel måste i E tangera den gifna cirkeln. Med tillhjelp af Galilei sats finner man sedan utan svårighet, att OE är den sökta linien. 4. Sammanbind den öfversta punkten på den gifna cirkelns vertikala diameter med den gifna punkten, så blir den utanför cirkeln belägna delen af sammanbindningslinien den linie, som söktes. För bevisets skull uppritas sedan en cirkel, som går genom den gifna punkten och tangerar den gifna cirkeln i den punkt, hvarest sistnämnda cirkel skäres af sammanbindningslinien. 5, '6. Konstruktionerna äro här analoga med dem, som erfordrats för satserna 4 och 3 respektive. AFDELNING IV. Anmälda Skrifter. 1. Plan trigonometri af Lars PHRAGMÉN, lektor vid Örebro ele- mentarläroverk. Stockholm 1868. Girons förlag. Pris 1 rdr 50 öre. ' 100 sidd. 8:o. Det är oss ett kärt nöje att härmed för våra läsare få presentera detta goda, gedigna och för sin matematiska skärpa utmärkta arbete. Det är intet hastverk. Ingenting deri synes nedskrifvet utan efter mo- gen öfverläggning. Arbetet sönderfaller i tvenne kurser: en mindre för latinlinien, en- dast afseende trianglars beräkning, samt en större för reallinien och för sådane, som vilja fortsätta sina matematiska studier. Det utmärkande i Phragméns trigonometri är följande: 1. De trigonometriska funktionerna äro definierade ej såsom linier utan såsom tal (= förhållanden emellan tvenne sidor i en rätvinklig triangel). 292 2. Formlerna för trianglars beräkning äro härledda på rent geo- metrisk väg synnerligen elegant. Detta är en stor förtjenst. Man lik- som ser formeln i figuren. Särskildt förtjenar framhållas författarens geometriska bevis för de båda formler, som vanligen användas vid triang- lars beräkning, då två sidor och mellanliggande vinkel eller då alla tre sidorna äro gifna *. 3. Bevisen för de båda grundformlerna Sin (a + b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b, Cos (a + b) == Cos a Cos b — Sin a Sin b äro på ett enkelt sätt medelst projektionsteorien härledda och det så, att man klart inser deras allmängiltighet för alla möjliga reella värden på a och b. . 4. Utom teorien för de direkta trigonometriska funktionerna har förf, en teori för arcusfunktionerna, deri han bland annat visar samman- hanget mellan mångtydiga och entydiga arcusfunktioner. Sålunda har han för Arcsinfunktionen formeln Arcsin ((a)) == ko + (— 1)6 Arcsin a . Vidare lär han, huru man skall sammanslå summan af eller skilna- den mellan tvenne arcusfunktioner till en enda. 5. Förf, har en temligen utförlig teori om hjelpvinklar och om de- ras begagnande vid lösning af andra och tredje gradens eqvationer, samt vid beräknandet af vidlyftiga uttryck, der logaritmisk kalkyl erfordras. 6. Problemen äro praktiska och intressanta. 7. Resultaten äro noga uträknade. Då obekanta storheter erhållas ur kosinus för små vinklar eller ur sinus för vinklar nära 90°, framstäl- ler förf, andra formler, hvilka gifva noggrannare värden. Tillvaron eller bristen af ett streck under sista decimalen bestämmer öfverallt hela bo- ken igenom, huruvida sista decimalen i förf:s räkneexempel är för hög eller ej, alldeles i likhet med Schrön och Schlömilch i deras ta- bellverk. * Beviset för den förra formeln finnes framstäldt i denna tidskrifts första häfte sid. 14. Prof. Grunert, som i sin berömda tidskrift Ar- chiv der Mathematik und Physik, haftet 2 innevarande år, aftryckt detta bevis, säger det vara ”überaus elegant und zierlich’’. I för- bigående torde böra anmärkas, att ett annat också elegant bevis för sam- ma formel finnes anfördt på sid. 69 i vår tidskrift under rubriken: trigo- nometrisk sats af D — g. Detta sista bevis framkommer ock i Dill- ners användning af den geometriska kalkylen på triangeln, se sid. 217. Phragméns bevis för senare formeln sammanfaller alldeles med D—gs sid. 70 i denna tidskrift. Begge hafva dock skrifγit oberoende af hvarandra. 293 8. I slutet af sin bok har förf, ett kapitel, hvarest han ur formel- systemet a = b Cos C + c Cos B * eller ur systemet a2 == b2 + c2 — 2bc Cos A* härleder de öfriga trigonometriska formlerna. 9. Ej bör förglömmas den eleganta formelsamling, hvarpå förf, bjuder. Som exempel härpå anföra vi endast följande tvenne: A+B. B+C C+A Sin A + Sin B + Sin C ==4 Sin —2— Sin —2— Sin —9—+ Sin (A+B+C), hvilken gäller för alla möjliga värden på A, B och C; A+B B+C C+A Sin A + Sin B + Sin C + Sin D — 4 Sin —-— . Sin —-— . Sin —-— , 2 2 2’ hvilket gäller, då summan af alla fyra vinklarne utgör fyra räta. 10. Figurerna äro tryckta i texten på behöriga ställen. Papper och tryck äro vackra. Som vi se, vittnar allt om gedigenhet. Genom sin skärpa, genom sina allmängiltiga bevis och genom försinligandet af åtskilliga trigono- metriska formler är detta arbete egnadt att lägga en säker grundval för kommande studier. En fråga kan jag dock icke underlåta att ställa till förf. Hvar- före uppskjuter Ni ända till sista kapitlet i Eder till sitt omfång ej obetydliga bok att göra Edra läsande elever be- kanta med formeln α2 — δ2 + c2—2bc Cos A ? Denna formel, sinusteoremet jemnte de här ofvan nämnda grund- formlerna för utvecklingen af Sin (A + B) och Cos (A+ B) anser jag som de vigtigsste i trigonometrien. Med inga trigonometriska formler får man i sina följande matematiska studier röra sig så mycket som med dessa. Dessutom äro de i förening med definitionerna på sinus, kosi- nus, tangent och kotangent fullt tillräckliga för trianglars lösning. En trigonometri för latinlinien skulle derföre enligt min åsigt innehålla just detta, som jag nu anfört. För en kommande upplaga vore det nyttigt, om förf, vid andra händelsen, sid. 9, der man har gifna två sidor och en motstående vin- kel, äfven upptoge ett exempel, der triangeln blefve rätvinklig, och ett, der han blefve omöjlig. I allmänhet vore det önkligt, om förf, emel- lanåt haft en och annan uppgift, som ledt till en sinus eller kosinus * De öfriga eqvationerna erhållas genom permutering af bokstäfverna. 19 större än 1 eller till en imaginär tangent o. s. v. Sådana exempel äro mycket upplysande, föranleda mycken reflexion och äro mycket pikanta. Jag slutar med att uttala den öfvertygelsen, att detta författarens arbete kommer att blifva till mycket gagn för vårt fäderneslands stude- rande ungdom. F. W. Hultman. 2. Den analytiske geometries begyndelsegrunde af H. G. ZeuTHEN. Kjobenhavn 1867. Denna lärobok i elementen af den plana analytiska geometrien, ehuru närmast afpassad efter danska examensförhållanden, synes, med afseende på fullständighet och tillgodogörande af de nyaste forskningar inom geometrien (Salmon, Plücker), såsom elementarbok betraktad icke lemna någonting öfrigt att önska. Äfven i vårt land torde derföre denna bok med fördel kunna användas vid studiet af den analytiska geometri- ens element. Om den aritmetiska undervisningsmetoden. 1. Diskussion om undervisningen i aritmetik. Af lektor GULDBR. ELOWSON. 2. Genmäle till herr lektor Hultman. Af ISIDOR SMEDBERG. 3. Svar på herr Smedbergs genmäle. Af lektor Hultman. Såvida redaktionen af « Tidskrift för Matematik och Fysik « anser lämpligt att diskutera undervisningen i aritmetik, så tager sig under- tecknad härmed friheten inleda en dylik diskussion. Närmaste anled- ningen dertill är en i tidskriftens 5:te häfte, sidd. 233—244, intagen «Anmälan af tio stycken räkneböcker « af F. W. Hultman. Innehållet i närvarande uppsats kommer derföre att bestämmas med hufvudsakligt afseende på innehållet i omnämnda « Anmälan «. • De « stora skiljaktig- heter“, som H. * funnit i de anmälda “tio stycken räkneböcker «, anser han härflyta af tvenne olika åsigter om den aritmetiska undervisningens mål. Olikheten emellan dessa båda åsigter angifves. Anhängarne af den ena åsigten vilja “lära eleven klart inse lagarne för de aritmetiska operationerna «, hvilken insigts förvärfvande antydes ske derigenom, att * Dermed beteckna vi: F. W. Hultman, 295 lärjungen först inhemtar regel, derefter beviset för densamma och slut- ligen, sedan han fått regeln bevisad, räknar mekaniskt. Den andra åsigtens anhängare vilja « utbilda elevens förmåga af tankearbete på aritmetiska uppgifter och derigenom indirekt äfven på frågor inom öfriga delar af mensklig forskning“, hvilket antydes skola ske derigenom, att man låter lärjungen deducera reglerna för de aritmetiska operationerna ur en samling af exempel. Sedan de båda olika åsigterna sålunda, blif- vit karakteriserade, inrangeras jag på grund af E-L-B. * ibland den förra åsigtens anhängare, hvaremot H. «obetingadt“ sluter sig * till den den åsigten, som afser tankeverksamheten för hufvudsaken«. Den dis- kussion, som jag härmed velat inleda, bör i ett af sina moment ut- göra en undersökning af, huruvida sjelfva punctum quæstionis är af H. rigtigt angifven, alldenstund min personliga åsigt om undervisningen i aritmetik är i afseende på nödvändigheten af lärjungens sjelfverksamhet alldeles lika med, hvad H. förklarat vara sin åsigt. H. synes också vilja anse alla de anmälda räkneböckerna, följaktligen äfven E-L-B., såsom en protest emot hvarje undervisningsmetod, som möjligen kunde hafva något annat syftemål än att « begripa hvad man lär “. Om giltigheten af denna sats äro vi väl alla lifligt öfvertygade. Den närmare utveck- lingen af mina åsigter angående undervisningen i aritmetik innehålles naturligtvis i E-L-B. I saknad af en dylik objektivt gifven utveckling af H:s pedagogiska åsigter i detta ämne antager jag honom hylla den hevristiska metoden, hvaraf vi hafva en representant i K. P. Nordlunds Eäkneöfningsexempel, hvilket antagande jag grundar derpå, att han an- ser dessa räkneöfningsexempel såsom ett pedagogiskt mästerstycke. Jag kommer derföre i det följande att omnämna dessa räkneöfningsexempel och beteckna dem med R-Ö-E. ** Uti ett kort företal angifver E-L-B. såsom mål för undervisningen i aritmetik «en klar och tydlig uppfattning af lagarne för aritmetikens räkneoperationer samt säkerhet och färdig- het i dessa räkneoperationers användning i enskilda fall.« Dermed angifves detta mål innefatta tre moment, nämnligen 1) en klar och tydlig, d. v. s. begreppsmässig uppfattning af lagarne för arit- metikens räkneoperationer, 2) säkerhet i räkneoperationernas användning på enskilda fall och 3) färdighet i räkneoperationernas utförande. Lär- jungen bör således komma derhän, att han känner betydelsen af de sär- skilda räkneoperationerna, att han kan i begripliga ordalag redogöra för * Dermed beteckna vi: Elementar-Lärobok i Arithmetik af Guldbrand Elowson, Upsala 1868. **) Naturligtvis kan här icke blifva fråga om någon recension af denna bok, då jag icke känner ”grunderna för dess uppställning, anvisningar och råd vid deras användande m. m.” 296 de förfaringssätt, han använder vid operationernas utförande, och att han kan angifva skäl för dessa förfaringssätt. Om han t. ex. skall utföra en addition i hela tal, så bör han, vare sig räkningen verkställes «i hufvu- det« eller på taflan, veta hvad addition är eller åtminstone hvad som dermed åsyftas; han skall kunna tala om, huru han förfar vid uträk- ningen, vare sig han börjar med att sammanlägga de i addenderna förekommande enheter (af l:sta ordningen), derefter tiotal o. s. v., eller han först sammanlägger de i addenderna förekommande högsta enheter och derefter öfvergår till enheter af någon hvilken som helst lägre ord- ning, eller han sammanlägger addenderna i deras helhet den ena efter den andra, och för det förfaringssätt, han verkligen använder, bör han kunna anföra giltiga skäl. Skall han t. ex. taga produkten af 758 och 643, så bör han kunna redogöra för sitt förfaringssätt, vare sig han föl- jer schemat 758 643 2274 3032 4548 487394 eller 643(700 + 50 + 8) eller 643(700 + 60 — 2) eller hvilket annat sche- ma som helst, och tillika säga, hvarföre han gör just så. Skall han mul- tiplicera tvenne bråk, så måste han hafva en klar uppfattning af hvad denna operation betyder, ty eljest blir hans aritmetiska bildning högst bristfällig. Om det således är rigtigt, att lärjungen bör känna lagarne för de aritmetiska operationerna och det icke blott så, att han « känner med sig<, huru han skall förfara, utan på ett sådant sätt, att han kan i begripliga ordalag uttrycka förfaringssättet, så synes det vara nyt- tigt, att uttrycken för. dessa lagar, hoc est reglerna, äro angifna i läroboken. Deraf följer dock icke, att reglerna skola inhemtas först och derefter räkningen vidtaga, ännu mindre, att reglerna skola läras utantill och räkningen derefter ske mekaniskt, utan reglerna d. v. s. uttrycken för de aritmetiska räknelagarne böra inläras, under det att läraren visar och undervisar lärjungarne, huru den eller den räkne- operationen skall utföras. Har t. ex. undervisningen fortskridit der- hän, att en division skall på taflan utföras, så synes det mig ändamåls- enligt, att läraren först sjelf uträknar ett exempel och dervid icke blott visar förfaringssättet med uppmaning till lärjungarne att se efter, huru han gör, utan äfven med tydliga ord talar om, huru han gör, och, så- vidt lärjungarnes fattningsförmåga kan följa med, hvarföre han gör så eller så. Derefter bör någon af ynglingarne gå fram till taflan och räkna 297 ett annat exempel. Han bör dervid icke allenast uppskrifva den ena siffran efter den andra, allteftersom hans räkning fortskrider, utan till- lika * räkna högt« och med ledning af läraren tala om, hvad den eller den operationen innebär, hvartill det eller det leder, hvarföre det an- vända förfaringssättet är berättigadt o. s. v. Uppfattningen af lagarne för de aritmetiska operationerna bör i hög grad underlättas, om lärjun- gen får i lärobokens regler repetera det på sådant sätt muntligt genom- gångna. Vill man ur läroboken taga bort reglerna, d. v. s. ännu en gäng uttrycken för de aritmetiska räknelagarne, så synes mig, att man med samma fog kunde taga bort äfven exemplen. Undervisningen i aritmetik blefve derigenom antingen helt och hållet eller åtmin- stone öfvervägande muntlig. Läraren finge meddela både regler och exempel. (Forts.) Satser, gifna i skriftliga mogenhetsexamen h. t. 1868. För latinlinien. (2 st. på 4 tim.) 1. Trenne segmenters bågar äro lika stora äfvensom deras höjder; att bevisa deras kongruens. 2. Att i en gifven gvadrat inskrifva en annan, hvilkens diameter har en gifven längd. 3. Att upprita en triangel, som är likformig med en gifven triangel och har en gifven linie till höjd. 4. 1 en gifven cirkel är en korda apterad och på denna korda en viss punkt tagen. Att upprita en cirkel, som tangerar den gifna cirkeln i kordans ena ändpunkt och går genom den tagna punkten. 5. Fyra räta linier äro gifna. Att bestämma två parallelogrammer, som hafva till hvarandra ett förhållande, som är komponeradt af liniernas förhållanden. 6. Att upprita en cirkel, då man känner två af dess kordor samt qf- ståndet dem emellan. 7. Bevisa, att diametern till den i en rätvinklig triangel inskrifna cir- keln är lika med öfverskottet, hvarmed summan af de båda kateterna öfver- skjuter hypotenusan. 8. Upprita en cirkel, hvars periferi är lika med summan af två gifna cirklars periferier. 298 (2 st. på 4 tim.) 9. I en aritmetisk serie är första termen = 56 + a, näst sista ter- men — a + 2 och sista termen == a — 1. Huru stort är termernas antal? 10. Uti en plan triangel är vinkeln A = 54° 30’ samt sidan b — 825 fot och sidan c = 1300 fot; huru stor är triangelns area? 11. Om ett cirkelsegments höjd = 1 radien, i hvad förhållande står då dess area till cirkelns area? 12. Om ett plan, som är draget paralleli med basen i en rät kon, skär dess bugtiga yta i 2 lika stora delar, huru stort är då afståndet emellan det skärande planet och basen? 13. Om en lifränteanstalt årligen betalar 8 procent af det kapital, som en person insatt vid fylda 55 år, huru länge bör då denna person lefva jör att återfå sitt kapital jemnte 6 procent ränta? 14. Huru stor är den i en cirkel inskrifna, reguliera 20-hörningens sida, om cirkelns radie är r? 15. I en geometrisk serie af 10 termer är summan af alla dem, som hafva udda ordningsnummer, 1023 och summan af alla dem, som hafvajemn ordningsnummer, 2046. Hvilka äro seriens termer? 16. Solvera egvationen (log x)2— 7 Log x + 11 = 0. För reallinien. (2 st. på 4 tim ) 17. Att konstruera en triangel, då man känner en vinkel vid basen, höjden och perimetern. 18. Att konstruera en triangel, då man känner en vinkel, motsvarande höjd och den inskrifna cirkelns radie. 19. Bevisa, att om man korsvis förenar ändpunkterna af tvenne pa- rallela kordor medelst räta linier, så blifva dessa linier lika långa. 20. Bevisa, att summan af qvadraterna på delarne of tvenne mot hvarandra vinkelräta kordor är lika med quadrat en på diametern. 21. Att dela en cirkels yta midt i tu genom en annan cirkel, som i en gifven punkt tangerar den gfna. 22. Att genom en punkt, belägen i en vinkels plan, draga en rät li- nie, som med vinkelbenen bildar en triangel, lika stor med en gfv eri qvadrat. 23. Bevisa, att summan af de plana vinklar, som bilda en solid vin- kel, alltid är mindre, än 4 räta vinklar. (2 st. på 4 tim.) 24. Skilnaden mellan två tal är 63; skilnaden mellan deras qvadrat- rötter är 3; hvilka äro dessa tal? 299 25. Bevisa, att om 4 tal äro proportionela,' så är summan af det största och det minsta bland dem större, än summan af de båda andra. 26. En stympad kon, som har den ena bottenradien dubbelt så stor som den andra, och höjden lika med summan af dem båda, skall rymma 50 kannor. Huru stora skola bottenradierna vara? 27. Huru stor summa skall utlånas med ränta på ränta efter 4 pro- cent om året, för att den efter 16 år skall hafva samma värde, som 5000 Rdr, à 6 procent, efter 10 år? 28. 1 en triangel äro gifna: b — 15,5 fot, c = 24,3 fot, A =47054; huru stor är den höjd, som svarar mot sidan a ? 29. Ur en sfer, hvars radie — en fot, skall man afskära en sektor, hvars volym === en kubikfot; huru stor blir då höjden af det denna sektor tillhörande sferiska segment? 30. Två fixa punkter A och B äro gifna. Begäres locus för de punkter C, som satisfera eqvationen ___2 .___2 m.AC + n.BC = r2, i hvilken m och n betyda två gifna tal och r en linie af gifven längd. (1 på 3 tim.) 31. Huru högt står solen öfver horisonten, om skuggan af en 5,9 fot lång karl är 110 fot lång? 32. Man har en bikonvex lins, hvars fokaldistans är 9 tum. Huru långt från linsen skall ett föremål ställas for att af det skall uppkomma en fyra gånger så bred skenbild? 33. Vid 0° C. rymmer ett kärl 1,527 skâlp. qvicksilfver, vid 1000 C. rymmer det 1,52596 skåp. Huru stor är längdutvidgningskoefficienten för kärlets gods? Qvicksilfrets specifika vigt är 13,596 vid 0° C.; dess utvidgningskoëfificient är = 0,00018153. - 34. En blykulas volym är 1638 kubiktum vid 81° C. Till hvilken temperatur skall hon ajkylas för att hon skall innehålla 1629 kubiktum. Blyets längdutvidgningskoéfficient antages = 0,0 000285. , 35. Tre med luft fylda kärl hafva respektive volymerna Vi, V2 och V3, de inneslutna gasmängdernas motsvarande pressioner äro H , H2 och H3 . Om alla dessa kärl förenas med hvarandra genom rörledningar, så uppkommer en gemensam spänning hos luften, hvars storlek man önskar veta, då intet afseende f ästes vid rörens volymer. 36. Om barometern visar 760 millimeter vid jordytan, men 5,7 milli- meter mindre, då instrumentet höjes 200 fot, så skall derur beräknas liftens täthet, hvilken vi antaga vara densamma hela vägen mellan dessa orter. Temperaturen anses vara 0°; qvicksilfrets täthet — 13,596, och 1 meter = 3,368 sv. fot. 300 , 37. Vid + 15 grader är basen hos en af kopparplåt förgärdigad lik- bent triangel 3‘/2 tum och sidan 5 tum. Huru stort blir ytinnehållet vid upphettning till 80°? Kopparens liniära utvidgningskoëfficient = 0.000017. 38. Huru långt går en vigt af 5 centner på 3 minuter, om vigten utan hinder för sin rörelse hela tiden åverkas af en 10 skålp:s drifkraft? En fritt fallande kropps acceleration antages vara 33 fot. Kritik af ofvanstående satser. De här ofvan meddelade satserna för den skriftliga mogenhetsexamen vid slutet af innevarande termin gifva anledning till några reflexioner. Vi börja med de algebraiska satserna for latinlinien. Mot dessa kan man anmärka, att de ej äro lämpliga för andra yng- lingar än för sådane, hvilkas insigter kunna utmärkas med ett högre be- tyg än godkänd. Af de 8 satserna tillhöra nämnligen tre läran om serier, en läran om logaritmer, tvenne planimetrien, en stereometrien och en tri- gonometrien. Enligt skollagen är för högsta klassens latinlinie i algebra bestämd följande kurs: " Eqvationer af andra graden med talrika öfningsexempel jemnte problem , läran om progressioner och logaritmer samt öfning i logaritmtabellers bruk.” Som man ser, fordrar skollagen ingen trigonometri, ingen stereome- tri, ingen planimetri. Halfva antalet af exempel ligga således utom det af skollagen föreskrifna omfånget. Hvad åter beträffar de öfriga 4 sat- serna, tillhöra dessa uteslutande läran om logaritmer och serier. En yng- ling, som läst första och andra gradens eqvätioner med en eller flere obe- kanta jemnte tillhörande algebraiska problem, kan således icke försöka sig på någon af ofvanstående satser, huru skicklig han än må vara inom sin kurs. Och dock kan denne yngling ganska väl hafva godkänd mogenhet i algebran. I den gamla studentexamen kunde på detta pensum gifvas till och med betyget med beröm godkänd. Att döma af de nu utgifna satserna berättigar detta pensum numera ej ens till betyget godkänd. Huru som helst härmed må förhålla sig, blir det dock alltid svårt att bedöma en ynglings mogenhet, om han misslyckas på lösningen af satser, hvilka ligga utom omfånget af hans studier. Vi hafva härpå ett nära till hands lig- gande exempel. Af de 10 privatister, hvilka denna gång vid Stockholms gymnasium skrifvit för mogenhetsexamen på latinlinien, fanns det en, som alldeles icke kunde lösa ett enda problem; fyra eller fem hade visserligen lösning på ett problem, men den var felaktig. Skollagen fordrar, som be- 301 kant, lösning af 2 problem. Månne alla dessa saknade nöjaktiga kunska- per i algebra? Vi för vår del äro ej öfvertygade derom. Vi öfvergå nu till de geometriska satserna på latinlinien. Dessa synas hafva tillkommit i brådska. Sålunda förekomma i uttryc- ken åtskilliga skriffel och oegentligheter. I första satsen står trenne i st. f. tvenne. I den andra begagnas ordet diameter i st. f. diagonal. Som bekant, menas med diameter en linie, som skär flere sinsemellan parallela kordor midt i tu. Denna egenskap har ej diagonalen i en qvadrat. Vi ha hört omtalas en yngling, som sade sig icke våga skrifva öfver denna sats, enär han ej visste, om ordet diameter var en misskrifning i st. f. diagonal eller i st. f. perimeter. Uttrycket i satsen 5 är sväfvande. Man kan mellan 4 linier bilda 6, ja, om man så vill, 12 olika förhållanden. Är meningen att finna tvenne parallelogrammer, hvilka till hvarandra hafva ett förhållande, som är kom- poneradt af alla dessa 6 eller 12 förhållanden? Utan tvifvel icke. Derföre borde det heta: ”som är sammansatt” (vi föredraga det svenska ordet) ”af den första liniens förhållande till den andra och af den tredje liniens för- hållande till den fjerde.” Uttrycket på den fjerde satsen är onödigt långt. I sats 6 talas om afståndet mellan två kordor. Hvad förstås dermed ? Af de nyss omtalta skrifningarna visar sig, att någre hafva dermed för- stått det minsta afståndet mellan kordorna, andra afståndet mellan kor- dornas midtpunkter. Andra åter ha trott, att dermed menas, att kordorna skola vara parallela. Hvad särskildt den förste satsen beträffar, är den ej alltid sann. Det är alldeles icke nödvändigt, att segmentbågarne äro kongruenta, derföre att segmenten äro lika höga och bågarne lika långa. Tvertom svara alltid mot en gifven båglängd och en gifven höjd tvenne olika segment, det ena med en båge mindre än halfcirkeln, det andra med en båge större än half- cirkeln. För satsens sanning hade således behöfts tillägget: ”med den in- skränkning, att segmenten äro begge samtidigt mindre eller begge samti- digt större än halfcirkeln.” Men äfven sålunda rättad är satsen ej lämplig för skriftlig behandling vid mogenhetsexamen. Vilja vi nämnligen analytiskt behandla den, leder den till eqvationen 1 h = 2 Sin 2—, der h är segmentets höjd, I bågens längd och x den obekanta radien. Som denna eqvation är transcendent, kan den ej lösas medelst elementargeome- trien, såvida man ej vill införa den hos Arkimedes förekommande grund- satsen: af linier, som äro konkava i förhållande till en och samma räta linie, och hvilka alla hafva samma ändpunkter, är en inre alltid mindre 19* än en yttre.” Denna grundsats finnes emellertid ej i våra läroböcker be- visad för annat fall, än då linierna äro sammansatta af räta linier. För kroklinier (såsom cirkeln) kunde ej ens Arkimedes bevisa den. Det är oss ej bekant, om den ännu är bevisad strängt för kroklinier hvilka som helst. Under sådana förhållanden är det ej oväntadt, att de ynglingar, som för- sökt sig på denna sats, misslyckats. Vi älska att tro, att denna sats äfvensom de oegentliga uttrycken tillkom- mit genom ett förhastande, och vi vilja hoppas, att den skada för ynglingarne, som möjligen kunnat uppstå derigenom, att desse utan framgång fått för- söka sina krafter på satser, som varit till sitt innehåll origtiga eller till sina uttryck otydliga, ej i verkligheten inträffat, enär deras examinatorer utan tvifvel insett de ogynsamma förhållanden, under hvilka de arbetat. Till slut några ord om satserna för reallinien. Samtlige de analytiske äro bra. I afseende på de geometriska bör an- märkas, att efter uttrycken kordor i satserna 19 och 20 bör för tydlighets skull tilläggas orden: "i en cirkel”, alldenstund på reallinien emellanåt förekomma ynglingar, som rent geometriskt behandla äfven ellipsen, hy- perbeln och parabeln, och hvilka således hafva hört talas om andra kor- dor än cirkelkordor. Satserna äro för öfrigt goda. Vid de fysikaliska åter ha vi några anmärkningar att göra. Hvad insigt ådagalägger den, som rigtigt löst det första problemet så lydande: ”huru högt står solen öfver horizonten, om skuggan af en 5,9 fot lång karl är 110 fot lång?” Möjligen den, att han visar sig veta, det ljuset fortplantar sig rätlinigt. Problemet infaller i sjelfva verket an- tingen på trigonometriens eller astronomiens område. De öfriga 7 satserna äro temligen ensidiga. Sålunda angå icke min- dre än tre stycken fasta kroppars utvidgning; tvenne höra till aërostatiken, endast ett är upptaget på optiken och endast ett på mekaniken. Här före- kommer intet exempel om tyngdpunkten, intet om kroppars jemnvigt, intet om kroppars fall i följd af deras tyngd, intet om speglar, intet om smält- ningsvärme eller om egentligt värme o. s. v. I egenskap af skollärare och målsman för första afdelningen af denna tidskrift har jag ansett mig skyldig att göra-dessa anmärkningar. F. W. HULTMAN. S7, 17 7 9 0 4 | ' a . **%1 SA « Wgad * Sx - - "4. PA r *. 5 40 tit i 5 1 A Hi " a $ Kw 4. 1 21 E 1 % ) je N 660 ' 890 LA y s,h 9 • - .-". : 03 * A e Pou A 2 ' 2* 21 1 : 74 AT Ry Y, ", | : me aic - A pt